Actividad 6A.

1. Actividad 6A.
Grupo:
Un conjunto G, distinto del vacío, es un grupo si tiene definida una ley de composición interna ∗
que cumple las propiedades:
- Asociativa.
- Existe elemento neutro e. (a*e= e*a= a, ∀a ∈ G ).
- Todo elemento tiene simétrico.
Además, si ∗ es conmutativa, llamaremos a (G,∗) grupo abeliano
A modo de ejemplo, notemos que (R,.) no es un grupo pues 0 no posee inverso. Sin embargo,
(R{0},.) sí es un grupo.
Si (G,∗)es un grupo, entonces cumple las siguientes propiedades (las cuales ya vimos):
1. El inverso de cada elemento es único
2. (∀ x ∈ G) (x−1
)−1
=x
3. (∀ x ,y ∈ G) ( x ∗ y)−1
= y−1
∗ x−1

2. 4. Todo elemento x ∈ G es cancelable.
Ejemplo:
El conjunto de números enteros Z, que está formado por números enteros sin decimal,y que
tienen signo positivo o negativo, junto con el 0.
Grupo finito:
Es un grupo cuyo conjunto fundamental G, tiene un número de elementos finitos. Ejemplo:
número de palabras del un libro en particular. Es un conjunto de números que tiene principio y
fin.
Subgrupo:
Sea (G,∗) un grupo, y sea H ⊆ G, H ≠ ∅ . Diremos que H es subgrupo de G si (H, ∗) también es
grupo.
Si consideramos el grupo (R, +), entonces un posible subgrupo es (Q,+). También tenemos a
({−1,1},.) como subgrupo de (R{0},.)

3. Todo grupo (G,∗) tiene dos subgrupos a los cuales llamaremos triviales: (G,∗) y ({e},∗)
Ejemplo: el menor de los subgrupos del grupo <G,*> es <{e}> Donde e es el neutro de (G,∗)
Homomorfismos
Sean (A,∗) y (B,△) dos estructuras algebraicas, y sea f: A→B una función. Sabemos que si x,y
∈ A entonces f(x), f(y) ∈ B. Como sobre A tenemos definida una operación ∗, podemos
hacernos la pregunta: ¿cuánto vale f(x∗y)?
Los homomorfismos serán las funciones de A en B tales que f(x ∗ y) se construye operando f(x) y f(y),
es decir tales que f(x∗y) = f(x) △ f(y) (recordemos que como f(x), f(y) ∈ B, entonces la operación
que podemos aplicarles no es ∗, sino △ ).

4. Una función f: A →B es un homomorfismo, si
(∀ x,y ∈ A) f(x∗y) = f(x)△f(y)
Ejemplo: Sea h : (IR, +) −→ (IR − {0}, ·), se define h(x) = 3x .
Vemos que h(x + y) = 3x+y , = 3x3 y , = h(x)h(y).
Así h es un homomorfismo. .
Fuentes:
_Wikipedia
_ Scribd