Este documento presenta información sobre estadística y probabilidades. Se divide en cinco unidades que cubren estadística descriptiva, probabilidades, intervalos de confianza, pruebas de hipótesis y regresión lineal. Incluye conceptos básicos, métodos para tabular y graficar datos, medidas de tendencia central y dispersión, y distribuciones de probabilidad discretas y continuas.

1. ESTADISTÍCA Y
PROBABILIDADES
Editado Por
G. Aaron Estuardo Morales
C h i l e 2 0 1 2 admin2766@gmail.com

2. Indice
Contenido Página
Unidad Nº1: Estadística Descriptiva
Introducción 3
Estadística: conceptos previos 4
Variables 6
Tabulación de datos:
a) cualitativos 7
b) cuantitativos 8
Representación gráfica 17
Medidas de tendencia central:
a) Media aritmética 39
b) Mediana 38
c) Moda 40
Medidas de dispersión:
a) Rango 45
b) Desviación media 46
c) Varianza 47
d) Desviación estándar 50
Criterio de homogeneidad 52
Autoevaluación 56
Unidad Nº2: Probabilidades
Elementos de probabilidades 58
Concepto de probabilidad en espacio finito equiprobable 60
Axiomas de probabilidad 60
Probabilidad condicional 69
Teorema de Bayes 78
Eventos independientes 83
Variables aleatorias 86
Distribución discreta de probabilidades 87
Distribución continua de probabilidades 89
Esperanza 94
Varianza 94
Distribuciones discretas:
Bernuolli 102
Binomial 103
Hipergeométrica 108
Distribución Poisson 113
Distribución continua:
Normal 117
Normal estándar 118
Problemas de aplicación 122
1

3. Autoevaluación 1 128
Autoevaluación 2 131
Unidad N°3: Intervalos de Confianza
Inferencia estadística 134
Estimación de parámetros 134
Estimación por intervalo 134
Intervalo de confianza para la media de una población normal:
a) conocida su varianza 135
b) desconocida su varianza 140
Intervalo de confianza para la varianza de una población normal 144
Autoevaluación 148
Unidad N°4: Pruebas de Hipótesis
Pruebas de hipótesis 150
Pruebas de unilaterales y bilaterales 152
Pruebas de hipótesis para:
a) la media si se conoce su varianza 153
b) la media si se desconoce su varianza 158
c) la varianza 164
Autoevaluación 169
Unidad Nº5: Regresión Lineal
Diagrama de dispersión 171
Método de mínimos cuadrados 173
Recta de los mínimos cuadrados 174
Coeficiente de correlación lineal 179
Análisis de residuos 186
Autoevaluación 191
2

4. Unidad N°1: Estadística Descriptiva
Introducción
La Estadística, nace de las necesidades reales del hombre. La variada y cuantiosa información
relacionada con éste y que es necesaria para la toma de decisiones, hace que la estadística sea hoy, una
importante herramienta de trabajo.
Entre las tareas principales de la Estadística, está el de reunir la información integrada por un
conjunto de datos, con el propósito de obtener conclusiones válidas del comportamiento de éstos, como
también hacer una inferencia sobre comportamientos futuros.
En cuanto al uso y la aplicación, puede decirse que abarca todo el ámbito humano encontrándose
en las relaciones comerciales, financieras, políticas, sociales, etc. siendo fundamental en el campo de la
investigación y en la toma de decisiones.
Es así también como en el área de las empresas de servicio y manufactura es posible realizar un
análisis profundo del proceso estadístico al control de la productividad y de la calidad.
3

5. Estadística
Es el conjunto de métodos y procedimientos que implican recopilación, presentación, ordenación
y análisis de datos, con el fin que a partir de ellos puedan inferirse conclusiones.
Pueden distinguirse dos ramas diferentes en Estadística:
c Estadística Descriptiva, la cual es la que se utiliza en la descripción y análisis de conjuntos de
4
datos o población.
c Inferencia Estadística, la cual hace posible la estimación de una característica de una
población, o la toma de una decisión con respecto a una población, con base únicamente en resultados
muestrales.
Conceptos de elementos utilizados en el análisis estadístico
1) Población o Universo: Conjunto completo de individuos, objetos, o medidas los cuales poseen
una característica común observable y que serán considerados en un estudio.
2) Muestra: Es un subconjunto o una porción de la población.
3) Variable: Característica o fenómeno de una población o muestra que será estudiada, la cual
puede tomar diferentes valores.
4) Datos: Números o medidas que han sido recopiladas como resultado de la observación.
5) Estadístico: Es una medida, un valor que se calcula para describir una característica a partir de
una sola muestra.
6) Parámetro: Es una característica cuantificable de una población.

6. Recopilación de Información
La Estadística Descriptiva tiene como función el manejo de los datos recopilados en cuanto se
refiere a su ordenación y presentación, para poner en evidencia ciertas características en la forma que sea
más objetiva y útil.
Una población o universo objeto de una investigación estadística puede ser finita si sus
elementos se pueden contar. Por ejemplo, número de alumnos de un curso.
Una población o universo es infinita cuando no es finita. En Estadística, el sentido del término
población infinita se refiere a una población con un número tan grande de elementos que no le es posible al
investigador someter a medida cada uno de ellos.
Cuando se miden cualitativamente las características de una población, resultan categorías que
deben ser exhaustivas, es decir, que se pueda clasificar a toda la población, y también deben ser
mutuamente excluyentes, es decir, un mismo elemento no puede pertenecer simultáneamente a dos o más
categorías. Por ejemplo, sexo de una persona: masculino o femenino.
Una muestra debe cumplir ciertas condiciones, de aquí surge el concepto de muestra aleatoria
que es aquella obtenida de modo que cada elemento de la población tiene una oportunidad igual e
independiente de ser elegido.
La investigación estadística es toda operación orientada a la recopilación de información sobre
5
una población.
La investigación puede ser tan simple como la recopilación de datos estadísticos obtenidos de
informaciones provenientes de fuentes oficiales a nivel institucional o de publicaciones de organismos
altamente especializados en estas materias, o tan complejas que requiera de la colaboración de especialistas
en diferentes materias, como ocurre en los censos de población de un país.
Se denomina variable a fenómenos o características que son medidas en algún tipo de
investigación estadística.

7. Variables
Es muy probable que un especialista en Estadística que realiza una encuesta desee desarrollar un
instrumento que le permita hacer varias preguntas y manejar diversos fenómenos o características. A estos
fenómenos o características se les denomina variables aleatorias.
Según la forma en que se expresen las variables, se dividen en:
1) Variables Cualitativas: son aquellas que pueden expresarse sólo en forma de atributo.
Ejemplo:
1) Estado civil :
c soltero
c casado
c viudo
c separado
2) Satisfacción con un producto:
c muy insatisfecho
c regularmente insatisfecho
c neutral
c satisfecho
c muy satisfecho
3) Tamaño de un tablero :
c grande
c mediano
c pequeño
2) Variables Cuantitativas, son aquellas variables que pueden expresarse en forma numéricaÀ Se
6
dividen en discretas y continuas.
2.1) Variables Cuantitativas Discretas, son respuestas numéricas que surgen de un proceso de
conteo, siendo siempre un número entero.
Ejemplos :
1) Número de asignaturas inscritas en el primer semeste.
2) Número de integrantes del grupo familiar.
3) Número de salas de clases del IPVG.
2.2) Variables Cuantitativas Continuas, son respuestas numéricas que surgen de un proceso de
medición, las cuales pueden tomar valores entre dos números enteros.
Ejemplo :
1) Estatura
2) Temperatura
3) Peso

8. Tabulación de los datos
En los experimentos estadísticos los datos recolectados pueden corresponder a una población o
muestra. En ambos casos los procedimientos de resumen de datos son análogos y designaremos por:
5 ~ Tamaño de la población estudiada
~ Tamaño de la muestra (parte de la población)
Con el objeto de realizar un mejor estudio de los datos es necesario organizar éstos, mediante el
7
uso de distribuciones de frecuencia.
Una distribución de frecuencia es una tabla resumen en la que se disponen los datos divididos en
grupos ordenados numéricamente y que se denominan clases o categorías.
A) Tabulación de datos cualitativos
La construcción de una distribución de frecuencia de atributos o distribución de frecuencia de
variable cualitativa es simple, basta enumerar los diversos atributos con su respectiva frecuencia de
ocurrencia.
Frecuencia absoluta : ² ³ indica el número de veces que se repite un atributo.
Ejemplo:
Considérese una muestra trabajadores de una cierta empresa de la región los cuales han sido
encuestados sobre su actual estado civil. La información es tabulada de la siguiente manera:
Estado Civil
Soltero
Casado
Viudo
Separado
Total
~ (tamaño de la muestra)
~ (número de clases)

9. B) Tabulación de variable cuantitativa
Distinguiremos dos casos:
B.1) Tabulación de variable discreta (que toma un conjunto pequeño de
8
datos distintos)
Las tablas de frecuencia de variable discreta llevan cinco columnas donde los elementos que
participan son los siguientes:
a) Frecuencia absoluta : ² ³ indica el número de veces que se repite una variable.
b) Tamaño de la muestra : ² ³ indica la cantidad de elementos que conforman la muestra, se
obtiene sumando todas las frecuencias absolutas.
~ ~ número de clases distintas
~
c) Frecuencia relativa : ² ³ es la proporción de datos que se encuentra en una clase, se obtiene
dividiendo la frecuencia absoluta de la clase por el tamaño de la muestra.
Obs:
~ a) ~
b)  
d) Frecuencia absoluta acumulada : ² - ³ indica la cantidad de datos que se encuentran hasta
cierta clase.
- ~
~
e) Frecuencia relativa acumulada : ²/ ³ es la proporción de datos acumulados que se
encuentran hasta cierta clase.
Obs:
/ ~ a) / ~
~
b)  / 
Ejercicio
Una empresa que tiene trabajadores se propone reestructurar las remuneraciones, se estudia los
años de servicio de los trabajadores determinándose los siguientes resultados:

15. 9
5 ~ (tamaño de la población)
Se pide:
À c Tabular la información.
À c ¿ Qué cantidad de trabajadores tiene

16. años de servicio ?.
À c ¿ Qué porcentaje de trabajadores tiene
años de servicio ?.
À c Si aquellos trabajadores que tengan a lo menos siete años de servicio reciben un aumento del

17. % .¿ Qué porcentaje de los trabajadores recibió dicho aumento?.
À c Si todos los trabajadores que tengan a lo más cinco años de servicio reciben una bonificación
de $À .¿ Qué cantidad de trabajadores recibió dicha bonificación?.
À c Si la empresa decide otorgar una bonificación especial de $À por cada año de servicio.¿
Cuánto será el dinero necesario para cumplir dicha bonificación?.
Solución
À c
Años de servicio
Total
- /
Á

18. Á

20. Á
Á
Á

21. Á
Á
Á

23. Á
Á

25. Á Á
Á
À c Ocho trabajadores tienen

26. años de servicio
À c El

27. % de los trabajadores tiene
años de servicio.
À c El

28. % de los trabajadores recibió el aumento de sueldo.
À c trabajadores recibieron la bonificación.
À c $ À
À
se necesitan para la bonificación por año de servicio.

29. B.2) Tabulación de variable continua o discreta
Para tabular una variable continua o discreta (que tome un gran número de datos distintos) se
10
necesitan los siguientes elementos:
a) Rango o recorrido : Es la diferencia entre el valor máximo y valor mínimo que toma la
variable.
9 ~ %máx c %mín
b) Número de intervalos o clases () : Es el número de grupos en que es posible dividir los
valores de la variable.
El número de clases no debe ser ni muy grande ni muy pequeño, un número pequeño de clases
puede ocultar la naturaleza general de los datos y un número muy grande puede ser demasiado detallado
como para revelar alguna información útil. Como regla general se recomienda que el número de clases esté
entre cinco y veinte. Hay una regla llamada Regla de Sturges que puede dar una aproximación razonable
para el número de clases, ella es:
~ b Á ²³ donde es el número de datos de la muestra.
c) Amplitud del intervalo o amplitud de la clase () :
Recorrido
N° de clases ~ ~
9
d) Límites de un intervalo : Son los valores extremos de una clase. El menor valor es considerado
como el límite inferior y el valor que se obtiene sumando al límite inferior la amplitud del intervalo es el
límite inferior de la segunda clase.
e) Límites reales de un intervalo : Se obtienen calculando el promedio entre el límite superior de
una clase y el límite inferior de la clase siguiente.
f) Marca de clase : ² % ³ Es el punto medio de un intervalo.
g) Frecuencia absoluta : ² ³ indica el número de observaciones que pertenece a un intervalo
dado.
Observación: ~ ~ tamaño de la muestra
~

30. h) Frecuencia relativa : ² ³ es la proporción de datos que se encuentra en un intervalo, se
determina dividiendo la frecuencia absoluta del intervalo por el tamaño de la muestra.
Obs:
11
~
i) Frecuencia absoluta acumulada : ² - ³ indica el número de datos de la muestra menores o
iguales al límite real superior del intervalo .
- ~ - ~
~
j) Frecuencia relativa acumulada : ²/ ³ indica la proporción de datos de la muestra menores o
iguales al límite real superior del intervalo .
/ ~
~
Observación: Existe más de un método para construir una tabla de distribución de frecuencias, a
continuación se presentan dos formas de construirla:
Ejemplo
Los siguientes datos corresponden a las notas obtenidas por alumnos en un curso de
Estadística ¢

38. À c Construya la correspondiente distribución de frecuencia.
À c ¿En qué clase se concentra el mayor número de notas?
À c ¿Cuál es la frecuencia absoluta del cuarto intervalo?. Interprete el resultado .
À c ¿Qué porcentaje de los alumnos tienen una nota inferior a ?

39. À c ¿Cuántos alumnos tienen una nota superior a
?
À c Interprete la frecuencia acumulada del sexto intervalo.
À c Interprete la frecuencia relativa acumulada del quinto intervalo.
12
Solución:
9 ~ c ~

40. ~
~ b Á ²³ ~ Á
˜

42. ~ ~ Á
˜
À c Notas Límites reales % - /
c
Á c
Á Á Á Á
c
Á c
Á Á Á Á
c
Á c
Á Á Á

43. Á

44. c
Á
c
Á Á
Á
Á
c
Á c
Á
Á Á
Á
c
Á c
Á Á Á
Á
c

45. Á c

46. Á

47. Á Á

48. Á

49. c

50. Á c
Á
Á
Á
Á
c
Á c
Á Á Á Á
Total Á
À c El mayor número de notas se concentra en el quinto intervalo, que coresponde al intervalo
entre c
.
À c La frecuencia absoluta del cuarto intervalo es
. Esto nos indica que son
los alumnos que
tienen una nota entre c
.
À c El % de los alumnos tiene una nota inferior a .
À c El

51. % de los alumnos tiene una nota superior a
.
À c Existen
alumnos con nota inferior a .
À c El
% de los alumnos tiene una nota inferior a
.

52. Ejercicios
1) Los siguientes datos corresponden al sueldo (en miles de pesos) de trabajadores de una
13
empresa ¢

53. a) Construya la tabla de frecuencia con todos sus elementos.
b) ¿En qué clase se encuentra el mayor número de trabajadores?.
c) ¿Qué porcentaje de trabajadores gana entre $ 139.000 y $ 168.000 ?.
d) ¿Cuántos trabajadores ganan a lo menos $ 159.000 ?.
e) ¿Cuántos trabajadores ganan a lo más $ 148.000 ?.
2) En una industria es necesario realizar un estudio respecto al peso de engranajes de gran tamaño.
Los siguientes datos corresponden al peso, en kilógramos, de de estas piezas, que poseen las mismas
dimensiones, pero distinta aleación.

54. a) Construir una tabla de frecuencias de amplitud comenzando desde
À
b) ¿Cuántos engranajes pesan entre
y Kg.?.
c) ¿Qué porcentaje representa a aquellos engranajes cuyo peso es inferior a 1 Kg.?.
d) ¿Cuál es la frecuencia relativa para aquel intervalo cuya marca de clase es

55. ?.
e) ¿Qué porcentaje representa a aquellas piezas que pesan más de Kg. ? .
3) En una industria automotriz es necesario realizar un estudio debido a una partida defectuosa de
discos de embrague. Para ello se ha recopilado la siguiente información referente a la duración en horas de
de ellos.

57. a) Construir una tabla de frecuencia de amplitud cinco comenzando desde

58. À
b) ¿Cuántos discos duraron entre
y
horas?.
c) ¿Cuántos discos no alcanzaron a durar horas?.
d) ¿Qué porcentaje representan los discos que duraron entre y horas?.
e) ¿Qué porcentaje representan los discos que duraron menos de horas?.
f) ¿Cuántos discos duraron más de
horas?.
g) ¿Cuántos discos duraron menos de horas?.
h) ¿Qué porcentaje representan los discos que duraron entre

59. y
horas?.
i) ¿Cuál es el intervalo de mayor frecuencia absoluta?.

60. 4) En un conjunto habitacional se pretende hacer un estudio del número de personas que
consumen productos enlatados. Los datos que han sido obtenidos de 50 bloques del conjunto habitacional
son ¢

61. a) Construir una tabla de fecuencia de amplitud partiendo desde
À
b) ¿Cuántas personas consumen entre y
productos enlatados ?.
c) ¿Qué porcentaje representa a las personas que consumen menos de
productos enlatados?.
d) ¿Qué cantidad de personas consumen más de

62. productos enlatados?.
5) Las ganancias por acción de 40 compañías de la industria de la construcción son:
Á
Á Á Á Á Á Á Á
Á Á Á Á Á Á Á Á
Á Á

63. Á
Á Á Á Á Á

64. Á
Á Á Á
Á
Á Á

65. Á
Á Á Á
Á Á Á Á Á
a) Construya una distribución de frecuencias que comience en Á y tenga una amplitud de Á
b) ¿Cuál es la frecuencia absoluta del tercer intervalo?. Interprete el resultado .
c) ¿Qué porcentaje de las compañías tienen a lo más una ganancia de
Á ?
d) ¿Cuántas compañías tienen una ganancia a lo menos de Á ?
e) Interprete la frecuencia acumulada del segundo intervalo.
f) Interprete la frecuencia relativa acumulada del cuarto intervalo.
14

66. 15
Solución
1)a) 9 ~
c
~
5 ~
~ b Á ! ~
Á

67. ˜
~ ~
Á ˜
Sueldo Límites reales % - /
c

68. Á c

69. Á Á Á Á
c

70. Á c

71. Á Á Á Á
c

72. Á

73. c

74. Á Á Á
Á
c

75. Á c

76. Á Á
Á Á

77. c

78. Á c

79. Á
Á Á Á

80. c

81. Á c

82. Á Á Á
Total
b) En la tercera clase se encuentra el mayor número de trabajadores.
c) 67,5 % de los trabajadores gana entre $139.000 y $ 168.000
d) 7 trabajadores ganan a lo menos $ 159.000
e) 24 trabajadores ganan a lo más $ 148.000
2) a) Peso Límites reales % - /
c Á c Á

83. Á Á
c Á c Á Á

84. Á
c Á c Á

85. Á Á
c Á c
Á
Á
Á
c
Á c
Á

86. Á
Total
b) 11 engranajes pesan entre 46 y 55 kilos.
c) El 77 % de las piezas pesan menos de 51 kilos.
d) La frecuencia relativa es 0,17
e) El 23 % de las piezas pesa más de 50 kilos.

87. 3) a) Duración Límites reales % - /

88. c

89. Á c

90. Á

91. Á

92. Á

93. c

94. Á c
Á

95. Á
Á
c
Á c
Á
Á
16
Á
c
Á c Á Á
Á

96. c
Á c
Á Á Á

97. c
Á c Á Á
Á
c
Á c
Á Á
Á

98. c
Á c Á
Á
Á
c
Á c
Á Á

99. Total
b) 13 discos duraron entre 290 y 299 horas.
c) 22 discos no alcanzaron a durar 300 horas.
d) El 6 % de los engranajes duraron entre 300 y 314 horas.
e) El 58 % de los engranajes duraron menos de 305 horas.
f) 16 engranajes duraron más de 309 horas.
g) 29 engranajes duraron menos de 305 horas.
h) El 16 % de los engranajes duraron entre 285 y 294 horas.
i) El primer intervalo.
4) a) Nº de personas - /
c
Á Á
c
Á

100. Á

102. c

103. Á Á

104. c

105. Á
Á
c
Á

106. Á
c
Á

107. Á
c

108. Á
Á

109. c
Á
Total
b) 18 personas consumen entre 100 y 129 productos enlatados.
c) El 28 % de las personas consume menos de 90 productos enlatados.
d) 41 personas consume más de 79 productos enlatados.
5) a) Ganancias Límites Reales % - /
Á c Á Á c Á Á Á Á
Á c Á Á c Á Á Á Á
Á c
Á Á c
Á Á
Á Á
Á c

110. Á
Á c

111. Á Á Á
Á

112. Á c Á

113. Á c Á
Á Á Á
Total Á
b) La frecuencia absoluta del tercer intervalo es , es decir, existen compañías cuyas ganancias
están entre Á y
Á por acción.
c) El
Á % de las compañías tienen a lo más una ganancia de
Á por acción.
d) compañías tienen a lo menos una ganancia de Á por acción.
e) compañías tienen una ganancia igual o menor a Á por acción.
f) El
Á % de las compañías tienen una ganancia por acción de a lo más

114. Á .

115. Representación Gráfica
Su objetivo es captar la información obtenida en los datos en forma rápida por cualquier persona,
así cada representación debe llevar un título adecuado.
Las normas en la construcción de un gráfico estadístico son similares a los de gráficos de
funciones, las variables independientes, se ubican en las abscisas y las dependientes en las ordenadas.
Tipos de gráficos
a) Gráfico circular: se usan para mostrar el comportamiento de las frecuencias relativas,
absolutas o porcentuales de las variables. Dichas frecuencias son representadas por medio de sectores
circulares, proporcionales a las frecuencias.
Departamento %
A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
E (5)
Total

116. 17
Pe rso n al p o r De p ar tame n to
1
15%
2
28%
3
33%
4
15%
5
9%
1
2
3
4
5

117. b) Pictograma: es un gráfico cuyo uso es similar al de sector circular, pero la frecuencia es
representada por medio de una figura o dibujo que identifique a la variable en estudio. Este gráfico se
utiliza para mostrar producciones en una serie cronológica.
Por ejemplo, Alumnos del Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez:
18
~ alumnos
1996:
1997:
1998:
1999:
2000:
2001:

118. c) Gráfico lineal: se utiliza para mostrar las frecuencias absolutas o relativas de una variable
discreta, son representadas mediante líneas verticales proporcionales a dichas frecuencias.
19
%

119. Total
%

120. d) Gráfico de barra: Se utiliza para representar tablas de frecuencia con atributos o con
variables discretas y pocos valores. Sobre un eje horizontal se construyen bases de rectángulo del mismo
ancho cada uno correspondiente a una modalidad del atributo, sobre estas bases se levantan rectángulos
cuya altura es proporcional a la frecuencia absoluta de la modalidad. El espacio entre ellas debe ser
uniforme.
20
Departamento
ABC
DE
Total
Personal por Departamento
140
120
100
80
60
40
20
0
A B C D E
Departamento
Frecuencia

121. e) Histograma: es el gráfico adecuado cuando los datos están ordenados en tablas con intervalos,
es decir, para datos de variables continuas. También el histograma es una conformación de rectángulos,
pero uno al lado de otro cuya área es proporcional a la frecuencia de cada intervalo. Los extremos de la
base de cada rectángulo son los límites reales del intervalo.
21
Límites Reales
Total
Á c

122. Á

124. Á c Á
Á c
Á
Á c Á
Á c Á
Á c

125. Á

126. HISTOGRAMA
12
10
8
6
4
2
0
8,5 12,5 16,5 20,5 24,5 28,5
4,5 8,5 12,5 16,5 20,5 24,5
Límites Re a les
Frecuencia Absoluta

127. f) Polígono de frecuencia: este gráfico sirve para mostrar la tendencia de la variable, se puede
determinar a partir de un histograma uniendo los puntos medios superiores de cada rectángulo del
histograma. También, se determina el polígono uniendo los puntos formado por la marca de clase con la
frecuencia absoluta del intervalo respectivo.
22
Límites reales
Total
%
Á c

128. Á
Á

130. Á c Á Á
Á c
Á Á
Á c Á

131. Á
Á c Á Á
Á c

132. Á
Á

133. Polígono de F recuencias
12
10
8
6
4
2
0
2,5 6,5 10,5 14,5 18,5 22,5 26,5 30,5
M arcas de Clase s
Fre cue ncia Absoluta

134. Observación: El polígono de frecuencias se convierte en polígono de frecuencias relativas,
cambiando la frecuencia absoluta por la frecuencia relativa, en este caso, el área bajo el polígono de
frecuencias relativas es igual a .
23
Histograma y Polígono de Frecuencias
Histograma y Polígono de Frecuencias
12
10
8
6
4
2
0
Límites Reales
Frecuencia Absoluta

135. e) Ojiva: es un gráfico que se usa para mostrar como se acumulan las frecuencias absolutas,
relativas o porcentuales. Se obtiene al unir los puntos formados por los límites superiores de cada intervalo
con la frecuencia absoluta o relativas acumuladas del intervalo respectivo. Si se consideran las frecuencias
porcentuales acumuladas se llama ojiva porcentual.
24
Límites reales
Total
% -
c

139. c

140. c
c

141. c
c

142. Ojiva
40
36
32
28
24
20
16
12
8
4
0
4 8 12 16 20 24 28
Límites Super iore s
Frecuencia Acum ulada

143. 25
Ejercicios
1) Dada la información referente a la ubicación de personas dentro de cuatro departamentos de
una empresa, se pide ¢
a) Tabular la información.
b) Realizar gráfico circular.
c) Indique frecuencias relativas porcentuales en cada grupo.
M A P CC A CC M P P M
P CC M A M CC P P M P
A P A M M A M A P M
M A CC A A M P M M P
donde ¢ A ~ abastecimiento ; CC ~ control de calidad ; M ~ mantención ; P ~ producción.
2) Se realizó un número determinado de compras de materia prima. El volumen de la materia
prima viene dado en m3.Parte de la información se registra en la siguiente tabla ¢
Volumen Límites reales
Total
% - /
c
c
c
c

144. c
a) Complete la tabla dada.
b) En un sólo gráfico, dibuje un histograma y un polígono de frecuencia.
c) ¿Cuántas compras se realizaron entre y m3?.
d) ¿Cuántas compras se realizaron entre
y m3?.
e) ¿Qué porcentaje de compras se realizaron entre
y m3?.
f) ¿Cuántas compras se realizaron en total?.

145. 3) Los siguientes datos corresponden a la duración, en horas, de válvulas que fueron sometidas
26
a un cierto control.
Tiempo Límites reales
Total
% - /
c
c
c
c
c
c
c
a) Complete la tabla dada.
b) Grafique la ojiva
c) ¿Qué porcentaje de las válvulas duraron, en promedio
Á horas?.
d) ¿Qué porcentaje de las válvulas duraron entre
y
horas?.
e) ¿Cuántas válvulas duraron menos de horas?.
f) ¿Qué porcentaje de las válvulas duraron más de
horas?
4) Se realizaron dos experimentos referente al peso, en Kg., aplicado sobre una cierta cantidad de
tableros.
Peso(Kg.) A B
c
c
c

146. c

147. c
c
Total
a) Grafique el histograma del experimento A.
b) Grafique la ojiva porcentual del experimento B.
c) Realice, en un mismo gráfico, los polígonos de frecuencia.
d) Realice, en un mismo gráfico, las ojivas.

148. 5) Dado el siguiente Polígono de Frecuencias:
Pesos de los Alumnos de C . C ivil
27
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5
Pe so (Kg.)
N° Alumnos
a)¿Cuáles son los límites reales del cuarto intervalo?.
b) Interprete la frecuencia del cuarto intervalo.
c) Interprete el porcentaje de datos que hay en el quinto intervalo.
d) ¿Qué porcentaje de pesos es igual o menor que
Á Kg.?.
e) ¿Cuántos pesos son iguales o mayores que Á Kg.?.

149. 28
Solución
1) a) Departamento
A
CC
MP
Total
b) Gráfico Circular
Personal por Departamento
A
25%
CC
13%
M
34%
P
28%
A
CC
M
P
c) Departamento %
A
CC
MP
Total
À
À
À
À

150. 2) a) Volumen % - / Límites reales
c

151. À À À c À
c À À À c À
c

152. À
À À c À
c
À

153. À
À c À
c

154. À À
À c À
Total À
29
b) Histograma y Polígono de Frecuencia
Compras de Materia Prima
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
3 8 13 18 23 28 33
Marcas de Clases
Frecuencia Absoluta
c) Entre 11 y 30 m3 se realizaron 26 compras
d) Entre 16 y 25 m3 se realizaron 15 compras
e) Entre 16 y 20 m3 se realizaron un porcentaje de 22,2 % de compras
f) En total se realizaron 27 compras

155. 3) a) Tiempo % - / Límites reales
c
Á Á

156. Á

157. Á c
Á
c
Á Á
Á

158. Á c
Á
c
Á Á Á
30
Á c
Á
c
Á Á Á
Á c
Á
c
Á Á
Á
Á c
Á
c
Á Á
Á

159. Á c
Á
c
Á Á Á
Á c
Á
Total Á
b) Ojiva
Dura ción Vá lvula s
60
50
40
30
20
10
0
449,5 499,5 549,5 599,5 649,5 699,5 749,5 799,5
Lím ite s Supe r iore s
Frecue ncia Acum ulada
c) 30 % de las válvulas duraron en promedio 674,5 horas
d) 36 % de las válvulas duraron entre 650 y 749 horas
e) 9 válvulas duraron menos de 550 horas
f) 38 % de las válvulas duraron más de 649 horas

160. 31
4) a) Histograma
Experimento A
12
9
6
3
0
19,5 24,5 29,5 34,5 39,5 44,5
14,5 19,5 24,5 29,5 34,5 39,5
Límites Reales
Frecuencia Absoluta
b) Ojiva Porcentual
Experimento B
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
14,5 19,5 24,5 29,5 34,5 39,5 44,5
Límites Superiores
Fre c. Acum. Porc.

161. 32
c) Polígonos de Frecuencia
Experimento A y B
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
12 17 22 27 32 37 42 47
Marcas de Clase s
Frecuencia
Ser ie 1 Ser ie 2
Serie 1 ~ Experimento A Serie 2 ~ Experimento B
d) Ojivas
Experimento A y B
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
14,5 19,5 24,5 29,5 34,5 39,5 44,5
Límites Superiores
Frecuencia Acumulada
Serie1 Serie2
Serie 1 ~ Experimento A Serie 2 ~ Experimento B

162. 5) a) Los límites reales del cuarto intervalo son Á c

163. Á
b)
alumnos de C. Civil tienen pesos que van desde kilos hasta

164. kilos
c)

165. % de los alumnos pesan más de

166. Á kilos y menos de
Á kilos
d) El % de los pesos de los alumnos es igual o menor que
Á kilos
e) alumnos pesan a lo menos Á Kg.
33

167. Medidas de tendencia central y de dispersión
En todo análisis y/o interpretación se pueden utilizar diversas medidas descriptivas que
representan las propiedades de tendencia central, dispersión y forma para extraer y resumir las principales
características de los datos. Si se calculan a partir de una muestra de datos, se les denomina estadísticos; si
se les calcula a partir de una población se les denomina parámetros.
Medidas de tendencia central
La mayor parte de los conjuntos de datos muestran una tendencia a agruparse alrededor de un
punto central y por lo general es posible elegir algún valor que describa todo un conjunto de datos. Un
valor típico descriptivo como ese es una medida de tendencia central o posición. Las medidas de
tendencia central a estudiar son: media aritmética, mediana y moda.
Media aritmética
La media aritmética ( también denominada media ) es la medida de tendencia central que se
utiliza con mayor frecuencia. Se calcula sumando todas las observaciones de un conjunto de datos,
dividiendo después ese total entre el número total de elementos involucrados.
La media aritmética de un conjunto de valores %Á %Á ÀÀÀÁ % se define como el cuociente entre la
suma de los valores y el número de ellos. Su símbolo es % si la media aritmética es de una muestra y si la
media aritmética es de una población.
a) Para datos no agrupados:
% b % b ÀÀÀ b % %
; tamaño de la muestra
Media muestral: % ~ ~ ~
5
% b % b ÀÀÀ b % %
5
34
~
Media poblacional: ~ ~ ; 5 ~ tamaño de la población
5 5
~
Ejemplo ¢ Calcular la media aritmética de los siguientes datos relacionados con las notas de test en
Estadística obtenidas por un cierto alumno:
Á

168. Á
Á Á Á
b

169. b
b b b
% ~ ~ Á š
El promedio de test es puntos.

170. % b % b ÀÀÀ b % % %
35
b) Para datos agrupados:
Si los datos están ordenados en tablas de frecuencia la media aritmética se obtiene como sigue ¢
Muestra Población
% ~ ~ ~
b
b ÀÀÀ b 5 ~ ~
donde: % es la marca de clase del intervalo i-ésimo
es la frecuencia del intervalo i-ésimo
es el número de datos de la muestra y 5 es el número de datos de la población
es el número de intervalos
Ejemplo ¢ Calcular la media aritmética para el peso de trabajadores, según tabla adjunta:
Peso (Kg.)
Total
% %
c

171. Á
Á
c
Á
Á
c

172. Á

173. c

175. Á Á

176. c
Á Á

178. %

180. % ~ ~ ~ Á š
~
El peso promedio de los trabajadores es de kilos
Propiedades de la media aritmética
Propiedad 1 ¢ La media aritmética de una constante es igual a la constante.
% ¢ % % % À À À %
valores ¢ À À À
b b b ÀÀÀ b
% ~ ~ ~
Por lo tanto, % ~

181. Propiedad 2 ¢ La media aritmética de una variable más una constante es igual a la media
% b b % b b ÀÀÀ b % b
36
aritmética de la variable más la constante.
% ¢ % % % À À À %
¢ % b % b % b À À À % b
~
~
~
²% b ³
~ ~
! ! !
~
% b % b % b ÀÀÀ b % b
%
~ b
~
~ % b
Propiedad 3 ¢ La media aritmética de una variable por una constante es igual al producto de la
constante por la media de la variable.
% ¢ % % À À À %
' ¢ % % À À À %
' ~
% b % b ÀÀÀ b %
~
²% b % b ÀÀÀ b %³
~ %
Propiedad 4 ¢ Media Ponderada
% ~
% h b % h b À À À b % h
b b À À À b

182. Ventajas y desventajas del uso de la media aritmética:
Ventajas Desventajas
- Estable muestra a muestra - No aplicable a atributos
- Fácil cálculo e interpretación - Influyen en su valor los valores extremos
Á
h b
Á h b Á
h
Á

183. 37
Ejemplos:
1) De un grupo de contribuyentes se determinó que el promedio de impuestos es de $32.200.
Determinar en cada uno de los siguientes casos, la nueva media aritmética:
a) Los impuestos aumentan en un 2 %
b) A los impuestos se les disminuye la cantidad de $2.300
c) A cada contribuyente, se le disminuye un 3 % y además se le condona $2.550
Solución:
1) a) % ~ À h Á ~ À

184. La nueva media aritmética es $ À

185. b) % ~ À c À ~
À
La nueva media aritmética es $
À
c) % ~ À h Á
c À ~

186. À

187. La nueva media aritmética es $

188. À

189. 2) En tres cursos de un mismo nivel los promedios de las calificaciones fueron Á
Â
Á y Á
Â
si los cursos tenían respectivamente  y
alumnos, determine la calificación promedio de los tres
cursos.
Solución:
% ~ ~ ~ Á

190. š Á
b b
El promedio de las calificaciones de los tres cursos es Á

191. Mediana
La mediana es el valor que se encuentra en el centro de una secuencia ordenada de datos. La
mediana no se ve afectada por observaciones extremas en un conjunto de datos. Por ello, cuando se
presenta alguna información extrema, resulta apropiado utilizar la mediana, y no la media, para describir el
conjunto de datos.
Su símbolo es 4.
a) Mediana para datos no agrupados
Se deben ordenar los datos de forma creciente o decreciente. Para muestras con un número par de
observaciones, la mediana es el dato que queda en el centro de dicha ordenación y para muestras con
número impar de observaciones la mediana es el promedio de los dos datos centrales.
Ejemplos ¢
1) Para muestra con número impar de datos: 4 ~ ? b

193. ? b ? b
b
38
datos ¢ Á Á Á
Á Á Á
datos ordenados ¢ Á Á Á Á
Á Á ¬ 4 ~ ? b ~ ? ~
2) Para muestra con número par de datos: 4 ~
? b ?
b
datos ¢ Á Á Á
Á Á Á Á
datos ordenados ¢
Á Á Á Á Á Á Á
? b ?
4 ~ ~ ~ ~ Á
b) Mediana para datos agrupados
c -
c
8 9
4 ~ 3 b h
donde: es el primer intervalo cuya frecuencia acumulada supera a
3 es el límite real inferior del intervalo de la mediana.
es el número de datos.
-c es la frecuencia acumulada anterior al intervalo de la mediana.
es la frecuencia absoluta del intervalo de la mediana.
es la amplitud del intervalo.