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El cobre es un
conductor cuyas
propiedades son
utiles porque
hacen posible el
transporte de la
electricidad
TEMA 1. CARGA Y CAMPO ELECTRICO

VIDEO: GRAVEDAD, ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

CARGA ELECTRICA
Los primeros estudios que se
conocen relacionados con la
electricidad se hicieron en la antigua
Grecia, alrededor del siglo IV a.C.
El filosofo griego Mileto estudiaba
varios materiales como el ámbar
La palabra electricidad deriva de
electrón que en griego significa
ámbar

CUANTIZACION DE LA CARGA
La carga eléctrica permite cuantificar el estado de
electrización de los cuerpos siendo su unidad
mínima la carga del electrón. Esto significa que la
carga eléctrica q de un cuerpo está cuantizada y se
puede expresar como nq, en que n es un número
entero (incluyendo el cero); sin embargo, como la
carga del electrón es muy pequeña, se utiliza un
múltiplo de ella: el coulomb (C).
Por medio de un electroscopio (instrumento
detector de carga) se puede comprobar que un
cuerpo está electrizado y que los cuerpos
electrizados con el mismo signo se repelen y los
cuerpos electrizados con signo distinto se atraen.

CONDUCTORES Y AISLANTES
Un cuerpo eléctricamente neutro se electriza cuando gana o pierde electrones.
Existen tres formas básicas de modificar la carga neta de un cuerpo: electrización por
frotamiento, contacto e inducción.
En todos estos mecanismos siempre esta presente el principio de conservación de la
carga, que nos dice que la carga eléctrica no se crea ni se destruye, solamente se
transfiere de un cuerpo a otro.
a) Frotamiento. En la electrización por fricción, el cuerpo menos conductor saca
electrones de las capas exteriores de los átomos del otro cuerpo quedando cargado
negativamente y el que pierde electrones queda cargado positivamente.
b) Contacto. En la electrización por contacto, el que tiene exceso de electrones (carga –)
traspasa carga negativa al otro, o el que tiene carencia de ellos (carga +) atrae
electrones del otro cuerpo.
c) Inducción. Al acercar un cuerpo cargado al conductor neutro, las cargas eléctricas se
mueven de tal manera que las de signo igual a las del cuerpo cargado se alejan en el
conductor y las de signo contrario se aproximan al cuerpo cargado, quedando el
conductor polarizado. Si se hace contacto con tierra en uno de los extremos polarizados,
el cuerpo adquiere carga del signo opuesto.

LEY DE COULOMB
La fuerza ejercida por una carga sobre otra fue
estudiada por Charles Coulomb (1736-1806) mediante
una balanza de torsión de su propia invención. Los
resultados de los experimentos de Coulomb y otros
científicos se resumen en la ley de Coulomb.
“La fuerza ejercida por una carga puntual sobre
otra esta dirigida a lo largo de la línea que las une.
La fuerza varia inversamente con el cuadrado de la
distancia que separa las cargas y es proporcional
al producto de las mismas. Es repulsiva si las
cargas tienen el mismo signo y atractiva si las
cargas tienen signos opuestos”

a) Forma vectorial b) Forma escalar

Problema 1.1. La carga q1 = 25 nC esta en el origen, la carga q2 = −15 nC esta sobre el eje x en x = 2m
y la carga q3 = 20 nC esta en el punto x = 2m, y = 2m. Determinar la fuerza sobre q3.
𝐹 = 𝐾
𝑞1𝑞2
𝑟2
𝐹13 = 𝐾
𝑞1𝑞3
𝑟
13
2
𝐹23 = 𝐾
𝑞2𝑞3
𝑟23
2
𝐹𝑥 = 𝐹13𝑐𝑜𝑠𝛼 = 5.62 × 10−7
𝑐𝑜𝑠45𝑜
= 3.97 × 10−7
𝑁
𝐹𝑦 = 𝐹13𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝐹23 = 5.62 × 10−7
𝑠𝑒𝑛45𝑜
− 6.74 × 10−7
= −2.77 × 10−7
𝑁

Problema 1.1. La carga q1 = 25 nC esta en el origen, la carga q2 = −15 nC esta sobre el eje x en x = 2m
y la carga q3 = 20 nC esta en el punto x = 2m, y = 2m. Determinar la fuerza sobre q3.
Ԧ
𝐹12 = 𝐾
𝑞1𝑞2
𝑟
12
2 Ƹ
𝑟12
Ԧ
𝐹13 = 𝐾
𝑞1𝑞3
𝑟13
2 Ƹ
𝑟13= 8.99 × 109 𝑁𝑚2
𝐶2
25×109𝐶 20×109𝐶
2 2 𝑚
2 0.71𝑖 + 0.71j = 3.99 × 10−7
𝑖 + 3.99 × 10−7
𝑗
Ԧ
𝐹23 = 𝐾
𝑞2𝑞3
𝑟23
2 Ƹ
𝑟23= 8.99 × 109 𝑁𝑚2
𝐶2
−15×109𝐶 20×109𝐶
2𝑚 2 𝑗 = −6.74 × 10−7
𝑗

Problema 1.2. En los vértices de un triangulo equilátero de lado 1, se encuentran tres cargas puntuales de signo negativo e igual
magnitud. Que carga debe colocarse en el centroide del triangulo para que el sistema permanezca estático.
𝐹1 = 𝐾
−𝑞 −𝑞
12
= 𝐾𝑞𝑞 𝐹2 = 𝐾
−𝑞 −𝑞
12
= 𝐾𝑞𝑞 𝐹3 = 𝐾
𝑄 −𝑞
3
3
2 = 3𝐾𝑄𝑞
𝐹 = 𝐾
𝑞1𝑞2
𝑟2 𝑐𝑜𝑠30 =
3
2
𝑠𝑒𝑛30 =
1
2
𝑐𝑜𝑠60 =
1
2
𝑠𝑒𝑛60 =
3
2
𝑐𝑜𝑠30 =
Τ
1 2
𝑥
𝑥 =
Τ
1 2
𝑐𝑜𝑠30
=
Τ
1 2
Τ
3 2
=
1
3
𝑥 =
3
3
Por condiciones del problema: 𝐹
𝑥 = 0 𝐹
𝑦 = 0
𝐹𝑥 = 𝐹1 + 𝐹2𝑐𝑜𝑠60 − 𝐹3𝑐𝑜𝑠30 = 0 𝐾𝑞𝑞 + 𝐾𝑞𝑞
1
2
− 3𝐾𝑄𝑞
3
2
= 0
3
2
𝑞 =
3 3
2
𝑄 𝑄 =
1
3
𝑞 𝑄 =
3
3
𝑞 = 0.577𝑞

EL CAMPO ELECTRICO
Las cargas eléctricas generan en torno a ellas,
un campo eléctrico de carácter vectorial que
disminuye con la distancia.
Este campo produce una fuerza eléctrica sobre
una carga que se ubique en algún punto de él.

Fue Michael Faraday (1791-1867) quien introdujo la noción de campo en la Física
para poder explicar la interacción a distancia (interactuar sin tocarse) que ocurre entre
cuerpos, como sucede por ejemplo al aproximar dos imanes, y que Newton no pudo
aclarar. En Física, el concepto de campo señala un sector del espacio en el que a cada
punto de él, se le puede asociar un vector o una cantidad escalar.
Por ejemplo, la Tierra genera un campo gravitatorio en el espacio que la circunda
ejerciendo una fuerza (el peso, que es un vector) sobre los cuerpos situados en sus
cercanías. Del mismo modo, una partícula cargada Q, llamada carga generadora,
produce un campo eléctrico a su alrededor. Este campo se puede detectar si colocamos
una pequeña carga de prueba +qo puesta en el punto del espacio donde se desea
medir. En ese punto, la intensidad del campo eléctrico es igual a la fuerza eléctrica que
experimenta la carga de prueba y tiene la misma dirección que la fuerza, si q0 es positiva;
por tanto:

INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UNA CARGA PUNTUAL
Vamos a utilizar la definición de campo eléctrico y
la ley de Coulomb para obtener el módulo del
campo eléctrico E en el punto P, que se encuentra
a una distancia r de la carga generadora q.
a) Forma vectorial b) Forma escalar

VIDEO: LINEAS DE CAMPO ELECTRICO

LINEAS DE CAMPO ELECTRICO
Es posible representar el campo eléctrico gráficamente a través de las
líneas de campo o de fuerza las que indican la dirección, el sentido y
la intensidad del campo. Estas líneas se dibujan de modo que en cada
punto sean tangentes a la dirección del campo eléctrico en dicho
punto.
Las líneas de campo eléctrico señalan o representan las posibles
trayectorias que describiría una carga de prueba positiva liberada en
distintos puntos en presencia de una carga generadora.

b) 𝑞1 = 8 𝑛𝐶 𝑞2= 12 𝑛𝐶 𝑃2 𝑥 = 3 𝑚
𝐸 = 𝑘
𝑞
𝑟2
𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2
𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 = 𝑘
𝑞1
𝑟11
2 + 𝑘
𝑞2
𝑟21
2 = k
𝑞1
𝑟11
2 +
𝑞2
𝑟21
2 = 8.99 × 109
𝑁𝑚2
𝐶2
8 × 10–9
𝐶
7𝑚 2
+
12 × 10–9
𝐶
3𝑚 2
= 13.45
𝑁
𝐶
𝐸 = 99.89
𝑁
𝐶
𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛: 𝐸𝑗𝑒 𝑥−
Problema 1.3 Una carga positiva 𝑞1 = 8 𝑛𝐶 se encuentra en el origen y una segunda carga positiva 𝑞2 = 12 𝑛𝐶 esta sobre
el eje 𝑥 a una distancia del origen de 4 m. Determinar el campo eléctrico resultante:
a) En el punto P1 en 𝑥 = 7 𝑚 b) En el punto P2 en 𝑥 = 3 𝑚 c) En el punto P3 en 𝑦 = 3 𝑚 d) Hallar el punto 𝑥 donde el
campo eléctrico es cero
a) 𝑞1 = 8 𝑛𝐶 𝑞2= 12 𝑛𝐶 𝑃1 𝑥 = 7 𝑚
𝐸 = 𝐸1 − 𝐸2 = 𝑘
𝑞1
𝑟12
2 − 𝑘
𝑞2
𝑟22
2 = k
𝑞1
𝑟12
2 −
𝑞2
𝑟22
2 = 8.99 × 109
𝑁𝑚2
𝐶2
8 × 10–9𝐶
3𝑚 2 −
12 × 10–9𝐶
1𝑚 2 = −99.89
𝑁
𝐶
𝐸 = 𝐸1 − 𝐸2
𝑃2
𝐸 = 13.45
𝑁
𝐶
𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛: 𝐸𝑗𝑒 𝑥+
El campo eléctrico esta yendo a la izquierda

c) 𝑞1= 8 𝑛𝐶 𝑞2= 12 𝑛𝐶 𝑃3 𝑦 = 3 𝑚
𝜃1
𝑡𝑎𝑛𝜃1 =
3
4
𝜃1= 𝑡𝑎𝑛−1 3
4
= 36.87 𝑟23 = 32 + 42 = 5 𝑚
𝐸1 = 𝑘
𝑞1
𝑟13
2 = 8.99 × 109
𝑁𝑚2
𝐶2
8 × 10–9𝐶
3𝑚 2 = 7.99
𝑁
𝐶
𝐸2 = 𝑘
𝑞2
𝑟23
2 = 8.99 × 109
𝑁𝑚2
𝐶2
12 × 10–9
𝐶
5𝑚 2
= 4.32
𝑁
𝐶
𝑃3
𝐸𝑥 = −𝐸2 𝑐𝑜𝑠𝜃1 = −4.32 cos 36.87 = −3.46
𝑁
𝐶
𝐸𝑦 = 𝐸1 +𝐸2 𝑠𝑒𝑛𝜃1 = 7.99 + 4.32 sin 36.87 = 10.58
𝑁
𝐶
𝜃
𝐸 = 𝐸𝑥
2
+ 𝐸𝑦
2
= 3.462 + 10.582 = 11.13
𝑁
𝐶
𝐸 = 11.13
𝑁
𝐶
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝐸𝑦
𝐸𝑥
= 𝑡𝑎𝑛−1
10.58
3.46
= 71.89 𝜃 = 71.89
d) 𝑥 =? 𝐸 = 0 𝐸1 = 𝐸2
𝑘
𝑞1
𝑥2
= 𝑘
𝑞2
4 − 𝑥 2
8 × 10–9
𝑥2
=
12 × 10–9
4 − 𝑥 2
2
𝑥2
=
3
4 − 𝑥 2
2 4 − 𝑥 2
= 3𝑥2
𝑥2
+ 16𝑥 − 32 = 0
𝑥 =
−16± 162−4 1 −32
2 1
𝑥1 = 1.8 𝑥2 = −16.9 𝑥 = 1.8 𝑚

Problema 1.4 En los vértices de un cuadrado se han colocado cuatro cargas puntuales de magnitud 𝑞, 2𝑞, 3𝑞, 4𝑞. Si la
carga 𝑞 genera un campo cuya intensidad en el centro del cuadrado es 25 2
𝑁
𝐶
, determinar la intensidad de campo
resultante en el centro del cuadrado.
Las cargas equidistan del centro. 𝐸 = 𝑘
𝑞
𝑟2
𝐸 es directamente proporcional a 𝑞. 𝐸1 = 25 2
𝑁
𝐶
𝐸2 = 2𝐸1, 𝐸3 = 3𝐸1, 𝐸4 = 4𝐸1
𝐸1 𝑦 𝐸3, 𝐸2 𝑦 𝐸4 son pares de vectores colineales, por tanto:
𝐸5 = 𝐸3 − 𝐸1 = 3𝐸1 − 𝐸1 = 2𝐸1
𝐸6 = 𝐸4 − 𝐸2 = 4𝐸1 − 2𝐸1 = 2𝐸1
𝐸 = 𝐸5
2
+ 𝐸6
2
= 2𝐸1
2 + 2𝐸1
2 = 8𝐸1
2
= 2 2𝐸1 = 2 2 25 2
𝐸 = 100
𝑁
𝐶
Dirección eje 𝑦+

Problema 1.5 Un electrón se proyecta en el interior de un campo eléctrico uniforme 𝐸 = −2000𝑗 Τ
𝑁 𝐶 con una
velocidad inicial 𝑣0 = 106
𝑖 Τ
𝑚 𝑠 perpendicular al campo. a) Comparar el peso del electrón con la fuerza eléctrica
ejercida sobre el. b) ¿Cuánto se habrá desviado el electrón si ha recorrido 1 cm en la dirección x.
𝐸 = 2000
𝑁
𝐶
𝑣0 = 106
𝑚
𝑠
Electrón: 𝑞 = −1.6 × 10−19
𝐶 𝑚 = 9.11 × 10−31
𝑘𝑔
𝐹𝑒 = 𝑞𝐸 Fuerza eléctrica
𝐹
𝑔 = 𝑚𝑔 Fuerza gravitatoria
a) 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 =
𝐹𝑒
𝐹𝑔
=
𝑞𝐸
𝑚𝑔
=
1.6×10−19𝐶 2000 Τ
𝑁 𝐶
9.11×10−31𝑘𝑔 9.81 Τ
𝑚 𝑠2 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 3.58 × 1013
35 800 000 000 000
En la mayor parte de las situaciones, la fuerza eléctrica es muy grande en comparación con la fuerza
gravitatoria que es del todo despreciable.
b) Movimiento parabolico 𝑥 = 1𝑐𝑚 = 0.01𝑚
Eje x: MRU 𝑣0 =
𝑥
𝑡
𝑡 =
𝑥
𝑣0
Eje y: MRUV 𝑦 = 𝑣0𝑦𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2 𝑣0𝑦 = 0 𝑎 =
𝑞𝐸
𝑚
𝑦 =
1
2
𝑎𝑡2
=
1
2
𝑞𝐸
𝑚
𝑥
𝑣0
2
=
1
2
1.6 × 10−19
𝐶 2000 Τ
𝑁 𝐶 0.01𝑚 2
9.11 × 10−31𝑘𝑔 106 Τ
𝑚 𝑠 2 = 0.0176𝑚
𝑦 = 1.76 𝑐𝑚

Problema 1.6 Un péndulo de longitud 𝐿, masa 𝑚 y carga eléctrica 𝑞 se mueve en un plano vertical con velocidad angular 𝜔.
Sabiendo que el campo eléctrico 𝐸 es homogénea. Calcular la diferencia entre la tensión máxima y la tensión mínima en el
hilo de seda. Considere el campo gravitatorio 𝑔.
Dinámica circular: ∑𝐹 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝑚𝑎𝑐 = 𝑚𝜔2𝑟
Puntos críticos: A y B
𝐹𝑒 = 𝑞𝐸 𝐹
𝑔 = 𝑚𝑔
𝐷𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑛 "𝐴“
𝑇𝑚𝑎𝑥 − 𝐹𝑒 − 𝐹
𝑔 = 𝑚𝜔2
𝑟
𝑇𝑚𝑎𝑥 − 𝑞𝐸 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝜔2
𝐿 1
𝐷𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑛 "𝐵“
𝑇𝑚𝑖𝑛 + 𝐹
𝑒 + 𝐹
𝑔 = 𝑚𝜔2
𝑟
𝑇𝑚𝑖𝑛 + 𝑞𝐸 + 𝑚𝑔 = 𝑚𝜔2
𝐿 2
𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 1 y 2
𝑇𝑚𝑎𝑥 − 𝑞𝐸 − 𝑚𝑔 = 𝑇𝑚𝑖𝑛 + 𝑞𝐸 + 𝑚𝑔
𝑇𝑚𝑎𝑥 − 𝑇𝑚𝑖𝑛 = 2𝑞𝐸 + 2𝑚𝑔 𝑇𝑚𝑎𝑥 − 𝑇𝑚𝑖𝑛 = 2 𝑞𝐸 + 𝑚𝑔

DIPOLOS ELECTRICOS
Un sistema de dos cargas iguales y opuestas q separadas por una
pequeña distancia L, se denomina dipolo eléctrico
Momento dipolar (Momento dipolar eléctrico)
El momento dipolar se da en las sustancias moleculares; es
decir, aquellas sustancias que presentan interacciones
covalentes, y representa la distribución de la densidad
electrónica en un enlace.
Se define como el producto de la carga por la distancia entre
ellas y la dirección definida es de la carga negativa hacia la
carga positiva.
Una molécula de H20 posee un momento
dipolar eléctrico (𝑝 = 6.13 × 10−30
𝐶𝑚)
permanente dirigido desde el centro de la
carga negativa al centro de la carga positiva.
𝐶𝑚

DIPOLOS ELECTRICOS EN CAMPOS ELECTRICOS
Fuerza
Las fuerzas Ԧ
𝐹1 𝑦 Ԧ
𝐹2 sobre las dos cargas tiene una
magnitud qE , pero sus direcciones son opuestas y
su suma es igual a cero. La fuerza neta sobre un
dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo
uniforme es cero.
Ԧ
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 0
Torsión (Momento del par)
Las dos fuerzas no actúan a lo largo de la misma línea, por lo que sus torques (torcas) no suman cero.
El modulo del momento de las fuerzas ejercidas sobre la carga es:
𝜏 = 𝐹1𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜏 = 𝑞𝐸𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑝𝐸 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑁𝑚
El Momento del par puede escribirse como: Ԧ
𝜏 = Ԧ
𝑝 × 𝐸
El momento esta dirigido perpendicularmente al papel, hacia adentro.
Regla de la mano derecha

Energía potencial
Cuando el dipolo gira un ángulo 𝑑𝜃, el campo eléctrico
realiza un trabajo.
𝑑𝑊 = −𝜏𝑑𝜃 = −𝑝𝐸 sen 𝜃𝑑𝜃
Igualando este trabajo con la disminución de energía potencial:
𝑑𝑈 = −𝑑𝑊 = 𝑝𝐸 sen 𝜃𝑑𝜃 integrando 𝑈 = −𝑝𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑈0
𝑈0 = 0 𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝜃 = 90𝑜
𝑈𝑜 = −𝑝𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃 = − Ԧ
𝑝 ∙ E Ԧ 𝐽

Problema 1.7 La figura muestra un dipolo eléctrico en un campo eléctrico uniforme E= 5×105 Τ
𝑁
𝐶. Las cargas son
±1.6 ×10−19 𝐶, ambas se encuentran en el plano y están separadas por una distancia de 0.125 nm. Encontrar:
a) La fuerza neta ejercida por el campo sobre el dipolo b) La magnitud y la dirección del momento dipolar eléctrico
c) La magnitud y la dirección del par de torsión d) La energía potencial del sistema en la posición que se muestra.
a) Como el campo es uniforme, las fuerzas sobre las dos cargas son iguales
y opuestas, la fuerza total es igual a cero.
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 0
b) 𝑝 = 𝑞𝑑 = 1.6 × 10−19𝐶 0.125 × 10−9𝑚
𝑝 = 2 × 10−29
𝐶𝑚 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛: 145𝑜
𝑐) 𝜏 = 𝑝𝐸 𝑠𝑒𝑛 𝜃 Ԧ
𝜏 = Ԧ
𝑝 × 𝐸
𝜏 = 𝑝𝐸 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 2 × 10−29 𝐶𝑚 5×105 ൗ
𝑁
𝐶 𝑠𝑒𝑛 145
𝜏 = 5.7 × 10−24 𝐽 Dirección: Hacia afuera de la pagina (Regla de la mano derecha)
𝑑) 𝑈𝑜 = −𝑝𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃 = − Ԧ
𝑝 ∙ 𝐸
𝑈𝑜= −𝑝𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃 = − 2 × 10−29 𝐶𝑚 5×105 ൗ
𝑁
𝐶 𝑐𝑜𝑠 145 𝑈𝑜 = 8.2 × 10−24
𝐽
Ԧ
𝐹𝑒
Ԧ
𝐹𝑒

LEY DE GAUSS
DISTRIBUCIONES DE CARGA
Con frecuencia se presentan situaciones en el que un gran numero de cargas están tan próximas que la carga total
puede considerarse distribuida continuamente en el espacio.
Carga volumétrica
Cuando una carga esta
distribuida a través de un
volumen dado definimos
densidad de carga volumétrica.
𝜌 =
𝑄
𝑉
𝐶
𝑚3
Carga laminar (superficial)
distribuida sobre una
superficie o una lamina definimos
densidad de carga superficial.
𝜎 =
𝑄
𝐴
𝐶
𝑚2
Carga lineal
distribuida sobre una línea
definimos densidad de
carga lineal.
𝜆 =
𝑄
𝐿
𝐶
𝑚

Se llama flujo eléctrico la magnitud que esta relacionada con el numero de líneas de campo que
atraviesan una superficie.
Flujo eléctrico
a) Superficie de frente al campo
eléctrico 𝐸 𝑦 Ԧ
𝐴 el ángulo entre
𝐸 𝑦 Ԧ
𝐴 es 𝜃 = 0
Flujo eléctrico:
𝜙 = 𝐸 ∙ Ԧ
𝐴 = 𝐸𝐴
𝑁𝑚2
𝐶
b) Superficie inclinada respecto
a la orientación de cara en un
ángulo 𝜃 el ángulo entre 𝐸 𝑦 Ԧ
𝐴 es 𝜃
Flujo eléctrico:
𝜙 = 𝐸 ∙ ො
𝑛𝐴 = 𝐸𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐸𝑛𝐴
𝑁𝑚2
𝐶
c) La superficie presenta su borde
al campo eléctrico 𝐸 𝑦 Ԧ
𝐴 perpendiculares
el ángulo entre 𝐸 𝑦 Ԧ
𝐴 es 𝜃 = 90
Flujo eléctrico:
𝜙 = 𝐸 ∙ Ԧ
𝐴 = 𝐸𝐴𝑐𝑜𝑠 90 = 0
𝑁𝑚2
𝐶
𝜙 = 𝐸 ∙ Ԧ
𝐴 = 𝐸𝐴
𝑁𝑚2
𝐶

¿Qué sucede si el campo eléctrico no es
uniforme, sino que varia de un punto a otro en el
área A? o ¿si A es parte de una superficie curva?
Para estos casos, se calcula el flujo eléctrico a
través de cada elemento y se integran los
resultados para obtener el flujo total:
0
ˆ ˆ
lim
i
i i i n
A
i S S S
E n A E ndA E dA E dA

 →
=   =  =  =
   
𝐸𝑛 = 𝐸 ∙ ො
𝑛 Componente de 𝐸 perpendicular, o normal a la superficie.

Johann Carl Friedrich Gauss
(1777 - 1855)
LEY DE GAUSS
La Ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total a través de
cualquier superficie cerrada (una superficie que encierra un volumen
definido) es proporcional a la carga eléctrica total (neta) dentro de la
superficie.
Enunciado cuantitativo de la LEY DE GAUSS
La figura muestra una superficie esférica de radio R con su centro
en la carga puntual Q.
El flujo neto de 𝐸 a través de esta superficie esférica es:
neto n n
S S
E dA E dA
 = =
 
( )
2
0
2
0
1
4 4
4
neto
kQ Q
R kQ
R k
  

= = =  =

En general: El flujo neto a través de cualquier superficie es:
𝜙𝑛𝑒𝑡𝑜 = ර 𝐸 ො
𝑛𝑑𝐴 = ර 𝐸𝑛𝑑𝐴 =
𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝜖0

APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS
La Ley de Gauss es valida para cualquier distribución de cargas y cualquier superficie
cerrada, se puede usar de 2 maneras:
1. Si se conoce la distribución de la carga y si esta tiene simetría suficiente que permita
evaluar la integral en la Ley de Gauss. Se puede obtener el campo.
2. Si se conoce el campo, es posible usar la Ley de Gauss para encontrar la distribución de
carga, como las cargas en superficies conductoras.

Campo eléctrico en el interior/exterior de una corteza esférica de carga
𝜙𝑛𝑒𝑡𝑜 = ර 𝐸𝑟𝑑𝐴 =
𝑄𝑒𝑛𝑐.
𝜖0
𝐸𝑟 ර 𝑑𝐴 =
𝑄𝑒𝑛𝑐.
𝜖0
𝐸𝑟 4𝜋𝑟2 =
𝑄
𝜖0
Exterior 𝑟 > 𝑅
𝐸𝑟 =
1
4𝜋𝜖0
𝑄
𝑟2
Interior 𝑟 < 𝑅
𝑄𝑒𝑛𝑐.
𝜖0
𝑄𝑒𝑛𝑐. = 0
𝑄𝑒𝑛𝑐.
𝜖0
𝐸𝑟 = 0
ර 𝑑𝐴 = 4𝜋𝑟2 𝑄𝑒𝑛𝑐. = 𝑄

Campo eléctrico en el interior/exterior de una esfera solida uniformemente cargada
Q distribuida por todo el volumen de la esfera con densidad de carga:
𝜌 =
𝑄
𝑉
𝑉 =
4
3
𝜋𝑅3
Exterior 𝑟 > 𝑅
𝑄𝑒𝑛𝑐.
𝜖0
𝑄𝑒𝑛𝑐.
𝜖0
𝐸𝑟 =
1
4𝜋𝜖0
𝑄
𝑟2
Interior 𝑟 < 𝑅
𝑄𝑒𝑛𝑐.
𝜖0
𝑄𝑒𝑛𝑐. = 𝜌𝑉
𝑒𝑛𝑐. =
𝑄
𝑉
4
3
𝜋𝑟3 =
𝑄
4
3
𝜋𝑅3
4
3
𝜋𝑟3
𝐸𝑟 4𝜋𝑟2
=
𝑄
𝜖0
ර 𝑑𝐴 = 4𝜋𝑟2 𝑄𝑒𝑛𝑐. = 𝑄
ර 𝑑𝐴 = 4𝜋𝑟2
𝐸𝑟 4𝜋𝑟2
=
𝑄
𝑟3
𝑅3
𝜖0
𝐸𝑟 =
1
4𝜋𝜖0
𝑄𝑟
𝑅3
𝑄𝑒𝑛𝑐. = 𝑄
𝑟3
𝑅3

Problema 1.8 El cubo de la figura tiene lados con longitud L= 10 cm. El campo eléctrico es uniforme, tiene magnitud
𝐸 = 4 × 105 Τ
𝑁
𝐶 y es paralelo al plano xy con un ángulo de 36.9𝑜 medido a partir del eje +x hacia el eje +y . a) ¿Cuál es el flujo
eléctrico a través de cada una de las seis caras del cubo b) ¿Cuál es el flujo eléctrico total a través de todas las caras del cubo?
𝜙 = 𝐸 ∙ ො
𝑛𝐴 = 𝐸𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐸𝑛𝐴
𝑁𝑚2
𝐶
a) ∅1 = 𝐸𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃1 = 4 × 105
ൗ
𝑁
𝐶 0.1𝑚 × 0.1𝑚 𝑐𝑜𝑠 90 + 36.9 = −24.02 ൗ
𝑁𝑚2
𝐶
∅2 = 𝐸𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃2 = 4 × 105 ൗ
𝑁
𝐶 0.1𝑚 × 0.1𝑚 𝑐𝑜𝑠 90 = 0 ൗ
𝑁𝑚2
𝐶
∅3 = 𝐸𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃3 = 4 × 105 ൗ
𝑁
𝐶 0.1𝑚 × 0.1𝑚 𝑐𝑜𝑠 90 − 36.9 = 24.02 ൗ
𝑁𝑚2
𝐶
∅4 = 𝐸𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃4 = 4 × 105
ൗ
𝑁
𝐶 0.1𝑚 × 0.1𝑚 𝑐𝑜𝑠 90 = 0 ൗ
𝑁𝑚2
𝐶
∅5 = 𝐸𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃5 = 4 × 105
ൗ
𝑁
𝐶 0.1𝑚 × 0.1𝑚 𝑐𝑜𝑠 180 − 36.9 = −31.99 ൗ
𝑁𝑚2
𝐶
∅6 = 𝐸𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃6 = 4 × 105
ൗ
𝑁
𝐶 0.1𝑚 × 0.1𝑚 𝑐𝑜𝑠 36.9 = 31.99 ൗ
𝑁𝑚2
𝐶
b)
𝜙𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜙1 + 𝜙2 + 𝜙3 + 𝜙4 + 𝜙5 + 𝜙6 = 0 El flujo neto es cero de un campo eléctrico uniforme a través
de una superficie cerrada que no contiene carga eléctrica.
𝑬

Problema 1.9 Una carga puntual 𝑞1 = 4𝑛𝐶 esta situada sobre el eje de las 𝑥 en 𝑥 = 2𝑚 y una segunda carga puntual 𝑞2 = −6𝑛𝐶
esta sobre el eje de las 𝑦 en 𝑦 = 1𝑚 ¿Cuál es el flujo eléctrico total debido a estas dos cargas puntuales a través de una superficie
esférica centrada en el origen y con radio de a) 0.5 m b) 1.5 m c) 2.5 m?
a) Esta superficie no encierra ninguna carga
𝜙 =
𝑄𝑒𝑛𝑐.
∈0
𝜙 = 0
𝑄𝑒𝑛𝑐. =0
b)
𝜙 =
𝑄𝑒𝑛𝑐.
∈0
𝑄𝑒𝑛𝑐. = 𝑞2 = −6 × 10−9
C
𝜙 =
𝑄𝑒𝑛𝑐.
∈0
=
−6 × 10−9 C
8.85 × 10−12 ൗ
𝐶2
𝑁𝑚2
𝜙 = −677.97
𝑁𝑚2
𝐶
c) 𝜙 =
𝑄𝑒𝑛𝑐.
∈0
𝑄𝑒𝑛𝑐. = 𝑞1 + 𝑞2 = 4 × 10−9
𝐶 − 6 × 10−9
𝐶 = −2 × 10−9
𝐶
𝜙 =
𝑄𝑒𝑛𝑐.
∈0
=
−2 × 10−9 C
8.85 × 10−12 ൗ
𝐶2
𝑁𝑚2
𝜙 = −225.99
𝑁𝑚2
𝐶
𝜖0

Problema 1.10 Una esfera no conductora de radio 𝑎 esta colocada en el centro de una esfera conductora hueca cuyo radio
interno es 𝑏 y cuyo radio externo es 𝑐 , tal como se muestra en la figura. En la esfera interna esta distribuida uniformemente
una carga +Q (con una densidad de carga 𝜌 𝑒𝑛 ൗ
𝐶
𝑚3). La carga de la esfera externa es −𝑄. Determinar 𝐸𝑟:
a) Dentro de la esfera interna 𝑟 < 𝑎 b) Entre la esfera interna y la externa 𝑎 < 𝑟 < 𝑏 c) Entre las superficies de la esfera
hueca 𝑏 < 𝑟 < 𝑐 d) Fuera de la esfera externa) 𝑟 > 𝑐 .
a) 𝑟 < 𝑎
ර 𝐸𝑟𝑑𝐴 =
𝑄𝑒𝑛𝑐.
𝜖0
𝑄𝑒𝑛𝑐.
𝜖0
𝑄𝑒𝑛𝑐. = 𝜌𝑉
𝑒𝑛𝑐. =
𝑄
𝑉
4
3
𝜋𝑟3
𝑄𝑒𝑛𝑐. =
𝑄
4
3
𝜋𝑎3
4
3
𝜋𝑟3
= 𝑄
𝑟3
𝑎3
1
2
3
𝐸𝑟 4𝜋𝑟2 =
𝑄
𝑟3
𝑎3
𝜖0
𝐸𝑟 =
1
4𝜋𝜖0
𝑄𝑟
𝑎3
b) 𝑎 < 𝑟 < 𝑏
𝑄𝑒𝑛𝑐.
𝜖0
𝑄𝑒𝑛𝑐. = 𝑄
𝐸𝑟 4𝜋𝑟2
=
𝑄
𝜖0
𝐸𝑟 =
1
4𝜋𝜖0
𝑄
𝑟2
c) 𝑏 < 𝑟 < 𝑐
𝑄𝑒𝑛𝑐.
𝜖0
𝑄𝑒𝑛𝑐. = +𝑄 − 𝑄 = 0 𝐸𝑟 = 0
d) 𝑟 > 𝑐 4
𝑄𝑒𝑛𝑐.
𝜖0
𝑄𝑒𝑛𝑐. = +𝑄 − 𝑄 = 0 𝐸𝑟 = 0
𝑄𝑒𝑛𝑐.
𝜖0
𝜖0
𝜌 =
𝑄
𝑉

Problema 1.11 Los radios de dos cilindros concéntricos cargados son 3 y 6 cm. La carga por unidad de longitud del
cilindro interno es de 5 × 10−6 Τ
𝐶
𝑚 y la del cilindro externo es de −7 × 10−6 Τ
𝐶
𝑚 . Encontrar el campo eléctrico en:
𝑎) 𝑟 = 4 𝑐𝑚 𝑏) 𝑟 = 8 𝑐𝑚
𝜆𝑎 = 5 × 10−6 ൗ
𝐶
𝑚
𝜆𝑏= −7 × 10−6 ൗ
𝐶
𝑚
𝑎 = 3 𝑐𝑚 𝑏 = 6 𝑐𝑚
a) Aplicando la ley de Gauss para ( a < r < b )
𝑄𝑒𝑛𝑐.
𝜖0
𝑄𝑒𝑛𝑐.
𝜖0
ර 𝑑𝐴 = 2𝜋𝑟 𝑙 𝑄𝑒𝑛𝑐. = 𝜆𝑎 𝑙 𝐸𝑟2𝜋𝑟 𝑙 =
𝜆𝑎 𝑙
𝜖0
𝐸𝑟 =
𝜆𝑎
2𝜋𝑟𝜖0
Para r = 4 cm
𝐸𝑟 =
5 × 10−6 ൗ
𝐶
𝑚
2𝜋 0.04𝑚 8.85 × 10−12 ൗ
𝐶2
𝑁𝑚2
𝐸𝑟 = 2.25 × 106
ൗ
𝑁
𝐶
b) Aplicando la ley de Gauss para ( r > b )
𝑄𝑒𝑛𝑐.
𝜖0
ර 𝑑𝐴 = 2𝜋𝑟 𝑙 𝑄𝑒𝑛𝑐. = 𝜆𝑎 + 𝜆𝑏 𝑙 𝐸𝑟2𝜋𝑟 𝑙 =
𝜆𝑎 + 𝜆𝑏 𝑙
𝜖0
𝐸𝑟 =
𝜆𝑎 + 𝜆𝑏
2𝜋𝑟𝜖0
Para r = 8 cm 𝐸𝑟 =
5 × 10−6 ൗ
𝐶
𝑚 − 7 × 10−6 ൗ
𝐶
𝑚
2𝜋 0.08𝑚 8.85 × 10−12 ൗ
𝐶2
𝑁𝑚2
𝐸𝑟 = 4.5 × 105
ൗ
𝑁
𝐶
𝜖0
𝜆 =
𝑄
𝐿

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