1. TEMA 7
Variables aleatorias continuas
Probabilidades y Estadística I

2. Esquema inicial
1. Distribución Uniforme
2. Distribución Normal
3. Distribución Exponencial
4. Distribución Erlang
5. Distribución Gamma
6. Distribución Beta
Probabilidades y Estadística I

3. Esquema inicial
1. Distribución Uniforme
2. Distribución Normal
3. Distribución Exponencial
4. Distribución Erlang
5. Distribución Gamma
6. Distribución Beta
Probabilidades y Estadística I

4. 1. Distribución Uniforme (1/3)
GÉNESIS
p(x) f(x)
x1 x2 xn-1 xn X a b X
Probabilidades y Estadística I

5. 1. Distribución Uniforme (2/3)
FICHA TÉCNICA X  U ( a, b)
 1
 x ∈ [ a, b ]
a) Función de probabilidad f ( x) =  b − a
0
 en el resto
0 x<a
x−a

= 
b) Función de distribución F ( x) a≤ x<b
b − a
1
 x≥b
a+b (b − a )
2
c) Esperanza E[X ] = d) Varianza Var [ X ] =
2 12
Probabilidades y Estadística I

6. 1. Distribución Uniforme (3/3)
EJEMPLO
Dos personas A y B quedan de 5 a 5.20 de la tarde. Calcular:
a) Probabilidad de que A espere entre 10 y 15 minutos si llega a las 5 en punto.
b) Tiempo medio que espera B si llega a las 5.
c) Tiempo medio de espera de B si llega a las 5.10 y aún no ha llegado A.
Probabilidades y Estadística I

7. Esquema inicial
1. Distribución Uniforme
2. Distribución Normal
3. Distribución Exponencial
4. Distribución Erlang
5. Distribución Gamma
6. Distribución Beta
Probabilidades y Estadística I

8. 2. Distribución Normal (1/13)
GÉNESIS
Lo medio es muy probable y los extremos son improbables con la misma gradación.
µ–σ µ µ+σ
Probabilidades y Estadística I

9. 2. Distribución Normal (2/13)
FICHA TÉCNICA X  N (µ ,σ )
− ( x − µ )2
1
a) Función de probabilidad =
f ( x) ⋅e 2σ 2
−∞ < x < ∞
2πσ
A) Máximo:
Hacer máximo f(x) equivale a hacer mínimo la expresión ( x − µ ) 2 , que se obtiene
cuando x = µ .
B) Puntos de inflexión: x µ ±σ
=
C) Simétrica respecto de eje x = µ :
f ( µ − a )= f ( µ + a)
Probabilidades y Estadística I

10. 2. Distribución Normal (3/13)
FICHA TÉCNICA X  N (µ ,σ )
z
− ( u− µ )2
x 1
b) Función de distribución F ( x ) = P[ X ≤ x ] = e 2σ 2
du
−∞
2πσ
c) Esperanza µ d) Varianza σ2
Probabilidades y Estadística I

11. 2. Distribución Normal (4/13)
P [Z ≤ z]
TABLA
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359
0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753
0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141
0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517
0.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879
0.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224
0.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549
0.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7704 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852
0.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133
0.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389
1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .8621
1.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .8830
1.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .9015
1.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .9177
1.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .9319
1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441
1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545
1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633
1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706
1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9762 .9767
2.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817
2.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .9857
2.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .9890
z 2.3
2.4
.9893
.9918
.9896
.9920
.9898
.9922
.9901
.9925
.9904
.9927
.9906
.9929
.9909
.9931
.9911
.9932
.9913
.9934
.9916
.9936
F(z) X  N (0,1)
Probabilidades y Estadística I

12. 2. Distribución Normal (5/13)
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
TABLA 0.0
0.1
.5000
.5398
.5040
.5438
.5080
.5478
.5120
.5517
.5160
.5557
.5199
.5596
.5239
.5636
.5279
.5675
.5319
.5714
.5359
.5753
0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141
0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517
0.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879
0.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224
0.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549
0.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7704 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852
0.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133
0.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389
1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .8621
1.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .8830
1.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .9015
1.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .9177
1.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .9319
1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441
1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545
1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633
1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706
1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9762 .9767
2.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817
2.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .9857
2.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .9890
2.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9909 .9911 .9913 .9916
2.4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .9936
Probabilidades y Estadística I

13. 2. Distribución Normal (6/13)
TIPIFICACIÓN X  N (µ ,σ )
X −µ x−µ  x−µ  x−µ 
FX ( x) = [ X ≤ x ] = P ≤ = Z ≤ =Z 
σ 
P P F
tipificando
 σ σ 
  σ 
  
Z  N (0,1)
Probabilidades y Estadística I

14. 2. Distribución Normal (7/13)
P [Z ≥ z]
PROBABILIDADES
z
1-F(z)
Probabilidades y Estadística I

15. 2. Distribución Normal (8/13)
PROBABILIDADES
P [Z ≤ −z]
-z z
F(-z) 1-F(z)
Probabilidades y Estadística I

16. 2. Distribución Normal (9/13)
PROBABILIDADES
P [ a < Z < b= F (a ) − F (b)
]
a b
Probabilidades y Estadística I

17. 2. Distribución Normal (10/13)
EJEMPLO
Un tubo electrónico tiene una distribución de vida normal de media 280 h y desviación típica
σ . ¿Cuál debe ser el valor máximo que debe alcanzar σ si queremos que el tubo tenga una
probabilidad 0.8 de vivir entre 240 h y 320 h?
40 40 40
z0.9 = ⇒σ = =  = 31.2109
σ z0.9 tabla 1.2816
Probabilidades y Estadística I

18. 2. Distribución Normal (11/13)
APROXIMACIONES
p < 0.1
np > 1
B ( n, p ) P (λ )
λ = np
µ = np µ =λ
npq > 5 λ >5
σ = npq σ= λ
N ( µ ,σ )
Probabilidades y Estadística I

19. 2. Distribución Normal (12/13)
APROXIMACIONES
X  B (n, p ) (
Y  N np, npq )
P [ X = a ] ≈ P [ a − 0.5 ≤ Y ≤ a + 0.5]
P [ X ≤ a ] ≈ P [Y ≤ a + 0.5]
P [ X < ai ]= P [ X ≤ ai −1 ] ≈ P [Y ≤ ai −1 + 0.5]
Probabilidades y Estadística I

20. 2. Distribución Normal (13/13)
NORMAL TRUNCADA X X ≥0
 1 −( x−µ )
2
 ⋅ e 2σ x≥0
2
− ( u − µ )2
f ( x) =  kσ 2π siendo k=∫
∞ 1
e 2σ 2
du
0 0
σ 2π
 resto
Probabilidades y Estadística I

21. Esquema inicial
1. Distribución Uniforme
2. Distribución Normal
3. Distribución Exponencial
4. Distribución Erlang
5. Distribución Gamma
6. Distribución Beta
Probabilidades y Estadística I

22. 3. Distribución Exponencial (1/3)
GÉNESIS X ≡ “nº de ocurrencias por unidad de tiempo u”∼ P(λ)
T ≡ “tiempo que transcurre hasta la primera ocurrencia (en la unidad u)”
La probabilidad P [T > t0 ] equivale a que a la probabilidad de que en el intervalo ( 0,t0 ) haya
ocurrido 0 sucesos de Poisson, la cual se puede calcular mediante una nueva v.a X '  P(λt0 )
como P [ X ' = 0] .
P [T > t0 ] = P [ X ' = 0] = e − λt0
F (t ) =P [T ≤ t ] = − P [T > t ] = − e − λt
1 1
Probabilidades y Estadística I

23. 3. Distribución Exponencial (2/3)
FICHA TÉCNICA X  Exp (λ )
a) Función de probabilidad = λ e− λ x x ≥ 0
f ( x)
b) Función de distribución F ( x) =λ x x ≥ 0
1 − e−
1
c) Esperanza E[X ] =
1 d) Varianza Var [ X ] =
λ λ2
Probabilidades y Estadística I

24. 3. Distribución Exponencial (3/3)
EJEMPLO
Si las llamadas que llegan a una centralita siguen una distribución de Poisson
de media 3 llamadas / 5 minutos, calcular la probabilidad de que transcurran
5 minutos sin ninguna llamada.
T ≡ “tiempo (en minutos) que transcurre hasta la primera llamada”∼ Exp(3/5)
P [T ≥ 5] = − FT (5) = −3/ 5×5 = −3
1 e e
Probabilidades y Estadística I

25. Esquema inicial
1. Distribución Uniforme
2. Distribución Normal
3. Distribución Exponencial
4. Distribución Erlang
5. Distribución Gamma
6. Distribución Beta
Probabilidades y Estadística I

26. 4. Distribución Erlang (1/3)
GÉNESIS X ≡ “nº de ocurrencias por unidad de tiempo u”∼ P(λ)
T ≡ “tiempo que transcurre hasta la ocurrencia k-ésima (en la unidad u)”
La probabilidad P [T > t0 ] equivale a que a la probabilidad de que en el intervalo ( 0,t0 ) haya
ocurrido k-1 sucesos de Poisson, la cual se puede calcular mediante una nueva v.a X '  P (λt0 )
como P [ X ' ≤ k − 1] .
 ( λt0 )1 ( λt0 )2 ( λ t0 ) 
k −1
P [T > t0 ] P [ X ' ≤ k −= e − λt0
= 1] 1 + + + .... + 

 1! 2! (k − 1)!  
 ( λt )1 ( λt )2 ( λt ) 
k −1
F (t ) =P [T ≤ t ] = − P [T > t ] = − e − λt 1 +
1 1 + + .... + 

 1! 2! (k − 1)! 
Probabilidades y Estadística I

27. 4. Distribución Erlang (2/3)
FICHA TÉCNICA X  Erlang (k , λ )
λ k x k −1e − λ x
=
a) Función de probabilidad f ( x) x≥0
(k − 1)!
( λt )
i
k −1
b) Función de distribución 1 − e−λ x
F ( x) = ∑i =0 i!
x≥0
k
E[X ] =
k
c) Esperanza d) Varianza Var [ X ] =
λ λ2
Probabilidades y Estadística I

28. 4. Distribución Erlang (3/3)
EJEMPLO
En el ejemplo de la centralita, ¿cuál es la probabilidad de que el
tiempo que transcurre hasta recibir 2 llamadas enla centralita sea
superior a 5 minutos?
T ≡ “tiempo (en minutos) que transcurre hasta la segunda llamada”∼ Erlang(2,3/5)
3 / 5× 5
P [T ≥ 5] = − FT (5) = −3/ 5×5 + e −3
1 e = e −3 =
2 0.099
1!
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29. Esquema inicial
1. Distribución Uniforme
2. Distribución Normal
3. Distribución Exponencial
4. Distribución Erlang
5. Distribución Gamma
6. Distribución Beta
Probabilidades y Estadística I

30. 5. Distribución Gamma (1/4)
GÉNESIS
Generalización
X  Erlang (k , λ ) X  γ (k , λ )
k > 0, k ∈ R
λ k x k −1e − λ x Generalización λ k x k −1e − λ x
f ( x) x≥0 =f ( x) x≥0
(k − 1)! Γ(k )
Probabilidades y Estadística I

31. 5. Distribución Gamma (2/4)
FICHA TÉCNICA X  γ (k , λ )
λ k x k −1e − λ x
=
a) Función de probabilidad f ( x) x≥0
Γ(k )
λk x
=
b) Función de distribución F ( x)
Γ(k ) 0∫ t k −1e − λt dt x ≥ 0
k
E[X ] =
k
c) Esperanza d) Varianza Var [ X ] =
λ λ2
Probabilidades y Estadística I

32. 5. Distribución Gamma (3/4)
GRÁFICAS
Probabilidades y Estadística I

33. 5. Distribución Gamma (4/4)
FUNCIÓN GAMMA
∞
∫x
Γ(k ) =k −1e − x dx
0
Siendo k un entero positivo
a) Γ(1) =
1
b) Γ(k ) = (k − 1) Γ(k − 1)
c) Γ(k ) =( k − 1) ! Siendo k un entero positivo
∞
Γ(k )
∫x
k −1 − λ x
d) e dx =
0
λk
Probabilidades y Estadística I

34. Esquema inicial
1. Distribución Uniforme
2. Distribución Normal
3. Distribución Exponencial
4. Distribución Erlang
5. Distribución Gamma
6. Distribución Beta
Probabilidades y Estadística I

35. 5. Distribución Beta (1/4)
GÉNESIS
Probabilidades y Estadística I

36. 5. Distribución Beta (2/4)
FICHA TÉCNICA X  Beta ( p, q )
a) Función de probabilidad
b) Función de distribución Definición teórica
c) Esperanza d) Varianza
Probabilidades y Estadística I

37. 5. Distribución Beta (3/4)
GRÁFICAS
Probabilidades y Estadística I

38. 5. Distribución Beta (4/4)
FUNCIÓN BETA
Probabilidades y Estadística I