mantenimiento

1. Preguntas y ejercicios 401
• Máxima verosimilitud
• Sistema en serie
• Regla del producto de probabilidades
• Sistema en paralelo
• Función de estructura
• Distribución Weibull
• Distribución valor extremo
• Modelo lognormal
• Estimador de Kaplan-Meier
• Mínimos cuadrados
1. ¿Qué es la confiabilidad de un producto?
2. Describa dos elementos distintivos de los estudios de
confiabilidad.
3. Plantee al menos tres preguntas de interés en los estu-
dios de confiabilidad.
4. Defina las censuras: por la derecha, por izquierda y por
intervalo. Describa para cada censura una situación
práctica que la puede generar.
5. ¿Qué información proveen las funciones de distribu-
ción acumulada y la función de confiabilidad?
6. ¿Cómo se define la función de riesgo? ¿Cómo se inter-
preta?
7. Si la función de riesgo de un producto es decreciente,
¿significa que después de un tiempo éste no falla?
Argumente su respuesta.
8. ¿Cómo se pueden detectar y eliminar las fallas tem-
pranas o la mortalidad infantil? ¿En qué sentido esto
incrementa la confiabilidad del producto?
9. Por lo general, ¿cuáles son las tres etapas en la vida de
un producto?
10. Describa una situación en la cual la tasa de riesgo
constante es apropiada.
11. ¿Cómo se define el cuantil p? ¿Por qué los cuantiles
son importantes en confiabilidad?
12. ¿Por qué la vida media puede ser menos relevante que
la vida mediana en los estudios de confiabilidad?
13. ¿Para qué sirve el papel de probabilidad? Explique de mane-
ra breve cómo se construye una gráfica de probabilidad.
14. Según la teoría, ¿en qué situaciones puede ser útil la
distribución Weibull?
15. ¿Cómo se estima la confiabilidad del producto, si en el
estudio aparecieron varios modos de falla?
Preguntas y ejercicios
16. ¿En qué situaciones es útil la distribución lognormal?
17. ¿En qué consiste el tiempo de quemado o burn-in de un
producto? ¿En qué situaciones puede incrementar la
confiabilidad del producto?
18. Defina los sistemas en serie y los sistemas en paralelo,
después comente cómo se puede mejorar la confiabili-
dad de cada uno de ellos.
19. ¿Qué es la función de estructura de un sistema? ¿Para
qué sirve?
20. ¿En qué consiste el método de trayectorias para calcu-
lar la confiabilidad de un sistema?
21. Defina el estimador de Kaplan-Meier de la función de
confiabilidad empírica. ¿Cómo es que toma en cuenta
las censuras por la derecha?
22. Qué tipo de preguntas sobre la vida de un producto
se pueden responder con la función de confiabilidad
condicional.
23. Escriba y grafique la función de riesgo h(t) para una
distribución de Weibull con parámetros: a) β = 1, η =
4, b) β = 2, η = 2, c) β = 3, η = 1. Comente el efecto de
cada parámetro.
24. Suponga que la vida de un producto se distribuye de
manera uniforme en el intervalo [a, b].
a) Escriba las funciones f(t), F(t), C(t) y h(t) y grafíquelas.
b) Dé las expresiones para el cuantil p y la vida media
del producto.
25. La duración t (en horas) de cierto componente electró-
nico es una variable aleatoria con función de densidad.
f (t)
1
1000
0
¤
¦
¥
¥
¤
¦
¥
¥
e t/1000
t 0
en
en los demás puntos
los demás puntos

2. a) Calcule F(t), C(t) y h(t).
b) ¿Cuál es la confiabilidad del componente a las t =
100 horas?
c) Si una unidad ha sobrevivido a las primeras 100
horas, ¿cuál es la probabilidad de que sobreviva
hasta las 200 horas?
d) Grafique h(t) e interprétela.
26. Para un disco magnético de computadora se considera
que ocurre una falla temprana si falla antes del tiempo
t = α y una falla por desgaste si ocurre después del
tiempo t = β. Suponga que la distribución del tiempo
de falla de los discos, durante su vida útil se puede mo-
delar con la distribución
f (t)
1
B A
A a t a B
a) Obtenga las funciones F(t) y C(t).
b) Calcule la tasa de riesgo h(t).
c) Grafique la tasa de riesgo de discos considerando
α = 100 horas y β = 1500 horas.
d) Si α = 100 y β = 1500, ¿cuál es la confiabilidad
del paquete de discos en el tiempo t = 500 horas?
¿Cuál es su tasa de riesgo a las 500 horas y cómo
se interpreta?
27. Se realizó un estudio para estimar la vida media (en
millas) de cierto tipo de locomotora. Se operaron 96
máquinas durante 135 mil millas o hasta que fallaron;
y de éstas, 37 fallaron antes de cumplirse el periodo de
135 mil millas. La siguiente tabla presenta las millas
hasta fallar para las 37 locomotoras.
22.5 57.5 78.5 91.5 113.5 122.5
37.5 66.5 80.0 93.5 116.0 123.0
46.0 68.0 81.5 102.5 117.0 127.5
48.5 69.5 82.0 107.0 118.5 131.0
51.5 76.5 83.0 108.5 119.0 132.5
53.0 77.0 84.0 112.5 120.0 134.0
54.5
Las restantes 59 locomotoras no fallaron a 135 mil mi-
llas; por lo tanto, entran al estudio en forma censurada:
a) Use un software apropiado y grafique los datos en
varios papeles de probabilidad para identificar la
distribución de la que proceden.
b) Determine la vida mediana de las locomotoras.
c) ¿Cuál es la confiabilidad de las locomotoras a las
200 000 mi?
28. Para los datos sobre la vida de balatas dados en el
ejemplo 13.1:
a) Haga un análisis gráfico para identificar la distri-
bución que siguen los datos.
b) Una vez identificada una distribución, estime los
parámetros por máxima verosimilitud y también por
mínimos cuadrados. Compare los estimadores.
c) ¿Cuál es la confiabilidad de las balatas a los
10000 km?
d) Si el fabricante no está dispuesto a reemplazar
más de 2% de las balatas, ¿es razonable otorgar
una garantía de 10 000 km?
e) Si tiene apoyo de un software apropiado, proporcio-
ne un intervalo de confianza al 95% para los kilóme-
tros en que falla 2% de las balatas e interprételo.
29. Para los datos sobre la vida de ventiladores dados en
el ejemplo 13.2, identifique un modelo adecuado para
los datos y conteste las siguientes preguntas:
a) Estime los parámetros del modelo usando el mé-
todo gráfico, el método de mínimos cuadrados y
el método de máxima verosimilitud. Compare los
resultados.
b) Grafique el estimador no paramétrico de la fun-
ción de supervivencia.
c) ¿Cuál es la proporción de ventiladores que fallan
antes del tiempo de garantía de 8000 h?
d) ¿Será necesario rediseñar los ventiladores para tra-
tar de incrementar su confiabilidad? Argumente.
30. Suponga que la duración (en años) de un chip para
computadoras tiene una distribución de vida Weibull.
A fin de estimar los parámetros de esta distribución,
se sometieron a prueba 100 chips y se registró el nú-
mero de supervivientes al final de cada año, durante
un periodo de ocho años. Los datos con censura por
intervalo se presentan en la siguiente tabla:
Año 1 2 3 4 5 6 7 8
Número 94 78 58 36 22 10 6 2
de supervivientes
a) Utilice el método de mínimos cuadrados para
obtener estimaciones de β y η.
b) Si tiene apoyo de un software apropiado, esta-
blezca un intervalo de confianza de 95% para el
percentil 1%.
c) Calcule la probabilidad de que un chip falle antes
de cinco años.
d) Estime la confiabilidad de los chips en el tiempo
de siete años.
e) Calcule la tasa de riesgo, h(t), y grafíquela.
Obtenga la tasa de riesgo en el tiempo t = 4 años
e interprete su valor.
31. Nelson (1985) aplicó la distribución Weibull a los
tiempo de vida de una muestra de n = 138 cojinetes de
rodillos. La siguiente tabla indica el número de cojine-

3. tes que seguían funcionando al final de cada periodo
de 100 horas hasta que todos fallaron.
a) Calcule la probabilidad de que la lámpara falle
antes de las 900 horas.
b) Calcule la confiabilidad de la lámpara en el tiem-
po t = 400 h e interprete su valor.
c) Grafique la función de riesgo. ¿Podría funcionar
con esta lámpara el tiempo de quemado para
detectar y eliminar unidades débiles?
35. Sea la siguiente función de distribución acumulada F(t)
= 1 − (t−2) para t 1, que modela el tiempo de vida de
un microorganismo en cierto medio:
a) Obtenga las siguientes funciones f(t), S(t) y h(t).
b) Bosqueje la gráfica de f(t) y h(t) e interprételas en
términos del tiempo de vida.
c) Obtenga la función percentil.
d) Calcule el percentil 90 e interprételo.
e) Calcule Pr(T 2).
36. Con el propósito de estudiar la vida de un producto
semiperecedero se realiza un experimento teniendo
como tiempo de censura 400 h. Se estudiaron un total
de 60 productos. Los datos obtenidos hasta el
tiempo de censura se muestran a continuación.
82 113 132 136 154 156 204 212 238 242 249
270 275 276 284 290 290 292 302 304 308 313
317 331 334 334 335 336 342 351 352 354 358
377 383 386 390 396 396 397
a) ¿Por qué cree que se censuró el experimento y qué
tipo de censura se aplica?
b) ¿Los datos siguen una distribución Weibull?
c) Estime los parámetros de la distribución Weibull,
grafique la densidad correspondiente e interprétela.
d) ¿Qué tiempo de garantía propondría para el pro-
ducto? ¿Por qué?
e) Utilizando la estimación no parámetrica de
Kaplan-Meier obtenga el inciso d).
37. Con el propósito de estudiar la vida de anaquel de dos
marcas del mismo producto, se realiza un experimento
teniendo como tiempo de censura 200 horas. Se estu-
diaron un total de 40 productos de cada marca. Los
datos obtenidos hasta 200 horas (el resto regístrelos
como censurados) para las dos marcas se muestran a
continuación:
MARCA A MARCA B
23 25 29 30 44 60 62 64 67 68
69 72 75 77 82 87 91 110 114 118
119 121 127 132 133 136 155 156 161 165
178 187 189 192 196 198 200* 200* 200* 200*
(*) Censura
33 51 71 79 82 83 84 86 92 93
99 102 103 104 111 112 112 114 119 125
128 128 131 132 132 134 157 158 171 175
181 185 194 200* 200* 200* 200* 200* 200* 200*
a) Ajuste un modelo Weibull a estos datos.
b) Si tiene apoyo de un software apropiado, dé un
intervalo de confianza para el tiempo al cual falla
una proporción de 2% de los cojinetes.
c) Calcule la confiabilidad de los cojinetes de rodillos
a las 400 horas.
d) Calcule la confiabilidad de que, luego de sobrevivir
las primeras 300 horas, un cojinete sobreviva 100
horas más.
32. El tiempo de vida en años de un generador que se
compra tiene una distribución Weibull con parámetros
η = 13 años y β = 2. El periodo de garantía que ofrece
el proveedor es de dos años.
a) ¿Cuál es la confiabilidad del generador al terminar
el periodo de garantía?
b) Si se compran 1000 unidades, ¿cuál es el número
esperado de reclamos al fabricante?
c) ¿Cuál periodo de garantía debe ofrecer el fabri-
cante si quiere tener una proporción de reclamos
a lo más de 1 por ciento?
33. De un proveedor se adquiere un lote de 100000 uni-
dades cuyo tiempo de falla sigue una distribución
Weibull. Si 5% de las unidades falla al tiempo t1 = 225
h y 10% falla a las t2 = 325 h, encuentre:
a) Los parámetros de forma y escala, utilizando la
función cuantil.
b) La vida media de las unidades.
c) La vida mediana de las unidades.
d) La proporción de reclamos esperada si el produc-
tor ofrece un tiempo de garantía de 30 días.
34. Suponga que la duración (en horas) de una lámpara
fluorescente tiene una distribución de tiempo de falla
Weibull con parámetro η = 500 y β = 0 .70.
HORAS
(CIENTOS)
1 2 3 4 5 6 7 8 12 13 17 19 24 51
NÚMERO
DE COJINES 138114 10464 37 29 20 10 8 6 4 3 2 1

4. a) ¿Por qué cree que se censuró el experimento y qué
tipo de censura se aplica?
b) ¿Los datos para cada marca siguen una distribu-
ción Weibull?
c) Estime los parámetros de la distribución Weibull
para cada caso; además, grafique las densida-
des y las funciones de riesgo correspondientes.
Comente las diferencias entre marcas.
d) Estime e interprete los cuantiles 0.05, 0.10, 0.25 y
0.80, para cada caso, con base en la distribución
Weibull.
e) Utilice la estimación no parámetrica de Kaplan-
Meier y obtenga el inciso d).
f) ¿Hay diferencias importantes entre los dos méto-
dos de estimación? Comente.
g) ¿Los diseños son diferentes?
38. Haga el mismo análisis del problema anterior pero
ahora con la distribución lognormal, en lugar de la
distribución Weibull.
39. Un sistema con dos componentes conectados en serie
tienen distribuciones de tiempo de falla exponenciales
con medias θ = 1 000 horas. En el tiempo t = 1 400 h,
¿cuál es la confiabilidad del sistema? ¿A las cuántas
horas falla 10% de estos sistemas?
40. Considere un sistema con cuatro componentes, A, B,
C y D, conectados en paralelo. Suponga que los com-
ponentes A y B tienen distribuciones de tiempo de falla
normales con parámetros μ = 800 horas y σ = 100
horas, mientras que los componentes C y D tienen dis-
tribuciones de tiempo de falla Weibull con parámetros
β = .5 y η = 300. Calcule la confiabilidad del sistema
en el tiempo t = 500 horas.
41. Considere el sistema de la figura 13.18. Si las confiabi-
lidades de los componentes individuales son CA = .85,
CB = .75, CC = .75, CD = .90, CE = .95, calcule la confia-
bilidad global del sistema.
42. El sistema dado en la figura 13.19 se llama sistema
puente y es muy utilizado para incrementar la confiabili-
dad de redes eléctricas. Suponga que las confiabilidades
de los cinco componentes son: CA = 0.96, CB = 0.92,
CC = 0.94, CD = 0.89 y CE = 0.90. Calcule la confiabili-
dad del sistema utilizando el método de trayectorias.
43. Considere el sistema dado en la figura 13.20.
a) Dé una expresión para la función de estructura
del sistema.
b) Considerando que las confiabilidades los seis
componentes independientes son: CA = 0.95, CB =
0.92, CC = 0.95, CD = 0.90, CE = 0.92 y CF = 0.90,
calcule la confiabilidad del sistema.
44. Demuestre que la tasa de riesgo h(t) se puede expresar
como:
h(t) =
d −In C (t)
[ ]
dt
45. Demuestre que en general C(t) = exp (−H(t)).
FIGURA 13.20 Diagrama para el ejercicio 42.
A
D
B
E
C
FIGURA 13.18 Diagrama para el ejercicio 43.
A
C
B
D
E
F
FIGURA 13.19 Diagrama del ejercicio 41.
A
B E
C D