Gravitación

“GRAVITACION
UNIVERSAL”
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL

CONSTANTE DE LA GRAVITACION UNIVERSAL
La constante de gravitación universal, denominada G, tiene un
valor de 6.67x10-11 (N*m2)/kg2 y su valor fue establecido por
primera vez por el físico inglés Henry Cavendish en 1798.
Newton ya se refirió a ella en su famosa Ley de la Gravitación
Universal, pero no fue hasta 100 años más tarde cuando
Cavendish pudo cuantificarla.
F fuerza de atracción de 2 cuerpos
m1 masa del cuerpo 1
m2 masa del cuerpo 2
r distancia entre los 2 cuerpos
G constante de gravitación universal

Cavendish, colgó de un hilo, una varilla en cuyos
extremos puso unas bolitas de masa conocida. Suspendió el hilo
al techo y puso al lado de cada bolita una gran esfera, también
de masa conocida. Pretendía medir la fuerza de atracción
gravitatoria entre la bola pequeña y la grande ... y al final lo
consiguió.
Con este dato, los de las masas de las bolas y la distancia que las
separaba, pudo calcular G de forma primitiva.
Su valor actual lo estableció el físico americano Paul R. Heyl en
1928 y es de: 6.67*10-11 (N*m2)/kg2

Isaac Newton (1642-1727) se basó en las consideraciones hechas
en las secciones precedentes para establecer la ley que
caracterizaba a la gravedad de la siguiente manera:
Toda partícula de materia en el universo atrae a todas las
demás partículas con una fuerza directamente proporcional a
la masa de las partículas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que las separa.
LEY DE LA GRAVITACIÓN DE NEWTON
Cómo es la fuerza
gravitacional fuera de
un cuerpo esférico?
Y cómo es dentro del
cuerpo esférico?

CAMPO GRAVITACIONAL
Una fuerza de magnitud F produce en un objeto de masa m una
aceleración de magnitud a dirigida en la misma dirección de la
fuerza.
Por tanto, la aceleración de la gravedad alrededor de un
cuerpo de masa M puede ser obtenida como:
Cómo sería el peso de un cuerpo en la
superficie terrestre? , y en la superficie
de la Luna?
Cómo sería la aceleración debida a la
gravedad en la superficie terrestre? , y en la
superficie de la Luna?

Ejemplo 1: Superposición
Para el sistema de estrellas mostrado en la gráfica adjunta,
determinar:
a) La magnitud y dirección de la fuerza gravitacional ejercida
sobre la estrella pequeña por las grandes.
b) La aceleración que experimenta la estrella pequeña.
c) La magnitud de la fuerza gravitacional ejercida sobre cada
una de las otras estrellas.
d) Todas las estrellas experimentan la misma aceleración?

Ejemplo 2:
Una tripulación de astronautas realizan una misión en la
superficie de Marte, cuyo radio es RM=3.40x106m y cuya masa es
MM=6.42x1023kg. Si el peso en la Tierra del equipo de los
astronautas es 39200N, determinar:
a) El peso del equipo en la superficie de Marte.
b) El peso del equipo en Marte a una altura h=6.0x106m sobre la
superficie del mismo.
c) La aceleración debida a la gravedad en Marte.

ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
Inicialmente se supuso que la fuerza gravitacional era constante
y originaba una energía potencial de valor U=mgh, pero ahora
conocemos que la misma varía y se necesita una expresión más
general de energía potencial.
drFw
r
r
rgrav 
2
1
r
mGm
U T

21 UUwgrav 
U siempre es negativa. Cuando el cuerpo se acerca a la Tierra la energía potencial disminuye y
se hace más negativa. Cuando se aleja de la Tierra , aumenta y tiende a cero.

1ra. LEY DE KEPLER
Todos los planetas se mueven en
órbitas elípticas con el Sol en
uno de los puntos focales.
a y b son los semiejes
mayor y menor de la
elipse
La excentricidad (e) se define como el cociente
e = c/a ; 0<e<1
Las leyes de Kepler describen la cinemática del movimiento de
los planetas en torno al Sol.

2da. LEY DE KEPLER
El radio vector dibujado desde el Sol hasta cualquier planeta
barre áreas iguales en intervalos de tiempos iguales.
La ley de las áreas es equivalente a la
constancia del momento angular, es decir,
cuando el planeta está más alejado del Sol
(afelio) su velocidad es menor que cuando
está más cercano al Sol (perihelio).
CtevrMprL p 

dtvrrdrdA


2
1
2
1
Cte
M
L
dt
dA
p

2

3ra. LEY DE KEPLER
El cuadrado del periodo orbital de cualquier planeta es
proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita elíptica.
T2

Fuerza Conservativa
Supongamos que una partícula de masa m se mueve desde la
posición A hasta la posición B en las proximidades de un cuerpo fijo
de masa M.
Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza de atracción F.
INSTITUTO DE CIENCIAS FISICAS

Para calcular el trabajo total, integramos entre la posición
inicial A, distante rA del centro de fuerzas y la posición final
B, distante rB del centro fijo de fuerzas.
El trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir
desde la posición A a la posición B. La fuerza de atracción F, que
ejerce el cuerpo fijo de masa M sobre la partícula de masa m es
conservativa. La fórmula de la energía potencial es

El nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito,
para r = ∞, Ep=0
El hecho de que la fuerza de atracción sea conservativa, implica
que la energía total (cinética más potencial) de la partícula es
constante, en cualquier punto de la trayectoria.

Velocidad de Escape
Se puede hacer uso de consideraciones de energía para
encontrar el valor mínimo de la velocidad inicial requerida para
que el objeto escape al campo gravitacional de la Tierra.
En la superficie de la tierra donde vi = v y ri = r max,
debido a que la energía total del sistema se conserva.
½ m Vi² - =G Me m
Re
- G Me m
r max
Resolviendo para Vi ².
Vi² = 2 G Me -1 .
Re
1 .
r max

Conociendo la rapidez inicial puede utilizarse para
calcular la altura máxima h, ya que se sabe que h= rmax – Re.
Tendiendo rmax = ∽ en la ecuación y tomando la Vi
= Vesc se obtiene:
2 G Me
Re
Vesc =
La velocidad de escape de la superficie de varios cuerpos
celestes. Esta velocidad depende de la masa y del radio.

Dinámica del Movimiento Rotacional
F=mv2/r.
El tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta completa es el cociente
entre la longitud de la circunferencia y la velocidad, T=2p r/v.
Vemos que la fuerza F que actúa sobre el planeta
en movimiento circular uniforme es
inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia r desde el centro de fuerzas al centro
del planeta

Newton comparó la aceleración centrípetra de la Luna con la
aceleración de la gravedad g=9.8 m/s2. La aceleración centrípetra de la
Luna es ac=v2/r=4p 2r/T2, con r=3.84·108 m y T=28 días=2.36·106 s,
se obtiene ac=2.72·10-3 m/s2. Por consiguiente,
Como el radio de la Tierra es 6.37·106 m, y el radio de la órbita
de la Luna es 3.84·108 m, tenemos que
Por tanto,
Las aceleraciones de ambos cuerpos están en razón inversa
del cuadrado de las distancias medidas desde el centro de la
Tierra.

Tres esferas de masas 2 kg, 4 kg y 6 kg se colocan en las esquinas de un triángulo
rectángulo, como en la figura donde las coordenadas están en m. Calcúlese la fuerza
gravitacional resultante sobre la masa de 4 kg. Suponiendo que las esferas se encuentran
aisladas del resto del universo.
Gm4 m2 j
r42
F42 =
F42 =
(6.67 x 10-11Nm²/kg²)(4kg)(2kg) j
32 m²
F42 = 5.93 x 10-11 j N
F4 = 2.62 X 10 -11 N con un ángulo de 149° con el eje x positivo
F4 = F42 + F46 = (- 10 i + 5.93 j) x 10 -11 N
(-4,0)m
(0,3)m
6 kg
4 kg
2 kg
x
y
(0,0)m
Gm4 m6 j
r42
F46 =
F42 =
(6.67 x 10-11Nm²/kg²)(4kg)(6kg) j
4 2m²
F42 = - 10 x 10-11 i N

Determínese la magnitud de la aceleración de la gravedad a una altura de 500 km ¿En
qué porcentaje se reduce el peso de una persona a esta altura?
Solución: Mediante la ecuación de g‘ con h = 500 km, Re = 6.38 x 10^6 m y Me = 5.98
x 10^24 kg se obtiene
G Me .
(Re + h)2
g ‘ =
g ‘ =
(6.67 x 10-11Nm²/kg²)(5.98 x 1024kg)
(6.38 x 106 + 0.5 x 106 )2 m²
g ‘ = 8.43 m/s²
Como g ‘ / g = 8.43 / 9.8 = 0.86, se concluye que el peso del cuerpo se reduce
aproximadamente 14% a una altitud de 500 km.

Calcúlese la masa del sol usando el hecho de que el periodo de la Tierra es de 3.156
x 107 s y su distancia al sol es 1.496 x 1011 m.
4 п² r³
GT ²
Ms =
Ms =
4 п² (1.496 x 10^11m)3 .
(6.67 x 10^-11 Nm²/kg ²)(3.156 x 10^7s) ²
Ms = 1.99 x 10^30 kg
Obsérvese que el sol tiene 333000 veces más masa que la tierra
Solución: Con la ecuación de periodo se obtiene

Un planeta de masa m se mueve en na órbita elíptica alrededor del Sol. Las distancias
más cercana y más alejada del planeta respecto del sol se conocen como perihelio y
afelio respectivamente. Si la rapidez del planeta en el punto p es Vp ¿Cuál es la rapidez
en el punto a? Supóngase que se conocen las distancias ra y rp.
mvprpmva ra =
va =
rp vp
ra

Una partícula de masa m se desplaza una pequeña distancia vertical  y cerca de la
superficie de la terrestre. Veamos como la expresión general para el cambio en la energía
potencial gravitacional, dada por  U = mg  y.
U ~  y = mg  y
Solución: Se puede expresar la ecuación
 U = -G Me m - = G Me m
si tanto la posición inicial como la posición final de la partícula se encuentra cerca de la
superficie terrestre, entonces rf – ri =  y y ri rf ~ Re ²
1
rf
1
ri
rf - ri
ri rf
G Me m .
Re2

Cálculese la velocidad de escape de la tierra un vehículo espacial de 500o kg,
determine y la energía cinética que debe tener en la superficie para escapar del campo de
la Tierra.
Solución: Usando la ecuación de vel de escape
con Me = 5.98 x 10^24 kg y
Re = 6.37 x 10^6 m se tiene.
2 G Me
Re
Vesc =
Vesc =
2 (6.67 x 10^-11Nm²/kg²)(5.98x10^24kg)
6.37 x 10^6 m
Vesc = 1.12 x 10^4 m/s
Esto corresponde aproximadamente a 25000 mi/h . La energía cinética del vehículo
espacial es:
K = ½ m V²esc =1/2 (5x10^3kg) (1.12 x 10^4 m/s)²
K = 3.14 x 10^11 J

1. Si la masa de marte es 0.107MT y su radio es 0.53RT. Determine cual es el
valor del campo gravitacional en la superficie de marte (MT = masa dela
tierra, RT = radio de la tierra):
a) 4.58 m/s2
b) 5.98 m/s2
c) 8.94 m/s2
d) 5.32 m/s2
e) 3.74 m/s2
Io una pequeña luna de Júpiter tiene un periodo orbital de 1.77 días y un radio
orbital de 4.22x105 Km. De acuerdo a estos datos determine la masa de Júpiter:
a) 3.56x1025
b) 8.59x1034
c) 1.90x1027
d) 5.26x1025
e) 9.87x1027

1. A que distancia de la tierra debe colocarse un cuerpo en la línea dirigida hacia el sol
de tal manera que la atracción gravitacional solar contrarreste a la atracción de la
tierra. El sol esta a 1.5x107 km de distancia y su masa es 3.24x105MT, desprecie la
existencia de otros planetas y considere masas puntuales.(MT = masa de la tierra).
a) 30000 km.
b) 27500 km.
c) 28339 km.
d) 32666 km.
e) 26333 km.

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