Este documento describe un estudio para monitorear la concentración de nitratos en un lago que recibe aguas residuales. Se usó inicialmente un método manual y luego se propuso un método automático. Los datos recolectados muestran las mediciones de ambos métodos. Se comprueba la idoneidad de un modelo de regresión lineal y, de ser apropiado, se usa para predecir la lectura automática con una muestra manual de 100.

3. EJERICIOS COMPENDIO 7
Para estudiar el efecto de las aguas residuales de las alcantarillas que afluyen a
un lago, se toman medidas de la concentración de nitrato en el agua. Para
monitorizar la variable se ha utilizado un antiguo método manual. Se idea un
nuevo método automático. Si se pone de manifiesto una alta correlación positiva
entre las medidas tomadas empleando los dos métodos, entonces se hará uso
habitual del método automático. Los datos obtenidos son los siguientes:
Manual = X 2
5
4
0
120 7
5
150 300 270 400 450 575
Automático = Y 3
0
8
0
150 8
0
200 350 240 320 470 583
Comprobar la idoneidad del modelo lineal de regresión. Si el modelo es
apropiado, hallar la recta de regresión de Y sobre X y utilizarla para predecir la
lectura que se obtendría empleando la técnica automática con una muestra de
agua cuya lectura manual es de 100. Realizar el ejercicio en R

4. Y=0.93+26.11
p-valor= 1.04*10^-6
p-valor= 0,00000104

5. Y=0,0002(100)^2+0,8339(100)+33,9
7
Y= 119,36
Rta: con una muestra de agua cuya lectura manual es de 100 y empleando la
técnica automática se obtendrá una lectura de 119,36
Ejercicio 2
Sobre una hoja de papel cuadriculado dibuje aproximadamente 5 cuadrados de
diversos tamaños.
a. ¿Cuántos cuadritos encierra cada uno de los cuadrados dibujados?.
Represente esta variable mediante la letra N
b. ¿Cuánto mide el lado de cada cuadrado?. Represente esta variable mediante
la letra L
c. Coleccione su información en una tabla de datos.
d. ¿Existe alguna relación entre una y otra variable?. Detalle su respuesta.
Represente las parejas (L,N) en un plano cartesiano
Cuadros L N
1 2 4

6. 2 3 9
3 4 16
4 5 25
5 6 36
Rta d: la relación que existe es que la L es la raíz cuadrada de la variable N
e. ¿Qué clase de curva obtiene?
Rta: la curva que se obtiene es una curva potencial.
Ejercicio 3
A partir de las siguientes observaciones para 5 años de las variables X e Y,
ajústese el modelo de regresión de Y en función de X más idóneo. Donde:
Y: producción nacional de un subsector industrial, en millones de toneladas.
X: tiempo
Año X Y
1995
1996
1997
1998
1
2
3
4
1,25
5
11,25
20

7. Y=7,35x-8,45

8. Ejercicio 4
Cinco niñas de 2,4, 6,7 y 8 años pesan respectivamente 15, 19, 25, 38, y 34
kilogramos respectivamente, entonces una niña de 12 años pesara
aproximadamente:
A. 45
B. 55
C. 15
D. 51
E. 61

10. Y=0,219(12)^2+1,557(12)+10,387
Rta: Y=61
Ejercicio 5
En el análisis de Regresión lineal se puede afirmar todo lo siguiente excepto:
A. Ajusta los datos a una línea recta
B. Predice valores de una variable si se conoce el valor de la otra
C. Establece una relación cuantitativa entre dos variables relacionadas
D. El método gráfico para determinar la relación entre dos variables es más
concreto que el método matemático o de mínimos cuadrados
E. Una relación lineal entre dos variables queda representada por una línea recta
llamada ecuación de regresión
Ejercicio 6
Dado Los siguientes datos expuestos en la tabla
Edad 1 2 3 4 5
Estatura 60 80 100 110 112

11. La fórmula de regresión para los datos propuestos está dada por:
A. y = 11,5x + 67,5 B. y = 7,5x + 85,5 C. y = 13,4x + 52,2
D. y = 14,4x + 47 E. y = 14x + 48,8
Y= 13,4x+52,2

12. Ejercicio 7
El Grafico para los puntos dispersos está dado por:
A
B
C D

13. Ejercicio 8
El diagrama de dispersión para la regresión lineal está dado por
A B
C
D

14. EJERCICIOS COMPENDIO 8
Ejercicio 1
Los siguientes datos corresponden a 100 salarios tomados en una encuesta
aplicada a 380 habitantes de Villavicencio. Determinar en R el grado de asimetría
de los datos. Establecer una conclusión.
289000 350000 886900 310000 650000 961200 320000 756000 1200000 345000
289000 350000 889000 320000 665500 965000 320000 756000 1300000 320000
289000 350000 890000 320000 689500 996000 320000 759600 1700100 750000
289000 566700 896500 320000 689500 999000 340000 759600 1700100 1120000
310000 566700 900000 320000 690000 1000000 340000 789000 1700100 345000
310000 566700 936200 320000 690000 1025000 340000 789000 1700100 863000
310000 600000 942500 320000 699000 1025000 340000 800000 1700100 886000
320000 700000 1096000 320000 699000 1063000 340000 800000 1700100 345000
320000 700000 1116300 345000 859600 1777000 340000 800000 1700100 850000
320000 750000 1120000 345000 862300 1800000 345000 800000 1700100 1750000

16. Conclusión: el ingreso de salario a cada trabajador no es equitativo o igual,
puesto que si fuese de esta manera la curva sería igual a la recta de 45° que
pasa por el origen, y al mismo tiempo, al estar la curva por encima de la otra se
puede observar que la primera exhibe una menor desigualdad que la segunda.
Ejercicio 2
En una distribución asimétrica negativa:
A. La moda se encuentra entre la media y la mediana
B. La moda está ubicada a la derecha de la media
C. La media es menor que la desviación típica
D. La media es menor que la mediana
E. La moda y la mediana son iguales

17. RTA: Porque se dice que una distribución es simétrica a la izquierda o tiene sesgo
negativo cuando el valor de la media aritmética es menor que la mediana y éste
valor de la mediana a su vez es menor que la moda.
Ejercicio 3
Los momentos de segundo orden con respecto a la media de dos distribuciones
son 9 y 16, mientras que los momentos de tercer orden son 8.1 y 12. 8
respectivamente. La distribución más asimétrica es:
A. La primera porque tiene mayor grado de deformación
B. La primera porque tiene menor grado de deformación
C. La segunda porque tiene mayor grado de deformación
D. La segunda porque tiene menor grado de deformación
Ejercicio 4
Uno de los siguientes enunciados es verdadero
A. La media en una muestra de datos agrupados la divide en dos partes.
B. Una distribución de datos permite calcular todas las medidas de
tendencia central
C. La moda es un dato que permite analizar un resultado esperado
D. Una medida de dispersión está libre del cálculo de la media.
RTA: Porque las medidas de tendencia central son la moda, la mediana y la
media y para calcularlas necesito una distribución de datos.
Ejercicio 5
En el análisis de regresión lineal se puede afirmar todo lo siguiente, excepto
A. Ajusta todos los datos a una línea recta
B. Predice el valor de una variable si se conoce el valor de la otra
C. Establece una relación cuantitativa entre dos variables

18. D. El método grafico es más concreto que el método matemático
E. Una relación lineal de datos queda representada por una recta.
RTA: Porque no se puede comparar las dos gráficas, ya que las dos sirven
para obtener resultados concretos y ninguna superior a la otra.
Ejercicio 6
Dado que el grado de asimetría de una distribución es de 2,27, la media es de
189,87 y la mediana 189,16, entonces la varianza toma un valor correspondiente
a:
A. 0.93
B. 0.88
C. 0.78
D. 1.88
E. 1.78
Ejercicio 7
Tomando una distribución ligeramente asimétrica, calcular la moda sabiendo que
su media es igual a 3 y que la diferencia entre la media y la mediana es igual a -2
A. 2.9
B. 0.9
C. 19
D. 9
E. 1/9
Ejercicio 8.
En la siguiente distribución de datos el coeficiente de asimetría según el
coeficiente de Pearson es:
Xi 1 2 3 4 5 6

19. f 2 8 3 5 7 5
A. ½
B. 2
C. 1/3
D. 3
E. 1
Ejercicio 9
El valor del cuarto momento con relación a la desviación respecto a la media
aritmética es de 14.7.¿Cuál es el valor de la varianza para que la distribución sea
mesocúrtica?
A. 2.19
B. 3.19
C. 19.2
D. 51
E. 21.9
Ejercicio 10
Tomando una distribución ligeramente asimétrica ¿Cuál es el valor de la mediana
sabiendo que la diferencia entre la media y la moda es de -12 y una media
aritmética de 7?
A. 13

20. B. 31
C. 11
D. 21
E. 12
Ejercicios que desarrollan competencias
Retome los 100 datos y elabore una tabla en R para determinar el coeficiente de
Gini. Utilice la librería ineq, y compare los resultados. Establezca conclusiones
289000 350000 886900 310000 650000 961200 320000 756000 1200000 345000
289000 350000 889000 320000 665500 965000 320000 756000 1300000 320000
289000 350000 890000 320000 689500 996000 320000 759600 1700100 750000
289000 566700 896500 320000 689500 999000 340000 759600 1700100 1120000
310000 566700 900000 320000 690000 1000000 340000 789000 1700100 345000
310000 566700 936200 320000 690000 1025000 340000 789000 1700100 863000
310000 600000 942500 320000 699000 1025000 340000 800000 1700100 886000
320000 700000 1096000 320000 699000 1063000 340000 800000 1700100 345000
320000 700000 1116300 345000 859600 1777000 340000 800000 1700100 850000
320000 750000 1120000 345000 862300 1800000 345000 800000 1700100 1750000

28. EJERCICIO DE CLASE

29. x y
3,6 11,28
5,2 14,74
5,3 18,46
7,3 20,01
5 12,43
5,2 15,37
3 9,59
3,1 11,26
3,2 8,05
7,5 27,91
8,3 24,62
6,1 18,8
4,9 13,87
5,8 12,11
7,1 23,68
80,60 242,18

30. EJERCICIO DE TAREA
Nube de puntos

31. Edad Peso
X Y X^2 XY
1 10 1 10
2 15 4 30
3 18 9 54
4 22 16 88
5 24 25 120
6 30 36 180
7 34 49 238
8 38 64 304
9 40 81 360
45 231 285 1384
Sistema de Ecuaciones
∑ ∑ += bnXmY
∑ ∑ ∑+= XbxmXY 2
231 = 45 m + 9 b
1384 = 285 m + 45 b
Determinante del sistema
∆ = 45 9 Det ∆= (45*45) – (9*285) = -540
285 45
Determinante de la variable m
∆m= 231 9 Det ∆m= (231*45) – (9*1384)= - 2061
1384 45
Determinante de la variable b
∆b= 45 231 Det ∆b= (45*1384) – (231*285)= - 3555
285 1384

32. Determinantes del sistema
Soluciones de las definiciones de los determinantes
Recta de Regresión Y = 3.81 X + 6.58

33. EJERCICIO DE APUNTAMIENTO
Media Varianza m3 m4
x f (x.f) (x-Media) (x-Media)^2.f (x-Media)^3.f (x-Media)^4*f
1 23 23 -1,08 26,827 -28,973 31,29125
2 12 24 -0,08 0,077 -0,006 0,00049
3 5 15 0,92 4,232 3,893 3,58196
4 8 32 1,92 29,491 56,623 108,71636
5 2 10 2,92 17,053 49,794 145,39899
50 104 77,680 81,331 288,9891
Media=104/50
Varianza
Desviación
Estándar m3=81,331/50 m4=288,9891/50
2,08 S^2=77,680/50 S=√1,55 1,627 5,7798
1,55 1,246
ASIMETRÍA
g2=m3/S3 g3=(m4/S4)-3
1,627/(1,246)^3 5,780/(1,246)^4-3
0,8411 -0,60540
Asimetría +
Coeficiente de Variación
Cv=S/Media*100%
0,60

34. EJERCICIO DE CURTOSIS

35. boxplot(datos, main="Conocimiento", xlab="Apuntamiento", ylab="Nivel de
conocimiento")

36. boxplot(datos, notch=TRUE, col=(c("darkgreen")), main="Nivel de conocimiento",
xlab="Conocimiento")

37. BARPLOT

40. La media es mayor que la mediana y la media es mayor que la moda, por tanto es una
asimetría positiva.