1. El documento habla sobre las leyes de Kepler que describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol, así como sobre la gravitación y su aplicación al cálculo del movimiento de satélites y planetas. 2. Explica conceptos como el campo gravitatorio, la energía potencial gravitatoria y cómo se pueden usar las leyes de Kepler y la gravitación universal para resolver problemas sobre órbitas planetarias y satelitales. 3. Incluye varios problemas de aplicación sobre satélites, planetas y órbitas que ilustran el uso de estas le

1. TEMA 3.-
GRAVITACIÓN

2. LEYES DE KEPLER
Ley de las Órbitas. Los planetas giran alrededor del Sol
describiendo órbitas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra
el Sol.
Ley de las Áreas. Las áreas barridas son directamente
proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas.

3. LEYES DE KEPLER
Ley de los Periodos.
=
T T
r r
1
1
2
2
2 2
3 3
T2
= · R34p2
G · M

4. PROBLEMA
Marte tiene dos satélites, llamados Fobos y Deimos, cuyas órbitas
tienen radios de 9400 y 23000 km respectivamente. Fobos tarda 7,7 h
en dar una vuelta alrededor del planeta. Aplicando las leyes de Kepler,
halla el periodo de Deimos.

5. PROBLEMA
Calcula la masa de Júpiter sabiendo que uno de sus satélites tiene un
periodo de 16,55 días y un radio orbital de 1,883·109
m.

6. PROBLEMA
El satélite Meteosat nos envía tres veces al día imágenes de Europa
para la confección de los mapas del tiempo. Calcula:
a) Su periodo de revolución.
b) El radio de la órbita que describe.

7. PROBLEMA
El satélite mayor de Saturno, Titán, describe una órbita de radio
medio r = 1,222·106 km en un periodo de 15,945 días. Determina la
masa del planeta Saturno y su densidad.
DATO: RS
= 58545 km.

8. LEY DE LA GRAVITACIÓN
(HIPÓTESIS)
1. El Sol y los planetas son considerados como partículas, ya que sus
distancias relativas son mucho mayores que sus tamaños.
2. El sistema de referencia está fijo en el Sol. La aceleración de cada
planeta se mide respecto al Sol.
3. Cada planeta describe una órbita circular con una aceleración:
ac
= v2
/R
Esta hipótesis no es muy errónea, ya que las órbitas elípticas reales
tienen muy poca excentricidad.
4. La única fuerza significativa que actúa sobre un planeta es la fuerza
gravitatoria del Sol.

9. LEY DE LA GRAVITACIÓN
F = - G · · ur
M · m
R2
G = 6,67·10-11
N·m2
·kg-2

10. PROBLEMA
Tres esferas uniformes de masas 2, 4 y 6 kg se colocan en los vértices
de un triángulo en las coordenadas (0, 3) m, (0, 0) y (4, 0) m,
respectivamente. Calcula la fuerza gravitatoria resultante sobre la
masa de 4 kg.

11. PROBLEMA
Tres esferas uniformes de masas 2, 4 y 6 kg se colocan en los vértices
de un triángulo en las coordenadas (0, 3) m, (0, 0) y (4, 0) m,
respectivamente. Calcula la fuerza gravitatoria resultante sobre la
masa de 4 kg.
1
2
3
F1,3
F1,2 F1

12. PROBLEMA
El radio de la Tierra es aproximadamente de 6370 km. Si elevamos un
objeto de 20 kg de masa a una altura de 160 km sobre la superficie de
la Tierra, ¿cuánto pesa el objeto a esta altura? Es decir, ¿a qué fuerza
gravitatoria está sometido?
DATO: Masa de la Tierra: 5,98·1024
kg

13. FUERZAS CONSERVATIVAS Y
ENERGÍA POTENCIAL
Una fuerza es conservativa si el trabajo total realizado sobre un cuerpo,
cuando éste describe una trayectoria cerrada, es cero.
La energía potencial es una magnitud, característica de las fuerzas
conservativas, cuya disminución mide el trabajo realizado por este tipo
de fuerzas. La energía potencial se representa por U.
En general, el trabajo realizado por una fuerza cualquiera cuando se
desplaza su punto de aplicación desde la posición 1 hasta la posición 2
viene dado por:
W = F · d r∫
2
1

14. FUERZAS CONSERVATIVAS Y
ENERGÍA POTENCIAL
Para una fuerza conservativa esta expresión toma la forma:
W = F · d r = U1
– U2
= - (U2
– U1
) = - D U
que es la expresión matemática del Teorema de la Energía Potencial:
El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la variación de
la energía potencial del cuerpo sobre el que actúa.
∫
2
1

15. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
U (r) = - G ·
m1
· m2
r
siendo U(∞) = 0.

16. VARIACIÓN DE LA ENERGÍA POTENCIAL
ENTRE DOS PUNTOS A y B
DU = UB
– UA
= - - - =
= - =
= G m1
m2
-
G m1
m2
G m1
m2
rB
rA
G m1
m2
G m1
m2
rA
rB
1 1
rA
rB

17. PROBLEMA
Calcula la energía potencial asociada a un sistema formado por tres
partículas m1
= 1,0 kg, m2
= 2,0 kg, m3
= 3,0 kg, situadas en los vértices
de un triángulo rectángulo en las coordenadas (0, 0), (0, 3) m y (4, 0)
m, respectivamente.
1
2
3
3 m
4 m

18. EL CAMPO GRAVITATORIO
Se dice que existe un campo gravitatorio en una región del espacio si una
masa, m, colocada en un punto de esa región experimenta una fuerza
gravitatoria.
El campo gravitatorio es conservativo.
El valor del campo en un punto dado no cambia con el tiempo;
solamente depende de las coordenadas del punto.

19. EL CAMPO GRAVITATORIO
Se llama intensidad de un campo gravitatorio en un punto a la fuerza que
ejerce el campo sobre la unidad de masa colocada en dicho punto. Se
representa por g, y tiene las dimensiones de una aceleración. La
intensidad del campo disminuye cuando aumenta la distancia:
g = - G · · ur
M
r2

20. EL CAMPO GRAVITATORIO
g = - G · · ur
M
r2
● El vector intensidad de campo está dirigido siempre hacia el cuerpo
que lo crea. Esto se representa mediante un vector direccional ur
.
● El vector ur
es un vector unitario cuya dirección es la recta que une
cada punto del campo con el de la masa que crea dicho campo, y
cuyo sentido está dirigido hacia el exterior de éste.

21. EL CAMPO GRAVITATORIO
g = - G · · ur
M
r2
● La intensidad del campo gravitatorio terrestre recibe el nombre de
aceleración de la gravedad o simplemente gravedad.
● La aceleración de la gravedad depende de la altitud.

22. PROBLEMA
Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de
Mercurio, si el radio de la Tierra es tres veces mayor que el de
Mercurio, y la densidad de Mercurio es 3/5 de la densidad media de
la Tierra.
DATO: go
= 9,8 m/s2
.

23. PROBLEMA
a) ¿Cuál será el valor de g a una altura igual al radio de la Tierra? (RT
=
6370 km; go
= 9,8 m/s2
)
b) ¿Cuál será el periodo de un satélite artificial de la Tierra en una
órbita circular a dicha altura?

24. PROBLEMA
La masa de Marte es igual a 0,107 veces la de la Tierra y su radio es
0,533 veces el de la Tierra. ¿Cuál sería el periodo de un péndulo en
Marte si en la Tierra es igual a 2,00 s?

25. EJERCICIO 5 EvAU
Sobre la superficie de la Tierra y a nivel del mar se coloca un péndulo
simple de longitud L = 2 m y se obtiene experimentalmente un valor
de la aceleración local de la gravedad go = 9,81 m/s2
. El experimento
se realiza haciendo oscilar el péndulo en régimen de pequeñas
oscilaciones.
a) Calcule la constante de Gravitación Universal y el período del
péndulo cuando se encuentra oscilando a nivel del mar.
b) Repetimos el experimento en la cima de una montaña de 8 km de
altura. Calcule la aceleración local de la gravedad en ese punto, así
como la longitud que tendría que tener el péndulo para que su
período fuese el mismo que el que tiene a nivel del mar.

26. EJERCICIO 10 EvAU
Titania, satélite del planeta Urano, describe una órbita circular en
torno al planeta. Las aceleraciones de la gravedad en las superficies
de Urano y de Titania son go
= 8,69 m/s2
y gt
= 0,37 m/s2
,
respectivamente. Un haz de luz emitido desde la superficie de Urano
tarda 1,366 s en llegar a la superficie de Titania. Determine:
a) El radio de la órbita de Titania alrededor de Urano (distancia entre
los centros de ambos cuerpos).
b) El tiempo que tarda Titania en dar una vuelta completa alrededor
de Urano, expresado en días terrestres.
DATOS: Masa de Urano, MU
= 8,69·1025
kg; Masa de Titania, MT
=
3,53·1021
kg.

27. EJERCICIO 14 EvAU
Sea un sistema doble formado por una estrella y un planeta. El
planeta gira alrededor de la estrella siguiendo una órbita circular con
un período de 210 días y posee una masa de 5·10-6
M, donde M es la
masa de la estrella. Determine:
a) El radio de la órbita del planeta.
b) El vector campo gravitatorio total en un punto entre la estrella y el
planeta que dista 4,6·105
km del centro del planeta.
DATO: Masa de la estrella, M = 1,3·1030
kg.

28. POTENCIAL GRAVITATORIO
El potencial gravitatorio en un punto A de un campo es el trabajo
realizado por dicho campo para trasladar la unidad de masa desde el
infinito (es decir, desde fuera del campo) hasta dicho punto:
Se mide en J/kg.
VA
= = - G ·
U
m
M
rA

29. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE LA
GRAVITACIÓN UNIVERSAL AL
MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS

30. PERIODO DE REVOLUCIÓN Y
VELOCIDAD ORBITAL
Para que un satélite gire en una órbita circular alrededor de la Tierra, por
ejemplo, debe estar sometido a una fuerza centrípeta. Esta fuerza
centrípeta la suministra la atracción gravitatoria que ejerce la Tierra
sobre el satélite:
Fg
= Fc
G · = m ·m M v 2
Ro
2
Ro
v = G M
Ro

31. VELOCIDAD DE ESCAPE
Se llama velocidad de escape a la velocidad mínima de lanzamiento de
un cohete para que éste pueda “escapar” de la atracción terrestre.
CASO 1: Velocidad de lanzamiento para que el cohete alcance una altura
h.
1
2
· m · vL
2
– G = 0 – G
MT
mMT
m
RT
RT
+ h
vL
= 2 · G · MT
· - 11
RT
RT
+ h

32. VELOCIDAD DE ESCAPE
CASO 2: Velocidad de lanzamiento para que el cohete abandone el
campo gravitatorio h = ∞. En este caso la velocidad de lanzamiento
coincide con la velocidad de escape.
ve
= = 2 · go
·RT
RT
2 · G · MT

33. CAMBIO DE ÓRBITA DE UN SATÉLITE
Para una órbita estacionaria la energía de enlace es constante. Por
consiguiente, si queremos que un satélite cambie de una órbita ri
a otra
rf
, habrá que realizar un trabajo equivalente a la diferencia entre las
energías de enlace correspondientes.
W = Ef
– Ei
= =
G MT
m G MT
m
2 rf
2 ri
=
G MT
m
2
1 1
ri
rf

34. PROBLEMA
Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad
inicial de 50 m/s. Si el rozamiento con el aire es despreciable calcula,
utilizando el principio de conservación de la energía mecánica, la
altura máxima que alcanza. ¿Qué altura máxima alcanzará en el caso
de que haya rozamiento y se pierda para vencerlo el 20% de la
energía de lanzamiento?

35. PROBLEMA
Desde una altura de 5,00 m se deja caer una masa de 10,0 kg sobre
un muelle que se comprime 20,0 cm. Calcula la constante
recuperadora del muelle.

36. PROBLEMA
Suponiendo que la Luna gira en torno a la Tierra en una órbita de
radio 3,84·105
km con un periodo de 27,3 días, ¿cuál será el semieje
mayor de la órbita de un satélite en torno a la Tierra con un periodo
de 3,0 h?

37. PROBLEMA
Un proyectil de masa 10 kg se dispara verticalmente desde la
superficie de la Tierra con una velocidad de 3200 m/s.
a) ¿Cuál es la máxima energía potencial que adquiere?
b) ¿En qué posición se alcanza?
DATOS: go
= 9,8 m/s2
; RT
= 6,37·106
m.

38. PROBLEMA
Se coloca un satélite meteorológico de 1000 kg en órbita circular a
300 km sobre la superficie terrestre. Determina:
a) La velocidad lineal, la aceleración radial y el periodo en la órbita.
b) El trabajo que se requiere para poner en órbita el satélite.
DATOS: go
= 9,8 m/s2
; RT
= 6,37·106
m.

39. PROBLEMA
Un satélite artificial de 200 kg gira en una órbita circular a una altura h
sobre la superficie de la Tierra. Sabiendo que a esa altura el valor de
la aceleración de la gravedad es la mitad del valor que tiene en la
superficie terrestre, averigua:
a) La velocidad del satélite.
b) Su energía mecánica.
DATO: RT
= 6,37·106
m.

40. EJERCICIO 1 EvAU
Un satélite artificial de masa 200 kg se mueve alrededor de la Tierra
en una órbita elíptica definida por una distancia al perigeo (posición
más próxima al centro de la Tierra) de 7,02·106
m y una distancia al
apogeo (posición más alejada al centro de la Tierra) de 10,30·106
m. Si
en el perigeo el módulo de la velocidad es 8,22·103
m/s.
a) ¿Cuál es el módulo de la velocidad en el apogeo?
b) Determine el módulo y la dirección del momento angular del
satélite.
c) Determine la velocidad aerolar del satélite.
d) Determine la energía mecánica del satélite.

41. EJERCICIO 2 EvAU
Una nave espacial de 3000 kg de masa describe, en ausencia de
rozamiento, una órbita circular en torno a la Tierra a una distancia de
2,5·104
km de su superficie. Calcule:
a) El período de revolución de la nave espacial alrededor de la Tierra.
b) Las energías cinética y potencial de la nave en dicha órbita.

42. EJERCICIO 4 EvAU
Calcule:
a) La densidad media del planeta Mercurio, sabiendo que posee un
radio de 2440 km y una intensidad de campo gravitatorio en su
superficie de 3,7 N/kg.
b) La energía necesaria para enviar una nave espacial de 5000 kg de
masa desde la superficie del planeta a una órbita en la que el valor
de la intensidad de campo gravitatorio sea la cuarta parte de su
valor en la superficie.

43. EJERCICIO 7 EvAU
Un planeta esférico tiene una densidad uniforme d = 1,33 g/cm3
y un
radio de 71500 km. Determine:
a) El valor de la aceleración de la gravedad en su superficie.
b) La velocidad de un satélite que orbita alrededor del planeta en una
órbita circular con un periodo de 73 horas.

44. EJERCICIO 13 EvAU
Considérese una masa M = 50 kg situada en el origen de coordenadas.
Bajo la acción del campo gravitatorio creado por dicha masa,
determine:
a) El trabajo requerido para mover una masa m1
= 2 kg desde P1
= (0,
0, 0) m a P2
= (3, 4, 0) m.
b) La energía cinética de una partícula de masa m2
= 3 kg que,
partiendo del reposo, se mueve desde el punto P3
= (9/2, 6, 0) m al
punto P2
.