POLÍGONOS REGULARES 10 AUTOR: F PRIMA jessyasm15@hotmail.com

1. 22 CAPÍTULO 1: GEOMETRÍA
'f GRUPO EDITORIAL
POLÍGONOS
H11: Determinar la medida de perímetros y áreas de polígonos en diferentes contextos.
H12: Determinar las medidas de los ángulos internos y externos de polígonos en diferentes contextos.
H13: Determinar la medida de la apotema y el radio de polígonos regulares y aplicarlo en diferentes contextos.
H17: Utilizar software de geometría dinámica para estudiar propiedades y realizar conjeturas sobre las figuras geométricas.
Los elementos y sus relaciones métricas en polígonos regulares
: , : , : , :r radio lado d diagonal a apotema
Elementos Relación métrica Elementos Relación métrica
Medida de
un ángulo
central
360
m EOD
n

Medida de
un ángulo
externo
360
m CBG
n

Medida de
un ángulo
interno
 180 2n
m BCD
n


Número de
diagonales
desde un
vértice
3D n 
Suma de las
medidas de
los ángulos
internos
 180 2im n  
Número de
diagonales
desde todos
los vértices
 3
2
n n
D


Perímetro P n   Área
2
P a
A 

: , :n número de lados P perímetro
A B
C
DE
F
O
ar r
d
G

2. CAPÍTULO 1: GEOMETRÍA 23
'f GRUPO EDITORIAL
POLÍGONOS
H11: Determinar la medida de perímetros y áreas de polígonos en diferentes contextos.
H12: Determinar las medidas de los ángulos internos y externos de polígonos en diferentes contextos.
H13: Determinar la medida de la apotema y el radio de polígonos regulares y aplicarlo en diferentes contextos.
H17: Utilizar software de geometría dinámica para estudiar propiedades y realizar conjeturas sobre las figuras geométricas.
Elementos de un polígono
Ejemplo 1
Determine la medida de los ángulos internos, externos, central, número de
diagonales, perímetro y área de un triángulo equilátero de lado 1m .
Ángulo central
360
3
120
c
c
m
m

 


Ángulo interno
 180 3 2
3
60
i
i
m
m


 


Diagonales desde
un vértice
3 3
0
D
D
 

Ángulo externo
360
3
120
e
e
m
m

 


Suma ángulos internos
 180 3 2
180
i
i
m
m
  
  


Diagonales desde
todos los vértice
 3 3 3
2
0
D
D



Perímetro
3 1 3P m 
Área
2
3
3
36
2 4
A m 

Ejemplo 2
Determine la medida de los ángulos internos, externos, central, número de
diagonales, perímetro y área de un cuadrado de lado 2m .
Ángulo central
360
4
90
c
c
m
m

 


Ángulo interno
 180 4 2
4
90
i
i
m
m


 


Diagonales desde
un vértice
4 3
1
D
D
 

Ángulo externo
360
4
90
e
e
m
m

 


Suma ángulos internos
 180 4 2
360
i
i
m
m
  
  


Diagonales desde
todos los vértice
 4 4 3
2
2
D
D



Perímetro
4 2
8
P
P m


Área
2
8 1
2
4
A
A m




3. 24 CAPÍTULO 1: GEOMETRÍA
'f GRUPO EDITORIAL
Ejercicios de movilización 9
A. Resuelva los siguientes ejercicios.
1) Determine la medida de un ángulo central de un hexágono.
2) Determine la medida de un ángulo central de un endecágono.
3) Determine la medida de un ángulo interno de un octágono.
4) Determine la medida de un ángulo interno de un dodecágono.
5) Determine la suma de las medidas de los ángulos internos de un eneágono.
6) Determine la suma de las medidas de los ángulos internos de un Tetra decágono.
7) Determine la medida de un ángulo externo de un heptágono.
8) Determine la medida de un ángulo externo de un pentadecágono.
9) Determine el número de diagonales que se trazan de un vértice de un decágono.
10) Determine el número de diagonales que se trazan de un vértice de un
heptadecágono.
11) Determine las diagonales que se trazan de todos los vértices de un pentágono.
12) Determine las diagonales que se trazan de todos los vértices de un dodecágono.
13) Determine el área y perímetro de un octágono si un lado mide 12cm, la
apotema 8cm.
14) Determine el área y perímetro de un octágono si un lado mide 15cm, la
apotema 10cm.
15) Determine el área y perímetro de un hexágono si un lado mide 12cm, la
apotema 8cm.
16) Determine el área y perímetro de un eneágono si un lado mide 24cm, la
apotema 9cm.
17) Determine el área y perímetro de un hexágono si un lado mide 8cm.
18) Determine el área y perímetro de un hexágono si la apotema mide 2 3 cm .
19) Determine el área y perímetro de un hexágono si la apotema mide
5
3
2
cm .
20) Determine el área y perímetro de un hexágono si un lado mide 2 3 cm .

4. CAPÍTULO 1: GEOMETRÍA 25
'f GRUPO EDITORIAL
POLÍGONOS
H11: Determinar la medida de perímetros y áreas de polígonos en diferentes contextos.
H12: Determinar las medidas de los ángulos internos y externos de polígonos en diferentes contextos.
H13: Determinar la medida de la apotema y el radio de polígonos regulares y aplicarlo en diferentes contextos.
H17: Utilizar software de geometría dinámica para estudiar propiedades y realizar conjeturas sobre las figuras geométricas.
Perímetro y área de polígonos regulares
Ejemplo 1 Ejemplo 2
Determine el área de un hexágono si
su radio mide 10cm.
Determine el área de un pentágono si
su apotema mide 6cm.
Forma operativa Forma operativa
1) Se calcula el ángulo central
60ºEOD 
2) Se aplica ley de senos para calcular
OG
3) Se calcula el perímetro
4) Se calcula el área
1) Se calcula el ángulo central
72ºDOC 
2) Se aplica ley de senos para calcular
FC
3) Se calcula el perímetro
4) Se calcula el área
r
54º
O
F C
6
36º
10
60º
O
G D
a
30º
6 10
60
P
P



6
36º 54º
6 36
54º
4,35
FC
sen sen
sen
FC
sen
FC




2
2
43,5 6
2
130,5
P a
A
A
A cm





G
A B
C
DE
F
O
a r

10
60º 90º
10 60
90º
5 3
OG
sen sen
sen
OG
sen
OG




2
2
60 5 3
2
259,80
P a
A
A
A cm





5 8,70
43,5
P
P



a
A
B
CD
E O
r

F

5. 26 CAPÍTULO 1: GEOMETRÍA
'f GRUPO EDITORIAL
Ejercicios de movilización 10
A. Si el perímetro de un triángulo equilátero mide 36cm entonces calcule:
1) Medida de la apotema del triángulo
2) Medida del radio del triángulo
3) Área del triángulo
B. Si en un cuadrado su radio mide 30cm entonces calcule:
1) Medida de la apotema del polígono
2) Medida del radio del polígono
3) Área del polígono
C. Si la apotema de un pentágono mide 7cm entonces calcule:
1) Medida del radio del polígono
2) Medida del lado del polígono
3) Área del polígono
D. Si el perímetro de un hexágono mide 12 3 cm entonces calcule:
1) Medida del radio del polígono
2) Medida del lado del polígono
3) Área del polígono
E. Si la apotema de un heptágono mide 9cm entonces calcule:
1) Medida del radio del polígono
2) Medida del lado del polígono
3) Área del polígono
F. Calcular la apotema de un cuadrado si el lado del cuadrado mide 3 2 m .
G. Calcular la apotema de un triángulo equilátero si su radio mide de 3 2 hm .
H. Calcular el lado del triángulo equilátero cuyo radio mide 8m .
I. El lado de un triángulo equilátero mide 2 3 dm , hallar su radio.
J. Calcular el lado de un cuadrado cuyo radio mide 24m .
K. El perímetro de un cuadrado es de 12 2 cm, calcule la medida de su radio.
L. Calcule la medida del lado de un pentágono regular de 11m de radio.
M. Si el perímetro de un hexágono mide 24cm, calcule su apotema.
N. Calcular el lado de un octágono regular cuyo radio mide 10cm.
O. La longitud del lado de un hexágono regular mide 15cm, determine la medida de
su radio.
P. La apotema de un cuadrado mide 20cm . Encontrar el perímetro y el área del
cuadrado.

6. CAPÍTULO 1: GEOMETRÍA 27
'f GRUPO EDITORIAL
Ejercicios de ampliación
A. Selección única
1) Si el heptágono regular está inscrito en la circunferencia y SZ

es tangente en
S a la circunferencia, entonces m RSZ es aproximadamente
A) 22,50º
B) 25,71º
C) 51,43º
D) 64,29º
2) ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero circunscrito en una circunferencia
cuya medida del radio es 7 ?
A) 147 3
B)
196
3
3
C) 294 3
D)
147
3
4
3) Si ABCD es un cuadrado y la medida de la apotema del hexágono regular
CDEFGH es de 3 , entonces, ¿cuál es el área de la región destacada de
color?
A) 6
B) 6 3 4
C) 3 3 4
D)
9 3
3
2

4) Si la medida de la apotema de un triángulo equilátero es 12, entonces el
perímetro del triángulo es
A) 24 3
B) 48 3
C) 54 3
D) 72 3
5) Si la medida del diámetro de la circunferencia inscrita en un hexágono regular
es 10 entonces ¿cuál es el perímetro del hexágono?
A) 30
B) 60
C) 20 3
D) 40 3
O : centro de la circunferencia
O R
S
Z
F
GE
D
C
H
A
B

7. 28 CAPÍTULO 1: GEOMETRÍA
'f GRUPO EDITORIAL
6) De acuerdo con los datos de la figura, si el hexágono ABCDEF es regular,
FBD es equilátero y 6FE  , entonces el área de la región destacada de color
es
A) 18 3
B) 27 3
C) 45 3
D) 54 3
7) Si un polígono regular tiene en total 27 diagonales, entonces lamedida en
grados de un ángulo externo de este polígono es
A) 4
B) 40
C) 60
D) 140
8) ¿Cuál es la longitud de la circunferencia inscrita en un hexagono regular cuyo
perímetro es 12 3 ?
A) 6
B) 12
C) 8 3
D) 4 3
9) Si el área del cuadrado circunscrito a la circunferencia de centro O es 64 ,
entonces, ¿Cuál es el área del círculo?
A) 8
B) 16
C) 32
D) 64
10) Si la medida de un ángulo externo de un polígono regular es 40º , entonces el
número de lados del polígono es
A) 9
B) 10
C) 18
D) 20
11) El hexágono regular ABCDEF esta inscrito en el círculo de centro O y diámetro
24 . ¿Cuál es el área de la región destaca de de color?
A) 108 3
B) 216 3
C) 432 3
D) 864 3
BA
CD
O
A
B C
D
EF
O
C
A D
EF
B

8. CAPÍTULO 1: GEOMETRÍA 29
'f GRUPO EDITORIAL
12) Un hexágono regular está circunscrito en una circunferencia de radio 2 3 .
¿Cuál es el área aproximada del hexágono?
A) 31,18
B) 41,57
C) 48,50
D) 62,35
13) Un cuadrado está circunscrito en una circunferencia. Si la medida de la
apotema del cuadrado es 4 entonces, la longitud de la circunferencia es
A) 4
B) 8
C) 16
D) 4 2
14) Si la longitud de una circunferencia inscrita en un triángulo equilátero es 12 ,
entonces, ¿cuál es el perímetro de ese triángulo?
A) 18
B) 36
C) 18 3
D) 36 3
15) ¿Cuál es la medida de la diafgonal de un cuadrado circunscrito a una
circunferencia cuyo diámetro mide 6 2 ?
A) 6
B) 12
C) 3 2
D) 6 2
16) Un hexágono regular esta inscrito en una circunferencia, si la apotema del
hexágono es 2 3 , entonces, ¿Cuál es la longitud de la circunferencia?
A) 4
B) 8
C) 32
D) 4 3
17) Si la medida del lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia
es 12 entonces, ¿Cuál es la medida del diámetro de la circunferencia?
A) 2 3
B) 4 3
C) 6 3
D) 8 3
18) Si el perímetro de un cuadrado es 16 2 entonces la medida de su apotema
es
A) 2
B)
C) 4 2
D)
19) Si 1c es la circunferencia circunscrita al cuadrado ABCD , 2c es la
circunferencia inscrita a dicho cuadrado, entonces considere las siguientes
premisas:
I. La medida del radio 1c es
2
2
BD
II. La medida del apotema del cuadrado es igual a la
medida del radio de 2c
De ellas, ¿Cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
BA
CD
8 22 2