Este documento presenta un ejemplo de regresión simple con 12 observaciones de renta (X) y consumo (Y). Se realizan los siguientes análisis: 1) diagrama de dispersión y cálculo de estimadores, 2) tabla ANOVA y pruebas de hipótesis, 3) intervalos de confianza. Los resultados muestran que existe una relación lineal positiva entre X e Y y se rechaza la hipótesis nula de que el coeficiente de la pendiente es 0.3.

1. MODELOS ECONOMETRICOS SIS – 3315 - A
MODELOS ECONOMETRICOS
EJEMPLOS DE REGRESION SIMPLE
EJEMPLO 1.- Se ha recogido datos de una localidad mediante sendas encuestas sobre el consumo (Y) de productos de hogar y de
la renta (X) de los consumidores consultados, obteniéndose los siguientes resultados:
Se pide:
Observación X Y a) Realizar el grafico correspondiente (diagrama de dispersión)
1 7.1 54.6 b) Encontrar los estimadores (coeficientes) de acuerdo a la tendencia
aproximada en a) para Y sobre X
2 3.4 44.7 c) Elabore la tabla de análisis de varianza (ANOVA)
3 5.5 51.0 d) Establezca un intervalo de confianza del 95% para los estimadores y
para la varianza de regresión.
4 4.3 49.7 e) Se rechazaría la hipótesis de que el verdadero coeficiente de la
5 3.7 47.2 pendiente es 0,3.
f) El modelo elegido tiene poder predictivo, usar = 3% de
6 6.0 55.0
significancia
7 3.3 42.9 g) Halle los residuos (error) correspondiente
8 6.7 55.6 h) Proceda b) para X sobre Y (regresión inversa)
i) Pronostique Y para X=5 y obtenga un intervalo de confianza del 95%
9 5.1 47.6 para esta predicción.
10 4.5 49.5 j) Encontrar un intervalo para el coeficiente de correlación con el 97% de
seguridad.
11 2.7 44.6 k) Para los datos mostrados hallar un modelo que pase por el origen.
12 5.9 57.2 l) Encuentre un intervalo con el 98% de seguridad para la predicción
media de Y en x=6.6
SOLUCIÓN
a) DIAGRAMA DE DISPERSION Para emplear las deducciones mostradas
necesitamos elaborar la siguiente tabla:
Tabla Nº 1
Obs. X Y X² Y² XY
1 7,1 54,6 50,41 2981,16 387,66
2 3,4 44,7 11,56 1998,09 151,98
3 5,5 51.0 30,25 2601.00 280,5.0
4 4,3 49,7 18,49 2470,09 213,71
5 3,7 47,2 13,69 2227,84 174,64
6 6.0 55.0 36.00 3025.00 330.00
7 3,3 42,9 10,89 1840,41 141,57
8 6,7 55,6 44,89 3091,36 372,52
9 5,1 47,6 26,01 2265,76 242,76
10 4,5 49,5 20,25 2450,25 222,75
11 2,7 44,6 7,29 1989,16 120,42
Observando la grafica vemos una tendencia lineal que tendrá la forma: 12 5,9 57,2 34,81 3271,84 337,48
= + + ∑ 58,2 599,6 304,54 30211,96 2975,99
b) CALCULO DE LOS ESTIMADORES Con las sumatorias de la tabla mostrada calculamos los
coeficientes:
Donde los coeficientes (estimadores) son determinados mediante:
Opción 1 Opción 2 Σx
= = 4.850
Σx Σy
= = ∑ ∑ 2 − ∑∑
= Σy
∑ 2 − (∑)2 = = 49.967
∑ − ∑ − ∑∑
= = 2 = = 2
∑ − 2 = 22.270
∑ − 2
∑ 2 − (∑)2
= ∑2 − 2 = 251.9467
= −
= ∑ − = 67.93
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2. MODELOS ECONOMETRICOS SIS – 3315 - A
TABLA ANOVA (regresión simple)
Opción 1 Opción 2
Grados
67.9298 12 ∗ 2975.99 − 58.2 ∗ 599.6 Fuente de Suma de Promedio de
de F
= = = variación cuadrados los cuadrados
22.270 12 ∗ 304.54 − 58.22 libertad
= 3.05029 = 3.05029 Regresión
= − 599.6 ∗ 304.54 − 58.2 ∗ 2975.99 1 =
= (SSR)
= 49.967 − 3.05028 ∗ 4.85 12 ∗ 304.54 − 58.22 =
= 35.17275 Residuos 2
= 35.17275
(SSE)
− − 2 2 =
− 2
Total
Por lo tanto el modelo es: = . + . − 1
(SST)
c) ANALISIS DE TABLA ANOVA Par nuestro ejemplo tenemos:
Tabla Nº 2
Suma de cuadrados residuales (SSE) ANÁLISIS DE VARIANZA (TABLA ANOVA)
Fuente de Suma de Grados de Promedio de
= ∑ = −
variación cuadrados libertad los cuadrados
F
67.9298 2
Regresión
= 251.9437 − = 44.74034 207.2051 1 207.2051
22.270 (SSR)
46.3152
Residuos
Suma explicada de cuadrados (SSR) 44.7386 10 4.4738
(SSE)
67.9298 2 Total
= = = 207.20633 (SST)
251.9437 11
22.270
Suma total de cuadrados (SST)
= = 251.9467 d) ANALISIS DEL ITERVALO DE
= + = 251.9467
CONFIANZA PARA , y ( )
Coeficiente de determinación ( ) Con 5% de significancia o el 95% de confianza y (n-k)= (12-2)=10
grados de libertad de tablas (Distribución t de Student) encontramos
67.9298 2 = 2.228
=
= = = 0.82242
251 .9437 ∗22.270
Para :
Coeficiente de correlación ( ) −
− ≤ ≤ = −
()
= 0,82243 = 0.90687
− ≤ ≤ + ∗ ( ) = 1 −
Varianza de la regresión
35.1727 − 2.228 ∗ 2.2579 ≤ ≤ 35.1727 + 2.228 ∗ 2.2579 = 0.95
44.74034
= = = 4.474034 . ≤ ≤ . = .
− 12−2
Error estándar de la regresión: ó = . ± .
Para :
= 4.474034 = 2.1152
−
Varianza y desviación estándar (error estándar o típica) − ≤ ≤ = −
del estimador
()
− ≤ ≤ + ∗ ( ) = 1 −
=
+ = 5.09849
3.05029 − 2.228 ∗ 0.4482 ≤ ≤ 3.05029 + 2.228 ∗ 0.4482 = 0.95
= = 2.25798 . ≤ ≤ . = .
ó = . ± .
Varianza y desviación estándar (error estándar o típica) del
estimador Para La Varianza ( ) :
− ≤ ≤ ( − ) = −
=
= 0.20089
/ −/
Con (n-2)= (12-2)=10 g.l. y 5% de significancia o 95% de confianza
= = 0.4482 2
encontramos de tablas (ji-cuadrado) los siguientes valores /2 =
2
20.4831 y 1− /2 = 3.24697
Covarianza entre los estimadores: 4.4738 4.4738
12 − 2 ≤ 2 ≤ (12 − 2) = 0.95
20.4831 3.24697
, = − = −0.97436
. ≤ ≤ . = .
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3. MODELOS ECONOMETRICOS SIS – 3315 - A
g) CALCULO DE LOS RESIDUOS
e) PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Método 1: método de intervalos de confianza la cual se Análisis de los residuales
encontró en el inciso d) donde obtuvimos el siguiente
intervalo para la pendiente: Pronostico Residuos
Obs. X Y
= + = −
. ≤ ≤ . 1 7.1 54.6 56,830 -2,230
Por lo tanto rechazamos la hipótesis de que = 0.3 ya que 2 3.4 44.7 45,544 -0,844
este valor no se encuentra en el intervalo encontrado. 3 5.5 51.0 51,949 -0,949
4 4.3 49.7 48,289 1,411
Método 2: prueba bilateral (dos lados o dos colas) 5 3.7 47.2 46,459 0,741
: = 0.3 ; : ≠ 0.3 6 6.0 55.0 53,475 1,525
Escogemos un nivel de significancia de = 5% o lo que 7 3.3 42.9 45,239 -2,339
es lo mismo una confianza del 1 − = 95% , Calculamos 8 6.7 55.6 55,610 -0,010
−
= que tiene una distribución t-Student entonces de 9 5.1 47.6 50,729 -3,129
( )
tablas con − 2 = 12 − 2 = 10 g.l. y 1 − /2 = 0.975 10 4.5 49.5 48,899 0,601
Encontrando así /2 = 2.228 con la cual definimos la 11 2.7 44.6 43,409 1,191
región critica . . = −/2 ; /2 12 5.9 57.2 53,169 4,031
. . = −2.228; 2.228
Con nuestros datos calculamos:
− 3.05028 −0.3
h) REGRESION INVERSA
= = El modelo para una regresión inversa es:
( ) 0.4482
= 6.1363 = ` + ` +
Como = 6.1363 ∉ . . = −2.228; 2.228
Rechazamos , es decir se rechaza la hipótesis de que el Utilizando la tabla Nº 1 se calculo:
verdadero coeficiente de la pendiente es 0.3. Σx
= = 4.850
Método 3: De la misma forma que el método 2, pero se Σy
= = 49.967
toma el valor absoluto el valor de
= ∑2 − 2 = 22.270
− 3.05028 −0.3
= = = ∑2 − 2 = 251.9437
( ) 0.4482
= 6.1363 = 6.1363 = ∑ − = 67.9298
Además conocemos /2 = 2.228 por lo tanto como:
> Donde Los estimadores son:
2
67.9298
. > 2.228 Rechazamos ` = = = 0.2696
251.9437
` = − `
f) De la tabla de análisis de varianza (ANOVA):
0 : = 0 1 : ≠ 0 ` = 4.850 − 0.2696 ∗ 49.967
` = −8.6211
= ~ ,−
Por lo tanto el modelo es:
= 2
= 46.3152
Donde con = 3% de significancia o el 97% de confianza, 1 g.l. = −. + .
en el numerador y − 2 = 12 − 2 = 10 g. l. en el denominador. Cuya suma de cuadrados residuales (SSE) es:
1 ,−2 = 1,10 = 4.96
= − = 3.954567
Cuya = = 4.7094 ∗ 10−4
Por lo tanto como:
> 1,10
46.3152 > 4.96
Rechazamos 0 : = 0
Es decir ≠ 0
Por lo tanto el modelo tiene poder predictivo.
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4. MODELOS ECONOMETRICOS SIS – 3315 - A
i) Para calcular directamente usamos el modelo encontrado
l) Para calcular directamente usamos el modelo encontrado en
en b), así reemplazamos X=5 en:
b), así reemplazamos X=6.6 en:
= 35.17283 + 3.05028
= 35.17283 + 3.05028
= 35.17283 + 3.05028 5
= 35.17283 + 3.05028 6.6
y obtenemos = .
y obtenemos = .
Con 5% de significancia o el 95% de confianza y (n-k)=
(12-2)=10 grados de libertad de tablas (Distribución t Con 2% de significancia o el 98% de confianza y (n-k)= (12-2)=10
de Student) encontramos = . grados de libertad de tablas (Distribución t de Student)
encontramos = .
−
= + + = . −
= + = .
−
− ≤ ≤ = − −
− ≤ ≤ = −
0 − ∗ 0 ≤ 0 ≤ 0 + ∗ 0 = 1 −
0 − ∗ 0 ≤ 0 ≤ 0 + ∗ 0 = 1 −
50.4242 − 2.228 ∗ 2.0258 ≤ 0 ≤ 50.4242 + 2.228 ∗ 2.0258
= 0.95 55.3046 − 2.764 ∗ 0.99403 ≤ 0 ≤ 55.3046 + 2.764 ∗ 0.99403 =
0.95
. ≤ ≤ . = .
. ≤ ≤ . = .
j) Con 3% de significancia o el 97% de confianza, de tablas
(Distribución Normal) encontramos con EJEMPLO 2.-Un investigador ha estimado el siguiente
= 1 − 0.03/2 = 0.985 el valor = . donde modelo con una muestra de 5 observaciones :
conocemos = 0.90687
1 = 1 + 2 +
= = = 0.333
− 12−3 Una vez realizada la estimación extravía toda la
+ 1 1+0.90687 Información de que disponía excepto la que aparece
= = ln = 1.5096 en la siguiente tabla:
− 2 1−0.90687
Donde el intervalo de confianza de es : Obs. 1 2 3 4 5
+ 1 3 4 5 6
− ∗ ≤ ≤ + ∗
−
2 -3 0 ¿? ¿?
1 1+
1.5096 − 2.17 ∗ 0.333 ≤ ln ≤ 1.5096 + 2.17 ∗
2 1− Con esta información el investigador debe calcular una
0.333 estimación de la varianza de las perturbaciones aleatorias
¿Cómo debe proceder?
. ≤ ≤ .
SOLUCION
k) El modelo que pasa por el origen es: El primer problema que tenemos que resolver es hallar los
Método de los mínimos cuadrados valores de los residuos para las observaciones número 4 y 5.
Para ello, tenemos en cuenta que las dos ecuaciones normales
= + de los coeficientes imponen restricciones sobre los
residuos, ya que
= ∑ 2 = ∑ −
=
= ∑ − −
=
∑ − 2 = 0 =
∑ − ∑ 2 =0 =
Por lo tanto, en nuestro caso concreto se verificará que
∑
= ∑ + + + + =
2975 .99 + + + + =
= = 9.77208
304 .54
= .
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5. MODELOS ECONOMETRICOS SIS – 3315 - A
Sustituyendo los valores de la tabla se obtiene que
2 − 3 + 0 + 4 + 5 = 0 2
= ∑2 − 2
2
2 ∗ 1 − 3 ∗ 3 + 0 ∗ 4 + 54 + 65 = 0 Sabemos que: =
= ∑2 − 2
es decir = ∑ −
4 + 5 = 1
54 + 65 = 7
La tendencia tiene la forma:
Resolviendo, el sistema anterior, se obtiene que
= + +
= −
=2 Donde conocemos:
El estimador insesgado de la varianza de las perturbaciones viene =
dado por:
∑
=
= −
=
− Realizando los cálculos correspondientes con los
Aplicando la fórmula nuestro caso se obtiene que datos corregidos tenemos:
∑
2 = 172
=
= = 111
− = 32760
+ (−) + + (−) + = 7690
= =
− = 15880
Obsérvese que en el denominador de la fórmula figura T-2 = 0.484737
(en lugar de T), debido precisamente a que se pierden 2 grados = 27.62515
de libertad por las restricciones que imponen las ecuaciones
normales. = . + .
2
2
EJEMPLO 3.- Basado en una muestra de 10 observaciones se =
obtuvieron los siguientes resultados:
158802
∑Yi = 1110 ∑Xi = 1700 ∑Xi Yi = 205500 2 =
=1
32760 ∗ 7690
∑Xi2 = 322000 ∑Yi2 = 132100
=
Con el coeficiente de correlación = 0.9758. Pero al verificar por
Por lo tanto el efecto es:
segunda vez estos cálculos, se encontró que se habían registrado
dos pares de observaciones
Y X Y X error  1  0.9758  0.0242
90 120 En lugar de 80 110
140 220 150 210 Por tanto la r correcta es: = la cual nos indica
una perfecta correlación de los datos tomados por
Cuál será el efecto de este error en r? obténgase la r correcta. segunda vez.
Llevando a una tabla los datos:
Y X Y² X² XY
ANTES 80 110 6400 12100 8800
150 210 22500 44100 31500
AHORA 90 120 8100 14400 10800
140 220 19600 48400 30800
Donde los nuevos valores se calculan a continuación:
 Y  1110  (80  150)  (90  140)  1110
i
 X  1700  (110  210)  (120  220)  1720
i
 X 322000  (12100  44100)  (14400  48400)  328600
i
2
 Y  132100  (6400  22500)  (8100  19600)  130900
i
2
 X Y  205500  (8800  31500)  (10800  30800)  206800
i i
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