Math's matemáticas derivadas de orden superior!

1. Derivadas de Orden Superior
1. Notaci´n: fxx = (fx )x
o
fxy = (fx )y
fxy se debe derivar con respespecto a x y luego con respecto a y
( )
∂ 2z ∂ ∂z
Usando la notaci´n ∂, tenemos
o significa y
( ) ∂x2 ∂x ∂x
∂ 2z ∂ ∂z
significa , a esta derivada, se le llama derivada mixta
∂x∂y ∂x ∂y
2. Ejemplos:
a) Calcular fx (x, y), fxy (x, y), fyx (x, y) si f (x, y) = 6xy 2
√ ∂z ∂ 2 z
x2 +y 2
b) Si z = e ; calcular ,
∂y ∂y 2
∂2z
c) si z 2 = xy
∂x2
1

2. Regla de la cadena
Si z = f (x, y) donde x e y son funciones de r y s dadas por x = x(r, s) y y = (r, s). Si f, x, y
tienen derivadas parciales continuas, entonces z es una funci´n de r y s y
o
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
= + y
∂r ∂x ∂r ∂y ∂r
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
= +
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
1. Para un fabricante de c´maras y pel´
a ıculas, el costo total c de producir qC c´maras y qF
a
rollos de pel´
ıcula est´ dado por c = 30qc + 0,015qC qF + 900
a
Las funciones de demandas para las c´maras y los rollos fotogr´ficos est´n dados por
a a a
9000
qC = √ y qF = 2000 − pC − 400pF
pC pF
donde pC es el precio por c´mara y pF el precio por rollo de pel´
a ıcula. Encontrar la tasa
de cambio del costo total con respecto al precio de la c´mara cuando pC = 50 y pF = 2
a
2. Si w = f (x, y, z) = 3x2 y+xyz−4y 2 z 3 , donde x = 2r−3s, y = 6r+s, z = r−s. Calcular
∂w ∂w
y
∂r ∂s
2

3. M´ximos y m´
a ınimos para funciones de dos variables
1. Def: Se dice que una func`on z = f (x, y) tiene un m´ximo relativo en el punto (a, b), si
ı´ a
para todos los puntos (x, y) en el plano suficientemente cercanos a (a, b) se cumple que
f (a, b) ≥ f (x, y)
2. Regla 1: Si z = f (x, y) tiene un m´ximo o un m´
a ınimo relativo en (a, b) y si fx y fy est´n
a
definidas en todo punto cercano a (a,b), se debe cumplir que fx (a, b) = 0 y fy (a, b) = 0.
Al punto (a,b) se le llama punto cr´ ıtico de f
3. Si f (x, y) = 2x2 + y 2 − 2xy + 5x − 3y + 1 encontrar los puntos c‘r´
ıticos de f .
ıticos de f (x, y) = x2 − 4x + 2y 2 + 4y + 7
4. Encontrar los puntos cr´
5. Regla 2: Suponga que z = f (x, y) tiene derivadas parciales continuas fxx , fyy yf xy en
todo punto (x,y) cercano al punto cr´
ıtico (a,b) y sea D la funci´n
o
D(x, y) = fxx (x, y)fyy (x, y) − (fxy (x, y))2
Entonces
a) Si D(a, b) > 0 y fxx (a, b) < 0 entonces f tiene un m´ximo relativo en (a,b)
a
b) Si D(a, b) > 0 y fxx (a, b) > 00 entonces f tiene un m´
ınimo relativo en (a,b)
c) Si D(a, b) < 0 entonces f tiene un punto silla en (a,b)
d ) Si D(a,b)=0, no se tiene informaci´n
o
6. Examinar f (x, y) = y 2 − x2 en relaci´n a sus extremos relativos
o
3