Este documento presenta ejercicios sobre cálculo de probabilidades. En el primer ejercicio, se describe un experimento de extraer una bola de una urna con bolas numeradas y se definen los sucesos de obtener un número par, impar, primo o impar menor que 9. En el segundo ejercicio, se describe el lanzamiento de 3 monedas y se definen sucesos asociados. Finalmente, los ejercicios 3 al 14 presentan problemas probabilísticos para calcular probabilidades de sucesos compuestos y condicionados.
Este documento presenta 14 ejercicios de probabilidad y estadística. Los ejercicios cubren conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidades condicionales e independencia. Algunos ejercicios involucran lanzar monedas o bolas de urnas, mientras que otros analizan escenarios más complejos como exámenes o encuestas. El documento proporciona soluciones completas para cada ejercicio.
Este documento presenta 15 ejercicios de probabilidad con sus respectivas soluciones. Cada ejercicio plantea un problema probabilístico diferente, como calcular la probabilidad de obtener un número par dado un espacio muestral, determinar si dos sucesos son independientes dados sus probabilidades, o hallar la probabilidad condicional sabiendo información adicional. Las soluciones utilizan conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidades conjuntas e independencia para responder a cada pregunta planteada.
Este documento contiene 16 ejercicios resueltos sobre probabilidad y estadística. Los ejercicios involucran conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidades condicionadas, distribuciones binomiales, de Poisson y normal. En cada ejercicio se presenta un problema estadístico, se describe con diagramas o fórmulas y se calcula la solución de manera analítica.
Este documento presenta 12 ejercicios de probabilidad y estadística. Los ejercicios involucran conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidad condicional e independencia. Se piden calcular probabilidades de diferentes sucesos dados datos sobre la probabilidad de otros sucesos. Los ejercicios van desde simples cálculos de probabilidad hasta problemas más complejos que requieren organizar la información en tablas y diagramas de árbol.
Este documento presenta varios problemas y ejercicios de probabilidad. En primer lugar, pide calcular la probabilidad de obtener diferentes resultados al lanzar dados o extraer bolas de urnas. Luego, presenta un ejercicio que involucra lanzar un dado y una moneda, donde se pide describir el espacio muestral, y calcular la unión y la intersección de diferentes sucesos. Finalmente, define un espacio de sucesos elementales compuesto por tres elementos.
1) Se extraen 3 bolas de una urna que contiene 7 bolas azules y 5 bolas blancas sin reposición.
2) La probabilidad de que las 3 bolas sean azules es 7/12 * 6/11 * 5/10 = 35/110.
3) La probabilidad de que 2 bolas sean azules y 1 blanca es 7/12 * 6/11 * 5/10 = 21/55.
Este documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad, incluyendo experimentos determinísticos y aleatorios, espacio muestral, sucesos, reglas de probabilidad como adición, multiplicación y propiedades de conjuntos. Explica cómo calcular probabilidades usando interpretaciones de frecuencia y clásica, y provee ejemplos y actividades para practicar estos conceptos.
El documento presenta conceptos básicos de probabilidad como sucesos, probabilidad marginal, conjunta y condicional. Explica la probabilidad condicionada y cómo calcularla. También introduce la independencia de sucesos y la ley de probabilidad total para calcular la probabilidad de un suceso a partir de la probabilidad condicionada a otros sucesos.
Este documento presenta 14 ejercicios de probabilidad y estadística. Los ejercicios cubren conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidades condicionales e independencia. Algunos ejercicios involucran lanzar monedas o bolas de urnas, mientras que otros analizan escenarios más complejos como exámenes o encuestas. El documento proporciona soluciones completas para cada ejercicio.
Este documento presenta 15 ejercicios de probabilidad con sus respectivas soluciones. Cada ejercicio plantea un problema probabilístico diferente, como calcular la probabilidad de obtener un número par dado un espacio muestral, determinar si dos sucesos son independientes dados sus probabilidades, o hallar la probabilidad condicional sabiendo información adicional. Las soluciones utilizan conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidades conjuntas e independencia para responder a cada pregunta planteada.
Este documento contiene 16 ejercicios resueltos sobre probabilidad y estadística. Los ejercicios involucran conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidades condicionadas, distribuciones binomiales, de Poisson y normal. En cada ejercicio se presenta un problema estadístico, se describe con diagramas o fórmulas y se calcula la solución de manera analítica.
Este documento presenta 12 ejercicios de probabilidad y estadística. Los ejercicios involucran conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidad condicional e independencia. Se piden calcular probabilidades de diferentes sucesos dados datos sobre la probabilidad de otros sucesos. Los ejercicios van desde simples cálculos de probabilidad hasta problemas más complejos que requieren organizar la información en tablas y diagramas de árbol.
Este documento presenta varios problemas y ejercicios de probabilidad. En primer lugar, pide calcular la probabilidad de obtener diferentes resultados al lanzar dados o extraer bolas de urnas. Luego, presenta un ejercicio que involucra lanzar un dado y una moneda, donde se pide describir el espacio muestral, y calcular la unión y la intersección de diferentes sucesos. Finalmente, define un espacio de sucesos elementales compuesto por tres elementos.
1) Se extraen 3 bolas de una urna que contiene 7 bolas azules y 5 bolas blancas sin reposición.
2) La probabilidad de que las 3 bolas sean azules es 7/12 * 6/11 * 5/10 = 35/110.
3) La probabilidad de que 2 bolas sean azules y 1 blanca es 7/12 * 6/11 * 5/10 = 21/55.
Este documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad, incluyendo experimentos determinísticos y aleatorios, espacio muestral, sucesos, reglas de probabilidad como adición, multiplicación y propiedades de conjuntos. Explica cómo calcular probabilidades usando interpretaciones de frecuencia y clásica, y provee ejemplos y actividades para practicar estos conceptos.
El documento presenta conceptos básicos de probabilidad como sucesos, probabilidad marginal, conjunta y condicional. Explica la probabilidad condicionada y cómo calcularla. También introduce la independencia de sucesos y la ley de probabilidad total para calcular la probabilidad de un suceso a partir de la probabilidad condicionada a otros sucesos.
probabilidad y estadística. Ejercicios resueltosNobu Dragon
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios de probabilidad. En el primer ejercicio, se describe el espacio muestral de lanzar 3 monedas y se definen varios sucesos relacionados con sacar al menos una cara o cruz. En el segundo ejercicio, se calcula la probabilidad de diferentes sucesos relacionados con extraer una bola de una bolsa con bolas de diferentes colores. En el tercer ejercicio, se calculan probabilidades al extraer una carta de una baraja.
La probabilidad de A.
II) La probabilidad de B sabiendo que ocurre A.
1) El documento presenta varios problemas de probabilidad y estadística con sus respectivas soluciones. 2) Incluye problemas que involucran cálculos de probabilidades con dados, fichas de estudiantes y bolas extraídas de una bolsa. 3) Los problemas se resuelven usando conceptos como espacio muestral, diagramas de árbol, fórmula de Bayes y teorema de probabilidades totales.
En 3 oraciones o menos:
1) Se extrae una bola de una urna que contiene 7 bolas azules y 5 bolas rojas. La probabilidad de sacar una bola azul es 7/12.
2) Se lanza un dado de 6 caras. La probabilidad de obtener un número par o múltiplo de 3 es 11/6.
3) Se extraen 3 cartas de una baraja. La probabilidad de que las 3 sean del mismo palo es 1/13.
Este documento trata sobre probabilidades. Explica conceptos como experimento aleatorio, espacio muestral, sucesos o eventos, y define la probabilidad de un suceso como la razón entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y presenta algunos teoremas sobre probabilidades.
Este documento presenta 8 problemas de probabilidad resueltos. En el primer problema, se calcula la probabilidad de obtener diferentes combinaciones de cartas al extraer una carta de una baraja de 40 cartas. En el segundo problema, se calcula la probabilidad de extraer bolas de diferentes colores de una urna. En los problemas siguientes se calculan probabilidades usando fórmulas como la de la unión de sucesos y la intersección de sucesos independientes.
Este documento presenta 13 problemas de probabilidad con sus respectivas soluciones. Los problemas involucran calcular probabilidades de eventos como sacar determinadas cartas o bolas de una baraja/bolsa, estimar probabilidades basadas en porcentajes de poblaciones, y determinar si eventos son independientes o no. Las soluciones definen los eventos relevantes y aplican la fórmula de probabilidad total o la fórmula de probabilidad condicional según corresponda al problema.
Este documento presenta una serie de ejemplos y problemas de probabilidad relacionados con experimentos aleatorios que involucran lanzar monedas y dados, sacar bolas de urnas, y extraer cartas de una baraja. En total, contiene 24 ejemplos y problemas con sus respectivas soluciones, que cubren temas como espacios muestrales, sucesos elementales y compuestos, cálculo de probabilidades aplicando la regla de Laplace, diagramas de árbol, y experimentos con y sin reemplazo.
Este documento presenta una serie de ejemplos y problemas de probabilidad relacionados con experimentos aleatorios que involucran lanzar monedas y dados, sacar bolas de urnas, y extraer cartas de una baraja. En total, contiene 24 ejemplos y problemas con sus respectivas soluciones, que cubren temas como espacios muestrales, sucesos elementales y compuestos, cálculo de probabilidades aplicando la regla de Laplace, diagramas de árbol, y experimentos con y sin reemplazo.
Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre probabilidad que incluye ejercicios y sus soluciones. Los estudiantes aprenderán a calcular probabilidades utilizando la regla de Laplace y construir diagramas de árbol. La guía contiene 12 ejercicios de probabilidad resueltos que cubren temas como lanzar dados, sacar bolas de urnas y extraer cartas de una baraja.
Este documento presenta definiciones básicas de probabilidad, incluyendo experimento, resultado, espacio muestral y evento. Explica cómo calcular la probabilidad de eventos discretos y los axiomas de probabilidad. También cubre eventos mutuamente excluyentes, eventos independientes, probabilidad condicional y el teorema de Bayes, el cual permite calcular probabilidades a posteriori. Por último, menciona cómo se aplica el teorema de Bayes en tests diagnósticos médicos.
Solucionario Manuel Cordova Zamora. Ejercicios de Probabilidad.Vitto Alcantara
Solucionario de Manuel Cordova Zamora, del libro Estadistica Descriptiva e Inferencial. Solo del Capitulo 5 Probabilidad tercera parte de los ejercicios.
Este documento presenta varios ejercicios sobre probabilidad y estadística. Explica conceptos como experimentos deterministas vs. aleatorios, espacio muestral, sucesos elementales y compuestos, y cálculo de frecuencias absolutas y relativas. Los ejercicios incluyen ejemplos como lanzar dados, sacar bolas de una urna, y encuestas para practicar la clasificación de sucesos y el cálculo de probabilidades.
Este documento contiene 18 ejercicios de probabilidad y estadística resueltos. Los ejercicios involucran conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidad condicional y experimentos aleatorios con monedas, dados y bolas extraídas de urnas. Cada ejercicio presenta un problema y su solución detallada de manera que este documento sirve como guía de ejercicios resueltos sobre la temática de probabilidad y estadística.
El documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad. Define experimentos determinísticos y aleatorios, así como los conceptos de espacio muestral, sucesos y eventos. Explica cómo calcular la probabilidad de un suceso mediante la fórmula de la probabilidad clásica y presenta las reglas de adición y multiplicación para el cálculo de probabilidades compuestas. Finalmente, propone ejercicios para aplicar estos conceptos.
Este documento contiene tres ejercicios resueltos sobre probabilidad. El primer ejercicio calcula la probabilidad de extraer fichas blancas y verdes de una bolsa. El segundo ejercicio calcula la probabilidad de extraer bolas de colores rojo y blanco de una urna. El tercer ejercicio calcula la probabilidad de que una pieza producida por dos máquinas sea defectuosa, y la probabilidad de que provenga de la primera máquina si es defectuosa.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con distribuciones de probabilidad y variables discretas. En el primer ejercicio, se pide dibujar diferentes recorridos lanzando una moneda 4 veces y asignando "Cara" a derecha y "Cruz" a izquierda. En el segundo ejercicio, se observa que ciertos recorridos llegan al mismo casillero dependiendo del número de "Caras". El documento continúa presentando más ejercicios sobre cálculo de probabilidades, distribuciones de probabilidad y tablas y
Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad de variables discretas y la distribución binomial. Incluye ejemplos y problemas de probabilidad que involucran lanzar monedas, sacar cartas de una baraja, y otros experimentos aleatorios.
Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad de variables discretas y la distribución binomial. Incluye ejemplos y problemas de probabilidad que involucran lanzar monedas, sacar cartas de una baraja, y otros experimentos aleatorios.
1. El documento presenta un problema de probabilidad y estadística sobre subconjuntos, conjuntos y probabilidades. 2. Incluye ejercicios sobre diagramas de árbol, combinatorias, probabilidades con cartas y dados. 3. También presenta problemas para investigar sobre conjuntos y sus operaciones.
probabilidad y estadística. Ejercicios resueltosNobu Dragon
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios de probabilidad. En el primer ejercicio, se describe el espacio muestral de lanzar 3 monedas y se definen varios sucesos relacionados con sacar al menos una cara o cruz. En el segundo ejercicio, se calcula la probabilidad de diferentes sucesos relacionados con extraer una bola de una bolsa con bolas de diferentes colores. En el tercer ejercicio, se calculan probabilidades al extraer una carta de una baraja.
La probabilidad de A.
II) La probabilidad de B sabiendo que ocurre A.
1) El documento presenta varios problemas de probabilidad y estadística con sus respectivas soluciones. 2) Incluye problemas que involucran cálculos de probabilidades con dados, fichas de estudiantes y bolas extraídas de una bolsa. 3) Los problemas se resuelven usando conceptos como espacio muestral, diagramas de árbol, fórmula de Bayes y teorema de probabilidades totales.
En 3 oraciones o menos:
1) Se extrae una bola de una urna que contiene 7 bolas azules y 5 bolas rojas. La probabilidad de sacar una bola azul es 7/12.
2) Se lanza un dado de 6 caras. La probabilidad de obtener un número par o múltiplo de 3 es 11/6.
3) Se extraen 3 cartas de una baraja. La probabilidad de que las 3 sean del mismo palo es 1/13.
Este documento trata sobre probabilidades. Explica conceptos como experimento aleatorio, espacio muestral, sucesos o eventos, y define la probabilidad de un suceso como la razón entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y presenta algunos teoremas sobre probabilidades.
Este documento presenta 8 problemas de probabilidad resueltos. En el primer problema, se calcula la probabilidad de obtener diferentes combinaciones de cartas al extraer una carta de una baraja de 40 cartas. En el segundo problema, se calcula la probabilidad de extraer bolas de diferentes colores de una urna. En los problemas siguientes se calculan probabilidades usando fórmulas como la de la unión de sucesos y la intersección de sucesos independientes.
Este documento presenta 13 problemas de probabilidad con sus respectivas soluciones. Los problemas involucran calcular probabilidades de eventos como sacar determinadas cartas o bolas de una baraja/bolsa, estimar probabilidades basadas en porcentajes de poblaciones, y determinar si eventos son independientes o no. Las soluciones definen los eventos relevantes y aplican la fórmula de probabilidad total o la fórmula de probabilidad condicional según corresponda al problema.
Este documento presenta una serie de ejemplos y problemas de probabilidad relacionados con experimentos aleatorios que involucran lanzar monedas y dados, sacar bolas de urnas, y extraer cartas de una baraja. En total, contiene 24 ejemplos y problemas con sus respectivas soluciones, que cubren temas como espacios muestrales, sucesos elementales y compuestos, cálculo de probabilidades aplicando la regla de Laplace, diagramas de árbol, y experimentos con y sin reemplazo.
Este documento presenta una serie de ejemplos y problemas de probabilidad relacionados con experimentos aleatorios que involucran lanzar monedas y dados, sacar bolas de urnas, y extraer cartas de una baraja. En total, contiene 24 ejemplos y problemas con sus respectivas soluciones, que cubren temas como espacios muestrales, sucesos elementales y compuestos, cálculo de probabilidades aplicando la regla de Laplace, diagramas de árbol, y experimentos con y sin reemplazo.
Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre probabilidad que incluye ejercicios y sus soluciones. Los estudiantes aprenderán a calcular probabilidades utilizando la regla de Laplace y construir diagramas de árbol. La guía contiene 12 ejercicios de probabilidad resueltos que cubren temas como lanzar dados, sacar bolas de urnas y extraer cartas de una baraja.
Este documento presenta definiciones básicas de probabilidad, incluyendo experimento, resultado, espacio muestral y evento. Explica cómo calcular la probabilidad de eventos discretos y los axiomas de probabilidad. También cubre eventos mutuamente excluyentes, eventos independientes, probabilidad condicional y el teorema de Bayes, el cual permite calcular probabilidades a posteriori. Por último, menciona cómo se aplica el teorema de Bayes en tests diagnósticos médicos.
Solucionario Manuel Cordova Zamora. Ejercicios de Probabilidad.Vitto Alcantara
Solucionario de Manuel Cordova Zamora, del libro Estadistica Descriptiva e Inferencial. Solo del Capitulo 5 Probabilidad tercera parte de los ejercicios.
Este documento presenta varios ejercicios sobre probabilidad y estadística. Explica conceptos como experimentos deterministas vs. aleatorios, espacio muestral, sucesos elementales y compuestos, y cálculo de frecuencias absolutas y relativas. Los ejercicios incluyen ejemplos como lanzar dados, sacar bolas de una urna, y encuestas para practicar la clasificación de sucesos y el cálculo de probabilidades.
Este documento contiene 18 ejercicios de probabilidad y estadística resueltos. Los ejercicios involucran conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidad condicional y experimentos aleatorios con monedas, dados y bolas extraídas de urnas. Cada ejercicio presenta un problema y su solución detallada de manera que este documento sirve como guía de ejercicios resueltos sobre la temática de probabilidad y estadística.
El documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad. Define experimentos determinísticos y aleatorios, así como los conceptos de espacio muestral, sucesos y eventos. Explica cómo calcular la probabilidad de un suceso mediante la fórmula de la probabilidad clásica y presenta las reglas de adición y multiplicación para el cálculo de probabilidades compuestas. Finalmente, propone ejercicios para aplicar estos conceptos.
Este documento contiene tres ejercicios resueltos sobre probabilidad. El primer ejercicio calcula la probabilidad de extraer fichas blancas y verdes de una bolsa. El segundo ejercicio calcula la probabilidad de extraer bolas de colores rojo y blanco de una urna. El tercer ejercicio calcula la probabilidad de que una pieza producida por dos máquinas sea defectuosa, y la probabilidad de que provenga de la primera máquina si es defectuosa.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con distribuciones de probabilidad y variables discretas. En el primer ejercicio, se pide dibujar diferentes recorridos lanzando una moneda 4 veces y asignando "Cara" a derecha y "Cruz" a izquierda. En el segundo ejercicio, se observa que ciertos recorridos llegan al mismo casillero dependiendo del número de "Caras". El documento continúa presentando más ejercicios sobre cálculo de probabilidades, distribuciones de probabilidad y tablas y
Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad de variables discretas y la distribución binomial. Incluye ejemplos y problemas de probabilidad que involucran lanzar monedas, sacar cartas de una baraja, y otros experimentos aleatorios.
Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad de variables discretas y la distribución binomial. Incluye ejemplos y problemas de probabilidad que involucran lanzar monedas, sacar cartas de una baraja, y otros experimentos aleatorios.
1. El documento presenta un problema de probabilidad y estadística sobre subconjuntos, conjuntos y probabilidades. 2. Incluye ejercicios sobre diagramas de árbol, combinatorias, probabilidades con cartas y dados. 3. También presenta problemas para investigar sobre conjuntos y sus operaciones.
Similar a Ejercicios_resueltos probabilidad.pdf (20)
El crecimiento urbano de las ciudades latinoamericanas ha sido muy rápido en las últimas décadas, debido a factores como el crecimiento demográfico, la migración del campo a la ciudad, y el desarrollo económico. Este crecimiento ha llevado a la expansión de las ciudades hacia las áreas periféricas, creando problemas como la falta de infraestructura adecuada, la congestión del tráfico, la contaminación ambiental, y la segregación social.
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Para hacer frente a estos desafíos, las ciudades latinoamericanas están implementando políticas de planificación urbana sostenible, promoviendo la densificación urbana, la revitalización de áreas degradadas, la preservación de espacios verdes y la mejora de la infraestructura y los servicios públicos. También se están llevando a cabo programas de vivienda social y de regularización de asentamientos informales, con el objetivo de mejorar la calidad de vida de los habitantes de estas áreas.
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Ejercicios_resueltos probabilidad.pdf
1. Tema 14 – Cálculo de probabilidades – Matemáticas I – 1º Bachillerato 1
TEMA 14 – CÁLCULO DE PROBABILIDADES
ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS
EJERCICIO 1 : En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos el
número que tiene.
a)
)
)
) Describe los sucesos escribiendo todos sus elementos:
A =
=
=
= "Obtener par" B =
=
=
= "Obtener impar"
C =
=
=
= "Obtener primo" D =
=
=
= "Obtener impar menor que 9"
b)
)
)
) ¿Qué relación hay entre A y B? ¿Y entre C y D?
c)
)
)
) ¿Cuál es el suceso A ∪
∪
∪
∪ B? ¿y C ∩
∩
∩
∩ D?
Solución:
a) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} B = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
C = {2, 3, 5, 7, 11, 13} D = {3, 5, 7}
b) B = A'; D ⊂ C
c) A ∪ B = E (Espacio muestral); C ∩ D = D
EJERCICIO 2 : Consideramos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire.
a)
)
)
) ¿Cuál es el espacio muestral? ¿Cuántos elementos tiene?
b)
)
)
) Describe los sucesos escribiendo todos sus elementos.: A =
=
=
= "Obtener dos caras y una cruz"
B =
=
=
= "Obtener al menos dos caras" C =
=
=
= "Obtener al menos una cruz"
c)
)
)
) Halla los sucesos B ∩
∩
∩
∩ C y C'
Solución:
a) E = { (C, C, C), (C, C, +), (C, + ,C), (+, C, C), (C, +, +), (+, C, +), (+, +, C), (+, +, +) }
Tiene 8 elementos.
b) A = { (C, C, +), (C, + ,C), (+, C, C) } B = { (C, C, C), (C, C, +), (C, + ,C), (+, C, C) }
C = { (C, C, +), (C, + ,C), (+, C, C), (C, +, +), (+, C, +), (+, +, C), (+, +, +) }
c) B ∩ C = { (C, C, +), (C, + ,C), (+, C, C) } C ' = { (C, C, C) }
EJERCICIOS PROBABILIDAD
EJERCICIO 3 : Sean A y B los sucesos tales que: P[A] =
=
=
= 0,4 P[A' ∩
∩
∩
∩ B] =
=
=
= 0,4 P[A ∩
∩
∩
∩ B] =
=
=
= 0,1
Calcula P[A ∪
∪
∪
∪ B] y P[B].
Solución:
• Calculamos en primer lugar P[B]:
P[B] = P[A' ∩ B] + P[A ∩ B] =0,4 + 0,1 = 0,5
• P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] = 0,4 + 0,5 − 0,1 = 0,8
EJERCICIO 4 : Sabiendo que: P[A ∩
∩
∩
∩ B] =
=
=
= 0,2 P[B'] =
=
=
= 0,7 P[A ∩
∩
∩
∩ B'] =
=
=
= 0,5
Calcula P[A ∪
∪
∪
∪ B] y P[A].
Solución:
P[A] = P[A ∩ B'] + P[A ∩ B] = 0,5 + 0,2 = 0,7
P[B] = 1 − P[B'] = 1 − 0,7 = 0,3
P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] = 0,7 + 0,3 − 0,2 = 0,8
2. Tema 14 – Cálculo de probabilidades – Matemáticas I – 1º Bachillerato 2
EJERCICIO 5 : De dos sucesos A y B sabemos que: P[A'] =
=
=
= 0,48 P[A ∪
∪
∪
∪ B] =
=
=
= 0,82 P[B] =
=
=
= 0,42
a)
)
)
) ¿Son A y B independientes? b)
)
)
) ¿Cuánto vale P[A / B]?
Solución:
a) P[A'] = 1− P[A] = 0,48 → P[A] = 0,52
P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] → 0,82 = 0,52 + 0,42 − P[A ∩ B] → P[A ∩ B] = 0,12
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
B
P
A
P
B
A
P
12
,
0
B
A
P
2184
,
0
42
,
0
52
,
0
B
P
A
P
⋅
≠
∩
=
∩
=
⋅
=
⋅
⇒ No son independientes.
[ ] [ ]
[ ]
29
,
0
42
,
0
12
,
0
B
P
B
A
P
B
/
A
P
b) =
=
∩
=
EJERCICIO 6 : Si A y B son dos sucesos tales que: P[A] =
=
=
= 0,4 P[B / A] =
=
=
= 0,25 P[B'] =
=
=
= 0,75
a)
)
)
) ¿Son A y B independientes? b)
)
)
) Calcula P[A ∪
∪
∪
∪ B] y P[A ∩
∩
∩
∩ B].
Solución:
a) P[B'] = 1 − P[B] = 0,75 → P[B] = 0,25
Como P[B / A] = 0,25 y P[B] = 0,25, tenemos que:
P[B / A] = P[B] → A y B son independientes.
b) Como A y B son independientes: P[A ∩ B] = P[A] · P[B] = 0,4 · 0,25 = 0,1
Así: P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] = 0,4 + 0,25 − 0,1 = 0,55
PROBLEMAS PROBABILIDAD
EJERCICIO 7 : En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85.
Si un opositor sabe 35 de los 85 temas, ¿cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas?
Solución:
Tenemos que hallar la probabilidad de que ocurra el siguiente suceso:
A = “el opositor conoce, al menos, uno de los tres temas”
Para calcularla, utilizaremos el complementario. Si sabe 35 temas, hay 85 – 35 = 50 temas que no sabe; entonces:
P [A] = 1 – P [A’] = 1 – P [“no sabe ninguno de los tres”] = 802
0
198
0
1
83
48
84
49
85
50
1 ,
, =
−
=
⋅
⋅
−
=
Por tanto, la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas es de 0,802.
EJERCICIO 8 : Tenemos para enviar tres cartas con sus tres sobres correspondientes. Si metemos al zar cada
carta en uno de los sobres, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas vaya en el sobre que le
corresponde?
Solución:
Hacemos un diagrama que refleje la situación. Llamamos a los sobres A, B y C; y a las cartas correspondientes a, b
y c. Así, tenemos las siguientes posibilidades:
Vemos que hay seis posibles ordenaciones y que en cuatro de ellas hay al menos una coincidencia. Por tanto, la
probabilidad pedida será: 67
,
0
3
2
6
4
P ≈
=
=
3. Tema 14 – Cálculo de probabilidades – Matemáticas I – 1º Bachillerato 3
EJERCICIO 9 :
a) Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos
elijan el mismo número?
b) Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, ¿cuál es la probabilidad de
que las tres elijan el mismo número?
Solución:
a) Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido número. La pregunta es: ¿cuál es a
probabilidad de que el segundo elija el mismo número? 2
,
0
5
1
P =
=
04
,
0
25
1
5
1
5
1
P
b) =
=
⋅
=
EJERCICIO 10 : En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés,
36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.
Escogemos uno de los viajeros al azar.
a)
)
)
) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
b)
)
)
) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?
c)
)
)
) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
Solución:
Vamos a organizar los datos en una tabla, completando los que faltan:
Llamamos I = "Habla ingles", F = "Habla francés".
a) Tenemos que hallar P[I ∪ F]: [ ] [ ] [ ] [ ] 6
,
0
5
3
120
72
120
12
36
48
F
I
P
F
P
I
P
F
I
P =
=
=
−
+
=
∩
−
+
=
∪
[ ] 25
,
0
4
1
48
12
I
F/
P
b) =
=
= [ ] 2
,
0
5
1
120
24
I
no
F
P
c) =
=
=
∩
EJERCICIO 11 : En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado matemáticas, 16 que han aprobado
inglés y 6 que no han aprobado ninguna de las dos.
Elegimos al azar un alumno de esa clase:
a)
)
)
) ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés y matemáticas?
b)
)
)
) Sabiendo que ha aprobado matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés?
c)
)
)
) ¿Son independientes los sucesos "Aprobar matemáticas" y "Aprobar inglés"?
Solución:
Organizamos los datos en una tabla de doble entrada, completando los que faltan:
Llamamos M = "Aprueba matemáticas", I = Aprueba inglés".
[ ] 33
,
0
3
1
30
10
I
M
P
a) =
=
=
∩ [ ] 56
,
0
9
5
18
10
M
/
I
P
b) =
=
=
[ ] [ ]
25
8
75
24
15
8
5
3
30
16
30
18
I
P
M
P
c) =
=
⋅
=
⋅
=
⋅ [ ]
25
8
3
1
I
M
P ≠
=
∩
[ ] [ ] [ ] ntes.
independie
son
no
sucesos
dos
los
Como ,
I
P
M
P
I
M
P ⋅
≠
∩
EJERCICIO 12 : Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6
bolas blancas y 2.rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Después extraemos una bola de B.
a)
)
)
) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca?
b)
)
)
) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?
4. Tema 14 – Cálculo de probabilidades – Matemáticas I – 1º Bachillerato 4
Solución: Hacemos un diagrama en árbol:
[ ]
10
7
15
7
30
7
ª
2
P
a) =
+
=
Bl
[ ]
30
7
y
P
b) =
Bl
Bl
EJERCICIO 13 : El 1% de la población de un determinado lugar padece una enfermedad. Para detectar esta
enfermedad se realiza una prueba de diagnóstico. Esta prueba da positiva en el 97% de los pacientes que
padecen la enfermedad; en el 98% de los individuos que no la padecen da negativa. Si elegimos al azar un
individuo de esa población:
a)
)
)
) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo dé positivo y padezca la enfermedad?
b)
)
)
) Si sabemos que ha dado positiva, ¿cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad?
Solución: Hacemos un diagrama en árbol:
a) P[Enfermo y Positiva] = 0,0097
[ ]
[ ]
[ ]
33
,
0
0295
,
0
0097
,
0
0198
,
0
0097
,
0
0097
,
0
P
P
P
y
E
P
P
/
E
P
b)
OSITIVA
OSITIVA
NFERMO
OSITIVA
NFERMO =
=
+
=
=
EJERCICIO 14 : Un estudiante realiza dos exámenes en un mismo día. La probabilidad de que apruebe el
primero es 0,6. La probabilidad de que apruebe el segundo es 0,8; y la de que apruebe los dos es 0,5. Calcula:
a)
)
)
) La probabilidad de que apruebe al menos uno de los dos exámenes.
b)
)
)
) La probabilidad de que no apruebe ninguno.
c)
)
)
) La probabilidad de que apruebe el segundo examen en caso de haber aprobado el primero.
Solución: Llamamos: A = "aprobar el primer examen" B = "aprobar el segundo examen"
Tenemos entonces que: [ ] [ ] [ ] 5
,
0
B
A
P
;
8
,
0
B
P
;
6
,
0
A
P =
∩
=
=
[ ] [ ] [ ] [ ] 9
,
0
5
,
0
8
,
0
6
,
0
B
A
P
B
P
A
P
B
A
a) =
−
+
=
∩
−
+
=
∪
P [ ] 1
,
0
9
,
0
1
B
A
P
1
b) =
−
=
∪
−
[ ] [ ]
[ ]
83
,
0
6
,
0
5
,
0
A
P
A
B
P
A
/
B
P
c) =
=
∩
=
EJERCICIO 15 : En una bolsa, A, hay 2 bolas negras y 3 rojas. En otra bolsa, B, hay 3 bolas negras, 4 rojas y
3 verdes. Extraemos una bola de A y la introducimos en la bolsa B. Posteriormente, sacamos una bola de B.
a)
)
)
) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja?
b)
)
)
) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean rojas?
Solución: Hacemos un diagrama de árbol:
[ ]
55
23
11
2
55
8
ª
2
P
a) =
+
=
R
[ ]
11
3
y
P
b) =
R
R
5. Tema 14 – Cálculo de probabilidades – Matemáticas I – 1º Bachillerato 5
EJERCICIO 16 : En un club deportivo, el 52% de los socios son hombres. Entre los socios, el 35% de los
hombres practica la natación, así como el 60% de las mujeres. Si elegimos un socio al azar:
a)
)
)
) ¿Cuál es la probabilidad de que practique la natación?
b)
)
)
) Sabiendo que practica la natación, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?
Solución: Hacemos un diagrama en árbol:
a) P[Natación] = 0,182 + 0,288 = 0,47
[ ] [ ]
[ ]
613
,
0
47
,
0
288
,
0
N
N
M
N
/
M
b)
ATACIÓN
ATACIÓN
Y
UJER
ATACIÓN
UJER =
=
=
P
P
P