estadístico ambiental

SESIÓN 07:
Pruebas de Hipótesis Paramétricas para
parámetros
Pre grado

Pregrado Ingeniería Ambiental
CONTENIDOS/TEMATICA
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES
Pruebas de Hipótesis Paramétricas para parámetros
poblacionales: Media, Proporción y Varianza.
Realiza pruebas de hipótesis paramétricas en el proceso de
investigación.

¿Qué es la hipótesis?
¿Cuál es el
proceso en la
prueba de
hipótesis?
Estadística Aplicada a la Ingeniería
Ambiental
Pruebas de Hipótesis Paramétricas para
parámetros

¿QUE ES UNA
HIPÓTESIS
ESTADÍSTICA?
afirmación suposición
conjetura
Es una afirmación acerca del
parámetro de la población

¿QUE ES UNA
PRUEBA DE
HIPÓTESIS?
Es la parte de la inferencia
estadística que se utilizará para
probar la validez de una
afirmación acerca del valor del
parámetro de la población.

PRUEBA DE HIPOTESIS
HIPÓTESIS
ESTADÍSTICA
REALIZACIÓN DE
UNA HIPÓTESIS
TIPOS DE
HIPÓTESIS
Hipótesis nula
Hipótesis alternativa
PRUEBAS DE
HIPÓTESIS
TIPOS DE
PRUEBAS DE
HIPÓTESIS
Prueba bilateral
o de dos colas
Prueba unilateral
de cola a la
derecha
Prueba unilateral
de cola a la
izquierda
TIPOS DE ERROR
Error tipo I (α)
Error tipo II (β)
REGLA DE
DECISIÓN

TENEMOS DOS TIPOS DE HIPOTESIS QUE SON:
HIPOTESIS NULA
Se denomina hipótesis nula a aquella que es aceptada provisionalmente como verdadera y cuya
validez será sometida a comprobación experimental acerca de un parámetro de la población.
HIPOTESIS ALTERNATIVA
La hipótesis alternativa es una suposición contraria a la hipótesis nula.
Se denomina hipótesis alterna a la hipótesis que se acepta en caso de que la hipótesis nula H0 sea
rechazada.
HIPOTESIS ESTADISTICAS
)
( 0
H
)
( 1
H

TIPOS DE HIPÓTESIS
Hipótesis
Nula Ho
Se supone cierta sin
evidencia estadística =, , ≤
Hipótesis
Alternativa H1
Su veracidad de debe
ser probada con
evidencia estadística
≠, <, >
Contrarias
H0: 𝜇 = 18
H1: 𝜇 ≠ 18
H0: 𝜇≤ 18
H1: 𝜇 > 18
H0: 𝜇18
H1: 𝜇 < 18

1) PRUEBA BILATERAL O DE DOS COLAS
Las hipótesis son de la forma:
2) PRUEBA UNILATERAL DE COLAA LA IZQUIERDA
3) PRUEBA UNILATERAL DE COLAA LA DERECHA
𝐻0: 𝜇 ≥ 𝜇0
𝐻1: 𝜇 < 𝜇0
𝐻0: 𝜇 ≤ 𝜇0
𝐻1: 𝜇 > 𝜇0
𝐻0: 𝜇 = 𝜇0
𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0
T
I
P
O
S
DE
P
R
U
E
B
A
DE
H
I
P
O
T
E
S
I
Punto critico Punto critico
Punto critico
Punto critico
M
E
D
I
A

𝐻0: 𝑃 ≥ 𝑃0
𝐻1: 𝑃 < 𝑃0
𝐻0: 𝑃 ≤ 𝑃0
𝐻1: 𝑃 > 𝑃0
𝐻0: 𝑃 = 𝑃0
𝐻1: 𝑃 ≠ 𝑃0
T
I
P
O
S
DE
P
R
U
E
B
A
DE
H
I
P
O
T
E
S
I
Punto critico
Punto critico
P
R
O
P
O
R
C
I
O
N

𝐻0: 𝜎2
≥ 𝜎0
2
𝐻1: 𝜎2
< 𝜎0
2
𝐻0: 𝜎2
≤ 𝜎0
2
𝐻1: 𝜎2
> 𝜎0
2
𝐻0: 𝜎2
= 𝜎0
2
𝐻1: 𝜎2
≠ 𝜎0
2
T
I
P
O
S
DE
P
R
U
E
B
A
DE
H
I
P
O
T
E
S
I
Punto critico
Punto critico
V
A
R
I
A
N
Z
A

DECISION Ho
Verdadera
Ho
Falsa
Rechazar Ho Error de Tipo I
(a)
No hay error
Decisión correcta
No rechazar Ho No hay error
Decisión correcta
Error de Tipo II
(b)
TIPOS DE ERRORES
0 0
(Error I) (Rechazar H /H es erdadera)
a  
P P V
o o
(Error II) (No rechazar H /H es falsa)
b  
P P
Potencia de la prueba: 1-β= Probabilidad de Rechazar Ho cuando es falsa
Nivel de confianza: 1-α =Probabilidad de No rechazar Ho cuando es verdadera

Valor Crítico: Es el punto que divide la
región donde la hipótesis nula es rechazada y
de aquella donde no se rechaza.

Valores de Z más utilizados, en pruebas unilaterales y bilaterales,
según el valor de α (NIVEL DE SIGNIFICANCIA)
1-α (NIVEL DE CONFIANZA)
Nivel de significancia
α 0,10 0,05 0,01
Valores de Z en
pruebas
de 1 cola
1,28 1,64 2,32
Valores de Z en
pruebas
de 2 colas
1,64 1,96 2,56

• Nivel de Confianza: El nivel de confianza se denota por (1-α), aunque
habitualmente suele expresarse con un porcentaje. Es habitual tomar
como nivel de confianza un 95% o un 99%, que se corresponden con
valores α de 0,05 y 0,01 respectivamente.
• NIVEL DE CONFIANZA ES 95%; 1-ALFA=0.95 ALFA= 1-0.95= 0.05
• ALFA =NIVEL DE SIGNIFICANCIA=0.05
• Valor α: También llamado nivel de significación o significancia. Es la
probabilidad de fallar en nuestra estimación, esto es, la diferencia entre
la certeza (1) y el nivel de confianza (1-α). Por ejemplo, en una
estimación con un nivel de confianza del 0.95 (95%), el valor α es 0,05
(5%).
TERMIOS PREVIOS IMPORTANTES

TIPOS DE PRUEBA DE HIPÓTESIS
Prueba bilateral o de dos colas
0
1
0
0
:
H
:
H






Valor crítico
Z o T
𝑡(
∝
2 𝑛−1) 𝑡(1−
∝
2
𝑛−1)

Tipos de prueba de hipótesis
𝑡(∝,𝑛−1)
𝑡(1−∝,𝑛−1)

PROCEDIMIENTO DE LA PRUEBA DE HIPÓTESIS
6. Tomar la decisión y Conclusión
5. Calcular el valor del estadístico
4. Establecer la regla de decisión
3. Seleccionar el estadístico de prueba
2. Especificar el nivel de significancia.
1. Plantear la hipótesis

Tamaño de
muestra
Estadístico
Conocida
n ≥ 30
Desconocida
n < 30
n ≥ 30
𝝈𝟐
𝑽𝑨𝑹𝑰𝑨𝑵𝑨𝒁𝑨
𝑷𝑶𝑩𝑳𝑨𝑪𝑰𝑶𝑵𝑨𝑳
( )
n
μ
X



Z
( )
n
μ
X
S
t


( )
n
μ
X
S
Z


Selección del estadístico de prueba: para la MEDIA (variable cuantitativa)

Selección del estadístico de prueba: para la PROPORCION (variable cualitativa)
𝑍 =
𝑃 − 𝑃0
𝑃0(1 − 𝑃0)
𝑛

Selección del estadístico de prueba: para la VARIANZA (variable es cuantitativa)
𝜒2
= (𝑛 − 1) 𝑠2
𝜎2
La 𝐻0 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎, 𝑦 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑐ℎ𝑖 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑛 − 1 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑

Ejemplo 1
Algunos clientes se han quejado sobre los tiempos de duración de las pilas producidas por una empresa. Según el empaque de
las pilas se afirma que la duración es de 20 horas en promedio; un comité de defensa del consumidor tomó una muestra
aleatoria de 20 pilas y midió su duración.
Los resultados luego de realizar la evaluación fueron:
18.4 19.0 17.0 17.0 18.6 17.2 19.2 17.1 18.5 16.0
16.1 18.4 16.9 19.4 16.8 18.2 18.4 18.3 18.1 17.1
Usando una prueba de hipótesis paramétrica, ¿se puede concluir que los clientes tienen razón? Use 8% de nivel de significación.

: Datos: X:tiempo (variable cuantitativa)
n= 20 µ0 = 20 𝑋 = 17.785 𝑠 = 1.01 α = 0.08
1. Planteo de hipótesis
𝐻0: 𝜇0 ≥ 20
𝑯𝟏: 𝝁𝟎 < 𝟐𝟎
3. Seleccionar estadístico de prueba
𝛼 = 0.08 = 8%
1- 𝛼=1-0.08=0.92= 92%
2. Especificar el nivel de significancia
𝑡 =
17.775 −20
1.0026
20
= -9.925.
α = 0.08
Con un nivel de confianza del 92% se rechaza la hipótesis
nula y se concluye que la duración promedio de las pilas
es menor de 20 horas.
n=20
VARIANZA
DESCONOCIDA
1 − α
𝑡(∝,𝑛−1) = 𝑡(0.08,19) = −1.46
RECHAZA Ho
ACEPTA Ho

Un artículo reciente publicado en el diario Gestión, indica que solo a uno de cada cuatro egresados de
una universidad les espera un puesto de trabajo. En una investigación a 40 egresados recientes de su
universidad, se encontró los siguientes resultados: 1= tiene puesto de trabajo, 0=no tiene puesto de
trabajo.
Ejemplo 2
0 1 1 1 0 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1 1 1 0 0
Puede concluirse a un nivel de significancia del 2%, que en su universidad la proporción de
estudiantes que tienen trabajo es mayor.

𝐻0: 𝑃 ≤ 0.25
𝑯𝟏: 𝑷 > 𝟎. 𝟐𝟓
𝛼 = 0.02
1- 𝛼= 1- 0.02 = 0.98
α = 0.02
Con un nivel de confianza del 98% se rechaza la hipótesis
nula y se concluye que en su universidad la proporción de
estudiantes que tienen trabajo es mayor.
Datos: P = 0.25 n = 40 α = 0.02 𝑷 = 16/40 =𝟎. 𝟒
𝑍 =
𝑃 − 𝑃0
𝑃0(1 − 𝑃0)
𝑛
𝑍 =
0.4−0.25
0.25(1−0.25)
40
= 2.19
X:VARIABLE CUALITATIVA PORQUE SE PREGUNTA SI TIENE PUESTO DE TRABAJO O NO TIENE PUESTO DE TRABAJO
1 − α
𝑍(1−∝) = 𝑍0.98=2.05
RECHAZO Ho
ACEPTO Ho

Se sabe que el contenido en gramos de un producto fabricado por una compañía, no reúne las especificaciones si
la varianza de un lote de producción se aleja demasiado hacia arriba o hacia abajo de 6.5. Comprobar si un gran
lote de producción reúne las especificaciones, si una muestra aleatoria de n=20 unidades extraída aleatoriamente
de dicho lote arrojó una varianza de 7.3. Utilizar un nivel de significación del 5%. Se sabe que el contenido del
producto se distribuye normalmente.
Ejemplo 3
Datos: 𝜎2(VARIANZA POBLACIONAL)= 6.5 ;
n = 20 𝑆2(VARIANZA MUESTRAL) = 7.3
α = 0.05

𝐻0: 𝜎2
= 6.5
𝑯𝟏: 𝝈𝟐 ≠ 𝟔. 𝟓
𝛼 = 0.05
1- 𝛼= 1- 0.05 = 0.95
∝
2
= 0.025
Datos: 𝜎2
= 6.5 n = 20 α = 0.05 𝑆2
= 7.3
𝜒2 = (𝑛 − 1) 𝑠2
𝜎2
𝜒2 = 20 − 1 7.3
6.5 = 21.34
∝
2
= 0.025
Con un nivel de significancia de 0.05 no se rechaza la
hipótesis nula y se concluye que la varianza en el
contenido es igual a 6.5
1-∝= 0.95
𝑋 ∝
2
;𝑛−1 =
2
𝑋 0.025;19 =
2
8.91 𝑋
1−
∝
2
;𝑛−1 =
2
𝑋 0.975;19 =
2
32.85
X: VARIABILIDAD DE LOS PESOS (VARIABLE CUANTITATIVA)
RECHAZO Ho
Acepto Ho
RECHAZO Ho

Prueba de hipótesis para una proporción
Datos P = 0.70; n =55 ; 𝑃 = 35 /55 = 0.64 𝜶 = 0.05
Un constructor afirma que se instalan bombas de calor en el 70% de
todas las casas que se construyen hoy en día en la ciudad de lima.
¿Estaría de acuerdo con esta afirmación si una investigación de casa
nuevas en esta ciudad muestra que 35 de 55 tiene instaladas bombas
de calor? Utilice el nivel de significancia de 0.05.
Ho: P = 0.70
H1: P ≠ 0.70
Ejemplo 4
Solución:
Pasos de una prueba de hipótesis
1.- Hipótesis:
2.- Nivel de significación:
𝜶 = 0.05

• Con un nivel de significancia de 0.05 no se rechaza la hipótesis nula y se
concluye que la proporción de casas que se instalan bombas de calor es 70%
3.- Estadístico de prueba:
𝑍 =
0.64 − 0.7
)
0.70(1 − 0.70
55
𝑍 = −0.971
−0.971
𝑍 =
𝑃 − 𝑃0
𝑃0(1 − 𝑃0)
𝑛

Una máquina que produce capsulas tiene una desviación estándar de 8 unidades. Se acaba de introducir en el
mercado una nueva máquina para realizar ese tipo de producto. Aunque es muy cara comparada con la que
está ahora en uso, si la media de producción de la nueva máquina es de más de 150 unidades por hora, su
adopción daría bastantes beneficios.
Para decidir si se debiera comprar la nueva máquina, al laboratorio se le permite hacer un ensayo durante 35
horas, hallándose un promedio de 160 unidades por hora. Con ésta información qué decisión se debe tomar si
se asume un nivel de confianza del 99 por ciento.
Según el enunciado, solo se compra la máquina si la producción es de mas de 150
unidades por hora, por lo tanto las hipótesis son:
H0 : µ ≤ 150
H1 : µ > 150
Solución:
Datos: n=35 µ0 = 150 𝑋 = 160 𝜎 = 8
1.- Hipótesis:
2.- Nivel de significación: α = 0.01
Ejemplo 5

3.-Estadístico de prueba:
Población normal con
varianza conocida
( )
n
μ
X



Z
𝑍 =
160 − 150
8
35
= 7.41
7.41
Con un nivel de confianza del 99% se rechaza la hipótesis nula y se concluye
la media de producción de la nueva máquina es de más de 150 unidades por
hora y su adopción daría bastantes beneficios.

α = 0,01
R.R
R.A
5)
6)
Se tiene una muestra aleatoria de 100 estudiantes de
Publicidad seleccionados de varias universidades de una
ciudad, se estimó que su gasto promedio semanal en
materiales de estudios (impresiones, tipeos, etc) es de
32,5 soles con una desviación estándar de 10 soles.
Usando un nivel de significación del 5% ¿proporcionan
estos datos suficiente evidencia para decir que el
verdadero gasto promedio semanal en materiales de
estudios de los estudiantes de Publicidad no es igual a 30
soles? Utilice nivel critico de 1.96
Caso 1

Caso2

El rector de una universidad nueva afirma que
solamente el 18% de los alumnos no están de
acuerdo con su actual gestión. En una encuesta
aplicada a los alumnos 90 de 450 manifestaron
estar en desacuerdo. ¿Se podría afirmar con un
nivel de significancia del 5% que la proporción en
desacuerdo es mayor al 18%? Utilice un valor
critico de 1.64
CASO 3

Tradicionalmente el 13% de los conductores los fines de
semana conducen bajo los efectos del alcohol. El último
fin de semana fueron intervenidos 500 conductores
aleatoriamente y 80 de ellos estaban bajo los efectos del
alcohol. ¿De esta muestra se puede inferir que el
porcentaje poblacional ya no es del 13%?. Utilice
α=5%. (valor critico 1.96)
CASO 4

ACTIVIDAD EN AULA
Formar Grupos de 6 estudiantes.
Resolver las preguntas de
la hoja de trabajo práctico en equipo N°07
Nota: El docente debe asegurar que todo los integrantes participen, en su
registro auxiliar debe anotar la participación de los alumnos así mismo el
docente debe calificar esta actividad.

REFERENCIAS:
Código de Biblioteca LIBROS/REVISTAS/ARTÍCULOS/TESIS/PÁGINAS WEB
Material Bibliográfico Virtual
Digitalia Hispánica
BLANCO, C., 2011. Encuestas y estadísticas: métodos de investigación
cuantitativa en ciencias sociales y comunicación [en línea]. 2011. S.l.: Brujas.
ISBN 9781449260019. Disponible en:
https://ucv.primo.exlibrisgroup.com/permalink/51UCV_INST/175ppoi/alma99
1002884737807001.
GONZÁLEZ TÁMARA, L., 2017. Análisis exploratorio de datos. Una
introducción a la estadística descriptiva y probabilidad [en línea]. S.l.: s.n.
Disponible en: https://www.digitaliapublishing.com/a/70426/analisis-
exploratorio-de-datos.-una-introduccion-a-la-estadistica-descriptiva-y-
probabilidad.
GONZÁLEZ TÁMARA, L., 2013. Estadística descriptiva y probabilidad [en línea].
2013. S.l.: Universidad de Bogotá Jorge Tadeo LozanoFacultad de Ciencias
Naturales e Ingeniería, Departamento de Ciencias Básicas. ISBN
9789587251142. Disponible en:
https://www.digitaliapublishing.com/visor/38999.
LLINAS, H.R.Á., 2005. Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad
[en línea]. Universidad del Norte. S.l.: s.n. ISBN 978-958-8252-08-7. Disponible
en: https://www.digitaliapublishing.com/a/54946/estadistica-descriptiva-y-

REFERENCIAS:
Código de Biblioteca LIBROS/REVISTAS/ARTÍCULOS/TESIS/PÁGINAS WEB
Material Bibliográfico Virtual
MARCO CRESPO, R., 2004. Problemas resueltos de estadística descriptiva [en
línea]. S.l.: s.n. Disponible en:
https://www.digitaliapublishing.com/a/89063/problemas-resueltos-de-
estadistica-descriptiva.
MARTINEZ, C., 2012. Estadistica y muestreo (13a ed.) [en línea]. S.l.: s.n.
Disponible en: https://www.digitaliapublishing.com/a/70551/estadistica-y-
muestreo--13a-ed.-.
MARTÍNEZ BENCARDINO, C., 2012. Estadística básica aplicada (4a ed.) [en
línea]. S.l.: Ecoe. ISBN 978-958-648-766-5. Disponible en:
https://www.digitaliapublishing.com/a/29928/estadistica-basica-aplicada--
4a-ed.-.
TREJOS BURITICÁ, O.I.P.L., 2019. Probabilidad y estadística para ingenieros
[en línea]. S.l.: s.n. Disponible en:
https://www.digitaliapublishing.com/a/101625/probabilidad-y-estadistica-
para-ingenieros.

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