conceptos formulas y ejemplos de lógica matemática

1. Lógica matemática
La lógicamatemática, tambiénllamadalógicasimbólica,lógicateorética,lógica formal,
o logística,1
esparte tanto de la lógicay como de la matemática,yconsiste enel estudio
matemáticode lalógica,y enla aplicaciónde dicho estudioaotrasáreas de la matemática
y de las ciencias.Lalógicamatemáticatiene estrechasconexionesconlas cienciasde la
computación ycon la lógicafilosófica.
La lógicamatemáticaestudialos sistemasformales enrelaciónconel modoenel que
codificano definen nocionesintuitivasde objetosmatemáticos
como conjuntos, números,demostraciones,yalgoritmos,utilizandoun lenguajeformal.
La lógicamatemáticase suele dividirencuatrosubcampos: teoríade modelos,teoríade la
demostración,teoríade conjuntos yteoríade larecursión.La investigaciónenlógica
matemáticaha jugadounpapel fundamental enel estudiode los fundamentosde las
matemáticas.
La lógicamatemáticanoesla «lógicade lasmatemáticas» sinola«matemáticade la
lógica».Incluye aquellaspartesde lalógicaque puedensermodeladasyestudiadas
matemáticamente.
Definición y clases de preposiciones
Las preposiciones
Definición
La preposiciónesunapalabrainvariable que sirve parauniro relacionarpalabrasde
maneraque una pasa a ser complementode laotra.
casa de madera
se apoderó de la ciudad
cerca de ahí
voy con ellos
Lista completa de preposiciones
A, ANTE, BAJO, CON, CONTRA,DE, DESDE, EN, ENTRE, HACIA, HASTA, PARA, POR,
SEGÚN,SIN,SOBRE, TRAS
Agrupación de preposiciones

2. A vecesuncomplementoformadoporunapreposiciónmásunsustantivorecibe delante
otra preposiciónque sumasusentidoal de laque ya estaba,haciendomásprecisala
expresión:DEENTRE, POR ENTRE, PARA CON,DE POR, TRAS DE... Ejemplos:
-Resucitó de entre los muertos.
-Vamosa porel premio.
-Compramoscuatro dea doseuros.
Locucionesprepositivas
Una locuciónprepositivaesuna expresiónconstituidaporvariaspalabras,conforma
fija,que se utilizaenel hablacomouna piezaúnicaypresetnael comportamientode una
preposición.A continuaciónpresentamosalgunosejemplos,perolalistacompletaes
muchísimomásamplia:
1. antesde
2. delantede (=ante)
3. conformea
4. rumbo a
5. en compañía de
6. despuésde
7. encima de (=sobre)
8. cara a
9. a ambosladosde
10. porparte de
11. encima de
12. debajo de(=bajo)
13. camino de
14. a expensasde
15. al pie de
16. debajo de
17. detrásde (=tras)

3. 18. esquina a
19. a causa de
20. al lado de
21. detrásde
22. junto a
23. frentea
24. a cargo de
25. del otro lado de
26. dentro de
27. con arreglo a
28. graciasa
29. a costade
30. a la vistade
31. fuera de
32. a
33. de regreso a
34. en lo alto de
35. cerca de en virtud de
36. merced
37. en cuanto a
38. orilla de
39. a rasde
40. fuera de
41. lejosde
42. debido a
43. riberas de

4. 44. a hombrosde
45. a pesarde
46. en medio de
47. referentea
48. rostro a
49. a juicio de
50. ...
Conectivos lógicos en preposiciones compuestas
Existenconectoresuoperadoreslógicasque permitenformarproposiciones
compuestas(formadasporvariasproposiciones).Losoperadoresoconectoresbásicos
son:Operadorand(y)
Se utilizaparaconectar dosproposicionesque se debencumplirparaque se puedaobtenerun
resultadoverdadero.Si símboloes:{Ù, un punto(.),un paréntesis}. Se le conoce comola
multiplicaciónlógica
Ejemplo.Seael siguienteenunciado"El coche enciendecuandotienegasolinaenel tanque y
tienecorriente labatería"Sean:p:El coche enciende.q:Tienegasolinael tanque.r:Tiene corriente la
batería.De tal manera que larepresentacióndel enunciadoanteriorusandosimbologíalógica
escomosigue
p = q Ù r
Su tablade verdades comosigue:
q
r
p = q Ù r
1 1 11 0 00 1 00 0 0Donde.1= verdadero0= falsoEnlatablaanteriorel valorde q=1 significaque
el tanque tiene gasolina,r=1 significaquelabateríatiene corrienteyp= q Ù r=1 significaque el
coche puede encender.Se puede

5. Proposiciones bicondicional
En matemáticasylógica,un bicondicional,(tambiénllamado equivalenciaodoble implicación,en
ocasionesabreviadoenespañol como ssi),esunaproposiciónde laforma«Psi y solosi Q» y se
admite el bicondicional esverdaderoenel casode que amboscomponentestenganel mismo
valorvertitativo.Enotraspalabras,que si P ocurre entoncestambiénocurre Q;yviceversa:si Q
ocurre entoncestambiénocurre P.
Otra formade expresarel bicondicionalesdecirque Qesuna condiciónnecesaria y
suficiente paraP. Tambiénse conoce conel nombre de coimplicación.1
En Lógica esusual la notación , mientrasque en matemáticasesmáscomúnla
notación para denotarla equivalencia entre dosenunciados.
Ejemplos:
« » y « » son bicondicionalesverdaderos.
 , donde denotaa losmúltiplosenterosde n.
Proposiciones condicionales
Las ProposicionesCondicionales expresanlacondiciónnecesariaparaque tengaefectoloque
indicalaoración principal;éstaindicala causao efectode tal condición,
EJEMPLOS DE PROPOSICIONESCONDICIONALES:
1.Me alegraría mucho, si me acompañaras.
2.Si quieres, pasopor ti a lasseis.
3.Te llevaré al baile; simeprometesser puntual.
4.Si ponesatención,aprenderásmáspronto.
5.Podría llevardosmaterias, siasisto por las tardes.

6. Observe cadacaso y constata que laproposiciónindicaunacondiciónparaque se lleve acabo lo
aseveradoenlaoraciónprincipal:
CONDICION
1. si me acompañaras
2. si quieres
3. si me prometesserpuntual
4. si ponesatención
5. si asistopor lastardes
ASEVERACION
1. me alegraríamucho
2. paso por ti a lasseis
3. te llevaré al baile
4. aprenderásmáspronto
5. podría llevardosmaterias
Las proposicionescondicionalesfuncionansintácticamente comomodificadorescircunstanciales
del núcleo del verbode laoraciónprincipal.
La conjunción si,que funcionacomosubordinante esel encabezadoque aceptanlasoraciones
subordinadas condicionales,enlamayoríade loscasos. Los sintagmas conjuntivos;siempre que,
con tal que, etc.,tambiénfuncionancomoencahezadoresde este tipode proposiciones.
Tautología

7. En un sistemade lógicaproposicional,unainterpretaciónesunaasignaciónde valoresde verdad
(verdaderoofalso) acada una de las fórmulasatómicasbajoconsideración.Diferentes
interpretaciones,porlotanto,difierensoloenlasasignacionesde valoresde verdadque hacen.
Una tautología esuna fórmulabienformadaque resultaverdaderabajotodaslasinterpretaciones
posiblesde susfórmulasatómicos.Porlotanto,para determinarsi unafórmulacualquieraesuna
tautología,bastacon considerartodaslas posiblesinterpretacionesde lasfórmulasatómicas,y
calcularel valor de verdadde la fórmulacompleta.Estose logramediante unatablade verdad.
Por ejemplo,considérese lafórmula p ∧q. Comoa cada fórmulaatómicase le puede asignaruno
de dos posiblesvaloresde verdad,entonceshayentotal 22
= 4 posiblescombinacionesde valores
de verdad.Es decir,cuatro interpretacionesposibles:oambasson verdaderas;o p es verdadera
y q falsa;o p esfalsay q verdadera;oambas sonfalsas.Estose puede presentarmedianteuna
simple tabla:
equivalencia
ImplicacionesTautológicas
En estasecciónampliamosnuestralistade tautologías"estándares"poragregarlacondicional yla
bicondicional.De ahoraenadelante,utilizaremosletrasminúsculascomopy q solopara denotar
proposicionesatómicas,yletrasmayúsculascomoA y B para denotarproposicionesde todotipo,
compuestasoatómicas.
Primerovemosalgunas implicacionestautológicas;tautologíasde laforma A B.Debes
comprobarlas tablasde verdadpara cada unade estasproposicionesparaverque ciertamente
son tautologías.
Modus Ponenso RazonamientoDirecto
[(p q) p] q.
En palabras:Si p implica q,y si p es verdadera,entoncesq debeser verdadera.
Ejemplo
Si p: "Amo matemáticas"yq: "Pasare este curso,"entonces.
Si mi amor por lasmatemáticasimplicaque pasaré este curso,ysi de hechoamomatemáticas,
entoncespasaré este curso.
Otra formade configurarestoesenla siguiente formaargumental:

8. Si amo matemáticas,entoncespasaré este curso.
Amomatemáticas.
Por lotanto,pasaré este curso.
En símbolos:
p q
p
q
Notaque trazamosuna líneaenla formaargumental para separarloque nos da enla conclución
que sacamos.Esta tautologíarepresentalaformamás directade razonamientocotidiano,de ahí
su nombre "razonamientodirecto".Otropocode terminología:decimosque p qyp
juntas lógicamente implicanq.
Para comprobarque esuna tautología,utilizamosunatablade verdad.
Leyes notables en lógica
1. Leyde doble negación:Dentrode un sistemade lógicaclásica,ladoble negación,estoes,
la negaciónde lanegaciónde unaproposición p,eslógicamenteequivalente ap.
Expresadosimbólicamente,¬(¬p) ⇔ p.En lógicaintuicionista,unaproposiciónimplicasu
doble negación,peronoal revés.Estomarca una importante diferenciaentre lanegación
clásicae intuicionista.Algebraicamente,lanegaciónclásicaesllamadauna involución de
periododos.
Sinembargo,en lógicaintuicionista,sítenemoslaequivalenciaentre ¬¬¬p y¬p. Es más, enel caso
proposicional,unaoraciónesdemostrable de formaclásica,si sudoble negaciónesdemostrable
de manera intuicionista.Este resultadoesconocidocomoel teoremade Glivenko.
2. Leyesde idempotencia:Enmatemáticay lógica,laidempotenciaeslapropiedadpara
realizarunaacción determinadavariasvecesyaunasí conseguirel mismoresultadoque
se obtendríasi se realizase unasolavez.Un elementoque cumple estapropiedades
un elementoidempotente,oun idempotente.De estamanera,si unelementoal
multiplicarseporsí mismosucesivasvecesdaél mismo,este elementoes idempotente.
Por ejemplo,losdosúnicos númerosreales que sonidempotentes,paralaoperación
producto(·),son0 y 1. (0·0=0,1·1=1).

9. 3. Leyesasociativas:Las "Leyesasociativas"quierendecirque noimportacómoagrupeslos
números(osea,qué calculasprimero) cuando sumasocuando multiplicas.
(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c)
4. Leyesconmutativas:Las"leyesconmutativas"sóloquierendecirque puedesintercambiar
losnúmeroscuando sumaso cuando multiplicas ylarespuestavaa ser la misma.
a + b = b + a
a × b = b × a
5. Leyesdistributivas:La"leydistributiva"eslaMEJORde todas,perohay que usarlacon
muchocuidado Quiere decirque larespuestaeslamismacuando:
 sumasvariosnúmerosy el resultadolo multiplicas poralgo,o
 hacescada multiplicación porseparadoyluego sumaslosresultados
Así:
(a + b) × c = a × c + b × c
6. Leyesde De Morgan: En lógicaproposicional yálgebrade Boole,las leyesde De
Morgan sonun par de reglasde transformaciónque sonambas reglasde
inferenciaválidas.Lasnormaspermitenlaexpresiónde
lasconjunciones ydisyunciones puramenteentérminosde sívía negación.
Métodos de demostracion
En matemáticas,unademostracióno bienunaprueba es unargumentodeductivoparaasegurar
la verdadde una proposición matemática.Enlaargumentaciónse puedenusarotrasafirmaciones
previamenteestablecidas,talescomo teoremas obienlasafirmacionesinicialesoaxiomas.2
En
principiounademostraciónse puederastrearhastaafirmacionesgeneralmente aceptadas,
conocidascomo axiomas.3 4
Las demostracionessonejemplosde razonamientodeductivo yse
distinguende argumentos inductivos oempíricos;unademostracióndebe demostrarque una
afirmaciónessiempre verdadera(ocasionalmente al listartodosloscasosposiblesymostrarque
esválidaen cada uno),más que enumerarmuchoscasosconfirmatorios.Unaafirmaciónno
probadaque se cree verdaderase conoce como conjetura.
Las demostracionesemplean lógicaperonormalmenteincluyenunabuenaparte de lenguaje
natural,el cual usualmente admite algunaambigüedad.De hecho,la granmayoría de las
demostracionesenlasmatemáticasescritaspuedeserconsideradacomoaplicacionesde lógica
informal rigurosa.Las demostracionespuramenteformales,escritasen lenguaje simbólico en

10. lugarde lenguaje natural,se consideranen teoríade lademostración.Ladistinción
entre demostracionesformalese informales hallevadoaexaminarlalógicamatemáticahistóricay
actual,el cuasi-empirismomatemático yel formalismomatemático.Lafilosofíade las
matemáticas concierne al rol del lenguajeylalógicaenlas demostraciones,yenlas matemáticas
como lenguaje.
El hechode no conocerningunademostraciónde un teoremanoimplicasunoveracidad;sólola
demostraciónde lanegaciónde este resultadoimplicaque esfalso.
Demostración directa[editar]
Artículo principal: Demostracióndirecta
Se planteauna proposición,enlaformasi p entoncesq,donde pse denomina hipótesis(
condiciónsuficiente) yq,se llama tesiso conclusión( condiciónnecesaria).Porejemplo,si llueve
la pistaestámojada;estoes:que es una condiciónsuficiente paraque se aniegue lapista,esque
llueva.Ysi llueve necesariamentese mojalapista.En el contextomatemático,de laverdadde la
hipótesisse llegaala verdadde laconclusión,usandoproposicionescuyacertezase conoce
previamente.13
Demostración por Principiode inducción matemática[editar]
Artículo principal: Inducciónmatemática
La inducciónmatemáticanoesunaformade razonamientoinductivo.Enunademostraciónpor
inducciónmatemáticase demuestraunúnico«casobase» y tambiénuna«reglade inducción»,la
cual establece que unciertocaso implicael siguiente.Aplicandolareglade inducción
repetidamente,empezandodelcasobase independientemente probado,demostraciónmuchos,a
vecesinfinitos ennúmero,otroscasos.16
Comoel casobase esverdadero,el infinitode losotros
casos debe tambiénserlo,inclusosi todosellosnopuedenserprobadosdirectamente dadasu
infinitud.Unsubconjuntode inducciónesinfinitamentedescendiente.El descensoinfinito puede
serusado para probar lairracionalidad de laraíz cuadrada de dos.
Demostración por contraposición[editar]
Artículo principal: Contrarrecíproco
La demostraciónporcontraposición infiere laconclusión«si el evento p implicael evento q,
entoncesnoevento q implicanoevento p »,o,matemáticamente: La afirmación"si
no q entoncesno p"se llamala contrapositivade laafirmaciónde "si p entonces q".
Un ejemplológiconomatemáticopuedeserel siguiente:Imaginemosque unrestaurante ofrece
ensu menúpaellatodoslosjueves.Esdecir,el evento"jueves"implicael evento"paella".Puede
serque vayamosunlunesyhaya paella.Opuede serque vayamos unmartesy no lahaya. Perolo
que sabemosseguroesque todoslosjueveshaypaella.De todaslasposiblesconclusioneslógicas

11. que se derivande la anteriorafirmación,sólounade ellasescierta:que si vamosundía y no hay
paella,entoncesseguroque noesjueves.Odichode otromodo,"no paella"implica"nojueves"
Demostración por reducciónal absurdo[editar]
Artículo principal: Demostraciónporcontradicción
En la demostraciónporcontradicción (tambiénconocidacomo reductio ad absurdum,que significa
‘por reducciónal absurdo’enlatín),se muestraque si ciertaafirmaciónesverdadera,ocurre una
contradicción lógica,portantoesa afirmaciónesfalsa.Unejemplofamosode demostraciónpor
contradicciónmuestraque esun númeroirracional:
Supongase que esunnúmeroracional,así por definición donde ayb son dosenteros
diferentesde cerosinfactorescomunes.Portanto, .Elevandoal cuadrado ambosladosse
tiene que .Como2 divide el ladoizquierdo,2debe dividiral ladoderecho(puessoniguales
ambosenteros).Así espar, locual implicaque debe sertambiénpar.Asíque podemos
escribir ,donde c tambiénesentero.Substituyendoenlaecuaciónoriginal tenemos .
Dividiendoaambosladospor 2 tenemos .Peroentonces,porel mismoargumentode antes,
2 divide a ,entoncesbdebe serpar. De todasmaneras,si a y b sonambosenteros,
compartenunfactor, que es2. Esto contradice nuestraasunción,asíque nosvemosforzadosa
concluirque esun númeroirracional.
Demostración por exhaustividad[editar]
Artículo principal:Demostraciónporexhaustividad
En la demostraciónporexhaustividad,laconclusiónse establece al dividirlaenunnúmerofinito
de casos y probarloscada unopor separado.El númerode casosa vecespuede sermuygrande.
Por ejemplo,laprimerademostracióndel teoremade loscuatrocolores fue unademostraciónpor
exhaustividadcon1936 casos.Esta demostraciónfue controvertidapueslamayoríade loscasos
fueronverificadosconunprograma de computadory no a mano. La demostraciónconocidamás
corta del teoremade loscuatro coloresfue de 2011 y todavíatiene másde 600 casos.
Demostración probabilística[editar]
Artículo principal: Método probabilístico

12. Una demostraciónprobabilísticaesunaenla cual se muestraque un ejemploexiste,concerteza,
usandométodosde lateoría de probabilidad.Estonose debe confundirconunargumentode que
un teoremaes'probablemente'cierto.Este tipode razonamientopuede serllamadoun
«argumentode plausibilidad» ynoconllevaunademostración.Enel casode la conjeturade
Collatzestáclaroque tan lejosestáesode ser unademostracióngenuina.21
Lademostración
probabilística,comolademostraciónporconstrucción,esunade las muchasformasde
demostrarteoremasde existencia.
Demostración por combinatoria[editar]
Artículo principal: Demostraciónporcombinatoria
Una demostraciónporcombinatoriaestablece laequivalenciade expresionesdiferentesal
mostrar que cuentanpara el mismoobjetoenformasdiferentes.A menudose usa
una biyección entre dosconjuntosparamostrarque lasexpresionesparasusdostamañosson
iguales.Alternativamente,unargumentode doble conteo provee dosexpresionesdiferentespara
el tamañode un soloconjunto,mostrandonuevamente que lasdosexpresionessoniguales.
Demostración no constructiva[editar]
Artículo principal: Demostraciónnoconstructiva
Una demostraciónno constructivaestablece que un objetomatemático conunaciertapropiedad
existe sinexplicarcomotal objetose puede encontrar.A menudo,estastomanlaformade una
demostraciónporcontradicciónenlacual la no existenciadel objetose demostraciónimposible.
En contraste,una demostraciónconstructivaestablece que unobjetoparticularexisteal proveer
un métodoparaencontrarlo.
Un ejemplofamosode demostraciónno-constructivamuestraque existendos números
irracionales a yb tal que esun númeroracional:
O bien esun númeroracional yacabamos (tomese ),o esirracional por loque
podemosescribir y . Estoproduce , lo cual es unpor tanto racional de la
forma .