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Problemas de Probabilidad
Soluciones

1. En una carrera participan los caballos A, B, C y D. Se estima que la probabilidad de que gane A es
el doble de la probabilidad de que gane cada uno de los otros tres. Hallar la probabilidad de que gane
B o C.
Soluci´n Llamamos A al suceso “ganar el caballo A” , etc. Sabemos que son sucesos incompatibles
o
y que adem´s
a
P (A) =


P (A)
P (A) − 2P (B)
= 2P (B)
=0






P (A)
P (A) − 2P (C)
P (B) =
= 2P (C)
=0
=⇒
=⇒
P (A)
P (A) − 2P (D)
= 2P (D)
=0




P (C) =


P (A) + P (B) + P (C) + P (D) = 1
P (A) + P (B) + P (C) + P (D) = 1
P (D) =
As´
ı,
P (B ∪ C) = P (B) + P (C) =

1 1
2
+ =
.
5 5
5

2. Se sabe que el 50 % de los alumnos estudia franc´s, el 40 % ingl´s y el 10 % franc´s e ingl´s. Se elige
e
e
e
e
un alumno al azar. Hallar la probabilidad de que no estudie ninguno de los dos idiomas.
Soluci´n
o

Llamamos
F ≡ “Estudiar franc´s”
e
I ≡ “Estudiar ingl´s”
e

Y as´ los datos son:
ı,
P (F ) = 0, 5
P (I) = 0, 4
P (F ∩ I) = 0, 1
Entonces
P (F ∩ I) = P (F ∪ I) = 1 − P (F ∪ I) = 1 − (P (F ) + P (I) − P (F ∩ I)) = 1 − (0, 5 + 0, 4 − 0, 1) = 0, 2 .
3. En una bolsa hay 3 bolas blancas, 4 negras y 2 rojas. ¿Cu´l es la probabilidad de extraer una bola
a
blanca o negra?
Soluci´n
o

Llamamos B a sacar bola blanca, etc. As´
ı
P (B ∪ N ) = P (B) + P (N ) =

1

3 4
7
+ =
.
9 9
9

2
5
1
5
1
5
1
5
4. De una baraja de cuarenta naipes se extraen sucesivamente tres cartas. Calcular la probabilidad de
obtener tres reyes
a) suponiendo que cada vez que se extrae una carta, ´ste se devuelve a la baraja (extracci´n con
e
o
reemplazamiento);
b) suponiendo que no se devuelvan las cartas a la baraja (extracci´n sin reemplazamiento).
o
Soluci´n Llamamos Ri a sacar rey en la i–´sima extracci´n.
o
e
o
a) Si hay reemplazamiento,
P (R1 ∩ R2 ∩ R3 ) =

4 4 4
=
40 40 40

4
40

3

=

1
.
1000

b) Si no hay reemplazamiento,
P (R1 ∩ R2 ∩ R3 ) =

4 3 2
3
=
.
40 39 38
9310

5. El 20 % de los hombres que fuman tiran las colillas al suelo. S´lo un 5 % de las mujeres que fuman
o
cometen esa incorrecci´n. En una reuni´n, en la que hay 5 fumadores y 10 fumadoras, aparece una
o
o
colilla en el suelo. ¿Cu´l es la probabilidad de que la haya tirado una mujer?
a
Soluci´n
o

Llamamos M a ser mujer y S a tirar las colillas al suelo, as´
ı

P (M | S) =

0, 05 · 10
P (S | M )P (M )
P (S | M )P (M )
15
=
=
P (S)
0, 05 · 10 + 0, 2 ·
P (S | M )P (M ) + P (S | M )P (M )
15

5
15

=

1
.
3

9
6. Se estima que despu´s de un d´ bueno hace bueno al d´ siguiente con probabilidad 10 y que despu´s
e
ıa
ıa
e
1
de un d´ malo, hace bueno con probabilidad 4 . Sabiendo que hoy jueves hace malo, ¿cu´l es la
ıa
a
probabilidad de que el pr´ximo s´bado haga bueno? Llamamos SB a que el s´bado haga bueno y VB
o
a
a
a que el s´bado haga bueno, tenemos
a

P (SB ) = P (SB | VB )P (VB ) + P (SB | VB )P (VB ) =

9 1 13
33
+
=
.
10 4 4 4
80

7. Una caja contiene tres monedas con una cara en cada lado, cuatro monedas con una cruz en cada
lado y dos monedas legales. Si se selecciona al azar una de estas nueve monedas y se lanza una vez,
¿cu´l es la probabilidad de obtener una cara? Si se ha obtenido cara, ¿cu´l es la probabilidad de que
a
a
la moneda sea legal?
Soluci´n
o

Nombramos los sucesos como sigue:
C ≡ “Sacar cara”
+ ≡ “Sacar cruz”
2C ≡ “Elegir una moneda de dos caras”
2+ ≡ “Elegir una moneda de dos cruces”
L ≡ “Elegir una moneda legal”

As´ la respuesta a la primera pregunta ser´
ı,
a
P (C) = P (C | 2C)P (2C) + P (C | 2+)P (2+) + P (C | L)P (L) = 1 ·
2

3
4 12
4
+0· +
=
.
9
9 29
9
Y la respuesta a la segunda,
P (L | C) =

P (C | L)P (L)
=
P (C)

12
29
4
9

=

1
.
4

8. Los porcentajes de votantes clasificados como liberales en tres distritos electorales disitntos se reparten
como sigue: En el primer distrito, 21 %; en el segundo distrito, 45 %, y en el tercero, 75 %. Si un distrito
se selecciona al azar y un votante del mismo se selecciona aleatoriamente, ¿cu´l es la probabilidad de
a
que sea liberal?
Soluci´n
o

Nombramos los sucesos
I ≡ “Pertenecer al primer distrito”
II ≡ “Pertenecer al segundo distrito”
III ≡ “Pertenecer al tercer distrito”
L ≡ “Ser liberal”

As´
ı,
P (L) = P (L | I)P (I) + P (L | II)P (II) + P (L | III)P (III) = 0, 21 ·

1
47
1
1
.
+ 0, 45 · + 0, 75 · =
3
3
3
100

9. Se ha descubierto una prueba para detectar un tipo particular de c´ncer. Si se aplica la prueba a
a
una persona que no padece este tipo de c´ncer, la probabilidad de que esa persona presente una
a
reacci´n positiva es de 0, 05. Sup´ngase que en la poblaci´n global, una persona de cada 100 000 tiene
o
o
o
este tipo de c´ncer. Si una persona seleccionada al azar presenta una reacci´n positiva a la prueba,
a
o
¿qu´ probabilidad hay de que padezca este tipo de c´ncer?
e
a
Soluci´n
o

Definimos los sucesos
C ≡ “Padecer el tipo de c´ncer”
a
P ≡ “Dar positivo en el test”

As´
ı
P (C | P ) =

P (P | C)P (C)
P (P | C)P (C)
=
=
P (P )
1·
P (P | C)P (C) + P (P | C)P (C)

1
1 · 100000
1
100000 + 0, 05 ·

99999
100000

=

20
.
100019

10. En una ciudad determinada, el 30 % de las personas son conservadores, el 50 % son liberales y el resto
son independientes. Los registros muestran que en unas elecciones concretas votaron el 65 % de los
conservadores, el 82 % de los liberales y el 50 % de los independientes. Si se selecciona al azar una
persona de la ciudad y se sabe que no vot´ en las elecciones pasadas, ¿cu´l es la probabilidad de que
o
a
sea liberal?
Soluci´n
o

Definimos los sucesos
C ≡ “Ser conservador”
L ≡ “Ser liberal”
I ≡ “Ser independiente”
V ≡ “Haber votado en las pasadas elecciones”

Tenemos entonces
P (L | V ) =
=

P (V | L)P (L)
P (V | L)P (L)
=
=
P (V )
P (V | L)P (L) + P (V | C)P (C) + P (V | I)P (I)
0, 18 · 0, 5
18
=
.
0, 18 · 0, 5 + 0, 35 · 0, 3 + 0, 5 · 0, 2
59
3
11. En una f´brica de tornillos, las m´quinas A, B y C producen respectivamente el 30 %, 45 % y 25 % del
a
a
total. Analizada la producci´n, se sabe que el 1 %, 4 % y 3 % de los fabricados por las m´quinas A, B
o
a
y C respectivamente, son tornillos defectuosos. Se toma al azar un tornillo. ¿Cu´l es la probabilidad
a
de que sea defectuoso? Si ha resultado defectuoso, ¿cu´l es la probabilidad de que haya sido producido
a
por la m´quina C?
a
Soluci´n
o

Definimos los siguientes sucesos:
A ≡ “Ser un tornillo producido por la m´quina A”
a
B ≡ “Ser un tornillo producido por la m´quina B”
a
C ≡ “Ser un tornillo producido por la m´quina C”
a
D ≡ “Ser un tornillo defectuoso”

Entonces tenemos
P (C | D) =
=

P (D | C)P (C)
P (D | C)P (C)
=
=
P (D)
P (D | C)P (C) + P (D | A)P (A) + P (D | B)P (B)
0, 03 · 0, 25
5
=
.
0, 03 · 0, 25 + 0, 01 · 0, 3 + 0, 04 · 0, 45
19

12. En una universidad en la que s´lo se estudia Ciencias o Letras, hay 2000 estudiantes, de los cuales 500
o
son ingleses, 800 franceses, 400 alemanes y 300 espa˜oles. Sabiendo que los estudiantes de Letras son
n
100 ingleses, 500 franceses, 150 alemanes y 200 espa˜oles, si se elige un estudiante al azar, ¿cu´l es la
n
a
probabilidad de que
a) estudie Ciencias?
b) sea frances, suponiendo que estudia Ciencias?
Definimos los siguientes sucesos:
A ≡ “Ser alem´n”
a
I ≡ “Ser ingl´s”
e
F ≡ “Ser franc´s”
e
S ≡ “Ser espa˜ol”
n
L ≡ “Estudiar letras”
a) Como estudiar Ciencias es el suceso contrario de estudiar Letras, tenemos
P (L) = 1 − P (L) = 1 −

100 + 500 + 150 + 200
21
=
.
2000
40

b) Tenemos
P (F | L) =

P (L | F )P (F )
=
P (L)

300 800
800 2000
21
40

=

5
.
7

13. El proceso de fabricaci´n de cierto aparato consta de dos partes, A y B. La probabilidad de que surja
o
un defecto en la parte A es de 0,04 y la probabilidad de que surja un defecto el la parte B es de 0,01.
¿Cu´l es la probabilidad de que el aparato no sea defectuoso?
a
Soluci´n
o

Definimos los sucesos
A ≡ “Surgir un error en la parte A”
B ≡ “Surgir un error en la parte B”

4
Notemos que estos dos sucesos son independientes, luego sus complementarios tambi´n lo son (vale la
e
pena comprobarlo), entonces
P (A ∩ B) = P (A)P (B) = 0, 96 · 0, 99 =

594
.
625

14. La probabilidad de que un alumno, elegido al azar de cierta clase, apruebe Matem´ticas y Lengua es
a
0,6. La probabilidad de que apruebe Lengua es 0,75 y la de que no apruebe Matem´ticas es 0,2.
a
a) ¿Son los sucesos “Aprobar Lengua” y “Aprobar Matem´ticas” independientes?
a
b) Calcula la probabilidad de que apruebe Matem´ticas suponiendo que aprob´ Lengua.
a
o
Soluci´n
o

Llamamos L al suceso aprobar Lengua y M al suceso aprobar Matem´ticas, entonces
a

a) P (L)P (M ) = 0, 75 · 0, 8 = 0, 6 = P (L ∩ M ) =⇒ S´ son independientes.
ı
b) Puesto que los sucesos son independientes,
P (M | L) = P (M ) = 0, 8 .
15. En un colectivo en el que hay el mismo n´mero de hombres que de mujeres, se sabe que el 5 % de
u
los hombres y 20 de cada 10 000 mujeres son dalt´nicos. Se elige una persona al azar y resulta ser
o
dalt´nica. Calcula la probabilidad de que dicha persona sea hombre.
o
Soluci´n
o

Definimos los sucesos M ser mujer y D ser dalt´nico, entonces
o
P (M | D) =

1
0, 05 · 2
25
P (D | M )P (M )
=
1
20 1 = 26 .
0, 05 · 2 + 10000 2
P (D | M )P (M ) + P (D | M )P (M )

16. Determina si son independientes o dependientes, y compatibles o incompatibles los sucesos A y B que
cumplen las condiciones siguientes:
a) P (A) = 2 , P (B) = 1 , P (A ∪ B) = 1 .
5
4
2
5
b) P (A) = 1 , P (B) = 3 , P (A ∩ B) = 24 .
6
4
Soluci´n
o
a) Independientes:


 P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = 2 + 1 − 1 = 3 .





5 4 2
20 


Por otra parte,
=⇒ No son independientes.








 P (A)P (B) = 2 1 = 2 .

54
20
Y tampoco son incompatibles pues hemos visto que la probabilidad de la intersecci´n no es nula.
o
b) Independientes:


 P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = 1 + 3 − 5 = 17 .





6 4 24
24 


Por otra parte,
=⇒ No son independientes.









 P (A)P (B) = 1 3 = 3 .
64
24
Y tampoco son incompatibles pues hemos visto que la probabilidad de la intersecci´n no es nula.
o
17. Supongamos que el 5 % de la poblaci´n padece la enfermedad de apendicitis (2 % en estado agudo A
o
y 3 % en estado cr´nico C) y el 95 % no la padece. Uno de los s´
o
ıntomas es el dolor de est´mago. Las
o
probabilidades de tener dolor de est´mago padeciendo el estado A, el estado C o no padeciendo la
o
enfermedad son del 90 %, 70 % y 10 % respectivamente. Hallar la probabilidad de que una persona con
dolor de est´mago sufra realmente el estado A de apendicitis.
o
5
Soluci´n Llamamos A a padecer la enfermedad en estado agudo, C cr´nico y D a padecer dolor de
o
o
est´mago y S a estar sano, entonces
o
P (A | D) =
=

P (D | A)P (A)
P (D | A)P (A)
=
=
P (D)
P (D | A)P (A) + P (D | C)P (C) + P (D | S)P (S)
9
0, 9 · 0, 02
=
.
0, 9 · 0, 02 + 0, 7 · 0, 03 + 0, 1 · 0, 95
67

18. La cuarta parte de una poblaci´n ha sido vacunada contra una enfermedad. Se comprueba, no obstante,
o
que, de cada diez enfermos, dos est´n vacunados. Se sabe adem´s que, de cada doce vacunados, uno
a
a
cae enfermo.
a) ¿Qu´ probabilidad tiene un individuo de contraer la enfermedad?
e
b) ¿Qu´ probabilidad tiene un individuo no vacunado de contraer la enfermedad?
e
Soluci´n
o

Llamamos C a contraer la enfermedad y V a estar vacunado, entonces

a)
P (C | V ) =

P (V | C)P (C)
P (C | V )P (V )
=⇒ P (C) =
=
P (V )
P (V | C)

1 1
12 4
2
10

=

5
.
24

b)
P (C | V ) =

2
1 − 10
P (V | C)P (C)
(1 − P (V | C))P (C)
=
=
1 − P (V )
1− 1
P (V )
4

5
24

=

2
.
9

19. En una tienda de electrodom´sticos se venden dos marcas A y B. Se ha comprobado que un tercio
e
de los clientes elige un electrodom´stico de la marca A y el resto, uno de la marca B. Adem´s, la
e
a
probabilidad de que un electrodom´stico de la marca A sea defectuoso es 0,05 y la de que uno de la
e
marca B no lo sea es 0,9. Calcular razonadamente:
a) La probabilidad de que un cliente compre un electrodom´stico en dicha tienda y le salga defece
tuoso.
b) La probabilidad de que el electrodom´stico comprado sea de la marca B sabiendo que no es
e
defectuoso.
Soluci´n: Llamamos A y B al suceso comprar la marca A y B respectivamente, y D a que el
o
electrodom´stico sea defectuoso. Entonces
e
a)
1
2
1
P (D) = P (D | A)P (A) + P (D | B)P (B) = 0, 05 + 0, 1 =
.
3
3
12
b)
0, 9 ·
P (D | B)P (B)
P (B | D) =
= 11
P (D)
12

2
3

=

36
.
55

20. El a˜o pasado, el 60 % de los veraneantes de una cierta localidad eran menores de 30 a˜os. Un 25 %
n
n
de los menores de 30 a˜os y un 35 % de los mayores de 30 a˜os eran nativos de esa localidad. Se pide:
n
n
a) La probabilidad de que un veraneante elegido al azar sea nativo de esa localidad.
b) Se elige un veraneante al azar y se observa que es nativo de la localidad, ¿cu´l es la probabilidad
a
de que tenga m´s de 30 a˜os?
a
n

6
Soluci´n:
o

Llamamos J a ser menor de 30 a˜os y N a ser nativo de la localidad, entonces
n

a)
P (N ) = P (N | J)P (J) + P (N | J)P (J) = 0, 25 · 0, 6 + 0, 35 · 0, 4 =

29
.
100

b)
P (J | N ) =

P (N | J)P (J)
14
0, 35 · 0, 4
=
.
=
29
P (N )
29
100

21. En una m´quina de escribir hay 35 teclas, cada una de las cuales representa una letra, un signo de
a
puntuaci´n o un acento. Hay tambi´n una tecla para los espacios y otra para las may´sculas. En total,
o
e
u
pues, 37 teclas. Si se pulsa una vez la tecla de las may´sculas, a partir de aquel momento todo queda
u
escrito en may´sculas. Para volver a escribir en min´sculas hay que puslar de nuevo la mencionada
u
u
tecla. Un ni˜o pulsa consecutivamente 29 teclas al azar. Hallar la probabilidad de que escriba la frase:
n
En un lugar de la Mancha.
Soluci´n: Llamamos Ci a pulsar correctamente en la i–´sima pulsaci´n, i = 1, . . . 29. Como el ni˜o
o
e
o
n
no sabe escribir, pulsa aleatoriamente las teclas y de manera independiente y, adem´s, ha de pulsarlas
a
en el orden correcto, entonces
P (C1 ∩ C2 ∩ . . . ∩ C29 ) = P (C1 )P (C2 ) · · · P (C29 ) =

1
37

29 veces

···

1
1
=
.
37
3729

22. Hallar la probabilidad de un suceso sabiendo que la suma del cuadrado de su probabilidad y del
cuadrado de la probabilidad del suceso contrario es igual a 5 .
9
Soluci´n:
o

Llamamos p a la probabilidad buscada, entonces
p2 + (1 − p)2 =

5
4
1
2
⇐⇒ 2p2 − 2p + = 0 ⇐⇒ p = o bien p = .
9
9
3
3

Como ambas probabilidades son positivas (y una es complementaria de la otra), ambas soluciones son
correctas.

7

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  • 1. Problemas de Probabilidad Soluciones 1. En una carrera participan los caballos A, B, C y D. Se estima que la probabilidad de que gane A es el doble de la probabilidad de que gane cada uno de los otros tres. Hallar la probabilidad de que gane B o C. Soluci´n Llamamos A al suceso “ganar el caballo A” , etc. Sabemos que son sucesos incompatibles o y que adem´s a P (A) =   P (A) P (A) − 2P (B) = 2P (B) =0       P (A) P (A) − 2P (C) P (B) = = 2P (C) =0 =⇒ =⇒ P (A) P (A) − 2P (D) = 2P (D) =0     P (C) =   P (A) + P (B) + P (C) + P (D) = 1 P (A) + P (B) + P (C) + P (D) = 1 P (D) = As´ ı, P (B ∪ C) = P (B) + P (C) = 1 1 2 + = . 5 5 5 2. Se sabe que el 50 % de los alumnos estudia franc´s, el 40 % ingl´s y el 10 % franc´s e ingl´s. Se elige e e e e un alumno al azar. Hallar la probabilidad de que no estudie ninguno de los dos idiomas. Soluci´n o Llamamos F ≡ “Estudiar franc´s” e I ≡ “Estudiar ingl´s” e Y as´ los datos son: ı, P (F ) = 0, 5 P (I) = 0, 4 P (F ∩ I) = 0, 1 Entonces P (F ∩ I) = P (F ∪ I) = 1 − P (F ∪ I) = 1 − (P (F ) + P (I) − P (F ∩ I)) = 1 − (0, 5 + 0, 4 − 0, 1) = 0, 2 . 3. En una bolsa hay 3 bolas blancas, 4 negras y 2 rojas. ¿Cu´l es la probabilidad de extraer una bola a blanca o negra? Soluci´n o Llamamos B a sacar bola blanca, etc. As´ ı P (B ∪ N ) = P (B) + P (N ) = 1 3 4 7 + = . 9 9 9 2 5 1 5 1 5 1 5
  • 2. 4. De una baraja de cuarenta naipes se extraen sucesivamente tres cartas. Calcular la probabilidad de obtener tres reyes a) suponiendo que cada vez que se extrae una carta, ´ste se devuelve a la baraja (extracci´n con e o reemplazamiento); b) suponiendo que no se devuelvan las cartas a la baraja (extracci´n sin reemplazamiento). o Soluci´n Llamamos Ri a sacar rey en la i–´sima extracci´n. o e o a) Si hay reemplazamiento, P (R1 ∩ R2 ∩ R3 ) = 4 4 4 = 40 40 40 4 40 3 = 1 . 1000 b) Si no hay reemplazamiento, P (R1 ∩ R2 ∩ R3 ) = 4 3 2 3 = . 40 39 38 9310 5. El 20 % de los hombres que fuman tiran las colillas al suelo. S´lo un 5 % de las mujeres que fuman o cometen esa incorrecci´n. En una reuni´n, en la que hay 5 fumadores y 10 fumadoras, aparece una o o colilla en el suelo. ¿Cu´l es la probabilidad de que la haya tirado una mujer? a Soluci´n o Llamamos M a ser mujer y S a tirar las colillas al suelo, as´ ı P (M | S) = 0, 05 · 10 P (S | M )P (M ) P (S | M )P (M ) 15 = = P (S) 0, 05 · 10 + 0, 2 · P (S | M )P (M ) + P (S | M )P (M ) 15 5 15 = 1 . 3 9 6. Se estima que despu´s de un d´ bueno hace bueno al d´ siguiente con probabilidad 10 y que despu´s e ıa ıa e 1 de un d´ malo, hace bueno con probabilidad 4 . Sabiendo que hoy jueves hace malo, ¿cu´l es la ıa a probabilidad de que el pr´ximo s´bado haga bueno? Llamamos SB a que el s´bado haga bueno y VB o a a a que el s´bado haga bueno, tenemos a P (SB ) = P (SB | VB )P (VB ) + P (SB | VB )P (VB ) = 9 1 13 33 + = . 10 4 4 4 80 7. Una caja contiene tres monedas con una cara en cada lado, cuatro monedas con una cruz en cada lado y dos monedas legales. Si se selecciona al azar una de estas nueve monedas y se lanza una vez, ¿cu´l es la probabilidad de obtener una cara? Si se ha obtenido cara, ¿cu´l es la probabilidad de que a a la moneda sea legal? Soluci´n o Nombramos los sucesos como sigue: C ≡ “Sacar cara” + ≡ “Sacar cruz” 2C ≡ “Elegir una moneda de dos caras” 2+ ≡ “Elegir una moneda de dos cruces” L ≡ “Elegir una moneda legal” As´ la respuesta a la primera pregunta ser´ ı, a P (C) = P (C | 2C)P (2C) + P (C | 2+)P (2+) + P (C | L)P (L) = 1 · 2 3 4 12 4 +0· + = . 9 9 29 9
  • 3. Y la respuesta a la segunda, P (L | C) = P (C | L)P (L) = P (C) 12 29 4 9 = 1 . 4 8. Los porcentajes de votantes clasificados como liberales en tres distritos electorales disitntos se reparten como sigue: En el primer distrito, 21 %; en el segundo distrito, 45 %, y en el tercero, 75 %. Si un distrito se selecciona al azar y un votante del mismo se selecciona aleatoriamente, ¿cu´l es la probabilidad de a que sea liberal? Soluci´n o Nombramos los sucesos I ≡ “Pertenecer al primer distrito” II ≡ “Pertenecer al segundo distrito” III ≡ “Pertenecer al tercer distrito” L ≡ “Ser liberal” As´ ı, P (L) = P (L | I)P (I) + P (L | II)P (II) + P (L | III)P (III) = 0, 21 · 1 47 1 1 . + 0, 45 · + 0, 75 · = 3 3 3 100 9. Se ha descubierto una prueba para detectar un tipo particular de c´ncer. Si se aplica la prueba a a una persona que no padece este tipo de c´ncer, la probabilidad de que esa persona presente una a reacci´n positiva es de 0, 05. Sup´ngase que en la poblaci´n global, una persona de cada 100 000 tiene o o o este tipo de c´ncer. Si una persona seleccionada al azar presenta una reacci´n positiva a la prueba, a o ¿qu´ probabilidad hay de que padezca este tipo de c´ncer? e a Soluci´n o Definimos los sucesos C ≡ “Padecer el tipo de c´ncer” a P ≡ “Dar positivo en el test” As´ ı P (C | P ) = P (P | C)P (C) P (P | C)P (C) = = P (P ) 1· P (P | C)P (C) + P (P | C)P (C) 1 1 · 100000 1 100000 + 0, 05 · 99999 100000 = 20 . 100019 10. En una ciudad determinada, el 30 % de las personas son conservadores, el 50 % son liberales y el resto son independientes. Los registros muestran que en unas elecciones concretas votaron el 65 % de los conservadores, el 82 % de los liberales y el 50 % de los independientes. Si se selecciona al azar una persona de la ciudad y se sabe que no vot´ en las elecciones pasadas, ¿cu´l es la probabilidad de que o a sea liberal? Soluci´n o Definimos los sucesos C ≡ “Ser conservador” L ≡ “Ser liberal” I ≡ “Ser independiente” V ≡ “Haber votado en las pasadas elecciones” Tenemos entonces P (L | V ) = = P (V | L)P (L) P (V | L)P (L) = = P (V ) P (V | L)P (L) + P (V | C)P (C) + P (V | I)P (I) 0, 18 · 0, 5 18 = . 0, 18 · 0, 5 + 0, 35 · 0, 3 + 0, 5 · 0, 2 59 3
  • 4. 11. En una f´brica de tornillos, las m´quinas A, B y C producen respectivamente el 30 %, 45 % y 25 % del a a total. Analizada la producci´n, se sabe que el 1 %, 4 % y 3 % de los fabricados por las m´quinas A, B o a y C respectivamente, son tornillos defectuosos. Se toma al azar un tornillo. ¿Cu´l es la probabilidad a de que sea defectuoso? Si ha resultado defectuoso, ¿cu´l es la probabilidad de que haya sido producido a por la m´quina C? a Soluci´n o Definimos los siguientes sucesos: A ≡ “Ser un tornillo producido por la m´quina A” a B ≡ “Ser un tornillo producido por la m´quina B” a C ≡ “Ser un tornillo producido por la m´quina C” a D ≡ “Ser un tornillo defectuoso” Entonces tenemos P (C | D) = = P (D | C)P (C) P (D | C)P (C) = = P (D) P (D | C)P (C) + P (D | A)P (A) + P (D | B)P (B) 0, 03 · 0, 25 5 = . 0, 03 · 0, 25 + 0, 01 · 0, 3 + 0, 04 · 0, 45 19 12. En una universidad en la que s´lo se estudia Ciencias o Letras, hay 2000 estudiantes, de los cuales 500 o son ingleses, 800 franceses, 400 alemanes y 300 espa˜oles. Sabiendo que los estudiantes de Letras son n 100 ingleses, 500 franceses, 150 alemanes y 200 espa˜oles, si se elige un estudiante al azar, ¿cu´l es la n a probabilidad de que a) estudie Ciencias? b) sea frances, suponiendo que estudia Ciencias? Definimos los siguientes sucesos: A ≡ “Ser alem´n” a I ≡ “Ser ingl´s” e F ≡ “Ser franc´s” e S ≡ “Ser espa˜ol” n L ≡ “Estudiar letras” a) Como estudiar Ciencias es el suceso contrario de estudiar Letras, tenemos P (L) = 1 − P (L) = 1 − 100 + 500 + 150 + 200 21 = . 2000 40 b) Tenemos P (F | L) = P (L | F )P (F ) = P (L) 300 800 800 2000 21 40 = 5 . 7 13. El proceso de fabricaci´n de cierto aparato consta de dos partes, A y B. La probabilidad de que surja o un defecto en la parte A es de 0,04 y la probabilidad de que surja un defecto el la parte B es de 0,01. ¿Cu´l es la probabilidad de que el aparato no sea defectuoso? a Soluci´n o Definimos los sucesos A ≡ “Surgir un error en la parte A” B ≡ “Surgir un error en la parte B” 4
  • 5. Notemos que estos dos sucesos son independientes, luego sus complementarios tambi´n lo son (vale la e pena comprobarlo), entonces P (A ∩ B) = P (A)P (B) = 0, 96 · 0, 99 = 594 . 625 14. La probabilidad de que un alumno, elegido al azar de cierta clase, apruebe Matem´ticas y Lengua es a 0,6. La probabilidad de que apruebe Lengua es 0,75 y la de que no apruebe Matem´ticas es 0,2. a a) ¿Son los sucesos “Aprobar Lengua” y “Aprobar Matem´ticas” independientes? a b) Calcula la probabilidad de que apruebe Matem´ticas suponiendo que aprob´ Lengua. a o Soluci´n o Llamamos L al suceso aprobar Lengua y M al suceso aprobar Matem´ticas, entonces a a) P (L)P (M ) = 0, 75 · 0, 8 = 0, 6 = P (L ∩ M ) =⇒ S´ son independientes. ı b) Puesto que los sucesos son independientes, P (M | L) = P (M ) = 0, 8 . 15. En un colectivo en el que hay el mismo n´mero de hombres que de mujeres, se sabe que el 5 % de u los hombres y 20 de cada 10 000 mujeres son dalt´nicos. Se elige una persona al azar y resulta ser o dalt´nica. Calcula la probabilidad de que dicha persona sea hombre. o Soluci´n o Definimos los sucesos M ser mujer y D ser dalt´nico, entonces o P (M | D) = 1 0, 05 · 2 25 P (D | M )P (M ) = 1 20 1 = 26 . 0, 05 · 2 + 10000 2 P (D | M )P (M ) + P (D | M )P (M ) 16. Determina si son independientes o dependientes, y compatibles o incompatibles los sucesos A y B que cumplen las condiciones siguientes: a) P (A) = 2 , P (B) = 1 , P (A ∪ B) = 1 . 5 4 2 5 b) P (A) = 1 , P (B) = 3 , P (A ∩ B) = 24 . 6 4 Soluci´n o a) Independientes:    P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = 2 + 1 − 1 = 3 .      5 4 2 20    Por otra parte, =⇒ No son independientes.          P (A)P (B) = 2 1 = 2 .  54 20 Y tampoco son incompatibles pues hemos visto que la probabilidad de la intersecci´n no es nula. o b) Independientes:    P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = 1 + 3 − 5 = 17 .      6 4 24 24    Por otra parte, =⇒ No son independientes.           P (A)P (B) = 1 3 = 3 . 64 24 Y tampoco son incompatibles pues hemos visto que la probabilidad de la intersecci´n no es nula. o 17. Supongamos que el 5 % de la poblaci´n padece la enfermedad de apendicitis (2 % en estado agudo A o y 3 % en estado cr´nico C) y el 95 % no la padece. Uno de los s´ o ıntomas es el dolor de est´mago. Las o probabilidades de tener dolor de est´mago padeciendo el estado A, el estado C o no padeciendo la o enfermedad son del 90 %, 70 % y 10 % respectivamente. Hallar la probabilidad de que una persona con dolor de est´mago sufra realmente el estado A de apendicitis. o 5
  • 6. Soluci´n Llamamos A a padecer la enfermedad en estado agudo, C cr´nico y D a padecer dolor de o o est´mago y S a estar sano, entonces o P (A | D) = = P (D | A)P (A) P (D | A)P (A) = = P (D) P (D | A)P (A) + P (D | C)P (C) + P (D | S)P (S) 9 0, 9 · 0, 02 = . 0, 9 · 0, 02 + 0, 7 · 0, 03 + 0, 1 · 0, 95 67 18. La cuarta parte de una poblaci´n ha sido vacunada contra una enfermedad. Se comprueba, no obstante, o que, de cada diez enfermos, dos est´n vacunados. Se sabe adem´s que, de cada doce vacunados, uno a a cae enfermo. a) ¿Qu´ probabilidad tiene un individuo de contraer la enfermedad? e b) ¿Qu´ probabilidad tiene un individuo no vacunado de contraer la enfermedad? e Soluci´n o Llamamos C a contraer la enfermedad y V a estar vacunado, entonces a) P (C | V ) = P (V | C)P (C) P (C | V )P (V ) =⇒ P (C) = = P (V ) P (V | C) 1 1 12 4 2 10 = 5 . 24 b) P (C | V ) = 2 1 − 10 P (V | C)P (C) (1 − P (V | C))P (C) = = 1 − P (V ) 1− 1 P (V ) 4 5 24 = 2 . 9 19. En una tienda de electrodom´sticos se venden dos marcas A y B. Se ha comprobado que un tercio e de los clientes elige un electrodom´stico de la marca A y el resto, uno de la marca B. Adem´s, la e a probabilidad de que un electrodom´stico de la marca A sea defectuoso es 0,05 y la de que uno de la e marca B no lo sea es 0,9. Calcular razonadamente: a) La probabilidad de que un cliente compre un electrodom´stico en dicha tienda y le salga defece tuoso. b) La probabilidad de que el electrodom´stico comprado sea de la marca B sabiendo que no es e defectuoso. Soluci´n: Llamamos A y B al suceso comprar la marca A y B respectivamente, y D a que el o electrodom´stico sea defectuoso. Entonces e a) 1 2 1 P (D) = P (D | A)P (A) + P (D | B)P (B) = 0, 05 + 0, 1 = . 3 3 12 b) 0, 9 · P (D | B)P (B) P (B | D) = = 11 P (D) 12 2 3 = 36 . 55 20. El a˜o pasado, el 60 % de los veraneantes de una cierta localidad eran menores de 30 a˜os. Un 25 % n n de los menores de 30 a˜os y un 35 % de los mayores de 30 a˜os eran nativos de esa localidad. Se pide: n n a) La probabilidad de que un veraneante elegido al azar sea nativo de esa localidad. b) Se elige un veraneante al azar y se observa que es nativo de la localidad, ¿cu´l es la probabilidad a de que tenga m´s de 30 a˜os? a n 6
  • 7. Soluci´n: o Llamamos J a ser menor de 30 a˜os y N a ser nativo de la localidad, entonces n a) P (N ) = P (N | J)P (J) + P (N | J)P (J) = 0, 25 · 0, 6 + 0, 35 · 0, 4 = 29 . 100 b) P (J | N ) = P (N | J)P (J) 14 0, 35 · 0, 4 = . = 29 P (N ) 29 100 21. En una m´quina de escribir hay 35 teclas, cada una de las cuales representa una letra, un signo de a puntuaci´n o un acento. Hay tambi´n una tecla para los espacios y otra para las may´sculas. En total, o e u pues, 37 teclas. Si se pulsa una vez la tecla de las may´sculas, a partir de aquel momento todo queda u escrito en may´sculas. Para volver a escribir en min´sculas hay que puslar de nuevo la mencionada u u tecla. Un ni˜o pulsa consecutivamente 29 teclas al azar. Hallar la probabilidad de que escriba la frase: n En un lugar de la Mancha. Soluci´n: Llamamos Ci a pulsar correctamente en la i–´sima pulsaci´n, i = 1, . . . 29. Como el ni˜o o e o n no sabe escribir, pulsa aleatoriamente las teclas y de manera independiente y, adem´s, ha de pulsarlas a en el orden correcto, entonces P (C1 ∩ C2 ∩ . . . ∩ C29 ) = P (C1 )P (C2 ) · · · P (C29 ) = 1 37 29 veces ··· 1 1 = . 37 3729 22. Hallar la probabilidad de un suceso sabiendo que la suma del cuadrado de su probabilidad y del cuadrado de la probabilidad del suceso contrario es igual a 5 . 9 Soluci´n: o Llamamos p a la probabilidad buscada, entonces p2 + (1 − p)2 = 5 4 1 2 ⇐⇒ 2p2 − 2p + = 0 ⇐⇒ p = o bien p = . 9 9 3 3 Como ambas probabilidades son positivas (y una es complementaria de la otra), ambas soluciones son correctas. 7