NOTA: Prepa en Línea SEP. “Para realizar esta actividad es necesario que hayas revisado el tema 2. Antiderivada de la unidad 2, ahí encontrarás los referentes teóricos que te permitirán realizar esta actividad”.

1. ACTIVIDAD INTEGRADORA.
“Malthus”
Oscar Resendiz Rojas.
15 de diciembre de 2016
MODULO 18
M18C4G3-073
Facilitador
HECTOR FRANCISCO BERRONES CORTEZ
NOTA: Prepa en Línea SEP.
“Para realizar esta actividad es necesario que hayas revisado el tema 2. Antiderivada de la unidad 2,
ahí encontrarás los referentes teóricos que te permitirán realizar esta actividad”.

2. ¿Qué hacer?
1. Introducción. Lee atentamente para conocer la relación de la aplicación del
modelo de Thomas Malthus, economista inglés en 1798, y el uso de la
antiderivada.
En esencia, la idea de este modelo matemático de Malthus es la hipótesis de que
la tasa de crecimiento de la población sin freno de un país crece en forma
proporcional y constante P(t), de ese país en cualquier momento (t en años). En otras palabras,
mientras más personas haya en el momento t, habrá más personas en el futuro. En términos
matemáticos, esta hipótesis se puede expresar:
Donde el símbolo ∝ (alfa) indica que ambas cantidades son proporcionales y k es esa constante de
proporcionalidad. Este modelo no tiene en cuenta otros factores (por ejemplo, inmigración y
emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, pero
predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación
diferencial anterior aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de
animales pequeños durante cortos intervalos.
Como se mencionó una de las aplicaciones principales de la antiderivada es la solución de ecuaciones
diferenciales, si nos planteamos la ecuación anterior P' (t) = kP (t) podemos ponerla en la forma de
diferencial, teniendo la ecuación:
dP = kP (t) dt
Ahora como la P es la variable dependiente podemos pensarla como solo y = P(t), de esta manera dP
= dy y acomodando la ecuación anterior en términos de y nos resulta:
dy = kydt
Tenemos una igualdad entre dos diferenciales, para que cada lado tenga las mismas variables
pasamos la y del lado derecho al lado izquierdo:
En este punto la ecuación está en forma de diferenciales y cada uno de los lados de la igualdad está
en términos de una sola variable, para obtener las respectivas funciones que tienen esos diferenciales
es necesario obtener su antiderivada. Integra las funciones en cada lado de la igualdad para hallar la
solución de la ecuación diferencial, No olvides que cada función tiene su propia constante de
integración:
Una vez que tengas las respectivas antiderivadas en la identidad despeja la variable y para que sea
una función en términos de t, debes recordar las propiedades de las funciones necesarias. Tu proceso
debe conducir a esta ecuación que es el modelo de Malthus:
y=Cekt
Donde la variable y representa la tasa de crecimiento de la población.

3. 2. Desarrollo. Con la aplicación de la antiderivada del modelo de Malthus, sigue el
planteamiento y resuelve lo que se indica:
1) Suponiendo que la población inicial que se está considerando es de
180 individuos determina el valor de C.
Para determinar,” c” tomamos los datos que nos proporcionan.
t) 0 k) 0 p) 180
Enseguida tomaremos la ecuación representada por el “modelo de Malthus”:
y=Cekt
p(t) = Cekt, sustituimos valores 180 =C∙e0∙0
180 = Ce0
180 = C ∙ 1
180 = C
C = 180
Entonces tenemos que el valor de C es igual a 180.
2) Si tenemos que k=0.5, y con la ecuación se estima el tamaño de la población dentro de
8 años.
Para el punto número 2 tenemos los siguientes datos.
k) 0.5 t) 8
Ahora tomamos nuevamente la ecuación anterior y sustituimos con los datos que nos proporcionan de
k y t, incluyendo el valor de C que con anterioridad ya se había obtenido.
y=Cekt
p(t) = Cekt, sustituimos valores p (8) = 180∙e (0.5) (8)
p (8) = 180∙e (4)
p (8) = 180 (54.59815003)
p (8) = 9, 827.66
p (8) = 9,827
El crecimiento de la población para dentro de 8 años es de: 9,827 personas.

4. 3) Bosqueja una gráfica a mano.
t f(x)=180*e^(0.5)(t)
0 180
1 296.77
2 489.29
3 806.70
4 1330.03
5 2192.85
6 3615.40
7 5960.78
8 9827.67
9 16203.08
10 26714.37
Referencias:
Domínguez, O. (2016). Módulo 18-Semana 3-Mathus. YouTube. Recuperado el 16 diciembre del 2016, de
https://www.youtube.com/watch?v=_RMi7ycB0MM
Figueroa, G. (2016). Módulo 18 - Actividad 6 Malthus - Semana 3. YouTube. Recuperado el 16 diciembre del 2016, de
https://www.youtube.com/watch?v=HTqrAjpvREw
Crecimiento Poblacional. (Aplicaciones Ecuaciones diferenciales de primer orden). (2016). YouTube. Recuperado el 16
Diciembre del 2016, de https://www.youtube.com/watch?v=2nWSW3SA-no
SEP., P. e. (s/d de septiembre de 2016). M18 Calculo en fenómenos naturales y procesos sociales. Recuperado el 16 de
diciembre de 2016, de La derivada en la explicación de los fenómenos naturales y procesos sociales:
http://148.247.220.212/c4/pluginfile.php/10352/mod_resource/content/2/M18_U2_ext.pdf