Este documento presenta 25 ejercicios y 15 problemas sobre sistemas de ecuaciones. Los ejercicios resuelven diferentes tipos de sistemas utilizando métodos como sustitución, reducción e igualación. Los problemas plantean situaciones de la vida real que pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones.
Este documento contiene 25 ejercicios y 15 problemas sobre sistemas de ecuaciones. Los ejercicios resuelven diferentes tipos de sistemas utilizando métodos como sustitución, reducción e igualación. Los problemas plantean situaciones de la vida real que pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones.
Este documento contiene 25 ejercicios y 15 problemas sobre sistemas de ecuaciones. Los ejercicios resuelven diferentes tipos de sistemas utilizando métodos como sustitución, reducción e igualación. Los problemas plantean situaciones de la vida real que pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre sistemas de ecuaciones. Resuelve sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas utilizando métodos como sustitución, reducción e igualación. También incluye problemas que involucran sistemas de ecuaciones y su representación gráfica.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo definiciones de términos como solución de sistema, sistemas equivalentes, sistemas compatibles e incompatibles. Describe tres métodos para resolver sistemas - sustitución, igualación y reducción - y ofrece ejemplos resueltos. Finalmente, proporciona ejercicios prácticos para que el lector aplique los conceptos.
Este documento presenta diferentes tipos de operadores matemáticos, incluyendo operadores convencionales como la adición, sustracción, multiplicación y división, así como operadores no convencionales definidos de manera arbitraria. Explica cómo resolver ejercicios que involucran operadores definidos mediante leyes de formación, datos auxiliares y una incógnita.
1. El documento presenta conceptos básicos sobre números enteros como números primos, compuestos, primos entre sí y sus propiedades. 2. Incluye fórmulas para calcular divisores, suma de divisores, suma de inversas de divisores, producto de divisores y la función de Euler. 3. Contiene 26 problemas de práctica relacionados con estos conceptos numéricos.
El documento explica conceptos básicos sobre sistemas de numeración como números, numerales, el sistema decimal, orden de las cifras, valor absoluto y relativo de las cifras, y diferentes sistemas de numeración como binario, ternario, etc. También cubre temas como conversión entre sistemas de numeración, descomposición polinómica de numerales, y propiedades de los triángulos aritméticos.
1) El documento describe los diferentes tipos de números, incluyendo números primos, números compuestos, y números primos relativos o primos entre sí. 2) Explica las propiedades de los números primos y provee ejemplos. 3) Detalla varias fórmulas y conceptos relacionados a divisores de números, incluyendo suma de divisores, suma de inversas de divisores, y producto de divisores.
Este documento contiene 25 ejercicios y 15 problemas sobre sistemas de ecuaciones. Los ejercicios resuelven diferentes tipos de sistemas utilizando métodos como sustitución, reducción e igualación. Los problemas plantean situaciones de la vida real que pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones.
Este documento contiene 25 ejercicios y 15 problemas sobre sistemas de ecuaciones. Los ejercicios resuelven diferentes tipos de sistemas utilizando métodos como sustitución, reducción e igualación. Los problemas plantean situaciones de la vida real que pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre sistemas de ecuaciones. Resuelve sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas utilizando métodos como sustitución, reducción e igualación. También incluye problemas que involucran sistemas de ecuaciones y su representación gráfica.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo definiciones de términos como solución de sistema, sistemas equivalentes, sistemas compatibles e incompatibles. Describe tres métodos para resolver sistemas - sustitución, igualación y reducción - y ofrece ejemplos resueltos. Finalmente, proporciona ejercicios prácticos para que el lector aplique los conceptos.
Este documento presenta diferentes tipos de operadores matemáticos, incluyendo operadores convencionales como la adición, sustracción, multiplicación y división, así como operadores no convencionales definidos de manera arbitraria. Explica cómo resolver ejercicios que involucran operadores definidos mediante leyes de formación, datos auxiliares y una incógnita.
1. El documento presenta conceptos básicos sobre números enteros como números primos, compuestos, primos entre sí y sus propiedades. 2. Incluye fórmulas para calcular divisores, suma de divisores, suma de inversas de divisores, producto de divisores y la función de Euler. 3. Contiene 26 problemas de práctica relacionados con estos conceptos numéricos.
El documento explica conceptos básicos sobre sistemas de numeración como números, numerales, el sistema decimal, orden de las cifras, valor absoluto y relativo de las cifras, y diferentes sistemas de numeración como binario, ternario, etc. También cubre temas como conversión entre sistemas de numeración, descomposición polinómica de numerales, y propiedades de los triángulos aritméticos.
1) El documento describe los diferentes tipos de números, incluyendo números primos, números compuestos, y números primos relativos o primos entre sí. 2) Explica las propiedades de los números primos y provee ejemplos. 3) Detalla varias fórmulas y conceptos relacionados a divisores de números, incluyendo suma de divisores, suma de inversas de divisores, y producto de divisores.
El documento presenta tres ejercicios resueltos de sucesiones y progresiones numéricas. En el primer ejercicio se hallan los cinco primeros términos de una sucesión. En el segundo ejercicio se calcula la suma de los 20 primeros términos de una progresión aritmética. En el tercer ejercicio se calcula la suma de los ocho primeros términos de una progresión geométrica.
1) El documento habla sobre la divisibilidad de números enteros, definiendo conceptos como divisores, múltiplos y residuos.
2) Explica criterios para determinar si un número es divisible por 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13 y otros números usando las cifras o sumas de cifras del número.
3) Indica que si un número es múltiplo de varios números, será múltiplo del menor número que los contenga a todos.
Este documento presenta varios ejemplos de cómo resolver inecuaciones y sistemas de ecuaciones. Incluye inecuaciones de primer grado con uno y varios factores, sistemas de ecuaciones 2x2 y 3x3 resueltos mediante el método de Cramer, y ejercicios para practicar la resolución de inecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Este documento define fracciones y números decimales. Explica que una fracción representa una cantidad dividida en partes y está compuesta de un numerador y denominador. Luego clasifica fracciones y describe operaciones con ellas como suma, resta, multiplicación y división. También cubre números decimales, incluyendo fracciones decimales periódicas y no periódicas.
Este documento describe cómo resolver ecuaciones de la forma a + x = b. Existen cuatro formas generales de representar ecuaciones de primer grado con una variable. Aquí se estudia la resolución de ecuaciones de la forma a + x = b. Para resolverlas, se aplican propiedades de la igualdad como sumar o restar el mismo número a ambos lados para aislar la variable x. Luego se iguala los lados para determinar el valor de x.
Este documento presenta una serie de ejercicios de resolución de inecuaciones de primer grado y representación de conjuntos solución en la recta real. Incluye ejercicios explicativos y propuestos para resolver en clase y de tarea. Algunos ejercicios implican situaciones reales como el peso de una camioneta o la edad de una persona.
Este documento contiene 26 proyectos de matemáticas sobre proporcionalidad directa e inversa. Los proyectos involucran calcular valores desconocidos, determinar partes de una cantidad total que se distribuye de manera proporcional, y analizar gráficas de relaciones proporcionales. El documento proporciona las soluciones paso a paso para cada uno de los proyectos matemáticos.
El documento explica los sistemas de numeración, incluyendo el sistema decimal y el sistema binario. El sistema decimal se basa en agrupar números de diez en diez usando los dígitos del 0 al 9. El sistema binario se basa en agrupar números de dos en dos usando solo los dígitos 0 y 1. El documento también cubre conceptos como el valor absoluto y relativo de las cifras en un número y los números capicuos.
El documento ofrece recomendaciones sobre cómo estudiar de forma eficiente. Recomienda no aprender de memoria sino comprender los conceptos para aplicarlos en el futuro. Además, sugiere estudiar de forma sistemática y sin presión en lugar de solo prepararse para exámenes. Finalmente, resume siete técnicas importantes como estudiar en un lugar tranquilo y hacer preguntas mientras se lee.
Este documento define y explica las fracciones. Define una fracción como un número racional que no es entero, resultante de dividir dos enteros no nulos. Explica cómo interpretar fracciones gráficamente y realizar operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división con fracciones. También clasifica las fracciones en propia, impropia, decimal, ordinaria, homogénea, heterogénea, reductible e irreductible. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto.
Este documento contiene respuestas a ejercicios de autoevaluación de matemáticas divididos en 16 módulos. En el Módulo I, se resuelven desigualdades justificando los pasos. En el Módulo II, se demuestra una propiedad de los números racionales. En el Módulo III, se demuestra que para todo número real a, -|a| ≤ a ≤ |a|.
Este documento presenta conceptos básicos de aritmética como magnitudes, cantidades, razón aritmética y geométrica, proporcionalidad directa e inversa, regla de tres simple directa e inversa y porcentajes. Incluye ejemplos y ejercicios prácticos para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta 18 problemas de álgebra que involucran ecuaciones de segundo grado. Cada problema describe una situación matemática y pide calcular valores desconocidos. Las soluciones a cada problema se proporcionan. Los problemas cubren una variedad de temas como números, áreas, perímetros y lados de figuras geométricas.
Este documento presenta 43 problemas de sucesiones matemáticas, incluyendo sucesiones aritméticas, geométricas y otras. Los problemas involucran identificar patrones, calcular términos, determinar la suma de elementos y más. El documento provee los detalles necesarios para resolver cada problema planteado.
Material pedro de valdivia (PSU ) 03 números racionalesMarcelo Calderón
Este documento presenta información sobre números racionales y operaciones con números decimales. Introduce los números racionales como aquellos que pueden escribirse como la fracción a/b, y explica cómo comparar y ordenar fracciones. Luego, cubre la conversión entre fracciones y números decimales, incluyendo desarrollos finitos, periódicos y semiperiódicos. Finalmente, detalla cómo realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números decimales, así como técnicas de aproximación como redondeo y truncamiento.
Este documento contiene 25 ejercicios y 15 problemas sobre sistemas de ecuaciones. Los ejercicios resuelven diferentes tipos de sistemas utilizando métodos como sustitución, reducción e igualación. Los problemas plantean situaciones de la vida real que pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones.
Ejercicios de sistemas de ecuaciones con solucionesmabr36
Este documento contiene 25 ejercicios y 15 problemas sobre sistemas de ecuaciones. Los ejercicios resuelven sistemas de ecuaciones lineales mediante diferentes métodos como sustitución, reducción e igualación. Los problemas plantean situaciones de la vida real que pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones.
Este documento contiene 25 ejercicios y 15 problemas sobre sistemas de ecuaciones. Los ejercicios resuelven diferentes tipos de sistemas utilizando métodos como sustitución, reducción e igualación. Los problemas plantean situaciones de la vida real que pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones.
Este documento contiene 25 ejercicios y 15 problemas sobre sistemas de ecuaciones. Los ejercicios resuelven diferentes tipos de sistemas utilizando métodos como sustitución, reducción e igualación. Los problemas plantean situaciones de la vida real que pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones.
Este documento contiene 25 ejercicios y 15 problemas sobre sistemas de ecuaciones. Los ejercicios resuelven diferentes tipos de sistemas utilizando métodos como sustitución, reducción e igualación. Los problemas plantean situaciones de la vida real que pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones.
Este documento contiene 25 ejercicios y 15 problemas sobre sistemas de ecuaciones. Los ejercicios resuelven diferentes tipos de sistemas utilizando métodos como sustitución, reducción e igualación. Los problemas plantean situaciones de la vida real que pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones.
Ejercicios de Funcion Lineal en matematicasJony Tes
El documento contiene 25 ejercicios de funciones lineales que incluyen representar gráficamente rectas dadas por sus ecuaciones, determinar la pendiente de rectas dadas por sus ecuaciones, y obtener la ecuación de rectas dados diferentes condiciones como puntos o pendiente. Las soluciones proporcionan los pasos para resolver cada ejercicio.
El documento presenta tres ejercicios resueltos de sucesiones y progresiones numéricas. En el primer ejercicio se hallan los cinco primeros términos de una sucesión. En el segundo ejercicio se calcula la suma de los 20 primeros términos de una progresión aritmética. En el tercer ejercicio se calcula la suma de los ocho primeros términos de una progresión geométrica.
1) El documento habla sobre la divisibilidad de números enteros, definiendo conceptos como divisores, múltiplos y residuos.
2) Explica criterios para determinar si un número es divisible por 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13 y otros números usando las cifras o sumas de cifras del número.
3) Indica que si un número es múltiplo de varios números, será múltiplo del menor número que los contenga a todos.
Este documento presenta varios ejemplos de cómo resolver inecuaciones y sistemas de ecuaciones. Incluye inecuaciones de primer grado con uno y varios factores, sistemas de ecuaciones 2x2 y 3x3 resueltos mediante el método de Cramer, y ejercicios para practicar la resolución de inecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Este documento define fracciones y números decimales. Explica que una fracción representa una cantidad dividida en partes y está compuesta de un numerador y denominador. Luego clasifica fracciones y describe operaciones con ellas como suma, resta, multiplicación y división. También cubre números decimales, incluyendo fracciones decimales periódicas y no periódicas.
Este documento describe cómo resolver ecuaciones de la forma a + x = b. Existen cuatro formas generales de representar ecuaciones de primer grado con una variable. Aquí se estudia la resolución de ecuaciones de la forma a + x = b. Para resolverlas, se aplican propiedades de la igualdad como sumar o restar el mismo número a ambos lados para aislar la variable x. Luego se iguala los lados para determinar el valor de x.
Este documento presenta una serie de ejercicios de resolución de inecuaciones de primer grado y representación de conjuntos solución en la recta real. Incluye ejercicios explicativos y propuestos para resolver en clase y de tarea. Algunos ejercicios implican situaciones reales como el peso de una camioneta o la edad de una persona.
Este documento contiene 26 proyectos de matemáticas sobre proporcionalidad directa e inversa. Los proyectos involucran calcular valores desconocidos, determinar partes de una cantidad total que se distribuye de manera proporcional, y analizar gráficas de relaciones proporcionales. El documento proporciona las soluciones paso a paso para cada uno de los proyectos matemáticos.
El documento explica los sistemas de numeración, incluyendo el sistema decimal y el sistema binario. El sistema decimal se basa en agrupar números de diez en diez usando los dígitos del 0 al 9. El sistema binario se basa en agrupar números de dos en dos usando solo los dígitos 0 y 1. El documento también cubre conceptos como el valor absoluto y relativo de las cifras en un número y los números capicuos.
El documento ofrece recomendaciones sobre cómo estudiar de forma eficiente. Recomienda no aprender de memoria sino comprender los conceptos para aplicarlos en el futuro. Además, sugiere estudiar de forma sistemática y sin presión en lugar de solo prepararse para exámenes. Finalmente, resume siete técnicas importantes como estudiar en un lugar tranquilo y hacer preguntas mientras se lee.
Este documento define y explica las fracciones. Define una fracción como un número racional que no es entero, resultante de dividir dos enteros no nulos. Explica cómo interpretar fracciones gráficamente y realizar operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división con fracciones. También clasifica las fracciones en propia, impropia, decimal, ordinaria, homogénea, heterogénea, reductible e irreductible. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto.
Este documento contiene respuestas a ejercicios de autoevaluación de matemáticas divididos en 16 módulos. En el Módulo I, se resuelven desigualdades justificando los pasos. En el Módulo II, se demuestra una propiedad de los números racionales. En el Módulo III, se demuestra que para todo número real a, -|a| ≤ a ≤ |a|.
Este documento presenta conceptos básicos de aritmética como magnitudes, cantidades, razón aritmética y geométrica, proporcionalidad directa e inversa, regla de tres simple directa e inversa y porcentajes. Incluye ejemplos y ejercicios prácticos para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta 18 problemas de álgebra que involucran ecuaciones de segundo grado. Cada problema describe una situación matemática y pide calcular valores desconocidos. Las soluciones a cada problema se proporcionan. Los problemas cubren una variedad de temas como números, áreas, perímetros y lados de figuras geométricas.
Este documento presenta 43 problemas de sucesiones matemáticas, incluyendo sucesiones aritméticas, geométricas y otras. Los problemas involucran identificar patrones, calcular términos, determinar la suma de elementos y más. El documento provee los detalles necesarios para resolver cada problema planteado.
Material pedro de valdivia (PSU ) 03 números racionalesMarcelo Calderón
Este documento presenta información sobre números racionales y operaciones con números decimales. Introduce los números racionales como aquellos que pueden escribirse como la fracción a/b, y explica cómo comparar y ordenar fracciones. Luego, cubre la conversión entre fracciones y números decimales, incluyendo desarrollos finitos, periódicos y semiperiódicos. Finalmente, detalla cómo realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números decimales, así como técnicas de aproximación como redondeo y truncamiento.
Este documento contiene 25 ejercicios y 15 problemas sobre sistemas de ecuaciones. Los ejercicios resuelven diferentes tipos de sistemas utilizando métodos como sustitución, reducción e igualación. Los problemas plantean situaciones de la vida real que pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones.
Ejercicios de sistemas de ecuaciones con solucionesmabr36
Este documento contiene 25 ejercicios y 15 problemas sobre sistemas de ecuaciones. Los ejercicios resuelven sistemas de ecuaciones lineales mediante diferentes métodos como sustitución, reducción e igualación. Los problemas plantean situaciones de la vida real que pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones.
Este documento contiene 25 ejercicios y 15 problemas sobre sistemas de ecuaciones. Los ejercicios resuelven diferentes tipos de sistemas utilizando métodos como sustitución, reducción e igualación. Los problemas plantean situaciones de la vida real que pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones.
Este documento contiene 25 ejercicios y 15 problemas sobre sistemas de ecuaciones. Los ejercicios resuelven diferentes tipos de sistemas utilizando métodos como sustitución, reducción e igualación. Los problemas plantean situaciones de la vida real que pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones.
Este documento contiene 25 ejercicios y 15 problemas sobre sistemas de ecuaciones. Los ejercicios resuelven diferentes tipos de sistemas utilizando métodos como sustitución, reducción e igualación. Los problemas plantean situaciones de la vida real que pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones.
Este documento contiene 25 ejercicios y 15 problemas sobre sistemas de ecuaciones. Los ejercicios resuelven diferentes tipos de sistemas utilizando métodos como sustitución, reducción e igualación. Los problemas plantean situaciones de la vida real que pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones.
Ejercicios de Funcion Lineal en matematicasJony Tes
El documento contiene 25 ejercicios de funciones lineales que incluyen representar gráficamente rectas dadas por sus ecuaciones, determinar la pendiente de rectas dadas por sus ecuaciones, y obtener la ecuación de rectas dados diferentes condiciones como puntos o pendiente. Las soluciones proporcionan los pasos para resolver cada ejercicio.
El documento contiene 25 ejercicios de funciones lineales que involucran representar gráficamente rectas dadas por sus ecuaciones, determinar sus pendientes, obtener la ecuación de rectas dados ciertos puntos o condiciones, y resolver problemas relacionados con funciones lineales.
El documento contiene 20 ejercicios de representación gráfica y cálculo de pendientes de rectas, así como ecuaciones de rectas. Los ejercicios involucran graficar rectas dadas sus ecuaciones, calcular pendientes a partir de ecuaciones de recta, y obtener ecuaciones de recta cumpliendo ciertas condiciones.
El documento contiene 25 ejercicios de funciones lineales y rectas. Los ejercicios piden representar gráficamente rectas dadas por sus ecuaciones, determinar la pendiente de rectas, obtener la ecuación de rectas dados diferentes condiciones, y resolver problemas que involucran rectas. Las soluciones proporcionan los pasos para representar gráficamente cada recta y determinar valores requeridos.
Este documento contiene 24 ejercicios sobre funciones lineales y rectas. Los ejercicios 1-10 piden representar gráficamente diferentes rectas dadas por sus ecuaciones. Los ejercicios 11-15 calculan la pendiente de rectas dadas por sus ecuaciones. Los ejercicios 16-20 encuentran la ecuación de rectas dadas ciertas condiciones. Finalmente, los ejercicios 21-24 aplican conceptos de funciones lineales a problemas reales.
Este documento presenta 22 actividades de resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Las actividades incluyen ecuaciones y sistemas lineales y no lineales, ecuaciones fraccionarias, ecuaciones de segundo grado, sistemas irracionales y problemas de la vida real representados mediante ecuaciones. El documento guía al lector paso a paso en la resolución de cada problema.
Este documento presenta la solución a varios ejercicios de matemáticas relacionados con igualdades notables, ecuaciones y sistemas de ecuaciones. En el primer ejercicio, se piden desarrollar expresiones utilizando igualdades notables. El segundo ejercicio implica simplificar una fracción algebraica. Los ejercicios 3 y 4 involucran resolver ecuaciones de primer y segundo grado. El quinto ejercicio resuelve una ecuación de segundo grado sin usar la fórmula. El sexto ejercicio resuelve un sistema de ecu
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre expresiones algebraicas. En el primer ejercicio, se pide traducir varios enunciados al lenguaje algebraico. En el segundo ejercicio, se pide lo mismo para otras expresiones. Los ejercicios siguientes consisten en expresar distintas operaciones y relaciones matemáticas usando símbolos algebraicos. Finalmente, los últimos ejercicios tratan sobre operaciones con polinomios, fracciones algebraicas y la aplicación de identidades notables.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre expresiones algebraicas. En el primer ejercicio, se pide traducir varias expresiones verbales al lenguaje algebraico. En el segundo ejercicio, se traducen más expresiones verbales a su forma algebraica. El tercer ejercicio implica expresar varias situaciones en lenguaje algebraico. Los ejercicios continúan trabajando con la traducción de enunciados verbales a su forma algebraica y viceversa.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre expresiones algebraicas. En el primer ejercicio, se pide traducir varias expresiones verbales al lenguaje algebraico. En el segundo ejercicio, se traducen más expresiones verbales a su forma algebraica. El tercer ejercicio implica expresar varias situaciones en lenguaje algebraico. Los ejercicios continúan trabajando con la traducción de enunciados verbales a su forma algebraica y viceversa, así como con operaciones básicas con expresiones algebraicas.
Este documento presenta 20 proyectos o ejercicios de matemáticas para un examen bimestral de segundo año de secundaria. Cada proyecto contiene un problema matemático con su solución correspondiente. El examen evalúa conceptos como operaciones con polinomios, ecuaciones y expresiones algebraicas.
Este documento contiene una serie de ejercicios sobre fracciones. Los ejercicios cubren temas como simplificar y ordenar fracciones, representar fracciones en una recta numérica, operaciones básicas con fracciones como suma, resta, multiplicación y división, potencias de fracciones, raíces, y el uso de la calculadora para resolver operaciones con fracciones. Cada ejercicio presenta un problema o conjunto de problemas relacionados con fracciones, seguido de la solución paso a paso.
Este documento contiene una práctica calificada de matemáticas para estudiantes de segundo año de secundaria. Consiste en 5 proyectos que incluyen resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Los proyectos cubren temas como ecuaciones de segundo grado, divisiones, fracciones y álgebra.
Este documento contiene 17 proyectos de matemáticas para estudiantes de segundo año de secundaria. Cada proyecto presenta un problema matemático, con la solución escrita debajo. Los problemas incluyen ecuaciones, sistemas de ecuaciones, inecuaciones, conjuntos de soluciones y otros conceptos matemáticos.
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Ejercicios de sistemas de ecuaciones
1. 1
EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Ejercicio nº 1.-
a) Resuelve por sustitución:
b) Resuelve por reducción:
Ejercicio nº 2.-
a) Resuelve por igualación:
b) Resuelve por reducción:
Ejercicio nº 3.-
a Resuelve por sustitución:
b Resuelve por reducción:
Ejercicio nº 4.-
a) Resuelve por sustitución:
b) Resuelve por igualación:
Ejercicio nº 5.-
a Resuelve por igualación:
b Resuelve por reducción:
5 2 1
3 3 5
x y
x y
2 6
4 3 14
x y
x y
5 2 2
2 2
x y
x y
5 3
2 4 12
x y
x y
3 5 15
2 3 9
x y
x y
4 6 2
6 5 1
x y
x y
2 3 14
3 14
x y
x y
2 3 2
6 12 1
x y
x y
5 2 11
2 3 12
x y
x y
2 4 7
3 5 4
x y
x y
2. 2
Ejercicio nº 6.-
Resuelve cada uno de los siguientes sistemas:
Ejercicio nº 7.-
Resuelve los siguientes sistemas:
Ejercicio nº 8.-
Resuelve los siguientes sistemas:
Ejercicio nº 9.-
Resuelve estos sistemas:
Ejercicio nº 10.-
Resuelve los siguientes sistemas:
a) 2 1
3 10
x y
x y
b) 2 4
2 4 3
x y
x y
a) 4 1
2 5
x y
x y
b) 3 4
6 2 1
x y
x y
a) 3 2 4
2 2
x y
x y
b) 4 5
3 12 15
x y
x y
a) 2 3 1
3 2 4
x y
x y
b) 4 3 5
8 6 10
x y
x y
a) 4 9
2 2 2
x y
x y
3. 3
Ejercicio nº 11.-
Resuelve este sistema:
Ejercicio nº 12.-
Resuelve el siguiente sistema:
Ejercicio nº 13.-
Resuelve el siguiente sistema:
Ejercicio nº 14.-
Resuelve este sistema de ecuaciones:
Ejercicio nº 15.-
Resuelve el sistema:
Ejercicio nº 16.-
a Busca dos pares de valores que sean solución de la ecuación 5x 4y 1.
b Representa gráficamente la recta 5x 4y 1.
b) 5 4 3
10 8 6
x y
x y
2 4 9
3 2 2
1 4
2 3 2
3 3
x y
x y x
2 1 3 11
2 3 6
2 1 6
5 10 5
x y
x y
3 2 13
4
3 3
2 2 3 13
3 2 6
x y
y
y x x
2 1
3
3
3 5 3 12
x
y
x y x
7 9 2 4
15
2 2
5 1 25
x y x
x y
4. 4
c ¿Qué relación hay entre los puntos de la recta y las soluciones de la ecuación?
Ejercicio nº 17.-
a Obtén dos puntos de la recta 3x 2y 1 y represéntala gráficamente.
b ¿Alguno de los dos puntos obtenidos en el apartado anterior es solución de la ecuación 3x 2y 1?
c ¿Qué relación hay entre las soluciones de la ecuación y los puntos de la recta?
Ejercicio nº 18.-
a Representa gráficamente la recta 5x 2y 3.
b ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 5x 2y 3? Obtén dos de sus soluciones.
c ¿Qué relación hay entre las soluciones de la ecuación y los puntos de la recta?
Ejercicio nº 19.-
A la vista de la siguiente gráfica:
a Obtén tres puntos de la recta ax by c.
b Halla tres soluciones de la ecuación ax by c.
c ¿Qué relación hay entre los puntos de la recta y las soluciones de la ecuación?
Ejercicio nº 20.-
a De los siguientes pares de valores:
c ¿Qué relación hay entre los puntos de la recta y las soluciones de la ecuación?
Ejercicio nº 21.-
Averigua cuántas soluciones tiene el siguiente sistema de ecuaciones, representando las dos rectas en los
mismos ejes:
3 2 1
0, 10 ; , 19 ; 1, 4 ; 0, ; , 7
2 5 2
1
¿cuáles son soluciones de la ecuación 3 5?
2
x y
1
b) Representa gráficamente la recta 3 5.
2
x y
5. 5
Ejercicio nº 22.-
a Representa en los mismos ejes el siguiente par de rectas e indica el punto en el que se cortan:
b ¿Cuántas soluciones tiene el sistema anterior?
Ejercicio nº 23.-
a Representa en los mismos ejes las rectas:
b ¿Qué dirías acerca de la solución del sistema anterior?
Ejercicio nº 24.-
a Representa en los mismos ejes las rectas:
b ¿En qué punto o puntos se cortan? ¿Cuántas soluciones tendrá el sistema?
Ejercicio nº 25.-
a Representa en los mismos ejes las rectas:
b ¿Cuántas soluciones tiene el sistema anterior? ¿Cuáles son?
5
2 2 2
x y
x y
2 2
1
x y
x y
2 1
2 2
x y
x y
1
2 2 2
x y
x y
2 0
2 4
x y
x y
6. 6
PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Problema nº 1.-
Calcula un número sabiendo que la suma de sus dos cifras es 10; y que, si invertimos el orden de dichas
cifras, el número obtenido es 36 unidades mayor que el inicial.
Problema nº 2.-
En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos es 12 mayor que el otro. ¿Cuánto miden sus tres
ángulos?
Problema nº 3.-
La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 255 km. Un coche sale de A hacia B a una velocidad de 90
km/h. Al mismo tiempo, sale otro coche de B hacia A a una velocidad de 80 km/h. Suponiendo su velocidad
constante, calcula el tiempo que tardan en encontrarse, y la distancia que ha recorrido cada uno hasta el
momento del encuentro.
Problema nº 4.-
Halla un número de dos cifras sabiendo que la primera cifra es igual a la tercera parte de la segunda; y que si
invertimos el orden de sus cifras, obtenemos otro número que excede en 54 unidades al inicial.
Problema nº 5.-
La base mayor de un trapecio mide el triple que su base menor. La altura del trapecio es de 4 cm y su área es
de 24 cm2
. Calcula la longitud de sus dos bases.
Problema nº 6.-
La razón entre las edades de dos personas es de 2/3. Sabiendo que se llevan 15 años, ¿cuál es la edad de cada
una de ellas?
Problema nº 7.-
Un número excede en 12 unidades a otro; y si restáramos 4 unidades a cada uno de ellos, entonces el primero
sería igual al doble del segundo. Plantea un sistema y resuélvelo para hallar los dos números.
Problema nº 8.-
El perímetro de un triángulo isósceles es de 19 cm. La longitud de cada uno de sus lados iguales excede en 2
cm al doble de la longitud del lado desigual. ¿Cuánto miden los lados del triángulo?
Problema nº 9.-
Pablo y Alicia llevan entre los dos 160 €. Si Alicia le da 10 € a Pablo, ambos tendrán la misma cantidad.
¿Cuánto dinero lleva cada uno?
Problema nº 10.-
La suma de las tres cifras de un número capicúa es igual a 12. La cifra de las decenas excede en 4 unidades al
doble de la cifra de las centenas. Halla dicho número.
7. 7
Problema nº 11.-
El perímetro de un rectángulo es de 22 cm, y sabemos que su base es 5 cm más larga que su altura. Plantea un
sistema de ecuaciones y resuélvelo para hallar las dimensiones del rectángulo.
Problema nº 12.-
Hemos mezclado dos tipos de líquido; el primero de 0,94 €/litro, y el segundo, de
0,86 €/litro, obteniendo 40 litros de mezcla a 0,89 €/litro. ¿Cuántos litros hemos puesto de cada clase?
Problema nº 13.-
El doble de un número más la mitad de otro suman 7; y, si sumamos 7 al primero de ellos, obtenemos el
quíntuplo del otro. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo para hallar dichos números.
Problema nº 14.-
Dos de los ángulos de un triángulo suman 122. El tercero de sus ángulos excede en
4 grados al menor de los otros dos. ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo?
Problema nº 15.-
Una persona invierte en un producto una cantidad de dinero, obteniendo un 5% de beneficio. Por otra inversión
en un segundo producto, obtiene un beneficio del 3,5%. Sabiendo que en total invirtió 10 000 €, y que los
beneficios de la primera inversión superan en 300 € a los de la segunda, ¿cuánto dinero invirtió en cada
producto?
8. 8
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE SISTEMAS DE
ECUACIONES
Ejercicio nº 1.-
a) Resuelve por sustitución:
b) Resuelve por reducción:
Solución:
2x y 6 y 6 2x 6 4 2
Solución: x 2 ; y 2
Ejercicio nº 2.-
a) Resuelve por igualación:
b) Resuelve por reducción:
Solución:
5 2 1
3 3 5
x y
x y
2 6
4 3 14
x y
x y
1 5
a) 5 2 1
2
1 5 3 15
3 3 5 3 5 6 3 15 10
3 3 5
2 2
x
x y y
x x
x x x x
x y
7 1
21 7
21 3
x x
5
1
1 5 8 4
3
2 2 6 3
x
y
1 4
: ;
3 3
Solución x y
b) 2 6
4 3 14
x y
x y
3
6 3 18
4 3 14
x y
x y
Sumando: 2 4 2
x x
5 2 2
2 2
x y
x y
5 3
2 4 12
x y
x y
a) 5 2 2
2 2
x y
x y
9. 9
Solución: x 0 ; y 3
Ejercicio nº 3.-
a Resuelve por sustitución:
b Resuelve por reducción:
Solución:
Solución: x 0 ; y 3
2 2
2 2 8 2
2 2 2 2 10 10 12 8
5
5 12 3
2 2
y
x y
y y y y y
x y
2 4 2
2 2 2
3 3 3
2 2
: ;
3 3
x
Solución x y
b) 5 3
2 4 12
x y
x y
4
20 4 12
2 4 12
x y
x y
Sumando: 18 0 0
x x
5 3 5 3 3
x y x y y
3 5 15
2 3 9
x y
x y
4 6 2
6 5 1
x y
x y
15 5
3 5 15
a)
3
15 5 30 10
2 3 9 3 9 30 10 9 27
2 3 9
3 3
y
x y x
y y
y y y y
x y
57
19 57 3
19
y y
15 5 15 5 3 0
0
3 3 3
y
x
b) 4 6 2
6 5 1
x y
x y
5
6
20 30 10
36 30 6
x y
x y
4 1
Sumando: 16 4
16 4
x x
1 3 1
4 6 2 4 6 2 1 6 2 6 3
4 6 2
x y y y y y
1 1
: ;
4 2
Solución x y
10. 10
Ejercicio nº 4.-
a) Resuelve por sustitución:
b) Resuelve por igualación:
Solución:
Solución: x 4 ; y 2
Ejercicio nº 5.-
a Resuelve por igualación:
b Resuelve por reducción:
Solución:
Solución: x 3 ; y 2
2 3 14
3 14
x y
x y
2 3 2
6 12 1
x y
x y
a) 2 3 14 2 3 3 14 14 2 9 42 14
3 14 3 14
x y x x x x
x y y x
28
7 28 4
7
x x
3 4 14 12 14 2
y
2 2
b) 2 3 2
2 2 1 6
3
8 8 1 6
3 12
1 6
6 12 1
12
x
x y y
x x
x x
x
y
x y
7 1
14 7
14 2
x x
2 2 1 2
2 2 1
3 3 3
x
y
1 1
: ;
2 3
Solución x y
5 2 11
2 3 12
x y
x y
2 4 7
3 5 4
x y
x y
11 2
5 2 11
a)
11 2 12 3
5
5 2
12 3
2 3 12
2
y
x y x
y y
y
x
x y
38
22 4 60 15 38 19 2
19
y y y y
11 2 2
11 2 15
3
5 5 5
y
x
11. 11
Ejercicio nº 6.-
Resuelve cada uno de los siguientes sistemas:
Solución:
Solución: x 3 ; y 1
Ejercicio nº 7.-
Resuelve los siguientes sistemas:
Solución:
Solución: x 3 ; y 1
b) 2 4 7
3 5 4
x y
x y
3
2
6 12 21
6 10 8
x y
x y
29
Sumando: 2 29
2
y y
29 51
2 4 7 2 4 7 2 58 7 2 51
2 2
x y x x x x
51 29
: ;
2 2
Solución x y
a) 2 1
3 10
x y
x y
b) 2 4
2 4 3
x y
x y
a) 2 1
3 10
x y
x y
1 2
3 1 2 10 3 6 10 7 7 1
x y
y y y y y y
1 2 1 2 1 1 2 3
x y
b) 2 4
2 4 3
x y
x y
2 4
2 2 4 4 3 4 8 4 3 0 11 No tiene solución.
y x
y y y y
a) 4 1
2 5
x y
x y
b) 3 4
6 2 1
x y
x y
a) 4 1
2 5
x y
x y
1 4
2 1 4 5 2 8 5 7 7 1
x y
y y y y y y
1 4 1 4 1 3
x y
b) 3 4
6 2 1
x y
x y
4 3
6 2 4 3 1 6 8 6 1 0 9 No tiene solución.
y x
x x x x
12. 12
Ejercicio nº 8.-
Resuelve los siguientes sistemas:
Solución:
Solución: x 0 ; y 2
El sistema tiene infinitas soluciones.
Ejercicio nº 9.-
Resuelve estos sistemas:
Solución:
Solución: x 2 ; y 1
No tiene solución.
a) 3 2 4
2 2
x y
x y
b) 4 5
3 12 15
x y
x y
a) 3 2 4
2 2
x y
x y
3 2 2 2 4 3 4 4 4 7 0 0
2 2
x x x x x x
y x
2 2 2 2 0 2
y x
b) 4 5
3 12 15
x y
x y
5 4
3 5 4 12 15 15 12 12 15 0 0
x y
y y y y
a) 2 3 1
3 2 4
x y
x y
b) 4 3 5
8 6 10
x y
x y
a) 2 3 1
3 2 4
x y
x y
2
3
4 6 2
9 6 12
x y
x y
Sumando: 5 10 2
x x
2 3 1 4 3 1 3 3 1
x y y y y
b) 4 3 5
8 6 10
x y
x y
2
8 6 10
8 6 10
x y
x y
Sumando: 0 20
13. 13
Ejercicio nº 10.-
Resuelve los siguientes sistemas:
Solución:
Solución: x 2 ; y 1
El sistema tiene infinitas soluciones.
Ejercicio nº 11.-
Resuelve este sistema:
Solución:
Solución: x 2 ; y 1
Ejercicio nº 12.-
Resuelve el siguiente sistema:
a) 4 9
2 2 2
x y
x y
b) 5 4 3
10 8 6
x y
x y
a) 4 9
2 2 2
x y
x y
4 9
1
x y
x y
4 9 1 5 10 2
x x x x
4 9 4 2 9 8 9 1
y x
b) 5 4 3
10 8 6
x y
x y
2
10 8 6
10 8 6
x y
x y
Sumando: 0 0
2 4 9
3 2 2
1 4
2 3 2
3 3
x y
x y x
2 4 2 8 9
9
4 16 3 27
3 2 2
3 2 2
3 2 4 3 6 3 2 4
1 4
2
2 3 2
3 3
3 3
x x y
y
x y
x x y x
x y
x y x
4 3 11 4 3 11 4 8 2
6 6 1
x y x x x
y y
2 1 3 11
2 3 6
2 1 6
5 10 5
x y
x y
14. 14
Solución:
Solución: x 3 ; y 1
Ejercicio nº 13.-
Resuelve el siguiente sistema:
Solución:
Solución: x 1 ; y 1
Ejercicio nº 14.-
Resuelve este sistema de ecuaciones:
Solución:
2 1 3 11
6 3 2 6 11 6 2 20 3 10
2 3 6
2 1 6 4 1 12 4 11 4 11
5 10 5
x y
x y x y x y
x y x y x y x y
10 3
10 3 4 11 21 7 3
4 11
y x
x x x x
y x
10 3 10 3 3 10 9 1
y x
3 2 13
4
3 3
2 2 3 13
3 2 6
x y
y
y x x
3 2 13
4
3 3
2 2 3 13
3 2 6
x y
y
y x x
3 2 12 13
3 10 13
4 2 3 13
8 4 9 13
3 2 6
x y y
x y
y x x
y x x
3 10 13
5 8 13
x y
x y
5
3
15 50 65
15 24 39
x y
x y
Sumando: 26 26 1
y y
3 10 13 3 10 13 3 3 1
x y x x x
2 1
3
3
3 5 3 12
x
y
x y x
2 1
3
3
3 5 3 12
x
y
x y x
2 2
3
3
3 15 3 3 12
x
y
x y x
2 2 3 9
6 3 3
x y
x y
2 3 11
2 1
x y
x y
1
2 3 11
2 1
x y
x y
Sumando: 2 10 5
y y
2 1 2 5 1 2 4 2
x y x x x
15. 15
Solución: x 2 ; y 5
Ejercicio nº 15.-
Resuelve el sistema:
Solución:
Solución: x 2 ; y 4
Ejercicio nº 16.-
a Busca dos pares de valores que sean solución de la ecuación 5x 4y 1.
b Representa gráficamente la recta 5x 4y 1.
c ¿Qué relación hay entre los puntos de la recta y las soluciones de la ecuación?
Solución:
Le damos valores a x y obtenemos, por ejemplo, los puntos:
x 1 y 1 Punto 1, 1
x 3 y 4 Punto 3, 4
b Utilizamos los dos puntos obtenidos en el apartado anterior:
c Los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación.
7 9 2 4
15
2 2
5 1 25
x y x
x y
7 9 2 4
15
2 2
5 1 25
x y x
x y
7 9 2 4 30
5 5 5 25
x y x
x y
5 9 26
5 5 30
x y
x y
( 1)
5 9 26
5 5 30
x y
x y
56
Sumando: 14 56 4
14
y y
5 5 30 6 4 6 2
x y x y x x
5 1
a) 5 4 1 5 1 4
4
x
x y x y y
16. 16
Ejercicio nº 17.-
a Obtén dos puntos de la recta 3x 2y 1 y represéntala gráficamente.
b ¿Alguno de los dos puntos obtenidos en el apartado anterior es solución de la ecuación 3x 2y 1?
c ¿Qué relación hay entre las soluciones de la ecuación y los puntos de la recta?
Solución:
Damos valores a x y obtenemos los puntos:
x 1 y 1 Punto 1, 1
x 1 y 2 Punto 1, 2
b Los dos puntos obtenidos son solución de la ecuación.
c Los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación.
Ejercicio nº 18.-
a Representa gráficamente la recta 5x 2y 3.
b ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 5x 2y 3? Obtén dos de sus soluciones.
c ¿Qué relación hay entre las soluciones de la ecuación y los puntos de la recta?
Solución:
Le damos valores a x y obtenemos, por ejemplo, los puntos:
x 1 y 1 Punto 1, 1
x 1 y 4 Punto 1, 4
b Tiene infinitas soluciones. Dos de ellas son, por ejemplo, 1, 1 y 1, 4.
3 1
a) 3 2 1 3 1 2
2
x
x y x y y
3 5
a) 5 2 3
2
x
x y y
17. 17
c Los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación.
Ejercicio nº 19.-
A la vista de la siguiente gráfica:
a Obtén tres puntos de la recta ax by c.
b Halla tres soluciones de la ecuación ax by c.
c ¿Qué relación hay entre los puntos de la recta y las soluciones de la ecuación?
Solución:
a Por ejemplo: 0, 0; 2, 1; 4, 2.
b Por ejemplo: 0, 0; 2, 1; 4, 2.
c Los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación.
Ejercicio nº 20.-
a De los siguientes pares de valores:
c ¿Qué relación hay entre los puntos de la recta y las soluciones de la ecuación?
Solución:
a Sustituimos cada uno de ellos en la ecuación:
3 2 1
0, 10 ; , 19 ; 1, 4 ; 0, ; , 7
2 5 2
1
¿cuáles son soluciones de la ecuación 3 5?
2
x y
1
b) Representa gráficamente la recta 3 5.
2
x y
1
0,10 3 0 10 5 0,10 es solución.
2
3 3 1 3
,19 3 19 5 ,19 es solución.
2 2 2 2
1
1, 4 3 1 4 1 1, 4 no es solución.
2
2 1 2 1 2
0, 3 0 0, no es solución.
5 2 5 5 5
1 1 1
, 7 3
2 2 2
1
7 5 , 7 es solución.
2
18. 18
c Los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación.
Ejercicio nº 21.-
Averigua cuántas soluciones tiene el siguiente sistema de ecuaciones, representando las dos rectas en los
mismos ejes:
Solución:
Representamos las dos rectas obteniendo dos puntos de cada una de ellas:
x y 5 y x 5 2x 2y 2 x y 1 y x 1
Son paralelas. El sistema no tiene solución.
1
b) Tomamos dos puntos de la recta, por ejemplo 0,10 y , 7 , y la representamos:
2
5
2 2 2
x y
x y
0 5 0 1
1 4 1 2
x y x y
19. 19
Ejercicio nº 22.-
a Representa en los mismos ejes el siguiente par de rectas e indica el punto en el que se cortan:
b ¿Cuántas soluciones tiene el sistema anterior?
Solución:
a Representamos las dos rectas obteniendo dos puntos de cada una de ellas:
b Hay una solución: 1, 0 es decir, x 1 , y 0.
Ejercicio nº 23.-
a Representa en los mismos ejes las rectas:
b ¿Qué dirías acerca de la solución del sistema anterior?
Solución:
a Obtenemos dos puntos de cada una de las rectas para representarlas:
2 2
1
x y
x y
2 2 2 2 1 1
0 2 0 1
1 0 1 0
x y y x x y y x
x y x y
2 1
2 2
x y
x y
2 1 2 1 2 2 2 2
0 1 0 2
1 3 1 0
x y y x x y x y
x y x y
20. 20
Son paralelas.
b El sistema no tiene solución, es incompatible, ya que las rectas no se cortan.
Ejercicio nº 24.-
a Representa en los mismos ejes las rectas:
b ¿En qué punto o puntos se cortan? ¿Cuántas soluciones tendrá el sistema?
Solución:
a Representamos las rectas obteniendo dos puntos de cada una de ellas:
x y 1 y x 1 2x 2y 2 x y 1 y x 1
b Se cortan en todos sus puntos, puesto que se trata de la misma recta. El sistema tendrá infinitas soluciones: todos
los puntos de la recta.
1
2 2 2
x y
x y
0 1 Es la misma recta.
1 2
x y
21. 21
Ejercicio nº 25.-
a Representa en los mismos ejes las rectas:
b ¿Cuántas soluciones tiene el sistema anterior? ¿Cuáles son?
Solución:
a Representamos las rectas obteniendo dos puntos de cada una de ellas:
b Tiene una solución: 2, 1 es decir, x 2, y 1.
2 0
2 4
x y
x y
4
2 0 2 2 4 2 4
2 2
0 0 0 2
2 1 2 3
x x
x y y x y x y y x y
x y x y
22. 22
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE SISTEMAS
DE ECUACIONES
Problema nº 1.-
Calcula un número sabiendo que la suma de sus dos cifras es 10; y que, si invertimos el orden de dichas
cifras, el número obtenido es 36 unidades mayor que el inicial.
Solución:
Llamamos x a la primera cifra del número la de las decenas e y a la segunda la de las unidades). Así, el número
será 10x y. Tenemos que:
y 10 x 10 3 7
El número buscado es el 37.
Problema nº 2.-
En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos es 12 mayor que el otro. ¿Cuánto miden sus tres
ángulos?
Solución:
Llamamos x e y a los ángulos agudos del triángulo:
Tenemos que:
x y 12 39 12 51
Los ángulos miden 39, 51 y 90.
Problema nº 3.-
La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 255 km. Un coche sale de A hacia B a una velocidad de 90
km/h. Al mismo tiempo, sale otro coche de B hacia A a una velocidad de 80 km/h. Suponiendo su velocidad
constante, calcula el tiempo que tardan en encontrarse, y la distancia que ha recorrido cada uno hasta el
momento del encuentro.
10 10 10
10 10 36 9 9 36 4
x y x y x y
y x x y x y x y
10
10 4 6 2 3
4
y x
x x x x
y x
12 12 78
12 90 2 78 39
90 90 2
x y x y
y y y y
x y x y
23. 23
Solución:
Llamamos x a la distancia que recorre el coche que sale de A hasta encontrarse.
Sabemos que e v · t, donde e representa el espacio recorrido, v la velocidad y t el tiempo. Por tanto:
x 90t 90 · 1,5 135 km 255 x 255 135 120 km
Tardan 1,5 horas una hora y media en encontrarse. El coche que salió de A llevaba recorridos 135 km; y el que salió
de B, llevaba 120 km.
Problema nº 4.-
Halla un número de dos cifras sabiendo que la primera cifra es igual a la tercera parte de la segunda; y que si
invertimos el orden de sus cifras, obtenemos otro número que excede en 54 unidades al inicial.
Solución:
Llamamos x a la primera cifra del número la de las decenas e y a la segunda cifra la de las unidades. Así, el
número será 10x y. Tenemos que:
y 3x 3 ·3 9
El número buscado es el 39.
Problema nº 5.-
La base mayor de un trapecio mide el triple que su base menor. La altura del trapecio es de 4 cm y su área es
de 24 cm2
. Calcula la longitud de sus dos bases.
Solución:
Llamamos x a la base menor e y a la base mayor.
Tenemos que:
90
255
255 80 255 90 80 255 170 1
,5 horas
170
x t
x t t t t t
3
3
54
10 10 54 30 10 3 54 18 54 3
18
y
x x y
y x x y x x x x x x
24. 24
y 3x 3 · 3 9
La base menor mide 3 cm y la base mayor, 9 cm.
Problema nº 6.-
La razón entre las edades de dos personas es de 2/3. Sabiendo que se llevan 15 años, ¿cuál es la edad de cada
una de ellas?
Solución:
Llamamos x e y a las edades de cada uno. Tenemos que:
Tienen 30 y 45 años.
Problema nº 7.-
Un número excede en 12 unidades a otro; y si restáramos 4 unidades a cada uno de ellos, entonces el primero
sería igual al doble del segundo. Plantea un sistema y resuélvelo para hallar los dos números.
Solución:
Hagamos una tabla para entender mejor la situación:
Tenemos que:
x y 12 16 12 28
Los números son el 28 y el 16.
Problema nº 8.-
El perímetro de un triángulo isósceles es de 19 cm. La longitud de cada uno de sus lados iguales excede en 2
cm al doble de la longitud del lado desigual. ¿Cuánto miden los lados del triángulo?
Solución:
Llamamos x a la longitud de cada uno de los dos lados iguales e y a la del lado desigual.
3
3 3
4
2 2 24 12 3 12 4 12 3
24
2
y x
y x y x
x y
x y x y x x x x
2
3 2 3 2 15 3 2 30 30
3
15
x
x y x x x x x
y
y x
15 30 15 45
y x
SI RESTAMOS 4
PRIMER NÚMERO x x 4
SEGUNDO NÚMERO y y 4
12 12
4 2 4 12 4 2 8 16
x y x y
x y y y y
25. 25
Tenemos que:
x 2y 2 2 · 3 2 6 2 8
Los lados iguales miden 8 cm cada uno; y el lado desigual mide 3 cm.
Problema nº 9.-
Pablo y Alicia llevan entre los dos 160 €. Si Alicia le da 10 € a Pablo, ambos tendrán la misma cantidad.
¿Cuánto dinero lleva cada uno?
Solución:
Llamamos x a la cantidad de dinero que lleva Pablo e y a la que lleva Alicia. Tenemos que:
x y 20 90 20 70
Pablo lleva 70 € y Alicia, 90 €.
Problema nº 10.-
La suma de las tres cifras de un número capicúa es igual a 12. La cifra de las decenas excede en 4 unidades al
doble de la cifra de las centenas. Halla dicho número.
Solución:
Llamamos x a la cifra de las centenas que coincide con la de las unidades, por ser el número capicúa e y a la de
las decenas. Así, tenemos que:
El número que buscamos es el 282.
Problema nº 11.-
El perímetro de un rectángulo es de 22 cm, y sabemos que su base es 5 cm más larga que su altura. Plantea un
sistema de ecuaciones y resuélvelo para hallar las dimensiones del rectángulo.
Solución:
Llamamos x a la base e y a la altura.
2 19
2 2 2 19 4 4 19 5 15 3
2 2
x y
y y y y y y
x y
160 20 160 2 180 90
10 10 20
x y y y y y
x y x y
2 12 12 2
2 4 2 4 12 2 2 4 8 4 2 8
x y y x
y x y x x x x x y
26. 26
Tenemos que:
x y 5 3 5 8
La base mide 8 cm y la altura, 3 cm.
Problema nº 12.-
Hemos mezclado dos tipos de líquido; el primero de 0,94 €/litro, y el segundo, de
0,86 €/litro, obteniendo 40 litros de mezcla a 0,89 €/litro. ¿Cuántos litros hemos puesto de cada clase?
Solución:
Hacemos una tabla para organizar la información:
Tenemos que:
y 40 x 40 15 25
Hemos puesto 15 litros del primer tipo y 25 litros del segundo.
Problema nº 13.-
El doble de un número más la mitad de otro suman 7; y, si sumamos 7 al primero de ellos, obtenemos el
quíntuplo del otro. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo para hallar dichos números.
Solución:
Llamamos x al primer número e y al segundo. Así, tenemos que:
y 14 4x 14 4 · 3 14 12 2
2 2 22 11 5 11 2 6 3
5 5
x y x y y y y y
x y x y
1er
TIPO 2º TIPO MEZCLA
N. LITROS x y 40
PRECIO/LITRO
(euros) 0,94 0,86 0,89
PRECIO TOTAL
(euros) 0,94x 0,86y 35,6
40
40
0,94 0,86 40 35,6
0,94 0,86 35,6
y x
x y
x x
x y
1
,2
0,94 34,4 0,86 35,6 0,08 1
,2 15
0,08
x x x x
14 4
4 14
2 7
2
7 5 14 4
7 5
7 5
y
y x
x y
x
x x
x y
x y
63
7 70 20 21 63 3
21
x x x x
27. 27
Los números son el 3 y el 2.
Problema nº 14.-
Dos de los ángulos de un triángulo suman 122. El tercero de sus ángulos excede en
4 grados al menor de los otros dos. ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo?
Solución:
Uno de los ángulos mide x; el otro, 122 x, y el tercero, y.
Tenemos que:
Los ángulos miden 54, 58 y 122° 54° 68.
Problema nº 15.-
Una persona invierte en un producto una cantidad de dinero, obteniendo un 5% de beneficio. Por otra inversión
en un segundo producto, obtiene un beneficio del 3,5%. Sabiendo que en total invirtió 10 000 €, y que los
beneficios de la primera inversión superan en 300 € a los de la segunda, ¿cuánto dinero invirtió en cada
producto?
Solución:
Hacemos una tabla:
Tenemos que:
y 10000 x 10000 8000 2000
Invirtió 8000 € en el primer producto y 2000 € en el segundo.
4 4
4 58 54
122 180 58
y x y x
x x
x y x y
4 54 4 58
y x
INVERSIÓN BENEFICIO
PRIMER
PRODUCTO x 0,05x
SEGUNDO
PRODUCTO y 0,035y
10000
10000
0,05 0,035 10000 330
0,05 0,035 330
y x
x y
x x
x y
680
0,05 350 0,035 330 0,085 680 8000
0,085
x x x x