2. Esquema inicial
1. Distribución Uniforme
2. Distribución Normal
3. Distribución Exponencial
4. Distribución Erlang
5. Distribución Gamma
6. Distribución Beta
Probabilidades y Estadística I
3. Esquema inicial
1. Distribución Uniforme
2. Distribución Normal
3. Distribución Exponencial
4. Distribución Erlang
5. Distribución Gamma
6. Distribución Beta
Probabilidades y Estadística I
4. 1. Distribución Uniforme (1/3)
GÉNESIS
p(x) f(x)
x1 x2 xn-1 xn X a b X
Probabilidades y Estadística I
5. 1. Distribución Uniforme (2/3)
FICHA TÉCNICA X U ( a, b)
1
x ∈ [ a, b ]
a) Función de probabilidad f ( x) = b − a
0
en el resto
0 x<a
x−a
=
b) Función de distribución F ( x) a≤ x<b
b − a
1
x≥b
a+b (b − a )
2
c) Esperanza E[X ] = d) Varianza Var [ X ] =
2 12
Probabilidades y Estadística I
6. 1. Distribución Uniforme (3/3)
EJEMPLO
Dos personas A y B quedan de 5 a 5.20 de la tarde. Calcular:
a) Probabilidad de que A espere entre 10 y 15 minutos si llega a las 5 en punto.
b) Tiempo medio que espera B si llega a las 5.
c) Tiempo medio de espera de B si llega a las 5.10 y aún no ha llegado A.
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7. Esquema inicial
1. Distribución Uniforme
2. Distribución Normal
3. Distribución Exponencial
4. Distribución Erlang
5. Distribución Gamma
6. Distribución Beta
Probabilidades y Estadística I
8. 2. Distribución Normal (1/13)
GÉNESIS
Lo medio es muy probable y los extremos son improbables con la misma gradación.
µ–σ µ µ+σ
Probabilidades y Estadística I
9. 2. Distribución Normal (2/13)
FICHA TÉCNICA X N (µ ,σ )
− ( x − µ )2
1
a) Función de probabilidad =
f ( x) ⋅e 2σ 2
−∞ < x < ∞
2πσ
A) Máximo:
Hacer máximo f(x) equivale a hacer mínimo la expresión ( x − µ ) 2 , que se obtiene
cuando x = µ .
B) Puntos de inflexión: x µ ±σ
=
C) Simétrica respecto de eje x = µ :
f ( µ − a )= f ( µ + a)
Probabilidades y Estadística I
10. 2. Distribución Normal (3/13)
FICHA TÉCNICA X N (µ ,σ )
z
− ( u− µ )2
x 1
b) Función de distribución F ( x ) = P[ X ≤ x ] = e 2σ 2
du
−∞
2πσ
c) Esperanza µ d) Varianza σ2
Probabilidades y Estadística I
13. 2. Distribución Normal (6/13)
TIPIFICACIÓN X N (µ ,σ )
X −µ x−µ x−µ x−µ
FX ( x) = [ X ≤ x ] = P ≤ = Z ≤ =Z
σ
P P F
tipificando
σ σ
σ
Z N (0,1)
Probabilidades y Estadística I
14. 2. Distribución Normal (7/13)
P [Z ≥ z]
PROBABILIDADES
z
1-F(z)
Probabilidades y Estadística I
15. 2. Distribución Normal (8/13)
PROBABILIDADES
P [Z ≤ −z]
-z z
F(-z) 1-F(z)
Probabilidades y Estadística I
16. 2. Distribución Normal (9/13)
PROBABILIDADES
P [ a < Z < b= F (a ) − F (b)
]
a b
Probabilidades y Estadística I
17. 2. Distribución Normal (10/13)
EJEMPLO
Un tubo electrónico tiene una distribución de vida normal de media 280 h y desviación típica
σ . ¿Cuál debe ser el valor máximo que debe alcanzar σ si queremos que el tubo tenga una
probabilidad 0.8 de vivir entre 240 h y 320 h?
40 40 40
z0.9 = ⇒σ = = = 31.2109
σ z0.9 tabla 1.2816
Probabilidades y Estadística I
18. 2. Distribución Normal (11/13)
APROXIMACIONES
p < 0.1
np > 1
B ( n, p ) P (λ )
λ = np
µ = np µ =λ
npq > 5 λ >5
σ = npq σ= λ
N ( µ ,σ )
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19. 2. Distribución Normal (12/13)
APROXIMACIONES
X B (n, p ) (
Y N np, npq )
P [ X = a ] ≈ P [ a − 0.5 ≤ Y ≤ a + 0.5]
P [ X ≤ a ] ≈ P [Y ≤ a + 0.5]
P [ X < ai ]= P [ X ≤ ai −1 ] ≈ P [Y ≤ ai −1 + 0.5]
Probabilidades y Estadística I
20. 2. Distribución Normal (13/13)
NORMAL TRUNCADA X X ≥0
1 −( x−µ )
2
⋅ e 2σ x≥0
2
− ( u − µ )2
f ( x) = kσ 2π siendo k=∫
∞ 1
e 2σ 2
du
0 0
σ 2π
resto
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