SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 5
MODELOS ECONOMETRICOS                                                                                                                           SIS – 3315 - A

                                                               MODELOS ECONOMETRICOS
                                                           EJEMPLOS DE REGRESION SIMPLE
       EJEMPLO 1.- Se ha recogido datos de una localidad mediante sendas encuestas sobre el                                 consumo (Y) de productos de hogar y de
                la renta (X) de los consumidores consultados, obteniéndose los siguientes resultados:
                                                               Se pide:
             Observación                      X          Y          a) Realizar el grafico correspondiente (diagrama de dispersión)
                  1                          7.1        54.6        b) Encontrar los estimadores (coeficientes) de acuerdo a la tendencia
                                                                        aproximada en a) para Y sobre X
                  2                          3.4        44.7        c) Elabore la tabla de análisis de varianza (ANOVA)
                  3                          5.5        51.0        d) Establezca un intervalo de confianza del 95% para los estimadores y
                                                                        para la varianza de regresión.
                  4                          4.3        49.7        e) Se rechazaría la hipótesis de que el verdadero coeficiente de la
                  5                          3.7        47.2            pendiente es 0,3.
                                                                    f) El modelo elegido tiene poder predictivo, usar ������ = 3% de
                  6                          6.0        55.0
                                                                        significancia
                  7                          3.3        42.9        g) Halle los residuos (error) correspondiente
                  8                          6.7        55.6        h) Proceda b) para X sobre Y (regresión inversa)
                                                                    i) Pronostique Y para X=5 y obtenga un intervalo de confianza del 95%
                  9                          5.1        47.6            para esta predicción.
                 10                          4.5        49.5        j) Encontrar un intervalo para el coeficiente de correlación con el 97% de
                                                                        seguridad.
                 11                          2.7        44.6        k) Para los datos mostrados hallar un modelo que pase por el origen.
                 12                          5.9        57.2        l) Encuentre un intervalo con el 98% de seguridad para la predicción
                                                                        media de Y en x=6.6

                                                                                 SOLUCIÓN

       a) DIAGRAMA DE DISPERSION                                                                        Para emplear las deducciones mostradas
                                                                                                        necesitamos elaborar la siguiente tabla:
                                                                                                                             Tabla Nº 1
                                                                                                 Obs.     X          Y              X²           Y²          XY
                                                                                                   1      7,1      54,6            50,41       2981,16     387,66
                                                                                                   2      3,4      44,7            11,56       1998,09     151,98
                                                                                                   3      5,5      51.0            30,25       2601.00     280,5.0
                                                                                                   4      4,3      49,7            18,49       2470,09     213,71
                                                                                                   5      3,7      47,2            13,69       2227,84     174,64
                                                                                                   6      6.0      55.0            36.00       3025.00     330.00
                                                                                                   7      3,3      42,9            10,89       1840,41     141,57
                                                                                                   8      6,7      55,6            44,89       3091,36     372,52
                                                                                                   9      5,1      47,6            26,01       2265,76     242,76
                                                                                                  10      4,5      49,5            20,25       2450,25     222,75
                                                                                                  11      2,7      44,6            7,29        1989,16     120,42
   Observando la grafica vemos una tendencia lineal que tendrá la forma:                          12      5,9      57,2            34,81       3271,84     337,48
                                           ������������ = ������ + ������������������ + ������������                               ∑     58,2 599,6 304,54 30211,96 2975,99

       b)    CALCULO DE LOS ESTIMADORES                                                        Con las sumatorias de la tabla mostrada calculamos los
                                                                                               coeficientes:
            Donde los coeficientes (estimadores) son determinados mediante:
                 Opción 1                              Opción 2                                                              Σx
                                                                                                                     ������ =          =            4.850
                    Σx                        Σy                                                                              ������
             ������ =                  ������ =                              ∑ ������∑������ 2 − ∑������∑������������
                     ������                        ������              ������ =                                                          Σy
                                                                      ������ ∑ ������ 2 − (∑������)2                             ������ =          =            49.967
                                                                                                                               ������
                   ������������������       ∑������ ������ ������ ������ −������������ ������                 ������ ∑ ������������ − ∑������∑������
            ������ =            =        2                           ������ =                                         ������������������ =       2
                                                                                                                         ∑������������ − ������������ 2    =    22.270
                   ������������������        ∑������ ������ −������������ 2
                                                                      ������ ∑ ������ 2 − (∑������)2
                                                                                                              ������������������ =   ∑������������2 − ������������ 2   =    251.9467
                    ������ = ������ − ������������
                                                                                                           ������������������ = ∑������������ ������������ − ������������ ������ =      67.93




EDWIN CHAMBI CANAZA                                                                                                                                                  1 de5
MODELOS ECONOMETRICOS                                                                                                                                                SIS – 3315 - A


                                                                                                                    TABLA ANOVA (regresión simple)
 Opción 1                                                             Opción 2
                                                                                                                                                  Grados
        ������������������ 67.9298                                                     12 ∗ 2975.99 − 58.2 ∗ 599.6       Fuente de        Suma de                            Promedio de
                                                                                                                                                     de                                  F
 ������ =          =                                                      ������ =                                   variación       cuadrados                          los cuadrados
        ������������������    22.270                                                       12 ∗ 304.54 − 58.22                                                libertad
 ������   = 3.05029                                                       ������ = 3.05029                           Regresión
 ������   = ������ − ������������                                                          599.6 ∗ 304.54 − 58.2 ∗ 2975.99                       ������ ������������������             1         ������������������ = ������������������������
                                                                      ������ =                                    (SSR)                                                                          ������������������
 ������   = 49.967 − 3.05028 ∗ 4.85                                                  12 ∗ 304.54 − 58.22                                                                     ������������������       ������ =
                                                                      ������ = 35.17275                          Residuos                                                                         ������ 2
 ������   = 35.17275
                                                                                                              (SSE)
                                                                                                                            ������������������ − ������ ������������������     ������ − 2        ������ 2 =
                                                                                                                                                                        ������ − 2
                                                                                                               Total
      Por lo tanto el modelo es: ������������ = ������������. ������������������������������ + ������. ������������������������������������������                                                     ������������������           ������ − 1
                                                                                                              (SST)

      c)   ANALISIS DE TABLA ANOVA                                                                             Par nuestro ejemplo tenemos:
                                                                                                                                             Tabla Nº 2
           Suma de cuadrados residuales (SSE)                                                                        ANÁLISIS DE VARIANZA (TABLA ANOVA)
                                                          ������������                                               Fuente de   Suma de   Grados de  Promedio de
           ������������������ = ∑������������ = ������������������ − ������������������
                       ������              ������������                                                                  variación  cuadrados   libertad los cuadrados
                                                                                                                                                              F

                                              67.9298 2
                                                                                                             Regresión
           ������������������ = 251.9437 −                                        = 44.74034                                        207.2051        1      207.2051
                                               22.270                                                          (SSR)
                                                                                                                                                           46.3152
                                                                                                             Residuos
           Suma explicada de cuadrados (SSR)                                                                             44.7386       10        4.4738
                                                                                                               (SSE)
                        ������������         67.9298 2                                                                 Total
            ������������������ = ������������������ =                              = 207.20633                                         (SST)
                                                                                                                        251.9437       11
                       ������������           22.270

           Suma total de cuadrados (SST)
            ������������������ = ������������������ = 251.9467                                                                        d) ANALISIS DEL ITERVALO DE
           ������������������ = ������������������ + ������������������ = 251.9467
                                                                                                                   CONFIANZA PARA ������ , ������ y (������������ )
           Coeficiente de determinación (������������ )                                                              Con 5% de significancia o el 95% de confianza y (n-k)= (12-2)=10
                                           ������������
                                                                                                             grados de libertad de tablas (Distribución t de Student) encontramos
                        ������������������          ������������
                                          ������������                             67.9298 2                         ������������ = 2.228
             ������������ =
               ������������              =                    =                                = 0.82242
                        ������������������       ������������������ ������������������               251 .9437 ∗22.270
                                                                                                               Para ������ :
           Coeficiente de correlación (������������������ )                                                                                                  ������ − ������
                                                                                                                               ������ −������������ ≤                 ≤ ������������ = ������ − ������
                                                                                                                                                 ������������(������)
              ������������������ = 0,82243 = 0.90687
                                                                                                                       ������ ������ − ������������ ������������ ������ ≤ ������ ≤ ������+������������ ∗ ������������(������ ) = 1 − ������
           Varianza de la regresión
                                                                                                              ������ 35.1727 − 2.228 ∗ 2.2579 ≤ ������ ≤ 35.1727 + 2.228 ∗ 2.2579 = 0.95
                      ������������������       44.74034
             ������������ =            =                          = 4.474034                                                 ������ ������������. ������������������������ ≤ ������ ≤ ������������. ������������������������ = ������. ������������
                      ������−������           12−2

           Error estándar de la regresión:                                                                             ó ������ = ������������. ������������������������ ± ������. ������������������������
                                                                                                                Para ������ :
                ������ = 4.474034 = 2.1152
                                                                                                                                                 ������ − ������
           Varianza y desviación estándar (error estándar o típica)                                                            ������ −������������ ≤                   ≤ ������������ = ������ − ������
               del estimador ������
                                                                                                                                                 ������������(������)
                                                                      ������                                              ������ ������ − ������������ ������������ ������ ≤ ������ ≤ ������ +������������ ∗ ������������(������ ) = 1 − ������
                ������������������ ������ = ������������                     ������
                                                     ������
                                                          + ������������������������          = 5.09849
                                                                                                              ������ 3.05029 − 2.228 ∗ 0.4482 ≤ ������ ≤ 3.05029 + 2.228 ∗ 0.4482 = 0.95
                ������������ ������ =            ������������������ ������ = 2.25798                                                             ������ ������. ������������������������������ ≤ ������ ≤ ������. ������������������������������ = ������. ������������
                                                                                                                         ó ������ = ������. ������������������������������ ± ������. ������������������������������
          Varianza y desviación estándar (error estándar o típica) del
        estimador ������                                                                                            Para La Varianza (������������ ) :
                                                                                                                                      ������������                        ������������
                                     ������������                                                                          ������ ������ − ������                ≤ ������������ ≤ (������ − ������) ������        = ������ − ������
               ������������������ ������ =
                                     ������������������
                                              = 0.20089                                                                              ������������
                                                                                                                                       ������/������                   ������������−������/������
                                                                                                               Con (n-2)= (12-2)=10 g.l. y 5% de significancia o 95% de confianza
               ������������ ������ =           ������������������ ������ = 0.4482                                                                                                                      2
                                                                                                             encontramos de tablas (ji-cuadrado) los siguientes valores ������������/2 =
                                                                                                                          2
                                                                                                             20.4831 y ������1−������ /2 = 3.24697
           Covarianza entre los estimadores:                                                                                                 4.4738                          4.4738
                                                                                                                          ������ 12 − 2                    ≤ ������ 2 ≤ (12 − 2)              = 0.95
                                                                 ������                                                                          20.4831                        3.24697
                                                 ������
              ������������������ ������, ������ = −������                                          = −0.97436                                                             ������
                                                                                                                           ������ ������. ������������������������ ≤ ������ ≤ ������������. ������������������������ = ������. ������������
                                                             ������������������




EDWIN CHAMBI CANAZA                                                                                                                                                                           2 de5
MODELOS ECONOMETRICOS                                                                                                                      SIS – 3315 - A


                                                                                   g) CALCULO DE LOS RESIDUOS
        e)   PRUEBAS DE HIPÓTESIS
             Método 1: método de intervalos de confianza la cual se                                         Análisis de los residuales
             encontró en el inciso d) donde obtuvimos el siguiente
             intervalo para la pendiente:                                                                                   Pronostico         Residuos
                                                                                       Obs.             X      Y
                                                                                                                          ������ = ������ + ������������     ������������ = ������ − ������
                                    ������. ������������������������������ ≤ ������ ≤ ������. ������������������������������                1          7.1        54.6            56,830             -2,230
             Por lo tanto rechazamos la hipótesis de que ������ = 0.3 ya que                2          3.4        44.7            45,544             -0,844
             este valor no se encuentra en el intervalo encontrado.                     3          5.5        51.0            51,949             -0,949
                                                                                        4          4.3        49.7            48,289              1,411
             Método 2: prueba bilateral (dos lados o dos colas)                         5          3.7        47.2            46,459              0,741
                 ������������ : ������ = 0.3 ; ������������ : ������ ≠ 0.3                                      6          6.0        55.0            53,475              1,525
             Escogemos un nivel de significancia de ������ = 5% o lo que                    7          3.3        42.9            45,239             -2,339
             es lo mismo una confianza del 1 − ������ = 95% , Calculamos                    8          6.7        55.6            55,610             -0,010
                     ������ −������
             ������ =               que tiene una distribución t-Student entonces de        9          5.1        47.6            50,729             -3,129
                    ������������(������ )
             tablas con ������ − 2 = 12 − 2 = 10 g.l. y 1 − ������/2 = 0.975                    10         4.5        49.5            48,899              0,601
             Encontrando así ������������/2 = 2.228 con la cual definimos la                    11         2.7        44.6            43,409              1,191
             región critica ������. ������. = −������������/2 ; ������������/2                                  12         5.9        57.2            53,169              4,031
               ������. ������. = −2.228; 2.228
             Con nuestros datos calculamos:
                                             ������ −������         3.05028 −0.3
                                                                                   h) REGRESION INVERSA
                                    ������ =                =                                    El modelo para una regresión inversa es:
                                            ������������(������ )         0.4482
                        ������ = 6.1363                                                                           ������������ = ������` + ������`������������ + ������������
             Como ������ = 6.1363 ∉ ������. ������. = −2.228; 2.228
             Rechazamos ������������ , es decir se rechaza la hipótesis de que el                    Utilizando la tabla Nº 1 se calculo:
             verdadero coeficiente de la pendiente es 0.3.                                                           Σx
                                                                                                              ������ =         =                4.850
                                                                                                                     ������
             Método 3: De la misma forma que el método 2, pero se                                                    Σy
                                                                                                              ������ =         =               49.967
                                                                                                                     ������
             toma el valor absoluto el valor de ������
                                                                                                  ������������������ =     ∑������������2 − ������������ 2   =         22.270
                         ������ −������           3.05028 −0.3
              ������ =                  =                                                            ������������������ =      ∑������������2 − ������������ 2   =     251.9437
                        ������������(������ )            0.4482
              ������ = 6.1363 = 6.1363                                                              ������������������ = ∑������������ ������������ − ������������ ������ =            67.9298
             Además conocemos ������������ /2 = 2.228 por lo tanto como:
                   ������ > ������������                                                          Donde Los estimadores son:
                                      2
                                                                                               ������������������         67.9298
                     ������. ������������������������ > 2.228 Rechazamos ������������                              ������` =            =                  = 0.2696
                                                                                               ������������������        251.9437

                                                                                               ������` = ������ − ������`������
        f)   De la tabla de análisis de varianza (ANOVA):
              ������0 : ������ = 0          ������1 : ������ ≠ 0                                       ������` = 4.850 − 0.2696 ∗ 49.967
                           ������������������                                                              ������` = −8.6211
                      ������ = ������������ ~ ������������ ,������−������
                                          ������������������                                      Por lo tanto el modelo es:
                              ������ =         ������ 2
                                                   = 46.3152
       Donde con ������ = 3% de significancia o el 97% de confianza, 1 g.l.                ������������ = −������. ������������������������ + ������. ������������������������������������
       en el numerador y ������ − 2 = 12 − 2 = 10 g. l. en el denominador.               Cuya suma de cuadrados residuales (SSE) es:
                ������1 ,������−2 = ������1,10 = 4.96                                                                                 ������������
                                                                                           ������������������ = ������������������ − ������������������ = 3.954567
                                                                                                               ������������
                Cuya ������������������������������ = ������ = 4.7094 ∗ 10−4
             Por lo tanto como:
                   ������ > ������1,10
                   46.3152 > 4.96
             Rechazamos ������0 : ������ = 0
             Es decir ������ ≠ 0
             Por lo tanto el modelo tiene poder predictivo.




EDWIN CHAMBI CANAZA                                                                                                                                           3 de5
MODELOS ECONOMETRICOS                                                                                                                                                        SIS – 3315 - A


    i)      Para calcular directamente usamos el modelo encontrado
                                                                                                     l)    Para calcular directamente usamos el modelo encontrado en
            en b), así reemplazamos X=5 en:
                                                                                                           b), así reemplazamos X=6.6 en:
                            ������������ = 35.17283 + 3.05028������������
                                                                                                                               ������������ = 35.17283 + 3.05028������������
                           ������������ = 35.17283 + 3.05028 5
                                                                                                                           ������������ = 35.17283 + 3.05028 6.6
             y obtenemos ������������ = ������������. ������������������������������
                                                                                                             y obtenemos ������������ = ������������. ������������������������
             Con 5% de significancia o el 95% de confianza y (n-k)=
              (12-2)=10 grados de libertad de tablas (Distribución t                                Con 2% de significancia o el 98% de confianza y (n-k)= (12-2)=10
              de Student) encontramos ������������ = ������. ������������������                                              grados de libertad de tablas (Distribución t de Student)
                                                                                                     encontramos ������������ = ������. ������������������
                                                  ������         ������������ −������ ������
               ������������������ = ������ ������ + +                                          = ������. ������������������������������                                  ������         ������������ −������ ������
                                                  ������           ������������������                                         ������������������ = ������          +                      = ������. ������������������������������
                                                                                                                             ������             ������������������
                                       ������������ −������������
                 ������ −������������ ≤                                ≤ ������������ = ������ − ������                                                  ������������ −������ ������������
                                           ������������
                                                  ������                                                          ������ −������������ ≤                          ≤ ������������ = ������ − ������
                                                                                                                                   ������������������
          ������ ������0 − ������������ ∗ ������������0 ≤ ������0 ≤ ������0 +������������ ∗ ������������0 = 1 − ������
                                                                                                           ������ ������0 − ������������ ∗ ������������0 ≤ ������ ������0 ≤ ������0 +������������ ∗ ������������0 = 1 − ������
     ������ 50.4242 − 2.228 ∗ 2.0258 ≤ ������0 ≤ 50.4242 + 2.228 ∗ 2.0258
                          = 0.95                                                                    ������ 55.3046 − 2.764 ∗ 0.99403 ≤ ������ ������0 ≤ 55.3046 + 2.764 ∗ 0.99403 =
                                                                                                                0.95
                 ������ ������������. ������������������������ ≤ ������������ ≤ ������������. ������������������������������ = ������. ������������
                                                                                                           ������ ������������. ������������������������������ ≤ ������ ������������ ≤ ������������. ������������������������������ = ������. ������������
    j)      Con 3% de significancia o el 97% de confianza, de tablas
            (Distribución Normal) encontramos con                                                   EJEMPLO 2.-Un investigador ha estimado el siguiente
            ������ = 1 − 0.03/2 = 0.985 el valor ������������ = ������. ������������ donde                                                 modelo con una muestra de 5 observaciones :
            conocemos ������������������ = 0.90687
                          ������                1                                                                                                ������������ = ������1 + ������2 ������������ + ������������
            ������������ =                 =                       = 0.333
                          ������−������            12−3                                                        Una vez realizada la estimación extravía toda la
                     ������            ������+������               1        1+0.90687                              Información de que disponía excepto la que aparece
             ������ = ������������                       = ln                                  = 1.5096            en la siguiente tabla:
                     ������            ������−������               2        1−0.90687

  Donde el intervalo de confianza de ������ es :                                                                              Obs.          1            2      3      4    5
                                                       ������         ������+������                                                     ������������        1            3      4      5    6
               ������ − ������������ ∗ ������������ ≤ ������������                                         ≤ ������ + ������������ ∗ ������������
                                                       ������         ������−������
                                                                                                                            ������������        2            -3     0    ¿?    ¿?
                                                       1       1+������
    1.5096 − 2.17 ∗ 0.333 ≤ ln                                             ≤ 1.5096 + 2.17 ∗
                                                       2       1−������                                       Con esta información el investigador debe calcular una
  0.333                                                                                                   estimación de la varianza de las perturbaciones aleatorias
                                                                                                          ¿Cómo debe proceder?
                               ������. ������������������������ ≤ ������ ≤ ������. ������������������������
                                                                                                                                       SOLUCION
    k) El modelo que pasa por el origen es:                                                                El primer problema que tenemos que resolver es hallar los
            Método de los mínimos cuadrados                                                                valores de los residuos para las observaciones número 4 y 5.
                                                                                                          Para ello, tenemos en cuenta que las dos ecuaciones normales
                                           ������������ = ������ ������������ + ������������                                          de los coeficientes imponen restricciones sobre los
                                                                                                           residuos, ya que
                          ������ = ∑ ������������2 = ∑ ������������ − ������ ������������                                                                                    ������

                            ������������                                                                                                                     ������������ = ������
                                    = ∑ ������������ − ������ ������������                     −������������
                            ������������                                                                                                            ������=������
                                                                                                                                            ������
                               ∑ ������������ ������������ − ������ ������������2 = 0                                                                                         ������������ ������������ = ������
                                ∑ ������������ ������������ −          ������ ∑ ������������2         =0                                                           ������=������

                                                                                                           Por lo tanto, en nuestro caso concreto se verificará que
                                                            ∑ ������������ ������������
                                             ������ =            ∑ ������������                                                     ������������ + ������������ + ������������ + ������������ + ������������ = ������
                                                                   ������
                                   2975 .99                                                                   ������������ ������������ + ������������ ������������ + ������������ ������������ + ������������ ������������ + ������������ ������������ = ������
                     ������ =                          = 9.77208
                                   304 .54

                               ������������ = ������. ������������������������������������������




EDWIN CHAMBI CANAZA                                                                                                                                                                   4 de5
MODELOS ECONOMETRICOS                                                                                                                         SIS – 3315 - A


          Sustituyendo los valores de la tabla se obtiene que
                                2 − 3 + 0 + ������4 + ������5 = 0                                                                 2
                                                                                                                        ������������������            ������������������ = ∑������������2 − ������������ 2
                                                                                                            2
                         2 ∗ 1 − 3 ∗ 3 + 0 ∗ 4 + 5������4 + 6������5 = 0                      Sabemos que:       ������������������ =
                                                                                                                     ������������������ ������������������        ������������������ = ∑������������2 − ������������ 2
          es decir                                                                                                                        ������������������ = ∑������������ ������������ − ������������ ������
                                          ������4 + ������5 = 1
                                         5������4 + 6������5 = 7
                                                                                      La tendencia tiene la forma:
          Resolviendo, el sistema anterior, se obtiene que
                                                                                                          ������������ = ������ + ������������������ + ������������
                                            ������������ = −������
                                               ������������ =2                                Donde conocemos:
                                                                                                                             ������������������
          El estimador insesgado de la varianza de las perturbaciones viene                                        ������ =
                                                                                                                             ������������������
          dado por:
                                                   ∑������ ������������
                                                     ������=������ ������
                                                                                                                   ������ = ������ − ������������
                                         ������������ =
                                                    ������ − ������                              Realizando los cálculos correspondientes con los
          Aplicando la fórmula nuestro caso se obtiene que                               datos corregidos tenemos:

                                                   ∑������ ������������
                                                          2                                               ������=                            172
                                                    ������=������
                                          ������������ =                                                          ������=                            111
                                                   ������ − ������                                              ������������������ =                       32760
                                ������������ + (−������)������ + ������������ + (−������)������ + ������������                                  ������������������ =                        7690
                       ������������ =                                          = ������
                                               ������ − ������                                                  ������������������ =                       15880
           Obsérvese que en el denominador de la fórmula figura T-2                                       ������ =                        0.484737
          (en lugar de T), debido precisamente a que se pierden 2 grados                                  ������=                         27.62515
           de libertad por las restricciones que imponen las ecuaciones
           normales.                                                                           ������������ = ������������. ������������������������������ + ������. ������������������������������������������������
                                                                                                                                2
                                                                                                                 2
                                                                                                                             ������������������
         EJEMPLO 3.- Basado en una muestra de 10 observaciones se                                             ������������������ =
                                                                                                                          ������������������ ������������������
         obtuvieron los siguientes resultados:
                                                                                                                158802
                    ∑Yi = 1110       ∑Xi = 1700 ∑Xi Yi = 205500                                     ������������2 =
                                                                                                        ������                 =1
                                                                                                              32760 ∗ 7690
                    ∑Xi2 = 322000        ∑Yi2 = 132100
                                                                                                                   ������������ = ������
                                                                                                                     ������������
         Con el coeficiente de correlación ������ = 0.9758. Pero al verificar por
                                                                                      Por lo tanto el efecto es:
          segunda vez estos cálculos, se encontró que se habían registrado
          dos pares de observaciones
             Y        X                              Y        X                                  error  1  0.9758  0.0242
             90       120       En lugar de          80       110
             140      220                            150      210                     Por tanto la r correcta es: ������������������ = ������ la cual nos indica
                                                                                      una perfecta correlación de los datos tomados por
         Cuál será el efecto de este error en r? obténgase la r correcta.             segunda vez.
       Llevando a una tabla los datos:
                             Y           X            Y²          X²           XY
          ANTES              80         110          6400       12100         8800
                            150         210         22500       44100         31500
          AHORA              90         120          8100       14400         10800
                            140         220         19600       48400         30800
       Donde los nuevos valores se calculan a continuación:

       Y  1110  (80  150)  (90  140)  1110
          i

       X  1700  (110  210)  (120  220)  1720
              i

       X 322000  (12100  44100)  (14400  48400)  328600
              i
               2



       Y  132100  (6400  22500)  (8100  19600)  130900
          i
              2



       X Y  205500  (8800  31500)  (10800  30800)  206800
              i i




EDWIN CHAMBI CANAZA                                                                                                                                              5 de5

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Aplicaciones de las integrales completisimo split
Aplicaciones de las integrales completisimo splitAplicaciones de las integrales completisimo split
Aplicaciones de las integrales completisimo splitprofrubio
 
Cepunt 2012 circunferencia-parabola 2012
Cepunt 2012 circunferencia-parabola  2012Cepunt 2012 circunferencia-parabola  2012
Cepunt 2012 circunferencia-parabola 2012Clemen Mamani Cabrera
 
Guía Gestión de Operaciones
Guía Gestión de OperacionesGuía Gestión de Operaciones
Guía Gestión de Operacionesnearcoscipio
 
Algebra Enero2007 Primer Parcial
Algebra Enero2007 Primer ParcialAlgebra Enero2007 Primer Parcial
Algebra Enero2007 Primer ParcialDiAmOnDirc
 
Matematica funciones
Matematica   funcionesMatematica   funciones
Matematica funcionesRafael Idase
 
Unidad5. funciones elementales 1
Unidad5. funciones elementales 1Unidad5. funciones elementales 1
Unidad5. funciones elementales 1mari201208
 
Analisis vectorial y tensorial
Analisis vectorial y tensorialAnalisis vectorial y tensorial
Analisis vectorial y tensorialAdolphe Brodin
 
Aplicacion de la integral
Aplicacion de la integralAplicacion de la integral
Aplicacion de la integralRAFA Ortega
 
La notacion cientifica abel martin
La notacion cientifica   abel martinLa notacion cientifica   abel martin
La notacion cientifica abel martinjuandeugarte
 
2. ejercicios de prueba de hipótesis
2. ejercicios de prueba de hipótesis2. ejercicios de prueba de hipótesis
2. ejercicios de prueba de hipótesisluiisalbertoo-laga
 

La actualidad más candente (18)

Guia lineal
Guia linealGuia lineal
Guia lineal
 
Algebra
AlgebraAlgebra
Algebra
 
Aplicaciones de las integrales completisimo split
Aplicaciones de las integrales completisimo splitAplicaciones de las integrales completisimo split
Aplicaciones de las integrales completisimo split
 
Cepunt 2012 circunferencia-parabola 2012
Cepunt 2012 circunferencia-parabola  2012Cepunt 2012 circunferencia-parabola  2012
Cepunt 2012 circunferencia-parabola 2012
 
Guía Gestión de Operaciones
Guía Gestión de OperacionesGuía Gestión de Operaciones
Guía Gestión de Operaciones
 
06 interpretacion y_analisis
06 interpretacion y_analisis06 interpretacion y_analisis
06 interpretacion y_analisis
 
Cuadernillo cálculo
Cuadernillo cálculoCuadernillo cálculo
Cuadernillo cálculo
 
Algebra Enero2007 Primer Parcial
Algebra Enero2007 Primer ParcialAlgebra Enero2007 Primer Parcial
Algebra Enero2007 Primer Parcial
 
Matematica funciones
Matematica   funcionesMatematica   funciones
Matematica funciones
 
Unidad5. funciones elementales 1
Unidad5. funciones elementales 1Unidad5. funciones elementales 1
Unidad5. funciones elementales 1
 
FCD Guía 3. derivadas y aplicaciones
FCD Guía 3. derivadas y aplicacionesFCD Guía 3. derivadas y aplicaciones
FCD Guía 3. derivadas y aplicaciones
 
Problemario funciones
Problemario funcionesProblemario funciones
Problemario funciones
 
# 01a
# 01a# 01a
# 01a
 
Analisis vectorial y tensorial
Analisis vectorial y tensorialAnalisis vectorial y tensorial
Analisis vectorial y tensorial
 
Aplicacion de la integral
Aplicacion de la integralAplicacion de la integral
Aplicacion de la integral
 
Cultivo paprika estadistika
Cultivo paprika estadistikaCultivo paprika estadistika
Cultivo paprika estadistika
 
La notacion cientifica abel martin
La notacion cientifica   abel martinLa notacion cientifica   abel martin
La notacion cientifica abel martin
 
2. ejercicios de prueba de hipótesis
2. ejercicios de prueba de hipótesis2. ejercicios de prueba de hipótesis
2. ejercicios de prueba de hipótesis
 

Similar a Ejemplo De Sis 3315

Repaso de estadistica e inferencia
Repaso de estadistica e inferenciaRepaso de estadistica e inferencia
Repaso de estadistica e inferenciaRodrigo Paniagua
 
Taller N°7 TeríA De AproximacióN F J2009
Taller N°7 TeríA De AproximacióN F J2009Taller N°7 TeríA De AproximacióN F J2009
Taller N°7 TeríA De AproximacióN F J2009EFRAIN VASQUEZ MILLAN
 
Regrecion y correlacion
Regrecion y correlacionRegrecion y correlacion
Regrecion y correlacionABJ1990
 
Regrecion y correlacion
Regrecion y correlacionRegrecion y correlacion
Regrecion y correlacionABJ1990
 
Regrecion y correlacion
Regrecion y correlacionRegrecion y correlacion
Regrecion y correlacionABJ1990
 
Regrecion y correlacion
Regrecion y correlacionRegrecion y correlacion
Regrecion y correlacionABJ1990
 
Regrecion y correlacion
Regrecion y correlacionRegrecion y correlacion
Regrecion y correlacionABJ1990
 
Regrecion y correlacion
Regrecion y correlacionRegrecion y correlacion
Regrecion y correlacionABJ1990
 
Regrecion y correlacion
Regrecion y correlacionRegrecion y correlacion
Regrecion y correlacionABJ1990
 
Regrecion y correlacion
Regrecion y correlacionRegrecion y correlacion
Regrecion y correlacionABJ1990
 
Regrecion y correlacion blog blogger blogspot
Regrecion y correlacion blog blogger blogspotRegrecion y correlacion blog blogger blogspot
Regrecion y correlacion blog blogger blogspotABJ1990
 
Regrecion y correlacion
Regrecion y correlacionRegrecion y correlacion
Regrecion y correlacionABJ2011
 
Inocencio meléndez julio. profundización estadistica descriptiva taller 2
Inocencio meléndez julio. profundización estadistica descriptiva taller 2Inocencio meléndez julio. profundización estadistica descriptiva taller 2
Inocencio meléndez julio. profundización estadistica descriptiva taller 2INOCENCIO MELÉNDEZ JULIO
 

Similar a Ejemplo De Sis 3315 (20)

Hipotesis maricela
Hipotesis maricelaHipotesis maricela
Hipotesis maricela
 
Regresion
RegresionRegresion
Regresion
 
Problemas de Regresion Lineal
Problemas de Regresion LinealProblemas de Regresion Lineal
Problemas de Regresion Lineal
 
Ejercicios con Decimales + Solucionario
Ejercicios con Decimales + SolucionarioEjercicios con Decimales + Solucionario
Ejercicios con Decimales + Solucionario
 
Regresion
RegresionRegresion
Regresion
 
Repaso de estadistica e inferencia
Repaso de estadistica e inferenciaRepaso de estadistica e inferencia
Repaso de estadistica e inferencia
 
Taller N°7 TeríA De AproximacióN F J2009
Taller N°7 TeríA De AproximacióN F J2009Taller N°7 TeríA De AproximacióN F J2009
Taller N°7 TeríA De AproximacióN F J2009
 
Regrecion y correlacion
Regrecion y correlacionRegrecion y correlacion
Regrecion y correlacion
 
Regrecion y correlacion
Regrecion y correlacionRegrecion y correlacion
Regrecion y correlacion
 
Regrecion y correlacion
Regrecion y correlacionRegrecion y correlacion
Regrecion y correlacion
 
Regrecion y correlacion
Regrecion y correlacionRegrecion y correlacion
Regrecion y correlacion
 
Regrecion y correlacion
Regrecion y correlacionRegrecion y correlacion
Regrecion y correlacion
 
Regrecion y correlacion
Regrecion y correlacionRegrecion y correlacion
Regrecion y correlacion
 
Regrecion y correlacion
Regrecion y correlacionRegrecion y correlacion
Regrecion y correlacion
 
Regrecion y correlacion
Regrecion y correlacionRegrecion y correlacion
Regrecion y correlacion
 
Regrecion y correlacion blog blogger blogspot
Regrecion y correlacion blog blogger blogspotRegrecion y correlacion blog blogger blogspot
Regrecion y correlacion blog blogger blogspot
 
Regrecion y correlacion
Regrecion y correlacionRegrecion y correlacion
Regrecion y correlacion
 
Distribucion
DistribucionDistribucion
Distribucion
 
Teoría clásica de los tests
Teoría clásica de los testsTeoría clásica de los tests
Teoría clásica de los tests
 
Inocencio meléndez julio. profundización estadistica descriptiva taller 2
Inocencio meléndez julio. profundización estadistica descriptiva taller 2Inocencio meléndez julio. profundización estadistica descriptiva taller 2
Inocencio meléndez julio. profundización estadistica descriptiva taller 2
 

Ejemplo De Sis 3315

  • 1. MODELOS ECONOMETRICOS SIS – 3315 - A MODELOS ECONOMETRICOS EJEMPLOS DE REGRESION SIMPLE EJEMPLO 1.- Se ha recogido datos de una localidad mediante sendas encuestas sobre el consumo (Y) de productos de hogar y de la renta (X) de los consumidores consultados, obteniéndose los siguientes resultados: Se pide: Observación X Y a) Realizar el grafico correspondiente (diagrama de dispersión) 1 7.1 54.6 b) Encontrar los estimadores (coeficientes) de acuerdo a la tendencia aproximada en a) para Y sobre X 2 3.4 44.7 c) Elabore la tabla de análisis de varianza (ANOVA) 3 5.5 51.0 d) Establezca un intervalo de confianza del 95% para los estimadores y para la varianza de regresión. 4 4.3 49.7 e) Se rechazaría la hipótesis de que el verdadero coeficiente de la 5 3.7 47.2 pendiente es 0,3. f) El modelo elegido tiene poder predictivo, usar ������ = 3% de 6 6.0 55.0 significancia 7 3.3 42.9 g) Halle los residuos (error) correspondiente 8 6.7 55.6 h) Proceda b) para X sobre Y (regresión inversa) i) Pronostique Y para X=5 y obtenga un intervalo de confianza del 95% 9 5.1 47.6 para esta predicción. 10 4.5 49.5 j) Encontrar un intervalo para el coeficiente de correlación con el 97% de seguridad. 11 2.7 44.6 k) Para los datos mostrados hallar un modelo que pase por el origen. 12 5.9 57.2 l) Encuentre un intervalo con el 98% de seguridad para la predicción media de Y en x=6.6 SOLUCIÓN a) DIAGRAMA DE DISPERSION Para emplear las deducciones mostradas necesitamos elaborar la siguiente tabla: Tabla Nº 1 Obs. X Y X² Y² XY 1 7,1 54,6 50,41 2981,16 387,66 2 3,4 44,7 11,56 1998,09 151,98 3 5,5 51.0 30,25 2601.00 280,5.0 4 4,3 49,7 18,49 2470,09 213,71 5 3,7 47,2 13,69 2227,84 174,64 6 6.0 55.0 36.00 3025.00 330.00 7 3,3 42,9 10,89 1840,41 141,57 8 6,7 55,6 44,89 3091,36 372,52 9 5,1 47,6 26,01 2265,76 242,76 10 4,5 49,5 20,25 2450,25 222,75 11 2,7 44,6 7,29 1989,16 120,42 Observando la grafica vemos una tendencia lineal que tendrá la forma: 12 5,9 57,2 34,81 3271,84 337,48 ������������ = ������ + ������������������ + ������������ ∑ 58,2 599,6 304,54 30211,96 2975,99 b) CALCULO DE LOS ESTIMADORES Con las sumatorias de la tabla mostrada calculamos los coeficientes: Donde los coeficientes (estimadores) son determinados mediante: Opción 1 Opción 2 Σx ������ = = 4.850 Σx Σy ������ ������ = ������ = ∑ ������∑������ 2 − ∑������∑������������ ������ ������ ������ = Σy ������ ∑ ������ 2 − (∑������)2 ������ = = 49.967 ������ ������������������ ∑������ ������ ������ ������ −������������ ������ ������ ∑ ������������ − ∑������∑������ ������ = = 2 ������ = ������������������ = 2 ∑������������ − ������������ 2 = 22.270 ������������������ ∑������ ������ −������������ 2 ������ ∑ ������ 2 − (∑������)2 ������������������ = ∑������������2 − ������������ 2 = 251.9467 ������ = ������ − ������������ ������������������ = ∑������������ ������������ − ������������ ������ = 67.93 EDWIN CHAMBI CANAZA 1 de5
  • 2. MODELOS ECONOMETRICOS SIS – 3315 - A TABLA ANOVA (regresión simple) Opción 1 Opción 2 Grados ������������������ 67.9298 12 ∗ 2975.99 − 58.2 ∗ 599.6 Fuente de Suma de Promedio de de F ������ = = ������ = variación cuadrados los cuadrados ������������������ 22.270 12 ∗ 304.54 − 58.22 libertad ������ = 3.05029 ������ = 3.05029 Regresión ������ = ������ − ������������ 599.6 ∗ 304.54 − 58.2 ∗ 2975.99 ������ ������������������ 1 ������������������ = ������������������������ ������ = (SSR) ������������������ ������ = 49.967 − 3.05028 ∗ 4.85 12 ∗ 304.54 − 58.22 ������������������ ������ = ������ = 35.17275 Residuos ������ 2 ������ = 35.17275 (SSE) ������������������ − ������ ������������������ ������ − 2 ������ 2 = ������ − 2 Total Por lo tanto el modelo es: ������������ = ������������. ������������������������������ + ������. ������������������������������������������ ������������������ ������ − 1 (SST) c) ANALISIS DE TABLA ANOVA Par nuestro ejemplo tenemos: Tabla Nº 2 Suma de cuadrados residuales (SSE) ANÁLISIS DE VARIANZA (TABLA ANOVA) ������������ Fuente de Suma de Grados de Promedio de ������������������ = ∑������������ = ������������������ − ������������������ ������ ������������ variación cuadrados libertad los cuadrados F 67.9298 2 Regresión ������������������ = 251.9437 − = 44.74034 207.2051 1 207.2051 22.270 (SSR) 46.3152 Residuos Suma explicada de cuadrados (SSR) 44.7386 10 4.4738 (SSE) ������������ 67.9298 2 Total ������������������ = ������������������ = = 207.20633 (SST) 251.9437 11 ������������ 22.270 Suma total de cuadrados (SST) ������������������ = ������������������ = 251.9467 d) ANALISIS DEL ITERVALO DE ������������������ = ������������������ + ������������������ = 251.9467 CONFIANZA PARA ������ , ������ y (������������ ) Coeficiente de determinación (������������ ) Con 5% de significancia o el 95% de confianza y (n-k)= (12-2)=10 ������������ grados de libertad de tablas (Distribución t de Student) encontramos ������������������ ������������ ������������ 67.9298 2 ������������ = 2.228 ������������ = ������������ = = = 0.82242 ������������������ ������������������ ������������������ 251 .9437 ∗22.270 Para ������ : Coeficiente de correlación (������������������ ) ������ − ������ ������ −������������ ≤ ≤ ������������ = ������ − ������ ������������(������) ������������������ = 0,82243 = 0.90687 ������ ������ − ������������ ������������ ������ ≤ ������ ≤ ������+������������ ∗ ������������(������ ) = 1 − ������ Varianza de la regresión ������ 35.1727 − 2.228 ∗ 2.2579 ≤ ������ ≤ 35.1727 + 2.228 ∗ 2.2579 = 0.95 ������������������ 44.74034 ������������ = = = 4.474034 ������ ������������. ������������������������ ≤ ������ ≤ ������������. ������������������������ = ������. ������������ ������−������ 12−2 Error estándar de la regresión: ó ������ = ������������. ������������������������ ± ������. ������������������������ Para ������ : ������ = 4.474034 = 2.1152 ������ − ������ Varianza y desviación estándar (error estándar o típica) ������ −������������ ≤ ≤ ������������ = ������ − ������ del estimador ������ ������������(������) ������ ������ ������ − ������������ ������������ ������ ≤ ������ ≤ ������ +������������ ∗ ������������(������ ) = 1 − ������ ������������������ ������ = ������������ ������ ������ + ������������������������ = 5.09849 ������ 3.05029 − 2.228 ∗ 0.4482 ≤ ������ ≤ 3.05029 + 2.228 ∗ 0.4482 = 0.95 ������������ ������ = ������������������ ������ = 2.25798 ������ ������. ������������������������������ ≤ ������ ≤ ������. ������������������������������ = ������. ������������ ó ������ = ������. ������������������������������ ± ������. ������������������������������ Varianza y desviación estándar (error estándar o típica) del estimador ������ Para La Varianza (������������ ) : ������������ ������������ ������������ ������ ������ − ������ ≤ ������������ ≤ (������ − ������) ������ = ������ − ������ ������������������ ������ = ������������������ = 0.20089 ������������ ������/������ ������������−������/������ Con (n-2)= (12-2)=10 g.l. y 5% de significancia o 95% de confianza ������������ ������ = ������������������ ������ = 0.4482 2 encontramos de tablas (ji-cuadrado) los siguientes valores ������������/2 = 2 20.4831 y ������1−������ /2 = 3.24697 Covarianza entre los estimadores: 4.4738 4.4738 ������ 12 − 2 ≤ ������ 2 ≤ (12 − 2) = 0.95 ������ 20.4831 3.24697 ������ ������������������ ������, ������ = −������ = −0.97436 ������ ������ ������. ������������������������ ≤ ������ ≤ ������������. ������������������������ = ������. ������������ ������������������ EDWIN CHAMBI CANAZA 2 de5
  • 3. MODELOS ECONOMETRICOS SIS – 3315 - A g) CALCULO DE LOS RESIDUOS e) PRUEBAS DE HIPÓTESIS Método 1: método de intervalos de confianza la cual se Análisis de los residuales encontró en el inciso d) donde obtuvimos el siguiente intervalo para la pendiente: Pronostico Residuos Obs. X Y ������ = ������ + ������������ ������������ = ������ − ������ ������. ������������������������������ ≤ ������ ≤ ������. ������������������������������ 1 7.1 54.6 56,830 -2,230 Por lo tanto rechazamos la hipótesis de que ������ = 0.3 ya que 2 3.4 44.7 45,544 -0,844 este valor no se encuentra en el intervalo encontrado. 3 5.5 51.0 51,949 -0,949 4 4.3 49.7 48,289 1,411 Método 2: prueba bilateral (dos lados o dos colas) 5 3.7 47.2 46,459 0,741 ������������ : ������ = 0.3 ; ������������ : ������ ≠ 0.3 6 6.0 55.0 53,475 1,525 Escogemos un nivel de significancia de ������ = 5% o lo que 7 3.3 42.9 45,239 -2,339 es lo mismo una confianza del 1 − ������ = 95% , Calculamos 8 6.7 55.6 55,610 -0,010 ������ −������ ������ = que tiene una distribución t-Student entonces de 9 5.1 47.6 50,729 -3,129 ������������(������ ) tablas con ������ − 2 = 12 − 2 = 10 g.l. y 1 − ������/2 = 0.975 10 4.5 49.5 48,899 0,601 Encontrando así ������������/2 = 2.228 con la cual definimos la 11 2.7 44.6 43,409 1,191 región critica ������. ������. = −������������/2 ; ������������/2 12 5.9 57.2 53,169 4,031 ������. ������. = −2.228; 2.228 Con nuestros datos calculamos: ������ −������ 3.05028 −0.3 h) REGRESION INVERSA ������ = = El modelo para una regresión inversa es: ������������(������ ) 0.4482 ������ = 6.1363 ������������ = ������` + ������`������������ + ������������ Como ������ = 6.1363 ∉ ������. ������. = −2.228; 2.228 Rechazamos ������������ , es decir se rechaza la hipótesis de que el Utilizando la tabla Nº 1 se calculo: verdadero coeficiente de la pendiente es 0.3. Σx ������ = = 4.850 ������ Método 3: De la misma forma que el método 2, pero se Σy ������ = = 49.967 ������ toma el valor absoluto el valor de ������ ������������������ = ∑������������2 − ������������ 2 = 22.270 ������ −������ 3.05028 −0.3 ������ = = ������������������ = ∑������������2 − ������������ 2 = 251.9437 ������������(������ ) 0.4482 ������ = 6.1363 = 6.1363 ������������������ = ∑������������ ������������ − ������������ ������ = 67.9298 Además conocemos ������������ /2 = 2.228 por lo tanto como: ������ > ������������ Donde Los estimadores son: 2 ������������������ 67.9298 ������. ������������������������ > 2.228 Rechazamos ������������ ������` = = = 0.2696 ������������������ 251.9437 ������` = ������ − ������`������ f) De la tabla de análisis de varianza (ANOVA): ������0 : ������ = 0 ������1 : ������ ≠ 0 ������` = 4.850 − 0.2696 ∗ 49.967 ������������������ ������` = −8.6211 ������ = ������������ ~ ������������ ,������−������ ������������������ Por lo tanto el modelo es: ������ = ������ 2 = 46.3152 Donde con ������ = 3% de significancia o el 97% de confianza, 1 g.l. ������������ = −������. ������������������������ + ������. ������������������������������������ en el numerador y ������ − 2 = 12 − 2 = 10 g. l. en el denominador. Cuya suma de cuadrados residuales (SSE) es: ������1 ,������−2 = ������1,10 = 4.96 ������������ ������������������ = ������������������ − ������������������ = 3.954567 ������������ Cuya ������������������������������ = ������ = 4.7094 ∗ 10−4 Por lo tanto como: ������ > ������1,10 46.3152 > 4.96 Rechazamos ������0 : ������ = 0 Es decir ������ ≠ 0 Por lo tanto el modelo tiene poder predictivo. EDWIN CHAMBI CANAZA 3 de5
  • 4. MODELOS ECONOMETRICOS SIS – 3315 - A i) Para calcular directamente usamos el modelo encontrado l) Para calcular directamente usamos el modelo encontrado en en b), así reemplazamos X=5 en: b), así reemplazamos X=6.6 en: ������������ = 35.17283 + 3.05028������������ ������������ = 35.17283 + 3.05028������������ ������������ = 35.17283 + 3.05028 5 ������������ = 35.17283 + 3.05028 6.6 y obtenemos ������������ = ������������. ������������������������������ y obtenemos ������������ = ������������. ������������������������ Con 5% de significancia o el 95% de confianza y (n-k)= (12-2)=10 grados de libertad de tablas (Distribución t Con 2% de significancia o el 98% de confianza y (n-k)= (12-2)=10 de Student) encontramos ������������ = ������. ������������������ grados de libertad de tablas (Distribución t de Student) encontramos ������������ = ������. ������������������ ������ ������������ −������ ������ ������������������ = ������ ������ + + = ������. ������������������������������ ������ ������������ −������ ������ ������ ������������������ ������������������ = ������ + = ������. ������������������������������ ������ ������������������ ������������ −������������ ������ −������������ ≤ ≤ ������������ = ������ − ������ ������������ −������ ������������ ������������ ������ ������ −������������ ≤ ≤ ������������ = ������ − ������ ������������������ ������ ������0 − ������������ ∗ ������������0 ≤ ������0 ≤ ������0 +������������ ∗ ������������0 = 1 − ������ ������ ������0 − ������������ ∗ ������������0 ≤ ������ ������0 ≤ ������0 +������������ ∗ ������������0 = 1 − ������ ������ 50.4242 − 2.228 ∗ 2.0258 ≤ ������0 ≤ 50.4242 + 2.228 ∗ 2.0258 = 0.95 ������ 55.3046 − 2.764 ∗ 0.99403 ≤ ������ ������0 ≤ 55.3046 + 2.764 ∗ 0.99403 = 0.95 ������ ������������. ������������������������ ≤ ������������ ≤ ������������. ������������������������������ = ������. ������������ ������ ������������. ������������������������������ ≤ ������ ������������ ≤ ������������. ������������������������������ = ������. ������������ j) Con 3% de significancia o el 97% de confianza, de tablas (Distribución Normal) encontramos con EJEMPLO 2.-Un investigador ha estimado el siguiente ������ = 1 − 0.03/2 = 0.985 el valor ������������ = ������. ������������ donde modelo con una muestra de 5 observaciones : conocemos ������������������ = 0.90687 ������ 1 ������������ = ������1 + ������2 ������������ + ������������ ������������ = = = 0.333 ������−������ 12−3 Una vez realizada la estimación extravía toda la ������ ������+������ 1 1+0.90687 Información de que disponía excepto la que aparece ������ = ������������ = ln = 1.5096 en la siguiente tabla: ������ ������−������ 2 1−0.90687 Donde el intervalo de confianza de ������ es : Obs. 1 2 3 4 5 ������ ������+������ ������������ 1 3 4 5 6 ������ − ������������ ∗ ������������ ≤ ������������ ≤ ������ + ������������ ∗ ������������ ������ ������−������ ������������ 2 -3 0 ¿? ¿? 1 1+������ 1.5096 − 2.17 ∗ 0.333 ≤ ln ≤ 1.5096 + 2.17 ∗ 2 1−������ Con esta información el investigador debe calcular una 0.333 estimación de la varianza de las perturbaciones aleatorias ¿Cómo debe proceder? ������. ������������������������ ≤ ������ ≤ ������. ������������������������ SOLUCION k) El modelo que pasa por el origen es: El primer problema que tenemos que resolver es hallar los Método de los mínimos cuadrados valores de los residuos para las observaciones número 4 y 5. Para ello, tenemos en cuenta que las dos ecuaciones normales ������������ = ������ ������������ + ������������ de los coeficientes imponen restricciones sobre los residuos, ya que ������ = ∑ ������������2 = ∑ ������������ − ������ ������������ ������ ������������ ������������ = ������ = ∑ ������������ − ������ ������������ −������������ ������������ ������=������ ������ ∑ ������������ ������������ − ������ ������������2 = 0 ������������ ������������ = ������ ∑ ������������ ������������ − ������ ∑ ������������2 =0 ������=������ Por lo tanto, en nuestro caso concreto se verificará que ∑ ������������ ������������ ������ = ∑ ������������ ������������ + ������������ + ������������ + ������������ + ������������ = ������ ������ 2975 .99 ������������ ������������ + ������������ ������������ + ������������ ������������ + ������������ ������������ + ������������ ������������ = ������ ������ = = 9.77208 304 .54 ������������ = ������. ������������������������������������������ EDWIN CHAMBI CANAZA 4 de5
  • 5. MODELOS ECONOMETRICOS SIS – 3315 - A Sustituyendo los valores de la tabla se obtiene que 2 − 3 + 0 + ������4 + ������5 = 0 2 ������������������ ������������������ = ∑������������2 − ������������ 2 2 2 ∗ 1 − 3 ∗ 3 + 0 ∗ 4 + 5������4 + 6������5 = 0 Sabemos que: ������������������ = ������������������ ������������������ ������������������ = ∑������������2 − ������������ 2 es decir ������������������ = ∑������������ ������������ − ������������ ������ ������4 + ������5 = 1 5������4 + 6������5 = 7 La tendencia tiene la forma: Resolviendo, el sistema anterior, se obtiene que ������������ = ������ + ������������������ + ������������ ������������ = −������ ������������ =2 Donde conocemos: ������������������ El estimador insesgado de la varianza de las perturbaciones viene ������ = ������������������ dado por: ∑������ ������������ ������=������ ������ ������ = ������ − ������������ ������������ = ������ − ������ Realizando los cálculos correspondientes con los Aplicando la fórmula nuestro caso se obtiene que datos corregidos tenemos: ∑������ ������������ 2 ������= 172 ������=������ ������������ = ������= 111 ������ − ������ ������������������ = 32760 ������������ + (−������)������ + ������������ + (−������)������ + ������������ ������������������ = 7690 ������������ = = ������ ������ − ������ ������������������ = 15880 Obsérvese que en el denominador de la fórmula figura T-2 ������ = 0.484737 (en lugar de T), debido precisamente a que se pierden 2 grados ������= 27.62515 de libertad por las restricciones que imponen las ecuaciones normales. ������������ = ������������. ������������������������������ + ������. ������������������������������������������������ 2 2 ������������������ EJEMPLO 3.- Basado en una muestra de 10 observaciones se ������������������ = ������������������ ������������������ obtuvieron los siguientes resultados: 158802 ∑Yi = 1110 ∑Xi = 1700 ∑Xi Yi = 205500 ������������2 = ������ =1 32760 ∗ 7690 ∑Xi2 = 322000 ∑Yi2 = 132100 ������������ = ������ ������������ Con el coeficiente de correlación ������ = 0.9758. Pero al verificar por Por lo tanto el efecto es: segunda vez estos cálculos, se encontró que se habían registrado dos pares de observaciones Y X Y X error  1  0.9758  0.0242 90 120 En lugar de 80 110 140 220 150 210 Por tanto la r correcta es: ������������������ = ������ la cual nos indica una perfecta correlación de los datos tomados por Cuál será el efecto de este error en r? obténgase la r correcta. segunda vez. Llevando a una tabla los datos: Y X Y² X² XY ANTES 80 110 6400 12100 8800 150 210 22500 44100 31500 AHORA 90 120 8100 14400 10800 140 220 19600 48400 30800 Donde los nuevos valores se calculan a continuación:  Y  1110  (80  150)  (90  140)  1110 i  X  1700  (110  210)  (120  220)  1720 i  X 322000  (12100  44100)  (14400  48400)  328600 i 2  Y  132100  (6400  22500)  (8100  19600)  130900 i 2  X Y  205500  (8800  31500)  (10800  30800)  206800 i i EDWIN CHAMBI CANAZA 5 de5