Este documento describe la solución a un problema de optimización mediante la simulación y modelización de una función. Se utiliza el método numérico de Newton-Raphson para encontrar el radio mínimo de una lata que minimice la cantidad de material usada, representada por la función At(R). El análisis de los resultados muestra que el método encontró efectivamente el radio óptimo que produce el área mínima de material requerido.

1. SOLUCION AL PROBLEMA
REAL (SIMULACION)
DELQUIS ROMERO C
JAVIER HERNANDEZ
MAYERLI TATIANA RANGEL

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

3. PASO 1 MODELIZACION

4.  Nótese que la función At (R) es de tipo racional, donde
su dominio lo forman todos los números reales donde
no se haga cero el denominador. En particular, interesa
R > 0 por el sentido físico que representa. Las
funciones racionales se caracterizan por ser funciones
continuas y diferenciables en su dominio.
 Para establecer el mínimo de material a través del
modelo de At (R), se deben encontrar los puntos
críticos y caracterizar quienes de ellos son puntos
mínimos del modelo.
 Los puntos críticos se deben establecer usando la
derivada de At (R),así:
MODELIZACION

5. Llevando a cabo algunas simplificaciones se puede
llegar a la siguiente ecuación polinomial de grado 4:
Cuantas raíces tiene (a su vez, puntos críticos)?,
tiene 4 que pueden ser reales y complejas (teorema
fundamental del algebra). Para esta aplicación solo
tienen sentido aquellas que sean reales.
MODELIZACION

6. Es bien sabido que, la solución de las ecuaciones polinomiales de
grado superior a 2 debe encararse con métodos numéricos. Para
usar un método de estos se deben tener pistas de buenos valores
de arranque o iniciales a partir de los cuales se inicia la
búsqueda. Como establecemos un buen valor inicial para este
problema?
Debe notarse que la no linealidad fuerte, en este caso la
combinación de términos R4 y R3, surge porque se considera
material sobrante en el modelo de At. Si este no fuese el caso, se
puede determinar una raíz con solución analítica así:
Para la solución de este problema escogeré el método de
Newton-Raphson.
PASO 2 EL METODO NUMERICO

7. El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de
que su convergencia global no está garantizada. La única manera de
alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente
cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un
valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o
valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende
mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples
puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz,
entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual
exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez se ha
hecho esto, el método línea liza la función por la recta en ese valor
tangente supuesto. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el
método haya convergido lo suficiente.
n número natura Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el
intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para
cada
EL METODO NUMERICO

8. function lataoptima1
R_o=(2000/(4*pi))^(1/3); % define el valor inicial
x_r=newton_rap(R_o,20,1e-5); % llama al método numérico
% Para analizar la solución
x=linspace(x_r*(1-.1),x_r*(1+.1),20);
% define un dominio x_r-10 %<x<x_r+10 %
y=material(x); % se evalúa A_t(x)
plot(x,y,'k'),xlabel('R'),ylabel('A_t(R)');grid on;
figure
plot(x,modelo(x),'k',x,
zeros(length(x)),'r',x_r,modelo(x_r),'dk')
xlabel('R'),ylabel('f(R)');grid on;
fprintf(1,'nnnt El radio mínimo es %9.4fn',x_r)
fprintf(1,'t correspondiéndole un área mínima de %9.4fn',...
PASO 3 IMPLEMENTACION DEL
METODO NUMERICO

9. material(x_r))
fprintf(1,'t la dimensión de H es %9.4fn',1000/(pi*x_r^2))
return
function f=modelo(R) % implementa f(R)
f=-(1000/pi)*(2*pi*R-0.5)+pi*R.^3+4*pi*R.^4;
function f=material(R) % implementa A_t(R)
f=(2*pi*R+0.25).*(1000./(pi*R.^2))+2*pi*(R+0.25).^2;
IMPLEMENTACION DEL METODO
NUMERICO

10. En esta tabla se muestra los resultados obtenidos
con el método Newton-Raphson:
PASO 4 ANALISIS DEL RESULTADO

11. Para analizar los resultados de la
modelización y del método
numérico, se despliegan dos
figuras en Matlab. En la primera
se grafica At contra R, es decir,
la cantidad de material en
función del Radio de la lata. En
esta se verifica o la posición del
radio que produce el área
mínima de material. Tal como
puede apreciarse.
ANALISIS DEL RESULTADO

12. En la segunda figura se
pretende verificar la
existencia de una raíz
(punto crítico) con la
representación de f (R)
contra R, tal punto
crítico garantiza la
existencia del punto
mínimo en la función
At(R). Tal como puede
apreciarse.
ANALISIS DEL RESULTADO