algebra

1. 1
LIBRO UNI ÁLGEBRA
LEYES DE EXPONENTES
ÁLGEBRA
I. NOTACIÓN UTILIZADA
A. Para potencia:
n
a = potencia
exponente
base
B. Para radicación:
= raíz
índice
radicando
n
a
II. DEFINICIONES
1. 0
a R a 1
  
2. 1
a R a a
  
3. a R n N / n 2
    
n
a a a a........" n " factores

4.  
a R 0 n R
    
1
n
1
a
a


5
m
n
am n R / 3a R
  
m
m
n
n
a a

III. TEOREMAS
1. m n m n
a a a 


2.
m
m n
n
a a ;a 0
a

 
3.  
n
m mn
a a

4.  n n n
a b a b
  
5.
n n
n
a a
;b 0
b b
   
 
 
6. m n mn
a a

7. n n n
a b a b
  
8.
n
n
n
a a
;b 0
b b
 
IV. PROPIEDADES
1.
 
an b p c
p
m mnp
n
a b c
x x x a
 

2.
m
m
n 1
n n 1
n n n
"m"radicales
x x... x a







3. n 1
n n
x x... x


4. n 1
n n
x x ... x

  
DESARROLLO DEL TEMA

2. LEYES DE EXPONENTES
Exigimos más!
2
LIBRO UNI ÁLGEBRA
V
. ECUACIÓN EXPONENCIAL
A. Diversos ejemplos:
x
x 1
4
x x x x 2
2 4;3 4 5 ; 3 81

   
B. Teorema:
 
x y
si :a a x y;a 1

    

C. Propiedad:
 
x y
si :a a x 0;a,b 1

    

Problema 1
Reducir:
1 1 1
2 3 2
E 4 27 36
  
  
  
Resolución:
1
1 1
3
2 2
E 4 27 36

 
  
1
1 1
3
E 4 27 36

 
  
1 1 1
E 2 3 6
  
  
1 1 1 3 2 1 6
E
2 3 6 6 6
 
    
E 1
 
Problema 2
Simplificar:
3 3 3
X . X . X ...90 factores
x. x. x...44 factores
Siendo x >1
Resolución:
Sea "k" la expresión simplificada, luego
 
90
3
44
x
k
x
 
 
 

30 15
11
22
x x
k
x
x
 
4
k x
 
Problema 3
Determine x en:
x 1 x 1
3
4 8
 

Resolución:
   
x 1 x 1
2 3
3 2 2
 

2x 2 3x 3
3
2 2
 

2x 2 3x 3
3 2
2 2
 

V
. ECUACIÓN EXPONENCIAL
A. x a
1
si :x a x a
  
B.
b
x
1
si : x b x b
  
C.
x y
c c
si :x y x y
  
Por teorema:
2x 2 3x 3
3 2
 

4x 4 9x 9
  
5x 13
 
13
x
5
  
Problema 4
Determine un valor de x en:
3 3
x
x 4

Resolución:
 
3
3 3
3
x
x 4
 

 
 
  
3
x
3
x 4

  
3
x
3 2
x 2

Por comparación:
3
x 2

3
x 2
 
problemas resueltos

3. 3
LIBRO UNI ÁLGEBRA
EL POLINOMIO
ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN
Es la expresión algebraica que se caracteriza por
presentar a todas sus variables en el mumerador,
estando cada una de estas afectada solo por
exponentes natural.
Son ejemplos de polinomios:
  3
P x 2x 7x 4
  
  4 2 2
Q x; y 5x 3x y 5xy
    
  2
7
R x x 3x
4
 
Obsevación:
Todo númerador real es un polinomio en forma muy
especial el cero, al cual llamaremos polinomio
identicametne nulo.
II. GRADO
A. Grado absoluto (GA)
B. Grado relativo (GR)
*  
   
2 7
P x;y 5x y
GR x 2;GR y 7;GA 2 7 9

    
*  
   
3 2 2
Q x;y 2x 5x y 4y
GR x 3;GR y 2;GA 2 2 4
  
    
Obsevación:
Todo número real diferente de cero tiene grado cero
el cero carece de grado.
III. POLINOMIOS ESPECIALES
A. Polinomio homogéneo:
*   4 3 2 2
P x;y x 3xy 5x y
  
B. Polinomio ordenado:
*   2 10 17
P x x 5x 4x
  
*   5 3
Q x x 2x x 1
   
C. Polinimio completo:
*   2
P x 2 x x
  
*   3 2
Q x 5x x x 10
   
Obsevación:
En todo polinomio completo respecto a la variable x se
cumple que:
N° de términos = GR(x) +1
IV. EUCLIDEANO
A. Forma general
  n n 1 n 2 n
0 1 2
P x a x a x a x ... a
 
    
Donde:
x = variable o ideterminada
0 1 2 n
a ,a ,a ,... a soncoeficientes

n
0
a x = término dominante, aquí 0
a 0 yn
  
0
a = coeficiente principal
n
a = término independiente de x
Obsevación:
Un polinomio se dice literal si su grado mayor o igual
que la unidad, de no ocurrir esto el polinomio es
constante.
B. Propiedades del polinomio literal P(x)
* P(1) = suma de coeficientes
* P(0) = términos independientes de x
DESARROLLO DEL TEMA

4. EL POLINOMIO
Exigimos más!
4
LIBRO UNI ÁLGEBRA
III. POLINOMIOS MÓNICO:
Es un plinomio literal que se encuentra en función de
una sola variable, todos sus coeficientes son enteras y
el princiapl es uno.
Son polinomios mónicos:
 
 
5 2
2
P x x 2x x 10
Q x x 7x 4
   
  
Problema 1
¿Cuántos polinomios de la forma
  n 7 n 10 n
P x; y x nx y y
 
   existen?
Resolución:
Según la definición    
n 7 ,n 10 n
  
deben ser números naturales, luego:
7 n 10
n 7 0 10 n 0
n 7 n 10
 
    
  




Como n  tenemos:
n = 7; 8; 9 y 10
existen cuatro polinomios
Problema 2
Si  
P 2x 7 6x 1
   . Determinar el
polinomio P(7x + 2)
Resolución:
Según el polinomio dato.
 
P 2x 7 6x 1
  
De acuerdo con en cambio de variable
 
   
 
2x 7 u
2x u 7
u 7
x
2
u 7
P u 6 1
2
P u 3 u 7 1
P u 3u 22
 
 



 
 
 
 
  
 
Finalmente el polinomio buscado es:
   
 
 
P 7x 2 3 7x 2 22
P 7x 2 21x 6 22
P 7x 2 21x 28
   
   
   
Problema 3
Calcular mn si el polinomio:
  m 2 3 n 1
P x,y x 5xy mny
 
  
es homogéneo.
Resolución:
Por condición el polinomio dado es
homogéno., luego se cumple:
m 2 4 n 1
m 6 n 3
mn 18
   
  
 
Problema 4
Dado el siguiente polinomio mónico
lineal:
     
2
P x a 2 x a b 1 x 2a b
      
Determine su término independiente.
Resolución:
Por ser un polinimio lineal se cumple
que:
a 2 0
a 2
 

ahora tenemos:
   
P x 3 b x 4 b
   
Por se un polinomio mónico se cumple
que:
3 b 1
b 2
 

con lo cual tenemos:
término independiente de x = 2
problemas resueltos

5. 5
LIBRO UNI ÁLGEBRA
PRODUCTOS NOTABLES
ÁLGEBRA
I. CONCEPTO
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas
que tienen forma determinada, se pueden recordar
fácilmente sin necesidad de efectuar la operación.
II. TEOREMAS
1. Trinomio cuadrado perfecto
• (a + b)2
 a2
+ 2ab + b2
• (a – b)2
 a2
– 2ab + b2
Nota:
2n 2n
(a - b) (b - a)

Corolario: Identidad de Lengendre
• (a + b)2
+ (a – b)2
= 2(a2
+ b2
)
• (a + b)2
– (a – b)2
= 4ab
• (a + b)4
– (a – b)4
= 8ab(a2
+ b2
)
2. Diferenciade cuadrados
• (a + b)(a – b) = a2
– b2
3. Desarrollo de un binomio al cubo
• (a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
.... forma desarrollada
• (a + b)3
= a3
+ b3
+ 3ab(a + b) .... forma abreviada
• (a – b)3
= a3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
.... forma desarrollada.
• (a – b)3
= a3
– b3
– 3ab(a – b) ... forma abreviada
4. Suma y diferencia de cubos
• (a + b)(a2
– ab + b2
) = a3
+ b3
• (a – b)(a2
+ ab + b2
) = a3
– b3
5. Producto de multiplicar binomios con término
común
• (x + a)(x + b) = x2
+ (a + b)x + ab
• (x + a)(x + b)=x3
+ (a+b+c)x2
+ (ab+bc+ac)x + abc
6. Desarrollo de un trinomio al cuadrado
• (a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2(ab + bc + ac)
7. Desarrollo de un trinomio al cubo
• (a + b + c)3
= a3
+ b3
+ c3
+ 3(a + b)(b+c)(a+c)
• (a+b+c)3
=a3
+b3
+c3
+3(a+b+c)
(ab+bc+ac)–3abc
8. Identidad de Argan’d
• (a2m
+am
bn
+b2n
)(a2m
–am
bn
+b2n
) = a4m
+a2m
b2n
+b4n
Caso particular:
(x2
+ x + 1)(x2
– x + 1) = x4
+ x2
+ 1
9. Identidades de Lagrange
• (a2
+b2
)(x2
+y2
)  (ax+by)2
+(ay–bx)2
• (a2
+b2
+c2
)(x2
+y2
+z2
)  (ax+by+cz)2
+ (ay–bx)2
+
(az–(cx)2
+(bz–cy)2
10. Identidades condicionales
Si: a+b+c=0, se verifica:
• a2
+b2
+c2
=–2(ab+bc+ac)
• a3
+b3
+c3
=3abc
III. PROPIEDAD
Si a2
+b2
+c2
=ab+ac+bc; a,b c
    a = b = c
DESARROLLO DEL TEMA

6. PRODUCTOS NOTABLES
Exigimos más!
6
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 1
Si 1
x x 5

  . Calcular: 3 3
x x

Resolución:
En la condición de plantea:
   
  
  
3
1
3 3 1 1
3 3
3 3
3 3
x x 5
x x 3 x.x x x 125
x x 3 1 5 125
x x 15 125
x x 140

  



 
   
  
  
  
Problema 2
Sabiendo que:
x 12 7;y 7 10 z 10 12
      
Calcular:
3 3 3
x y z
xyz
 
Resolución:
Fácilmente podemos reconocer que:
x + y +z = 0
Luego se cumple que:
3 3 3
x y z 3xyz
  
Finalmente tenemos:
3 3 3
x y z
E
xyz
3xyz
E
xyz
E 3
 


 
Problema 3
Si x, y,z   ; tal que
   
2
x y z 3 xy xz yz
    
Calcular:
4 4 4 2
2 2 2 2 2 2
x y z 2x yz
k
x y x z y z
  

 
Resolución:
De la condición tenemos:
   
2 2 2
2 2 2
x y z xy xz yz 3 xy xz yz
x y z xy xz yz
       
    
Por propiedad tenemos:
x = y = z
Finalmente en "k" tenemos:
4 4 4 2
2 2 2 2 2 2
4 4 4 4
4 4 4
4
4
x y z 2x yz
k
x y x z y z
x x x 2x
k
x x x
5x
k
x
K 5
  

 
  

 

 
problemas resueltos

7. 7
LIBRO UNI ÁLGEBRA
división algebraica
ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN
Dados dos polinomios llamados dividendo y divisor, es
posible encontrar otros dos polinomio llamados
cocientes y residuo, tal que verifiquen la siguiente
identidad.
       
x x x x
D d Q R
 

Donde:
 
x
D : es el dividendo
 
x
d : es el divisor
 
x
Q : es el cociente
 
x
R :es el resto o residuo
A. Propiedades:
1. El grado del dividendo deberá ser mayor o igual
que el grado del divisor.
D d
  
   
   
2. El grado del cociente es igual al grado del
dividendo menos el grado del divisor.
Q D d
    
     
     
3. El grado del resto o residuo, con respecto a la
variable con la cual se efectúa la división, es
menor que el grado del divisor. Por lo cual se
deduce que, el máximo valor que puede tomar
el grado del resto o residuo es igual al grado del
divisor disminuido en uno.
max
R d R d 1
       
       
       
B. Clasesde cocientes
Hay dos clases de cocientes.
1. Cociente Entero. Es el cociente propiamente
dicho de la división.
2. Cociente Completo. Es una expresión
fraccionaria que está compuesto por el cociente
entero, por el residuo y por el divisor
Se sabe que:
       
x x x x
D d Q R
 

Dividiendo entre  
x
d :
 
 
 

 
 
x x
x
x x
cociente
entero
Cociente Completo
D R
Q
d d
 



C. Teorema
Si al dividendo y al divisor de una división se les
multiplica por una misma expresión distinta de cero,
entonces el resto o residuo también quedará
multiplicado por dicha expresión.
Sabemos que:
       
x x x x
D d Q R
 

Multiplicando ambos miembros por  
x
A :
   
     
       
 
x x x x x x x
A D A d Q A R
 
   
Observación:
Para efectuar la división entre polinomios se
recomienda utilizar el método de Horner o para
cierto caso especial la regla de Ruffini.
DESARROLLO DEL TEMA

8. DIVISIÓN ALGEBRAICA
Exigimos más!
8
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 1
Calcular ab si la división es exacta
4 3 2
2
2x 5x x ax b
x x 1
   
 
Resolución:
Dada la ecuación:
1 2 - 5 1 a b
- 1 2 - 2 2
1 7 - 7
- 10 10
2 - 7 10 0 0
En las columnas del residuo:
a 7 10 10 b 10 0
a 17 b 10
ab 170
     
   
  
Problema 2
Si Q(x) es el cociente de dividir:
5
x 2x 7
x 1
 

Resolución:
Según la regla de Ruffini tenemos:
1 0 0 0 -2 7
x = -1 -1 1 -1 1 1
1 -1 1 -1 -1 8
 
 
 
4 3 2
Q x x x x x 1
Q 1 1 1 1 1 1
Q 1 3
    
      
  
Problema 3
Dertermine el resto de dividir:
II. TEOREMA DEL RESTO
A. Definición:
Es una regla práctica que permite encontrar en
forma directa el residuo de cierta división, consta
de dos pasos.
1. Se iguala el divisor a cero y se despeja por
transposición de términos la parte variable.
2. Se reemplaza el valor numérico de la parte
variable en el polinomio dividendo, obtenido así
el residuo de la división.
Ejemplo: Determinar el residuo de dividir
4
x 2x 7
x 1
 

a. x 1 0 x 1
    
b.   4
D x x 2x 7
  
     
 
4
R x 1 2 1 7 1 2 7
R x 10
        
 
Observación:
El teorema del resto o teorema de Descartes en
sus inicios solo se aplicaba cuando el divisor era un
binimio de primer grado, hoy en día el divisor podrá
ser un polinomio literal de grado arbitrario.
III. DIVISIONES NOTALES
A. Definición:
Es una división entre binomios que presenta la
siguiente forma.
n n
x y
;n / n 2
x y

 


B. Cociente notable (C--N):
Es el cociente de una división exacta.
Ejemplo: La división:
n n
x y
;n / n 2
x y

 


¿Origina un cociente notable?
Por el teorema del resto x - y = 0
x = 0
sea el dividendo:
 
 
 
n n
n n
D x x y
R x y y
R x 0
 
  

n n
x y
Siorigina C N n / n 2
x y

    


B. Propiedad:
Si la división:
m r
a b
x y
x y


origina un C - N se cumple:
1. El número de términos del C - N "n" verifica:
m r
n
a b
 
2. En el C - N los exponentes de x disminuyen de
"a" en "a", mientras que los de y aumentan en
"b" en "b"
problemas resueltos

9. Exigimos más!
DIVISIÓN ALGEBRAICA
9
LIBRO UNI ÁLGEBRA
7 5 3
2
x 2x x x 1
x 1
   

Resolución:
Según el teorema del resto:
2 2
x 1 0 x 1
   
En el dividendo tenemos:
       
3 2
2 2 2
D x x x 2 x x x x x 1
    
  
Reemplazando 2
x por 1
 
 
R x x 2x x 1
R x x 1
   
  
Problema 4
Si la división:
n 2 33
5 3
x y
x y



Origina un cociente notable. Calcular
la suma de cifras del número que
representa "n"
Resolución:
Según propiedad se cumple que :
n 2 33
5 3
n 2
11
5
n 2 55
n 57
de cifras 12




 

  

10. 10
LIBRO UNI ÁLGEBRA
factorización en 
ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN
Es el proceso mediante el cual un polinomio de
coeficientes enteros se transforma como la
multiplicación de dos o más polinomios, también de
coeficientes enteros.
II. FACTOR PRIMO
Es aquel polinomio literale que no se puede expresar
como una multiplicación de otros polinomios literales.
Ejemplo:
* f(x)  x2
– 4 no es primo, por que se puede expre-
sar como (x – 2)(x + 2).
* f(x)  x – 2 es primo, por que no se puede
factorizar.
* f(x)  3x – 6 si es primo porque al obtener 3(x – 2)
percatese que 3 es de grado cero.
Se dice que la factorización se realiza en  cuando los
factores primos obtenidos presentan únicamente coefi-
cientes enteros; mientras no se indique alguna aclara-
ción la factorización solo se realiza en .
Observación:
* Al factor primo también se le llama
polinomio irreductible.
III. CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN
A. Factor común
Se denomina así al factor repetido en varios térmi-
nos, para lo cual se eligen las bases comunes afec-
tadas del menor exponente.
Ejemplo:
Factorizar:
f(x;y)  4x3
y4
+ 5x2
y5
+ 7x4
y7
Se observa: x2
y4
como factor común.
Luego factorizando tenemos:
f(x; y)  x2
y4
(4x – 5y + 7x2
y3
)
B. Identidades
Es la aplicación inmediata de algunos productos
notables como:
– Diferencia de cuadrados:
A2
– B2
= (A + B) (A – B)
Ejemplo:
Factorizar : P(x)  9x2
–16
Reconocemos : P(x)  (3x)2
– (4)2
Luego : P(x)  (3x + 4) (3x – 4)
– Diferencia de cubos
A3
– B3
= (A – B) (A2
+ AB + B2
)
Ejemplo:
Factorizar : P(x)  27x3
– 8
Reconocemos : P(x)  (3x)3
– (2)3
Luego : P(x)  (3x – 2)(9x2
+ 6x + 4)
– Suma de cubos
A3
+ B3
= (A + B) (A2
– AB + B2
)
Ejemplo:
Factorizar : f(x)  8x6
+ 1
DESARROLLO DEL TEMA

11. Exigimos más!
FACTORIZACIÓN EN Z
11
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Reconocemos : f(x)  (2x2
)3
+ (1)3
Luego : f(x)  (2x2
+ 1) (4x4
–2x2
+ 1)
– Trinomio cuadrado perfecto
A2
+ 2AB + B2
= (A + B)2
A2
– 2AB + B2
= (A – B)2
Ejemplo
Factorizar : f(x)  9x4
+ 6x2
+ 1
Notese : f(x)  (3x2
)2
+ 2(3x2
)(1) + (1)2
Luego : f(x)  (3x2
+ 1)2
C. Agrupación de términos
Consiste en seleccionar convenientemente los tér-
minos de tal manera que se genere algún factor
común o alguna identidad.
Ejemplo:
Factorizar:
f(x;y)  x10
– x2
y8
+ x8
y2
– y10
Nos percatamos que no existe factor común en
todos los términos, pero si agrupamos de dos en
dos obtenemos:
f(x;y)  x2
(x8
– y8
) + y2
(x8
– y8
)
Factor Repetido: (x8
– y8
)
Luego: f(x;y)  (x8
– y8
) (x2
+ y2
)
Continuamos:
f(x;y)  (x4
+ y4
) (x2
+ y2
) (x + y) (x – y) (x2
+ y2
)
Se uso repetidas veces diferencia de cuadrados:
f(x;y)  (x4
+ y4
) (x2
+ y2
)2
(x + y) (x – y)
D. Aspa simple
Se utiliza para factorizar particularmente Polinomios
de la forma: P(x)  ax2n
+ bxn
+ c ó que se amol-
den a dicha forma.
Proceso
* Descomponer los extremos.
* Verificar que la suma de productos en aspa sea
igual al término central.
Ejemplo:
Luego los factores se forman:
Horizontalmente: (x – 3) (x – 4)
E. Aspa doble
Se usa en forma particular para polinomios de la forma:
P(x;y)  ax2m
+ bxm
yn
+ cy2n
+ dxm
+ eyn
+ f
Proceso:
* Traza dos aspas simples
* Verificación final con los extremos, veamos en
un ejemplo:
Factorizar:
P(x;y)  15x2
– xy – 6y2
+ 34x + 28y – 16
como se encuentra ordenado.
1.er
Aspa
2.O
Aspa
Verificación final
(Los términos estan descompuestos)
Luego, en un esquema se tiene:
 P(x;y) = (5x + 3y –2) (3x – 2y + 8)

12. FACTORIZACIÓN EN Z
Exigimos más!
12
LIBRO UNI ÁLGEBRA
F. Aspadoble especial
Se emplea para factorizar polinomios de 5 términos
con la forma:
P(x)  Ax4n
+ Bx3n
+ Cx2n
+ Dxn
+ F
Proceso:
* Se descomponen los términos extremos en 2
factores cada uno.
* Se hace el balanceo
Ejemplo:
Factorizar:
2 2
P(x) (x 5x 1)(x x 1)
     
G. Divisoresbinomicos (evaluación)
Se usa básicamente para factorizar polinomios de
grado mayores o iguales a 3.
Proceso:
Consiste en evaluar usando la regla de Ruffini.
Luego:
f(x) = (x – a) q (x)
Al valor de "a” se denomina cero del polinomio.
Por ejemplo:
P(x) = x3
– x2
– 4; si evaluamos en x = 2, tenemos:
Luego: x3
– x2
– 4 se puede expresar como:
P(x)= (x – 2) (x2
+ x + 2)
(Nótese que esta factorizada)
Problema 1
Factorizar:
5r(p4
+q)–p2
(r2
+25q)
A) (rp2
–5q)(5p2
–r)
B) (rp–5q)(5p4
–r)
C) (rp4
–5q)(5p3
–r)
D) (rp3
–5q)(5p2
–r)
E) (rp2
–5q)(5p4
–r)
Resolución:
 Agrupando los términos indicados
y factorizando parcialmente
= 5p2
(rp2
–5q)–r(rp2
–5q)
= (rp2
–5q)(5p2
–r)
Respuesta: A) (rp2
–5q)(5p2
–r)
Problema 2
Factorizar:
10x2
+21y2
+29xy
A) (6x+7y)(2x+3y)
B) (5x+7y)(2x+4y)
C) (5x+7y)(2x+3y)
D) (5x+7y)(3x+3y)
E) (4x+7y)(2x+3y)
Resolución:
10x2
+29xy+21y2
5x
2x
7y
3y
14xy
15xy
29xy
+
Finalmente:
(5x+7y)(2x+3y)
Respuesta: C) (5x+7y)(2x+3y)
problemas resueltos

13. Exigimos más!
FACTORIZACIÓN EN Z
13
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 3
Factorizar e indicar la suma de sus
factores primos.
12a2
–59b–63–7ab–10b2
+15a
A) 7a–3b+4
B) 7a–3b+3
C) 7a–4b+2
D) 7a–5b+2
E) 7a–3b+2
Resolución:
 Ordenando y aplicando el criterio
de aspa doble
4a
3a
–
2b
5b
12a -7ab - 10b - 15a - 59b - 63
2
–7
9
2
 Finalmente (4a–5b–7)(3a+2b+9)
luego  factores primos: 7a–
3b+2
Respuesta: E) 7a–3b+2
Problema 4
¿Cuántos factores primos tiene el polino-
mio:
7 6 2 5 3
P(x;y) x y 2x y x y ?
  
UNI
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
Resolución:
De acuerdo con el criterio del factor
común tenemos:
5 2 2
P(x;y) x y (x 2xy y )
  
 

Dando uso de los productos notables
tenemos:
5 2
P(x;y) x y (x y)
 
 
Finalmente los factores primos son:
x,y (x y)
 
N de factoresprimos 3
  
Respuesta C) 3
Problema 5
Determine la suma de los factores pri-
mos del polinomio:
3 2
P(x) x x x 1
   
UNI
A) 2x + 1 B) 3x + 2
C) 3x – 1 D) 3x + 1
E) 2x
Resolución:
Por agrupación de términos tenemos:
3 2
P(x) x x ( x 1)
    
2
P(x) x (x 1) (x 1)
   
Por el criterio del factor común:
2
P(x) (x 1) (x 1)
   



Por diferencia de cuadrados tenemos:
P(x) (x 1) (x 1) (x 1)
     
2
P(x) (x 1) (x 1)
   
Aquí reconocemos que los factores
primos son: (x + 1) y (x – 1)
de f .p 2x
  
Respuesta E) 2x
Problema 6
Reconocer un factor de:
5
P(x) x x 1
  
UNI
A) x2
– x – 1
B) x2
– x + 1
C) x3
– x – 1
D) x3
– x2
+ 1
E) x3
+ x2
+ 1
Resolución:
Con la finalidad de formar una diferencia
de cubos sumamos y restamos x2
.
5 2 2
P(x) x x x x 1
    




2 3 2
P(x) x (x 1) x x 1
    
2 2 2
P(x) x (x 1) (x x 1) (x x 1)
       
 
Por el criterio del factor común:
2 2
P(x) (x x 1) x (x 1) 1
 
    
 
2 3 2
P(x) (x x 1)(x x 1)
     
Respuesta D) x3
– x2
+ 1

14. 14
LIBRO UNI ÁLGEBRA
POTENCIA DE UN BINOMIO
I. FACTORIAL DE UN NÚMERO Z+
Llamamos así al producto que resulta de multiplicar
todos los números enteros y positivos de manera
consecutiva desde la unidad hasta el número indicado.
Notación: n! ó n
Se lee: Factorial de "n".
Así: 2! 1 2 2
 

3! 1 2 3 6
 
 
4 ! 1 2 3 4 24
 
  
5! 1 2 3 4 5 120
 
   
6! 1 2 3 4 5 6 720
 
    
En general:
n! 1 2 3...(n – 2)(n – 1)n
  
o también: n! n(n – 1)(n – 2)...3 2 1
  
Observaciones:
1. (a b)! a! b!
  
2. (ab)! (a!) (b!)
 
3. a a!
!
b b!
  
 
 
Propiedades
1. o
n! existe n z
 
Luego:
• (–5)! No existe
• –5! Si existe
• (2/3)! No existe
• 7! Si existe
2. Por definición 1! = 1.
Por acuerdo 0! = 1.
Ejemplo: Hallar "x" en: (x – 4)! = 1
Luego: x – 4 0 x – 1 1
x 4 x 5
  
 
3. Si: a! = b!  a = b * a; b  0; 1
Ejemplo: (x – 5)! = 6
 (x – 5)! = 3!
 x – 5 = 3
x = 8
4. Todo factorial contiene en su desarrollo a otro
factorial menor.
(n 2)!
(n 1)!
n! n(n 1) (n 2)...3 2 1


  



 




n! = n(n – 1)!
n! = n(n – 1) (n – 2)!
II. NÚMERO COMBINATORIO
Representa el número de combinaciones de "n" ele-
mentos tomados de "k" en "k".
Notación: n n
k k n k
C C C
 
Definición: n
k
n!
C ; n k
k !(n k)!
 

Donde: o
n k
 
   

Ejemplo:
5
2
5! 120
C 10
2!(5 2)! 2 6
  
 
Regla práctica:
"k " factores
n
k
n(n – 1)(n – 2)...(n – k 1) (n – k)
n!
C
k!(n – k)!

 




"k " factores
!
1 2 3...k (n – k)
 


 !
ÁLGEBRA
DESARROLLO DEL TEMA

15. Exigimos más!
POTENCIA DE UN BINOMIO
15
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Propiedades
1. n
k
o
C Existe n z
k z
k n


 


2. Propiedad complementaria
n n
k n–k
C C

Ejemplo:
50 50
48 2
50 49
C C 1225
2 1
  


3. Propiedad de igualdad
n n
p q
C C

1.a
Posibilidad: p = q
2.a
Posiblidad: p + q = n
Ejemplo:
Hallar la suma de valores de "n" en:
10 10
n 6
C C
 .
1.a
Posibilidad: n1 = 6.
2.a
Posibilidad: n + 6 = 10  n2 = 4.
Luego n1 + n2 = 10.
4. Suma de combinatorios
n n n 1
k k 1 k 1
C C C 
 
 
Ejemplo:
Hallar: 4 5 6 7
0 1 2 3
S C C C C

   
Luego: 5 5 6 7
0 1 2 3
S C C C C
   




6 6 7
1 2 3
S C C C
  




7 7
2 3
S C C
 




8
3
S C

8 7 6
S 
 
3 2

56
1


5. Reglas de degradación
• n n 1
k k 1
n
C C
k



Ejemplo: 10 9
3 2
10
C C
3

• n n
k k–1
n – k 1
C C
k

 
Ejemplo: 8 8 8 8
5 4 5 4
8 5 1 4
C C C C
5 5
 
  
• n n–1
k k
n
C C
n – k

Ejemplo: 9 8
4 4
9 8
4 4
9
C C
9 – 4
9
C C
5


III. BINOMIO DE NEWTON
(Para exponente entero y positivo)
Definición:
n
n n n–k k
k
k 0
(x a) C x a

  
Donde: x; a 0 n 
  
Así: (x + a)2
= x2
+ 2 x a + a2
(x + a)3
= x3
+ 3x2
a + 3xa2
+ a3
(x + a)4
= x4
+ 4x3
a + 6x2
a2
+ 4xa3
+ a4
(x + a)5
= x5
+ 5x4
a + 10x3
a2
+ 10x2
a3
+ 5xa4
+ a5
Nos damos cuenta:
5 5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 5 4 5 5
0 1 2 3 4 5
(x a) c x c x a c x a c x a c xa c a
      
Luego:
n n n n n 1 n n 2 2 n n 3 3 n n
0 1 2 3 n
Desarrollo o expansión delbinomio
(x a) c x c x a c x a c x a ... C a
  
      



Propiedades
1.
n
N. de términos Exponente "n" 1
de (x a)
  

Hallar el nº de términos en el desarrollo de: (x + 3y)7
.
 N.º de términos = 7 + 1 = 8.

16. POTENCIA DE UN BINOMIO
Exigimos más!
16
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 1
Si "x" es un número real tal que el
término central en el desarrollo de:
12
2 3x
–
3 2
 
 
 
Es 924, hallar el valor de:
1 + x2
+ x4
+ x6
Nivel intermedio
A) 4
B) 8
C) 6
D) 16
E) 2
Resolución:
Sabemos que:
n n–k k
K 1 k
T C x a
 
C 12 7
1
2
T T T

 
12 12–6 6
7 6
T C (2 3) (–3x 2) 924
 
6 6 6
6 6
12.11.10.9.8.7 2 3 x 924
6.5.4.3.2.1 3 2

 
x = 1
Entonces:
1 + 12
+ 14
+ 16
= 4
Respuesta: A) 4
Problema 2
Hallar el valor de "n" de modo que:
n
n 4
r 0
n
(2r 1) 2
r


 
  
 
 
Nivel difícil
A) 18
B) 16
C) 17
D) 15
E) 20
Resolución:
Sabemos:
n n
n n–1
r 0 r 0
n n
2 r n 2
r r
 
   
   
   
   

2. Si: x = a = 1; se obtiene la sumatoria de coeficien-
tes:
n n n n n n
0 1 2 3 n
c c c c ... c 2
     
5 5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5
c c c c c c 2 32
      
n–2 n–2 n–2 n–2 n–2
0 1 2 n–2
c c c ... c 2
    
Hallar la suma de coeficientes en el desarrollo de:
(5x2
+ y4
)40
Luego: x = y = 1  (5(1)2
+ (1)4
)60  660
3. Término de lugar general:
Siendo: (x + a)n
.
En su desarrollo: n n–k k
k 1 k
T c x a
 
Donde: "k + 1" es el lugar.
Ejemplo:
Hallar el T61 en el desarrollo de:
B(x; y) = (3x2
+ 2y3
)90
90 2 30 3 60
61 60
T c (3x ) (2y )

90 30 60 60 180
61 60
T c 3 x 2 y
 
90 30 60 60 180
61 60
T c 3 2 x y
 
4. Término central ("n" exponente del binomio)
Si "n" par existe un solo término central:
c n
1
2
T T


5. Suma de exponentes
Siendo B(x,a) = (xp
+ aq
)n
(p q)n(n 1)
Exponentes
2
 
 
Ejemplo:
Hallar la suma de exponentes en el desarrollo de:
 
39
3
x 4

Luego: p = 1/3; q = 1/2; n = 39.
1 1
39(39 1)
3 2
exponentes Exp 650
2
 
 
 
 
    

problemas resueltos

17. Exigimos más!
POTENCIA DE UN BINOMIO
17
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Entonces:
n n
n–4
r 0 r 0
n n
2r 2
r r
 
   
   
   
   
n 1 n n 4
2 n 2 2 2
 
 
 
n n 4
(n 1) 2 2 2
  

n = 15
Respuesta: D) 15
Problema 3
Si: n! (n! 3)
18
n! 4




.
Determinar el valor de:
2
K n 3n 7
  
Nivel intermedio
A) 47
B) 17
C) 3 3
D) 35
E) 61
Resolución:
Tenemos:
(n!)2
– 3(n!) = 18(n!) + 18 4

(n!)2
– 21(n!) – 72 = 0
(n! – 24 )(n! + 3) = 0
n! = 24 ; n! = -3
n = 4
Entonces:
2
K 4 4 3 7
  

K 35

Respuesta: D) 35

18. 18
LIBRO UNI ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN:
Es el proceso mediante el cual una expresión irracional
se transforma en otra parcialmente racional.
Frecuentemente se racionalizan denominadores con
el auxilio del factor racionalmente (R:F) según la
relación.
(Exp. Irracional).(FR) = Exp. Racional
A. Factor racionalizante (F.R)
Es el menor número irracional positivo que multiplica
a otro número irracional y lo transforma en racional.
Ejempo:
¿Cuál es el factor racionalizante de 2 ?
Resolución:
observar lo siguiente
2 2 4 2
2 8 16 4
2 18 36 6
2 32 64 8
 
 
 
 




   
   
   
Existen varios números irracionales que multiplican
a 2 y lo transforman en racional pero entre todos
ellos 2 es el menor FR 2
 
B. Radical simple:
Se denomina así a todo número irracional que se
puede experesar segúnla foma:
n
A;n A Q
   

Veamos algunos ejemplos:
5 3
3
3 4 2 3 24

  
Veamos algunos ejemplos:
C. Radical doble:
Se denomina asi a todo número irracional que se
puede expresar según la forma:
m n
A B ;m n , A B Q

    

Veamos algunos ejemplos:
3
4 12 2 3 10 108
  
  
II. TRANSFORMACIÓN DE RADICALES
DOBLE A SIMPLES
A. 1° caso
A B
 . Se transforma según la fórmula:
A C A C
A B
2 2
 
  
Donde "C" se calcula Así: 2
C A B
  !racional!
B. 2° caso
A B
 . Se transforma en M 2 N x y
  
Donde: x.y N x y M
   
racionalización
ÁLGEBRA
DESARROLLO DEL TEMA

19. Exigimos más!
RACIONALIZACIÓN
19
LIBRO UNI ÁLGEBRA
II. CASOS DE RACIONALIZACIÓN
n m
A FR A;A #primo
 
 
 
 
 
 
A. Denominador monomio
Donde:
n n m
FR A 
 , veamos algunos ejemplos.
•
1
1 1. 3 3
3
3 3.FR
 
•
3 3
1
3 3 2
5 5. 2 5 2
2
4 2 .FR
 
•
5 2 4 4
5 5 5
3 3
13 13 13 2 .3 .5
120 2 .3.5 2 .3.5.FR
13FR 13FR
2.3.5 30
  

B. Denominador binomio con índice potencia
de dos:
veamos algunos ejemplos:
•
 
     
2 2
1 7 2
1 7 2
7 2 7 2 FR 7 2
1 7 2 7. 2
7 2 5
7 2


 
  

 


•
 
 
 
   
 
2 2
5 11 3 5 11 3
5
11 3 11 3 FR 11 3
5 11 3
5FR
5
11 3 8
11 3
 
 
  

 


•
   
2 2
2 2FR 2FR
13 9
13 3 13 3
2 2FR FR
4 2
13 3
 


 

•
   
 
   
 
  
4
4 2 2
4
4 4
4 2 2
4
4
1 FR 5 1
5 1
5 1 5 1
5 1 FR 5 1 FR
1
5 1
5 1 5 1
5 1 5 1
1
4
5 1

 

 
 
 

 
 


C. Denominador binomio con índice potencia
de tres:
veamos los siguientes ejemplos
 
   
2
2 3 3
3 3
3
3 3
3
3 3
3 3 3 3
3 3
3 3
3
3
3
3 3
3
3
1. 5 5. 2 2
1
5 2 5 2 FR
1 25 10 4 25 10 4
5 2
5 2 5 2
1 25 10 4
7
5 2
 
 
 
 

 
   
 

 
 


•
•
 
   
2 2
3 3 3 3
3 3 3 3
3 3
3 3 3 3
3 3
3 3
3 3
3 3 3
3 3
1. 11 11. 5 5
1
11 5 11 5 FR
1 121 55 25 121 55 25
11 5
11 5 11 5
1 121 55 25
6
11 5
 
 
 
 

 
   
 

 
 


D. Denominador con índice susperior a tres:
1.
  
n n
n
A B FR A B

 
  

Donde:
A B
 A B

A B
 A B

A - B
A - B
Expresión FR Resultado
Expresión FR Resultado
3 3
A B

3 3
A B

2 2
3 3 3 3
A A. B B
 
2 2
3 3 3 3
A A. B B
 
A B

A B

n 1 n 2 n 1
n n n n
FR A A B ... B
  
   

20. RACIONALIZACIÓN
Exigimos más!
20
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 1
Transformar a radicales simples la
siguiente expresión:
E 8 60
 
Resolución:
Reconociendo:
A = 8  B = 60
Hallemos "C":
2
C 8 60 4 C 2
    
Luego:
8 2 8 2
E
2 2
 
 
Finalmente:
E 8 60 5 3
   
Método práctico: Debemos observar
que el radical doble presenta la
siguiente forma:
x 2 y

Luego podemos afirmar que:
x 2 y a b
  
Donde se debe cumplir que:
a b a b x ab y
     
Problema 2
Transformar a radicales simples la
siguiente expresión:
5 2 6

Resolución:
 
5 2 6 3 2 2 32
5 2 6 3 2
   
   
Problema 3
El equivalente de:
E 6 2 5 11 2 30 1.Es :
    
Resolución:
Utilizemos el método práctico para
transformar a los radicales dobles en
simples.
* 6 2 5 5 1 5 1
* 11 2 30 6 5
    
  
2.
  
n n
n / n número impar
A B FR A B

  
  

Donde:
n 1 n 2 n 1
n n n n
FR A A B ... B
  
   
3.
  
n n
n / n número par
A B FR A B

  
  

Donde:
n 1 n 2 n 1
n n n n
FR A A B ... B
  
   
Como:
E 6 2 5 11 2 30 1
    
Ahora en la expresión "E" se tendría:
   
E 5 1 6 5 1
    
Reduciendo:
E 6
  
Problema 4
Racionalizar el denominador de la
expresión:
7 7
7
E
5 3


Resolución:
Observamos que 7 7
5 3
 corresponde
a la relación (2) visto anteriormente,
con lo cual tenemos.
 
7 7
7FR 7FR
E
5 3
5 3 FR
7FR
E
8
 


 
problemas resueltos

21. 21
LIBRO UNI ÁLGEBRA
ECUACIONES
ÁLGEBRA
I. ECUACIÓN
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas
en la que al menos esté presente una variable que
ahora recibirá el nombre de incógnita.
Notación:
Primer miembro Segundo miembro
A(x;y;...z) B(x; y;...z)



 


Donde: x; y; ...; z: incógnita
Una ecuación que sólo se verifique para ciertos valores
de las incógnitas recibe el nombre de ecuación condi-
cional o, simplemente, ecuación.
Por ejemplo:
• x – 1= 3 se verifica solo para x = 2; es una ecuación
condicional.
• x2
– 1 = (x + 1) (x – 1) se verifica para todos los
valores de x; es una identidad.
Para representar una identidad se emplea el símbolo 
en lugar del símbolo =.
A. Soluciones de una ecuación
Las soluciones de una ecuación son los valores de
las incógnitas que transforman la ecuación en una
identidad, es decir, se igualan ambos miembros. Las
soluciones satisfacen a la ecuación. Resolver una
ecuación es hallar todas sus soluciones.
Por ejemplo:
x = 2 es una raíz, o solución de la ecuación x + 3 = 5,
ya que sustituyendo x = 2 en esta se obtiene
2 + 3 = 5, es decir, los dos miembros se hacen
iguales y la ecuación se convierte en una identidad.
B. Operaciones aplicadas en la transformación
de ecuaciones
• Si se suman miembro a miembro varias igual-
dades, se obtiene otra igualdad.
Por ejemplo la igualdad x – y = z, podemos
sumar “y” a ambos miembros, con lo que resulta
x = y + z.
• Si se restan miembro a miembro varias igual-
dades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo,
en la igualdad x + 5 = 7, podemos restar 5 a
ambos miembros con lo que se obtiene x = 2.
• Si se multiplican miembro a miembro varias
igualdades se obtiene otra igualdad.
Por ejemplo, si se multiplican por 3 los dos
miembros de la igualdad: 2
1
y 5x
3
 .
Se obtiene: y = 15x2
Análogamente, si los dos miembros de:
9 C k – 492
5

se multiplican por:
5
9
Se obtiene: 5
C (k – 492)
9

• Si se dividen miembro a miembro varias igual-
dades se obtiene otra igualdad siempre que
no se divida por cero.
Por ejemplo, si se dividen los dos miembros de
la igualdad 3x = 6 por 3, se obtiene x = 2.
Análogamente, en la igualdad F = ma se puede
dividir los dos miembros por m(m 0)
 obte-
niéndose:
F
a
m

Fórmula:
La fórmula es una ecuación que expresa un
hecho general, una regla o un principio.
DESARROLLO DEL TEMA

22. ECUACIONES
Exigimos más!
22
LIBRO UNI ÁLGEBRA
II. ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRA-
DO CON UNA INCÓGNITA
Forma General: ax + b = 0 ; a 0
 ; en donde a y b
son constantes arbitrarias.
Como primer paso para la resolución de esta ecuación
transponemos “b” al segundo miembro obteniéndose
así la ecuación equivalente.
ax = b

Después dividimos ambos miembros entre “a”, obte-
niéndose otra ecuación equivalente que es la solución
de la ecuación dada:
b
x –
a

Si este valor de “x” se sustituye en ax + b = 0 ob-
tendremos la identidad:
b
a – b 0
a
   
 
 
–b + b = 0
Teorema:
La ecuación lineal con una incógnita
ax + b = 0, a 0

Tiene solución única:
 b
x –
a
III. ECUACIÓNDESEGUNDOGRADO (CUA-
DRÁTICA)
A. Forma general
2
ax bx c 0
  
donde: x  incógnita, asume dos valores
a ; b ; c / a 0
  

B. Fórmulade Carnot
Si: x1; x2 son las raíces de la ecuación:
ax2
+ bx + c = 0; a 0

Estas se obtienen a partir de la relación:
2
1;2
–b b – 4ac
x
2a


1. Discriminante
 
 dada la ecuación cuadrática en "x":
ax2
+ bx + c = 0; a 0

se define como: 2
b – 4ac
 
2. Propiedad del discriminante
El discriminante de una ecuación cuadrática per-
mite decidir qué clase de raíces presenta, es decir:
1. Si: 0
  , la ecuación tiene raíces reales y
diferentes.
2. Si: 0
  , la ecuación tiene raíces reales e
iguales (raíces dobles).
3. Si: 0
  , la ecuación tiene raíces imagi-
narias y conjugadas.
IV. RELACIÓNENTRELASRAÍCESYLOSCO-
EFICIENTES (PROPIEDADES DE LAS RAÍ-
CES) DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Si x1 ; x2 son las raíces de la ecuación cuadrática en "x"
ax2
+ bx + c = 0
Se cumple:
• Suma: 1 2
b
s x x –
a
  
• Producto: 1 2
c
p x . x
a
 
• Diferencia:
2
1 2
b 4ac
| x x | ;a 0
a

  
Para determinar la diferencia de raíces se recomienda
utilizar la equivalencia de Legendre, veamos:
(x1 + x2)2
– (x1 – x2)2
= 4(x1 x2)
A. Casos particulares
Dada la ecuación cuadrática en "x": ax2
+ bx + c = 0
De raíces x1 ; x2, si estas son:
1. Simétricas, se cumple: x1 + x2 = 0.
2. Recíprocas, se cumple: x1
. x2 = 1.
V
. RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN
CUADRÁTICA EN "X"
Siendo "s" y "p", suma y producto de raíces, res-
pectivamente, toda ecuación cuadrática en "x" se
determina según la relación:
2
x – sx p 0
 
VI. TEOREMAS CUADRÁTICAS EQUIVA-
LENTES
A. Ecuacionescuadráticas equivalentes
Siendo: ax2
+ bx + c = 0
a1x2 + b1 x + c1 = 0
Se cumple:
1 1 1
a b c
a b c
 
B. Ecuaciones cuadráticas con una raíz común
Sean: ax2
+ bx + c = 0
a1 x2
+ b1 + c1 = 0
Se cumple:
2
1 1 1 1 1 1
(ab – a b)(bc – b c) (ac – a c)


23. Exigimos más!
ECUACIONES
23
LIBRO UNI ÁLGEBRA
VII.POLINOMIO DE GRADO SUPERIOR
A. Definición
Dado un número entero n 3
 , un polinomio en
variable x con coeficientes en k de grado n, es una
función de la forma:
P(x)  anxn
+ an–1xn–1
+ ........ + a1x + a0, con an  0
A la cual llamaremos polinomio de grado superior,
donde:
• x = es la variable independiente.
• ai
K, son los coeficientes de las x y son
constantes que pueden ser cualesquiera
números.
• K es un conjunto.
• an= coeficiente principal
• ao= término constante
• n = [P]° es el grado del polinomio P(x)
Observación:
El estudio de todo polinomio:
P(x)  anxn
+ an–1xn–1
+ ... + a1x + a0
con an  0, a0  0 radica en el tratamiento de sus
coeficientes i
a K
 y en particular de an y a0.
B. El Teorema fundamental del Álgebra
Todo polinomio P(x) de grado n > 0 con
coeficientes complejos en general, tiene al menos
una raíz gene-ralmente compleja.
Colorario:
Todo polinomio P(x) de grado n > 0, tiene exacta-
mente "n" raíces.
Por ejemplo P(x) = x5
+ x – 1 tiene en total 5
raíces entre reales e imaginarias, asimismo podemos
decir que 4
F(x) x
 tiene en total 4 raíces (cada
una es igual a cero).
VIII. POLINOMIOS CON COEFICIENTES
REALES
A. Teorema (paridadde las raíces imaginarias)
Si un polinomio P(x) con coeficientes reales tiene
como raíz el número imaginario Z, entonces Z tam-
bién es raíz de P(x).
Observaciones
• La paridad de raíces imaginarias, refiere lo
siguiente, si Z = a + bi, con b  0 es raíz de
un polinomio P(x) entonces Z = a – bi tam-
bién es raíz de P(x).
• Si Z = a + bi es raíz del polinomio P(x), entonces
(x – Z) (x – Z) será un factor de P(x).
Propiedad
Un polinomio con coeficientes reales puede escri-
birse como el producto de un número real, multi-
plicado por factores cuadráticos irreductibles con
coeficientes reales y factores lineales con coeficien-
tes reales.
B. Teorema (paridad de raíces irracionales)
Si un polinomio P(x) con coeficientes racionales tiene
como raíz a b
 , donde b es irracional, a y b son
racionales; entonces a b
 también es raíz de P(x).
Sea P(x) un polinomio con coeficientes racionales.
Si ( a b)
 es raíz del polinomio P(x), donde a,
b, ab sonirracionales, entonces a b,
 ; a b,
 
a b
  también son raíces de P(x).
Si la raíz ( a b)
 es de multiplicidad K, las otras
raíces también son de multiplicidad K.
IX. RELACIONES ENTRE LAS RAÍCES Y
LOS COEFICIENTES
Dado el polinomio de grado n > 0:
P(x) = anxn
+ an–1xn–1
+ ....... + a0
an  0 (con coeficientes reales o complejos) y cuyas n
raíces son r1, r2, r3, ..., rn (reales o complejas, incluidas
tantas veces como se repiten las raíces múltiples), en-
tonces existen relaciones entre los coeficientes de P(x)
y las raíces ri.
Dichas relaciones se obtienen del siguiete modo:
• n n 1
n n 1 0
a x a x ... a 0


   
n n 1 n 2 0
n 1 n 2
n
n n n
a
a a
x x x ... 0 a 0
a a a
 
 
      
(1*)
• Como r1, r2, ..., rn son las n raíces de P(x), entonces
el polinomio P(x) se puede escribir como:
P(x) = an(x – r1) (x – r2) .... (x – rn)
Como P(x) = 0  an(x – r1)(x – r2)....(x – rn)=0,
an  0  (x – r1)(x – r2)....(x – rn) = 0
(2*)
• Pero son idénticos (1*) y (2*):
n x 1 n 2 0
n 1 n 2
n n n
a
a a
x x x ...
a a a
 
 
   
1 2 n
(x r )(x r )...(x r )
      
n n 1
1 2 n
x r r ... r x 
    
   n
n 1
1 2 1 3 1 2 3 n
r r r r ... x ... 1 r r r ...r

     

24. ECUACIONES
Exigimos más!
24
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 1
Sea la ecuación 4x2
– 2x + 3 = 0, cuyas
raíces son a y b. Halle otra ecuación
cuadrática que tenga por raíces (2a – 1)
y (2b – 1)
UNI 2008 - I
Nivel fácil
A) y2
– y + 1 = 0
B) y2
– y – 2 = 0
C) y2
+ y + 3 = 0
D) 2 1
y y 2 0
2
  
E) 2 1
y y 3 0
4
  
Resolución:
Dada la ecuación:
4x2
– 2x + 3 = 0 de raíces {a;b}
1. Si cambiamos: "x" por " y
2
"
entonces:
2
y y
4 2 + 3 = 0
2 2
   

   
   
tenemos: y2
– y + 3 = 0
de raíces {2a; 2b}
2. Si cambiamos: "y" por "y+1"
Entonces: (y + 1)2
– (y + 1) + 3 = 0
Tenemos: y2
+ y + 3 = 0 de raíces
{2a – 1, 2b – 1}
Respuesta: C) y2
+ y + 3 = 0
Problema 2
Las raíces de la ecuación x x 2 4
  
son:
UNI 2007 - II
Nivel intermedio
A) solo x = 6
B) solo x = 3
C) x = 3, x = 6
D) x 6
 , x = 3
E) No existen soluciones
Resolución:
x x 2 4 x 2 4 x
      
Elevando al cuadrado y teniendo en
cuenta que
x – 2  0  4 – x  0
tenemos x2
– 9x + 18 = 0
(x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que
verifica solo será x = 3
Respuesta: B) Solo x = 3
Problema 3
Una ecuación cuadrática tienen como
raíces a 4 y 2
    . Halle la suma de
las cifras del producto de estas raíces,
siendo  el discriminante de la ecua-
ción.
UNI 2006 - II
Nivel difícil
A) 10 B) 11
C) 12 D) 13
E) 14
Resolución:
Suma de Raíces S 2 2
   
2
Producto Raíces P 2 8
     
Luego la ecuación será:
2 2
x (2 2)x 2 8 0
        
Luego calculando el discriminante:
2 2
(2 2) 4( 2 8)
36
         
 
 
 
Luego:
Producto de Raíces = (40)(34) = 1360
cifras 10


Respuesta: A) 10
Problema 4
Si {x1; x2} es el conjunto solución de:
x 1 x x
3 3 1 3 2

   
entonces la suma de x1 y x2 es:
UNI 2008-I
Nivel fácil
A) –4 B) –2
C) 2 D) 4
E) 0
Resolución:
Si:
x 1 x x
3 – 1
– 3 2
3

 
Si: x 0

Eliminando los valores absolutos:
3x+1
– (3x
– 1) = 3x
+ 2
Reduciendo:
3x . 3 –2 . 3x
– 1 = 0
Tenemos:
3x
= 1  x 0

Si: –1 x 0
 
Eliminando los valores absolutos:
3x+1
+ 3x
– 1 = 3x
+ 2
Reduciendo: 3x+1
= 3
Tenemos: x + 1 = 1
De donde: x = 0
0 1 x 0
   
Si: x < –1
Eliminando los valores absolutos:
–x–1
3 3
 x –1 3

x
2

Reduciendo: 3–x–1
= 3
Tenemos: –x – 1 = 1
De donde: x –2

 C.S. {–2;0}
Piden: –2 + 0 = –2
Respuesta: B) –2
Problema 5
Las raíces de la ecuación x x 2 4
  
son:
UNI 2008-I
Nivel intermedio
A) Solo x = 6
B) Solo x = 3
C) x = 3, x = 6
D) x 6
 , x = 3
E) No existen soluciones
Resolución:
x x 2 4 x 2 4 x
      
problemas resueltos

25. Exigimos más!
ECUACIONES
25
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Elevando al cuadrado y teniendo en
cuenta que:
x 2 0 4 x 0
    
Tenemos: x2
– 9x + 18 = 0
(x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que
verifica solo será x = 3.
Respuesta: B) x = 3, x = 6
Problema 6
La suma de todas las soluciones posi-
tivas de la ecuación:
2
2
10
6 x x
1 x x
  
 
es:
UNI 2009-II
Nivel difícil
A)
2 5 17
2
  
B)
2 5 17
2
  
C)
2 5 17
2
 
D)
3 5 17
2
  
E)
3 5 17
2
 
Resolución:
Piden: x > 0
Llamemos a:
x2
+ x + 1 = m; m > 0
Del dato:
2
2
10
7 (1 x x )
1 x x
   
 
2
10
Reemplazando : 7 m
m
m 7m 10 0
(m 2)(m 5) 0
m 2 m 5
 
  
   
   
Reemplazando:
2 2
2 2
x x 1 2 x x 1 5
x x 1 0 x x 4 0
      
      
Utilizando la fórmula general:
1 5 1 17
x x
2 2
   
  
como x > 0:
1 2
1 5 1 17
x x
2 2
   
  
1 2
2 5 17
x x
2
  
  
Respuesta: B)
2 5 17
2
  
Problema 7
La función polinomial:
 2
4 2
F(x,y,z) (x y)(y z 3)
[(Z y)(y x 3)] (x y z 3)
    
       
tiene N raíces (x, y, z). Entonces N es
igual a:
UNI 2008 - I
Nivel fácil
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Resolución:
   
2 4
0 0
(x y)(y z 3) (z y)(y x 3)
      



 



2
0
(x y z 3) 0
    




Se genera un sistema de ecuaciones:
x y 0 y z 3 0
z y 0 y x 3 0
x y z 3 0
     


     

    

De donde:
1
 
x y 0
z y 0
x y z 3 0
C.S. (1,1,1)
 


 

    

 
2
x y 0
y x 3 0
x y z 3 0
C.S.
 


  

    

 
3
y z 3 0
z y 0 C.S.
x y z 3 0
  


    

    

4  
y z 3 0
y x 3 0 C.S. (2; 1,2)
x y z 3 0
  


     

    

N es igual a 2

Respuesta: C) 2
Problema 8
Determine el polinomio mónico de me-
nor grado de coeficientes enteros que
tenga como raíces a los números reales
2 3
 y 3 2
 . Dar como respuesta
la suma de sus coeficientes.
UNI 2007 - II
Nivel intermedio
A) 28 B) 42 C) 56 D) 70 E)84
Resolución:
Por el teorema de la paridad de raíces
irracionales: Si una raíz es 3 2
  la otra
será ( 3 2)
  la cual origina el polinomio
cuadrático x2
+ 6x + 7.
Análogamente: Si la otra raíz es 2 3
 
la otra será 2 3
  que origina el
polinomio: (x2
+ 4x + 1).
Por lo tanto el polinomio mónico será:
P(x) = (x2
+ 6x + 7)(x2
+ 4x + 1)
Nos piden: P(x) (14)(6) 84
 
Respuesta: E) 84
Problema 9
Dados los siguientes polinomios: P(x)
de grado 2 y término independiente
uno; y Q(x) = (x – 1) P(x) + 3x + 1.
Si Q(2) = 7 y P(1) = 2, halle la suma
de raíces de Q(x).
UNI 2004 - II
Nivel intermedio
A) 0 B) 8/3
C) 10/3 D) 4
E) 5
Resolución:
De los datos: P(x) = ax2
+ bx + 1
Q(x) = (x – 1) (ax2
+ bx + 1) + 3x + 1
Pero:
Q(2) 7;(1)(4a 2b 1) 7 7
4a 2b 1......(1)
    
  
P(1) 2;a b 1 2
a b 1...(2)
   
 
de (1) y (2) = a 3 / 2;b 5 / 2
  
De donde:
3 2
3 3
Q(x) x 4x x
2 2
   
se pide:
1 2 3
4 8
x x x
3 / 2 3
    

Respuesta: B) 8/3

26. 26
LIBRO UNI ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LOS
NÚMEROS REALES
El sistema de los números reales, es un conjunto provisto
de dos operaciones internas (adición y multiplicación) y
una relación de orden y otra de igualdad.
Notación
Denotamos por  al conjunto de los números reales.
A. Axiomas de adición
(A1) a,b : a b
   
 
(Clausura o cerradura)
(A2) a,b : a b b a
    

(Conmutatividad)
(A3) a,b,c : a (b c) (a b) c
      

(Asociatividad)
(A4) a : !0 / a 0 0 a a
       
 
(Existencia y unidad del elemento neutro)
(A5) a : !(–a) / a (–a) (–a) a 0
       
 
(Existencia y unidad del elemento inverso)
B. Axiomas de multiplicación
(M1) a,b : ab
  
 
(Clausura)
(M2) a,b : ab ba
  

(Conmutatividad)
(M3) a,b,c : a(bc) (ab)c
  

(Asociatividad)
(M4)      
a : !1 / a 1 1 a a
   
(Existencia y unicidad del elemento neutro)
(M5) 
     
1 –1 –1
a – {0} : !a / a a a a 1
   
(Existencia y unidad del elemento inverso)
C. Axioma distributiva
Distributividad de la multiplicación respecto de la
adición.
(D1) a,b,c : a(b c) ab ac
    

(D2) a,b,c : (b c)a ba ca
    

D. Relación de orden
Es una comparación que se establece entre 2 ele-
mentos de un conjunto que pertenece al campo
de los números reales, el campo real es un campo
ordenado.
Símbolos de la relación de orden:
> : "mayor que"  : "menor o igual que"
< : "menor que"  : "mayor o igual que"
II. DESIGUALDAD
Es una relación de orden que se establece entre dos
números reales de diferente valor.
Existen dos tipos de desigualdades.
6 > 1  (Desigualdad verdadera)
5 < –2  (Desigualdad falsa)
A. Axiomade tricotomia
Si a b
  
 , entonces una y solamente una
de las siguientes relaciones se cumple:
NÚMEROS REALES
ÁLGEBRA
DESARROLLO DEL TEMA

27. Exigimos más!
NÚMEROS REALES
27
LIBRO UNI ÁLGEBRA
B. Axiomade transitividad
Si: (a b) (b c) (a c);a,b,c
      
C. Otros axiomas yteoremas de la desigualdad
a,b, c, d
  , se cumple:
• a b a c b c
    
• a b c d a c b d
      
• Si: a b c 0 ac bc
    
• Si:
a b
a b c 0
c c
    
• Si: a b –a –b
  
• Si: 0 a b 0 c d 0 ac bd
       
• 2
a ;a 0
  

• ab 0 {(a 0 b 0) (a 0 b 0)}
        
• ab 0 {(a 0 b 0) (a 0 b 0)}
        
• a y
1
a
tienen el mismo signo  
a – {0}

• Si a y b tienen el mismo signo y 1 1
a b
a b
  
• Si: 1 1 1
ab 0 a x b
a x b
      
• 2n–1 2n–1
a b a b , n 
     
• 2n 2n
0 a b a b , n 
      
• 2n 2n
a b 0 a b ; n 
      
• Si: a x b ab 0
    entonces:
2 2 2
0 x Max(a ,b )
 
• Si: 0 a b
  entonces a b
a b
2

 
• Si: 0 a b
  entonces a ab b
 
D. Propiedadesde desigualdadesentre medias
Si: x1; x2; ... xn son números positivos, se define:
• Media aritmética de x1; x2; ... ; xn
MA (x1; x2; ...; xn) =
n
i
i 1
1 x
n 

• Media geométrica de x1; x2; ...; xn
MG (x1; x2; ...; xn) =
n
n
i
i 1
x


• Media armónica de x1; x2; ...; xn
MH (x1; x2; ... xn) = n
i
i 1
n
1
x


• Media potencial de x1; x2; ...; xn
MP (x1; x2; ...; xn) =
n
k
i
k
i 1
x
n


Entonces:
MP MA MG MH
  
Para dos números: a  b, K 


k k
k a b a b 2
ab
2 2 1 1
a b
 
  

E. Rectanumérica real
Es la recta geométrica donde se puede ubicar los
números reales, es decir, existe una correspon-
dencia biunivoca entre el conjunto de los números
reales y esta recta.

28. NÚMEROS REALES
Exigimos más!
28
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 1
Sean a, b, c y d cuatro números reales
positivos tal que a – b = c – d y a < c.
Decir la verdad o falsedad de las si-
guientes afirmaciones:
I.
a c ,si a b
b d
 
II. c a
,sic d
d b
 
III.
c a
b d

UNI 2004 - I
Nivel fácil
A) FFV
B) FVV
C) FVF
D) VFV
E) VFF
Resolución:
I. Si a < c
1 1
; si a b a b 0
c a
     
Luego:
1 1
(c d) (a b)
c a
  
d b
1 1
c a
  
b d a c
,
a c b d
  (V)
II. Si c < d  a < b
c a
d b

 (F)
III.
a c
b d
ab cd



c a
b d
 (F)
Respuesta: E) VFF
Problema 2
Sean los números racionales a1, a2, ...,
an tales que a1< a2 < ... < an–1 < an.
Entonces se cumple que:
UNI 2008 - II
Nivel fácil
A) 
 

n
i
n n
i 1
1 n
a
a a
n
B) 
 

n
i
i 1
1 n
a
a a
n
C)

 

n
1 i n
i 1
a a a
D)

 

n
n n
1 i n
i 1
a a a
E)

 

n
1 n
i
i 1
a a
a
n n
Resolución:
Para un grupo de datos no todos iguales:
   
 
1 2 3 n
1 n
a a a ... a
a a
n
 , – son símbolos ideales, no son números rea-les, son simples representaciones.
problemas resueltos

29. Exigimos más!
NÚMEROS REALES
29
LIBRO UNI ÁLGEBRA

 

n
i
i 1
1 n
a
a a
n
Respuesta: B) 
 

n
i
i 1
1 n
a
a a
n
Problema 3
Clasifique como verdadero (V) o falso
(F) cada una de las siguientes afirma-
ciones:
• a,b
 números enteros, a/b es un
número racional.
• a,b
 números enteros,
2
a b
1 a


es un número racional.
• Si k   y k2
es par, entonces k es
par.
UNI 2009 - I
Nivel difícil
A) FVV B) FFV
C) VFV D) VFF
E) FFF
Resolución:
a) Aplicación de teorema
Recordar:
 
Número A
/ A Z B Z 0
racional B
 
    
 
 
b) Solución del problema
• Es falso, cuando b = 0.
• Es verdadero, porque en:
2
a b
1 a


;
2
(1 a 0)
 
• Es verdadero:
o
o
2
K 2
K .
2 K Z

  

Respuesta: A) FVV

30. 30
LIBRO UNI ÁLGEBRA
INECUACIONES
ÁLGEBRA
2. Aplicar uno de las teoremas siguientes:
I. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)
       

II. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)
       

III. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)
       

IV. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)
       

D. Método de los puntosde corte
Sea: 2
P(x)
ax +bx +c 0






Consideraciones previas
• En la resolución de una inecuación cuadrática
se transpone, si es necesario, todos los términos
a un sólo miembro de la desigualdad.
1. Factorizar la expresión cuadrática si es posible;
sino se puedefactorizar aplicarla fórmulacuadrática.
2. Hallar los puntos de corte (valor de x) igualando
a cero el factor o los factores.
3. Ubica los puntos de corte en la recta numérica real.
4. Denotar las zonas o regiones determinadas por los
puntos de corte colocando los signos intercalados
empezando por la derecha con signo positivo.
5.
I. Si: P(x) > 0, el conjunto solución es la unión
de intervalos positivos (abiertos).
II. Si: 
P(x) 0 , el conjunto solución es la unión
de intervalos positivos (cerrados).
II. Si: P(x) < 0, el conjunto solución es el inter-
valo negativo (abierto).
IV. Si: 
P(x) 0, el conjunto solución es el inter-
valo negativo (cerrado).
Teorema
Sea: ax2
+ bx + c > 0; a > 0
Si:    
2
b 4ac 0
Se verifica para todo x diferente de
b
2a
 

 
b
C.S.: x
2a


Teorema
Sea: ax2
+ bx + c < 0; a > 0
Si:    
2
b 4ac 0
No se verifica para ningún valor real "x".
 
C.S. : x

I. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Son aquellas inecuaciones de la forma:
I. ax2
+ bx + c > 0
II. ax2
+ bx + c > 0
III. ax2
+ bx + c < 0
IV. ax2
+ bx + c  0
Donde:  
a 0 ;b,c
  
 
A. Método de resolución de inecuaciones de se-
gundo grado con una incógnita
I. Método de completar cuadrados.
II. Método de la ley de signos de la multiplicación.
III. Método de los puntos de corte.
B. Método de completar cuadrados
Sea: ax2
+ bx + c 
 0
1. El coeficiente de x2
debe ser 1, si no lo fuese
entonces se divide a ambos miembros entre a.
2 bx c
x 0
a a

  
2. El término independiente se pasa al segundo
miembro.
2 b c
x x
a a

 

3. Se busca obtener un trinomio cuadrado perfecto,
sumando a ambos miembros la mitad del coe-
ficiente de x elevado al cuadrado.
2 2
2 b b c b
x 2(x)
2a 2a a 2a
     
    
     

     
4. Escribiendo el primer miembro como un binomio
al cuadrado y reduciendo el segundo miembro.
2 2
2
b b 4ac
x
2a 4a

 
 
  
 
5. Finalmente:
Teorema
2
x m x m x m;m 0
      
2
x m x m x m;m 0
      
C. Métododelaregladesignosdemultiplicación
Sea: ax2
+ bx + c 
 0
1. Se factoriza el trinomio (factor común, dife-
rencia de cuadrados, aspa simple)
DESARROLLO DEL TEMA

31. Exigimos más!
INECUACIONES
31
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Teorema
Sea: ax2
+ bx + c > 0; a > 0
Si: b2
– 4ac < 0
Se verifica para todo valor real “x”.

C.S.: x 

Teorema
Sea: ax2
+ bx + c < 0; a > 0
Si: b2
– 4ac < 0
La inecuación no se verifica para ningún valor real “x”.
 
C.S. : x

II. INECUACIONES POLINOMIALES
Son aquellas que presentan la siguiente forma general:
n n-1 n-2
0 1 2 n-1 n
P(x) a x a x a x ... a x a 0


     
x  Variable
a0; a1; a2; ... an  Coeficientes
n Z n 2

  
• Reducir el polinomio mediante factorizaciones ob-
teniendo la forma equivalente siguiente:
     
1 2 n
x a x a ... x a 0

   
donde todos los ai son diferentes entre sí, para
luego aplicar: el método de los puntos de corte.
III. INECUACIONES FRACCIONARIAS
Son aquellas inecuaciones que reducida a su mas simple
expresión asume la siguiente forma general:
P(x)
0
Q(x)


Donde:
P(x) Q(x) son polinomios no nulos con coeficientes
reales.
Resolución:
Se tiene: 

(x)
(x)
P
0
Q
Multiplicamos a ambos miembros por:
(x) (x)
(x)
(x)
2
2 P Q
Q 0
Q
 
Expresión reducida:
P(x) Q(x) > 0; no olvidando: 
Q(x) 0
Para luego utilizar el método de los puntos de corte.
IV. INECUACIONES IRRACIONALES
Se denomina así a aquellas inecuaciones donde la
incógnita se encuentra bajo signo radical, los casos
más usuales son:
A. Caso I
2n 1 P(x) Q(x)
 

Donde P(x), Q(x) son polinomios; n N
 se resuelve:
P(x) 
 Q(x)2n+1
Ejemplo:
(1) Resolver:
3
x 2 1
 
Resolución:
Se obtiene: x – 2 > 1
x > 3
B. Caso II
2n 2n
P(x) Q(x)

Es equivalente a resolver un sistema constituido a
partir de:
2n 2n
0 P(x) Q(x)
 
Así:
P(x) 0 ... (1)
Q(x) 0 ... (2)
P(x) Q(x) ... (3)



finalmente:   
1 2 3
C.S. S S S
Ejemplo:
(1) Resolver: x 2 6 x
  
Resolución:
1° x + 2  0
x  –2 ... (1)
2° 6–x  0
–x  –6
x  6 ... (2)
3° x + 2 < 6 –x
2x < 4
x < 2 ... (3)
Luego: C.S. = 1 2 3
S S S
 
C.S.: [–2; 2>
C. Caso III

P(x) Q(x)
Se resuelve el sistema construido a partir de:
P(x)  0 ... (1)
Q(x) > 0 ... (2)
P(x) < Q2
(x) ... (3)
finalmente:   
1 2 3
C.S. S S S
Ejemplo:
Resolver: x 2 3
 
Resolución:
1° x – 2  0
x  2 ... (1)
2° 3 > 0
 
x R ... (2)
3° x – 2< 32
x < 11 ... (3)

32. INECUACIONES
Exigimos más!
32
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Luego:   
1 2 3
C.S. S S S
C.S. = [2; 11>
D. Caso IV

P(x) Q(x)
Se resuelve: 
P(x) 0
1
S P(x) 0 Q(x) 0 P(x) Q(x)
     
2
S P(x) 0 Q(x) 0
   
Finalmente: 1 2
C.S. S S
 
V
. VALOR ABOLUTO (V
.A)
a. Definición
Sea a  , el valor absoluto se denota por |a|, el cual
se define por:
a;a 0
a
a;a 0
=
–





Ejemplos:
1. |4 – 2| =|2| = 2
2. |3 – 5| =|–2| = –(–2) = 2
B. Propiedades
1. El valor absoluto de todo número real siempre es
un número no negativo. a 0

2. El valor absoluto de todo número real siempre es
igual al valor absoluto de su opuesto. a a
= –
3. El valor absoluto de la multiplicación de dos números
reales es igual a la multiplicación de los valores
absolutos de los números en mención.|ab| = |a||b|
4. El valor absoluto de la división de dos números reales
(divisor es diferente de cero) es igual a la división
de los valores absolutos.
a a
; b 0
b b

=
5. Todo número al cuadrado, siempre es igual al valor
absoluto de la base elevado al cuadrado.
a2
= |a|2
6. La raíz cuadrada de todo número elevado al
cuadrado, siempre es igual al valor absoluto del
número.
2
a a
=
Nota:
– Hagamos la siguiente generalización:




x a;x a 0
x a
x a;x a<0
– –
– =
– + –
– Generalizando:
|a + b| = |–a –b| ; |a – b| = |b – a|
– Generalizando:
|abc... n| = |a||b||c|...|n|
– Estas dos propiedades antes mencionadas nos permiten
hacer lo siguiente:
– |3(x – 4)| = 3|x – 4|
– 2|x + 2| = |2x + 4|
– –2|x + 2| = –|2x + 4|
–
x 1 x 1
3 3
+ +
=
–
x 2 x 2
=
3 3
+ +
–
–
Comentario
Esta propiedad va a ser de gran utilidad en el
trabajo de una ecuación e inecuación con un valor
absoluto.
7. Desigualdad triangular:
|a + b|  |a| + |b|
En particular si:
|a + b| = |a| + |b|
 ab  0
Nota:
– Generalizando si n  o:
a2n
= |a|2n
a2n+1
= |a|2n
.a
– ¡Tenga cuidado!
Teoría de exponentes

2
x x
x 0
=
Números Reales
2
x x
x
  
=
VI. ECUACIONES CONVALOR ABSOLUTO
A. Caso 1
|x| = 0  x = 0
Ejemplo:
• |x – 3|=0  x – 3 = 0  x = 3
B. Caso 2
|x| = a  (a  0)  (x = a  a = –a)
Ejemplo:
• |x – 3| = 5
Si 5  0
x – 3 = 5  x – 3 = –5
x = 8  x = –2

33. Exigimos más!
INECUACIONES
33
LIBRO UNI ÁLGEBRA
|x – 3| = –4
Si –4  0 (Falso)
 C.S. = 
C. Caso 3
|x| = |a|  x = a  x = –a
Ejemplo:
|x – 3| = |2x + 2|
 x – 3 = 2x + 2  x – 3 = –2x –2
–5 = x 3x = 1
 x = -5  x =
1
3
VII. INECUACIONES CON VALOR
ABSOLUTO
A. Caso 1
|x|  a: a  0  (–a  x  a)
Ejemplo:
|x – 3|  5: 5  0  (–5  x – 3  5)
–2  x  8
B. Caso 2
|x|  a: x  a  x  –a
Ejemplo:
|x – 2|  3: x – 2  3  x – 2  –3
x  5  x  –1
C. Caso 3
|x| 
 |y|  (x – y)(x + y) 
 0
Ejemplo:
|x – 2|  |2x – 3|  (–x + 1)(3x – 5)  0
(x – 1)(3x – 5)  0
Aplicando puntos de corte:
5
x ;1 ;
3
– +

   

 

Problema 1
Halle el valor de a  , para que la ine-
cuación 2 2
(a 14) x 4x 4a 0
    , tenga
como solución el conjunto [–2; 4].
UNI 2010-II
A) –6 B) –4 C) –2 D) –1 E) –1/2
Resolución:
(a2
– 14)x2
– 4x + 4a  0
Se debe cumplir que:
2 2
a 4 a –4 7
a a –4
2
4 4a
2 –8
a – 14 a – 14
  
  
  



 



Por tanto: a = –4
Respuesta: B) –4
Problema 2
Si el conjunto solución de la inecuación:
(2x
– x) (3x
– Log3x)(x2
– 9)(3x
– 9) > 0
es de la forma: S a;b c;
   . Ha-
lle a + b + c.
UNI 2009-I
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5
Resolución:
(2x
– x)(3x
– log3x)(x2
– 9)(3x
– 9) > 0
Resolviendo:
De donde:     
x x
2 x 2 x 0; x 0
De donde:
x x
3 3
3 log x 3 log x 0; x 0
    
Resolviendo:
(2x
–x)(3x
–log3x)(x+3)(x–3)(3x
–9) > 0
C.V.A. = Si: log3xR  x > 0
   
x x x
3
2 -x 3 -log x x 3 (x 3)(3 9) 0
 

   


 







Reduciendo:
(x – 3)(3x
– 9) > 0
x x
(x 3 0 3 9) (x 3 0 3 9)
        
x
(x 3 x 2) (x 3 0 3 9)
       
x > 3  x < 2..... S1
Luego: C. S.: C. V. A  S1
S =  0; 2    3 ; +  
  
a b c
 a + b + c = 5
Respuesta: E) 5
Problema 3
La inecuación x2
– 2bx – c < 0 tiene como
conjunto solución 3;5 . Halle b + c.
UNI 2008 - II
A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
Resolución:
Analizando:
  
 
2
x 2bx c 0
x 3;5
Operando:
a) Aplicación de fórmula o teorema
• Suma de raíces: x1 + x2 =
b
a

• Producto de raíces: 1 2
c
x x
a

b) Solución del problema
–3  5 serán raíces de la ecuación:
x2
– 2bx – c = 0
Entonces:
1 2
2b
x x 2 b 1
   





1 2
c
x x 15 c 15

   
Conclusión
 b + c = 16
Respuesta: A) 16
problemas resueltos

34. INECUACIONES
Exigimos más!
34
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 4
Resolver:
|2x + 6| = |x + 8|
Nivel fácil
Resolución:
Aplicando el teorema:
|a|=|b|  a = b  a = –b
2x + 6 = x + 8  2x + 6 = –x–8
x = 2 3x = –14
x =
14
3
–
Respuesta: C.S.=
14
– ;2
3
 
 
 
Problema 5
Resolver: |3x + 5| = 2x – 3
Nivel intermedio
Resolución:
Aplicando el teorema:
|x| = a  a  0  (x = a  x = –a)
Entonces:
2x–3 0 (3x+5=2x–3 3x+5=–2x+3)
x 
3
2
 (x = –8  5x = –2)
x =
2
5
–
Como:
–8 
3
2
(F) 2 3
5 2

– (F)
Respuesta: C.S. = 
Problema 6
Resolver: |3x + 4|  x + 10
Nivel intermedio
Resolución:
Aplicando el teorema:
|x|  a  (a  0)  (–a  x  a)
Entonces:
x+10  0  (–x –10  3x + 4  x + 10)
x –10 (–x–10 3x+4 3x+4 x+10)
–14  4x  2x  6
x  –10 
7
x x 3
2
 
  
 
 
–
x  –10 
7
– x 3
2
 
 
 
 
Intersectando:
–10 –7
2
3 +
–
Respuesta:
 
  
 
–
7
x ; 3
2
Problema 7
Sea la igualdad:
    
x a b x a b .....(*)
entonces la proposición verdadera es:
UNI 2009 - I
Nivel fácil
A) (*) si y solo si   
2 2
x 0 a b
B) (*) si y solo si x = a = b
C) (*) si y solo si   
x 0 a b
D) (*) si y solo si   
x 0 a b
E) (*) si y solo si x = a = –b
Resolución:
a) Aplicación de fórmula o teorema
     
x y x y x y
b) Solución del problema
           
 
(x a b) x a b x a b (x a b)
2b 2a 2x 0
Conclusiones
   
a b x 0
Otra solución
Tenemos:
    
x a b x a b
(2x) (2b – 2a) = 0
x = 0  a = b
Recuerda:     
x y (x y)(x y) 0
Problema 8
Sean los conjuntos:
 
 
   
    
A x / x x 1 y
B x A / x x 1 1

Entonces podemos decir que AB es:
UNI 2009-II
Nivel intermedio
A)  B)
1 1
,
2 2
 

 
 
C)
1
,0
2
 

 
 
D)
1
;0
2




E) 0;
Resolución
 
A x / x – x 1
  

 
B x A / x – x – 1 1
  
Operando:
I. Calculando el conjunto A (de la ine-
cuación).
i) x 0 : 0 1
 
i
C.S. 0;
  

ii) x 0 : x - (-x) 1
 
2x 1

1 2x 1
  
1 1
x pero x 0
2 2
   
II. Calculando el conjunto B (de la ine-
cuación)
1
;

   


    
   
 
  
 
i
Como x A
2
1
i) x 0 : 2x 1 1
2
1 2x 1 1
0 x 1, pero
1
x 0
2
C.S.
ii
i ii
ii) x 0 : 1 1
1 1
C.S. 0
C.S. C.S. C.S. 0
B 0
  


 


   

 
 

;
;
;
Calculando A–B
1
A B ;0
2

   


Respuesta: D) 1
;0
2




35. Exigimos más!
INECUACIONES
35
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 9
Dada la siguiente relación:
  
y y x x
diga cuál de las siguientes gráficas es la
que le corresponde:
UNI 2010 - I
Nivel difícil
A) B)
C) D)
E)
Resolución:
Ubicación de incógnita
Encontrar la gráfica de la relación.
Análisis de los datos o gráficos
  
  
y y x x
y x y x
Operación del problema
Si:       
x 0 y 0 y x y x
Si:        
  
x 0 y 0 y x y x
2y 0 y 0
y
x
Si:       

x 0 y 0 y x y x
2x 0
y
x
Si:       

x 0 y 0 y x y x
x y
y
x
Luego:
y
x
Respuesta: D)
y
x

36. 36
LIBRO UNI ÁLGEBRA
FUNCIONES
ÁLGEBRA
La palabra función se escuchará muy a menudo en la misma
vida diaria por ejemplo en las siguientes frases:
1. Los precios están en función a la oferta y la demanda.
2. El volumen de una esfera está en función del radio de
la misma.
Y así podría escucharse otras frases que nos dan una idea
intuitiva del concepto de una función, el concepto intuitivo
de función. "Es la relación de 2 ó más conjuntos bajo una
regla o ley".
El objetivo es esquematizar el concepto intuitivo en una
definición formal, pero antes daremos algunos conceptos
previos.
I. PAR ORDENADO
Es un conjunto de 2 elementos denotado así: (a;b)
Donde:
a: se llama 1.a
componente.
b: se llama 2.a
componente.
Que formalmente se define así:
(a,b) = {{a}, {a, b}}
Teorema:
(a,b) = (m,n) a = m b = n
 
II. PRODUCTO CARTESIANO
Dados 2 conjuntos A y B no vacíos el producto carte-
siano de A y B denotado por A x B se define:
 
 
A x B a,b / a A b B
   
Ejemplo:
Sean A =    
m,n , B p,q,r

A x B = {(m,p), (m,q), (m,r), (n,p), (n,q), (n,r)}
B x A = {(p,m), (p,n), (q,m), (q,n), (r,m), (r,n)}
Vemos que:
A x B B x A A B
  
Por el diagrama del árbol
A B AxB
m
p
q
q
r
p
(m,p)
(m,q)
(m,r)
(n,p)
n
p
q
q
r
(n,p)
(n,q)
(n,r)
Por el diagrama sagital o de Ven
A B
m
n
p
q
r
           
 
A B m,p , m,q , m,r , n,p , n,q , n,r
 
Por el diagrama cartesiano
           
 
A B m,p , m,q , m,r , n,p , n,q , n,r
 
III. RELACIONES
Dados 2 conjuntos no vacíos, A y B se llama relación R
de A en B a todo subconjunto de A x B.
Ejemplo:
Sea A = {m, n}, B = {p, q,r}
           
 
A x B m,p , m,q , m,r , n,p , n,q , n,r

DESARROLLO DEL TEMA

37. Exigimos más!
FUNCIONES
37
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Ejemplo:
m
n
p
A B
f
q
1
2
3
7
Df =  
A m,n,p,q , Rf
  
1,3

Observación:
Si:  
x,y  f función de A en B
se denota, y = f(x), se dice:
y: es imagen de x bajo f.
x: es la preimagen de x bajo f.
x: variable independiente.
y: variable dependiente.
C. Cálculo del dominio y el rango
El dominio se halla ubicando los posibles valores que
puede asumir la variable independiente. El rango,
dependiendo del dominio considera los valores de
la variable dependiente.
Ejemplo:
Halle el dominio y el rango en:
 
2
2
25 x
f x
x 7



I) Df =  
2 2
x R / 25 x 0 x 7 0
     
=   
 
2
x R / x 5 x 5 0 x 7 0
      

x 5,5 x , 7 7,
       
 
 
x 5, 7 7;
    
 
 
Df =  
 
x 5 , 7 7,5
   
 
 
II) Rf = R+
0
D. Gráfica de una función
Se define como el conjunto de los pares (x,y)
 
x, y R x R / x Df Rf
   
Así: A B C D E
Sea:          
 
f 3,5 , 2,2 , 1,2 , 4,3 , 5,4

Se citan las relaciones:
     
 
1
R m,p , n,p , n,r

     
 
2
R m,q , n,p , n,q

 
 
3
R m,q

IV. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Una función f es una correspondencia entre 2 con-
juntos A y B tales que a cada elemento a  A le co-
rresponde un único elemento de B.
Se llama función f al conjunto de pares ordenados
(a,b) que:
Para cada aA,  
!b B / a, b
   f asimismo:
 
a,b f (a,c)
 f  b = c
Ejemplo
f      
 
3,a , 4,a , 5,b

Cumple la definición, por tanto f es una función.
Ejemplo:
3
7
9
m
n
p
A B
f
f        
 
3,m , 3,n , 7,p , 9,n

– No se cumple la condición de unicidad.
– No es función.
"No deben existir 2 o más pares ordenados con el
mismo primer elemento".
A. Dominio de una función
Se llama así al conjunto de todas las primeras compo-
nentes que coinciden con los elementos del conjun-
to de partida denotado por Df (dominio de f).
Df = {  
x A / !b B a,b
     f}
}
B. Rango de una función
Es el conjunto de todas las segundas componentes
de todos los pares ordenados de f, denotado por
Rf (Rango de f).  
 
Rf b B / a A a,b f
    

38. FUNCIONES
Exigimos más!
38
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Observación:
• Si tanto la variable independiente "x" y la variable
dependiente "y" son reales se llama función real
en variable real.
• Si los pares son continuos la gráfica obtenida
es una línea.
E. Propiedad de las funciones reales
f es una función real de variable real si y solo si cada
recta vertical corta a lo más en un punto a su gráfica.
Ejemplo:
V
. FUNCIONES ESPECIALES
A. Función identidad
B. Función constante
C. Función valor absoluto
 
x x 0
f x x 0 x 0
x x < 0



  



D. Función escalón unitario
 
0, x a
U x
1, x a


 


E. Función signo (sig.x)
 
1 x 0
y Sig x 0 x 0
1 x < 0



  



F. Función máximo entero
 
f x x n n x n 1,n
       Z
 
2 2 x 1
1 1 x 0
f x x 0 0 x 1
1 1 x 2
2 2 x 3
     


    


    

   

   

y
2
1
1 2 3
-1
-2
O
-1
-2
Df=
Rf=z
R

39. Exigimos más!
FUNCIONES
39
LIBRO UNI ÁLGEBRA
G. Función inverso multiplicativo
  1
f x / x 0
x
  ;    
f x 1/ x; x 0
H. Función polinomial
1. Función lineal
 
f x ax b; a 0
  
2. Función cuadrática a 0

  2
f x ax bx c;
   de raíces x1, x2
Discriminante:  = b2
– 4ac
3. Función cúbica
  3 2
f x ax bx cx d
   
Reemplazando x por
b
x
3a
 se transforma en:
 
3
k x px q
 
  3
1
f x x px q,
    de raíces 1 2 3
x , x , x llama-
mos discriminante:
2 3
q p
2 3
   
  
   
   
I. Función potencial
  n
f x x / n
  N
VI. TRAZADO DE GRÁFICAS ESPECIALES
En esta sección veremos una forma rápida de construir
las gráficas de algunas funciones definidas a partir de
otras cuyas gráficas se asumen conocidas. En este sen-
tido, dada la gráfica de una función de base y = f(x)
veremos primero la forma de construir rápidamente las
gráficas de las funciones siguientes:
1. g(x) = f(x) + k; g(x) = f(x - h); g(x) = f(x-h)+k
2. g(x) = -f(x); g(x) = f(-x); g(x) = -f(-x)
3. g(x) = af(x); g(x) = f(ax); (a 0
 )
4. g(x) = |f(x)|; y
5. g(x) = f(x)
[Todas en base a la gráfica y = f(x)]
(1a) La gráfica de    
g x f x k
  se obtiene despla-
zando verticalmente la gráfica de y = f(x) en |k| unidades:
i) Hacia arriba, si k > 0
ii) Hacia abajo, si k < 0
x
y
O
g(x) = f(x)+2
y = f(x)
h(x) = f(x)-2
-2
2
(1b) La gráfica de    
g x f x h
  se obtiene despla-
zando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en h uni-
dades:
i) Hacia la derecha, si h > 0
ii) Hacia la izquierda, si h < 0
pues si f(x) = x2
, entonces:
f(x – 4) = (x – 4)2
= g(x)
f(x + 3) = (x + 3)2
= j(x)
Donde en el caso de: j(x) = (x + 3)2
[x – (–3)]2
se
tiene que: h = –3 (<0). Tenemos la gráfica correspon-
diente a continuación:

40. FUNCIONES
Exigimos más!
40
LIBRO UNI ÁLGEBRA
(1c) La gráfica de    
g x f x h k
   se obtiene com-
binando (1a) y (1b) en cualquier orden.
y=f(x)=x2
x
y
y=(x-7)2
7
O
y=x -3
2
-3 (7;-3)
g(x) = (x-7)-3
2
(2a) La gráfica    
g x f x
  se obtiene por reflexión
de la gráfica de y = f(x) sobre el eje x. Considerando a
este eje como doble espejo.
Todo lo que está encima del eje X pasa abajo, y viceversa.
O
y=-f(x)
x
y
f
-f
y=f(x)
(2b) La gráfica  
y f x
  se obtiene por reflexión
de la gráfica de y = f(x) sobre el eje y considerando a
este eje como doble espejo.
Todo lo que está encima del eje y, pasa abajo y viceversa.
O
y=-f(x)
x
y
x
f(x)=f(-x)
y=f(x)
-x
(2c) La gráfica de  
y f x
   se obtiene combinado
(2a) y (2b).
Ejemplo:
Como ilustración de los resultados anteriores. Hallaremos
la gráfica de: y = g(x) = –(x – 2)2
+ 1
Resolución:
Sean f(x) = (x + 2)2
– 1, entonces:
f(–x) = [(–x) + 2]2
– 1 = (x – 2)2
– 1
 –f(–x) = –x(x – 2)2 + 1
Luego y = g(x) = –f(–x):
f(x)=(x+2)-1
2
y
y=f(-x+2)-1
2
x
-2
-3
-4 0
-1
1
-3
1 2 3 4
1
3
=(x-2)-1
2
g(x)=-(x-2)+1=-f(-x)
2
Note que pudimos haber graficado esta parábola di-
rectamente, claro.
(3a) La gráfica de  
y a f x . a 0
  , se obtiene:
i) Estirando la gráfica de y = f(x) verticalmente en
un factor a, si a > 1, con base en el eje X.
ii) Si: 0 < a < 1, escogiendo la gráfica de: y = f(x)
verticalmente en un factor a.
(3b) La gráfica de  
y f ax
 , a > 0, se obtiene:
i) Encogiendo horizontalmente la gráfica de y = f(x)
en un factor a, si a > 1, con base en el eje Y.
ii) Estirando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en
un factor a, si 0 < a < 1.
Gráfica de: y = |f(x)|
Desde que:
 
   
 
 
f x , sif x 0
y f x f x 0
f(x), sif x 0
 

   




Entonces la gráfica de: y f(x)
 se encontrará comple-
tamente en el semiplano superior y  0 y se obtiene a
partir de la gráfica de la función y = f(x); reflejando
hacia arriba del eje x todo lo que este debajo de este
eje, quedando intacta la parte de la gráfica de: y = f(x)
que originalmente ya se encontraba arriba o en el mismo
eje x (es decir, en la zona y  0).

41. Exigimos más!
FUNCIONES
41
LIBRO UNI ÁLGEBRA
VII. FUNCIONES PARES, IMPARES Y
PERIÓ-DICAS
A. Función par
Una función f se llama función par si:
i) x Domf x Dom f
 
 
ii) f (–x) = f(x)
En este caso la regla de correspondencia y = f(x)
no varía si se reemplaza x por –x. Geométricamente,
la gráfica es simétrica respecto al eje y.
Así tenemos que las funciones f(x) = x2
, f(x) = Cosx,
f(x) = x4
, son funciones pares.
B. Función impar
Una función f se llama función impar, si:
i) x Domf x Dom f
   
ii) f (–x) = –f(x)
Aquí la regla de correspondencia y = f(x) no varía
si se reemplaza simultáneamente tanto x por – x
como y por – y. Por lo tanto, su gráfica es simétrica
res-pecto al origen.
y
x
f(x)
0 x
-x
f
f(-x)=-f(x)
Son funciones impares:
a) f(x) = x3
b) f(x) = sen x
c) (x) = 1/x
Una función que es a la vez par e impar es, por
ejemplo:
f(x) = 0, x 5, 2 2,5
    
 
  .
x
0
-2
-5 2 5
y
C. Funciones periódicas
Una función f, en R, se denomina función periódica
si existe un número real T 0
 , tal que:
i) x Domf x T Dom f
   
ii) f (x + T) = f(x) . x Domf
 
Tal número T es llamado un periodo de T.
x
x
y
0
f(x)
x+T x+2T x+3T
T
Note que f(x+T) = f(x)
Toda función periódica con periodo T tiene su grá-
fica de modo tal que la misma forma que tiene en
un intervalo de longitud T se repite horizontal y
periódicamente en el siguiente intervalo consecuti-
vo de longitud T.
Note que si T es un periodo de f, entonces 2T, 3T...
también son periodos de f.
Las funciones seno y coseno tienen periodo T = 2 :
Sen(x + 2 ) = Senx . Cos(x + 2 ) = Cosx; x R
 
También vemos que: 2 . 4 .6 ...2k
     
 
con k entero 0
 , son periodos de seno y coseno,
siendo 2  el menor periodo positivo.
Definición
Se llama periodo mínimo de una función periódica
al menor de sus periodos positivos.
VIII. ÁLGEBRA DE FUNCIONES
A. Igualdad de funciones
Dos funciones f y g son iguales si:
i) Dom f = Dom g
ii) f(x) = g (x), x
  Dom f
En tal caso se denota f = g.
Así tenemos que las funciones:
f(x) = x2
–x, 2
x 0,4 ; g(x) x x, x 0,5
   
   
   
No son iguales, pues aunque tienen la misma regla
de correspondencia, sus dominios no coinciden.
B. Adición de funciones
Recordemos que una función está completamente

42. FUNCIONES
Exigimos más!
42
LIBRO UNI ÁLGEBRA
definida cuando se especifica su dominio y su regla
de correspondencia.
Definición: si f y g tienen dominios Dom f y Dom g,
se define una nueva función llamada.
Función Suma
"f + g", tal que:
i)  
Dom f g Domf Domg
  
ii) (f + g)(x) = f(x) + g(x)
C. Sustracción y multiplicación de funciones
Si f y g tiene dominios Dom f y Dom g, se definen
las funciones:
1. Diferencia "f – g"
i)  
Dom f g Domf Domg
  
ii) (f – g)(x) = f(x) – g(x)
2. Multiplicación "f . g"
i) Dom (fg) = Dom f  Dom g
ii) (f . g)(x) = f(x) g(x)
   
 
 
f g x f x g x / x Dom f Domg
     
   
 
 
f g x, f x g x / x Domf Domg
  
Notación
La multiplicación de una función por sí misma:
2 n
f f : f : f f.f...f (n veces), n
  
Donde:
     
n
Dom(f ) Domf Domf ... Domf Domf
    
Por lo tanto: el dominio de cualquier potencia
entera positiva de f tiene el mismo dominio de
la función f.
Así:
   
 
 
2
f x,f x .f x / x Domf
 
Asimismo:
 
 
 
c.f x,c f x / x Dom f
 
para cualquier constante real c.
C. División de funciones
Si f y g son funciones con dominios Dom f y Dom g,
se define la nueva función "cociente" denotada por
"f/g", tal que:
i) Dom (f/g) =  
Domf x Domg / g(x) 0
  
=    
Domf Domg x Domg / g(x) 0
   
ii)   
 
 
f x
f / g x ,
g x
 x Dom (f / g)
 
La condición (i) exige que el dominio de f/g no
debe contener los valores de x que hagan que
g(x) = 0.
Es así, que:
 
 
 
f x
f / g x, / x Dom f / g
g x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IX. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dadas 2 funciones f y g la función composición deno-
tado por fog se define así:
• fog = {(x;y)|y = f(g(x))}
• Dfog =  
x Dg g(x) Df
  
Esquematizando con el diagrama sagital:
Ejemplo:
f = {(3;5), (4;3), (5;2)}
g = {(5;3), (3;5), (7;2)}

43. Exigimos más!
FUNCIONES
43
LIBRO UNI ÁLGEBRA
fog = {(5;5), (3;2)}
Ejemplo:
f(x) 4x 3, x 15,22
  
g(x) 3x 1, x 7,14
  
• (fog)(x) = f(g(x)) = 4(3x – 1) + 3 = 12x – 1
• Dfog x 7,14 3x 1 5,22
    
16 23
x ,
3 3

23
x 7,
3

23
fog(x) 12x 1 / x 7,
3
  
Propiedades de la composición de funciones
Dadas las funciones f, g, h, I (identidad)
1. (fog)oh = fo(goh) [asociativa]
2. Si I es la función identidad:  función f:
foI = f  Iof = f
3. (f + g)oh = (foh) + (goh)
4. (fg)oh = (foh) . (goh)
5. fog  goh, en general
6. In
oIm
= Inm
; n,m,  Z+
7. In
o(f + g) = (f + g)n
, n Z+
8.
1
n
n
I oI | I |
 , para n par  Z+
9.
1 1
n n
n n
I o I I oI I
  , n Z+
, impar
X. FUNCIÓN INVERSA
Definiciones previas.
A. Función inyectiva
Llamada también univalente o uno a uno, se dice
inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde
un único valor del dominio.
Formalmente: f es inyectiva si para:
 
1 2
x ;x Df

1 2 1 2
x x f(x ) f(x )
  
Equivalentemente:
1 2 1 2
f(x ) f(x ) x x
  
Ejemplo:
Ver x 1
f(x)
x 1



es inyectiva.
Resolución:
Sean  
1 2
x ;x Df

Si: f(x1) = f(x2)
1 2
1 2
1 2
x 1 x 1
x x
x 1 x 1
 
  
 
f es inyectiva.
Teorema
f es inyectiva si todo vector horizontal corta su
gráfica a lo más en 1 punto.
Ejemplo:

44. FUNCIONES
Exigimos más!
44
LIBRO UNI ÁLGEBRA
B. Función suryectiva (epiyectiva)
Sobreyectiva o sobre. Se dice suryectiva si el conjun-
to de llegada queda cubierto por el rango de ese
modo coincidiendo el rango y el conjunto de llegada.
C. Función biyectiva
Una función se dice que es biyectiva si es inyectiva
y suryectiva a la vez.
XI. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INVERSA
Dada una función    
 
f x,y / y f x
  inyectiva se
define la función inversa denotado por f* como lo que:
 
 
f* y;x / y f(x) x Df
   
De donde:
Df* = Rf, Rf* = Df
Ejemplo:
Halle la inversa de x 1
f(x)
x 1



si existe.
Resolución:
Se ha visto que es inyectiva, es a su vez suryectiva.
  su inversa
Para hallar la inversa se despeja "x".
 
 
 
f x 1
x f x x
f x 1

 

  x 1
f x
x 1



Df* = R – {1} ; Rf* = R – {1}
XII. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA
Conociendo la gráfica de la función f(x) la gráfica de
f*(x) se obtiene reflejando en el eje de la función
identidad, así:
Propiedades:
   
   
f x,y / y f x , x Df y f x
    
   
   
f* y, x / y f x , x Df x f * y
    
   
y f x f * y x x DF
  
I.  
 
f * f x x; x Df
 
II.  
 
f f * y y;x Df* Rf
  
III. (fog)* = g* o f*
IV. (f*)* = f

45. Exigimos más!
FUNCIONES
45
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 1
Sean A y B conjuntos no vacíos, señale
la alternativa que presenta la secuencia
correcta, después de determinar si la
proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I. Si:
(x,y);(x,z) f {(x,y)/x A,y B} AxB
    
implica que y = z, entonces po-
demos decir que f es una función
de A en B.
II. Toda función sobreyectiva f:A B

es inyectiva.
III. Toda función inyectiva f:A B
 es
sobreyectiva.
A) VVV
B) VFV
C) VFF
D) FFV
E) FFF
UNI 2010-I
Nivel fácil
Resolución:
I. Verdadero
De acuerdo a la condición de unici-
dad esta proposición es perfecta-
mente válida.
II. Falso
No necesariamente, por ejemplo:

F : 1;2 0;4
  2
y F(x) x
 
Es una función sobreyectiva, pero
no es inyectiva.
III. Falso
No necesariamente, por ejemplo:

F : 1;3 2;4
 y F(x) 2x 1
  
Es una función inyectiva, pero no
es sobreyectiva.
Respuesta: C) VFF
Problema 2
Dadas las funciones:
f = {(3, 1); (2, –3); (5, 0); (4, –4);
(1, 1)}
g = {(–4, 3); (–2, 7); (0, 0); (1, 5);
(2, 1)}
h = {(1, –4); (3, –2); (5, 0); (7, 2)}
Determine la función compuesta f o g
o h.
UNI 2010-I
Nivel intermedio
A) {(1, 0); (5, 1)}
B) {(3, –3); (5, –4)}
C) {(1, 1); (7, 1)}
D) {(1, 1); (2, –3)}
E) {(3, –1); (7, 1)}
Resolución:
f={(3;1), (2;–3), (5;0), (4;–4), (1;1)}
g={(–4;3), (–2;7), (0;0), (1;5), (2;1)}
h={(1;–4), (3;–2), (5;0), (7;2)}
Calculando goh:
goh = {(1;3), (3;7), (5;0), (7;1)}
f = {(3;1), (2;–3), (5;0), (4;–4), (1;1)}
fo(goh) = {(1;1), (7;1)}
Respuesta: C) {(1;1), (7;1)}
Problema 3
Dada la función:
1
f(x) K ; x K
x K
   

Halle todos los valores que puede
tomar K para que la gráfica de la fun-
ción f y de su inversa sea la misma.
UNI 2010-I
Nivel difícil
A) 1;2


B) 0;1
 
 
C) 1;1

 
 
D) 0;
  

E) ;
  
Resolución:
1
y K ; x K
x K
   

1 1
x K x K ; y K
y K y K
      
 
1
f * (x) K ; x K
x K
   

f(x) f * (x)
 
Lo cual se cumple para cualquier valor
real de K, es decir: K ;
   .
Respuesta: E) ;
  
Problema 4
El rango de la función  
f : 0
 
 
definida por: 1
f(x) x
x
  es:
UNI 2007 - II
A)  2, 2

B) 2, 2
 
 
 

C) 1, 1
 

D) 1, 1
 
 
 

E)  
0


Resolución:
Sabemos:
1
x 2 ; x 0
x
  
1
x 2 ; x 0
x
   
f(x) 2 f(x) 2
   

problemas resueltos

46. FUNCIONES
Exigimos más!
46
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Ranf = ; 2 2; 2;2
     
 
 
 
Respuesta: A) 2, 2
 

Problema 5
Dada la función:
2
5x 7x 8
f(x)
x 3 / 5
 


definida sobre
3 3
,
5 5

 

.
Halle el rango de f .
UNI 2008 - I
A) 13 7
;
5 5

  

B)
13 7
;
5 5

 


C) 7 13
;
5 5



D) [7;13
E) 7;13]
Resolución:
Piden: Rango de f .
Siendo:
2
5x 7x 6
f(x)
3
x
5
 


Tenemos:
5(5x 3)(x 2)
f(x)
5x 3
 


Reduciendo:
f(x) 5(x 2)
 
Si:
3 3
x ;
5 5
  , entonces:
3 3
x
5 5
  
Restando 2:
3 3
2 x 2 2
5 5
     
Por 5:
13 7
x 2
5 5
   
 
f(x)
13 5 x 2 7
    


Luego:
7 f(x) 13
 

Rg f 7;13
 
Respuesta: D) 7;13
Problema 6
En la figura adjunta se muestra las grá-
ficas de las funciones f y g definidas
por:
f(x) = ax2
+ bx + c
g(x) = mx2
+ nx + p
De las siguientes relaciones:
I. 
2
n 4mp
II.
a b
m n

III. abc mnp

¿Cuáles son verdaderas?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
E) II y III
Resolución:
Del gráfico: f y g tienen raíces reales e
iguales.
I. 0
  para g  n2
– 4mp = 0
2
n 4mp
 
II. Como tienen vértices iguales en-
tonces:
b n a b
– –
2a 2m m n
  
III. a > m, ya que f es más cerrada
que g. Siendo:
2 3
xb
b 4ac b 4abc
 
 
2 3
xn
n 4mp n 4mnp
 
 
De la segunda proposición se de-
duce:
a m b n
  
3 3
b n
 es decir abc mnp

 Solo I y II son verdaderas.
Respuesta: D) I y II
Problema 7
Sea P(x) = x3
– 3ax2
– a2
x + 3a3
, donde
a > 0 y Q(x) = –P(x – a). Diga cuál de
las siguientes afirmaciones es correcta:
UNI 2009 - II
Nivel fácil
A) Q(x) P(x); x 0
  
B) Q(x) P(x); x 0;a
  
C) P(x) Q(x); x a;2a
  
D) Q(x) P(x); x 2a;3a
  
E) P(x) Q(x); x 3a
  
Resolución:
Graficando la función P(x):
2 2
P(x) (x a )(x 3a)
  
P(x) (x a)(x a)(x 3a)
   
Graficando la función: Q(x) = –P(x – a)

47. Exigimos más!
FUNCIONES
47
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Esbozando ambas gráficas:
Para x 2a;3a
 la gráfica de la función
Q(x) está en la parte superior del P(x).
Q(x) P(x); x 2a;3a
   
Respuesta:
D) Q(x) P(x); x 2a;3a
  
Problema 8
Sea f una función tal que:
   
f x 2 x 2 x 4 x ; x 4
   
entonces Dom(f) Ran(F)
 es igual a:
Nivel 2009 - II
Nivel intermedio
A) [0;
B) [1;
C) 0; 
D) [4;
E) 1; 
Resolución:
Esbozando la gráfica de: x 2 x

(por álgebra de funciones)
La expresión:
 
x 2 x
 es inyectiva.
 Dom(f) = 0;
 

Analógicamente la expresión:
 
2 x 4 x

es inyectiva:
 
2 x 4 x 4;

   

 Ran(f) = 4;
 

Dom(f)nRan(f) = 0;
 

Respuesta: A) 0;
 

Problema 3
Indique la gráfica que mejor representa a:
2
g(x) x 4 3 , x
    
UNI 2008 - II
Nivel difícil
A)
B)
C)
D)
E)
Resolución:
Tenemos:
De donde:
Luego:
Respuesta: D)
Problema 10
Indique la secuencia correcta después
de determinar si la proposición es ver-
dadera (V) o falsa (F):
I. La composición de una función par
con una función impar es una fun-
ción par.
II. El producto de dos funciones im-
pares es una función impar.
III. La suma de dos funciones pares
es una función par.
UNI 2011 - I
A) VFV
B) VVV
C) FVV
D) FFV
E) VFF
Resolución:
Ubicación de incógnita
Valor de verdad
Operación del problema
I. F par :F( x) F(x)
 
G impar : G( x) – G (x)
 
(FoG)(x) F(G(x))

Ahora:
(FoG)( x) F(G( x))
  
(FoG)( x) F( G(x))
  
(FoG)( x) (FoG)(x)
 
F o G es par _ _ _ _ _ _ _ _ _ (V)

II. F impar: F(–x) = –F(x)
G impar: G(–x) = –G(x)

48. FUNCIONES
Exigimos más!
48
LIBRO UNI ÁLGEBRA
(F.G)(x) F(x) G(x)
 
(F.G)( x) F( x) G( x)
   

(F.G)( x) – F(x) – G(x)
  
(F.G)( x) F(x) G(x)
  
(F.G)( x) (F.G)(x)
 
 F .G es par _ _ _ _ _ _ _ _ _ (F)
III. F par: F(–x) = F(x)
G par: G(–x) = –G(x)
(F G)(x) F(x) G(x)
  
(F G)( x) F( x) G( x)
     
(F G)( x) F(x) G(x)
   
(F G)( x) (F G)(x)
   
 
F G es par _ _ _ _ _ _ _ (V)
Respuesta: A) VFV
Problema 11
Dadas las funciones f, g: 
 , de-
finidas por:
  
f(x) x 2 2 y g(x) = –(x2
+ 2)
Determine f + g.
UNI 2010 - II
A)
  
   
  
  

  
   
 

 

2
2
1 7
x , x 2
2 4
1 9
x , x 2
2 4
B)
  
   
  
  

  
   
 

 

2
2
1 1
x , x 2
2 4
1 5
x , x 2
2 4
C)
 
  
 
 

 
  
 

 

2
2
1 9
x , x 2
2 4
1 7
x , x 2
2 4
D)
 
 

  


   

2
2
7
x 1 , x 2
4
1
x 1 , x 2
4
E)
  
   
  
  

  
   
 

 

2
2
1 1
x , x 2
2 4
1 7
x , x 2
2 4
Resolución:
Ubicación de incógnita
Determinar f + g
Análisis de los datos o gráficos

    

    
 
f : y f(x) x 2 2
x ; x 2
y f(x) x 4;x 2
     
  2
g y g(x) x 2
Operación del problema
   
  
   



2
x x 2 ; x 2
y f(x) g(x)
2
x x 2 : x 2
 
 
 
 
 
 
   
  
   







2
1 7
x ; x 2
2 4
y f(x) g(x)
2
1 9
x ; x 2
2 4
Respuesta: A)
 
 

   




   


2
2
1 7
x ; x 2
2 4
1 9
x ;x 2
2 4
Problema 12
Sea f una función tal que:
   
f(x 2 x) 2(x 4 x), x 4
entonces 
Dom(f) Ran(f) es igual a:
UNI 2009 - II
A)  
0;
B)  
1;
C) 
0;
D)  
4;
E) 
1;
Resolución:
Ubicación de incógnita
Dom(f); Ran(f)
Análisis de los datos o gráficos
 
 
   
 
 








Rango
Do minio
f x 2 x 2 x 4 ;x 4
Operación del problema
Esbozando la gráfica de: 
x 2 x
(por álgebra de funciones)
La expresión:
 

x 2 x
es inyectiva.
 Dom(f) =  
0;
Analógicamente la expresión:
 

2 x 4 x ,
es inyectiva:
  
   

2 x 4 x 4;
 Ran(f) =  
 4;
Dom(f)nRan(f) =  
0;
Respuesta: A)  
0;

49. 49
LIBRO UNI ÁLGEBRA
LOGARITMOS EN 
ÁLGEBRA
I. TEOREMA DE EXISTENCIA DEL LOGA-
RITMO
Para todo par de números reales "a" y "b" tales que
a 0; a 1 y b 0
   , existe un único número real x, que
cumple ax
= b.
II. DEFINICIÓN DE LOGARITMO
Sean los números reales "a" y "b", si a 0,a 1 y b 0
   ,
el número real x se denomina logaritmo del número b
en base a y se denota por Logab si y solo si x
a b
 .
De la definición se tiene:
x
a
x Log b a b
  
Donde:
a: base del logaritmo
b: número del logaritmo
c: logaritmo de b en la base a
Ejemplos:
1. x 6 x
2
Log 64 x 64 2 2 2 x 6
      
Luego: 2
Log 64 6

2.
x
6 x
1
3
1
Log 729 x 729 3 3 x 6
3

 
       
 
 
Luego: 1
3
Log 729 6
 
3. Calcular el valor de "x" si cumple la igualdad:
1/2
Log 1024 3 x
 
 
3 x
10 x 3
1
1024 2 2 10 x 3
2


      
x 13
 
III. IDENTIDAD FUNDAMENTAL DEL LO-
GARITMO
Si a 0;a 1 b 0
    se cumple: a
Log b
a b

Ejemplos:
• 2
LOg 3
2 3

• m 4
Log 10
(m 4) 10, m 4 m 5

     
•  
Log 2
3 2
1
3 2
2
 

 
 
 
IV. TEOREMAS SOBRE LOGARITMOS
Sea la base real a, tal que a 0 a 1
  
1. Sea A y B reales, tal que: AB > 0:
a a b
Log AB Log A Log B
 
2. Sea A y B reales, tal que: A
0
B

 
a a b
A
Log Log A Log B
B
 
3. Sea A real, tal que n
n N A 0
   .
n
a a
Log A nLog A

4. Sea A real, tal que n N,n 2.Si A 0
  
n
a a
1
Log A Log A
n

5. Sea A real, tal que: A 0,m n
   
 
n
m
a
a
m
Log A Log A ; n 0
n
 
Colorario
Si se eleva a un exponente "m" y se extrae raíz
n-ésima a la base y número del logaritmo el valor
de logaritmo no se altera.
n n
n
n
a a a
Log A Log A Log A ; A 0
  
6. Si: A 0 B 0
  
a a
Log A Log B A B
  
7. Cambio de base:
Sea la base "c" donde c 0 c 1
   .
c
a
c
Log b
Log b
Log a

DESARROLLO DEL TEMA

50. LOGARITMOS EN 
Exigimos más!
50
LIBRO UNI ÁLGEBRA
Demostración:
Por identidad: c
log b
c b (1)
 
Por identidad: a
log b
a b (2)
 
Además: c
log a
c a (3)
 
Reemplazando (3) en (2) se obtiene:
  a
c c
log b
log a log b
c a c
c c log alog b log b
  
c
a
c
log b
log b
log a
 ; b a
Log a Log b 1


A. Propiedad
1
b b
a
1
Log a (Log a)
log b

 
B. Regla de la cadena
Si: a 0; a 1; b 0; b 1; c 0; c 1 d 0
        se
cumple:
a b c a
log b log c log d log d

 
C. Sistemasde logaritmos
Cada base de logaritmos determina un sistema de
logaritmos, en consecuencia existen infinitos sis-
temas de logaritmos para una base positiva y dife-
rentes de 1; los sistemas más importantes son:
1. Sistema decimal o de Briggs
Es aquel sistema de logaritmos en la cual la base
es 10.
Notación: 10
Log N LogN

Se lee: Logaritmo de "N". En general:
Parte Parte
LogN ;
entera decimal
(característica) (mantisa)

 
Teorema
Sea todo N > 1 el número de cifras es igual a la
característica más uno. Es decir:
#de
cifras
N característica 1
 
2. Sistema hiperbólico o Neperiano
Es aquel sistema cuya base es el número tras-
cendental:
1 1 1 1
e ...
0! 1! 2! 3!
e 2,7182....
    

Notación: e
Log N LnN

Problema 1
Calcular el logaritmo de 8 en base 4.
A) 1/2 B) 2
C) 3/4 D) 3/2
E) 5/2
Resolución:
Sea "" el logaritmo pedido, luego:
Log4 8 = 
Según la definición:
4 8


2 3
2 2


2 3
 
3
2
  
Respuesta: D) 3/2
Problema 2
Resolver:
x
Log (x 1)
x 1 x

 
A) {1} B)  C)  
1
2
D)  
3
4
E)  
2
5
Resolución:
Según teorema tenemos:
x 1 1 x
2x 2
x 1
  


Pero según definición de base x > 0;
x 1
 .
CS
  
Respuesta: C) 
Problema 3
Determine el mayor valor de x en:
LogxLog(x)
= Log(x) + 2
UNI 2007 - I
Nivel difícil
A) 10 B) 10
C) 100 D) 1000
E) 10 2
Resolución:
Según propiedad tenemos:
Log(x)
Logx Log(x) 2
 
2
[Log(x)] Log(x) 2 0
  
Con el auxilio del aspa simple conse-
guimos:
[Log(x) – 2] [Log(x) + 1] = 0
Log(x) = 2  log(x) = –1
x = 102
 x = 10–1
x = 100  x =
1
10
Mayor valor de x = 100
Respuesta: C) 100
problemas resueltos