El documento presenta ejercicios resueltos sobre ángulos y sistemas de medida angular. En el primer ejercicio se calcula el valor de x. En el segundo ejercicio se resuelve una ecuación angular expresada en radianes. En el tercer ejercicio se calcula la medida de un ángulo expresado en el sistema sexagesimal.
Solucionario del examen de Admisión de la Universidad Nacional de Ingeniería de Matemáticas, tomado el 11/08/2014.
Desarrollado por la Academia Saco Oliveros
1891 - 14 de Julio - Rohrmann recibió una patente alemana (n° 64.209) para s...Champs Elysee Roldan
El concepto del cohete como plataforma de instrumentación científica de gran altitud tuvo sus precursores inmediatos en el trabajo de un francés y dos Alemanes a finales del siglo XIX.
Ludewig Rohrmann de Drauschwitz Alemania, concibió el cohete como un medio para tomar fotografías desde gran altura. Recibió una patente alemana para su aparato (n° 64.209) el 14 de julio de 1891.
En vista de la complejidad de su aparato fotográfico, es poco probable que su dispositivo haya llegado a desarrollarse con éxito. La cámara debía haber sido accionada por un mecanismo de reloj que accionaría el obturador y también posicionaría y retiraría los porta películas. También debía haber sido suspendido de un paracaídas en una articulación universal. Tanto el paracaídas como la cámara debían ser recuperados mediante un cable atado a ellos y desenganchado de un cabrestante durante el vuelo del cohete. Es difícil imaginar cómo un mecanismo así habría resistido las fuerzas del lanzamiento y la apertura del paracaídas.
La mycoplasmosis aviar es una enfermedad contagiosa de las aves causada por bacterias del género Mycoplasma. Esencialmente, afecta a aves como pollos, pavos y otras aves de corral, causando importantes pérdidas económicas en la industria avícola debido a la disminución en la producción de huevos y carne, así como a la mortalidad.
1era parte solucionario libro matematica 5to grado Cobeñas Naquiche,hecho en autocad
1. CAPITULO 1
sitivo) tenemos :
30x-30=180
30x=210
x=7
x
sitivo) tenemos :
x
igualando con ( II)
a
m + b
n + c
p
sitivo) tenemos :
a=m ; entonces a/m=1
b=n ; entonces b/n=1
c=p ; entonces c/p=1
a
m + b
n + c
p = 1 + 1 +1 = 3
sitivo) tenemos :
2. CAPITULO 1
minos de " "
O
O
el mismo residuo:
9 2 14
son coterminales : y
EJERCICIO 7 En la figura ,calcular el valor que
toma " x "
o
o
sean : = 1k , = 7k y = 13k
entonces :
=
1k
7k
por lo tanto : =
nk
entonces :
+
valor positivo.
sean : = 19k y = 3k
entonces :
=
19k
3k
por lo tanto : = 19
3
como son coterminales de cumplirse:
- =
19
3
- =
=
= Z+
= 19
3
= 19
3
=
3. CAPITULO 1
EJERCICIO 10
como son coterminales de cumplirse:
- =
+
+
EJERCICIO 11
como son coterminales de cumplirse:
- =
+ =
resolviendo las dos ecuaciones :
=
=
0.56< n < 1.67
n = 1
- =
+ = } =
=
EJERCICIO 12
plemento de " x "
su signo tenemos :
-
EJERCICIO 13 En la figura se cumple que :
3x
O
resolviendo ( I) y (II)
}
EJERCICIO 14
sean : = 1k , = 5k
entonces :
=
1k
5k
por lo tanto : =
=
= } =
1.11< n < 2.22
n = 2 ; = =
EJERCICIO 15
3 6 10
,podemos afirmar que :
4. CAPITULO 2
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
NIVEL I
EJERCICIO 1 Si se cumple que :
g
calcular M = 3B - 4A
S
9 = C
10
Reemplazando valores :
36
9
= A
10
B
9
= 60
10
g
}
A = 40
B = 54
M = 3B - 4A
M = 3(54) - 4(40)
M = 2
EJERCICIO 2 Efectuar :
g
9
rad.
=E
S
180
= C
200
= R S
9
= 30
10
S
S
180
= 9
rad.
S
=E = 3,6
Reemplazando valores :
EJERCICIO 3
(2C + S)(2C-S)
400
=P
400
=P S
9
= C
10 = 100
C
200
= R
rad. =
400
=P
Reemplazando valores :
400
=
( 100 )
400
=P =
100
319
400
= 319
EJERCICIO 4
gulo en el sistema sexagesimal,si se cumple:
2S-9
3
= C+4
2
S
9
= C
10
C = 10S
9
2S-9
3
= C+4
2
2S-9
3
=
10S
9
+ 4
2
4S-18
3
= 10S +36
9
EJERCICIO 5
expresado en radianes,tal que : C - S = 3
C - S = 3
- S = 310S
9
S
180
= R
rad.
27
180
= R
rad.R = 3
20
rad.
EJERCICIO 6 Sabiendo que :
48
3
5
B
A
S
180
= R
rad.
S
180
= 48
} S
S S
S
Reemplazando valores :
3
5
B
A
= 3
5
(45)
3
=
3
27 = 3
EJERCICIO 7
[ 2R+ ]
( 10S-9C )
=E
10S-9C= 10S - 9
(10S
9 )= 0
[ 2R+ ]=E = 1
EJERCICIO 8
expresado en radianes tal que se cumple:
S = 2 ( n + 1 ) ; C = 3n - 4
0
5. CAPITULO 2
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
S
9
= C
10
2(n + 1 )
9 =
3n - 4
10
20(n + 1 ) 9 ( 3n - 4 )=
56 7n=
8 n=
S = 2 (n + 1 ) = 2 ( 8 + 1 ) = 18
S
180
= R
rad.
R = 18
180
rad.
R =
10
rad.
EJERCICIO 9
en el sistema radial ,si cumple la siguiente condi-
S
6
+ C
5
= 14
S
9
= C
10
C = 10S
9
Reemplazando valores :
S
6
+
5
= 14
10S
9 S = 36
S
180
= R
rad.
Reemplazando valores :
36
180
= R
rad.
R =
5
rad.
EJERCICIO 10 Expresar " " en radianes:
a + a1 n
n
2( )Sn =
nos en una P.A. es la siguiente :
( ) 360
2
S
180
= R
rad.
sustituyendo
361 x180
180 = R
rad.
R = 361
NIVEL II
EJERCICIO 1
cular : A + C
B
g m
g m g
S
9
= C
10
S
9
=
10
13,90 S =
S = =
S
S
S
Comparando: A = 12 ; B = 30 y C = 36
Reemplazando valores :
A + C
B
= 12 + 36
30
= 1,6
EJERCICIO 2
U =
S
180
= C
200
= R
rad.
= n
U =
( 200 - 180 ) (200 + 180)
76
U = = 100
EJERCICIO 3 Determinar la medida de un
1
S + 1
C =19
72
S
9
= C
10
= n
} S = 9n
C = 10n
Reemplazando valores :
1
9n + 1
10n
=19
72
19
90n
=19
72
10n=8
C
200
= R
rad.
}
C = 8
8
200
= R
rad.
R =
25
rad.
EJERCICIO 4
presada en radianes.
6. CAPITULO 2
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
A
B
C
x
debe cumplirse que : en
S
180
= R
rad.
48
180
= R
rad.
R = 15
4 rad.
EJERCICIO 5
A D
B
C
15)(
25( x + 1 )
g
gesimal.
S
9 = C
10
S
9
=
10
25(x+1)
S =
2
45(x+1)
*
*
S
180
= R
rad.
= rad.
S
180
15)( S = 12x
2
45(x+1)
+ + 90 = 360( 13x+10 ) + 12 x
26x+20+45x+45+24x+180 = 720
95 x = 475
x = 5
EJERCICIO 6
expresado en radianes si se cumple que :
4S - 3C + 10R = 12 +
S
180
= C
200
= R
rad.
Reemplazando valores :
4 - 3 + 10R = 12 +180R
( ) 200R
( )
720R - 600R + 10 R = (12 + )
120R + 10 R = ( 12 + )
10R ( 12 + ) = ( 12 + )
R =
10
EJERCICIO 7 Determinar la medida de un
=
2C + S
2C - S
5 + 9R
5 - 9R
S
9
= C
10
= n
} S = 9n
C = 10n
Reemplazando valores :
= 5 + 9R
5 - 9R
2(10n) + 9n
2(10n) - 9n
= 5 + 9R
5 - 9R
29
11
145 - 261R = 55 + 99R
90 = 360R
EJERCICIO 8
S
9 = C
10 9
=
10
9x-2
10 -1 -1x
1 -8 -80x
-81x
(10x-1)(x-8) = 0
* 10x-1=0 ; x=0,1 Z
* x - 8 =0 ; x= 8 Z
S
180
= R
rad.
63
180
= R
rad.
7
20
EJERCICIO 9
gulo A , hallar " x - y " expresado en radianes .
R = 7
20
R =
rad.
41 4
B D E C
H
A
x
y
7. CAPITULO 2
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
( 7x- 25 )
g
S
9
= C
10
9
=
10
S 7x - 25
=
10
S 63x - 225
10
63x - 225 = 5x -3
63x - 225 = 50x - 30
13x = 195
1 15
x = 15
S
180
= R 36
180
= R
5
1
R =
5
EJERCICIO 4
vos cuya suma es igual a la cuarta parte de un
del menor .Hallar el menor de ellos en radianes.
sabemos por dato que la suma de estos es la
x + ( x+r)+(x+2r) = 4
=
3x + 3r =
4
1 1
1
+ x - x
2
2
2
*
*
S
180
= R 5
180
= R
36
1
R =
36
EJERCICIO 5
75x
4y
3
x
x+ r
x+
2r=
x2
r x - x2
2
x
y"m
O
x
- y"m
x = - y"m
y
x
=
9
-10
(100
3600)
5
18
y
x =
9 ( 18 )
-5
multiplicando ambos
miembros por :
4
75
4 y
75 x = 9. ( 18 )(4)
-5 ( 25)(3)
1
3
=
6
-5
3
3
75x
4y
3 3
=
6
-5
3
3 =
6
-5
EJERCICIO 6
2S
9
- C
10
- 1[ ]
( C - S - 1 )
= 1
S
9
= C
10
= n
} S = 9n
C = 10n
Reemplazando valores :
2(9n)
- - 1[ ]
( 10n - 9n - 1 )
= 1
9
10n
10
[ 2n - n - 1 ]
( n - 1 )
= 1
[ n - 1 ]
( n - 1 )
= 1
1
[ n - 1 ] = 1
n = 2
Reemplazando "n" :
18
180
= R
10
1
R =
10
EJERCICIO 7
a-5b
b
E =
8. CAPITULO 2
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
a' = b
g
a
60
= 9 b
10
a = 54 b
a = ( 5b + 49b)
{
a - 5b = 49 b
Dividiendo entre " b "ambos
miembros :
a - 5b = 49 b
b b
Extrayendo raiz cuadrada a ambos miembros :
a - 5b =
b
a-5b
b
E = = 7
EJERCICIO 8
ple : 2
2
drado es mayor o igual a cero)
desarrollando el cuadrado de un binomio:
2
multiplicando por (- 1 ) a ambos miembros y cam
biando el sentido de la desigualdad se tiene :
2
sumando a ambos miembros ( 18 ) se tiene :
2
2
S
180
= R 18
180
= R
10
1
R =
10
EJERCICIO 9
-18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18
C O A
B
a
b
+
b
a( )
a
b
+
b
a( ) =
a
b
+
b
a( ) =
a
b
+
b
a( ) es negativa ; es decir : a
b
+
b
a( ) 0
que desarrollando es igual a decir : a + b
( ) 0
a.b
2 2
a.b es negativo y diferente de cero.
2 2
2
drado es mayor o igual a cero)
desarrollando el cuadrado de un binomio:
2 2
2 2
dividiendo ambos miembros entre (a.b) y teniendo
presente que (a.b) es negativo por lo tanto el sen
tido de la desigualdad cambia.
2 2
a.b
a
b
+ b
a
- 2
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
a
b
+
b
a( ) =
}
=
6
EJERCICIO 10
S
36
+
C
40
+
5R
= 2 ( S + C + R )
5 5 5 4 4 4
S
180
= C
200
= R = n
S.S
36
+
C.C
40
+
R.5R
= 2 ( S + C + R )
4 4 4 4 4 4
180n.S
36
4
200n.C
40
4 4
+ + = 2 ( S + C + R )
4 4 4
5n.S + 5n.C + 5n.R
4 4 4
2 ( S + C + R )
4 4 4
=
5n ( S + C + R ) =
4 4 4
2 ( S + C + R )
4 4 4
5n = 2 ; n =
2
5
R = n
R = 5
9. CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
NIVEL I
EJERCICIO 1 Hallar la longitud de arco de un
radio es de 9m.
L
r = 9m
S
180
= R 20
180
= R
R =
9
1
9
Reemplazando valores :
L =
9( ) 9m. =
EJERCICIO 2 En la figura , hallar " x "
2 rad. ( 3x + 4 )m
( 2x + 1 )m
O
A
B
Reemplazando valores :
3x + 4 = ( 2 )( 2x + 1 )
2 = x
EJERCICIO 3
L
O A C
B
D
3rr
4
rad.
L =CD
Reemplazando valores :
4
L =
AB
Reemplazando valores :
= . r ; r = 2 m.
4
L
AB
= . 2 ;
4
L
AB
LAB = 2
m
EJERCICIO 4 De la figura , calcular :
S1
S2
( O centro )
S2
S1
O
A
B
C
D
2
2
Sea : OB = r ; OC = 2r
S1 =
2
2
S2 =
2
2
=S2
2
S1
S2
=
2
2
2
S1
S2
=
1
8
EJERCICIO 5 De la figura , hallar " x " .
2x m
O
A
B
2x
rad.
2
2
Reemplazando valores :
= 2
2x
.( 2x ) 2
; = 2
2x
. 4 x2
x = 3
2
(
10. CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
EJERCICIO 6
= 22
7( )
12 m
4 m
SO
A
B
D
C
4
rad.
S = S - SOCD OAB
4
( 16 ) 2
-
4
( 12 ) 2
2 2
S =
S = = 14 22
7( )
S = 44 m2
EJERCICIO 7 De la figura ,hallar : L + L (AOB
y CAD son sectores circulares).
1 2
O C B
D
A
L
L
2
1
24 m.
O C B
D
A
L
L
2
1
24 m.
OB = OA = 24m.
longitud de hipotenusa de 24m ( 2x12)
por lo tanto AC= 1x12 = 12m
12m
24m
3
< >
6
< >
Nota :
L =
3
.12m =1
4
1
L =
6
.24m =2
4
1
L1 + L2 =
EJERCICIO 8 S2
S1
A
B
D
C
S1O 5m3m S2
L =AB L =AB
3 m.
OA = 3 m
L =CD L =CD
5 m.
*
*
OC =
5 m
((
((
2
2
S =1
3
( ) = 9 m2
tenemos :
L + L1 2
2[ ]S =2
n =
3 + 5
2[ ] 5 - 3( )
S =2
8 m2
Dividiendo : S entre S2 1
8
S2
S1
= =
16
9
S2
S1
=
4
3
EJERCICIO 9
9
A
B
D
C
O 4m2m
2m
L =AB L =AB
2 m.
OA = 2 m
L =CD L =CD
4 m.
*
*
OC = OA + 2
((
((
11. CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
OC 2= 2 +
L =CD
(
4 = 22 + )(
4 = 2 +
A
B
D
C
O x+1x-1
x
EJERCICIO 10
9
tenemos :
L + L1 2
2[ ]S = n
=
( x- 1) + ( x+1)
2[ ]9
x
9 = x
2
x = 3
NIVEL II
EJERCICIO 1
O D
C
B
A
2L
3L
de radio OB , y que por pasar por el punto medio
B, es lamitad de la medida del arco CD osea 1,5L
O D
C
B
A
2L
3L
1,5L
H
Sea OA = R ; tenemos.
*
3,5 L = .R .....(II)* 2
3,5
1,5
=
2
7
3
=
=
14
R
De la figura hallar " x ".
EJERCICIO 2
coloreada.
O B D
C
A
O B D
C
A
R
r
5
rad.
*
* color
5
. R 2
5
. r 2
2 2
=S color -
=S color
5 ( R - r .....( II ))22
Reemplazando ( I ) en ( II ) :
=S color
5
( 5 )
=S color
2
12. CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
O
A
D
F
C
EJERCICIO 3 L
r
r
3m
2m
4m L 14m
E
B
O
A
D
F
C
r
3m
2m
4m L 14m
E
B
De la figura se tiene:
L =AB L =AB
4 m.
*
(
(
L =CD L =CD L ; OC = ( r + 3 )*
(
(
L =EF L =EF 14m. ; OE = ( r + 5 )*
(
(
Reemplazando ( I ) en ( III ) , tenemos :
Reemplazando en ( II ) tenemos :
L = 2 ( 2 + 3 ) ; L= 10 m
L
r = 10
5 = 2
EJERCICIO 4
D C A
B
D C A
B
4
=
* color
4
.
2 2
=S color -
=S color
( )
2
( )( )
4 -
EJERCICIO 5 Hallar la longitud del radio de
O
A
B
C
L
o
A
B
C
L
r
r
(
a la vez tiene la mis
ma medida que el
nes tenemos :
S
180
= R
rad. 180
= R
rad.
R =
rad.
90
1
90
Reemplazando valores :
L =
90( ) r r = 90L
( )
EJERCICIO 6
lares AOB y COD son proporcionales a 1 y 4 res-
pectivamente. Calcular : L2
L1
13. CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
B
D
O LL1 2
A
C
B
D
O LL1 2
A
C
S 3S
LS =
2
Reemplazando:
L ......... ( I )S =
2
1
4S =
2
2L .......... ( II )
DIVIDIENDO ( II ) ENTRE ( I )
4 =
2
2L
2
1L
2L
1L
= 2
EJERCICIO 7
S1
S2
3
O
A
D
F
C
1m
2m
3m
SS
E
B
1 2
tenemos :
L + L1 2
2[ ]S = n
Reemplazando:
O
A
D
F
C
1m
2m
3m
SS
E
B
1 2
2[ ]S = 2
1
S =1
2
2[ ]S = 3
2
S =2
27
2
2
Dividiendo : S entre S2 1
1
4S1
S2
= =
8
27
S1
S2
=
2
3
2
27
3 3 3
3
EJERCICIO 8
loreada.
B
D
O 10m8m
A
C
2m
B
D
O 10m8m
A
C
2m
r
De la figura se tiene:
L =AB L =AB
8 m.
*
(
(
L =CD L =CD
10 ; OC = ( r + 2 )
*
(
(
DIVIDIENDO ( II ) ENTRE ( I )
8
10
=
8
10
=
r+2
r
10r = 8r +16 ; r = 8 m.
S
=
8
8 1
1
= 1 rad.
2
2
S =
1 ( 8 )2
2
S = 32 m
2
14. CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
EJERCICIO 9
damente el valor de " a " , si S = S21
B
D
O SS
A
C
a-1
a+1
1 2
2
Sea : OA = a+1
S1 = 2
B
D
O SS
A
C
a-1
a+1
1 2
Como S = S , entonces
tenemos :
=
2S1=
2
1
Igualando ( I ) y ( II )
2
=
a + 2a + 1 = 2a
a - 2a - 1 = 0
Completando cuadrados :
a - 2a - 1 = 0 ; ( a - 2a ) -1 = 0+ 1 - 1 + 1 - 1
( a - 1 ) = 2Extrayendo raiz cuadrada.
a = 2,41
1 2
EJERCICIO 10
S = S
y
x
1 2
O E
D
Cy
A
x
S1
S2
B
O
D
Cy
A
x
S1
S2
B
x
S1
2
Sea : OA = x
S1 = 2
Como S = S , entonces
tenemos :
2S1=
2
Dividiendo ( I ) entre ( II )
1 2
1
2 = 2
2
1
2 =
x
y
1
=
x
y
x
y = 0,71
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1
O B
A
C
12m.
12m.
O B
A
C
12m.
12m.
12m
.
P
12m.
3
< >
6
< >
Nota :
4
< >
12
< >
* color L +AC
(
L + APCP
(
15. CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
colorP = L +AC
(
L + APCP
(P =color
3
12 +( ) 12
12 + 12( )
color
EJERCICIO 2
O A
B
C
O A
B
C
*
color
2
.
2
( )
2
= -
3
.
2
( )
2
S color
S color
EJERCICIO 3
B
D
O 5m2m
A
C
2m
para calcular L tenemos :
L + L1 2
2[ ]S = n ; L = 2m. ; S = 5 m1
n = 2 m. ; L = ?2
2
B
D
O 5m
A
C
2m
LL = 2m1
Reemplazando ,valores y calculando " L "
L + L1 2
2[ ]S = n
2 + L
2[ ]5 = 22 L = 3 m.
De la figura se tiene:
L =AB L =AB
r m.
*
(
(
L =CD L =CD
3 ; OC = ( r + 2 )
*
(
(
r m.
DIVIDIENDO ( II ) ENTRE ( I )
3
2
= 2r + 4 = 3r
r = 4 m.
Reemplazando " r = 4m. en ( I ) , tenemos :
EJERCICIO 4
reada.
O
1m
2m
C
B
A
tenemos :
L + L1 2
2[ ]S = n
OA = r.
S
180
= R
rad.
rad.
180
=
16. CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
O
1m
2m
C
B
A
r P
Q
S1
S2
[ 2 ] [ 2 ]S =1
Aplicando diferencia de cuadrados tenemos :
S =1 2
S =1 2
[ 2 ][ 2 ]S =2
Aplicando diferencia de cuadrados tenemos :
*
*
S =2 2
S =2
1 2
S + S = 2 +1 2
S + S =1 2 2
= 9
2 180[ ]=
40
EJERCICIO 5
S = S
L
L
2
O E
D
C
A
S1
S2
B
1
2
1
L1
L2
O E
D
C
A
S1
S = S2
B
L1
L2
*
S =2S3
R
2
S =1
R
* 2
S =3 S 2 S=3 1
1
LS =
2
Reemplazando:
L ......... ( I )S = 1
1
1
S DOE = 3 S1
L ..... ( II )
= 2
DIVIDIENDO ( I ) ENTRE ( II )
LS = 1
1
1
L
= 23 S
1
3 =
2L1
L2
Extrayendo
L1
L2
=
1
=
6
EJERCICIO 6 1 2
S1
S2
A O D
B
C
1m
S1
S2
A O D
B
C
1m
2
Sea : OA = x
S1 = 2
S2 = 2
Igualando : S = 2 S
2 = 2
2
4 = 2
1 1
5
17. CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
B
D
O LL1 2
A
C
n
y reemplazando( ) tenemos :
L + L1 2
2[ ]S = n
S
n
P = L + L + 2n1 2
8 = L + L + 2n1 2
L + L = 8 - 2n1 2
L + L1 2
8 - 2n
2[ ]S = n
1
4 1
=0
EJERCICIO 8 En la figura : R + r = 4m.
O O
rR
O O
rR
* color
B
S1
S2
A
D
C
1 2
R
r
2
.
2
R( )
2
*
S1 = - ( R)( R )
2
= 4
-
2
2
.
2
r(*
S2 = - ( r )( r )
2
= 4
-
2
)
2
S ABCD = = 2Rr
Reemplazando ,valores y calculando" S "color
S = S ABCD - ( S + S )color 1 2
4
-
2 )([ +
4
-
2 )( ]= 2Rr -colorS
R + r = 4
[ 4
- 1
2 )( ]= 2Rr -colorS
= 2(2) -colorS [ 4
- 1
2 )( ]12
=colorS
=colorS
EJERCICIO 9 Hallar la longitud de arco de un
O S L
r
r
2
S = L r
2 = L
2 2( )
S = 4 4
S = 8 4
-
4
+ 1
8( )
S =
1 - L
8 2
-
4(
}
}
L
2 4
=
L
2
=
EJERCICIO 10 De la figura hallar
S2
S1
B
D
O SS
A
C
1 2
L1 2
-
18. CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
B
D
O SS
A
C
1 2
r
R
* S + SCODS = 1 2
r R
Reemplazando ,valores y calculando :
R ( R + r ) = r R + R + r r
2 2 2
( )
__
4+ __
4
{
R _r
2
- = ___
R _r
2
-( ___
4
R =
_____
R =
_______
2
2
__r
R =_______2
Racionalizando
__r
R =
_______2 x _______
2
Extrayendo raiz cuadrada y tomando su valor
positivo :
__r
R =
_______
2
Completando
cuadrados.
S1 = Rr
2
S2 =
2
( ) rR + r
___S2
S1
= R + r
R = 1 + __r
R
Reemplazando el valor de
___S2
S1
= R + r
R = 1 + ______
2
___S2
S1
= ______
2
__r
R
" "
-
19. CAPITULO 4
NIVEL I
EJERCICIO 1 De la figura calcular :
C A
B
a-1
a+1
4
4a = 16
a = 4
ABC , tenemos :
C A
B
5
4
E = _3
4
+
_5
4
E = 2
3
, recto en B , se cumple que : Cotg A = __5
12
B A
C
H=13
5
12
Calcular M = Sen A - Sen C
H = 13
Reemplazando el valores :
M = Sen A - Sen C
M =
__12
13
-
__5
13
M = __7
13
A M B
C
13 5
E =
____
AB = 12
Reemplazando el valores :
AM = MB = 6 A M B
C
13 5
6 6
E = ____
__5
6
__5
12
= 2
EJERCICIO 4 De la figura , calcular :
P =
A B
C
8
9 6
A B
C
8
9 6
H = 17
H=17
CP = 10
P
10
20. CAPITULO 4
Reemplazando el valores :
P =
__17
8
- __8
15
__15
8
- __10
8
P =
_______225 - 64
120
__15
8
= =
____161
120
__5
8
=
___161
75
P = 2,2
EJERCICIO 5 De la figura , calcular :
Q =
5
3
A B
C
D
15
25
24
CB = 7
CD = 20
Reemplazando el valores :
Q =
5
3
__7
25
+ __20
25
A B
C
D
25
24
15
20
7
5
Q =
3
____27
125
3
Q =
Q = __3
5
Q = 0,6
EJERCICIO 6 Calcular " x " , siendo:
{
EJERCICIO 7 Calcular " x " , sabiendo que:
=
____1
Nota :
1 = 1
=
EJERCICIO 8 Sabiendo que :
=
____1
Nota :
__x
y =
___
= 4*
A B
H
x
C
a
=
__a
AB
21. CAPITULO 4
A B
H
x
C
a
=
______x
A B
C
a
x D
= ___BD
a
DBC:
A B
C
a
x
D
=
_______aABC:
= _____1
Nota :
_____1 =
_______a
NIVEL II
=
__4
9
A C
B
a
b
c
Sen A . Sen B = __4
9__a
c
. __b
c
=
__4
9
___a.b
=
__4
9
_____a.b =__4
9
Reemplazando el valores :
__b
c
+ __a
b
_____
a.b
=__9
4
=
_____
a.b
= __9
4
= __3
2
E= = 1,5
D A
B
2 M
AB = 3 BM = AM =
__3
2
D A
B
M
__3
2
__3
2
En el MBD
=
__2
1
__3
2
=
4
32
EJERCICIO 3 En la figura ,CM es mediana.Cal
A M B
C
2 1
Si CM es mediana entonces : AM = MB
A M B
C
2
lo ACB por lo tanto AM=MB=MC
1
_1
2
_1
2
H
22. CAPITULO 4
tos medios : MH =
AC
2 =
2
2 = 1
CHM: = 1 =
_1
2 _1
2
potenusa mide el triple del cateto menor .Calcular
gulo.
D A
B
x
3x
=_____
x
=
Ordenando W :
W = 1.1 = 1
=K
=K = 1
__12
13
D A
B
12k
13k
5 k
AB = 5k
Por el T. P. ABD
Reemplezando :
P = 5K + 12K + 13K = 90
30K = 90
K = 3
Hipotenusa : AD = 13(3) = 39 cm.
Calcular : =K
1
=
=
=K =
0
= 0
=
____1
Nota :
A C
B
M
23. CAPITULO 4
A C
B
a
a
x
___a+x
a - _x
a=M
_a
a + _x
a - _x
a=M
=M 1
B C
DA
C
1
4
B C
DA
E
1
4
F
F
3
a
b = 3a
=
_1
aEAF:
=
_3
b
CDF:
_1
a =
_3
b
b = 3a}
b = 3a
En el EFB:
W =
__4
4a
. __3a
1
= 3
M
NIVEL PREUNIVERSITARIO
=
Cosec C
3-Cotg A
Sen A
Hallar el valor de : U = Tg A + Tg C
C A
B
a
b
c
_a
b =
- __c
a
__b
c
3
a = a
=
Cosec C
3-Cotg A
Sen A
3 = ac
=U ac = 3
U = Tg A + Tg C =
__a
c
+ __c
a
EJERCICIO 2 Sabiendo que :
= 4
2
= 4
2
2
3
2
= 2
2
3
2
2= = 4
3
4
3
3(9 - ( )4
=E
=E 7 - 4 = 3
__5
13
AD = 52 m. Hallar " AB "
A C
D
B
24. CAPITULO 4
A C
D
B
13k = 52
5k = 20
12k=48
P
52
a b
AC = 12k
___5k
13k
=
___DC
AD
=
___DC
52
13k = 52
k = 4 DC = 5k = 20
AC = 12k = 48
prolongamos CD ,por el
punto D una longitud igu
al a AD osea 52 ,forman
ADP, y como el < D exte
=
__48
72
=__2
3
=
__20
b
=__2
3
b = 30
AB = a = 18
cuadrado de la hipotenusa es al producto de los
catetos como 13 es a 6 .Hallar el valor de la tan-
A C
B
c
b
a
___
a.b
=
___13
6 menor ( a < b ).
=
_____13a.b
6
_____13a.b
6
=
2a
3a - 2b
- 3b
( 3a - 2b ) = 0
( 2a - 3b ) = 0
=
___a
b
=
___2
3
=
___a
b
=
___3
2
; ( a< b ) ok
; ( a> b )
( no cumple)
= _3
7
A C
B
86
A C
B
86
3k= 30
7k
H
k = 10
HC = 7k = 7(10) = 70
AH = 86 - 70 = 16
BH = 3k = 3(10) = 30
16
Reemplazando :
M =
__16
30
+
__34
30
AB = 34 34
=
__50
30
M =
__5
3
S = OA + OB + OC + OD + .................
O
E
D
C
B
A
1
25. CAPITULO 4
O
E
D
C
B
A
1
En el ABO
=
__OB
1
*
En el BCO
=
__OC
*
OB
En el CDO
=
__OD
*
OC
4
Reemplazando valores :
S = OA + OB + OC + OD + .................
4
S
S =
_______1
4
A B
C
1
D4
A B
C
1
D
4 a
Sea : BD = a
En el ABC
=
____1
4 + a
*
En el CBD
=
__a
1
*
Igualando ( I ) y ( II )
____1
4 + a
= __a
1
Reemplazando valores :
EJERCICIO 8 En la figura,calcular el valor de
A D
3
G
CB
E
E1
A D
3
G
CB
F
E1
2
H
3,5
1,5
En el trapecio ABCG
FH es mediana ,por
lo tanto :
FH = ( AB + CG ) /2
FH = ( 5 + 2 ) / 2
FH = 3,5
=
__3
7
En el EHF*
1
O B
A
O1
O B
A
r
r
r
O1
H
P
Sea " r " el radio de la
circunferencia de cen-
tro O ; trazamos OH ,
en la cual se cumple
O H = O P = OP = r ;
En el BPO
=
____
r
*
=
1 1
1
1
26. CAPITULO 4
EJERCICIO 10 De la figura ,hallar el valor de:
P=
A C
O
B
12
5
A C
O
B
12
5
H
Por el T. P. OAC
OC = 13
gulo BHC ,los cuales
sus lados son propor
cionales a : 5k,12k,13k
Si AC = 13 ,entonces
HC = 12k y OH=(13-12k)
BH = 5k y la figura que
manera:
13-12k
12k
12
5k
13k
Reemplazando valores :
P=
4 +A=
_1
2
______13-12k
5k
( ) _1
1(
13(12) - 12(12k)
P=
13-12k
12 ( 13 - 12k )
P=
13-12k
P 12.=
13
NIVEL I
Calcular : A + B
k
k
k
2k
3A=
B=
_2
1( ) 2 _2
1( )
2B=
EJERCICIO 2
1_
2
= _____1
Nota :
__1
2
1
2
Reemplazando valores :
2 .E =
_
1( ) _
2( )
5E =
EJERCICIO 3
k
2k
1
13 - 12 ___12k
5k
)(__12
5k
)(
P=
Reemplazando valores :
M = 2
27. CAPITULO 4
3k
2k2k
4k
A B
C
de lados proporcionales a 3k,
4k y 5k
Reemplazando valores :
En el MBC
=
__3
2
EJERCICIO 5 De la figura,calcular __b
a
B
C
A
a
B
C
D
a= 5k
3k
4k3k
D
b
A
b=
__b
a
Reemplazando valores :
=
____
5k = ___
5
EJERCICIO 6 En la figura,hallar " PQ "
A P B
Q
C
38
Q
C
38
7k
24k25 k
Sea k = 2
14
4850
10
104
14
A BP
EJERCICIO 7 Calcular el valor de :
1P = 4
A C
B
10
P
A C
B
P
10=5k
k=2
k =6=3k112=2k
H
1
A C
C
P
4
2
28. CAPITULO 4
A C
B
P
4
2
H5 1
Reemplazando valores :
___
5
EJERCICIO 10 De la figura, hallar AE.
A B
C
D
E
12
A B
C
D
E
4k=12
k= 3
915
15
=x
NIVEL II
B C
A
10
B C
A
10
H
B
A
H C
A
10
H
8
2k=8
4
8
ente manera.
C
10
H
8
4
A
B
EJERCICIO 2 Sabiendo que :
Resolviendo ( I ) y ( II )
Reemplazando valores :
N _
2( _
1(1 1
+= = 0,25 +1 = 1,25
29. CAPITULO 4
EJERCICIO 3 Calcular el valor de " x " en :
=
Reemplazando valores :
_
2
1 =
_
2( )1x + 1
_
2( )1x - 1
_
4
5 =
x + 2
x - 2
x = 18
B C
A
O
B C
A
O
1
1
1
1
H
1
BC=
A C
B
D
28
A C
B
D
28
28
4k
3k4k
5k
AC = 7k = 28 k = 4
CD = 5k = 5(4) = 20
B A
C
P
a
B A
C
P
a
BP
a
aBP =
30. CAPITULO 4
A B Q
C
P
D
En el QAD
Sea AD = 3K entonces AQ = 4K,pero AB=3K ,
entoces BQ = K
A B Q
C
P
D
3k
4k
k3k
3k
4
=
__
3k
__3k
4
= __1
4 = 0,25
Reemplazando valores :
En el QBP
El lado BQ ha sido
dividido por 4,por lo
divido por 4
A C
B
H
M
A C
B
H
M
12
9
6
8 8P
En el AHB
Sea BH = 12 = 4(3)
AH = 3 (3) = 9
En el BHC
Sea BH = 12 = 3 (4)
HC = 4 (4) = 16
Por el teorema de los
puntos medios tene -
mos : MP=12/2=6 ;
HP=PC=16/2=8
lo APM ,para aprove
char el punto medio
Reemplazando valores :
= __6
17
En el AMP
EJERCICIO 9 De la figura,hallar :
A C
B
M
A C
B
M
5 5
x
Reemplazando valores :
P = 5 .
H P
___
x( ) __x
5( )
P =
A M Q C
N
B
P
31. CAPITULO 4
A M Q C
N
B
P
11
Sea el lado del cuadrado
PQC , QC
forma para el AMN
Reemplazando valores :
= ____
En el AQP
= ____ __
( ) = ____
3
NIVEL PREUNIVERSITARIO
A H P D
C
B
64
48
80
100
75
En el CHP ( sea CP = 80 )
H P
C
4k
3k
5k
H P
C
4
3
5
H P
C
64
48
80
En el BCP
C P
B
60
80
100
C P
B
3
4
5
En el BPC
P C
B
100
75
125
P C
B
4
3
5
H P D
C
64
48 75
En el CHD
= _____
64
48+75
Reemplazando valores :
= ___
64
123
A E B
D C
F
A E B
D C
F
20
12
16
20
15
1
En el DAE ( sea DE = 20 )
A E
D
4k
3k
5k
A E
D
4
3
5
A E
D
16
12
20
En el FBE ( EB = 20 )
32. CAPITULO 4
E B
F
4
3
5
E B
F
20
15
25
Y como AD = 16 y FB = 15 , entonces CF = 1
En el DCF
=
___
1
32
Reemplazando valores :
= 32
D C
F
32
1
5 37
4
8
34
A D C
B
H
P
En el BPD
= __
8
3
Reemplazando valores :
EJERCICIO 4 En la figura hallar BP.
B C
A
P
7
7
B C
A
P
7
7
H
3
34
5
gulos PHC y PHB los
Sea PH = 3 ,comple
quedando la figura
de la siguiente manera.
En el PHB
BP = 5
EJERCICIO 5 Si se cumple que :
= 1
=
___1
Reemplazando valores :
= 1
Calcular E = Sen 4x - Cos 5x
Reemplazando valores :
E = Sen 4x - Cos 5x
E = 0
B C
A
P
b
a
33. CAPITULO 4
B C
A
P
b
a
x
x(a - x ) H
En el PHB
= .....( I )
____
(a-x)
x
En el ACB
= .....( II )
__
a
b
Igualando ( I ) y ( II ) tenemos :
____
(a-x)
x = __
a
b ax = b(a-x)
a.x = a.b - b.x
x ___
a+b
a.b
=
Reemplazando valores :
PC
_____
a+b=
centro )
O
B C
A
20
O
B C
A
20
20
20
15
P
H
Trazamos OH y
OP perpendicular
a BC y AB respec
tivamente forman
notables OHC y
APO.
OH = 20 ( radio de
la circunferencia )
OP = 20 (radio de la circunerencia luego com-
fica sigiente.
B C
A
D
B C
A
D
4
4 3
3
H
Trazamos DH
formandose el
Completamos
notabes quedan
En el DHB
____
3
4+3
= =
__
3
7
O N B
M
P
A
O N B
M
P
A
H
1
1
Sea OB=OA=2 ,en-
tonces ON=HN=1 ,
Por el T. P. PNO
En el PHM
____
1= =
2
1
34. CAPITULO 4
B C
A
N
M
B C
A
N
M
2
2
1
1
H
sectandola en el punto " H ".
AM=MC=BM ( Propieda de la mediana relativa
a la hipotenusa ).
Sea AM=MC=BM=2.
En el CHN
___2
= 2
35. CAPITULO 5
NIVEL I
EJERCICIO 1
(-2;1)
O
x
y
(-2;1)
O
x
y
-2
1
A
Reemplazando valores :
__1
( ) __-2
( )5=M
=M -2
EJERCICIO 2
(-3;-1)
O
x
y
A(-3;-1)
O
x
y
-3
-1
Reemplazando valores :
=
___
-1( )
=
EJERCICIO 3
(-4;3)
(-7;-24)
O x
y
A(-4;3)
B(-7;-24)
O x
y
-4
-7
-24
3
25
5
OA = 5
OB = 25
Reemplazando valores :
__3
5( ) ___25
-24( )8
=E -5 + 20 = 15
__-4
5( ) ___25
-7( )7+=E
EJERCICIO 4
O
x
y(-5; y)
13
y = 12
37. CAPITULO 5
____
3
2n -1
=
Reemplazando valores :
____
3
2n -1
2n -1
EJERCICIO 10 En que cuadrante el seno y el
coseno tienen signos diferentes.
Tangente
Seno
Coseno
+
Cotangente
Secante
Cosecante
Q1 Q2 Q3 Q4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
cuadrante
F.Trigono.
NIVEL II
EJERCICIO 1 Siendo A ( 60;-11) un punto del
O x
y
A(60;-11)
60
-11
OA = 61
61
__-11
60( ) ___61
60( )+=K
__50
60
=K
__5
6
=K
EJERCICIO 2
O x
y
-1
Reemplazando valores :
__
-1( ) ___
( )2 ___
( )+=M
=M -
=M 0
EJERCICIO 3 De la figura ,calcular :
(-12;-5)
O x
y
(7;24)
B(-12;-5)
O x
y A(7;24)
25 24
7
-5
-12
13
OA = 25
OB = 13
__25
24( ) ___13
-12( )+=K 2 = 1
38. CAPITULO 5
EJERCICIO 4 Si
1 +
O x
y
A(-1; -8)
-1
- 8
__-8
-1
=
Reemplazando valores :
__
-1
= =
EJERCICIO 5 Si se cumple que :
2
__3
5
= 2
__-4
5
= 2
O
x
y(-5; y)
5
- 4
3
Reemplazando valores :
__3
5=M - __-4
5
+ __3
-4
__7
5=M - __3
4
__13
20=M = 0,65
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
__3
5=
EJERCICIO 6
1
2
__-2
-1
=
O x
y
A(-1; -8)
-1
- 2
Reemplazando valores :
__-2
=P __-1
( )( )10
P = 4
=E
O
y
+
+ -
x
4
Reemplazando valores :
=E
( + ) - ( - )
( - ) . ( - )
=E
( + )
( + )
=E
39. =x
CAPITULO 5
EJERCICIO 8 Hallar los valores que puede
tomar " a " si cumple que :
2A
1 1
2a + 1 = 0
a __-1
2
=
2a - 1= 0
a
__-1
2
=
__1
2
+-+
__1
2
[__-1
2
; __1
2 ]
Tangente
Seno
Coseno
+
Cotangente
Secante
Cosecante
Q1 Q2 Q3 Q4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
cuadrante
F.Trigono.
}
O x
y
-1
___
-1= }
minales entonces :
Reemplazando valores :
__
=G + +( ) 2 __
( ) 3 __
( )
___
=G
___
=G __
( )
___
=G
3
=G
EJERCICIO 10 En la figura ,hallar :
x
y
(3; -1)
x
y
(3; -1)
(-3; 1)
Reemplazando valores :
3
-1-3
1
___
=E -( )-1 ___
( )-3
[
=E 0,4
40. CAPITULO 5
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1
Tangente
Seno
Coseno
+
Cotangente
Secante
Cosecante
Q1 Q2 Q3 Q4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
cuadrante
F.Trigono.
} Se presenta en el Q
___
1= }
4
4
O
y
x1
4
A
H
Reemplazando valores :
___
=A __1
( )( )4
16
4
=A
EJERCICIO 2 Si se cumple que :
[ ]
[ ]2 =
1
2
[ 2 ]
1
2 = 3
= 6
= 5
= ___
-1
-5
O
x
y
A(-5; -1)
-5
- 1
___
-1= =
__
n=
1
+ 1
EJERCICIO 4
el signo de : =R
Tangente
Seno
Coseno
+
Cotangente
Secante
Cosecante
Q1 Q2 Q3 Q4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
cuadrante
F.Trigono.
Reemplazando valores :
=R
( + ) - ( - )
=R
( + )
=R
{
+
( + ) ( - )
( - )
= ( - )
__
n
1
+ 1
__
n
1
que cambia el sentido de la desi
gualdad y como son valores ne-
gativos proximos a cero la divisi
on entre cero tiende al infinito ne
gativo
n __
2
-1
n __
2
-1__
0
1
-
]__
2
-1
41. CAPITULO 5
(2a-1;a+4)
O
x
y
(2a-1;a+4)
O x
y
2a-1
a+4
5a - 11
a + 3
a =
___
5
11
a = - 3
consigue cuando : a = -3
(-7; 1)
O x
y
- 7
1
= ___
1
=
EJERCICIO 6 En que cuadrante se encuentra
< 0
< 0
negativo y esto se da cuando
4
EJERCICIO 7 Si ( a+1; a-1 ) es un punto del
posible ,calcular :
2
a =
{
2
= 0
=R
a 0=
O
y
x1 H
-1
Reemplazando valores :
___
1
( ) ___
-1
( )E =
E = -2
A(-7;-5)
O x
y
B(-1; 7)
N
M
42. CAPITULO 5
AM = __
3
1
AB
Sea " M " de coordenadas ( x;y)
[( x , y ) - ( -7 ; -5 )] = [ ( -1;7) - (-7;-5)]__
3
1
[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 6 ; 12)]__
3
1
[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 2 ; 4)]
x = -5 ; y = -1 M ( -5 ; -1 )
AN = __
3
2
AB
[( x , y ) - ( -7 ; -5 )] = [ ( -1;7) - (-7;-5)]__
3
2
[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 6 ; 12)]__
3
2
[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 4 ; 8)]
x = -3 ; y = 3 N ( -3 ; 3 )
Sea " N " de coordenadas ( x;y)
Reemplazando valores :
O
x
y
B(-1; 7)
N(-3;3)
M(-5;-1)
-5
-3
3
-1
__3
( )-3
__-5
( )-1K =
K = - 5
EJERCICIO 9 De la figura ,calcular
O x
y
B(0; 12)
A(-5; 0)
D
C
O x
y
B(0; 12)
D
C
1213
-5H 12
5
13 13
12
5
P
17
Los AHD , AOB y BPC son congruentes,es
decir sus lados tienen medidas iguales
A
Reemplazando valores :
___-17
( )5
-12
( )17E =
___
___12
5E = = 2,4
O x
(3;10)
y
(9;1)
(m ; n)
m n
9 1
3 10
m n
9n
3
10m
m
90
3n
S ___1
2= ( m+90+3n) - (9n+3+10m)
60 ___1
2=
120 =
40 =
40 = -3m -2n + 29
-11 = 3m + 2n ......( I )
43. CAPITULO 5
O x
(3;10)
y
(9;1)
(m ; n)
n
m
Reemplazando valores :
__n
( )m
__m
( )n
E = 2m 3n+ + 12
E = 2n + 3m + 12
E = -11 +12
E = 1
{
-11
-1 10
0
LINEA COSENO
LINEA TANGENTE
LINEA SENO
0
1
-1
44. CAPITULO 6
NIVEL I
EJERCICIO 1
no es positiva y decreciente ?
LINEA SENO
En Q es positiva y decreciente2
EJERCICIO 2
coseno y tangente son creciente ?
0
1
-1
-1 10
LINEA COSENO
Cuadrante Comportamiento Signo
Q
Q
Q
Q
1 a 0
0 a -1
-1 a 0
0 a 1
Decreciente
Decreciente
Creciente
Creciente
+
+
-
-
1
2
3
4
0
LINEA TANGENTE
Cuadrante Comportamiento Signo
Q
Q
Q
Q
Creciente
Creciente
+
-
+
-
1
2
3
4
Creciente en Q ,de 0 a 14
Creciente
Creciente
EJERCICIO 3
cas son decrecientes en el Q ?4
Son decrecientes en Q :4
EJERCICIO 4
reada. B
A
O
C.T.
45. CAPITULO 6
B
A
O
C.T.
1
AREA = ___1
2
EJERCICIO 5
reada.
B
A
O
C.T.
T
B
A
O
C.T.
T
1 1
S = ___1
2
EJERCICIO 6
reada.
B
A
O
C.T.
T
B
A
O
C.T.
T
1
S = ___1
2
S = ___1
2
EJERCICIO 7
reada.
B
AO
C.T.
Q
P
M
B
AO
C.T.
Q
P
M
1
46. CAPITULO 6
S = ___1
2
S = ___1
2
EJERCICIO 8
loreada.
B
A
O
C.T.
P
Q
B
A
O
C.T.
P
Q
1
1
S = ___1
2
S =
EJERCICIO 9 ;__
2
Por dato tenemos que :
__
2
CosCos __
2
2
1 ; 3
3=EJERCICIO 10 Si
;__
6
__
3
__
6
__
3
__
3
__
3
< <
3
___
3
< < 3
< <2 a 4
< <a 2
; 2
NIVEL II
EJERCICIO 1
nes verdaderas y con ( F ) las falsas :
0
1
-1
LINEA SENO
47. CAPITULO 6
0
LINEA TANGENTE
-1 10
LINEA SECANTE
EJERCICIO 2
( V ) las proposiciones verdaderas y con ( F ) las
falsas :
A'
B
A
O
C.T.
A'
B
A
O
C.T.
A'
B
A
O
C.T.
A'
B
A
O
0
48. CAPITULO 6
EJERCICIO 3
reada.
B
A
O
C.T.
B'
P Q
B
A
O
C.T.
B'
P Q
1
1
OPQAS = ___1
2
OPQAS = ___1
2
EJERCICIO 4
coloreada.
B
AO
C.T.
B'
P
S
B
A
O
C.T.
B'
P
S
1
1
S = ___1
2
S = ___1
2
EJERCICIO 5
coloreada.
B
AO
C.T.
B'
P
T
B
AO
C.T.
B'
P
T
1
S = ___1
2
S = ___1
2
M
M
EJERCICIO 6
reada.
B
AO
C.T.
B'
P
_
3
49. CAPITULO 6
B
AO
C.T.
B'
P
_
3 =
1 1
1
* S + SA'PAS = A'OP OAP
___1
2
+___1
2
___1
2
( 1 )( ) + ___1
2
__
2
_
3
_
3
12
A'PAS =
A'PAS =
A'PAS =
EJERCICIO 7
reada.
B
AO
C.T.
B'
P
S
B
AO
C.T.
B'
P
S
1
1
OPSB'S = _1
2
_1
2
OPSB'S = _1
2
EJERCICIO 8
LINEA SENO
0
1
-1
-1 10
LINEA COSENO
Sumando ( I ) y ( II ) tenemos :
50. CAPITULO 6
EJERCICIO 9
_
2
;
_
2
_
2
< <_
4
_
2
_
2
-1 10
LINEA COSENO
< <
_
2
__
2
< <0 ; multip. por (4)
_
2
Cos __
2
< <0 _
2
4 Cos
< <
_
2
4 Cos
;
EJERCICIO 10 ;
_
3
_
2
( )E = Tg _
4
0
LINEA TANGENTE
_
2
_
3
_
4( )
_
2
_
3
- _
4
- _
4
- _
4
_
4
__
12
- _
4
- _
4
__
2
O
- _
4( )Tg
- _
4( )Tg
<- 2 - 2- 2
- _
4( )Tg <- 2 -1
1
1
; -1
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1
reada.
A'
B
-
O
C.T.
1
1
B'OP
S =
P
___1
2
B'OP
S =
_1
2
A'
B
O
C.T.
P
51. CAPITULO 6
EJERCICIO 2 ;0 _
2
valor que puede tomar " a " en :
+
_
4( )Sen =
2
_
2
_
4( )0
_
2
_
4( )0 +
_
4( ) +
_
4( )
__
4
_
4 +
_
4( )
+
_
4( )Sen
__
2 1
2
__
2 1 ......multip. por ( 2 )
2 ......restando ( )
a0
}
EJERCICIO 3
reada.
B
AO
B'
M
C.T.
Q
P
B
AO
B'
M
C.T.
Q
P
1
PQB'
S =
___1
2
PQB'
S =
EJERCICIO 4
reada.
B
AO
C.T.
B'
P
S
B
AO
C.T.
B'
P
S
1
_
3 =
PAS
S =
___1
2
PAS
S =
___1
2
( 2 - 1 ) __
2( )
PAS
S = __
4
EJERCICIO 5 ;
__
3
_
6
__
6
__
3
LINEA SENO
0
1
_1
2
53. CAPITULO 6
NIVEL I
EJERCICIO 1 Calcular el valor de :
A =
Reemplazando valores del cuadro anterior :
A =
10
5
A =
A = 2
EJERCICIO 2 Hallar el valor de :
__
2
4Sen __
2
9 Cos+
B =
Reemplazando valores :
5 ( 0 ) - 2
B =
4 ( -1 ) + 9 ( 0 )
B = 2
EJERCICIO 3 Calcular el valor de :
__
4
-( )C =
Reemplazando valores :
__
4( )C =
8 + 5 ( 1 ) - 3 ( 1 )__1
2( )C =
C =
C = 0
EJERCICIO 4 Hallar el valor de " x " , si :
= Sen __
2
Reemplazando valores :
3 x + 2 ( -1 )
2 x + 3 ( -1 )
= -1
3 x - 2 = - 2 x + 3
5x = 5
x = 1
EJERCICIO 5
E = (a + 1) Sen x + ( b + 1) Cos 2x + (a + b) Tg _x
2
Siendo x = _
2
_
4
_
2
E = (a + 1) ( 1 ) + ( b + 1) ( -1 ) + (a + b) ( 1 )
E = a + 1 - b - 1 + a + b
E = 2a
EJERCICIO 6 Calcular los valores de " x " en:
Reemplazando valores :
3 x - 1
2 x + 1
{ _1
3
_-1
2
{ _-1
2
; _1
3 }
EJERCICIO 7 Hallar " x " en :
Reemplazando valores :
4 x = - 4
x = - 1
54. CAPITULO 6
EJERCICIO 8 Calcular el valor de :
[ ( _
2 ) ]
Reemplazando valores :
E = Cos [ Tg ( 0 ) ] + Sec [ Sen ( 0 ) ]
E = 1 + 1
E = Cos ( 0 ) + Sec ( 0 )
E = 2
EJERCICIO 9
[ a + b ]Sen x +
a - b[ ]
2
P =
Reemplazando valores :
[ a + b ] a - b[ ]
2
P =
[ a + b ] -
a - b[ ]
2
P =
[ a + b ]- (a - b ) ( a + b )
a - b[ ]
2
P =
P = - 3 ab
EJERCICIO 10 Calcular el valor de A+ B. Sien-
999 cifras
1000 cifras
B = Cos 0 = 1
A + B = 0
NIVEL II
EJERCICIO 1 Sabiendo que :
f ( x ) = [ Sen ( cos x) + Cos ( Sen x ) ] . Tg ( 2 x )
10
10
Reemplazando valores :
10
}
# par
{
0
EJERCICIO 2 Calcular el valor de :
+
}
# par
# impar
}
# par o impar
{
{Tg 0 = 0 ; Si K # par
E = 0 - 1 + 0 = -1
EJERCICIO 3 Hallar la suma de los valores de
" x " que verifiquen la siguiente igualdad.
__
4( )|| - __
4( )-
__
4( ) || __
4( )
|| __1
2
__1
2( ) __1
2( )
x =
__3 x =
__-1
Suma = __1
55. CAPITULO 6
EJERCICIO 4
R = Sen [ f ( 1 ) ] + Cos [ f ( 2 ) ]
como :
f ( Tg x )
Tgx
=
f ( 1 )
1
= =
f ( 2 )
2
=
{
Reemplazando valores :
R = 0 + 0 = 0
2
EJERCICIO 5 Sabiendo que :
| 2
Sen + x |= 4
Calcular
| 2
Sen + x |= 4
| + x |= 4-1
{ + x = 4-1
+ x = - 4-1
x = 5
x = -3
| 1 - y | = 5
{ 1 - y = 5
1 - y = - 5
y = - 4
y = 6
=
( 5 - 3 )
( 6 - 4 )
= 1
EJERCICIO 6 Sabiendo que :
Sen x - Sen y Sec= __
3( )-
Calcular N = Cos x + Cos y
Sen x + Sen y = 0 ........( I )
Sen x + Sen y Sec= __
3( )-
Sen x - Sen y 2 ......( II )=
Sumando ( I ) y ( II ) tenemos :
Sen x + Sen y = 0
Sen x - Sen y 2=
2 Sen x = 2
Sen x = 1 Sen y = -1
Reemplazando valores :
N = Cos x + Cos y
N = 0 + 0 = 0
EJERCICIO 7 Resolver :
__
6( )- __
2
__
6( ) __
2
__1
2( )
x + 3
x - 2
{ =x - 3
=x 2
{ -3 ; 2 }
EJERCICIO 8
2
Senx |y = +|
2
Senx |y = +|
Reemplazando valores :
56. CAPITULO 6
| x + ( -1 ) | + | x - ( - 1 ) |y =
| x -1 | + | x +1 | ......... ( I )y =
- 1 < x < 1 .........Restando ( -1 )
- 1 - 1 < x - 1 < 1 - 1
- 2 < x - 1 < 0 .....entonces ( x -1 ) es un
| x - 1 | = - ( x - 1 ) ........( II )
- 1 < x < 1 .........Sumando ( 1 )
- 1 + 1 < x + 1 < 1 + 1
0 < x + 1 < 2 .....entonces ( x + 1 ) es un
| x + 1 | = x + 1 ........( III )
Reemplazando ( II ) y ( III ) en ( I )
| x -1 | + | x +1 |y =
- ( x -1 ) + ( x +1 )y =
- x + 1 + x +1y =
y = 2
EJERCICIO 9
2
Sen1 - xE = ( )
[ 1 - x ( 1 ) ]E = [ 1 + x ( - 1 ) ]
( 1 - x )E = ( 1 - x )
E =
E =
{ ( 1 - x ) .....( I )
- ( 1 - x ) ......( II )
1 < x < 2 .....multiplicando por ( - 1 )
- 2 < - x < - 1 ......sumando ( 1 )
- 2 + 1 < 1 - x < - 1 + 1
no puede ser negativo
1 < x < 2 .....restando ( 1 )
1 - 1 < x - 1 < 2 - 1
0 < x - 1 < 1 ; esta respuesta se toma
( x - 1 ) ......( II )
EJERCICIO 10 Sabiendo que " Sec 0 " y
Tg __
4( )-" "
Sec 0 = 1
}
x 1
x -1
{ m = 0
n = ( - 1 )(1) = -1
Reemplazando valores :
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
IDENTIDADES RECIPROCAS
=
1
=
1
=
1
=
1
2{ }
=
1
=
1
n
2{ }
57. CAPITULO 7
IDENTIDADES POR DIVISION
=
2{ }
=
IDENTIDADES PITAGORICAS
=
=
=
2{ }
=
IDENTIDADES AUXILIARES
4 4
6 6
NIVEL I
EJERCICIO 1 Simplificar :
E = 2
EJERCICIO 2 Reducir :
4
4
4
4 4
M = 1
Desarrollando el cuadrado de un binomio
EJERCICIO 3 Reducir :
A = 1 + Cos x
Sen x
+ Cotg x
A = 1 + Cos x
Sen x
+ Sen x
Cos x
Sacando m.cm.(1+ Cos x ) Sen x
A = ( 1 + Cos x ) Sen x
A = ( 1 + Cos x ) Sen x
A = ( 1 + Cos x ) Sen x
58. CAPITULO 7
= 4
= 4
Igualando ( 1 ) y ( 2 )
=
( b - a )
2
Multiplicando ( 1 ) y ( 2 )
Reemplazando ( 3 ) en ( 4 )
ab + ( b - a ) = 2 +
( b - a )
2 2
[ ] ( b - a )
2
[ ] ( b - a )
2 2
[ ]
ab
( b - a )
2 2
[ ] =
( b - a )
2 2
[ ]
ab = 1
NIVEL II
EJERCICIO 1 Hallar " m " en la identidad :
=
1 - m
1 + m
( Cosec x - Sen x ) ( Cosec x - Sen x )
( Cosec x - Sen x )( Cosec x + Sen x )
= 1 - m
1 + m
( Cosec x - Sen x )
( Cosec x + Sen x )
= 1 - m
1 + m
( Cosec x + Sen x )( 1 - m ) = ( 1 + m ) ( Cosec x - Sen x)
Cosecx - mCosecx + Senx - mSenx = Cosecx - Senx + mCosecx - mSenx
2 Sen x = 2 m Cosec x
Sen x = m
Sen x
1
EJERCICIO 2 Efectuar :
* Tg x .Cotg x = 1
Recordar :
A = Tg x - Cotg x + Cotg x - Tg x
A = 0
EJERCICIO 3 Simplificar :
6 4 4 62
6 6
Recordar :
2 4 4
2 4 4 4
4 4
Recordar :
2 4
2 4
2 4
=
2 4
4 4
B = 0
59. CAPITULO 7
1
Tg x + Cotg x + 2
Tg x + Cotg x
=P - Cos x
Cos x
Sen x
+ Sen x
Cos x
+ 2
Cos x
Sen x
+ Sen x
Cos x
- Cos x=P
Sen x .Cos x
Sen x .Cos x
=P - Cos x
=P - Cos x
=P - Cos x
=P - Cos x
Sen x + Cos x - Cos x=P
Sen x=P
1
- +=K
1
- +=K
1
1
- +=K
+
+
=K
=K
+=K 1
=K
1=K
1=K =
EJERCICIO 6 Si Sen x + Cos x = a , hallar
A = Tg x + Cotg x +Sec x + Cosec x
Cos x
Sen x
+ Sen x
Cos x
+ Cos x
1
+ Sen x
1
Sen x .Cos x=K
Sen x .Cos x
1 + Sen x + Cos x
=K
...........( I )
=K
Sabemos que :
Sen x + Cos x = a .....elevando al cuadrado
Sen x . Cos x
2= ........( II )
Sen x .Cos x
1 + a
=K
Reemplazando ( II ) en ( I )
Sen x .Cos x
1 + a
=K =
1 + a
2
( a + 1 ) ( a - 1 )
2 ( 1 + a )
=K =
( a - 1 )
2
4
de :
4 4
4 4=M
60. CAPITULO 7
=
4
4
=
4
=
4 4
Reemplazando ( I ) en M
4 4
4 4=M =
4 4
4 4
=M
4
4 = 3
EJERCICIO 8 Si Sen x.Cos x = 0,25,calcular
el valor de :
Sen x - Cos x
Sen x + Cos x
=N
= 0,25 ( dato )
__3
2
Sen x + Cos x = ........( I )
__3
2
__
= 0,25 ( dato )
Sen x - Cos x = .........( II )__1
2
__
Reemplazando ( I ) y ( II ) en N
Sen x - Cos x
Sen x + Cos x
=N =
__3
2
__
__1
2
__ =
EJERCICIO 9 Si a
=
b , hallar
a
=
b
a
=
b
a
=
b
1
a
=
b
1
a
=
b
a
b
Reemplazando valores en " E "
=
a
( ) b
( )
E =
a.b
EJERCICIO 10 Eliminar " x " de :
1 + Tg x = a Sec x ........ ( 1 )
1 - Tg x = b Sec x ...........( 2 )
1 + Tg x = a Sec x ..... (elevando al cuadrado )
1 - Tg x = a Sec x ..... (elevando al cuadrado )
Sumando ( I ) y ( II )
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1 Reducir :
Sen x .Cos x
1 - Cos x
-
Sen x .Sec x
1 - Cos x
+ Sen x=E
m.c.m
= 1
= 1
Sen x .Cos x.Sec x
+Sen x=E
61. CAPITULO 7
Sen x
+ Sen x=E
Sen x
=E
= 1
Sen x
Sec x - 1 - Cos x + 1
=E
Sen x
Sec x - Cos x
=E
Cos x
1
Sen x=E
Cos x-
Cos x
Sen x=
=E
Cos x
Sen x
=
Cos x
Sen x
= Tg x
4
= 1
4 4
= 1
4 4
4 4
EJERCICIO 3
EJERCICIO 2 Simplificar :
8 8 6 6 4
4 4 4 6 6 44
2 2 2 2 4 4 6 6 4
= 1 2 2
2 2 2 2 6 6 4
2 2 2 2 6 32 4
22 4 6 3 42
322 4 6 2 4 6 4
2 4 6 2 4 6 4
2 4 6 6 2 4 6 4
6
A = - 3 + 4
A = 1
4
62. CAPITULO 7
c
a + b - c = 1 + 2 - 2
a + b - c = 1
EJERCICIO 4 Reducir :
( Sec x - 1 )( 1 - Sen x)
=E
Recordar :
Reemplazando:
( Sec x - 1 )( 1 - Sen x)
2( 1 - Sen x )( 1 - Cos x )
=E
Cos x
1
=
1 ( 1 - Sen x)
2( 1 - Sen x )( 1 - Cos x )
=E
Cos x
1
-( )
( 1 Cos x)( 1 - Sen x)
2( 1 - Sen x )( 1 - Cos x ) Cos x
=E
-
E = 2 Cos x
1 + Sen x
1
+ Cosec x - 1
1
EJERCICIO 5 Si se cumple que :
= a + b Tg x
c
Calcular : " a + b - c "
1 + Sen x
1
+ Cosec x - 1
1
=
Sen x
1
=
1 + Sen x
1
+
- 1
1
=
Sen x
1
1 + Sen x
1
+
Sen x
=
1 - Sen x
( 1 + Sen x ) ( 1 - Sen x )
=
= =
= =
1
+
=
a
b
__1
4
=
a
- __b
a = __1
4
= __a
4
= __a
4
= __
16
__ab
2
- __
16
=
__ab
2
___
16
=
__ab
2
__a
b =
__8
15
8
15
Reemplazando los valores en E:
E = 17 - 6__8
17( )
E = 2
EJERCICIO 7 Si se cumple que :
Sen x + Tg x + Sec x = a ........( 1 )
Cos x + Cotg x + Cosec x = b .....( 2 )
Calcular " Tg x "
63. CAPITULO 7
Sen x + Tg x + Sec x = a
Sen x + + = a
Cos x
Sen x
Cos x
1
Sen x .Cos x + Sen x + 1 = a Cos x .......( 3 )
Cos x + Cotg x + Cosec x = b
Cos x + + = b
Sen x
Cos x
Sen x
1
Sumando ( 3 ) y ( 4 ):
0
= a + b
a + b = 0
Sen x .Cos x + Cos x + 1 = b Sen x .......( 4 )
Restando ( 3 ) - ( 4 ):
Sen x + 1 - Cos x - 1 = a Cos x - b Sen x
Sen x ( 1 + b ) = Cos x ( a + 1 )
Cos x
Sen x
=
b + 1
a + 1
Tg x =
b + 1
a + 1
2 - a=
1
2 - b=
1
EJERCICIO 9 Si Cotg x + Cos x = 1 ,hallar el
valor de : E = Cotg x + Cosec x2
Sen x
Cos x
+ Cos x = 1
Sen x
1
( )Cos x + 1 = 1
= Cosec x
Cos x ( Cosec x + 1 ) = 1
( Cosec x + 1 ) =
Cos x
1
= Sec x
Cosec x + 1 = Sec x
Cosec x - Sec x = -1 ....( I )
E = Cosecx ( Cosec x + 1 ) - 1
= Sec x
E = Cosecx .Sec x - 1 ...Elev. al cuadrado
= -1
E =
64. CAPITULO 7
EJERCICIO 10 A partir de la figura ,calcular
3
A B F
E
CD
A B F
E
CD a
a
a x
x
a
= , elevando al cuadrado
x + a
a
=
( x - a )( x + a )
=
a
( x - a )
=
a
( x - a )
x + a
a
= ( )3
a
( x - a )
=
Reemplazando los valores en K :
3
a
x + a
a
x - a-K =
a
x + a - x + aK =
K = 2
EJERCICIO 11 Si a Sen x + b Cos x = a , ha-
llar el valor de E = a Cos x - b Sen x
a Sen x + b Cos x = a
b Cos x = a - a Sen x
b Cos x = a ( 1 - Sen x ) ....mult. por ( 1 + Sen x )
b Cos x ( 1 + Sen x ) = a ( 1 - Sen x )( 1 + Sen x )
b ( 1 + Sen x ) = a Cos x
b + b Sen x = a Cos x
b = a Cos x - b Sen x
E
E = b
EJERCICIO 12 6 4 2
6 4 2
6 4 2
2 4 2
2 2 2 2
2 4 22
2 2 4 2
2 2 4
2 2 4
2 4 2 4 6
6 4 2
KK = 6 - 2a
6
6
6
4 2
4 2
4 2
n
sea una identidad.
2 2 2
n
n
2
2
2 n
n
n
n = 2
65. CAPITULO 8
NIVEL I
EJERCICIO 1
_
2 }signo Funcion ( x ) ; si x es par
=
signo Cofuncion ( x ) ; si x es impar
E = Sen ( 2 - x ) + Sen ( 2 + x )_
2
_
2
par Sen x
2
+
par Sen x-
3
el seno es ( - )
E = Sen x - Sen x
E = 0
EJERCICIO 2 Calcular K =
K = =
Cotg ( 3 - x )
Tg ( 4 + x )_
2
_
2
K =
Cotg ( 3 - x )
Tg ( 4 + x )_
2
_
2
1
3
=
Tg x
Tg x
= 1
EJERCICIO 3 Simplificar :
_
2
_
2
Q ,Cotg + Q ,Tg +1 1
manera :
P = Sec ( 90 + x ) .Cotg ( 48 - x )_
2
_
2
_
2
_
2
P = Sec ( 90 + x ) .Cotg ( 48 - x )_
2
_
2
Q ,Sec -3 Q ,Cotg -1
P = Sec x . Cotg x- -
P =
Cos x Sen x
Cos x1
P =
Sen x
1
= Cosec x
EJERCICIO 5 Simplificar :
M = Tg( 2 + x ) Cosec ( 2
- x )
M = Tg( 2+ x ) Cosec ( - x )35
2
25
Q ,Tg -2 Q ,Csec -3
M =
Sen x Cos x
1Cos x
M = Cotg x . Sec x- -
M =
Sen x
1
= Cosec x
EJERCICIO 6 Simplificar :
M = +
66. CAPITULO 8
manera :
M =
Sec
Sen
+
( 2
- x )1
( 2 + x)4 Cos( 2
- x)4
Cosec( 2
+ x)1
Q ,Sec +1 Q ,Cosec +2
Q ,Sen +1 Q ,Cos +4
M =
Cosec x
Sen x
+
Cos x
Sec x
M = 1
EJERCICIO 7 Hallar el valor de :
M =
M =
Tg
Sen
( 2
+ )1
( 2 + )1 Cos ( 2
+ )3
Cotg ( 2
+ )2
Q ,Tg -2 Q ,Cotg +3
Q ,Sen +2 Q ,Cos +4
+
+
M = =
1
2 +
1
2
+
1
= -
2
EJERCICIO 8 Calcular el valor de :
Sen( 2 + )20
Q ,Sen +1
.Sec ( 2 + )26
Q ,Sec -3
M =
M =
M =
2
. - 2
M = -
EJERCICIO 9 Simplificar :
B =
Cos(-x)
Sen(-x)
+
Cotg(-x) = - Cotg x
Sec(-x) = Sec x
Cosec (-x) = - Cosec x
Sen(-x) = - Sen x
Cos(-x) = Cos x
Tg (-x) = - Tg x
Recordar :
B =
Cos x
- Sen x
+
B =
Cos x
- Sen x -
B =
Cos x
- Sen x - Tg ( 2
- x)2
Q ,Tg -2
B = - Tg x + Tg x = 0
Sen( 2 + )1
Q ,Sen +2
M = Cos( 2 + )2
Q ,Cos -3
NIVEL II
EJERCICIO 1 Calcular el valor de :
Sen (
2
+ )1
Q ,Sen +2
Cos(
2
+ )2
Q ,Cos -3
M = + Tg (
2
+ )3
Q ,Tg -4
+
M =
M = -
EJERCICIO 2 Hallar el valor de :
M =
67. CAPITULO 8
EJERCICIO 3 Simplificar :
Tg (2
- x) Sen( 2
+ x)3
E =
Tg ( 2
- x). Sec Sen( 2
+ x)3
Cotg
E =
1 ( 2
- x)2
( 2
- x)2
Q ,Tg +2 Q ,Sec -2 Q ,Sen -4
Q ,Cotg -2
Cotg x . - Sec x . - Cos x
- Cotg x
E =
E = - 1
G = (a + b)Tg + (a - b) Cotg( 2
+ 45)28
Q ,Tg +1
( 2
+ 45)29
Q ,Cotg -2
G = (a + b) ( 1 ) - (a - b) ( 1 )
G = a + b - a + b
G = 2b
M =
EJERCICIO 5 Simplificar :
M =
M =
M =
- Cosec
Cos ( 2
- x)1
( 2
- x)2
M =
- Cosec
Cos ( 2
- x)1
( 2
- x)2
Q ,Cos +1
Q ,Cosec +2
M =
- Cosec x
Sen x
Cos
7 +Cos
7+ Cos
7 = Cos
7
Cos
7 +Cos
7+ Cos
7 = Cos
7
Cos +Cos+ Cos = Cos
77
2
7
3
2
2
7
3-( )
Q ,Cos -2
Cos -Cos+ Cos = Cos
77
2
7
3
7
3
Cos = Cos
77
2
Cos = Cos
7
2
2
2
7
2-( )
Q ,Cos -2
Cos = - Cos
7
2
7
2
EJERCICIO 7 Simplificar :
B =
Sen(-x)
+
Cos(-x)
+
Tg(-x)
B =
- Sen x
+
Cos x
-
Tg x
B =
Sen x
- Sen x
+
- Cos x
Cos x
-
- Tg x
Tg x
B = - 1 - 1 + 1
B = - 1
68. CAPITULO 8
EJERCICIO 8 Calcular el valor de :
Sen( 3 )Cotg ( 3 )J =
Q ,Sen -4 Q ,Cotg +1
-
2
J = . 1
-
2
J = 1
Q ,Tg -2
EJERCICIO 10 Simplificar :
Sen( 2 )+x
( 2 )+x
E =
Sen
2
.Cos .Tg
Sec .Cotg .Sen
+ x
E =
( ) 2
+ x( )14
2
+ x( )16
2
+ x( )26
2
+ x( )34
2
+ x( )
Q ,Sen +2 Q ,Cos -3 Q ,Tg +1
Q ,Sec -3 Q ,Cotg +3 Q ,Sen -4
Cos x . - Cos x . Tg x
- Sec x . Cotgx . - Cos x
E =
Cos x . - Cos x .
- . . - Cos x
E =
11
Cos x
Sen x
Sen x
Cos x
Cos x
1
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1
Tg( 2 )+
( 2 )-
E =
11
Tg( 2 ) + Cotg
Cotg - Tg
+
( 2 )-
E =
11 ( 2 )-22
( 2 )-
Q ,Tg -4 Q ,Cotg -2
Q ,Cotg -4 Q ,Tg +1
E = = 1
EJERCICIO 2 Calcular el valor de :
( 2 )+ ( 2 )+
Q ,Cos -3 Q ,Cos -3
M = 1
2
. 1
2
. 1
2
= 1
8
EJERCICIO 3
M=
M=
Q ,Sen +1 Q ,Sen +2 Q ,Cos +4
Q ,Sen +1 Q ,Sec +1 Q ,Cos -3
Cos x.Sec x + Sen x . - Sen x
M=
M= =
69. CAPITULO 8
EJERCICIO 4 Calcular :
Q ,Cos -2
S = 0 - 1 = -1
EJERCICIO 5
entre " a " y " b " . Si se cumple :
Sen( 2a + 3b
6 ) Cos ( 2
+ ) = 0
Sen( 2a + 3b
6 ) Cos
2
+ ) = 0[ a - 2b
2
- ( ]
Q ,Cos -3
Sen( 2a + 3b
6 ) Sen- ) = 0
a - 2b
2(
Sen( 2a + 3b
6 ) Sen= )a - 2b
2(
2a + 3b
6
= a - 2b
2
4a + 6b = 6a -12b
18b = 2a
a = 9b
EJERCICIO 6 Simplificar :
M=
M=
Q ,Sen -4 Q ,Tg +1 Q ,Cos +1
Q ,Sen +1 Q ,Tg -4 Q ,Cos +1
M=
ojo :
M=
1
M= = 3
EJERCICIO 7 Sabiendo que :
a Sen( 2 )+ . Cos ( 2 )- = 1
a Sen( 2 )+ . Cos ( 2 )- = 1
Q ,Sen +2 Q ,Cos -3
-1
a
- a = 1
- a
E = - a
EJERCICIO 8
Sen (12n + 1)[ 3 ].Cos (16n + 1)[ 4 ]
Sec (24n + 1)[ 4 ]
M=
Sen 8n +( 2 ) .Cos
M=
3
8n +( 2 )4
Sec 12n +( 2 )4
Sen 8n +( 2 ) .Cos
M=
3
8n +( 2 )4
Sec 12n +( 2 )4
Q ,Sen +1 Q ,Cos +1
Q ,Sec +1
70. CAPITULO 8
Sen .Cos
M=
3 4
Sec
4
=
M=
2 2
=
4
EJERCICIO 9
( A < B < C ) ; reducir :
Sen ( A + 2C + 3B )
=
Sen ( B - C )
Cos ( B + 2A + 3C)
+
Cos ( B - C )
P
A = x - r
B = x
C = x + r
{
Reemplazando valores en " P ".
=
Sen ( - r )
+
Cos ( - r )
P
=
Sen ( - r )
+
Cos ( - r )
P
Q ,Sen +1 Q ,Cos +1
Sen r
=
- Sen r
Cos r
+
Cos r
P
= - 1 + 1 = 0P
EJERCICIO 10 Calcular :
K=1
8
Q ,Cotg -2
= 0
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE
ANGULOS COMPUESTOS
71. CAPITULO 9
NIVEL I
EJERCICIO 1 Sabiendo que :
Sumando m.a.m
EJERCICIO 2
12
13
=
4
5
=
12
5
13 3
4
5
12
13
4
5
- 5
13
3
5
48
65
15
65
-
33
65
EJERCICIO 3 1
4
1
2
+
1 -
1
4
1
2
1
4
1
2
.
3
4
7
8
6
7
6
7
EJERCICIO 4
1
2
. 3
5
+
2
. 4
5
3
10
+
10
10
EJERCICIO 5 Si Tg (x + y) = 4 ; y Tg (y - z) = 3,
Calcular : Cotg ( x + z )
Tg( x + y ) - Tg( y - z )
1 + Tg( x + y ).Tg( y - z )
Tg [ ( x + y ) - ( y - z ) ] =
Tg( x + y ) - Tg( y - z )
1 + Tg( x + y ).Tg( y - z )
Tg ( x + z ) =
Reemplazando valores :
4 - 3
1 + (4)(3)
Tg ( x + z ) =
1
13
Tg ( x + z ) =
Cotg ( x + z ) = 13
EJERCICIO 6 6
5
=
1 + Tg x
1 - (1).Tg x
=6
5
6 - 6 Tg x = 5 + 5 Tg x
11 Tg x = 1
=Tg x 1
11
EJERCICIO 7 Si Sen (x + y) = 3 Sen (x - y) ,hallar
el valor de : M = Tg x . Cotg y
72. CAPITULO 9
Sen (x + y) = 3 Sen (x - y)
Senx.Cosy + Seny.Cosx = 3 (Sen x.Cos y - Sen y.Cos x )
4 Seny.Cosx = 2 Sen x.Cos y
Sen x.Cos y
Sen y.Cos x
4
2
=
2 = Tg x.Cotg y
M = 2
EJERCICIO 8 Calcular el valor de :
Sabemos que :
=
1 =
=
Reemplazando ( I ) en " P "
P = 1
EJERCICIO 9
A B
N
C
2
3
A B
N
C
2
3
4
Reemplazando valores :
+
1 -
=
3
4
3
4
5
4
=
45
4
4
=
8
31
EJERCICIO 10 Simplificar :
K =
=
= K
= K
= K
K
3
=
NIVEL II
R
Sen x.Cos y + Cos x.Sen y
Cos x.Cos y - Sen x.Sen y
=
R
Sen x.Cos y + Cos x.Sen y
Cos x.Cos y - Sen x.Sen y
=
= Cos ( x + y )
= Sen ( x + y )
R
Sen ( x + y )
Cos ( x + y )
= = Tg ( x + y )
73. CAPITULO 9
R = Tg ( x + y )
R =
R =
EJERCICIO 2 1
3= - 2
O
x
y
-3
1
A
Por T. P tenemos :
=
1
=
-3
Reemplazando valores:
1 . 1
+
1 -3.
-2 -1
= =
5
EJERCICIO 3 Simplificar :
Sabemos que :
=
=
= 1
Reemplazando ( II ) en ( I )
E = 2
EJERCICIO 4
=
Reemplazando valores :
=
( a + 1 ) - ( a - 1 )
1 + ( a + 1 )( a - 1 )
=
2
=
2
=
EJERCICIO 5 Reducir :
Escribiendo " P " de la siguiente forma :
= .......( I )P
Sabemos que :
=
= 1
1 + 1
Reemplazando ( II ) en ( I )
=P
= 2P
74. CAPITULO 9
EJERCICIO 6 Simplificar :
Escribiendo " K " de la siguiente manera :
2
2
2
2
1
2
1
2
2 2
1
EJERCICIO 7 Efectuar :
M=
Escribiendo " M " de la siguiente manera :
M=
Q ,Sen +2 Q ,Cos -3
Q , Sen +2
M=
Recuerda :
M=
M=
M=
M=
1
M=
M = 2
4
4
1
BA
D C
P
4
4
1
BA
D C
P
N
N
M
M
3
2
H
3
4 B
M
2
A
2
4=
1
2=
4
H B
N
4
3=
75. CAPITULO 9
+
1 -
1
2
4
3
1
2
4
3
.
11
6
2
6
11
2
A B
2
3
D
C
A B
2
3
D
C
5
A B
2
D
5
2
5=
-
1 +
1 2
5
1 2
5
.
3
5
7
5
3
7
3
7
Desarrollando " E "
Asociando :
E = +
2 2
E =
2
+
E =
2
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1 Simplificar :
+( )W=
Desarrollando " W "
W = 0
76. CAPITULO 9
EJERCICIO 2 Reducir :
Sen ( x - y ) - Sen ( x + y )
2 Cos x .Sen y
E =
Desarrollando el seno de la suma y diferencia de
Senx.Cosy-Seny.Cosx-Senx.Cosy-Seny.Cosx
2 Cos x .Sen y
E =
-2 Sen y.Cos x
2 Cos x .Sen y
E =
E = - 1
EJERCICIO 3
valor de P =
=E
=E
=E -
=E -
=E -1
2 ( )
=E 1
2
= 4
=E 1
2
( 4 )
E = 2
EJERCICIO 4 Sabiendo que :
Sen x + Sen y = a ........ 1
Cos x + Cos y = b ........ 2
Hallar Cos ( x - y )
Sen x + Sen y = a ........ 1 elev. al cuadrado*
Cos x + Cos y = b ........ 2 elev. al cuadrado*
Sumando m.a.m. ( I ) y ( II )
= 1 = 1
Sen x.Sen y+ Cos x.Cos y
2
=
Cos ( x - y )
2
=
= Cos( x - y )
EJERCICIO 5
Tg A
2
=
Tg B
3
=
Tg C
4
, calcular " Tg C ".
Tg A
2 =
Tg B
3 =
Tg C
4 = k
Tg A = 2k ; Tg B = 3k ; Tg C = 4k
Tg A + Tg B
1 - Tg A .Tg B
= - Tg C
Reemplazando valores :
2k + 3k
=
1 - 2k.3k
- 4k
=
9
24
=
3
8
=k =
4
Tg C = 4k
Tg C =
77. CAPITULO 9
EJERCICIO 6
Sen A + Sen B.Cos C = 0 , calcular : E = 2 Tg B + Tg C
E = 2 Tg B + Tg C
2 Sen B
Cos B
=E +
Sen C
Cos C
2 Sen B.Cos C + Sen C.Cos B
Cos B.Cos C
=E
Sen A = Sen ( B + C )
Sen A = Sen B.Cos C + Sen C.Cos B ......( II )
.......( I )
Sen A = - Sen B.Cos C......( dato) .......( III)
Reemplazando ( III ) en ( II )
- Sen B.Cos C = Sen B.Cos C + Sen C.Cos B
- 2 Sen B.Cos C = Sen C.Cos B .......( IV)
Reemplazando ( IV ) en ( I )
2 Sen B.Cos C - 2 Sen B.Cos C
Cos B.Cos C
=E
Cos B.Cos C
=E
0
E = 0
M
A
B N C
M
A
B N C
6
4 4
MN = 3 ,por teorema de los
puntos medios
3
B N4
3
M
3
4
A
B N
6
4
6
4
+
1 -
3
4
6
4
3
4
6
4
.
9
4
-2
16
- 18
EJERCICIO 8 Simplificar :
Reemplazando ( I ) en " M "
78. CAPITULO 9
EJERCICIO 9
2
2
2
2
1
2
1
2
2 2
1
= E
[ - 2 ; 2 ]
EJERCICIO 10
A C
N
B
M
A C
N
B
M
a
a b
b
A
N
B
M
a
a b2a
b
C
N
B
M
a b
b
a
2b
Reemplazando valores :
-
1 +
2a
b
a
2b
2a
b
a
2b
.
3a
2b
3ab 3
2
ab
( )
ab 1
2
1
2
3
2
. 1
2
3
4
Reemplazando en ( I ) :
3
2
ab
( )
79. CAPITULO 9
EJERCICIO 11
ABC con CM ( mediana ) .Calcular :
CA
B
M
CA
B
M
k
-
1 +
3 6
.
3 6
=
6
6
7
=
7
7
Reemplazando en " R "
7
)(
R = 5
EJERCICIO 12 Calcular el valor de :
M =
=
=
24
7
-
1 +
3
4
7
24
3
4
7
24
.
11
24
117
96
44
117
4 + 3
3 - 4
M =
)44
117(
)44
117(
=
600
175
M = 24
7
EJERCICIO 13 Sabiendo que :
y " b ".
Expresando ( 1 ) y ( 2 ) de la siguiente forma :
+
2
=
2
=
80. CAPITULO 9
EJERCICIO 14 Si se cumple : Tg ( a+b+c ) 2
5=
Tg 2b 1
5= ,calcular Tg ( a - b + c )
Tg [ ( a + b + c ) - ( 2 b ) ] Tg ( a + b + c ) - Tg ( 2 b )
1 + Tg( a + b + c ).Tg(2b)
=
= ( a - b + c )
Tg ( a - b + c ) Tg ( a + b + c ) - Tg ( 2 b )
1 + Tg( a + b + c ).Tg(2b)
=
Tg ( a - b + c ) =
-
1 +
2
5
1
5
2
5
1
5
.
1
5
27
25
5
27= =
EJERCICIO 15 Si :
Elevando al cuadrado ( 1 ) y ( 2 )
+
2
=
2
=
2
=
EJERCICIO 16 Si Sen x + Sen y 6
5= ....(1)
Cos x - Cos y 2
5= ....(2)
Calcular : Cos ( x + y )
Elevando al cuadrado ( 1 ) y ( 2 ) y luego sumando
ambos miembros tenemos :
36
25=
4
25=
+
2 + 2 Sen x.Sen y - 2 Cos x.Cos y
40
25=
2 ( Sen x.Sen y - Cos x.Cos y )
40
25= - 2
2 ( Sen x.Sen y - Cos x.Cos y )
10
25= -
- ( Cos x.Cos y - Sen x.Sen y )
10
50= -
= Cos ( x + y )
Cos ( x + y ) 1
5=
DOBLE
Sen 2A = 2 Sen A.Cos A
Cos 2A =
{
2 Tg A
Tg 2A =
2 Cotg A
Cotg 2A =
2 Tg A
2 Tg A
Sen 2A =
Cos 2A =
2A
81. CAPITULO 10
NIVEL I
EJERCICIO 1 1
2
=
2
1
= 2 1 . 2
=
4
5
EJERCICIO 2
2 1
( )
2
- 1
2 - 11
6
- 2
3
EJERCICIO 3
hallar el valor de : " Tg 2x "
3
1
x
2 Tg x
Tg 2x =
Tg ( 2x) =
1 -
1
3( )2
1
3( )2
Tg ( 2x) = 3
4
EJERCICIO 4 Simplificar :
=M
=M
1
( )
=M
( )
M = 1
EJERCICIO 5 Reducir : =M
=M =
=M = =
EJERCICIO 6 Si Sen x + Cos x = a , hallar
" Sen 2x "
Sen x + Cos x = a , elevando al cuadrado
Sen 2x
EJERCICIO 7 Simplificar :
Aplicando diferencia de cuadrados :
= 1
W = 1 - 1
W = 0
EJERCICIO 8
el valor de " Tg 2x "
82. CAPITULO 10
= 2
1 + Tg x
1 - Tg x
= 2
1 + Tg x = 2 - 2 Tg x
3 Tg x = 1
Tg x =
1
3
EJERCICIO 9 Simplificar : 2 Tg 5x
=R
2 Tg 5x
=R
2
1 +
=
Sen 5x
Cos 5x( )
Sen 5x
Cos 5x( )
2
2
1 +
Sen 5x
Cos 5x( )
=R
2
Sen 5x
Cos 5x( )
=
=R
2
Sen 5x
Cos 5x( )
=
2 Sen 5x.Cos 5x
= 1
R = 2 Sen 5x.Cos 5x = Sen 10x
EJERCICIO 10 De la figura , hallar " x "
A B
2
3
D
C
x
=
1 -
2
x5
x
( )2
2
x( )2 =
4
x5
x
;=
4 x5
x
NIVEL II
Descomponiendo en factores :
EJERCICIO 2 Si Tg x + Cotg x = 8 ,hallar el
valor de : " Cos 4x "
de seno y coseno :
Sen x
Cos x
+
Cos x
Sen x
= 8
Sen x .Cos x
= 8
= 1
83. CAPITULO 10
1 = 8 Sen x.Cos x
1 = 4 ( 2 Sen x.Cos x )
1 = 4 ( Sen 2x )
Sen 2x =
1
4
Cos 4x = 1 - 2 1
4( )2
Cos 4x =
7
8
EJERCICIO 3 Calcular " m " en la igualdad :
= Cos mx
=
de seno y coseno .
-
Sen 4x
Cos 4x
=
1
2
2
+
Sen 4x
Cos 4x
1
2
2
Cos mx
Cos 4x - Sen 4x
Cos x
=
2
4
Cos 4x + Sen 4x
Cos x
2
4
Cos mx
2
2
Cos 4x - Sen 4x = Cos mx2 2
= Cos 2 ( 4x ) = Cos 8x
Cos 8x = Cos mx
m = 8
EJERCICIO 4 Sabiendo que :
Sen x + Cos x = A + B Cos 4x4 4
Calcular : A + B
Sabemos que :
4 4
Sen x + Cos x + ( Sen x.Cos x) ( Sen x.Cos x) = 14 4 2 22
4
= Sen 2x = Sen 2x
Sen x + Cos x + ( Sen 2x) ( Sen 2x ) = 14 4 2
4
4 4 2
4
Sen x + Cos x = 1 -4 4 1
2
1 - Cos 4x
2( )
Sen x + Cos x = 1 - +4 4 1
4
Cos 4x
4
Sen x + Cos x = +4 4 3
4
1
4
Cos 4x
A + B Cos 4x = +3
4
1
4
Cos 4x
A + B = +3
4
1
4
A + B = 1
sabiendo que :
84. CAPITULO 10
Sec x4
E =
E = Sen x
Cos x( ) 4
E = 3
4 Sen x 1 - Cos xE = 3
( )
4 Sen x Cos xE = 3
( )
E =
= Cos 2x
2 . 2 Sen x.Cos x .Cos 2xE =
= Sen 2x
2 Sen 2x .Cos 2xE =
Sen 4xE =
EJERCICIO 9
A B
M
C
de seno y coseno
+ - 1 = 08
=
1
4
1
4
=
1 -
1
4( )2
1
4( )2
8
15
B
M
C
A
a
a
b
En el ABC :
=
b
2a
En el ABM :
=
a
b
2 Tg x
Tg 2x =
2 Tg x
Tg 2x
=
2 Tg 2x
Tg 4x =
2 Tg 2x
Tg 4x
=
2 Tg 4x
Tg 8x =
2 Tg 4x
Tg 8x
=
Reemplazando :
E =
2 Tg x
Tg 2x( ) 2 Tg 2x
Tg 4x( ) 2 Tg 4x
Tg 8x( )
E =
8 Tg x
Tg 8x
E = 8 Tg x.Cotg 8x
85. CAPITULO 10
b
2a =
a
b
Igualando las tangentes :
=
b
=
1
a
1
=
1 -
( )2
)2
1
1
(
=
2
1
2
=
EJERCICIO 10 Sabiendo que :
Hallar el valor de " n " .
= Q , Cos +1
Sen 2x = n Sen x.Cos x
2 Sen x.Cos x = n Sen x.Cos x
n = 2
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1 Simplificar : E =
1 - Cos 8x
1 + Cos 8x
E =
1 - Cos 8x
1 + Cos 8x
=
E = =
EJERCICIO 2 Sabiendo que :
Sen x + Cos x = A + B Sen 2x , calcular :" A + B "6 6 2
6 6
Sen x + Cos x = 1 - ( 2 Sen x Cos x)( 2 Sen x.Cos x )3
4
= Sen 2x = Sen 2x
Sen x + Cos x = 1 - ( Sen 2x )( Sen 2x )3
4
3
4
6 6
6 6
6
6
6
6
A = 1
B = - 1
4
A + B = 1
4
EJERCICIO 3
Reemplazando ( I ) en ( II )
EJERCICIO 4
86. CAPITULO 10
=
1
8
W
=
1
8
EJERCICIO 5
=A
=W
- 2
2
- 1
=W
2
=
=W = =
=W
EJERCICIO 6
M = ( Sec x - Cos x ) ( Cosec x - Sec x )
M = ( - Cos x ) ( - Sen x )
1
Cos x
1
Sen x
))(( Cos x Sen x
=M
))(( Cos x Sen x
=M
= Sen x.Cos x ; ...mult. y div. por ( 2 )M
= Sen x.Cos xM 1
2
2
= Sen 2x
= Sen2xM 1
2
EJERCICIO 7 Siendo :
f ( x ) = ( Sec x + Cosec x ).Cos ; calcular(x +
4 )
el valor de : " f "
8 )(
1
Cos x
+
1
Sen x( )f ( x ) =
Sen x + Cos x
Sen x.Cos x
(Cos x - Sen x)( )f ( x ) =
2
Sen x + Cos x
2 Sen x.Cos x
(Cos x - Sen x)( )f ( x ) =
2 Sen x.Cos x( )f ( x ) =
Cos 2x
Sen 2x(f ( x ) =
f ( x ) =
)
EJERCICIO 8 Calcular el valor de :
1
( ) 1
( )
=P
=P
=P
( 1
2 2 )
=P
P = 4
EJERCICIO 9
87. CAPITULO 10
A B
C
D
a
b
A B
C
D
a
b
x
a + b
x
=
b
x
2
1 - ( b
x )2
a + b =
a - b
a + b
=
a - b
a + b =
b
x
a - b
a + b =
EJERCICIO 10
= 1 + Cos 2x
2
= 1 - Cos 2x
2
Recordar :
Reemplazando en " E "
E = 9 + 4 ( 2Sen x.Cos x) - 61 - Cos 2x
2( ) 1 + Cos 2x
2( )
9
2
= Sen 2x
E = -
9Cos 2x
2
4Sen 2x+ - 6
2
-
6Cos 2x
2
E = 4 Sen 2x + 3
2
-
15
2
Pero :
Cos 2x
-
15
2
+
15
2( )- +
15
2( )
Puesto que :
-
15
2
289
4
- 289
4
-
15
2
17
2
- 17
2
3
2( )
-
15
2
17
2
- 17
2
+
3
2
+
3
2
-
15
2
14
2
- 20
2
+
3
2
+
3
2
= E
- -
[ - 7 ; 10 ]
88. CAPITULO 10
TRIPLE
CUADRO DE FORMULAS IMPORTANTES:
=
=
NIVEL I
EJERCICIO 1 1
3
Sabemos que :
Reemplazando valores :
=
1
3( ) 1
3( )
=
4
27
=
23
27
EJERCICIO 2 Si se cumple que : Cos x = - ,1
5
hallar el valor de : " Cos 3x "
Sabemos que :
Reemplazando valores :
Cos 3x 4 - - 3 -=
1
5( ) 1
5( )
Cos 3x = +
- 4
125
Cos 3x =
71
125
3
5
EJERCICIO 3
Sabemos que :
Reemplazando valores :
12 - 64
1 - 48
- 52
- 47
=
52
47
EJERCICIO 4
4
5( ) 4
5( )
256
125
12
5
44
125
-
EJERCICIO 5 Calcular el valor de :
Dandole la siguiente forma :
89. CAPITULO 10
M =
1
2
EJERCICIO 6 Reducir :
K = -
K = -
K = -
K = +
= 1
K = 6 - 4
K = 2
EJERCICIO 7
Cos 3xW = 4 -
W = 4 -
W = 4 -
W =
W =
3
EJERCICIO 8 Reducir :E =
Reemplazando " Sen 3x " y " Cos 3x " :
E =
3 Cos x
E =
3 Sen x
E = Tag x
EJERCICIO 9 Hallar " A " en la identidad :
Sen 12x
Sen 4x
+
Cos 12x
Cos 4x
= 4 Cos Ax
Sen 3( 4x )
Sen 4x
+
Cos 3( 4x )
Cos 4x
= 4 Cos Ax
Sen 4x
+
Cos 4x
= 4 Cos Ax
= Cos 2 ( 4x )
4 Cos 8x = 4 Cos Ax
A = 8
EJERCICIO 10 Sabiendo que :
9( )f
= Cos 3x
f ( x ) = Cos 3x + 1 , para x = , tenemos :
9( )f = Cos 3 + 19( )
9( )f = Cos + 13( )
9( )f
9( )f = + 1
1
2
9( )f =
3
2
9( )
90. CAPITULO 10
B
A H
1
x
B
H C
2
x
=
x
1 =
x
2
Sabemos que :
Reemplazando :
x
2 =
x
2 =
1
2 =
7
8=
7
8=
Sabemos que :
Reemplazando :
7
8( )
3
4
EJERCICIO 7 Sabiendo que :
Hallar el valor de : " A + B "
= 1
2
1
2
1
8
3
4
1
8
3
4
A + B = -3
4
1
8
A + B = 5
8
EJERCICIO 8 Si
Sen 9x
Sen 3x
= A Cos Bx + C ,
hallar : " A.B.C "
Sen 3( 3x )
Sen 3x
= A Cos Bx + C
Sen 3x
= A Cos Bx + C
= Cos 2 ( 3x )
2 Cos 6x + 1 = A Cos Bx + C
A.B.C = (2)(6)(1) = 12
EJERCICIO 9
" Tg 3x "
Reemplazando valores :
Tg 3x =
1 - 6
Tg 3x =
5
Tg 3x =
Sabemos que :
91. CAPITULO 10
EJERCICIO 10
1 2
1 2
H
M
C
A B
Sea : CM = MH = x
x
x
Sabemos que :
1
H
C
A
2x
2
M
B
x
H
= 2x
1 = x
2
Reemplazando valores :
2x =
x
2( ) x
2( )
x
2( )
-
1 - 3
2 =
3
2 8
4
-
2 =
3
2 8
4
2 =
4
8
; 2 =
1
2
2 = ;
x =
2
2
M
BH
2
2
( )
MB = 48
11
48
11
Sabemos que :
Reemplazando :
( 48
11
2
)2
44
48( )
11
12( )
11
6
5
6
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1 Si Tg x + Cotg x = 6 , hallar :
" Sen 6x "
y " Cos x "
Sen x
Cos x
+
Cos x
Sen x
= 6
Sen x .Cos x
= 6
= 1
1 = 6 Sen x. Cos x
92. CAPITULO 10
1 = 6 Sen x. Cos x
1 = 3 ( 2 Sen x. Cos x )
= Sen 2x
Sen 2x = 1
3
Sabemos que :
Reemplazando valores :
Sen 3x 3 - 4=
1
3( ) 1
3( )
Sen 3x 1 -=
4
27
=
23
27
EJERCICIO 2
x
3( )Tg (Tg x
3)- (Tg x
3)+K =
Recordar :
Reemplazando :
x
3( )TgK = 3
K = Tg x
Sen 3x - Cos 3x
Sen x + Cos x
= A Sen Bx + C , hallar " A + B + C "
EJERCICIO 3 Sabiendo que :
gulo triple :
Sen x + Cos x
= A Sen Bx + C
Sen x + Cos x
= A Sen Bx + C
Sen x + Cos x
= A Sen Bx + C
Sen x + Cos x
= A Sen Bx + C
= A Sen Bx + C
= 1
3 - 4 ( 1 - Sen x . Cos x) = A Sen Bx + C
3 - 4 ( 1 - 2 Sen x . Cos x) = A Sen Bx + C1
2
= Sen 2x
3 - 4 ( 1 - Sen 2x ) = A Sen Bx + C1
2
3 - 4 + 2 Sen 2x = A Sen Bx + C
2 Sen 2x - 1 = A Sen Bx + C
A = 2
B = 2
C = - 1
A + B + C = 2 + 2 - 1 = 3
EJERCICIO 4 Simplificar :
M = 3Sen x - 4Sen x + 4Cos x - 3Cos x4 6 6 4
M = 3 ( Sen x - Cos x ) - 4 ( Sen x - Cos x )4 4 6 6
4 2 2 4
= 1
4 4
= Sen 2x
= Cos 2x
M = Cos 2x3
EJERCICIO 5 Sabiendo que :
Sabemos que :
93. CAPITULO 10
E =
1 - Cos 3x
1 - Cos x
EJERCICIO 9 Hallar el valor de :
- 1
E =
1 - Cos x
- 1
E =
1 - Cos x
- 1
E =
- Cos x + 1
- 1
Dividiendo por Ruffini :
Cos x - 1 = 0
Cos x = 1
*
4 0 - 3 - 1
1
4
4
4
4
1
1
0
E =
Cos x - 1
- 1
E =
E =
E = 2 Cos x + 1 - 1
E = 2 Cos x
EJERCICIO 10
=
4
x3 5 62
Entonces :
MITAD
2( )Sen
2
2( )Cos
2
2( )Tg
2( )Cotg
F.T.en el cuadrante en el cual se ubica
2( )
2( )
2( )
2( )Tg
2( )Cotg
x
2( )2 Sen =n 2 - 2 + 2 + ..... 2 + 2Cos x
x
2( )2 Cos =n 2 + 2 + 2 + ..... 2 + 2Cos x
* n : # de radicales
94. CAPITULO 10
NIVEL I
EJERCICIO 1 =
3
8 1
x
2
" Sen "
x
2
Sen
2 1
x
2 1
x
2
Sen
1 -
2
= +
3
8
x
2
Sen 5
16
=
x
2
Sen
4
=
EJERCICIO 2 1
2
" Cos "
0
y
x
1
H
H = 8
2( )Cos = +
2
=
8
2
Cos
1 +
2
= +
1
8
2
Cos 9
16
=
2
Cos 3
4
=
EJERCICIO 3
2
Tg = +
1 -
2
1 +
2
= +
x =
4 - 2
x =
2
=
EJERCICIO 4
2
Cotg = +
1 + 4
5
1 -
5
4
=
9
1
3
EJERCICIO 5 5
13
= - 3
2
" Sen "
2
2 2
" " 2
2
Sen
1 -
2
= +
5
13
2
Sen 18
26
=
2
Sen =
)(-
9
13
=
13
EJERCICIO 6 4
2
" Cos "
2
2 2
" " 2
2
Cos
1 +
2
= -
1
6 )(
95. CAPITULO 10
2
Cos 7
12
= -
2
Cos = - x = -
6
EJERCICIO 7 Reducir M = -x
2
Cotg x
2
Tg
2( )Tg
2( )Cotg
Recordemos que:
Reemplazando :
M = ( Cosec x + Cotg x ) - ( Cosec x - Cotg x )
M = 2 Cotg x
EJERCICIO 8 Simplificar A = 1 - Sen x. x
2
Tg
Reemplazando :
A = 1 - Sen x ( Cosec x - Cotg x )
A = 1 - Sen x -1
Sen x )( Cos x
Sen x
A = 1 - 1 + Cos x
A = Cos x
EJERCICIO 9 Reducir : B = 1 + Cos x
Sen x
B = +1
Sen x
Cos x
Sen x
B = Cosec x + Cotg x
B = Cotg x
2
EJERCICIO 10 Simplificar :
= 2 - 2 + 2 Cos 4xQ
= 2 - 2 + 2 Cos 4xQ 4x
2( )2 Sen 2=
2 Sen x=
NIVEL II
valor de : K = + 1x
2
2 Tg
3
0
y
x
x
- 2
- 1
H
x
2
x
2
" " 2
x
2
K = 2 ( Cosec x - Cotg x ) + 1
K = 2 - - + 1)( 1
22
EJERCICIO 2 60
61
= 4
A
2
" Cotg "
A
2
A
2
A
2
" " 2
A
2
Cotg
1 +
= -
60
61
A
2
Cotg 121
1
= -
A
2
Cotg = - 11
)(
1 - 60
61)(
2
Sen ( ) 2
96. CAPITULO 10
Sabemos que :
3
5
2
Reemplazando valores :
1 +
2
3
5
5
EJERCICIO 4
x
2
Tg x
2
x
2
x
2
M = Cosec x - Cotg x . Cos x
M = - . Cos x1
Sen x
Cos x
Sen x
M = = = Sen x
Sen x Sen x
EJERCICIO 5 Simplificar :
K = Cotg x + Tg x - Tg . Cos x( x
2
)
K = Cotg x + [ Tg x - ( Cosec x - Cotg x ) ] . Cos x
K = Cotg x + Sen x - Cotg x +
Sen x
K = Sen x +
Sen x
K = Sen x
K = = Cosec x
1
Sen x
EJERCICIO 6 Calcular el valor de :
8
P = Cotg - Tg
8
4
P = ( Cosec + Cotg ) - ( Cosec - Cotg )
4 4 4
4
P = 2 ( 1 )
P = 2
EJERCICIO 7 Calcular :
24
" Cotg "
24
Cotg = Cosec + Cotg
12 12
24
24
24
EJERCICIO 8 Simplificar :
2 + 2 + ......+ 2 + 2Cos 32xE =
8 radicales
2 + 2 + ......+ 2 + 2Cos 32xE =
8 radicales
E =
32x
2( )2 Cos 8
E = x
8
2 Cos
EJERCICIO 9
R = Cosec - Cosec - Cosec -Cosec x -Cotg xx
8
x
4
x
2
R = Cosec - Cosec - Cosec -(Cosec x+Cotg x)x
8
x
4
x
2
R = Cosec - Cosec - Cosec - Cotgx
8
x
4
x
2
x
2
R = Cosec - Cosec - ( Cosec + Cotg )x
8
x
4
x
2
x
2
R = Cosec - Cosec - Cotgx
8
x
4
x
4
R = Cosec - ( Cosec + Cotg )x
8
x
4
x
4
R = Cosec - Cotgx
8
x
8
R = Tg x
16
EJERCICIO 10 Simplificar :
97. CAPITULO 10
B = + 1 -Sen x
Cos x
1
Sen x ( 1
Cos x )
B = Sen x.Cos x
B = Sen x.Cos x
B = Sen x.Cos x
B =
1 - Cos x
Sen x =
1
Sen x -
Cos x
Sen x
B = Cosec x - Cotg x
B = Tg x
2
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1 Simplificar : A =
1 - Cos x + Sen x
1 + Cos x + Sen x
A =
x
2
x
2
A =
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
A =
2 Sen ( Sen + Cos )
2 Cos ( Sen + Cos )
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
A = Tg x
2
EJERCICIO 2 2 ab
2
2ab
4 4
4 4
2
Tg
2
Tg = -2ab 2ab
2
Tg = 2ab
2
Tg = =
2ab
b
a
EJERCICIO 3
E =
Cosec x - 1
Cosec x + 1
- 1
E =
1
Senx
+ 11
Senx
=
1 - Sen x
1 + Sen x
1 - Cos - x
E =
2
= Tg - x
( )
1 + Cos - x
2( )
1
2 2( )
E = Tg -
4
x
2( )
EJERCICIO 4 2
A = 2 Cos
2
22 2
EJERCICIO 5 Sabiendo que
2 2
Hallar el valor de :
2 2
E = .
1 -
1 +
E = .
E = .
1
5
E =
98. CAPITULO 10
EJERCICIO 6 Simplificar :
2 + 2 + 2 + 2Cos 8x
R =
x
2
8x
2( )2 Cos 3
R = x
2
R = x
2
2 Cos x
= x
2
2 x
2
R = 1
EJERCICIO 7 Si se cumple que :
x
2
x
2
x
2
x
2
Calcular : " M.N "
x
2
x
2
1
2
M.N = 2 x = 11
2
EJERCICIO 8
2
E = =
2 2 2
2 2 2 2
E =
2 Sen ( Sen + Cos )
2 2 2
2 2
=
2 Sen ( Sen + Cos )
2 2 2
Sen + Cos
2 2
2 2 2 2 2
2
4
2
Sen + Cos = -
2 2 (Sen + Cos
2 2 )
E =
2 Sen ( Sen + Cos )
2 2 2
- Sen + Cos
2 2( )
= - 2 Sen
2
EJERCICIO 9 Reducir :
Sabemos que :
2( )Tg
2( )Cotg
2( )Tg -
2( )Cotg =
2( )Cotg -
2( )Tg =
EJERCICIO 10 Sabiendo que :
x
4
x
4
x
4
x
4
99. CAPITULO 10
x
2
Tg = Cosec - Sen ,....datox
4
x
2
x
4
x
2
x
2
Sen = Cotgx
2
x
2
Sen =x
2
Cos x
2
Sen x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
Cos =x
2 2(1)
Cos =x
2 2
x
2
x
2
( + )
2
2
x
4
x
2 )(
Reemplazando :
x
4 )( 2
x
Sen ( A+B ) + Sen ( A - B ) = 2 Sen A .Cos B ....I
1.Transformaciones de suma o diferencia a producto
Sen ( A+B ) - Sen ( A - B ) = 2 Cos A .Sen B ....II
Cos ( A+B ) + Cos ( A - B ) = 2 Cos A .Cos B ...III
Cos ( A - B ) - Cos ( A + B ) = 2 Sen A .Sen B ...IV
4
Siendo : A > B
Siendo : x > y
Sen x + Sen y = 2 Sen .Cos
x + y
2( ) x - y
2( )
Sen x - Sen y = 2 Cos .Sen
x + y
2( ) x - y
2( )
Cos x + Cos y = 2 Cos .Cos
x + y
2( ) x - y
2( )
Cos x - Cos y = 2 Sen .Sen
x + y
2( ) x - y
2( )
2.Transformaciones de producto a suma o diferencia
Siendo : A > B
2
2 Sen A . Cos B = Sen ( A + B ) + Sen ( A - B )
2 Cos A . Sen B = Sen ( A + B ) - Sen ( A - B )
2 Cos A . Cos B = Cos ( A + B ) + Cos ( A - B )
2 Sen A . Sen B = Cos ( A - B ) - Cos ( A + B )
100. CAPITULO 11
NIVEL I
( )2 ( )2
1
( )2
EJERCICIO 2 Simplificar : P =
P = =
P = 1
EJERCICIO 3 Reducir :
K = 0
EJERCICIO 4 Simplificar :
Transformado a producto :
EJERCICIO 5 Reducir:
Sen 6x - Sen 4x
Cos 6x + Cos 4xA =
Transformando a producto el numerador y deno
minador :
2 Cos 5x. Sen x
2 Cos 5x.Cos xA = = Tg x
EJERCICIO 6 Transformar a producto :
2
2
}
2
Transformando a producto :
EJERCICIO 7 Expresar como producto :
Sen 2x
W =
Sen 2x
W = , Aplicando diferencia de
cuadrados
( Sen 7x - Sen 5x ).(Sen 7x + Sen 5x )
Sen 2xW =
Transformando la suma y diferencia a producto
( 2 Cos 6x.Sen x ).( 2 Sen 6x. Cosx )
Sen 2xW =
ordenando factores :
( 2 Sen x.Cos x ).( 2 Sen 6x. Cos 6x )
Sen 2xW =
W = Sen 12x
2 Sen 6x.Cos 2x - Sen 4x
2 Cos 5x.Cos x - Cos 6x
M =
Transformando de producto a suma :
Sen 8x + Sen 4x - Sen 4x
Cos 6x + Cos 4x - Cos 6x
M =
Sen 8x
Cos 4x
M =
2 Sen 4x.Cos 4x
Cos 4x
M =
M = 2 Sen 4x
101. CAPITULO 11
EJERCICIO 9 Calcular el valor de :
Sen 2x + Sen 4x + Sen 6x
Cos 2x + Cos 4x + Cos 6xY =
( Sen 2x + Sen 6x ) + Sen 4x
( Cos 2x + Cos 6x ) + Cos 4xY =
Ordenando :
2 Sen 4x.Cos 2x + Sen 4x
2 Cos 4x.Cos 2x + Cos 4xY =
Sen 4x ( 2 Cos 2x + 1 )
Cos 4x ( 2 Cos 2x + 1 )Y =
Sen 4x
Cos 4xY =
3
4Y =
EJERCICIO 10 Transformar a producto :
Ordenando y transformando a producto :
NIVEL II
EJERCICIO 1 Sabiendo que :
Sen 4x.Cos x + Cos 5x.Sen 2x = Sen Ax.Cos Bx
calcular : " A + B "
( Sen 4x.Cos x + Cos 5x.Sen 2x) = Sen Ax.Cos Bx2 21
2
( Sen 5x+ Sen 3x + Sen 7x - Sen 3x) = Sen Ax.Cos Bx1
2
( Sen 5x + Sen 7x ) = Sen Ax.Cos Bx1
2
( 2 Sen 6x.Cos x ) = Sen Ax.Cos Bx1
2
Sen 6x.Cos 1x = Sen Ax.Cos Bx A + B = 7
Transformando el producto a suma :
2N =
EJERCICIO 3 Simplificar : Cos 8x
P =
Multiplicando y dividiendo por 2 :
Cos 8x
P =
1
2
Cos 2A ={
Reemplazando :
[ ( 1 + Cos 12 x ) - ( 1- Cos 4 x ) ]
Cos 8x
P =
1
2
[ Cos 12 x + Cos 4 x ]
Cos 8x
1
2
[ 2 Cos 8 x . Cos 4 x ]
Cos 8x
1
2
P = Cos 4x
EJERCICIO 4 Reducir :
Sen x + Sen ( nx ) + Sen ( 2n - 1 ) x
Cos x + Cos ( nx ) + Cos ( 2n - 1 ) xK =
2 2
P =
P =
Asociando y transformando a producto :
[ Sen x + Sen ( 2n - 1 ) x ] + Sen ( nx )
[ Cos x + Cos ( 2n - 1 ) x ] + Cos ( nx )K =
K =
2 Sen .Cos + Sen ( nx)(x + (2n - 1 ) x
)2 (x - (2n - 1 ) x
)2
2 Cos .Cos + Cos ( nx)(x + (2n - 1 ) x
)2 (x - (2n - 1 ) x
)2
102. CAPITULO 11
K =
2 Sen ( nx ) .Cos ( 1 - n ) x + Sen ( nx)
2 Cos ( nx ) .Cos ( 1 - n ) x + Cos ( nx)
Factorizando :
K =
Sen ( nx) [ 2 Cos ( 1 - n ) x + 1 ]
Cos ( nx) [ 2 Cos ( 1 - n ) x + 1 ]
K = Tg ( nx )
Transformando la suma a producto :
2 Sen .Cos( )2 ( )2
K =
2
Reemplazando :
K =
Multiplicando y dividiendo por 2 :
2
1 2 2
R = ( Cos 6x + Cos 2x + 1 - Cos 6x )
2
1
R = ( 1 + Cos 2x )
2
1
2
1
EJERCICIO 7 Si x + y = , calcular :
4
Sen 2x + Sen 2y
Cos 2x + Cos 2yE =
Transformando a producto :
2 Sen ( x + y ) . Cos ( x - y )
2 Cos ( x + y ) . Cos ( x - y )E =
E = Tg ( x + y )
E = 1
Transformando a producto :
Ordenado :
EJERCICIO 9 Calcular el valor de :
S = Cos + Cos + Cos +........+ Cos
39 39 39 39
Cos + Cos + Cos +......+Cos =
2n+1 2n+1 2n+1 2n+1
1
2
Cos + Cos + Cos +......+ Cos = -
2n+1 2n+1 2n+1 2n+1
1
2
Propiedad :
+
S =
1
2
EJERCICIO 10 Calcular :
Multiplicando ambos miembros por 2 :
103. CAPITULO 7
A = ( 1 + Cos x ) Sen x
( 1 + Cos x )
A =
1
Sen x
= Cosec x
EJERCICIO 5 Simplificar :
K =
K = =
K = =
K = =
Cos x
Sen x6
6 = Tg x6
EJERCICIO 6 Si Tg x + Cotg x = 5 , hallar
Tg x + Cotg x = 5 .....elevando al cuadrado
= 1 ( identidad reciproca )
EJERCICIO 7 =Sen x
1 - Cos x a , hallarSi
= Sen x
1 + Cos xP
= Sen x
1 + Cos xP
multiplicando y dividiendo por ( 1 - Cos x )
1 - Cos x
1 - Cos x
= Sen x ( 1 - Cos x )
P
= Sen x ( 1 - Cos x )
P
= ( 1 - Cos x )
Sen xP
=Sen x
1 - Cos x
a
........( I )
Sabemos que :
1 - Cos x
Sen x __1
a=
Reemplazando en ( I )
=P __1
a
EJERCICIO 8 S i Sen x = a ; Tg x = b , hallar
Reemplazando :
= 1 ..... I. Reciproca
N = 1
1 1
- = 4
= 4