El documento presenta varios ejercicios relacionados con la gravitación. El primer ejercicio calcula el campo gravitatorio y el potencial gravitatorio en diferentes puntos dados la masa y posición de dos partículas. El segundo ejercicio calcula la velocidad, aceleración y periodo de un satélite en órbita circular, así como su energía cinética y mecánica. El tercer ejercicio realiza cálculos similares para un satélite de Saturno.

1. Física 2º Bachillerato Ejercicios extra gravitatorio Ejercicios
1.- Una partícula de masa m1 = 2 kg está situada en el origen de un sistema de referencia y otra partícula de
masa m2 = 4 kg está colocada en el punto A(6,0). Calcula el campo gravitatorio en los puntos de coordenadas
B(3,0) y C(3,4). ¿Cuánto valdrá el potencial gravitatorio en ambos puntos (B y C)? Calcula la fuerza que
actúa y la energía potencial sobre una Partícula de 3 kg de masa situada en el punto C.

2. Física 2º Bachillerato Ejercicios extra gravitatorio Ejercicios
=
−
= ·
= −24,012 · 12

3. Física 2º Bachillerato
2.- Se quiere colocar un satélite artificial de 1500 kg de masa en una órbita circular a una altura de 600 km
sobre la superficie terrestre. Calcular:
a) La velocidad, aceleración y periodo de rotación
el satélite en dicha órbita
b) La energía cinética que es preciso comunicarle para ponerlo en
órbita desde la superficie terrestre
c) La energía mecánica del satélite en su órbita (
MTierra=5’98×1024 kg, G=6’67×10
a) Para calcular la velocidad debemos igualar F
=
despejando queda:
;.,./ 0122 3’56⋅07
.,56 08 7559,4 /=
Del mismo modo debemos actuar si empezamos con el
ecuación directamente también podemos calcular el periodo una vez conocida la velocidad:
= · =
·!
de donde # =
·!
Si aplicamos la ecuación directamente tendríamos:
Que ¡OH sorpresa! Da lo mismo.
Por supuesto lo dificilísimo es calcular la aceleración
centrípeta (por eso igualamos las fuerzas) y
$ =
= % =
de donde g=8,1
b) Hay que comunicarle la energía suficiente (en forma de velocidad) para que llegue a la órbita, esto es la
diferencia entre la energía total en la órbita y en la superficie terrestre.
Δ' = '( ) '( − ' = −
C .,./ 0122 3’56⋅07 300
Δ' = 9.3777
c) La energía orbital o energía mecánica total, como hemos visto antes es
−
.,./ 0122 3’56⋅07 300
.,56 08 4,285
Ejercicios extra gravitatorio
, que debe tener
ca RTierra=6380 km,
-11Nm2/kg2)
Fc=Fg y despejar v:
;
periodo de rotación aunque podemos aplicar la
!
/335, 6,98 10. 5801,6 =
# ; !
@ ; ! A.,56 08B
.,./ 0122 3’56⋅0
Fc=m·ac =Fg=m·g como se puede ver g es la aceleración
calculamos.
8,187 m/s
)
.,56 08 ) .,./ 0122
.
3777 100 4.286 100 5,092 100
'0 '
285 100
Ejercicios
BD
07 5801,6 =
=22 3’56⋅07 300
,@6 08
'( ) '(

4. Física 2º Bachillerato Ejercicios extra gravitatorio Ejercicios
3.- Encélado es un satélite de Saturno que describe una órbita de radio 238000 km alrededor del planeta. La
masa de Saturno es 5,688 1026 kg y la de Encélado es 1,080 1020 kg (dato verificado recientemente por
una sonda de la NASA). Suponiendo que la trayectoria de Encélado alrededor de Saturno es circular,
calcúlese:
a) El tiempo invertido por Encélado para describir una órbita alrededor del planeta
b) La energía cinética de Encélado en su órbita alrededor de Saturno
c) La energía potencial gravitatoria del sistema Saturno-Encélado. ¿Hay alguna relación entre el resultado
obtenido para la energía potencial gravitatoria del sistema y la energía cinética calculada en el
apartado anterior? Dato: Constante de gravitación universal G = 6,67 10-11 N m2kg-2
a) Para calcular el periodo (que es lo que nos piden) debemos igualar Fc=Fg y sustituir v por la velocidad
angular y esta por su relación con el periodo de modo que:
A E
B
! A ,@6·0F)D
despejando queda: # ; !
@ ; = 118441,14 =
.,./·0122· 3’.66⋅08 b) La energía cinética en una órbita sabemos que es:
' =
GHIJKLMNLONPHQM
=
.,./·0122· 3’.66⋅08· ’060⋅0R
· ,@6·0F = 8,608 · 10 /
c) La energía potencial será:
' = −
GHIJKLMNLONPHQM
= −
,@6·0F = −1,722 · 10 6
.,./·0122· 3’.66⋅08· ’060⋅0R
Como cabe esperar la energía potencial es doble que la cinética pero de signo contrario.
4.- Un planeta de masa M = 3·1024 kg tiene un satélite, de masa 16 veces menor que la masa del planeta,
siguiendo una órbita circular de 250.000 km de radio.
a) Calcular la velocidad orbital del satélite.
b) Determinar en qué punto del segmento que
une el centro del planeta y el centro del
satélite la aceleración de la gravedad es
igual a cero.
c) Si tenemos un vehículo espacial
abandonado en el punto calculado en el apartado anterior, y si a causa de una ligera perturbación éste
inicia un movimiento de caída libre hacia el planeta, calcular con qué velocidad se estrellará contra su
superficie. DATOS: Radio del planeta = 5000 km, G=6’67×10-11 Nm2/kg2
a) Para calcular la velocidad debemos igualar Fc=Fg y despejar v:
=
despejando queda: = ;
= ;.,./·0122· @⋅07
,3·0F = 894,65 /=
b) Punto de gravedad cero: esto ocurre en el lugar en que la aceleración de la gravedad del planeta y del
satélite son iguales en módulo. Como sus sentidos son contrarios, el resultado es una aceleración de la
gravedad neta igual a cero.
%S = −
% = − T
T
T
= T de donde: =
y además: rp+rs=d=2,5·108
Según el enunciado Mp/ms=16 por lo tanto:
= 16 · S o lo que es lo mismo = 4 · S sustituyendo no queda rs+4rs=2,5·108 de donde
rs=5·107 m y rp=2 ·108 m

5. Física 2º Bachillerato Ejercicios extra gravitatorio Ejercicios
c) Caída libre hacia el planeta, calcular con qué velocidad (vf) se estrellará contra su superficie. Llamaremos
m a la masa del vehículo. Aplicamos el principio de conservación de la energía:
Potencial (arriba) + Cinética (arriba) = Potencial (superficie) + Cinética (superficie)
La energía potencial arriba se debe tanto a la atracción del planeta como del satélite hacia el objeto (de
masa mo desconocida ) la velocidad es la órbita es 0 porque es una caída libre.
T M
) 0 = −TM
CT + MW
Tmo
y
X = ;2 · YT
CT − T
T −
Z=;2 · 6,67 · 10 · [ @⋅07
3·08 − @⋅07
·0F − ,/3·0D
3·0 ]=8807,5 m/s
5.- Deduce razonadamente la expresión de la velocidad orbital de un satélite que orbita entorno a un
planeta de masa M en una órbita circular de radio R.
En una órbita estable la fuerza centrípeta que genera el movimiento es la fuerza gravitatoria por lo que para
calcular la velocidad debemos igualar Fc=Fg y despejar v:
C =
C despejando queda: = ;C
6.- Explica qué es la velocidad de escape de un planeta. Deduce su expresión a partir del principio de
conservación de la energía mecánica.
La velocidad de escape se define como la velocidad que hay que comunicar a un objeto que se encuentra
sujeto a un campo gravitatorio para que posea la energía suficiente como para llegar a salir de la
atracción de ese campo gravitatorio. Esto se produce cuando la energía total es igual o mayor que cero,
como se conserva la energía mecánica, en el punto de lanzamiento habrá que comunicarle una velocidad
tal que haga que su energía mecánica sea cero:
' = ' + ' =
− T
CT = 0 de donde: = ; T
CT
7.- Una partícula de masa m1=2 kg está situada en el origen de un sistema de referencia y otra partícula de
masa m2=4 kg está colocada en el punto A(6,0). Calcula el potencial gravitatorio en los puntos de
coordenadas B(3,0) y C(3,4). ¿Qué trabajo se realiza al transportar una masa de 5 kg desde el punto B
hasta el punto C? ¿Qué significa el signo que sale en el trabajo?
Las distancias al punto B son 3 desde ambas masas y al punto C son 5 como se
puede apreciar en el dibujo. Por ello los potenciales serán:
=
^ +
( = − ^
^_ − (
(_ = −8,004 · 10 /`%
a =
^ +
( = − ^
^_ − (
(_ = −1,334 · 100 /`%
C
5 5
B A
1 2 3 4 5 6
5
4
3
2
1
x
y
b = −Δ' = −Δ
· =-5·(-8,004· 10 + 1,334· 100) = − 2,668 · 100 /`%
El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria tiene el signo negativo por lo que el proceso no es espontáneo,
ya que el sistema evoluciona hacia una situación de mayor energía potencial.