Cálculo Geométrico

�·

e� f 11/tim� �, �" �¿, t
1.1 Números (eales y desigualdades 2,
1.2 Coordenadas y rectas 16"'
1.3 Circunferencias y gráficas de ecuaciones 32../
1.4 Funciones 42.,
1.5 Gráficas de funciones SS
1.6 Funciones trigonométricas 61
Ejercicios de repaso del Capítulo 1 71
e� .2 .e!Htita"� 74
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Límites de una función 7S
Teoremas de los límites de funciones 86
Límites unilaterales 98
. Límites infinitos 10S
Límites en el infinito 119
Continuidad de una función en un número 133
Continuidad de una función compuesta y continuidad
en un intervalo 14S
Continuidad de las funciones trigonométricas y teorema
de estricción 1SS

111 WNTC:NIDO
2.9 Demostraciones de algunos teoremas de limite
(Suplementaria) 166
2.1 O Teoremas adicionales sobre limites de funciones (Suplementaria) 175
eapiiul& 3 .Pa-�"�� t85
3.1 La recta tangente y la derivada 186�
3.2 Diferenciabilidad y continuidad 198
3.3 Teoremas de la diferenciación de funciones algebraicas 209
3.4 Movimiento rectilíneo y la derivada como intensidad de variación
relativa 217
3.5 Deriv�das de las funciones trigonométricas 230
3.6 Derivada de una función compuesta y regla de la cadena 241
3.7 Derivada de la función potencia con exponentes racionales 251
3.8 Diferenciación implícita 257
3.9 Rapideces de variación relacionadas 26#
3.1 O Derivadas de orden superior 271
eapiiul& 4 v� � Je-�, �Je-�
'f�� :1.84
4.1 Valores máximo y mínimo de una función 285
4.2 Apiicaciones con un extremo absoluto en un intervalo cerrado 295
4.3 Teorema de Rolle y teorema del valor medio 304
4.4 Funciones crecientes y decrecientes. y prueba de la P.rimera
derivada 311
4.5 Concavidad y puntos de inflcxion 318
4.6 Prueba de la segunda derivada para valores extremos relativos 329
4.7 Trazo de la gráfica de una funcion 336
4.8 Estudio adicional de los valores extremos absolutos sus
aplicaciones 343
4.9 La diferencial 355
4.1 O Soluciones numéricas de ecuaciorw::. con C'l m('lodo qe Newton
(Suplementaria) 365
Ejercicios de repaso del Capítulo /1 371
eapituk- 5 J��e�r, 976
5.1 Antidi�erenciación 377
5.2 Algunas técnicas de antidiferenciación 386
5.3 Ecuaciones diferenciales y movimiento roctllltlC•o
5.4 Area 408
·
5.5 La intt'gral definida 423
5.6 Propiedades de la integral definida 433
5.7 Teorema del valor medio para integrales 444
5.8 Teorem.Js fundamentales del Cálculo 449
5.9 Área de unrJ rPgion en un plano 458
5.1 O lntegraclon numérica 469
Ejercicios d(l n'pnso del Capítulo 5 481
3 8
tl
•
Contenido
eapiiul& 6 �� Je-�� 487
6.1 Volúmenes de sólidos con los métodos de rebanadas. discos
y anillos 488
6.2 Volúmenes de sólidos con el método de capas cilíndricas 502
6.3 Longitud de arco de la gráfica de una función 509
6.4 Centro de masa de una barra 516
6.5 Centroide de una región plana 524
6.6 Trabajo 534
6.7 Presión en un líquido (Suplementaria) 541
eapiiul& 7 q.��, �
'f��
55
:Z
Funciones inversas 553
Teoremas de fundones inversas y derivada de la inversa
7.1
7.2
de una fu'nción 565
7.3 Función logarítmica natural 575 . _
Diferenciación logarítmica e integrales que conducen a la funCIC�n
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
logarítmica natural 586
Función exponencial natural 594
Otras funciones exponenciales y logarítmicas 604
Aplicaciones de la función exponencial natural 611
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
(Suplementaria) 626
eapiiul& B q.�� "�
� 6� .
1
8.1 Funciones trigonométricas inversas 643
8.2 Derivadas de las funciones trigonométricas inversas 654
8.3 lnte�rales que producen funciones trigonométricas inversas
8.4 Funciones hiperbólicas 667
8.5· .Funciones hiperbólicas inversas (Suplementaria) 678
Ejercicios de repaso dei,Capítulo 8 684
eapiiul& 9 1�Je-� 687
662
9.1 Integración por partes 689
9.2 Integración· de potencias de las funciones seno y el coseno 695
9.3 Integración de potencias de las funciones tangente. cotangente.
secante y cosecante 700
9.4 Integración por sustitución trigonométrica 704 .
9.5 Integración de funciones racionales por fracc1ones paroales cuando
el denominador sólo tiene factores lineales 712
9.6 Integración de funciones racionales por fracciones parciales cuando
el denominador contiene factores cuadráticos 724
'1.7 Sustituciones diversas 730
"- 1:1
ix �r
1

1,¡¡ lftlllc¡r<�lt·� qua producen funcion h.
· · .
(Suplomcntarla) 735
es rperbollcas Inversas
IVNclclos de repaso del Capítulo 9 740
(?"('!lulo- fO g��'f�
JO. 1 La parábola Y traslación de ejes 744
� 743
10.2 La elipse 755
10.3 La 11ipérbota 766
1 0.11 Rotación de ejes 780
10.5 Coordenadas polares 786
�g� A
Gráfic
d
as de ecuaciones en coordenadas polares 793
rea e una región en e d
1 O n Trat
· .
.
oor enadas polares 809
amiento UnifiCado de las sec
. • .
polares 813
Clones comcas Y sus ecuaciones
10,9 Rectas tangentes de
Ejercicios de repáso d��:
;íf�1
�r
?
J (S
�g�ementaria) 826
�"t'tlolo ff ¡;¡.� � � .
'f�ck '1� 8/¡.;
�
1 1' '
· Lci forma indeterminada 0/0 842
1 1 , Otras formas indeterminadas 852
1 1 1 lrHcgrales improp·a r ·
1 1 ,�1 91ras integrales i��r��a�
m�
�;�de integración infinitos 859
1 1 ' 1 órmula de Taylor 87S
l;)emcios de repaso del Capítulo 11 884
J
.
(Jfl(ltlui<J f2, g�'f� ;�h.�.-1-, efe, • .
li,l Sucesiones 887
-
� � 886
1 ' ·
� S
·
1 :�·'1 • u�es1?n�s
_
monótonas y acotadas 896
Senes mfmltas de términos constantes 903
lt'.�l Cu�tro
.
te_or
_
emas de series infinitas 913
lt•.!) Ser1es f
rn lnltas de términos positivos 919
1 ,•,(i Pru_eba de la integral 929
1 ?,1 Senes alternas (o alternantes) 933
ll'.ll Convergencia absoluta Y condi . 1
de ia raíz 938
Clona · prueba de la razon y prueba
ll!JI Hesumen de las pruebas para 1 . .
Infinitas 947
a convergencia o drvergencia de series
'�'tulu/(), f3 S�c&� 951
1 1 1 lntroduc�iór: a las se_ries de potencias 952
1 .l Dlferenc
_
r�clon de series de potencias 960
1 1 1 lnl�graclon de series de potencias 971
1 �.'1 Scne de Taylor 979
1 ¡•, Serie binomial 989

Contenido xi
e� f4 v�e;t;et�"�� 996
14.1 Vectores en el plano 997
14.2 Producto escalar 1013
14.3 Funciones con valor vectorial y ecuaciones paramétricas 1023
14.4 Cálculo de las funciones con valor vectorial 1032
14.5 Longitud de arco 1041
14.6 Vectores unitarios tangente y normal y la longitud de arco como
parámetro 1048
14.7 Curvatura 1054
14.8 Movimiento plano 1065
14.9 Componentes tangenciales y normales de la aceleración
(Suplementaria) 1073
e� f5 v� 'f�a;u¡///Jcwe;t;et� 1081
15.1 El espacio numérico tridimensional 1082
15.2 Vectores en el espacio tridimensional 1091
15.3 Planos 1104
15.4 Recta en .
tJP3 1113
15.5 Producto vectorial (o exterior) 1120
15.6 Cilindros y superficies de revolución 1134
15.7 Superficies cuádricas 1141
15.8 Curvas en M'3 11SO
15.9 Coordenadas cilíndricas y esféricas 1160
• 16.1
• 16.2
, 16.3
16.4
16.5
, 16.6
16.7
16.8
Funciones de más de una variable 1170
Límites de funciones de más de una variable 1182
Continuidad de funciones de más de una variable 1196
Derivadas parciales 1202
Diferenciabilidad y diferencial total 1211
Regla de la cadena 1222
Derivadas parciales de otden superior 1230
Condiciones suficientes de diferenciabilidad (Suplementaria) 1239
e� f7 ��, �"�
c&úu�� 1.248
17.1 Derivadas direccionales y gradientes 1249
17.2 Planos tangentes y rectas normales a superficies 1258
17.3 Valores extremos de funciones de dos variables 1263
17.4 Multiplicadores de Lagrange 1283
17.5 Obtención de una función a partir de su gradiente y diferenciales

e� �8 J�� 1303
18.1 La integral doble 1304
18.2 Evaluación de int 1
18.3 Centro de masa Y
e��s d
tbles e integrales iterativas 1312
1$.4 La inte ral
en os de lnerCJa 1321
18 5 A
g doble en coordenadas polares 1328
· r�a de una superficie 1337
1 A.6 La mtegral triple 1344
1 A,"1 La integral triple . _
EJercicios de repa��?��7t
a
u
��s
1
�11n�;��s Y esféricas 1350
f�r(JIIu!� �9 j�dcd.cukJe, .
I;I. .J Campos vectoriales 1363
�� 136.2
IV.� Integrales de línea 1 373
/6:� �e
�r
��
�
=��=� in1;g
;ndientes de la trayectoria 1384
1 n.s Integrales de superficie 1413
1 C),G Teorema de divergencia de Ga
Ejercicios de repaso del Capítu��s
f�te
��a de Stokes 1 422
¡�,,�,,� 1434
10
1 1
!,';>.
1,3
1,11
1.S
1,G
1.7
/.8
Alfabeto griego 1435
P?tencias y raíces 1436
For�ulas de.geometría y trigonometría
Funciones tngonométricas 1439
Loga:1tmos naturales 1440
Func�ones exponenciales 1442
Func1ones hiperbólicas 1449
Uso de las tablas de integrales 1450
Tablas de denvadas e integrales 14SS
1437
f<Mp� w��k�i#tpcw 1461
1�J-ke- 1550
•
"Todo debe explicarse
Jo más simplemente posible.
pero sin excederse en ello"
ALBERT EINSTEIN
EL CÁLCULO con Geometría Analítica (ECCGA) * es una obra diseñada tanto para
los cursos de especialización en matemáticas. como para losestudiantes cuyo inte
rés primario radica en la ingeniería. las ciencias físicas o las sociales. o los campos
no técnicos. Sus explicaciones detalladas y abundantes ejemplos desarrollados.
así como la gran diversidad de ejercicios. continúan siendo las características más
distintivas de esta sexta edición.
Puesto que un texto debe ser escrito pensando en el estudiante. he intentado ""
ajustar la exposición a la experiencia y madurez de un principiante sin omitir ni
dejar de explicar ningún concepto. Deseo hacer notar que las demostraciones de
los teoremas son necesarias. y que las mismas están bien motivadas y explicadas
convenientemente. de manera que resultan comprensibles para el estudiante que
ha logrado un dominio razonable de las secciones anteriores. Si un teorema se
enuncia sin demostrarlo. las explicaciones se dan a través de figuras y ejemplos..
N. del S. Para acentuar el rasgo distintivo de este bien conocido te�to del profesor Louis Leithold.
se adopta también en esta versión como subtítulo y abreviatura el acrónimo ECCGA. de "El Cálculo
con Geometría Analítica". que corresponde al inglés TCWAG. de 'The Calculus with AnalyticGeometry".
que figura en la portada de la 6a. edición en inglés.

'"'1 rr11111111U
Y en tales casos se destaca que· 1
t
o expuesto es una ·1 t
. -
eoremaY no una demostración Al
' us raCion del contenido de/
seccion�s
.
suplementarias a/ finai de��
s d
_
e las discusiones teóricas aparecen en
dan omltlfse sin pérdida de con
t
i
nui
dad�pJ
tu
/
os. de manera que si se desea. pue-
LA SEXTA EDICIÓN DE ECCGA
Desde la primera edición de este libro en 1
�n el cont
�nido Y la enseñanza de un cur::!·
e
s
�
�an producido cambios importantes
mtentado mcorporarestos cambJ'os ma t
.
d
alculo. En cada edición sucesiva he
q
· • n eruen o un Tb ·
ues ngurosos Y los puntos de vist . .
. .
eqUI ' no adecuado entre los enfo
Los d' ·
a mturtJvos -
recmueve capítulos de ECCGA . .
.
lo l '.temas de repaso en precálculo; Ca
;:
:
��:grados en_ cuatro divisiones: Capítu
Capltulos _12 Y 13, series infinitas; Y Capítulos
1
4 1 J' funcrones de una sola variable;
de una vanab/e. La sexta edición incor or .
a 19, vectores Y funciones de más
de los cuales reflejan la creciente impo�an
a
_
ca
d
m�ros en todos estos sectores, algunos
programables,. Y de las operaciones de cál�
�
�
e a
� computadoras Y las calculadoras
u o o computo que su uso facilita
TEMAS DE REPASO PARA EL CÁLCULO
.
Capítulo 1
Este capítulo N. ·
. .
' umeros reales, funciones ffi .
e�rcrones anteriores. La sección de conc:
gra leas, esta menos detallado que en las
numeros reales va seguida de una int d
P�?s fundamentales acerca del sistema de
e/ material tradicional relativo a rect�
o u
:cJon a la G
�ometría Analítica, que incluye
una �unción, operaciones con funcione�
Y
c
��rcunfere
_
n
�ras. Se discuten la definición de
funciOnes. La presentación de las seis f
'
.
os esp
�clfrcos de funciones Y gráficas de las
desde u1
· · · uncrones tngonomét ·
·
. ' pnnelpJO con su uso en ejemplos d d'f . .
ncas permrte familiarizarse
nes no algebraicas.
e ' erencracrón e integración de funcio-
FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE
Capítulo 2
Habiendo pasado la sección de límites . f .
tes Y continuidad queda completa a .
rn mitos a esre capítulo, la exposición de lími
base de ¡ ·
sr en un solo capítulo E
-
cua Quler curso de Cálculo S
. stos temas constituyen la
yendo algun
�s d
�mostraciones en e
i
te
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o
�
en
�
odos los teoremas de límites, inclu
n_e
.
�n en los eJercleios. Como novedad de
�
s
�e
e
nt
!��que o_tras demostraciones se deli
e
_
rcr
.os que requieren el uso de calculado.
drcron, se rncorporan ejemplos Y ejer
lrmrte específico.
'a para evaluar las suposiciones acerca de un
Capítulo 3
En la Sección 3 1 1 d f'
. . se e rne la recta tangente a u
padamente la interpretación geomét .
d 1 .
na curva antes de demostrar antici-
3 2 Des . d
nca e a denvada la 1 d
. . pues e demostrar los teoremas de 1 d'f
�
. �ua se efinc en la Sección
a ' erencracron, se explica la aplicación
Prólogo XV
física de la velocidad instantánea en el movimiento rectilíneo. Se incluyen aquí la� dt•1l
vadas de las seis funciones trigonométricas, para contar con ellas como ejemplos l'll
la presentación inicial de la regla de la cadena. Se incorporan algunos ejercicios 11111'
vos que requieren el uso de calculadora para estimar el valor particular de una dc•l
vada a partir de la definición.
Capítulo 4
Se presentan en este capítulo las aplicaciones tradicionales de las derivadas en los pro
blemas de valores máximos y mínimos, así como el trazo de curvas. Los temas de lirn1
tes infinitos y asíntotas horizontales y verticales, se han cambiado al Capítulo 2. 1 .11
sección especial con aplicaciones a la Economía y la Administración que aparece• ht
aquí en ediciones anteriores, se ha omitido, aunque algunas de sus partes se discutctt
en otros capítulos. La sección acerca de la diferencial se trasladó a este capítulo pn111
que aparezca más cercana al tratamiento de la antidiferenciación.
Capítulo S
Los temas principales del Capítulo 5 son la integración y la integral definida. Las do11
primeras secciones abarcan la antidiferenciación. He utilizado el término "antidilt•
renciación" en vez de "integración indefinida", pero se conserva la notación usu.ll
Jf(x)dx. Este simbolismo indica que debe existir alguna relación entre las integrAk�t
definidas y las antiderivadas, pero no veo perjuicio alguno en lo anterior, en tanto lu
presentación proporcione un panoramateóricamente apropiado de la integral dcfittidn
como límite de sumas. En la sección final se explican dos métodos numéricos para ohtt•
ner la aproximación a una integral definida; en la edición anterior, este método apa
recia en secciones posteriores. Tales procedimientos tienen gran importancia en la acr 1111
lidad, debido a que resultan muy adecuados para el uso de computadoras y calculadotu•
programables. El material sobre aproximación de integrales definidas incluye el cuu11
ciado de teoremas relacionados con acotaciones del error implicado en dichas apto'll
maciones. Este capítulo incluye también una sección de ecuaciones diferenciales IK'Jlll
rabies, además de la explicación detallada acerca del área de una región plana.
Capítulo 6
En esta parte se muestran las aplicaciones de la integral definida que ponen de rclicv•
no sólo las técnicas que se deben manejar, sino también los principios fundamcrllah•
involucrados. En todas las aplicaciones se explican y se motivan intuitivamente 1.1
definiciones de términos nuevos. El estudio de los volúmenes de sólidos, que con�tl
1uye el tema de las dos primeras secciones, ha sido revisado con respecto a las edicru
nes anteriores. LaSección 6.
1
se inicia con la determinación de volúmenes por elmétodr
de seccionamiento, para después considerar los volúmenes generados por revolut'U)
de discos y anillos circulares, como casos especiales del seccionamiento. Los voltlllll
nes de sólidos ele revolución determinados por capas cilíndricas se analizan en la s�·L
ción 6.2. Otra de las aplicaciones geométricas de la integral definida es la longitud 11
arco, que se estudia en la Sección 6.3. El resto de las secciones del capítulo está {k'd
cado a aplicaciones físicas, incluyendo la determinación de centros de masa de b:u 11
o varillas y regiones planas, el trabajo mecánico y la presión de líquidos.

C:"Jlllulo�t '/y H
1 lt ¡,,, dm JlltiiiCI u' 'l'�
't.'tuncs del Cap't 1 7
t 1 ¡
· 1 u o se exponen las fu · ·
"" qu�· "' �· neo �ccclone<; siuuientcs tá d d'
nciOnes tnversas, mien-
' 1 1
• . • o es n e Icadas a las fu .
1
• .
' l�<m�·.nc 11 cs. PJ'IIllCI'O se clcfinc la función1
• .
ncJOnes ogantmicas Y
1¡¡ li111
C
H�I1 expow.:ncial ll'llunl como .
ogantmica natural, para después definir
11 1 • ·r
' ' su tnversa Este proced
·
·
·
' lfll� •eudo preciso al exponente irracional de � .
·�ento permite asignar
111 IIIII
C
H�II exponencial de base d d _
n
_
numero POSitivo. Después se define
(
· • · a, on e a es posttJva y s ·
' lnueu de busca. Las aplicaciones d f
. �
u mversa es la función loga-
v 1' , . , ,• . e estas uncJOnes meluyen1 1 d
.
' cc • ccun¡ento, crecimiento limitado . 1
as eyes e crecimiento
di.·H�idud de probabilid•tcl normal
'
t d
se�un a curva de aprendizaje Y la función de
1111111í.'ll la resolución d;ccu·
tcione:
s
d
�
�
anz�d
,
a. �a Sección 7.8, nueva en esta edición
llilo H C incluye el resto de
'
las f .
• erencJa es !meales de primer orden. En el Capi�
1 ¡· . uncJOnes trascendentales ( 1
.
''' Ull
C
IOncs trigonométricas inversas 1 f
.
.
no a gebra•cas). Estas son
Y as unciones hiperbólicas.
Cnpftulo 9
1 '" tlnku� <.le integración son uno de 1
lh'� llJ.Ifi.'llldticas del Cálculo Esta
�s �sp
�ctos más importantes de las operacio-
tt•dt" Ido ll oello secciones en
.
esta e
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�
� o;gia e
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el tema ?e este capítulo, que se ha
�·· "'fliklln los fundamentos teóric
lC
� n.
d
espues de una mtroducción motivadora
lllllil'll' de integración depende del
os �ca
.
a uno de los métodos. El dominio·de la�
'1111' d 1.'tudiante enfrentará en la
u
�
o
.
e eJ
E
emplos, Y se incluyen casos de problemas
. .
pract1ca. n la Se · · 9 5
1lililí'' lldi
CIOnales de las técnicas d
. .
CCJOn
. se exponen dos aplica-
¡ ' ' ' "llllllu, Biología Y Sociología·
e
y
•�te
racló
�: �
recimiento logístico, muycomún en
, a ey quJmJca de acción de masas.
<'1111ltu1o 10
1 lll'la c:dición se ha modificado elorden d 1
Jlllntc:ras secciones abarcan las secc·
��s temas de geometría analítica. Las cuatro
1 IHltt'l ellas se estudian indicand
J?nes e nt
�a
.
s: la parábola, la elipse Y la hipérbola
o como se ongman por la . . . .
1111 l'Ono; después se proporciona la d f'
. .
.
mterseccJOn de un plano Y
tll'lloidas ortogonales (o rectang
1 e
)
mJ
E
C
JOn analítica Y se obtiene la ecuación en coor-
1
u ares . n las secciones 1O 5 1O
liiOI <cnadaspolares Yalgunas de sus a lic
.
.
. a .7 se presentan las
llfiiii'Cccll en la Sección 10 8 d d
/. acJOnes. Las ecuactones polares de las cónkas
l'l'dones cónicas.
. , on e Otman parte del tratamiento unificado de tales
Cr¡pftulo 11
htl' cnpítulo, Formas indeterminadas inte . 1 .
�·llntbiado de lugar en esta edic"o· d
' -gra es Impropias Y fórmula de Taylor ha
. .
f
' . 1 n, e modo que aparee
.
d
'
,
l'IIC' tn mJtas, que es uno de s
. . e mme latamente ames de las
1 1
. us pnncJpales campos de a r
..
l l' ti 1111egrales impropias que r .
p J C
aCJOn. Las aplicaciones
1 'ó d
, •guran en las scccJones 11 3 11 4 .
1111C1 n e densidad de probabilidad e
. · Y. · , mcluyen tanto la
lt lu Y la economía. .
, omo algunas vtJas relaciOnadas con la geome-
Prólogo xvii
SERIES INFINITAS
Capítulos 12 y 13
El estudio de las series infinitas de estos dos capítulos se considera como un segmento
separado del curso, para hacer evidente que se trata de un tema independiente, el cual
se puede estudiar en cualquier momento después de completar el cálculo de funciones
de una sola variable. El Capítulo 12 está dedicado a las sucesiones (o secuencias) y series
infinitas de términos constantes, y la última constituye un resumen de las pruebas de
convergencia de una serie infinita. El Capítulo 13 se refiere a las series infinitas de tér
minos variables, llamadas series exponenciales. Los grupos de ejercicios se han
ampliado con respecto a las ediciones anteriores para incluir más aplicaciones.
VECTORES Y FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE
Capítulos 14 y 1 S
Estos dos �apítulos contienen el cálculo con vectores, así como los conceptos vecto
riales de la geometría analítica tridimensional. Las cuatro primeras secciones del Capí
tulo 14 sobre vectores en un plano, pueden estudiarse después del Capítulo 5, cuando
se desea tratar este tema en las etapas iniciales del curso. El Capítulo 15 considera los
vectores en el espacio tridimensional y, si se desea, los temas de las secciones 15.1 y
15.2 pueden estudiarse concurrentemente con las correspondientes secciones del Capí
tulo 14. Ambos capítulos incluyen las aplicaciones vectoriales en Geometría, Física e
Ingeniería.
Capítulos 16. 17 y 18
Estos tres capítulos abarcan el cálculo diferencial e integral de funciones de más de una
variable. En el Capítulo 16 se discuten límites, continuidad, diferenciación parcial, dife
renciabilidad y diferenciales totales, incluyendo aplicaciones como la determinación
de intensidades de variación y aproximaciones de cálculo . En el Capítulo 17, la sec
ción de derivadas direccionales y gradientes va s'eguida de una sección que expone la
aplicación de gradientes a la obtención de la ecuación de un planotangente a una super
fide. Las aplicaciones adiciona;lcs de las derivadas parciales en el Capítulo 17, inclu
yen la resolución de problemas de valores extremos y multiplicadores de Lagrange. Las
�cuaciones diferenciales exactas se resuelven en la Sección 17.5. El Capítulo 18 abarca
la inregral doble de una función de dos variables, y la integral triple de una función
de tres variables, junto con algunas aplicaciones en Física, Ingeniería y Geometría.
Capítulo 19
El capítulo final, Introducción al Cálculo de campos vectoriales, constituye un estu
dio ampliado del cálculo vectorial. Se incluyen integrales de línea y de superficie, el
teorema de Grcen, el teorema de la divergencia de Gauss y el teorema de Stokes. El
estudio de este capítulo es intuitivo y sus aplicaciones conciernen a la Física y la
1ngeniería.

SECCIONES SUPLEMENTARIAS
Sou dic1,lal> �ccctones, que aparecen al final de algunos capítulos, que han sido consi
dl'tada� como suplementarias. Estos temas pueden exponerse u omitirse sin afectar la
�·outprcnsión del resto del libro.
Lus secciones suplementarias son de dos tipos. Algunas presentan material adicio
nnl que no necesariamente es parte de la estructura tradicional de un curso de Cálculo;
�t·�
·cloncs 4.10, 6.7, 7.8, 8.5, 9.8, 10.9 y 14.8. Otras contienen discusiones teóricas e
llll'l>rporan las comprobaciones de algunos de los teoremas: secciones 2.9, 2. 1 0 y 1 6.8.
111ho� tipos incrementan la flexibilidad del texto.
.
J hMPLOS E ILUSTRACIONES
1 o' l'j¡,•rnplos e ilustraciones -casi 1000 en total- forman part.e de todas las seccio
IH''· l m ejemplos, que se seleccionaron con todo cuidado a fin de preparar al estu
dllllltt• pttru los ejercicios, deben servir de modelo para la resolución. Las ilustraciones
1il'lh
'tl por objeto demostrar en forma específica algún concepto, definición o teorema;
�1111 ¡uototipos de las ideas expresadas.
1 'IHt'dición incorpora más de 7 400 ejercicios que se han revisado y graduado en su
dtlttullud a fin de proporcionar una gran variedad, desde los de simple operación de
1 ,h11ln hnsta los teóricos y de aplicación. Se presentan al final de las secciones y como
l'll'lt'tdw; de repaso después de la última sección de cada capítulo.
l•n la l'tltima parte del libro se incluyen las Respuestas a los Ejercicios de Número
lm¡¡flr, mientras que las de los de número par se presentan por separado en un folletO.
1 11 lo publicación adicional, An OU!Iinefor the S111dy o.fCalculus, de Jol111 H. Min
ni�� y l.eon Gerber, se tienen las resoluciones detalladas de casi la mitad de los ejerci
liO� de número par (aquellos cuyos números son divisibles entre 4).
FICAS TRIDIMENSIONALES
l·tt respuesta a las necesidades del estudiante para disponer de un método de visuali
mdón más moderno y fácil para las gráficas tridimensionales, más de 200 de las figu
' ""de esta edición son nuevas. Muchas de ellas se obtuvieron por sistemas de compu
tadora o computaclorizados para asegurar la exactitud matemática. Estas figuras, que
hl' profesores encontrarán más claras y vívidas que el estilo tradicional de los sólidos
r�'tllllétricos sombreados (airbrushed) de la edición anterior y otros libros, fueron crea
d,,, con la ayuda del programa Mathematica haciendo uso del sistema llustrator 88.
LOUIS LEITHOLO
*
PARA EL ESTUDIANTE
n esbozo ara el estudio del Cálculo) En tres volúme
An outline for the study of calculu�(U
� M' 'ek de OeAnza College. y Lean Ger-
nes. esta descripción para_el estud�
ante
. �e
J� ;te
�
�:�a�Y definiciones importantes del
ber de St. John·s Umverslty. contiene to o
l
s o
es para cada capitulo así como la resolu-
.
.
b d muestra con so uc1on ·
texto e mcluye prue as e
. . . s cuyo número es divisible entre 4.
ción detallada de todos los eJerciCIO
k Manual delaboratorio para microcomputadora) Este
Microcomputer laboratory workboo (
d Washington State Universily. introduce a los
manual de laboratono de Mtchaet Moody.
.t� sando aplicaciones del Cálculo a una gran
. taciones materna teasu ·
. -
estudmntes a las compu
.
b a 1 e: temas del texto. está dlsenado para
variedad de problemas. Su contentdo. que a are ::>
su uso con microcomputadora.
PARA EL PROFESOR . .
1 ·ones para el profesor) En dos volúmenes.
/nstructor's solut!on manual
(Manual d; r
��o
J
u
�
�n·s Uni
versity. contiene las resoluciones
este manual escnto por Lean Gerber.. e
. : d .mero impar así corno las de algunos
completas y detalladas de todos los eJerciCIOS
-
e nu . .
de número par. Se aportan figuras cuando ast se reqUiere.
al de res uestasa los ejercicios de número par)Esta
Even-numbered answer bookle�(Manu
d u:verslty of Colorado. contiene las respues-
publicación. elaborada por Glon�
Langer. e 1
tas de todos los ejercicios de numero par.
la vers•ón en ingles. En un futuro proximo esta
N del E Este matenal solo esta dtspontble para
..
edtt¿nal tendra el ·Manual de resoluctones para el profesor

II¡11111US de los conceptos del Cálculo se remontan a los trabajos de los antiguos mate-
1111tko¡¡¡¡f'icgos del tiempo de Arquímedes (287-212 a.C.), así como a los trabajos en
lm ptttllcros ai'los del siglo XVII realizados por René Descartes (1596-1650), Pierre de
h•ttlllll (1601-1703), John WaUis (1616-1703) e Isaac Barrow (1630-1677).Sin embargo,
In luvcnción del Cálculo se atribuye a sir Isaac Newton (1642-1727) y a Gottfried
Wlllu:ltll Leibniz (1646-1716}, pues ellos iniciaron la generalización y unificación de
'�lll IIHttcmática. Existieron otros matemáticos de los siglos XVII y XVIII que intervi
lll�•tl11 en el desarrollo del Cálculo; entre ellos, Jakob Bernoulli (1654-1705), Johann
llcttlllltlli (1667-1748), Leonhard Euler (1707-1783) y Josepli L. Lagrange (1736-1813).
Nn ohstnntc, sólo hasta el siglo XIX se establecieron los fundamentos sólidos de las
undtlltil� y procesos del Cálculo gracias a Bernhard Bolzano (1781-1848), Augustin L.
< 'nul'IIY (1789 1857), Karl Weierstrass (1815-1897) y Richard Dedekind (1831-1916).
EL CÁLCULO
con Geometría Analítica

Bl aprendizaje del Cálculo puede resultar una experiencia educativa estimulante y
vívida, pues es la base de gran parte de las matemáticas y de muchos de los más gran
des logros del mundo moderno. El estudio del Cálculo debe emprenderse con el cono
cimiento de ciertos conceptos matemáticos. En primer lugar, se supone que el estu
diante ha participado en cursos de álgebra y geometría a nivel preparatorio. En segundo
lugar, existen temas específicos que revisten una importancia especial. El estudiante
puede haberse enfrentado a ellos en un curso de precálculo, o bien los aprenderá por
primera vez en este capítulo.
Es necesario familiarizarse con Jos hechos relativos a los números reales y haber
adquirido cierta facilidad en las operaciones con desigualdades, pues éste es el tema
central de la primera sección. Las dos secciones siguientes contienen una introducción
a algunas de las nociones de la geometrla analítica, necesarias para la secuencia del
estudio.
La noción defunción es uno de los conceptos más importantes delCálculo y se define
en la Sección 1.4 como un conjunto de pares ordenados. Este enfoque sirve para explicar
el concepto de función como una correspondencia entre conjuntos de números reales.
En la Sección 1.4 se discuten también la notación para las funciones, tipos de funcio
nes y operaciones con ellas. En la Sección 1.5 se estudian las gráficas de funciones.
Es probable que el estudiante cuente ya con conocimientos de las funciones trigo
nométricas, pero de todas formas, éstas se repasan, en cuanto a sus definiciones bási
cas, en la Sección 1.6. Ahí se incluye también una aplicación de la función tangente
a la pendiente de una recta.
Dependiend� de la preparación del estudiante, este capítulo podrá ser estudiado en
detalle, considerado como un repaso, o bien omitido por completo.

2
1.1
NUMEROS REALES. FUNCIONES Y GRÁFICAS
NÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES
El sistema de números reales consiste en un conjuntoa'dc elementos llamados núme·
ros realesy dos operaciones denominadas adicióny mul1iplicación, que se denotan con
los símbolos + Y · ,respectivamente. Si ay b son elementos del conjunto.:#, entonce�
a + b denota la suma de ay b; también a · b (o ab) indica su produc1o. La operación
de sustracción se define mediante la ecuación
a- b = a+ (-b)
donde -b representa el negativo de b, tal que b + (-b) = O. La operación de la divi·
sión se define con la ecuación
a � b = a · b-
1
donde b-
1
representa el recíproco de b, tal que b · b-
1
= 1.
El sistema de números reales se puede describir completamente por un conjunto de
axio'
:
las (1� palabr
�
axioma se emplea para indicar un enunciado formal que se da
P?r c1crto sm nec�s1dad de demostrarlo). Con estos axiomas podemos deducir las pro
ple�adcs de l�s
.
numeros rea
_
Ies de las cuales se obtienen las conocidas operaciones alge·
bra
�
cas de ad1c1ón,
_
�ustracc1ón, multiplicacióny división, así como los conceptos alge·
bra1cos de resoluc1on de ecuaciones, factorización.
Las propiedades que se pueden demostrar como consecuencias lógicas de los axio
mas se denominan teoremas. En el enunciado de la ma
yoría de los teoremas existen
dos partes: la parte"si", conocida como hipótesis, y la parte"entonces", denomi·
nadu conclusión. El razonamiento o argumento que se emplea para comprobar un
l�orcma se llama demostración. Una demostración consiste en probar que la conclu
'>IÓII se deduce de la supuesta verdad de la hipótesis.
Un número real puede ser positivo, negativo, o bien, cero,y cualquier número real
''-
' puctk du�ificar como racional o irracional. Un número racional es cualquier nú
lllCI o qu�·�>c puede expresar como la razón de dos enteros. Es decir, un número racio
lllll O 1111 n1'11n�.:ro ele la forma p/q, donde py q son enterosy q :1= O. Los números ra
clontdc� comprenden:
1 o� l'llll•ros (positivos, negativosy cero)
�. o!, 3,-
2, -1, O, 1,2,3,4,S,
1 a� l'rlll'l'luncll po�>itivas y negativas, tales como
' 1 H 1
1 � �
1 �� lh•t•huuh•¡¡ cmuncnsurables positivosy negativos, tales como
l 1(, 3 251
l 1(1 0.003251 =
1 ()() 1 000 000
1 m ch•••hnuh•lf hu·unmensurables periódicos positivosy negativos, tales como
o. 111 0.549549549 . .. =
- t'11t
1.1 Números reales y desigualdades 3
1 os números reale que no son racionales se denominan números irracionales. Estos
'un decimales inconmensurables y no periódicos; por ejemplo,
Jj = 1.732... 1l = 3.14159 ...
r:n las explicaciones siguientes utilizamos las notacionesy la terminología de con
junros. La idea de "conjunto" se emplea mucho en matemáticasy se trata de un con
ccpto tan bá ico que no se le da una definición formal. Podemos decir que un con
junio es una reunión de objetOs, los cuales reciben el nombre de elementos del conjunto.
"ii todo elemento de un conjunto S también es un elemento de un conjunto T, enton
cc:- S es un subconjunlo
_
de T. En cálculo nos ocuparemos del conjunto .c.Jf de
)os núme
ros reales. Dos subconJuntos de .�son el conjunto N, de los números n�
urales (los
enteros positivos), y el conjunto Z, de los enteros.
Empleamos el símbolo E para indicar que un elemento específico pertenece a un
conjunto. Por consiguiente, podemos escribir 8 E N, lo cual se lee "8 es un elememo
de N''. La notación a, bE S indica que ay b son elementos del conjunto S. El sím
bolo ése lee "no es un elemento de" . Así, leemos 1/2 é N como"Y2 no es un elemen
to de N''.
Un par de llaves { }, utilizado con palabras o símbolos, puede describir un con
junto. Si S es el conjunto de los números naturales menores que 6, podemos escribir
el conjunto S como
{1,2,3,4,5}
También podemos expresarlo como
{x, tal que x es un número natural menor que 6}
donde el símbolo xrecibe el nombre de variable. Una variable es un símbolo que se
emplea para representar cualquier elemento de un conjunto dado. Otra manera de des
cribir el.conjunto S de nuestro ejemplo consiste en usar lo que se llama notación cons
lructiva o por definición, donde se utiliza una barra vertical en lugar de las palabras
"tal que". Al emplear esta notación para describir el conjunto S tenemos
{xix es un número natural menor que 6}
.
que s
_
e lee''el conjunto ?e todas lasx,tales quexes un número natural menor que 6".
Se dice que dos conjuntos A y 8 son iguales)y se escribe A = B, si A y 8 poseen
elementos idénticos. La unión de dos conjuntos Ay B, representada por A U By que
se lee "A unión B" es el conjunto de todos los elementos que se encuentran en A o
en B o en ambos. La intersección de A y B, representada por A n By que se lee"A
intersección B", es el conjunto de todos los elementos que se encuentran tanto en A
como en B. El conjunto que no contiene elementos se denomina conjunto vacíoy se
representa con el símbolo 0.
• EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Suponga que A - {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B
{ 1, 4,9,16}y C = {2, 10}. Entonces

4 NIIMUIO� !lEALES. FUNCIONES Y GRÁFICAS
A vB= {1,2,4,6,8,9,10,12, 16}
Bv e = {1, 2,4,9, 10. 16}
Ar.B={4}
Br.C=0
Existe un ordenamiento para el conjunto Yf por medio de una relación denotado
por los símbolos < (que se lee "menor que") y > (que se lee "mayor que").
1. 1. 1 DEFINICIÓN
Si a, be .:#,
(i) a <1 b si y sólo si b -a es positiva;
(il) a � O si y sólo si a - b es positiva.
• EJEMPLO ILUSTRATIVO 2
3<5 puesto que 5- 3 = 2, que es positivo
10<-6 ya que -6- (-10) = 4, que es positivo
7 > 2 debido a que 7 - 2 = 5, que es positivo
2 > -7 pues -2 - (-7) = 5, que es positivo
i � t ya que t - i = h. que es positivo.
Ahora se definen los símbolos s (que se lee "menor que o igual a")y � (que se
Jtot• "mayor que o igual a").
l. 1.2 DEFINICIÓN
SI 11 be �'H¡-------------�---�--.1
(i) Q S b si Y sólo si a < b, O bien,a = b.
(li) a ;t b si y sólo si a > b, o bien, a = b.
1 m l'llunciadosa < b, a > bf a 5 b, y a � b se conocen como desigualdades. En
p1111kulm
: u<b y a > b se llaman desigualdades estrictas, mientras que a s b y
11 h tt'C1bcn el nombre de desigualdades no estrictas.
1 1�IHIIicnte teorema se deduce directamente de la Definición 1.1.1.
1, 1 ,3 TEOREMA
(O a O si y sólo si a es positivo.
(11) t1 O sl y sólo si a es negativo.
lln IIIÍII1croxse encuentra entrea
y b si a < x y x < b. Esto puede escribirse como
th.•sl�euuldüd continua de la manera siguiente:
a<x<b
Otra desigualdad continua es
a s x s b
1.1 Números reales y desigualdades S
lo cual significa que tantoa 5 xy x· 5 b. Otras desigualdades continuas sona 5 x <
by a<x 5 b.
Los teoremas siguientespueden demostrarse mediante el uso de axiomas para elcon
junto .�y de 1.1.1 a 1.1.3.
1 o 1.4 TEOREMA
(i) Si a > Oy b > O, entonces a + b > O.
(ii) Si a > Oy b > O, entonces ab > O.
La parte (i)del teorema anterior establece que la suma de dos números positivos es
positivay la pane (ii)expresa que el producto de dos números es positivo .
1.1.5 TEOREMA Propiedad transitiva de orden
Sia, b, cE:?#, y
si a > by b > e, entonces a > c.
• EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Si x< 5y 5 <y entonces por la propiedad transi
tiva de orden se sigue quex < y.
1o 1.6 TEOREMA
Supóngase que a, b. e E .o.#
. (i) Si a < b, entonces a + e < b + c.
(ii) Si a< b y e > O, entonces ac < be.
(iii) Si a < b y e< O, entonces ac > be.
•
• EJEMPLO ILUSTRATIVO 4¡ (a) Six <y, de1Teorema l . l.6(i)sededucequex +
4<y + 4. Por ejemplo, 3 < 9; por tanto, 3 + 4 < 9 + 4 o, de manera equivalente,
7 < 13. Además, six <y, entoncesx - 11 <y- 11. Por ejemplo, 3 < 9; por tanto,
3 - 11 < 9 - 11 o,de manera equivalente,-8 < -2.
(b) Six <y, del Teorema 1.1.6(ii) se deduceque ?x < ?y. Por ejemplo,puestoque
5 < 8, entonces 7 · 5 < 7 · 8 o, de manera equivalente, 35< 56.
(e) Puesto que 4 < 6,entonces, si z <O, delTeorema 1.1.6(iii) se deduceque 4z >
6z. Por ejemplo, puesto que 4 < 6, entonces 4(-3) > 6(-3) o, de manera equivalente.
-12 > -18.
•
La parte (ii) del Teorema 1.1 .6 establece que si ambos miembros de una desigual·
dad se multiplican por un número positivo, el sentido de la desigualdad se mantiene

inalterado, en tanto que la parte (iii) establece que si ambos miembros de una de�
igualdad se multiplican por un número negativo, el semid
.
o de la desigualdad se in
vierte . Las partes (ii) y (iii) se cumplen asimismo para la división, ya que dividi1
ambos miembros de una desigualdad por un número d(d :F O) es equivalente a mul
. 1' 1
1
ttp tcar os por d.
1. 1.7 TEOREMA
• EJEMPLO ILUSTRATIVO S Si x< 8y y< -3, entonces tenemos del Teoremu
1 . 1 .7, x + y< 8 + (-3); es decir, x + y< 5.
Al conjunto ,qp se le aplica una condición denominada axioma de completitud
(Axioma 12.2.5). El enunciado de este axioma se deja para la Sección 12.2, porque se
requiere para ello de una terminologíaque se presentay se explica mejor más adelante.
Sin embargo, ahora daremos una interpretación geométrica al conjunto de nümero�
realesasociándolos a los puntos de una recta horizontal llamadaeje. El axioma de com
pletitud garantiza una correspondencia biunívoca (de uno a uno) entre el conjunto .'fl
y el conjunto de puntos en el eje.
Veamos la Figura 1, donde el eje es una recta horizontal. Se escoge un punto del ej(•
para que represente el número O. Este punto recibe el nombre de origen. Se selecciona
luego una unidad de distancia. Entonces, cada número positivo x quedará represen
tado por un punto situado a una distancia de x unidades a la derecha del origen,y cadu
número negativox se representará por un pumo a una distancia de -x unidades a la
izquierda del origen(debe notarse que si x es negativo, entonces -x es positivo). Existe
una correspondencia biunívoca entre .<Jfy los puntos en el eje, es decir, a cada número
real le corresponde un único punto en el ejey a cada punto en el eje se le asocia un
único número real. Así, los puntos en el eje se identifican con los números que repre
sentan,y se usa el mismo símbolo para ambos, el númeroy el punto que representu
ese número en el eje. Identificaremos a .9f con el eje,y se llamará a ,qp recta numérica
o recta de los números reales.
Vemos quea< b siy sólo si el punto que representa al número a está a la izquierda
del punto que representa al númerob. Análogamente, a > b siy sólo si el punto que
representa a asehallaa la derecha del punto que representa ab. Por ejemplo, el número
2 es menor que el número 5y el punto 2 se encuentra a la izquierda del punto 5. Podría
mos escribir también 5 > 2y decir que el punto 5 está a la derecha del punto 2.
El conjunto de todos los números xque cumplen la desigualdad continua a< x<
b se denomina intervalo abiertoy se denota por (a, b); por tanto,
.! 9
2 4
o1' il 4 FIGURA 1
El intervalo cerrado de a abes el intervalo abierto (a, b) junto con los puntos extre
mos ayby se simboliza por [a, b). Así,
(a, b] = {xla � x � b}
La Figura 2ilustra el intervalo abierto (a,b)y la Figura 3 el i
_
ntervalo cer�ado [a,b].
El intervalo semi-abierto por la izquierda es el intervalo ab1erto(a, b) JUntO con el
punto extremo derecho b. Esto se representa por(a, b}. Así,
(d, b) = {xla< x � b}
Definimos el intervalo semi-abierto por la derecha de la misma manera Y lo denota
mos por [a, b). Así,
[a, b) = {xla � x < b}
El intervalo {a, b] se ilustra en la Figura 4y el intervalo [a,b) se
.
muestra en la
Figura 5.
Usaremos el símbolo + oo (más infinito o infinito positivo)y el símbolo - 00(menos
infinito 0 infinito negativo); sin embargo, se debe tener cuidado de no confundir estos
símbolos con números reales, ya
'
que no obedecen las propiedades de estos últimos.
Tenemos los intervalos siguientes:
(a, + oo) = {x!x > a}
(- oo, b) = {xlx< b}
[a, + oo) = {xlx � a}
(- oo ,b] = {xlx � b}
(- oo, + oo) = ./tf
La Figura 6 ilustra el intervalo (a, + oo)y el intervalo(- 00, b) aparece en la Figura
7. Nótese que (- oo, + oo) denota al conjunto de todos los números reales.
En cada uno de los intervalos (a, b), [a, b], [a, b)y (a, b), los números a Y b se
llaman puntos extremos del intervalo. El intervalo cerrado [a, b) contiene ambosextre
m·os, mientras que el intervalo,abierto (a, b) no contiene ningún punto ext�emo. El
intervalo [a, b)contiene su punto extremo izquierdo pero no el derec
_
ho,y el mter
.
valo
(a, b) contiene su punto extremo derecho pero no el izquierdo. Un mterval? ab1erto
e puede considerar como aquél que no contiene sus puntos extremos, Y un tnterv�lo
cerrado se puede considerar como el que contiene sus dos extremos. En consecuencia,
a b
FIGURA 2
E J
a b
FIGUR� 3
a
FIGURA 4
E
a
FIGURA S
..
]
b
b
a
FIGURA 6
FIGURA 7
b

"'"'"'"V"' MLML.t:..::>. t'UI�L.IVI'lt.::> y l.JKAI-ICAS
el intervalo [a, + 00) se·consideracomo un intervalo cerrado porque contiene su único
punto extremo a. Análogamente (- 00, b] es un intervalo cerrado, mientras que
(a, + 00) Y (- 00
, b) son abiertos. Los intervalos [a, b) y (a, b] no son ni abiertos ni
cerrados. Ya que el intervalo (- 00, + oo) no tiene puntos extremos, puede conside
rarse tanto abierto como cerrado.
Los interval
.
os se emplean para representar conjuntos de soluciones de desigualda
desen una vanable. El conjunto de soluciones detal desigualdad es el conjunto de to
dos los números que satisfacen la misma.
EJEMPLO 1 Hallar el conjunto de soluciones de la desigualdad
2 + 3x<5x+ By
Solución Las siguientes desigualdades son equivalentes:
2 + 3x<5x + 8
2 1·3x - 2<Sx + 8 - 2
3x<5x + 6
-2x <6
X>-3
Por consiguiente, el conjunto de soluciones es el intervalo (-3 + oo), que se ilustra
l'll lu Figura 8.
'
IW�MPLO 2 Obtenerel conjunto desoluciones dela desigualdad 4 <3x-2 $ 10
l' llu.�lf·orlo en la recta de los números reales.
o
:-loluclón Sumemos 2 a cada miembro de la desigualdad para obtener
() l c. 12
4
r 11d11 Jlll�(l es rcve�:sible; así, el conjunto desoluciones es el intervalo (2, 4], como se
llu�t r t1 t.'ll In Figura 9.
lJICMPLO 3 Hallar el conjunto de soluciones de la desigualdad
• uludón Se !rutaría de multiplicar por xambos miembros de la desigualdad. Sin
t1111h1•11411, �·1 sentido de la desigualdad que resulte dependerá de si xes positivo 0
lh'¡¡ullvu,
t>bM.ll'VCillt>S que si x<O, entonces
1

o
1 o 1 Números reales y desigualdades 9
lo qu�contradice la desigualdad dada. Por lo tanto, sólo debemos considerar x>O.
De la multiplicación por x
en ambos miembros de la desigualdad dada, obtenemos
7>2x
t>x
x<{
Como estos pasos son reversibles, el conjunto de soluciones de la desigualdad es
{xlx> O} n {xlx< �}o, lo que es lo mismo, {xiO <x<f}, que es el intervalo
(0, i ), como se ilustra en la Figura 10.
EJEMPLO 4 Determinar el conjunto de solucíones de la desigualdad
X
---<4
x-3
Solución Para multiplicar por x -3 ambos mjembros de la desigualdad, debemos
.
considerar dos casos.
Caso 1: x- 3 >O; es dedr, x>3.
De la multiplicación por x- 3 en ambos miembros de la desigualdad obtenemos
x<4x- 1 2
-3x
< - 1 2
X>4
Así pues, el conjunto de soluciones del Caso 1 es {xlx>3·} n {xlx>4} en forma
equivalente, {xlx>4} que es el intervalo (4, + 00).
Caso2: x- 3 <0;es decir, x<3.
Delamultiplicación por x-3enambos miembroseinvirtiendo elsentido dela desic
gualdad, obtenemos
x >4x- 12
-3x
> - 1 2
x<4
Por lo tanto, x
debeser menor que 4 y que3. Así, el conjunto desoluciones del Caso 2
es el intervalo (- oo, 3).
Si los conjuntos de soluciones para los casos 1 y 2 se combinan, obtenemos
(- oo, 3) U (4, + oo), lo que se ilustra en la Figura 1 1 .
) o ..2..
-3 o
2
"
FIGURA 10
FIGURA 8
)
1 (1 ) ( '
o 2 4 o 3
4�
FIGURA 9
FIGURA 11
'4

----·�.."" .,.,
• ,, "' 1!:'1, rt11�1 11 INt ' Y GHII'ICI5
111 COIII.!CPIl)del valorau.wlutode un númeroseempleaen algunas definiciones impor
tllllles Cll �:1 Cliludio del cálculo. Además, necesitaremos trabajar con desigualdades en
qu�o· ltllc1vengo dicho valor absoluto.
1.1.8 DEFINICIÓN
F.l valor absoluto dex, denotado por lxl, se define como
lxl . { X S� X � 0
-x SI X<0
1'1 3 51= -(-5)
=5
18- 141 = l-61
= -( -6)
= 6
•
Ptll In definición 'vemos que el valor absoluto de un número es un número positivo
11 t'lltn: es decir, es no negativo.
1'11 1é1minos de geometría, el valor absoluto de un número x es su distancia desde
•t'ltt, 'lin importar el sentido de la misma. En general, 1a - b1 es la distancia entre a
Y h Nlll �·onsidcrar dirección alguna, o sea, sin que importe cuál es el número mayor.
y,nw lu Figura 12.
In dc..igualdad lxl<a, donde a > O, enuncia que en la recta de los números rea- 1
h·�.lt1 disltlncia desde el origen hasta el.punto x es inferior a a unidades; es decir,-a <
• u. Po1 consiguiente,x está en el intervalo abierto (-a, a). Véase la Figura 13. Es
1hlt•lllccntonces queel conjunto de soluciones de lxl<a es {xl<-a<x<a}.
��ll' es precisamente el caso, tal como lo enuncia el siguiente teorema. La doble fle
�hu •• NC usa en todo el texto para indicar que el enunciado precedente al símbolo y
'1 qtu• k· '>Í¡.�uc son equivalemes.
l. l. t TI:.OREMA
1 1 u .. -a<x<a donde a > O.
llt�ttlllltrhclón Puesto que lxl = x si x � O y lxl = -
x si x<O, resulta evidente
qltt' t•lnutllltHo de soluciones de la desigualdad lxl 5 aes la unión de los conj!-.mtos
1 1 11'¡�Ú} y {xl -x<a y x <O}
� b n=In- bl-�
l 1
11 IJ -�'< x <a
1
o
� a- b =labl-4 -a
lxl <a
a
t'IOUAA 12 _j L FIGURA 13
,, a
Observe que el primero de estos conjuntos es equivalente a {xl O 5 x < a}, Y que el
scgundo es equivalente a{xl - a<
x<0}, pues-x <a es equivalente ax > -a. Por
tanto, el conjunto de soluciones de lxl< aes
{xjO � x <a} u {xj-a < x <O}
<=> {xj-a <x <a}
Comparando la desigualdad dada y su conjunto de soluciones, se concluye que
lxl<a .. -a<x<a.
•
1, 1.1O COROLARIO
lxl 5 a - -a � x � a donde a > O.
La desigualdad lxl > a, donde a > O, enuncia que en la recta de los números rea
les la distancia desde el origen hasta el puntox es superior a a unidades; esto es,x >
a,� bien x<-a. Por consiguiente,x está en(- oo, -a) U(a, + 00). Véase la Figura
14. Por tanto, es evidente que el conjunto de soluciones de lxl > a es {xlx > a} U
{xlx<-a}. El siguiente teorema enuncia este tipo de situación. En el Ejercicio 61 se
le pide la demostración al estudiante.
1,1.11 TEOREMA
lxl > a .. x >a o bien x<-a
t 1.1Z COROLARIO
lxl � a -++ x �a o bien x 5 -a
donde a> O.
donde a > O.
Los siguientes ejemplos ilustran la resolución de ecuaciones y desigualdades que con
tienen valores absolutos.
EJEMPLO S Obtener el valor dex en cada una de las ecuaciones siguientes:
(a)·l3x + 21 = 5; (b) l2x- 11
,
= l4x + 31; (e) l5x + 41 = -3.
Solución
(a) l3x + 21 = 5
Esta ecuación se cumplirá si
3x + 2 = 5 o bien, -(3x + 2) = 5
lxl >a
x <-a
FIGURA 14
o
-a
lxl >a
a
x>a

rVIIMLr�u� HI;.ALC:S. FUNCIONES y GRÁFICAS
(b) l2x-JI = l4x + 31
l!�>ta ecuación se satisfará si
2' 1 = 4x + 3 o bien, 2x- 1 = -(4x + 3)
X= -2 X= -1
(e) l5x 141 = -3
Ya �ue el valo
·
r
·
absoluto de un número nunca puede ser negativo, esta ecuación
no Irene soluc10n.
f:JEMPLO 6
'1 . 4,
Determinarel conjunto desolucionesquesati fagala desigualdad lx-
SohJclón De acuerdo con el Teorema 1 . 1 .9, las siguientes desigualdades son
t•quivulcntes
,, �' 4
4· x-5<4
. < 9
Jlur �·no�lgu��nte, el conjunto de soluciones es el intervalo abierto (1, 9), tal como lo
llllll''t1t1 la hgura 15.
I..JI:MPLO 7 Determinar el conjunto de soluciones �ue satisfaga la desigualdad
1" 1 21 > 5.
�nluciOn Por el Teorema 1.1.11, la desigualdad dada es equivaleme a
1 1 2 .;» 5 o bien 3x + 2 < -5
dl'L'Ir, la desigualdad se cumplirá si se satisface cualquiera de las desigualdades
1 nuNidl•trrndo la primera tenemos
·
1' 1 � �

l'ot h1 lllfllo, todo número �n el imervalo (1, + oo) es una solución.
lll lu l'Pllrlda desigualdad
" 1 ) 5
l'rtr 11111111, todo número en el intervalo (- oo, - t) es una solución.
11 L'rlltjunto de soluciones de la desigualdad dada, por tanto es (- oo - l) u
( 1 1 1 L•t),
' ' 3
o J
IIOURA 15
)-
9
•
1.1 Números reares y desigualdades 13
Se recuerda de! álgebra que el símbolo Va, donde a � O se define como el único
númeroxno negativo tal quex2 = a. Se denomina a Vacomo "laraízcuadradaprin
cipal de a
"
. Por ejemplo,
JO = 0 19 3
V2s= 5
Nota:..¡¡ :F -2 aun cuando (-2)2 = 4 ya que ..f4 denota únicamente la raízpositiva
de 4.
Comoenestelibro sólonos interesan losnúmeros reales, Vanoestádefinidasia < O.
EJEMPLO 8 Hallar todos los valores de xpara los cuales -Jx2+ ?x + 12es real.
Solución x2 + ?x + 12 = (x + 3)(x + 4).
V (x + 3)(x + 4) es real cuando (x + 3)(x + 4) � O.
Hallemos el conjunto de soluciones de esta desigualdad. La desigualdad se cumplirá
cuando ambos factores sean no negativos ocuando sean nopositivos, es decir, si x +
3 ;:::: O y x + 4 � O, o si x + 3 :5 O y x + 4 :5 O. Consideramos dos casos.
Caso 1: x + 3 ·� O y x + 4 � O. Es decir,
X2:: -3 y X� -4.
Ambas desigualdades se cumplen si x � -3, que esel intervalo [-3, + 00).
Caso 2: x + 3 s O y x + 4 s O. O sea,
X:5 -3 y X:5 -4.
Ambas desigualdades son válidas si x :5 -4, que es el intervalo (- 00, -4].
Si combinamos los conjuntos de soluciones de los casos 1 y 2, entonces (- oo, -4] U
[-3, + oo).
De la definición de Va se deduce que
Yx2 = lxl.
,/52= ISI J(-W = l-31
=5 =3
Los teoremas siguientes acerca del valor absoluto serán útiles posteriormente.
1. 1, 13 TEOREMA
Si a, b E .#, entonces,
labl = lal · lbl

-----·-·•- , '"'"'..,.., 1 • 1111 111111 T 111/1ll./1::1
Oomostra�clón
jo/1j j(nW
JaJhJ.
Jul.· J1>2
Joj·jbj
t, t. 14 TEOREMA
SI Q, bE .tJR, y b :¡!: o,
1Q1
la!
b lbl
•
1 a demostración del Teorema 1.1.14 se deja al lector como ejercicio (véase el Ejer
�illo 62).
1. 1. 19 TEOREMA La desigualdad triangular
l.l.lf
J •· b , entonces,
1• +bl s; lal + lbl
Uumostraclón Por la Definición 1.1.8, a == la!, o bien a = -!a l; así,
1(11 a s; la!
1"1 • /) < lbl
llt•lll't clcl-i¡(ualdades (l) y {2) y el Teorema 1.1.7,
(j,tj 1 j/Jj) <a+b � jaj + jbj
l'111 111111o, dd Corolario 1.1.10 se deduce que
,,, 1 hj '(/' 1 lbl
{1)
(2)
•
1 1 1 t'llll'lilll 1.1.15 tiene dos corolarios importantes, los cuales se enuncian y demues-
11 111 U lllllltlliiUCión.
OROLARIO
1 entonces,
lul t lbl.
Oumostraclón
ja hj-la+(-h)l � lal + 1(- b)l = lal+lbl
t t 1 17 COROLARIO
b e .rJP, entonces,
fa1-1b1 � 1a - b1
Demostración
lal = j(a - b)+bl � la - bJ+Jbl
1.1 Números reáles y desigualdades 15
por tanto, aJ restar 1b1 de ambos miembros de la desigualdad se obtiene:
la! -JbJ � Ja - bJ ·:�· •
Jf:RCICIOS 1. 1
1 11 /111 I'Jt>rdcios 1 a 22, halle el conjunto de so/u
''"' 1 r/(' la desigualdad indicada, e ilustre dicho
111/llltfo de soluciones en la recta de los números
,,,, 1
IJ
11
1'
1
11
IU
11

1'
2>x-6
1�0
2x- 3 ¿5
3-3x¿-7
l>2
-7
X
2
<--
1 3x-1
4
l)(x+5)>O
2x2 ¿O
l11 1 9x<9
4
1'
� --
7 3-2x
2. 3-x<5+3x
4. 3-2x ¿ 9+4x
6. -2< 6-4x�8
8. 2 � 5-3x<11
5 3
10.-
<4
X
x+l x
12. 2
-
-<-
3-
-x +x
14. x2 � 9
16. x2-3x+2>O
18. x2+3x+1>O
20. 2x2-6x+3< O
22. X3+1 > x2 + X
1 ,,¡,11 r'Jt•rcfcios 23 a 30 despeje x.
ll = 7
'
JI== l3x+51
24. !Jx - 81 = 4
26. lx - 21= 13-2xl
28. 2x + 3 = l4x+51
O 13x+81= 4
3 · 2x-3
1 ,¡,,, t'JI'rcicios 31 a 36 obtenga todos los valores
1 1 /'lttU/os cuales este número es real.
'1 ../K' 5
H .)' ' 3x-1O
32. Jx2- 16
34. .Jl.
x2+5x-3
..
35. Jx2-5x + 4
En los ejercicios 37 a 52 obtertga el conjunto de
soluciones de la desigualdad indicada, e ilustre el
conjunto de soluciones en la recta de losnúmeros
reales.
37.lx+41<7
39. IJx-41 � 2
41. 15- xl > 7
43. 11·-4xl :::; 9
45. l2x-51>3
47.!Jxl > j6-3xl
49. 19 - 2xl ¿�4xl
SI. --<4
1
x
+
2
1
2x- 3
38. l2x-51< 3
40. IJx+21 ¿ 1
42.13- xl<5
44. 16-2xl � 7
46. lx+41 :::; l2x- 61
48. 13+ 2xl< f4-xl_¿
50. 15-2xl � 7
16-5x' 1
52' 3+x :s;2
• ¡
En los ejercicios 53 a 56, despejexy escriba la res
puesta con notación de valor absoluto.
x-a a-x
53. --> o 54. - � o
x+a a+x
x-2 x+2
SS.-->-
x-4 x
1
L x + 5 x+l
:>6.-<-
x+3 x-1
57. Demuestre el ífeotema 1.1.5.
58. Compruebe el Teorema 1.1.6(i).
59. Demuestre el Teorema 1.1.6(ii) y (iii).
60. Compruebe que si x< y, entonces x<
V2(X+y)< y.
61. Demuestre el Teorema 1.1.11.
62. Demuestre el Teorema 1.1.14.

" NlJMEROS REALES. FUNCIONES Y GRÁFICAS
1.2 COORDENADAS Y RECTAS
Los pares ordenados de números reales son importantes para nuestro estudio. Dos
números reales cualesquiera forman un par (o pareja), y cuando el orden del par tiene
importancia, se le llama par ordenado. Six es el primer número real y y el segundo,
este par ordenado se denota como(x, y). Nótese que el par ordenado (3, 7) es dife
rente del par ordenado (7, 3).
El conjunto de todos los pares ordenados de números reales se llama plano numé
rico, y cada pareja ordenada (x, y) se denomina punto del plano. El plano de los núme
ros reales se denota por Yt2• Así como podemos identificar a Ytcon puntos sobre un
eje(un espacio unidimensional), es posible identificar Yt2 con puntos en un plano (un
espacio bidimensional). El método que se emplea con Yt2 se atribuye al matemático
francés René Descartes(1596-1650), a quien se le reconoce como el creador de la geo
metría analítica, originada en 1637. Se escoge una rect� horizontal en el plano geomé
trico y se la denomina eje x. Se elige una recta vertical y se la llama ejey. El punto de
Intersección del ejex y el eje y recibe el nombre de origen y se denota por la letra O.
S�: c�cogc una unidad de longitud. Por Jo general, la longitud unitaria en ambos ejes
UN la 111isma. Se establece que el sentido positivo en el eje x es hacia la derecha del ori
�1:11, y que el sentido positivo en el eje y es hacia arriba del origen. Véase la Figura l.
Ahora se asocia un par ordenado de números reales (x, y) a un punto del plano geo
HlÓItico. En el punto x del eje horizontal y en el punto y del vertical, se trazan rectas
p1:1pendiculares a los respectivos ejes. La intersección de estas dos líneas perpendicu
hu�·' c� cl punto Pasociado al par ordenado (x, y). Véase la Figura 2. El primer númf!ro
1kl pM recibe el nombre de abscisa (o coordenadax) de P, y el segundo número y
t'' In ordenada (o coordenaday) de P. Si la abscisa es positiva, P está a la derecha del
l'lt· ', y si es negativa P está a la izquierda del ejey. Si la ordenada es positiva, Pestá
1111lhn del ejex, y si es negativa, P está abajo del'ejex.
1 unbscisa y la ordenada de un punto se llaman coordenadas cartesianas ortogona
h•ll (o rt�clangulares) del punto. El término cartesiano se deriva del nombre Descartes.
1 ''"te una correspondencia de uno a uno entre los puntos de un plano geométrico y
' t1N decir, para cada punto en dicho plano corresponde un par ordenado(x, y)
FIOURA 1
!1
--
�--------
--� X
o
y
y1-----. P(x, y)
(ordenada)
�
0::+------
--
....l.
x----�x
(abscisa)
FIGURA Z
1 .2 Coordenadas y rectas 17 �
tlnico, y cada par ordenado (x, y) está asociado a un solo punto. A esta corres
.
pon
denciauno a uno se le llama sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. La F1gura
3 ilustra este tipo de sistema mostrando algunos puntos.
Los ejesx yy se denominan ejes coordenados. Dividen al plan� en cuatro partes lla
madas cuadrantes. El primer cuadrante es aquél en el cual la absc1sa y la ordenada son
positivas, esto es, c1cuadrante superior derecl�o. �os otros cuadrantes se numeran en
el sentido contrario al de las manecillas del reloj; as1, el cuarto cuadrante es el cuadrante
inferior derecho. Véase la Figura 4.
Debido a la correspondencia biunívoca, identificamos a .rJf 2 con el plano geomé-
trico. Por esta razón a un par ordenado(x, y) se le lla�a pu�ro. .
Ahora abordaremos el problema de determinar la d1stan�1a entre d�s puntos �n
yt2. Si A es el punto {X¡, y1) y Bes el punto(x
2
, y
.
1) (es ?ec�r
:
1 y Bllenen la miS
ma ordenada, pero diferente abscisa), entonces la dtstancta dmgtda de A a .8, repre-
sentada por A.B, se define como
AB = x2 - x¡
• EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Véase la Figura
1
5�a)-(c). Si A es el punto (3, 4) �
Bes el punto (9, 4), emonces AB = 9- 3 = 6. S1 A es el punto (-8, O) Y Bes e
punto (6, 0), entonces AB = 6- (-8) = 14. Si�es el p��to (�, 2)y � es el punto
(l, 2), entonces AB = 1 - 4 = -3. Vemos qu
.
e A� es pOSJIJva SI Besta a la derech!
de A, y ABes negativa siBse encuentra a la 1zqu1erda de A.
Si e es el punto (x1, y1) y D es el punto (
x1 , Y2). entonces la distancia dirigida de
Ca D. denotada porCD, está definida como
.
• EJEMP
'
LO ILUSTRATIVO 2 Véase la Figura 6(a) y(b). SiCes el punto {l, -2)
D 1 to (1 -8) entoncesCD = -8 - (-2) = -6. SiCes el punto (-2, -3)
y es e pun , , . .
Des el punto (-2, 4), entonces CD = 4- (-3) = 7.
.
EJ numeroCD es poSitiVO
�i Destá arriba de e, yCD es negativo si D se halla abajo deC. •
!1
y
,Segundo cuadrante Primer cuadrante
(.-4, 5). • (8, S)
--
----
--
--
�
�----------
? X
o
Tercer cuadrante Cuarto cuadrante
(-8, -6)
• (9, -7)
FIGURA 3 FIGURA 4

8 NlJME:IlOS REALES. FUNCIONES Y GRÁFICAS
'.v 11(3.4)
( 1 1 1
FIGURA S
1 1 1
1tJ-6
(.o)
8(9.4)
1)X
y
�11111 t t t t 1 t t 1:�l
<-s.oJ ol t6.o¡
Xií- 14
(b)
y
o
lJ(I, 7.) • 11(4, 2)
Xií- -J
(r)
Se ob11erva que la denominación distanciadirigida indica tanto una distancia como
1111 sentido (positivo o negativo). Si sólo nos interesa la longitud del segmento de recta
l'rlll'c dos puntos P1 y P2 (es decir, la distancia entre los puntos P1 y P2sin importar
l'l 'eniido), entonces se emplea la denominación distanciano dirigida. La distancia no
•llrl¡,:lcJu de P1 a P2 se representa por IP1P21, que es un número no negativo. Cuan
do �e usu el término distancia sin ningún adjetivo, dirigida o no dirigida, se entiende
qu�· 'ignil'ica distancia no dirigida.
Ahoto se debe obtener una fórmula para calcular 1P1P;1 si P1(x1, y1) y P2(x2, Y2)
'1111dns puntos cualesquiera en el plano. Se utiliza el teorema de Pitágoras de geome
ltlll pl,11111, el cual es como sigue:
n un ltldngulo rectángulo, lasuma de los cuadrados de los catetoses igualalcua
*rldo de/a hipotenusa.
1 11 Fl�&ura 7 muestra a P1 y P2 en el primer cuadrante y el punto M(x2, y1). Obser
'r11111' que 1P1P21 es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo P1MP2• Al
lllflltiiJ el teorema de Pitágoras tenemos
IJ'1111J' JP1N
t
J2 + JMP2J2
Jl11/'Jj JJP,Aiif + JMP
2
f
1 >I"1'J Vl'IIIO!. en la fórmula anterior que no se tiene un símbolo± enfrentedel radi
• •ll d1•ll.1do derecho, puesto que IP1P21 es un número no negativo. La fórmula se
'lliiiJik ¡un u lodas las posiciones posibles de P1 y P2 en los cuatro cuadrantes. La
h11t�•ltt11l dl' la hipotenusa es siempre IP1P21. y las longitudes de los ca1e1os son
h IIIIHl 1111 MI y IMP21. El resultado de esto se expresa como teorema.
1,2, 1 1',.Otu�MA
<)��·�vemos que si P1 y P2 están sobre la misma recta horizontal, entonces y1 =
1'•• y
JP1P2J=Jxz- x.J (ya que va
2
= !al).
1.2 Coordenadas y rectas 19
y
y
tl
,.. �-...
H
r-· - »
!}il,-8)
C(- 1. - J) o
y
1 v·,-...
IJ(-S,l)
---1..-l l J 1
C0•-6 Co•7
(•l (b)
o
o
FIGURA 6 FIGURA 7 FIGURA 8
Además, s.i p1 y p2 se encuentran en la misma recta vertical, entonces X¡ = X2, Y
EJEMPLO 1 Demostrando que dos lados tienen la mism�longitud, probar que el
triángulo con vértices en A(-2, 4), B(-5, 1) y C(-�, 5) es Isósceles.
Solución El triángulo se muestra en la Figura 8.
�
--
-=--
-
----:-
:-;;-
JBCJ = J(-6 + 5)2 + (5- I? lACJ = -./(-6 + 2)2 + (5-4)2
= Jl+l6 = JI6+T
= fo = fo
Puestoque IBCI - IACI, el triángulo es isósceles.
Si p1 y p2 son los extremos de un segmento rectil
.
ineo, dicho segmento se deno
_
ta
como p p . Esto no debe confundirse con la notactón P1 P2, que representa la dts-
. d
1
• •
2
g·da de p a p Esto es p1 p2 es un número, mientras que P, P2 es un
tancta m 1 1 2• •
• d
.
segmento de recta. Obtendremos ahora las fórmulas para determmar el pu
.
nto m� lO
de un segmento rectilíneo. Véase laFigura9' donde M(x, Y) es el punto medto de dJcho
segmento, que va de p1 (x,, y1) a p2(x2, Y2)· Puesto que los triángulos P1RM y MTP2
son congruentes,
JP1RJ=JMTI y JRMJ = JTP2J
Por tanto,
x-x1=x2-x
2x=x 1+X2
x1 -+ x2
X:::
---T·-
y- Y• = Y2- Y
2y =y.+ Y2
Estas son las fórmulas de puntos medios. Para su deducción se s
_
upuso que X2 > x,
> Cualquier ordenación de estos números lleva a las mtsmas fórmulas.
y Y2 Y1 ·

..... ·�"''"' ,.,., ,, fll 1
1/
P2(X;¡, !/2)
'}
M( )
1 !/2 - !/
x,
y
_
_
_
_
_
J T(x !f)
y - !/• 1
] x2- x 1 2'
-----
_ _ _ _
__J S(X;¡, y,)
P, x - X1 R(x, y,)
(,,y,)
()1------------------------�x
PIOURA 9
y B(b. e)
M A(a,O)
FIGURA 10
En geometría analítica, la validez de 1os teoremas de la geometría plana se establece
"'ondo coordenadas y técnicas algebraicas. El siguiente ejemplo muestra este pro
�·cdimienlo.
11.JHMPLO 2 Comprobar por medio de la geometríaanalítica que los segmentos rec
ltllmm.� que unen a los puntos medios de los lados opuestos de cualquier cuadrilátero.,
·11 hi�cc.1n entre sí.
nuluclón Se traza un cuadrilátero cualquiera. Puesto que se pueden seleccionar cua
h·�qllil'la ejescoordenados en el plano y,puestoque la selección de dichos ejes no afecta
ulu v.llldct del teorema, tomaremos el origen como uno de los vértices y al eje xcomo
lllhl d�·los lados. Esta selección simplifica las coordenadas de los dos vértices en el eje
Ylusc In Figura 1O.
1 11 hlp(�lc�is y la conclusión del teorema son como sigue:
/1/¡uHtm/s: OABC es un cuadrilátero, M es el punto medio de OA, N es el punto
nu•cllo d�· ('!), Res el punto medio de OC, y S es el punto medio de AB.
r 11111/1/.'i/On: MN y RS se bisecan entre sí.
llPIIIII!IIruclón Para probar que los dos segmentos rectilíneos se bisecan, demostra-
11 11111� IJIIl' 1kncn el mismo punto medio. A partir de las fórmulas de puntos medios
,, t�l•lh•lll'li lus coordenadas de M, N, Ry S. M es el punto (!ha, 0), N es el punto
11 (/' 1 r/), '1(c 1 e), Res el punto (!hd, e) y S es el punto (!h(a + b), Y2c).
1 n uh�ll11 dd punto medio de MN es ![la+ t(b + d)] ={(a + b + d).
1 u llldl•lludu del punto medio de MN es }[O + He+ e)]=l(c + e).
l'111 1111110, l'l punto medio de MN es el punto (!(a + h + d), He + e)).
1 uuh!l�l.'ll del punto medio de RS es H!d + l(a + h}] = t(a + h + d).
1 11 1111kllí1du del punto medio de RS es t[·le +�e]= ±<e+ e).
1'111 111111o, el punto medio de RS es el punto(k(a + h + d), !(e+ e)).
1h• l'�lu forma, se comprueba que el punto medio de MN es el mismo que el punto
uH•dlo de NS.
l'o1 comiguiente, MN y RS se bisecan. •
1.2 coordenadas y rectas Z1
JJ
. .
ahora las rectas en Yf 2. Sea 1 una recta no vertical y P,(x¡ '
.
Y') Y
DISCutiremos
l ·era de 1 La Figura ll muestra esa recta. En la figura,
/' (x y ) dos puntos cua esqu1 · . .
1
•
2 2•
2
p p y Rson vértices de un tnangu o rectangu-
N es el punto (x2, Y1), Y los puntos 1' 2
El . ero y _ y es la medida del
l d á p R - x -X y RP2 = !Y' -Yl. num 2 J
o: a em s 1 - 2 J
u�de ser ositivo negativo o cero. El número
cnmbio en la ordenada de P¡ .
a P2 Y
l P b . d Pp a p
'
Y puede ser positivo o nega-
- >: es la medida del camblO en a a SCISa e J 2
Sea
' '1
. 1 ../.. por tanto x2 -X¡ no es cero.
IIVO. Como la recta 1 no es veruca , x2 '1" x, •
y, '
Y2- r. (1)
m=---
:<2- X¡
¡.¡valor de m calculado con esta ecuación es in?ep
:;:�
c�;::
c
e
o
�
e
��
s
d
��
s
p
��
Hlntos p1 y p2 en/. Para demostrar esto, supong .
1
) p ( y ) Y se determina un número m a partir de(),
ll>S P¡(X¡, Y1 Y 2 X2, 2
- .1'2- .i
111 = �-
-
-
.2- X¡
r -r r.-1'¡
.2
__
1 = · - .
o bien,
y
, .... .. r¡..
- Cl •
..• :
• .. ¡ 1
.
...
;.f
.
.....
_ �-=-=-�"'
P1 (xt, Yt)6-
_
_.
xl - Xt
R(x2,yt)
Y- -1
2 •
�------------;;>X -
�------
----�---- --�X
o
FIGURA 11
o
FIGURA 12

••• I'HIIIillllll'o flll11 ' riiNfltiNI', 't ldfiIJI/1!,
t .?..Z DEPJNJCION
Si se lllultiplicun a1nbos fados de (2) po , _
r X2 x,, obtendremos
1'• Y¡ 111(X2-xd.
1k Ctu ecuación seconcluyequealconsiderar un .
tk unu recta, el cambio en la ordenada de la
� partJc�laquese desplace alo largo
dh:ntc por el cambio ele la abscisa.
partlcula es Igual al producto de la pen-
• EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Si 1es una recta
1',(4, 7) y 111 es la pendiente de 1 entonces de
que
d
pasa por los puntos P, (2, 3) Y
111
' • acuer o con la Definición 1.2 2
7 3
. '
,, 2
VtIIW fu Figura 13. Si una partícula semuevea lo 1
uudu es do/) veces el cambio de absc·s E d
. a�go de larecta1, elcambio deorde-
uhsd�tt nuuH:ntaen una unidad ento
' a.
l
s e
d
C
Jr, SI la partícula está en P2(4, 7) ,y la
1
• nces a or enada seincreme t d ·
V '' j>rtJIlcufu está en el puntop (S 9) A ál . n a en os umdades,
1', (1 l) y In abscisa dis . 3 '
. .
n ogamente, SI la partícula se encuentra en
' mmuyeen tres umdades entonces 1 d d d
duciL' y lu panícula se encuentra e 1 p
' a or ena a ecrece seis uni-
n e punto 4(-1, -3). •
Hllu poudicnte de una línea recta es pos't·
dt llllll de �us puntos la ordenada ta b'
.� Jva, entonces, cuando aumenta laabscisa
1 l l
' m len crece La Figura 14 m t d' h
11 u l• Ulllll lS se ilustraunarectacuya e d'
. ues ra JC a recta.
lllt lu uh�cl�u In ordenada dismin
P n lentees negativa. Paraestalínea,alaumen-
uye.
,V
y
1'.( '·
t.IOURA 13
FIGURA 14
y
Si una recta es paralela al eje x, se tiene que Y2 = y1, por lo que la pendiente es
S
. 1 1 1 . 1 f
· · y2 - y,
cero. 1 una recta es para e a a eJe y, entonces x2 = x1 y a raccJOn _
x2 x1
deja de tener significado, pues no podemos dividir entrecero. Por esta razón, las rec
Ias paralelas al ejeyseexcluyen de la definición de pendiente. Portanto, no esposible
definir la pendiente de una línea vertical.
Al hablar dela.ecuación deunarectanosestamosrefiriendoa unaecuaciónquepuede
ser satisfecha por los puntos de dicha línea, y únicamente por dichos puntos. Puesto
que un punto P1(x1 , y1) y una pendiente m determinan una recta única, debeser posi
ble obtener su ecuación. Sea P
(x, y) cualquier punto de la recta excepto (x1, y1).
Entonces, y puesto que la pendiente de la recta que pasa a través de P1 y Pes m, la
definición de pendiente indica que
J'- y,
--= m
x-x1
)'- Y1 ::: III(X- X¡)
Esta ecuación recibe el nombre de forma de punto y pendiente (o forma punto
JJCndiente) delaecuación de una recta. Proporcionalaexpresión de una recta cuando
�e conocen su pendiente y un punto.
• EJEMPLO 1LUSTRATIVO 4 Paraobtener laecuación deuna rectaquepasaa tra
vps de los dos puntos A(6, -3) y B(-2, 3), primero se calcula m.
3-(-
3
) x� y� x�. y,
111 = ----
-2-6
6
= -
-8
Usando la forma de punto y pendiente de una ecuación de la recta con A como P1,
C obtiene
' J'- (- 3)=-;{(x- 6)
4r+12= -3x+ 18
3. + 4y- 6 = o
1- (-3).:: -2 {;{ -!:> 1
'1
Lj (y- (� 3 � ) ' -J (X
'1 � .¡.._ /1_:::. ·- '"'::C -t J(;'
' - X- 6 (/

�--.,._,.,..,, '""'' , 1 11111 Jl
ll'll T niVI It 111
<'IHi tl l:�lt qlh
• I11111IMu plll'tk cott�idcrarseal punto BcomoP1, en cuyocaso se llegaa
1' 1 1( 1 ))
·h· 1 , h (
h 1 ., ,. (1 ()
Si �·n lu I'<HIIHI punto y pc11clientese selecciona el punto(0, b) (esto es, elpunto donde
111 1 ectn cortu al eje y) �.;onw punto (x1 , y1) se obtiene
1' ¡, 111(' O)
1' ,, t b
1·1 nlllllcro b, la ordenada del punto de intersección de la recta y el ejey es la inter
l'l•pclcny (u ordenada en el origen) dedicha recta. Por consiguiente, a la ecuación ante-
1 itll 'e In llama forma de pendiente e intercepcióny de la ecuación de una recta. Esta
lollnH, también denominada pendiente-intercepción, es especialmente útil pues per
tllilc obtener la pendiente de una recta a partir de su ecuación. También es importante
ch•hldo n que expresa la coordenaday de un punto de la línea, explícitamente en térmi-
111'' dt• In coordenada x.
I.JI�M PLO 3 Obtenga la pendiente de la recta cuya ecuación es
(1 f 5y 7 = o
oluclón Se despeja y en la ecuación:
,,, (l f- 7
' � ,
. f- �
1 ''11 Cl'lluci(ln está en forma de pendiente e intercepción y con m =- �.
l'tlcNtll que no se define la pendiente de una recta vertical, no es posible apücar la
lttl ltlll dl· ¡HtlllO y pendiente para obtener dicha ecuación. Se usa en cambio el siguiente
h ntl
'llllt que �e basa en la intercepción x (o abscisa en el origen) de la recta (la abscisa
th l ptlllllt d�o· llliCI sección de la recta con el ejex). El teorema también proporciona una
tl lllli'llltt tk• lu recta horizontal.
ThOHEMA
( ) l nA �.:uac1ón de la recta vertical con intercepción x igual a a es
Q
(11) l lna e�uación de la recta horizontal con una intercepción y igual a b es
b
O mostración (i) La Figura 16 muestra la recta vertical que corta al ejexen el punto
(a, 0). Esta línea contiene los puntos de la recta con una misma abscisa, y únicamente
dichos puntos. De esta manera, P(x, y) es cualquier punto de la recta cuando Y sólo
cuando
x = a
(ii) La recta horizontal que corta al eje y en el punto (0, b) se ilus.tra en l
.
a Figura
17. Para esta lfnea, m = O. Por tanto, a partir de la forma de pend1ente e mtercef-
ción, una ecuación de la línea es 1
•
y = b
Hemos demostrado que una ecuación de una recta no vertical corresponde a la forma
y = mx + b, y que una ecuación de una recta vertical tiene la forma x = a. Puesto
que ambas ecuaciones son casos especiales de la ecuación
Ax + By + e = O
(2)
donde A, B y e son constantes y A como B no son ambas i�uales a cero, se deduce
que toda recta debe tener una ecuación de la forma (2). �a mversa de este hecho �e
expresa en el Teorema 1 .2.5. Sin embargo, antes de enunc1ar tal teorema, es necesano
definir la gráfica de una ecuación.
1 2.4 DEFINICIÓN
La gráfica de una ecuación en !!i2es elconjun�o de todos Jos P�
.
ntos en f!P
2
cuyas
coordenadas correspondan a números que sausfagan la ecuac10n.
t 2.5 TEOREMA
La gráfica df; la ecuación
Ax + B
y + e = O
donde A, By eson constantes y A y B nosonambas iguales a cero, es una línea recta.
y x = a
y
1 y = b
o . (ll, 0)1
X
(0. 11)
1 --
--
--
--
--
�
4-
--
--
--
--
--
� x
o
FIGURA 16
FIGURA 17
- - �

26 NÚMEROS REALES. FUNCIONES Y GRÁFICAS
La demostración de esteteorema se deja como ejercicio. Véase el Ejercicio 57.
La gráficade(2) es una línea recta y a estaexpresión se lallama ecuación lineal· es
la ecuación general de primer grado en x yy.
'
Yaquedos puntosdeterminan una recta, paratrazar lagráficadeuna recta apartir
desu ecuación, únicamentees necesario determinar lascoordenadasdedospuntosen
la recta, situar ambos puntos y luego trazar la recta. Cualesquiera dos puntos basta·
rán, peroconvienegeneralmenteutilizaraquellos donde la rectacorta losejes, loscuales
están determinados por las intercepciones.
• EJEMPLO ILUSTRATIVO S Para trazar la recta cuya ecuación corresponde a
2x - 3y = 1 2
primero se determina la intercepción x, o sea a, y la intercepcióny, o sea b. Se susti
tuye luego (x, y) por (a, O) y se obtiene que a = 6. Sustituyendo después (x, y) por
(0, b) se obtiene que b = -4. Se obtiene así la recta que apar.ece en la Figura 1 8 . •
El siguiente teorema constituye una aplicación del concepto de pendiente.
1.2.6 TEOREMA
Si '• Y /2 son dos rectas no verticales diferentes con pendientes m1 y m2, respecti
vamente, entonces, /1 y /2 son paralelas cuando y sólo cuando m1 = m2.
Demostración Sean las ecuaciones de /1 y /2, respectivamente,
y = m1x + b1 y
Véase la Figura 19, que muestra a las dos rectas cortando al eje y en los puntos
B,(0, b,) Y B2(0, b2). Suponga que la línea vertical x = 1 corta a /1 en el punto
A ,(1, m, + b,), y a /2 en el punto A2(1, m2 + b2). Entonces,
!1
5
1 1 1 L11 1¡ X
,;
/
F-s
FIGURA 18
/
•
1 ;: 1
l �� I/ = /II�X + /11
/ 111(1, 111! + 1•�>
1, 1/ = "'•·' + 1•,
/11,(1, '"• + 1•,)
() 1----�.
__ ·r
/J,(O,I•,>
FIGURA 19
1
1 .2 Coordenadas y rectas '1/1
Las dos rectas son paralelas cuando y sólo cuando �as d
.
ista�cias verticales lll77
1·l
y IA1A21 son iguales; esto es, /1 y /2 son paralelas SI Y solo SI
h2 - 1?, = (1112 + h2) - (m1 + h, )
h2 - h1 = m2 -1 h2 - 1111 - h,
•
m1 = m2
Por consiguiente, /1 y /2 son paralelas sólo cuando m1 = m2•
• EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 Sea /1 la recta que pasa por los puntos A ( l , 2) Y
8(3, -6), y m1 la pendiente de ¡1 ; sea también /2 la recta que pasa por los punto'
('(2, -5) y D(-1, 7), y m2 la pendiente de /2. Entonces
-6 - 2 7 - (-5)
m , = 3 - 1
m2 =
- 1 - 2
-8
= -
2
=
-4
1 2
= -3
= -4
Puesto quem, = m2, se ha demostrado que /1 y /2 son paralelas. Véase la Figura 20
•
Dos puntos distintoscualesquieradeterminan unarecta. Trespun�os distintos
.
Plll'
den 0 no encontrarse en la mismarecta. Si tres o más puntos se localizan en �a fl11lllllll
recta se dice que son colineales. Por lo tanto, tres puntos A, B y e son cohneab �1
y sól� si la recta que pasa por los puntos A y B es la misma que la que pasa P�'· luN
puntos 8 y c. Ya que la recta que pasa ?or 1 y �y la que ?asa por B
.
y e contlCIIl'll
nmbas el punto B, son la misma recta s1 y solo s1 sus pend1entes son 1guales.
EJEMPLO 4 Determinar por medio de las pendientes si los puntos A(-3, 4},
/)(2, -1) y e(7, 2) son colineales.
Solución Si 1171 es la pendiente de la recta q�e·pasa por A Y B, Y m2 es la pendicllt�
uc la recta que pasa por B y e, entonces
.
- 1 - (-4) 2 - ( -1)
m,.
= 2 - ( - 3)
m2 = 7
- 2
3 3
= s = s
·
- m Por lo tanto la recta que pasa por A Y B Y la que Jlll�ll
l·n consecuenc1a, m1 - 2. •
• •
por 8 y e tienen la misma pendiente y contienen e� punto comun B. As1, ambu' �1111
lo 111isrna recta, y en conclusión, A, B y e son cohneales.
Ahoraenunciaremosy demostraremos un teorema referente alas pendicntc11 dl' dut
1cctas perpendiculares entre si.

Z8 NUMEROS REALES. FUNCIONES Y GRÁFICAS
/C(2, -5)
8(3, -
6)
y X = ]
PIOURA ZO
1.�.'/ TEOREMA
FIGURA 21
l u1 dos rectas no verticales 1 y 1 d"
•
1 z, cuyaspen lentes son m, y m2 respectivamente
Hon perpendiculares si y sólo si m1m2 = -1.
' '
11 mostración Se seleccionan ejes coordenados tales que el ori · ·d
Pllllftl de Intersección de 1, Y /2 . Véase la Figura 21 Puest _
gen coi
d
nci a con el
ti• 1 ,
,
· • o que nmguna e las rectas
t" VIII Cll , cortan a la !meax = 1 en los puntos p y p e
·
·
IIIHIII th• J> como de p 1 S -
' 2• r spectJvamente. La abscisa
1 2 es . ea y la ordenada de p p t ¡
·
111• 1!111 p11ntos (0 0) y (1 -
) d
. J· ues o que , contte-
1' ()
111¡
()
' , Y y su pen 1ente es m1 ,
Aplli'IHido lu f'óruwJa de la distancia se obtiene
j01'¡/, ( 1 O)J + (m, - 0)2 fOP1j2 = ( 1 7"" 0)2 + (m2- 0)1
m,z 1
,
= + 1112-
'JI f1 fl
1 2 (1 1)2 + (1112- m1)2
,
== 1112- - 2m1nz2 + m1 2
(3)
1.2 Coordenadas y rectas zg
Sustituyendo en (3), podemos concluir que P10P2es un triángulo rectángulo si y sólo
�¡
1 + m1 2 + 1 + m/ = m/ - 2m1m2 + m1 2
2 = -2m1m2
m1m
2
= - 1
Puesto que m1m2 = -1 se tiene que
117¡ = -- y
m2
•
111 Teorema 1.2.7 indica quedosrectas noverticales son perpendicularesentresícuando
y sólo cuando la pendiente de una de ellas es la recíproca negativa de la pendiente de
la otra.
EJEMPLO S Sea la ecuación de la recta 1
Sx + 4y - 20 = O .
Obtener una ecuación de esta recta atravésdelpunto (2, -3) y (a) paralela a 1 y (b) per
pendicular a /.
Solución Primerose determina lapendiente de 1escribiendo su ecuación en la forma
pendiente-intercepción. Despejando y de la ecuación,
4y = -Sx + 20
y = -ix + 5
La pendiente de 1 es el coeficiente dex, que es -l.
(a) La pendiente de la recta paralela a 1 también es-i. Puesto que la recta reque
rida contiene el punto (2, -3), usamos la forma de punto y pendiente, lo que da
y - (-3) = -i:(x - 2)
4y + 1 2 = -Sx + 1 0
5x + 4y + 2 = O
(b) La pendiente de una recta perpendiculara 1es el recíproco negativo de-t, que
es !. A partir de la forma de punto y pendiente, la ecuación de una recta que pase
a través de (2, -3) y cuya pendiente sea t es
y - (-3) = !(x - 2)
Sy + 15 = 4x - 8
4x - 5y - 23 = 0

EJEMPLO 6 Demostrar por medjo de laspendientesque loscuatro puntos A(6, 2)1
8(8, 6), C(4, 8) y D(2, 4) son los vértices de un rectángulo.
Solución Véase la Figura 22, donde /1 es la recta que pasa por A y B; /2 es la recta
que pasa por B y C; /3 es la que pasa por Dy C, y /4es la que pasa por A y D. Se tiene
que m 1 , m2, m3 y m4 son sus respectivas pendientes.
6 - 2 8 - 6 8 - 4 4 - 2
m• =
s - 6
/112 = --
4 - 8
· m = --
3 4 - 2
m4 = --
2 - 6
= 2 1
-z = 2 = -!
FIGURA 22
Puesto que m1 = m3, /1 es paralela a /3; y puesto que m2 = m4, /2 es paralela a /4.
Puesto que m1rn2 = -1, /1 y /2son perpendiculares entresí. Por consiguiente, el cua
driJátero tiene sus lados opuestos paralelos y un par de lados adyacentes son perpen
diculares. Por tanto, el cuadrilátero es un rectángulo.
EJERCICIOS 1 .2
En los ejercicios 1 a 6 localice elpunto P indicado
y lospuntosquesemencionansegún corresponda:
(a) Elpu"nro Q tal que la recta quepasa por Qy
Pseaperpendicularalejexysea bisecadapor
él. Délas coordenadas de Q.
(b) Elpunto R talque la recta quepasapor Py
R seaperpendicular al ejey sea bisecadapor
é
l
. Délas coordenadas de R. ..
(e) Elpunto S talquela recta quepasapor PyS
seabisecadaporelorigen. Délascoordenadas
de S.
(d) El punto T tal que la recta quepasa por Py
Tseaperpendicular a la recta de45" (
y bi
se
cadaporella) quepasa por el origen y biseca
loscuadrantesprimeroy tercero. Délascoor
denadasde T.
l. P(l, -2)
4. P(- 2, :.... 2)
2. P(-2, 2)
S
. P(- 1 , -3)
3. /'(2. 2)
6. /'(0. -3)
7. Demuestre que los puntosA(-7, 2)1 8(3, -4)
y C(l1 4) son los vénices de un triángulo
isósceles.
8. Demuestre que los pun1os A(-4, -1),
8(-2, -3), C(4, 3) y D(2, S) son los vértices
de un rectángulo.
9. Una medianade un triángulo es un segmento
que va desde un vértice hasta el punto medio
del lado opuesto. Obtenga las longitudes de
las medianas del triángulo cuyos vértices son
A(2, 3), 8(3, -3) y C(- 1 , -1).
10. Obtenga las longitudes de las medianas del
triángulo cuyos vértices corresponden ••
A(-3, S), 8(2, 4) y C(-1, -4).
1 1. Demuestre que el triángulo con vértices en
A(3, -6)18(8, -2) y C(-I, -!)es rectángulo.
Obtengael áreadel triángulo. (Sugerencia: use
la recíproca del teorema de Pitágoras.)
12. Detcrmme los puntos medios de las diagona
lesdel cuadriláterocuyosvértices correspon
den a (0, 0), (0, 4), (3, S) y (3, 1).
13. Demuestre que los puntos A(6, - 1 3).
8(-2, 2), C(l3, 10) y D(21. -S) son losvér
rices de un cuadrado. Obtenga la longitud eh:
la diagonal.
14. Si un extremode un scgmemoestáen el punto
(-4, 2) y el punto medio corresponde a
(3, -1), calcule las coordenadas del otro
extremo.
15. Si un extremode un scgmemoesr:í en el punw
(6, -2) y el punto medio es ( 1 , �). noiCill'll
las coordenadas del011o CXIII'IIIII
11 1 il abscisa de un punto es -6 Y su distancia
desde el punto (1' 3) es.J74. Calcule la orde-
nuda del punto.
11 l J�undola fórmuladeladistancia(1), demues
lll·que los puntos(-3, 2),(1, -2) Y <9• - lO)
•'NIÓn en una recta.
111 lktcrmine si los puntos (14, 7), (2, 2) y
( 4, -1) estánen unarecta usando la fórmula
M lu distancia (1).
1• "11do�vértices de un triángulo equiláter�es
.
tán
1.11(_4, 3) y (O, 0), obtenga el tercer vert1cc.
At lhldos lospuntosA(-3, 4) Y 8(2, S), obtenga
111� coordenadas de un punto pen la rectaque
JhiMII por A Y B, de manera que p esté (a) a�
lluhlc de la distancia de A que de 8, y (b) a
11uhlc de la distancia de 8 que de A·
1 " ¡,,, ••
íwcicios 21 a 24, halle lapendiente de la
1,1 ,11111 pasapor los puntos.
1' l), (-4,3)
,; 2), ( 2, -3)
' 1� 1)1 (-�.1)
4 1 ) 1 . 0.3), (2.3, 1.4)
l•• ,.¡m•íc:ios25 a38, obtengalaecuación dela
1 ,1111� ,11tisjace las condiciones.
1 11 lllllldiente es 4 y pasa por el punto (2, -3)
1 ' l''·ndiente es 3 Ypasaporelpunto(-4, -1).
1 ' l" udientees -2Y pasaporel punto(-3• S).
lltnll por los puntos (-2, 7) Y (6, 0).
l'•••u ptH los puntos (4, 6) Y (0, -7).
t•11.,1 r•m los puntos (3, 1) Y (-S, 4).
1 l l.
llh'll"
CPciónxes-3 y laintercepciónyes4.
¡
1,11�11 pnr el punto (1, 4)y es paralela a la recta
11�,1 l'lllttCión es 2x - Sy + 7 = O.
1,1 1 pm el punto (-2, 3) y es perpendicular
" 1 1 111¡11 cuya ecuación es 2x - Y - 2 = O.
1,11�11 11111 el punto (-3, -4)yes paralela al eje
1
1.z coordenadas y rectas 3 1
En los e
jercicios39y 40, obtenga la pendieme de
la recta.
39. (a) x + 3y = 7;
(b) 2y + 9 = o
40. (a) 4x - 6y = S;
(b) 3x - S = O.
En los e
jercicios 41 y 42 determinepor m�dio de
pendientessilos trespunto�dadosson colmeales.
41. (a) (2, 3), (-4, -7), (S, 8);
(b) (2, -1), (1' 1), (3, 4)
42. (a) (4, 6), (1, 2), (-S, -4);
(b) (-3, 6), (3, 2), (9, -2)
43. (a) Exprese una ecuación cuya gráfica sea el
�e � .
(b) Una ecuación cuya gráfica sea el eJ
.
C y.
(e) Unaecuación cuya gráfica sea elconJ�nto
de todos los puntos del eje x o del eJe y.
44. (a) Dé una ecuación cuya gráfica consi
4
staen
todos los puntos cuya abscisa sea ·
(b) Escriba una ecuación cuya gráfica con
sista en todos los puntos cuya ordenada
sea -3.
..- 45. Demuestre que son paralelas las rectas
s
· QHC
corresponden a las ecuaciones 3x + Y 1
7 = o y 6
x + IOy - S = O.
-46. Demuestre que son perpendiculares las r
�
ct:
:
N
cuyasecuaciones corresponden a 3x + y
7 = o y Sx - 3y - 2 = O.
47. Dada larecta 1cuyaecuación es2y - 3x '1
y el punto P(l1 -3), obtenga:
(a) unaecuación dela recta a travésde Pnc•
pendicular a 1;
(b) ladistancia más cortaentrepy larcctn 1
8 Obtenga el valor de k tal que sean perncndl
4
• culares las rectas cuyas ecuaciones son 3k 1
8y = S y 6
y - 4kx = -l.
Demuestre por medio de pendientes que In�
4
9
.
puntos(-4, -1), (3, g ), �8, -4) Y (2, ')) Ntllt
los vértices de un trapeciO.
1 1 1 1,.11 'lpunto(l, -7)yesparalelaalejex.
Demuestre por medio de pendientes qm• lo
SO.
trespuntosA(3, 1), 8(6, O) Y C(4, 4)�1111 hl
vértices deun triángulo rectángulo yl'VIIItttr1
área del triángulo.
1 1 (ll lltllculc es -2 Y la intercepción x es 4.
1, 1 ,1 pnt 1
,¡ punto (-2, -S) y tiene una pen-
11 1111 dr v.
1 11 '' Jllll ¡•l utigcn y bisecael ánguloentrelos
l 1 11 .-1 111 1mcro y tercer cuadrantes.
51. Obtenga las coordenadas de los tres :lll•tl1
1
que dividen encuatro partes igualct. u 111n '
que pasa por A(-S, 3) Y 8(6, 8).

2 NUMEROS REALES. FUNCIONES Y GRÁFICAS
�l. 1 1e� vértices consecutivos de un paralelo
llrumo son (-4, 1), (2, 3) y (8, 9). Determine
lus coordenadas del cuarto vértice.
�.. l>udu In recta 1 que tiene la ecuación Ax +
lly 1 C = O, B .¡ O, obtener:
(H) 111 pcudiente;
(h) In intercepción y;
(�·) la Intercepción x;
(d) 11111 ecuación de la recta que pasa por el
origen y es perpendicular a l.
SI 1, 11, C y D son constantes, muestre que
(H) 1 ,1N rectas Ax + By + e = O y Ax +
llv t 1) .. O son paralelas.
(lt) 1 n� rectas Ax + By + e = O y Bx-
rl Y 1 O = O son perpendiculares.
(Hltt
'IIJlU ecuaciones de las tres medianas del
ll l�n¡¡ult> que tiene los vértices A(3, -2),
11(1, ti) y ('( 1' 1).
1ltltlltl
'�ltc que se cortan en un punto.
1Irtrtttllllt' t•cuncionesdelasperpendiculares
ltlm t1 k'1•11 de lo�ladosdel triángulo que tiene
lu• "'ttlt'l'11( 1 , -3), 8(5, -3) y e(5, 5), y
tlrttlllt'�lte que se cortan en un punto.
�1 lit 111111'�11t el Teorema 1 .2.5: Lagráficade la
r1 11111 11111
1 ' ' U1• t e o
""""' l . 11 y (',,,.. constantesy A y 8no son
1111thll� lllttillcs o cero, es una recta. (Sugeren-
' ¡,, 1 "'"'"�-''t: do�> casos, B '* O y 8 = O. Si
JI ' 11, lliUt'�tlt' que la ecuación corresponde
• 111111 ll'l 111 L IIYII pendiente es -Al8 con in-
11 '''1"lt11 '' lpunl u e;8. Si 8 = O, mues
lt1 ljlll' lii t'L'IIU�·I1n corresponde a una recta
1 1 1h111 )
K, t t /1 1u t�·ll.t 1 1 � 81 y + e1 == O, y /2 la
1 1 1 111 1 1 1 11! 1' 1 C2 O. Si l1 noespara
hlit " 11 v •1 A t·� cunlquier constante, la
lloh "'"
1 1 1 1 111 1' 1 ('1 1 k(A2' I- 82y + C2) = 0
ll¡tli'�'
' tilll 1111 tllllliOt o ilimitado de rectas.
1h lllltt 111 qllL' tml;l cla� rectas contienen el
111111111 d•• lttl�••�c�·dótt de 11 y 12•
59. Dada una ecuación de 11 que es 2x + 3y
5 = O y una ecuación de /2 que es 3x + 5y
8 = O, y usando el ejercicio 58 sin determinm
el punto de intersección de 11 y 12, obtengn
unaecuaciónde larectaatravésdeestepunto)
(a) que contenga el punto (1, 3);
(b) sea paralela al eje x;
{e) tenga una pendiente de -2.
60. Para las rectas 11 y /2 del Ejercicio 59 use d
Ejercicio 58 y, sin determinar las coorden<t
das del punto de intersección de /1 y /2, oh
tenga una ecuación de la recta que pasa pcu
este punto y
(a) es paralela al ejey;
(b) es perpendicular a la recta cuya ecuación
corresponde a 2
x + y = 7;
(e) forman un triángulo i
sósceles con los eje'
coordenados.
Enlose
jercicios 61 a 66, uselageomeTría analíTica
para demostrar el Teoremadegeometdaplana qut•
se enuncia.
61. La suma de los cuadrados de las distancias dé
cualquier punto desde dos vértices opuestosde
cualquier rectángulo, esiguala la sumade lo
cuadrados de las distancias desde los otros dm
vértices.
62. El punto medio de la hipotenusa de cualquie1
triángulorectánguloequidista de losotrosdo�
vértices.
63. Elsegmento que unelos puntos medios de do�
lados opuestos de cualquier cuadrilátero, y el
segmento que une las diagonales del cuadrilá·
tero, se bisecan entre sí.
64. Lossegmentos rectilíneos queunen los punlO
medios consecutivos de losladosdecualquier
cuadrilátero, forman un paralelogramo.
65. Las diagonales de un paralelogramosebisecan.
66. Si las diagonales de un cuadriláterose bisecan,
el cuadrilátero es un paralelogramo.
1 . 3 CIRCUNFERENCIAS V GRÁFICAS DE ECUACIONES
Una ecuacióndeunagráficaes una expresión que satisface las coordenadas de dichos
puntos y sólo de dichos puntos de la gráfica. En la Sección 1.2 aprendimos que una
1.3 Circunferencias y gráficas de ecuaciones
33
ecuación de primer grado con dos variablescorrespondea la gráfica de una recta. Una
de las curvas más simples cuya gráficacorresponde a una ecuación de segundo grado
con dos variables es la circunferencia.
t 3.1 DEFINICIÓN
'
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan
de un punto fijo. Al punto fijo se le llama centro y la distancia constante se deno-
mina radio.
Para obtener la ecuación de una circunferenciacon su centro en C(h, k) �
radio r, us�
mos la fórmula de la distancia (Figura 1). El punto P(x, y) está en la c1rcunferenc1a
si y sólo si IPC'I = r, esto és, si y sólo si
.f
(x, h)
2 + (y - k)
2 = r
Esta ecuación es válida si y sólo si
(x - hi + (y - ki =
r2 (r > O)
La ecuación es satisfecha sólo por las coordenadas de los puntos tales que estén en la
circunferencia y, por tanto, es una ecuación de dicha curva. Con esto se ha demos-
trado el siguiente teort>ma.
. z TEOREMA
La circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r tiene por ecuación
(x - h )z + (y - k)2 = rz
Si el centro de una circunferencia corresponde al origen, entonces h = O Y k = O;
por consiguiente, su ecuación es:
x2 + y2 = ,2
En laFigura2se muestra esacurva. Si el radio deéstaes igual a l , se lallamacircunfe
rencia unitaria.
':1
y
--��-----+------��X
r
-r
FIGURA 1
FIGURA Z

EJEMPLO 1 Obtener la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro correspond�
a los puntos extremos A(-2, 3) y 8(4, 5).
So
.
lución E
.
l punto medio del segmento de A a B es el centro de la circunferencia
(Figura 3). S1 C(h, k) es el centro de la curva, entonces
- 2 + 4
h = --
2
= 1
k = 3 + 5
2
= 4
El _centro está en C(1 , 4). El radio puede calcularse como 1 CA1 o 1 CB¡ . Si r "'
1 CA 1 . entonces
r = Jf.l+2)2 +
-
(4
-
-
-
3
-
)2
= JlO
Por tanto, una ecuación de la circunferencia es como sigue:
(X - 1)2 + (y - 4)2 = 10
x2 + y2 - 2x - 8y + 7 = O
L " ( h)2 2 2
a ecuac�on x -
.
+ (y - k) = r recibeelnombrede forma decentro y radio
de t
.
a ecuac1ón de una Circunferencia. Al eliminar paréntesis y combinar términos se
obtiene
x2 + y2 - 2hx - 2ky + (h2 + k2 - r2) = O
Estableciendo que D = -2h, E = -2k y F = h2 + k2 - r2, la expresión se trans
forma en
x2 + y2 + Dx + Ey + F = O
que se
.
conoce co�o �ormageneral de la ecuación de una circunferencia. Puesto que
toda c1rcunferenc1a tiene centro y radio, esta ecuación puede expresarse obviamente
en 1� forma de
.
centro y radio y, por tanto, en la forma general, tal como se hizo en
el EJemplo l. ��mpezamos con unaecuaciónde unacircunferenciaen la formageneral,
podemos escnb1rla en la forma de centro y radio completando los cuadrados. El
siguiente ejemplo ilustra el procedimiento.
y
/1,�)8(4,5)
A(-2, 3) �e
J
---=¿s-L��
�O��
�
I-L
I�I�
I-SL___
�
) x
FIGURA 3
1.3 Circunferencias y gráficas de ecuac1ones
EJEMPLO 2 Obtener el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación 1!11:
x2 + y2 + 6x - 2y - 15 = O
Solución La ecuación dada se puede escribir como
(x2 + 6x) + (y2 - 2y) = 15
Completando loscuadrados de los términosentre paréntesisy sumando9 Y 1 en ambos
miembros de la ecuación, se tiene
(x2 + 6x + 9) + (y2 - 2y + 1) = 15 + 9 +
(x + 3i + (y - 1)2 = 25
Puesto queestaecuación corresponde a la forma de centro yradio, el centro es elpunto
(-3, 1) y el radio es 5.
Mostraremos ahora que existen ecuaciones de la forma
x2 + y2 + Dx + Ey + F = O ( 1 )
cuyas gráficas no son circunferencias. Supóngase que al completar los cuadrados Sl'
obtiene
(x - h)2 + (y- k)2 = d
Si d > O, tenemos una circunferencia con centro en (h, k) y radio Vd. Sin embargo,
si d < O, no existen valores reales de x y y que satisfagan la ecuación; por tanto, no
hay gráfica. En estos casos se dice que la gráfica es el conjunto vacío. Finalmente, <�1
d = O se obtiene
(x- hi + (y - k)2 = O.
Los únicos valores reales de x y de yque satisfacen esta ecuación son x = h y ''
k. Por tanto, la gráfica es el punto (h, k).
. • EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Supóngase que contamos con la ecuación
x2 + y2 - 4x + 1Oy + 29 = O
que puede escribirse como
(x2 - 4x) + (y2 + 10y) = -29
Completandoloscuadrados de los términosentreparéntesis y sumando 4 y 25en mnhm
lados se obtiene
(x2 - 4x + 4) + (y2 + IOy + 25) = -29 - 4 + 25
(x - 2)2 + (y + 5)2 = O
Puesto que los únicos valores reales de x y y que satisfacen esta ecuación so11
y y = -5, la gráfica es el punto (2, -5). •

Obsérvese que una ecuación de la forma
Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = O donde A :1= O
puede expresarse en la forma (1) dividiendo entre A, con lo que se obtiene
2 2
D E F
x + y + -x + -y + - = O
A A A
La ecuación (2)·es un caso especial de la ecuación general de segundo grado
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = O
(2)
en Ía que los coeficientes de x2 yy2 son iguales y no existe el términoxy. El siguienl�
teorema es resultado de esta discusión.
1 .3.3 TEOREMA
La gráfica de cualquier ecuación de segundo grado en .912 enx yy, en la que los
coeficientes de·x2 y y2 son iguales y que no contiene el términoxy, es una·circ1#n
ferencia. un punto o el conjunto vacío.
• EJE�PLO ILUSTRATIVO 2 La ecuación
2x2 + 2y2 + 12x- 8y + 31 = O
correspondea la forma(2) y, porconsiguiente,es lagráficade unacircunferencia, un
punto o el conjunto vacío. Expresamos la ecuación en la forma (1):
x2 + y2 + 6x - 4y + � = O
(x2 + 6x) + (y2 - 4y) = -:Jf
(sl 1- 6x + 9) + (y2 - 4y + 4) = -:J,f + 9 + 4
(x + 3)2 + (y - 2)2 = -!
l'ot IUiliO, la gráfica es el conjunto vacío.
Hu ltt 1:)ccción 1 .2 definimos lagráficade una ecuación en .9f2 como el conjunto de
tlltlns los puntos (x, y) cuyas coordenadas sean números que satisfagan la ecuación.
A In grftfica de una ecuación en .9f2 se le llama también linea. Ya hemos considerado
1Jos eluses de Hneas: las rectas, que son gráficas de ecuaciones de primer grado y las
clr·cllnfcrcncias, que son gráficas de ecu�ciones de segundo grado de la forma (2), y
POI' tlulto Jfneas curvas. Estudiaremosahoraalgunas gráficas deotros tipos de ecua·
cioncs de segundo grado en x y y:
y - ax2 + bx + e
donde a, b y e son constantes y a :1= O. Considérese el caso particular
y = x2 - 2
(3)
(4)
1 .3 Circunferencias y gráficas de ecuaciones ;j'J
Unasolución de esta ecuación es un par ordenado de números reales, uno correspon
diente a x, y otro ay, que satisfaga la ecuación. Por ejemplo, si x se sustituye por 3
en laecuación,y = 7; de esta forma, el parordenado (3, 7) constituye una solución.
Si x se sustituye porcualquier número en el lado derecho de (4), se obtiene el corres
pondiente valor dey. Por consiguiente, (4) tiene un número ilimitado de soluciones.
La Tabla 1 incluye algunas de ellas.
Si se marcan los puntos cuyas coordenadas son los pares de números (x, y) de la
labia 1 y se unen con un trazo continuo, se obtiene la curva de la Ecuación (4) que
se muestraenla Figura 4. Cualquierpunto deestagráfica tienecoordenadas quesatis
facen la ecuación (4) y las coordenadas de los puntos.que no están en la curva no la
satisfacen.
Lagráfica delaFigura4esunaparábofa. Elpunto más bajo delagráficaes(0, -2)
yconstituyeel vértice dedicha.curva. Esta parábolaabre haciaarriba. EnelCapítulo
,¡o se incluye un estudio completo de las parábolas, donde se muestra que la gráfica
de una ecuación de la forma (3) es una parábola que abre hacia arriba cuando a >
O, yhaciaabajocuandoa <O. Enelsiguienteejemplo, lagráficaes unaparábolaque
abre hacia la derecha.
EJEMPLO 3 Trazar la gráfica de la ecuación
y2 -·x - 2 = O
Solución Despejandoy se obtiéne
y2 = X + 2
y = ±.JX+l
Esto equivale a dos ecuaciones:
y = .JX+2 y y = -.JX+l
Lascoordenadasdecualquier punto que satisfagan acualquieradeestasdos ecuacio
nes, también satisfarán la ecuación dada. Recíprocamente, las coordenadas de cual
quier punto que satisfagan la ecuación dada, también satisfarány = --!X+2, o bien
y = -�. La Tabla 2 muestra algunos de estos valores de x y y.
. /
'
J y
TABLA 1
X y = x2 - 2
o -2
1 - 1
2 2
3 7
4 14
-1 -1
-2 2
X
-3 7
-4 1 4 FIGURA 4

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