este trabajo es de logica anillos

1. Ejemplo 1)
En el conjunto P de los números pares se definen dos operaciones, una de ellas es la adición
ordinaria y a otra está definida en la forma:
∀x,y∈P÷x∗y=x·y2
Demostrar que (P, +, *) tiene estructura de anillo.
Solución
La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto P de Z sea subanillo de (Z, +, *) es
que sea subgrupo para la suma y estable para el producto. Sabemos que (Z, +) es un grupo
aveliano, por lo tanto, si (P, +) cumple:
∀x,y∈P÷x+(−y)∈P
Será subgrupo aveliano de (Z, +).
Resolviendo tenemos:
x∈P⇒x=2n(n∈Z)y∈P⇒y=2m(m∈Z)x+(−y)=2n+(−2m)=2(n−m)∈P
Y, por lo tanto, (P, +) tiene estructura de grupo aveliano.
La segunda de las leyes cumple las siguientes propiedades.
Ley interna en P:
x∈P⇒x=2n(n∈Z)y∈P⇒y=2m(m∈Z)x∗y=(2n)∗(2m)=2m·2n2=2mn∈P
Propiedad asociativa:
(x∗y)∗z=x·y2·z2=x·y·z4;x∗(y∗z)=x∗y·z2=x·y·z22=x·y·z4
Propiedad conmutativa:
x∗y=x·y2=y·x2=y∗x
Distributividad respecto de la primera ley:
x∗(y+z)=x·(y+z)2=x·y+x·z2=x·y2+x·z2=(x∗y)+(x∗z)
Según todo lo visto, podemos decir que (P, +, *) tiene estructura de anillo conmutativo.