1) El documento habla sobre la divisibilidad de números enteros, definiendo conceptos como divisores, múltiplos y residuos. 2) Explica criterios para determinar si un número es divisible por 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13 y otros números usando las cifras o sumas de cifras del número. 3) Indica que si un número es múltiplo de varios números, será múltiplo del menor número que los contenga a todos.

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DIVISIBILIDAD
I. Definición.- Un número entero A es
divisible entre otro número entero positivo
“B”, si al dividir “A” entre “B” la división es
entera y exacta.
Ejemplo: ¿65 será divisible entre 13?
Solución:
Si, porque al dividir 65 entre 13 la división es
exacta.
65 13
0 5
Como:
Luego se afirma que: “65” es divisible entre
“13” (“13” es divisor de “65”)
Además 65 = 13 x 5, luego se afirma que:
“65” es múltiplo de “13” (“13” es factor de
“65”)
En general: Sean A  Z, B  Z+
, k  Z
A B
0 k
Como:
Luego se afirma que: “A” es divisible entre
“B” (“B” es divisor de “A”)
Además A = B (K), luego se afirma que:
Módulo
“A” es múltiplo de “B”
“B” es factor de “A”
Notación Si “A” es múltiplo de “B”
Ejemplo:
24 =
o
4 , porque 24 = 4 x 6
23 =
o
8 , porque – 32 = 8 x – 4
23 =
o
23 , porque 23 = 23 x 1
0 =
o
15 , porque 0 = 15 x 0
5a =
o
5 , si a  Z
a x b =
o
a =
o
b , si a y b  Z+
Conclusiones
1.- Todo número entero positivo será múltiplo
de sí mismo. B =
o
B ; B  Z+
2.- El cero es múltiplo de todo el número
entero positivo. 0 =
o
k ; k  Z+
Si “A” no es divisible entre “B”
Ejemplo:
¿30 será divisible entre 7?
Solución:
No, porque al dividir 30 entre 7 la división es
inexacta, esto es:
- Por defecto - Por exceso
30 7
r = 2 4
30 7
r = 5 5e
30 = 7(4) + 2
7
30 = 7(5) - 5
7
Es decir:
30 = 7+ 2 = 7 - 5
r (+) r e
d=7
TEMA ARITMÉTICA
DIVISIBILIDAD GRUPO 02
FECHA 01/03/16 TURNO NOCHE AULA 201 SEMANA 02
A =
o
B = B(K) =
o
B

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En general:
Si: “A” no es divisible entre “B”:
Defecto Exceso
51 8
3 6
𝐴 = 𝐵(𝐾) + 𝑟
51 8
3 6
𝐴 = 𝐵(𝐾 + 1)– er
 Nota:
r + er = B
Ejemplos:
1.- A =
oo
713613 
2.- B = 5727
oo

3.- C =
o
9 – 3 =
o
9 + 6
II. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
Las operaciones aritméticas respeto a un
mismo módulo
A. Adición
25 + 15 + 35 = 75
o
5
o
5
o
5
o
5
En general:
B. Sustracción
48 - 12 = 36
o
4
o
4
o
4
En general:
C. Multiplicación
25 x 7 = 175
o
5 x 7 =
o
5
En general:
; k  Z
D. Potenciación
6
2
= 36
2 o
3(3)
o
=
En general:
 
oo
r
mm  ; r  Z+
Nota:
1.-
 
6727373727
o
7
o
o
7
o
2
o
7
ooo
















































x
673727
ooo
+















+
2.-
892949
ooo

















En general:
3.-  38x58x28x44253
o
8
o
8
2
o
8
3
)8(  
 4253(8) =
o
8 +3
3152(6) =
o
6 +2
A =
o
B + r =
o
B – er
o
n +
o
n +
o
n +
o
n =
o
n
o
m -
o
m =
o
m
o
n (k) =
o
n
cxbxancnbnan
oooo





























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En general:
Si A = ,B
o
entonces, “A” es múltiplo de
todos los divisores de “B”
Ejemplo:
• N =
o
21 = 21(k)
divisores 21 = 1, 3, 7, 21

o
1N =
N = 1(21k)=3(7k)=7(3k)=21(k)
  
o
3
o
7
o
21
• 60 =
o
15
divisores 15 = 1, 3, 5, 15
 60 =
oooo
15531 
III. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
A. Por 2n
y 5n
.- Un número es divisible por 2n
o 5 n
, si y sólo si el bloque formado por sus “n”
últimas cifras es divisible por 2n
o 5n
respectivamente, en caso contrario el bloque
nos dará el residuo.
B. Por 3 ó 9.- Un número es divisible por 3 ó
9, si y sólo si la suma de sus cifras es un
o
3
ó
o
9 respectivamente. En caso contrario nos
dará el residuo.
Ejemplo:
o
93456  (Suma de cifras es 18 =
o
9 )
5557 =
o
9 +4 (suma de cifras es 22=
o
9 + 4)
En general:
oo
oo
3edcba3NSerá*
9edcba9NSerá*
abcdeN



Nota: Todo número que sea
o
9 será
o
3
C. Por 11.- Un número es divisible por 11, si
y sólo si la suma de sus cifras de lugares
impares menos la suma de cifras de lugares
pares contabilizando de derecha a izquierda
nos da un múltiplo de 11, en caso contrario
nos dará el residuo.
Ejemplo:
*   
o
11
o
)31()753(1173513 

o
1173513 
*   
o
11
o
)0a()47a(11aa704 

o
11aa407 
D. Por 7.- Un número es divisible por 7, si y
sólo si al multiplicar sus cifras por las
constantes 1, 3, 2, -1, - 3, - 2, 1, 3, 2, -1, - 3, -
2, ... a partir de la cifra de menor orden y
sumar los resultados se obtiene una cantidad
múltiplo de 7, en caso contrario nos dará el
residuo.
fnabcdef
o
)n( 

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Ejemplo:
* 281446
 

132132
o
70224241212 
o
7644182 
* 935211
 

312312
o
7219910232 
o
7112539 
* 24574
 
13213

57521210712
o

5747542
o

E. Por 13.- Un número es divisible por 13 si
al multiplicar sus cifras por las constantes 1,
- 3, - 4, - 1, 3, 4, 1, - 3, - 4, - 1... a partir de la
cifra de menor orden y sumar los resultados
se obtiene una cantidad múltiplo de 13, en
caso contrario nos dará el residuo.
Ejemplos:
* 0182364
  

1143143
o
1300632112243 
o
133641820 
* 230527
  

114343
o
13132153218 
o
13273052 
* 4270163
  

1143143
813842829241
o

8131632704
o

F. Por 33 ó 99.- Un número es divisible por
33 ó 99, si al descomponer el número en
bloques de dos cifras a partir del menor
orden y sumarles el resultado sea múltiplo
de 33 ó 99.
Ejemplos:
* 303171
30 + 31 + 71 = 132 =
o
33
o
33303171 
* 18084
1 + 80 + 84 = 165 =
o
33
o
3318084 
* 575487
57 + 54 +43 = 99 =
o
99
o
99575487
* 227618
22 + 76 + 18 = 116 =
o
33 + 17
1733227618
o

Nota: Si un número es múltiplo entre varios
módulos, entonces, será múltiplo del menor
número que contenga a dichos módulos.

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Ejemplo:
1








o
o
11N
7N
o
77N
Zk;)k(77)k)(11x7(N


2.








o
o
6R
4R
o
12R
)k(12)k)(3x2x2(R


3












o
o
o
7P
8P
6P
)168(P
)k(168)k)(7x4x2x3(P
o


En general:












o
o
o
cA
bA
aA
"c"y"b","a"contiene
quenúmeromenorelesdonde,nA
o

Principio de Arquímedes
Si:
A xB = n
o
donde “A” y “n” no tienen divisores en común,
aparte de la unidad, entonces:
o
nB 
Ejemplos:
1.
o
13Nx5  2.
o
21Ax8 

o
13N  
o
21A 
20 x K = 36
o
5 x K = 9
o
3. 18 x M = 42
o
3 x M = 7
o
4.
N = 13 + 6
o
3 (N - 2) = 13
o
(N -2)= 13
o
Nota
Forma práctica:
3N = 13+ 6
o
N = 13 + 2
o 33
N = 13 + 2
o
5.
.
._ .
._
6. 89Ax2
o
 7. 1013313R5
oo

 49A
o
  213R
o

8. 17Nx4
o
 9. 58Ax7
o

87Nx4
o
 218Ax7
o

 27N
o
  38A
o

10. 1824K6
o
 11. 2030N5
o

34K
o
 46N
o

PROBLEMAS RESUELTOS
01. Si: 5aa1 =
o
3 . Hallar el valor máximo
de “a”:
Solución.
Aplicando el criterio de divisibilidad por
3:
1 + a + a + 5 =
o
3
6 + 2a =
o
3
Si: 6 =
o
3
Entonces:
o
3 + 2a =
o
3
Por principio de la divisibilidad:
2a =
o
3  a =







9
6
3
0
El valor máximo será: 9

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02. Hallar el máximo valor que puede tomar
(a + b) si: b0a =
o
3
Solución:
Aplicando el criterio de divisibilidad por 3:
a + 0 + b =
o
3 entonces a + b =
o
3
Por principio de la divisibilidad: a + b =
o
3
Por tanto los valores posibles para a + b, son:












18
15
12
9
6
3
0
ba
El valor máximo será: 18
03. Determinar el menor valor que puede ser
“a”, sabiendo que 42553a es divisible
entre 4
Solución:
Aplicando el criterio de divisibilidad por
4: a3 =
o
4
Luego, los valores que puede asumir “a” son:
a3 =
o
4




6
2
a
El menor valor que puede asumir “a” es: 2
04. Hallar “a” sabiendo que a42553 es
divisible entre 8
Solución:
Aplicando el criterio de divisibilidad por 8:
o
8a)3(2)5(4 
o
8a620 
o
8a26 
Reduciendo la expresión anterior, tenemos:
o
8a2  Luego, el único valor para “a”
que cumple con la igualdad es 6.
05.Hallar “a” si 2aa274 es divisible entre 8
Solución:
Aplicando el mismo criterio que el
problema anterior:

82)a(2)a(4 
Reduciendo la expresión:

82a6 
Luego, los valores de "a" son:
a = {1, 5, 9}
06.Hallar “a” sabiendo que 6aaa2 es divisible
entre 11
Solución:
Aplicando el criterio de divisibilidad por
11:
(2 + a + 6) - ( a + a ) =
o
11
8 - a =
o
11
Luego, para que el número dado sea divisible
por 11, “a” debe ser 8
07.Hallar “a” sabiendo que 7a2a4 es divisible
entre 9
Solución:
Aplicando el criterio de divisibilidad por 9:
o
97a2a4 
o
913a2 
Reduciendo:
o
94a2 
En la igualdad el valor de “a” debe ser 7 para
que cumpla la igualdad

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08. Hallar “a” sabiendo que 2a5aa4 es divisible
entre 7
Solución:
Aplicando el criterio de divisibilidad por 7:
o
7)8a3a()10a32( 
o
7)8a4()12a3( 
Reduciendo:
o
7a4 
En la igualdad el valor de “a” debe ser 4 para
que cumpla la igualdad
09. ¿Cuál es la suma de las cifras que deben
sustituir a 2 y 3 del número 52 103 para que
sea divisible entre 72?
Solución:
Del enunciado:
72y10x5 
o
8o
o
9
Módulo (8):
y10 =
o
8  100 + y =
o
8  y = 4
Módulo (9):
104x5 =
o
9  10 + x =
o
9  x = 8
Luego: x + y = 12
10. Sabiendo que: b – c = 6 y que:
4abc =
o
8
Hallar el residuo de dividir accb entre 8.
Solución:
Aplicando el criterio de divisibilidad por 8:
4bc =
o
8
2c8b
3,2,1,0c
9,8,7,6b6cb 





Luego.
accb=
o
8 + ccb =
o
8 + 228 =
o
8 + 4
 Residuo: 4
PRÁCTICA DE CLASE
01. Determine la suma de los 24 primeros
múltiplos enteros positivos de 4.
a) 1240 b) 1200 c) 1280
d) 1260 e) 1120
02. Si:
o
4A18  . Entonces “A”
necesariamente es:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) N.a.
03. Si: 2a2 es divisible por 3. Hallar la
suma de todos los valores posibles de “a”.
a) 18 b) 1 c) 16 d) 14 e) 17
04. ¿Qué número es múltiplo de 7?
a) 3568 b) 4679 c) 644182
d) 399747 e) N.a.
05. ¿Qué número es múltiplo de 9?
a) 3455 b) 3456 c) 3457
d) 6762 e) N.a.
06. Hallar: a + b + c, si:
ooo
9c6c141182b19726a3 
a) 14 b) 16 c) 17
d) 18 e) Más de 19
07.¿Cuántos valores puede tomar x si x1x0x4
es divisible por 13
a) 2 b) 4 c) 6 d) 9 e) 10
08. El número; b2aba es divisible por 99
Hallar a + b
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

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09. El número xx7y49 es divisible por 9 y 11 a
la vez. Hallar x + 3y
a) 4 b) 6 c) 22 d) 21 e) 11
10.Calcular “n” si 8n2n3 es múltiplo de 9
a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 3
11.El número b2713a4 es divisible por 72.
Determinar a + b:
a) 10 b) 13 c) 8 d) 11 e) 9
12.Dar “a” si 834a7 es divisible entre 11.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
13.Hallar “a” si 2a3a45 es múltiplo de 7.
a) 2 b) 4 c) 5 d) 7 e) 9
14.Hallar. a + b; si :
o
88b547a 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
15.Si :
o
72b10a5  ; hallar : a . b
a) 42 b) 32 c) 24 d) 36 e) 48
16.Sabiendo que el numeral x y97 es
múltiplo de 88, hallar x - y.
a) 0 b) 2 c) 1 d) 4 e) - 2
17.Hallar x + y, sabiendo que el numeral
y27x59 es divisible por 72
a) 6 b) 4 c) 9 d) 8 e) 7
18.Calcular “n” si 8n2n3 es múltiplo de 7
a) 6 b) 2 c) 8 d) 5 e) 3
19.Si el número 13b54a3 es divisible por 9 y
se sabe además que a - b = 3. Hallar: a. b
a) 33 b) 28 c) 44 d) 12 e) 18
20. El número b2713a4 es divisible por 72.
Determinar 2a + b
a) 10 b) 13 c) 8 d) 14 e) 9
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03
01.Determinar la suma de los 20 primeros
múltiplos enteros positivos de 4.
a) 1120 b) 1050 c) 1480
d) 1000 e) 1500
02. Si:  5a17 . Entonces "a" necesariamente
es:
a) 0 b) 4 c) 5 d) "a" y "c" e) N.A.
03. Si: 3a3 es divisible por 3. Hallar la
suma de todos los valores posibles de "a".
a) 18 b) 15 c) 14 d) 17 e) 13
04. ¿Qué número es múltiplo de 6?
a) 3501 b) 3502 c) 3407
d) 3704 e) 4242
05. ¿Qué número es múltiplo de 7?
a) 6538 b) 6497 c) 464120
d) 397974 e) N.a.
06. Hallar: a + b + c, si:
 315a2  793b20  11c7c25
(a es par; b  0)
a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 21

9. CICLO
PRE
AREA DE
MATEMATICA 2016
MATEMÁTICA
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email: Jacobi.net@hotmail.com
999685938 991340811 5481817
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07. ¿Cuántos valores puede tomar "x" si:
 9x1x0x5
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
08. El número b2aba es divisible por 33, (a
es par). Hallar a + b:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
09. El número: y2xyx es divisible por 99.
Hallar 2x – 3y.
a) 1 b) – 14 c) – 12 d) 12 e) 14
10.El número bb9a58 es divisible por 9 y 11
a la vez. Hallar 3a – b.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 9
11.Si: 8ab  y  5ba . Hallar (a + b):
a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
12.Si:  72b671a3 . Calcular a.b
a) 22 b) 32 c) 16 d) 14 e) 28
13.Hallar "b". Si  4)6b(abb
a) 10 b) 11 c) 6 d) 13 e) 14
14.¿Qué número es múltiplo de 11?
a) 73513 b) 63412 c) 789471
d) 117016 e) N.A.
15.Hallar "a", si  7a2853a
a) 9 b) 2 c) 5 d) 7 e) 4
16.Hallar ab , sabiendo que el número de la
forma a26b3a2 es divisible entre 72.
a) 64 b) 24 c) 26 d) 46 e) 36
17.Hallar ab si se cumple que a2baa8 es
divisible entre 56.
a) 34 b) 94 c) 44 d) 26 e) 66
18.Hallar: a + b
Si:  55b33a3
Si además "a" y "b" son cifras
significativas:
a) 3 b) 5 c) 18 d) 12 e) 13
19.Si el número 13b54a3 es divisible por 9 y
se sabe además que a – b = 3. Hallar a.b
a) 33 b) 28 c) 44 d) 12 e) 18
20. Si ab8a6 es múltiplo de 45. Hallar: ab
a) 20 b) 45c) 15 d) 18 e) "a" y "b"
TAREA DOMICILIARIA
01.Dar “a” si 834a7 es divisible entre 11.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
02. Hallar “a” si 2a3a45 es múltiplo de 7.
a) 2 b) 4 c) 5 d) 7 e) 9
03. Hallar “m”, si N = 993m457 es igual a
37  .
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 1
04. Hallar el mayor valor de “a + b + c”, si:
abc = 3 ;  5cba ;  7ba
a) 15 b) 18 c) 17 d) 16 e) 20
05. Si  17aby5cba;8abc .
Calcular (a +b+ c)
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
06. Sabiendo que: 
 739a9)a2( .
Hallar “a”:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

10. CICLO
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07. Sabiendo que:

 56a58ab4 .
Hallar: a + b.
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) N.A.
08. Se conoce que:
o
1703a6  . Hallar “a”:
a) 2 b) 4 c) 8 d) 1 e) 5
09. Sabiendo que cba  y :
o
5abc 
o
4bca 
o
7cab 
Hallar a + b + c.
a) 15 b) 17 c) 18 d) 14 e) 13
10.Si
o
1778a2  , halle “a”
a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 5