Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad de variables discretas y la distribución binomial. Incluye ejemplos y problemas de probabilidad que involucran lanzar monedas, sacar cartas de una baraja, y otros experimentos aleatorios.
Este documento presenta 15 ejercicios de probabilidad con sus respectivas soluciones. Cada ejercicio plantea un problema probabilístico diferente, como calcular la probabilidad de obtener un número par dado un espacio muestral, determinar si dos sucesos son independientes dados sus probabilidades, o hallar la probabilidad condicional sabiendo información adicional. Las soluciones utilizan conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidades conjuntas e independencia para responder a cada pregunta planteada.
Este documento contiene 16 ejercicios resueltos sobre probabilidad y estadística. Los ejercicios involucran conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidades condicionadas, distribuciones binomiales, de Poisson y normal. En cada ejercicio se presenta un problema estadístico, se describe con diagramas o fórmulas y se calcula la solución de manera analítica.
El documento presenta 10 problemas de probabilidad y estadística resueltos. Se calculan probabilidades de sucesos como salir par en un dado, obtener al menos dos cruces al lanzar 3 monedas, extraer una bola roja de una urna con bolas de distintos colores, obtener rey u as al sacar una carta. También se calculan probabilidades con dados y monedas trucadas.
Este documento presenta 12 ejercicios de probabilidad y estadística. Los ejercicios involucran conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidad condicional e independencia. Se piden calcular probabilidades de diferentes sucesos dados datos sobre la probabilidad de otros sucesos. Los ejercicios van desde simples cálculos de probabilidad hasta problemas más complejos que requieren organizar la información en tablas y diagramas de árbol.
Este documento presenta 14 ejercicios de probabilidad y estadística. Los ejercicios cubren conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidades condicionales e independencia. Algunos ejercicios involucran lanzar monedas o bolas de urnas, mientras que otros analizan escenarios más complejos como exámenes o encuestas. El documento proporciona soluciones completas para cada ejercicio.
Este documento presenta 25 ejercicios de probabilidad y estadística resueltos. Los ejercicios incluyen cálculos de probabilidades simples y conjuntas, así como aplicaciones del teorema de Bayes. Algunos ejercicios involucran eventos médicos como la probabilidad de que un paciente sea menor de 24 meses o la probabilidad de que un resultado ecográfico tenga un error.
1. El documento presenta 15 ejercicios de probabilidad con sus respectivas soluciones. Los ejercicios involucran conceptos como espacio muestral, eventos, probabilidad simple, condicionada y conjunta al lanzar dados, sacar cartas o extraer bolas de urnas.
2. El último ejercicio calcula la probabilidad de que un dispositivo sea defectuoso considerando la probabilidad independiente de falla de cada uno de sus 3 componentes.
3. Se concluye que la probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso es de 12.682
Este documento presenta una serie de ejemplos y problemas de probabilidad relacionados con experimentos aleatorios que involucran lanzar monedas y dados, sacar bolas de urnas, y extraer cartas de una baraja. En total, contiene 24 ejemplos y problemas con sus respectivas soluciones, que cubren temas como espacios muestrales, sucesos elementales y compuestos, cálculo de probabilidades aplicando la regla de Laplace, diagramas de árbol, y experimentos con y sin reemplazo.
Este documento presenta 15 ejercicios de probabilidad con sus respectivas soluciones. Cada ejercicio plantea un problema probabilístico diferente, como calcular la probabilidad de obtener un número par dado un espacio muestral, determinar si dos sucesos son independientes dados sus probabilidades, o hallar la probabilidad condicional sabiendo información adicional. Las soluciones utilizan conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidades conjuntas e independencia para responder a cada pregunta planteada.
Este documento contiene 16 ejercicios resueltos sobre probabilidad y estadística. Los ejercicios involucran conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidades condicionadas, distribuciones binomiales, de Poisson y normal. En cada ejercicio se presenta un problema estadístico, se describe con diagramas o fórmulas y se calcula la solución de manera analítica.
El documento presenta 10 problemas de probabilidad y estadística resueltos. Se calculan probabilidades de sucesos como salir par en un dado, obtener al menos dos cruces al lanzar 3 monedas, extraer una bola roja de una urna con bolas de distintos colores, obtener rey u as al sacar una carta. También se calculan probabilidades con dados y monedas trucadas.
Este documento presenta 12 ejercicios de probabilidad y estadística. Los ejercicios involucran conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidad condicional e independencia. Se piden calcular probabilidades de diferentes sucesos dados datos sobre la probabilidad de otros sucesos. Los ejercicios van desde simples cálculos de probabilidad hasta problemas más complejos que requieren organizar la información en tablas y diagramas de árbol.
Este documento presenta 14 ejercicios de probabilidad y estadística. Los ejercicios cubren conceptos como espacio muestral, sucesos, probabilidades condicionales e independencia. Algunos ejercicios involucran lanzar monedas o bolas de urnas, mientras que otros analizan escenarios más complejos como exámenes o encuestas. El documento proporciona soluciones completas para cada ejercicio.
Este documento presenta 25 ejercicios de probabilidad y estadística resueltos. Los ejercicios incluyen cálculos de probabilidades simples y conjuntas, así como aplicaciones del teorema de Bayes. Algunos ejercicios involucran eventos médicos como la probabilidad de que un paciente sea menor de 24 meses o la probabilidad de que un resultado ecográfico tenga un error.
1. El documento presenta 15 ejercicios de probabilidad con sus respectivas soluciones. Los ejercicios involucran conceptos como espacio muestral, eventos, probabilidad simple, condicionada y conjunta al lanzar dados, sacar cartas o extraer bolas de urnas.
2. El último ejercicio calcula la probabilidad de que un dispositivo sea defectuoso considerando la probabilidad independiente de falla de cada uno de sus 3 componentes.
3. Se concluye que la probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso es de 12.682
Este documento presenta una serie de ejemplos y problemas de probabilidad relacionados con experimentos aleatorios que involucran lanzar monedas y dados, sacar bolas de urnas, y extraer cartas de una baraja. En total, contiene 24 ejemplos y problemas con sus respectivas soluciones, que cubren temas como espacios muestrales, sucesos elementales y compuestos, cálculo de probabilidades aplicando la regla de Laplace, diagramas de árbol, y experimentos con y sin reemplazo.
Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad de variables discretas y la distribución binomial. Incluye ejemplos y problemas de probabilidad que involucran lanzar monedas, sacar cartas de una baraja, y otros experimentos aleatorios.
Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad de variables discretas y la distribución binomial. Incluye ejemplos y problemas de probabilidad para practicar el cálculo de probabilidades en situaciones como extraer cartas de una baraja, lanzar monedas o dados, y otros experimentos aleatorios simples.
El documento presenta varios ejercicios resueltos sobre cálculo de probabilidades. El primer ejercicio calcula la probabilidad más probable de obtener una cantidad de caras al lanzar 20 monedas con probabilidad de cara de 0,6. El segundo ejercicio calcula la probabilidad de un suceso A dados otros sucesos. El tercer ejercicio calcula la probabilidad de que suba sólo una de dos acciones cuyas subidas son independientes con probabilidad del 70%.
El documento presenta 10 ejercicios resueltos sobre cálculo de probabilidades. El primer ejercicio calcula la probabilidad más probable de obtener un número determinado de caras al lanzar 20 monedas con probabilidad de cara del 0,6. El último ejercicio demuestra una desigualdad entre la probabilidad condicional de B dado A y la probabilidad de B.
El documento introduce conceptos básicos de probabilidad y estadística, incluyendo factoriales, permutaciones, combinaciones y definiciones de probabilidad empírica y teórica. Explica cómo calcular probabilidades usando la fórmula de probabilidad adecuada y provee ejemplos resueltos en Excel para ilustrar los diferentes conceptos.
El documento presenta varios ejemplos y métodos para resolver problemas relacionados con el análisis combinatorio, incluyendo permutaciones, combinaciones y problemas numéricos. Explica conceptos como permutaciones lineales y circulares, combinaciones, y cómo aplicar fórmulas como la de permutación y combinación para contar resultados posibles. También incluye la solución detallada de varios problemas de ejemplo.
Soluciones unidad 14 cálculo de probabilidadesklorofila
Este documento presenta varios problemas de probabilidad que involucran lanzar dados y extraer bolas de urnas. El primer problema calcula la probabilidad de no tocar una raya al dejar caer una moneda o disco en una cuadrícula. Los otros problemas calculan probabilidades al lanzar dados múltiples veces y al extraer bolas de urnas con diferentes composiciones.
Este documento presenta varios problemas de probabilidad que involucran el lanzamiento de dados, monedas y bolas en urnas. Los problemas incluyen calcular probabilidades simples y condicionales, así como determinar la independencia de eventos. Se proporcionan tablas y diagramas de árbol para ayudar a visualizar y resolver los problemas planteados.
Este documento presenta información sobre diagramas de Venn y probabilidad. Explica cómo construir diagramas de Venn dados datos sobre conjuntos y cómo calcular probabilidades utilizando estos diagramas. Incluye ejemplos detallados de cómo representar situaciones usando diagramas de Venn y calcular probabilidades. El objetivo es enseñar a los estudiantes cómo modelar datos sobre conjuntos y eventos usando diagramas de Venn y cómo utilizarlos para determinar probabilidades.
probabilidad y estadística. Ejercicios resueltosNobu Dragon
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios de probabilidad. En el primer ejercicio, se describe el espacio muestral de lanzar 3 monedas y se definen varios sucesos relacionados con sacar al menos una cara o cruz. En el segundo ejercicio, se calcula la probabilidad de diferentes sucesos relacionados con extraer una bola de una bolsa con bolas de diferentes colores. En el tercer ejercicio, se calculan probabilidades al extraer una carta de una baraja.
Este documento presenta varios ejemplos y ejercicios sobre probabilidad y experimentos aleatorios. Incluye la clasificación de experimentos como deterministas o de azar, así como cálculos de probabilidades para lanzar dados, monedas y extraer bolas de urnas. Resuelve problemas como hallar la probabilidad de obtener determinados resultados y construir diagramas para ilustrar experimentos compuestos que involucran múltiples lanzamientos o extracciones.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas sobre probabilidad. Incluye cálculos de probabilidades para eventos como sacar una bola de determinado color de una caja, obtener números pares o impares al seleccionar números al azar, y más. También incluye la solución propuesta para cada problema planteado.
Este documento presenta 29 problemas de probabilidad y combinatoria, con sus respectivas respuestas correctas. Los problemas incluyen cálculos de probabilidad simples y complejas, así como aplicaciones de fórmulas de permutaciones y combinaciones para determinar el número de posibles agrupaciones u ordenamientos de elementos.
Este documento presenta varios ejemplos y ejercicios sobre probabilidad y espacios muestrales. Explica conceptos como espacio muestra, sucesos favorables y casos posibles para calcular probabilidades de eventos al extraer cartas de una baraja o bolas de una caja. Luego resuelve ejercicios calculando probabilidades de obtener ciertas cartas o figuras al extraer de una baraja, o números al lanzar un dado varias veces.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con distribuciones de probabilidad y variables discretas. En el primer ejercicio, se pide dibujar diferentes recorridos lanzando una moneda 4 veces y asignando "Cara" a derecha y "Cruz" a izquierda. En el segundo ejercicio, se observa que ciertos recorridos llegan al mismo casillero dependiendo del número de "Caras". El documento continúa presentando más ejercicios sobre cálculo de probabilidades, distribuciones de probabilidad y tablas y
1) Un dado tiene 6 caras numeradas del 1 al 6. Se analizan varios casos de lanzamiento de dados, incluyendo la probabilidad de obtener números primos, menores a 3, o múltiplos de 3 al lanzar un dado.
2) Al lanzar dos dados hay 36 casos posibles. Se analiza la probabilidad de obtener diferentes sumas como 7 u obtener un 2 y un 5.
3) Al lanzar tres dados hay 216 casos posibles. Se plantea calcular la probabilidad de obtener una suma de 18.
Ejercicios de probabilidad y teorema de bayesBelgica Chasi
1. La probabilidad de que la suma de los puntos de dos dados sea par es 18/36 = 1/2.
2. La probabilidad de que salga 7 al lanzar tres dados es 15/216 = 5/72.
3. La probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre o estudie francés en una clase de 20 personas (10 hombres y 10 mujeres) es 15/20 = 3/4.
El documento presenta información sobre conceptos matemáticos como adición, sustracción, multiplicación y división. Explica las propiedades y definiciones de cada operación, así como temas complementarios como determinar el número de cifras de un producto o cociente. En particular, señala que no se puede determinar anticipadamente el sentido de una desigualdad cuando ambos lados son desigualdades contrarias sin conocer previamente los valores de cada número.
Este documento presenta una serie de ejercicios y problemas de probabilidad resueltos. Aborda temas como probabilidades condicionales, teorema de Bayes, experimentos aleatorios simples y compuestos. El documento proporciona detalles sobre 14 problemas de probabilidad resueltos que ilustran diferentes conceptos estadísticos.
Este documento trata sobre distribuciones de probabilidad. Explica cómo calcular las probabilidades de diferentes resultados al lanzar monedas o dados. También cubre conceptos como la media, desviación típica y funciones de densidad de probabilidad para diferentes distribuciones como la binomial y normal. Finalmente, proporciona ejemplos numéricos de cómo calcular probabilidades para estas distribuciones.
El documento presenta varios problemas de matemáticas y sus soluciones. El primer problema pide calcular α para que una ecuación tenga una raíz doble de otra, resolviéndolo y encontrando que α = ±6. El segundo problema pide encontrar los doce enteros exquisitos más pequeños, los cuales son enumerados. El tercer problema pide hallar pares de números que satisfagan una ecuación dada, encontrando dos pares de solución.
Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad de variables discretas y la distribución binomial. Incluye ejemplos y problemas de probabilidad que involucran lanzar monedas, sacar cartas de una baraja, y otros experimentos aleatorios.
Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad de variables discretas y la distribución binomial. Incluye ejemplos y problemas de probabilidad para practicar el cálculo de probabilidades en situaciones como extraer cartas de una baraja, lanzar monedas o dados, y otros experimentos aleatorios simples.
El documento presenta varios ejercicios resueltos sobre cálculo de probabilidades. El primer ejercicio calcula la probabilidad más probable de obtener una cantidad de caras al lanzar 20 monedas con probabilidad de cara de 0,6. El segundo ejercicio calcula la probabilidad de un suceso A dados otros sucesos. El tercer ejercicio calcula la probabilidad de que suba sólo una de dos acciones cuyas subidas son independientes con probabilidad del 70%.
El documento presenta 10 ejercicios resueltos sobre cálculo de probabilidades. El primer ejercicio calcula la probabilidad más probable de obtener un número determinado de caras al lanzar 20 monedas con probabilidad de cara del 0,6. El último ejercicio demuestra una desigualdad entre la probabilidad condicional de B dado A y la probabilidad de B.
El documento introduce conceptos básicos de probabilidad y estadística, incluyendo factoriales, permutaciones, combinaciones y definiciones de probabilidad empírica y teórica. Explica cómo calcular probabilidades usando la fórmula de probabilidad adecuada y provee ejemplos resueltos en Excel para ilustrar los diferentes conceptos.
El documento presenta varios ejemplos y métodos para resolver problemas relacionados con el análisis combinatorio, incluyendo permutaciones, combinaciones y problemas numéricos. Explica conceptos como permutaciones lineales y circulares, combinaciones, y cómo aplicar fórmulas como la de permutación y combinación para contar resultados posibles. También incluye la solución detallada de varios problemas de ejemplo.
Soluciones unidad 14 cálculo de probabilidadesklorofila
Este documento presenta varios problemas de probabilidad que involucran lanzar dados y extraer bolas de urnas. El primer problema calcula la probabilidad de no tocar una raya al dejar caer una moneda o disco en una cuadrícula. Los otros problemas calculan probabilidades al lanzar dados múltiples veces y al extraer bolas de urnas con diferentes composiciones.
Este documento presenta varios problemas de probabilidad que involucran el lanzamiento de dados, monedas y bolas en urnas. Los problemas incluyen calcular probabilidades simples y condicionales, así como determinar la independencia de eventos. Se proporcionan tablas y diagramas de árbol para ayudar a visualizar y resolver los problemas planteados.
Este documento presenta información sobre diagramas de Venn y probabilidad. Explica cómo construir diagramas de Venn dados datos sobre conjuntos y cómo calcular probabilidades utilizando estos diagramas. Incluye ejemplos detallados de cómo representar situaciones usando diagramas de Venn y calcular probabilidades. El objetivo es enseñar a los estudiantes cómo modelar datos sobre conjuntos y eventos usando diagramas de Venn y cómo utilizarlos para determinar probabilidades.
probabilidad y estadística. Ejercicios resueltosNobu Dragon
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios de probabilidad. En el primer ejercicio, se describe el espacio muestral de lanzar 3 monedas y se definen varios sucesos relacionados con sacar al menos una cara o cruz. En el segundo ejercicio, se calcula la probabilidad de diferentes sucesos relacionados con extraer una bola de una bolsa con bolas de diferentes colores. En el tercer ejercicio, se calculan probabilidades al extraer una carta de una baraja.
Este documento presenta varios ejemplos y ejercicios sobre probabilidad y experimentos aleatorios. Incluye la clasificación de experimentos como deterministas o de azar, así como cálculos de probabilidades para lanzar dados, monedas y extraer bolas de urnas. Resuelve problemas como hallar la probabilidad de obtener determinados resultados y construir diagramas para ilustrar experimentos compuestos que involucran múltiples lanzamientos o extracciones.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas sobre probabilidad. Incluye cálculos de probabilidades para eventos como sacar una bola de determinado color de una caja, obtener números pares o impares al seleccionar números al azar, y más. También incluye la solución propuesta para cada problema planteado.
Este documento presenta 29 problemas de probabilidad y combinatoria, con sus respectivas respuestas correctas. Los problemas incluyen cálculos de probabilidad simples y complejas, así como aplicaciones de fórmulas de permutaciones y combinaciones para determinar el número de posibles agrupaciones u ordenamientos de elementos.
Este documento presenta varios ejemplos y ejercicios sobre probabilidad y espacios muestrales. Explica conceptos como espacio muestra, sucesos favorables y casos posibles para calcular probabilidades de eventos al extraer cartas de una baraja o bolas de una caja. Luego resuelve ejercicios calculando probabilidades de obtener ciertas cartas o figuras al extraer de una baraja, o números al lanzar un dado varias veces.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con distribuciones de probabilidad y variables discretas. En el primer ejercicio, se pide dibujar diferentes recorridos lanzando una moneda 4 veces y asignando "Cara" a derecha y "Cruz" a izquierda. En el segundo ejercicio, se observa que ciertos recorridos llegan al mismo casillero dependiendo del número de "Caras". El documento continúa presentando más ejercicios sobre cálculo de probabilidades, distribuciones de probabilidad y tablas y
1) Un dado tiene 6 caras numeradas del 1 al 6. Se analizan varios casos de lanzamiento de dados, incluyendo la probabilidad de obtener números primos, menores a 3, o múltiplos de 3 al lanzar un dado.
2) Al lanzar dos dados hay 36 casos posibles. Se analiza la probabilidad de obtener diferentes sumas como 7 u obtener un 2 y un 5.
3) Al lanzar tres dados hay 216 casos posibles. Se plantea calcular la probabilidad de obtener una suma de 18.
Ejercicios de probabilidad y teorema de bayesBelgica Chasi
1. La probabilidad de que la suma de los puntos de dos dados sea par es 18/36 = 1/2.
2. La probabilidad de que salga 7 al lanzar tres dados es 15/216 = 5/72.
3. La probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre o estudie francés en una clase de 20 personas (10 hombres y 10 mujeres) es 15/20 = 3/4.
El documento presenta información sobre conceptos matemáticos como adición, sustracción, multiplicación y división. Explica las propiedades y definiciones de cada operación, así como temas complementarios como determinar el número de cifras de un producto o cociente. En particular, señala que no se puede determinar anticipadamente el sentido de una desigualdad cuando ambos lados son desigualdades contrarias sin conocer previamente los valores de cada número.
Este documento presenta una serie de ejercicios y problemas de probabilidad resueltos. Aborda temas como probabilidades condicionales, teorema de Bayes, experimentos aleatorios simples y compuestos. El documento proporciona detalles sobre 14 problemas de probabilidad resueltos que ilustran diferentes conceptos estadísticos.
Este documento trata sobre distribuciones de probabilidad. Explica cómo calcular las probabilidades de diferentes resultados al lanzar monedas o dados. También cubre conceptos como la media, desviación típica y funciones de densidad de probabilidad para diferentes distribuciones como la binomial y normal. Finalmente, proporciona ejemplos numéricos de cómo calcular probabilidades para estas distribuciones.
El documento presenta varios problemas de matemáticas y sus soluciones. El primer problema pide calcular α para que una ecuación tenga una raíz doble de otra, resolviéndolo y encontrando que α = ±6. El segundo problema pide encontrar los doce enteros exquisitos más pequeños, los cuales son enumerados. El tercer problema pide hallar pares de números que satisfagan una ecuación dada, encontrando dos pares de solución.
Este documento presenta una serie de ejemplos y problemas de probabilidad relacionados con experimentos aleatorios que involucran lanzar monedas y dados, sacar bolas de urnas, y extraer cartas de una baraja. En total, contiene 24 ejemplos y problemas con sus respectivas soluciones, que cubren temas como espacios muestrales, sucesos elementales y compuestos, cálculo de probabilidades aplicando la regla de Laplace, diagramas de árbol, y experimentos con y sin reemplazo.
El documento describe un experimento que simula el recorrido de un perdigón lanzado por un aparato de Galton. Se lanza una moneda 7 veces y según salga cara o cruz el perdigón se desplaza a la derecha o izquierda. El número de casilla en la que cae depende del número total de caras obtenidas. Se explica que hay más perdigones en las casillas centrales debido a que hay más formas posibles de combinar las secuencias de lanzamientos que dan ese resultado.
El documento presenta cuatro ejemplos de probabilidades usando distribuciones de Bernoulli. El primer ejemplo calcula la probabilidad de que un alumno en particular sea seleccionado al azar de una clase de 16 alumnos. El segundo ejemplo calcula la probabilidad de que un boleto en particular sea seleccionado de una urna con 342 boletos. El tercer ejemplo calcula la probabilidad de sacar cruz o cara al lanzar una moneda. El cuarto ejemplo calcula la probabilidad de sacar una carta en particular de un mazo de 9 cartas.
El documento presenta varios problemas de probabilidad relacionados con el lanzamiento de dados, sacar bolas de una urna, elegir personas al azar, etc. Se calculan probabilidades de sucesos como que la suma de caras de dos dados sea un número primo, que al sacar una bola de un bingo esta tenga un múltiplo de 6 o 10, o que al elegir dos cargos directivos de un club sean ambos hombres o hombre y mujer.
El documento presenta cuatro ejemplos de probabilidades de Bernoulli. El primero calcula la probabilidad de sacar la carta 9 de un mazo de 9 cartas. El segundo calcula la probabilidad de seleccionar al alumno 16 de una clase de 16 alumnos. El tercero calcula la probabilidad de ganar un automóvil al sacar el boleto 342 de una urna con 342 boletos. El cuarto calcula la probabilidad de sacar cruz al lanzar una moneda. En cada caso se presentan las fórmulas de probabilidad de Bernoulli.
Este documento presenta varios ejercicios sobre probabilidad y estadística. Explica conceptos como experimentos deterministas vs. aleatorios, espacio muestral, sucesos elementales y compuestos, y cálculo de frecuencias absolutas y relativas. Los ejercicios incluyen ejemplos como lanzar dados, sacar bolas de una urna, y encuestas para practicar la clasificación de sucesos y el cálculo de probabilidades.
Este documento presenta varios problemas y ejercicios de probabilidad. En primer lugar, pide calcular la probabilidad de obtener diferentes resultados al lanzar dados o extraer bolas de urnas. Luego, presenta un ejercicio que involucra lanzar un dado y una moneda, donde se pide describir el espacio muestral, y calcular la unión y la intersección de diferentes sucesos. Finalmente, define un espacio de sucesos elementales compuesto por tres elementos.
El documento presenta varios problemas matemáticos con sus respectivas soluciones. El primer problema consiste en construir un número de seis cifras distintas cuyos números de tres cifras sean múltiplos de 4, 5, 3 y 11. La solución es 324561. El segundo problema trata sobre la probabilidad de acertar al menos dos preguntas de opción múltiple con tres respuestas cada una al azar, obteniendo 0,259. El tercer problema resuelve la longitud AP de un triángulo rectángulo dado, hallando 17,5 unidades.
1) Se calculan las probabilidades de obtener determinados resultados en experimentos aleatorios como sacar una carta numerada, seleccionar a un alumno al azar, sacar un boleto premiado de entre muchos o lanzar una moneda.
2) Se explican conceptos estadísticos como la distribución binomial y de Poisson que sirven para calcular probabilidades en situaciones de múltiples ensayos como lanzar un dado varias veces, que personas de un grupo hayan leído un libro o el número de defectos en un lote.
3) Se res
Este documento presenta ejemplos de distribuciones de probabilidad discretas y continuas. En el primer ejemplo, se calcula la probabilidad de que un alumno obtenga al menos 14 respuestas correctas en un examen de 20 preguntas usando la distribución binomial. En el segundo ejemplo, se calculan probabilidades relacionadas con la distribución de Poisson. El tercer ejemplo presenta cálculos de probabilidad utilizando la distribución t-Student.
Este documento presenta varios problemas y ejercicios relacionados con el cálculo de probabilidades. Incluye cálculos para determinar la probabilidad de que eventos específicos ocurran en experiencias aleatorias como lanzar dados, monedas u objetos en cuadrículas. También cubre conceptos como espacios muestrales, sucesos elementales y no elementales, probabilidades condicionadas e independencia de eventos.
1. El documento presenta ejemplos de diferentes distribuciones de probabilidad incluyendo distribución de Bernoulli, distribución de Poisson, distribución binomial, distribución gamma y distribución t-Student.
2. Se proporcionan ejemplos numéricos para calcular probabilidades usando cada una de estas distribuciones.
3. Los ejemplos cubren temas como lanzar dados, sacar boletos premiados, problemas en registros contables, tiempo de reparación y supervivencia de pacientes.
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones lineales de dos variables. En la primera sección, se define una ecuación lineal y se explica que una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es un par de valores que hacen cierta la igualdad. La segunda sección define un sistema de ecuaciones lineales como dos ecuaciones lineales y explica que puede tener una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. La tercera sección presenta tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: reducción, sust
Albert y Bernard quieren saber cuándo es el cumpleaños de su compañera Cheryl y realizan las siguientes observaciones:
1) Cheryl cumple años en uno de estos tres meses: mayo, junio o julio.
2) Albert le pregunta a Cheryl el mes de su cumpleaños, a lo que ella responde que no es mayo.
3) Bernard le pregunta a Cheryl si su cumpleaños es en junio o julio, a lo que ella responde que no revelará su cumpleaños.
Con estas observaciones, Albert y Bernard pueden deduc
El documento trata sobre la relación inversa entre el número de trabajadores y el número de tejas que cada trabajador debe colocar para cubrir un tejado de 600 tejas. Cuanto más trabajadores haya en el proyecto, menos tejas tendrá que colocar cada uno. Por ejemplo, si el número de trabajadores se duplica, el número de tejas por trabajador se divide entre dos.
El documento trata sobre la relación inversa entre el número de trabajadores y el número de tejas que cada trabajador debe colocar para cubrir un tejado de 600 tejas. Cuanto más trabajadores haya en el proyecto, menos tejas tendrá que colocar cada uno. Por ejemplo, si el número de trabajadores se duplica, el número de tejas por trabajador se divide entre dos.
El documento presenta diferentes conceptos y métodos relacionados con la probabilidad y el conteo de resultados. Explica el diagrama de árbol para representar resultados posibles de un experimento, y las fórmulas para calcular combinaciones, permutaciones y la técnica de multiplicación. También resuelve problemas aplicando estos conceptos a situaciones como extraer cartas de una baraja o lanzar monedas y dados.
El documento presenta diferentes conceptos y métodos relacionados con la probabilidad y el conteo de resultados. Explica el diagrama de árbol para representar resultados posibles de un experimento, y las fórmulas para calcular combinaciones, permutaciones y la técnica de multiplicación. Luego, resuelve varios problemas prácticos utilizando estos conceptos, como calcular la probabilidad de obtener ciertas cartas de una baraja o determinados resultados al lanzar monedas y dados.
Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad continua. Explica conceptos como funciones de densidad, intervalos de probabilidad y cálculo de probabilidades para diferentes distribuciones como la normal, uniforme y binomial. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre el cálculo de probabilidades para estas distribuciones.
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre relaciones funcionales y relaciones estadísticas entre variables. Se analizan varios casos para determinar si existe una relación funcional o una correlación, positiva o negativa, entre las variables. También incluye ejemplos y ejercicios para calcular coeficientes de correlación y trazar rectas de regresión en distribuciones bidimensionales.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con conceptos estadísticos como intervalos, tablas de frecuencias, medidas de tendencia central, medidas de dispersión y diagramas. Se piden calcular parámetros como media, mediana, cuartiles, desviación típica y coeficiente de variación para diferentes conjuntos de datos. También se solicita construir histogramas, polígonos de frecuencias y diagramas de caja para representar gráficamente las distribuciones.
Este documento presenta varios ejemplos de aplicaciones del cálculo de derivadas, incluyendo el cálculo de velocidades y pendientes de tangentes. Se analizan casos como tomar un autobús en movimiento, carreras de relevos y funciones derivadas.
Este documento presenta un resumen de conceptos clave sobre límites de funciones, continuidad y ramas infinitas. Incluye ejemplos de cálculo de límites, determinación de puntos de discontinuidad y representación gráfica de funciones. El documento contiene definiciones, ejercicios propuestos y su resolución para reforzar la comprensión de estos temas fundamentales del cálculo.
5.funciones exponenciales, logaritmicas y trigonometricasfanufe
1. El documento presenta varios problemas de representación gráfica de funciones. Se pide representar gráficamente la función que modela la distancia al suelo de una noria en función del tiempo para cuatro vueltas completas. También se pide representar gráficamente el crecimiento exponencial de una población de amebas en función del tiempo y en función del número de amebas. Por último, se pide representar la desintegración radiactiva de una sustancia en función del tiempo y en función de su peso.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones elementales. En la primera sección, se pide hallar el dominio de definición de varias funciones racionales y radicales. Luego, se incluyen ejercicios para representar gráficamente funciones dadas por partes y funciones relacionadas con la función valor absoluto y la función parte entera. Finalmente, se proporcionan más ejercicios para practicar el cálculo del dominio de definición.
El resumen del documento es:
1) Tres amigos y sus tres hijos recogieron almendras de un saco en función del número de veces que metieron la mano. Cada padre cogió 45 almendras más que su hijo.
2) Se pide determinar los nombres de los hijos, el número total de almendras y cuántas cogió cada uno resolviendo ecuaciones.
3) La solución es que el hijo de Antonio es José, el de Juan es Julio y el de Pablo es Luis, y el total de almendras fue 1183
Este documento presenta varios ejemplos y ejercicios sobre aumentos y disminuciones porcentuales, intereses compuestos, amortización de préstamos y cálculo de tasas de interés efectivas. Incluye fórmulas para calcular índices de variación, transformaciones de capitales colocados a diferentes tasas de interés y períodos, y pagos para amortizar préstamos.
Este documento presenta información sobre números reales. Explica conceptos como números racionales e irracionales y cómo resolver ecuaciones de segundo grado. También muestra ejemplos de simplificación de raíces y racionalización de fracciones.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
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SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
Dosificación de los aprendizajes U4_Me gustan los animales_Parvulos 1_2_3.pdf
10.distribuciones probabilidad
1. Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial
11
Página 243
REFLEXIONA Y RESUELVE
Recorrido de un perdigón
■ Dibuja los recorridos correspondientes a:
C + C C, + C + C, + C C C, + + + +, C C + C
■ Observa que todos los recorridos que constan de 3 CARAS y 1 CRUZ llegan al mis-
mo casillero.
Comprueba que ocurre lo mismo en los recorridos que tienen 2 CARAS y 2 CRU-
CES o bien 1 CARA y 3 CRUCES.
Por eso, cada uno de los cinco casilleros queda caracterizado por el número de
CARAS que se necesitan para llegar a él.
Dos caras y dos cruces significaría ir dos veces a la derecha y dos a la izquierda.
Una cara y tres cruces es una vez a la derecha y tres a la izquierda.
0CARAS
1CARA
2CARAS
3CARAS
4CARAS
C + C C + C + C
+ + + + C C + C
+ C C C
DISTRIBUCIONES
DE PROBABILIDAD
DE VARIABLE DISCRETA.
LA BINOMIAL10
2. ¿Cuántos perdigones en cada casillero?
■ ¿Cuáles son las probabilidades de que un perdigón caiga en cada uno de los 6
casilleros en un aparato de Galton con 5 filas de topes?
Fila 5.a 8 1 5 10 10 5 1
■ ¿Y en un aparato de Galton con 6 filas?
Fila 6.a 8 1 6 15 20 15 6 1
Página 246
1. En una bolsa hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de
que, al sacar tres de ellas, las tres sean impares?
a) Si las extracciones son con reemplazamiento.
b) Si las extracciones son sin reemplazamiento.
a)
3
=
b) · · =
Página 249
1. Completa la siguiente tabla y halla los parámetros μ y q:
μ = Spi xi = 3,1
q = = = 13,09√181 – 3,12√Spi xi
2 – μ2
xi pi
0
10
50
100
0,90
0,06
0,03
0,01
1,00
pixi
0
0,6
1,5
1
pixi
2
0
6
75
100
3,1 181
P [50] = 1 – (0,9 + 0,06 + 0,01) =
= 1 – 0,97 = 0,03
xi
pi
0
0,9
10
0,06
50 100
0,01
1
10
1
3
2
4
3
5
27
125)3
5(
Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial
12
3. 2. Describe, mediante una tabla xi, pi, la distribución del “número de caras” al
lanzar 3 monedas. Halla los parámetros μ y q.
μ = Spi xi = 1,5
q = = = 0,87
3. En una lotería de 1 000 números se reparten los premios siguientes:
• A un número elegido al azar, 5 000 €.
• Al anterior y al posterior, 1 000 €.
• A los 99 que terminan en la misma cifra que el ganador, 10 €.
• Al resto de números, nada.
a) Haz la tabla con los valores 0, 10, 1 000 y 5 000 con sus correspondientes
probabilidades.
b)Calcula los parámetros μ y q.
a) No ganan nada 1000 – 3 – 99 = 898
b) μ = Spi xi = 7,99
q = = = 164,15√27009,9 – 7,992√Spi xi
2 – μ2
xi pi
0
10
1000
5000
0,898
0,099
0,002
0,001
1,000
pixi
0
0,99
2
5
pixi
2
0
9,9
2000
25000
7,99 27009,9
√3 – 1,52√Spi xi
2 – μ2
xi pi
0
1
2
3
1/8
3/8
3/8
1/8
8/8 = 1
pixi
0
3/8
6/8
3/8
pixi
2
0
3/8
12/8
9/8
12/8 = 1,5 24/8 = 3
Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial
13
10UNIDAD
4. Página 251
1. ¿Qué valores puede tomar la variable x en cada distribución de los ejemplos 1, 2,
3, 5 y 7 anteriores?
Ejemplo 1 8 x = 0, 1, 2, …, 10
Ejemplo 2 8 x = 0, 1, 2, …, 6
Ejemplo 3 8 x = 0, 1, …, 100
Ejemplo 5 8 x = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Ejemplo 7 8 x = 0, 1, …, 100
2. Inventa experiencias parecidas a las de los ejemplos 4 y 6, pero que sí sean bi-
nomiales.
Por ejemplo:
4. Extraemos una carta de una baraja, vemos si es o no OROS y la devolvemos al ma-
zo. Barajamos y extraemos otra carta. Repetimos la experiencia cinco veces.
n = 5; p = 0,1 8 B(5; 0,1)
6. Nos preguntamos cuántos partidos ganará un equipo A que juega con un equipo
B, de modo que la probabilidad de ganar se mantenga constante los 6 partidos
consecutivos que jugarán.
n = 6; p = 0,5 8 B(6; 0,5)
Página 253
1. En una distribución binomial B(10; 0,4), halla P[x = 0], P[x = 3], P[x = 5],
P[x = 10] y el valor de cada uno de los parámetros μ y q.
P [x = 0] = 0,610 = 0,006047
P [x = 3] = · 0,43 · 0,67 = 120 · 0,43 · 0,67 = 0,215
P [x = 5] = · 0,45 · 0,65 = 252 · 0,45 · 0,65 = 0,201
P [x = 10] = 0,410 = 0,000105
μ = 10 · 0,4 = 4
q = = = = 1,55
2. Lanzamos 7 monedas. Calcula las probabilidades de 3 caras, 5 caras y 6 caras.
Halla los valores de μ y q.
Se trata de una distribución binomial con n = 7 y p = 0,5 8 B(7; 0,5)
P [x = 3] = · (0,5)3 · (0,5)4 = 35 · 0,125 · 0,0625 ≈ 0,273)7
3(
√2,4√10 · 0,4 · 0,6√n p q
)10
5(
)10
3(
Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial
14
5. P [x = 5] = · (0,5)5 · (0,5)2 = 21 · 0,03125 · 0,25 ≈ 0,164
P [x = 6] = · (0,5)6 · (0,5) = 7 · 0,015625 · 0,5 ≈ 0,0547
μ = n p = 7 · 0,5 = 3,5
q = = ≈ 1,323
Página 255
1. Un profesor de idiomas tiene una clase con cuatro alumnos adultos. De los 100 dí-
as de clase, asisten 4, 3, 2, 1 o ninguno de ellos, según la tabla adjunta. Ajusta los
datos a una distribución binomial y di si te parece que el ajuste es bueno o no.
La media es –x = 2,79.
Como n = 4, –x = np 8 2,79 = 4p 8 p = 0,6975
Si fuera una binomial, p = 0,6975 sería la probabilidad de que uno cualquiera de los
alumnos asistiera un día a clase. q = 0,3025.
Con este valor de p se obtiene la siguiente tabla:
La mayor de las diferencias es 10. Es demasiado grande en comparación con el total,
100. Hemos de rechazar la hipótesis de que se trata de una binomial.
xi
fi
4 3 2 1 0
23 48 17 9 3
√7 · 0,5 · 0,5√n p q
)7
6(
)7
5(
Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial
15
10UNIDAD
xi pi = P [x = xi ] 100 · pi
VALORES VALORES
|DIFERENCIAS|
ESPERADOS OBSERVADOS
0 q 4 = 0,008 0,8 1 3 2
1 4 p q 3 = 0,077 7,7 8 9 1
2 6 p2 q 2 = 0,267 26,7 27 17 10
3 4 p3 q = 0,411 41,1 41 48 7
4 p4 = 0,237 23,7 24 23 1
6. Página 259
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Cálculo de probabilidades
1 Extraemos dos cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de ob-
tener:
a) 2 ases.
b)Ningún as.
c) Algún as.
a) · =
b) · =
c) 1 – =
2 Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras que salen. Calcula la
probabilidad de obtener:
a) Una cara.
b) Más de una cara.
a) 3 ·
3
=
b) P [dos caras] + P [tres caras] = 3 ·
3
+ = =
3 En un examen hay que contestar a 2 temas elegidos al azar entre 30. Un
alumno ha estudiado solo 12 de los 30 temas. Halla la probabilidad de que:
a) El alumno haya estudiado los dos temas elegidos.
b)Solo haya estudiado uno de los dos temas elegidos.
c) No haya estudiado ninguno de los dos temas elegidos.
a) P [sepa el 1.° y el 2.°] = P [sepa el 1.°] · P [sepa el 2.°/sabía el 1.°] =
= · = = 0,15
b) P [solo uno] = 2 · P [sepa el 1.° y no el 2.°] = 2 · · = = 0,50
c) P [ninguno] = · = = 0,35
51
145
17
29
18
30
72
145
18
29
12
30
22
145
11
29
12
30
1
2
4
8
1
8)1
2(
3
8)1
2(
5
26
21
26
21
26
35
39
36
40
1
130
3
39
4
40
PARA PRACTICAR
Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial
16
7. 4 En una urna A hay 5 bolas numeradas del 1 al 5 y en otra urna B hay 4 bo-
las numeradas del 6 al 9. Se lanza una moneda: si sale cara, se extrae una
bola de la urna A, y si sale cruz, se extrae una bola de la urna B. Calcula la
probabilidad de que la bola extraída sea:
a) La que lleva el número 5.
b)La que lleva el número 8.
c) Una que lleve un número par.
Hacemos un diagrama en árbol para calcular fácilmente las probabilidades:
a) P [5] = · = = 0,1
b) P [8] = · = = 0,125
c) P [par] = 2 · · + 2 · · = = 0,45
5 Extraemos al azar una ficha de un dominó normal (28 fichas) y sumamos
los puntos de sus dos mitades.
Calcula la probabilidad de que la suma de puntos sea 6.
Hay 4 fichas en las que la suma de puntos es 6:
0–6 1–5 2–4 3–3
El total de fichas es 28, luego la probabilidad pedida es:
= ≈ 0,14
1
7
4
28
9
20
1
4
1
2
1
5
1
2
1
8
1
4
1
2
1
10
1
5
1
2
1
2
3
4
5
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
A
P [cara] = 1/2
6
7
8
9
1/4
1/4
1/4
1/4
B
P [cruz] = 1/2
Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial
17
10UNIDAD
8. 6 Una fábrica tiene tres máquinas que fabrican tornillos. La máquina A pro-
duce el 50% del total de tornillos; la máquina B, el 30%, y la C, el 20%. De la
máquina A salen un 5% de tornillos defectuosos; de la B, un 4%, y de la C,
un 2%.
Calcula la probabilidad de que un tornillo elegido al azar sea defectuoso.
Hacemos un diagrama en árbol:
Distribuciones de probabilidad
7 Completa la siguiente tabla de probabilidades y calcula sus parámetros:
0,1 + 0,3 + P [2] + 0,1 = 1 8 P [2] = 0,5
μ = S xi pi = 1,6
q = = = 0,8
8 Sacamos dos cartas de una baraja y anotamos el número de ases (0, 1 ó 2).
a) ¿Cuál es la distribución de probabilidad?
b) Calcula la media y la desviación típica.
a) b) μ = 0,2; q = 0,42
xi pi xi pi pi xi
2
0 0,1 0 0
1 0,3 0,3 0,3
2 0,5 1 2
3 0,1 0,3 0,9
Sxi pi = 1,6 Spi xi
2 = 3,2
√0,64√3,2 – 1,62
xi
pi
0 1 2 3
0,1 0,3 … 0,1
A
C
B
0,5
0,05
0,04
0,02
0,2
0,3
defectuoso
no defectuoso
defectuoso
no defectuoso
defectuoso
no defectuoso
P [defectuoso] = 0,5 · 0,05 + 0,3 · 0,04 + 0,2 · 0,02 = 0,041
Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial
18
xi 0 1 2
p
i · 2 · · ·
3
39
4
40
36
39
4
40
35
39
36
40
9. 9 Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras obtenidas. Haz una
tabla con las probabilidades, represéntala gráficamente y calcula la media y
la desviación típica.
μ = 1,5; q = 0,87
10 Recuerda cuáles son las puntuaciones de las 28 fichas de un dominó. Si en
cada una de ellas sumamos los puntos de sus dos mitades, obtenemos las po-
sibles sumas 0, 1, 2, …, 10, 11 y 12 con probabilidades distintas. Haz la tabla
con la distribución de probabilidades y calcula μ y q.
μ = 6; q = 3
11 Una urna contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 verdes. Se hacen dos extrac-
ciones sin reemplazamiento y se anota el número de bolas rojas extraídas.
a) Haz la tabla de la distribución de probabilidad.
b) Haz otra tabla suponiendo que hay reemplazamiento.
a)
b)
0
1/8
2/8
3/8
1 2 3
pi
xi
Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial
19
10UNIDAD
xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p
i
1
28
1
28
2
28
2
28
3
28
3
28
4
28
3
28
3
28
2
28
2
28
1
28
1
28
xi 0 1 2
p
i · 2 · · ·
2
9
3
10
7
9
3
10
6
9
7
10
xi 0 1 2
p
i ( )2
2 · · ( )23
10
7
10
3
10
7
10
xi 0 1 2 3
p
i
1
8
3
8
3
8
1
8
10. 12 En una urna A hay 5 bolas numeradas del 1 al 5 y en otra urna B hay 4 bo-
las numeradas del 6 al 9. Se lanza una moneda: si sale cara, se saca una bola
de A, y si sale cruz, se saca de B. Se observa el número que tiene la bola.
a) Haz la tabla de la distribución de probabilidad.
b) Represéntala gráficamente.
c) Calcula μ y q.
a)
b)
c) μ = 5,25; q = 2,59
13 En las familias con 4 hijos e hijas, nos fijamos en el número de hijas.
a) Haz la tabla con las probabilidades suponiendo que la probabilidad de
que nazca un niño o una niña es la misma.
b)Represéntala gráficamente y halla la media y la desviación típica.
a)
b) μ = 2
q = 1
0
1/16
2/16
3/16
4/16
5/16
6/16
1 2 3 4
pi
xi
1
0,1
0,2
2 3 4 5 6 7 8 9
pi
xi
Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial
20
xi 1 2 3 4 5
p
i · = 0,1 · = 0,1 · = 0,1 · = 0,1 · = 0,1
1
5
1
2
1
5
1
2
1
5
1
2
1
5
1
2
1
5
1
2
xi 6 7 8 9
p
i · = 0,125 0,125 0,125 0,125
1
4
1
2
xi 0 1 2 3 4
p
i
1
16
4
16
6
16
4
16
1
16
11. Página 260
Distribución binomial
14 Reconoce en cada uno de los siguientes ejercicios una distribución binomial
y di los valores de n, p, μ y q.
a) Un examen tipo test consta de 50 preguntas, cada una con tres respues-
tas, de las que solo una es correcta. Se responde al azar. ¿Cuál es el nú-
mero de preguntas acertadas?
b)En el examen descrito en el apartado anterior, un alumno conoce las res-
puestas de 20 preguntas y responde las restantes al azar. Nos pregunta-
mos cuántas de ellas acertará.
c) Una moneda se lanza 400 veces. Número de caras.
d)El 11% de los billetes de lotería reciben algún tipo de premio, aunque sea
el reintegro. En una familia juegan a 46 números.
e) El 1% de ciertas soldaduras son defectuosas y revisamos mil de ellas. Nú-
mero de soldaduras defectuosas que habrá.
a) B 50; ; μ = = 16,67; q = 3,33
b) B 30; ; μ = 10; q = 2,58 relativo a las que contesta al azar
c) B 400; ; μ = 200; q = 10
d) B (46; 0,11); μ = 5,06; q = 2,12
e) B (1000; 0,01); μ = 10; q = 3,15
15 En una distribución binomial B(7; 0,4) calcula:
a) P [x = 2] b) P[x = 5] c) P[x = 0]
d) P [x > 0] e) P [x > 3] f) P [x < 5]
a) · 0,42 · 0,65 = 0,261 b) · 0,45 · 0,62 = 0,077
c) 0,67 = 0,028 d) 1 – P [x = 0] = 0,972
e) 0,290 f) 0,904
16 En una distribución binomial B (9; 0,2) calcula:
a) P [x < 3] b) P [x Ó 7] c) P[x ? 0] d) P [x Ì 9]
a) P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2] = 0,738
b) P [x = 7] + P [x = 8] + P [x = 9] = 0,000314
c) 1 – P [x = 0] = 1 – 0,134 = 0,866
d) 1
)7
5()7
2(
)1
2(
)1
3(
50
3)1
3(
Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial
21
10UNIDAD
12. 17 Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con cuatro respuestas,
de las cuales solo una es correcta. Si un alumno contesta al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente 4 preguntas?
b) ¿Y la de que conteste bien más de 2 preguntas?
c) Calcula la probabilidad de que conteste mal a todas las preguntas.
x es B 10;
a) P [x = 4] = · 0,254 · 0,756 = 0,146
b) P [x > 2] = 1 – P [x Ì 2] = 1 – (P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2]) =
= 1 – (0,056 + 0,188 + 0,282) = 1 – 0,526 = 0,474
c) P [x = 0] = 0,7510 = 0,056
18 La probabilidad de que un aparato de televisión, antes de revisarlo, sea de-
fectuoso, es 0,2. Si se revisan cinco aparatos, calcula:
a) P[ninguno defectuoso].
b)P[alguno defectuoso].
x es B (5; 0,2)
a) P [x = 0] = 0,85 = 0,328
b) P [x ? 0] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,328 = 0,672
19 Tenemos una moneda defectuosa para la cual la probabilidad de obtener
cruz en un lanzamiento es 0,4. La lanzamos cinco veces y anotamos el nú-
mero de cruces.
Haz una tabla con la distribución de probabilidad, represéntala gráfica-
mente y calcula su media y su desviación típica.
x es B (2; 0,4)
μ = 0,8
q = 0,69
0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
1 2
pi
xi
xi 0 1 2
pi 0,36 0,48 0,16
PARA RESOLVER
)10
4(
)1
4(
Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial
22
13. 20 Una urna contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 verdes. Hacemos 2 extrac-
ciones con reemplazamiento. Calcula la probabilidad de obtener:
a) Dos verdes.
b)Ninguna verde.
c) Una verde.
Repite el problema con extracciones sin reemplazamiento.
Con reemplazamiento:
a) · = 0,04 b) · = 0,64 c) 2 · · = 0,32
Sin reemplazamiento:
a) · = 0,0
)
2 b) · = 0,6
)
2 c) 2 · · = 0,3
)
5
21 Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al azar, se anota su
color y se devuelve a la urna. Si esta experiencia se repite 5 veces, calcula la
probabilidad de obtener:
a) Tres rojas. b)Menos de tres rojas.
c) Más de tres rojas. d)Alguna roja.
Si consideramos éxito = “sacar roja”, x es B (5; 0,3)
a) P [x = 3] = · 0,33 · 0,72 = 0,1323
b) P [x < 3] = P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2] =
= 0,16807 + 0,36015 + 0,3087 = 0,83692 ≈ 0,8369
c) P [x > 3] = 1 – P [x Ì 3] = 1 – (0,1323 + 0,8369) = 0,0308
d) P [x ? 0] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,75 = 0,8319
22 En un proceso de fabricación de tornillos, se sabe que el 2% son defectuo-
sos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos. Calcula la probabilidad de
que en una caja haya este número de tornillos defectuosos:
a) Ninguno. b)Uno. c) Más de dos.
¿Cuántos tornillos defectuosos habrá, por término medio, en cada caja?
x es B (50; 0,02)
a) P [x = 0] = 0,9850 = 0,364
b) P [x = 1] = 50 · 0,02 · 0,9849 = 0,372
c) P [x > 2] = 1 – P [x Ì 2] = 1 – (P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2]) =
= 1 – (0,364 + 0,372 + 0,186) = 1 – 0,922 = 0,078
Por término medio, habrá μ = 50 · 0,02 = 1 tornillo defectuoso en cada caja.
)5
3(
8
9
2
10
7
9
8
10
1
9
2
10
8
10
2
10
8
10
8
10
2
10
2
10
Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial
23
10UNIDAD
14. 23 Un tipo de piezas requiere de 4 soldaduras. Se hace un control de calidad a
mil de esas piezas y se obtienen los siguientes resultados:
¿Se ajustan estos datos a una binomial?
La media de la muestra es –x = 0,69.
Si las cuatro soldaduras tuvieran la misma probabilidad, p, de ser defectuosa y
fueran independientes, el número, x, de soldaduras defectuosas en cada pieza
seguiría una distribución binomial B (4, p), por lo cual:
–x = 4 · p 8 0,69 = 4p 8 p = 0,1725
Veamos cómo se comportaría, teóricamente, esta binomial con 1000 individuos y
comparémoslo con los resultados de la muestra:
Las diferencias son enormes. Se rechaza la hipótesis de que “el número de solda-
duras defectuosas en una pieza” siga una distribución binomial.
Página 261
24 La probabilidad de que un torpedo lanzado por un submarino dé en el
blanco es 0,4. Si se lanzan 6 torpedos, halla la probabilidad de que:
a) Solo uno dé en el blanco.
b)Al menos uno dé en el blanco.
x es B (6; 0,4)
a) P [x = 1] = · 0,4 · 0,65 = 0,1866
b) P [x Ó 1] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,66 = 0,9533
25 En una distribución B (4; 0,25) comprueba que:
P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2] + P [x = 3] + P [x = 4] = 1
0,754 + 4 · 0,25 · 0,753 + 6 · 0,252 · 0,752 + 4 · 0,253 · 0,75 + 0,254 = 1
CUESTIONES TEÓRICAS
)6
1(
xi pi = P [x = xi ] 1000 · pi
VALORES VALORES
|DIFERENCIAS|
ESPERADOS OBSERVADOS
0 0,4689 468,9 469 603 134
1 0,3910 391,0 391 212 179
2 0,1223 122,3 122 105 17
3 0,0170 17,0 17 52 35
4 0,0009 0,9 1 28 27
SOLDADURAS
DEFECTUOSAS
PIEZAS
0 1 2 3
603 212 105 52
4
28
Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial
24
15. 26 Un ajedrecista se enfrenta con otro de igual maestría.
¿Qué es más probable, que gane 2 de 4 partidas o 3 de 6 partidas?
(Los empates no se toman en consideración).
La probabilidad de que el ajedrecista gane a su contrincante es de .
• Si juegan 4 partidas:
Es una binomial B 4, . Así:
P [x = 2] = ·
2
·
2
= · · = =
• Si juegan 6 partidas:
Es una binomial B 6, . Así:
P [x = 3] = ·
3
·
3
= · · = =
Como > , tenemos que es más fácil ganar 2 de 4 partidas que 3 de 6.
27 Compara la media de las distribuciones binomiales B (200; 0,2) y B (30; 0,4).
¿Cuál de ellas tiene mayor dispersión?
☛ Halla el coeficiente de variación de cada una.
Recuerda: C.V. = sirve para comparar las dispersiones de distintas poblaciones.
B (200; 0,2) 8 μ = 40; q = 5,66 8 C.V. = 0,1415
B (30; 0,4) 8 μ = 12; q = 2,68 8 C.V. = 0,2233
Tiene mayor dispersión la segunda, B (30; 0,4).
28 En una bolsa hay 5 bolas blancas, 7 rojas y 8 negras. Extraemos una bola,
anotamos su color y la devolvemos a la urna. Queremos calcular la proba-
bilidad de que, al hacer tres extracciones, las tres bolas sean de distinto co-
lor. ¿Es una distribución binomial? Justifica tu respuesta.
P [B, R y N] = 6 · · · = 0,21
No es una binomial, porque no hay solo dos posibilidades.
29 En una mano de póker se dan 5 cartas a cada jugador. Nos preguntamos por
la probabilidad de que un jugador tenga k figuras (k = 0, 1, 2, 3, 4 ó 5). ¿Por
qué no es una distribución binomial?
Cada vez que se extrae una carta de la baraja, varía la composición de ésta. Por
tanto, la probabilidad de “FIGURA” no es constante para cada una de las cinco car-
tas.
8
20
7
20
5
20
q
–x
5
16
3
8
5
16
6 · 5 · 4
3 · 2 · 8 · 8
1
8
1
8
6 · 5 · 4
3 · 2)1
2()1
2()6
3(
)1
2(
3
8
4 · 3
2 · 4 · 4
1
4
1
4
4 · 3
2)1
2()1
2()4
2(
)1
2(
1
2
Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial
25
10UNIDAD
16. AUTOEVALUACIÓN
1. Tenemos dos urnas:
A B
Consideramos tres supuestos:
I. Sacamos una bola de A y, después, una bola de B.
II.Mezclamos las bolas de las dos urnas y sacamos dos bolas.
III.Sacamos una bola de A, la echamos en B, removemos y sacamos una bola
de B.
Para cada uno de los tres casos, calcula las probabilidades siguientes:
a) Las dos bolas son negras.
b)Las dos bolas son blancas.
c) La primera es blanca, y la segunda, negra.
I. a) P [ en A y en B] = · = =
b) P [ en A y en B] = · = =
c) P [ en A y en B] = · =
II. Las mezclamos
a) P [ y ] = P [1.a ] · P [2.a / 1.a ] = · = =
b) P [ y ] = P [1.a ] · P [2.a / 1.a ] = · = =
c) P [1.a y 2.a ] = P [1.a ] · P [2.a / 1.a ] = · =
III. A B
a) P [ y ] = P [ en A] · P [ en B / en A] = · =
b) P [ y ] = P [ en A] · P [ en B / en A] = · =
c) P [1.a y 2.a ] = P [ en A] · P [ en B / en A] = · = =
3
10
6
20
2
5
3
4
9
20
3
5
3
4
3
20
3
5
1
4
15
56
3
7
5
8
5
14
20
56
4
7
5
8
3
28
6
56
2
7
3
8
3
8
2
4
3
4
3
8
6
16
2
4
3
4
1
8
2
16
2
4
1
4
Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial
26
17. 2. La siguiente tabla corresponde a una distribución de probabilidad de variable
discreta:
Complétala y calcula μ y q.
P [10] = 1 – (0,1 + 0,3 + 0,2 + 0,1 + 0,1) = 1 – 0,8 = 0,2
μ = 7,4
q = = 1,69
3. ¿Cuáles de las siguientes distribuciones son binomiales?:
I. Sacamos seis cartas de una baraja y nos preguntamos por el número de
OROS.
II.En una clase hay 10 chicos y 20 chicas. Elegimos 6 al azar. ¿Cuántos son
chicos?
III.Lanzamos un dado 20 veces. Nos preguntamos por la cantidad de “cincos”.
IV.El 3% de los coches producidos en una factoría tienen algún defecto de fá-
brica. Cada día se producen 200. Nos preguntamos por la probabilidad de
que haya k defectuosos.
En cada binomial, identifica n y p y calcula μ y q.
I. No es binomial, porque al sacar cada carta cambia la composición de la baraja y,
por tanto, la probabilidad de que la siguiente sea OROS.
II. No es binomial. Al haber solo 30 personas, cada una que se extrae modifica la
probabilidad CHICO-CHICA de las restantes. Es decir, es un caso similar al I.
III. En cada lanzamiento del dado, P [ ] = . Por tanto, la distribución de probabi-
lidades del “número de cincos” es binomial, con n = 20, p = .
En una distribución B 20, :
μ = n p = = 3,3; q = = = = 1,67
10
6
100
√ 36
1 5
√20 · — · —
6 6
20
6
)1
6(
1
6
1
6
xi pi
5
6
7
8
9
10
0,1
0,3
0,2
0,1
0,1
0,2
1,00
pixi
0,5
1,8
1,4
0,8
0,9
2
pixi
2
2,5
10,8
9,8
6,4
8,1
20
7,4 57,6
√57,6 – 7,42
xi
pi
5 6 7 8
0,1 0,3 0,2 0,1
9
0,1
10
…
Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial
27
10UNIDAD
18. IV. El “número de coches defectuosos” en los 200 producidos en un día es una distri-
bución binomial con n = 200 y p = 0,03.
En una distribución B (200; 0,03):
μ = 200 · 0,03 = 6, q = = 2,41
4. Con un cierto tipo de chinchetas se dan las siguientes probabilidades al dejar-
las caer:
P [ ] = 0,3 P [ ] = 0,7
Dejamos caer 6 chinchetas. Calcula:
a) P [2 y 4 ]
b)P [alguna ]
El número de chinchetas que caen así se distribuye B (6; 0,3).
a) P [x = 2] = · 0,32 · 0,74 = 15 · 0,32 · 0,74 = 0,32
b) Empezamos calculando P [x = 0] = · 0,30 0,76 = 0,76 = 0,12
P [alguna ] = 1 – P [ninguna ] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,12 = 0,88
)6
0(
)6
2(
√200 · 0,03 · 0,97
Unidad 10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial
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