Ley de Gauss resumen

1. U 1. FUERZAS ELECTRICAS Y CAMPOS ELECTRICOS
La carga eléctrica. Conductores y aisladores. Interacción
electrostática: Ley de Coulomb. Campo eléctrico. Líneas de campo.
Principio de superposición, principios de cuantificación y
conservación de la carga eléctrica. Campos eléctricos creados por
distintas configuraciones de carga. Movimiento de una carga
puntual en un campo eléctrico. Campo eléctrico debido a
distribuciones continuas de carga. Dipolo eléctrico. Fuerza eléctrica
sobre un dipolo. Flujo del campo eléctrico. Ley de Gauss.
Aplicaciones de la ley de Gauss.
ELECTROSTÁTICA
Bibliografía
P.A. Tipler y G. Mosca, “Física para la ciencia y la tecnología. Volumen 2”, cap 21 y 22, Reverté, Barcelona (2005)
R.A. Serway y J.W. Jewett, Jr., “Física II. Texto basado en cálculo”, Cap 23 y 24, EditorialThomson, México (2004).

2. Fuerzas eléctricas

3. El efecto triboeléctrico es un tipo de
electricidad causado por el contacto con otro
material (por ejemplo el frotamiento directo).
La polaridad y la magnitud de las cargas
producidas se diferencian según los
materiales, la aspereza superficial, la
temperatura, la tensión, y otras
características. Se denomina triboelectricidad
(del griego tribein, "frotar"1​ y ἤλεκτρον,
electrón, "ámbar") al fenómeno de
electrificación por frotamiento. La
electrostática, puede producirse por
frotamiento o por inducción electrostática (no
confundir con inducción electromagnética).
Wikipedia
Efecto triboeléctrico

4. Ley de Coulomb
Permitividad del vacío (aire): ℇ0 = 8,85 × 10−12 ⁄
𝐶𝐶2
𝑁𝑁 � 𝑚𝑚2
Balanza de torsión de
Coulomb (Cavendish)
Unidad de carga eléctrica: 𝐶𝐶 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝐴𝐴 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 � 𝑠𝑠
Ley de Coulomb Ley de la gravitación
Notar la similitud formal
entre la ley de Coulomb y
la ley de la gravitación
Charles-Augustin de Coulomb
Angulema, Francia; 14 de
junio de 1736-París, Francia;
23 de agosto de 1806) fue un
matemático, físico e ingeniero
francés. Se le recuerda por
haber descrito de manera
matemática la ley de atracción
entre cargas eléctricas. En su
honor, la unidad de carga
eléctrica lleva el nombre de
culombio (C).
⃗
𝐹𝐹 = 𝑘𝑘
𝑞𝑞1𝑞𝑞2
𝑟𝑟2 ̂
𝑟𝑟
⃗
𝐹𝐹 = −𝐺𝐺
𝑚𝑚1𝑚𝑚2
𝑟𝑟2 ̂
𝑟𝑟
𝑘𝑘 =
1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
= 8,99 × 109
𝑁𝑁 � ⁄
𝑚𝑚2
𝐶𝐶2

5. Propiedades de las cargas eléctricas
y la interacción eléctrica
Cuantización de la carga eléctrica
Principio de superposición
Principio de conservación
de la carga eléctrica
En todo proceso electromagnético
la carga total de un sistema aislado
se conserva.
Los experimentos demuestran que cuando dos cargas
ejercen fuerzas de manera simultánea sobre una tercera
carga, la fuerza total que actúa sobre esa carga es la suma
vectorial de las fuerzas que las dos cargas ejercerían
individualmente
𝑞𝑞 = 𝑛𝑛𝑛𝑛. 𝑛𝑛 = ±1, ±2, ±3, … ,
𝑒𝑒 = 1,602 × 10−19 𝐶𝐶
Todas las cargas de la naturaleza
son un múltiplo entero de la carga
fundamental 𝑒𝑒 del electrón.
Generación de pares electrón(-)-positrón(+) en la
desintegración fotónca (neutro)

6. Campo eléctrico
𝐸𝐸 =
⃗
𝐹𝐹
𝑞𝑞0
=
1
𝑞𝑞0
� 𝑘𝑘
𝑞𝑞𝑞𝑞0
𝑟𝑟2 ̂
𝑟𝑟 = 𝑘𝑘
𝑞𝑞
𝑟𝑟2 ̂
𝑟𝑟
Completar el dibujo con
todos los vectores de
campo eléctrico
siguiendo el principio de
superposición y resolver
el campo neto en el
punto C.
̂
𝑟𝑟
̂
𝑟𝑟
̂
𝑟𝑟

7. Determinación del campo eléctrico causado por cuatro cargas puntuales
en un punto ubicado en el centro de la configuración de cargas.

8. Campo eléctrico de una carga puntual
𝐸𝐸 = 𝑘𝑘
𝑞𝑞
𝑟𝑟2
̂
𝑟𝑟
Si se introduce una carga puntual Q en el espacio,
sobre la carga se ejercerá una fuerza igual a:
⃗
𝐹𝐹 = 𝑄𝑄𝐸𝐸 = 𝑘𝑘
𝑄𝑄𝑞𝑞
𝑟𝑟2
̂
𝑟𝑟
Donde 𝐸𝐸 es el valor del campo en el punto donde se
sitúa la carga Q
Q
⃗
𝐹𝐹

9. Calculo del campo para una distribución continua de cargas
Propiedades de simetría

10. Fuerza eléctrica sobre una carga en movimiento
Ejercicio:
Un electrón entra a la región de
un campo eléctrico uniforme,
como se muestra en la figura ,
con vi =3.00 × 106 m/s y E = 200
N/C. La longitud horizontal de
las placas es L= 0,1 m.
Determinar la distancia que se ha
desplazado en la dirección del
eje y al salir de las placas.

11. Líneas de campo eléctrico: cargas aisladas, dipolo, placas cargadas

12. https://phet.colorado.edu/es/simulations/charges-and-fields

13. Ejemplos de carga
inducida y
adherencia estática
Líneas de campo para dos cargas
de diferente magnitud, enfrentadas

14. Fuerza sobre un dipolo
�
⃗
𝜏𝜏 = ⃗
𝑝𝑝 ∧ 𝐸𝐸 (𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣
�
𝑈𝑈 = − ⃗
𝑝𝑝 � 𝐸𝐸 (𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
⃗
𝐹𝐹 = 𝑞𝑞 ⋅ 𝐸𝐸
⃗
𝐹𝐹 = −𝑞𝑞 ⋅ 𝐸𝐸
+𝑞𝑞
−𝑞𝑞
d
⃗
𝑝𝑝
Módulo: ⃗
𝑝𝑝 = 𝑞𝑞 ⋅ 𝑑𝑑
Dipolo eléctrico
Dirección de 𝒑𝒑: la de la recta que une las cargas
Sentido: de la carga negativa a la positiva .

15. Ley de Gauss
La ley fue formulada por Carl
Friederich Gauss en 1835, pero no
fue publicado hasta 1867. Esta es
una de las cuatro ecuaciones de
Maxwell que forman la base de la
teoría electrodinámica clásica (las
otras tres son la ley de Gauss para el
magnetismo, la ley de Faraday de
la inducción y la ley de Ampère
Maxwell, que veremos a lo largo del
curso
Serwey, Jewett F Í S I C A para ciencias e ingeniería, Volumen 2, 7ma edición con Física Moderna, Cap 24

16. Ley de Gauss
Flujo de un campo vectorial
Flujo del campo eléctrico 𝐸𝐸 a través de la superficie A:
Φ = 𝐸𝐸 � ⃗
𝐴𝐴 = 𝐸𝐸𝐴𝐴 cos 𝜃𝜃
La definición de flujo de campo vectorial es la misma se introduce en la dinámica de los fluidos para
definir el caudal y el principio de continuidad para fluidos incompresibles (conservación de la masa).
Φ = ⃗
𝑣𝑣1 � ⃗
𝐴𝐴1 = ⃗
𝑣𝑣2 � ⃗
𝐴𝐴2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = Φ � ρ con ρ = densidad
𝐸𝐸
𝐸𝐸 𝐸𝐸 𝐸𝐸

17. El flujo de campo eléctrico Φ a través de una
superficie gausiana (cerrada) es proporcional al
número de líneas de campo que pasan a través
de la superficie.
Flujo de campo eléctrico,
Superficie cerrada
Φ = �
𝑆𝑆
𝐸𝐸 � 𝑑𝑑 ⃗
𝐴𝐴 = �
𝑆𝑆
𝐸𝐸 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 � cos 𝜃𝜃
Φ = � 𝐸𝐸 � ∆ ⃗
𝐴𝐴 = � 𝐸𝐸 � ∆𝐴𝐴 � cos 𝜃𝜃

18. Ejemplos de flujo de campo eléctrico
1
2
3
Φ = �
𝑆𝑆
𝐸𝐸 � 𝑑𝑑 ⃗
𝐴𝐴

19. 1
2
3
Φ = �
𝑆𝑆
𝐸𝐸 � 𝑑𝑑 ⃗
𝐴𝐴 = Φ1 + Φ2 + Φ3 = 0
Φ2 = �
𝐴𝐴2
𝐸𝐸 � 𝑑𝑑 ⃗
𝐴𝐴 = 0
Φ3 = �
𝐴𝐴3
𝐸𝐸 � 𝑑𝑑 ⃗
𝐴𝐴 = �
𝐴𝐴3
𝐸𝐸 � 𝑑𝑑𝐴𝐴 = 𝐸𝐸 � �
𝐴𝐴3
𝑑𝑑𝐴𝐴 = 𝐸𝐸 � 𝐴𝐴
Φ1 = −Φ3
Ejemplos de flujo de campo eléctrico
Φ1 = �
𝐴𝐴1
𝐸𝐸 � 𝑑𝑑 ⃗
𝐴𝐴 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 180° �
𝐴𝐴1
𝐸𝐸 � 𝑑𝑑𝐴𝐴 = −𝐸𝐸 � �
𝐴𝐴1
𝑑𝑑𝐴𝐴 = −𝐸𝐸 � A

20. Ejemplo flujo de campo eléctrico:
Considere un campo eléctrico uniforme E
orientado en la dirección x en el espacio
vacío. Encuentre el flujo eléctrico neto a
través de la superficie de un cubo con arista
orientado como se muestra en la figura..

21. Ejemplo Ley de Gauss:
Considere un campo eléctrico uniforme E
orientado en la dirección x en el espacio
vacío. Encuentre el flujo eléctrico neto a
través de la superficie de un cubo con arista
orientado como se muestra en la figura..
1 2
Importante: que el flujo de campo eléctrico sea igual
a cero no significa que el campo sea igual a cero.

22. Ley de Gauss
Ley de Gauss
El flujo total de campo eléctrico a través de una
superficie cerrada es igual a la carga neta dentro
de la superficie, dividida por ε0
Carl Frederich Gauss (1777-1855)
ℇ0 = 8,85 × 10−12 ⁄
𝐶𝐶2
𝑁𝑁 � 𝑚𝑚2
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣

23. Ley de Gauss
El flujo total de campo eléctrico a través de
una superficie cerrada es igual a la carga neta
dentro de la superficie, dividida por ε0
Ley de Gauss
¿Cuanto vale el flujo de campo eléctrico
En las superficies S1, S2, S3, S4?

24. Ley de Gauss
El flujo total de campo eléctrico a través de
una superficie cerrada es igual a la carga neta
dentro de la superficie, dividida por ε0
Ley de Gauss
¿Cuanto vale el flujo de campo eléctrico
En las superficies S1, S2, S3, S4?
Φ𝑆𝑆4 =
+𝑞𝑞 − 𝑞𝑞
𝜖𝜖0
= 0

25. Ejemplos de aplicación de la ley de Gauss
Conductor infinito cargado
λ

26. Campo producido por una placa cargada infinita
1
2
3
Φ = �
𝑆𝑆
𝐸𝐸 � 𝑑𝑑 ⃗
𝐴𝐴 = 2Φ2 = 2𝐸𝐸𝐸𝐸 =
𝜎𝜎𝜎𝜎
𝜖𝜖0
Φ1 = �
𝐴𝐴2
𝐸𝐸 � 𝑑𝑑 ⃗
𝐴𝐴 = 0
Φ2 = Φ3
𝐸𝐸 =
𝜎𝜎
2𝜖𝜖0

27. Campos y cargas en el interior de un conductor aislado
Cualquier carga neta en el interior de un conductor
aislado se encuentra sobre la superficie.

28. Ejemplo:
Una esfera sólida conductora, de radio a, tiene una carga positiva neta Q. Un cascarón esférico conductor,
con radio interior b y radio exterior c, es concéntrico con la esfera de radio a y tiene una carga neta -2Q. Con
la aplicación de la ley de Gauss, encuentre el campo eléctrico en las regiones marcadas, 1, 2, 3 y 4 en la
figura y la distribución de carga en el cascarón, cuando todo el sistema está en equilibrio electrostático.
La carga encerrada por la superficie de gauss en el conductor 3
qint + Q = 0 porque E = 0, luego qint = – Q
La carga neta del cascaron 3 es
qint+ qext = – 2Q, luego
qext = – 2Q – qint = – 2Q + Q = – Q

29. Campo entre placas conductoras cargadas infinitas

30. Campo entre placas conductoras cargadas infinitas

31. Campo entre placas conductoras cargadas infinitas

32. Campo cerca de la superficie
de un conductor
Densidad superficial de carga máxima para un
conductor en aire, aproximadamente 27 x 10-6 C/m2.

33. Ley de Gauss
Cualquier carga neta en el interior de un conductor aislado se encuentra sobre la superficie.
λ