Este documento describe varios métodos para generar variables aleatorias con distribuciones no uniformes, incluyendo el método de la transformada inversa, el método de rechazo, y métodos de simulación directa como la distribución normal basada en el teorema del límite central, distribuciones discretas como la binomial y Poisson, y distribuciones continuas como la normal y empíricas. Proporciona ejemplos detallados de cómo aplicar cada método.

1. Generación deVariables con
Distribución No Uniforme
Gpe. Del Carmen Rodríguez Moreno
21 de mayo de 2015

2. Índice
• Método de laTransformada Inversa
• Método de Rechazo
• Métodos de simulación Directa
• Distribución Normal (Teorema de Límite Central)
• Distribución Bernoulli
• Distribución Binomial
• Distribución Poisson
• Distribución Normal
• Distribución Empírica Discreta
• Distribución Empírica Continua
• Simulación de una Cadena de Markov

3. Método de laTransformada Inversa
• Este método utiliza la distribución de probabilidad acumulativa F(x). Puesto
que eta función siempre se encuentra en el intervalo (0,1), se puede generar
un número aleatorio uniforme r y tratar de determinar el valor de la variable
aleatoria x a la que corresponde el valor de r en la función de distribución
acumulada.
• En primer lugar, debe construirse la expresión matemática correspondiente
a la función de distribución acumulativa:

4. • Esta función se iguala a un valor aleatorio r entre cero y uno:
r=F(x)
• Y de aquí se despeja el valor de x:
X=F-1(r)
• No siempre resulta sencillo obtener el valor de x de la variable despejada. En
algunos casos es imposible como en el caso de la Normal. Cuando esto
ocurre se debe utilizar otros métodos.
Método de laTransformada Inversa

5. • Se sabe que la distribución uniforme es:
• Integrando:
• Igualando al valor aleatorio r:
r=(x-a)/(b-a)
• Despejando x
x=(b-a)r+a
Método de laTransformada Inversa
Ejemplo: Distribución Uniforme Continua

6. • Ejemplo: Suponga que se esta verificando el llenado de botellas de cierto
líquido, se sabe que mínimo tienen 550 mililitros y máximo 650 mililitros.
Realizar la simulación de dos posibles cantidades de líquidos.
• Suponga que r1=0.5084 y r2= 0.1787, utilizando x=(b-a)r+a nos queda:
Método de laTransformada Inversa
Ejemplo: Distribución Uniforme Continua
Ri Cantidades de líquido en mililitros de
las botellas simuladas
0.5084 600.84
0.1787 567.87

7. Método del Rechazo
• El primer paso en el método es encerrar la distribución de probabilidad en
un rectángulo. Si la distribución es asintótica al eje de las x, es necesario
truncar la distribución en algún punto razonable. En seguida, se determina
la altura máxima de la curva M, de modo que el rectángulo trazado incluya a
toda la distribución. Esta máxima altura se conoce como la probabilidad de
la moda.

8. • Sea f(x) una distribución de probabilidad acotada con rango finito en un
intervalo [a,b] con probabilidad de la moda M. Se tienen los siguiente pasos:
1. Generar dos números aleatorios r1 y r2 uniformes.
2. Determinar el valor de la variable aleatoria x de acuerdo a la siguiente
relación:
x=a+(b-a)r1
Esta ecuación garantiza que el valor generado se encuentre en el intervalo deseado.
1. Evaluar la función de probabilidad en este valor de x.
2. Determinar si se cumple la siguiente desigualdad:
r2≤f(a+(b-a)r1)/M
En caso afirmativo, se utiliza el valor generado de x. De lo contrario, es necesario pasar
nuevamente al paso 1, tantas veces como sea necesario.
Método del Rechazo

9. Método del Rechazo
Ejemplo
Suponga la siguiente función de
densidad:
f(x)=(x-1)/3 1≤x≤3
• a=1 b=3
• M al ser la altura máxima es 2/3
• En la tabla se muestran los
resultados:
r1 r2 x=a+(b-a)r1 f(x)=(x-1)/3 f(x)/M Cumple afirmación Valor simulado
0.36054567 0.30307932 1.72109134 0.24036378 0.36054567 si 1.721091342
0.29984436 0.44953764 1.59968871 0.19989624 0.29984436 no
0.67674795 0.1477401 2.3534959 0.4511653 0.67674795 si 2.353495895
0.37919248 0.14944914 1.75838496 0.25279499 0.37919248 si 1.75838496
0.01998962 0.82757042 1.03997925 0.01332642 0.01998962 no
0.61043123 0.3271279 2.22086245 0.40695415 0.61043123 si 2.220862453
0.52858058 0.97619556 2.05716117 0.35238706 0.52858058 no
0.52171392 0.83721427 2.04342784 0.34780928 0.52171392 no
0.35175634 0.57530442 1.70351268 0.23450423 0.35175634 no
0.77666555 0.66069521 2.5533311 0.51777703 0.77666555 si 2.553331095
0.22693564 0.21613208 1.45387127 0.15129042 0.22693564 si 1.453871273
0.79055147 0.48365734 2.58110294 0.52703431 0.79055147 si 2.581102939

10. Métodos de Simulación Directa
• Una forma de simular una distribución es utilizar las características propias
para obtener valores propios. Aquí algunos ejemplos.

11. • Se basa en elTeorema de Límite Central, que indica que la distribución
muestral de una suma, si la muestra es suficientemente grande tiende a ser
una normal. Esta distribución normal tiene una media:
∑=n donde n es el tamaño de la muestra y la varianza es:
2∑=2n
• Para este método conviene basarse en la distribución uniforme, de hecho
para los números uniformes entre 0 y 1 la media es 0.5 y la desviación
estándar es 1/ 12
Métodos de Simulación Directa
Ejemplo: Distribución Normal

12. • Se deben obtener 12 valores uniformes, calcular su suma y restar 6, es decir:
Zs= 𝑖=1
12
𝑟𝑖 − 6
El resultado será una suma normalmente distribuida con media cero y
desviación estándar de 1. Estos resultados corresponden con una distribución
normal estándar, se pueden ajustar utilizando:
𝑍𝑠 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑥 = 𝑍𝑠 𝜎 + 𝜇
• Ejemplo: Suponga una normal =5 =2.3. Los valores uniformes:
r1=0.27, r2=0.44, r3=0.85, r4=0.71, r5=0.78, r6=0.36 r7=0.77, r8=0.07, r9=0.90,
r10=0.37, r11=0.18, r12=0.34
Zs=6.04-6=0.04 el valor simulado x= 5.09
Métodos de Simulación Directa
Ejemplo: Distribución Normal

13. • Es sumamente sencilla de simular, se genera un número aleatorio r, se
compara con la probabilidad de éxito p, y se toma el valor de la variable
aleatoria x=1 si r<p o x=0 si r≥p.
• Ejemplo: Suponga que se quiere simular si lloverá hoy teniendo una
probabilidad de 0.80 de que llueva. Considere que r=0.25, haciendo la
comparación, nos queda una simulación de un día lluvioso.
Métodos de Simulación Directa
Ejemplo: Bernoulli

14. • Para este caso se realizan n ensayos Bernoulli y se suma el resultado de los n
ensayos. La variable aleatoria X es la acumulación de los 1´s (éxitos)
obtenidos de los n ensayos.
• Ejemplo: Suponga que se desea simular el número de artículos defectuoso
en un paquete de 10, cuando se sabe que la probabilidad de que un paquete
sea defectuoso es 0.30. De acuerdo al resultado nuestra variable aleatoria
Binomial será x=2
Métodos de Simulación Directa
Ejemplo: Binomial
r p=0.3 Defectuosos
0.009643849 Menor 1
0.418591876 Mayor 0
0.769493698 Mayor 0
0.811395611 Mayor 0
0.419049654 Mayor 0
0.844691305 Mayor 0
0.975920896 Mayor 0
0.396435438 Mayor 0
0.076265755 Menor 1
0.559739982 Mayor 0
Total 2

15. • La mejor forma para simular el número de ocurrencias de un proceso de
Poisson en un intervalo es utilizar la distribución exponencial para simular el
tiempo entre ocurrencias y luego contar el número de ocurrencias que
tuvieron lugar en el intervalo.
• Ejemplo: Suponga que en una central telefónica llegan en promedio 2
llamadas en un intervalo de 5 minutos, es decir, =2. Usando un generador
de números exponenciales se obtuvo los siguientes resultados:
Métodos de Simulación Directa
Ejemplo: Poisson
Exponencial Tiempo transcurrido
Llegada de
Llamadas
0.45 0.45 1
0.3 0.75 2
0.13 0.88 3
0.62 1.5
Esta llegó después
de la unidad de
tiempo
Valor Simulado 3 llamadas

16. • Aunque la distribución normal no puede integrarse en forma analítica, es decir, en
forma exacta, se han desarrollado un gran número de aproximaciones. Box y Muller
desarrollaron una que es sencilla de usar y razonablemente rápida, además de que
se obtienen valores normales.
• Requiere dos números aleatorios (x1 y x2) que sustituidos en las siguientes
expresiones, genera dos valores muestrales de la distribución normal estándar:
• Para obtener un valor con normal media distinta a cero y varianza distinta a uno, se
puede usar la siguiente expresión, donde Z puede ser Z1 o Z2:
𝑥 𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = 𝑍𝜎 + 𝜇
Métodos de Simulación Directa
Ejemplo: Distribución Normal

17. • Ejemplo: Suponga que se quiere simular 5 valores normales con =0 =1
Métodos de Simulación Directa
Ejemplo: Distribución Normal
Muestra X1 X2 2x2 cos (2x2) (-2Inx1) (-2Inx1)^1/2 Z simulado
1 0.89104892 0.33576464 2.109671461 -0.513170859 0.23071189 0.48032478 -0.24648868
2 0.79836421 0.69887387 4.391154013 -0.315738595 0.45038077 0.67110414 -0.21189348
3 0.99575793 0.94491409 5.937070329 0.940697786 0.00850219 0.09220733 0.08673923
4 0.22516556 0.860683 5.407830806 0.640724723 2.98183862 1.72680011 1.10640352
5 0.8333079 0.67281106 4.227396566 -0.466201649 0.36470415 0.6039074 -0.28154263

18. • Para simular distribuciones empíricas discretas, basta asociar valores aleatorios
enteros con las posibles variables, de modo que los números aleatorios asignados a
cada variable sean proporcionales a las probabilidad de ocurrencia.Se trabaja con
las frecuencias acumuladas relativas.Y se deben a primera instancia generar
números aleatorios uniformes (ri) entre 0 y 1.
• Ejemplo: Suponga que se tiene las siguientes probabilidades de caer en cierta
cantidad de baches por la ciudad con las siguientes frecuencias relativas:
Métodos de Simulación Directa
Ejemplo: Distribución Empírica Discreta
Baches F. Relativa F. Acumulada Si ri
0 0.3 0.3 [0,0.3] entonces X=0
1 0.4 0.7 (0.3,0.7] entonces X=1
2 0.1 0.8 (0.7,0.8] entonces X=2
3 0.1 0.9 (0.8,0.9] entonces X=3
4 0.1 1 (0.9,1] entonces X=4
ri Baches simulados
0.25327311 0
0.98113956 4
0.94418165 4
0.47422712 1
0.54979095 1

19. • Para simular distribuciones empíricas se aproxima la distribución con un número discreto de puntos y
realizar una interpolación lineal inversa entre los puntos cuantas veces sea necesario. Como en este
caso se realizan una serie de aproximaciones a una curva, es importante notar que, mientras más
puntos se tomen, mejor resultara la aproximación.
• Interpolación Lineal Inversa
Supongamos entre cada dos puntos (x1, F(x1)) y (x2, F(x2)) pasa exactamente una recta, cuya ecuación es:
𝑦 − 𝐹 𝑥1 =
𝐹 𝑥2 − 𝐹 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
(𝑥 − 𝑥1)
Se sustituye y por un número aleatorio uniforme entre cero y uno llamado r:
r−𝐹 𝑥1 =
𝐹 𝑥2 −𝐹 𝑥1
𝑥2−𝑥1
(𝑥 − 𝑥1)
Y se despeja x se obtiene:
x=
(𝑥2−𝑥1) 𝑟−𝐹 𝑥1
𝐹(𝑥2)−𝐹(𝑥1)
+ 𝑥1
Donde x1≤x≤x2 y F(x1)≤r≤F(x2). Se genera un valor aleatorio uniforme r, seleccionar el intervalo
adecuado para F(x), que a su vez indicara el intervalo correspondiente para x y sustituir los valores en la
ecuación anterior.
Métodos de Simulación Directa
Ejemplo: Distribución Empírica Continua

20. • Ejemplo: Un administrador estima en base a
la experiencia pasada, el número de
unidades de cierto producto que se venderán
el próximo mes. Se utilizaron 11 puntos para
aproximar su estimación, de igual manera
pudo haberse utilizado otra cantidad de
puntos N. Los 11 puntos son las ventas
unitarias que corresponden a la
probabilidades acumuladas de 0 hasta 1. Es
conveniente separar las probabilidades con
intervalos iguales, aunque no es
estrictamente necesario. Los intervalos
iguales simplifican el análisis. Se tiene los
siguientes datos:
Métodos de Simulación Directa
Ejemplo: Distribución Empírica Continua
F(X) Ventas
0 10,000
0.1 21,500
0.2 25,000
0.3 27,500
0.4 30,000
0.5 32,000
0.6 35,000
0.7 37,500
0.8 40,000
0.9 43,000
1 53,000

21. • Ejemplo: Si queremos simular dos valores
suponga que r1=0.78 y r2=0.35.
• Para r1 se toma el intervalo para F(x)
F(x1)=0.7 y F(x2)=0.8, los valores de
x1=37,500 y x2= 40,000, estos se sustituyen
en la fórmula principal obteniendo:
• X= 39,500 (este será el valor simulado con r1)
• Para r2 se toma el intervalo para F(x)
F(x1)=0.3 y F(x2)=0.4, los valores de x1=
27500 y x2=30000
• X=28750 pesos en venta.
Métodos de Simulación Directa
Ejemplo: Distribución Empírica Continua
F(X) Ventas
0 10,000
0.1 21,500
0.2 25,000
0.3 27,500
0.4 30,000
0.5 32,000
0.6 35,000
0.7 37,500
0.8 40,000
0.9 43,000
1 53,000

22. Simulación de una Cadena de Markov
• Un caso interesante es aplicar la simulación a las cadenas de Markov. Son un
proceso estocástico en el cual se tiene un espacio de estados discreto y un
espacio paramétrico discreto, la característica principal es que la
probabilidad de pasar de un estado actual a un estado futuro depende
únicamente del estado actual, es decir, no se considera la historia del
sistema.
• Sea Xt una cadena de Markov con espacio de estados S y espacio
paramétricoT, los estados son n: x1, x2,…xn. La matriz de transición esta
dada:

23. Simulación de una Cadena de Markov
• Para hacer la simulación se toma de forma aleatoria o determinística, según
se desee un estado inicial, al cual podemos llamar xi, y que este pertenecerá
al conjunto de estados de S. De acuerdo a la matriz de transición, simulamos
una variable aleatoria cuya distribución empírica corresponde al renglón del
estado xi, esta variable será xj siendo el estado que corresponde a la
siguiente unidad de tiempo. De nuevo simulamos una variable aleatoria
pero ahora la distribución a utilizar será la del renglón xj. Se puede repetir
las veces que sea necesaria.

24. Simulación de una Cadena de Markov
Ejemplo
• Ejemplo: Suponga que en el mercado se consiguen 3 tipos de gaseosas
colas que son: Coca Cola, Pepsi Cola y Big Cola cuando una persona a
comprado coca cola existe una probabilidad de que la siga consumiendo de
el 75%, un 15% de que compre Pepsi cola y un 10% de que compre Big cola;
cuando el comprador actualmente consume Pepsi existe una probabilidad
de que la siga comprando de 60%, un 25% que compre coca cola y un 15%
big cola; si en la actualidad consuma Big cola la probabilidad de que la siga
consumiendo es del 50%, un 30% que compre coca cola y 205 Pepsi Cola.

25. Simulación de una Cadena de Markov
Ejemplo
• La variable aleatoria es Xt: La preferencia de refresco en el mes t.
• La matriz estocástica es y suponga que una persona empieza el mes con el gusto
por las coca colas:
1 0 0𝜋0 =

26. Simulación de una Cadena de Markov
Ejemplo
• Para la simulación se elabora la frecuencia acumulada por renglón y se
establecen los rangos:
• Empezamos en el estado E1 de acuerdo a 0
F. Acumulada F. Acumulada F. Acumulada
E1 E2 E3
0.75 0.25 0.3
0.9 0.85 0.5
1 1 1
Para E1 Para E2 Para E3
Si ri Si ri Si ri
[0,0.75] pasa Xj=E1 [0,0.25] pasa Xj=E1 [0,0.3] pasa Xj=E1
(0.75,0.9] pasa Xj=E2 (0.25,0.85] pasa Xj=E2 (0.3,0.5] pasa Xj=E2
(0.9, 1] pasa Xj=E3 (0.85, 1] pasa Xj=E3 (0.5, 1] pasa Xj=E3

27. Simulación de una Cadena de Markov
Ejemplo
• Para esta se puede decir que se pasará 2/10 en el estado 1, 5/10 en el estado
2, 3/10 en el estado 3.
Simulación Ri Xi Xj
1 0.2710654 E1 E1
Se usa la función para E1
2 0.80553606 E1 E2
3 0.54979095 E2 E2
Se usa la función para E2
4 0.78350169 E2 E2
5 0.65520188 E2 E2
6 0.90511795 E2 E3
7 0.3099765 E3 E2 Se usa la función para E3
8 0.88296152 E2 E3 Se usa la función para E2
9 0.54676962 E3 E3
Se usa la función para E3
10 0.67036958 E3 E3
Se pueden obtener promedios o hacer diferentes simulaciones
considerando diferentes 0

28. Referencias
• Coss, R. (1996). Simulación:Un enfoque Práctico. 2da. Edición. Noriega.
• González (1996). Modelos y Simulación.UNAM
• Hiller y Lieberman (2010). Introducción a la Investigación deOperaciones. 9na.
Edición. McGraw Hill.
• Taha, H. (2012). Investigación deOperaciones. 9na. Edición. Pearson.