Estadística descriptiva

Autor: Abel Barrantes Herrera Página 1
Tema : Estadística Descriptiva
Estadística Descriptiva
La Estadística Descriptiva es la parte de la estadística que trata de la colección,
organización, análisis e interpretación de los datos.
Colección de datos es el proceso de obtener información por medidas o
conteos o clasificaciones. La conclusiones serán validas si los datos son
representativos y la colección se ha hecho de manera correcta.
Organización de los datos es el proceso de presentar los datos en una forma
apropiada para poder analizarlos y llegar a conclusiones lógicas. Los métodos
más representativos de presentar los datos son tablas y gráficos
Análisis de los datos es el proceso de extraer información relevante a partir
de la cual podamos formular una clara descripción de su comportamiento.
Interpretación de los datos es la tarea de derivar conclusiones basadas en el
análisis de los datos y que usualmente incluye predicciones acerca de un gran
conjunto de datos basados en el estudio de una pequeña parte de ellos.
Colección de datos: Población y Muestra
Población o universo es la totalidad de elementos que tienen una determinada
característica susceptible de ser estudiada. Por ejemplo :
a) La población de todas las cuentas de ahorro del Banco de la Nación
b) La población de los glóbulos rojos de un paciente del IPSS
c) La población de la pesca anual de anchoveta en los puertos del litoral
peruano
Muestra es el conjunto de datos (observaciones), extraído de población; la
muestra es un subconjunto de la población.
La distinción entre muestra y población depende del objeto del estudio, así si
se desea estudiar la estatura de los alumnos de secundaria del distrito del
Rimac, entonces las mediciones de todos los alumnos de ese distrito
constituyen una población, pero si el estudio se realiza para toda Lima
Metropolitana, esas mediciones constituyen una muestra.
Dato estadístico.- Son medidas fruto de observaciones que pueden ser
comparados, analizados e interpretados. Un número aislado que no tenga
relación significativa con otros números, o que no pueda ser comparado con
otros números no es un dato estadístico.
Clasificación de variables
1. Variables cualitativas.- son aquellas cuyos valores son categorías de
clasificación referidas a una cualidad de la población por ejemplo la
variable “Sexo” puede asumir los valores: Masculino ó Femenino; la
variable “Clase social” puede asumir los valores: Alta, Media, Baja. Estas
variables se subdividen en:
a) Variables cualitativas nominales.- Cuando sólo se cuenta el número
de observaciones de cada categoría y no hay ningún orden en las
posibles modalidades, por ejemplo “Color de cabello” con sus
posibles modalidades: Negro, Castaño, Rubio, etc.

b) Variables cualitativas ordinales.- donde no solo se clasifica sino que
se ordena en términos del grado que posee una característica,
ejemplo: “Grado de Instrucción”con las posibles modalidades
Primaria, Secundaria, Superior
2. Variable cuantitativas.- se obtienen de mediciones o conteos y se
subdividen en:
a) Variable discretas.- que toman valores aislados y son susceptibles
de ser contados. Ejemplo número de pacientes ambulatorios en un
hospital del IPSS, Número de aviones que llegan a un aeropuerto en
un día dado, Número de accidentes de tránsito en una ciudad
durante un periodo de tiempo dado
b) Variables continuas.- que si asumen dos valores cualquiera, asumen
todos los valores intermedios. Ejemplo: peso de los estudiantes de
ingeniería de la UTP, Estatura de los alumnos de secundaria de
Lima Metropolitana, etc.
Organización de los datos
La presentación de los datos es una forma importante de ayudarnos a
comprenderlos e interpretarlos correctamente. Dos métodos son los mas
comunes de presentar los datos cuantitativos, uno de ellos son los cuadros ó
tabulaciones y el otro son los gráficos y diagramas. La representación de los
datos por cualquiera de estos métodos esta orientada sobre todo a la mejor
comprensión de la información en análisis.
Métodos de presentación de datos
Ejemplo de tabulación 1: las notas de un examen rendido por 150m alumnos
son mostrados en el cuadro 1:
Nota 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18
Alumnos 3 9 12 18 25 26 21 15 11 4 4 2
CUADRO 1
Esta tabla puede graficarse como un diagrama de barras
0
5
10
15
20
25
30
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18
N°deAlumnos
Notas
GRAFICO 1

Supongamos ahora que tenemos las tierras de cultivo en hectáreas de los
siguientes departamentos
Departamento Tierra de Cultivo
1000Ha
Tumbes 1360
Piura 1840
Lambayeque 1570
Cajamarca 1970
La Libertad 2100
Gráfico de barras
Grafico de sectores
0 500 1000 1500 2000 2500
Tumbes
Piura
Lambayeque
Cajamarca
La Libertad
1000Ha
Tierras de Cultivo

ANÁLISIS DE LOS DATOS
El análisis de los datos pasa necesariamente por determinar un “centro” de los
datos y que tan juntos o distantes están los datos entre si, es decir que tan
dispersos están los datos. Las medidas de centralización y dispersión
responden a diversos criterios que veremos a continuación.
Los datos de una variable discreta aparecen 1 2, , , nx x x dato por dato, ó
indicando cuantas veces se repite cada dato 1 1 2 2( , );( , ); ;( , )k kx f x f x f donde los
if indican las veces que se repite el i-ésimo dato y se denomina como
Frecuencia Absoluta
Si
1
k
i
i
n f

  , (total de los datos), al cociente i
i
f
h
n
 lo denominamos frecuencia
relativa, cumpliéndose
1
1
k
ih 
Definimos adicionalmente las frecuencias acumuladas:
1
l
l i
i
F f

  Frecuencia absoluta acumulada, hasta el dato lx ;
1
l
l i
i
H h

  Frecuencia relativa acumulada, hasta el dato lx
En este caso los datos se tabulan mostrando las frecuencias. Para el caso del
ejemplo 1 tenemos:
i
Nota
ix
Frecuencia
Absoluta
if
Frecuencia
Absoluta
Acumulada iF
Frecuencia
Relativa
ih
Frecuencia
Relativa
Acumulada iH
1 06 3 3 0.020 0.020
Tierras de Cultivo
Tumbes
Piura
Lambayeque
Cajamarca
La Libertad

2 07 9 12 0.060 0.080
3 08 12 24 0.080 0.160
4 09 18 42 0.120 0.280
5 10 25 67 0.167 0.447
6 11 26 93 0.173 0.620
7 12 21 114 0.140 0.760
8 13 15 129 0.100 0.860
9 14 11 140 0.073 0.933
10 15 4 144 0.027 0.960
11 16 4 148 0.027 0.987
12 18 2 150 0.013 1.000
Σ 150 1.000
Los datos de una variable continua aparecen agrupados en clases de manera
que cada clase se representa por un intervalo cerrado a la izquierda , abierto a
la derecha cumpliéndose que 1 1 2 2[ , ) [ , ) [ , )k ka b a b a b   cubre todos los
datos. La frecuencia absoluta if de un intervalo es el número de datos que
cumplen con i ia x b 
Para cada intervalo ó clase definimos:
il : Límite inferior de la clase i
iL : Límite superior de la clase i
2
i i
i
l L
x

 : Marca de la clase i (punto medio del intervalo)
i i iC L l  Ancho de la clase i
if : frecuencia absoluta de la clase i, siendo
1
k
i
i
n f

 
i
i
f
h
n
 : frecuencia relativa de la clase i, se cumple que
1
1
k
ih 
1
l
l i
i
F f

  Frecuencia absoluta acumulada de la clase l
1
l
l i
i
H h

  Frecuencia relativa acumulada de la clase l
Ejemplo de datos agrupados. Sean las notas de un examen :
Notas Frecuencia

90 –99 2
80-89 6
70-79 12
60-69 20
50-59 10
40-49 2
Para tabular estos datos es necesario modificar los intervalos conforme a lo
definido anteriormente.
Los nuevos intervalos serán:
[39.5,49.5); [49.5,59.5);[59.5,69.5);....[89.5,99.5)
Definidos los límites de cada clase es posible formar el cuadro de frecuencias
Cuadro De Frecuencias ó Histograma de frecuencias
i
Límite inf.
De Clase
il
Límite Sup.
De Clase
iL
Marca de
Clase
ix
Frecuencia
Absoluta
if
Frecuencia
Absoluta Ac.
iF
Frecuencia
Relativa
ih
Frecuencia
Relativa Ac
iH
1 39.5 49.5 44.5 2 2 0.04 0.04
2 49.5 59.5 54.5 10 12 0.20 0.24
3 59.5 69.5 64.5 18 30 0.36 0.60
4 69.5 79.5 74.5 12 42 0.24 0.84
5 79.5 89.5 84.5 6 48 0.12 0.96
6 89.5 99.5 94.5 2 50 0.04 1.00

0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5
GRAFICO DE BARRAS - FRECUENCIAS ABSOLUTAS

Medidas de Centralización.- Las medidas de centralización buscan ubicar un
punto central entre los datos analizados. La determinación de este punto se
hace por diversos criterios:
1. Media Aritmética
1
1 n
ix x
n
  para datos no agrupados
1
1 n
i ix f x
n
  para datos agrupados
1
1
1 k
i ik
i
x f x
f
 

para datos agrupados en k clases, donde ix es
la marca de clase
Propiedades:
(i)
1
( ) 0
n
i if x x 
(ii) Para un conjunto de datos la media es única
(iii) Si un valor se modifica la media también se modifica
(iv) 2 2
1 1
( ) ( )
n n
i i i if x x f x B B     significando que la media
aritmética es el punto que minimiza la suma de los
cuadrados de las distancias de los datos a un punto dado
(v) Si a todos los valores de una variable X se les suma (resta)
una constante C, entonces la media aritmética aumenta
(disminuye) en C
si y x C y x C    
(vi) Si los valores se multiplican por una constante la media
queda multiplicada por dicha constante
si y Cx y Cx  
Ejemplos: sean los datos

Media ponderada.- Si 1 2, , , rx x x son las medias aritméticas
de conjuntos de tamaño 1 2, , , rn n n ; respectivamente, entonces
la media ponderada pX está dada por:
1 1 2 2
1 2
r r
p
r
n x n x n x
X
n n n
  

  
2. Mediana
Para datos sueltos
Si la variables es discreta, se procede a ordenar los datos en forma
ascendente ó descendente y se define
1
2
( ) nMed x x  cuando n es impar
1
2 2
( )
2
n nx x
Med x



Para datos agrupados (la variables es continua ó se considera continua) la
mediana es el punto que divide a los datos en 2 partes iguales 50% antes,
50% después.
Resolveremos el caso de manera genérica, para dividir los datos en 2
partes %p a la derecha, 100 %p a la izquierda. Al número p le llamamos
percentil y lo denominamos por pP .
a) Calcular /100p donde p = 1,2,....,100
b) Se identifica la clase que contiene al percentil analizando su frecuencia
relativa acumulada. Esta clase, a la que denominaremos por k es la que
cumple con:
1 /100k kH p H  
c) Conocida la clase donde se encuentra el percentil, lo calculamos por una
simple regla de tres dividiendo la fracción del percentil contenida en
dicha clase entre la frecuencia relativa de la clase y multiplicando este
cociente por el ancho de clase.
1
1
100
k
p k k
k k
p
H
X l C
H H


 
 
  
  
 

ó también, si deseamos expresarlo en términos de frecuencias absolutas
1
1
*
100
k
p k k
k k
p n
F
X l C
F F


 
 
  
  
 
Donde :
kl es el límite inferior de la clase que contiene a p
n es el numero total de datos
kC es el ancho de la clase que contiene a p
kH es la frecuencia relativa acumulada de la clase que contiene a p
1kH  es la frecuencia relativa acumulada de la clase anterior de la
clase que contiene a p
kF es la frecuencia relativa acumulada de la clase que contiene a p
1kF  es la frecuencia relativa acumulada de la clase anterior de la
clase que contiene a p
Esta fórmula permite calcular la mediana (caso 50P )
Propiedades de la mediana
(i)
1 1
| ( ) | | |
k k
i i i if x Med x f x A A    
(ii) La mediana depende del número de valores observados y no del
tamaño de los valores extremos
(iii) La mediana no es adecuada para operaciones algebraicas
Nota esta fórmula es aplicable a todo los percentil, especialmente a :
Primer cuartil = 25P
Tercer cuartil = 75P
Primer decil = 10P , etc.

3. La Moda
Para el caso de datos sueltos la moda es el dato que mas veces se repite,
puede no ser única.
Una distribución con una moda se denomina unimodal
Una distribución con dos modas se denomina bimodal
Una distribución con tres modas se denomina trimodal, etc.
Para calcular la moda con datos continuos agrupados en clases:
a) Identificar la clase modal Cm (la de mayor frecuencia)
b) Usar la fórmula
1
1 2
( ) m mModa X l C
 
  
   
donde:
ml es el límite inferior de la clase modal
mC es el ancho de la clase modal
1 1Mo Mof f    siendo Mof la frecuencia de la clase modal, 1Mof  la
frecuencia de la clase anterior a la clase modal
2 1Mo Mof f    siendo Mof la frecuencia de la clase modal, 1Mof  la
frecuencia de la clase posterior a la clase modal
Propiedades
(i) El valor de la moda es independiente de los valores extremos
(ii) Varía si cambia el intervalo de clase
(iii) No se presta a manipulaciones algebraicas
Relación entre Media, Mediana y Moda
a) Para el caso
( ) ( )x Med x Moda x 
La distribución es simétrica
b) Para el caso

( ) ( )x Med x Moda x 
La distribución es sesgada a la derecha
c) Para el caso
( ) ( )x Med x Moda x 
La distribución es sesgada a la izquierda
Nota sesgo significa donde está la mayor cola
4. Media Armónica
Si tenemos datos sueltos
1 2, , , kx x x con frecuencias 1 2, , , kf f f definimos la media
armónica por la fórmula
1 2
1 2
1
( ) ;
k
k
k
i
n
Mh x
ff f
x x x
n f

  
 
5. Media Geométrica
La media geométrica para n datos sueltos 1 2, , , nx x x se define por:
1 2( ) * * *n
nMG X x x x
Si los datos están agrupados en frecuencias, entonces
1 2
1 2( ) * * * kff fn
kMG X x x x
donde
1
k
i
i
n f

 
Si aplicamos logaritmos a esta última fórmula
1 1 2 2 1
( )
( ) ( ) ( )
( ( ))
k
i i
k k i
f Log x
f Log x f Log x f Log x
Log MG X
n n
  
 


de donde 1 1
( )
( )
k
i i
i
f Log x
MG X Log
n
 
 
 
 
 
 
 

de donde concluimos que la media geométrica es el antilogaritmo de la
media aritmética de los logaritmos de los datos en análisis.
Propiedades
i. Si
( )
( )
( )
i
i
i
X MG X
Z MG Z
Y MG Y
  
ii. El cálculo está basado en todos los datos u observaciones
iii. No es aplicable a datos negativos
iv. Si uno de los datos es 0 la media geométrica es 0
v. Es de utilidad cuando se aplica para promediar proporciones
NOTA.- la relación entre las medias es: ( ) ( )Mh X MG X X 
6. Media Cuadrática
La media cuadrática para n datos sueltos 1 2, , , nx x x se define por:
2 2 2
1 2
( ) nx x x
MQ X
n
  

Si los datos están agrupados en frecuencias, entonces
2 2 2
1 1 2 2
( ) k kf x f x f x
MQ X
n
  

donde
1
k
i
i
n f

 
Medidas de Dispersión.- Las medidas de dispersión buscan definir que tan
cerca (lejos) se encuentran los datos de su centro.
1. ( ) ( )Rango Max X Min X 
2. Recorrido intercuartílico
3 1iQ Q Q 
3. Recorrido semi-intercuartílico

3 1
2is
Q Q
Q


4. Desviación Media a un punto r
1
( ) | |
k
M i iD r h x r 
En el caso de datos agrupados xi es la marca de clase. Son de interés
los casos cuando r es la media, la mediana, o la moda
Nótese que la Desviación Media usa todos los datos.
5. Varianza
a) Para datos sueltos:
2
2 1
( )
1
n
ix x
S
n




b) Para datos agrupados en frecuencias
2
2 1
( )
1
k
i if x x
S
n




c) Para datos agrupados en k clases
2
2 1
( )
1
k
i if x x
S
n




, donde ix es
la marca de clase
d) Llamamos Desviación Estándar a 22
S S
Propiedades
i) 2
0S  Para que sea 0 es necesario que 1 1 nx x x Cte   
ii) Se tiene
 ( ) ( )Var x c Var x 
Demostración:
( )Media x c x c  
2
1
[( ) ( )]
( )
1
k
i i if x c Media x c
Var x c
n
  
 


2
1
[( ) ( )]
( )
1
k
i i if x c x c
Var x c
n
  
 



2
1
( )
( ) ( )
1
k
i i if x x
Var x c Var x
n

  



2
( ) ( )Var cx c Var x
La demostración es similar usando ( )Media cx cx
iii) 2
( ) ( )Var aX b a Var X  para a y b constantes
iv) Para distribuciones simétricas se cumple que:
 El 68.27% delos datos X S 
 El 95.45% de los datos 2X S 
 El 99.73% de los datos 3X S 
v) Si conocemos 1 2,x x las medias y 2 2
1 2,S S las varianzas de dos
muestras de tamaño n1, n2, respectivamente, entonces:
2 22 2
1 1 2 22 1 1 2 2
1 2 1 2
( ) ( )( 1) ( 1)
1 1
p pn x x n x xn S n S
S
n n n n
    
 
   
Esto se puede generalizar considerando 1 2, , , lx x x las medias y
2 2 2
1 2, , , lS S S las varianzas de l muestras de tamaño 1 2, , , ln n n
respectivamente, entonces
2 2
2 1 1
( 1) ( )
1 1
l l
i i i i pn S n x x
S
n n
 
 
 
 
, siendo
1
l
in n 
2
1
( 1)
var
1
l
i in S
Intra ianza
n




2
1
( )
var
1
l
i i pn x x
Inter ianza
n




Medidas de dispersión relativa
Coeficiente de Variación
. .
S
CV
x


Considerando si . . 50%CV  alto grado de dispersión
Momentos
Sean 1 2, , , kx x x valores de la variable X con frecuencias absolutas 1 2, , , kf f f ;
respectivamente. Definimos el momento de orden m respecto del punto C:
1 1
1
1
( ) ( )
( ) ( )
k k
r r
i i i i k
r
r i ik
i
f x C f x C
M C h x C
n
f
 
   
 


La interpretación es similar a la interpretación física, si consideramos a ih como
la masa concentrada en el punto ix y a ( )ix C la distancia de ix al punto C .
Así tenemos una similitud con los momentos de masa usados en física.
Son de particular interés los momentos respecto del origen (cuando 0C  )
denominados rM y los momentos respecto de la media (C x ) denominados
rM teniéndose:
0 0
1 1
0 0
1 1
1 1
1 1
2 2
1 1
2 2
( )
1 1
( )
0
( )
( )
k k
i i i i
k k
i i i i
k k
i i i i
f x f x x
M M
n n
f x f x x
M x M
n n
f x f x x
M M Var X
n n

    

    

   
 
 
 

Medidas de Asimetría
Las medidas de dispersión nos muestran la magnitud de las variaciones sin
indicarnos la dirección hacia donde ocurren. Las medidas de asimetría indican
la deformación horizontal de las curvas de frecuencias, así sin la curva es
alargada a la derecha decimos que tiene asimetría a la derecha o positiva, si es
alargada a la izquierda decimos que tiene asimetría a la izquierda o negativa.
Coeficientes de Asimetría
Cuando disponemos de los valores de la media, moda, mediana, cuartiles y
desviación estándar y la distribución es unimodal, debemos usar:
Primer coeficiente de Pearson
( ) ( )
s
Media X Moda X
A
S


En el caso que no podamos calcular la media ni la distribución estándar,
Segundo coeficiente de Pearson
3 1
3 1
2 ( )
s
Q Q Mediana X
A
Q Q
 


La lectura de los coeficientes es:
Si 0sA  la distribución es simétrica
Si 0sA  la distribución es sesgada al lado derecho
Si 0sA  la distribución es sesgada al lado izquierdo
Coeficiente de Fisher
3
3 1
3 3
( )
k
i i
s
f x x
M
A
S nS

 

Un valor | | 1kS  indica una distribución altamente asimétrica, una distribución
con 1 | | 1/ 2kS  indica una asimetría moderada, y si 1/ 2 | | 0kS  la
distribución es simétrica
Medidas de Curtosis
Curtosis es el grado de deformación vertical (apuntamiento) esto es que tan
alargadas hacia arriba ó aplanadas son las distribuciones de frecuencias.

Según el grado de apuntamiento las curvas se clasifican en Leptocúrticas, si su
apuntamiento es alto, Mesocúrticas si su apuntamiento es medio y platicúrticas
si son mas bien aplanadas. El siguiente cuadro muestra los tres casos
Una de las medidas de curtosis está dada por el coeficiente
3 1
90 102( )
Q Q
k
P P



donde
Si K > 0.263 la curva de la distribución es leptocúrtica
Si k = 0.263 la curva de la distribución es mesocúrtica
Si k < 0.263 la curva de la distribución es platicúrtica
Otra forma de medir la curtosis es usando 4
4t
M
K
S
 Esta medida es siempre
positiva y se interpreta por
Si 3tK  la curva de la distribución es leptocúrtica
3Q : Cuartil 3° 1Q : Cuartil 1°
90P : Percentil 90 10P : Percentil 10

Si 3tK  la curva de la distribución es mesocúrtica
Si 3tK  la curva de la distribución es platicúrtica

Ejemplos
CALCULO DE MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN
CALCULO DE LA MODA.- Sea el cuadro de frecuencias
De a
Marca de
clase
Frecuencia
relativa
Frecuencia
relativa ac.
Frecuencia
Absoluta
Frecuencia
Absoluta ac.
1 0.50 2.50 1.50 0.02 0.02 4 4
2 2.50 4.50 3.50 0.10 0.12 20 24
3 4.50 6.50 5.50 0.20 0.32 40 64
4 6.50 8.50 7.50 0.16 0.48 32 96
5 8.50 10.50 9.50 0.40 0.88 80 176
6 10.50 12.50 11.50 0.10 0.98 20 196
7 12.50 14.50 13.50 0.02 1.00 4 200
Sumas 1 200
Clase modal : 5ª (la de mayor frecuencia absoluta ó relativa)
Fórmula
1
1 2
( ) m mModa X l C
 
  
   
donde:
ml es el límite inferior de la clase modal 8.5ml 
mC es el ancho de la clase modal 2mC 
1 1Mo Mof f    siendo Mof la frecuencia de la clase modal, 1Mof  la
frecuencia de la clase anterior a la clase modal
1 1 80 32 48Mo Mof f      
2 1Mo Mof f    siendo Mof la frecuencia de la clase modal, 1Mof  la
frecuencia de la clase posterior a la clase modal
2 1 80 20 60Mo Mof f      
1
1 2
48
( ) 8.5 2 9.39
48 60
m mModa X l C
   
       
     

CALCULO DE LA MEDIANA
De a
Marca de
clase
Frecuencia
relativa
Frecuencia
relativa ac.
Frecuencia
Absoluta
Frecuencia
Absoluta ac.
1 0.50 2.50 1.50 0.02 0.02 4 4
2 2.50 4.50 3.50 0.10 0.12 20 24
3 4.50 6.50 5.50 0.20 0.32 40 64
4 6.50 8.50 7.50 0.16 0.48 32 96
5 8.50 10.50 9.50 0.40 0.88 80 176
6 10.50 12.50 11.50 0.10 0.98 20 196
7 12.50 14.50 13.50 0.02 1.00 4 200
Sumas 1 200
Clase Mediana: 5ª (la menor de las clases cuya frecuencia relativa acumulada
es mayor ó igual a 0.5 )
Usamos la fórmula para percentíles recordando que la mediana es el percentil
50 (p = 50)
1
1
100
k
i k k
k k
p
H
p l C
H H


 
 
  
  
 
Donde :
kl es el límite inferior de la clase que contiene a p 8.5kl 
n es el numero total de datos
kC es el ancho de la clase que contiene a p 2kC 
kH es la frecuencia relativa acumulada de la clase que contiene a p
0.88kH 
1kH  es la frecuencia relativa acumulada de la clase anterior de la
clase que contiene a p 1 0.48kH  
1
1
0.50 0.48100( ) 8.5 2 8.6
0.88 0.48
k
k k
k k
p
H
Med X l C
H H


 
   
       
    
 

CALCULO DE LA MEDIA
De a
Marca de
clase
Frecuencia
relativa
Frecuencia
Relativa Ac.
Frecuencia
Absoluta
Frecuencia
Absoluta Ac. Xi*hi
1 0.50 2.50 1.50 0.02 0.02 4 4 0.03
2 2.50 4.50 3.50 0.10 0.12 20 24 0.35
3 4.50 6.50 5.50 0.20 0.32 40 64 1.1
4 6.50 8.50 7.50 0.16 0.48 32 96 1.2
5 8.50 10.50 9.50 0.40 0.88 80 176 3.8
6 10.50 12.50 11.50 0.10 0.98 20 196 1.15
7 12.50 14.50 13.50 0.02 1.00 4 200 0.27
Sumas 1 200 7.9
1 1
1
1 k k
i i i ik
i
x f x h x
f
  

para datos agrupados en k clases,
donde ix es la marca de clase
En este caso 7.9x 

CALCULO DE LAS MEDIDAS DE DISPERSION
De A
Marca
de clase
Frec.
relativa
Frec.
relat. ac.
Frec.
Abs.
Frec.
Abs. ac. *i ix h ix x 2
( )ix x 2
( )i ih x x
1 0.50 2.50 1.50 0.02 0.02 4 4 0.03 -6.40 40.96 0.8192
2 2.50 4.50 3.50 0.10 0.12 20 24 0.35 -4.40 19.36 1.9360
3 4.50 6.50 5.50 0.20 0.32 40 64 1.1 -2.40 5.76 1.1520
4 6.50 8.50 7.50 0.16 0.48 32 96 1.2 -0.40 0.16 0.0256
5 8.50 10.50 9.50 0.40 0.88 80 176 3.8 1.60 2.56 1.0240
6 10.50 12.50 11.50 0.10 0.98 20 196 1.15 3.60 12.96 1.2960
7 12.50 14.50 13.50 0.02 1.00 4 200 0.27 5.60 31.36 0.6272
Sumas 1 200 7.9 6.8800
CALCULO DE LA VARIANZA
2 2
2 1 1
22
( ) ( )
1 1
k k
i i i if x x n h x x
S
n n
S S
 
 
 

 
Siendo S la Desviación Estándar
En este caso 2 200
*6.88 6.91
199
S  
2.63S 
MEDIDAS DE DISPERSIÓN RELATIVAS:
CALCULO DEL COEFICIENTE DE VARIACIÓN
Coeficiente de variación
2.63
. . 33.27%
7.9
S
CV
x
  

PROBLEMAS RESUELTOS
1. La medida de los diámetros de un conjunto de rodamientos está dada
por la siguiente tabla
De A frecuencia
2.35 2.45 7
2.45 2.55 13
2.55 2.65 19
2.65 2.75 23
2.75 2.85 17
2.85 2.95 7
2.95 3.05 4
a) Calcular la media
b) Calcular la mediana
c) Calcular la moda
d) Calcular los cuartiles 1° y 3°
e) Calcular los percentil 90 y 10
f) Evaluar la Asimetría
g) Evaluar la Curtosis
h) Calcular el Coeficiente de Variación
SOLUCION
El cuadro de frecuencias es:
i li Li fi Fi hi Hi Xi Xi*hi fi*(Xi - X)^2
1 2.35 2.45 7 7 0.078 0.078 2.4 0.1872 0.5271
2 2.45 2.55 13 20 0.144 0.222 2.5 0.36 0.3954
3 2.55 2.65 19 39 0.211 0.433 2.6 0.5486 0.1052
4 2.65 2.75 23 62 0.256 0.689 2.7 0.6912 0.0151
5 2.75 2.85 17 79 0.189 0.878 2.8 0.5292 0.2682
6 2.85 2.95 7 86 0.078 0.956 2.9 0.2262 0.3563
7 2.95 3.05 4 90 0.044 1 3 0.132 0.4241
90 1 2.6744 2.0912
a. Para calcular la media podemos usar las fórmulas
1
1
k
i i
k
i
f x
x
f



ó
1
k
i ix h x 
usando la segunda obtenemos: Media(X) = 2.6744

b. Cálculo de la Mediana(X) Fórmula:
1
1
100
k
i k k
k k
p
H
p l C
H H


 
 
  
  
 
i. 50p  ; Clase mediana: 4ª (nótese: 3 40.50H H  )
ii. 2.65kl 
iii. 0.1kC 
iv. 0.689kH 
v. 1 0.433kH  
Mediana(X)=2.676
c. Moda :
1
1 2
( ) m mModa X l C
 
  
   
Clase modal: 4ª
lm = 2.65
1
1
23 19 4
23 17 5
   
   
0.1mC 
Moda = 2.690
d. Rango Intercuartílico
i. p = 25 ; Clase: 3ª
ii. 2.55kl 
iii. 0.1kC 
iv. 0.433kH 
v. 1 0.222kH  
p(25) =2.563
vi. p = 75 ; Clase: 5ª
vii. 2.75kl 
viii. 0.1kC 

ix. 0.878kH 
x. 1 0.689kH  
p(75)=2.782
Rango intercuartílico = 2.782 – 2.563 = 0.219
e. Percentil 90
i. 90p  ;Clase: 6ª
ii. 2.85kl 
iii. 0.1kC 
iv. 0.956kH 
v. 1 0.878kH  
p(90)=2.878
Percentil 10
vi. 10p  ;Clase: 2ª
vii. 2.45kl 
viii. 0.1kC 
ix. 0.222kH 
x. 1 0.078kH  
p(10)=2.878
f. Asimetría.- Se cumple Moda > Mediana > Media, entonces, es
sesgada a la derecha. Nótese que las diferencias entre las
tres medidas son mínimas.
g. Curtosis
3 1
90 102( )
Q Q
k
P P



;
2.782 2.563
0.265
2(2.878 2.465)
k

 

0.263k  la curva es leptocúrtica
h. Coeficiente de variación
Varianza = 2.0912/89 = 0.0235
Desviación estándar = 0.153
Coeficiente de variación = 0.153/2.674 = 5.72%

0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
2.35 2.45 2.55 2.65 2.75 2.85 2.95 3.05
OJIVA

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