El documento describe diferentes configuraciones de electrodos de conexión a tierra y cómo calcular matemáticamente su resistencia a tierra. Explica que los electrodos ideales tienen geometría regular como esferas o cilindros y resistencia nula. Luego detalla dos métodos para calcular la resistencia de cuerpos irregulares basados en dividirlos en capas o hilos. Finalmente, presenta fórmulas para calcular la resistencia intrínseca de configuraciones como esferas parcialmente enterradas o mallas en cerros.

1. ELECTRODOS DE CONEXIÓN A TIERRA, IDEALES Determinación matemática de las Ecuaciones de la Resistencia a Tierra Por: Ing. L. Valer

2. 1. Electrodos de conexión a tierra ideales: ¿Qué se entiende por un Electrodo de conexión a Tierra? A un conjunto de conductores de muy baja resistencia propia (cobre, hierro u otros metales y elementos de baja resistividad), interconectados entre sí, soterrados y en contacto eléctrico directo con el material del cual está formado el suelo; con el objeto de utilizar La Tierra como elemento físico conductor de corrientes eléctricas entre puntos distantes. ¿Porqué Ideales? Porque se refiere a electrodos, de resistencia propia nula (o despreciable), cuya geometría corresponde a cuerpos de simetría axial regular, como esferas, conos o cilindros, entre otros, y diversas combinaciones de cuerpos geométricos, interconectados entre sí, de tal manera que formen un conjunto o “malla” de electrodos de simetría axial regular. Con este tipo de electrodos ideales el campo eléctrico resultante, así como la geometría de las superficies equipotenciales generadas a su alrededor, se pueden determinar matemáticamente con relativa facilidad, lo que permite integrar las respectivas ecuaciones representativas de la resistencia a tierra. Dado que en los metales y elementos conductores las cargas eléctricas libres existentes en su interior no encuentran resistencia para moverse, al repelerse mutuamente, migran hacia las superficies exteriores más distantes del centro, distribuyéndose por la superficie exterior hasta que se establece un equilibrio energético entre ellas. La superficie se transforma en una superficie equipotencial.

3. 2.- Concepto de Resistencia y Conductancia de un cuerpo irregular: ¿Qué es Resistencia Eléctrica? Es la diferencia de tensión por unidad de corriente que es necesario aplicar entre dos superficies de un cuerpo para que entre ellas circule una corriente eléctrica. Qué es Conductancia Eléctrica? Es la corriente por unidad de tensión que circula entre dos superficies de un cuerpo cuando entre ellas se aplica una diferencia de tensión. Corresponde al valor recíproco de la resistencia eléctrica. Según la Ley de Ohm, la resistencia eléctrica o la conductancia, quedan definidas de la siguiente manera: En estas expresiones: ΔU : Es la caída o diferencia de tensión entre dos superficies equipotenciales extremas del cuerpo, expresada en voltios [V]. I : Es la corriente que circula entre ambas superficies equipotenciales , expresada en amperios [A]. R : Es la resistencia eléctrica del cuerpo expresada en ohmios [Ω] ó [V/A]. Y finalmente G : Es la conductancia eléctrica, expresada en siemens [S] ó [A/V].

4. Si aplicamos en la Fig. 1 ; la Primera Ley de Kirchoff ó Ley de la corriente y la Segunda Ley de Kirchoff o Ley del Voltaje. Dan lugar a que: Figura 1

5. Si cuerpos irregulares como los de la Fig. 2, fueran conectados en paralelo, la corriente I se distribuye en cada uno de ellos según su conductancia. Puesto que: Y: Entonces fácilmente se calcula la Conductancia Total de la conexión , que será: Sin embargo, a nivel de diseño, el problema consiste en calcular su resistencia a partir de su geometría y de las características conductivas del material del cual estén hechos estos cuerpos irregulares. Figura 2

6. Si se utiliza un fragmento o un trozo de material irregular como el de la Fig. 3 , limitado por dos fragmentos de superficie y entre las cuales se hace circular una corriente I . Si la conductancia o la resistencia, está dada por: Donde: Δ G Es la conductancia del fragmento. ΔR Es la resistencia del fragmento. Δr Es la distancia entre las superficies exteriores. ΔS Es el fragmento de Superficie del cuerpo, normal al paso de la corriente I . ρ Es la resistividad del material del cual está compuesto el fragmento . Nos permite calcular, primero, la Conductancia de cada “cáscara” de Superficie S y espesor Δ r . Y segundo, la Resistencia de cada “hilo” de largo r y sección Δ S . Figura 3

7. Primer Procedimiento: A) Cálculo de la Conductancia total de las “cáscaras” de Superficie “ S ” de espesor “ Δ r “ limitadas por superficies equipotenciales consecutivas: La conductancia G de cada “cáscara” es la suma (integral) del aporte a la conductancia total de cada uno de los fragmentos de superficie infinitesimal δ S limitados por las mismas superficies equipotenciales: B) Cálculo de la Resistencia total del cuerpo de longitud “ r ”: A partir del valor recíproco de la conductancia de cada “cáscara” se calcula la resistencia total por integración a lo largo del recorrido “ r ”: Segundo Procedimiento: A) Cálculo de la Resistencia total de “hilos” de largo “ r ” y de sección “ Δ S ”. La resistencia R de cada “hilo” es la suma (la integral) del aporte a la resistencia total de cada trozo de largo infinitesimal δ r , a través de los cuales circula una misma corriente δ I , entre las superficies equipotenciales extremas: A partir del valor recíproco de la resistencia de cada “hilo” se calcula la conductancia total del cuerpo: B) Cálculo de la Conductancia total del cuerpo de superficie “ S ” entre las dos superficies equipotenciales externas:

8. 3.- Concepto de Resistencia Intrínseca o Resistencia a Tierra.- Supongamos dos electrodos esféricos enterrados o sumergidos de radios “ a ” y “ b ”, muy distantes entre si. Fig. 4 . Δ U: Voltaje aplicado. I : Corriente generada.. R T : Resistencia Total. R a :Resistencia del medio entre la superficie exterior de la primera esfera y una superficie equipotencial distante. R b :Resistencia del medio entre dicha superficie equipotencial distante y la superficie exterior del segundo electrodo. R c :Resistencia interna de los conductores y de los electrodos. Figura 4 Figura 5

9. Si los electrodos están lo suficientemente distantes entre sí, el campo eléctrico alrededor de cada uno tendrá simetría radial esférica. Esto significa que la corriente total I se difundirá en dirección radial, traspasando en forma homogénea toda la superficie de cada una de las esferas concéntricas equipotenciales que se generan alrededor de los electrodos. Si se considera que el medio es isótropo e infinitamente extendido, la resistividad del medio puede considerarse constante. En ese caso la conductancia G de una “cáscara” de radio r , de espesor Δr es: La superficie Sr de una esfera de radio r es: Por lo tanto la conductancia Gr de cada “ cáscara” esférica de espesor Δr es: De manera que la resistencia eléctrica total Rar , entre la superficie del electrodo de radio “ a ” y la esfera equipotencial de radio “ r ”, es: Integrando entre los límites señalados, se tiene: En el límite, cuando la distancia a “ r ” tiende a infinito, la resistencia Rar corresponde a la resistencia entre la superficie equipotencial del electrodo de radio “ a ” y una esfera equipotencial de radio infinito: Análogamente la resistencia del segundo electrodo con respecto al medio es:: El valor de las resistencias Ra y Rb , así definidos, no son infinitas. Por el contrario; tienen un valor finito, que depende exclusivamente de las dimensiones exteriores de los electrodos y de la resistividad del medio que los rodea. Este valor es, por definición, la resistencia intrínseca del electrodo con respecto al medio. Cuando se trata de mallas de tierra este valor se conoce como resistencia a tierra .

10. Este interesante resultado nos indica que es posible interconectar dos puntos de La Tierra, arbitrariamente distantes entre sí, con una caída de tensión que solo depende de las dimensiones exteriores de los electrodos y de la resistividad del medio que rodea a cada electrodo. En las gráficas de la Fig.7 se muestra un ejemplo en el que se observa como varia el valor de la resistencia Rar y el de la resistencia Rbr desde la superficie de cada electrodo hasta una superficie equipotencial de radio r . Las cifras están referidas a electrodos esféricos de 5 [m] y 2 [m] de radio, respectivamente ó 10 [m] y 4 [m] de diámetro, inmersos en un medio homogéneo, cuya resistividad es de 50 [Ω m]. La aplicación de la fórmula deducida para la resistencia intrínseca (resistencia a tierra) conduce a los siguientes resultados: Si se aplica una tensión de 231 [V] entre los electrodos de éste ejemplo, la corriente en el circuito será de 82,5 [A]; cualquiera que sea la distancia entre los electrodos , 500 m ó 500 Km. Si Rc ≈ 0; entonces : = 0,8 + 2,0 = 2,8 [ Ω ] : Luego la corriente total será:

11. 4. Resistencia a Tierra de configuraciones geométricas típicas; esfera equivalente. A) Esfera parcialmente enterrada Normalmente las mallas de tierra se entierran a profundidades relativamente superficiales, de tal manera que el flujo se propaga solo por debajo del nivel del suelo y no por el aire. En el dibujo de la Fig. 8 se muestra un electrodo esférico de diámetro D , semienterrado, cuyo centro se encuentra a una profundidad h . En este caso la superficie útil o activa de el electrodo es la que corresponde solo a la parte enterrada. El campo eléctrico en el medio por el que se propaga la corriente, tiene simetría parcialmente esférica. La corriente se difunde en forma radial, atravesando “cáscaras” de espesor Δr , cuya superficie es: Para esta superficie de propagación la Conductancia de la “cáscara” situada a la distancia “r” es: Reemplazando, ordenando e integrando entre límites, la resistencia Rar entre la superficie del electrodo de radio “ a ” y una superficie equipotencial situada a la distancia “ r ” es:

12. En el límite, cuando “ r ” tiende a infinito, se obtiene el valor de la resistencia intrínseca de éste electrodo Re (resistencia a Tierra): Para: h < a : Para: h = 0 : Para: h = a : Para: h > a : Para: h >> a :

13. B) Mallas de Tierra en cumbres de Cerros Escarpados.- Es muy frecuente que sea necesario construir mallas de tierra para estaciones ubicadas en la cumbre de cerros muy escarpados, Fig. 9. En esos casos es necesario considerar que las superficies equipotenciales por las que se propaga la corriente quedan inscritas en un tronco de cono limitado por las laderas del cerro, cuyo ángulo “ α ” al centro puede ser bastante pequeño. La Superficie S α del casco esférico es: En éste caso , la conductancia del casco esférico de espesor Δ r , a la profundidad “ r ”, es: Por lo tanto, la resistencia a tierra Rar : entre la superficie del electrodo y una superficie equipotencial a la profundidad “ r ” es : En el límite, cuando “ r ” tiende a infinito: Resolviendo la identidad trigonométrica, tendremos la expresión buscada:

14. C) Varillas Verticales En muchas aplicaciones de acostumbra a utilizar como electrodo de tierra una sola varilla vertical enterrada al frente o bajo los equipos eléctricos. Para calcular la resistencia a tierra de una varilla vertical es necesario considerar que el campo eléctrico alrededor de un electrodo cilíndrico vertical tiene simetría cilíndrica y simetría semiesférica en la punta. En el croquis de la Fig. 10 se muestra una varilla de diámetro “ d ” enterrada una profundidad “ l ”. La resistencia de la “cáscara” de espesor “ Δ r” está compuesta, en este caso, por un tubo cilíndrico de radio “ r ” y largo “ l ” conectado en paralelo con una “cáscara” semiesférica del mismo radio. El valor del incremento de resistencia “ δ Rr ” es, por lo tanto: Donde: Sr L Es la superficie del manto cilíndrico equipotencial de radio “ r ” y de largo “ l ”. Sr D Es la superficie de la semiesfera equipotencial (en la punta) de radio “ r ”. Para: El valor de la resistencia entre la superficie de la varilla y una superficie equipotencial de radio “ r ” se obtiene integrando entre los límites señalados:

15. Bibliografía: “ Electrodos a Tierra”; Ernesto Bianchi, 2001 “ Sistemas de Puesta a Tierra”; Ing. Luis Valer., 2008

16. FIN