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Ejercicios de polinomios
1 Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y
coeficiente.

13x3             25x−3       33x + 1      √2                               2√


2 Efectúa las siguientes operaciones con monomios:
1       2x3 − 5x3 =

2       3x4 − 2x4 + 7x4 =

3       (2x3) · (5x3) =

4       (2x3 y2) · (5x3 y z2) =

5       (12x3) · (4x) =

6       (18x3 y2 z5) · (6x3 y z2) =

7       (2x3 y2)3 =

8       (2 x3 y2z5)5 =

9       3x3 − 5x3 − 2x3 =

10      (12 x3 y5 z4) : (3x2 y2 z3) =



11

3 Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado
y término independiente.

1       x4 − 3x5 + 2x2 + 5


2       2        + 7X2 + 2

3       1 − x4

4

5      x3 + x5 + x2

6      x − 2 x− 3 + 8

7
4 Escribe:
1      Un polinomio ordenado sin término independiente.

2      Un polinomio no ordenado y completo.

3      Un polinomio completo sin término independiente.

4      Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

5      Dados los polinomios:

       P(x) = 4x2 − 1

       Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

       R(x) = 6x2 + x + 1

       S(x) = 1/2x2 + 4

       T(x) = 3/2x2 +5

       U(x) = x2 + 2

       Calcular:

       1         P(x) + Q (x)

       2         P(x) − U (x)

       3         P(x) + R (x)

       4         2P(x) − R (x)

       5         S(x) + R (x) + U(x)

       6         S(x) − R (x) + U(x)

6 Multiplicar:
1      (x4 −2x2 +2 ) · (x2 −2x +3) =

2      (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x +2) =

7 Calcula:
1



2      (x + 2)3

3      (3x - 2)3
4      (2x + 5)3

5      (3x - 2) · (3x + 2)

8 Dividir:
       (x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) : (x2 + 3x −2)

9 Divide por Ruffini:
       (x3 + 2x +70) : (x+4)

10 Halla el resto de las siguientes divisiones:
1      (x5 − 2x2 − 3) : (x −1)

2      (2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x +10 ) : (x + 2)

11 Indica cuáles de estas divisiones son exactas:
1      (x3 − 5x −1) : (x − 3)

2      (x6 − 1) : (x + 1)

3      (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1 )

4       (x10 − 1024) : (x + 2)

12 Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:
1      (x3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3)

2      (x6 − 1) tiene por factor (x + 1)

3      (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1 )

4      (x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)

13 Factorizar:
1



2      xy − 2x − 3y +6 =

3      25x2 − 1=

4      36x6 − 49 =

5      x2 − 2x +1 =
6      x2 − 6x +9 =

7      x2 − 20x +100 =

8      x2 + 10x +25 =

9      x2 + 14x +49 =

10     x3 − 4x2 + 4x =

11     3x7 − 27x =

12     x2 − 11x + 30

13     3x2 + 10x +3

14     2x2 − x −1

14 Descomponer en factores y hallar las raíces de:
1      P(x) = 2x3 − 7x2 + 8x − 3

2      x3 − x2 − 4

3      x3 + 3x2 −4 x − 12

15 Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2 − kx +2 por (x − 2) dé de resto 4.

16 Determinar el valor de m para que 3x2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.

17 Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.

18 Calcular el valor de a para que el polinomio x3 − ax + 8 tenga la raíz x= −2, y calcular las otras raíces.

19 Simplificar:


1



2



3



4
20 Operar:


1



2



3



4




5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
SOLUCIONES
1 Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y
coeficiente.

13x3

Grado: 3, coefeciente: 3

25x−3

No, porque el exponente no es un número natural.

33x + 1

No, porque aparece una suma.

√2

Grado: 1, coefeciente: √2

     3
     4
                            3
Grado: 4, coefeciente:
                            4

  3


No, no tiene exponente natural.

2√
No, porque la parte literal está dentro de una raíz.

2 Efectúa la siguientes operaciones con monomios:
2x3 − 5x3 = −3x3

3x4 − 2x4 + 7x4 = 8x4

(2x3) · (5x)3= 10x6

(12x3) : (4x) = 3x2

(18x6 y2 z5) : (6x3 y z2 ) = 3x3 y z3

(2x3 y2)3 = 8 x9 y6

(2 x3 y2 z5)5 = 32 x15 y10 z25
3x3 − 5x3 − 2x3 = −4x3

(12 x3 y5 z4) : (3x2 y2 z3) = 4xy3 z




3 Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su
grado y término independiente.

1x4 − 3x5 + 2x2 + 5

Grado: 5, término independiente: 5.


22        + 7X2 + 2

No, porque la parte literal del primer monomio está dentro de una raíz.

31 − x4

Grado: 4, término independiente: 1.



4

No, porque el exponente del primer monomio no es un número natural.

5x3 + x5 + x2

Grado: 5, término independiente: 0.

x − 2x−3 + 8

No, porque el exponente del 2º monomio no es un número natural.



7

Grado: 5, término independiente: -7/2.

4 Escribe:
1         Un polinomio ordenado sin término independiente.

          3x4 − 2x

2         Un polinomio no ordenado y completo.

          x − x2 + 5 − 2x3

3         Un polinomio completo sin término independiente.
Imposible

4      Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

       x4 − x3 − x2 + 3x + 5

5 Dados los polinomios:
P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = 1/2x2 + 4

T(x) = 3/2x2 +5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1      P(x) + Q (x) =

= (4x2 − 1) + ( x3 − 3x2 + 6x − 2) = x3 − 3x2 + 4x2+ 6x − 2 − 1 = x3 + x2+ 6x − 3

2      P(x) − U (x) = (4x2 − 1) − (x2 + 2) = 4x2 − 1 − x2 − 2 = 3x2 − 3

3      P(x) + R (x) = (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) = 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 = 10x2 + x

4      2P(x) − R (x) = 2(4x2 − 1) - (6x2 + x + 1) = 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 = 2x2 − x − 3

5      S(x) + R (x) + U(x) = (1/2 x2 + 4 ) + (3/2 x2 +5 ) + (x2 + 2) = 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5+ 2 =

       = 3x2 + 11

6      S(x) − R (x) + U(x) = (1/2 x2 + 4 ) − (3/2 x2 +5 ) + (x2 + 2) = 1/2 x2 + 4 − 3/2 x2 − 5 + x2 + 2 = 1

6      Multiplicar:

1      (x4 −2x2 +2 ) · (x2 −2x +3) = x 6 −2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2− 4x +6=

      = x 6 −2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x +6 x 6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6

2       (3x2 − 5x ) · (2x3 + 4x2 − x +2) = 6x5 + 12x4 − 3x3 + 6x2 − 10x4 − 20x3 + 5x2 − 10x =

       = 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x3 − 20x3 + 6x2 + 5x2 − 10x = 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x
7 Calcula:


1




2      (x + 2)3 = x 3 + 3 · x2 ·2 + 3 · x· 2 2 + 23 = x3 + 6 x2 + 12 x + 8

3      (3x - 2)3 = (3 x)3 − 3 · (3x)2 ·2 + 3 · 3x· 2 2 − 23 = 27x 3 − 54 x2 + 36 x − 8

4      (2x + 5)3 = (2 x)3 + 3 ·(2x)2 ·5 + 3 · 2x· 52 + 5 3 = 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125

5      (3x - 2) · (3x + 2) = (3x)2 − 22 = 9x2 − 4

8 Dividir:
(x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) : (x2 + 3x −2)




9 Divide por Ruffini:
(x3 + 2x +70) : (x+4)




10 Halla el resto de las siguientes divisiones:
1      (x5 − 2x2 − 3) : (x −1)

R(1) = 15 − 2 · 12 − 3 = −4

2      (2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x +10 ) : (x + 2)
R(−2) = 2 · (−2)4 − 2· (−2)3 + 3· (−2)2 + 5· (−2) +10 = 32 + 16 + 12 − 10 + 10 = 60




11 Indica cuáles de estas divisiones son exactas:
1        (x3 − 5x −1) : (x − 3)

P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

No es exacta.

2        (x6 − 1) : (x + 1)

P(−1)= (-1)6 − 1 = 0

Exacta

3        (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1 )

P(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 +1 +1 − 1 = 0

Exacta

4        (x10 − 1024) : (x + 2)

P(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 =

Exacta

12 Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:
1        (x3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3)

(x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.

P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

(x − 3) no es un factor.

2        (x6 − 1) tiene por factor (x + 1)

(x6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.

P(−1) = (−1)6 − 1 = 0

(x + 1) es un factor.

3        (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1 )

(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) es divisible por (x − 1 ) si y sólo si P(x = 1) = 0.

P(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 +1 +1 − 1 = 0
(x − 1) es un factor.

4      (x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)

(x10 − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = − 2) = 0.

P(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 =

(x + 2) es un factor.

13 Factorizar:

1

2      xy − 2x − 3y +6 = x · (y − 2) − 3 · (y − 2) = (x − 3) · (y − 2)

3      25x2 − 1= (5x +1) ·(5x − 1)

4      36x6 − 49 = (6x3 + 7) · (6x3 − 7)

5      x2 − 2x +1 = (x − 1)2

6      x2 − 6x +9 = (x − 3)2

7      x2 − 20x +100 = (x − 10)2

8      x2 + 10x +25 = (x + 5)2

9      x2 + 14x +49 = (x + 7)2

10     x3 − 4x2 + 4x = x · (x2 − 4x +4) = x · (x − 2)2

11     3x7 − 27x = 3x · (x6 − 9 ) =3x · (x3 + 3) · (x3 − 3)

12     x2 − 11x + 30

x2 − 11x + 30 = 0




x2 − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)

13     3x2 + 10x +3

3x2 + 10x +3 = 0
3x2 + 10x +3 = 3 (x − 3) · (x − 1/3)

14     2x2 − x −1

2x2 − x −1 = 0




2x2 − x −1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)

14     Descomponer en factores y hallar las raíces de:

1       P(x) = 2x3 − 7x2 + 8x − 3

P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0




(x −1 ) · (2x2 − 5x + 3 )

P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0




(x −1 )2 · (2x −3 ) = 2 (x − 3/2 ) · (x −1 )2

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1

2x3 − x2 − 4

{±1, ±2, ±4 }

P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0
P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0




(x − 2) · (x2+ x + 2 )

x2 + x + 2 = 0




(x − 2) · (x2+ x + 2 )

Raíz: x = 2.

3x3 + 3x2 −4 x − 12

{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }

P(1) = 13 + 3 · 12 − 4 · 1 − 12 ≠ 0

P(−1) = (−1)3 + 3 · (−1)2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0

P(2) = 23 + 3 · 22 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0




(x − 2) · (x2 + 5x +6)

x2 + 5x +6 = 0




(x − 2) ·(x + 2) ·(x +3)

Las raíces son : x = 2, x = − 2, x = − 3.

15 Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2 − kx +2 por (x − 2) dé de resto 4.
P(2) = 2 · 22 − k · 2 +2 = 4
10 - 2k = 4       − 2k = − 6     k=3

16 Determinar el valor de m para que 3x2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.
P(1) = 3 · 12 + m · 1 + 4 = 0

3+m+4=0                   m=−7

17 Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.
(x − 3) · (x − 5) · (x2 − 4) =

(x2 −8 x + 15) · (x2 − 4) =

= x4 − 4x2 − 8x3 +32x + 15x2 − 60 =

= x4 − 8x3 + 11x2 +32x − 60

18 Calcular el valor de a para que el polinomio x3 − ax +8 tenga la raíz x= − 2, y calcular las otras raíces.
P(−2) = (−2)3 − a · (−2) +8 = 0     − 8 + 2a +8 = 0       a= 0




(x + 2) · (x2 − 2x + 4)

x2 − 2x + 4 = 0




No tiene más raíces reales.

19 Simplificar:
1




2
3




4

 


20 Operar:
1




2




3
4




5



 

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Ejercicios de expresiones algebraicas polinomios

  • 1. Ejercicios de polinomios 1 Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente. 13x3 25x−3 33x + 1 √2          2√ 2 Efectúa las siguientes operaciones con monomios: 1 2x3 − 5x3 = 2 3x4 − 2x4 + 7x4 = 3 (2x3) · (5x3) = 4 (2x3 y2) · (5x3 y z2) = 5 (12x3) · (4x) = 6 (18x3 y2 z5) · (6x3 y z2) = 7 (2x3 y2)3 = 8 (2 x3 y2z5)5 = 9 3x3 − 5x3 − 2x3 = 10 (12 x3 y5 z4) : (3x2 y2 z3) = 11 3 Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente. 1 x4 − 3x5 + 2x2 + 5 2 2 + 7X2 + 2 3 1 − x4 4 5 x3 + x5 + x2 6 x − 2 x− 3 + 8 7
  • 2. 4 Escribe: 1 Un polinomio ordenado sin término independiente. 2 Un polinomio no ordenado y completo. 3 Un polinomio completo sin término independiente. 4 Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares. 5 Dados los polinomios: P(x) = 4x2 − 1 Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2 R(x) = 6x2 + x + 1 S(x) = 1/2x2 + 4 T(x) = 3/2x2 +5 U(x) = x2 + 2 Calcular: 1 P(x) + Q (x) 2 P(x) − U (x) 3 P(x) + R (x) 4 2P(x) − R (x) 5 S(x) + R (x) + U(x) 6 S(x) − R (x) + U(x) 6 Multiplicar: 1 (x4 −2x2 +2 ) · (x2 −2x +3) = 2 (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x +2) = 7 Calcula: 1 2 (x + 2)3 3 (3x - 2)3
  • 3. 4 (2x + 5)3 5 (3x - 2) · (3x + 2) 8 Dividir: (x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) : (x2 + 3x −2) 9 Divide por Ruffini: (x3 + 2x +70) : (x+4) 10 Halla el resto de las siguientes divisiones: 1 (x5 − 2x2 − 3) : (x −1) 2 (2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x +10 ) : (x + 2) 11 Indica cuáles de estas divisiones son exactas: 1 (x3 − 5x −1) : (x − 3) 2 (x6 − 1) : (x + 1) 3 (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1 ) 4 (x10 − 1024) : (x + 2) 12 Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican: 1 (x3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3) 2 (x6 − 1) tiene por factor (x + 1) 3 (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1 ) 4 (x10 − 1024) tiene por factor (x + 2) 13 Factorizar: 1 2 xy − 2x − 3y +6 = 3 25x2 − 1= 4 36x6 − 49 = 5 x2 − 2x +1 =
  • 4. 6 x2 − 6x +9 = 7 x2 − 20x +100 = 8 x2 + 10x +25 = 9 x2 + 14x +49 = 10 x3 − 4x2 + 4x = 11 3x7 − 27x = 12 x2 − 11x + 30 13 3x2 + 10x +3 14 2x2 − x −1 14 Descomponer en factores y hallar las raíces de: 1 P(x) = 2x3 − 7x2 + 8x − 3 2 x3 − x2 − 4 3 x3 + 3x2 −4 x − 12 15 Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2 − kx +2 por (x − 2) dé de resto 4. 16 Determinar el valor de m para que 3x2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces. 17 Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5. 18 Calcular el valor de a para que el polinomio x3 − ax + 8 tenga la raíz x= −2, y calcular las otras raíces. 19 Simplificar: 1 2 3 4
  • 6. SOLUCIONES 1 Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente. 13x3 Grado: 3, coefeciente: 3 25x−3 No, porque el exponente no es un número natural. 33x + 1 No, porque aparece una suma. √2 Grado: 1, coefeciente: √2 3 4 3 Grado: 4, coefeciente: 4 3 No, no tiene exponente natural. 2√ No, porque la parte literal está dentro de una raíz. 2 Efectúa la siguientes operaciones con monomios: 2x3 − 5x3 = −3x3 3x4 − 2x4 + 7x4 = 8x4 (2x3) · (5x)3= 10x6 (12x3) : (4x) = 3x2 (18x6 y2 z5) : (6x3 y z2 ) = 3x3 y z3 (2x3 y2)3 = 8 x9 y6 (2 x3 y2 z5)5 = 32 x15 y10 z25
  • 7. 3x3 − 5x3 − 2x3 = −4x3 (12 x3 y5 z4) : (3x2 y2 z3) = 4xy3 z 3 Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente. 1x4 − 3x5 + 2x2 + 5 Grado: 5, término independiente: 5. 22 + 7X2 + 2 No, porque la parte literal del primer monomio está dentro de una raíz. 31 − x4 Grado: 4, término independiente: 1. 4 No, porque el exponente del primer monomio no es un número natural. 5x3 + x5 + x2 Grado: 5, término independiente: 0. x − 2x−3 + 8 No, porque el exponente del 2º monomio no es un número natural. 7 Grado: 5, término independiente: -7/2. 4 Escribe: 1 Un polinomio ordenado sin término independiente. 3x4 − 2x 2 Un polinomio no ordenado y completo. x − x2 + 5 − 2x3 3 Un polinomio completo sin término independiente.
  • 8. Imposible 4 Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares. x4 − x3 − x2 + 3x + 5 5 Dados los polinomios: P(x) = 4x2 − 1 Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2 R(x) = 6x2 + x + 1 S(x) = 1/2x2 + 4 T(x) = 3/2x2 +5 U(x) = x2 + 2 Calcular: 1 P(x) + Q (x) = = (4x2 − 1) + ( x3 − 3x2 + 6x − 2) = x3 − 3x2 + 4x2+ 6x − 2 − 1 = x3 + x2+ 6x − 3 2 P(x) − U (x) = (4x2 − 1) − (x2 + 2) = 4x2 − 1 − x2 − 2 = 3x2 − 3 3 P(x) + R (x) = (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) = 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 = 10x2 + x 4 2P(x) − R (x) = 2(4x2 − 1) - (6x2 + x + 1) = 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 = 2x2 − x − 3 5 S(x) + R (x) + U(x) = (1/2 x2 + 4 ) + (3/2 x2 +5 ) + (x2 + 2) = 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5+ 2 = = 3x2 + 11 6 S(x) − R (x) + U(x) = (1/2 x2 + 4 ) − (3/2 x2 +5 ) + (x2 + 2) = 1/2 x2 + 4 − 3/2 x2 − 5 + x2 + 2 = 1 6 Multiplicar: 1 (x4 −2x2 +2 ) · (x2 −2x +3) = x 6 −2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2− 4x +6= = x 6 −2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x +6 x 6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6 2 (3x2 − 5x ) · (2x3 + 4x2 − x +2) = 6x5 + 12x4 − 3x3 + 6x2 − 10x4 − 20x3 + 5x2 − 10x = = 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x3 − 20x3 + 6x2 + 5x2 − 10x = 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x
  • 9. 7 Calcula: 1 2 (x + 2)3 = x 3 + 3 · x2 ·2 + 3 · x· 2 2 + 23 = x3 + 6 x2 + 12 x + 8 3 (3x - 2)3 = (3 x)3 − 3 · (3x)2 ·2 + 3 · 3x· 2 2 − 23 = 27x 3 − 54 x2 + 36 x − 8 4 (2x + 5)3 = (2 x)3 + 3 ·(2x)2 ·5 + 3 · 2x· 52 + 5 3 = 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125 5 (3x - 2) · (3x + 2) = (3x)2 − 22 = 9x2 − 4 8 Dividir: (x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) : (x2 + 3x −2) 9 Divide por Ruffini: (x3 + 2x +70) : (x+4) 10 Halla el resto de las siguientes divisiones: 1 (x5 − 2x2 − 3) : (x −1) R(1) = 15 − 2 · 12 − 3 = −4 2 (2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x +10 ) : (x + 2)
  • 10. R(−2) = 2 · (−2)4 − 2· (−2)3 + 3· (−2)2 + 5· (−2) +10 = 32 + 16 + 12 − 10 + 10 = 60 11 Indica cuáles de estas divisiones son exactas: 1 (x3 − 5x −1) : (x − 3) P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0 No es exacta. 2 (x6 − 1) : (x + 1) P(−1)= (-1)6 − 1 = 0 Exacta 3 (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1 ) P(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 +1 +1 − 1 = 0 Exacta 4 (x10 − 1024) : (x + 2) P(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = Exacta 12 Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican: 1 (x3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3) (x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0. P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0 (x − 3) no es un factor. 2 (x6 − 1) tiene por factor (x + 1) (x6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0. P(−1) = (−1)6 − 1 = 0 (x + 1) es un factor. 3 (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1 ) (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) es divisible por (x − 1 ) si y sólo si P(x = 1) = 0. P(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 +1 +1 − 1 = 0
  • 11. (x − 1) es un factor. 4 (x10 − 1024) tiene por factor (x + 2) (x10 − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = − 2) = 0. P(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = (x + 2) es un factor. 13 Factorizar: 1 2 xy − 2x − 3y +6 = x · (y − 2) − 3 · (y − 2) = (x − 3) · (y − 2) 3 25x2 − 1= (5x +1) ·(5x − 1) 4 36x6 − 49 = (6x3 + 7) · (6x3 − 7) 5 x2 − 2x +1 = (x − 1)2 6 x2 − 6x +9 = (x − 3)2 7 x2 − 20x +100 = (x − 10)2 8 x2 + 10x +25 = (x + 5)2 9 x2 + 14x +49 = (x + 7)2 10 x3 − 4x2 + 4x = x · (x2 − 4x +4) = x · (x − 2)2 11 3x7 − 27x = 3x · (x6 − 9 ) =3x · (x3 + 3) · (x3 − 3) 12 x2 − 11x + 30 x2 − 11x + 30 = 0 x2 − 11x + 30 = (x −6) · (x −5) 13 3x2 + 10x +3 3x2 + 10x +3 = 0
  • 12. 3x2 + 10x +3 = 3 (x − 3) · (x − 1/3) 14 2x2 − x −1 2x2 − x −1 = 0 2x2 − x −1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2) 14 Descomponer en factores y hallar las raíces de: 1 P(x) = 2x3 − 7x2 + 8x − 3 P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0 (x −1 ) · (2x2 − 5x + 3 ) P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0 (x −1 )2 · (2x −3 ) = 2 (x − 3/2 ) · (x −1 )2 Las raíces son: x = 3/2 y x = 1 2x3 − x2 − 4 {±1, ±2, ±4 } P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0 P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0
  • 13. P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0 (x − 2) · (x2+ x + 2 ) x2 + x + 2 = 0 (x − 2) · (x2+ x + 2 ) Raíz: x = 2. 3x3 + 3x2 −4 x − 12 {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 } P(1) = 13 + 3 · 12 − 4 · 1 − 12 ≠ 0 P(−1) = (−1)3 + 3 · (−1)2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0 P(2) = 23 + 3 · 22 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0 (x − 2) · (x2 + 5x +6) x2 + 5x +6 = 0 (x − 2) ·(x + 2) ·(x +3) Las raíces son : x = 2, x = − 2, x = − 3. 15 Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2 − kx +2 por (x − 2) dé de resto 4. P(2) = 2 · 22 − k · 2 +2 = 4
  • 14. 10 - 2k = 4 − 2k = − 6 k=3 16 Determinar el valor de m para que 3x2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces. P(1) = 3 · 12 + m · 1 + 4 = 0 3+m+4=0 m=−7 17 Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5. (x − 3) · (x − 5) · (x2 − 4) = (x2 −8 x + 15) · (x2 − 4) = = x4 − 4x2 − 8x3 +32x + 15x2 − 60 = = x4 − 8x3 + 11x2 +32x − 60 18 Calcular el valor de a para que el polinomio x3 − ax +8 tenga la raíz x= − 2, y calcular las otras raíces. P(−2) = (−2)3 − a · (−2) +8 = 0 − 8 + 2a +8 = 0 a= 0 (x + 2) · (x2 − 2x + 4) x2 − 2x + 4 = 0 No tiene más raíces reales. 19 Simplificar: 1 2