estadistica basica

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1
2018 - I

Estadística y Probabilidades
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América Campomanes Morán
Es una ciencia que usa un conjunto de métodos y/o técnicas que son
necesarias para RECOLECTAR, RESUMIR, CLASIFICAR, ANALIZAR e
INTERPRETAR, el comportamiento de los datos con respecto a una
característica materia de estudio.
Es decir que se encarga de obtener información para describirla y
luego la usa para predecir "algo" de ella.
División de la Estadística:
1.- Estadística Descriptiva
2.- Estadística Inferencial

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1.- ESTADISTICA DESCRIPTIVA.-
Se conoce como el conjunto de métodos usados para la
RECOLECCIÓN, PRESENTACIÓN Y CARACTERIZACIÓN de un
conjunto de datos.
En conclusión la estadística descriptiva, ANALIZA Y DESCRIBE
los datos.
2.- ESTADISTICA INFERENCIAL.-
Es la encargada de la PREDICCIÓN DE ALGO. Es la que posibilita
la toma de decisiones en base a una información parcial
obtenida mediante técnicas descriptivas.
Usa el calculo de la probabilidad, en las decisiones.

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CONCEPTOS BASICOS DE LA ESTADISTICA
1.- POBLACION
Es el conjunto total de individuos, objetos u entes
que tienen determinadas características que se
puede estudiar.
EJEMPLO:
• Todos las personas (tienen razas, sexo, religión,
edad, talla, idiomas, peso, nacionalidad etc.)
• Todos los estudiantes de la URP. (¿Que tienen en
común?)

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La Población puede ser:
• FINITA.- Cuando los elementos se pueden contar, o el
número de elementos que la conforman se puede
determinar.
Ejemplo:
Todos los alumnos de la URP
Toda la producción de tornillos durante un mes
• INFINITA.- Cuando el número de elementos que la
conforman no se puede determinar.
Ejemplo:
Todas las estrella del firmamento
Todos los árboles de la selva peruana.

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2.- MUESTRA.-
Es una parte relativamente pequeña de la población, o también se
define como un subconjunto de la población.
Ejemplo: Un grupo de 140 alumnos de la URP
3.- UNIDAD ESTADISTICA
Es un solo elemento de la población o muestra.
Ejemplo: un alumno de la URP
4.-CARACTERISTICA (VARIABLE)
Es lo que le interesa al investigador para su estudio o trabajo
La característica es la propiedad de los fenómenos y puede tomar
diferentes valores
Ejemplo: Edad, sexo, peso, cociente intelectual, ventas.

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LA VARIABLE.- Esta relacionada con la características y se denota con
letras mayúsculas del alfabeto, X, Y, Z.
Las variables pueden ser:
– CUALITATIVA.- Se refiere a la cualidad que presenta un
fenómeno (se expresa en letras)
– DISCRETA.- Son valores enteros.
– CONTINUA. Son infinitos valores que se encuentran entre dos
números.
5.- TIPOS DE DATOS
Depende de la característica (variable) y se dividen en:
Datos cualitativos
Datos cuantitativos

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Datos Cualitativos.- Son atributos o cualidades que solo se expresan en
forma literal. Ejemplo:
Estos se dividen en nominales y ordinales.
Datos Cuantitativos.- Son expresiones numéricas, y se dividen en:
1.- Cuantitativo Discretos.- Porque solo toman valores enteros, y se
obtiene por conteo.
Ejemplo: número de hermanos, número de hijos, número de curso
matriculados, número de créditos aprobados, etc.
2.- Cuantitativo Continuo.- porque sus valores pueden ser enteros y/o
fraccionario, es decir entre dos números pueden tomar infinitos
valores. Se obtienen por medio de la medición, duración o tiempo.
Ejemplos: estatura, edad, peso, etc.

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2018 - I

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DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
Es la presentación ordenada de la información, en una
tabla que contiene en forma general lo siguiente:
1.- Variable o característica
2.- Seis (6) Frecuencias: frecuencia absoluta (fi),
frecuencia relativa (hi), frecuencia absoluta
acumulada creciente y decreciente (Fi,F’i), frecuencia
relativa acumulada creciente y decreciente(Hi,H’i)
Frecuencia absoluta (fi).- Se obtiene de contar cuantas
veces se repite cada valor de la variable. Se obtiene por
conteo, siempre es un valor entero. La suma de las
frecuencias absolutas es igual al número total de datos
(n)

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Frecuencias Relativa (hi).- para obtenerla se divide (fi/n) y sus
valores son expresados en forma decimal.
La suma de las (hi) por definición es igual a 1.0000
Frecuencia Absoluta acumulada (Fi).- se obtiene de sumar las
frecuencias absolutas (fi) hasta un determinado valor de la variable.
La primera frecuencia absoluta (F1) es igual a la primera frecuencia
absoluta simple (f1)
La última frecuencia absoluta (Fm) es igual al número total de datos
(n).
Frecuencia Relativa acumulada (Hi).- se obtiene de sumar las
frecuencias relativas (hi) hasta un determinado valor de la variable.
La primera frecuencia relativa (H1) es igual a la primera frecuencia
relativa simple (h1)
La última frecuencia relativa (Hm) es igual a la unidad.

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Frecuencia Absoluta acumulada decreciente (F’i).-
Se obtiene de restar las frecuencias absolutas (fi)
La primera frecuencia absoluta acumulada (F’1) es
igual a “n” (Número total de datos) (F’1 = n)
La última frecuencia absoluta acumulada (F’m) es
igual a “fm”
Frecuencia Relativa acumulada decreciente (H’i).-
Se obtiene de restar las frecuencias relativas (hi).
La primera frecuencia relativa acumulada (H’1) es igual a
“1.000” (H’1 = 1.0000)
La última frecuencia relativa acumulada (H’m) es igual a hm

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
Variable
Frec.
Absoluta
Frec.
Relativa FRECUENCIAS ACUMULADAS
Xi fi hi Fi Hi F´i H'i
X1 f1 h1 F1 H1 F’1 H’1
X2 f2 h2 F2 H2 F’2 H’2
X3 f3 h3 F3 H3 F’3 H’3
X4 f4 h4 F4 H4 F’4 H’4
X5 f5 h5 F5 H5 F’5 H’5
Xm fm hm Fm Hm F’m H’m
TOTALES n = 1.00
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14
TIPOS DE DISTRIBUCIONES DE
FRECUENCIAS:
1.- DISTRIBUCION DE FRECUENCIA PARA
VARIABLE CUALITATIVA (DATOS
CUALITATIVOS)
VARIABLE DISCRETA (DATOS
CUANTITATIVOS DISCRETOS)
VARIABLE CONTINUA (DATOS
CUANTITATIVOS CONTINUOS)

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1.-DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA
VARIABLE CUALITATIVA (DATOS CUALITATIVOS)
La distribución de frecuencias para este tipo de datos
contiene :
1.- Variable o característica
2.- Frecuencia absoluta, frecuencia relativa y porcentaje.
El grafico adecuado es el circular, aunque también se usa
la barra o bastones
Variable (Xi) Frecuencia Absoluta (fi) Frecuencia Relativa (hi) Porcentajes ( % )
X1 f1 h1 %
X2 f2 h2 %
X3 f3 h3
:
:
Xm fm hm %
TOTALES n = ∑ fi 1.0000 100%

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Ejemplo: Se seleccionan a 60 estudiantes de la facultad de Ingeniería y se le
pregunta su especialidad, las respuestas que se obtienen son las siguientes:
C E C C M M I M E M M E E M M I I C C C
C C M C E C I I C E F F F E I F F I C E
C M M E E C M E I F M M I E F I I C C C
Leyenda: C= Civil, E= Electrónica, I= Industrial, F = Informática, M=
Mecatrónica.
a) Se pide formar la distribución de frecuencias.
b) Gráficos circular de frecuencia absoluta y frecuencia relativa.
c) Dar el valor y significado de f2 y h4.
d) Graficar una barra porcentual
e) Grafico barras de frecuencia absoluta.

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2.- DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLE
DISCRETA
Variable
Frec.
Absoluta
Frec.
Relativa
FRECUENCIAS ACUMULADAS
Xi fi hi Fi Hi F´i H'i
X1
X2
X3
Xm
TOTAL n = 1.0000

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GRÁFICOS : Barras o bastones para ( fi y hi) y las escaleras
para las acumuladas.
Ejemplo.- A un grupo de estudiantes de ingeniería se le pregunta sobre
el número de cursos aprobados y las respuestas son las siguientes:
a) Se pide formar la distribución de frecuencias
b) Graficar la frecuencia absoluta y frecuencia relativa
c) Formar la distribución de frecuencias relativas.
d) Graficar una escalera porcentual
e) Formar la distribución de frecuencias absolutas
f) Dar valor y significado de f2 , h4, F3 , F´4 H’3
g) Graficar la frecuencia absoluta acumulada creciente
3 2 3 5 6 1 3 2 5 6 4 6 1 2 3 4
2 3 6 4 2 4 2 4 5 2 3 3 4 2 3 2
5 5 4 3 3 4 6 1 2 3 4 3 5 4 6 4

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3. DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA
VARIABLE CONTINUA
Intervalos
Marca
Clase
Frec.
Absoluta
Frec.
Relativa
Frecuencias Acumuladas
X'i-1 - X'i Xi fi hi Fi Hi F'i H'i
Total ´N = 1.0000

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INTERVALOS
Tipos de intervalos: -
 Cerrados [ ]
 Semicerrados : Por la derecha ( ] y por la izquierda [ )
Tipos de Límites.-
 Límites Aparentes (cuando los intervalos son cerrados)
 Límites Reales de Clase (cuando los intervalos son
semicerrados)
PROCESO DE OBTENCIÓN DE LOS INTERVALOS:
I.- Determinar: El número menor (X min) y El número mayor (X máx.)
II.- Calcular el Rango o Recorrido ( R ) Donde R = X máx. - X min
III.- Determinar el número de intervalos ( m )
3.1 Regla de Sturgen: m = 1 + 3.322 log n
3.2 Empírico: m = n
PROPIEDAD.- “ m “ siempre es un número entero

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IV.- Calcular la Amplitud ( C ) de cada intervalo
También se le conoce como distancia de cada intervalo C = R / m
Propiedad de La amplitud.- Su magnitud debe ser igual al de los
datos originales. ( Xmin y X máx.)
V.- Corrección ( D )
Formula: D = (m)*(C ) – R
D > 0. Satisface la amplitud ( C) y el numero de intervalos ( m) y la
diferencia se reparte equitativamente en los extremos ( X min y X
máx.)
D < 0. Se tiene que efectuar 2 correcciones.
En D1 solo se corrige la amplitud ( C corregido)
En D2 solo se corrige el número de intervalo ( m
corregido)
De los 2 se escoge el que tiene el valor menor.
D = 0 . Satisface la amplitud ( C) y el número de intervalos ( m) y se
forma los intervalos con los Xmin y X max originales.

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GRÁFICOS : Histogramas y polígonos de frecuencias para ( fi y hi)
Ojivas para las acumuladas ( Fi , Hi, F´i , H´i )
EJEMPLO.- Los siguientes datos corresponden a los pesos de 45
alumnos y los resultados fueron los siguientes:
60 75 68 76 70 72 78 58 65 73 79 67 67 59 62
67 53 68 72 90 75 79 87 83 85 69 69 72 79 71
72 75 61 63 74 63 73 81 75 79 59 71 84 73 84
a) Elaborar la distribución de frecuencias (usando la regla de sturgen)
b) Graficar un histograma de frecuencia absoluta
c) Graficar un polígono de frecuencia absoluta
d) Graficar un polígono porcentual
e) Formar una distribución de frecuencias absolutas
f) Graficar una ojiva porcentual
g)Graficar una ojiva de frecuencia absoluta decreciente
h) Dar valor y significado a f3, h5, H4, H´2

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Son tablas donde se presenta en forma ordenada dos características de
cada individuo o elementos que se desee estudiar o investigar.
* Por ejemplo: edad y peso; estatura y peso; número de hijos y nivel
educativo de los padres; edad y estado civil; producción y venta etc.
Cada frecuencia es un par ordenado (x , y)
Una variable es independiente ( X ) (se ubica en el eje horizontal)
y la otra variable es dependiente ( Y ) (se ubica en el eje vertical)
Existen 4 cuadros de distribución bidimensional de frecuencias
1.- Distribución Bidimensional de frecuencias absolutas (fxy)
2.- Distribución Bidimensional de frecuencias relativas (hxy)
3.- Distribución Bidimensional de frecuencia absoluta acumulada
(Fxy), No tiene marginales
4.- Distribución Bidimensional de frecuencias relativa acumulada
(Hxy), No tiene marginales
DISTRIBUCIONES CON DOS ( 2 ) VARIABLES
DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES DE FRECUENCIAS

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1.- DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL DE FRECUENCIAS
ABSOLUTAS (fxy). (Tiene marginales)
Donde:
(f x .) es marginal de la variable X
(f . y) es marginal de la variable Y
´n = es el número total de pares ordenados
Y X X1 X2 ... XJ f .y
y1 f11 f21 ... fj1 fy1
y2 f12 f22 ... fj2 fy2
f13 f23 fj3 fy3
f14 f24 fj4 fy4
yk f1k f2k ... fjk fyk
f x. fx1 fx2 fxj n

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2.- DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL DE
FRECUENCIAS RELATIVAS (hxy). (Tiene marginales)
Donde:
(hx .) es marginal de la variable X
(h . y) es marginal de la variable Y
∑hxy = 1.0000
Y X X1 X2 ….. Xj h .y
Y1 h11 h21 ….. hj1 hy1
Y2 h12 h22 ….. hj2 hy2
h13 h23 ….. hj3 hy3
h14 h24 ….. hj4 hy4
Yk h1k h2k ….. hjk hyk
h x . hx1 hx2 ….. hxk 1

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2018 -

27
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1.- Media Aritmética
2.- Mediana
3.- Moda
4.- Cuantilas
4.1. Cuartil
4.2. Decil
4.3. Percentil

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1.- MEDIA ARITMÉTICA
Es el promedio de un conjunto de datos (o Punto de Equilibrio).
Se denota por “x raya” = ( X )
PARA DATOS NO TABULADO.-
La media aritmética es la suma de todos los valores de los datos
de la muestra dividida por el número total de datos (n)
_
FORMULA: X = ∑Xi
n
Ejemplo:
Los valores que se detallan corresponden a las cantidades cursos matriculados
por 12 alumnos.: 3, 7, 6, 2, 5, 4, 4, 5, 7, 2, 3, 3. Calcular la media aritmética del
número de cursos matriculados y exprese su significado e indique el tipo de
variable y el tipo de dato.

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PARA DATOS TABULADOS.-
Es la sumatoria del producto de la variable con la
frecuencia dividida por el número total de datos (n).
FORMULA: _
X = ∑Xifi
n
Ejemplo: En la siguiente distribución de frecuencias con seis
intervalos de clase se muestran las ganancias en miles de soles
de un grupo de empresas de Lima.
Ganancia 12.5-17.5 17.5-22.5 22.5-27.5 … … …
Empresas 8 12 10 14 18 13

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PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA
P1.- La unidad de medida de la Media Aritmética es la misma que la
unidad de las observaciones.
P2.- La Media Aritmética es influenciada por todos los valores de la serie
de datos.
P3.- Si a cada valor de los datos, se le suma o resta una constante, la media
aritmética del nuevo conjunto es igual a la media aritmética original más ó
menos la constante. ____ _____
Es decir: X + K = X + K
P4.- Si a cada valor del conjunto de datos, se le multiplica por una
constante, la media aritmética del nuevo conjunto es igual la Media
Aritmética original multiplicado por la constante.
____ ____
Es decir: X*K = K* X

31
P5.- La suma algebraica de las desviaciones de cada valor de la
variable con la media aritmética es igual a cero.
_
∑ ( Xi - X) = 0
P6.- Dado dos (2) conjuntos de datos, cada uno con un número de
observaciones, se puede obtener la Media Total, mediante la
siguiente formula.
_
XT = ∑ni*xi.
∑ni

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Es un valor central, ya que divide a la distribución en dos partes
iguales, cada parte tiene el valor de 50%.
Se denota: Md
PARA DATOS NO TABULADOS (pocos datos)
Se obtiene de la siguiente forma:
1) Ordenar los valor de menor a mayor
2) Hay que determinar si el número de datos es:
IMPAR.- ( n = impar). Entonces Md = X(n+1)/2
PAR.- ( n = par ) Entonces Md =1/2( X(n/2) + X(n+2)/2 )
Ejemplos:
Los pesos de ciertas cajas de un almacén se detallan a
continuación: 55, 62, 72.5, 48, 60, 68, 44, 82, 79, 64.5, 53, 49.7.
Calcule su mediana y dar su significado.

33
PARA DATOS TABULADOS
a) SIN INTERVALOS
1. Calcular la Frecuencia Acumulada ( Fi )
2. Posición de la mediana ( n/2)
3. Hallar el FJ (que es el valor inmediatamente superior a la
posición de la mediana)
4. Hallar el FJ-1 (valor anterior al FJ)
5. Comparar el FJ-1 con n/2,
y se tiene 2 condiciones: (<) o (=)
Entonces: Md = X J cuando es FJ-1 < n/2
Entonces: Md = ½ (X J + X J-1) cuando es FJ-1 = n/2

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b) CON INTERVALOS
1. Calcular la Frecuencia Acumulada (Fi)
2. Posición de la mediana (n/2)
3. Hallar el FJ
4. Hallar el FJ-1
5. Hallar el lJ (es el límite real inferior de la recta del FJ)
6. Calcular la amplitud ( CJ ) del intervalo de la recta de FJ
Aplicar la FORMULA.-
Md = lj + (n/2 – Fj-1) * Cj
(Fj – Fj-1 )

35
3.- MODA
Se denota “Mo” y se define de acuerdo ha como se presente
los datos:
Para DATOS NO TABULADOS
Es el valor de la variable que se repite más veces
Ejemplo:
Para DATOS TABULADOS:
a) SIN INTERVALOS
Es el valor de la variable que tiene la frecuencia más alta
Ejemplo:
b) CON INTERVALOS
Es el valor de la variable donde tiende a concentrarse mas la
información y se obtiene con la siguiente FORMULA.
Mo = lmo + _ ( ∆1 __)_*Cmo
(∆1 + ∆2 )
Ejemplo: hoja adicional de problemas

36
4.- CUANTILAS
4.1- CUARTILES
Se denota “Qi ”
Son tres ( 3 ) números que dividen a la distribución en cuatro
partes iguales.
Valor de cada parte es de 25 %.
POSICION para datos NO TABULADOS
i (n +1) /4
Posición para datos tabulados es:
(in/4) donde (i = 1, 2,3)
FORMULA: .- Qi = lj + (in/4 – Fj-1) * Cj
( Fj – Fj-1 )
Ejemplo: Hoja adicional de problemas

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4.2.- DECILES
• Se denota “Di”
• Son nueve (9 ) números que dividen a la distribución en
10 partes iguales.
• El valor de cada parte es de 10 %
La posición para datos tabulados es:
(in / 10) donde ( i = 1,2,......,9)
FORMULA.-
Di = lj + (in/10 – Fj-1) * Cj
( Fj – Fj-1 )
Ejemplo:
Hoja adicional de problemas

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4.3-PERCENTILES
• Se denota Pi
• Son noventa y nueve (99) números que dividen a la
distribución en 100 partes iguales.
• El valor de cada parte es 1 %
La posición para datos tabulados es:
(in / 100 ) donde ( i= 1,2,....., 99 )
FORMULA: .-
Pi = lj + _(in/100 – Fj-1)_ * Cj
(Fj – Fj-1 )
Ejemplo:

39
MEDIDAS DE
DISPERSION
Lic. América Campomanes Morán
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES
2018-I

40
MEDIDAS DE DISPERSION
(También conocida como medidas de Variación). Tiende a
medir el grado en que los datos numéricos tienden a
extenderse alrededor de un valor central
• VARIANZA
• DESVIACION ESTANDAR
• RANGO SEMIINTERCUARTILICO
• COEFICIENTE DE VARIACION

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I.- VARIANZA
Se denota con “ V(X)”
se define: “COMO LA MEDIA ARITMÉTICA DEL CUADRADO DE LAS
DESVIACIONES DE LOS DATOS CON RESPECTO A LA MEDIA ARITMÉTICA DE
ESOS DATOS”.
Es el grado promedio de dispersión al cuadrado.
FORMULAS:
1.- Para DATOS SIN TABULAR _
V(x) = ∑(Xi – X)2
n
2.- Para DATOS TABULADOS _
V(x) = ∑(Xi – X)2 * fi
n
Ejemplo:

42
PROPIEDADES
1.- La varianza siempre es un número NO NEGATIVO
V (X) ≥ 0
2.- La varianza de una constante es igual a cero
V (K) = 0 donde K = constante
3.- Si a cada valor de la serie de datos se le SUMA O RESTA una constante; la
varianza de la nuevas serie de datos, es igual a la varianza original.
V ( X ± K ) = V(X) + V (K) = V(X)
4.- Si a cada valor de la serie de datos se le multiplica una constante; la varianza
de la nueva serie de datos es igual a la varianza original multiplicado por la
constante al cuadrado.
V ( X *K ) = K2 V(X)
5.- Dado dos series de datos donde se conoce la media aritmética y la varianza
de cada serie se puede calcular la varianza de las dos series mediante la
siguiente formula:
VT = ∑ni*Vi.
∑ni

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2.- DESVIACION ESTÁNDAR
Se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Da un grado promedio simple de variación (Dispersión)
La unidad de medida es la misma que la de los datos
observados
FORMULAS:
DATOS SIN TABULAR ___________
S(x) = √ ∑(Xi – X)2
n
DATOS TABULADOS ______________
S(x) = √ ∑(Xi – X)2 * fi
n
Ejemplo: Hoja adicional de Problemas

44
PROPIEDADES
1.- Es siempre un valor positivo
2.- Es influenciado por todos los valores de la serie de datos.
3.- Mayor influencia ejerce los valores extremos que los que
están cerca del promedio.
4.- Si la distribución es normal o ligeramente asimétrica se
cumple_ la siguiente relación:
X + S = 68.23% = 68%
X + 2S = 95.46% = 95%
X + 3S = 99.73% = 99.7
CORRECCION DE SHEPPARD
Se usa solo para datos agrupados con intervalos de
amplitudes iguales. El factor es (C2 / 12)
y su formula V corregida = V(x) – C2
12

45
3.- RANGO (DESVIACION) SEMIINTERCUARTILICA
• Mide la dispersión entre el 50% de los valores
centrales
• No esta afectada por los valores extremos
• Una desviación semiintercuartilica baja, indica
una pequeña variación entre el 50% de los datos
centrales
• Se denota con RS
RS = ( Q3 – Q1)
2

46
4.- COEFICIENTE DE VARIACIÓN ( C.V.)
SE USA PARA COMPARAR DOS O MÁS MUESTRAS.
Significa el número de veces que supone la desviación
típica (estándar) con respecto a la media aritmética.
Generalmente se expresa en porcentaje
Es independiente de la unidad de medida en que están
expresados los datos.
Es mejor o aceptable la tiene menor coeficiente de
variación.
C.V. = ( _S_ )*100
X
Ejemplo:
Hoja adicional de Problemas

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2018-I
MEDIDAS DE ASIMETRIA

48
MEDIDAS DE ASIMETRIA
Nos indica la deformación horizontal de la distribución
Es simétrica cuando su curva es igual a una campana, la
media aritmética, mediana y moda coinciden. Grafico.
Tiene asimetría positiva (a la derecha).- si su ramificación
es extendida hacia la derecha o hacia los valores
mayores. Grafico:
Tiene asimetría negativa (a la izquierda).-si la ramificación
es extendida hacia la izquierda o hacia los valores
pequeños. Grafico
MEDIDAS
1. Primer Coeficiente de Pearson
2.- segundo coeficiente de Pearson
3.- Media Asimétrica

49
1.- PRIMER COEFICIENTE DE PEARSON
Se denota A1, nos indica el sesgo de la distribución
Se usa cuando la distribución es unimodal (Una Moda)
Formula: _
A1 = (X – Mo)
S
Propiedades:
A1 = 0 la distribución es simétrica
A1 > 0 la distribución tiene sesgo positivo ó esta
sesgada a la derecha.
A1 < 0 la distribución tiene sesgo negativo ó está
sesgada a la izquierda.

50
2.- SEGUNDO COEFICIENTE DE PEARSON
Se denota con A2, nos indica el sesgo de la distribución
Se usa cuando se tiene más de una moda o en
distribuciones que no tengan moda.
Formula: _
A2 = 3 * ( X – Md)
S
Propiedades:
A2 = 0 la distribución es simétrica
A2 > 0 la distribución tiene sesgo positivo ó esta
A2 < 0 la distribución tiene sesgo negativo ó está

51
3.- MEDIA ASIMETRICA
Se denota con ¨Asq¨
Se usa cuando los intervalos no tienen definidos los
límites de los intervalos. Casos especiales de
distribuciones.
Formula:
Asq = ( Q1 + Q3 – 2*Q2)
(Q3 – Q1)
Propiedades:
Asq = 0 la distribución es simétrica
Asq > 0 la distribución tiene sesgo positivo ó esta
Asq < 0 la distribución tiene sesgo negativo ó está

52
2018-I
• DIAGRAMA DE DISPERSION

53
MEDIDAS DE ANALISIS DE 2 VARIABLES
• DIAGRAMA DE DISPERSION
• COEFICIENTE DE CORRELACION
• RECTA DE REGRESION DE MINIMOS
CUADRADOS.
• OTRAS

54
I.- DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN.-
Es la representación gráfica de los datos en el sistema de
coordenadas (x , y), además de determinar la relación que existe
entre las dos variables, también nos puede indicar el tipo de
tendencia de los elementos.
TIPOS DE RELACION.-
Relación directa
A medida que aumenta los valores de “x” también
aumentan los valores de “y” (es decir tiene una forma
ascendente). Gráfico:
Relación Inversa
A medida que los valores de “x” son pequeños los valores
de “y” son grandes y viceversa. (Su forma es
descendente).Gráfico:

55
Relación nula
Cuando los valores de “X” e “Y” están dispersos sin
coordinación. Gráfico:
Relación Directa Perfecta
Cuando los valores de “X” e “Y” todos caen en una recta
ascendente. Gráfico
Relación Inversa Perfecta
Cuando los valores de “X” e “Y” todos caen en una recta
descendente. Gráfico:

56
II. COEFICIENTE DE CORRELACION
Es el estadígrafo que mide el grado de relación que existe entre dos
variables que están relacionadas entre si.
Se denota por “ r ”
El coeficiente de correlación siempre esta dentro de un intervalo:
[ - 1 < r < + 1 ]
PROPIEDADES:
a) Si r > 0 existe relación directa
b) Si r < 0 existe relación inversa
c) Si r = 0 existe relación nula
d) Si r = 1 existe relación directa perfecta
e) Si r = -1 existe relación inversa perfecta
l
La Información se dice que es confiable o consistente cuando el
r > 0.6 ; r < - 0.6

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FORMULA PARA DATOS NO TABULADOS
r = . n∑XY - ∑X∑Y .
√[n∑X2 – (∑X)2][n∑Y2 – (∑Y)2]
___
r = C(X , Y) donde C(X,Y) = ∑XY - XY
S(x) S(y) n
FORMULA PARA DATOS TABULADOS
___
r = C(X , Y) donde C(X,Y) = ∑XYfxy - XY
S(x) S(y) n

58
III.-RECTA DE REGRESION DE MINIMOS CUADRADOS
Nos permite estimar o predecir valores futuros o anteriores o
aquellos valores que no están definidos dentro de la serie de
datos.
Existen dos rectas de regresión:
1.- Recta de Regresión de Y sobre X
2.- Recta de Regresión de X sobre Y
Recta de Regresión de Y sobre X
La ecuación es
ŷ = a + b (x)
Donde:
b = N ∑XY - ∑X ∑Y
[n∑X2 – (∑X)2]
_ _
a = Y – (b ) X

59
Recta de Regresión de X sobre Y
La ecuación es
X* = a + b (y)
Donde:
b =. n∑XY - ∑X∑Y
[n∑Y2 – (∑Y)2]
a = X – (b) Y
Ejemplo:
Hoja adicional de Problemas

60
ESTIMAR DATOS QUE SIGUEN SERIE DE TIEMPO
Se tiene que cambiar las variables tiempos (años, meses o días) por
números naturales en forma consecutiva. (Ejem: 1, 2, 3,4,…,
etc.).
La variable tiempo se considera como (X).
Ejemplo:
• 2011
a) Estime la producción para el año 2016
b) Estime en que año la producción será de 5.8 toneladas métricas.
c) Grafique las 2 rectas. Sobre el diagrama de dispersión.
d) Grado de relación de los años y producción.
e) Calcular el valor promedio de la producción.
Años 2010 2011 2012 2013 2014 2015
Ventas 3.3 3.9 4.7 4.1 4.9 5.2

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