Este documento trata sobre diferentes medidas de dispersión estadísticas como el rango, la desviación típica, la varianza y el coeficiente de variación. Explica que estas medidas cuantifican cuán dispersos están los valores de una distribución con respecto a la media y cómo se calculan. También provee ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de cada medida.

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño"
Estadísticas I -OV
Estadística
Profesor : Bachiller:
Pedro Beltrán Kevin Pérez
CI:24861579

2. Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión, también llamadas
medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una
distribución, indicando por medio de un número, si las
diferentes puntuaciones de una variable están muy
alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor
será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea
será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos
o varían mucho entre ellos.

3. Características
• Las medidas de dispersión nos sirven para cuantificar la
separación de los valores de una distribución.
• Llamaremos DISPERSIÓN O VARIABILIDAD, a la mayor o menor
separación de los valores de la muestra, respecto de las
medidas de centralización que hayamos calculado.
• Al calcular una medida de centralización como es la media
aritmética, resulta necesario acompañarla de otra medida que
indique el grado de dispersión, del resto de valores de la
distribución, respecto de esta media.

4. Utilidad
Se utiliza como indicador de la variabilidad de los datos,
muestran la variabilidad de una distribución, indicando por
medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una
variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese
valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más
homogénea será a la media.

5. Rango o recorrido
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos
de una distribución estadística.
Requisitos del rango
• Ordenamos los números según su tamaño.
• Restamos el valor mínimo del valor máximo
• Rango = {(Max - Min)}

6. Ejemplo
Para la muestra (8, 7, 6, 9, 4, 5), el dato menor es 4 y
el dato mayor es 9. Sus valores se encuentran en un
rango de:
Rango = (9-4) = 5

7. Desviaciones típicas
La desviación típica o standard, es la raíz cuadrada, con signo
positivo, de la varianza. Se
representa por S, y tiene la siguiente expresión:
Si operamos, podemos obtener la siguiente expresión, que es
mucho más sencilla de operar, y obtenemos menos error de
redondeo:

8. Características
• La desviación típica es siempre un valor no negativo S será
siempre 0 por definición. Cuando S = 0  X = xi (para todo
i).
• Es la medida de dispersión óptima por ser la más pequeña.
• Si a todos los valores de la variable se le suma una misma
constante la desviación típica no varía.
• Si a todos los valores de la variable se multiplican por una
misma constante, la desviación típica queda multiplicada por
el valor absoluto de dicha constante.

9. Utilidad de la desviación típica
Determinar el promedio aritmético de fluctuación de los
datos respecto a su punto central o media. La desviación
estándar nos da como resultado un valor numérico que
representa el promedio de diferencia que hay entre los datos y
la media. Para calcular la desviación estándar basta con hallar la
raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su ecuación sería:

10. Ejemplo:
El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto
varían los pesos de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por
lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los
productos tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos
respectivamente.
Por lo que su media es:

11. Varianza
Mide la distancia existente entre los valores de la serie y
la media. Se calcula como sumatorio de las diferencias al
cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el
número de veces que se ha repetido cada valor. El sumatorio
obtenido se divide por el tamaño de la muestra.
La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más
se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la
serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor
sea la varianza, más dispersos están.

12. Características de la varianza
• Es siempre un valor no negativo, que puede ser igual o
distinta de 0. Será 0 solamente cuando
• La varianza es la medida de dispersión cuadrática
optima por ser la menor de todas.
• Si a todos los valores de la variable se le suma una constante
la varianza no se modifica. Veámoslo:
• Si a xi le sumamos una constante xi’ = xi + k tendremos
(sabiendo que )
• Si todos los valores de la variable se multiplican por una
constante la varianza queda multiplicada por el
cuadrado de dicha constante.

13. Utilidad de la varianza
Nos permite saber y determinar qué es normal, qué
es grande, qué es pequeño, aquello que es extra grande o
bien aquello que es extra pequeño.

14. Ejercicio
Calcular la varianza de la distribución:
9 , 3 , 8 , 8 , 9 , 8 , 9 , 18.
X = (9+3+8+8+9+8+9+18)/ 8 = 9
2 2 2 2 2 2
= (9-9) + (3-9) + (8-9) + (8-9) + (9-9) + (18-9)/ 8 =15

15. Coeficiente de variación
Las medidas absolutas de dispersión, al no tomar en cuenta el orden
de magnitud de los datos, no proporcionan una información completa sobre su
variabilidad, pues no es lo mismo por ejemplo, una desviación típica de 100 en
unos datos que sean del orden de cientos, que esa misma desviación típica de
100 en unos datos que sean del orden de millones, Resulta obvio que en el
primer caso no existe una variabilidad mucho mayor que en el segundo, a pesar
de que el valor absoluto de dispersión es el de las unidades, pues esto no
impide hacer comparaciones entre conjuntos de datos que tengan diferente
naturaleza.
Para solucionar los inconvenientes que presentan las medidas
absolutas de dispersión, se utiliza al coeficiente de variacion o dispersión
relativa, definido por:

16. Características
• Es un porcentaje de razón entre la desviación típica y la media,
de manera que representa cuantas veces es la desviación
típica con relación a la media. Así por ejemplo, un C.V= 50%
significa que la desviación típica es la mitad de la media, lo
que revela una alta variabilidad
• El C.V es un numero abstracto, es decir sin unidades, pues
tanto S como X vienen en las mismas unidades de los datos, y
al hacer la división se simplifican.
• El C.V no se altera cuando los datos son multiplicados por una
constante, pues en virtud de las propiedades de X y de S
ambos quedan multiplicados por esa constante, sin alterar el
cociente.

17. Utilidad
• Su utilidad radica en que podemos determinar que tanta
variabilidad existe entre dos muestra en las que inclusive la
información no tienen las mismas unidades o se trata de datos
diferentes. En el siguiente ejemplo se muestra la utilidad del
coeficiente de variación

18. Ejemplo:
Dos profesores que imparten diferentes materias a un mismo grupo
deciden investigar como es el coeficiente de variación de en una y otra
materia, para lo cual se obtiene la media y la desviación estándar
respectivamente, por lo que:
Resultados de la materia A: X =6.3 ; SA = 1.2
C.V = 1.2 / 6.3 = 0,190
Resultado de la materia B: X = 8 ; SA = 3
C.V = 3 / 8 = 0,375