Este documento describe la distribución de Poisson. Explica que se usa para eventos aleatorios con resultados discretos y baja probabilidad. Detalla las propiedades como que la probabilidad de éxito es constante y eventos son independientes. Proporciona ejemplos como llegada de clientes o accidentes. Finalmente, compara la distribución de Poisson con la binomial cuando la muestra es grande y probabilidad baja.

1. Carlos Andrés Herrera

2. EJE TEMÁTICO
 Historia y utilidad
 Propiedades de un
proceso de Poisson
 Aplicaciones

3. HISTORIA
La distribución de Poisson se llama así en honor
a su creador, el francés Simeón Dennis Poisson
(1781-1840).
Esta distribución es utilizada para obtener la
probabilidad de ocurrencia de sucesos raros
cuyo resultado lo representa una variable
discreta.

4. UTILIDAD
 La distribución de Poisson se utiliza en
situaciones donde los sucesos son
impredecibles o de ocurrencia aleatoria.
En otras palabras no se sabe el total de
posibles resultados.
 Permite determinar la probabilidad de
ocurrencia de un suceso con resultado
discreto.

5.  Es muy útil cuando la muestra o
segmento n es grande y la
probabilidad de éxitos p es pequeña.
 Se utiliza cuando la probabilidad del
evento que nos interesa se distribuye
dentro de un segmento n dado, como
por ejemplo: distancia, área, volumen
o tiempo definido.

6. EJEMPLOS DE VARIABLES ALEATORIAS
 La llegada de un cliente al negocio durante
una hora.
 Las llamadas telefónicas que se reciben en
un día.
 El numero de accidente de trafico que
ocurren en un cruce durante el día.
cada una de las anteriores variables aleatorias
se caracterizan por ser un numero de
ocurrencia de cierto suceso durante un periodo
de tiempo.

7. PROPIEDADES DE UN PROCESO DE
POISSON
 La probabilidad de observar exactamente un
éxito en el segmento o tamaño de muestra n,
es constante.
 El evento debe considerarse un suceso raro.
 El evento debe ser aleatorio e
independiente de otros eventos.
Si repetimos el experimento n veces podemos
obtener resultados para la construcción de la
distribución de Poisson.

8. LA FUNCIÓN P(x=k))
A continuación se observa la función de probabilidad de la
distribución de Poisson.
Donde:
P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable
discreta X toma un valor finito k.
λ ˃ 0 = Lambda es el numero promedio de ocurrencias por
unidad de tiempo. La constante e tiene un valor aproximado de
2.711828
X= es el numero de eventos que ocurren en un intervalo de
tiempo [ 0,t ]
K = 0,1,2,3,….; es el número de éxitos por unidad.

9. EJEMPLO
1) Los sabados por la mañana, los clientes
entran en una pequeña tienda, de un centro
comercial suburbano a una tasa esperada
de 0,50 por minuto. Halle la probabilidad
de que el numero de clientes que entran en
intervalo especifico de 10 minutos es:
a) 3
b) A lo mas 3

10. APROXIMACION DE LA BINOMIAL
A LA DE POISSON
Sea X es una variable aleatoria binomial con
parámetro n y p. si n es grande ( n≥ 100), y p
pequeña (p≤0,01) y n y p puede aproximarse por la
distribución de Poisson con parámetro λ = np. Bajo
de estas condiciones se cumple que:
B(k ; n ; p) P(k ; np) K= 0, 1, 2,…
los siguientes ejemplos ilustran algunos de los
problemas en los que la distribución de Poisson puede
ser aplicada como aproximación a la distribución
binomial.

11. la distribución de probabilidad de Poisson es
un ejemplo de distribución de probabilidad
discreta.
 La distribución de Poisson parte de la
distribución binomial.
Cuando en una distribución binomial se realiza el
experimento muchas veces, la muestra n es grande y la
probabilidad de éxito p en cada ensayo es baja, es aquí
donde aplica el modelo de distribución de Poisson.
Se tiene que cumplir que:
p < 0.10
p * n < 10

12. EJEMPLOS 1
La probabilidad de que haya un accidente en una
compañía de manufactura es de 0.02 por cada día
de trabajo. Si se trabajan 300 días al año, ¿cuál es la
probabilidad de tener 3 accidentes?
Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el
producto n * p es menor que 10 (300 * 0.02 = 6),
entonces, se aplica el modelo de distribución de
Poisson:
Al realizar el cálculo se tiene que P(x = 3) = 0.0892
Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes
laborales en 300 días de trabajo es de 8.9%.

13. 2) La probabilidad de que un producto salga
defectuoso es de 0.012 ¿Cuál es la probabilidad
de que entre 800 productos ya fabricados hayan
5 defectuosos?
solución:
En este ejemplo nuevamente la probabilidad p menor
que 0.1, y el producto n * p menor que 10, por lo que se
aplica el modelo de distribución de Poisson:
El resultado es P (x = 5) = 0.04602
Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos
defectuosos entre 800 recién producidos es de 4.6%.

14. TABLA DE PROBABILIDAD DE
POISSON
Utilizando la tabla de probabilidad de Poisson se pueden
resolver los ejemplos anteriores. Para esto, se deben
conocer los valores X y λ.
- X es el número de éxitos que buscamos. Este es el valor K.
- λ es el número promedio de ocurrencias por unidad
(tiempo, volumen, área, etc.). Se consigue multiplicando a p
por el segmento dado n.
Del ejemplo 1: λ = 0.02 * 300 = 6
Del ejemplo 2: λ = 0.012 * 800 = 9.6