Algebra lineal en 6 ediciones

,
ALGEBRA LINEAL
SEXTA EDICiÓN
STANLEY 1. GROSSMAN s.
UNIVERSITY OF MONTANA
UNIVERSITY COLLEGE LONDON
Revisión y adaptación:
JOSÉ JOB flORES GODOY
UNIVERSIDAD IBEROAMERICANA
Revisión técnica:
ABElARDO ERNESTO DAMY SOLís
INSTITUTO TECNOLÓGICO r DE ESTUDIOS SUPERIORES
DE MONTERREY, CAMPUS GUADALAJARA
MARíA EUGENIA NORIEGA TREVIÑO
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SAN LUIS POTosí
MARíA ASUNCiÓN MONTES PACHECO
UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA
DEL ESTADO DE PUEBLA
IRMA PATRICIA fLORES ALLlER
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
DAX ANDRÉ PINSEAU CASTILLO
UNIVERSIDAD CATÓLICA DE HONDURAS
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL DE HONDURAS
KRISTIANO RACANElLO
FUNDACIÓN UNIVERSIDAD DE LAS AMÉRICAS. PUEBLA
ERIK LEAL ENRíQUEZ
UNIVERSIDAD IBEROAMERICANA, CIUDAD DE Mtxlco
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA
AZCAPOTZAtCO
EDUARDO SOBERANES LUGO
INSTITUTO TECNOlÓGICO y DE ESTUDIOS SUPERIORES
DE MONTERREY, CAMPUS SINALOA
MARTHA PATRICIA MElÉNDEZ AGUILAR
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE (ELAYA
ISRAEL PORTILLO ARROYO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL PARRAL, CHIHUAHUA
IVÁN CASTAÑEDA LEYVA
UNIVERSIDAD DE OCCIDENTE, UNIDAD CULlACÁN
MEXICO· BOGOTÁ· BUENOS AIRES, CARACAS· GUATEMAlA
LISBOA' MADRID, NUEVA YORK· SAN JUAN· SANTIAGO
AUCKLAND' LONDRES, MIlÁN' sAo PAULO • MONTREAl • NUEVA DELHI
SAN FRANCISCO· SINGAPUR· SAN LUIS· SIDNEY· TORONTO

Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos
Director editor'ial: Ricardo A. del Bosque Alayón
Editor sponsor: Pablo E. Roig Vazquez
E<litor:l de deS:llTOllo: Lorena Campa Rojas
Supervisor de producción: Zeferino Garcia Garcia
ÁLGEBRA LINEAL
Sex!:1 cdiciún
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra.
por cualquier medio. sin la autorización escrita del editor.
lB McGraw-HiII
D Inleramericana
DERECHOS RESERVADOS © 2008. respecto a la sexta edición en espaiiol por
McGRAV-HILUINTERAMERICANA EDITORES. SA DE c.v.
A SlIhsidi(llY o(rlle McGrIIll'-l-fill CU/II{Jallies. IlIc.
Prolongación Paseo de la Reforma 10 IS. Torre A
Piso 17. Colonia Desarrollo Santa Fe
Delegación Alvaro Obregón
c.P. 01376. México. D.F.
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ISBN-lO: 1)70-IO~6517-4
ISBN-13: 978-1)70-10-6517-4
ISBN·I O: 970-10-6773-8 (Quinta edición cambio de ponada)
ISBN-IJ: 978-970-10-6773-4
Traducido y adaptado dc la quinta edición en inglés de ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA WITH APPLlCAT10NS.
Copyright © 2007. by Stanley 1. Grossman S.
ISBN 0-03-097354-6
1234567890
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lmpn:so por CTPS
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Prillfed in Chilla
Prillfed by CTPS

CONTENIDO
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES 1
71
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1. 1I
1.12
Introducción 1
Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas .2
11I ecuaciones con 11 incógnitas: eliminación de Gauss-Jordall y g,lllssiana
Selllb!lIIClI de. .. Cad Friedrich Galls¡} 11
Introducción a l'lATLAI3 28
Sistemas homogéneos de ecuaciones 36
Vectores y matrices 42
51'lllbklll:0 de. .. Si,. Willialli RmHln Hall/illun 51
Productos vectorial y malricial 57
51'lllbI011:(/ di'... Arfhllf CarIe)')' el úlgebm de lIIa/fin's
Matrices y siSlcll1,lS de ecuaciones lineales 87
Inversa de una m:ltriz cuadrada 94
Transpuesta de ulla matriz li8
Mal rices elemcnl¡¡les y matrices inversas [24
Faclorizaciones LV de una matriz J 36
Teoría de grúficas: lIna aplicación de matrices 152
Resumen 159
Ejercicios de repaSo 164
7
2 DETERMINANTES 168
2.1 Definiciones 168
1.2 Propiedades de los delerlllimmtcs 182
1.3 Demostración de tres teoremas importantes y algo de historia 198
Semb!al/:a de. .. 81"('1'(' historia dI! los de/ermintlllfe.' 203
2.4
2.5
Delerrnin¡lI11CS e inversas
Regla de Cramer (opcional)
Resumen 217
Ejercicios de repaso 218
204
212
3 VECTORES EN [?2 Y [)3 220
3.1 VeClores en el plano 220
3.2 El producto escalar y las proyecciones en 1)' 234
3.3 Vectores en el espacio 244
3.4 El producID cruz de dos veelOres 254
SClllb/al/:(/ de. .. jusía/¡ lVil/ard Gihhs y 111.1' ufigel/C.I' del
(//ui!úi." I'('e/orillf 159
3.5 Recias y planos en el espacio 263
Resumen 275

VIII Contenido
4 ESPACIOS VECTORIALES 281
4.1 Introducción 281
4.2 Dcfinición y propiedades básicas 281
4.3 Subespacios 293
4.4 Combinación line¡ll y espacio generado 299
4.5 Indcpcndencia lineal 3I4
4.6 Bases y dimensión 332
4.7 Rango. nulidad. esp,lcio de los renglones y espacio dc las columnas
de una matri7.. 343
4.8 Cambio de base 366
4.9 Bases ortonormales y proyecciones en 11" 387
4.10 Aproximación por minimoscuadrados 41 I
4. II Espacios con producto interno y proyecciones 432
4.12 Fundamentos de la teoría de espacios vectoriales:
existencia de una base (opcional) 444
Resumen 449
5 TRANSFORMACIONES LINEALES 458
5.1 Definición y ejemplos 458
5.2 Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo 472
5.3 Representación matricial de una transformación lineal 479
5.4 Isomorfismos 503
5.5 Isomctrias 510
Resumen 518
6 VALORES CARACTERíSTICOS, VECTORES CARACTERíSTICOS
Y FORMAS CANÓNICAS 524
6.1 Valores característicos y vectores característicos 524
6.2 Un modelo de crecimiento de población (opcional) 546
6.3 Matrices semejantes y diagonalización 555
6.4 Matrices simétricas y diagonalizacióll ortogonal 567
6.5 Formas cuadrúticas y secciones cónicas 575
6.6 Forma canónica de JordHn 586
6.7 Una aplicación importante: forma matricial de ecuaciones diferenciales 595
6.8 Una perspectiva diferel1e: los teoremas de Cay1cy-Hamilton
y Gershgorin 607
Resumen 615

Apéndice 1 Inducción matemática 622
Apéndice 2 Números complejos 630
Apéndice 3 El error numérico en los cálculos
y la complejidad computacional 640
Apéndice 4 Eliminación gaussiana con pivoteo 649
Apéndice 5 Uso de MATLAB 656
Respuestas a los problemas impares 658
Capítulo l 658
Capítulo 2 683
Capítulo 3 688
Capítulo 4 701
Capítulo 5 725
Capítulo 6 734
Apéndices 752
Índice 757
Contenido IX

CONTENIDO DE LOS
PROBLEMAS CON MATLAB
Se enumeran los conjuntos de problemas de l1ATLAB~' los lemas de interés l'Sllccial.
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
Introducción a MATLAB 28
Tutoria de MATLAB 30
1.3 IJI ecuaciones con 11 incógnitas: eliminación de Gauss·Jordan y gaussi:lll<l JI
Di,f/ribllciOIl de mlor 33
Modelo dI! ill,WllllO-prodl/CIO de Leomit1 34
Flujo (le fr(!/ico 34
Ajuste de p(Jlillolllio.~ /1 PIIIIIO,' 35
lA Sistemas homogencos de ecuaciones 41
Ba/lIl/ceo tIl' fl'llcciofl('s químicas 41
1.5 Vectores y matrices 55
Ca"'Cle,;"i,as de MATLAB. inlmd",úon ,ji",,,,,,, d" ",,,"'O·C.' di./I'et'."" 56
1.6 Productos vectorial y matricial 81
Mmri= lrirmgufllr slI/J<'rior 83
Matrices lIilporellll'!' 83
Malr;cl!s por blolfUC'S 84
Pl'OdllCIO ('xlefior 84
A!mrices lit' cOllraclo 84
Gu/ella lit' MlIrkol' 84
PROBLEMA PROYECTO: 1//(/1';= ti!' poblad/m 86
1.7 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 92
1.8 Inversa de una matriz cuadrada 113
Tipo~' t!Jpecia/es de Il/(f/rin'.~ 1I 5
P('rrllr/x,ciolfes: I1Uf/rices Ct'rC(fIIlIS a 1111(1 lIfatri: /lQ inl'crribh' 116
CriplOgrafia 117
1.9 Transpuesta de una matriz 122
PROBLEMA PROYECTO: Ilwtrice.l' ortogol/ales 123
1.10 Matrices elementales y matrices inversas 134
1.11 FaclOrizaciones LV de una matriz 150
2 DETERMINANTES
2.1 Definiciones 179
archim tipo M, ornt.m ¡llIslraciim de' la orielltació" de 'eclores
1II1f('S y de.~plll;s de /alllallipllladón dt, lilatrices 181
2.2 Propiedades de los determinantes 198
2.4 Determinantes e inversas 210
PROBLEMA PROYECTO: el1cripfado y cÜ'sellcripllldo de mensajes 211
2.5 Regla de Cramer 216

Contenido de los problemas de MAlLAB XI
3 VECTORES EN l)2 Y [)3
3.1 Vectores en el plano 231
archil'o tipo M, lincomb.m illlstracioll dc 1111 I'celor como 111111
mmbillaciúlI lillml de dos I'cclores 110 paralelos 233
3.2 El producto escalar y las proyecciones en ti 243
archim tipo ('1, prjtn.m illIstración de la proyección de 1/11
rec/or sobre Ofro 243
3.4 El produclo cruz de dos vectores 263
4 ESPACIOS VECTORIALES
4,2 Definición y propiedades básicas 288
archivo tipo M, rctrsp.m illlslración de algullos axiomas en
espacio.' l'e('furiales 288
4.3 Subespacios 299
4.4 Combinación lineal y espacio generado 305
Visl/ali~aciólI dc la.' colllbillaciolles lil/eales 305
archh·o tipo M, combo.m iluslración de la,, combinaciones
lineales de dos l"/:'Cfores 305
archi"O tipo (1, lincomb.m iluslraciim de 1111 l"ecfor eomu
('olllblnaciÓII lineal por partes dc tres rectores 307
Aplimóún 312
4.5 Independencia lineal 328
Ciclos ell digráficas e independcncia lineal 331
4.6 Bases y dimensión 341
4.7 Rango. nulidad. esp'leio de los renglones y espacio de las
columnas dc una matriz 358
Aplicación gcomhrim de! e.jHlcio //Ido 359
AplicaciólI del espacio I/ulo a sistemas de c('ua("Írmes 360
Exploradón del rango de malriccs especiales 363
Rallgo y prodll('!Os de lIIa1rices 363
PROBLEMA PROYECTO: ciclos 1'11 dignificas 364
PROBLEMA PROYECTO: slIbespacio .'lIlIIa}' sllhespacio Inler.·('(·ÓÓII 365
4.8 Cambio de base 378
Cambio de base pOI' mlaci/m en [}" 382
archim tipo M, roteoor.m ilustración de combil/(/ciones
lineales respecto o boses diferelltes 383
PROBLEMA PROYECTO: mmhio de !Jase po,. I"Olaciim e/I P': rotaciolles
ille/illm: desvia,. J rodor 385. 387
4.9 Bases orlonormales y proyecciones en Pi 403
Proyección sobre 1111 plallo ('/1 [?3 405
lvfalrices ortogollales: longitlld y ángulo 408
¡;fa/rices de rotaciólI 409
Reflectores e!el/le!1lale.' 410
PROBLEMA PROYECTO: IIll1lrice.· de rotat'iÚII: camhio de base en [?3 411

XII Contenido de los problemas de MAlLA8
4.10 Aproximación por mínimos cuadrados 424
Eficienáa de ("()/JIb/lsrib/e ~26
¡Utllllljiu'lIIra: lelllfJeratura yfll,'r=a 427
archiw tipo M, mile.m ,Iaros "11 forma 'ecroria/ solm' el {l/lO
y los liempos récord tle carrel"(l,l" lle III/l/milla 427
Crecimiel/lo d,' poblad/m 427
Ceologia millertl 429
PROBLEMA PROYECTO: geologilll)(,lrolera 429
4.11 Espacios con producto interno y proyecciones 443
5 TRANSfORMACIONES LINEALES
5.1 Definición y ejemplos 467
Cráficas en compllwdora: cr('(ld/m (le wwfigllra 467
archiw tipo M. grafics.m gráfims por "O"'I)Uwdora 11.1"(11/(10 mlllrices 468
5.3 Representación matricial de una lransform:tción lineal 500
Proyecciolll!s 500
Reflexiones 50 I
PROBLEMA PROYECfO: m'ación de gráficas y aplimciún
de IrcIl/:.formacio1/l!s 502
5.4 Isomorfismos 509
5.5 Isometrías 517
6 VALORES CARACTERlsTICOS, VECTORES CARACTERlsncos
y fORMAS CANÓNICAS
6,1 Valores característicos y vectorcs canlctcrísticos 540
Teoría de gráji("(l.' 543
Ge%gía 545
6.2 Un modelo de crecimiento de población 551
Poblaciones de pájaros 551
Teoría de gr(!{i('a.· 554
PROBLEMA PROYECTO: gr(ifim,' dI! /l/{lfJW' 555
6.3 Matrices semejantes y diagonalización 565
Geomerría 566
6.4 Matrices simetricas y diagonalización 574
Geolllelría 574
6.5 Formas cuadráticas y secciones cónicas 585
6.6 Forma canónica de Jordan 594
6.8 Una perspecliva diferente: los teoremas de C;,lylcy·Hamilton
y Gershgorin 607

PREFACIO
Anteriormente el eSlUdio del úlgcbm lineal era parle de los planes de esllldios de los alumnos
de matemúticas y fisica principalmente. y también recurrían a ella aquellos que necesitaban
conocimientos de la teoria de matrices para Irabajar en áreas técnicas como 1<1 estadística mul-
tivariable. Hoy en día. el úlgebra lineal se estudia en diversas disciplinas gr<lcias al LISO de las
computadoras y al aumento gencTill en las aplicaciones de las malemúticas en úreas que. por
tradición. no son técnicas.
PRERREQUISITOS
Al escribir este libro IUve en mente dos melas. Intenté volver accesibles un gran nllmero de
temas de álgebra lineal para llna gran variedad de estudiantes que necesitan únicamente cono-
cimientos firmes del úlgebra correspondientes a la ensei'wnZH media superior. Como muchos
estudiantes habrún llevado un curso de cálculo de al menos un arlo. inclui 1,111lbién v¡¡rios ejem-
plos y ejercicios que involucran algunos temas de esta materia. Estos se indican con el simbolo
lCALcuLol La sección 6.7 es opcional y si requiere el uso de herramientas de CÚlculo. pero salvo
este caso, el ("(ilcl/lo /lO e.l' 1/// prerrequisi/o para este texto.
APLICACIONES
Mi segunda meta fue convencer a los estudiantes de la importancia del úlgebra lineal en sus
campos de estudio. De este modo el contexto de los ejemplos y ejercicios hace referencia a dife-
rentes disciplinas. Algunos de los ejemplos son cortos. como las aplic,leiolles de la multiplica-
ción dc mntrices al proceso de contagio de una enfermedad (púgina 61). Otros son un poco mús
grandes; entre éstos se pueden contar el modelo de insumo-producto de Lcolllief (púginas 18
a 19 y 103 H 106). la teoria de grúficas (sección 1.12). la aproxim,lción por minimos cuadrados
(sección 4.10) Yun modelo de crecimiento poblacional (sección 6.2).
Ademús. se puede encontrar un número significativo de aplicaciones sugcstivas en las sec-
ciones de MATLAB®.
TEORíA
Para muchos estudiat1les el curso de úlgebra lineal const ituye el primer curso real de IIW/CI!lÚlictls.
Aquí se solicita a los estudiantes no sólo que lleven a cabo cúlculos matemúticos sino también que
desarrollen demostraciones. Intenté. en este libro. alcanzar un equilibrio entre la técnic,l y I,lleo-
ría. Todas las técnicas importantes se describen con minucioso detalle y se ofreccn cjemplos que
ilustran su utilización. Al mismo tiempo. se demuestran todos los teoremas q tle sc pueden probar
utilizando resultados dados aq ui. Las demostraciones mús difíciles se dan al final de las secciones
o en apartados especiales. pero siempre ~·e dal/. El resultado es un libro que proporcionará a los
estudiantes tanto las habilidades algebraicas para resolver problemas que surjan en sus úreas de
estudio como llna mayor apreciación de la belleza de las matemúticas.
CARACTERíSTICAS
La sexta edición ofrece nuevas caracteristicas. y conserva la eSlructurH ya probada y clúsica que
tenia la quinta edición. Las nuevas caraclerísticas se cnumcran en la púgina xv.

Xl Prefaoo
EJEMPLOS
Los eSludiantes aprenden matemil1icas mediante ejemplos complclos y claros. La sexta edición
cOllliene cereil de 350 ejemplos. c'lda uno de los cuales incluye todos los pasos algebraicos neo
cesarios pura completar la solución. En muchos casos se proporciomlron secciones de ayud..
didúctica p.na facilitar el seguimicnto de esos pasos. Adicionalmente. se otorgó un nombre a
los ejemplos con el objeto de que resulte mús sencillo entender el concepto esencial que ilustra
cada llllO.
EJERCICIOS
El !eXlo contiene cerca de 2750 ejercicios. Al igual que en lodos los libros de matemáticas.
éstos eonslituyen la herramienta más importanlC del aprendizaje. Los problemas conservan
un orden de acuerdo con su gmdo de difieullad y existe un equilibrio entre la tecniea y las de·
mostraciones. Los problemas más complicados se encuentran marcados con un aSlerisco (.) y
unos Cllantos excepcionalmente dificiles con dos ("). Éstos se complementan con ejercicios de
problemas impares. incluyendo aquellos que req uieren demostraciones. De los 2750 ejercicios.
alrededor de 300 son nuevos. Muchos de ellos han sido aportados por profesores destacados
en su impartición de la materia. También hay varios problemas en las secciones de "Manejo de
calculadom" y "MATLAB". En dicha sección se hablarú mas sobre estas caracteristicas.
TEOREMA DE RESUMEN
Una característica importante es la aparición frecuente delleorema de resumen. que une temas
que en apariencia no tienen nada en comun dentro del estudio de matrices y transformaciones
lineales. En la sección 1.2 (pagina 4) se presenta el teorema por vez primera. En las secciones
1.8 (p. 106). 1.0 (p. 128).2.4 (p. 208). 4.5 (p. 320).4.7 (p. 353). 5.4 (p. 506) Y6.1 (p. 535) se
encuentran versiones cada vez mas completas de dicho teorema.
AUTOEVALUACIÓN
Los problemas de auloevaluación cstan diseñados para valorar si el eslUdiante comprende las
ideas basicas de la sección. y es conveniente que se resuelvan antes de intentar los problemas
mas generales que les siguen. Casi todos ellos comienzan con pregunt.ts de opción mul!iple o
falso·verdadero que requieren pocos o ningún c.i!culo. Las respucslas a estas preguntas apare·
cen al final de la sección de problemas a la que pertenecen.
MANEJO DE CALCULADORA
En la actualidad existe una gran variedad de calculadoras graficadoras disponibles. con las
que es posible realizar operaciones con matrices y vectores. Desde la edición anterior. el te.xto
incluye secciones de "manejo de calculadora" que tienen por objeto ayud'lr a los estudiantes
a usar sus calculadoras en este curso. Para esta edición se han actualizado estas secciones con
uno de los modelos de vangu<lrdia.
Cada sección comienza con una descripción detallada del uso de la Hewlctt·Pack.. rd
HP 50g para la resolución de problemas. Por lo general a estas descripciones les sigue una serie
de problemas adicionales con numeras mas complicados que se pueden resolver fácilmente con
calculadora.

Prefacio x"
Sin embargo. debe hacerse hincapié en que l/O se re1luiere qlle los alulllllos cuelllell ('011/11/(/
calculudom grajimdom para que e/uso de es/e libro sea e./;'("/il'o. Las secciones de manejo de
calculadora son una característica opcional que debe usarse a discreción del profesor.
RESÚMENES DE CAPíTULO
Al final de cada capitulo aparece un repaso detallado de los resultados importantes hallados en
el mismo. Incluye referencias a las páginas del capítulo en las que se encuentra la información
completa.
GEOMETRíA
Algunas ideas importantes en álgebra lineal se entienden mejor observando su interpretación
geométrica. Por esa razón sc han resaltado las interpretaciones geométricas de conceptos im-
portantes en varios lugares de esta edición. Éstas incluyen:
• La geometria de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (p. 19)
• La interpretación geométrica de un determinante de 2 X 2 (pp. 175.257)
• La interpretación geométrica del triple prodticto escalar (p. 258)
• Cómo dibujar un plano (p. 267)
• La interpretación geométrica de la dependencia lineal en I)l (p. 317)
• La geometria de una transformación lineal de 1)2 en 1)2 (pp. 488-495)
• Las isometrías de 1)' (p. 512)
SEMBLANZAS HISTÓRICAS
Las matemáticas son rnús interesantes si se conoce algo sobre el desarrollo histórico del tema.
Para estimular este interés se incluyen varias notas históricas breves, dispersas en el libro. Ade-
más. hay siete semblanzas no tan breves y con más detalles. entre las que se cuentan las de:
• Carl Friedrich Gauss (p. 21)
• Sir William Rowan Hamilton (p. 52)
• Arthur Caylcy yel álgebra de matrices (p. 71)
• Breve historia de los determinantes (p. 203)
• Josiah Willard Gibbs y los orígenes del anúlisis vectorial (p. 259)
• Historia de la inducción matemática (p. 627)
CARACTERíSTICAS NUEVAS DE lA SEXTA EDICIÓN
Gracias a la participacíón de profesores y revisores, la nueva edición se ha enriquecido con
diversos cambios, como son:
• Secciones de manejo de la calculadora actualizadas.
• Las tutorías y problemas de MATLAB también se han actualizado, incluyendo ahonl
mayores referencias e incluso muchos de los códigos necesarios.
• Gran cantidad de problemas nuevos, ademas de otros actualizados. que permitirán
ejercitar y aplicar las habilidades adquiridas. Por ende, la sección de respuestas al final
del libro ha cambiado por completo.

XVI Prefacio
MATLAB®
El texto cuenta con mús de 230 problemas opcionales para MATLAB"'. muchos de los cuales
tienen varios incisos. que aparecen después de la mayoría de las secciones de problemas (MAT-
LAB~ es una marca registrad<t de The Math Works. lnc.). MATLAB'" es un paquete poderoso
pero amigable. diseñado para manejar problemas de una amplia variedad que requieren cálculos
con matrices y conceptos de úlgebra lineal. Se puede ver mayor información sobre este progra-
ma en la sección de apéndices. Los problemas relacionados directamente con los ejemplos y los
problemas normales. exhortan al estudiante a explotar el poder de dlculo de MATLAB" y
explorar los principios del álgebra lineal mediante el anúlisis y la obtención de conclusiones.
Además. se cuenta con varios incisos de "papel y lápiz" que permiten que el alumno ejercite su
juicio y demuestre su aprendizaje de los conceptos.
La sección 1.3 es la primera que contiene problemas de MATLABJ'.; antes de estos proble-
mas se presenta una introducción y una tutoría breve. Los problemas de MATLAB. en cada
sección están diseñados para que el usuario conozca los comandos de MATLAB" a medida
que se van requiriendo para]¡l resolución de problemas. Se cuenta con numerosas aplicaciones
y problemas proyecto que dcmuestran la relevancia del álgebra lineal en el mundo real: éstos
pueden servir como trabajos de grupo o proyectos cortos.
Muchos de los problemas de MATLAB~ están diseñadqs para animar a los estudiantes
a describir teoremas de álgebra lineal. Por ejemplo. un estudiante que genere varias matrices
triangulares superiores y calcule sus inversas obtendrá la conclusión natural de que la inversa
de una matriz triangular superior es otra triangular superior. La demostración de este resul-
tado no es trivial. pero tendrá sentido si el estudiante "ve" que el resultado es aceptable. Prác-
ticamente lodos los conjun.los de problemas de MATLAB(' contienen algunos que llevan a
resultados matemáticos.
Lo mismo que en el caso del manejo de calculadora. se resalta aquí el hecho de que el
material de MATLAB" es opcivllal. Se puede asignar o no según el profesor lo considere con-
veniente.
En lugar de colocar la sección de MATLAB a manera de suplemenlo, se decidió conser-
varlo dentro de los capítulos para que la i11legración fuera mayor y más efectiva. Ademús. se ha
cuidado que primero se enseñe a los estudia11les la manera de resolver los problemas "a mano",
comprendiendo los conceptos. para después poder incorporar el uso de otras herramientas.
Algebm lineal conserva el diseño de un libro para cubrirse en IIn semestre. Es de esperarse
que. al utilizarlo. el materia! de MATLAB se cubra en un laboratorio separado que comple-
mente el trabajo del salón de clase.
NUMERACiÓN
La numeración de este libro es estándar. Dentro de cada sección. los ejemplos. problemas. teo-
remas y ecuaciones se encuentran numerados consecutivamente a partir del número l. Las refe-
rencias a los mismos fuera de la sección se llevan a cabo por capitulo. sección y número. De esta
forma. el ejemplo 4 en la sección 2.5 se denomina ejcmplo 4 cn esa sección. pero fuera de ella se
habla del ejemplo 2.5.4. Ademús. con frecuencia se proporciona el numero de la página para que
resulte sencillo encontrar referencias.
ORGANIZACiÓN
El enfoque que se ha utilizado en esle libro es gradual. Los capítulos 1y 2 contienen el material
computacional búsico común para la mayor parte de los libros de álgebra lineal. El capítulo 1
presenta los sistemas de ecuaciones lineales. vectores y matrices. Cubre todo el material de sis-

PrefaCIO XVII
temas de ecuaciones antes de introducir los conceptos relacionados con matrices. Esta presen-
tación proporciona una mayor motivación para el estudiante y sigue el ordcn dc la mayoria de
los temarios del curso. También se incluyó una sección (1.12) en la que se aplican matrices a la
teoría de gráficas. El capitulo 2 proporciona una introducción ¡¡ los determinantes e incluye un
ensayo histórico sobre las contribuciones de Leibniz y Cauchy al álgebra lineal (sección 2.3)
Dentro de este material básico. incluso hay secciones opcionales que representan un reto
un poco mayor para el estudiante. Por ejemplo. la sección 2.3 proporciona una demostr.lCión
completa dc que det AH = detAdetB. L1 demostración de este resultado. mediante el uso de
matrices elementales.. casi nunca se incluye en libros introductorios.
El capitulo 3 analiza los vectores en el plano y el espacio. Muchos de los temas de este capi.
tulo se cubren según el orden con el que se prescnt:ln en los libros de ciJ.lculo. de manera que es
posible que el estudiante ya se encuentre f¡lmiliari;wdo con ellos. Sin embargo. como una gnln
parte del álgebra lineal esta relacionada con el estudio de espacios 'cctoriales abstnlctos. los
alumnos necesitan un acervo de ejemplos concretos que el estudio de los vectores en el plano y
el espacio proporciona de manera natural. El material más dificil de los capilUlos 4 y 5 se ilustra
con ejemplos que surgen del capitulo 3. L<I sección 3.4 incluye un ensayo histórico sobre Gibbs
y el origen del análisis 'ectorial.
El capílUlo 4 contiene una introducción a los espacios vcctoriales generales y es neees.1.-
riamenle más abstracto que los capitulas anteriores. o obstanle. intente presentar el material
como una e:l;tensión natural de las propiedades de los vectores en el plano. que es en realidad la
forma en que surgió el tema. La sexta edición estudia las combinaciones lineales y cl conjunto
generado por ellas (sección 4.4) antes de)¡l independencia lineal (sección 4.5) para explic¡lr estos
temas de manera más c1am. El capitulo 4 tambien incluye una sección (4.10) de aplicaciones
interesantes sobre la aproximación por mínimos CU¡ldrados.
Al final del capitulo 4 ¡lgrcgué una sección (4.12) opcional en la que demuestro que lodo
espacio vectorial tiene una base. Al hacerlo se analizan los conjuntos ordenados y el lema de
Zom. Dicho material es mils complic¡ldo que cualquier otro tema en el libro y sc pucdc omitir.
Sin embargo. como el álgebra lineal a menudo se consider;l el primer curso en el que las demos-
traciones son tan impOrtanles como los cú1culos. en mi opinión el estudiante ilHeresado debe
disponer de una demostración de este resul1:ldo fundumental.
El capítulo 5 continúa el ¡lIlúlisis que se inició en el capítulo 4 con una introducción a las
transformaciones lineales de un espucio vectorial a otro. Comienza con dos ejemplos que mues-
tran la manera natural en la que pueden surgir las r¡lllsformaciones. En la sección 5.3 incluí una
descripción dctallada de la geometria de las transformaciones de IY en IY, incluí expansiones.
compresiones. reflexiones y cortes. Ahora. 1" sección 5.5 contiene un estudio más dctall:tdo de
las isometrias de 1)1.
El capítulo 6 describe la teoria de los v¡llores y vectores característicos o v¡dores y vectores
propios. Se introducen en la sección 6.1 yen la sección 6.2 se da una aplicación biológica deta-
llada al crecimiento poblaciona!. Las secciones 6.3. 6.4 Y6.5 presentan la diagonalización de una
matriz. mientras que la sección 6.6 ilustra. para unos cuantos casos. cómo se puede reducir
una matriz a su forma canÓnica de Jordan. La sección 6.7 estudia las ecuaciones diferenciales
matriciales y es la única sección del libro que requiere conocimiento del primer curso de calculo.
Esta sección proporciona un ejemplo de la utilidad de reducir una matriz a su forma c¡¡nÓni"l de
Jordan (que suele ser una matriz diagonal). En la sección 6.8. introduje dos de mis resultados fa-
voritos acerca de la teoria de matrices: el teorema de Cayley-Hamilton y el teorema de los circulas
de Gershgorin. El teorema de los circulas de Gershgorin es un resultado muy mra vez estudiado
en los libros de :i.lgebra lineal elemental. que proporciona una manera sencilla de estimar los va-
lores propios de una matriz.
En el capítulo 6 tuve que lomar una decisión dificil: si analizar o no valores y vectores pro-
pios complejos. Decidi incluirlos porque me pareció lo mas adecuado. Algunas de las m:nrices

XVIII PrefaCIo
"mús agradables"tienen valores propios complejos. Si se define un valor propio como un núme-
ro real. sólo en un principio se pueden simplificar las cosas. aunque esto sea un error. Todavia
más. en muchas uplicaciones que involucran valores propios (incluyendo algunas de la sección
6.7). los modelos más interesantes se relacionan con fenómenos periódicos y estos requieren
valores propios complejos. Los numeros complejos no se evitan en este libro. Los eSlUdiantes
que no los han estudiado antes pueden encontrar las pocas propiedades que necesilan en el
apendice 2.
El libro tiene cinco apCndices. el primero sobre inducción matemática y el segundo sobre
nllllleros complejos. AlgUll<lS de las demostraciones en este libro hacen uso de la inducción
matemútica. por lo que el apéndice I proporciona una breve introducción a esta importante
técnica para los estudiantes que no la han utiliz,.do.
El apendicc 3 analiza el concepto basico de la complejidad de los cálculos que. entre otras
cosas. ayudarj a los estudiantes a entender las razones por las cuales quienes desarrollan soft·
ware eligen algoritmos esp:dficos. El apéndice 4 presenla un metodo razonablemente eficiente
p..r.. obtener la solución numerica de los sistemilS de ecuaciones. Por ultimo, el apéndice 5
incluye algunos detalles tecnicos sobre el uso de MATLAB" en este libro.
Una nota sobre la interdependencia de los capítulos: este libro estú escrito en forma se-
cuencial. Cada capitulo depende de los anteriores. con UO<I excepción: el capítulo 6 se puede
cubrir sin necesidad de gr.lll parte del mmerial del capilUlo 5. Las secciones marcadas como
"opcional"' se pueden omitir sin perdida de la continuidad.
MATERIALES DE APOYO
Esta obra cuenta con interesantes c,omplementos que fortalecen los procesos de enselianza-
aprendizaje. así como la cv"lu¡¡ción dc los mismos. los cuales se otorgan a profcsores que adop-
tan cste texto para sus cursos. Para obtener más información)' conocer 1" politica de entrega
de estos materiales. contacte a su representantc McGraw-Hill.
AGRADECIMIENTOS
Estoy agradecido con muchas personas que mc ayudaron cuando escribía este libro. Parte del
matcrial apareció primero en iHall/e/lwlh.".'!or Ilu: Biological Sóe/lces (Nucva York. Maemillan.
1974) escrito por James E. Turner y por mí. Quiero agradecer al profesor Turner por el permiso
quc me otorgó para hacer uso de este matcriaL
Gran parte de este libro fue eseriw mientras trabajaba como investigador asociado en la
Univcrsity Collcge London. Deseo agradecer al depunamento de matcmáticas de UCL por
proporcionarme servicios de ofiCina. sugerencias matemáticllS y. en espccj¡IL su amistad duran-
te mis visitas anuales.
El material de MATLABi. fue escrito por Cccclia Laurie. de la University of Alabama.
Grllci..s a la profesora L..urie por la manem sobresaliente en que utilizó la computador.. para
mejorar el proceso de enscñanz.."L Este es un mejor libro debido a sus esfuerzos.
Tambien me gustaria extender mi agradecimiento a Cristina Palumbo. de The MathWorks.
Inc.. por proporcionarnos 1
.. información más reciente sobre MATLAB".
La efectividad de un libro de texto de matem¡Ílicas depende en cierto grado de la cxactitud
de las respuestas. Ya en la edición anterior dcllibro se hicieron esfuerzos considcrables para
tratllr de evitar los errores al mÍlximo. L¡¡s respuestas fueron verificadas por varios profesores.
entre los que cabe destacar kl importantísima labor de Sudhir GoeL de Valdosta State College.
y David Ragozin. de la University of Washington. quien elaboró el Manual de Soluciones del
libro. Cecelia Laurie preparó las soluciones a los problemas de MATLAB . En el caso de esta

Prefacio :1:
nueva edición, las soluciones a los problemas nuevos eSllin elaboradas por los profesores que
los aportaron. Dado que hay gran cantidad de problemas nuevos, la sección de respuestas al
final del libro se modificó casi por completo.
Agradezco a aquellas personas que hicieron comentarios a la quinta edición. Todos ellos
son muy valiosos. En esta edición fue posible incorporar muchos de ellos.
Mi agradecimiento a los siguientes usuarios experimentados de MATLABlt por la revisión
de los problemas de MATLAB:¡i:
Thomas Cairns. University of Tulsa
Karen Donelly, Sain! Joseph's College
Roger Horn. University of Utah
lrving Katz, George Washington University
Gary Platt, University of Wisconsin-Whitewater
Stanlcy l. Grossman
Missoula. Montana
Diciembre de 2007
La división de Ingenierías. Matemáticas y Ciencias de McGraw-Hil1 agradece de manera muy
especial a todos los profesores que han contribuido con este importante proyecto:
• Adán Medina, IlIslilulo Tecnológico de Culiacáll
• Alfonso Bernal Amador. IlIstiflllO Tecllológico de Culiacáll
,
• Alfredo Gómez Rodríguez, Unil'l!r.l'idad Nacional Allfón0ll10 de México.
Facultad de Ingenieria
• Andrés Basilio Ramírez y Villa. Unil'ersidml NaciO/wl AlIfónOll1a de /I.'léxico.
Facultad de Ingenil!ria
• Arturo Astorga Ramos, InstifUto Tecnológico de Mlt=allán
• Arturo Fernando Quiroz. Tecnulógico Regiunal de Qllen'((//'O
• Arturo Munoz Lozano. Unil'ersidad La Sa/le del Bajío
• Arturo Valenzuela Valcnzuela, Instilufo Tecnológico de Culiacán
• Aureliano Castro. Unil'ersidad Awónoma de Sinaloa. Escuda de Ingeniería
• Beatriz Velazco. b¡sfilulO Tecnológico J' de ESllldios Superiores de Momerrey.
campus CI/liacán
• Benigno Valez. Insfilllfo Tecnológico y de E~flldios Superiores de Momerrey.
campus Culiacún
• Bertha Alicia Madrid. Unil'ersidad Iberoamericana. campus Cuidad de México
• Carlos Camacho Sánchez. InstitllfO Tec/lológico de CI/liacán
• Carlos Rodríguez Provenza. Unil'l!rsidad PuliléC/lica de Querétaro
• César Meza Mendoza. Instituto TeCllológico de Culiacán
• Dinaky Glaros, Instituto Tecnológico y de Estl/dios Superiores de Munlerrey,
campus Cl/!iacán
• Edgar Hernímdez López, Unil'ersidad Iberoamericana, campus León
• Edith Sa!azar Vázquez. IIISlifllfO Tecnológico y de Eswdios Superiores de Momerrey.
campus Taluca
• Edmundo Barajas Ramirez. Unil'ersidad Iberoamericana. campus León

xx Prefacio
• Eduardo Miranda Montoya. Ileso
• Erendira Gabriela Aviles Rabanales. Instituto 7I.-{"IIo/úgico )' de Estudios Superiores
de ¡4ollferre.l" campus To/uclI
• Erik Norman Gucvara Corona. Vnil"ersidad Naáonal Aulónoma de México
• Esperanza Mendez Oniz. UI/il'er.l"idwl Nacional AutVI/VIIIII de México.
Faculwd de Ingellieria
• Fernando Lópe'!. Ullil"ersidad Aulónoma de Sillaloa, t'Ci/ela de Ingenierías
Quimlco Biológicl/.I'
• Gabriel Martinez. 11I.I·tillltv 7I.'cl1ológicu de Henlloúllo
Gerardo Campos Carrillo. IlIStiluto 7I.'l'IlOlógicu de lvla:atfún
• Gonzalo Vcyro Santamaria, UI/irersidad Iherolllllerimllll. ('(l/l/pI/S LdJII
Guillermo Luisillo Rarnírez.llIslilUlo Polilémico Naciollal, ESIME CulhuacúlI
• Héctor Escobosa. IIISlitl/lO TeCllolvgico de Cl/liacúlI
• Hortensia Bellrún Ochoa. InstilulO TeCllolrígico de Los Mochi.l'
Irl1lil Yolimda Pa redes. Vnil'l'I"sidad de Cl/lIdalajam. Cellfro UIIÍl'ersitario de Ciencia,)"
E"ac/lIs e IlIgel/ierios
• Javier Núi'1ez Verdugo. Ullil"{'rsidad de Ocádellle, IIIlidád Cl/a!lllÍc/¡il
• Jesús Gamboa Hinojosa, IlIStitllfO Te('llo/úgico de Los Mochü
• Jesús Manuel Cunizaic'!. Unil"{'l:"idad de Ocádenle, unidad Ma:atlún
• Jesús Vieenle Gon'!úlc'! Sosa. Ullil"f!I"sidat! Nal'iOlwl Autólloma de ¡l;hxico
• Jorgc Alberio Caslellón. UI/il'crsidad Allfóllo!lla de Baja Ca/ifomia
• Jorge Luis Herrera Arellano. /lu/ilu/o Temológico de Tljúa/1o
• Jose Alberto Guliérrcz Palacios. UI/il'ersidat! AutÓIIOlII1I del Eswdo de ¡!'léxico.
("(//11/111.1' Tolllca. Facullad de IlIgenieria
• Jase Anlonio Casi ro lnzunza. Ulli'{'rsidad de O("cülellfe. /IIlit/ad euliacán
• Jase Carlos Ahumada. Instituto T{'l'/lOlúgico de Herlllosiflo
• Jase Carlos Aragón Hernúndez, lnslilulo Tecnológico de Culiacún
• Jase Espindola Hernúndez. Tecnológico Regio/1al de Quere/(/rD
• José Gonz;"llez V:izquez. VI/irersidad Aulóno!lla de Baja Califofllia
• José Guadalupe Octavio Cabrera Lazarini. Ullil'(,I:l'idad Politécllica de Qlleré{(lro
• José Guadal upe Torres Morales. IlIslitulO Politémico NaciolJal. ESIM E Cul/II/acón
• Jose Guillermo Cúrdenas López. Il/srilUlo Tecnológico de TijuolI(l
• Jose Luis Gómcz Sánehcz, UIIÍl"ersidad de Occidellle. IIl1idad Ma:allún
• Jase Luis Herrera. TeCllológi("o Regiol/al de San Luis POlosí
• José Noé de la Rocha, InSlitulo TeCllolúgico de Culilldm
• Juan Carlos Pedraza. Tecnológico Regional de Querélllro
• Juan Caslaikda. Vnil'ersidad AutúllolI/a de Sinaloa. Escuela de Ingenierías
Químico Biolágicas
• Juan Leollcio Núnez Armenla. IIISliflllU Tecnológico de Cllliacáll
• Juana Mmillo Castro, VAS. Escuda de Ingeniería
• Linda Mcdina. Instilllfo Tecllológico y de Estudios SlIperiore.l· de Monlerrey.
mlnllllS Cuidad de Mexico

1
SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES Y MATRICES
•
111 INTRODUCCiÓN
Este libro trata del álgebra lineal. Al buscar la palabra "linear' en el diccionario se encuentra.
entre otras definiciones. la siguieOle: lineal: (del laL lim'lIlis). l. adj. Perteneciente o relativo a
la línea.' Sin embargo. en matcminicas la palabra "lineal" tiene un significado mucho mÍls am-
plio. Una gran parte de la tcoria de álgebra lineal elemental es, de hecho. una generalización de
las propiedades de 1;.1 linea recta. A manera de repaso se darán algunos hechos fundamentales
sobre las líneas rectas:
i. La pendiente m de llna recta que pasa por los puntos (XI' J'I) Y(x" Y2) eslú dada por
y,-y i.y
III=~=- siX1oF-X
1
Xl +.1'1 .1. x
ii. Si Xl - XI = OY)'2 ;t.)'I' entonces la ree!JI es vertical y se dice que la pendieme es illddillida.l
iii. Cualquier recta (a excepción de aquella que tiene llrHl pendiente indefinid:l) se puede des-
eribir:ll escribir su ecuación en la forma pendiente-ordenada J = mx + b. donde m es la
pendiente de la recta y b es la ordenada (el valor de.r en el punto en el que la recta cruza
el eje r).
iv. Dos rectas distintas son pamlelas si ysólo si tienen la misma pendiente.
v. Si la ecuación de la recta se escribe en la forma ax + by = c. (b ~ O). entonces se puede
calcular fácilmente. m = -alb.
vi. Si m r es la pendiente de la recta Lro I/l! es la pendiente de la recta Lr m r *- OYLr}' L! son
perpendiculares. entonces m~ = -llml
•
vii. Las rectas paralelas al eje x tienen una pendiente cero.
viii. Las rectas paralelas al eje.r tienen una pendiente indefinida.
En la sección que sigue se ilustr3r.l la relación que e..<iste entre resolver sistemas de ecua-
ciones y encontrar los puntos de imersccción entre pares de rectas.
.,---
1 lAaionano de la lengw fsp.J1'K1ld. ~ 5t'gunda edlOOf'l. RNI Academlil Española. Madnd E~ Calpe. 2001
l ~hmda o IIlflmta. como tdmblen se le denomIna t'fl otros libros

2 C,I'iTUl,O I Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
(1 )
(2)
ID Dos ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Considere el siguierllc sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x y y:
all ." + al ,Y = b,
allx +(/nY = b!
donde all , {/I" {/;:I' (/1!' bl
Yb¡ son números dados. Cada lIna de estas ecuaciones corresponde a
lIna línea recia. Una solución al sistema (1) es un par de números. denotados por (x.y). que sa-
tisface (1 l. Las preguntas que surgen en forma natural son: ¿tiene este sistema varias soluciones
y. de ser asi. cwintas? Se responderún estas preguntas despues de ver algunos ejemplos. en los
cuales se usarán dos hechos importantes del úlgebra elemental:
Hecho A Si (/ = by ( = d. entonces a + (' = b + d.
Hecho U Si ({ = by (" es cualquier nLJmero real. entonces ('(l = ch.
El heeho A establece quc si se suman dos ecuaciones se obtiene una tercera ecuación correcta.
El hecho B establece que si se multiplican ambos lados de una ecuación por llna constante se
obtiene una segunda ecuación válida. Se debe suponer que l' '# Oya que aunque la ecuación
O= Oes correcta. no es muy útil.
EmIIIIIL_S_is_'_e_m_a_c_o_"_"_"_a_s_o_I"_c_ió_"_Ú_"_i_Ca
__
Considere el sistema
x-y=7
x+y=5
Si se suman las dos ecuaciones se tiene. por el hecho A. la siguiente ecuación: 2x = 12 (es decir.
' = 6). Entonces. si se despeja de la segunda ecuación, y = 5 - x = 5 - 6 = et1lonces J = -l.
Asi. el par (6.-1) satisface el sistema (1) y In forma en que se encontró la solución muestra que
es ellinico par de números que lo hace. Es decir. el sistema (1) tiene lIna solucióllllnic:l.
EJEMPLO 2 Sistema con un número infinito de soluciones
Considere el sistemH
x - y = 7
2" - 21' = 14
(3)
(4)
EJEMPLO 3
Se puede ver que estas dos ecuaciones son equivalenles. Esto es, cualesquiera dos números. x y
y. que snlisfacellla primera ecuaciónlambién satisfacen la segunda. y viceversa. Para compro-
bar esto se multiplica la primera ecuación por 2. Esto eSlú permitido por el hecho B. Entonces
.r -}' = 7 o)' = x - 7. Así. el par (x. x - 7) es llna solución al sistema (3) para cualquier nll-
mero real x. Es decir. el sistema (3) tiene un nllmero infinito de soluciones. Para este ejemplo. los
siguientes pares SOI1 soluciones: (7. O). (O. -7). (8. 1). (1. -6). (3. -4) Y(-2. -9).
Sistema sin solución
.1"- y= 7
2'-2.1'=13
Si se multiplicll la primera ecuación por 2 (que de nuevo estÍl pennitido por el hecho B) se obtiene
2x - 2.1' = 14. Esto cot1lradice la segunda ecuación. Por 10 talltO. el sistema (4) no tiene solución.

!'
1.2 Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 3
y
Solución unica
-1-+:'.----- x
O
" lr"f + UI~Y = b,
"2r + "n.' = b1
Sin solución
-1-'__--'>,---- x
"IIX + U I2Y = b,
a2.." +"22.1' = b2
O
Numero infinito de soluciones
"Ir"f + "12Y = bl
uux + uny= b2
ti) Rectas no paralelas:
un punto de intersección
b) Recias paralelas: sin
punlos de intersección
e) Rectas que coinciden: numero infinilo
de PUnlOS de intersect"ión
Figura 1.1
Dos lenas se inletSKal'1
en un PU"ltQ. en ÑngunD o
(si eoincJllen) en un rUnero
lI1fin¡tO lit puntos..
Un sistema que no tiene solución se dice que es inconsistente.
Geométricamente es fácil explicar lo que sucede en los ejemplos anteriores. Primero. se
repile que ambas ecuaciones del sistema (1) son de líneas rectas. Una solución a (1) es un pun-
ID (x, y) que se encuentra sobre las dos rectas. Si las dos rectas no son paralelas. eOlonces se
iOlersccan en un solo punto. Si son paralelas. eOlonces nunca se intersccan (es decir. no tienen
puntos en común) o son la misma recta (esto es. tienen un número infinito de puntos en co-
mún). En el ejemplo 1 las rectas tienen pendientcs de 1 y -1, respectivamente. por lo que no
son paralelas y tienen un solo punto en común (6. -1). En el ejemplo 2. las rectas son paralelas
(tienen pendiente 1) Ycoincidentes. En el ejemplo 3. las rectas son paralelas y distintas. Estas
relaciones se ilustran en la figura 1.1.
Ahora se procederá a resolver el sistema (1) formalmente. Se tiene
Si 1112 = O. entonces x =
allx + Gil." = bl
(I¡IX + anJ' =b~
b
.....!.. Yse puede usar la segunda ecuación para despejar y.
a"
(1 )
b
Si a" = 0, entonces x = .....l... Yse puede usar la primera ecuación para despejar y.
.. a
21
Si {j11 = (/11 = O. entonces el sistema (1) contiene sólo lIna incógnila. x.
Así. se puede suponer que ni "Il ni (/22 son cero.
Si se multiplica la primera ecuación por (/22 y la segunda por (111 se tiene
(l1I(/22 X + 11lla1l J' = (/2lbl
(l12(/W'" + 1111(/22 Y = (l12b2
(5)
SISTEMAS
1: EQUIVALENTES
Antes de continuar se puede ver que los sistem,ls (1) Y(5) son equinllcntes. Esto quiere decir que
cualquier solución del sistema (1) es una solución del sistema (5) y viceversa. Ello se concluye
directamente del hecho B. suponiendo que l' 110 es cero. Después.. si en (5) se resta la segunda
ecuación de la primera. se obliene
(6)
Es necesario hacer una pausa en este punto. Si (lllan - (f
l
l'l' ~ O. entonces se puede dividir entre
este término pam obtener
x

4 CI'iTLlI.O 1 Sistemas de e<uaciones lineales y matrices
Después se puede sustituir este "¡llar de x en el sistema (1) para despejar J. y así se habrá en-
contrado la solución única del sistema.
Se ha demostrado lo siguiente:
Si (f,,(l11 - alfil! '*O. entonces el
sistema (1) tiene una soludón unica
•
TEOREMA a
problemas 1 2
¿Cómo se relaciona esta afirmación con lo que se analizó anteriormente? En el sistema (1)
se puede ver que la ¡x-ndienle de la primera recIa es -a,laI2
y que la pendiente de la segunda es
-al/a;::. En los problemas 40. 41 Y42 se pide al lector que demuestre que ""on - 0lflll = Osi y
sólo si tas rectas son paralelas (es decir. tienen la misma pendiente). De esta manera se sabe que
si (l1I"::: - alfil' #- O. las rectas no son paralelas y el sistema liene una solución !inica.
Lo que se acaba de analizar puede formularse en un teorema. En secciones posteriores de
este capitulo y los siguientes se haran generalizaciones de este teorema. y se hará referencia a
el como el "teorema de resumen" conforme se avance en el tema. Una vez que se hayan de-
mostrado todas sus partes. se podrá estudiar una relación asombrosa entre varios conceplos
importantes de algebra lineal.
Teorema de resumen. Punto de vista 1
El sistema
m:: )'1 - )',
Xl +X1
de dos ecuaciones con dos incógnitas x y )' no tiene solución. tiene una solución única
o tiene un número infinito de soluciones. Esto es:
i. Tiene una solución única si y sólo si (/11"12 - (/¡;,Q21 :;tOo
ii. No tiene solución o tiene un número infinito de soluciones. si y sólo si
Los sistemas de III ecuaciones con 11 incógniws se estudian en la sección 1.3 y se verú que
siempre ocurre que no tienen solución. Oque tienen una o un número infinito de soluciones.
AUTOEYALUACIÓN
1. De las siguientes afirmaciones con respecto a la solución de un sistema de dos ccuacio·
nes con dos incógnitas, ¿cuál de ellas no es "erdadera?
a) Es un par ordenado que satisface ambas ecuaciones.
b) Su gráfica consiste en e1(1os) punto(s) de intersección de las gráficas de las ecua-
ciones.
e) Su gráfica es la abscisa de las gráficas de las ecuaciones.
d) Si el sistema es inconsistente, no ex.iste una solución.
11. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para un sistema inconsistente de dos
ecuaciones lineales?
a) o existe una solución.

1.2 Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 5
h) La gráfica del sistema está sobre el eje y.
e) La gráfica de la solución es una recta.
á) La gráfica de la solución es el punto de intersección de dos lineas.
111. ¿Cuál de las aseveraciones que siguen es cierta para el siguiente sistema de ecua-
ciones'!
3x-2y=8
4x + y = 7
a) El sistema es inconsistente.
h) La solución es (- 1,2).
e) La solución se encuentra sobre la recta x = 2.
á) Las ecuaciones son equivalentes.
IV. De las siguientes ecuacioncs Ilue se pR'SCntan. ¿cuál de ellas es una segunda ecuación
para el sistema cU~'a primera ecuación es x - 2.1' = -5 si debe tener un número infi-
nito de soluciones?
a) 6y = 3.1' + 15
1 5
c)y=--x+-
2 2
h) 6x-3y= -15
J 15
á) -x=3y+-
2 2
V. ¿Cuál de las gráficas de los siguientes sistemas es un par de rectas paralelas?
a) 3x - 2y = 7
4y = 6x - 14
e) 2x + 3y = 7
3x - 2y = 6
b) x - 2y = 7
3x = 4 + 6y
á)5x+y=1
7y = 3x
En los problemas 1a 16 encuentre las soluciones (si las hay) de los sistemas dados. En cada caso
calcule el valor de tilia" - (f12{/21'
1. x - 31' = 4 2. Sx - 7)' = 4 3. 21" - y= -J 4. 2,' ~ 8)' = 5
-4x + 2y = 6 -x+2y=-3 5x + 7y = 4 -3x + 12" = 8
5. IOx-40y= JO 6. 2" - 8y = 6 7. 6x+y=3 8. 5.1' + y=O
-3x + 12y = -90 -3x + 12y = -9 -4x - y = 8 7x+3)'=0
9. 3x + y=O 10. 4.1"-6y=0 11. 5.1' + 2y = 3 12. 4.1"+7y=3
21" - 3y = O -21" + 3y = O 2x + 5y = 3 7x-4y=3
13. 21" + 3y =4 14. ax+by=e 15. ax+by=c 16. ax-by=c
3x+4y=5 ax-by=c bx+ay=c bx+ay=d
17. Pam el siguiente sistema de ecuaciones lineales determine para qué valores de K el sistema
tiene solución única; justifique su solución.
Kx+ y+
x+Ky + ::
x+y+K:=1
18. En el siguiente sistema de ecuaciones lineales determine para qué valores de K el sistema:
a) No tiene solución
h) Tiene soluciones infinitas
1') Tiene solución única

d
6 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
2x-y-K::=O
x-y-2::=1
-x+2y =K
19. Encuentre [as condiciones sobre a y b tales que el sistema en el problema 14 tenga una
solución ünica.
20. Encuentre [as condiciones sobre (/, b Y(' tales que el sistema del problema [5 tenga un nú-
mero infinito de soluciones.
21. Encuentre las condiciones sobre (l. b, e y ti tales que el problema 16 no tenga solución.
En los problemas 22 al 29 encuentre el punlo de intersección (si hay UllO) de [as dos rcctas.
22. x- y= 7; 2x + 3y = I 23. 2x - 2)' =3: Jx + 7.1' = -1
24. y- 2x = 4; 4x - 2.1' = 6 25. 4x - 6)' =7: 6x - 9y = 12
26. 4x - 6y = ID: 6x - 9y = 15 27. 3x + y = 4; y- 5x =2
28. 2.1' - 3x =0; 71' - 5x = 9 29. 3x + 4y = 5; 6x - 7)' = 8
Sea L una recta y LJ. la recta perpendicular a L que pasa a·traves de un punto dado P. La dis-
lancia de La P se define como la distancia3 cntre P y el punto de intersección de L y Ll' En los
problemas 30 a 36 encuentre la distancia entre la recta dada y cl punto.
30. x - y = 6; (O. O) 31. 2'+31'=-1; (O. O)
32. 3x + y = 7; (1.2) 33. 5x-6y=3: (2.lf-)
34. 2y-5x=-2: (5. - 3) 35. 3y-1x=O; (-1.-5)
36. 6.1' + 3x = 3; (8. -1)
37. Encuentre la distancia entre la recta 2x - )' = 6 Yel punto de intersección de las rectas
3x - 2)' = I Y6x + 3.1' = 12.
*38. Prucbe que la distancia entre el punto (XI' J) Yla recta (IX + by = (" estÍl dada por
I(lXI
+ bY1
- el
J(l1 + b1
39. En un zoológico hay aves (dedos patas) y bestias (de cuatro patas). Si el zoológico contiene
60 cabezas y 200 patas. ¿cuúntas aves Ybestias viven en él?
40. Suponga que {I11{111 - (/1·1I11 = O. Demuestre que las rectas darlas en el sistema de eell<leio-
ncs (1) son paralelas. Suponga que (111 #- OO{l" #- OY(/21 #- Oo {/11 #- O.
41. Si existe una solución única al sistema (1). muestre que (111(111 - (lll/11 #- O.
42. Si (111(111 - (I¡1'11 #- Odemuestre que el sistema (1) tiene llna solución única.
43. La compañia Sunrise Porcelain fabrica tazas y platos de cerÍlmica. Para cada taza o plato
un trabajador mide una cantidad fija de material y la pone en la m<Íquina que los forma.
de donde pasa al vidriado y secado automútico. En promedio, un trabajador necesita tres
minutos para iniciar el proceso de una t¡}za y dos minutos para el de un plato. El material
•
3 Recuerde que SI (x, y,) y (x" y) son dos puntos en el plano xy, entonces Ii! dislanCla d entre ellos esla dada por
d=J(xt 1,1' +lYI .",r.

1.3 m ecuaciones con n incógnitas 7
para una taza cuesta ~25 y el material para un plato cuesta ~20. Si se asignan $44 diarios
para la producción de tazas y platos. ¿el¡{¡ntos deben fabricarse de cada uno en un dia de
trabajo de 8 horas. si un trabajador se encuentra trabajando cada minuto y se gastan exac-
tamente S44 cn materiales?
44. Conteste la pregunta del problema 34 si los maleriales para una taza y un plato cuestan e 15
y élO. respectivamente. y se gast¡m 524 en 8 homs de trabajo.
45. Conteste la pregunta del problema 35 si se gastan 525 en 8 horas de trabajo.
46. Una tienda de helados ,'ende sólo helados con soda y malteadas. Se pone 1On1.3 de jarabe
y 4 onzas de helado en un helado con soda. y I onul de jarabe y 3 onzas de helado en una
malteada. Si la tienda usa 4 galones de helildo y 5 cuartos de jarabe en un día. ¿cuimtos
helados COIl soda y cuántas malteadas vende? (SI/gerencia: 1cuarto = 32 onzas. I galón:
4 cuartos.)
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓfll
1. e) 11. a) 111. e) IV. a) V. 11)
DI m ECUACIONES CON n INCÓGNITAS:
ELIMINACiÓN DE GAUSS-JORDAN y GAUSSIANA
En est,l sección se describe un método p:lra encontrar todas las soluciones (si es que existen)
de un sistema de 11/ ecuaciones lineales con 11 incógnitas. Al hacerlo se verá que. igual que en el
C:lSO de 2 x 2. tales sistemas o bien no tienen solución. tienen una solución o tienen un número
infinito de soluciones. Antes de llegar al metodo general se verún algunos ejemplos sencillos.
Como variables. se usarim XI' X~. Xl' etc.. en lugardc x. y. =
.... porque la generalización es más
sencilla si se usa la nataciÓn con subíndices.
EJEMPLO 1 Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: solución única
Resuelva el sistema
2x, + 4x~ + 6x1 : 18
4x1
+ 5x~ + 6x1 : 24
3x+ x1
-6x):18
(1 )
• Soludó" En este caso se buscan tres numeras XI" x2
• x). tales que las tres ecuaciones en (1) se satisfagan.
El metodo de solución que se estudiará será el de simplificar las ecuaciones como se hizo en la
sección 1.2. de manera que las soluciones se puedan identificar de inmediato. Se comienza por
dividir la primen¡ ecuación entre 2. Esto da
XI + 2x! + 3x) : 9
4xI
+ 5x1
+ 6x) = 24
3xI + Xl - 2"1: 4
(2)
Como se vio en la sección 1.2. al sumar dos ecuaciones se obtiene una tercera ecuación correc·
ta. Esta nueva ecuación puede sustituir a cualquiera de las dos ecuaciones del sistema que se
usaron panl obtenerla. Primero se simplifica el sistema (2) multiplicando ambos lados de la
primem ecuación de (2) por -4 y sumando estil nueva ecuación a la segunda. Esto da

8 CAl'ínJLO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
-4x1
- 8x:: - 12.") =: -36
4.1 + 5x! + 6.':) = 24
-3.':,- 6x)=-12
La ecuación - 3x, - 6."3 = -12 es la nueva segunda ecuación y el sistema ahora es
XI + 2."1 + J.YJ = 9
-3."1- 6xJ
= -12
3."1 + Xl - 2xJ
= 4
Noltl. Como se puede ver por el desarrollo anterior. se ha sustituido la ecuación 4x1
+ 5x! +
6x) = 24 por la ecuación - 3."1 - 6."3 = -12. En este ejemplo y otros posteriores se sustituirán
ecuaciones con otras mas sencillas hasta obtener un sistema cuya solución se pueda identificar
de inmediato.
Entonces. la primera ecuación se multiplica por -3 y se suma a la lercera. lo que da por
resultado:
XI + 2."2 + 3x3 = 9
-3X2~ 6x)= -12'
-5x2
- [Ix) = -23
(3)
Observe que en el sistema (3) se ha eliminado la variable XI de la segunda y tercera ecuaciones.
Después se divide la segunda ecuación por - 3:
XI + 2x2 + 3x] = 9
"2 + 2x] = 4
-5x2
- Ilx] = -23
Se multiplica la segunda ecuación por - 2 Yse suma a la primera; después se multiplica la se-
gunda ecuación por 5 y se suma a la tercera:
XI x] = 1
x2
+ 2xJ
= 4
xJ
=-)
Ahora se multiplica la tercera ecuación por -1:
x] = 1
-'"2 + 2",] = 4
xJ
= 3
Por último. se suma la tercera ecuación a la primera y después se multiplica la tercera ecuación
por -2 y se suma a la segunda para obtener el siguiente sistema, el cual es equivalente al sis-
tema (1):
=4
= -2
"'3 = )

EUMINAClON DE
1: GAUSS-JORDAN
Esta es la solución única para el sistema. Se escribe en la forma (4. - 2.3). El método que se usó
se conoce como eliminación de Gallss-Jorlhn.~
Antes de seguir con otro ejemplo es conveniente resumir lo que se hizo en este:
i. Se dividió la primera ecuación. entre una constante, para hacer el coeficiente de XI
igual a l.
ii. Se '"eliminaron"los términos en XI de I<t segunda y tercera ecuaciones. Esto es. los
coeficientes de estos términos se hicieron cero al multiplicar la primera ecuación por
las constanles adecuadas y sum.indola a la segunda y tercera ecuaciones. respectiva-
mente. de manera que al sumar las ecuaciones una de las incógnitas se eliminaba.
iii. Se dividió la segunda ecuación entre una constante. para hacer el coeficiente de x~
igual a I y despues se usó la segunda ecuación para "eliminar" los términos en x1
de la primera y tercera ecuaciones. de manera parecida a como se hizo en el paso
anterior.
iv. Se dividió la tercer.!. ecuación entre una constante_ para hacer el coeficiente de Xl
igual a I y después se usó esta tercera ecuación para "eliminar"los terminas de Xl
de la primem y segunda ecuaciones.
Cabe resaltar el hecho de que. en cada paso. se obtuvieron sistemas equivalentes. Es decir.
cada sistema tenía el mismo conjunto de soluciones que el precedente. Esto es una consecuen·
cia de los hechos A y Bde la página 2.
Antes de resolver otros sistemas de ecuaciones es conveniente inlroducir una notación que
simplifiC:1 la escritura de cada p'ISO del procedimiento mediante el concepto de matriz. Una
matriz es un arreglo rectangular de números y éslils se estudiaran con gran detalle al inicio de
la sección 1.5. Por ejemplo. los coeficientes de las variables xI' x2
' xJ
en el sistema (1) se pueden
escribir como los elementos de una matriz A. llamada matríz de coeficientes del sistema:
D MATRIZ
MATRIZ DE
e COefiCIENTES
A=l~: :J
3 1 -2
(4)
Una matriz con m renglones y n columnas sc 11:lma una matriz de /11 x 1/. El simbolo 111 X 11 se
lee ""/11 por 11". El estudio de matrices constituye grun parte de los capitulas restantes de este
libro. Por la conveniencia de su notación para la resolución de sistemas de ecuaciones. las pre-
sentamos aquí.
Al usar la notación matricial. el sistemll (1) se puede escribir como la matriz aUlllenlllda
MATRIZ
MATRIZ
~ AUMENTADA
[
2 4
4 5
3 1
6 I 18J
6 I 24
-2 I 4
(5)
Ahora es posible introducir cierta terminología. Se ha visto que multiplicar (o dividir)
los dos lados de una ecuación por un número diferente de cero da por resultado una nueva
0 - - -
• RedJe este nombre efl honor del gran matert1c1IOCO alemán Kan fnednch Gauss 11777-18551 Ydel logeotefO alem.m
Wihelm Jord.ln (1844-18991 IN la 5('fllblanza blbllogr.!Ifoca de Gaoss efl la pdgln3 21 Joroon fue un e>lperto efllnvelo-
tJgaoOo geod(>slca tomando efl cuenta la curvalUfa de la Ttefra Su trabajO sobre la soIuc:oo de Sl!>lemas de eruaoorle!>
apdff'OÓ efl 1888 efl !>U libro Handbur:h der .tormessungSkundl:> IManwl de geodesial

JO CAPiTULO 1
REDUCCiÓN
e POR RENGLONES
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
ecuación equivalente. Más aún, si se suma un múltiplo de una ecuación a otra del sistema se
obtiene otra ecuación equivalente. Por ultimo. si se intercambian dos ecuaciones en un sistema
de ecuaciones se obtiene un sistema equivalente. Estas tres operaciones, cuando se aplican a
los renglones de la matriz aumentada que representa un sistema de ecuaciones, se denominan
operaciones dl'llll'nlales con renglones.
Para resumir. las tres operaciones elementales con renglones aplicadas a la matriz aumen-
tada que representa un sistema de ecuaciones son:
Operaciones elementales (on renglones
i. Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero.
ii. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
iii. Intercambiar dos renglones.
•
El proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones pan! simplificar llna matriz
aumentada se llama reducción por renglones.
NOTACIÓN
l. R¡ ~ cRi
quiere decir ''reemplaza el i-csimo renglón por ese mismo renglón multiplicado por
(".'. [Para multiplicar el i-esimo renglón por (" se multiplica cada número en el i-ésimo renglón
por el
2. Rj~ Rj
+ cR;significa sustituye elj-esimo renglón por lél suma del renglón) más el renglón
i multiplicado por c.
3. R¡ ~ R¡ quiere decir "intercambiar los renglones i yr.
4. A ~ B indica que las matrices aumentadas A y B son equivalentes; es decir. que los sistemas
que representan tienen la misma solución.
En el cjcmplo 1se vio que al usar las operaciones elemcntales con renglones 1) y ii) varias veces.
se puede obtener un sistema cuyas soluciones estén dadas en forma explicita. Ahora se repiten
los pasos del ejemplo I usando la notación que se acaba de introducir:
[;
4 6 I
18]
{;
2 3
2:]
',_", _", [1 2 3
-I~]
5 6 I 24
R,->~R,
5 6
Rl ->R3 - 3R, ; O
-3 -6
-2 I 4 1 -2 O -5 -11 -23
,[~
2 3
-,;]
R,->R, - 2R¡
{~
O
-1
-;]
R, __iR,
2 R,_,R, -+ SR,
1 2
-5 -11 O
-1
[1 O -1 I 1]
R,->R, -+ R¡
,[~
O O I
-~J
R,-> -R, J O 1 2 I 4
Rr,R~ -2R¡
1 O I
O O 1 3 O 1 I
De nuevo se puede ··ver·' de inmediato que la solución es XI = 4. x, = - 2, ") = 3.

EJEMPLO 2
• Soludóll
Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
numero infinito de soluciones
Resuelva el sistema
2x, + 4x! + 6x, = 18
4.·1 + 5x! + 6x, = 24
lxl
+ 7x! + 12", = JO
Para resolver este sistemi' se procede como en el ejemplo l. esto es. primero se escribe el sistema
como una matriz aumentada:
[~ ~
2 7
:: ;:)
12 I 30
Despues se obtiene. sucesivamente.
,~, (; 2 3 I
2:)
'~',-., [ 1 2
5 6 I
Rro'" - 2R, l O -3
7 12 I 30 O 3
_2'~-'!¡"-"....[ 1 , 3
l O 1 2
036
3I 9)
-6 I -12
6 I 12
R,...R, - 2R,
.[~
O -1
~]
R
....R, ~ 3R,
1 2
O O
EJEMPLO 3
Esto es equivalente al sistema de ecuaciones
XI + x, = 1
Xl + 2x.1 = 4
Hasta aquí se puede llegar. Se tienen sólo dos ecuaciones para las tres incógnitas XI. x!' xJY
existe un número infinito de soluciones. Para comprobar esto se elige un valor de x)" Entollces
x! = 4 - 2xJ
y XI = 1 +xl' Ésta serú una solución para cualquier número x)" Se escribe esta
solución en la forma (1 + x,,4 - 2xj' .). Por ejemplo. si x, = O. se obtiene la solución (l. 4.
O). Para x3
= 10 se obtiene la solución (11. -16. 10). Ypor ello para cada valorde x, habrá lIna
solución distinta.
Sistema inconsistente
Resuelva el sistema
•• SollldólI
2x! + JXl = 4
2:1-6.'1+7.')= 15
Xl - 2x1
+ 5x, = 10
La matriz aumentada para este sistema es
[~ -~: 1:)
1 -2 5 10
(6)
El elemento 1.1 de la matriz no se puede hacer I como antes porque al multiplicar Opor cual·
quier número real el resultado es O. En su lugar se puede usar la operación elemental con

12 Cu'iTl'LO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
renglones iii) para obtener un numero dislimo a cero en la posición 1.. Se puede intercambiar
el renglón I con cualquiera de los otros dos: sin embargo. al intercambiar los renglones I y 3
queda un I en esa posición. Al hacerlo se obtiene lo siguiente:
2
-6
-2
3
7
5
1:] '.~', ,[;
10 O
-2 5
-6 7
2 3 .¡~
-2 5
.,....,-u,
-2 -3
2 3
10)
-5
4
Es necesario detenerse aqui porque. como se ve. las ultimas dos ecuaciones son
-2x1
- JX1 = -5
2x1
+ 3xl
= 4
lo cllal es imposible (si ~ 2.",: - 3xJ
= - 5. entonces 2x! + 3xJ
= 5. no 4). Así no hay una
solución. Se puede proceder como en los últimos dos ejemplos para obtener una forma mils
estandar;
-2
1
2
5
1
,
3
1~)
-1
DeFINICIÓN a
Ahora la última ecuación es 0.", + 0.": + OXJ
= -l. lo cual tambien es imposible ya que O#:. -1.
Asi. el sistema (6) no tiene solución. En este caso se dice que el sistema es inconsistente.
Sistemas inconsistentes y consistentes
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente si no tiene solución. Se
dicc que un sistema que tiene al menos una solución es consistente.
Se analizarán de nuevo eslOs tres ejemplos. En el ejemplo I se comenzó con la matriz de coefi-
cicntes
En el proceso de reducción por renglones. A I se ··redujo" a la matriz
R,=(~r~]
En el ejemplo 2 se comenzó con

y se terminó con
En el ejemplo 3 se comenzó con
y se terminó con
2
-6
-2
DEFINICiÓN E3II
EJEMPLO 4
Las matrices R,. R" R.l
se llaman fonmls escalonadas reducidas ¡lOr renglones de las matrices A l'
Al YAJ
respectivamente. En general. se tiene la siguiente definición:
Forma escalonada reducida por renglones y pivote
Una matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por renglones si se cumplen las
siguientes condiciones:
i. Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la par-
te inferior de la matriz.
ii. El primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier
renglón cuyos elementos no todos son cero es l.
¡ii. Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero. entonces el primer I en el
renglón de abajo está más hacia la derecha que el primer I en el renglón de arriba.
iv. Cualquier columna que contiene el primer I en un renglón tiene ceros en el resto de
sus elementos. El primer número diferente de cero en un renglón (si lo hay) se llama
pi"Ote para ese renglón.
Notfl. La condición iii) se puede reescribir como "el pivote en cualquier renglón está a la dere-
cha del pivote del renglón anterior".
Cinco matrices en la forma escalonada reducida por renglones
Las siguientes matrices están en l<l forma escalonada reducida por renglones:
[
O
~1 [~
O O
~1 (~ :] (~ ~] [~
O 2
~1
L ii. iii.
O O
h'.
1 1 O ". 1 3
O 1
O O O O O
Las matrices i y ii tienen tres pivotes: las otras tres matrices tienen dos pivotes.

14
DEFINICiÓN IEI
EJEMPLO 5
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Forma escalonada por renglones
Una matriz está en la forma escalonada por renglones si se cumplen las condiciones ;).
ii) Y¡¡¡) de la definición 1.
(inco matrices en la forma escalonada por renglones
Las siguientcs matrices se encuenlr.m en la forma escalonada por renglones:
[~
2
:) [
1 -1 6
4)
i. 1 ii. O 1 2 -8
O O O O 1
iii.(~~~ ~) (~ ~) [~
) 2
~]
i'. ,. 1 )
O O
NOltt. Por lo general, la forma escalonada por renglones de una matriz no es unica. Es decir.
una matriz puede ser equivalente. en sus renglones.. a mas de una matriz en forma escalonada
por renglones. Por ejemplo
2
1
O
-1
)
O
-1)
~ ~ B
muestra que las dos matrices anteriores. ambas en forma escalonada por renglones. son equiva-
lentes por renglones. Así. cualquier matriz para la que A es una forma escalonada por renglo-
nes. también tiene a B como forma escalonada por renglones.
Oh."(.'ITlfÓÓIl J. La diferencia entre estas dos formas debe ser evidente a partir de los ejemplos.
En la forma escalonada por renglones. todos los nlillleros abajo del primer I en un renglón
SOll cero. En la forma escalonada reducida por renglones. todos los números abajo y arriba del
primer I de un renglón son cero. Asi. la forma escalonada reducida por renglones es mas exclu-
siva. Esto es. en toda matriz en forma escalonada reducida por renglones se encuentra también
la forma escalonada por renglones. pero el inverso no es cierto.
Ohsel'l'(fdóll 2. Siempre se puede reducir una matriz a la forma escalonada reducida por renglo-
nes o ti la forma escalonada por renglones realizando operaciones elementales con renglones.
Esta reducción se vio al obtener ]¡l forma escalonada reducida por renglones en los ejemplos
1.2y3.
Como se vio en los ejemplos l. 2 Y3. existe una fuerte relación entre la forma escalonada
reducida por renglones y la existencia de la solución única para el sistema. En el ejemplo I
dicha forma para la matriz de coeficientes (es decir. en la primeras tres columnas de la matriz
aumentada) tenían un I en cada renglón y existia una solución (mica. En los ejemplos 2 y 3 la
forma escalonada reducida por renglones de la matriz de coeficientes tenía un renglón de ceros
yel sistema no lenía solución o tenía un número infinito de soluciones. Esto siempre es cierto
en cualquier sistema de ecuaciones con el mismo numero de ecuacíones e incógnilas. Pero antes
de estudiar el caso general se analizara la utilidad de la forma escalonada por renglones de una
matriz. Es posible resolver el sistema en el ejemplo I reduciendo la rnalriz de coeficientes a esta
forma.

EJEMPLO 6
• So!udófI
Solución de un sistema mediante eliminación gaussiana
Resuelva el sistema del ejemplo I reduciendo la matriz de coeficientes a la forma escalonada
por renglones.
Se comienza como antes:
[~
4 6
18]
,[; 2
3I 9]
5 6 24
II,-->{-II,
5 6 I 2.
I-2 4 I-2 I 4
',"',~", [I 2 3
-I~] 'd', ,[~ ~
3
-2;]
11,-->11, -311, 1 ~
-3 -6 2
-5 -11 -23 O 5 -11
Hasta aquí. este proceso es idéntico al anterior; pero ahora sólo se hace cero el numero (- 5)
que estú abajo del primer I en el segundo renglón:
[
1 2
) O 1
O O
3
2
-1 [
1 2
11,-->-11, ) O 1
O O
3 I 9]
2 I •
I I 3
SUSTITUCIÓN
e HACIA ATRÁS
ELIMINACIÓN
¡¡: GAUSSIANA
La malriz aumentada del sistema (y los coeficientes de la matriz) se encuentran ahora en
la forma escalonada por renglones y se puede ver de inmediato que xJ
= 3. Después se usa la
sustitución hacia atrás para despejar primero."2 y después XI' La segunda ecuación queda."l +
2xJ
=4. Entonces Xl + 2(3) = 4 Yx, = -2. De igual manera, de la primera ecuación se obtiene
XI + 2(-2) + 3(3) = 9 o XI = 4. Así. de nuevo se obtiene la solución (4, -2. 3). El método de
solución que se acaba de emplear se llama eliminación gaussiana.
Se cuenta con dos métodos para resolver los ejemplos de sistemas de ecuaciones:
i. Eliminación de Gauss·Jordan
Se reduce por renglón la matriz de coeficientes a la forma escalonada reducida por
renglones usando el procedimiento descrito en la página 9.
iL Eliminación gaussiana
Se reduce por renglón la matriz de coeficientes a la forma escalonada por renglones,
se despeja el valor de la última incógnita y despues se usa la sustitución hacia atrás
para las demás incógnitas.
•
¿Cuúl mélOdo es mús útil? Depende. Al resolver sistemas de ecuaciones en una computadora
se prefiere el método de eliminación gaussi<ma porque significa menos operaciones elementales
con renglones. Dc hecho. como se verá en el apéndice 3, para resolver un sistema de 11 ecuacio-
nes con 11 incógnitas usando la eliminación de Gauss-Jordan se requieren aproximadamente
1/)/2 sumas y multiplicaciones, mientras que la eliminación gaussialla requiere sólo 11313 sumas y
multiplicaciones. La solución numérica de los sistemas de ecuaciones se estudiará en el apéndi-
ce 4. Por otro lado. a veces es esencial obtener la forma escalonada reducida por renglones de
una matriz (una de éstas se estudia en la sección 1.8). En estos casos la eliminación de Gauss-
Jordan es el metodo preferido.

16 C"'íTULO I Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Ahora se observa la solución de un sistema general de 11I ecuaciones con 11 incógnitas. La
mayor parte de las soluciones de los sistemas se harú mediante la eliminación de Gauss-Jordan
debido a que en la sección 1.8 esto se necesitará. Debe tenerse en mente. sin embargo. que la
eliminación gaussiana suele ser un enfoque mils conveniente.
El sistema general m X 11 de 111 ecuaciones con 11 incógnitas está dado por
{/11.Y1 + al!"'"! + (liJ-'") +
(l11 X I + (/nx ¡ + al,"'") +
(/31'" +(l31 X , +{lllXJ +
+a x =b
l." I
+al"x" = &,
+ (I),X'I =bJ
+ ({.,o-"', = b,.
(7)
EJEMPLO 7
•• Solución
EJEMPLO 8
En el sistema (7) lodos los coeficientes a y b son números reales dados. El problema es encontrar
lodos los conjuntos de 11 números, denotados por (XI' x2
• x," .. x,,). que salisfacen cada llna de
las m ecuaciones en (7), El nümero (l .. es el coeficiente de la variable .. en la i-csima ecuación,
" ,
Es posible resolver un sistem¡¡ de 11I ecuaciones con 11 incógnitas haciendo uso de la elimi-
nación de Gauss-Jordan o gaussiana. Enseguida se proporciona un ejemplo en el que el número
de ecuaciones e incógnitas es diferente.
Solución de un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas
Resuelva el sistema
XI + 3.', - 5x) + x~ = 4
2xI
+ 5x, - 2.") + 4x4
= 6
Este sistema se escribe como una matriz aumentada y se reduce por renglones:
[;
J -; 1
:] R,->R, -lR, l ( I 3 -; 1
-~)
5 -2 4 2 -1 8 2
R,->-R, ) ( I J -5 1 I
~J
R,->R, -JR,
eo 19 7 I
-n
,
o 1 -8 -2 I o 1 -8 -2 I
Hasta aquí se puede llegar. La matriz de coeficiente se encuentra en forma escalonada y redu-
cida por renglones. Es evidente que existe un número infinito de soluciones. Los valores de las
variables x) y x~ se pueden escoger de manera arbitraria. Entonces x! = 2 + 8xJ + 2x. y XI =
- 2 -19x) -7x~. Por 10 tanto, todas las soluciones se representan por (-2 -19.") - 7x., 2 + 8x.
+ 2x~. x)' x~). Por ejemplo, si x) = I Yx. = 2 se obtiene la solución (- 35, 14. 1,2).
Al resolver muchos sistemas. es evidente que los cálculos se vuelven fastidiosos. Un buen me-
lado prúctico es usar una calculadora o computadoru siempre que las fracciones se compliquen.
Debe hacerse notar, sin embargo, que si los cálculos se llevan a cabo en una computadora o cal-
culndora pueden introducirse errores de "redondeo"'. Este problema se analiza en el apendice 3.
Un problema de administración de recursos
Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que
alberga 11 tres especies de peces. Cada pez de la especie I consume cada semana un promedio
de I unidad del alimento 1. I unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de
la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1,4 del 2 y 5 del 3.

•• Solución
Para un pez de la especie J. el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento t. I
unidad del alimento 2 y 5 unidades del 3. Cada semana se proporcionan alIaga 25 000 unidades
del alimento 1. 20 000 unidades del alimento 2 y 55 000 del 3. Si suponemos que los peces se
comen todo el alimento ¿cu<intos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?
Sean x•. x2 y xJe! número de peces de cada especie que hay en el ambiente del lago. Si utilizamos
la información del problema. se observa que XI peces de la especie I consumen XI unidades del
alimento l. x: peces de la especie 2consumen h: unidades del alimento 1':l xJ
peces de la espe-
cie 3 consumen 2'lunidades del alimento 1. Entonces. x. + h: + 2xl
= 25000 =:: suministro
100al por semana de alimento l. Si se obliene una ecuación similar para los olros dos alimentos
se llega al siguienle sislema de ecuaciones:
XI + 3x: + h) =:: 25000
XI + 4."2 + x) =:: 20000
2xI + 5x: + 5x, == 55000
Después de resolver se obtiene
[;
3 2
2iOOO]
4 1 20000
5 5 55000
R,...R, ~ R,
,[~
J , I 25000] '."'. -", [] O 5 I 40000]
R,...R, -~R,
] -1 I -5000 R,_R, • R, l O I -] I -5000
-] 1 I 5000 O O O I O
Por consiguiente. si Xl se elige arbitrariamente. se liene un número infinito de soluciones dada
por (40 000 - 5.')" x) - 5000. x). Por supuesto. se debe tener XI;=: O. x2
~ OYx):2:: O. Como x:
= Xl - 5 000 ~ O. se tiene Xl ~ 5 000. Esto significa que O.:5 XI .:5 40 000 - 5(5000) == 15000.
Por último. como 40 000 - 5xl ~ O. se tiene que .",1 s 8 000. Esto significa que las poblaciones
que pueden convivir en el lago con todo el alimento consumido son
X, = 40000 - 5xl
x: = Xl - 5000
5000 S xjs 8000
Por ejemplo. si xJ
=:: 6000. entonces XI =:: 10000 Yx2
=:: I 000.
Nota. El sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones. Sin embargo. el proble-
ma de administración de recursos tiene sólo un nllmero finito de soluciones porque XI. Xl YxJ
deben ser enleros posilivos y existen nada mús 3 001 enteros en el interv-dlo [5 000. 8 OOOJ. (Por
ejemplo. no puede haber 5 237.578 peces.)
ANÁLISIS DE INSUl10 y PRODUCTO (OPCIONAL)
Los siguientes dos ejemplos mueslran la forma en la cual pueden surgir los sistemas de ecua-
ciones en el modelado económico.

18
EJEMPLO 9
Sistemas de ecuaciones lineales '1 matrices
El modelo de insumo-producto de leontief
Un modelo que se usa con rrccucncia en economia es el modelo de insumo-producto de Lconricr,'
Suponga un sistema económico que liene 11 industrias. E:<isten dos tipos de demandas en cada
induSlria: la primer.!. una demanda I!xterf/fI desde arucra del sistema. Por ejemplo. si el sistema
es un pais. la demanda externa puede provenir de otro pais. Segunda. la demanda que hace una
industria a olr.t industria en el mismo sistcnm. Por ejemplo. en Estados Unidos la industria
automotriz demanda parte de la producción de la industria del acero.
Suponga que (,¡representa la demanda externa ejercida sobre la i.esima industria. Suponga
que tI., representa la demanda ¡merna que 1:lj~sima industria ejerce sobre la i-ésimil industria.
De forma mas concreta. ti" representa el numero de unidades de producción de la induSlria i
que se necesitan para producir una unidad dc la industriaj. Sea XI la producción dc la indus-
tria i. Ahora suponga que la producción dc cada industria es igual a su demanda (es decir. no
hay sobreproducción). La demanda (olal es igual a la suma de demandas internas y externas.
Por ejemplo. para calcular la demanda interna de la industria 2 se observa que la industria I
necesita tl
ll
unidades de producción dc la industria 2 para producir una unidad de su propia
producción. Si la producción dc la industria I es XI' entonces tlll" l se trala dc la cantidad total
que necesita la industria 1 dc la industria 2. Dc esta formol. la demanda interna total sobre la
industria 2es tll1X 1 + tI!.!x! + ... + tI~..
Al igualar la demanda tOlal a la producción dc cada industria se llega al siguientc sistcma
dc ecuacioncs:
(")
o bien. reescribiendo el sistema (8) en lu forma del sistemH (7) se obtiene
(91
EJEMPLO 10
El sistema (9) de 11 ecuaciones con 11 ineógnitHs es de fundamental importancia en el analisis
económico.
El modelo de leontief aplicado a un sistema económico con tres industrias
Suponga que las demandas externas en un sistema económico con tres industrias son 10.25 Y
20. respectiv.lmente. Suponga que (l1I = 0.2. 1I1~ = 0.5. (l1) = 0.15. {In = 0.4. {I"!2 = 0.1. {I!J = 0.3.
tl
JI
= 0.25. 1IJ1 = 0.5 YlI
JJ
= 0.15. Encucntre 1
.. producción dc cad.. industria de manera que la
oferta sea exactamente igu..l a la demanda.
•
s Así llamado en honor 01 economMo norte.lr1leflCDroo w;m¡ly W leorlllel. QUleO utdlZO este modelo en 'óU trob<lfo po.
nt'f'O WQu<lntltd!M' Input and Output Rel.aIlOOS In tlw Ec()O()l1'll( Syslem of the UnIed Sldtes- en ReYIl'W 01 fcOflOtTllC
5totlSrc 18119361 leontJ!>f g;¡oo el PremIO Nobel en Ec()O(lO'lla en 1973 por su des<lrrolo del <Ifi1llSlS de InSUmo-
"""'000

11. Soludó"
En este caso IJ =3. I - l/II = O.S. I - a~~ = 0.9 Y1 - {/" = 0.85 Yel sistema (9) es
0.8x1
- 0.5x~ - 0.15xJ
= 10
-0.4x1
+ 0.9x~ - 0.3xJ
= 25
-0.25x1
- 0.5x~ + 0.S5x, = 20
Si se resuelve el sistema por melOdo dc eliminación de Gauss-Jordan en una calculadora O
computadora. trabajando con cinco decimales en todos los pasos se obtiene
[
' O O I 110.30442]
O 1 O I 118.7.070
O O 1 I 125.81787
Se concluye que la producción ncces:.lria para que la oferta sea (apro....imadamcntc) igual a la
demanda es XI = 110.x~= 119yxJ
= 126.
LA GEOMETRíA DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES
CON TRES INCÓGNITAS (OPCIONAL)
En la figurJ. 1.1. en la página 3. se observó que se puede repesentar un sistema de dos ecuacio-
nes con dos incógnitas mediante dos lineas rectas. Si las rectas tienen un solo punto dc intersec-
ción el sistema tiene una solución unica: si coinciden. existe un numero infinito de soluciones:
si son paralelas. no e....istc una solución y el sistema es inconsistente.
Algo similar ocurre cuando se tienen tres ecuaciones con tres incógnitas.
Como se verá en la sección 3.5. la grúfica de la ecuación ax + by + c= = d en el espacio de
tres dimensiones es un plano.
Considere el sistema de tres ecu:lciones con tres incógnitas:
(IX - by - l': = d
ex-/y-g==!I
jx-k)'-!: = 11I
(1 U)
en donde (J. b. c. d. l'•.f. g. 11.). k.! Y11I son constantes y al menos una de ellas en cada ecuación
es diferente de cero.
Cada ecuación en (10) es la ecuación de un plano. Cada solución (x. y. =) al sistema dc
ecuaciones debe ser un punlo en ('(ula 1/1/0 dc los tres planos. Existen seis posibilidades:
1. Los tres planos se intersecan en un solo punto. Por lo que existe una solución única para el
sistema (vea la figura 1.2).
2. Los tres planos se intersecan en la misma recta. por lo que cada punto sobre la recta es una
solución y el sistema tiene un numcro infinito de soluciones (vea la figura 1.3).
Punto de intersección
Figura 1.2
lo!> tres ptano<. 'lE' I'Iterw-
(.ln en 00 solo pooto.
,L---...

20 CM'iTUI.O I Sistemas de ecuaciones lineales 'f matrices
3. Los tres planos coinciden. Entonces cada punto sobre el plano es lIna solución y se liene
un nllmero infinito de soluciones.
4. Dos de los planos coinciden e intersecan a unlercer plano en la recta. Entonces cada punto
sobre la recIa es llna solución y existe un número infinito de soluciones (vea la figura 1.4).
S. Al menos dos de los planos son paralelos y distintos. Por lo que ningún punto puede estar
en ambos y no hay solución. El sistema es inconsistente (vea la figura 1.5).
x
Figura 1.3
los tres planos se ¡Olerse·
can en la misma recta
[
Figura 1.4
Dos planos se int(!r>e<an en
una recIa.
Figura 1.5
Los planos paralelos no
lienen pumos en comUn. x
6. Dos de los planos coinciden en llna recla L. El tercer plano es paralelo a L (y no contiene
a LJ, de manera que ningún punto del tercer plano se eneucntr<l en los dos primeros. No
existe una solución y el sistema es inconsisteIllc (vea la figura 1.6).
En todos los casos el sistema tiene llna solución única. un número infinito de soluciones o es
inconsistente. Debido a la dificultad que representa dibujar planos con exactitud. no ahonda-
remos mús en el tema. No obstante. es útil analizar cómo las ideas en el plano xy se pueden
extender a espacios mús complejos.
Figura 1.6
El plano 3 es p~ralelo a L,
la reUiI de intersección de
lo> planos t y2.
-.1'

SEMBLANZA DE •••
Carl Friedrich Gauss, 1777-1855
(<lrl Friedrich Gauss es considerado el matemático masgrande del
siglo XIX, ademas de uno de los tres matemáticos más importantes
de todos los tiempos (Arquímedes y Newton son los otros dos).
Gauss nació en Brunswick. Alemania, en 1777. Su padre. un
obrero amante del trilbajo. era excepcionalmente obstinado y no
creía en la educación formal. e hizo todo lo que pudo para evitar
que Gauss fuera a una buena escuela. Por fortuna para (ar! (y para
las matematicas), su madre, a pesar de que tampoco contaba con
educación, apoyó a su hijo en sus estudios y se mostró orgullosa
de sus logros hasta el día de su muerte a la edad de 97 años.
Gauss era un niño prodigio. A los tres años encontró un error
en la libreta de cuentas de su padre. Hay una anécdota famosa de
Carl, cuando tenia apenas 10 años de edad y asistia a la escuela
tocal de Brunswick. El profesor salia asignar tareas para mante-
ner ocupados a los alumnos y un dia les pidió que sumaran los
numeras del 1 all OO. Casi al instante, Cal1 colocó su pizarra boca
abajo con la palabra -listo': Después, el profesor descubrió que
Gauss era el único con la respuesta correcta, 5050. Gauss habia
observado que los números se podian arreglar en 50 pares que
sumaban cada uno 101 (1 + 100,2 + 99,ete.l, y 50 x 101 = 5050.
Años más tarde, Gauss bromeaba diciendo que poclla sumar más
rápido de lo que podía hablar.
A la edad de 15 años, el Duque de Brunswick se fijó en él
y lo convirtió en su protegido. El Duque lo ayudó a ingresar en
el Brunswick College en 1795 y, tres años después, a entrar a la
Universidad de Gottingen. Indeciso entre las carreras de mate-
máticas y filosofía, Gauss eligió las matematicas después de dos
descubrimientos asombrosos. Primero inventó el método de mí-
nimos cuadrados una dé<ada antes de que legendre publicara
sus resultados. segundo, un mes antes de cumplir 19 años, resol·
vió un problema cuya solución se había buscado durante más de
dos mil años: Gauss demostró cómo construir, con tan sólo una
regla y un campas, un polígono regular cuyo número de lados no
es múltiplo de 2, 3 o 5.-
El 30 de marzo de 1796, fecha de este descubrimiento, co-
menzó un diario que contenia como primera nota las reglas de
construcción de un polígono regular de 17 lados. El diario, que
contiene los enunciados de 146 resultados en sólo 19 paginas,
De manera más general, Gauss probó que un polígono regular de n
lados se puede construir con regla yc~ sr ysólo sr n es de la forma
n '" 2'p¡' PI" .p.dondek ~ Oylasp son números pnmos de Fermat
dishrnos. Los números prImOS de Fermat son ~ue4105 que toman la
forma 21" +1. los pnmeros CInco nUmeros pnnos de Fermat son 3, 5,
17,257y65537
es unos de los documentos más importantes en la hiSlOria de las
matemáticas.
Tras un corto periodo en Gottingen, Gauss fue a la Univer-
sidad de Helmstadt y, en 1798, a los 20 años, escribió su famosa
disertación doctoral. En ella dio la primera demostración mate-
mática rigurosa del teorema fundamental del álgebra que indica
que todo polinomio de grado n tiene, contando multiplicidades,
exactamente n raíces. Muchos matemáticos, incluyendo a Euler,
Newton y lagrange. habian intentado probar este resultado.
Gauss hizo un gran número de descubrimientos en física al
igual que en matemáticas. Por ejemplo, en 1801 utilizó un nue-
vo procedimiento para calcular, a partir de unos cuantos datos,
la órbita del asteroide Ceres. En 1833 inventó el telégrafo elec-
tromagnético junto con su colega Wilhelm Weber (1804-1B91).
Aunque realizó trabajos brillantes en astronomía y electricidad, la
que resultó asombrosa fue la producción matemática de Gauss.
Hizo contribuciones fundamentales al álgebra y la geometría y
en 1811 descubrió un resultado que llevó a Cauchy a desarrollar
la teoria de la variable compleja. En este libro se le encuentra en
el método de eliminación de Gauss-Jordan. los estudiantes de
análisis numérico aprenden la cuadratura gaussiana: una técnica
de integración numérica.
Gauss fue nombrado catedrático de matemáticas de GOt-
tingen en 1807 e impartió clase hasta su muerte en 1855. Aún
después de su muerte, su espíritu matemático siguió acosando
a los matemáticos del siglo llIx. Con frecuencia, un importante
resultado nuevo ya había sido descubierto por Gauss y se podia
encontrar en sus notas inéditas.
En sus escritos matemáticos Gauss era un perfeccionista
y tal vez sea el ultimo gran matemático que conocia práctica-
mente todo acerca de su área. Al añrmar que una catedral no
era una catedral hasta que se quitara el último de tos andamios,
ponía todo su empeño para que cada uno de sus trabajos publi-
cados fuera completo, conciso y elegante. Usaba un sello en el
que se vela un árbol con unas cuantas frutas y la leyenda pouco
sed moturo (pocas pero maduras). Gauss creía también que las
matemáticas debían reflejar el mundo real. A su muerte, Gauss
fue honrado con una medalla conmemorativa que llevaba la
inscripción -George V, Rey de Hanover, al príncipe de los ma-
temáticos':

22 CAPíTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
I!r_oJ>l.ema"-".~' _
AUTOEVALUACIÓN
1. ¿Cuál de los siguientes sistemas tiene la matriz de coeficientes dada a la derecha?
[
32-1]
O 1 5
2 O 1
a) 3.. + 2)' = -]
1'=5
2x = 1
e) Jx = 2
2x+y=0
-x + 5)' = 1
h) 3.. + 2:: = 10
2x+)'=0
- .. +5y+::=5
tI) 3x+2)'-::=-3
)'+5::= [5
2x+::=3
11. ¿Cuál de las siguientes es una 0llcración elelllen~al con renglones?
a) Reemplazar un renglón con un múltiplo diferente de cero de ese renglón.
h) Sumar una constante diferente de cero a cada elcmento en un renglón.
e) Intercambiar dos columnas.
á) Reemplazar un renglón con una suma de renglones y una constante dife·
rente de cero.
111. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre la matriz dada'?
[
1 OO 3]
O 1 1 2
O O O 3
O O O O
a) Está en la forma escalonada por renglón.
b) No está en la forma escalonada por renglón porque el cuarto número en el
renglón 1 no es l.
e) No está en la forma escalonada por renglón porque el primer elemento
diferente de eero en el renglón 1es 3.
d) No eSlá en la forma escalonada por renglón porque la última columna con-
tiene un cero.
IV. ¿Cuál de las siguicntl'S afirmaciones t$ cierta sobre el sistema dado?
x+ y+ z=3
2x + 2y + 2= = 6
3x+3y+3z= 10
a) Tiene una solución única x = 1, Y = 1, == 1.
h) Es inconsistente.
e) Tiene un número infinito de soluciones.

I.J m ecuaciones con n incógnitas 23
En los problemas del 1al 26 utilice el mctodo de eliminación de Gauss-Jordan par;¡ encontrar.
si existen. lodas las soluciones para los sistemas dados.
1. XI - 2x! + Jx, = 11 2. -2-"1 + Xl + 6x) = 18
4x1
+ Xl - x.I = 4 5.'1 + 8.') = -16
2."1 - x! + 3.') = 10 3.'1 + 2.", -
10x~ = -J
). -2-"1 + .') = O 4. JX1 + 6x1
- 6."] = 9
Xl + 3xJ
= 1 2.'1 - 5x! + 4x] = 6
XI - x! = -) -XI + 16."1 - 14.") = -)
5. 3x1
+ 6x2
- 6x, =9 6. -2', - 6x1
- 3.", =9
2"1 - 5x2 + 4-'"1 = 6 -XI + x2
- Xl = 1
5xI
+ 28x2
- 26.", = -8 XI - x2
+ 2x, = 2
7. XI + Xl - xj = 7 8. XI + x2
- xJ
= 7
4."1 - x2 + 5xj
=4 4.'1 - x, + 5x.l =4
2x1
+ 2."2 - 3.", = O 6.'1 + x, + 3xj = 18
9. XI + x, - X, = 7 10. XI - 2.', + 3xJ
= O
4x, - x. + 5xl
=4 4xl + x. - xJ
= O
6-,", + x, + 3x) = 20 2x, - x2 + 3.Yj
= O
11. -2', - Xl + 3.~·1 =0 12. XI + x, - Xl =0
-3-'"1 + 4.", - x, =0 4."1 - Xl + 5xl
=0
5xI + 3.1 + 2x, = O 6-"1 + x, + 3xJ
=0
13. 2x, + 5x, = 6 14. XI + 2.', - XI =4
x, lx) = 4 3x1 + 4x, - 2', = 7
2xl + 4x, = -2
15. Xl + 2', - 4xj
= 4 16. XI + 2-, - 4xj
= 4
-2x1
- 4.', + 8.') = -8 -2", - 4.'2 + 8x] = -9
17. Xl + 2.", - xJ
+ xJ
= 7 18. -XI + h, - x, + 3xJ
=4
3."1 + 6x! -3x; + 3x4
= 21 -3x, + 6x! -3x; + 9x4
= 12
19. 2xI + 6x2 -4x; + 2x4
=4 20. XI - 2x2 + xJ + x4
= 2
XI - X, + x. = 5 3xI + 2x; - 2x4
= -8
-3xl + 2x2
-2x) = -2 4x, - , - x. = 1
. ,
-x, + 6x2
- Ix) = 7

24 CAl'iTUl-O I Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
21. -2."1 + X~ == I
4X~-."3 =-]
X'+."1 :-3
23. XI - 2"1 + x, + x~ = 2
3."1 + 2.") - 2x~ = -8
4."1 - Xl - x~ = ,
5."1 + 3x, - x. =O
25. XI + Xl =4
2."1 -3x! = 7
3."1 -2."1 =
"
22. XI - 2x~ + xJ
+ x~ = 2
3.") + 2.".• - 2x~ = -8
4."1 - xJ
- x~ = I
5.", + 3x, -
x~ = -3
24. XI + ."1 =4
2x, -3x~ = 7
3x1
+2x1 = 8
26·-2."1+."1=0
XI + 3."1 = 1
3xl
- x1
=-3
En los problemas 27 a 38 delermine si la malriz dada se encuentra en la forma escalonada por
renglones (pero no en la forma escalonada reducida por renglones). en la forma escalonada
reducida por renglones o en ninguna de las dos.
[~
,
~) [~
O
-~] [~
O
~] [~
O
~)
27. , 28. , 29. , 30.
O O O O O
[~
O O
~) [~
, 4
:] [r
, O
~] (~ ~)
O , O ,
31. 32. O , 33. O O 34. , 3
O O O O O O
[~ r] [~
O
~] [~
O O
~]
35. (~ O 3
~) 36. 37. O 38. , O
O O
O , I
En los problemas 39 a 46 utilice las operaciones elementales con renglones p<,ra reducir las
m.mices dadas a la forma esc:.lonada por renglones y a la forma escalonada reducida por
renglones.
40. (-' 6)
4 2
45. ( ; -6 -3)
10 5
39. (; ;)
43. U
-~ :] 44 ( ~ -4 -2)
I 6
41.
[~ -~ ;] 42. [-~ -~ -~]
5 6 -2 -1 1
46. U~~]
47. En el modelo de insumo-producto de Leontief del ejemplo 9 suponga que se tienen tres
ind llstrias. Mús aun. suponga que (-'1 = 10. e! = 15. e} "" JO. {/II =;. al! = t, an = *.all = ¡.
al! =¡. (/1.1 =*.a J1 = T!' (/J! = t, (ljJ = *. Encuentre la producción de cada industria tal qlIe
la oferta sea igual a la demanda.

48. En el ejemplo 8 suponga que cada scmana se suministran al lago 15000 unidades del pri-
mer alimenlo. 10 000 del segundo y 35 000 del tercero. Considerando que todo alimento se
consume. ¿qué población de las tres especies puede eoexistir en el lago? ¿Existe una solu-
ción única?
49. Un viajero que acaba de regresar de Europa gastó $30 diarios en Inglaterra. 520 diarios
en Francia y 520 diarios en Espaila por concepto de hospedaje. En comida gastó 520 dÍ<l-
rios en Inglaterra. 530 diarios en Francia y 520 diarios en Espaila. Sus gastos adicionales
fueron de 510 diarios en cada pais. Los registros del viajero indican que gastó un total de
5340 en hospedaje. 5320 en comida y $140 en gastos adicionales durante su viaje por estos
tres paises. Calcule el número de días que pasó el viajero en cada pais o muestre que los
registros son incorrectos debido a que las CHntidades gastadas no son compatibles una con
la otra.
50. Una inversionista le afirma a su corredor de bolsa que todas sus acciones pertenecen a tres
compaiiías: Delta Airlines. Hilton Hotels y McDonald·s. y que hace dos días su valor bajó
$350 pero que ayer aumentó S600. El corredor recuerda que hace dos días el precio de las
acciones de Delta Airlines bajó SI por cada una. mientras que las de Hilton Hotels bajaron
SI.50. pero que el precio de las ¡¡cciones de McDonald·s subió 50.50. También recucrda que
ayer el precio de las acciones de Delta subió 51.50 por acción. el de las de Hilton i-Iotels
bajó otros 50.50 por acción y las de McDonald·s subieron $1. Demuestre que el corredor
no cuenta con la información suficiente para calcular el numero de accioncs que posee la
inversionista en cada compallia. pero que si ella dice tener 200 acciones de McDonald·s. el
corredor pueda calcular el número de acciones que posee en Delta yen Hilton.
51. Un agente secreto sabe que 60 equipos aereos. que consisten en aviones de combate y
bombarderos. se encuentran estacionados en cierto campo aereo secreto. El agente quiere
determinar cuántos de los 60 equipos son aviones de combale y cuúntos son bombarderos.
Existe. además. un tipo dc cohetc que llevan ambos aviones: cl de combate lleva 6 de ellos y
el bombardero sólo 2. El agente averigua que se requieren 250 cohetes para armar a lodos
los aviones del campo aéreo. Alin más. escucha que se tiene el doble de aviones de combate
que de bombarderos en la base (es decir. el nlllnero de aviones de combate menos dos ve-
ces el número de bombarderos es igual a cero). Calcule el nlimero de aviones de combate
y bombarderos prescntes en el campo aéreo o muestre que la información del agente es
incorrecta debido a su inconsistencia.
52. Una embotelladora de refrescos desea cotizar la publicidad de sus productos en televisión.
radio y revista. se tienen tres propuestas del plan de medios de acuerdo con el presupuesto
asignado acerca de 1:t cantidad de anuncios por medio en el transcurso de un mes. En el
primer presupuesto cada anuncio en televisión tiene un coste de 5250000. en radio S5 000
yen revista 530000. En el segundo presupuesto $310 000. 54000 y $15 000 y en elt'Jltimo
presupuesto $560000.510000 y $35000. Los totales por presupuesto son los siguientes:
$21 795000.531 767000 Y$61225000. Determine la cantidad de anuncios cotizados por
cada medio.
53. Considere el sistema
2.'1 - x! + 3x) = {/
3.'1 + x! - 5xJ
= b
-5x1
- 5x2
+ 21xJ
= ('
Muestre que es inconsistente si ('"F 2(/- 3h.

26 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
54. Considere el sistema
2x, + 3x, - xJ =
"
x, - x! + 3xJ =b
3.", - 7x, - 5x, =,
Encuentre las condiciones sobre ti. b y (" para que el sistema sea inconsistente.
*55. Considere el sistema general de las tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:
(IIIX. + (llr"~ + (ln."} = b1
(1:1"" + ti!!.": + ti!!","} = b!
Encuentre las condiciones sobre los coeficientes (1., pam que el sistema tenga una solución
unica.
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUAClóN
l. Ú) 11. a) 111. el IV. bJ
MANEJO DE LA CALCULADORA
La calculadora HP50g puede resolver en rorma numérica sistemas de 111 ecuaciones con
11 incógnitas. Cuando el sistema liene infinitas soluciones. la solución reportada es la
solución de norma mínima. Cuando el sistema es inconsistente la solución reportada es
la solución de minimos cuadrados.
Una posible secuencia de pasos p<lTa encontrar la solución de un sistema de ecua-
ciones se observa en el siguicntc procedimiento (no es el único. en el capitulo 11 del
manual del usuario se incluyen olros procedimientos).
2x + 4y - 6: = 14
3x-2,1'+ :=-3
4x + 2y - : = -4
l. Existen diferentes formas de introducir una matriz aumentada. la más sencilla es
la siguiente:
( ENTER) ( ENTER)
Guardamos la matriz aumentada en la variable AAUG utilizando la sigucnte se·
cuencJa
2. Se encuentra la forma escalonada reducida por renglones de AAUG.
( ..., ) MATRICES

.. ;
""
IIITRIctS IltOU
t. CRElHL_
<,.oPUllIol'JS ..
3. rICToRIZtHIoO..
'l. o,"!UAbRITIC f"oRII..
....""." u
Ii. LIntAR APf"l•.
7. EIGtnvtcTClRS ..
a. VECToR ..
..'"
HtX 1';= '~: ' AL, I
:HOII IIfltRIX LIl"ltflR S'o':S:. Iltnu
····'8"'9
<'.Rtf"
3' .rr<l.f
'LflR[f"
S.S'o'ST2'lIflT
li.llflTflICtS •.
seguido de las tedas [5] para seleccionar sistemas lineales y [4] para enconlrar la for-
ma escalonada reducida por renglones (RREF).
El resultado es
Así'XI
= -l. etcétera.
En los problemas 56 a 60 utilice una calculadora P,ln! resolver cada sistema.
56. 2.6."1 - 4.3."1 + 9.6x1
-8.5x1+ 3.6."1 + 9.1.".1
12.3."1 - 8.4-'1 - 0.6.",
= 21.62
14.23
12.61
57. 2."1 - x, - 4."~ = 2
xl - Xc + 5.".1 + 2."~ =-4
3."1 + 3x1 - 7.") - .~ = 4
-."1- 2."1 + 3.'_, =-7
58. 1.247."1 - 2.583.", + 7.161.".1 + 8.275.". 1.205
3.472."1 + 9.283'"1 + 11.275x, + 3.606."4 2.374
-5.216x1-12.816."e - 6.298.') + 1.877x.¡ 21.206
6.812xl
+ 5.223.1+ 9.725.".. -2.306.".1 = -11.466
59. 23.42.-1 - 16.89.",+ 57.3Ix, + 82.6.".. 2158.36
-14.77."1 - 38.29.",+ 92.36x.1
- 4.36."~ = -1123.02
-77.21."1 + 71.26.",- 16.55.".1 + 43.09.". 3248.71
91.82."1 + 81.43.",+ 33.94..1 +57.22."~ = 235.25
611. 6.1."1- 2.4."::+ 23.3.".,-16.4.". - 8.9."5 =
-14.2."1 - 31.6."1 - 5.8''"3 + 9.6.". + 23.1.", = -
10.5'-1 + 46.1."1 - 19.6.".1 - 8.8x. - 41.2."5 =
37.3."1 - 14.2."1 + 62.0x1
+ l4.?x.¡ - 9.6."j =
0.8."1 + 17.7."! - 47.5.") - 50.2."4 + 29.8xj =
121.7
87.7
10.8
61.3
27.8
Más ejercicios
En los problemas 61 a 65 calcule I¡¡ forma escalonada por renglones (REF en lugar de RREF)
para cada matriz aumentada.

28 CAPill.1.O 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
61. La matriz del problema 57
63. La matriz del problemH 59
En los problemas 66 a 71 cncuenlrc todas las soluciones. si las hay. para cada sistem¡l. Redon-
dee todas las respuestas a tres lugares dccimales.ISlIgert'lIda: Primero obtenga la forma escalo-
nada reducida por renglones de la matriz ¡lUmentada.!
66. 2.1."1 + 4.2x1
- 3.5.") = 12.9
-5.9.'1 + 2.7."1 + 9.8.", = -1.6
67. -13.6'·1+71.8x~+46.J.·-, =-19.5
41.3."1 - 75.0-'"1 - 82.9x, = 46.4
41.8xl
+65.4.": - 26.9x, 34.3
68. -13.6."1 + 71.8."1 + 46.3.", = 19.5
41.3x¡ - 75.0-,! - 82.9.") = 46.4
41.8.", + 65.4."1 - 26.9.", = 35.3
69. 5xI
- 2', + Jlx) - 16x~ + 12."-, ~
105
-6."1 + Sx. 14.") - 9x~ + 26."-, ~ -62
7xI
- 18."1 11-1 + 21x~ 2x$ ~ 5)
70.
71.
5xI - 2."1
-6."1 + 8x~
?xl - 18x~
-15xl
+ 42x~
5x, - 2x~
-6x1
+ 8x~
7x, - 18x~
~15xt + 42x:
+ Ilx,-
14.', -
12.') +
+ 21x) -
+11.-
14x, -
12x) +
+ 2Jx) -
16x~
9x.
21x~
17x.
16x.
9x~
21x~
11x~
+ 12x~ = 105
+ 26x, = -62
- 2''5 = 53
+ 42x = -63
+ 12x5 = J05
+ 26x5
= -62
- 200
5
= 53
+ 42"5 = 63
• INTRODUCCiÓN A MATLAB
Ejemplos de comandos básicos de MATlAB
¡lA TLA B lli.'';IIgm' mimio·(·IIIt,.~.r"/(IJ"lÍsn¡f"o~. Esto quicre decir que ti y A representan variables
diferentes.
¡IIIrodUlTión dI! mutriC/!$. Los elementos de un renglón se separan por espacios y las columnas
se separan por ":
A = 1I 2 3:4 5 6:7 8 91
[
12 3]
Produce la matriz A = 4 5 6
7 8 9

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