Aritmetica

25 26COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er Año Secundaria ARITMÉTICA 3er Año Secundaria
CONJUNTO NUMÉRICO DE APLICACIÓN:
+
Z












+
COMPUESTOS
PRIMOS
UNIDAD
SIMPLES
ZDEIÓNCLASIFICAC
NÚMERO PRIMO ABSOLUTO
Son aquellos números que poseen solamente dos
divisores que son : la unidad y él mismo.
Ejemplo: 2; 3; 5; 7; 11; 11; 13; …..
Divisores de 2: 1; 2
Divisores de 3: 1; 3
NÚMERO COMPUESTO
Son aquellos números que poseen más de dos
divisores.
Ejemplo : 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14
Divisores de 2: 1; 2; 4
Divisores de 6: 1; 2; 3; 6
NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS O PRIMOS
ENTRE SI (PESI)
Dado un conjunto de números, diremos que son
primos entre sí, cuando tienen como único divisor
común a la unidad.
Ejemplo 1: Sean los números 8 y 15
Divisores de 8: 1 ; 2 ; 4 ; 8
Divisores de 15: 1 ; 3 ; 5 ; 15
Como la unidad es el único divisor común, 8 15
son primos entre sí (PESI).
Ejemplo 2: Sean los números 10 , 12 y 15
Divisores de 10 : 1 ; 2 ; 5 ; 10
Divisores de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
Divisores de 15 : 1 ; 3 ; 5 : 15
Como la unidad es el único divisor común 10; 12
y 15 son primos entre sí (PESI)
PROPIEDADES
1. La serie de los números primos es limitada.
2. Todo número primo es mayor que 3, siempre
es de la forma 1º6 ± ; lo contrario no
siempre se cumple.
Ejemplos:
• 1º65 −= • 1º67 +=
• 1º611 −= •
1º618 +=
3. Todo número consecutivos siempre son
primos entre sí.
Ejemplo:
• 8 y 9 son PESI
• 14 ; 15 y 16 son PESI
REGLA PARA AVERIGUAR SI UN NÚMERO
ES PRIMO.
- Se extrae la raíz cuadrada del número, si a
raíz cuadrada es exacta, entonces el número
no es primo, en caso contrario se sigue el
siguiente paso.
- Se divide al número entre todos los números
primos menores a la raíz cuadrada
aproximada.
- Si todas las divisiones son inexactas el
número será primo, pero si al menos una
división es exacta entonces el número no será
primo.
Ejemplo: Sea el número 131.
1º 4,11131 =
2º Primos menores que 11; 4; 2; 3; 5; 7; 11
º11;º7;º5;º3;º2131 ≠
Como todas las divisiones so inexactas 131 es
primo.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA
ARITMÉTICA.
Todo número compuesto se puede expresar como
un producto de factores primos diferentes
elevados a ciertos exponentes; esta expresión es
única y se llama “descomposición canónica”.
Ejemplo: Sea el número 360
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
Sea:
  
Ndecanónica
ciónDescomposi
cba
C.B.AN =
1. Cantidad de divisores de ( )( )NCDN
( ) ( ) ( ) ( )1c1b1aCD N +++=
Ejemplo:
123
5.3.2320 =
( ) ( ) ( ) ( )111213360CD +++=
( ) 24360CD =
2. Suma de divisores ( )NSD
Ejemplo 1:
Para el número 18, la suma de sus divisores
es:

C.D
21
3x218 =
( ) ( )21
18 3SDx2SDSD =
( ) ( )








−
−








−
−
=








−
−








−
−
=
+++=
++
13
13
x
12
12
SD
13
13
x
12
12
331x21
1211
18
32
2
S3AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
IV
NÚMEROS

canónica
ciónDescomposi
123
5.3.2360 =

En general:
Sea   
C.D
......xcxbxaN γβα
=
.....x
1c
1a
1b
1a
1a
1a
SD
111
N 







−
−








−
−








−
−
=
+γ+β−α
3. Suma de inversas de los divisores
( )NSID
Ejemplo:
Calcule la suma de las inversas de los
divisores de 30.
Analizando sus divisores
  
Divisores
30,15,10,6,5,3,2,1:30
30
1
15
1
10
1
6
1
5
1
3
1
2
1
1SID30 +++++++=
  
30
1256101530 ++++++=
( )
30
SD
SID
30
30 =
En general : para N
( )
( )
N
SD
SID
N
N =
4. Producto de divisores ( )NPD
Ejemplo I.
Sea el número 18:
  
Divisores
18;9;6;3;2;118 =
PD (18) = 1 x 2 x 3 x 6 x 9 x 18
18
18
18
( )
6
2/6
3
18
18
18
18PD
=
=
=
Donde 6 es la cantidad de divisores de 18
( )
( )18CD
18 18PD =
Ejemplo 2
  
Divisores
81;27;9;3;181 =
PD (81) = 1 x 3 x 9 x 27 x 81
81
81
81
( )
5
2
5
2
1
2
81
81
81
81PD
=
=
=
+
Donde 5 es la cantidad de divisores de 81
( )
( )81CD
81 81PD =
En general: para N
( )
( )NCD
N NPD =
5. Función de Euler ( )( )Nφ
Se define para todos los enteros positivos N y
representa la cantidad de números enteros
positivos menores que N y que son primos
relativos (PESI) con N. Algunas veces la
función es llamada “Indicador de N”
1. Si N es primo entonces:
( ) 1pp −=φ
2. Si p es número primo y α es un entero
positivo entonces:
( )1p1
p
p −−α





 α =φ
En general:
Sea N descompuesto canónicamente:
.....c.b.aN γβα
=
Entonces:
( ) ( ) ( ) (cc.1bb.1aa 111
N −−=φ −γ−β−α
Si : N > 1 entonces la suma de los enteros
positivos menores o iguales a N y PESI con N
es;
( )N.N
2
1
φ
PRÁCTICA DE CLASE
01.Indicar la suma de cifras del número de
divisores de 600.
a) 6 b) 3 c) 9
d) 12 e) 15
02.¿Cuántos divisores compuestos tiene el
número 360?
a) 20 b) 21 c) 22
d) 18 e) 19
03.Determinar el número de divisores pares del
numeral 360.
a) 45 b) 40 c) 48
d) 65 e) 70
04.Calcular la cantidad de divisores impares del
numeral 54 000.
a) 12 b) 9 c) 15

d) 16 e) 18
05.Si el numeral a4 es PESI con 30, calcular
la suma de valores de a.
a) 19 b) 20 c) 25
d) 30 e) Faltan datos
06.Hallar a – b sabiendo que ba
3.2N =
tiene 2 divisores º2 más que º3 .
a) 2 b) 1 c) 5
d) 4 e) 3
07.Si : n
10.9A = tiene 27 divisores,
hallar cuántas cifras tiene 3
A .
a) 9 b) 7 c) 10
d) 12 e) 13
08.¿Cuál es el valor de “a” si el número
a
49.24 tiene 68 divisores compuestos?
a) 2 b) 8 c) 4
d) 5 e) 9
09.Si el número xy
5.3A = tiene tres
divisores menos que le número
3x
5.2B = . Calcular : P = A + 2B
a) 775 b) 1 225 c) 500
d) 225 e) 950
10.Calcular el valor del menor número que tenga
14 divisores. Indicar como respuesta la suma
de sus cifras.
a) 12 b) 9 c) 6
d) 15 e) 18
11.¿Cuántos ceros debe tener N = 2 000….0 para
que admita 56 divisores?
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
12.Si : ba
7.3.2W = tiene 40
divisores múltiplos de 9 y 30 divisores
múltiplos de 2. Hallar “a . 2 + 3 . b”
a) 18 b) 19 c) 20
d) 21 e) 22
13.¿Cuál es el menor que tiene 15 divisores?
a) 120 b) 36 c) 18
d) 148 e) 144
14.Si k2k
1313N −= +
, tiene 75
divisores compuestos, hallar el valor de k.
a) 3 b) 4c) 5
d) 6 e) 7
15.Sabiendo que aaa tiene 8 divisores, dar la
suma de todos los posibles valores de “a”.
a) 2 b) 7c) 14
d) 12 e) 23
16.¿Cuántos divisores compuestos como mínimo
puede tener un número, si se sabe que tiene
60 divisores?
a) 54 b) 55 c) 53
d) 56 e) 58
17.¿Cuántos divisores debe tener un número
cuya descomposición canónica es
3n1n
b.a ++
para que su raíz cuadrada
tenga 20 divisores?
a) 63 b) 48 c) 80
d) 54 e) 60
18.Si: 3a2a
7.3.2N = tiene 84
divisores que no son divisibles por 12, hallar
“a”.
a) 3 b) 4c) 5
d) 6 e) 7
19.Dar la suma de las cifras del número que
descompuesto en sus factores primos es
3ba
a.b.3 . Sabiendo que tiene 72
divisores y el número no es divisible por 27.
a) 9 b) 18 c) 24
d) 27 e) 30
20.Determinar N sabiendo que admite sólo 3
divisores primos que sumados resulta 16. Dar
como respuesta el menor valor que adopta N,
si éste tiene 30 divisores.
a) 1 500 b) 1 584 c) 1 600
d) 1 700 e) 1 728
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01
01.¿Cuántos números primos comprendidos
entre 100 y 160 son tales que la suma de sus
cifras sea un número par?
a) 4b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
02.¿Cuántos primos absolutos de la forma
aob existen de modo que la suma de sus
cifras sea 13, siendo o = cero?
a) 1 b) 2c) 3
d) 4 e) 5
03.Si se divide 360 entre x; (x + 24) y (x + 48);
en los tres casos se obtienen divisiones
exactas. Hallar el residuo de dividir 360 entre
(x + 72)
a) 18 b) 12 c) 20
d) 24 e) 30
04.Si abco es igual al producto de varios
factores primos consecutivos, donde o = cero,
entonces a + b + c es:
a) 4 b) 5c) 6
d) 7 e) 11
05.Si ab es un número primo, mayor que 40
¿Cuántos divisores que son números
compuestos tendrá el número abababoo
?
a) 144 b) 288 c) 225
d) 280 e) 136
TAREA DOMICILIARIA
01.Si : x
121N = tiene 23 divisores
compuestos, hallar “x”.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 9 e) 8
02.Halle “n”, si : n
20.15A = tiene 154
divisores.
a) 3 b) 4c) 5
d) 6 e) 7
03.Si n
6A = tiene 20 divisores más que
n
7B = , ¿Cuántos divisores tendrá n
8 ?
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
04.Si ba
3.4 tiene aa divisores,
¿Cuántos divisores tiene abba ?
a) 18 b) 9c) 21
d) 36 e) 45
05.¿Cuántas veces será necesario multiplicar por
10 al numeral 16 para que el resultado tenga
60 divisores?
a) 4 b) 5c) 8
d) 10 e) 7
06.Si : 1nn1n
444P −+
++= tiene
36 divisores, hallar el valor de “n”.
a) 4 b) 5c) 3

d) 1 e) 0
07.Hallar “a”, para que el numeral ( )7aaaa
tenga 30 divisores.
a) 7 b) 5c) 6
d) 3 e) 2
08.Hallar un número primo mayor que 3 tal que
su cuadrado, disminuido en la unidad,
dividido por 8, da por cociente un número
primo.
a) 13 b) 11 c) 7
d) 5 e) 17
09.El número 7 920:
- ¿Cuántos divisores son pares?
- ¿Cuántos divisores son impares?
- ¿Cuántos divisores son múltiplos de 33?
a) 36; 24; 20 b) 36; 18; 26
c) 48; 12; 20 d) 48; 12; 30
e) 48; 18; 20
10.Calcular el valor de “n” si el número:
2n
45.12.180E = tiene 88
divisores divisibles por 8 pero no por 5.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 7/3 e) 5
Conjunto numérico de aplicación : +
Ζ
Máximo Común Divisor (MCD)
El máximo común divisor de un conjunto de dos
o más números es aquel número que cumple dos
condiciones :
- Es divisor común de los números.
- Es el mayor posible.
Ejemplo: Sean los números 18 y 24
Divisiones comunes: 1 ; 2 ; 3 y 6
↓
Mayor
∴ MCD (18 ; 24) = 6
Asimismo:
MCD (60 ; 40) = 20 ; MCD (32 ; 40) = 8
PROPIEDADES
1. Todos los divisores comunes de varios
números, son también divisores de su MCD.
2. Si A y B son PESI, se cumple:
MCD (A ; B) = 1
Ejemplo : MCD (8 ; 15) = 1
3. Si ºBA = ; se cumple:
MCD (A ; B) = B
Ejemplo: MCD (60 ; 15) = 15
MÉTODOS PARA DETERMINAR EL MCD.
1. Por descomposición simultánea:
Ejemplo : Sean los números 540 ; 630 y 810
540 – 630 – 810 2
270 315 405 3
90 105 135 3
30 35 45 5
6 7 9
MCD (540 ; 630 ; 810) =
905.3.2 2
=
2. Por descomposición canónica:
Cuando los números están descompuestos
canónicamente, el MCD está determinado por
el producto de los factores primos comunes
elevados a sus menores exponentes.
Ejemplo : Sean los números:
2283
3464
7.5.3.2B
11.5.3.2A
=
=
Se cumple: MCD (A ; B) = 263
5.3.2
3. Por divisores sucesivas o Algoritmo de
Euclides:
Sean los números A y B (A > B)
q
1
q
2
q
3
q
4
r1
r
2
r
3
o
r1
r
2
r
3A B MCD
∴ MCD (A ; B) = 3r
Ejemplo : Hallar el MCD de 391 y 323
1 4 1 3
68 51 17 o
68 51 17391 323
∴ MCD (391 ; 323) = 17
PROPIEDADES
1. Sean los números A y B
Donde : MCD (A ; B) = d
Se cumple:
A = dp B = dp
• p y q son PESI
2. Si MCD (A ; B) = d









=





=
n
d
n
B
;
n
A
MCD
dn)Bn;An(MCD
Entonces
Ejemplo : Si MCD (14A ; 21B) = 350
÷ 7 MCD (2A ; 3B)
= 50
x 4 MCD (8 A ; 12B) = 200
3. Se cumple:
MCD (AK ; BK) = MCD (A ; B) . K
Ejemplo: MCD (8 K ; 12 K) = 4 K
MCD (15 K ; 35 K) = 5 K
MCD (8 K ; 15 K) = K
4. Sean los números A ; B ; C y D
Donde : MCD (A ; B) = 1d
MCD (C ; D) = 2d
MÁXIMO COMÚN

Entonces : MCD (A; B; C; D) = MCD
( )21 d;d
PRÁCTICA DE CLASE
01.Hallar el MCD de 168; 248 y 360
a) 4 b) 8 c) 16
d) 12 e) 24
02.Si A = 15B y MCD (A , B) = 18, calcular: (A
+ B)
a) 240 b) 210 c) 250
d) 288 e) 300
03.El MCD de 3A y 24C es igual a 18N y el
MCD de “c y B es 2N. Hallar el valor de “N”
si el MCD de A y 4B y 8C es 210.
a) 8 100 b) 4 860 c) 1 620
d) 3 240 e) 2 700
04.El MCD de los números 36K; 54K y 90K es
1 620. Hallar el menor de los números
a) 8 100 b) 4 860 c) 1 620
d) 3 240 e) 2 700
05.Si el MCD de A y B es 74 y el MCD de 7 A y
5B es 2 590, calcular B si la suma de A y B
es 888.
a) 500 b) 518 c) 524
d) 532 e) 540
06.Hallar el valor de “K” si:
MCD (5 A ; 5 B) = 20 K
MCD (A , B) = 5K – 10
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 16
07.Si MCD (1524 ; N) = 127, hallar el número
de valores que podría asumir “N”.
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
08.Hallar la suma de los cocientes sucesivos que
se obtienen al calcular el MCD de los
números 66 y 51 por el Algoritmo de
Euclides.
a) 6 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
09.Determinar el MCD de 1 240 y 980 por el
método del Algoritmo de Euclides. La suma
de los cocientes que se obtienen en le
proceso, es
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
10.Hallar la valor de dos números sabiendo que
están en la relación de 5/16 y que su MCD es
21.
a) 105 y 336 b) 115 y 216
c) 131 y 256 d) 96 y 435
e) 115 y 336
11.La suma de los residuos que se obtienen al
calcular el MCD de 1 050 y 238 por el
método de las divisiones sucesivas es
a) 154 b) 78 c) 308
d) 96 e) 98
12.Se calculó el MCD de un par de números que
suman 222, por divisiones sucesivas, siendo
los cocientes 1 ; 2 ; 1 ; 3 y 4.El mayor de
ambos es
a) 128 b) 126 c) 124
d) 122 e) 120
13.En la determinación del MCD de un par de
números por el método de Algoritmo de
Euclides, se obtuvo los cocientes sucesivos; 1
; 3 ; 2 y 4. Si el MCD es 7 ; el número mayor
es
a) 240 b) 260 c) 280
d) 290 e) 310
14.Si el MCD de 6 432 y 132 se disminuye en 8,
entonces será igual a
a) – 6 b) 6 c) 2
d) 3 e) 4
15.Determinar el MCD de 2 227 y 2 125 por el
método del Algoritmo de Euclides e indicar la
suma de los residuos obtenidos.
a) 204 b) 17 c) 324
d) 96 e) 102
16.Aplicando el método del Algoritmo de
Euclides determinar el MCD de 1 348 y
1172. Dar como respuesta la suma de los
cocientes obtenidos en el proceso.
a) 25 b) 26 c) 23
d) 24 e) 27
17.Si : MCD de 7ab1 y 3cb1 es 99;
hallar (a + b + c)
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 18
18.Se tiene tres cajas de galletas a granel y se
desea empaquetarlas en bolsas plásticas de
manera que no sobren de las 270, 390 y 450
galletas que respectivamente hay en las cajas.
¿Cuántas bolsas plásticas como mínimo se
necesitan?
a) 74 b) 38 c) 66
d) 37 e) 84
01.Para calcular el MCD (A , B) se utilizó el
método del algoritmo de Euclides donde los
cocientes sucesivos son 8, 4, 1 y 4
respectivamente. Si el mCD (A , B) = 6, la
suma de los números es:
a) 1324 b) 1325 c) 1437
d) 1439 e) 1530
02.Al calcular el MCD de dos números mediante
el algoritmo de Euclides se obtuvo como
cocientes sucesivos a: 1 ; 2 y 2 si la diferencia
fdel MCM y el MCD es igual a 510. Hallar la
suma de los 2 números.
a) 180 b) 210 c) 240
d) 270 e) 280
03.El MCD de ( ) ( ) ( )5a3a1a +++
y el que resulta de invertir el orden de sus
cifras es 36. Indicar la suma de dichos
números.
a) 1554 b) 1110 c) 1776
d) 1221 e) 1332
04.Si se dividen los números 8888 y 11888 entre
abc se obtiene por residuos 529 y 314,
respectivamente. Hallar a + b + c.
a) 13 b) 15 c) 17
d) 22 e) 12
05.Se tienen 2 números A y B tales que
MCD (3 A , 3B) = 24
MCM (A/4 , B/ 4) = 30
Hallar A + B sabiendo que no son divisibles
entre sí.
a) 60 b) 48 c) 64
d) 72 e) 84

TAREA DOMICILIARIA
01.Si al calcular el MCD de dos números por el
algoritmo de Euclides se obtuvieron los
cocientes sucesivos 2; 5; 3 y 2, calcular el
MCD de los números si la diferencia de ellos
es 880.
a) 20 b) 25 c) 16
d) 28 e) 14
02.¿Cuántos divisores comunes tienen los
números 420; 360 y 1260?
a) 12 b) 10 c) 8
d) 6 e) 4
03.Los residuos que se obtienen al calcular el
MCD de 1 050 y 238 por divisiones sucesivas
suman
a) 78 b) 154 c) 308
d) 96 e) 201
04.El MCD de dos números es 13. Se desea
conocer el menor de los números, si los
cocientes sucesivos que se obtienen al hallar
su MCD por divisiones sucesivas son 11; 9;
1; 1 y 2.
a) 604 b) 614 c) 624
d) 637 e) 650
05. nnnn
15.12By5.4A ==
y MCD (A , B) tiene 15 divisores, calcular
“n”
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
06.Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B es
162
n1nn1n
99B;66A +=+= ++
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
07.Si : MCD ( ) 993cb1;7ab1 =
Halle (a + b + c)
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 18
08.Si :
Hallar : (x + y + z)
a) 25 b) 27 c) 29
d) 31 e) 33
09.Hallar la suma de las cifras del MCD de los
números 936; 360 y 1080.
a) 6 b) 9 c) 12
d) 15 e) 18
El MCM de un conjunto de números es le menor
de los múltiplos comunes de varios números.
Sean los números:
• 12: 12, 24, 36 , 48, 60, 72 , 84, 96, 108 , 120 …
• 18: 18, 36 , 54, 72 , 90 , 108 , 126, 144 …
Múltiplos
∴ El MCM (12 ; 18) = 36
Obs.: Múltiplos comunes : 36 , 72 , 108 …
Múltiplos de …
Propiedad:
Los múltiplos comunes de varios
números son múltiplos de su MCM.
Problema:
Si el MCM (A , B) = 36, ¿Cuántos múltiplos
comunes positivos menores que 180 tienen A
y B?
Solución:
Cálculo del MCM:
1. Por descomposición simultánea
Sean los números 360; 300 y 200
360 - 300 - 200 2
180 150 100 2
90 75 50 2
45 75 25 3
15 25 25 3
5 25 25 5
1 5 5 5
1 1 1
2. Por descomposición canónica
Pasos:
- Se descomponen los números
canónicamente, en factores primos.
- El MCM estará dado por los factores
primos comunes y no comunes elevados
sus mayores exponentes.
Ejemplo: Sean los números 360; 300 y 200
• 532360 23
=
• 22
5.3.2300 =
• 23
5.2200 =
El MCM : 8001532 223
=
Problema :
¿Cuántos divisores tiene el MCM de
45
30y20 ?
Solución:
Propiedades:
( ) zyx
20101615
469
532B,AMCD
7.5.3.2B
25.9.4A
=
=
=
MINIMO COMÚN
∴MCM :

8001
223
532

1. Para 2 números A y B que sean P.E.S.I.
El MCD será siempre la unidad y el MCM
será el producto de los menores.
Para 2 números A y B, P.E.S.I.
EL MCD (A , B) = 1
El MCM (A , B) = A . B
2. Para 2 números A y B se cumple siempre que
el producto del MCD será igual al producto
de los números.
Para 2 números A y B
MCD (A , B) . MCM (A , B) = A . B
3. Si al conjunto de números se le multiplica o
divide por cierto factor su MCM también
queda multiplicado o dividido por el mismo
factor.
Si MCM (A , B) = P
MCM (kA , kB) = kP
k
P
k
B
;
k
A
MCM =





4. Si el MCM de 2 números es “n” y el MCM
de otros 2 números es “m” entonces el MCM
de los números será el MCM de n y m.
Si MCM (A , B) = n ; y
MCM (C , D) = m
⇒ MCM (A , B , C , D) = MCM (n,m)
5. Para 2 números A y B
Si MCD (A , B) = n
MCM (A , B) = m
Se cumple :
A = np
B = nq m = npq
⇒ A . B = nm
PRÁCTICA DE CLASE
01.Hallar el MCM de los números:
202040
40;10;20
a) 5.240
b) 40
10 c) 40
2
d) 40
40 e) 4060
5.20
02.Si el MCM (A , B) = 36, ¿Cuántos múltiplos
comunes positivos menores que 360 tiene A y
B?
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 7
03.¿Cuántos múltiplos comunes de 4 cifras
tienen los números: 24, 50 y 60?
a) 12 b) 15 c) 14
d) 13 e) 16
04.Sean A y B dos números primos entre sí,
¿Cuál será su MCD y cuál su MCM?
a) A, B ; A – B b) A + B ; A – B
c) AB ; 1 d) 1 ; A x B
e) No se puede saber
05.¿Cuántos divisores tiene el MCM de 1 008 y
2 100?
a) 45 b) 90 c) 135
d) 80 e) 60
06.Hallar “n” si el MCM de:
18nn
3.16es81.18By18.81A ==
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
07.Si el MCM de A = n
48.36 y
4836B n
= tiene 72 divisores,
¿Cuántos divisores tiene A?
a) 45 b) 90 c) 60
d) 54 e) 64
08.Hallar “k” si el MCM de k
32.28A =
y 32.28B k
= tiene 72 divisores.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
09.Hallar “x” en los números
x
60.45A =
x
45.60B =
Para que se cumpla: MCM (AB) = 12 MCD
(A , B)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10.EL MCM de 2 números es 320. Hallar dichos
números sabiendo que la diferencia entre
ambos es igual a 7 veces el menor
a) 320 y 60 b) 320 y 50c) 320 y 40
d) 320 y 30 e) 320 y 20
11.Estrella trabaja 11 días seguidos y descansa el
décimo segundo día. Si comenzó a trabajar
un día Lunes, entonces, ¿Cuántos días
transcurrirán para que pueda descansar un
domingo?
a) 83 b) 89 c) 90
d) 77 e) 84
12.En el colegio “Lord Kelvin” hay menos de
700, alumnos. Si se cuentan de 6 en 6, de 8
en 8, de 10 en 10 y de 12 en 12 siempre
sobran 5; pero si se cuenta de 11 en 11 no
sobra ninguno. ¿Cuántos alumnos hay?
a) 125 b) 245 c) 365
d) 605 e) 485
13.La edad que tiene un profesor del colegio
Lord Kelvin es múltiplo de 2 más 1, múltiplo
de 7 más 6 y múltiplo de 10 menos 1. Si una
pitonisa le dijo que iba a vivir 70 años,
¿Cuántos años faltaría para dejar este mundo?
a) 0 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
14.SI se sabe que el MCM (A , B) = 1 848 y A/B
= 12. Encontrar el valor de (A – B).
a) 154 b) 1694 c) 1419
d) 1562 e) 1672
15.Hallar el valor de MCM (2 A , 3B), sabiendo
que : A . B = 5 760 y MCD
2
B
;
3
A
= 8
a) 360 b) 720 c) 1440
d) 820 e) 480
16.Hallar dos números, sabiendo que su
producto es igual a 8 veces su MCM y que su
suma es igual a 6 veces su MCD.
a) 8 y 40 b) 8 y 30 c) 8 y 20
d) 6 y 40 e) 6 y 30
17.Un automovilista viaja a velocidad constante,
recorriendo primero 900 km y luego 1 350
km. Si el MCM de los tiempos empleados es
90 horas, hallar el tiempo que viajó.
a) 30 b) 40 c) 45
d) 60 e) 75
18.Para que un objeto que pesa más de 2 000 g
complete un peso de 10 kg se puede utilizar
un número exacto de pesas de 40 g, 50
g, 60 g ó 0 g.
¿Cuál es el peso exacto del objeto?
a) 4 200 g b) 2 800 c) 8 400
d) 5 800 e) 3 000
19.Tres automóviles parten juntos del mismo
punto de partida de un circuito cerrado de
3600 m de longitud, si las velocidades de
ellos son 60, 36 y 20 m/s respectivamente.
¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que
vuelvan a pasar juntos por el punto de
partida?
a) 10 min. b) 12 min. c) 15 min.
d) 18 min. e) 16 min.

20.El MCD de los números cbayabc es
36 y su MCM es 11 232. Hallar el número
mayor.
a) 345 b) 864 c) 111
d) 288 e) 936
01.Dadas las siguientes proposiciones
I. Si varios números son primos entre sí 2 a
2, entonces su MCM es le producto de
ellos.
II. El MCM de 2 números es igual al
producto de su MCD por los cocientes
que se obtienen al dividir dichos números
entre su MCD.
III. Si varios números son primos relativos,
entonces su MCD es la unidad.
Los respectivos valores de verdad son:
a) FVV b) FFV c) VVF
d) FFF e) VVV
02.Indicar el valor de verdad de las
proposiciones:
I. MCD
( ) 2613;13;13 302145
=−−−
II. Si a, b, c, d son PESI → MCM (a, b, c, d)
= abad
III. Si a ∈ N → MCD (a, a + 1)
a) VVV b) VVF c) FVF
d) VFV e) VFF
03.Si el MCD de los números bbbyaaa
es un número que tiene 12 divisiones
¿Cuántos divisores tendrá su MCM?
a) 15 b) 16 c) 18
d) 24 e) 32
04.Calcular el máximo valor de (A + B) si se
cumplen:
mnnmB,b48aA == ; MCD
(A,B) = 33
y 500 < B < 6000
a) 9503 b) 6600 c) 6930
d) 9933 e) 14256
05.Si el MCD
( ) 13mnmn;aboab 54 = y el MCM
( ) 17160mnmn;aboab 54 = .
Entonces : (a + b+ m + n) es:
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
TAREA DOMICILIARIA
01.¿Cuántos múltiplos comunes de 3 cifras
tienen los números 12; 25 y 30?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 15
02.Hallar m si el MCM de 1512A m
= y
m
15.12B = tiene 140 divisores.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
03.Hallar k si el MCM
630
5
k9
,
10
k7
,
5
k2
=





a) 100 b) 70 c) 80
d) 50 e) 90
04.Determinar el valor de “k” en los números:
9015By90.15A kk
== para
que MCM sea 36 veces su MCD.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
05.¿Cuántos divisores tendrá el MCM de
n
60.40 y n
40.60 si su MCD
tiene 100 divisores?
a) 200 b) 240 c) 250
d) 260 e) 280
06.La suma de 2 números es 81 y el MCM de
ellos es 180. ¿Cuál es el menor?
a) 36 b) 27 c) 18
d) 45 e) 33
07.Dos números al multiplicarse por un tercero,
se obtiene que su MCD es M, y cuando se
divide por dicho tercer número el MCD es
2M . Hallar el MCD de dichos números.
a)
2
1
M
M
b)
1
2
M
M
c) M1M2
d)
2
1
M
M
e) 21MM
08.Hoy las tres campanadas de una iglesia han
sido tocadas simultáneamente. Si en adelante
la primera será tocada cada 7 días, ¿después
de que tiempo se volverán a tocar juntas?
a) 350 b) 210 c) 70
d) 140 e) 280
09.Hallar 2 números sabiendo que su diferencia
es 170 y que al sumar su MCD con su MCM
se obtiene 530.
Dar el mayor número.
a) 172 b) 176 c) 96
d) 160 e) 89
10.Sabiendo que el MCM ( )13ab,ab +
es 156. Determinar la suma de los divisores
comunes de 13abyab +
a) 13 b) 14 c) 16
d) 26 e) 39
FRACCIÓN
Se denomina fracción a todo par de números
enteros dados en un cierto orden, de manera que
el primero se llama (numerador) el segundo
(denominador) y éste sea distinto de cero.
Sea la fracción a/b que también se puede "b" el
denominador.
En otras palabras, una fracción nos indica una
parte que se toma de un todo dividido en partes
iguales. Así por ejemplo la fracción 5/12 nos
indica que se han considerado 5 partes de un total
de 12 partes iguales en las que se ha dividido el
total.
Ejemplo:
si dividimos un total en 25 partes iguales, ¿qué
fracción representan las partes sombreadas?
CLASIFICACIÓN
I. De acuerdo a la relación entre sus
términos
a) Propia
Toda fracción cuyo valor es menor que la
unidad y mayor que cero. Esto sucede cuando
el numerador es menor que el denominador.
Ejemplos:
4/7 ; 6/13 ; 89/ 237 ; 127 / 32544
b) Impropia
Toda fracción cuyo valor es mayor que uno
(1). Esto sucede cuando el numerador es
mayor que el denominador.
NÚMEROS

Ejemplos:
15/8 ; 13/5 ; 65 / 27 ; 3 227 /119
II. De acuerdo al denominador de la
fracción
a) Fracción ordinaria o común
Toda fracción cuyo denominador es diferente
a una potencia de 10.
Ejemplos:
17/23; 34/97; 11/56; 457/ 129
b) Fracción decimal
Toda fracción cuyo denominador es una
potencia de 10.
Ejemplos:
77/ 100; 43/1 000; 21/ 10 000; 1/100
000
III. De acuerdo a los denominadores de un
grupo de fracciones
a) Fracciones homogéneas
Es aquel grupo de fracciones que poseen el
mismo denominador.
Ejemplos:
6 / 17 ; 25 / 17 ; 11 / 17 ; 3 456 / 11
b) Fracciones heterogéneas
Es aquel grupo de fracciones cuyos
denominadores son diferentes.
Ejemplos:
9 / 15 ; 65 / 128 ; 31 / 11 ; 3 / 4
OTRAS FRACCIONES
a) Fracción equivalente: Una fracción
equivalente es aquella fracción que tiene el
mismo valor que otra más sus términos son
diferentes.
b) Fracción reductible: Toda fracción cuyos
términos comparten divisores y permiten por
lo tanto un proceso de simplificación.
15
8
45
24
90
48
180
96
===
c) Fracción irreductible: Toda fracción cuyos
términos son primos entre sí, es decir el único
factor común entre los términos, es la unidad.
71
35
donde 35 y 71 son PESI
PRACTICA DE CLASE
01.Hallar el valor de:
2
3
2
4
2
2
1
2
4
3
2
1
E
+
+
+
+
+
=
a) 372 / 106 b) 862 / 725 c) 504 / 312
d) 848 / 309 e) 849 / 308






−





+





−






+





+





−
4
3
1
3
2
1
3
1
1
5
4
1
2
1
1
2
1
1
a) 2 b) 3 c) 5
d) 4 e)
50
43
4
03.¿Cuántas fracciones de denominador 90 están
comprendidas entre 3/4 y 7/ 2?
a) 246 b) 247 c) 245
d) 248 e) 244
04.Simplifique:
5
2
4
1
2
1
3
2
+
+
+
a) 98 / 165 b) 98 / 164 c) 98 / 166
d) 98 / 163 e) 98 / 169
05.Se deja caer una pelota desde cierta altura y
en cada rebote pierde 2/3 de la altura anterior.
Si en el cuarto rebote alcanzó una altura de
60 cm; la altura inicial fue:
a) 48 m b) 48, 6 m c) 60 m
d) 46, 8 e) 42, 4 m
06.Un reservorio de agua se puede llenar con dos
llaves A y B en 60 horas y 10 horas
respectivamente. Si estando inicialmente
vacío el reservorio, se abren simultáneamente
las llaves; el tiempo que se demora en llenar
es:
a) 1h 30 min. b) 2 h 45 min.
c) 2h 30 min. d) 3h 45 min.
e) 3h
07.La cantidad de valores que puede tomar "x",
si x/18 es una fracción propia mayor que 2/5,
es:
a) 10 b) 9 c) 11
d) 8 e) 7
08.Halle la fracción tal que si a sus 2 términos se
les suma el numerador y el resultado se le
resta la fracción, se obtenga 6/ 35.
a) 2 / 7 b) 2 / 3 c) 2 / 9
d) 2 / 5 e) 1 / 3
09.La cantidad de fracciones propias menores
que 0, 75; cuyos términos son consecutivos,
es:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10.Un limonero vende 2 /5 del total de limones
que tiene, luego vende 1 /2 del resto y
finalmente 2 /3 del nuevo resto. Si todavía le
quedan 48 limones, el número de limones que
tenía a inicio es:
a) 460 b) 440 c) 480
d) 420 e) 520
11.El numerador de una fracción excede al
denominador en 7. Si el denominador se
aumenta en 22 el valor de la fracción es 1/2.
la suma de os términos de la fracción original
es:
a) 23 b) 22 c) 21

d) 20 e) 24
12.Los 3/4 den barril más 7 litros son de
gasolina tipo "A" y 1/3 menos 20 litros son
de gasolina tipo "B". ¿Cuántos litros son de
tipo A?
a) 120 b) 118 c) 122
d) 126 e) 124
13.Una persona ingresa a un conocido casino de
la capital y al apostar por primera vez pierde
1/3 de su dinero; al apostar por segunda vez,
gana 2/3 de lo que le quedaba y finamente
decide apostar el dinero que le quedaba y
pierde la mitad. Si se retiró a su casa con $
40; el dinero con el que inicialmente jugó es:
a) 70 b) 72 c) 74
d) 76 e) 78
14.Un empleado cobra su sueldo e
inmediatamente gasta la mitad en alimentos;
1/3 del resto en luz, agua y teléfono; la quinta
parte del nuevo resto en pago de impuestos.
Si aún le queda S/. 120; su sueldo es:
a) 430 b) 440 c) 420
d) 450 e) 460
15.La cantidad de fracciones propias e
irreductibles de denominador 21; es:
a) 12 b) 11 c) 10
d) 9 e) 13
16.¿Cuántas fracciones de denominador 120
están comprendidas entre 4/3 y 5/2?
a) 141 b) 139 c) 142
d) 140 e) 138
17.La cantidad de valores que puede tomar "n";
si n/24 es una fracción propia mayor que 3/7,
es:
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
18.Dos cañones pueden llenar un estanque de
3
m36 en 5 y 6 horas respectivamente;
mientras que un desagüe lo podría vaciar en
10 horas. Si se abren los 3 caños y se cierran
penas se llena el estanque; los 3
m de agua
que se fueron por el desagüe, son:
a) 3
m5,11 b)
3
m5,12 c) 3
m5,13
d) 3
m5,14 e)
3
m5,15
19.Una vagoneta de cal pesa 720 Kg. Cuando
contiene los 5/8 de su capacidad pesa 95/ 124
de su peso anterior. Hallar el peso de la
vagoneta vacía.
a) 1 300 kg. b) 1 400 kg. c) 1 500 kg.
d) 1 600 kg. e) 1 200 kg.
20.Una piscina se puede surtir de agua con dos
grifos A y B que pueden llenarla
individualmente en 10 y 15 horas
respectivamente. Una salida de agua en el
fondo permite desalojar todo e volumen de
agua en 30 horas.
El tiempo necesario (si estuviera llena sus
7/15) para completar de agua la piscina
abriendo todos los conductos de entrada y
salida simultáneamente, es:
a) 2h b) 3h c) 4h
d) 5h e) 6h
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 04
01.En un depósito existen N litros de vino,
primero se reemplaza 1/4 de ese volumen por
agua, luego se reemplaza 1/5 de la mezcla por
agua ¿Cuántos litros de agua hay en la
mezcla final?
a) 7N / 15 b) 11N / 5 c) N / 15
d) 4N / 15 e) 3N / 15
02.Tres brigadas de obreros pueden hacer una
zanja, los primeros en 9 días, la segunda en
10 días, y la tercera en 12 días, se emplean a
la vez 1/4 de la primera, 2/3 de la segunda y
3/5 de la tercera. ¿En cuantos días se termina
la zanja?
a) 7 b) 8 c) 9
d) 13 e) 15
03.Tres tuberías A, B, C trabajando juntas
pueden llenar la tercera parte de un tanque en
2 horas. Si trabajan solo A y B pueden llenar
las 3/4 partes del tanque en 5 horas y si
trabajan B y C llenarán el tanque en 8 horas.
¿En cuantas horas llenará la tercera parte del
tanque trabajando solo la tubería B?
a) 20 / 13 b) 40 / 13 c) 60 / 13
d) 30 / 13 e) 50 / 13
04.Una persona gana en tres juegos consecutivos
1 / 3 de lo que tiene antes de cada juego y en
el cuarto pierde los 2 / 3 de lo que tenía antes
del tercer juego, resultando con 512 soles. La
cantidad de dinero (en soles) que tenía al
inicio es:
a) 234 b) 432 c) 500
d) 400 e) 287
05.Un obrero realizó un trabajo en 4 días; el
primer día hizo una parte; el segundo día hizo
1/4 de lo que le faltaba, el tercer día hizo 1/5
del resto y el cuarto día hizo el 40% de la
obra. ¿Cuántos días menos emplearía si
trabaja con el rendimiento del primer día?
a) 1 b) 1/5 c) 1/4
d) 1/2 e) 3/4
TAREA DOMICILIARIA
01.Simplifique:
4
1
2
3
1
2
1
1
+
+
+
a) 9 / 13 b) 5 / 13 c) 8 / 13
d) 6 / 13 e) 7 / 13
02.Se deja caer una pelota desde cierta altura y
en cada rebote pierde 1/ 4 de la altura
anterior. Si en el tercer rebote alcanzó una
altura de 54 cm; la altura inicial fue:
a) 60 cm b) 128 cm c) 256 cm
d) 130 cm e) 64 cm
03.Un reservorio de agua se puede llenar con dos
llaves A y B en 4 horas y 9 horas
respectivamente. Si estando inicialmente
vacío el reservorio, se abren simultáneamente
las llaves; el tiempo que se demora en llenar
es:
a) 2 h b) 47/ 19 h c) 19/ 47 h
d) 13/ 36 h e) 36 / 13 h
04.La cantidad de valores que puede tomar "x";
si x/ 12 es una fracción propia mayor que 1/4,
es:
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
5
1
1
2
4
3
1
1
2
1
2
1
E
+
+
+
+
+
=
a) 12 / 31 b) 12 / 11 c) 12 / 5
d) 12 / 7 e) 12 / 13







+





−





+






−





−





+
3
2
1
2
1
1
5
2
1
3
2
1
3
1
1
2
1
1
a) 2 / 11 b) 2 / 3 c) 2 / 9
d) 2 / 5 e) 2 / 7
Número decimal
Es la expresión que se obtiene al dividir el
numerador de la fracción entre el
correspondiente denominador.
Ejemplo:
25,3
4
13
=
4,1
25
35
=
...2222,3
9
29
=
Número decimal exacto
Se origina cuando el denominador de la fracción
generatriz está compuesta por factores 2, por
factores 5 ó por ambos.
Ejemplo:
875,1
8
15
=
16
19
= 1,1875
Número decimal inexacto periódico puro
generatriz no contiene factores 2 ni 5.
Ejemplo:
11
7
=
∩
63,0
9
23
= 5,2

Número decimal inexacto periódico mixto
generatriz está compuesta por factores 2 y/o 5 y
al menos un factor primo distinto a estos.
Ejemplo:
∩
= 16,3
6
19
∩
= 62,0
45
28
∩
= 43,1
30
43
PRÁCTICA DE CLASE
01.Calcular la fracción generatriz de 0,45
a)
90
15
b)
20
9
c)
50
9
d)
20
7
e)
90
5
02.Calcular la generatriz de
∩
27,0
a)
11
13
b)
33
7
c)
9
15
d)
66
18
e)
99
42
03.Calcular la fracción generatriz de 37,0

a)
15
11
b)
9
12
c)
90
3
d)
99
73
e)
9
15
04.Si a =
300,0cy30,0b;3,a

==
calcule:
cba
1
++
a)
111
300
b)
99
30
c)
90
33
d)
33
90
e)
300
111
05.Si:
∩
a5,0 =
11
m
Calcule: m – a
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
06.Calcule: a + b,
si:
∩
=+ 96,0
3
b
11
a
a) 8 b) 9 c) 11
d) 7 e) 15
07.¿Cuál es la última cifra del período de (3)–83
a) 3 b) 5 c) 7
d) 9 e) 1
08.Si:
2
x
= 0,abcdef y
5
x
= 0,defabc
y abcdef − = 429
calcule " x "
a) 3 b) 5 c) 7
d) 9 e) 5
09.Al dividir un número entre 27, 81 y 2 se
obtiene un entero, un decimal periódico puro
y un decimal exacto respectivamente;
¿cuántas cifras decimales no periódicas se
obtiene al dividirlo entre 972?
a) 1 b) 2 c) 3
NÚMEROS

d) 4 e) 5
10.Calcule una fracción equivalente a 63,0

sabiendo que la diferencia de sus términos es
múltiplo es 17.
a)
510
187
b)
204
187
c)
184
170
d)
187
204
e)
227
210
11.¿Cuántas fracciones propias pueden generar
una periódica pura de dos cifras?
a) 90 b) 98 c) 99
d) 100 e) 91
12.¿Cuántas fracciones
N
abcd
dan origen
a
0,abcd ?
a) 9 000 b) 8 999 c) 8 910
d) 8 000 e) 9 001
13.Sabiendo que al dividir N entre 8 ! se obtiene
un decimal de 5 cifras no periódicas y una
periódica, ¿cuál es el menor valor de N?
a) 17 b) 23 c) 28
d) 32 e) 71
14.Calcule el valor de :
0,abc + 0,bca + 0,cab , sabiendo
que la generatriz de 0, abc tiene un
denominador que es primo que sumado con el
numerador da 40.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15.Calcule el período de un decimal periódico
mixto, tal que su generatriz es propia, con
220 como denominador. Indicar la suma de
las cifras como respuesta.
a) 3 b) 5 c) 7
d) 9 e) 1
16.Si la fracción generatriz
ab
1
genera el
número decimal 0, 0(a - 1) b , ¿cuál es el
valor de a + b?
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
17.Calcule un número que divido entre 37
origina el decimal:
( )a1a
2
1a
,0 +




 +
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
18.Se tiene la fracción
∩= a,0
b
a
de
tal manera que se cumpla :
ef,0
2b
2a
=
+
+
,
conociendo que a + 2 = e +f.
Calcule la fracción
b
a
.
a)
9
4
b)
5
3
c)
9
7
d)
2
7
e)
9
2
19.Si
∩
=
++
1,4
abc,0
ca,0bc,0ab,0
calcule el máximo valor de:
M = 0, abc + 0, cab + 0,bca
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
20.¿Cuántas cifras tiene en la parte no periódica
a fracción
!10
210
?
a) 1 b) 2 c)3
d)4 e) 5
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 05
01.Indique los valores de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. (0, 23223222322223 ....... + 0,
01001000100001 .....) es racional.
II. 4,0 se aproxima a π con un error menor
que 4/5.
III. Si a y b son irracionales, a ≠ b, entonces
a . b es irracional.
a) VVV b) VFF c) FVV
d) VFV e) FFF
02.Dadas las proposiciones:
I. Si a y b son irracionales ⇒ a + b es
irracional.
II. Si K ∈ Q y a es irracional ⇒ k
a es
irracional.
III. Si K ∈ q, k ≠ 0 y a es irracional ⇒ k a ∈
irracionales.
Los respectivos valores de verdad son:
a) VVV b) FFV c) FVV
d) VFV e) FFF
03.Si la fracción irreductible
( )
( )2aca
a7ac
f
−
−
= da como resultado
el decimal de la forma 0, a b c d , entonces
(a + b + c) es :
a) 12 b) 14 c) 15
d) 16 e) 19
04.Si
09,4
sumandosn......16941
sumandosn......642781
=
++++
++++
, entonces n es:
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 11
05.Si 0, ab + 0, bc + 0, ca + 0, abc = 4, 1 ,
entonces la cantidad de divisores compuestos
que tiene abc es:
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
TAREA DOMICILIARIA
01.Calcular la fracción generatriz de 0, 28
a)
25
7
b)
15
6
c)
45
9
d)
35
8
e)
28
10
02.Calcular la generatriz de 49,0
a)
99
7
b)
9
7
c)
99
49
d)
33
23
e)
99
21

03.Calcular la fracción generatriz de
∩
25,0
a)
33
21
b)
90
23
c)
99
11
d)
99
25
e)
90
12
04.Si:
∩
= 5,0U ;
∩
= 05,0N y
∩
= 005,0I
calcule . ( ) 1
INUK −
++=
a)
59
90
b)
180
111
c)
11
30
d)
111
180
e)
11
18
05.Si :
20
m
a1,0 =∩ calcule: "m", si a
≠ 0.
a) 1 b) 2 c) 4
d) 8 e) 7
06.Si:
( ) ( )ba1a,0
33
b
11
a
++=+
calcule a + b
a) 4 b) 7 c) 3
d) 8 e) 11
07.¿Cuál es la última cifra de periodo
19
3
1
?
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
08.Si :
∩
=
∩
+
∩
1,b8,22,a
calcule a + b
a) 7 b) 8 c) 9
d) 15 e) 13
SOLUCIONARIO
N°
EJERCICIOS PROPUESTOS
01 02 03 04 05
01. C B E D E
02. B A D A B
03. D E B B B
04. C A E B B
05. D C A A A
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
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