Lógica, conjuntos, relaciones y funciones

L´gica, conjuntos,
o
relaciones y funciones

´
Alvaro P´rez Raposo
e
Universidad Autńoma de San Luis Potos´
o
ı
Universidad Politćnica de Madrid
e

Publicaciones Electrńicas
o
Sociedad Matem´tica Mexicana
a

A la memoria de mi madre,
Cecilia Raposo Llobet.

Pr´logo
o
Este libro es una exposiciń muy elemental de los t´picos fundamentales de
o
o
las matem´ticas que anuncia el t´
a
ıtulo: l´gica, conjuntos, relaciones y funciones.
o
Mi aportaciń es tener un libro en espaõl, elemental y riguroso. Todos los
o
n
resultados enunciados tienen su demostraciń y sigo el esquema habitual de una
o
teor´ matem´tica de axiomas, definiciones y teoremas, todos ellos entrelazados
ıa
a
por las reglas de la l´gica. La otra caracter´
o
ıstica que he buscado al escribirlo es la
brevedad. Se ha conseguido un libro con un contenido importante pero expuesto
en pocas p´ginas. A pesar de ello no carece de explicaciones o ejemplos all´ donde
a
ı
se han cre´ necesarios.
ıdo
El primer cap´
ıtulo trata de l´gica. Es una exposiciń de los principios de
o
o
la l´gica que se usan en matem´ticas para desarrollar sus teor´
o
a
ıas. Partiendo
de la definiciń de variable l´gica, se llega hasta el concepto de razonamiento
o
o
l´gico, que es el que permite demostrar teoremas. En este cap´
o
ıtulo todas las
demostraciones de resultados se han hecho mediante tablas. Es un m´todo que se
e
puede evitar en algunos casos, pero es m´s seguro cuando ań no se ha expuesto
a
u
en qu´ consiste un razonamiento l´gico. Desde el punto de vista del primer
e
o
cap´
ıtulo, podemos pensar en un libro de l´gica (cap´
o
ıtulo 1) con un ejemplo, la
teor´ de conjuntos, desarrollado en detalle (cap´
ıa
ıtulos 2, 3 y 4).
El segundo cap´
ıtulo expone los axiomas y definiciones iniciales de la teor´
ıa
de conjuntos, adem´s del ´lgebra de las operaciones habituales de complemena
a
to, uniń e intersecciń. He optado por un desarrollo axiom´tico riguroso de la
o
o
a
teor´ Sin embargo no uso el sistema completo de axiomas de Zermelo y Fraenıa.
kel, sino una simplificaciń del mismo reducida a cinco axiomas. La reducciń
o
o
es posible porque no distingo entre clases y conjuntos ni entro en el terreno de
los conjuntos ordinales ni de los cardinales, por lo cual la exposiciń es elemeno
tal. A partir de los axiomas y las definiciones introducidas se van demostrando
teoremas segń las reglas de inferencia l´gica expuestas en el cap´
u
o
ıtulo anterior.
El tercer cap´
ıtulo trata de relaciones, que son la forma de agrupar y ordenar los elementos de un conjunto. En particular se analizan las relaciones de
equivalencia y las relaciones de orden parcial y total.
El cuarto cap´
ıtulo est´ dedicado a la idea de funciń que, junto con la de
a
o
conjunto, es el concepto m´s fruct´
a
ıfero en matem´ticas. Este cap´
a
ıtulo describe
todo el material necesario para llegar a dos teoremas: el que caracteriza las
funciones invertibles como las biyectivas y el de descomposiciń canńica de
o
o
una funciń.
o
iii

iv

´
PROLOGO

Desde el punto de vista de estos tres ultimos cap´
´
ıtulos, el libro se puede ver
como un libro de teor´ elemental de conjuntos con un cap´
ıa
ıtulo previo de l´gica.
o
Bajo cualquiera de las dos interpretaciones, se trata de un libro de texto
dirigido a alumnos de primer curso de matem´ticas, f´
a
ısica, ingenier´ o, en geıa
neral, a cualquier estudiante que desee adquirir soltura en el manejo de estos
conceptos, que son herramientas comunes en los cursos de c´lculo y ´lgebra.
a
a
No est´ pensado como un libro de autoestudio, sino como un libro para seguir
a
con la gu´ de un profesor. Cada cap´
ıa
ıtulo contiene, al final, una lista de ejercicios propuestos al lector que tienen la misiń de analizar ejemplos concretos
o
de la teor´ revisada. Tambiń hay algunos ejercicios en los que se ampl´ ´sta
ıa
e
ıa e
pues se propone demostrar algń resultado. Los ejercicios considerados de mayor
u
dificultad se han marcado con un asterisco.
No presupongo conocimientos de l´gica o conjuntos en el lector. Sin embargo
o
s´ uso propiedades de los n´meros naturales, enteros, racionales, reales y compleı
u
jos, aunque nunca en el desarrollo de la teor´ sino en los ejemplos o en algunos
ıa,
ejercicios. Las demostraciones de los teoremas se concluyen con el s´
ımbolo .
Quiero aprovechar estas l´
ıneas para expresar mi agradecimiento a la Sociedad Matem´tica Mexicana por la publicaciń de este libro en su secciń de
a
o
o
publicaciones electrńicas, cuya iniciativa de poner los libros a disposiciń de
o
o
los lectores interesados de forma completamente gratuita me parece acertad´
ısima. Asimismo, agradezco a los revisores las sugerencias que hicieron pues han
contribuido a mejorar la presentaciń de este texto. Por ultimo agradezco a los
o
´
estudiantes de la Facultad de Ciencias de la Universidad Autńoma de San Luis
o
Potos´ el buen recibimiento que dieron a una versiń previa de este libro pues
ı
o
con ello me animaron a completar esta versiń definitiva, muy mejorada con la
o
experiencia de la interacciń con ellos.
o

´
Indice general
Pr´logo
o

III

1. L´gica
o
1.1. Proposiciones y variables l´gicas
o
1.2. Conectores de proposiciones . . .
1.3. Leyes del ´lgebra proposicional .
a
1.4. Cuantificadores . . . . . . . . . .
1.5. El razonamiento l´gico . . . . . .
o
1.6. Axiomas, definiciones y teoremas

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1
1
3
8
13
17
19

2. Conjuntos
31
2.1. Axiomas y primeras definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Complemento, uniń e intersecciń . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
o
o
2.3. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3. Relaciones
47
3.1. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3. Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4. Funciones
4.1. Definiciń de funciń . . . . . . . . . . . .
o
o
4.2. Funciń inyectiva, suprayectiva y biyectiva
o
4.3. Funciń inversa . . . . . . . . . . . . . . .
o
4.4. Descomposiciń canńica de una funciń .
o
o
o

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67
67
72
75
77

Lista de s´
ımbolos

87

Bibliograf´
ıa

89

´
Indice alfab´tico
e

91

v

Cap´
ıtulo 1

L´gica
o
Este primer cap´
ıtulo es una breve introducciń a la l´gica, que es la herrao
o
mienta que usan las matem´ticas para desarrollarse. El objetivo del mismo es
a
describir en qu´ consiste una teor´ matem´tica. Para lograrlo, primero hay que
e
ıa
a
exponer sucintamente las reglas de la l´gica de proposiciones, definir con precio
siń qu´ es un razonamiento l´gico y, por ultimo, explicar en qu´ consiste una
o
e
o
´
e
teor´ matem´tica (brevemente, una serie de axiomas, definiciones y teoremas
ıa
a
relacionados entre s´ mediante argumentos l´gicos).
ı
o
La l´gica es un esquema de reglas que permite deducir verdades a partir de
o
otras verdades. El medio que lleva de las primeras verdades a las otras deducidas
se llama razonamiento l´gico. La l´gica estudia, precisamente, los razonamientos
o
o
l´gicos, estableciendo cuńdo un razonamiento es v´lido, independientemente
o
a
a
del contenido de las verdades que se enuncien. S´lo le interesan las manipulao
ciones que se hacen con los enunciados, no su contenido.
Todos los resultados mostrados en este cap´
ıtulo se prueban rigurosamente.
Sin embargo, no se usa para ello el razonamiento l´gico, que se define en la
o
secciń 1.5, sino el simple y eficaz camino de las tablas introducidas en la secciń
o
o
1.1. Por supuesto, algunos resultados s´ se podr´ demostrar a partir de otros
ı
ıan
anteriores mediante las leyes del ´lgebra de proposiciones, que se exponen en la
a
secciń 1.3. Pero hemos preferido dejar todo el cap´
o
ıtulo en manos de las tablas,
pues en el resto del libro son los argumentos l´gicos los protagonistas.
o
Por contra, aunque hasta la secciń 1.6 no hablamos de axiomas, definiciones
o
y teoremas en las teor´ matem´ticas, desde el principio llamamos teoremas a
ıas
a
los resultados que vayamos obteniendo.

1.1.

Proposiciones y variables l´gicas
o

Puesto que la l´gica busca deducir verdades a partir de otras verdades, su
o
materia prima son los enunciados de esas verdades. Eso es lo que llamamos
proposiciones: un enunciado que se puede juzgar como verdadero o falso.
√
1.1 Ejemplo. El enunciado “ 2 es un n´mero racional” es una proposiciń,
u
o
1

2

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA

pues se puede juzgar que es falso. Pero los enunciados “los n´meros enteros son
u
interesantes” o “los n´meros complejos son m´s complicados que los reales” no
u
a
son proposiciones, pues no pueden ser juzgados objetivamente.
Deliberadamente no escribimos una definiciń formal del concepto de propoo
siciń en nuestra teor´ por dos razones. Primero, en mucho casos es cuestiń de
o
ıa
o
opiniń si un enunciado se puede juzgar como verdadero o falso, o simplemente,
o
el juicio no ser´ unńime. La segunda razń es que las proposiciones no son
a
a
o
parte de la l´gica. Son los ladrillos con los que se construyen los razonamieno
tos l´gicos. Sin embargo, no son parte de la l´gica. La l´gica se ocupa de las
o
o
o
relaciones entre las proposiciones, no de su contenido.
No nos interesa, pues, estudiar cada proposiciń en particular. Por ello deo
bemos usar s´
ımbolos que representen proposiciones cualesquiera y estudiar las
relaciones entre estos s´
ımbolos independientemente de su contenido particular.
Utilizaremos letras latinas min´sculas, especialmente p, q, r, s, t . . . para repreu
sentar proposiciones cualesquiera. La unica caracter´
´
ıstica que nos recuerda que
representan proposiciones es que estos s´
ımbolos pueden tener dos valores: verdadero o falso. Y como representan proposiciones cualesquiera, pueden tomar
cualquiera de los dos. Estos s´
ımbolos no son proposiciones sino variables, y
s´ damos una definiciń formal de ellos; la primera del libro.
ı
o
1.2 Definiciń. Una variable l´gica o variable proposicional es un s´
o
o
ımbolo que
puede tomar dos valores: verdadero (representado por 1) o falso (representado
por 0).
Sin embargo, una vez aclarada la diferencia entre proposiciones y variables
l´gicas, y puesto que una variable l´gica representa una proposiciń cualquiera,
o
o
o
emplearemos los dos t´rminos indistintamente.
e
En definitiva, nuestro estudio de la l´gica va a consistir en analizar variables
o
l´gicas y describir las relaciones entre ellas. La relaciń m´s sencilla es la de
o
o
a
variables dependientes e independientes.
1.3 Definiciń. Dos variables l´gicas son dependientes si el valor que tome
o
o
una condiciona el valor que puede tomar la otra. Son independientes si no son
dependientes.
Representamos las variables l´gicas por letras como p, q, r,. . . Si en una exo
presiń aparecen las variables p y q, ambas pueden tomar los valores 0 y 1, y
o
tenemos un total de cuatro combinaciones posibles de los valores de p y q. Si
tenemos tres variables, hay ocho posibilidades (23 ). Una tabla de verdad, o simplemente tabla en este contexto, es una representaciń en filas y columnas de los
o
valores de algunas variables l´gicas. Cada columna representa una variable, y
o
cada fila una posible combinaciń de los valores de las mismas. En las siguientes
o
tablas se muestran todas las posibles combinaciones de los valores 0 y 1 para
dos y tres variables.

1.2. CONECTORES DE PROPOSICIONES

p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p
0
0
0
0
1
1
1
1

q
0
0
1
1
0
0
1
1

3
r
0
1
0
1
0
1
0
1

Como ya se ha dicho, una variable l´gica puede, en principio, tomar los
o
valores 0 ´ 1. Sin embargo, es posible que una variable dependiente de otras, cuyo
o
valor queda condicionado por ´stas, tome siempre el valor 1 (verdadero) para
e
cualquier situaciń de las variables de las que depende. O bien, otra variable que
o
tome siempre el valor 0 (falso). Las variables con este comportamiento reciben
un nombre.
1.4 Definiciń. Se llama tautolog´ a la variable l´gica, dependiente de otras,
o
ıa
o
la cual toma el valor 1 independientemente del valor de las variables de las que
depende. An´logamente se llama contradicciń a la variable l´gica cuyo valor
a
o
o
es 0 en cualquier situaciń.
o

1.2.

Conectores de proposiciones

Los conectores permiten construir nuevas proposiciones a partir de unas
dadas. La nueva proposiciń es dependiente de las proposiciones con las que se
o
construye.
Vamos a estudiar un conector monario llamado negaciń el cual, a partir
o
de una proposiciń, construye otra. Tambiń varios conectores binarios, que a
o
e
partir de dos proposiciones dan otra: conjunciń, disyunciń, implicaciń y doble
o
o
o
implicaciń. En los cinco casos daremos una explicaciń intuitiva seguida de una
o
o
definiciń formal. La definiciń formal consiste en describir exactamente c´mo
o
o
o
depende la nueva proposiciń de las proposiciones con que se construye. Hacemos
o
esta descripciń mediante tablas en las que aparecen todas las combinaciones
o
posibles de valores que toman las variables independientes.
Empezamos por la negaciń de una proposiciń, que es otra proposiciń
o
o
o
con valor opuesto a la primera. Si la primera es cierta, su negaciń es falsa y
o
viceversa.
1.5 Ejemplo. La negaciń de la proposiciń “−5 es un n´mero entero” es la
o
o
u
proposiciń “−5 no es un n´mero entero”.
o
u
En t´rminos de variables l´gicas, la negaciń de una variable es otra variable
e
o
o
dependiente de la primera porque su valor est´ determinado por el de ella. A
a
continuaciń, su definiciń.
o
o

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA

4

1.6 Definiciń. La negaciń de una proposiciń p, denotada ¬p, es la propoo
o
o
siciń cuyo valor es el opuesto al de p.
o
Se puede definir la negaciń mediante la siguiente tabla. En ella se indica,
o
para cada valor de la proposiciń p, el valor que toma la proposiciń ¬p.
o
o
p
0
1

¬p
1
0

La conjunciń es un conector binario que funciona como la conjunciń copuo
o
lativa “y” del espaõl. La conjunciń de dos proposiciones, entonces, es una
n
o
proposiciń que es cierta si ambas son ciertas, y es falsa si alguna de ellas es
o
falsa.
1.7 Ejemplo. “3 es menor que 5 y 5 es menor que 7” es una proposiciń cierta,
o
porque las dos proposiciones que la componen son ciertas, pero “3 es menor que
5 y 8 es menor que 4” es falsa porque una de ellas es falsa. Tambiń es falsa “5
e
es menor que 3 y 8 es menor que 4”.
1.8 Definiciń. La conjunciń de dos proposiciones p, q, denotada p ∧ q, es la
o
o
proposiciń que s´lo es cierta si ambas son ciertas.
o
o
La definiciń mediante una tabla consiste ahora en ilustrar, para cada valor
o
que pueden tomar las proposiciones p y q, el valor que resulta en la proposiciń
o
p ∧ q.
p q p∧q
0 0
0
0 1
0
1 0
0
1 1
1
La disyunciń es el conector que opera de forma parecida a la conjunciń
o
o
disyuntiva “o” del espaõl. La disyunciń de dos proposiciones es otra proposin
o
ciń que es cierta si alguna de las dos originales es cierta. Es decir, basta que
o
una de ellas sea cierta para que la disyunciń lo sea.
o
1.9 Ejemplo. “3 es menor que 5 ´ 9 es menor que 7” es cierta ya que una de
o
las dos afirmaciones es cierta.
En el lenguaje habitual, la conjunciń disyuntiva “o” se suele emplear en
o
sentido exclusivo: s´lo es cierta si una de las proposiciones es cierta y la otra
o
es falsa. As´ ocurre, por ejemplo, cuando decimos “voy al cine o me quedo en
ı
casa”. Sin embargo en l´gica se emplea en sentido inclusivo como se aprecia en
o
la tabla que la define.
1.10 Definiciń. La disyunciń de dos proposiciones p, q, denotada p ∨ q, es
o
o
la proposiciń que s´lo es falsa si ambas son falsas.
o
o


5

En forma de tabla
p
0
0
1
1

q p∨q
0
0
1
1
0
1
1
1

El siguiente conector que introducimos es la implicaciń, que tiene gran
o
importancia en la l´gica pues es la base del razonamiento deductivo. Requiere
o
un poco de atenciń para entender bien su definiciń formal que, al principio, no
o
o
parece responder a la intuiciń. Cuando decimos que una proposiciń implica
o
o
otra queremos expresar el hecho de que si la primera es cierta, entonces la
segunda debe ser cierta tambiń.
e
1.11 Ejemplo. “Si 2 < 3, entonces 10 < 15” es una implicaciń.
o
En el lenguaje corriente se usa la expresiń “Si . . . entonces . . . ”. Las dos
o
proposiciones que aparecen en la implicaciń se llaman antecedente y conseo
cuente. El antecedente es la condiciń que, si es cierta, asegura que se cumple
o
el consecuente. En el ejemplo anterior, 2 < 3 es el antececente, mientras que
10 < 15 es el consecuente.
Para dar una definiciń formal debemos, como en las definiciones anteriores,
o
decir qu´ valor tiene la implicaciń en cada caso de los posibles valores de
e
o
antecedente y consecuente. Es claro que quiero decir que una implicaciń es
o
cierta si el antecedente es cierto y el consecuente tambiń, como ocurre en el
e
ejemplo anterior. Si el antecedente es verdadero y el consecuente falso no se
est´ dando la implicaciń y, por tanto, digo que es falsa, como en la implicaciń
a
o
o
“si 2 < 3 entonces 5 < 4”. Quedan los dos casos en que el antecedente es falso,
como la implicaciń “si 3 < 2 entonces . . . ”. Pero, siendo falso el antecedente,
o
no obliga a nada al consecuente as´ que ambas opciones (consecuente verdadero
ı
o falso) son v´lidas y debo considerar que la implicaciń se ha cumplido (ya que
a
o
no se ha incumplido).
Por todo ello definimos la implicaciń del siguiente modo.
o
1.12 Definiciń. La implicaciń de dos proposiciones p, q, denotada p → q, es
o
o
la proposiciń que s´lo es falsa si p es verdadera y q es falsa.
o
o
La tabla correspondiente es
p
0
0
1
1

q p→q
0
1
1
1
0
0
1
1

Es fćil convencerse de que la proposiciń p → q no es la misma que q →
a
o
p. Basta ver la tabla de la definiciń anterior o analizar un ejemplo sencillo:
o
Mientras que la implicaciń “si un n´mero es real entonces su cuadrado es real”
o
u
la damos por buena, al darle la vuelta obtenemos “si el cuadrado de un n´mero
u

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA

6

es real, entonces dicho n´mero es real”, la cual no es cierta porque el n´mero
u
u
complejo i, que no es real, cumple i2 = −1. Esta observaciń es suficientemente
o
importante como para asignar nombres a cada una de estas implicaciones.
1.13 Definiciń. Dada una implicaciń p → q, otorgamos nombres a las sio
o
guientes implicaciones:
p→q
q→p
¬p → ¬q
¬q → ¬p

implicaciń
o
implicaciń
o
implicaciń
o
implicaciń
o

directa,
inversa,
rec´
ıproca,
contrapositiva.

El ultimo conector que introducimos es el de doble implicaciń o bicondi´
o
cional. Como su nombre indica, si dos proposiciones estń relacionadas con el
a
conector doble implicaciń, significa que una implica la otra y la otra la una.
o
Entonces, si una de ellas es cierta, la otra debe serlo tambiń, que es lo mismo
e
que decir que si una es falsa la otra tambiń.
e
Por ello damos la siguiente definiciń.
o
1.14 Definiciń. La doble implicaciń de dos proposiciones p, q, denotada p ↔
o
o
q es la proposiciń que s´lo es verdadera si ambas coinciden en su valor.
o
o
En forma de tabla resulta
p
0
0
1
1

q p↔q
0
1
1
0
0
0
1
1

Una definiciń que podemos enunciar a partir de la doble implicaciń es la
o
o
de variables l´gicas equivalentes. La idea es que dos variables son equivalentes
o
si son dependientes de modo que siempre toman el mismo valor. Si una es
verdadera, entonces la otra tambiń y viceversa. Es claro que el conector de
e
doble implicaciń puede ayudar a expresar esta idea. Una forma de hacerlo es
o
decir que la doble implicaciń entre dos proposiciones equivalentes es siempre
o
cierta, que es la siguiente definiciń.
o
1.15 Definiciń. Dos variables p y q son equivalentes, y se denota p ⇔ q, si
o
p ↔ q es una tautolog´
ıa.
Es claro que en cualquier expresiń puedo sustituir una proposiciń por otra
o
o
equivalente, y la nueva expresiń que obtengo es equivalente a la original pues
o
los valores son los mismos. De ah´ que el concepto de proposiciones equivalentes
ı
sea importante y muy utilizado en l´gica.
o
Ahora podemos enunciar un primer resultado sencillo pero muy util en la
´
teor´ y en la prćtica de la l´gica. Es la relaciń entre las implicaciones directa,
ıa
a
o
o
inversa, rec´
ıproca y contrapositiva.


7

1.16 Teorema. Las implicaciones directa y contrapositiva son equivalentes, y
las implicaciones inversa y rec´
ıproca son equivalentes.
Simb´licamente
o
p → q ⇔ ¬q → ¬p,
q → p ⇔ ¬p → ¬q.
Demostraciń. Probamos la primera equivalencia, pues la otra es similar. Para
o
ello basta con elaborar una tabla con todos los casos posibles y ver que, efectivamente, en todos ellos las proposiciones directa y contrapositiva toman el mismo
valor. Obs´rvese que las columnas ¬p y ¬q son auxiliares en esta tabla, pues el
e
objetivo es comparar las columnas etiquetadas como p → q y ¬q → ¬p.
p
0
0
1
1

q ¬p ¬q
0 1
1
1 1
0
0 0
1
1 0
0

p→q
1
1
0
1

¬q → ¬p
1
1
0
1

Por tanto, de la tabla anterior construimos la siguiente
p
0
0
1
1

q (p → q) ↔ (¬q → ¬p)
0
1
1
1
0
1
1
1

donde se ve que la bicondicional es una tautolog´ pues en cualquiera de los
ıa,
cuatro casos el resultado es la constante 1.
1.17 Ejemplo. Fij´monos en la implicaciń “si un n´mero es mayor que 10
e
o
u
entonces es mayor que 5”. Es equivalente a decir “si un n´mero no es mayor que
u
5 entonces no es mayor que 10”, que es su contrapositiva.
Sin embargo no es equivalente a su implicaciń inversa, que es “si un n´mero
o
u
es mayor que 5 entonces es mayor que 10”, pues cualquier n´mero entre 5 y 10
u
muestra que no es cierta, mientras que la original s´ lo es. Tampoco es equivalente
ı
a la rec´
ıproca, “si un n´mero no es mayor que 10 entonces no es mayor que 5”.
u
Otro teorema relacionado con el concepto de equivalencia es la que dice que
el conector doble implicaciń es equivalente a la implicaciń directa junto con
o
o
la implicaciń inversa. Es la formulaciń precisa de lo que el s´
o
o
ımbolo ↔ expresa
abiertamente.
1.18 Teorema. La doble implicaciń es equivalente a la conjunciń de las imo
o
plicaciones directa e inversa. Es decir,
((p → q) ∧ (q → p)) ⇔ (p ↔ q).
Demostraciń. Como antes, basta elaborar las tablas de ambas proposiciones y
o
comprobar que sus resultados son iguales para todos los valores posibles de p

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA

8

y q. En este caso las dos ultimas columnas deben ser iguales, mientras que las
´
columnas p → q y q → p son auxiliares.
p
0
0
1
1

q p→q
0
1
1
1
0
0
1
1

q→p
1
0
1
1

(p → q) ∧ (q → p) p ↔ q
1
1
0
0
0
0
1
1

Por ser la doble implicaciń como dos implicaciones, se acostumbra a leer
o
p ↔ q tambiń con la f´rmula “p si, y s´lo si, q” (ver ejercicio 1.5).
e
o
o
1.19 Ejemplo. La proposiciń “el n´mero entero a es mayor que b si, y s´lo
o
u
o
si, la diferencia a − b es positiva” significa que si a es mayor que b, entonces
tenemos la seguridad de que la diferencia a − b es un n´mero positivo y, al rev´s,
u
e
que si la diferencia a − b es positiva, entonces sabemos que a es mayor que b.

1.3.

Leyes del ´lgebra proposicional
a

Los conectores entre proposiciones (negaciń, conjunciń, disyunciń, etc.)
o
o
o
se pueden ver, desde un punto de vista algebraico, como operaciones definidas
en el conjunto de las proposiciones. Se toma una proposiciń (en el caso de la
o
negaciń) o dos proposiciones (en los otros casos) y se operan, obteniendo como
o
resultado otra proposiciń.
o
Bajo este punto de vista resulta imperativo estudiar algunas propiedades
algebraicas de estas operaciones como son la aplicaciń reiterada, asociatividad,
o
conmutatividad, existencia de elemento neutro, etc.
Como primer paso veamos que los conectores de implicaciń y doble implio
caciń se pueden escribir en t´rminos de la negaciń, conjunciń y disyunciń
o
e
o
o
o
solamente. Entonces bastar´ con estudiar las propiedades algebraicas de estas
a
tres operaciones. (En realidad, tambiń el conector de disyunciń se puede exe
o
presar en funciń del de conjunciń y el de negaciń, pero estos tres en conjunto
o
o
o
tienen m´s y mejores propiedades algebraicas. Ver ejercicio 1.3).
a
1.20 Teorema. La implicaciń de dos proposiciones es equivalente a la disyuno
ciń de la negaciń de la primera con la segunda.
o
o
(p → q) ⇔ (¬p ∨ q).
Demostraciń. Construimos las tablas de ambas con la columna auxiliar ¬p.
o
p
0
0
1
1

q ¬p
0 1
1 1
0 0
1 0

p→q
1
1
0
1

(¬p ∨ q)
1
1
0
1

´
1.3. LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL

9

La coincidencia de las dos ultimas columnas en todos los casos demuestra que
´
ambas proposiciones son equivalentes.
Por tanto, en cualquier expresiń podemos sustituir p → q por ¬p ∨ q y
o
viceversa.
Puesto que ya vimos en el teorema 1.18 que la doble implicaciń es equivao
lente a la implicaciń directa y la inversa, entonces la doble implicaciń tambiń
o
o
e
se puede expresar s´lo con negaciń, conjunciń y disyunciń.
o
o
o
o
En definitiva, estudiemos las propiedades de la negaciń, la conjunciń y la
o
o
disyunciń.
o

1.3.1.

Propiedades de la negaciń
o

Debido a que la negaciń es una operaciń monaria, la unica propiedad que
o
o
´
en este caso puede analizarse es la aplicaciń reiterada. El resultado es muy
o
evidente por estar trabajando con proposiciones que s´lo pueden tomar dos
o
valores. La negaciń es cambiar el valor de una proposiciń, y como s´lo hay
o
o
o
dos posibilidades, si se cambia dos veces regresamos al valor original.
1.21 Teorema. La negaciń de la negaciń es equivalente a la proposiciń
o
o
o
original. Es decir,
¬(¬p) ⇔ p.
Demostraciń. Construimos una tabla
o
p
0
1

¬p ¬(¬p)
1
0
0
1

Puesto que la primera y la ultima columna son iguales, las variables que repre´
sentan son equivalentes.
1.22 Ejemplo. Es interesante constatar que la propiedad de la doble negaciń
o
no se respeta en muchas expresiones del lenguaje coloquial. Por ejemplo, puesto
que “nadie” es la negaciń de “alguien”, la proposiciń “no hay nadie” es la
o
o
doble negaciń de “hay alguien” y, por tanto, deber´ ser equivalentes. Sin
o
ıan
embargo normalmente se usan como opuestas.

1.3.2.

Propiedades de la conjunciń
o

La conjunciń es una operaciń binaria y en ella s´ procede estudiar m´s
o
o
ı
a
propiedades. La idempotencia, por ejemplo, da el resultado de operar una proposiciń consigo misma. La asociatividad nos indica c´mo podemos efectuar la
o
o
conjunciń de tres proposiciones. La conmutatividad muestra que el orden de
o
las proposiciones en una conjunciń es irrelevante. Existe un elemento neutro
o
(la proposiciń con valor 1, que denotaremos simplemente como 1) que al opeo
rarlo con cualquier proposiciń da como resultado la misma proposiciń. Existe
o
o
tambiń un elemento dominante (la proposiciń con valor 0, que denotaremos
e
o

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA

10

simplemente como 0) que operado con cualquier proposiciń arroja el resultado
o
0.
1.23 Teorema. La conjunciń de proposiciones satisface las propiedades de
o
idempotencia, asociatividad, conmutatividad, existencia de un elemento neutro
y de un elemento dominante.
Simb´licamente, si p, q y r son proposiciones cualesquiera se cumple
o
1. Idempotencia: p ∧ p ⇔ p.
2. Asociatividad: (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r).
3. Conmutatividad: p ∧ q ⇔ q ∧ p.
4. Elemento neutro (1): p ∧ 1 ⇔ p.
5. Dominaciń (por 0): p ∧ 0 ⇔ 0.
o
Demostraciń. La idempotencia est´ demostrada en la misma definiciń de la
o
a
o
operaciń ∧, (definiciń 1.8) pues en ella se aprecia que 1 ∧ 1 = 1 y 0 ∧ 0 = 0.
o
o
En la tabla tambiń se prueba la conmutatividad. Asimismo se ve que 1 sirve
e
como neutro y que 0 operado con cualquier otro valor resulta en 0. Entonces s´lo
o
resta probar la propiedad asociativa. Construimos una tabla de las proposiciones
(p ∧ q) ∧ r y p ∧ (q ∧ r).
p
0
0
0
0
1
1
1
1

q
0
0
1
1
0
0
1
1

r (p ∧ q) ∧ r
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1

p ∧ (q ∧ r)
0
0
0
0
0
0
0
1

La igualdad de las dos ultimas columnas prueba que ambas proposiciones son
´
equivalentes.
La presencia de la propiedad asociativa permite definir el s´
ımbolo p∧q∧r, sin
parńtesis, como (p ∧ q) ∧ r o bien p ∧ (q ∧ r), puesto que son iguales. El resultado
e
en ambos casos es que p ∧ q ∧ r s´lo es cierta si las tres proposiciones p, q y
o
r son ciertas. Generalizando esta idea definimos la conjunciń de las variables
o
p1 , p2 , . . . , pn , denotada p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn , como la variable que s´lo es cierta
o
si todas las variables p1 , p2 , . . . , pn son ciertas. Las propiedades asociativa y
conmutativa aseguran que la definiciń es coherente con la anterior.
o

´
1.3. LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL

1.3.3.

11

Propiedades de la disyunciń
o

El estudio de la disyunciń sigue los mismos pasos que el de la conjunciń
o
o
pues las propiedades que satisfacen son las mismas. La unica diferencia es que
´
los papeles de 1 y 0, como elementos neutro y dominante respectivamente, se
invierten ahora.
1.24 Teorema. La disyunciń de proposiciones satisface las propiedades de
o
idempotencia, asociatividad, conmutatividad, existencia de un elemento neutro
y de un elemento dominante.
Es decir, si p, q y r son proposiciones cualesquiera, se cumple
1. Idempotencia: p ∨ p ⇔ p.
2. Asociatividad: (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r).
3. Conmutatividad: p ∨ q ⇔ q ∨ p.
4. Elemento neutro (0): p ∨ 0 ⇔ p.
5. Dominaciń (por 1): p ∨ 1 ⇔ 1.
o
Demostraciń. La idempotencia est´ demostrada en la misma definiciń de la
o
a
o
operaciń ∨, (definiciń 1.10) pues en ella se aprecia que 1∨1 = 1 y 0∨0 = 0. En
o
o
la tabla tambiń se prueba la conmutatividad. Asimismo se ve que la constante
e
0 sirve como neutro y que la constante 1 operada con cualquier otro valor resulta
en 1. Entonces s´lo resta probar la propiedad asociativa. Construimos una tabla
o
de las proposiciones (p ∨ q) ∨ r y p ∨ (q ∨ r).
p
0
0
0
0
1
1
1
1

q
0
0
1
1
0
0
1
1

r (p ∨ q) ∨ r
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1

p ∨ (q ∨ r)
0
1
1
1
1
1
1
1

Como en el caso de la conjunciń podemos definir el s´
o
ımbolo p ∨ q ∨ r como
(p ∨ q) ∨ r o bien p ∨ (q ∨ r), puesto que son iguales. El resultado es que p ∨ q ∨ r
es cierta si alguna de las tres es cierta, o bien, es falsa s´lo si todas son falsas.
o
Generalizando esta idea definimos la disyunciń de las variables p1 , p2 , . . . , pn ,
o
denotada p1 ∨p2 ∨· · ·∨pn , como la variable que s´lo es falsa si todas las variables
o
p1 , p2 , . . . , pn son falsas.
Las propiedades asociativa y conmutativa aseguran que la definiciń es coheo
rente con la definiciń de la disyunciń de dos variables.
o
o

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA

12

1.3.4.

Propiedades de las operaciones combinadas

Ahora estudiamos algunas propiedades que surgen al considerar expresiones
con dos o las tres operaciones combinadas.
1.25 Teorema. Las siguientes relaciones son v´lidas para cualesquiera propoa
siciones p, q, r:
1. Complementariedad de la negaciń:
o
p ∧ ¬p ⇔ 0
p ∨ ¬p ⇔ 1
2. Leyes distributivas:
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
3. Absorciń:
o
p ∧ (p ∨ q) ⇔ p
p ∨ (p ∧ q) ⇔ p
4. Leyes de De Morgan:
¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
Demostraciń. La complementariedad de la negaciń se prueba en la siguiente
o
o
tabla.
p ¬p p ∧ ¬p p ∨ ¬p
0 1
0
1
1 0
0
1
La prueba de las propiedades distributivas sigue en una tabla de ocho filas.
La igualdad de la cuarta y quinta columnas es la prueba de la distribuciń
o
de ∧ respecto a ∨, mientras que la sexta y s´ptima columnas prueban la otra
e
distribuciń.
o
p
0
0
0
0
1
1
1
1

q
0
0
1
1
0
0
1
1

r p ∧ (q ∨ r)
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1

(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r)
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1

(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
0
0
0
1
1
1
1
1

1.4. CUANTIFICADORES

13

En una ultima tabla se prueban las propiedades de absorciń (tercera y cuarta
´
o
columnas que son iguales a la primera) y las leyes de De Morgan (quinta y sexta
columnas, primera ley, s´ptima y octava, segunda ley).
e
p
0
0
1
1

q p ∧ (p ∨ q) p ∨ (p ∧ q) ¬(p ∧ q) ¬p ∨ ¬q
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0

¬(p ∨ q) ¬p ∧ ¬q
1
1
0
0
0
0
0
0

Las leyes demostradas permiten hacer manipulaciones algebraicas con las
proposiciones y probar algunos resultados sin necesidad de recurrir a las tablas.
Veamos dos ejemplos.
1.26 Ejemplo. Simplificaciń de una proposiciń mediante manipulaciones alo
o
gebraicas. Cada proposiciń es equivalente a la anterior por la ley algebraica
o
que se indica a su lado.
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

(p ∧ q) ∨ ¬(q ∨ ¬p)
(p ∧ q) ∨ (¬q ∧ ¬¬p)
(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)
p ∧ (q ∨ ¬q)
p∧1
p

proposiciń a simplificar
o
segunda ley de De Morgan
doble negaciń y conmutatividad
o
distributividad
complementariedad de la negaciń
o
1 neutro de ∧.

1.27 Ejemplo. Prueba algebraica de la ley de absorciń (suponiendo probadas
o
las leyes algebraicas anteriores). Partiendo de la proposiciń p∧(p∨q), mediante
o
pasos algebraicos llegamos a que es equivalente a la proposiciń p.
o

⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

1.4.

p ∧ (p ∨ q)
(p ∧ (p ∨ q)) ∨ 0
(p ∧ (p ∨ q)) ∨ (q ∧ ¬q)
(p ∨ (q ∧ ¬q)) ∧ ((p ∨ q) ∨ (q ∧ ¬q))
(p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ q ∨ q) ∧ (p ∨ q ∨ ¬q)
(p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ q) ∧ (p ∨ 1)
p ∨ (q ∧ ¬q) ∧ 1
p∨0
p

0 neutro de ∨
comp. de negaciń
o
distributividad
distributividad
idemp. y complemento
distrib., idemp. y dominaciń
o
complemento y 1 neutro de ∧
0 neutro de ∨.

Cuantificadores

En esta secciń introducimos los enunciados abiertos y, tras ellos, los cuano
tificadores. Son elementos muy habituales en la formulaciń de definiciones y
o
resultados en matem´ticas en expresiones de la forma “para todo n´mero entero
a
u
. . . ” o “existe una funciń tal que . . . ”.
o

14

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA

1.28 Definiciń. Llamamos abierto a un enunciado que contiene variables que
o
toman valores en un conjunto dado, llamado universo, de forma que para cada
valor que tomen las variables, el enunciado se convierte en una proposiciń.
o
1.29 Ejemplo. Si la variable x toma valores en el universo de los d´
ıgitos (los
n´meros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), el enunciado “el n´mero x es mayor que 5” es
u
u
abierto.
Un enunciado abierto no es una proposiciń por s´ mismo, sino que se cono
ı
vierte en una cuando las variables toman un valor. En el ejemplo anterior, el
enunciado puede ser verdadero o falso segń los valores que tome la variable.
u
Puesto que las proposiciones las representamos por letras p, q, r, . . . , los enunciados abiertos los representamos por s´
ımbolos como p(x), q(x, y), r(x, y, z), . . .
donde x, y, z son las variables que contiene el enunciado.
Los cuantificadores son unos prefijos que, antepuestos a enunciados abiertos,
los convierten en proposiciones. Utilizaremos dos: el cuantificador universal y
el cuantificador existencial. El primero se simboliza por ∀, y se suele leer “para
todo”. Indica que el enunciado que le sigue debe ser cierto para todos los posibles
valores de la variable. El segundo se simboliza por ∃, y se lee “existe algń”.
u
Indica que el enunciado que sigue es cierto para, al menos, uno de los valores
que puede tomar la variable.
Tomamos su propiedad de convertir enunciados abiertos en proposiciones
como base para dar una definiciń.
o
1.30 Definiciń. Si p(x) es un enunciado abierto que depende de la variable x,
o
la cual toma valores en un conjunto universo dado, definimos el s´
ımbolo ∀x, p(x)
como la proposiciń que es cierta s´lo si el enunciado abierto es verdadero para
o
o
todos los valores que la variable puede tomar en su universo.
Asimismo definimos el s´
ımbolo ∃x, p(x) como la proposiciń que es cierta si
o
el enunciado abierto es verdadero para algń valor de los que la variable toma
u
en su universo.
La proposiciń ∀x, p(x) no es en realidad otra cosa que una conjunciń,
o
o
mientras que ∃x, p(x) se trata de una disyunciń como se aprecia en el siguiente
o
ejemplo.
1.31 Ejemplo. Continuando el ejemplo anterior, donde la variable x toma valores en los d´
ıgitos, es decir, puede valer 0, 1, 2, . . . , 9, llamamos p(x) a la
proposiciń “x es mayor que 5”. Entonces, la proposiciń ∀x, p(x) equivale a
o
o
p(0) ∧ p(1) ∧ · · · ∧ p(9) y, claro est´, es falsa. Por otro lado, la proposiciń
a
o
∃x, p(x) equivale a p(0) ∨ p(1) ∨ · · · ∨ p(9) y s´ es cierta.
ı
La necesidad de introducir los cuantificadores aparece cuando los posibles
valores de la variable x no se pueden enlistar como en el ejemplo anterior: si
ahora x toma valores en los n´meros reales, no se puede escribir ∀x, p(x) de otro
u
modo.
Para usar cuantificadores basta recordar que un cuantificador junto a un
enunciado abierto es una proposiciń y, a partir de ah´ se maneja como cualo
ı,
quier otra proposiciń. Sin embargo hay algunas reglas que simplifican el uso
o

1.4. CUANTIFICADORES

15

de proposiciones que contienen cuantificadores. En concreto analizaremos dos
de ellas: la negaciń de proposiciones con cuantificadores y la combinaciń de
o
o
cuantificadores.
Una proposiciń que comienza con el cuantificador universal necesita que el
o
enunciado abierto sea cierto para todos los valores de la variable, por tanto basta
con que en un valor sea falso para que toda la proposiciń sea falsa. Por ello, la
o
negaciń con un cuantificador universal nos lleva a un cuantificador existencial
o
y viceversa. Si recordamos que ∀x, p(x) es una conjunciń y ∃x, p(x) es una
o
disyunciń, esto no es otra cosa que las leyes de De Morgan vistas en el teorema
o
1.25. El resultado preciso se recoge en el siguiente teorema.
1.32 Teorema. Si p(x) es un enunciado abierto, con x una variable, entonces
se cumplen las equivalencias
¬(∀x, p(x)) ⇔ ∃x, ¬p(x)
¬(∃x, p(x)) ⇔ ∀x, ¬p(x)
Demostraciń. Como se ha dicho, se trata de las leyes de De Morgan. Razoneo
mos una de ellas como muestra. La negaciń de la proposiciń ∀x, p(x) es cierta
o
o
si el enunciado p(x) no se cumple en algń valor de la variable. Pero eso es
u
precisamente lo que dice la proposiciń ∃x, ¬p(x).
o
Si un enunciado abierto contiene varias variables, se necesita un cuantificador
para cada una. As´ si p(x, y) es un enunciado abierto con las variables x e y,
ı,
entonces ∀x, p(x, y), ∃x, p(x, y) son enunciados abiertos con una variable: y.
Pero ∀x, ∀y, p(x, y), ∀x, ∃y, p(x, y) son proposiciones. La combinaciń de varios
o
cuantificadores tiene algunas reglas que permiten simplificar su escritura, pero
requiere atenciń pues no todos los casos son simplificables.
o
Las primera y segunda reglas nos dicen que combinar cuantificadores universales y combinar cuantificadores existenciales es conmutativo.
1.33 Teorema. Si p(x, y) es un enunciado abierto que depende de dos variables,
x, y, se cumplen las siguientes equivalencias entre proposiciones.
∀x, ∀y, p(x, y) ⇔ ∀y, ∀x, p(x, y)
∃x, ∃y, p(x, y) ⇔ ∃y, ∃x, p(x, y)
Demostraciń. La proposiciń ∀x, ∀y, p(x, y) s´lo es verdadera si dado cualquier
o
o
o
x, puedo elegir cualquier y y obtengo que p(x, y) es verdadero. Pero en tal caso
el valor de y elegido es independiente de x, y puedo escogerlo primero. Entonces,
dado cualquier y, puedo elegir cualquier x y tendr´ p(x, y) verdadero, lo cual es
e
la proposiciń ∀y, ∀x, p(x, y). Con esto se ha probado que cuando la primera es
o
cierta, la segunda tambiń. El mismo razonamiento pero a la inversa muestra
e
que cuando la segunda es cierta la primera tambiń. En total ambas tienen
e
siempre el mismo valor y, por tanto, son equivalentes.
An´logamente la proposiciń ∃x, ∃y, p(x, y) afirma que existe algń x de
a
o
u
modo que puedo encontrar una y tal que p(x, y) es verdadero. Puedo tomar los
valores en orden inverso: escoger primero el valor de y encontrado antes, luego

16

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA

el de x y tendr´ p(x, y) verdadero. Hemos probado, pues, que si ∃x, ∃y, p(x, y) es
e
cierta, entonces ∃y, ∃x, p(x, y) tambiń lo es. El mismo razonamiento se aplica
e
a la inversa y llegamos a que ambas son equivalentes.
Gracias a este resultado podemos escribir sin ambigëdad ∀x, y ´ ∀y, x en
u
o
lugar de ∀x, ∀y, as´ como ∃x, y ´ ∃y, x en lugar de ∃x, ∃y, y el orden de las
ı
o
variables x e y es irrelevante.
Sin embargo hay que tener cuidado pues el orden s´ es importante cuando se
ı
combinan cuantificadores de ambos tipos, como muestra el siguiente ejemplo.
1.34 Ejemplo. Consideremos el enunciado abierto “x = y”, donde x, y toman valores en el conjunto de los n´meros enteros. Entonces la proposiciń
u
o
∀x, ∃y, x = y afirma que dado un n´mero entero cualquiera, x, existe al menos
u
un n´mero, y, que es distinto que ´l, lo cual es cierto. Sin embargo, la propou
e
siciń ∃x, ∀y, x = y afirma que existe un n´mero entero, x, tal que cualquier
o
u
n´mero entero, y, es distinto que ´l, lo cual es falso.
u
e
Para terminar esta secciń definimos el cuantificador de existencia y unicio
dad, simbolizado ∃!. Como su nombre indica este s´
ımbolo contiene dos afirmaciones: primero, la existencia de un elemento que cumple el enunciado; segundo,
que dicho elemento es el unico que lo cumple. La forma de enunciar la unicidad
´
es diciendo que si hay dos elementos que cumplen la propiedad, entonces son
iguales. Todo esto se reńe en la siguiente definiciń.
u
o
1.35 Definiciń. Si p(x) es un enunciado abierto, el s´
o
ımbolo ∃!x, p(x) es la
proposiciń definida por
o
(∃x, p(x)) ∧ ∀a, b, (p(a) ∧ p(b) → a = b).
1.36 Ejemplo. La proposiciń ∃!x, x2 = x, donde x toma valores en los enteros,
o
significa que existe un entero, y s´lo uno, que verifica que elevado al cuadrado
o
se queda igual. Se trata de una proposiciń falsa puesto que, aunque cumple la
o
existencia (x = 1 lo verifica), no cumple la unicidad (porque x = 0 tambiń lo
e
verifica).
1.37 Ejemplo. La proposiciń ∃!x, ∀y, x + y = y, donde tanto x como y toman
o
valores enteros, enuncia que hay un n´mero entero, y s´lo uno, que sumado
u
o
a cualquier otro lo deja igual; es decir, un elemento neutro de la suma. Esta
proposiciń s´ es cierta, lo cual se demuestra en dos pasos. Primero, la existencia:
o ı
el 0 cumple lo dicho. Segundo, la unicidad: hay que probar que si hay dos
elementos neutros, llam´moslos x1 y x2 , entonces son iguales. Ahora bien, puesto
e
que x1 es neutro, sumado con x2 resulta x1 + x2 = x2 . Por la misma razń, pues
o
x2 tambiń es neutro, tenemos x2 + x1 = x1 . Por ultimo, por la propiedad
e
´
conmutativa de la suma sabemos que x1 + x2 = x2 + x1 , de donde concluimos
que x1 = x2 .

´
1.5. EL RAZONAMIENTO LOGICO

1.5.

17

El razonamiento l´gico
o

Abordamos finalmente el objetivo de la l´gica: obtener proposiciones verdao
deras a partir de otras proposiciones verdaderas ya conocidas. Esta deducciń
o
se efectá mediante lo que se llama un razonamiento l´gico. Por ello, en esta
u
o
secciń vamos a definir qu´ es un razonamiento l´gico y veremos c´mo conso
e
o
o
truirlo. Como se seãl´ en la introducciń, la finalidad de este cap´
n o
o
ıtulo y, en
particular de esta secciń, no es desarrollar la capacidad de crear nuevos razoo
namientos l´gicos, sino poder analizar razonamientos ya hechos y determinar si
o
son correctos.
Lo que se pretende con un razonamiento l´gico es deducir una proposiciń
o
o
verdadera nueva a partir de otras proposiciones verdaderas ya conocidas. Analicemos esta idea, empezando por nombrar sus elementos. Las proposiciones que
son conocidas se llaman hip´tesis o premisas. La proposiciń que se deduce es la
o
o
tesis, resultado o consecuencia. El hecho de que las premisas nos lleven a deducir
la consecuencia se puede expresar por medio de una implicaciń: si las premisas
o
son ciertas, entonces la consecuencia debe ser cierta. Si p1 , p2 , · · · , pn son las premisas y q es la consecuencia, quiero expresar la idea de que si todas las premisas
son ciertas, entonces la consecuencia es cierta. Es decir p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn → q.
Ahora, la idea clave. Nos interesa el razonamiento l´gico independientemente
o
del contenido de las proposiciones. Si es cierto que de las premisas p1 , p2 , · · · , pn
se sigue necesariamente la consecuencia q, entonces la expresiń p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧
o
pn → q debe ser siempre verdadera. Esta idea se recoge elegantemente en la
siguiente definiciń.
o
1.38 Definiciń. Una proposiciń de la forma p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn → q es un
o
o
razonamiento l´gico si es una tautolog´ Entonces el razonamiento se denota
o
ıa.
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q,
las proposiciones p1 , p2 , · · · , pn se llaman premisas y la proposiciń q conseo
cuencia.
1.39 Ejemplo. Consideremos las proposiciones “si un n´mero entero no es cero,
u
entonces su valor absoluto es positivo” y “−4 no es cero”. Puedo deducir que
el valor absoluto de −4 es un n´mero positivo. Pero la deducciń no depende
u
o
de que estemos hablando acerca del valor absoluto de n´meros enteros, sino
u
de su estructura l´gica. Las premisas son p → q (“si un n´mero entero no es
o
u
cero, entonces su valor absoluto es positivo”) y p (“un n´mero entero, −4, no
u
es cero”), es decir, (p → q) ∧ p, y la consecuencia es q (“su valor absoluto, | − 4|,
es positivo”). El razonamiento ha sido (p → q) ∧ p ⇒ q y es v´lido sean quienes
a
sean p y q. Por ello tiene nombre propio: modus ponendo ponens (del lat´ que
ın,
se puede traducir como el razonamiento que afirmando p (ponendo) afirma q
(ponens)).
Veamos otros dos ejemplos de razonamiento l´gico.
o
1.40 Ejemplo. Con la misma implicaciń de antes “si un n´mero entero no es
o
u
cero, entonces su valor absoluto es positivo” y adem´s con la proposiciń “el
a
o

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA

18

valor absoluto del n´mero a no es positivo”, puedo deducir que “el n´mero a es
u
u
cero”.
El razonamiento en este caso ha sido (p → q) ∧ ¬q ⇒ ¬p, y se llama modus
tollendo tollens (el razonamiento que negando q (tollendo) niega p (tollens).
1.41 Ejemplo. Un ultimo ejemplo con estas proposiciones. Si tengo las dos
´
implicaciones “si un n´mero entero no es cero, entonces su valor absoluto es
u
positivo” y “si un n´mero entero a es positivo, entonces a es mayor que su
u
opuesto, −a”, puedo deducir que “si un n´mero entero a no es cero, entonces
u
|a| > −|a|”.
Este razonamiento, cuya estructura es (p → q) ∧ (q → r) ⇒ (p → r), se
llama silogismo.
La pregunta ahora es, dado una expresiń de la forma p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn →
o
q, ¿c´mo saber si es un razonamiento l´gico o no? Las dos formas de probar
o
o
que es un razonamiento l´gico son: Primera, demostrar directamente que dicha
o
proposiciń es una tautolog´ por ejemplo mediante una tabla. Es util para
o
ıa,
´
razonamientos sencillos, cuyas tablas no sean grandes. Segunda, descomponer el
razonamiento en razonamientos m´s simples ya conocidos. Es decir, partiendo de
a
las premisas y aplicando razonamientos simples conocidos ir deduciendo nuevas
proposiciones ciertas hasta llegar a la que se enunciaba como consecuencia. Este
segundo es el m´todo habitual de probar la validez de razonamientos l´gicos
e
o
complejos.
Para poder utilizar cadenas de razonamientos simples en la prueba de un
razonamiento complicado necesitamos tener algunos razonamientos ya demostrados de forma directa. En el siguiente teorema se exponen algunos de estos
razonamientos que son muy habituales y, prćticamente, podr´
a
ıamos decir que
responden en gran medida al sentido comń: se llaman reglas de inferencia y
u
tienen nombres propios.
1.42 Teorema. Para proposiciones cualesquiera p, q, r, s los siguientes son razonamientos l´gicos:
o
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

Modus ponendo ponens: ((p → q) ∧ p) ⇒ q.
Modus tollendo tollens: ((p → q) ∧ ¬q) ⇒ ¬p.
Silogismo: ((p → q) ∧ (q → r)) ⇒ (p → r).
Demostraciń por contradicciń: (¬p → 0) ⇒ p.
o
o
Demostraciń por casos: ((p → r) ∧ (q → r)) ⇒ ((p ∨ q) → r)
o
Silogismo disyuntivo: ((p ∨ q) ∧ (¬p)) ⇒ q.
Conjunciń: (p) ∧ (q) ⇒ (p ∧ q).
o
Simplificaciń conjuntiva: (p ∧ q) ⇒ p.
o
Amplificaciń disyuntiva: p ⇒ (p ∨ q).
o
Especificaciń universal: ∀x, p(x) ⇒ p(a),
o
con a un elemento cualquiera del universo de x.
Generalizaciń universal: (p(a) ∧ (a es arbitrario)) ⇒ ∀x, p(x).
o
Especificaciń existencial: ∃x, p(x) ⇒ p(a),
o
con a el elemento al que se refiere la existencia.

1.6. AXIOMAS, DEFINICIONES Y TEOREMAS

19

Demostraciń. Todas estas reglas de inferencia se pueden probar elaborando la
o
tabla correspondiente, pero tambiń mediante manipulaciones algebraicas. En
e
cualquier caso son todas muy similares, por lo cual expondremos la prueba de
tres de ellas con todo detalle, a modo de muestra, dejando el resto como ejercicio.
Prueba del modus ponendo ponens mediante una tabla. Para probar ((p →
q)∧p) ⇒ q debemos probar que ((p → q)∧p) → q es una tautolog´ Construimos
ıa.
la tabla con todos los ingredientes de esta ultima expresiń.
´
o
p
0
0
1
1

q p→q
0
1
1
1
0
0
1
1

(p → q) ∧ p
0
0
0
1

((p → q) ∧ p) → q
1
1
1
1

La ultima columna muestra que, efectivamente, la implicaciń es una tautolog´
´
o
ıa
y por tanto el razonamiento es v´lido.
a
Prueba del razonamiento por contradicciń mediante manipulaciones algeo
braicas. Para probar que la implicaciń (¬p → 0) → p es un razonamiento,
o
debo probar que es equivalente a la proposiciń 1 (tautolog´ mediante una
o
ıa)
cadena de proposiciones equivalentes entre s´ En cada paso se da la razń que
ı.
o
lo justifica.
(¬p → 0) → p
⇔ ¬(¬¬p ∨ 0) ∨ p
⇔ ¬(p ∨ 0) ∨ p
⇔ ¬p ∨ p
⇔1

(por la equivalencia a → b ⇔ ¬a ∨ b, teorema 1.20)
(doble negaciń)
o
(0 neutro de ∨)
(complementariedad de la negaciń).
o

Por ultimo, la prueba de uno de los razonamientos que involucran cuantificado´
res y enunciados abiertos. Probamos el razonamiento de especificaciń universal
o
usando uno de los razonamientos l´gicos de este mismo teorema, supuesto ya
o
demostrado. La proposiciń ∀x, p(x) es equivalente a la conjunciń de la propoo
o
siciń p(x) cuando x toma todos los valores posibles. Entonces, por la regla de
o
simplificaciń conjuntiva, de la premisa deducimos que cualquiera de las propoo
siciones es cierta, en particular, si a es un valor posible de x, p(a) es cierta.

1.6.

Axiomas, definiciones y
teoremas en matem´ticas
a

La matem´tica deduce resultados nuevos a partir de otros ya conocidos usana
do la herramienta de la l´gica. Una teor´ matem´tica se compone de axiomas,
o
ıa
a
definiciones y teoremas, as´ que veamos qu´ es cada uno de ellos.
ı
e
Axiomas: Son las proposiciones de partida de una teor´ y, por tanto, no pueıa
den ser probadas dentro de ella. La idea es que los axiomas van a ser las
primeras premisas que permitan deducir consecuencias de ellas, es decir,

20

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA
obtener los primeros resultados. Es claro que toda teor´ que se construya
ıa
mediante razonamientos l´gicos debe tener axiomas, ya que los razonao
mientos parten de premisas ciertas para deducir una consecuencia cierta.
Es decir, en todo caso necesitamos partir de algunas premisas.
1.43 Ejemplo. La proposiciń “el conjunto N de los n´meros naturales
o
u
contiene al menos un elemento” se utiliza como axioma en la construcciń
o
de los n´meros debida a Peano.
u

Definiciń: Es la asignaciń de un nombre a una proposiciń y por ello tiene
o
o
o
forma de equivalencia. Obs´rvese que el papel de las definiciones en una
e
teor´ matem´tica no es determinante, pues s´lo sirven para simplificar
ıa
a
o
la escritura (aunque ciertamente ser´ impensable escribir una teor´ sin
ıa
ıa
la ayuda de las definiciones). Es interesante hacer notar que, por ser una
equivalencia, una definiciń deber´ leerse “. . . si y s´lo si . . . ”, sin embargo
o
ıa
o
es costumbre escribir unicamente “. . . si . . . ” como si se tratara de una
´
implicaciń, ań sabiendo que es algo m´s.
o
u
a
1.44 Ejemplo. La proposiciń “un n´mero natural es primo si (y s´lo si)
o
u
o
es mayor que 1 y sus unicos divisores son 1 y ´l mismo” es una definiciń.
´
e
o
Simb´licamente
o
p primo ⇔ p > 1 ∧ ∀n, (n|p → (n = 1 ∨ n = p)).
Sirve para sustituir en cualquier punto de la teor´ la proposiciń p >
ıa
o
1 ∧ ∀n, (n|p → n = 1 ∨ n = p) por la otra m´s breve “p es primo”.
a
Teoremas: Son los resultados de la teor´ y, por tanto, el objetivo de las maıa
tem´ticas. Son proposiciones que pueden tener diversas formas. Un tipo
a
habitual de teorema es un razonamiento l´gico, de la forma descrita ano
teriormente ((p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn ) ⇒ q), en el cual las premisas son los
axiomas de la teor´ o bien otros teoremas ya probados en la teor´ La
ıa
ıa.
consecuencia es otra proposiciń relativa a la teor´
o
ıa.
1.45 Ejemplo. El resultado “si m y n son primos distintos, entonces su
m´ximo comń divisor es 1” es un teorema, que podemos escribir tambiń
a
u
e
como
m primo ∧ n primo ∧ m = n ⇒ mcd(m, n) = 1.
Otros teoremas tienen forma de equivalencia (⇔) en lugar de implicaciń
o
(⇒). Pero, como se ha visto en el teorema 1.18, un teorema de doble implicaciń equivale a dos teoremas de una implicaciń. Esto es, un teorema
o
o
de la forma p ⇔ q es equivalente a p ⇒ q ∧ q ⇒ p.
Todo teorema de una teor´ debe ser probado rigurosamente.
ıa
Por tanto, la exposiciń de una teor´ matem´tica debe observar dos reglas
o
ıa
a
imprescindibles: un estricto orden de presentaciń, para que cada teorema use
o


21

como premisas s´lo resultados anteriores, ya probados, y que cada teorema vaya
o
seguido inmediatamente de su demostraciń, que consiste en verificar el razoo
namiento l´gico.
o
Como ejemplo de esta estructura b´sica de una teor´ matem´tica citamos
a
ıa
a
el libro de Moster´ [1] y los libros de Landau [8, 9], en cuya presentaciń la
ın
o
austeridad est´ llevada al m´ximo.
a
a
Es conveniente seãlar que, en ocasiones, se dan otros nombres a resultados
n
de la teor´ Algunos nombres muy utilizados son los de proposiciń, lema y
ıa.
o
corolario. Todos ellos son sinńimos de teorema en cuanto a que son resultados
o
de la teor´ Los distintos nombres se utilizan para agrupar los resultados por
ıa.
categor´ Una proposiciń es un resultado de no mucha importancia. Se suele
ıas.
o
llamar lema a un resultado cuya unica aplicaciń es en la prueba de algń
´
o
u
otro resultado posterior. La palabra teorema se reserva para los resultados m´s
a
importantes de la teor´ Por ultimo, corolario es un resultado cuya prueba es
ıa.
´
inmediata a partir de un teorema anterior. Como se puede apreciar, llamar a
los resultados de una teor´ teoremas, lemas, proposiciones o corolarios es una
ıa
cuestiń subjetiva que queda a gusto del autor en cada caso.
o

1.6.1.

Un ejemplo

A continuaciń construimos un ejemplo de un desarrollo matem´tico. Introo
a
ducimos algunos elementos de la teor´ de la divisibilidad de n´meros naturales
ıa
u
con el formato explicado: axiomas, definiciones, teoremas y su demostraciń.
o
En concreto ilustramos un axioma de los naturales, el de inducciń, y cuatro
o
teoremas demostrando cada uno con un estilo de prueba diferente: una prueba
de la implicaciń directa, una prueba usando la implicaciń contrapositiva, una
o
o
prueba por inducciń y una prueba por contradicciń.
o
o
Para estos ejemplos asumimos conocidas las propiedades algebraicas de la
suma y el producto de los naturales como son la asociatividad, conmutatividad
o propiedad distributiva o que n + 1 es el sucesor del n´mero n.
u
1.46 Axioma (Axioma de inducciń de los naturales). Si el natural 1 verifica
o
una propiedad y para cada natural n que cumple dicha propiedad tambiń el
e
sucesor de n la cumple, entonces la propiedad se verifica para todos los naturales.
Simb´licamente, si p(x) es un enunciado abierto y la variable x toma valores en
o
los naturales,
p(1) ∧ ∀n, (p(n) → p(n + 1)) ⇒ ∀x, p(x).
1.47 Definiciń. Un natural a divide a otro b, y lo denotamos a|b, si existe un
o
n´mero c tal que se verifica b = ac. Es decir,
u
a|b ⇔ ∃c, b = ac.
En tal caso decimos que a es divisor de b y que b es m´ltiplo de a.
u
1.48 Ejemplo. 3|12 pues 12 = 3 · 4, pero 5 |12 (que es la negaciń de 5|12).
o

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA

22

Es obvio que 1 divide a cualquier n´mero b ya que b = 1b y, por la misma
u
razń, todo n´mero es divisor de s´ mismo. Algunos n´meros unicamente tienen
o
u
ı
u
´
estos divisores y por ello merecen especial atenciń.
o
1.49 Definiciń. Un natural p mayor que 1 es primo si 1 y p son sus unicos
o
´
divisores. Simb´licamente
o
p primo ⇔ p > 1 ∧ ∀a, (a|p → a = 1 ∨ a = p).
Un natural mayor que 1 que no es primo se llama compuesto.
1.50 Ejemplo. Los n´meros primos menores que 100 son
u
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 73, 79, 83, 89, 97.
1.51 Teorema (Propiedad transitiva de los divisores). Si a divide a b y ´ste,
e
a su vez, divide a c, entonces a divide a c, que lo podemos escribir como
a|b ∧ b|c ⇒ a|c.
Demostraciń. Se trata de un teorema con forma de implicaciń y mostramos
o
o
una prueba directa, es decir, que partiendo de las premisas y resultados anteriores (propiedades de los n´meros naturales), llegamos a la conclusiń mediante
u
o
las reglas de inferencia enumeradas en el teorema 1.42.
1. Por hip´tesis a|b.
o
2. Por la definiciń 1.47, y por la regla de especificaciń existencial, existe
o
o
un n´mero, y lo llamamos k1 , que cumple b = k1 a.
u
3. Por hip´tesis b|c.
o
4. Por la definiciń 1.47, y por la regla de especificaciń existencial, existe
o
o
un n´mero, y lo llamamos k2 , que cumple c = k2 b.
u
5. Sustituyendo la igualdad del punto 2 en la del punto 4 tenemos c =
k2 (k1 a).
6. Por la propiedad asociativa del producto de n´meros naturales la igualdad
u
anterior se puede escribir como c = (k2 k1 )a.
7. El n´mero k2 k1 hace que se verifique la definiciń de divisibilidad para a
u
o
y c, luego concluimos que a divide a c.

1.52 Teorema. El natural a divide a b s´lo si a es menor o igual que b. Simb´lio
o
camente
a|b ⇒ a ≤ b.


23

Demostraciń. Este teorema tiene de nuevo la forma de una implicaciń, pero
o
o
ahora vamos a probar la implicaciń contrapositiva, que es equivalente a la
o
enunciada:
a > b ⇒ a |b.
Ahora los pasos para demostrar ´sta.
e
1. Por hip´tesis a > b.
o
2. Consideremos un natural arbitrario c.
3. Por las propiedades del orden de los naturales c ≥ 1.
4. Por las propiedades del orden de los naturales ac ≥ a.
5. Por los puntos 4 y 1 y las propiedades del orden tenemos ac > b, y por
tanto, ac = b.
6. Por generalizaciń universal, teniendo en cuenta el punto 2, tenemos ∀x, ax =
o
b.
7. La proposiciń anterior es equivalente a ¬∃x, ax = b.
o
8. Por la definiciń 1.47 llegamos a a |b y la implicaciń contrapositiva queda
o
o
probada.

1.53 Teorema. Todo n´mero natural cumple que, o bien es 1, o bien es divisible
u
por un primo, y lo expresamos como sigue
∀n, n = 1 ∨ ∃p, (p primo ∧ p|n).
Demostraciń. Aqu´ presentamos una t´
o
ı
ıpica prueba por inducciń, que hace uso
o
del axioma del mismo nombre. Para probar que la propiedad enunciada en el
teorema es v´lida para todos los naturales hay que probar que se cumple para
a
el 1 y que para todo n´mero n que la verifica, la propiedad es v´lida para el
u
a
sucesor. Al asumir que se cumple para un n´mero n se puede asumir tambiń
u
e
que se cumple para todos los menores a ´l.
e
1. Llamamos P (n) al enunciado n = 1 ∨ ∃p, (p primo ∧ p|n).
2. La proposiciń P (1) es cierta, ya que se cumple 1 = 1.
o
3. Para probar P (n) → P (n + 1) consideramos un n´mero n arbitrario y la
u
hip´tesis P (n). Entonces el n´mero n, si no es 1, es divisible por un primo
o
u
y lo mismo cumplen todos los n´meros menores que n.
u
Puesto que el n´mero n + 1 no puede ser 1, hay que probar que es divisible
u
por un primo. Separamos esta parte en dos casos.
4. Si n + 1 es primo entonces, puesto que n + 1|n + 1, es divisible por un
primo y la proposiciń P (n + 1) es cierta.
o

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA

24

5. Si n + 1 no es primo entonces, por la definiciń 1.49, tiene un divisor
o
diferente de 1 y de s´ mismo. Por la regla de especificaciń existencial
ı
o
llamamos a a este divisor.
6. Por el teorema 1.52, a < n + 1.
7. Por conjunciń de los puntos 5 y 6 tenemos a = 1 ∧ a < n + 1.
o
8. Por la hip´tesis de inducciń (punto 3) aplicada al n´mero a, y por la
o
o
u
regla de especificaciń existencial, existe un n´mero primo, y lo llamamos
o
u
p, que cumple p|a.
9. Por conjunciń de los puntos 5 y 8 tenemos p|a ∧ a|n + 1.
o
10. Usando el teorema 1.51 concluimos p|n + 1, es decir P (n + 1) es cierta
tambiń en este caso.
e
11. Por la regla de inferencia de demostraciń por casos aplicada a los puntos
o
4 y 10 concluimos que ∀n, P (n) → P (n + 1) es cierta.
12. Por conjunciń de los puntos 2 y 11 y el axioma 1.46 llegamos a que el
o
enunciado P (n) es cierto para todos los naturales, luego el teorema queda
probado.

Por ultimo enunciamos un famoso teorema y su, no menos famosa, prueba
´
debida a Euclides: la infinitud de los n´meros primos y su demostraciń por
u
o
contradicciń.
o
1.54 Teorema (Euclides). La cantidad de n´meros primos es infinita.
u
Demostraciń. Aqu´ presentamos la prueba debida a Euclides, que procede por
o
ı
contradicciń o, como tambiń se llama, reducciń al absurdo.
o
e
o
1. Negamos el teorema: La cantidad de n´meros primos es finita.
u
2. Por ser finita, podemos denotar los n´meros primos como p1 , p2 , . . . , pn .
u
3. Consideremos el n´mero q = p1 p2 · · · pn + 1.
u
4. Por su construcciń y las propiedades del orden de los naturales q > 1,
o
por lo cual q = 1.
5. En este punto demostramos que p1 no divide a q utilizando tambiń un rae
zonamiento por contradicciń: negamos la afirmaciń, asumiendo entonces
o
o
que p1 s´ divide a q. Entonces q = p1 k para algń n´mero k y, operando en
ı
u u
la definiciń de q, podemos escribir 1 = p1 (k − p2 p3 · · · pn ). Esta igualdad
o
indica que p1 divide a 1. Por el teorema 1.52 tenemos que p1 ≤ 1. Sin
embargo, por hip´tesis p1 es primo y, por la definiciń 1.49, esto supone
o
o
p1 > 1. Tenemos la contradicciń p1 ≤ 1 ∧ p1 > 1. Por tanto concluio
mos que la negaciń es falsa y queda probado que p1 |q. An´logamente
o
a
tenemos p2 |q, . . . , pn |q.


25

6. Por conjunciń de los dos puntos anteriores tenemos que el n´mero q no
o
u
es 1 y no es divisible por ningń primo, lo cual es una contradicciń con
u
o
el teorema 1.53.
7. Por la regla de contradicciń concluimos que el enunciado original es cierto.
o

Las demostraciones que aqu´ se han puesto como ejemplo han sido ilustradas
ı
con mucho detalle, pero habitualmente la redacciń de pruebas de teoremas se
o
hace mucho m´s breve. Las cuatro pruebas anteriores, en un lenguaje habitual,
a
se reducir´ a unas pocas l´
ıan
ıneas cada una, especialmente porque no se mencionan las reglas de inferencia que se usan en cada paso ya que son ampliamente
conocidas.

Ejercicios
1.1. Determinar el valor (verdadero o falso) de las siguientes proposiciones:
√
a) 11 es entero y 3 es irracional.
b) π es complejo y −2 es natural.
√
c) 5 es racional o π es complejo.
d)

2
3

es complejo y

2
3

es racional.

e) 1 + i es real o 1 + i es entero.
2
5

es complejo o

7
3

es real.
√
g) Si i es real entonces 2 es natural.
√
h) Si todo complejo es real entonces 5 es entero.
√
i) Si 2 es complejo entonces no es real.
f)

j) i es real si, y s´lo si, π es entero.
o
k) Todo real es complejo si, y s´lo si, todo complejo es real.
o
1.2. Para cada una de las siguientes implicaciones, construir su inversa, rec´
ıproca
y contrapositiva y dar el valor de cada una de ellas.
√
a) Si −2 < −1 entonces − 5 < 1.
b) Si

4
5

es complejo entonces π es entero.

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA

26
c) Si i es entero entonces 4 es complejo.
d) Si −1 es natural entonces

3
2

es es entero.

1.3. Los conectores binarios ∧, ∨, →, ↔, entre proposiciones son s´lo algunos
o
de todos los posibles. Mu´strese que hay diecisís conectores binarios diferentes
e
e
y elab´rese una tabla que los defina.
o
A continuaciń, pru´bese que todos ellos se pueden expresar s´lo con los
o
e
o
conectores ¬, ∧ y las constantes 0 y 1.
1.4. La implicaciń p → q se puede traducir al lenguaje ordinario de muchas
o
formas. Una de ellas es “si p, entonces q”. Otras dos expresiones muy habituales y relacionadas con la implicaciń son las que se enuncian a continuaciń.
o
o
Trad´zcanse a s´
u
ımbolos l´gicos las proposiciones siguientes.
o
a) “p es condiciń necesaria para q”.
o
b) “p es condiciń suficiente para q”.
o
c) “p es condiciń necesaria y suficiente para q”.
o
1.5. Escribir la negaciń de una implicaciń.
o
o
Escribir la negaciń de un teorema que consiste en varias premisas que imo
plican una consecuencia. Esto es lo que se emplea cuando se quiere demostrar un
teorema por la regla de contradicciń: hay que comenzar por negar el teorema
o
y luego llegar a contradicciń.
o
1.6. Indicar el valor de las siguientes proposiciones construidas con cuantificadores. El conjunto universo para la variable x es el de los enteros Z.
a) ∀x, x < 1000.

e) ∀x, x2 ≤ x.

b) ∃x, x < 1000.

f) ∃x, x2 ≤ x.

c) ∀x, x3 > 0.

g) ∃!x, x2 = 1.

d) ∃x, x3 < 0.

h) ∃!x, x2 = 0.

1.7. Indicar el valor de las siguientes proposiciones construidas con dos cuantificadores. El conjunto universo para las variables x e y es el de los enteros
Z.
a) ∀x, y; x > y.

f) ∃x, y; (x > y ∧ y > x).

b) ∀x, y; x + 1 = y.

g) ∃x, y; x + y < xy.

c) ∀x, y; (x > y ∧ y > x).

h) ∀x, ∃y; x < y.

d) ∀x, y; (x > y ∨ x < y).

i) ∃y, ∀x; x < y.

e) ∃x, y; xy < x.

j) ∀x, ∃y; x = y + 1.

k) ∃x, ∀y; x + y = y.

m) ∀x, ∃y; xy = x.

l) ∀x, ∃y; x + y = y.

27

n) ∀x, ∃y; xy = y.

1.8. Escribir la negaciń de cada una de las proposiciones de los ejercicios 1.6 y
o
1.7.
1.9. Demostrar que la proposiciń p es una tautolog´ donde a y b son propoo
ıa,
siciones cualesquiera:
p : [¬(a ∧ b)] ↔ [¬a ∨ ¬b].
1.10. Demostrar que la proposiciń q es una contradicciń , donde a y b son
o
o
proposiciones cualesquiera:
q : (¬a ∨ a) → (b ∧ ¬b).
1.11. Probar las reglas de inferencia l´gica enunciadas en el teorema 1.42 que
o
no han sido probadas en el texto.
1.12. Consideremos las siguientes proposiciones como premisas: “Todos los d´
ıas,
si no llueve, Paco va al parque a correr y, si llueve, no va”, “Paco compra el
peri´dico s´lo si sale a correr” y “los domingos, Paco no compra el peri´dico”.
o
o
o
a) Llamando p(x), q(x), r(x) a los enunciados “el d´ x llueve”, “el d´
ıa
ıa
x Paco sale a correr” y “el d´ x compra el peri´dico”, respectivamente,
ıa
o
donde x toma valores en los d´ de la semana, escribir las premisas con
ıas
estos enunciados, cuantificadores y conectores l´gicos.
o
b) Probar que la proposiciń “Si el s´bado Paco compra el peri´dico, eno
a
o
tonces es que no ha llovido” es una consecuencia l´gica de las premisas.
o
Analizar las reglas de inferencia que permiten deducir el resultado.
c) Consideramos la proposiciń “Si el s´bado no llueve, Paco compra el
o
a
peri´dico” y su justificaciń en los siguientes pasos:
o
o
1. Puesto que el s´bado no llueve, Paco va a correr.
a
2. Ya que sale a correr y no es domingo, entonces compra el peri´dico
o
La conclusiń no es v´lida, por tanto esta justificaciń es incorrecta. Eno
a
o
contrar el error.
1.13. Dar una prueba directa (no por la contrapositiva como se ha hecho en la
p´gina 22) del teorema 1.52.
a
1.14. Probar el siguiente teorema de la teor´ de la divisibilidad de n´meros
ıa
u
naturales.
Si c es un divisor comń de a y b, entonces c divide a cualquier n´mero de
u
u
la forma ma + nb con m y n naturales arbitrarios. Simb´licamente
o
c|a ∧ c|b ⇒ ∀m, n; c|(ma + nb).

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA

28

El teorema tiene forma de implicaciń y es posible una prueba directa paro
tiendo de las premisas y avanzando, mediante las reglas de inferencia y las
definiciones o teoremas ya enunciados en p´ginas anteriores, hasta llegar a la
a
conclusiń.
o
1.15. En este ejercicio enunciamos un supuesto teorema (y su supuesta demostraciń) de la teor´ de la divisibilidad. Se trata de una versiń del rec´
o
ıa
o
ıproco del
teorema del ejercicio anterior.
Si un entero divide a una suma de enteros, entonces divide a cada sumando.
Simb´licamente,
o
k|(m + n) ⇒ k|m ∧ k|n.

Demostraciń. Puesto que k divide a (m+n), existe un entero p tal que m+n =
o
p k. Ahora bien, si uno de los enteros,m, es divisible entre k, entonces existe otro
entero q tal que m = k q. Por tanto, operando, n = k(p − q), y como (p − q) es
un entero, entonces k tambiń divide a n.
e
Se pide:
a) Describir los pasos l´gicos que se siguen en la demostraciń y seãlar
o
o
n
exactamente cu´l es el incorrecto.
a
b) Demostrar que el teorema es falso. Para ello, escribir la negaciń del
o
teorema y demostrar que es cierta. En este caso, esto se denomina dar un
contraejemplo.
* 1.16. Definimos el concepto de m´ximo comń divisor de dos naturales a y b,
a
u
denotado mcd(a, b), como el mayor de los divisores comunes de a y b. Es decir,
d = mcd(a, b) si
d|a ∧ d|b ∧ ∀c, ((c|a ∧ c|b) → c ≤ d).
El m´ximo comń divisor tiene muchas propiedades notables. La principal es
a
u
la llamada identidad de Bezout, que afirma que existen dos enteros m y n
(obs´rvese que necesariamente uno de los dos debe ser negativo, por eso son
e
enteros) tales que ma + nb = mcd(a, b) y, adem´s, es el menor natural que se
a
puede obtener mediante estas combinaciones de a y b.
Asumiendo este teorema, probar esta otra propiedad que es mucho m´s sena
cilla.
Los divisores comunes de dos naturales son exactamente los divisores de su
m´ximo comń divisor. Simb´licamente,
a
u
o
c|a ∧ c|b ⇔ c|mcd(a, b).
* 1.17. Definimos el concepto de m´
ınimo comń m´ltiplo de dos naturales a y b,
u
u
denotado mcm(a, b), como el menor de los m´ltiplos comunes de a y b. Esto es,
u
m = mcm(a, b) si
a|m ∧ b|m ∧ ∀c, ((a|c ∧ b|c) → m ≤ c).


29

Las dos propiedades m´s notables del m´
a
ınimo comń m´ltiplo son las siguientes,
u
u
que se pide demostrar.
Los m´ltiplos comunes de dos naturales son exactamente los m´ltiplos del
u
u
m´
ınimo comń m´ltiplo. Simb´licamente,
u
u
o
a|c ∧ b|c ⇔ mcm(a, b)|c.

El m´ximo comń divisor y el m´
a
u
ınimo comń m´ltiplo verifican la siguiente
u
u
igualdad:
ab = mcd(a, b)mcm(a, b).
* 1.18. Pru´bese que, si n es un natural,
e
2|n2 ⇒ 2|n.
An´logamente se tiene para cualquier primo p en el lugar de 2, es decir, si un
a
primo divide al cuadrado de un n´mero, entonces divide al n´mero.
u
u
* 1.19. Pru´bese que no hay ningń n´mero racional cuyo cuadrado sea 2 (en
e
u
√u
otras palabras, que el n´mero 2 no es racional). Para ello se puede proceder
u
por contradicciń suponiendo que s´ existe tal n´mero, y que lo representamos
o
ı
u
por la fracciń p , en la cual p y q no tienen divisores comunes. Esta fracciń
o q
o
cumple, segń la hip´tesis,
u
o
p2
= 2.
q2
Utilizando el ejercicio 1.18, ll´guese a la contradicciń de que p y q tienen un
e
o
divisor comń, el 2.
u
An´logamente se prueba que si n es un√ √ √ cuadrado, no existe un
a
entero no
racional cuyo cuadrado sea n (es decir, que 3, 5, 7, . . . no son racionales).

Cap´
ıtulo 2

Conjuntos
En este cap´
ıtulo abordamos los elementos b´sicos de la teor´ de conjuntos.
a
ıa
Los conjuntos se han convertido en los objetos matem´ticos m´s fundamentales,
a
a
sobre los que se construye el resto de las matem´ticas. Y la teor´ de conjuntos,
a
ıa
a su vez, se edifica s´lidamente sobre axiomas mediante las leyes de la l´gica de
o
o
las que se ha hecho un esbozo en el cap´
ıtulo precedente.
Por ello la primera secciń de este cap´
o
ıtulo se dedica a declarar los axiomas
que usaremos, para continuar despu´s mediante definiciones y teoremas con
e
sus demostraciones. La colecciń de axiomas de la teor´ de conjuntos es un
o
ıa
tema complicado y nunca cerrado a la discusiń. Actualmente se considera como
o
esquema b´sico el de los nueve axiomas de Zermelo y Fraenkel. Sin embargo,
a
para nuestro prop´sito, mucho m´s modesto, de introducir las operaciones entre
o
a
conjuntos, basta con cinco axiomas y a ellos nos limitaremos. Los otros axiomas
son necesarios para desarrollar la teor´ de los ordinales y los cardinales, y se
ıa
pueden encontrar, por ejemplo, en libros como [1], [2],[4] o [5].
En la segunda parte del cap´
ıtulo se introducen las operaciones del complemento, uniń e intersecciń. Las definiciones son una traducciń, paso por paso,
o
o
o
de los conectores entre proposiciones l´gicas: negaciń, disyunciń y conjuno
o
o
ciń respectivamente. Por ello no debe extraãr que el ´lgebra de conjuntos sea
o
n
a
idńtica al ´lgebra de proposiciones (es la estructura algebraica conocida como
e
a
a
´lgebra de Boole). Finalmente se define una operaciń m´s entre conjuntos, el
o
a
producto cartesiano, que no tiene un an´logo en el cap´
a
ıtulo anterior.

2.1.

Axiomas y primeras definiciones

Cualquier intento de definir el concepto de conjunto est´ condenado a enua
merar sinńimos como son colecciń, familia, agregado, agrupaciń, etc. Lo imo
o
o
portante de la idea que asociamos al t´rmino conjunto es que contiene elementos
e
y debemos poder expresar si un elemento pertenece o no a un conjunto: la pertenencia es el concepto sobre el que se construye la teor´ de conjuntos, es el
ıa
concepto primitivo (es decir, que no se define). El s´
ımbolo que indica que x
31

32

CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS

pertenece al conjunto A es x ∈ A, y decimos que x es elemento de A, mientras
que x ∈ A es su negaciń.
/
o
La teor´ de conjuntos tiene esencialmente dos actividades: comparar conıa
juntos y construir nuevos conjuntos a partir de unos dados (para, despu´s, come
parar los nuevos con los originales). En cualquiera de los dos casos, la teor´
ıa
usa conjuntos ya existentes, no puede crear un conjunto de la nada. Por ello el
primer axioma que enunciamos es el que dice que, al menos, existe un conjunto
de modo que toda la teor´ no se quede vac´
ıa
ıa.
2.1 Axioma (De existencia). Existe un conjunto.
La primera tarea es, por tanto, comparar conjuntos. La comparaciń m´s
o
a
b´sica es saber si dos conjuntos son iguales o no, que es lo que resuelve el segundo
a
axioma.
2.2 Axioma (De igualdad). Dos conjuntos son iguales si, y s´lo si, contienen
o
los mismos elementos. De manera simb´lica lo escribimos
o
A = B ⇔ ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B).
Lo que dice este axioma es que un conjunto queda completamente caracterizado por los elementos que contiene, y no importa si los elementos los guardamos
en una caja o en una bolsa, si los ordenamos o estń desordenados; s´lo importa
a
o
cu´les son los elementos. Tambiń se llama axioma de extensiń porque permite
a
e
o
definir un conjunto describiendo todos y cada uno de sus elementos, es decir,
describiendo su extensiń. Para definir un conjunto por extensiń se escriben
o
o
sus elementos entre llaves, por ejemplo A = {1, 2, 3, 4, 5}.
2.3 Ejemplo. En vista del axioma de igualdad, es claro que {1, 2, 3} = {2, 3, 1}
ya que los dos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos. M´s ań,
a u
tambiń se cumple {a, a} = {a} por la misma razń.
e
o
Ahora podemos definir otra forma de comparar conjuntos m´s poderosa
a
que la mera igualdad: la inclusiń, en la que definimos cuńdo un conjunto
o
a
est´ contenido en otro y lo llamamos subconjunto.
a
2.4 Definiciń. Un conjunto B es subconjunto de otro conjunto A, y se denota
o
B ⊂ A, si todo elemento de B es elemento de A. Es decir,
B ⊂ A ⇔ ∀x(x ∈ B → x ∈ A).
Para ver que la inclusiń es una comparaciń m´s poderosa que la igualdad, en
o
o
a
el siguiente resultado se indica c´mo verificar la igualdad de conjuntos usando
o
la inclusiń: la igualdad es una doble inclusiń.
o
o
2.5 Teorema. Dos conjuntos son iguales si, y s´lo si, cada uno es subconjunto
o
del otro, o bien,
A = B ⇔ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A).

2.1. AXIOMAS Y PRIMERAS DEFINICIONES

33

Demostraciń. Primero, la implicaciń directa. Si A = B entonces, por el axioo
o
ma 2.2 todo elemento de A es elemento de B y viceversa. Pero, segń la definiciń
u
o
anterior, esto que es lo mismo que decir A ⊂ B ∧ B ⊂ A.
Segundo, la implicaciń inversa. Si A ⊂ B ∧ B ⊂ A, entonces todo elemento
o
de A est´ en B y todo elemento de B est´ en A, lo cual se puede escribir
a
a
∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B). Pero esta proposiciń es precisamente el antecedente del
o
axioma 2.2, por lo cual A = B.
En particular, todo conjunto es subconjunto de s´ mismo: A ⊂ A.
ı
Los siguientes tres axiomas son para construir nuevos conjuntos a partir de
conjuntos ya conocidos. El primero de ellos, el axioma de especificaciń utiliza
o
un enunciado abierto p(x) y construye el conjunto formado por los elementos
que hacen cierto el enunciado.
2.6 Axioma (De especificaciń). Dado un conjunto A y un enunciado abierto
o
p(x) existe el conjunto de los elementos de A que hacen cierto el enunciado.
Es decir, existe el conjunto B que cumple
∀x(x ∈ B ↔ x ∈ A ∧ p(x)).
El conjunto reciń definido se representa mediante el s´
e
ımbolo
B = {x ∈ A | p(x)}.
Es claro que el nuevo conjunto B es subconjunto de A. En el ejercicio 2.20 se
explica la necesidad de exigir que los elementos del nuevo conjunto B se escojan
unicamente entre los elementos de algń conjunto A ya conocido.
´
u
Vamos a utilizar este axioma inmediatamente para definir un conjunto con
nombre propio, el conjunto vac´ que es un conjunto sin elementos. Una definiıo,
ciń por especificaciń es elegante y util, m´s que una por extensiń.
o
o
´
a
o
2.7 Definiciń. Sea A un conjunto cualquiera. Definimos el conjunto vac´
o
ıo
como
∅ = {x ∈ A | x = x}.
Obs´rvese que para definir el vac´ as´ hace falta la existencia de, al menos,
e
ıo ı
un conjunto. Pero el axioma de existencia asegura que s´ lo tenemos. Por su
ı
definiciń resulta inmediato que el vac´ es subconjunto de cualquier otro.
o
ıo
2.8 Teorema. El conjunto vac´ es subconjunto de cualquier conjunto.
ıo
Esto es, si B es un conjunto arbitrario,
∅ ⊂ B.
Demostraciń. Queremos probar la proposiciń ∀x(x ∈ ∅ → x ∈ B). Pero el
o
o
antecedente es siempre falso pues, por definiciń del conjunto vac´ ∀x, x ∈ ∅.
o
ıo,
/
Entonces la implicaciń es siempre cierta, independientemente del consecuente,
o
y el teorema queda probado. (Ver ejercicio 2.10 para otra prueba).

CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS

34

En el axioma de especificaciń se construye, a partir de uno dado, un conjuno
to m´s pequeõ. En los siguientes axiomas la construcciń es al rev´s: se consa
n
o
e
truyen conjuntos m´s grandes. En ambos aparecen conjuntos cuyos elementos
a
tambiń son conjuntos.
e
2.9 Axioma (De la uniń). Dada una familia de conjuntos F , existe un cono
junto que contiene los elementos de los elementos de F .
Si llamamos E a dicho conjunto, entonces podemos definir el conjunto llamado uniń de F utilizando el axioma de especificaciń como sigue.
o
o
2.10 Definiciń. Dada una familia de conjuntos F , la uniń de la familia F es
o
o
el conjunto formado exactamente por los elementos de los conjuntos que estń
a
en F :
F = {x ∈ E | ∃A ∈ F, x ∈ A}.
2.11 Ejemplo. Sean los conjuntos X = {1, 2, 3} e Y = {3, 4, 5} y con ellos la
familia F = {X, Y }. Entonces la uniń de F es el conjunto F = {1, 2, 3, 4, 5}.
o
Por ultimo, si consideramos familias de conjuntos, hay una muy natural y
´
util: la familia formada por todos los subconjuntos de un conjunto. Pero de
´
nuevo es necesario un axioma que asegure que tal cosa es un conjunto: ´ste es
e
el quinto y ultimo axioma que utilizamos.
´
2.12 Axioma (Del conjunto potencia). Dado un conjunto A, existe el conjunto cuyos elementos son los subconjuntos de A, llamado conjunto potencia y
denotado P(A).
2.13 Ejemplo. El conjunto potencia de A = {1, 2, 3} es
P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {1, 2, 3}}.
Finalizamos esta secciń reuniendo en una lista los cinco axiomas enunciados
o
que son los que usaremos en la teor´ desarrollada en este libro:
ıa
1. Axioma de existencia
2. Axioma de igualdad
3. Axioma de especificaciń
o
4. Axioma de la uniń
o
5. Axioma del conjunto potencia

´
´
2.2. COMPLEMENTO, UNION E INTERSECCION

2.2.

35

Complemento, uniń e intersecciń
o
o

En esta secciń definimos las operaciones de complemento, uniń e intero
o
secciń y estudiamos sus principales propiedades, que constituyen el ´lgebra
o
a
de conjuntos. Tambiń mencionamos las operaciones de diferencia y diferencia
e
sim´trica que enseguida escribimos en funciń de las otras.
e
o
La operaciń de uniń de conjuntos no es m´s que el axioma de la uniń ya
o
o
a
o
enunciado y la definiciń que le sigue. Sin embargo lo volveremos a enunciar en
o
el caso particular de dos conjuntos, que es la forma m´s habitual de manejarla.
a
De hecho, el axioma de la uniń es el que permite establecer los resultados
o
algebraicos que aparecen en esta secciń. Si tenemos dos conjuntos A y B, dicho
o
axioma nos permite hablar de un conjunto E que contiene todos los elementos
de A y todos los elementos de B. Utilizaremos el conjunto E para escribir
la definiciń de las operaciones y deducir sus propiedades. Al definir las tres
o
operaciones en el marco de un conjunto E ocurre que son una traducciń directa
o
de las operaciones entre proposiciones l´gicas: el complemento corresponde a la
o
negaciń, la uniń a la disyunciń y la intersecciń a la conjunciń.
o
o
o
o
o
Hay una representaciń gr´fica de los conjuntos que es particularmente aproo
a
piada para visualizar las operaciones entre conjuntos: los diagramas de Venn.
Un diagrama de Venn representa al conjunto E por un rectńgulo, y cualquier
a
subconjunto del mismo por una curva cerrada dentro del rectńgulo. Si es posia
ble, los elementos del conjunto E se marcan como puntos dentro del rectńgulo
a
y la curva que representa a un subconjunto encierra sus elementos.
2.14 Ejemplo. Los conjuntos E = {a, b, c, d} y A = {a, b} ⊂ E se representan
en la figura 2.1.

Figura 2.1: Ejemplo de representaciń gr´fica con diagramas de Venn
o
a

Debe quedar claro que los diagramas de Venn no sirven como demostraciones
de teoremas. S´lo son ilustraciones de los mismos.
o
Las primera operaciń que abordamos es el complemento.
o

CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS

36

2.15 Definiciń. El complemento de un subconjunto A del conjunto E es el
o
conjunto de todos los elementos de E que no estń en A. Se denota Ac y se
a
puede describir como
Ac = {x ∈ E | x ∈ A}.
/
Gr´ficamente, lo vemos en la figura 2.2.
a

Figura 2.2: Representaciń gr´fica del complemento
o
a

2.16 Ejemplo. En el conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5}, el complemento del conjunto
A = {1, 2} es Ac = {3, 4, 5}.
A continuaciń nos ocupamos de la uniń y la intersecciń. En la uniń de
o
o
o
o
dos conjuntos se consideran los elementos que estń en, al menos, uno de los
a
dos conjuntos. En la intersecciń, sin embargo, se consideran los elementos que
o
estń en ambos conjuntos.
a
2.17 Definiciń. La uniń de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por
o
o
los elementos que estń en A o estń en B. Se denota A ∪ B.
a
a
A ∪ B = {x ∈ E | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}.
La figura 2.3 ilustra esta definiciń.
o
2.18 Definiciń. La intersecciń de dos conjuntos A y B es el conjunto foro
o
mado por los elementos que estń en A y estń en B. Se denota A ∩ B.
a
a
A ∩ B = {x ∈ E | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.
a
2.19 Ejemplo. Dados los conjuntos A = {1, 2} y B = {2, 3} tenemos A ∪ B =
{1, 2, 3} y A ∩ B = {2}.

´
´

37

Figura 2.3: Representaciń gr´fica del conjunto A ∪ B.
o
a

Figura 2.4: Representaciń gr´fica del conjunto A ∩ B.
o
a

Si dos conjuntos verifican A ∩ B = ∅ se dice que son disjuntos porque no tienen
elementos en comń.
u
Las operaciones de diferencia y diferencia sim´trica consisten, como indica
e
el nombre, en quitar elementos a un conjunto.
2.20 Definiciń. La diferencia del conjunto A menos el conjunto B es el cono
junto formado por los elementos que estń en A pero no en B. Se denota A B.
a
A B = {x ∈ E | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.
/
En la figura 2.5 se representa esta operaciń.
o
2.21 Ejemplo. Las diferencias de los conjuntos A = {1, 2} y B = {2, 3} son
A B = {1}, B A = {3}.
La diferencia de conjuntos, como en los n´meros, no es conmutativa; en general
u
A B = B A. Sin embargo, la diferencia sim´trica se construye de forma que
e
s´ lo es.
ı

CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS

38

Figura 2.5: Representaciń gr´fica del conjunto A B.
o
a

2.22 Definiciń. La diferencia sim´trica de dos conjuntos A y B es el conjunto
o
e
formado por los elementos que estń en A o estń en B excepto los comunes a
a
a
ambos. Se denota A B y se puede escribir como
A B = (A B) ∪ (B A).
a

Figura 2.6: Representaciń gr´fica del conjunto A B.
o
a

2.23 Ejemplo. La diferencia sim´trica de los conjuntos A = {1, 2} y B = {2, 3}
e
es A B = B A = {1, 3}.
Despu´s de ver las definiciones de las operaciones estudiemos algunas proe
piedades que satisfacen: las llamadas leyes del ´lgebra de conjuntos.
a
Para empezar veamos que la diferencia y la diferencia sim´trica se pueden
e
escribir en funciń de uniń, intersecciń y complemento. Como en el caso de
o
o
o

´
´

39

proposiciones l´gicas, tambiń la uniń se puede expresar en t´rminos del como
e
o
e
plemento y la intersecciń, o la intersecciń en funciń del complemento y la
o
o
o
uniń pero es habitual considerar estas tres por el paralelismo con las proposio
ciones (ver ejercicio 2.9).
2.24 Teorema. Dado un conjunto E y subconjuntos A y B del mismo
A B = A ∩ Bc,
A B = (A ∩ B c ) ∪ (B ∩ Ac ).
Demostraciń. Para probar la primera igualdad escribimos la definiciń de cada
o
o
miembro y comprobamos que son iguales:
A B = {x ∈ E | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)},
/
A ∩ B c = {x ∈ E | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B c )} = {x ∈ E, (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)},
/
donde se ha sustituido x ∈ B c por su proposiciń equivalente x ∈ B (dada por
o
/
la definiciń 2.15).
o
Para probar la segunda igualdad basta usar la definiciń de diferencia sim´trio
e
ca.
Entonces, las leyes del ´lgebra de conjuntos son las leyes del ´lgebra de
a
a
las operaciones complemento, uniń e intersecciń. A continuaciń enumeramos
o
o
o
algunas de tales leyes. No son todas, pues se pueden deducir otras nuevas a
partir de ´stas. Tampoco son independientes entre ellas, pues algunas de la
e
lista se pueden deducir de otras. Es una elecciń arbitraria de las m´s utiles y
o
a ´
habituales.
2.25 Teorema. Sea E un conjunto y A, B y C subconjuntos arbitrarios de ´l.
e
Entonces se cumple:
1. Ley del doble complemento:
(Ac )c = A.
2. Leyes de idempotencia:
A ∪ A = A,
A ∩ A = A.
3. Leyes conmutativas:
A ∪ B = B ∪ A,
A ∩ B = B ∩ A.
4. Leyes asociativas:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS

40

5. Elementos neutros de la uniń y la intersecciń: el vac´ es neutro de la
o
o
ıo
uniń y el conjunto E es neutro de la intersecciń:
o
o
A ∪ ∅ = A,
A ∩ E = A.
6. Elementos dominantes de la uniń y la intersecciń: el conjunto E es
o
o
dominante en la uniń y el vac´ lo es en la intersecciń:
o
ıo
o
A ∪ E = E,
A ∩ ∅ = ∅.
7. Leyes del complemento:
A ∪ Ac = E,
A ∩ Ac = ∅.
8. Leyes distributivas:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
9. Leyes de absorciń:
o
A ∪ (A ∩ B) = A,
A ∩ (A ∪ B) = A.
10. Leyes de De Morgan:
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c ,
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c .
Demostraciń. Las diecinueve propiedades enunciadas se demuestran similaro
mente y se pueden trazar hasta las propiedades equivalentes de proposiciones
del cap´
ıtulo anterior. Por ejemplo, la propiedad del doble complemento no es
m´s que la propiedad de la doble negaciń, las propiedades que afectan s´lo
a
o
o
a la uniń son exactamente las mismas que las de la disyunciń y las de la
o
o
intersecciń aqu´llas de la conjunciń.
o
e
o
Analicemos en detalle una de las propiedades como muestra: la primera ley
de De Morgan. Escribimos el conjunto de la izquierda segń su definiciń.
u
o
(A ∪ B)c = {x ∈ E | x ∈ (A ∪ B)}.
/
La proposiciń x ∈ (A ∪ B) significa ¬((x ∈ A) ∨ (x ∈ B)). Ahora aplicamos
o
/
la ley de De Morgan de proposiciones l´gicas y llegamos a que es equivalente
o
a (x ∈ A) ∧ (x ∈ B). Pero esta proposiciń define, precisamente, el conjunto
/
/
o
Ac ∩ B c y la propiedad queda demostrada.

2.3. PRODUCTO CARTESIANO

41

La existencia de la propiedad asociativa permite definir el s´
ımbolo A ∪ B ∪ C
como cualquiera de A ∪ (B ∪ C) o bien (A ∪ B) ∪ C, pues son iguales. El conjunto
A ∪ B ∪ C est´ formado por los elementos que pertenecen, al menos, a uno de
a
los tres conjuntos y, por tanto, coincide con la uniń de la familia {A, B, C} tal
o
y como se enunciń en el axioma de la uniń. Una forma habitual de escribir
o
o
la uniń de una familia grande de conjuntos es mediante ´
o
ındices: {Aα }α∈I es
una familia formada por los conjuntos Aα , donde el sub´
ındice α toma diferentes
valores (para cada valor de α, Aα es un conjunto). Los valores que puede tomar
α forman el conjunto de ´
ındices, que hemos llamado I. Con esta notaciń la
o
uniń de esta familia se escribe α∈I Aα .
o
2.26 Ejemplo. Sea I = {1, 2, 3, 4, 5} un conjunto de ´
ındices, y sea {Ak }k∈I una
familia de intervalos de la recta real dada por Ak = [k, 3k]. Entonces k∈I Ak =
[1, 15].
Del mismo modo podemos pensar en la intersecciń de tres conjuntos, pues
o
tambiń hay asociatividad. El conjunto A∩B ∩C est´ formado por los elementos
e
a
que pertenecen a todos y cada uno de los tres conjuntos. An´logamente, si
a
{Aα }α∈I es una familia de conjuntos, definimos la intersecciń de la familia,
o
escrita α∈I Aα , como el conjunto de los elementos que pertenecen a todos y
cada uno de los Aα .
2.27 Ejemplo. Con los mismos datos del ejemplo anterior,

k∈I

Ak = ∅.

En las propiedades enunciadas se puede observar el llamado principio de
´
dualidad. Este asegura que dado un teorema de la teor´ de conjuntos con los
ıa
s´
ımbolos ∪, ∩, E ´ ∅, su expresiń dual (la que se obtiene al cambiar ∪ por ∩
o
o
y cambiar E por ∅) tambiń es un teorema de la teor´
e
ıa.

2.3.

Producto cartesiano

El producto cartesiano de dos conjuntos es el conjunto formado por parejas
ordenadas, con un elemento de cada conjunto. Pero no hemos definido qu´ es
e
una pareja ordenada. Obs´rvese que el s´
e
ımbolo {a, b} denota el conjunto cuyos
elementos son a y b; es una pareja. Pero no es ordenada ya que, segń el axioma
u
2.2, {a, b} = {b, a} pues tienen los mismos elementos. Necesitamos definir el
s´
ımbolo (a, b) en el que, en general, (a, b) = (b, a). ¿C´mo hacerlo? Podemos
o
usar el s´
ımbolo {a, b} y aãdir la informaciń de cu´l de los dos elementos es el
n
o
a
primero. Una forma de hacerlo es la siguiente definiciń.
o
2.28 Definiciń. La pareja ordenada (a, b) es el conjunto {{a}, {a, b}}.
o
Es correcto llamar conjunto a (a, b) pues obs´rvese que si a ∈ A y b ∈ B,
e
entonces {a, b} es un subconjunto de A ∪ B, es decir, un elemento de P(A ∪ B).
Entonces (a, b) es subconjunto de P(A∪B) y, por tanto elemento de P(P(A∪B)),
todo ello apoyado en la existencia del conjunto potencia que asegura el axioma
del mismo nombre.

CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS

42

Con el concepto de pareja ordenada, que es diferente del s´
ımbolo {a, b} (ver
ejercicio 2.14) podemos definir el producto cartesiano como un subconjunto de
P(P(A ∪ B)).
2.29 Definiciń. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado
o
A × B, es el conjunto formado por todas las parejas ordenadas cuyo primer
elemento es del conjunto A y cuyo segundo elemento es del conjunto B.
A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.
2.30 Ejemplo. Sean los conjuntos A = {1, 2} y B = {a, b}. Entonces, su producto cartesiano es el conjunto A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}.
Obs´rvese que, puesto que las parejas son ordenadas, A × B no es lo mismo que
e
B × A.

Ejercicios
2.1. Sean U = {a, b, c} y su subconjunto V = {a, b}. Determinar si las siguientes
proposiciones son verdaderas o falsas.
a) V ⊂ P(U ).

d) ∅ ∈ U .

b) a ∈ P(U ).

e) a ⊂ U .

c) V ∈ U .

f) a ⊂ V .

2.2. Sean los siguientes conjuntos A = {1, 2}, B = {3, 4}, C = {A, B}. Determinar si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa.
a) 1 ∈ A.

f) {1, 2} ∈ C.

b) 1 ∈ B.

g) {1, 2} ⊂ A.

c) 1 ∈ C.

h) {1, 2} ⊂ B.

d) {1, 2} ∈ A.

i) {1, 2} ⊂ C.

e) {1, 2} ∈ B.

j) {1, 2, 3, 4} = C.

2.3. Escribir el conjunto potencia de los conjuntos ∅, I1 = {1}, I2 = {1, 2},
I3 = {1, 2, 3} e I4 = {1, 2, 3, 4}.
Probar por inducciń que el conjunto potencia de In = {1, 2, . . . , n} tiene 2n
o
elementos.

2.3. PRODUCTO CARTESIANO

43

2.4. Consideramos el conjunto de los n´meros naturales, N, como referencia y
u
definimos los siguientes subconjuntos del mismo: dado un natural m, el conjunto
mN est´ formado por los n´meros naturales m´ltiplos de m; por otro lado
a
u
u
el conjunto P es el de los n´meros naturales primos. Describir los conjuntos
u
siguientes.
a) 2N y (2N)c .

d)

b) 2N ∩ 4N y 2N ∪ 4N.

e) 2N ∩ 3N y 2N ∪ 3N.

c) 2N 4N y 4N 2N.

f)

k∈N (2k)N

p∈P

pN y

y

k∈N (2k)N.

p∈P

pN.

2.5. Expresar el resultado de las siguientes operaciones entre intervalos abiertos
y cerrados de la recta real en forma de intervalos y dibujarlo.
a) [−1, 2] ∪ ]1, 2[

g) [−1, 0]c

b) ] − 2, 0[ ∩ ] − 1, 2[

√
h) [ 3, ∞[c

c) ] − ∞, 3[ ∩ [0, ∞[

1
i) [0, 1] ] 3 , 2 [
3

d) ] − 5, −1[ ∩ ] − 1, 1[
√
√
e) [− 2, 0[ ∪ [0, 2[

j) ]0, ∞[ ]1, ∞[

f) ]0, 3[ ∩ ] π , π[
2

k) [−1, 1] [0, 2]

2.6. En el conjunto de los n´meros complejos C, que tomamos como referencia,
u
definimos los siguientes conjuntos.
A = {z ∈ C | |z| ≤ 1},
B = {z ∈ C | |z| ≥ 1},
C = {z ∈ C | |z| = 1},
D = {z ∈ C | z = ix, para algń x ∈ R}.
u
Dib´jense dichos conjuntos en el plano complejo y el resultado de cada una de
u
las siguientes operaciones.
a) Ac , B c .

d) C ∪ (D ∪ R), C ∩ (D ∪ R).

b) A ∪ B, A ∩ B.

e) C ∪ Z, C ∩ Z.

c) D ∪ R, D ∩ R.

f) Ac ∩ N, B c ∩ N.

2.7. Demu´strese la equivalencia de las siguientes proposiciones.
e
i) A ⊂ B.

iii) A ∪ B = B.

ii) A ∩ B = A.

iv) B c ⊂ Ac .

CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS

44

Por tanto, cualquiera de las otras tres puede ser utilizada para caracterizar
un subconjunto. Sugerencia: basta con probar i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) ⇒ i).
2.8. Probar que la uniń de dos conjuntos es el menor conjunto que contiene a
o
ambos. Es decir, si C es un conjunto tal que A ⊂ C y B ⊂ C entonces A∪B ⊂ C.
An´logamente, probar que la intersecciń de dos conjuntos es el mayor cona
o
junto contenido en ambos.
2.9. Expr´sese la uniń de conjuntos en t´rminos del complemento y la intersece
o
e
ciń.
o
2.10. Demostrar por contradicciń el teorema 2.8 que dice que el vac´ es subcono
ıo
junto de cualquier conjunto. Es decir, asumir que existe un conjunto A, distinto
de ∅, para el cual no se cumple ∅ ⊂ A, y deducir de ah´ una contradicciń.
ı
o
2.11. Dados los conjuntos Im = {1, . . . , m} e In = {1, . . . , n}, describir los conjuntos Im × In e In × Im .
2.12. Describir gr´ficamente los conjuntos N×N, [0, 1]×[0, 1], N×[0, 1] y [0, 1]×N,
a
con [0, 1] ⊂ R el intervalo unitario de la recta real, interpretando las parejas
ordenadas como coordenadas de puntos del plano cartesiano.
2.13. Describir los conjuntos ∅ × ∅, ∅ × A, A × ∅, donde A es un conjunto no
vac´
ıo.
2.14. Usando la definiciń 2.28 de pareja ordenada y el axioma de igualdad,
o
demostrar
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d.
2.15. Demostrar que el producto cartesiano se distribuye sobre la operaciń
o
uniń, es decir, que para cualesquiera conjuntos A, B y C se cumple
o
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
Sin embargo, la uniń no se distribuye sobre el producto cartesiano, es decir, en
o
general
A ∪ (B × C) = (A ∪ B) × (A ∪ C).
2.16. Sea D el conjunto de las palabras que aparecen en un diccionario. Consideremos los siguientes subconjuntos que corresponden a los cap´
ıtulos: A es
el subconjunto de las palabras que comienzan con la letra a, B el de las palabras que comienzan con la letra b, etc. Adem´s consideremos la familia de
a
subconjuntos {Ln }n∈N donde Ln contiene las palabras que tienen n o menos
letras.
Describir el resultado de las siguientes operaciones.
a) A ∪ B

c) A ∩ (B ∪ C · · · ∪ Z)

b) A ∩ B

d) (F ∩ G)c

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