Estructuras Algebraicas - Mat.Discreta

1. Estructuras Algebraicas
LUIS ROMERO 17-0804
INES CUEVAS 15-0790

2. Definicion de Grupo
Si G es un conjunto dotado de una ley de composicion interna (operacion) *, se dice que (G, *)
es un grupo si se cumplen los siguientes axiomas:
Axioma 1. (Vx)(Vy) : (x * y) E G. Clausurativa.
Axioma 2. (Vx)(Vy)(Vz) : (x*y) * z = x * (y*z). Asociativa.
Axioma 3. (3e)(e E G)(Vx) : e*x = x*e = x. Existencia del element neutro.
Axioma 4. (Vx)(3x!) : x*x’ = x’x = e. Existencia del elemento simetrico.
Se dice que G es un grupo conmutativo o abeliano si la ley * es conmutativa. Se dice que el
grupo es finito si el grupo tiene un numero finite de elementos.

3. Ejemplo 2
Ejemplo 1

5. Subgrupos
Es la parte H de un grupo G forma ella misma un grupo, se dice entonces que H es un sub grupo
de G.
Para demostrar un subcojunto S de un grupo G es un subgrupo, es necesario verificar que:
1. S es estable con relacion a la operacion del grupo.
2. E pertenece al subconjunto de S
3. El inverso de todo element de S esta en S

6. Ejemplos subgrupos
Ejemplo 1:

7. Ejemplo 2:

8. Definicion de Anillo
Sea un grupo aditivo abeliano A; si además A se dota de una segunda ley, llamada
multiplicación, decimos que A es un ANILLO si se verifican los siguientes axiomas:
Grupo abeliano aditivo:
Sean x, y, z ∈ A
Axioma 1: (∀x)(∀y): (x + y) ∈ A. Clausurativa.
Axioma 2: (∀x)(∀y)(∀z): (x+y)+z = x+(y + z). Asociativa.
Axioma 3: ∃(0) ∈ A): 0 + x = x + 0 = x. Existencia del elemento neutro o elemento de identidad.
Axioma 4: ∀x, ∃(-x): (-x)+ x = x+ (-x)= 0.
Un anillo A se llama anillo con unidad si la multiplicación tiene unidad. El anillo se llama
conmutativo si la multiplicación es conmutativa.

9. Ejemplo 1
Ejemplo 2

10. Para la segunda ley interna
• Axioma 6: (∀x)(∀y): (x . y) ∈ A. Clausurativa
• Axioma 7: (∀x)(∀y)(∀z): (x.y).z = x.(y.z) Asociativa
• Axioma 8: (∀x)(∀y)(∀z): x.(y+z) = x.y + x.z) Distributiva a la Izquierda
• Axioma 9: (∀x)(∀y)(∀z): (y+z).x = y.x + z.x Distributiva a la Derecha

12. Definicion de Cuerpo
Un conjunto K, dotado de las leyes de composición interna adición (+) y multiplicación (.), está dotado de una
estructura de CUERPO si:
1. (K, +, .) es un anillo unitario..
2. Todo elemento de K*= K- {0} es invertible para la ley (.)
Como K* es un conjunto U de los elementos invertibles, las condiciones 1o. y 2o. son equivalentes al hecho de
que: (K, +, .) es un anillo unitario, y (K, +, .) es un grupo multiplicativo.
Esto es, un cuerpo es un anillo con unidad en el cual todo elemento distinto de 0, admite un simétrico para la
segunda ley.
Un cuerpo es la tripleta (K, +, .) que verifica las condiciones 1º. Y 2º. Si además, la ley (.) es conmutativa, el
cuerpo (K, +, .) se dice conmutativo