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Preparación Matemáticas Bachillerato
EXAMEN FINAL
Costa Rica
2016

Prohibida la reproducción y la divulgación total o parcial de los contenidos de este documento
para fines comerciales. |
Presentación
2
Presentación
Considerando la diversidad de realidades de nuestro país y tomando en cuenta el estudio
individual sin estar conectado a la red, se pone a su disposición el presente recurso.
Este documento comprende los treinta ítems del examen final del curso virtual Preparación
Matemáticas Bachillerato. Los ítems están organizados por áreas matemáticas y numerados
como aparecen en la plataforma del curso.
Esta herramienta tiene como propósito ser un instrumento adicional para docentes y estudiantes
en la preparación para la Prueba Nacional de Bachillerato.

Presentación
3
Tabla de contenido
Presentación ................................................................................................................................................2
Geometría ....................................................................................................................................................4
Pregunta 1 (Selección única) ....................................................................................................................4
Pregunta 9 (Selección única) ..................................................................................................................10
Pregunta 10 (Selección única) ................................................................................................................10
Relaciones y álgebra...................................................................................................................................11
Pregunta 14 (Respuesta cerrada) ...........................................................................................................14
Estadística y Probabilidad...........................................................................................................................21
Créditos......................................................................................................................................................30

para fines comerciales. | Geometría
4
Geometría
Ecuación de una circunferencia
La ecuación de una circunferencia es (𝐱 + 𝟏) 𝟐
+ (𝐲 – 𝟏) 𝟐
= 𝟒.
Pregunta 1 (Selección única)
Con respecto a la circunferencia cuya ecuación se da en el contexto “Ecuación de una
circunferencia”, el punto 𝑷(𝟐, −𝟏) es
A) Interior a la circunferencia
B) Exterior a la circunferencia
C) Un punto en la circunferencia
D) El centro de la circunferencia

5
Circunferencia que pasa por un punto
Una circunferencia C tiene como centro el punto P(-2,4) y pasa por el punto A(1,4).
Si a la circunferencia C dada en el contexto “Circunferencia que pasa por un punto” se le aplica
una traslación de vector (3,1), se obtiene una circunferencia C'. La gráfica de C' corresponde a
A) B)
C) D)

6
Juego de fichas
Cierto juego consiste en acomodar de determinada manera las fichas hexagonales que se
presentan en la siguiente figura:
La fichas corresponden a hexágonos regulares de lado 2 cm.
Mariana desea construir una caja de cartón para colocar las fichas mencionadas en el contexto
“Juego de fichas” cuando no están en uso, de manera que queden como se muestra en la figura.
Para que las fichas no estén sueltas dentro de la caja, la altura de la misma será igual al grosor de
las fichas y deberá tener forma hexagonal. Si la base se va a construir cortando un hexágono a
partir de un cartón cuadrado, el menor valor (redondeado a dos decimales) que debe tener, en
centímetros, el lado del cuadrado de cartón corresponde a
A) 28,65
B) 31,32
C) 35,75
D) 37,45

7
Región no poligonal
En la figura adjunta, cada uno de los cuadrados que componen la cuadrícula mide 1 cm de lado.
El área, en centímetros cuadrados, de la figura sombreada que aparece en el contexto “Región no
poligonal” está entre
A) 14,5 y 18
B) 18 y 22
C) 22 y 25
D) 25 y 28.5

8
Homotecia
En la siguiente ilustración, al
aplicarle a la figura mayor una
homotecia con centro en el punto P,
se obtiene la figura menor.
La razón de la homotecia que se proporciona en el contexto “Homotecia” corresponde a
A) -0,75
B) -0,5
C) 0,5
D) 0,75
Reflexión de puntos
Se refleja el punto (2,5) con respecto a la recta y = 3, el punto resultante se refleja con respecto a
la recta x = -1.
Según el contexto “Reflexión de puntos”, el punto que se obtiene corresponde a
A) (-4,1)
B) (4,-7)
C) (1,-4)
D) (-7,4)

9
Un cilindro cortado por un plano
Un cilindro se corta con un plano P de manera que el menor ángulo que forman P y el plano de la
base del cilindro mide 45º. El plano P no corta la base del cilindro.
De acuerdo con lo dicho en el contexto “Un cilindro cortado por un plano”, la sección plana que
se obtiene recibe el nombre de
A) elipse
B) parábola
C) hipérbola
D) rectángulo
Tres planos cortan un sólido
Cierto sólido se corta con tres planos diferentes. Las secciones planas que se obtienen son una
elipse, una circunferencia y una parábola.
Se puede asegurar que el sólido que se menciona en el contexto “Tres planos cortan un sólido”
corresponde a
A) Un cono
B) Un cilindro
C) Una esfera
D) Una pirámide

10
Una circunferencia y tres puntos
La ecuación de una circunferencia 𝑓 es 𝑥2
+ (𝑦 − 3)2
= 9 y se tienen tres puntos 𝐴(1,4),
𝐵(−2,3) y 𝐶(2,5).
De los tres puntos dados en el contexto circunferencia y tres puntos, son interiores a la
circunferencia f:
A) Ninguno
B) Solo uno
C) Solo dos
D) Los tres
Figura en el plano
Se tiene la siguiente figura en el plano:
El número de ejes de simetría que presenta la figura dada en el contexto "Figura en el plano"
corresponde a
A) 0
B) Uno
C) Dos
D) Cuatro

para fines comerciales. | Relaciones y álgebra
11
Relaciones y álgebra
Función a trozos
A continuación se muestra la gráfica de una función 𝑓.
De acuerdo con la información “Función a trozos”, el rango de la función 𝑓 corresponde a
A) 0,9
B) −1,6
C) −1,3 ∪ 4,6
D) 0,4 ∪ 5,9
𝑥
𝑦

12
Estatura de niños y jóvenes costarricenses
La estatura media (en centímetros) de los niños y jóvenes entre los 5 y 17 años de edad en Costa
Rica está representada aproximadamente en la siguiente gráfica
De acuerdo con el contexto anterior, la estatura (en centímetros) de un niño de 11 años, es de
aproximadamente
A) 120
B) 134
C) 141
D) 156

13
Latidos del corazón
Por razones de salud, las personas deben limitar sus esfuerzos, por ejemplo al hacer ejercicios,
para no superar una determinada frecuencia cardiaca. La máxima frecuencia cardiaca "𝐹" para
una persona con 𝑛 años de edad viene dada por la relación
𝐹 = 208 − 0,7 ∙ 𝑛
De acuerdo con el contexto “Latidos del corazón”, si una persona tiene una frecuencia máxima
"𝐹", entonces la edad (en años) de la persona corresponde a
A) −1,42𝐹 + 297,14
B)
𝐹
207,3
C) 𝐹 − 207,3
D) 1,42𝐹 − 297,14

14
Gráficas de dos funciones
A continuación se muestra la gráfica de dos funciones, denotadas por 𝑓 y 𝑔:
Función 𝒇 Función 𝒈
Pregunta 14 (Respuesta cerrada)
De acuerdo con la información anterior, el valor numérico de la composición de funciones
𝑔 ∘ 𝑓 2 corresponde a _____________________.

15
Función logarítmica
A continuación se muestra la gráfica de 𝑓: ℝ+
→ ℝ, donde 𝑓 es una función logarítmica:
De acuerdo con la información anterior, el criterio de la función inversa de 𝑓 corresponde a
A) 𝑓−1
𝑥 = log2 𝑥
B) 𝑓−1
𝑥 = log 𝑥
C) 𝑓−1
𝑥 = 2 𝑥
D) 𝑓−1
𝑥 =
1
2
𝑥

16
Líquenes
Los líquenes son plantas diminutas que crecen aproximadamente en forma de círculo. La relación
entre el radio "𝑟" de este círculo (dado en milímetros) y la edad "𝑡" del liquen (dada en años) se
puede expresar aproximadamente mediante la fórmula:
𝑡 =
4𝑟2
49
De acuerdo con el contexto “Líquenes”, la representación gráfica de la relación presentada
corresponde a
A)
B)

17
C)
D)

18
De acuerdo con el contexto “Líquenes”, la edad (en años) de un líquen de radio 7,5 mm
corresponde aproximadamente a
A) 0,61
B) 4,59
C) 9,58
D) 18,36
De acuerdo con el contexto “Líquenes”, el radio "𝑟" (en milímetros) de un liquen con una edad de
3 años corresponde a
A) 0,73
B) 3,60
C) 6,06
D) 36,75

19
Vendiendo periódicos
El diario “La Verdad” le paga a sus vendedores semanalmente de la siguiente forma: un salario
fijo de 18 000 colones, más 20 colones por cada periódico vendido.
De acuerdo con el contexto “Vendiendo periódicos”, si 𝑆 es el salario recibido por el vendedor y
𝑛 es la cantidad de periódicos que vende por semana, entonces una función que relacione a 𝑆 y 𝑛
corresponde a
A) 𝑆 = 20 ∙ 𝑛
B) 𝑆 = 36 000 ∙ 𝑛
C) 𝑆 = 18 000 + 20 ∙ 𝑛
D) 𝑆 = 18 000 ∙ 𝑛 + 20

20
Ley de enfriamiento
Esta ley establece que la tasa de enfriamiento de un objeto es proporcional a la diferencia de
temperaturas entre el objeto y la de sus alrededores. Este modelo aplica cuando la diferencia de
temperaturas no es muy grande. La ley está dada por
𝑇 𝑛 = 𝑇0 + 𝐷0 𝑒−𝑘∙𝑛
con
𝑇 𝑛 : es la temperatura en un tiempo 𝑛 de un objeto.
𝑇0: es la temperatura de los alrededores del objeto en cuestión.
𝐷0: es la diferencia de la temperatura inicial entre el objeto y sus alrededores.
𝑘: es la constante que depende del tipo de objeto.
𝑛: es el tiempo en horas.
Si en una ciudad donde la temperatura promedio es de 18℃ y la temperatura normal de un objeto
es de 36,7℃. Además, se ha determinado experimentalmente que la constante para ese tipo de
objetos es 𝑘 = 0,1946, entonces la “Ley de enfriamiento” para el objeto descrito anteriormente
corresponde a
A) 𝑇 𝑛 = 36,7 + 18,7 ∙ 𝑒−0,1946𝑛
B) 𝑇 𝑛 = 18 + 18,7 ∙ 𝑒−0,1946𝑛
C) 𝑇 𝑛 = 18,7 + 18 ∙ 𝑒−0,1946𝑛
D) 𝑇 𝑛 = 36,7 + 54,7 ∙ 𝑒−0,1946𝑛

para fines comerciales. | Estadística y Probabilidad
21
Estadística y Probabilidad
Plantaciones de arroz
Un agricultor posee tres fincas en las cuales cultiva arroz, los tamaños de las fincas son
diferentes y así como la producción promedio por hectárea. La información se resume en el
siguiente cuadro:
De acuerdo con el contexto “Plantaciones de arroz”, ¿Cuál es la producción promedio de arroz,
en kilogramos, por hectárea en las tres fincas? _________
El ascensor
En el primer piso de un edificio entran a un ascensor vacío una cantidad de personas que en
promedio pesan 80 kg. El ascensor sube al segundo piso y ahí sale una persona y entran dos
personas, conservando el mismo peso promedio entre las personas del ascensor.
Con base en la información del contexto “El ascensor”, considere las siguientes proposiciones:
I. La suma de los pesos de las dos personas que entraron al ascensor es igual al peso de
la persona que salió del ascensor.
II. Las personas que entraron en el segundo piso al ascensor pesaban cada una 80 kg.
¿Cuál o cuáles de estas proposiciones, con certeza, son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II

22
PH y Coliformes fecales en muestras de agua
Dos variables que se miden regularmente para determinar el grado de contaminación de un río
son el PH y los coliformes fecales. El PH o índice de acidez o alcalinidad del agua, toma valores
en el intervalo [0,14] (entre menor es el valor mayor es el índice de acidez) Los coliformes
fecales encontrados en el agua son medidos por 200 microorganismos en 100 mililitros de agua.
En un estudio para determinar el grado de contaminación sobre la cuenca de un río en las
montañas de Heredia, se determinaron los siguientes valores de PH y de coliformes fecales para
muestras aleatorias de agua recolecta en diferentes momentos del año en un mismo sitio.
Con base en la información del contexto “PH y Coliformes fecales en muestras de agua”,
considere las siguientes proposiciones:
I. Los datos apoyan la hipótesis de que en la época seca la variabilidad en el nivel de acidez del
agua disminuye respecto a la época lluviosa.
II. Los datos apoyan la hipótesis de que en la época lluviosa aumenta la variabilidad en cantidad
de coliformes fecales respecto a la época seca.
¿Cuál o cuáles de estas proposiciones son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II

23
Alimento de cachorros Rottweiler
Un criador de perros Rottweiler ha estado probando dos complementos alimenticios que ofrece a
los cachorros antes de los dos meses de edad. Para los cachorros que han recibido estos
complementos alimenticios, determinó su peso a los dos meses de nacidos. Los resultados son
resumidos en el siguiente diagrama de cajas:
Fuente: Información hipotética con fines didácticos
Se considera que un cachorro Rottweiler que a los dos meses su peso sea de 8 kg o más se
encuentra con sobrepeso, mientras que si su peso es inferior a los 5,5 kg se considera que está
bajo de peso.
Tomando como referencia el contexto “Alimento de cachorros Rottweiler”, considere las
siguientes proposiciones:
I. En la muestra de cachorros Rottweiler que han recibido el complemento alimenticio tipo 1
aproximadamente el 25% tiene sobrepeso.
II. En la muestra de cachorros Rottweiler que han recibido el complemento alimenticio tipo 2
aproximadamente el 25% está bajo de peso.
¿Cuál o cuáles de ellas, con certeza, son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D)Solo la II

24
Pérdida de calificaciones
Un profesor universitario, después de entregar las notas finales de un curso de Introducción a la
Geología a uno de los grupos a los que le impartió clases durante un primer semestre, extravió el
registro de calificaciones y solamente logró encontrar la siguiente representación de notas
correspondientes a los 40 estudiantes matriculados en su grupo:
Con la información del contexto “Pérdida de calificaciones”, suponga que al final del año se
pidió al profesor un informe de su labor docente, entre otras cosas se solicitó la calificación
promedio de los estudiantes correspondiente a cada curso que impartió. Según la representación
planteada, ¿Cuál es la calificación promedio (con dos decimales) para el grupo en el curso
Introducción a la Geología? _________

25
Edad a la primera unión conyugal
Diferentes estudios han demostrado que las personas que tienen su primera unión conyugal a
muy tempranas edades son más propensas a ser pobres que aquellas que lo hacen a mayor edad.
Con el propósito de realizar una campaña para crear conciencia en la población sobre esta
situación, el Instituto Nacional de la Mujer (INAMU) realizó una encuesta, en tres regiones del
país, seleccionando por región a 500 mujeres que viven o han vivido en unión conyugal. Los
resultados se muestran a continuación:
Con la información del contexto “Edad a la primera unión”, el INAMU ha decidido invertir en
una campaña de sensibilización en aquella región en la cual la mediana y la moda tomen los
valores más bajos en relación con la edad a la primera unión. ¿Cuál es, el número de la región a
la que se debe aplicar la campaña? ________

26
Juego de dados
Tres jóvenes estudiantes de secundaria: Carlos, Pepe y Herminia, analizan un juego que consiste
en lanzar aleatoriamente dos dados legales numerados de uno a seis, discutían sobre los
resultados más probables al calcular la diferencia absoluta de puntos (valor absoluto de la
diferencia de puntos) en las caras de los dados que quedan hacia arriba.
Sin tener todavía claro cuáles son los resultados que se pueden obtener en el juego ni cómo se
comportan las probabilidades correspondientes, deciden realizar un solo juego, de manera que
los perdedores deberán cargar la mochila escolar del ganador hasta su hogar durante una semana.
Antes de lanzar los dados, se lleva a cabo la siguiente escogencia de números:
 Carlos escoge los números 1 y 4
 Pepe escoge los números 0, 5 y 6
 Herminia escoge los números 3 y 4
Según el contexto de “Juego de dados”, ¿cuál de las siguientes proposiciones se cumplen con
certeza?
A) Resulta más probable que Carlos y Pepe deban cargar la mochila de Herminia
B) Es más probable que Carlos gane el juego (Correcta)
C) Es más probable que Pepe gane el juego
D) Es igualmente probable que ganen el juego Carlos o Herminia.

27
Relación entre pobreza y educación
Se calcula la tasa de pobreza como el cociente entre el número de personas en pobreza en
un grupo entre el total de personas en ese mismo grupo. Este cociente se puede catalogar
también como la probabilidad que una persona sea pobre. El siguiente resume la distribución de
personas pobres en muestras aleatorias en cuatro estratos o grupos de educación.
Con la información del contexto “Relación entre pobreza y educación”, analice las siguientes
proposiciones bajo el supuesto que los datos representan adecuadamente el comportamiento de la
población de 30 años y más de cierta región del país.
I. Es más probable que una persona se encuentre en pobreza cuando su nivel de estudios
máximo es la secundaria (completa o incompleta) que cuando el nivel máximo de estudios es
la educación primaria (completa o incompleta).
II. Para una persona que apenas concluyó la educación primaria, resulta aproximadamente
cuatro veces más probable ser pobre que alguien que realizó estudios superiores.
¿Cuál o cuáles de las anteriores proposiciones son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II

28
Ganando confites
Un profesor de Matemática se inventó un juego para motivar a sus estudiantes en el estudio de la
Probabilidad, llamado “ganando confites”, que consiste en lanzar dos dados legales de caras
numeradas del 1 al 6 y el resultado de cada jugada será el producto de los números que muestran
las dos caras superiores obtenidas. Los estudiantes deben escoger tres números consecutivos del
1 al 36, y gana 5 confites aquel que haya seleccionado un número igual al resultado del
lanzamiento de los dados. En cualquier otro caso no se ganan confites. Para esto, selecciona a
tres estudiantes para que jueguen: Diego, Noelia y Sebastián. Diego escoge 34, 35 y 36, Noelia
5, 6 y 7, y Sebastián 10, 11 y 12.
Con base en la información dada en el contexto “Ganando confites”, considere las siguientes
proposiciones:
I. La mejor selección de números consecutivos que se puede hacer para ganar es 4, 5, 6.
II. Es mejor selección 21, 22 y 23 que 27, 28 y 29.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II

29
Grupo sanguíneo
Un grupo sanguíneo es una clasificación de la sangre de acuerdo con las características
presentes en la superficie de los glóbulos rojos y en el suero de la sangre. Las dos clasificaciones
más importantes para describir grupos sanguíneos en humanos son los antígenos (el sistema
ABO) y el factor Rh (+, -). Esto hace que hayan cuatro grupos sanguíneos (A, B, AB y O)
combinados con sus respectivos factores Rh. Este sistema de clasificación es muy importante ya
que hizo más seguras las transfusiones de sangre al poder determinar la compatibilidad entre
donante y receptor. La siguiente tabla muestra el porcentaje de la población mundial, según
grupo sanguíneo:
Con base en la información del contexto “Grupo sanguíneo” y suponiendo que la distribución
según grupo sanguíneo de la población mundial es igual a la de Costa Rica, si un paciente (con
sangre AB-) recibió una transfusión de sangre y se sabe que sólo pudo recibir de personas con
sangre A-, B-, O-, AB-, ¿cuál es la probabilidad de que la sangre que le suministraron no fuera
O–? _____

para fines comerciales. | Créditos
30
Créditos
Preparación Matemáticas Bachillerato, Examen final, es parte del Curso virtual Preparación
Matemáticas Bachillerato, una actividad del Proyecto Reforma de la Educación Matemática en
Costa Rica.
Este proyecto del Ministerio de Educación Pública es apoyado por Asociación Empresarial para
el Desarrollo y por la Fundación Costa Rica - Estados Unidos de América para la Cooperación.
Autores del documento
Edwin Chaves, Edison De Faria, Hugo Barrantes, Luis Hernández, Ricardo Poveda
Revisores de este documento
Ángel Ruiz, Javier Barquero, Johanna Mena
Director general del proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica
Ángel Ruiz
Para referenciar este documento
Ministerio de Educación Pública, Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica
(2016). Preparación Matemáticas Bachillerato, Examen final, San José, Costa Rica: autor.
Preparación Matemáticas Bachillerato, Examen final por Ministerio de Educación Pública de
Costa Rica, Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica, se encuentra bajo una
Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.

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