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![19 20COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria ARITMÉTICA 4 to Año Secundaria
05.Si:
0
16x15
1
....
4x3
1
3x2
1
2x1
1
=++++
, abcd. Hallar a + b + c + d:
a) 24 b) 18 c) 29
d) 14 e) 21
06.Si la fracción a / b es irreductible, entonces
algún divisor común del numerador y
denominador de la fracción (2 a + b) / a (a +
b) es:
a) 1 y 2 b) 2 y 3 c) 11 y 1
d) sólo 2 e) sólo 1
07.Indica el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. ∀ a ≠ b exista un X ∈ Z, que pertenece al
intervalo [a, b]
II. La suma de dos números es otro número
irracional.
III. a = 3, 25251252253 ........ es racional.
a) FFF b) FVF c) FVV
d) FFV e) VVV
08.La suma de las cifras del denominador de la
fracción equivalente a 29/ 41, cuyo cuadrado
de la suma de sus términos es 240100, es:
a) 19 b) 15 c) 17
d) 21 e) 20
09.¿Cuántas fracciones irreductible de
denominador 36 están entre 2/ 21 y 5/ 21?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10.Si: 0
cd
ab
= , efghi y
58cdab =+ , entonces (a + b + c + d
+ e) es :
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 19
11.Si: 96 678,0edcba,0 = , entonces
(a + b + c + d + e) es:
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
12.¿Cuántas cifras no periódicas y periódicas
tiene la expresión decimal de la fracción
11x5x13x2
14
f
65
= ?
a) 6, 6 b) 4, 6 c) 4, 5
d) 6, 10 e) 6, 12
13.¿Cuantas cifras tiene la parte periódica del
número decimal originado por la fracción
irreductible
x271x11x3
k
f
3
=
?
a) 5 b) 10 c) 12
d) 18 e) 30
14.Hallar la suma las de cifras del periodo
generado por la fracción:
cifrask3
148148......148148
36
E =
a) 1 b) 2 c) 3
d) 6 e) 9
15.Hallar el valor exacto de la suma:
22222222
2003
1
2002
1
1......
4
1
3
1
1
3
1
2
1
1
2
1
1
1
1 ++++++++++++
a)
2002
2001
b)
2003
2002
c)
2003
2001
2002
d)
2003
2002
2002 e)
2003
2002
2001
16.El sistema de numeración en el que se cumple
que : 7
5
41,0 =
, es:
a) quinario b) hexadecimal
c) octal d) nomario e) senario
17.Determinar la suma de:
.......
12x3
1
6x3
1
4x3
1
2x3
1
4
1
2
1
E ++++++=
a) 9 / 8 b) 8 / 9 c) 3 / 8
d) 5 / 7 e) 13 / 5
18.Se tiene una fracción irreductible f tal que
∈
14
11
,
7
5
f . Si dividimos el
intervalo
14
11
,
7
5
en siete partes
iguales, f está en el punto medio del cuartos
intervalo. La suma de los términos de f es:
a) 5 b) 6 c) 7
d) 12 e) 25
19.¿Cuántas fracciones propias de términos
impares consecutivos menores que 0, 95
existen?
a) 18 b) 19 c) 20
d) 21 e) 17
20.El numerador de dos fracciones irreductibles
es 4 y el MCD de sus denominadores es 3, se
sabe también que la suma de dichas
fracciones es 32/ 45. Hallar el producto de
dichas fracciones.
a) 18 / 89 b) 16 / 115 c) 16 / 135
d) 18 / 145 e) 18 / 125
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 03
01.Convertir
( )165,221
∩
a la base 6. La
suma de las cifras de la conversión, es:
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
02.Si : 321........zyx,0
abc
23
= .
El resultado de ( Hallar a + b + c), es:
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
03.Halla la suma de cifras de la parte periódica
del número decimal que genera de fracción :
cifras56
.............37037037
71
a) 14 b) 15 c) 16
d) 17 e) 18
04.Si a, b y c son los enteros que satisfacen la
igualdad c
b
a
b
c.a
+= . La suma de
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Aritmetica 4° 4 b
1. El documento presenta conceptos básicos sobre números enteros como números primos, compuestos, primos entre sí y sus propiedades. 2. Incluye fórmulas para calcular divisores, suma de divisores, suma de inversas de divisores, producto de divisores y la función de Euler. 3. Contiene 26 problemas de práctica relacionados con estos conceptos numéricos.
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- 1. 19 20COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria ARITMÉTICA 4 to Año Secundaria CONJUNTO NUMÉRICO DE APLICACIÓN: + Z + COMPUESTOS PRIMOS UNIDAD SIMPLES ZDEIÓNCLASIFICAC NÚMERO PRIMO ABSOLUTO Son aquellos números que poseen solamente dos divisores que son : la unidad y él mismo. Ejemplo: 2; 3; 5; 7; 11; 11; 13; ….. Divisores de 2: 1; 2 Divisores de 3: 1; 3 NÚMERO COMPUESTO Son aquellos números que poseen más de dos divisores. Ejemplo : 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14 Divisores de 2: 1; 2; 4 Divisores de 6: 1; 2; 3; 6 NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS O PRIMOS ENTRE SI (PESI) Dado un conjunto de números, diremos que son primos entre sí, cuando tienen como único divisor común a la unidad. Ejemplo 1: Sean los números 8 y 15 Divisores de 8: 1 ; 2 ; 4 ; 8 Divisores de 15: 1 ; 3 ; 5 ; 15 Como la unidad es el único divisor común, 8 15 son primos entre sí (PESI). Ejemplo 2: Sean los números 10 , 12 y 15 Divisores de 10 : 1 ; 2 ; 5 ; 10 Divisores de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 Divisores de 15 : 1 ; 3 ; 5 : 15 Como la unidad es el único divisor común 10; 12 y 15 son primos entre sí (PESI) PROPIEDADES 1. La serie de los números primos es limitada. 2. Todo número primo es mayor que 3, siempre es de la forma 1º6 ± ; lo contrario no siempre se cumple. Ejemplos: • 1º65 −= • 1º67 += • 1º611 −= • 1º618 += 3. Todo número consecutivos siempre son primos entre sí. Ejemplo: • 8 y 9 son PESI • 14 ; 15 y 16 son PESI REGLA PARA AVERIGUAR SI UN NÚMERO ES PRIMO. - Se extrae la raíz cuadrada del número, si a raíz cuadrada es exacta, entonces el número no es primo, en caso contrario se sigue el siguiente paso. - Se divide al número entre todos los números primos menores a la raíz cuadrada aproximada. - Si todas las divisiones son inexactas el número será primo, pero si al menos una división es exacta entonces el número no será primo. Ejemplo: Sea el número 131. 1º 4,11131 = 2º Primos menores que 11; 4; 2; 3; 5; 7; 11 º11;º7;º5;º3;º2131 ≠ Como todas las divisiones so inexactas 131 es primo. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA. Todo número compuesto se puede expresar como un producto de factores primos diferentes elevados a ciertos exponentes; esta expresión es única y se llama “descomposición canónica”. Ejemplo: Sea el número 360 360 2 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 Sea: Ndecanónica ciónDescomposi cba C.B.AN = 1. Cantidad de divisores de ( )( )NCDN ( ) ( ) ( ) ( )1c1b1aCD N +++= Ejemplo: 123 5.3.2320 = ( ) ( ) ( ) ( )111213360CD +++= ( ) 24360CD = 2. Suma de divisores ( )NSD Ejemplo 1: Para el número 18, la suma de sus divisores es: C.D 21 3x218 = ( ) ( )21 18 3SDx2SDSD = ( ) ( ) − − − − = − − − − = +++= ++ 13 13 x 12 12 SD 13 13 x 12 12 331x21 1211 18 32 2 S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación...." IV NÚMEROS canónica ciónDescomposi 123 5.3.2360 =
- 2. 19 20COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria ARITMÉTICA 4 to Año Secundaria En general: Sea C.D ......xcxbxaN γβα = .....x 1c 1a 1b 1a 1a 1a SD 111 N − − − − − − = +γ+β−α 3. Suma de inversas de los divisores ( )NSID Ejemplo: Calcule la suma de las inversas de los divisores de 30. Analizando sus divisores Divisores 30,15,10,6,5,3,2,1:30 30 1 15 1 10 1 6 1 5 1 3 1 2 1 1SID30 +++++++= 30 1256101530 ++++++= ( ) 30 SD SID 30 30 = En general : para N ( ) ( ) N SD SID N N = 4. Producto de divisores ( )NPD Ejemplo I. Sea el número 18: Divisores 18;9;6;3;2;118 = PD (18) = 1 x 2 x 3 x 6 x 9 x 18 18 18 18 ( ) 6 2/6 3 18 18 18 18PD = = = Donde 6 es la cantidad de divisores de 18 ( ) ( )18CD 18 18PD = Ejemplo 2 Divisores 81;27;9;3;181 = PD (81) = 1 x 3 x 9 x 27 x 81 81 81 81 ( ) 5 2 5 2 1 2 81 81 81 81PD = = = + Donde 5 es la cantidad de divisores de 81 ( ) ( )81CD 81 81PD = En general: para N ( ) ( )NCD N NPD = 5. Función de Euler ( )( )Nφ Se define para todos los enteros positivos N y representa la cantidad de números enteros positivos menores que N y que son primos relativos (PESI) con N. Algunas veces la función es llamada “Indicador de N” 1. Si N es primo entonces: ( ) 1pp −=φ 2. Si p es número primo y α es un entero positivo entonces: ( )1p1 p p −−α α =φ En general: Sea N descompuesto canónicamente: .....c.b.aN γβα = Entonces: ( ) ( ) ( ) (cc.1bb.1aa 111 N −−=φ −γ−β−α Si : N > 1 entonces la suma de los enteros positivos menores o iguales a N y PESI con N es; ( )N.N 2 1 φ PRÁCTICA DE CLASE 01.¿Cuántos números primos absolutos hay entre 60 y 90? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 02.¿Cuánto s números compuestos hay entre 30 y 55? a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 03.¿Cuántos divisores compuestos hay entre 30 y 55? a) 18 b) 21 c) 24 d) 30 e) 36 04.Hallar la suma de los divisores primos de 3 500. S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 3. 19 20COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria ARITMÉTICA 4 to Año Secundaria a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18 05.¿Cuántos divisores compuestos tiene 12 000? a) 35 b) 40 c) 44 d) 48 e) 30 06.Calcular "K", si el número : K 5.72 tiene 60 divisores. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 07.¿Cuántos divisores simples tiene el número 330? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 08.Calcular "n", si nn 35.16N = tiene 81 divisores. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 09.Hallar el valor de "n" para que el número divisores de n 30N = sea el doble del número de divisores de n 18.15M = . a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 10.¿Cuántos divisores tiene: 810 1414 − ? a) 99 b) 72 c) 648 d) 1448 e) 729 11.Si se sabe que: n 35 tiene 4a divisores. ¿cuántos divisores tendrá : an 3333E −= ? a) 153 b) 232 c) 275 d) 141 e) 294 12.El número ba 7.3.2N = tiene 40 divisores múltiplos de 9 y 30 divisores múltiplos de 2. Hallar a . b a) 10 b) 32 c) 20 d) 24 e) 35 13.Si se cumple que: nn 30.14B15.21A == además CD (A) + CD (B) = 96; hallar el valor de "n" a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14.Si el número n 90N = tiene 84 divisores pares, ¿cuántos divisores múltiplos de 5 tiene N? a) 51 b) 36 c) 54 d) 84 e) 64 15.Si se tiene que : N = 9000 ... 0; ¿cuántos ceros se debe considerar en N para que tenga 239 divisores compuestos? a) 5 b) 3 c) 8 d) 4 e) 9 16.Si N = 21; ¿cuántas veces es necesario multiplicar a N por 22 para que el producto tenga 395 divisores compuestos? a) 8 b) 9 c) 7 d) 6 e) 10 17.Si n 81 tiene K divisores, ¿cuántos divisores tendrá n 5616 ? a) 2K + 1 b) K – 1 c) K + 1 d) 2K – 1 e) K + 2 18.Si 3K22K21K2K2 5555N +++ +++= tiene 156 divisores, calcular 2 K . a) 16 b) 25 c) 36 d) 49 e) 64 19.¿Cuántos divisores debe tener 4n 3.6M = para que su raíz cuadrada tenga 8 divisores? a) 18 b) 16 c) 20 d) 21 e) 24 20.El área de un rectángulo es de 2 m10044 ; si sus lados son números enteros, ¿cuántos terrenos de forma rectangular existen? a) 15 b) 32 c) 27 d) 41 e) 50 21.Hallar un número nn 15.12N = sabiendo que tiene 75 divisores. Dar como respuesta la suma de las cifras de N. a) 18 b) 15 c) 9 d) 27 e) 21 22.¿Cuántas veces habrá que multiplicar por 8 al número 300 para que el producto resultante tenga 126 divisores? a) 9 b) 6 c) 3 d) 5 e) 15 23.Entre los números 180; 756 y 900; ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 360? a) 900 b) 180 c) 756 d) Todos e) Ninguno 24.Si n432 10...10.10.10.10 tiene 1 369 divisores, ¿cuántos términos tiene la serie? a) 8 b) 12 c) 14 d) 13 e) 15 25.Sabiendo que 3 10.321N = , ¿cuántos números no múltiplos de 6 están contenidos exactamente en N? a) 30 b) 40 c) 10 d) 12 e) 5 26.Hallar el valor de "n" sabiendo que 75.15 n tiene (17n + 34) divisores. a) 11 b) 12 c) 13 d)14 e) 15 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 01.Si 0abaaba es producto de n primos consecutivos. Hallar n. a) 2b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 02.Hallar la suma de las cifras del menor número abc , sabiendo que es múltiplo del número ( ) ( ) ( )3c1b2a −−− a) 8 b) 10 c) 12 d) 15 e) 14 03.Si nx48x3x2N yx = , tiene 64 divisores y es °7 , ¿Cuántos de sus divisores no son °12 ? a) 28 b) 36 c) 32 d) 40 e) 64 04.Si a 60 tiene 1374 divisores enteros no primos. Hallar la suma de os divisores no compuestos de n mn a) 10 b) 12 c) 15 d) 14 e)17 05.Si ab es un número primo absoluto, mayor que 40. ¿Cuántos divisores tiene el número 00ababab ? a) 288 b) 250 c) 260 d) 240 e) 100 S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 4. 19 20COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria ARITMÉTICA 4 to Año Secundaria TAREA DOMICILIARIA 01.Si 15.9 n tiene 32 divisores, hallar el valor de "n". a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 02.¿Cuántos divisores de 1 440 son divisibles por 15? a) 10 b) 12 c) 18 d) 21 e) 36 03.¿En que cifra termina el producto de los 87 primeros números primos? a) 1 b) 2 c)3 d) 0 e) 7 04.¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 1 575? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 05.¿Cuántos divisores cuadrados perfectos tiene el número 1 440 000? a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 30 06.Si 1mm 10.15N + = tiene 156 divisores compuestos, hallar el valor de "m" a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2 07.Si el número K 3.42N = tiene 3 divisores menos que 900; ¿cuál es la suma de cifras de N? a) 8 b) 10 c) 12 d) 9 e) 6 08.Si K2K 44 −+ tiene 92 divisores, hallar el valor de "K – 1". a) 3 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 09.Hallar el número total de divisores que tiene el producto de los 3 primeros números capicúas de 2 cifras. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 10.Si ba 51.21M = tiene 105 divisores, hallar "a + b" a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 11.Si ( ) cifras1n2 n 5.00...00004 + , tiene 90 divisores , hallar "n" a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3 12.¿Cuántos rectángulos existen cuya superficie es 2 m6,3 y sus lados están expresados en cantidades enteras de decímetros? a) 5 b) 7 c) 4 d) 3 e) 1 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Conjunto numérico de aplicación : + Ζ Máximo Común Divisor (MCD) El máximo común divisor de un conjunto de dos o más números es aquel número que cumple dos condiciones : - Es divisor común de los números. - Es el mayor posible. Ejemplo: Sean los números 18 y 24 Divisiones comunes: 1 ; 2 ; 3 y 6 ↓ Mayor ∴ MCD (18 ; 24) = 6 Asimismo: MCD (60 ; 40) = 20 ; MCD (32 ; 40) = 8 PROPIEDADES 1. Todos los divisores comunes de varios números, son también divisores de su MCD. 2. Si A y B son PESI, se cumple: MCD (A ; B) = 1 Ejemplo : MCD (8 ; 15) = 1 3. Si ºBA = ; se cumple: MCD (A ; B) = B Ejemplo: MCD (60 ; 15) = 15 MÉTODOS PARA DETERMINAR EL MCD. 1. Por descomposición simultánea: Ejemplo : Sean los números 540 ; 630 y 810 540 – 630 – 810 2 270 315 405 3 90 105 135 3 30 35 45 5 6 7 9 MCD (540 ; 630 ; 810) = 905.3.2 2 = 2. Por descomposición canónica: Cuando los números están descompuestos canónicamente, el MCD está determinado por el producto de los factores primos comunes elevados a sus menores exponentes. Ejemplo : Sean los números: 2283 3464 7.5.3.2B 11.5.3.2A = = Se cumple: MCD (A ; B) = 263 5.3.2 3. Por divisores sucesivas o Algoritmo de Euclides: Sean los números A y B (A > B) q 1 q 2 q 3 q 4 r1 r 2 r 3 o r1 r 2 r 3A B MCD ∴ MCD (A ; B) = 3r Ejemplo : Hallar el MCD de 391 y 323 S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación...." MÁXIMO COMÚN DIVISOR
- 5. 19 20COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria ARITMÉTICA 4 to Año Secundaria 1 4 1 3 68 51 17 o 68 51 17391 323 ∴ MCD (391 ; 323) = 17 PROPIEDADES 1. Sean los números A y B Donde : MCD (A ; B) = d Se cumple: A = dp B = dp • p y q son PESI 2. Si MCD (A ; B) = d = = n d n B ; n A MCD dn)Bn;An(MCD Entonces Ejemplo : Si MCD (14A ; 21B) = 350 ÷ 7 MCD (2A ; 3B) = 50 x 4 MCD (8 A ; 12B) = 200 3. Se cumple: MCD (AK ; BK) = MCD (A ; B) . K Ejemplo: MCD (8 K ; 12 K) = 4 K MCD (15 K ; 35 K) = 5 K MCD (8 K ; 15 K) = K 4. Sean los números A ; B ; C y D Donde : MCD (A ; B) = 1d MCD (C ; D) = 2d Entonces : MCD (A; B; C; D) = MCD ( )21 d;d MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El MCM de un conjunto de números es le menor de los múltiplos comunes de varios números. Sean los números: • 12: 12, 24, 36 , 48, 60, 72 , 84, 96, 108 , 120 … • 18: 18, 36 , 54, 72 , 90 , 108 , 126, 144 … Múltiplos ∴ El MCM (12 ; 18) = 36 Obs.: Múltiplos comunes : 36 , 72 , 108 … Múltiplos de … Propiedad: Los múltiplos comunes de varios números son múltiplos de su MCM. Problema: Si el MCM (A , B) = 36, ¿Cuántos múltiplos comunes positivos menores que 180 tienen A y B? Solución: Cálculo del MCM: 1. Por descomposición simultánea Sean los números 360; 300 y 200 360 - 300 - 200 2 180 150 100 2 90 75 50 2 45 75 25 3 15 25 25 3 5 25 25 5 1 5 5 5 1 1 1 2. Por descomposición canónica Pasos: - Se descomponen los números canónicamente, en factores primos. - El MCM estará dado por los factores primos comunes y no comunes elevados sus mayores exponentes. Ejemplo: Sean los números 360; 300 y 200 • 532360 23 = • 22 5.3.2300 = • 23 5.2200 = El MCM : 8001532 223 = Problema : ¿Cuántos divisores tiene el MCM de 45 30y20 ? Solución: Propiedades: 1. Para 2 números A y B que sean P.E.S.I. El MCD será siempre la unidad y el MCM será el producto de los menores. Para 2 números A y B, P.E.S.I. EL MCD (A , B) = 1 El MCM (A , B) = A . B 2. Para 2 números A y B se cumple siempre que el producto del MCD será igual al producto de los números. Para 2 números A y B MCD (A , B) . MCM (A , B) = A . B 3. Si al conjunto de números se le multiplica o divide por cierto factor su MCM también queda multiplicado o dividido por el mismo factor. Si MCM (A , B) = P MCM (kA , kB) = kP k P k B ; k A MCM = 4. Si el MCM de 2 números es “n” y el MCM de otros 2 números es “m” entonces el MCM de los números será el MCM de n y m. Si MCM (A , B) = n ; y MCM (C , D) = m ⇒ MCM (A , B , C , D) = MCM (n,m) 5. Para 2 números A y B Si MCD (A , B) = n MCM (A , B) = m Se cumple : A = np B = nq m = npq ⇒ A . B = nm PRÁCTICA DE CLASE 01.¿Cuántos divisores tiene el MCM de 1 008 y 2 100? S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación...." ∴MCM : 8001 223 532
- 6. 19 20COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria ARITMÉTICA 4 to Año Secundaria a) 45 b) 90 c) 135 d) 80 e) 60 02.Hallar el MCD de 1 147 y 713 a) 31 b) 21 c) 23 d) 37 e) 41 03.Sean A y B dos números primos entre sí. ¿cuál será su MCD y cual su MCM? a) No se puede saber b) A – B; A + B c) 1; A . B d) AB ; 1 e) A + B; A – B 04.¿Cuál es el número de divisores del MCD e1 32 120 y 40 84 ? a) 1 216 b) 1 881 c) 948 d) 2 560 e) 2 673 05.Dar la suma de los residuos al calcular el MCD por el algoritmo de Euclides de 1 245 y 540. a) 315 b) 255 c) 145 d) 165 e) 265 06.En la determinación del MCD de 2 números mediante el algoritmo de Euclides, se obtuvieron los siguientes cocientes sucesivos: 1; 3; 2 y 4; si el MCD es 7, dar el mayor. a) 280 b) 308 c) 140 d) 217 e) 252 07.La suma de 2 números es 12 000. Determinar el mayor de ellos sabiendo que los cocientes obtenidos al calcular el MCD por el algoritmo de Euclides son: 3; 1; 4 y 5 a) 9 180 b) 9 846 c) 9 882 d) 9 486 e) 9 504 08.Se desea dividir 3 barras de acero de longitudes 165; 225 y 345 cm; en trozos de igual longitud. ¿cuál es el menor número de trozos que se puede obtener? a) 147 b) 44 c) N.a. d) 40 e) 55 09.En un patio de forma cuadrada se desean acomodar losetas de 15 x 24 cm, de tal manera que no sobre ni falte espacio. El menor número de losetas que se requieren es: a) 41 b) 120 c) 90 d) 60 e) N.a. 10.Tres móviles parten juntos del mismo punto de partida de un círculo cerrado de 3 600 m de longitud. Si las velocidades de ellos son 60; 36 y 20 m/s respectivamente, ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que vuelvan a pasar juntos por el punto de partida ? a) 18 min. b) 10 min. c) 15 min. d) 12 min. e) N.a. 11.Hallar el mayor valor de "p" que cumple con la condición: 13p421y53p753 −°=−°= . Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 9 12.Si tenemos que llenar 4 cilindros de capacidades: 72; 24; 56 120 galones respectivamente, ¿cuál es la capacidad del balde que puede usarse para llenarlos exactamente si está comprendido entre 2 y 8 galones? a) 7 b) 3 c) 6 d) 4 e) 5 13.Un terreno de forma rectangular cuyos lados miden 144 m y 252 m está sembrado con árboles equidistantes y separados lo más posible. Si se observa que hay un árbol en cada vértice y uno en el centro del terreno, ¿cuántos árboles hay en total? a) 135 b) 120 c) 56 d) 112 e) 40 14."N" es el mayor número natural tal que al dividir 1 572 y 670 entre "N" deja como residuo 36 y 30 respectivamente . Calcular la suma de las cifras de "N" a) 14 b) 10 c) 16 d) 11 e) 12 15.A un terreno de forma rectangular de 1 848 m de largo y 1 056 m de ancho se quiere cercar con alambres sujetos a postes equidistantes, de manera que disten de 20 y 30 m y que corresponda un poste a cada vértice y otro en cada uno de los puntos medios de los lados del rectángulo. Calcular el distanciamiento entre dos postes consecutivos y el número de postes que necesitan. a) 33 y 88 b) 22 y 132 c) 33 y 178 d) 22 y 264 e) N.a. 16.Se trata de llenar una caja de divisiones: 2, 16 x 1; 26 x 0, 72 m con cubitos que tengan el mayor volumen posible. Hallar cuántos cubitos son necesarios. a) 45 b) 320 c) 84 d) 336 e) 672 17.Hallar el valor de "N" si el MCM de los números: 45.12A n = y n 45.12B = tiene 450 divisores. a) 2 b) 6 c) 3 d) 4 e) 5 18.¿Cuántas parejas de números cumplen que su MCD sea 9 y su suma ea 126? a) 4 b) 5 c) 3 d) 1 e) 2 19.Si : cbamn5abc =− , dar "b" si el MCD ( ) 18cba;abc = a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 20.Hallar el producto de 2 números, cuya suma es 325, tal que la suma de su MCM y su MCD sea 5 225. a) 20 600 b) 26 100 c) 18 000 d) 28 900 e) 19 600 EJERCICIOS PROPUESTOS N° 02 01.El MCM de dos números es 15120 y los cocientes sucesivos obtenidos por el algoritmo de Euclides en el cálculo del MCD son 1 , 1, 6 y 2. El mayor de los números es: a) 540 b) 460 c) 860 d) 1008 e) 1260 02.Si MCM ( ) ( )( ) 321b1a,ab =++ , calcular a + b a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 7. 19 20COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria ARITMÉTICA 4 to Año Secundaria 03.Una señora va al mercado y compra chirimoyas, al contar de 3 en 3, le sobran 2, al contar de 5 en 5 le sobran 4; y al contar de 6 en 6 le sobran 5 ¿cuál es el mínimo número de chirimoyas? a) 59 b) 89 c) 119 d) 14 e) 29 04.Se tiene ladrillos de dimensiones 2,0 ; 3,0 y 0,6 unidades. ¿Cuántos ladrillos son necesarios para formar un cubo del menor volumen posible? a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 100 05.Tres obreros tienen que colocar losetas en un área de 2 m535 y demoran 30; 36 y 42 minutos por metro cuadrado respectivamente. ¿Cuántas horas como mínimo tardarán en culminar el trabajo, cubriendo cada uno un número exacto de metros cuadrados? a) 42 b) 84 c) 96 d) 105 e) 140 TAREA DOMICILIARIA 01.Se trata de llenar 3 cilindros de capacidades 120; 210 y 105 litros respectivamente. ¿Cuál es la capacidad del balde que puede usarse para llenarlos exactamente si está comprendido entre 4 y 12? a) 8 b) 6 c) 7 d) 5 e) 9 02.¿Cuál es le menor número de losetas de 39 x 18 cm necesarios para construir un cuadrado? a) 78 b) 148 c) 153 d) 184 e) 189 03.Para formar un cubo compacto, ¿cuántos ladrillos como el mostrado se necesitan como mínimo? c b a a = 4 b = 6 c = 18 a) 648 b) 864 c) 486 d) 468 e) 108 04.Hallar "n", si el MCD (A ; B) = 6 000, siendo : nn 30.20B30.20A == a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 05.Hallar "n", si MCM (A ; B) = 30 375 siendo: nn 15.45By45.15A == a) 3 b) 2 c) 5 d) 1 e) 4 06.Hallar el MCD de 1 517 y 481. a) 81 b) 37 c) 23 d) 31 e) 29 07.Hallar dos números, sabiendo que su producto es igual a 8 veces su MCM y qe su suma es igual a 6 veces su MCD. a) 6 y 30 b) 8 y 30 c) 8 y 40 d) 6 y 48 e) 8 y 20 08.¿Cuántos números de 3 cifras al dividirlos entre 6; 7 ó 15 no dejan residuo? a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 1 09.¿Cuántos divisores comunes poseen: 7.6.2A 43 = y 14.2.3B 54 = ? a) 24 b) 70 c) 36 d) 52 e) 48 10.El número de páginas de un libro está comprendido entre 2 000 y 5 000; si se cuentan sus páginas de 5 en 5 sobran 3, si de 7 en 7 sobran 5, si de 8 en 8 sobran 6, pero si se cuentan de 9 en 9 no sobra ninguna. Hallar el número de páginas del libro. a) 3 078 b) 4 398 c) 3 062 d) 3 004 e) 3 6 18 NÚMEROS FRACCIONARIOS FRACCIÓN Se denomina fracción a todo par de números enteros dados en un cierto orden, de manera que el primero se llama (numerador) el segundo (denominador) y éste sea distinto de cero. Sea la fracción a/b que también se puede "b" el denominador. En otras palabras, una fracción nos indica una parte que se toma de un todo dividido en partes iguales. Así por ejemplo la fracción 5/12 nos indica que se han considerado 5 partes de un total de 12 partes iguales en las que se ha dividido el total. Ejemplo: Si dividimos un total en 25 partes iguales, ¿qué fracción representan las partes sombreadas? CLASIFICACIÓN I. De acuerdo a la relación entre sus términos a) Propia Toda fracción cuyo valor es menor que la unidad y mayor que cero. Esto sucede cuando el numerador es menor que el denominador. Ejemplos: 4/7 ; 6/13 ; 89/ 237 ; 127 / 32544 S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación...." NÚMEROS FRACCIONARIOS
- 8. 19 20COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria ARITMÉTICA 4 to Año Secundaria b) Impropia Toda fracción cuyo valor es mayor que uno (1). Esto sucede cuando el numerador es mayor que el denominador. Ejemplos: 15/8 ; 13/5 ; 65 / 27 ; 3 227 /119 II. De acuerdo al denominador de la fracción a) Fracción ordinaria o común Toda fracción cuyo denominador es diferente a una potencia de 10. Ejemplos: 17/23; 34/97; 11/56; 457/ 129 b) Fracción decimal Toda fracción cuyo denominador es una potencia de 10. Ejemplos: 77/ 100; 43/1 000; 21/ 10 000; 1/100 000 III. De acuerdo a los denominadores de un grupo de fracciones a) Fracciones homogéneas Es aquel grupo de fracciones que poseen el mismo denominador. Ejemplos: 6 / 17 ; 25 / 17 ; 11 / 17 ; 3 456 / 11 b) Fracciones heterogéneas Es aquel grupo de fracciones cuyos denominadores son diferentes. Ejemplos: 9 / 15 ; 65 / 128 ; 31 / 11 ; 3 / 4 OTRAS FRACCIONES a) Fracción equivalente: Una fracción equivalente es aquella fracción que tiene el mismo valor que otra más sus términos son diferentes. b) Fracción reductible: Toda fracción cuyos términos comparten divisores y permiten por lo tanto un proceso de simplificación. 15 8 45 24 90 48 180 96 === c) Fracción irreductible: Toda fracción cuyos términos son primos entre sí, es decir el único factor común entre los términos, es la unidad. 71 35 donde 35 y 71 son PESI NÚMEROS DECIMALES Número decimal Es la expresión que se obtiene al dividir el numerador de la fracción entre el correspondiente denominador. Ejemplo: 25,3 4 13 = 4,1 25 35 = ...2222,3 9 29 = Número decimal exacto Se origina cuando el denominador de la fracción generatriz está compuesta por factores 2, por factores 5 ó por ambos. Ejemplo: 875,1 8 15 = 16 19 = 1,1875 Número decimal inexacto periódico puro Se origina cuando el denominador de la fracción generatriz no contiene factores 2 ni 5. Ejemplo: 11 7 = ∩ 63,0 9 23 = 5,2 Número decimal inexacto periódico mixto Se origina cuando el denominador de la fracción generatriz está compuesta por factores 2 y/o 5 y al menos un factor primo distinto a estos. Ejemplo: ∩ = 16,3 6 19 ∩ = 62,0 45 28 ∩ = 43,1 30 43 PRÁCTICA DE CLASE 01.La cantidad de fracciones propias e irreductibles de denominador 25 es: a) 18 b) 9 c) 20 d) 21 e) 22 02.¿cuántas fracciones de denominador 80 están comprendidas entre 1/3 y 7/4? a) 111 b) 112 c) 113 d) 114 e) 115 03.Renato ingresó al hipódromo y al apostar por primera vez pierde 1/3 de su dinero; al apostar por segunda vez, gana 3/4 de lo que le quedaba y finalmente decide apostar el dinero que le quedaba y pierde 1/2. Si se retiró a su casa con $ 42, el dinero con el que inicialmente jugó es: a) 70 b) 71 c) 72 d) 73 e) 74 04.Si .. 125 3 343 3 25 2 49 2 5 3 7 2 E ++++++= , tiene 11 sumandos, el resultado es: a) 1 b) 1, 09 c) 1, 083 d) 1, 1 e) 1, 087 S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 9. 19 20COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria ARITMÉTICA 4 to Año Secundaria 05.Si: 0 16x15 1 .... 4x3 1 3x2 1 2x1 1 =++++ , abcd. Hallar a + b + c + d: a) 24 b) 18 c) 29 d) 14 e) 21 06.Si la fracción a / b es irreductible, entonces algún divisor común del numerador y denominador de la fracción (2 a + b) / a (a + b) es: a) 1 y 2 b) 2 y 3 c) 11 y 1 d) sólo 2 e) sólo 1 07.Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ∀ a ≠ b exista un X ∈ Z, que pertenece al intervalo [a, b] II. La suma de dos números es otro número irracional. III. a = 3, 25251252253 ........ es racional. a) FFF b) FVF c) FVV d) FFV e) VVV 08.La suma de las cifras del denominador de la fracción equivalente a 29/ 41, cuyo cuadrado de la suma de sus términos es 240100, es: a) 19 b) 15 c) 17 d) 21 e) 20 09.¿Cuántas fracciones irreductible de denominador 36 están entre 2/ 21 y 5/ 21? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10.Si: 0 cd ab = , efghi y 58cdab =+ , entonces (a + b + c + d + e) es : a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 11.Si: 96 678,0edcba,0 = , entonces (a + b + c + d + e) es: a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 12.¿Cuántas cifras no periódicas y periódicas tiene la expresión decimal de la fracción 11x5x13x2 14 f 65 = ? a) 6, 6 b) 4, 6 c) 4, 5 d) 6, 10 e) 6, 12 13.¿Cuantas cifras tiene la parte periódica del número decimal originado por la fracción irreductible x271x11x3 k f 3 = ? a) 5 b) 10 c) 12 d) 18 e) 30 14.Hallar la suma las de cifras del periodo generado por la fracción: cifrask3 148148......148148 36 E = a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 9 15.Hallar el valor exacto de la suma: 22222222 2003 1 2002 1 1...... 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 ++++++++++++ a) 2002 2001 b) 2003 2002 c) 2003 2001 2002 d) 2003 2002 2002 e) 2003 2002 2001 16.El sistema de numeración en el que se cumple que : 7 5 41,0 = , es: a) quinario b) hexadecimal c) octal d) nomario e) senario 17.Determinar la suma de: ....... 12x3 1 6x3 1 4x3 1 2x3 1 4 1 2 1 E ++++++= a) 9 / 8 b) 8 / 9 c) 3 / 8 d) 5 / 7 e) 13 / 5 18.Se tiene una fracción irreductible f tal que ∈ 14 11 , 7 5 f . Si dividimos el intervalo 14 11 , 7 5 en siete partes iguales, f está en el punto medio del cuartos intervalo. La suma de los términos de f es: a) 5 b) 6 c) 7 d) 12 e) 25 19.¿Cuántas fracciones propias de términos impares consecutivos menores que 0, 95 existen? a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 17 20.El numerador de dos fracciones irreductibles es 4 y el MCD de sus denominadores es 3, se sabe también que la suma de dichas fracciones es 32/ 45. Hallar el producto de dichas fracciones. a) 18 / 89 b) 16 / 115 c) 16 / 135 d) 18 / 145 e) 18 / 125 EJERCICIOS PROPUESTOS N° 03 01.Convertir ( )165,221 ∩ a la base 6. La suma de las cifras de la conversión, es: a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 02.Si : 321........zyx,0 abc 23 = . El resultado de ( Hallar a + b + c), es: a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 03.Halla la suma de cifras de la parte periódica del número decimal que genera de fracción : cifras56 .............37037037 71 a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 04.Si a, b y c son los enteros que satisfacen la igualdad c b a b c.a += . La suma de S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 10. 19 20COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria ARITMÉTICA 4 to Año Secundaria los primeros 20 enteros positivos de la forma (a – b) , es: a) 420 b) 210 c) 105 d) 315 e) 525 05.Si { }+ ∈<=+== Zkdonde,1000k33ba;925,0b/a/b/aA El cardinal de A es: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6 TAREA DOMICILIARIA 01.Si cba abc es equivalente a 17 5 . El valor de (a + b + c) es: a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 02.Si: 11 m a5,0 = ∩ calcule : m – a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 03.Calcule : a + b, si : 96,0 3 b 11 a =+ a) 8 b) 9 c) 11 d) 7 e) 15 04.¿cuál es la última cifra de período de ( ) 83 3 − ? a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 1 05.Si abcdef,0 x 2 = y defabc,0 x 5 = y 429abcdef =− . Calcule x. a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 4 06.Si la fracción generatriz ab 1 genera el número decimal 0, 0 (a – 1) b, ¿cuál es el valor de a + b? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 07.Calcule un número que divido entre 37 origina el decimal : ( )a1a 2 1a ,0 + + a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 08.Se tiene la fracción ∩= a,0 b a de tal manera que se cumpla: ef,0 2b 2a = + + , conociendo que a + 2 = e + f. Calcule la fracción b a a) 9 4 b) 5 3 c) 9 7 d) 2 7 e) 9 2 09.Si: ∩ = ++ 1,4 abc,0 ca,0bc,0ab,0 calcule el máximo valor de: M = 0, abc + 0, cab + 0, bca a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. ¿Cuántas cifras tiene en la parte no periódica la fracción: !10 210 ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 SOLUCIONARIO Nº Ejercicios Propuestos 01 02 03 01. D D D 02. C B C 03. A C E 04. D D B 05. A E B GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003 S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."