Este documento presenta los fundamentos de las funciones trigonométricas. Define las funciones seno y coseno mediante la relación entre el arco y las coordenadas del punto asociado en una circunferencia unitaria. Luego introduce las funciones tangente, secante, cosecante y cotangente y establece sus relaciones con seno y coseno. Finalmente presenta algunas fórmulas fundamentales como la adición de ángulos y la periodicidad de la función tangente.

1. TRIGONOMETRÍA
Fundamentos de la Matemática − 2012
Primera aproximación a las definiciones de las funciones trigonométricas1
Dado un punto P de la circunferencia de coordenadas 0 0( , ),x y queda determinado un
arco AP, cuya medida será un número real [ )∈ 0,2 ,α π y recíprocamente, dado
[ )∈ 0,2 ,α π queda determinado un punto P perteneciente a la circunferencia.
Podemos establecer entonces una función de dominio [ )π0,2 ,en la que a cada real α
le corresponda la abscisa de P y otra en la que a cada real α le corresponda la
ordenada de P; a la primera se la denomina función coseno y a la segunda función
seno.
Actividad
1) Utilizando esta definición, hallar seno y coseno de π π π π π3, , , y .
6 4 2 2
2) ¿Cómo podríamos extender esta definición para poder hallar seno o coseno de
π π3 ,180 y 8?
Teorema
,α∀ ∈ ℝ existen y son únicos [ )β π α β π∈ ∈ = +0,2 y ; 2 .k kℤ
Dem
Existencia παβπβα kk 22 −=⇔+=
1
Para la elaboración de este material se utilizó:
Siberio, D. Ficha Nº 1. Álgebra I. Montevideo: Centro de Impresiones y Publicaciones del CEIPA.
A (1, 0)
0 0( , )P x y
Consideremos una circunferencia OV centrada en
el origen de un sistema de ejes cartesianos
ortogonales y de radio 1, denominada usualmente
circunferencia trigonométrica

2. Trigonometría
2
Ahora:
[ ) 1
2
)1(22220202,0 +<≤⇔+<≤⇔<−≤⇔<≤⇔∈ kkkkk
π
α
παπππαπβπβ
Basta entonces considerar 





=
π
α
2
k (parte entera de π
α
2 ) y tendremos que:
α
π
≤ < +1.
2
k k
Volviendo atrás en el razonamiento anterior llegamos a que: ππα 220 <−≤ k
En resumen: [ )
α
α β α π π α β π
π
 
∀ ∈ℜ ∃ = ∈ ∃ = − ∈ = + 
 
, y 2 0,2 tal que 2 .
2
k k kℤ
Unicidad
Supongamos que:
[ )
[ )
α β π β π
β π β π π β β
α β π β π
 = + ∈ ∈ 
′ ′ ′ ′⇒ + = + ⇒ − = − 
′ ′ ′ ′= + ∈ ∈  
2 ; 0,2
2 2 ( )2
2 ; 0,2
k y k
k k k k
k y k
ℤ
ℤ
β π
π β β π π π π
β π π β
′≤ < 
′ ′⇒ − < − < ⇒ − < − < ⇒
≤ < ⇒ − < − ≤ 
Ahora: 0 2
2 2 2 ( )2 2
0 2 2 0
k k
β β′ ′ ′ ′ ′⇒ − < − < − ∈ ⇒ − = ⇒ = ⇒ =1 1 0k k como k k k k k kℤ
Nota
Utilizando el teorema anterior podemos definir la función
[ )ϕ π ϕ α βℜ → =: 0,2 ; ( ) . Por lo dicho anteriormente también existe una función
[ )π β β→ = ∈ =: 0,2 ; ( ) , , ( ) .O Of f P con P tal que lamedidadel arco APV V
Componiendo ϕ y f tenemos una función mediante la cual a cada número real α le
corresponde un punto P de :OV
f
P
ϕ
α β→ →
Si ( )f Pϕ α = (si la imagen según la mencionada función compuesta del real α es
el punto P) diremos que P es el asociado de .α
Observemos que ϕ ϕy f no son inyectivas.
Es más: ϕ α π ϕ α α ϕ α π ϕ α α+ = ∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ + = ∀ ∈ ∀ ∈ℤ ℝ ℤ ℝ( 2 ) ( ), , ( 2 ) ( ), , .h h f h f h
Así .......................,1034,.............,2,4,2, παπαπαπαα −−++ tienen el mismo punto
asociado. Realice una interpretación geométrica.

3. Trigonometría
3
Definición
Consideramos α ∈ℜ ∈0 0y ( , ) OP x y V su asociado.
Llamamos coseno de α (anotamos cosα ) a la abscisa del punto P; en otras
palabras: α = 0cos x . Y denominamos seno de α (anot. senα ) a la ordenada de P; o
sea: α = 0sen .y
Observaciones
Como el asociado de y de 2 , ,α α π+ ∀ ∈k k ℤ , es el mismo entonces:
Ejercicio
Calcular ( ) ( )π π−573 241cos y sen .
4 3
Observaciones
Si consideramos las funciones → = → =ℝ ℝ ℝ ℝ: ; ( ) sen y : ; ( ) cosf f x x g g x x las
observaciones realizadas nos permiten afirmar que f y g son funciones periódicas (de
periodo 2π ) y acotadas (entre –1 y 1).
Realicen un bosquejo gráfico de dichas funciones.
ϕ
α β→ →
f
P )y,x( 00
Definimos α = 0cos x y α = 0sen .y
Recordemos que:
[ )α β π β π
β
= + ∈ ∈ ∈
=
2 , con 0,2 , ;
( ) .
Ok k P
y lamedidadel arco AP
Vℤ 
c o s ( 2 ) c o s , ,
s e n ( 2 ) s e n , ,
α π α α
α π α α
+ = ∀ ∈ ∀ ∈
+ = ∀ ∈ ∀ ∈
k k
k k
ℝ ℤ
ℝ ℤ
α α
α α
− ≤ ≤ ∀ ∈
− ≤ ≤ ∀ ∈
ℝ
ℝ
1 cos 1,
1 sen 1,
A (1, 0)
0 0( , )P x y

4. Trigonometría
4
Definición
Consideramos .ℝ∈α
1) Si 2 ( )
2
ℤ≠ ± + ∈πα πk k definimos tangente de α (anotamos
sen
tg ): tg
cos
=
α
α α
α
2) Si 2 ( )
2
ℤ≠ ± + ∈πα πk k definimos secante de
1
(anotamos sec ): sec
cos
=α α α
α
3) Si ( )α π≠ ∈k k ℤ definimos cosecante de
1
(anotamos cosec ): cosec
sen
=α α α
α
4) Si ( )α π≠ ∈k k ℤ definimos cotangente de
cos
(anotamos cotg ): cotg
sen
=
α
α α α
α
Nota Consideramos ; 0
2
πα α∈ < <ℝ y P su asociado.
Hacer las correspondientes interpretaciones geométricas cuando:
3 3ó ó 2 .
2 2 2
π π πα π π α α π< < < < < <
A los segmentos AT, OT, OT’ y BT’, se los suele denominar segmentos generadores o
asociados a la tangente, a la secante, a la cosecante y a la cotangente,
respectivamente.
¿Que relación tiene lo anterior con que el seno de α es igual a cateto opuesto sobre
hipotenusa?
El triángulo 1OPP es semejante al OAT, entonces:
=1
1
,
PP AT
OP OA
como = 1,OA α= =1 2 senPP OP
y
α
α α
α
= ⇒ = ⇒ =1
sen
cos tg .
cos
OP AT AT
Probar que:
α α α′ ′= = =sec , cos y cot .OT ec OT g BT
O P1
T
A
P
P2
T’
B

5. Trigonometría
5
Algunas fórmulas
Fórmulas fundamentales
Ejercicio
Probar: i) π
α α α α π
α
+ = = ∀ ∈ ≠ + ∈ℝ ℤ2 2
22
1
1 sec , ; ( )
cos
tg k k
ii) α α α α π
α
+ = = ∀ ∈ ≠ ∈ℝ ℤ2 2
2
1
1 cotg cosec , ; ( )
sen
k k
Además si [ )α α π α π α′ ′ ′= + ∈ ∈ ⇒ =2 ; 0,2 yk k APℤ
[ )β β π β π β′ ′ ′= + ∈ ∈ ⇒ =2 ; 0,2 yh h AQℤ
Supongamos que α β α β′ ′ ′ ′> ⇒ = − = −QP AP AQ
2 2cos sen 1α α α+ = ∀ ∈ℜ
1)
Consideramos ℜ∈α y P su asociado α α⇒ (cos ,sen )P
Ahora 2 2
( , ) 1 (cos 0) (sen 0) 1α α= ⇒ − + − = ⇒d O P
2 2 2 2
cos sen 1 cos sen 1α α α α⇒ + = ⇒ + =
2)
α β α β α β α β− = + ∀ ∈ ℝcos( ) cos cos sen sen , ,
A
R
Q
P
O
Consideramos ,α β ∈ℝ
Denominamos: P, Q y R a los asociados de
,α β α β−y respectivamente.
Entonces: α α β β(cos ,sen ), (cos ,sen )P Q y
α β α β− −(cos( ),sen( ))R
A (1, 0)
0 0( , )P x y

6. Trigonometría
6
Además [ )α β π′ ′− ∈ 0,2
Como [ )α β α β π α β π α β′ ′ ′ ′ ′ ′− = − + − − ∈ − ∈ ⇒ = −2( ) 0,2k h con y k h ARℤ
Por lo tanto:
2 2 2 2
( , ) ( , )
(cos cos ) (sen sen ) (cos( ) 1) (sen( ) 0)α β α β α β α β
= ⇒ = ⇒
⇒ − + − = − − + − − ⇒
QP AR d Q P d A R
( )α β α β α β α β⇒ − + − = − − + − ⇒
22 2 2
(cos cos ) (sen sen ) cos( ) 1 sen ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1
cos sen cos sen 2cos cos 2sen sen cos ( ) sen ( ) 1 2cos( )α α β β α β α β α β α β α β⇒ + + + − − = − + − + − −
Entonces:
α β α β α β α β α β α β− − = − − ⇒ − = +2 2cos cos 2sen sen 2 2cos( ) cos( ) cos cos sen sen
Nota:
α∀ ∈ ℝ, se cumple:
Además
cos( ) cos cos sen sen
sen ( ) sen cos cos sen
sen ( ) sen cos cos sen
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
+ = −
− = −
+ = +
( )
1
tg tg
tg
tg tg
α β
α β
α β
+
+ =
−
( )
1
tg tg
tg
tg tg
α β
α β
α β
−
− =
+
( ) 1
tg cot
2 tg
gπα α
α
−
+ = = −
( ) 1
cot
2
tg g
tg
πα α
α
−
− = = −
i) ( )cos
2
senπ α α− =
ii) cos( ) cosπ α α− = −
iii) ( )sen senπ α α− =
iv) cos( ) cosα α− =
v) ( )sen senα α− = −
vi) cos( ) cosπ α α+ = −
vii) ( )sen senπ α α+ = −

7. Trigonometría
7
sen 2 2sen cos
2 2cos 2 cos sen
2tg
tg 2
21 tg
α α α
α α α
α
α
α
=
= −
=
−
sen sen 2sen cos
2 2
sen sen 2cos sen
2 2
+ −+ =
+ −− =
a b a ba b
a b a ba b
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sen sen
2 2
+ −+ =
+ −− = −
a b a ba b
a b a ba b
21 tg
2cos
21 tg
2
−
=
+
x
x
x
2tg
2sen
21 tg
2
=
+
x
x
x
2tg
2tg
21 tg
2
=
−
x
x
x
Nota
0
tg tg
tg( )
1 tg tg
0
α π
α π
α π
+
+ =
−
= tgα
Analicemos un caso más general
( ) , , ,α π α α+ = ∀ ∈ ∀ ∈tg k tg k ℤ ℝ en condiciones de existencia. Probémoslo.
sen ( 2 ) senα
2 2 ; tg( ) tg( 2 ) tg
cos( 2 ) cos
α π
α π α π α
α π α
• +
= ⇒ = ∈ ⇒ + = + = = =
+
ℤ
h
Si k k h h k h
h
2 2 1; tg( ) tg ( (2 1) ) tg( 2 ) tg( 2 ) tgα π α π α π π α π α
•
≠ ⇒ = + ∈ ⇒ + = + + = + + = + =ℤSi k k h h k h h h
Por lo tanto:
En otras palabras hemos probado que la función tangente es periódica de periodo .π
Realiza un bosquejo gráfico de dicha función.
( ) en condiciones de existencia.α π α α+ = ∀ ∈ ∀ ∈tg k tg k yℤ ℝ

8. Trigonometría
8
Ejercicios
1. sen senα β α β= ⇔ = ¿es falsa o verdadera?
2. Demuestra que
2 ( )
sen sen
2 ( )
α β π
α β
α π β π
= + ∈

= ⇔ ∨
 = − + ∈
ℤ
ℤ
k k
k k
3. Demuestra que
2 ( )
cos cos
2 ( )
α β π
α β
α β π
= + ∈

= ⇔ ∨
 = − + ∈
k k
k k
ℤ
ℤ
4. Demuestra que ( )α β α β π= ⇔ = + ∈tg tg k k ℤ
5. Resolver en ( ]0,2 :π
i)
1
cos
2
x = − ii) ( ) 1
2
tg x π− = iii) tg(2 ) tg4
3
π− =x x
iv) sen3 cos 2 0+ =x x v) 4 2sen sen 4+ =x x vi) 4 24cos 5sen 4+ =x x
6. Resolver en ℝ:
i) cos(2 ) sen 4
6
x xπ+ = ii) cos3 cos( )
4
x x π= +
iii) sen cos 3x x− = iv) cos2 2sen 2 1x x− =
7. Resolver en [ )0,2π :
i) 2sen 1 0− >x ii) tg 3x > iii) 24cos 3 0x − <
8. Resolver en ℝ:
i) 2 2sen 5sen cos 2+ ≥ +x x x ii) 2 2cos 3sen 0− ≤x x
9. Resolver en [ )0,2π :
i)
cos2
cos sen
1 sen2
+ =
−
x
x x
x
ii)
3
2
sen
sen 2cos 0
cos
+ − =
x
x x
x
10. (Examen Fundamentos – Diciembre de 2009).
Resuelve en π π[2 ,4 ) :
− +
− − ≤
(sen 1)(sen 1)
3(sen 1) 0
sen
x x
x
x
11. (Examen Álgebra – Julio de 2010).
Resuelve en ( )π π
 
  − + − + =  
 
3 32cos
,2 : 1 sen 2 tg cos 2cos .
sen
x
x x x x
x

9. Trigonometría
9
Algunos ejercicios resueltos
Ejemplo 1: Resolver en π+ ≤ + =ℝ
3
( , ,·, ) : sen(2 )
2
x
π π
π π
π π π
π
π π π
∗
 + = + ⇔ = − + ∈
+ = ⇔ 
+ = + ⇔ = − +
ℤ3 3
( ) 2
3 6
2 2 ( )3
sen(2 )
2 2 2
x k x k k
x
x k x k
(*) Tengamos en cuenta que la función seno es una función periódica de periodo π2 . Por lo tanto una
posible estrategia consiste en hallar las preimágenes de 2
3
en el intervalo [ )π2,0 lo cual hacemos en
este caso mediante la tabla de arcos notables, que se adjunta al final de estas notas, y luego cada uno
de esas soluciones ( )3
2
3
y ππ
genera una familia de raíces que difieren entre sí en πk2 ∈ ℤ( )k . En el
último paso simplemente “despejamos” x.
Ejercicios: Resolver en π+ ≤ = − + =ℝ( , ,·, ) : ) tg 1 ) sec(2 ) 2i x ii x
Respuestas: i) π+= π
kx 4
7
ii) π ππ π= − + ∨ = + ∈ ℤ3 3
( )x k x k k
Ejemplo 2: Resolver en π+ ≤ = +ℝ( , ,·, ) : cos(2 ) sen( )x x
Intentemos utilizar las condiciones necesarias y suficientes para que dos senos o dos
cosenos sean iguales vistas en los ejercicios 2) y 3) de la página anterior. Para lo cual
necesitamos tener una igualdad entre senos o entre cosenos; para ello usamos que:
( )πα α α= − ∀ ∈ ℝ2
sen cos ,
( ) ( ) ⇔−−=⇔π+−=⇔π+= ππ
xcosx2cos)x(cosx2cos)x(senx2cos 22






π+=⇔π++=
∨
+−=⇔π+−−=
⇔
ππ
πππ
k2xk2xx2
k2xk2xx2
22
362
∈ ℤ( )k
Ejercicio: Resolver en π+ ≤ + =ℝ( , ,·, ) : sen(2 ) sen3x x
Respuesta: 5
k2xk2x π
=∨π+π=
Ejemplo 3: Resolver en 2xcosxsen5xsen:),·,,( 22
+=−≤+ℜ
03xsen5xsen22xsen1xsen5xsen2xcosxsen5xsen 22222
=−−⇔+−=−⇔+=−
Si denominamos xsenz = sustituyendo nos queda:
3zz03z5z2 2
12
=∨−=⇔=−−
Como
ℝ
 = − ⇔ = + ∨ = +

= ⇒ 
 = − ≤ ≤ ∀ ∈

7 111
2 6 6
sen 2 2
sen
sen 3 ec. con conj. solución vacío, ya que 1 sen 1,
x x k x k
x z
x x x
π ππ π
Ejercicio: Resolver en + ≤ − − =ℝ 2
( , ,·, ) : 2cos cos 3 0x x
Respuesta: π π= + ∈ ℤ2 ( )x k k

10. Trigonometría
10
Ejemplo 4: + ≤ + =ℝ 2
( , ,·, ) : sen2 4cos 3x x
3xcos4xcosxsen23xcos4x2sen 22
=+⇔=+
Dividimos entre xcos2
(observemos que ∀ ∈ =ℝ; cos 0,x x x no es solución):
xcos
3
xcos
xcos
4
xcos
xcosxsen2
22
2
2
=+ Como xtg33
xcos
3
xtg1
xcos
1 2
2
2
2
+=⇒+=
Sustituyendo nos queda: zxtgsi01xtg2xtg3xtg334xtg2 22
==−−⇔+=+
3
12
z1z01z2z3 −=∨=⇔=−−
Como tgx = z
( )



π+−=⇔−=
π+=⇔=
⇔
π
ktgArcxxtg
kx1xtg
3
1
3
1
4
Nota Denominamos ( )3
1tgArc − al único real del intervalo ( )22
, ππ− cuya tangente vale 3
1−
Ejercicio: Resolver en + ≤ − − =ℝ 2 2
( , ,·, ) : 3cos sen sen2 0x x x
Respuesta: ( )= + ∨ = − +4
Arctg 3x k x kπ π π
Ejemplo 5: Resolver en [ ) 01xsen2:2,0 ≤+π
6
11
6
7
2
1 xxsen01xsen2 ππ ≤≤⇔−≤⇔≤+
Ejercicio: Resolver en [ ) 3xcos2:2,0 >π
Respuesta: [ ) ( )0,,0 6
11
6
ππ ∪
Ejemplo 6: Resolver en [ ) 01xcos2:2,0 2
≤−π
Si denominamos xcosz = sustituyendo nos queda: 01z2 2
≤−
2
2
2
22
z01z2 ≤≤−⇔≤−
Entonces:






≤≤
∨
≤≤
⇔≤≤−⇔≤−
ππ
ππ
4
7
4
5
4
3
4
2
2
2
22
x
x
xcos01xcos2
2
1−
6
7π
6
11π

11. Trigonometría
11
Ejercicio: Resolver en ) 2 2
0,2 : cos 5 cos 3 senx x xπ + + >
Respuesta: ) ( )2 4
3 3
0, ,2π π
π ∪
2
2
2
2
−
4
π
4
3π
4
5π
4
7π
2
2
2
2
−
4
π
4
3π
4
5π
4
7π

12. Trigonometría
12
0 6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
5π π 6
7π
4
5π
3
4π
2
3π
3
5π
4
7π
6
11π
π2
0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º
180
º
210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º
360
º
xsen 0 2
1
2
2
2
3 1
2
3
2
2
2
1
0 2
1−
2
2
− 2
3
− -1
2
3
− 2
2
− 2
1− 0
xcos 1
2
3
2
2
2
1
0 2
1−
2
2
− 2
3
− 1−
2
3
− 2
2
− 2
1− 0 2
1
2
2
2
3 1
xtg 0
3
3 1 3 ∃/ 3− 1−
3
3
− 0
3
3 1 3 ∃/ 3− -1
3
3
− 0
cotg x ∃/ 3 1
3
3 0
3
3
− -1 3− ∃/ 3 1
3
3 0
3
3
− -1 3− ∃/
xsec 1
3
32
2 2 ∃/ 2− 2− 3
32−
1−
3
32−
2− 2− ∃/ 2 2 3
32 1
cosec x ∃/ 2 2 3
32 1
3
32
2 2 ∃/ 2− 2− 3
32−
1−
3
32−
2− 2− ∃/
Definiciones
Vinculación entre seno coseno y tangente de α−α−α+πα−πα π
2
y,,,
α=α−π sen)(sen α−=α+π sen)(sen α−=α− sen)(sen ( ) α=α−π cossen 2
α−=α−π cos)(cos α−=α+π cos)(cos α=α− cos)(cos ( ) α=α−π sencos 2
α−=α−π tg)(tg α=α+π tg)(tg α−=α− tg)(tg ( ) α=α−π gcottg 2
Condiciones necesarias y suficientes de igualdad de seno coseno y tangente
TRIGONOMETRÍA
X
1) Zksen)k2(sen ∈∀ℜ∈α∀α=π+α 2) α=π+α cos)k2(cos Zk ∈∀ℜ∈α∀
3)
α
α
=α
cos
sen
tg )Zk(k; 2
∈π+≠αℜ∈α∀ π 4) α=π+α tg)h(tg )Zk(k; 2
∈π+≠αℜ∈α∀ π Zh ∈∀
5)
α
=α
cos
1
sec )Zk(k; 2
∈π+≠αℜ∈α∀ π 6)
α
=α
sen
1
eccos )Zk(k; ∈π≠αℜ∈α∀
7)
α
α
=α
sen
cos
gcot )Zk(k; ∈π≠αℜ∈α∀



∈π+β−π=α
∈π+β=α
⇔β=α
)Zk(k2
)Zk(k2
sensen



∈π+β−=α
∈π+β=α
⇔β=α
)Zk(k2
)Zk(k2
coscos
tg tg k (k Z)α = β ⇔ α = β + π ∈

13. Trigonometría
13
Algunas fórmulas
Seno, coseno y tangente de una suma y una diferencia
Fórmulas para arcos dobles y triples
Fórmulas de factoreo
Seno coseno y tangente en función de tangente del arco mitad
8) 1sencos 22
=α+α ℜ∈α∀ 9) α=
α
=α+ 2
2
2
sec
cos
1
tg1 )Zk(k; 2
∈π+≠αℜ∈α∀ π
10)
α+
=α
2
2
tg1
1
cos )Zk(k; 2
∈π+≠αℜ∈α∀ π
11) βαβα=β±α sensencoscos)(cos ∓ ℜ∈βα∀ , 12) βα±βα=β±α sencoscossen)(sen ℜ∈βα∀ ,
13)
βα
β±α
=β±α
tgtg1
tgtg
)(tg
∓
ℜ∈βα∀ , en condiciones de ∃
14) αα=α cossen22sen ℜ∈α∀ 15) α−α=α 22
sencos2cos ℜ∈α∀
16)
α−
α
=α
2
tg1
tg2
2tg ℜ∈α∀ en condiciones de ∃ 17) α−α=α 3
sen4sen33sen ℜ∈α∀
18) ℜ∈α∀α−α=α cos3cos43cos 3
19)
α−
α−α
=α
2
3
tg1
tgtg3
3tg ℜ∈α∀ en condiciones de ∃
20) ℜ∈βα∀




 β−α





 β+α
=β+α ,
2
cos
2
sen2sensen 21) ℜ∈βα∀




 β+α





 β−α
=β−α ,
2
cos
2
sen2sensen
22) ℜ∈βα∀




 β−α





 β+α
=β+α ,
2
cos
2
cos2coscos 23) ℜ∈βα∀




 β−α





 β+α
−=β−α ,
2
sen
2
sen2coscos
24)
βα
β±α
=β±α
coscos
)sen(
tgtg ℜ∈βα∀ , en condiciones de ∃
25)
2
2
2
tg1
tg2
sen
α
α
+
=α ℜ∈α∀ en condiciones de ∃
26)
2
2
2
2
tg1
tg1
cos
α
α
+
−
=α ℜ∈α∀ en condiciones de ∃
27)
2
2
2
tg1
tg2
tg
α
α
−
=α ℜ∈α∀ en condiciones de ∃