Emat sexto primaria

grado
6o
Enseñanza de las
Matemáticas
con Tecnología
para la Educación Primaria
PROPUESTA HIDALGO
Ma. Guadalupe Flores Barrera
Andrés Rivera Díaz

EnseñanzadelasMatemáticasconTecnologíaparalaEducaciónPrimaria,Propues-
ta Hidalgo, (EMAT-Hidalgo), ha sido desarrollado e implementado por la Coordinación
Estatal del Programa EMAyCIT-Hidalgo, con el apoyo de la Subsecretaría de Educación
Básica de la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo, y sobre todo del Cen-
tro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, particular-
mentedelDepartamentodeMatemáticaEducativa,delcualsurgelaPropuestaNacional.
Autores de EMAT-Hidalgo:
Este material se ha aplicado en escuelas primarias del Estado de Hidalgo.
Coordinadores de Zona del Programa EMAT
AcostaJiménezFernando;AcostaReséndizPedro;AcostaRomeroClaynaAnyel;AguilarHernándezMiguel;AguilarPeraltaSandra;AlanísCamacho
Federico; Aldana Rodríguez Izeth; Alonso Domingo Alejandro; Alvarado Aguirre Milton Raúl; Alvarado Zúñiga Uziel; Andrade Hernández Eustolia;
Ángeles Alviter Aracely; Ángeles Cardón Juan; Ángeles Martínez Antonio; Ángeles Pérez Allan Filiberto; Ángeles Serrano Ignacio; Arenas Martínez
Leonel; Argüelles Mota Blanca Patricia; Arroyo Aguazul Vicente; Arroyo Cázares Karina; Avilés López Antonio Higinio; Bacilio Hernández Gamaliel;
Baena Sánchez Yesenia; Balderrama Mercado Rocío; Ballato Arenas Freddy; Barguera Ramírez Eleazar; Barquera Pedraza Lázaro; Barrera Cruz
José Refugio; Barrera Pérez Alejandra; Barrera Pérez Omar; Bautista Aniceto Zacarías; Bautista Cerecedo Alfonso; Bautista de la Cruz Rosaura;
Bautista Gutiérrez Yanin Selene; Bautista Juárez Rufino; Bautista MartínezAntonia; Bautista Ramos Elisama; Becerra Sánchez Luis Fernando; Belio
Hernández Mayra Berenice; Benítez López Raúl; Benítez Peralta Salvador; Benítez Vázquez GilbertoAlfredo; Bravo Huerta José Florentino; Buendía
Islas Alfredo; Bueno Martínez Norma; Camargo Plata Patricia Yunnuen; Candelaria Miranda Valentín; Cano Badillo Adair Carlos; Cano Mendoza
Antonio; Cantera Reséndiz Evelio; Cantera Trejo Elio; Carpio Ruiz Arturo Emmanuel; Carrasco Mendoza Tomas; Carrillo Rosales Marilú; Castelán
Alvarado Hermilo; Castillo Molina JorgeAlberto; Cerón Espinoza Felipe; Cervantes Martínez María Isabel; Chapa Espitia María del Carmen; Chávez
Rangel Bladimir; Chávez Vite Filiberto; Cifuentes Meléndez Cuauhtémoc; Contreras Gutiérrez Oliver; Corona Cano Juan; Cortés Hernández Aldo;
CortezPérezLeticia;CruzGarcíaHomeroFelipe;CruzHernándezHiginio;CruzHernándezLidia;CruzLugoLucia;CruzLugoTiburcio;CruzMartínez
Jaime; Cruz Mayorga Justo; Cruz Montúfar Miguel Ángel; Cruz Olguín Maribel; Cruz Olvera Emanuel; Cruz Ortiz Mario; Cuervo Ramírez Fermín;
Cuevas García María Oralia; Daniel Candelario Leobardo Noel; De la Cruz Bautista María Lilian; De la Cruz Bautista Martín; De la Cruz Reyes
Eduardo; De la Cruz Santander Sotero; Demillón Arroyo Esteban; Díaz González José Arturo; Doniz Martínez Ana Yuselmi; Endonio Villeda Grecia;
Escamilla López Rubén; Espíndola Trejo Josue Neptalit; Espinosa Hernández Manuel; Esteban Juárez Abel; Estrada Rosas Armando; Fernández
Cruz Dora Luz; Fernández Suárez Julio César; Flores Campa Salatiel; Flores Villegas Hugo; Fotti Lastire Francisco Earle; Franco Martínez Marcelino;
Galindo Franco Rafael; Galindo Márquez Marco Antonio; Gamero Mercado Leonardo; García Elizondo Alicia; García García Aurelio; García Gimate
Doreyda; García López Margarita; García Mendoza Irma; García Rivera Yanet; García Santiago Josefina; Gayosso Canales Marina Elena; Gerones
Rodríguez Gabriel; Gimate ViguerasAdrián; Godínez PelcastreAlejandro; Gómez MéndezAida Inocencia; González Callejas Miriam Saraí; González
Carpio EricAlejandro; González GómezAdalberto; González González J. Dolores Efrén; González Juárez Luz María; González Quijano Delia; Gress
Guerrero Martha Angélica; Guerrero Téllez Javier; Gutiérrez Martínez Gregoria; Guzmán Águila Miguel; Guzmán Ángeles Lerina; Guzmán Lechuga
Abdón; Hernández Andrade Imelda; Hernández Aquino Iván; Hernández Argueta María Zaira; Hernández Chavarría Justina Suleyma; Hernández
Contreras Epifanio; Hernández Cruz Roberto; Hernández de Jesús Arturo; Hernández de la Cruz Ricardo; Hernández Diego Jesús; Hernández
GrandeMiriamBerenice;HernándezGuerraBertínObed;HernándezHernándezEmmanuel;HernándezHernándezGermán;HernándezHernández
Pedro; Hernández Hernández Serapio; Hernández Macario Luis; Hernández Martínez Eliseo; Hernández Martínez Fredy; Hernández Martínez Junior
Alfonso; Hernández MolinaAgustín; Hernández Morales ChristianArgel; Hernández Olivares Laura Esther; Hernández Pasarón Yazmín; Hernández
Peña Mario Vizzuett; Hernández Pérez Piedad; Hernández Reyes Helber; Hernández Rodríguez Lorenzo; Hernández Sánchez Maricruz ; Hernández
Sánchez Roberto; Hernández Téllez Marco Antonio; Hernández Trejo Fernando; Hernández Zavala Fredy; Huizache Roque Abel Cayetano; Ibarra
Cabrera Eudocio; Islas Gutiérrez Ma. Luisa; Islas Mendoza Jorge Luis; Islas Pelcastre María Isabel; Jiménez Maya Enrique; Jiménez Zarco Rubén;
Juárez Cerón Erika; Juárez Chávez Magdiel; Juárez Cruz Emilia; Juárez García Miguel Ángel; Juárez Martínez Canciano; Juárez Omaña Juan;
Juárez Paredes Misael; Lara Domínguez Marisol; Lara García Alma Rosa; Lara Sebastián Nemesio; Lara Solís Salomón; Laureano Reyes Susana;
Lemus Cruz Yonathan; Lemus José Roberto; León Camargo J. Concepción ; León Hernández Jacinto; Leyva Ibáñez Norma Angélica; Llanos
Contreras Ma. de Jesús; López Barrera Víctor Hugo; López Hernández Norma Lisceth; López Hernández Reina; López Hernández Verónica; López
Rivera Eduardo; Lorenzo Rodríguez Efraín; Maldonado Chávez Julio Cesar; Marcos Botho Omar; Márquez Maqueda Agustín; Martínez Aguado
Jonathan; Martínez Bello Yamile; Martínez Estrella Benjamín; Martínez Hernández Flor Alejandra; Martínez Hernández María Luisa; Martínez
Hernández María Magdalena; Martínez Hernández Quintín; Martínez Muñoz Miguel; Martínez Ramos J. Saúl; Martínez Reséndiz Magdalena;
Matamoros Bautista David; Matamoros Martínez Janeth; Maye Marcos Crispín; Maye Roque Edén; Maye Silva Yenny; Medina Bustos Irene
Genoveva; Mejía Sanjuán Arael; Meléndez Herrera Norma Lilia; Melgoza Antonio Mayra Esther; Méndez Hernández José Fortunato; Mendoza
Moreno Iván; Mendoza Peña Isaías; Mendoza Peña Miriam; Meza Martínez Oscar Alberto; Mina Cristóbal Andrés; Molina Santos Carlos Natalio;
Monroy Canales Heriberto; Monroy Gómez Salvador; Monroy Martínez Maharai; Monroy Patricio Margarita; Montaño Pastrana Daniel; Montaño
Sagahón Priciliano; Monter Fuentes José Luis; Monterrubio Hernández Abdón; Montiel Ávila Armando; Montiel Bautista Tirzo Alex; Montiel Enriquez
Heriberto;MontielMontesNardaJazmínJosefina;MoraPérezVicente;MoralesBarrónArturo;MorenoAlcántaraGabrielJesús;MorenoRosasMario;
Morillon Cortés Johnny; Naranjo Ramírez María Berenice; Nemesio Zamudio Magnolia; Nopal Ñonthé Gregorio; Nuñez Flores Carlos Manuel; Núñez
VázquezEvangelina;ÑonthéSilisBibiano;OlguínJuárezHilda;OlguínMejíaPorfirio;OlveraBailónMarisol;OlveraGarcíaSusana;OlveraHernández
Alfredo; Orozco Paredes Guillermo; Ortiz Elizalde Berenice; Ortiz Juárez Primitivo; Osorno Martínez José Francisco; Ostoa Hernández Alfonso;
Peralta Rodríguez César; Percastegui Delgado DavidAlexander; Pérez EslavaArmando; Pérez EstradaAndrés Isaac; Pérez Gómez Teodoro; Pérez
Hernández Isabel Martiniano; Pérez Hernández Violeta; Pérez Juárez Floriberto; Pérez Luna Luis Alfonso; Pérez Martínez Rodolfo; Pérez Muñoz
Miriam; Pintado González Jesús; Pintado González Norberto; Piñón Maqueda Alfonso Geovanni; Pioquinto Tepetate Eustolia; Quintanar Trejo
Armando;QuinteroHernándezAlmadelRocío;RamírezCabreraMaríaIsabel;RamírezChinoOfelio;RamírezGuillenAdela;RamírezPioquintoJuan
Uriel; Ramírez Ramírez José Gil; Ramírez Salazar Javier; Ramos Rodríguez Orlando; Redondo Lara Carlos; Retama Hernández Alejandra; Reyes
Bautista Joaquín; Reyes Gómez Keila; Reyes HernándezAlberto; Reyes Mendoza Francisco Jesús; Reyes Solís Salvador; Reyna Reyes Guadalupe;
Rezéndiz Sanjuan Mercedes; Ríos Téllez Guillermina; Rivera Candelaria José Manuel; Rivera Olguín Ma. Guadalupe; Rivera Romero Gloria;
Rodríguez Castillo Miguel; Rodríguez Resendíz Isabel Cristina; Rodríguez Sarabia Jorge Raúl; Rodríguez Varela Alejandro; Rojas Vite Dante Esau;
RomoRamírezSilvia;RosalesEscamillaYuridia;RubioTapiaGustavo;SalasCruzJ.Felix;SalazarSantosSinuéMiguel;SalinasSilisSilvia;Salvador
Pérez Ivonne; San Juan Hernández Andrés; Sánchez Bautista Fernando; Sánchez Muñoz José; Sánchez Ortíz Delfino; Sánchez Pérez Belem
Arianna; Sánchez Ramírez Humberto Daniel; Santana Cruz Juventino; Santana Flores Norma; Santiago Luna Neder; Santiago Teodoro Marcelo;
Santillan Melo Samuel; Santos González Evaristo Jesús; Santos Modesto Víctor; Serrano Chavez Ismael; Sierra Cortés Felipe de Jesús; Simón
Hernández Yolanda; Soto NeriArturo Eracleo; Suárez Jaín Ernesto; Tapia Zapata Luis Enrique; Teodoro Bautista Higinio; Tolentino Hernández Olivia;
TolentinoTéllez Irvin;TolentinoTolentino David;Torres Zamora Maricela;Torres Zamora Marlin;Trejo PérezYazmin; Vargas Martínez Rocío; Vázquez
ZerónMaribel;VelázquezArriagaEricka;VelázquezdelÁngelEdison;VelázquezHernándezManuel;VelázquezNaranjoSilvia;VeraCardenazArelia;
Vera SerranoAurelio; Vicencio ViteAdán; Villagrán Díaz Itzmaltzin; Villanueva Cerón Francisco; Villarreal Hernández Silvestre; Villeda Ramírez Elías;
Villegas Lugo Rosendo; ViteAlejandrez Tancredo; Vite Bautista Yolloxochitl; Vite Serrano Noé; Yerbafría Cruz Israel
Ma. Guadalupe Flores Barrera
eu_ma_gu@yahoo.com.mx
Andrés Rivera Díaz
andresri@hotmail.com
Enseñanza de las
Matemáticas
con Tecnología
para la Educación Primaria
PROPUESTA HIDALGO
6o. grado
Revisión:RamónGuerreroLeyva
Diagramación:LuceroCárdenas
Formación y diseño: Ana Garza
Iconografía: Mirelle Madrid
© EMAT Hidalgo 2012
© Ángeles Editores, S.A. de C.V.
Campanario 26
San Pedro Mártir, Tlalpan
México, D. F., 14650
e-mail:angeleseditores@yahoo.com
www.angeleseditores.com
Segunda edición: agosto de 2013
ISBN: 978-607-9151-13-3
Miembro de la Cámara Nacional
de la Industria Editorial
Reg. Núm. 2608
Impreso en México

3
Contenido
Contenido
Introducción 5
Organización del libro 7
Programación para Sexto Grado de Primaria 9
SEPTIEMBRE
Lectura, escritura y comparación de números 13
La división como fracción 15
Comparación y encuadre de números decimales 18
Operaciones mentales con números naturales 21
Clasificación de cuadriláteros 22
OCTUBRE
Círculo y circunferencia 24
Rectas y ángulos 25
Rutas y distancias 27
Perímetros y áreas 29
Porcentajes 31
Tablas de datos 34
NOVIEMBRE
Valor posicional 35
Recta numérica 37
División 38
Desarrollos planos 40
Área y volumen de prismas 42
DICIEMBRE
Interpretación de la información estadística 45
Factor constante 47
Medidas de tendencia central 50

4
Contenido
ENERO
Múltiplos de números naturales 52
Orden en los números fraccionarios y decimales 54
Problemas de conteo 56
Cociente de números naturales 58
FEBRERO
Representación de puntos en el plano 59
Sistema Internacional de Unidades y Sistema Inglés 61
Noción de porcentaje 63
Gráficas a distinta escala 65
MARZO Y ABRIL
Divisores de un número 67
Conversión de fracciones 70
División de fracciones entre enteros 72
Polígonos regulares inscritos en una circunferencia 73
Longitud de una circunferencia 75
Experimentos aleatorios 76
Problemas de comparación de razones 78
MAYO
Divisores y múltiplos comunes 80
Problemas con divisores o múltiplos comunes 84
Producto de fracciones, decimales y enteros 86
Volumen de prismas 89
JUNIO
Diferentes unidades 90
Constante de proporcionalidad 92
Situaciones de proporcionalidad 95
Probabilidad teórica y frecuencial 97
Organizar información 99
BIBLIOGRAFÍA

5
Introducción
Las Herramientas Computacionales (HC) contstituyen un
revolucionario avance en nuestra sociedad. Presenciamos una
era de cambio y de modificaciones constantes que influyen
significativamente en nuestras vidas.
Mantenernos expectantes o tomar las riendas de emergentes procesos
de cambio que nos pueden ayudar a construir un mundo sin barreras,
un mundo mejor, es una elección a realizar de forma particular por
cada uno de nosotros.
En el ámbito educativo, las HC constituyen una importante ayuda
para favorecer los aprendizajes escolares, particularmente de las
matemáticas y de las ciencias, pues son un reforzador didáctico,
un medio para la enseñanza individualizada y una herramienta
fundamental de trabajo para el profesor.
En definitiva podemos preguntarnos, ¿qué aspectos caracterizan a
las HC que las hacen tan especiales en la educación? Una reflexión
alrededor de esta pregunta nos conduce a definir un grupo de aspectos
que las pueden caracterizar:
1. Fomentan el aprendizaje continuo por parte del profesor, pues éste
tiene que estar actualizado para planificar con éxito las actividades
que realizarán los estudiantes.
2. Las HC no sólo pueden ser objeto de estudio sino que deben ser
herramientas indispensables para el alumno, tienen que ser
integradas al entorno educativo.
3. Garantizan el desarrollo de una enseñanza significativa y forman
parte de una educación integral.
4. Dinamizan el papel del profesor y del alumno. Este último, de
sujeto pasivo dentro del proceso didáctico, pasa a ser protagonista
del mismo junto al profesor, el cual tiene como función rectora la
orientación en el uso de las herramientas tecnológicas que son
utilizadas en el proceso.
5. Humanizan el trabajo de los profesores, pues desarrollan sus
actividades con el apoyo de la tecnología, economizando tiempo y
energía.

6
Además de estas ventajas que proporcionan las Tecnologías de la
Información en el proceso de enseñanza, es bueno destacar que
también permiten lograr una mejor interdisciplinariedad, es decir, se
puede relacionar el contenido matemático con el de otras asignaturas,
contribuyendo así a una formación más eficiente y de carácter integral
de nuestros estudiantes.
Por lo anterior, la Subsecretaría de Educación Básica del Esta-
do de Hidalgo, ha implementado el programa Enseñanza de las Ma-
temáticas con Tecnología, (EMAT-Hidalgo) a través de la Coordi-
nación Estatal de los profesores Ma. Guadalupe Flores Barrera y
Andrés Rivera Díaz. Para dar continuidad al programa, dichos profe-
sores imparten un curso-taller, programado un día al mes durante el
ciclo escolar, al equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del
Estado, de cada modalidad de Educación Primaria, para que a su vez
ellos lo multipliquen, también un día al mes, con los profesores de
sus zonas correspondientes.
Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización
docente para el intercambio de experiencias, metodologías y
conocimientos sobre dos herramientas tecnológicas: Hoja electrónica
de cálculo y Geometría dinámica, las cuales son propuestas originales
de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación
Pública (SEP), en colaboración con el Instituto Latinoamericano de
la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello se han
diseñado y elaborado los textos EMAT-Hidalgo, para quinto y sexto
grado de educación primaria.
Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa
comprometida,utilizaremosesteLibrodeSextoGrado,EMAT-Hidalgo,
para beneficio de nuestros alumnos.
Profr. Joel Guerrero Juárez
Secretario de Educación Pública
del Estado de Hidalgo

7
Organización del Libro
PRESENTACIÓN
El Libro Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la
Educación Primaria, (EMAT-Hidalgo), es una compilación y
diseño de actividades didácticas que contemplan el uso de dos
herramientas de tecnología, estrechamente relacionadas cada una
con los ejes temáticos Sentido numérico y pensamiento algebraico,
Forma, espacio y medida, y Manejo de la información. Con lo anterior
se cubren las áreas específicas de aritmética, pre-álgebra, geometría,
resolución de problemas y modelación matemática. El libro cumple,
en forma paralela, con los planes y programas de estudio vigentes de
matemáticas, para las modalidades de Educación Primaria.
En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso
de estas dos herramientas computacionales cuentan con un sustento
teórico y/o empírico, que respaldan su valor como herramientas
mediadoras del aprendizaje en lo cognitivo y en lo epistemológico.
La propuesta Hidalgo plantea trabajar una sesión a la semana en el aula
demediosoespacioasignadoconequiposdecómputo,complementando
las sesiones previas en el salón de clase. Esto implica que desde la
planeacióndelcursoescolar,losdirectivosdebenasignarenloshorarios,
de forma explícita, la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo.
En el libro se incluye el uso de software de geometría dinámica para
temas de geometría euclidiana, al igual que la hoja electrónica de cálculo,
para la enseñanza de pre-álgebra, la resolución de problemas aritmético-
algebraicos, y temas de probabilidad y de tratamiento de la información.
EnelespacioparadesarrollarelproyectoEMAT-Hidalgo,elprofesorguía
a los estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las
hojas de actividades didácticas programadas semanalmente en el libro.

8
Con las actividades se pretende que los alumnos alcancen cada vez
mayores niveles de conceptualización matemática, para ello su
programación se hace de la siguiente manera:
En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los
alumnos a:
Explorar
Formular y validar hipótesis
Expresar y debatir ideas
Aprender con el análisis de sus propios errores.
Las sesiones EMAT-Hidalgo, se organizan a partir de actividades
didácticas en las cuales los alumnos reflexionan sobre lo que han
realizado con la computadora, y lo sintetizan para comunicarlo; por
otro lado, estas actividades ya contestadas proporcionan información
al profesor acerca de la comprensión que los alumnos tienen de los
conceptos matemáticos involucrados.
Finalmente, una reflexión:
La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo, y
en la medida que el compromiso de los profesores se haga más expreso
y se recupere la vocación profesional, podremos tener aspiraciones de
superación sustentadas en hechos y no en sueños.
Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz
Coordinadores Estatales del Programa EMAyCIT-Hidalgo
SEPTIEMBRE
Semana Eje BLOQUE UNO Herramienta Pág
1 Lectura, escritura y comparación de números Hoja de cálculo 13
2 División como fracción GeoGebra 15

9
SEPTIEMBRE
1 Lectura, escritura y comparación de números Hoja de cálculo 13
2 La división como fracción GeoGebra 15
3
Comparación y encuadre de números decimales
Hoja de cálculo y
GeoGebra
18
Operaciones mentales con números naturales Hoja de cálculo 21
4 Clasificación de cuadriláteros GeoGebra 22
OCTUBRE
1 Círculo y circunferencia GeoGebra 24
2 Rectas y ángulos GeoGebra 25
3
Rutas y distancias GeoGebra 27
Perímetros y áreas GeoGebra 29
4
Porcentajes
Hoja de cálculo y
GeoGebra
31
Tablas de datos Hoja de cálculo 34
NOVIEMBRE
Semana Eje BLOQUE DOS Herramienta Pág
1
Valor posicional Hoja de cálculo 35
Recta numérica GeoGebra 37
2 División
Hoja de cálculo y
GeoGebra
38
3 Desarrollos planos GeoGebra 40
4 Área y volumen de prismas GeoGebra 42
Programación Sexto Grado

10
DICIEMBRE
Semana Eje BLOQUE DOS Herramienta Pág
1 Interpretación de la información estadística Hoja de cálculo 45
2 Factor constante Hoja de cálculo 47
3 Medidas de tendencia central Hoja de cálculo 50
ENERO
Semana Eje BLOQUE TRES Herramienta Pág
1 Múltiplos de números naturales Hoja de cálculo 52
2
Orden en los números fraccionarios y decimales
Hoja de cálculo y
GeoGebra
54
Problemas de conteo Hoja de cálculo 56
3 Cociente de números naturales Hoja de cálculo 58
FEBRERO
Semana Eje BLOQUE TRES Herramienta Pág
1 Representación de puntos en el plano GeoGebra 59
2
Sistema Internacional de Unidades y
Sistema Inglés
Hoja de cálculo 61
3 Noción de porcentaje Hoja de cálculo 63
4 Gráficas a distinta escala Hoja de cálculo 65

11
MARZO Y ABRIL
Semana Eje BLOQUE CUATRO Herramienta Pág
1
Divisores de un número Hoja de cálculo 67
Conversión de fracciones Hoja de cálculo 70
2 División de fracciones entre enteros Hoja de cálculo 72
3
Polígonos regulares inscritos en
una circunferencia
GeoGebra 73
4 Longitud de una circunferencia GeoGebra 75
5 Experimentos aleatorios Hoja de cálculo 76
6 Problemas de comparación de razones Hoja de cálculo 78
MAYO
Semana Eje BLOQUE CINCO Herramienta Pág
1 Divisores y múltiplos comunes Hoja de cálculo 80
2 Problemas con divisores o múltiplos comunes Hoja de cálculo 84
3 Producto de fracciones, decimales y enteros Hoja de cálculo 86
4 Volumen de prismas GeoGebra 89
JUNIO
Semana Eje BLOQUE CINCO Herramienta Pág
1 Diferentes unidades GeoGebra 90
2
Constante de proporcionalidad GeoGebra 92
Situaciones de proporcionalidad Hoja de cálculo 95
3 Probabilidad teórica y frecuencial Hoja de cálculo 97
4 Organizar información Hoja de cálculo 99

12
Contiene la herramienta
computacional a usar
en la lección. En algunas
lecciones se indica el uso
de ambas herramientas.
Iconos
Al inicio de cada lección aparece un conjunto de elementos mostrando
el número de lección, el nombre del archivo a utilizar y el icono que
indica qué recurso tecnológico debe usarse para su realización. Éstos
son los siguientes.
LECCIÓN
Hoja de cálculo
Número de lección
Nombre del archivo
Geogebra

13
LECCIÓN
1
Lectura, escritura y comparación de números
BLOQUE UNO
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, podemos escribir cualquier
número. Se recomienda que al escribir cantidades de más de tres cifras,
se separen en grupos de tres, de derecha a izquierda; el primer grupo
representa las unidades, decenas y centenas; el segundo, los millares,
y el tercero los millones.
Los censos ofrecen información por entidad federativa y municipios.
La siguiente tabla muestra datos sobre la población del estado de
Hidalgo, examínala y realiza lo que se indica.
Lecescom
Escribe con palabras los números de la columna Hidalgo
Población
Total 2,665,018 112,336,538
Hombres 1,285,222 54,855,231
Mujeres 1,379,796 57,481,307
Hogares 662,651 28,159,373
Hogares con jefe hombre 504,119 21,243,167
Hogares con jefe mujer 158,532 6,916,206
Promedio de personas por hogar 4.3 3.9
Nacimientos 64,237 2,628,885
Estadística 2010 Hidalgo
Estados Unidos
Mexicanos

14 BLOQUE UNO  Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o
grado
Resuelve los siguientes ejercicios.
1. Anota en el paréntesis la letra que corresponde.
2. Ordena los siguientes números decimales de menor a mayor.
a) 3.35 0.58 2.36 2.05 4.86
b) 3.5 3.476 4.37 4.672 1.43
3. En las siguientes columnas de números compara las cantidades
escribiendo los símbolos > (mayor que) o < (menor que) en la
columna del centro.
7 563 245 7 324 245
123 098 341 654 938 210
65 327 23 248
9 354.2 9 354.1
2 387 491 322 53 971 233 001
45 29
0.002 0.08
345 554
( ) 92 512 600
( ) 92 500 126
( ) 925 000 126
( ) 925 126
( ) 9 025 126
a) Novecientos veinticinco mil ciento veintiséis.
b) Nueve millones veinticinco mil ciento veintiséis.
c) Noventa y dos millones quinientos doce mil seiscientos.
d) Novecientos veinticinco millones ciento veintiséis.
e) Noventa y dos millones quinientos mil ciento veintiséis.

15
LECCIÓN
2
La división como fracción
Divfrac
Nombramos fracciones impropias a aquellas en las que el numerador
es mayor que el denominador.
Ejemplos:
A la derecha de cada figura escribe la fracción que representa su parte
iluminada.
Los números fraccionarios (F), son aquellos de la forma a
b
tal que
a y b son números enteros, y b es diferente de cero.
Las partes de los números fraccionarios son numerador y
denominador.
Ejemplo:
Dentro de los números F existen los propios y los impropios.
Llamamos fracciones propias a aquellas en las que el numerador es
menor que el denominador.
Ejemplos:
El denominador representa las partes en que se divide un todo,
mientras que el numerador indica las partes que tomamos.
1
4
3
4
, 5
7
, 8
10
, 123
200
4
3
, 6
2
, 45
8
, 300
100
numerador
denominador
1
4

grado
Las fracciones representan un cociente en el cual el numerador es el
dividendo y el denominador es el divisor.
8
4
= 2
8 = dividendo = numerador
4 = divisor = denominador
2 = cociente
De los ejercicios anteriores se concluye que de las fracciones impropias
se generan números mixtos, que son los constituidos por un número
entero más una fracción propia.
Para convertir una fracción impropia en un número mixto, dividimos
el numerador entre el denominador. El cociente será la parte entera
del número mixto y la fracción propia se forma con el residuo como
numerador y como denominador el mismo de la fracción impropia.
En las dos tablas siguientes, transforma las fracciones a divisiones en
la columna dos y en la tres anota el cociente.
El cociente es el resultado de una división, por lo que ésta representa
la misma idea de fracción.
4
2
8
Ejemplo: 18
5
= 3.6 18
5
= 3 3
5
3
18
5
3
18
5
30
0
3.6
uno dos tres
18
5
3
4
2
5
19
6
uno dos tres
17
4
5
8
37
6
6
10

17
19
6
=
17
4
=
37
6
=
18
5
=
43
4
=
14
3
=
Transforma las siguientes fracciones impropias en números mixtos.
¿qué parte le toca a cada niño?
entre
entre
entre
entre
Realiza las siguientes reparticiones y escribe el resultado como fracción.
2
3

LECCIÓN
18
3
Comorden
Comparación y encuadre
de números decimales
BLOQUE UNO  Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o
grado
Si queremos comparar números decimales, una forma de hacerlo es
transformar la parte decimal en una suma de fracciones. De esta forma
comparamos cantidades. Otra forma es por medio de la recta numérica.
Ejemplo:
En los siguientes números, transforma la parte decimal en una suma
de fracciones y luego compáralos, escribiendo los símbolos > o < (mayor
que y menor que) en la columna del centro.
= 13.21 13.012 =
= 4.018 5.59 =
= 18.39 19.218 =
= 3.109 2.037 =
= 60.01 60.1 =
2 +
2
10
+
6
100
= 2.26 > 1.75 = 1 +
7
10
+
5
100
Los decimales se expresan gráficamente de la siguiente manera:
1.25 = 1 entero + 2 décimos + 5 centésimos.
5 centésimos
5 centésimos
+ +
+ = 25 centésimos
2 décimos
2 décimos
Un entero

19
En la recta numérica:
Entre cualquier par de números decimales o fraccionarios, siempre va
a existir otro número en medio.
Para encontrar un número entre dos números decimales, se suman
los dos números y se dividen entre 2; la recta numérica también es muy
útil, ya que podemos hacer subdivisiones de los números y localizarlos
fácilmente.
Por ejemplo, para encontrar el número decimal que está entre 0.4 y
0.5, se suma 0.4 + 0.5 = 0.9 y este resultado se divide entre 2.
Por lo tanto, el número que está entre 0.4 y 0.5 es el 0.45
Cada uno de los siguientes rectángulos representa un entero. Escribe cuántos
décimos están coloreados en cada uno y anota también el número decimal.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.45
Ubica en la recta numérica los siguientes números:
0.9 2.50 5.20 1.70 0.5 3
4
10
0.4
0 1 2 3 4 5 6

grado
Si ubicamos un número entre otros dos, decimos que estamos
encuadrando un número.
Encuadra cada uno de los siguientes números en el renglón de la tabla
que le corresponda.
a) 10.475 b) 2.78 c) 99.945 d) 0.41 e) 13.155
f) 12.35 g) 3.425 h) 7.35 i) 11.026 j) 1.325
3.4 < < 3.45
12.30 < < 12.40
7.3 < < 7.4
1.3 < < 1.35
11.005 < < 11.03
10.4 < < 10.55
99.9 < < 99.99
2.76 < < 2.80
0.31 < < 0.51
13.11 < < 13.20
a) 1.5 y 1.6
b) 2.7 y 2.8
c) 3.24 y 3.25
Encuentra el número que está enmedio de las siguientes parejas de
números; usa el procedimiento numérico y ubícalos en la recta.

21
LECCIÓN
4
Opermental
Operaciones mentales con números naturales
Calcula mentalmente lo que se pide.
a) Elige dos números que, al dividirlos, se obtenga como resultado
la quinta parte de mil.
500 2000 800 2 4 5
b) Escoge dos números cuya suma se aproxime más al doble de mil.
599 495 597 1203 1500 1403
c) Selecciona dos números que al multiplicarlos den como resultado
el triple de mil.
30 10 50 600 500 60
Realiza mentalmente los siguientes ejercicios.
1. Si la población de India es de 1 189 173 000 habitantes y la tercera
parte son menores de 15 años, ¿cuántos niños menores de 15 años
hay en ese país?
2. Si el precio del barril de petróleo crudo es de 108 dólares, ¿cuánto
se debe pagar por la compra de 542 mil barriles?
3. Si un buque petrolero carga en promedio 542 mil barriles de
petróleo crudo por embarque, ¿cuántos barriles, en promedio,
llevará en 4 embarques?
Operación Resultado
500
1800 60
10
1403

LECCIÓN
22
5
Clascuadri
Clasificación de cuadriláteros
grado
A los polígonos limitados por cuatro rectas se les conoce como
cuadriláteros.
El punto donde se unen dos rectas se llama vértice.
Se llama diagonal a toda recta que une dos vértices no consecutivos.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.
Los cuadriláteros se clasifican en: paralelogramos, trapecios y
trapezoides, según el paralelismo de sus lados.
Paralelogramos. Sus lados opuestos son paralelos.
Trapecios. Sólo tienen un par de lados opuestos paralelos.
Trapezoides. Ninguno de sus lados es paralelo a otro.
De acuerdo a las figuras anteriores, agrega las características básicas
faltantes de los siguientes cuadriláteros.
Cuadrado y rectángulo
Cuadrado y rombo
Rombo y romboide
Trapecio rectángulo
Trapecio isósceles
Trapecio escaleno
Cuadrado Rectángulo
Trapecio
rectángulo
Trapecio
isósceles
Trapecio
escaleno
Romboide
Rombo

23
Forma, espacio y medida
Relaciona ambas columnas anotando en la última la letra que
corresponda, de acuerdo a la descripción dada.
Señala con color los cuadriláteros descritos.
Con azul los que tienen sus cuatro ángulos rectos.
Con verde los que tienen solamente dos ángulos rectos.
Con rojo los que tienen ángulos opuestos agudos y obtusos de igual
medida.
Descripción Figura
a) Polígono de cuatro lados Trapecio rectángulo
b) Lados opuestos paralelos con
dos ángulos rectos
Rombo
c) Cuatro lados y cuatro ángulos
desiguales
Romboide
d) Iguales cada dos ángulos
opuestos y cuatro lados iguales.
Rectángulo
e) Cuatro ángulos iguales y
lados opuestos iguales
Trapezoide
f) Iguales cada dos ángulos opuestos
y cada dos lados opuestos
Cuadrilátero

LECCIÓN
24
6
Circircunf
Círculo y circunferencia
grado
El círculo es una figura plana limitada por una curva cerrada cuyos
puntosestánalamismadistanciadeunpuntointeriorllamadocentro.
La circunferencia de un círculo es la curva que lo limita.
El radio es la recta que va del centro de la circunferencia a cualquiera
de sus puntos, y el diámetro es una recta que pasa por el centro de la
circunferencia y termina en dos puntos de ella. La medida del diámetro
es el doble que la del radio.
Con un compás, traza una circunferencia abriéndolo a 5 cm.
¿Cuánto mide el diámetro? ¿y el radio?
Traza la circunferencia a partir del centro y el radio indicados a la
izquierda.
¿Cuánto mide el diámetro? ¿y el radio?
C
i
r
c
u
n
f
e
r
e
n
c
i
a
Centro
Radio
Diámetro

25
LECCIÓN
7
Rectasangu
Rectas y ángulos
A
B
C
La línea recta es toda línea tal que, si una parte cualquiera de ella se
coloca de cualquier modo con sus extremos sobre otra parte cualquiera,
las dos partes coinciden en todos sus puntos.
Ángulo es la abertura entre dos rectas que se
encuentran. El punto donde se encuentran se
llama vértice y las dos rectas se llaman lados
del ángulo. Para medir un ángulo siempre se
cuenta de derecha a izquierda. Por ejemplo, el
ángulo BAC mide 40o
.
Ángulo recto. Cuando una recta se cruza con otra formando con ella
un ángulo de 90º.
Ángulo agudo. El que es menor que un recto (más de 0º y menos de
90º).
Ángulo obtuso. El que es mayor que un ángulo recto pero menor que
dos ángulos rectos (mayor de 90º y menor de 180º).
Ángulo llano. El que está en línea recta. Este ángulo se le conoce
también como ángulo de lados colineales. Mide 180º.
Ángulo entrante. El que es mayor de dos ángulos rectos pero menor
que cuatro ángulos rectos (mayor de 180º y menor de 360º).
Ángulos adyacentes. Aquellos que tienen un mismo vértice y un lado
común.
Ángulos oblicuos. Son ángulos desiguales que se forman cuando se
cortan dos rectas. Pueden ser agudos u obtusos.
Ángulos complementarios. Aquellos cuya suma es igual a un ángulo
recto, es decir, la suma de los dos ángulos debe ser igual a 90º.
Ángulos suplementarios. Aquellos cuya suma es igual a un ángulo
llano, es decir, la suma de los dos ángulos debe ser igual a 180º.
1
A
2
D
C
B
Ángulo
oblícuo agudo
Ángulo
oblícuo obtuso
A
D
C
B
40º
50º
80º
100º

grado
Traza un par de ángulos del tipo que se pide y anota sus medidas.
Agudos
Medidas:
Obtusos
Medidas:
Entrantes
Medidas:
Adyacentes
Medidas:
Complementarios
Medidas:
Suplementarios
Medidas:

27
LECCIÓN
8
Rutadist
Rutas y distancias
Los mapas son la representación gráfica de una parte de la superficie
terrestre, nos ayudan a localizar lugares, ubicar distancias y trazar
rutas para ir de un lugar a otro.
La escala es la razón que existe entre las medidas de un mapa o dibujo
y las medidas reales del objeto que representa. Ella nos ayuda a inter-
pretar mejor los mapas.
El mapa de arriba muestra una región del estado de Hidalgo que se co-
noce como la zona económica más importante del estado. Su escala es
1: 860000, lo cual significa que 1 cm del mapa representa 860000 cm
en el terreno.
En efecto,
cm
Para convertir 860000 cm a km, recorre el punto decimal cinco posicio-
nes a la izquierda; que corresponden cada una a la unidad inmediata su-
perior, dm-m-dam-hm-km. Por lo que 860000 cm equivalen a 8.6 km,
es decir, 1 cm en el mapa corresponde a 8.6 km en el terreno.

grado
Ejemplo:enelmapa,ladistanciadePachucaaTulancingoesde5.05cm,
para calcular la distancia real entre estos lugares, multiplica la distancia
en el mapa por la escala, 5.05 × 860000.
Para convertir 4343000 cm a km, recorres el punto decimal cinco po-
siciones a la izquierda; que corresponden cada una a la unidad inme-
diata superior, dm-m-dam-hm-km. Por lo que 4343000 cm equivalen
a 43.43 km.
Encuentra una forma más rápida de calcular la distancia en el terreno,
a partir de la distancia en el mapa.
5.05 × 860 000 = 4343000 cm
1. Con una regla mide en el mapa la distancia de Actopan a Pachuca,
después calcula la distancia real entre esas dos ciudades. Escribe
todas las operaciones, como en el ejemplo anterior.
2. Con una regla mide en el mapa la distancia de Zempoala a
Pachuca, después calcula la distancia real entre esas dos ciudades.
Escribe todas las operaciones.

29
LECCIÓN
9
Periarea
Perímetros y áreas
El perímetro de una figura se obtiene sumando las medidas de sus
lados.
La siguiente expresión aritmética nos permite obtener el perímetro de
un polígono regular
P = n × l
Donde l representa la longitud de un lado y n el número de lados.
Completa los datos de la tabla y calcula el perímetro de los siguientes
polígonos regulares.
El área de una figura se define como la medida de la porción de
superficie delimitada por su contorno, también llamado perímetro. El
contorno puede ser recto o curvo.
Área del triángulo (At) At = b × h
2
Donde b = base del triángulo y
h = altura.
Área del cuadrado (Ac) Ac = l × l Donde l = lado del cuadrado
Área de un polígono regular (Apr) Apr = P × a
2
P = Perímetro y a = apotema.
Donde apotema se define
como el segmento que va del
centro del polígono al punto
medio de uno cualquiera
de sus lados, y es siempre
perpendicular a dicho lado.
Polígono l n P
Triángulo equilátero 2.5 dm
Cuadrado 4.1 cm
Pentágono 3.7 cm
Hexágono 11.3 mm

grado
22.5 cm
Se tienen también las siguientes fórmulas.
Calcula el área de los siguientes polígonos.
24 cm
22.4 cm
12.9 cm
7.4 cm
12.7 cm
Calcula el área de los siguientes polígonos.
21.2 cm
14 cm
10.7 cm
10.8 cm
20.1 cm
Área del trapecio (Atr) Atr= (B + b) h
2
Donde B = base mayor,
b = base menor y h = altura.
Área del rombo (Ar) Ar = D × d
2
Donde D = diagonal mayor,
d = diagonal menor.
Con a = 11.95 cm
a
13.8 cm

31
LECCIÓN
10
Porcentajes
Porcentajes
Manejo de la información
El porcentaje también recibe el nombre de tanto por ciento, y se puede
expresar como fracción o como decimal.
Enseguida se muestran tres maneras de obtener el tanto por ciento; en
este caso el 25% de 300.
a) 25% de 300 = 25 × 300
100
= 75
b) 25% = 25
100
= 0.25 0.25 × 300 = 75
c) 25% = 25
100
= 5
20
= 1
4
300 × 1
4
= 75
Relaciona los valores de las cuatro columnas uniéndolos con una línea
de color diferente para cada porcentaje. Sigue el ejemplo.
20
100 10% 0.75
3
4
50
100 15% 0.25
1
5
10
100 20% 0.50
1
4
75
100 25% 0.15
1
2
15
100 50% 0.10
1
10
25
100 75% 0.20
3
20
En México muchos productos están gravados con el Impuesto al Valor
Agregado (IVA), que corresponde al 16% de su precio. Eso significa que
por cada $100 se deben pagar $16 más.
Calcula el IVA de los siguientes productos y escribe su precio total.
Utiliza el método que mejor te funcione.
$100 + 16% IVA $200 + 16% IVA $500 + 16% IVA
$100
$200
$500

grado
Por otra parte, si un artículo cuesta $80, y tiene un descuento de 15%,
¿cuánto cuesta el artículo si se aplica el descuento?
Un procedimiento para calcular el precio con descuento de un artículo
es el siguiente:
Otroprocedimientopara calcular elpreciocon descuento deunartículo
es este:
1
Se divide el porcentaje
entre 100.
0. 1 5
1 0 0 1 5. 0
5 0 0
0
2
Se multiplica el precio del
artículo por el resultado
anterior.
8 0
× 0. 1 5
4 0 0
8 0
1 2. 0 0
3
Al precio original se le
resta el resultado del
producto anterior.
$80 menos 15% = $68
8 0
− 1 2
6 8
1
Al 100% del valor total
que teníamos le restamos
el 15%.
1 0 0
− 1 5
8 5
3
Se multiplica el precio
original por el resultado
anterior.
$80 menos 15% = $68
8 0
× 0. 8 5
4 0 0
6 4 0
6 8. 0 0
2
El porcentaje restante se
divide entre 100.
0. 8 5
1 0 0 8 5. 0
5 0 0
0

33
Otro procedimiento para calcular el precio con aumento de un artículo
es este:
Calcula el precio de los siguientes artículos al aplicarles diferentes
porcentajes de descuento.
Ahora bien, si tenemos el caso de un artículo que cuesta $60 de
contado, y si es a crédito aumenta un 25%, ¿cuánto cuesta el artículo
con el aumento?
Un procedimiento para calcular el precio con aumento de un artículo
es el siguiente:
Artículo
Precio
original
50% 25% 10% 15% 5%
Reloj $100
Mochila $200
Calculadora $600
Reproductor
MP3
$1 000
1
Se divide el porcentaje
entre 100.
0. 2 5
1 0 0 2 5. 0
5 0 0
0
2
Se multiplica el precio del
artículo por el resultado
anterior.
6 0
× 0. 2 5
3 0 0
1 2 0
1 5. 0 0
3
Se suma el precio original
más el resultado del
producto anterior.
$60 más 25% = $75
6 0
+ 1 5
7 5
1
Al 100% del valor total
que teníamos le sumamos
el 25%.
1 0 0
+ 2 5
1 2 5
3
Se multiplica el precio
original por el resultado
anterior.
$60 más 25% = $75
6 0
× 1. 2 5
3 0 0
1 2 0
6 0
7 5. 0 0
2
El porcentaje restante se
divide entre 100.
1. 2 5
1 0 0 1 2 5
2 5 0
5 0 0
0

LECCIÓN
34
11
Tabladatos
Tablas de datos
grado
Los datos que se obtienen como resultado de una investigación pueden
registrarse en tablas; las tablas son instrumentos que presentan la
información en forma agrupada y ordenada para llegar a conclusiones.
Observa las siguientes tablas y menciona las conclusiones a las que
puedes llegar.
Conclusiones:
Conclusiones:
Datos de educación y cultura en el estado de Hidalgo, 2010
Escuelas de primaria 3 261
Escuelas de secundaria 1 194
Alumnos inscritos de primaria 355 784
Alumnos inscritos de secundaria 154 709
Personal docente en primaria 15 628
Personal docente en secundaria 9 165
Bibliotecas públicas 246
Datos sobre el trabajo en el estado de Hidalgo, 2010
Población de 14 y más años de edad 1 908 728
Población económicamente activa 55.9%
Población económicamente activa ocupada 95.2%
Población económicamente activa desocupada 4.8%
Población no económicamente activa 44.1%

35
LECCIÓN
1
Valorposi
Valor posicional
BLOQUE DOS
El sistema de numeración decimal y notación posicional tuvo su origen
en la India, y fue difundido en Europa por los árabes en el siglo XI.
Decimal significa que su base es 10.
Diez unidades de un orden constituyen una unidad del orden superior
inmediato, que se coloca a la izquierda de la anterior.
Los números, cifras o dígitos básicos del sistema decimal son 0, 1,
2, 3, …, 9 y tienen un valor absoluto. Sin embargo, al combinarse
en una cantidad de dos o más cifras adquieren un valor posicional o
relativo, según el lugar que ocupen en dicha cantidad y que aumenta
de derecha a izquierda.
Determina el valor posicional o relativo de la cifra 3 en las siguientes
cantidades.
Unidades
de
millón
Centenas
de
millar
Decenas
de
millar
Unidades
de
millar
Centenas
Decenas
Unidades
7o
orden
6o
orden
5o
orden
4o
orden
3er
orden
2o
orden
1er
orden
3ª clase
Millones
2ª clase
Millares
1ª clase
Unidades
131 Tres decenas 3 741
1 345 002 32 109
319 3 140 378
Escribe los nombres de los órdenes de unidades a partir del 8o
hasta
el 13o
.
8o

9o

10o

11o

12o

13o

Decenas de millón

36 BLOQUE DOS  Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o
grado
Establece el valor posicional de cada una de las cifras de las siguientes
cantidades.
Determina con los signos >, <, =la relación de orden de las cantidades
en cada renglón.
Escribe los siguientes números en forma decimal.
Ejemplo: 27 + 136
100
= 28.36 46 + 98
10
=
71 + 230
1000
= 62 + 5
10
+ 73
100
=
36 + 3912
100
= 7 + 2382
100
=
2 137 405 2 137 504
328 186 328 681
1 304 177 1 304 717
739 973
926 304 926 304
1 304
45
749
13 502
709 135
65 56
33 043 126 34 043 621
768 541 768 541
67 024 65 420
635 635

37
LECCIÓN
2
Rectanumer
Recta numérica
La recta numérica permite establecer una correspondencia entre
los números y los puntos de la recta, en la que se marca una
distancia arbitraria como unidad. En la recta numérica se puede
verificar la relación de orden de los números, es decir, cuando un
número es mayor, menor o igual que otro. El orden es creciente de
izquierda a derecha.
Ubica y señala con una flecha en la recta numérica, el número que se
indica.
Ejemplo:
Elige y marca la distancia unidad en la recta numérica para ubicar y
señalar, con una flecha, el número que se muestra.
1
5
5
5
0 1
4
5
1
8
8
8
0 1
3
8
−1 0
1
4
4
0 1
2
4
0
0.25
0
9
5
0
4
7
0
2 2
3

LECCIÓN
38
3
Division
División
BLOQUE DOS  Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o
grado
Los problemas de reparto y de saber cuántas veces cabe una cantidad
en otra, se solucionan con la operación de división. Ésta tiene por
objeto, dados dos números, llamados dividendo y divisor, encontrar
un tercero llamado cociente, que multiplicado por el divisor, dé como
resultado el dividendo; por esta razón, la división es considerada la
operación inversa de la multiplicación.
Efectúa las siguientes operaciones.
Ejemplos: 12 ÷ 6 = 2 60 ÷ 5 = 12 260 ÷ 4 = 65 800 ÷ 100 = 8
35
7
= 5 108
9
= 12
Propiedades de la división
Cero dividido entre cualquier número da cero.
No se puede dividir entre cero.
En una división exacta el dividendo es igual al divisor por el cociente.
En una división entera el dividendo es igual al divisor por el cociente más el residuo.
1 3 6 7
5 6 8 3 5
1 8
3 3
3 5
0
5
1 6 0 0 8 4 0 0
4
8 1 1 0 6 4
a)
9 1 7 1 5 4
d)
2 6 7 2 8 5
b)
8 6 6 4 7 0 1
e)
4 5 0 6 0 2 0
c)
9 5 0 0 4 0 6 0 0
f)

39
1. Si una persona gana al día $160, ¿cuántos días tiene que trabajar
para ganar $2 400?
2. Por 176 carros de juguete se pagaron $4 400, ¿cuánto se pagó por
cada uno?
3. En 46 vagones de ferrocarril se cargaron en cantidades iguales un
total de 19 320 sacos de sorgo, ¿cuántos sacos se cargaron en cada
vagón?
4. En una fábrica se consumieron 392 000 litros de gas en 280 días
laborables. Suponiendo que el consumo diario haya sido constante,
¿cuántos litros de gas se consumieron por día?
3 1 0 9 0 2 3
g)
7 7 7 4 4 8
j) 7 8 3 5 0 2 1
k) 2 0 0 0 0 8 5 0 0 0 0
l)
4 0 6 0 7 0 5
h) 3 6 0 0 0 7 3 0 6 0 0
i)

LECCIÓN
40
4
Desaplanos
Desarrollos planos
grado
Al proceso de generación o construcción de cuerpos geométricos a
partir de superficies planas se le conoce como desarrollo plano.
Los poliedros son sólidos limitados por planos; éstos se llaman caras,
sus intersecciones aristas y las intersecciones de éstas, vértices.
Existen dos categorías de poliedros: los regulares y los irregulares.
Los regulares tienen todas las caras iguales y los irregulares tienen
por lo menos una de sus caras diferente a las demás. Hay dos tipos de
poliedros irregulares, los prismas y las pirámides.
Identifica y escribe el nombre de los siguientes poliedros. Sus ele-
mentos son aristas, vértices y caras; márcalos con la inicial corres-
pondiente.
Poliedros Nombre
Poliedros Nombre
Tetraedro
A
A
V
V
C

41
En una hoja de cartulina, dibuja en un tamaño más grande los
desarrollos de cada poliedro; recórtalos y pégalos convenientemente
para formar los cuerpos. Identifica su nombre.

LECCIÓN
42
5
Areavolum
Área y volumen de prismas
grado
El volumen de un cuerpo es la medida que se le asocia al espacio del
cuerpo.
El área de los cuerpos geométricos está relacionada con la superficie
del desarrollo de los planos.
El área lateral de un prisma recto es igual al perímetro de la base por
la altura.
El área total de un prisma recto es igual al área lateral más el área de
las dos bases.
El volumen de un prisma es igual al área de la base por la altura.
Calcula el área total y el volumen de los siguientes cubos.
a) Fórmula Sustitución Operación Resultado
a = 8.3 cm
a = 3.7 cm
b) Fórmula Sustitución Operación Resultado
El área total de un cubo es igual a seis veces el cuadrado de la arista.
El volumen del cubo es igual a elevar a la tercera potencia la arista; es
decir, el cubo de la arista.
Aquí, a significa la arista
Al = P × h
At = Al + 2 (área B)
At = 6a2
a
V = área B × h
V = a3

43
c) Encuentra el área lateral, el área total y el volumen de un prisma
regular hexagonal de las siguientes medidas: 8 cm de altura, 4 cm
de lado de la base y 3.46 cm de apotema. Es importante recordar la
definición de apotema.
Fórmula Sustitución Operación Resultado
d) Encuentra el área lateral, el área total y el volumen de un
prisma octagonal regular de las siguientes medidas: 12 cm de
altura, 5.2 cm de lado de la base y 6.28 cm de apotema.
El área lateral de una pirámide regular es igual al perímetro de la base
por el apotema de la pirámide (apotema lateral, la recta que va del
vértice al punto medio de la base de la cara triangular) entre dos.
El área total de una pirámide regular es igual al área lateral más el área
de la base.
El volumen de una pirámide es igual al área de la base por la altura
entre 3.
e) Halla el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide
cuadrangular regular que tiene las siguientes medidas: altura 12 m,
apotema 15 m, lado de la base 18 m.
Al = 1
2
(P × a)
At = Al + área B
V = 1
3
(área B × h)
Aquí,
P = perímetro de la base
a = apotema.

grado
f) Halla el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide
pentagonal regular que tiene las siguientes medidas: 18 m de altura
y 19.92 m de apotema; la base tiene 12.4 m de lado y 8.53 m de
apotema.
Las unidades de medida del
volumen de un cuerpo pueden
ser:
metro cúbico (m3
),
decímetro cúbico (dm3
),
centímetro cúbico (cm3
) o
milímetro cúbico (mm3
),
entre otras.
Resuelve los siguientes ejercicios, determinando el volumen de los
cuerpos.
Al ver un prisma rectangular metido en una
caja rectangular de 6 cm de altura sólo se
observa lo siguiente:
De acuerdo con la figura, ¿cuál es la cantidad
de cubos que conforman dicho prisma si
cada cubito mide 1 cm por lado?
Observa el siguiente dibujo que representa un mue-
ble para acomodar cajas de zapatos y donde cada
prisma que se forma es un espacio para una caja.
Si al empleado de la zapatería le dijeron que acomo-
dara un pedido de zapatos de 295 cajas, ¿cuántas
cajas sobraron para acomodarlas en otro mueble?
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6 cm

45
LECCIÓN
6
Interinfestad
Interpretación de la información estadística
Competividad
es la
capacidad de
una entidad
para atraer
y retener
inversiones y
talento.
Para interpretar la información, es de suma importancia comprenderla
y organizarla.
¿Cómo se encuentra Hidalgo en cuanto al índice de competitividad?
En base a los datos de la siguiente gráfica, contesta lo que se pide.
¿Cuánto tiempo se registra la competitividad?
De las 32 entidades federativas, ¿qué posición ocupa Hidalgo en
competitividad en el año 2008?
Según esta gráfica, ¿en qué año está mejor posicionado?
La competitividad se mide por diez factores:
Sistema de derecho
Manejo sustentable del medio ambiente
Sociedad incluyente, preparada y sana
Economía estable y dinámica
Sistema político estable y funcional
Mercado de factores eficientes
Sectores precursores de clase mundial
Gobiernos eficientes y eficaces
Aprovechamiento de las relaciones internacionales
Sectores económicos en vigorosa competencia.
Posición competitiva del estado de Hidalgo
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
27 27
29 29
28
30
27 27

grado
Analicemos la siguiente gráfica, mediante los diez factores anteriores.
¿En qué factores Hidalgo tiene calificaciones por arriba del promedio
nacional?
¿Cuáles son los tres factores en los que el Estado de Hidalgo está más
separado por debajo de la media nacional?
Escribe los cinco factores restantes ordenándolos de acuerdo a su
calificación.
Posición competitiva del estado de Hidalgo
0
4
8
12
16
20
24
28
32
Sistema
de
derecho
Medio
ambiente
Sociedad
preparada
Economía
estable
Sistema
político
Mercado
de
factores
Sectores
precursores
Gobierno
eficiente
Relaciones
internacionales
Sectores
económicos
29
17
26
22
29
24
28
7
26
13
31
24 24
12
26 26
x 2006 x 2008

47
LECCIÓN
7
Factorcte
Factor constante
Cuando en una relación de magnitudes existe un número que establece
una correspondencia proporcional, estamos hablando de factor o
constante de proporcionalidad.
Por ejemplo, la relación que existe entre el precio de un litro de leche y
la cantidad de litros comprados, son cantidades proporcionales.
¿Cuál es el factor o constante de proporcionalidad?
Completa las tablas y contesta las preguntas.
1. El banco cobra un interés mensual de 7.5%, es decir 75
1000
de la
cantidad que presta.
2. Una camioneta recorre 9.5 km por cada litro de gasolina.
El precio de la leche
es el factor constante:
$11.50
Litros de leche 1 2 3 4 5
Precio en pesos 11.50 23 34.5 46 57.5
11.5
23
34.5
46
1 2 3 4 5
57.5
Litros
Precio
0
10
20
30
40
50
60
70
Constante de proporcionalidad
Monto del préstamo 10 000 15 000 25 000 30 000 40 000 45 000
Interés mensual en pesos 750
Litros de gasolina 15 20 30 40 50 55
Distancia que recorre (km) 95 285

grado
3. Arturo recorre 120 m en 60 s. Si mantiene la misma velocidad,
¿cuántos metros recorrerá en 120 s, 180 s, 240 s, 300 s y 360 s?
Construye la tabla y traza su representación gráfica.
4. Rosa Ligia gasta cada mes $2 500 en artículos del hogar. ¿Cuánto
gastará los seis meses siguientes?
Llena la tabla y traza su representación gráfica.
Tiempo en
minutos
(min)
Recorrido
en metros
(m)
Meses Gasto

49
5. Un tren recorre 600 km, pero su velocidad varía de acuerdo a las
condiciones del clima; es decir, su velocidad no es constante.
Completa la tabla y traza su gráfica.
6. Un vehículo recorre cierta distancia en 15 horas a 50 km/h. ¿Qué
velocidad debe llevar para realizar el mismo recorrido en 12, 10, 8,
6 y 4 horas?
Velocidad
km/h
Tiempo
h
60 10
80
6
150
180 3.333
Velocidad
km/h
Tiempo
h
50 15
12
10
8
6
4
¿Qué diferencia existe respecto de las situaciones anteriores?

LECCIÓN
50
8
Medtencent
Medidas de tendencia central
grado
Alumno Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3
Rosa 9 10 9
Carlos 8 9 9
Silvia 8 8 9
Ignacio 9 8 8
Regina 10 10 10
María 10 10 9
Alan 9 10 8
¿Qué promedio obtuvo Rosa?
¿Qué promedio obtuvo Regina?
¿Quién tiene el mejor promedio hasta el momento?
¿Cuál es la mediana del primer bloque?
¿Cuál es la mediana de los tres bloques?
El promedio y la mediana son medidas que localizan el centro de la
distribución de datos.
El promedio, también conocido como media o media aritmética, es la
suma de los elementos de un conjunto entre el número de elementos.
La mediana es el número que, después de ordenar los datos de menor
a mayor, está a la mitad de la lista; cuando el número de datos es par, la
mediana es el promedio de los dos datos que están a la mitad de la lista.
Ejemplo: promedio = 9 + 8 + 6 + 10 + 10
5
= 8.6
En los números 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10 la mediana es 6
En los números 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18 la mediana es ... 1
2
(9 + 11) = 10
Los alumnos de sexto grado anotaron las calificaciones de matemáticas
que obtuvieron en los tres primeros bloques.

51
Ordena los datos de las siguientes tablas
y determina la media y la mediana.
158
95
125
145
62
78
32
14
3
56
97
26
47
82
41
58
92
9
50
102
83
59
99
52
78
80
63
52
92
53
80
75
75
54
87
62
97
55
82
71
53
51
85
40
75
62
94
65
84
66
85
54
87

LECCIÓN
52
1
Multinatura
BLOQUE TRES
Múltiplos de números naturales
BLOQUE TRES  Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o
grado
Múltiplos
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
6
9
10
15
3
7
20
8
El múltiplo de un número natural k, es el producto de k por otro
número natural cualquiera.
Por ejemplo, los números señalados con la flecha son múltiplos de 2
2, 3, 5, 4, 6, 11, 7, 12, 15, 26
Expresa en las casillas de la siguiente tabla, los siguientes 10 múltiplos
de los números de la primera columna y contesta las preguntas. Guíate
con los ejemplos.
Indica la cifra en que terminan los múltiplos del 10
Los múltiplos de 4 terminan en una de cinco cifras posibles. ¿Cuáles
son éstas?
¿Después de cuántos números se repite la última cifra de los múltiplos
del 3?
Escribe tres múltiplos de 8
¿De qué números es múltiplo 15?
¿De qué número es múltiplo 75?
¿De qué número es múltiplo todo número par?
¿De qué números es múltiplo 120?

53
Llena las casillas de la siguiente tabla y contesta las preguntas.
Relaciona con una flecha ambas columnas.
La suma de sus cifras son
múltiplos de ese número
Múltiplos de 2
Son divisibles entre 2 y 3 Múltiplos de 10
Terminan siempre en 0 Múltiplos de 6
Terminan siempre en 0 o 5 Múltiplos de 3
Terminan en 0 o en cifra par Múltiplos de 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4 9
2 4 16
3 12 27
4 4 24
5 15 35 50
6 24 30
7 14 42
8 8 32 64
9 18 54
10 30 70
¿Qué característica común observas en los múltiplos de 3?
Señala la característica común de los múltiplos de 4
Indica las cifras con las que terminan los múltiplos de 5
Determina la característica común que tiene la suma de todos los
dígitos de los múltiplos de 6

LECCIÓN
54
2
Ordnumfrade
Orden en los números fraccionarios y decimales
grado
La recta numérica también sirve para localizar un número que esté
ubicado entre dos decimales, haciendo las subdivisiones adecuadas.
Para encontrar un número entre dos fracciones determinadas, se
transformanéstasafraccionesequivalentesconelmismodenominador
(si las originales tienen denominadores diferentes), se suman y se
dividen entre dos (para realizar la división entre dos, se multiplica la
fracción por el inverso de dos, es decir, por 1
2
).
Ejemplo:
Identifica entre estas fracciones 2
10
, 3
10
un tercer número fraccionario:
Calcula la suma de estas fracciones: 2
10
+ 3
10
= 5
10
. Ahora divide
5
10
÷ 2 = 5
10
× 1
2
= 5
20
= 1
4
. Entonces el número que estamos buscando
es 1
4
y se cumple que 2
10
< 1
4
< 3
10
.
Siempre existe un número entre dos números decimales o entre dos
números fraccionarios. Para encontrar un número que se encuentra
entre dos decimales, se suma el par de números y después se divide el
resultado entre dos.
Ejemplos:
Encuentra el número que está entre 2.4 y 2.6. Encuentra el número que está entre 0.75 y 0.95.
2. 5
2 5. 0
1 0
0
2. 4
+ 2. 6
5. 0
0. 8 5
2 1. 7 0
1 0
0
0. 7 5
+ 0. 9 5
1. 7 0
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.75 0.85 0.95

55
Paraubicarlostresnúmeros 2
10
, 1
4
, 3
10
esconvenientetransformarlos
a fracciones equivalentes con denominador común:
2
10
× 2
2
= 4
20
3
10
× 2
2
= 6
20
1
4
× 5
5
= 5
20
Ya podemos ubicar los tres números, en donde 1
4
= 5
20
es el número
que está entre 2
10
y 3
10
e) Encuentra entre los números 4.38 y 4.39 un tercer número decimal.
Ubícalo en la recta numérica.
4 5
a) Encuentra entre las fracciones 3
5
y 7
10
un tercer número fraccionario.
0 1
b) Encuentra entre las fracciones 4
7
y 11
21
0 1
c) Encuentra entre las fracciones 4
9
y 5
9
0 1
d) Encuentra entre los números 0.5 y 0.7 un tercer número decimal.
0 1
0
1
20
4
20
5
20
6
20
10
20
15
20
20
20
2
10
1
4
3
10

LECCIÓN
56
3
Probconteo
Problemas de conteo
grado
En el conteo se usan técnicas para enumerar eventos difíciles de
cuantificar.
El diagrama de árbol es una técnica útil de representación gráfica, que
muestra las distintas opciones de combinación de objetos o eventos.
Resuelve los siguientes problemas.
1. En la florería Gardenia hay tres colores de claveles: rojos, blancos
y amarillos. Encuentra todos los arreglos posibles que se puedan
hacer con dos colores de flores diferentes, sin tomar en cuenta el
orden en que se acomoden.
2. En una pastelería hay cinco tipos de pasteles: de chocolate, nuez,
fresa, vainilla y tres leches. Don José necesita llevarse tres tipos de
pastel, ¿cuáles son las posibles alternativas?
3. Enunrestaurantehacenplatillosdetalformaquelosclientestienen
36 maneras de seleccionar una comida completa. La comida consta
de sopa, guisado y postre. ¿Cuál crees que sea la combinación que
usan los cocineros de las siguientes opciones? Subráyala.
Elabora un diagrama de árbol con la respuesta que elegiste, para
comprobar si hiciste bien la elección.
¿De cuántas maneras distintas podrá elegir un cliente su comida, si
un día el restaurant ofrece sólo 3 sopas, 2 guisados y 4 postres?

a) 9 sopas, 4 guisados y 3 postres b) 3 sopas, 3 guisados y 4 postres
c) 12 sopas, 12 guisados y 12 postres d) 36 sopas, 36 guisados y 36 postres

57
4. La mamá de Gabriela preparó algunos postres. Hizo flanes,
gelatinas, natillas y pays. Cada niño podía escoger dos postres
distintos.
Completa la tabla para mostrar todas las posibles combinaciones
de postres.
¿De cuántas formas distintas puede escoger sus dos postres cada niño?
¿Qué significa la combinación G-F que aparece en la tabla?
5. Paco lanzará al mismo tiempo un dado y una moneda juntos. Si
la moneda puede caer águila o sol, y el dado en 1, 2, 3, 4, 5 o 6,
¿cuántos resultados diferentes se pueden obtener, al caer al piso
tanto la moneda como el dado? Dibuja el diagrama de árbol.
6. Laura tiene varias opciones para vestirse e ir a la plaza con sus
amigas: 2 playeras, 2 pantalones y 2 pares de zapatos. ¿Cuántas
opciones para vestirse tiene en total? Elabora el diagrama de árbol.
Postres Flan Gelatina Natilla Pay
Flan x
Gelatina G - F x
Natilla x
Pay P - N x

LECCIÓN
58
4
Cocinumnat
Cociente de números naturales
grado
Sin hacer la división, podemos calcular el cociente, utilizando la estra-
tegia de estimar el número de cifras que tendrá; al multiplicar el divisor
por 10, 100 o 1000 y verificar que el resultado no rebase el dividendo.
Ejemplo:
Estima el cociente de las siguientes divisiones.
Selecciona con un círculo el cociente exacto de cada división, sin hacer
la operación.
450 es mayor que el dividendo, por lo que el
cociente será de una cifra.
División Número de cifras del cociente
460 ÷ 23
1 560 ÷ 12
283 336 ÷ 214
1 930 050 ÷ 450
540 ÷ 54
7 119 ÷ 63
8 069 ÷ 72
División Cociente
8 748 ÷ 27 32 3 241 324
960 ÷ 30 321 32 9
11 250 ÷ 450 25 250 50
507 500 ÷ 350 145 55 1 450
1 399 200 ÷ 530 264 2 640 84
9 702 ÷ 98 9 998 989 99
2 064 ÷ 86 240 24 8
12 900 ÷ 129 10 101 100
1 0
×
4 5 3 6 0

59
LECCIÓN
5
Repunplano
Representación de puntos en el plano
Forma espacio y medida
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
6
5
4 10
9
8
7
3
2
1
0
9
10
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
6
5
4 10
9
8
7
3
2
1
0
9
10
P (5, 6)
Eje de las
ordenadas
Eje de las
abscisas
Origen
Un punto puede situarse en una recta, en un plano o en el espacio.
Según donde se halle, cambia la referencia para localizarlo. Por ahora
utilizaremos dos rectas perpendiculares, llamadas ejes coordenados; el
sistema de ejes, distancias y simbología forman el Sistema Coordenado
Bidimensional.
Ejemplo:
Localiza los siguientes puntos en el sistema coordenado bidimensional,
de acuerdo a sus coordenadas.
A(2, 4) B(4, 1) C(6, 8) D(9, 7) E(10, 5)
Las coordenadas del punto P que se
encuentra en el Sistema Coordenado
Bidimensional son (5, 6).
El 5 representa la distancia del punto al eje
de las ordenadas (horizontal = x) y el 6 la
distancia del punto al eje de las abscisas
(vertical = y).
El sistema
coordenado
bidimensional
también se
conoce como
Plano
cartesiano
(x, y)
(5, 6)

60 BLOQUE TRES  Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o
grado
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
6
5
4 10
9
8
7
3
2
1
0
9
10
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
6
5
4 10
9
8
7
3
2
1
0
9
10
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
6
5
4 10
9
8
7
3
2
1
0
9
10
Identifica las coordenadas de los vértices de los siguientes polígonos
asignándoles una letra, y después escríbelas en las líneas que están
debajo de cada gráfica.
Observa el siguiente plano.
¿Qué coordenadas tiene el mercado?
¿Qué coordenadas tiene el cine?
¿Qué coordenadas tiene la panadería?
¿Qué coordenadas tiene la fábrica?
En las coordenadas (3, d) se encuentra
En las coordenadas (3, b) se encuentra
En las coordenadas (2, a) se encuentra
En las coordenadas (2, b) se encuentra
(1, d)
3
2
1 4
a
b
c
d
MERCADO
PARQUE
FÁBRICA
PANADERÍA
TEATRO
TIENDA
CINE
JUGUETERÍA
NIÑOS HÉROES
EMILIANO ZAPATA
BENITO JUÁREZ
MIGUEL
HIDALGO

61
LECCIÓN
6
SistIUSistIngles
Sistema Internacional de Unidades y
Sistema Inglés
Es indiscutible que existe un espíritu de unificación universal en
la humanidad, que busca el establecimiento de un solo lenguaje
que permita el buen entendimiento entre los hombres. En materia
de mediciones, existe un excelente intento para entendernos
científicamente y sin fronteras, llamado “Sistema Internacional de
Unidades” (SI). Sin embargo, existen países que todavía utilizan el
Sistema Inglés, como Estados Unidos.
Dentro de las unidades básicas, encontramos las siguientes diferencias:
Longitud
Sistema Inglés Sistema Internacional
1 pulgada (in) 2.54 cm
1 pie (ft) 30.48 cm
1 yarda (yd) 91.4 cm
1 milla (mi) 1 609.344 m
1 milla náutica 1 852 m
Problema resuelto:
Un granjero necesita colocar una cerca de 110 metros, ¿a cuántas
yardas corresponde?
1. Un conductor de autobús recorre 275 mi, ¿a cuántos km equivale?
La equivalencia adecuada es 1 yd = 91.4 cm
Sabemos que 1 m = 100 cm
entonces 110 m = 11000 cm
Por lo que 11000 cm = 120.35 yd

grado
Para el volumen y peso, también existe una tabla de equivalencias.
De acuerdo a la tabla anterior responde lo siguiente.
1. El tanque de agua de una casa es de 198.13 galones, ¿a cuántos cm3
y litros equivale?
2. Una persona pesa 85 kg, ¿a cuántas libras equivale?
2. Un carpintero necesita usar una broca de 3
16
in. ¿A cuántos
milímetros equivale?
3. Convierte tu estatura y la de tu mamá, de cm a pulgadas (in).
Volumen
1 galón (gal) 3 785.41 cm3
1 onza (fl. oz) 29.573 cm3
1 l = 1 000 cm3
Peso
1 onza (oz) 28.34 g
1 libra (lb) 453.59 g

63
LECCIÓN
7
Nocporcent
Noción de porcentaje
Recuerda que el porcentaje también recibe el nombre de tanto por
ciento y se puede expresar como fracción o como decimal.
Ejemplo de tres maneras de obtener el tanto por ciento; en este caso el
15% de 200.
Obtén mentalmente la cantidad que corresponde a cada porcentaje.
Porcentaje Cantidad
100 20 000
50
10
25
40
75
5 Porcentaje Cantidad
100 55 000
10
25
50
20
5
75
Porcentaje Cantidad
100 40 000
10
30
80
25
5
20
a) 15% de 200 = 15 × 200
100
= 30
b) 15% = 15
100
= 0.15 0.15 × 200 = 30
c) 15% = 15
100
= 3
20
200 × 3
20
= 30

grado
1. El señor Pérez obtiene $6 000 pesos mensuales de sueldo, el cual
distribuye como se muestra en la tabla. Obtén los porcentajes y
cantidades faltantes y escríbelos en las casillas correspondientes.
Egresos Porcentaje Cantidad
Renta de la casa $1 200
Agua, luz y teléfono 15
Alimentos $2 200
Diversión 5
Ropa y calzado 10
Transporte $800
Total 100 $6 000
2. Un cliente de una papelería compra en total $2 390 pesos, pero
como solicita factura tendrá que pagar 16% más por concepto de
impuestos (IVA). ¿Cuánto cambio le darán si paga con tres billetes
de $1000 pesos?
3. Un automóvil debe viajar en zona escolar a 30 km/h, y fuera de
ella, en un carril de alta velocidad, tiene que aumentar su velocidad
300%. ¿A qué velocidad debe viajar en ese carril?

65
LECCIÓN
8
Gradisesc
Gráficas a distinta escala
Para que una gráfica sea útil y veraz, debe mostrar la información a una
escala que represente los datos reales y adecuados al espacio de trabajo;
elaborar todas las gráficas mostradas en un informe a la misma escala
facilita su interpretación.
Ejemplo: se muestran dos gráficas en relación con un contaminante
en el aire del Distrito Federal, en la primer quincena de noviembre
de 2009.
Enestatablaseobservaqueelcontaminante
oscilaentre50y100unidades,enlamayoría
de los quince días registrados
Sin embargo, en la siguiente tabla se
observa que el contaminante oscila entre 40
y 80 unidades, en la mayoría de los mismos
quince días.
Lo anterior se debe a que la primera de las gráficas utiliza una escala
inadecuada que falsea la realidad.
Concentración por día
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
13 15
11
50
150
100
0
1
20
80
60
120
40
100
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

grado
Gráfica 2
Gráfica 1
Siobservaslosdías11y12,¿quévaloreslescorrespondenenlagráfica1?
Esos mismos días (11, 12), ¿qué valores muestran en la gráfica 2?
A los días 11 y 12 les corresponden 89.31 y 86.59 unidades
respectivamente. ¿Cuál de las dos gráficas representa de manera más
fiel esos valores?
En la gráfica 1, ¿cuántos puntos se localizan entre 50 y 100?
En la gráfica 2 localiza los puntos que se encuentran en los intervalos
del 40 al 60, del 60 al 80 y del 80 al 100. ¿Cuántos puntos localizaste?
Verifica, en ambas gráficas, el valor de los puntos de los días 1 y 18.
¿Cuál de las dos nos da un valor más confiable?
Escribe tus conclusiones:
Las gráficas siguientes presentan una situación similar, pero del 1 al 18
de diciembre de 2009. Analízalas y responde a las preguntas.
0
50
100
2
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15
14 17
16 18
0
20
80
60
40
100
2
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

67
LECCIÓN
1
Divnumero
BLOQUE CUATRO
Divisores de un número
Recuerda que la división es una operación que sirve para repartir o
agrupar equitativamente una cantidad de cosas o elementos en
colecciones.
Si un número b es múltiplo de otro número a, se dice que a es divisor
de b. Cuando el divisor divide de manera exacta al dividendo, hablamos
de un divisor propiamente dicho.
Criterios de divisibilidad
Divisibilidad entre 2
Un número natural es divisible entre 2, cuando termina en cero o en
cifra par.
Divide:
a) 340 ÷ 2 = b) 856 ÷ 2 = c) 427 ÷ 2 = d) 12520 ÷ 2 =
Un número natural es divisible entre 3, si la suma de sus cifras es
divisible entre 3.
Ejemplo:
¿Es 936 divisible entre 3? Sumamos sus cifras: 9 + 3 + 6 = 18. Como
18 ÷ 3 = 6, 936 sí es divisible entre 3.
¿Es 394 divisible entre 3? Sumamos sus cifras: 3 + 9 + 4 = 16. Ya que
16 NO es divisible entre 3, el número 394 tampoco es divisible entre 3.
Divide:
a) 648 ÷ 3 = b) 396 ÷ 3 = c) 3897 ÷ 3 = d) 4567 ÷ 3 =

68 BLOQUE CUATRO  Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o
grado
Un número natural es divisible entre 4, si sus dos últimas cifras son
ceros o forman un número divisible entre 4.
Ejemplo:
¿45 253 es divisible entre 4? Tomamos las dos últimas cifras, que son
53. Como 53 NO es divisible entre 4, el número 45 253 tampoco es
divisible entre 4.
¿3280 es divisible entre 4? Tomamos las dos últimas cifras, que son 80.
Como 80 SÍ es divisible entre 4, el número 3 280 sí es divisible entre 4.
Divide:
a) 3516 ÷ 4 = b) 964 ÷ 4 = c) 7200 ÷ 4 = d) 3518 ÷ 4 =
Un número natural es divisible entre cinco, cuando termina en 0 o en 5.
Divide:
a) 870 ÷ 5 = b) 1252 ÷ 5 = c) 34200 ÷ 5 = d) 615 ÷ 5 =
Un número natural es divisible entre 6, si es divisible entre 2 y entre 3.
Divide:
a) 5328 ÷ 6 = b) 34806 ÷ 6 = c) 288 ÷ 6 = d) 3126 ÷ 6 =
Un número natural es divisible entre 10, si termina en cero.
Divide:
a) 320 ÷ 10 = b) 4300 ÷ 10 = c) 80 ÷ 10 = d) 75400 ÷ 10 =

69
Examinasielnúmerodelaprimeracolumnaesdivisibleentrealguno(s)
de los que encabezan las demás. Cuando así sea el caso, coloca una P
en la columna correspondiente y compruébalo.
Más criterios de divisibilidad
Un número natural es divisible entre 8, si sus tres últimas cifras son
ceros o forman un número divisible entre ocho.
Divide:
a) 5000 ÷ 8 = b) 7120 ÷ 8 = c) 2000 ÷ 8 = d) 3600 ÷ 8 =
Un número natural es divisible entre 9, si la suma de los valores de sus
cifras es divisible entre 9.
Divide:
a) 2457 ÷ 9 = b) 85977 ÷ 9 = c) 3276 ÷ 9 = d) 7605 ÷ 9 =
Un número natural es divisible entre 11, si la diferencia entre la suma
de los valores de las cifras de lugar par y la suma de los valores de las
cifras de lugar impar, es 0 o múltiplo de 11.
Divide:
a) 3806 ÷ 11= b) 816849 ÷ 11= c) 9240 ÷ 11= d) 15400 ÷ 11=
2 3 4 5 6 10
567
2 350
64
9 705
2 478

LECCIÓN
70
2
Converfrac
Conversión de fracciones
BLOQUE CUATRO  Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o
grado
Los números fraccionarios se pueden convertir en números decimales
y viceversa. Para convertir una fracción a decimal, simplemente se
realiza la división.
Ejemplos:
3
5
= 0.6 1
4
= 0.25 4
8
= 0.5
Para convertir un número decimal a fracción, hay que dividir cada cifra
decimal entre sucesivos múltiplos de 10 y sumar los números.
Ejemplos:
0.75 = 7
10
+ 5
100
= 75
100
2.584 = 2 + 5
10
+ 8
100
+ 4
1000
= 2584
1000
43.09 = 43 + 0
10
+ 9
100
= 4309
100
Transforma las siguientes fracciones a números decimales. Sigue los
ejemplos.
2
10
= 0.2 7
10
= 12
10
= 1 + 2
10
= 1.2
2
100
= 91
100
= 126
100
=
500
1000
= 694
1000
= 1126
1000
=
2
10000
= 5 550
10000
= 11126
10000
=
41
100000
= 72
100
= 97304
100000
=

71
Transforma los siguientes números decimales a fracciones. Sigue los
ejemplos.
0.45 = 4
10
+ 5
100
= 45
100
8.2 = 8 + 2
10
= 82
10
3.764 = 3 + 7
10
+ 6
100
+ 4
1000
= 3764
1000 3.6 =
9.54 = 1.05 =
31.843 = 28.047 =
Completa la siguiente tabla, de acuerdo al ejemplo que se muestra.
Fracción
común
Fracción decimal Escritura
Número
decimal
1
4
25
100
Veinticinco centésimos 0.25
4
5
Tres centésimos
0.45
5
6
1
2
2.83
30
1 000
Dos enteros setenta y
seis centésimos

LECCIÓN
72
División de fracciones entre enteros
grado
3
Divfracenter Al dividir una fracción entre un número entero 5
6
÷ 4, el entero lo
escribimos como 4
1
, que también es número racional. Entonces
se multiplica la fracción por el recíproco del entero o racional ( 1
4 );
es decir, 5
6
× 1
4
= 5
24
Ejercicios.
1. Resuelve las siguientes divisiones.
2. En un edificio de departamentos viven 108 personas, de las cuales
la mitad son adultos. Una sexta parte de ellos son adultos mayores.
¿Qué fracción de los habitantes del edificio son adultos mayores?
3. En una función de teatro se vendieron 354 boletos. Dos tercios de
ellos fueron boletos de niños. Si la cuarta parte de los niños eran
menores de 4 años, ¿qué fracción de los espectadores eran menores
de 4 años?
4. Juan invitó a 3 amigos a comer pizza. Si sólo había 3
5
de una pizza,
¿qué parte le tocó a cada uno?
2
3
÷ 3 = 2
3
× 1
3
= 2
9
1
5
÷ 4 = 5
9
÷ 7 =
2
7
÷ 5 = 3
8
÷ 2 = 4
11
÷ 6 =
6
8
÷ 3 = 7
9
÷ 8 = 8
12
÷ 9 =

73
LECCIÓN
Polígonos regulares inscritos en
una circunferencia
4
Poliregcirc
Recuerda que los polígonos regulares son los que tienen sus lados y
ángulos iguales. Si todos sus vértices se encuentran sobre una misma
circunferencia, el polígono está inscrito en dicha circunferencia, es
decir, dentro de ella.
Para trazar polígonos dentro de una circunferencia podemos partir del
ángulo central. Recuerda que el giro completo en una circunferencia
es de 360°. Si divides los 360° entre el número de lados del polígono
regular, obtienes la medida de los ángulos centrales, que corresponden
a los lados del polígono.
Llena las casillas faltantes de la siguiente tabla.
Polígono
Número
de lados
Medida de los
ángulos centrales
3
1 2 0
3 3 6 0
0 6
0 0
La apotema a es la
perpendicular trazada
del centro del polígono
regular al punto medio
de uno de sus lados.
v = vértice
β = ángulo central
r = radio
β
a
r
v

74 BLOQUE CUATRO  Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o
grado
Traza el polígono regular indicado, de manera que quede inscrito en la
circunferencia.
En la siguiente tabla proporciona los datos que se piden, de acuerdo al
ejercicio anterior.
Relaciona los elementos del polígono inscrito, que están en la columna
izquierda de la siguiente tabla, con las letras correspondientes de la
figura. Coloca las letras en la columna derecha.
Elemento Letra
Ángulo central
Ángulo interno
Apotema
Centro del polígono
Lados del polígono
Radio del polígono
Elementos
Polígonos
Hexágono Heptágono Decágono
Número de lados
Medida de los ángulos centrales
Número de vértices
Medida del apotema
Medida del radio
Hexágono Heptágono Decágono
O
a
r
β
α
D
E
F
B
C

75
LECCIÓN
5
Longcircunf
Longitud de una circunferencia
La longitud o medida de una circunferencia, es el perímetro del círculo.
La razón entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro es
una constante llamada pi que se simboliza con la letra griega π.
De acuerdo a los datos que se proporcionan, obtén el valor de π.
Ejemplo: una pelota de golf tiene un diámetro
de 43 mm y una circunferencia de 135.02 mm.
1. Un balón de basquetbol tiene un diámetro
de 25 cm y una circunferencia de 78.5 cm.
2. La luna tiene un diámetro de 3 476 km y
una circunferencia de 10914.64 km.
3. Se tiene que pegar encaje a un aro de 35 cm de diámetro. ¿Cuánto
encaje se necesitará para cubrirlo?
4. Un carrete de listón mide 12 cm de diámetro. ¿Qué longitud alcanza
una vuelta del listón?
5. Eldiámetrodelaruedatraseradeunabicicletaantiguamide25cmy
el de la delantera, 1.10 m.
Obtén la circunferencia de cada una de las ruedas.
Circunferencia de la rueda grande =
Circunferencia de la rueda chica =
Obtén el número de vueltas que da la rueda chica por cada vuelta
de la rueda grande.
Calcula y escribe el número de vueltas que da cada rueda, al recorrer
100 m. Rueda grande = Rueda chica=
d
d
d
L
d
L = longitud o perímetro
de la circunferencia
d = diámetro = 2 veces el
radio (r)
L
d
= 135.02
43
= 3.14
L
d
=
L
d
=
π= L
d

LECCIÓN
76
Experimentos aleatorios
grado
6
Expaleato El estudio de los eventos aleatorios fue iniciado en el siglo XVII por
Blaise Pascal y Pierre de Fermat, matemáticos franceses. En estos
eventoslosresultadosnoseconocenconcerteza.Peroesimprescindible
identificar todos los resultados posibles, el conjunto de los cuales se le
conoce como espacio muestral.
Ejemplo: si lanzamos una moneda al aire, realizamos un evento
aleatorio. Los resultados posibles son "águila" o "sol".
Lanza un dado 30 veces y registra los resultados.
Registra el número de veces que salió cada número y calcula su
porcentaje en relación con los 30 lanzamientos.
Resultados del lanzamiento
1 11 21
2 12 22
3 13 23
4 14 24
5 15 25
6 16 26
7 17 27
8 18 28
9 19 29
10 20 30
Resultado 1 2 3 4 5 6
Frecuencia
Porcentaje

77
Lanza dos monedas iguales 20 veces y registra los resultados en las
siguientes tablas.
Resultados del lanzamiento
1 11
2 12
3 13
4 14
5 15
6 16
7 17
8 18
9 19
10 20
Resultado Frecuencia Porcentaje
Caer dos águilas
Caer un águila y un sol
Caer dos soles
Total 20 100

LECCIÓN
78
Problemas de comparación de razones
grado
7
Probcompraz La razón es una comparación mediante una división de dos números.
Los números 6 y 2 se pueden comparar como la razón 6
2
o también
6 : 2 y se lee 6 es a 2.
La igualdad de dos razones recibe el nombre de proporción.
Ejemplo. En una cremería se venden dos tipos de crema de similar
calidad: 300 g de crema “La vaquita” cuestan $12.00 y 250 g de crema
“El valle” cuestan $9. ¿Qué crema ofrece mejor precio?
La respuesta se encuentra al calcular el precio del producto para
cantidades iguales, por ejemplo para 100 g, por lo que establecemos
las siguientes proporciones:
300 g es a $12 como 100 g es a … ¿qué precio?
250 g es a $9 como 100 g es a… ¿qué precio?
Utilizamos la propiedad fundamental de las proporciones:
Entodaproporciónlosproductosdesustérminoscruzadossoniguales.
1. Para elaborar un pastel, Rosita utiliza 5 huevos en 312.5 g de harina
y Pilar 9 huevos en 450 g de harina. ¿Cuál de las dos utiliza más
huevos en la elaboración del pastel?
×
=
÷
250 g
$9
100 g
x
×
=
÷
300 g
$12
100 g
x
Crema “El valle”
$3.60 los 100 g,
es el mejor precio.
Crema “La vaquita”
$4.00 los 100 g.
x = 12 × 100
300
= 4 x = 9 × 100
250
= 3.6

79
2. Enlatiendaderopa“Laprenda”,Carlosquierecomprarunpantalón
de algodón que cuesta $420, con un descuento del 15%. En la tienda
“Ropa y más ropa”, el mismo pantalón cuesta $490.00 con 25% de
descuento. ¿Cuál tienda tiene el mejor precio del pantalón?
3. El precio del jitomate en tres tiendas es como sigue.
Tienda A: 3 kg a $31.50
Tienda B: 2 kg a $24.40
Tienda C: 4 kg a $36.80
¿Qué tienda vende más barato el jitomate por kilogramo?
Nuez de la India
200 g
$15
Nuez de la India
500 g
$35
Pistaches
100 g
$20
Pistaches
1 kg
$190
Garapiñados
300 g
$10
Garapiñados
500 g
$20
Semillas
250 g
$8
Semillas
1 kg
$30
Cacahuates
150 g
$10
Cacahuates
750 g
$52
Nueces
400 g
$60
Nueces
1 kg
$120
4. Compara la razón entre cada par de opciones, y elige con una P la
más conveniente. Realiza tus operaciones debajo de cada recuadro.

LECCIÓN
80
BLOQUE CINCO
Divisores y múltiplos comunes
BLOQUE CINCO  Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o
grado
Los múltiplos comunes de dos o más números son todos aquellos
múltiplos compartidos por dichos números, siendo éstos divisores de
tales múltiplos.
Por ejemplo, los primeros 18 múltiplos de 2, 3 y 4 se registran en la
siguiente tabla:
Los múltiplos comunes de 2, 3 y 4 son 12, 24, 36,… etcétera.
El menor de los múltiplos comunes recibe el nombre de mínimo
común múltiplo (mcm). En este caso, 12 es el mcm de 2, 3 y 4.
Obtén los primeros múltiplos de los números que se dan en la tabla
siguiente y responde lo que se pide.
Encuentra el mcm de 5, 6, 7 y 8
Encuentra el mcm de 9, 10, 11 y 12
Números Múltiplos
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72
Números Múltiplos
5
6
7
8
9
10
11
12
1
Divmultcom

81
Una manera más práctica de obtener el mcm de dos o más números
naturales, es descomponerlos en sus factores primos (2, 3, 5, 7, 11,
etcétera), y hallar el producto de sus factores primos comunes y no
comunes elevados a su mayor exponente.
Ejemplo:
mcm de 64, 80 y 32
mcm (64, 80, 32) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 = 64 × 5 = 320
La criba de Eratóstenes (siglo III, a. C.) nos permite ver los números
primos, que son los que sólo aceptan dos divisores: la unidad y
ellos mismos. Aquí están marcados los primos entre los 52 primeros
números.
Halla el mínimo común múltiplo (mcm) de los siguientes números.
a) 32 y 68
c) 28, 36 y 45
b) 52 y 76
d) 56, 132 y 216
64 80 32 2
32 40 16 2
16 20 8 2
8 10 4 2
4 5 2 2
2 5 1 2
1 5 1 5
1 1 1
Criba de Eratóstenes
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

82 BLOQUE CINCO  Enseñanza de las matemáticas con tecnología  6o
grado
Encuentra los divisores de 4, 9 y 22 y regístralos en la siguiente tabla.
Obtén los divisores de los números de la primera columna, en orden
ascendente.
Obtén los divisores comunes de 4 y 22
Obtén los divisores comunes de 9 y 18
El mayor de los divisores comunes recibe el nombre de máximo
común divisor (MCD).
Escribe el MCD de 9 y 18
Número Divisores
4 1
9 1
18 1 2 3 6 9 18
22 1
Números Divisores
6
10
15
16
18
20
25
28
32
40

83
Existe también una manera más práctica de obtener el MCD de dos
o más números naturales. Se dividen TODOS los números entre sus
factores primos (mitades, tercias, etcétera). En el momento en que
alguno de ellos ya no sea divisible, se detiene el proceso y se procede a
multiplicar los factores.
Ejemplo:
encuentra el MCD de 12 y 18.
2 y 3 son factores primos comunes,
entonces el MCD de 12 y 18 es 2 × 3 = 6
Encuentra el máximo común divisor (MCD) de los siguientes números.
a) 35 y 48
c) 64, 80 y 32
b) 70 y 62
d) 126, 84 y 168
12 18 2
6 9 3
2 3

LECCIÓN
84
Problemas con divisores o múltiplos comunes
grado
1. Un carpintero quiere cortar una tabla de madera de 256 cm de
largo y 96 cm de ancho, en cuadrados tan grandes como sea posible.
¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado? ¿Cuántos
cuadrados se obtienen de la tabla de madera?
2. Un turista va a Huejutla cada 18 días, otro va al mismo lugar cada
15 días y un tercero, va también al mismo lugar cada 8 días. Hoy,
18 de mayo, coincidieron en Huejutla los tres turistas. ¿Dentro de
cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Huejutla?
3. En su dulcería, Jorge tiene cajas con bolsas de caramelos. En la
caja A tiene bolsas de 24 caramelos cada una y no sobra ningún
caramelo. En la caja B tiene bolsas de 20 caramelos cada una y
tampoco sobran caramelos. El número total de caramelos que hay
en la caja A es igual al que hay en la caja B. ¿Cuántos caramelos
como mínimo hay en cada caja?
2
Probdivmult

85
4. Lupita y Andrés tienen 25 bolitas rojas, 15 bolitas verdes y 90
bolitas blancas y quieren hacer el mayor número de collares iguales
sin que sobre ninguna bolita. ¿Cuántos collares iguales pueden
hacer? ¿Qué número de bolitas de cada color tendrá cada collar?
5. Un terreno rectangular de 360 m de largo y 150 m de ancho, está
divididoencuadradosiguales.Eláreadecadaunodeestoscuadrados
es la mayor posible. ¿Cuánto mide el lado de cada cuadrado?
6. Regina tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro reloj
que da una señal cada 150 minutos y un tercero que da una señal
cada 360 minutos. A las 9 de la mañana los tres relojes coincidieron
en dar la señal. ¿Cuántas horas, como mínimo, han de pasar para
que vuelvan a coincidir? ¿A qué hora volverán a dar la señal otra vez
juntos?

LECCIÓN
grado
Adentrarse en la comprensión del comportamiento de los números es
verdaderamente interesante, ahora veremos algunos casos.
1
3
significa que dividimos la unidad en tres partes y nos quedamos
con una.
1
3
de 4 significa tomar una tercera parte de cuatro unidades.
Como vamos a tomar una tercera parte, se divide cada entero en 3.
2
3
de 4 significa tomar dos terceras partes de cuatro unidades.
1
4
de 2
3
significa tomar una cuarta parte de dos terceras partes.
4
3
se multiplica por uno,
para tomar sólo una tercera parte:
( 4
3 )× 1 = 4
3
4
3
se multiplica por dos,
para tomar dos terceras partes:
( 4
3 )× 2 = 8
3
1
6
se multiplica por uno,
para tomar una cuarta parte:
( 1
6 )× 1 = 1
6
Producto de fracciones, decimales y enteros
4 ÷ 3 = 4 × 1
3
= 4
3
4 ÷ 3 = 4 × 1
3
= 4
3
2
3
÷ 4 = 2
3
× 1
4
= 2
12
= 1
6
4
3
8
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
3
Prodfracdec

87
Ejercicios.
1. Proporciona el significado, representación gráfica y numérica de
3
4
de 5.
5
3
de 3.
3. Da el significado, representación gráfica y numérica de 1
2
de 2
8
.
2
3
de 1
2
.
5. Da el significado, representación gráfica y numérica de 3
5
de 2
3
.

grado
Para calcular el producto de una fracción por un entero, se puede sumar
la fracción tantas veces como indique el número entero o, como se
realizó en el ejercicio anterior, multiplicar el numerador por el entero y
escribir el mismo denominador.
Ejemplo: 4 × 2
3
= 2
3
+ 2
3
+ 2
3
+ 2
3
= 4
1
× 2
3
= 8
3
Realiza las siguientes multiplicaciones:
a) 3 × 2
5
= b) 5 × 3
8
= c) 7 × 5
4
=
d) 8 × 2 4
7
= e) 2 × 3 1
7
= f) 6 × 8
3
=
Responde las preguntas:
¿Qué fracción de 60 km es 10 km?
¿Cuántas veces cabe 25 kg en 225 kg?
¿Cuántos kilogramos son 5
13
de 220 kg?
Completa la siguiente tabla de costos de productos, realizando las
multiplicaciones. Guíate con el ejemplo.
Kilogramos de carne molida especial
1 0.25 0.3 0.02 0.50 0.45
$90
9 0
× 0. 2 5
4 5 0
1 8 0
2 2. 5 0
Kilogramos de manteca de cerdo
1 0.1 0.4 0.65 3.2 2.33
$30

89
LECCIÓN
Volumen de prismas 4
Volumenprismas
Recuerda que el volumen se calcula en unidades cúbicas, y se llaman
así porque en el cálculo intervienen tres dimensiones (largo o longitud,
ancho o profundidad y alto).
Llena las casillas faltantes con los datos que se piden.
Si queremos determinar el volumen de un cubo, hay que definir una
unidad de medida y ver cuántas veces cabe esa unidad de medida en el
cubo.
Tomemos como unidad de medida un cubo de 1 cm por arista. Esta
unidad recibe el nombre de centímetro cúbico (cm3
).
Profundidad o
ancho
Longitud o
largo
Altura Volumen
4 cm 7 cm 5 cm
6 cm 10 cm 480 cm3
15 cm 9 cm 945 cm3
9 cm 22 cm 10 cm
1 cm3
1 cm
Altura
Profundidad
Longitud
Las unidades de medida del
volumen de un cuerpo pueden ser:
metro cúbico (m3
),
decímetro cúbico (dm3
),
centímetro cúbico (cm3
) o
milímetro cúbico (mm3
),
entre otras.

LECCIÓN
90
5
Diferunid
Diferentes unidades
grado
La capacidad es la propiedad de un objeto de contener otros dentro de
ciertos límites, razón por la cual la capacidad de un recipiente se asocia
a su volumen.
El volumen es la magnitud física que expresa la medida de un cuerpo
en tres dimensiones: largo (longitud), ancho (profundidad) y alto. Su
unidad en el Sistema Internacional, es el metro cúbico (m3
).
decímetro
cúbico
0.001m3
dm3
centímetro
cúbico
0.000 001 m3
cm3
milímetro
cúbico
0.000 000 001 m3
mm3
decilitro 0.1 l dl
centilitro 0.01 l cl
mililitro 0.001 l ml
metro3
litro
km3
1 000 000 000 m3 kilómetro
cúbico
hm3
1 000 000 m3 hectómetro
cúbico
dam3
1 000 m3 decámetro
cúbico
kl 1 000 l kilolitro
hl 100 l hectolitro
dal 10 l decalitro
Equivalencia
1 m3
= 1 000 l
1 dm3
= 1 l
1 cm3
= 0.001 l
1 000 cm3
= 1 l

91
1 l = cm3
1 l = mm3
1 l = m3
1 l = dam3
1 l = hm3
Ejercicios.
1. Llena la tabla escribiendo las equivalencias de 1 litro de leche.
2. Completa la siguiente tabla con las equivalencias correspondientes.
3. Una pecera tiene las siguientes dimensiones: 1 m de largo, 50 cm
de ancho y 65 cm de altura. ¿Cuántos litros de agua se necesitan
para llenarla?
ml dm3
cm3 l
2 l
5 l
3 700 ml
500 cm3
3.5 l
2.5 dm3

LECCIÓN
92
6
Consproporci
Constante de proporcionalidad
grado
Se tiene una constante de proporcionalidad cuando la relación que existe
entre dos cantidades siempre es la misma.
Ejemplos: la escala es la constante de proporcionalidad entre las
dimensiones de dos objetos semejantes.
La velocidad es la distancia que recorre un objeto entre el tiempo que
utiliza en recorrerla.
Completa la tabla siguiente, de modo que el segmento DE mida 30 cm.
Localiza los siguientes puntos en el plano cartesiano:
A(4, 4), B(8, 4), C(8, 6), D(10, 6), E(10, 9), F(8, 9),
G(8, 11), H(4, 11), I(4, 9), J(2, 9), K(2, 6), L(4, 6).
Une los puntos en el orden dado hasta cerrar la figura
e indica los datos a continuación.
Lados de la figura
Longitud del segmento DE
Perímetro de la figura
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
6
5
4 10
9
8
7
3
2
1
0
9
10
Lado Figura original Figura a escala Lado Figura original Figura a escala
AB GH
BC HI
CD IJ
DE 30 cm JK
EF KL
FG LA

93
Con base en la consideración dada, de que 3 unidades del lado DE de
la figura original equivalen a 30 centímetros de la figura a escala,
¿Cuál es la constante de proporcionalidad utilizada en este ejercicio?
Recuerda que la escala es la relación entre la dimensión dibujada con
respecto a la dimensión real, es decir:
Si el numerador es mayor que el denominador se
trata de una escala de ampliación.
Por ejemplo: 2:1, 5:1, 10:1, 20:1, …
Si el numerador es menor que el denominador se
trata de una escala de reducción.
Por ejemplo: 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50, …
Reproduce la figura original a la escala indicada.
a) Calcula el área original.
b) Calcula el área de la reproducción.
Escala
1
3
Reproducción
Original
12
4
3
9
Escala
4
1
Original
Reproducción
2
3
Escala = Dibujo
Realidad
= Medida del plano
Medida de la realidad
Gráficamente:

grado
Reproduce la figura original a la escala indicada.
Un tren suburbano se desplaza a velocidad constante. Completa la tabla
conlasdistanciasquerecorreoeltiempoqueemplea,segúncorresponda.
Después escribe a qué velocidad se desplaza dicho tren.
¿Cuál es la velocidad del tren en km
min
?
Su equivalente en km
h
es
Escala
1
2
Original
Reproducción
10
8
Estaciones
A B C D E
Distancia
(km)
50 100 200
Tiempo
(min)
60 90 135

95
LECCIÓN
7
Situpropor
Situaciones de proporcionalidad
Lado del cuadrado y
su área
Lado del cuadrado y
su perímetro
Edad y altura de
las personas
Una relación de proporcionalidad es aquella que cumple con las
siguientes propiedades:
Conservación de los factores internos
Aditividad
Valor unitario
Factor constante de proporcionalidad
Productos cruzados
Ejercicios.
1. De los siguientes pares de magnitudes, ¿cuáles son directamente
proporcionales?
2. ¿Cuáles de las siguientes tablas expresan magnitudes proporcionales?
3. Para hacer crema de chocolate para 6 personas, se necesitan 800 g
de chocolate, 6 cucharadas de azúcar, 4 yemas de huevo y
10 almendras, entre otros ingredientes. ¿Cuánto se necesita de
cada ingrediente para preparar una crema para 9 personas?
A 1 2 3 4 5
B 7 14 21 21 35
L 4 8 12 16 20
S 36 72 108 144 180
T 1 2 3 4 5
E 100 200 300 400 500

grado
4. Se realizó una encuesta a 720 personas sobre el uso de la
computadora (PC) en casa. Los resultados están representados
en la siguiente gráfica de sectores. Observa la gráfica y calcula el
número de personas que corresponden a cada grupo.
a) Averigua cuántas personas representa cada grado del círculo.
b) Mide con un transportador los grados de cada sector circular.
c) Calcula el número de personas que corresponde a cada sector.
5. Relaciona la columna de propiedad con su descripción:
Usos de la PC en casa
Estudiar Trabajar Dibujar Jugar
Propiedad
a
Conservación de los
factores internos
b Aditividad
c Valor unitario
d
Factor constante de
proporcionalidad
e Productos cruzados
Descripción
A la suma de dos cantidades cualesquiera en una
misma columna le corresponde la suma de sus
correspondientes cantidades en la otra columna.
Existe un número entero o fraccionario que
al multiplicarse por cualquier valor del primer
conjunto se obtiene el valor correspondiente del
segundo conjunto.
Los productos cruzados entre dos pares de
cantidades correspondientes son iguales.
El valor que se desprende de cualquier par de
valores correspondientes es siempre el mismo.
Cuando una magnitud crece al doble, al triple,
etcétera, la que le corresponde también crece al
doble, al triple, etcétera.

97
LECCIÓN
8
Probteofrec
Probabilidad teórica y frecuencial
En eventos aleatorios, la probabilidad teórica Pt se expresa como el
cociente de resultados favorables entre resultados posibles; en donde el
numerador representa el número de sucesos afortunados o favorables
y el denominador, el número de sucesos posibles.
La probabilidad frecuencial Pf es la que nos da a conocer los resultados
ocurridos en un determinado número de eventos.
Ejemplo: la probabilidad Pt de obtener 5 al lanzar un dado sobre la
mesa es un suceso favorable de 6 posibles; es decir, la probabilidad es
1 de 6.
1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 3, en el
lanzamiento de un dado?
2. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar una canica roja de una bolsa
que contiene 3 canicas negras, 5 amarillas y 2 rojas?
Pf =
número de resultados ocurridos (nr)
número de experimentos (ne)
Pt =
número de sucesos favorables (nf)
número total de sucesos posibles (np)
= 1
6

Emat sexto primaria

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Emat sexto primaria

Similar a Emat sexto primaria (20)

Último

Último (20)

Emat sexto primaria