Estructuras de hormigon armado

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ISBN: 84·86957-87-7
Impreso por: TORÁN, S. A.

ESTRUCTURAS DE,
HORMIGON
ARMADO 3
Elementos
Estructurales
Álvaro García Meseguer
UD-3

• Doctor Ingeniero de Caminos por la Universidad Politécnica de Madrid.
• Profesor de Investigación del Consejo Superior de Investigaciones
Científicas, Instituto Eduardo Torroja.
• Profesor de la Escuela de la Edificación.
• Presidente de GEHO (Grupo Español del Hormigón) hasta su fusión con
ATEP (Asociación Técnica Española del Pretensado) para formar ACHE
(Asociación Científico-técnica del Hormigón Estructural).
• Ha sido Presidente de la Sección de Construcción de la AECC (Asociación
Española para la Calidad) y fundador de la Sección de Construcción de la
EOQC (European Organization for Quality), que presidió durante once años.
• Ha presidido diversas Comisiones y Grupos de Trabajo del CEB (Comité
Euro-lnternational du Béton), ha sido miembro de su Consejo de
Administración durante ocho años y ha presidido la Delegación Española en
dicho organismo, hasta su fusión con FIP (Federación Internacional del
Pretensado).
• Ha presidido el Grupo de Trabajo de Aceros para Hormigón en la ISO.
• Ha impartido seminarios y pronunciado conferencias en una veintena de
paises de Europa y América Latina.
• Además de los tres volúmenes para la Escuela de la Edificación, es autor de
diversos libros, entre ellos:
Hormigón armado (en colaboración con los profesores Jiménez
Montoya y Mórán), Gustavo Gili, 14ª edición, Barcelona 2000 .
Quality Control and Quality Assurance, Monografía CEB nº 157
{Presidente del Grupo de Trabajo).
Quality Assurance for Building, Monografía CEB nº 184 {Presidente
del Grupo de Trabajo).
Control y garantía de calidad en construcción, ANCOP 1990. Hay
versión portuguesa publicada por SINDUSCON/SP en Brasil.
- Fundamentos de Calidad en Construcción, Fundación Cultural del
Colegio Oficial de Aparejadores y Arquitectos Técnicos de Sevilla,
Colección Nivel número 4, Sevilla 2001.

• Dentro del campo de la Lingüistica ha publicado una treintena de articules
en diarios y revistas diversas (Sintagma, Women and Language News,
Journal of Pragmatics) y los libros Léxico de la construcción (Instituto
Eduardo Torreja, Coordinador), Lenguaje y Discriminación Sexual
(Montesinos, 3ª ed. 1984) y ¿Es sexista la lengua española? Una investiga-
ción sobre el género gramatical (Paidós, 2ª ed. 1996).
• En la actualidad pertenece a la Dirección General de Investigación del
Ministerio de Ciencia y Tecnología. En ella se ha ocupado de materias
relacionadas con la innovación y, en particular, de estimular la participación
de investigadores españoles en el sistema de l+D de la Unión Europea.
Sobre esta materia ha publicado el libro Manual CSJC-CE sobre l+D en
Europa y las Monografías Los programas de l+D de la Comunidad Europea,
Prontuario para presentar un proyecto de l+D a la Comunidad Europea y
Acrónimos de J+D en Europa.

Prólogo
En el prologó de la primera edición de esta obra dije que me había apetecido
titularla El hormigón en zapatillas, ya que estaba escrita para ser leída en casa.
Hoy, dieciséis años después, sigo teniendo el mismo deseo y me sigue faltando
el valor necesario para llevarlo a cabo.
Pienso en efecto que un título así sería de lo más adecuado, dado que esta
obra se ha escrito para enseñar a distancia. En la enseñanza presencial el
profesor dispone de dos herramientas, el libro (letra escrita) y la palabra
hablada. En la enseñanza a distancia, en cambio, ambas herramientas deben
fl.Jndirse en una sola. De ahí el estilo que he utilízado al escribir, bastante
heterodoxo en comparación con otros libros científicos a causa de la mezcla
que hay en el libro entre letra escrita y palabra hablada. En efecto, de vez en
cuando he procur¡:ido compensar la aridez de la materia con comentarios
diversos (técnicos y de otra naturaleza), divagaciones y alguna que otra
advertencia acerca de ortografía, fruto de mi experiencia corrigiendo ejercicios
desde que se creó la Escuela de la Edificación.
Para evitarse paseos innecesarios hacia su biblioteca, conviene que el lector
estudiante tenga a mano, cada vez que abra este libro, la "Instrucción de
Hormigón Estructural EHE" y, caso de poseerlo, el "Jiménez Montoya" en su
14ª edición, ya que las referencias a estos dos documentos son constantes. Al
ser yo coautor de! último libro mencionado (desde su 7ª edición aparecida en
1973, junto al profesor Morán y al autor principal) no extrañará que me haya
apoyado en él de forma continua. El que yo lo cite en mi texto de ahora
utilizando como referencia las siglas MMM se debe a dos razones: economía
de espacio y vanidad personal, al verme reflejado en una de las tres emes.
Debo advertir también que cada vez que han entrado en conflicto la precisión y
la claridad de exposición, hé sacrificado la prrmera en aras de la segunda. Mi
mayor interés reside én explicar los fundamentos de la técnica del hormigón de
forma que se éntienda bieh lo que digo, por muchas excepciones que pueda
haber a lo que, aveces de modo simplista, digo. Este no es un libto de consulta
ni un tratado, es tan sólo un libro explicativo, de énseí'íanza. Y no descarto que
pueda contener alguna que otra ligereza y hasta equivocación, en cuyo caso
agradecería se me señalasen.
En la presente edición de este libro, siguiendo la "Instrucción de Hormigón
Estructural EHE", he adoptado el nuevo sistema de unidades SI.
Dice el Eclesiastés que Existe el oro y muchedumbre de perlas, pero el tesoro
más preciado son los labios instruidos. Me encantaría poseer ese tesoro y
saber transmitirlo a los demás.
Madrid, octubre 2001

Notas
He aquí algunas adverlencias necesarias para un mejor aprovechamiento de
estas lecciones:
1.- Cada vez que se cita un artículo de Ja EHE el lector debe consultarlo y
considerar que su contenido forma parte de la lección correspondiente.
2.- Los ejercicios de autocomprobación que se incluyen al final de cada tema
pueden resolverse a partir de:
- El contenido del tema en cuestión;
- La Instrucción EHE
- Y, excepcionalmente, el libró MMM,
si bien (en algún caso) es necesario consultar otra bibliografía (sencilla y
de fácil acceso) citada en el propio Tema.
3.- No obstante lo anterior, en alguna ocasión he aprovechado los ejercicios
de autocomprobación para dar información adicional sobre la materia de
que se trata. En tales casos el lector no debe extrañarse si fe resulta difícil
resolver el ejercicio en cuestión, cuya solución le servirá para adquirir
nuévos conocimientos.
4.- En cuanto a notación y unidades, he procurado ajustarme a la EHE y al
Código Modelo CEB-FfP.

5.- Con alguna frecuencia se citan por sus siglas diversas organizaciones,
cuyo significado es el siguiente:
ACHE Asociación Científico-técnica del Hormigón Estructural, fruto de la
fusión GEHO-A TEP. Es la asociación nacional correspondiente a la
FIB. Está abierta a todos los profesionales interesados en la técnica
del hormigón. La Escuela de la Edificación dispone de boletínes de
.
ingreso.
ACI American Concrete lnstitute. Es el equivalente estadounidense del
CEB. El Código ACI goza de gran prestigio internacional y, como
todo lo norteamericano, tiene un carácter muy práctico (en contraste
con el CEB que es algo más doctrinal y teórico).
AECC Asociación Española para la Calidad. Su Sección de Construcción
es una autoridad nacional en materia de control.
ATEP Asociación Técnica Española del Pretensado. Es fa asociación
nacional correspondiente a la FIP. Recientemente se ha fundido con
GEHO.
CEB Comité Euro-international du Béton (Comité Euro-internacional del
Hormigón). Es una asociación científica de base europea, máxima
autoridad en la materia. Recientemente se ha fundido con FIP.
EOQC European Organization for Quality (Asociación Europea para la
Calidad). Está constituida por el conjunto de asociaciones
nacionales del estilo de la AECC. Su Sección de Construcción es
una autoridad europea en materia de control.
FIB Federación Internacional del Hormigón, fruto de la fusión CEB-FIP.
FIP Federación Internacional del Pretensado. Junto con el CEB, son
autores del Código Modelo CEB-FIP que es la normativa
recomendada en Europa, en la cual se inspira el Eurocódigo y la
EHE española. Recientemente se ha fundido con CEB.
GEHO Grupo Español del Hormigón. Es la asociación nacional
correspondiente al CEB. Recientemente se ha fundido con ATEP.

ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO
Tomo 3. Elementos Estructurales
Tema 1: Vigas
1.1 El arte de armar el hormigón. Diseño de armaduras
1.2 Cálculo de vigas
1.3 Cambios de dirección de los esfuerzos
1.4 Pandeo lateral de vigas
1.5 Huecos pasantes en vigas
1.6 Caso de soldadura de barras
1.7 Vigas prefabricadas
Tema 2: Soportes
2.1
22
2.3
2..4
2.5
- ?
--- ...• •-~
- ,.
~ -
- ~
-- ---:;
-
Armado de soportes
Nudos y encuentros
Pilares zunchados
Soportes compuestos
Refuerzo de soportes
Método de bielas y tirantes. Aplicaciones
Introducción
Principios generales del método
Proceso de aplicación práctica
Comprobación de las bielas
Comprobación de los tirantes
Comprobación de los nudos
Ménsulas cortas
Otros casos de discontinuidad
-
17
17
25
28
33
34
35
36
43
43
47
51
56
58
65
65
67
70
75
77
78
79
85

Tema 4: Placas. Métodos clásicos
4.1 Generalídades
4.2 Principios generales de los métodos clásrcos
4.3 Métodos clásicos. Cálculo por diferencias finitas
4.4 Métodos clásicos. Elementos fin.itos y asimilación a un
emparrillado
4.5 Métodos clásicos simplificados
4.6 Tablas para el cálculo de esfuerzos
4.7 Reglas prácticas ydisposición de armaduras
Tema 5; Placas. Método de las líneas de rotura
5.1 Bases del método
5.2 Principio de los extremos
5.3 Simplificaciones
5.4 Obtención de la configuración de rotura
5.5 Fuerzas nodales
5.6 Recomendaciones prácticas
Tema 6: Punzonamiento
99
100
102
104
105
107
112
112
121
121
131
132
133
136
137
147
6.1 Introducción 147
6.2 Superficie critica de punzonamiento y resistencia del hormigón 149
6.3 Caso de punzonamiento centrado 152
6.4 Caso de punzonamiento excéntrico 155
6.5 Esquemas resumen sobre punzonamiento 158
6.6 Ejemplo de comprobación a punzonamiento 161
Tema 7: Placas sobre apoyos aislados
7.1 Introducción
7.2 Definiciones previas
7.3 Dimensiones de los elementos
7.4 Obtención de los esfuerzos (momentos de referencia)
7.5 Reparto de los momentos de referencia entre las bandas
7.6 Transmisión de momentos entre placa y soporte
7.7 Disposición de las armaduras
7.8 Aberturas en las placas
Tema 8: Pavimentos de hormigón
8.1 Introducción
8.2 Características de los pavimentos de hormigón
8.3 Tipos de pavimentos
167
167
168
171
175
177
178
179
182
187
188
188
191

8.4 Juntas
8.5 Diseño y ejecución de pavimentos de hormigón
8.6 Pavimentos industriales
Tema 9: Cimentacione.s. Predimension.amiento de
zapatas aisladas
193
198
202
213
9.1 Generalidades sobre cimentaciones 214
9.2 Comprobación al vuelco y al deslizamiento de zapatas 217
9.3 Distribución de tensiones del terreno {cálculo geotécnico) 219
9.4 Zapatas aisladas con carga centrada: predimensionamiento 224
9.5 Ejemplo de predimensionamiento de una zapata aislada con
carga centrada 228
Tema 10: Dimensionamiento de zapatas aisladas con
carga centrada 235
10.1 Dimensionamiento de zapatas rígidas 235
~0.2 Dimensionamiento de zapatas flexibles 237
~0.3 Anclaje y disposición de las armaduras 241
-1Q.4 Zapatas de hormigón en masa 243
J 0.5 Ejemplo de dimensionamlento de una zapata aislada con carga
centrada 24.5
Tema 11: Zapatas corridas, de medianería y de esquina
11 .1 Zapatas corridas
11.2 Generalidades sobre zapatas de medianería
11.3 Zapatas de medianería con tirante
11.4 Zapatas de medianería con viga centradora
11.5 Zapatas de esquina
11.6 Zapatas continuas bajo pilares
Tema 12: Pilotajes
12.1 Generalidades
12.2 Encepados
12.3 Cálculo de pilotes
12.4 Cálculo de encepados
12.5 Vigas de arriostramiento
Tema 13: Vigas, emparrillados y losas de cimentación
13.1 Introducción
253
253
257
258
263
267
267
275
275
277
278
282
290
297
297

13.2 Interacción suelo-estructura 298
13.3 Viga de cimentación bajo estructura flexible. Modelo de la viga
flotante 303
13.4 Emparrillados de cimentación 306
13.5 Placas de cimentación 308
Tema 14: Cargas concentradas sobre macizos. Articulaciones·
de hormigón 321
14.1 Descripción del fenómeno tensional. Principios básicos 322
14.2 Comprobación de la compresión localizada de contacto 326
14.3 Armaduras transversales 328
14.4 Introducción de esfuerzos paralelamente a una cara en una
pieza de hormigón 331
14.5 Articulaciones de hormigón 335
Tema 15: Vigas de gran canto o vigas pa·red
15.1 Generalidades
15.2 Canto eficaz y luz
15.3 Anchura mlnima
15.4 Vigas pared simplemente apoyadas
15.5 Vigas pared continuas
15.6 Armaduras de alma
15.7 Zonas de apoyo
15.8 Vigas pared en voladizo
Tema 16: Muros de contención de tierras
349
349
352
353
355
360
362
368
370
16.1 Tipología de los muros de contención 376
16.2 Trabajo de muro y estados limite 377
16.3 Caracteristicas geotécnicas 380
16.4 Acciones sobré el muro 381
16.5 Cálculo del empuje 382
16.6 Comprobación de la tensión sobre el terreno de cimentación 385
16.7 Comprobación de las condiciones de equilibrio 386
16.8 Comprobación de las condiciones de rotura 388
16.9 Recomendaciones de diseño y construcción 389
Tema 17: Depósitos
17.1 Generalidades
17.2 Condiciones del suelo. Flotación
17.3 Juntas
17.4 Ejecución
17.5 Acciones y tipología estructural
17.6 Depósitos rectangulares
405
405
406
409
411
413
416

HORMIGÓN ARMADO. Elementos estructurales
1.1.
1.1.1.
VIGAS.
EL ARTE DE ARMAR EL
HORMIGÓN.DISEÑO DE
ARMADURAS.
CÁLCULO DE VIGAS.
CAMBIOS DE DIRECCIÓN DE
LOS ESFUERZOS.
PANDEO LATERAL DE VIGAS.
HUECOS PASANTES EN VIGAS.
CASO DE SOLDADURA DE
BARRAS.
VIGAS PR.EFABRICADAS.
EL ARTE DE ARMAR EL
HORMIGÓN. DISEÑO DE
ARMADURAS
Introducción
17
La calidad de una estructura depende, fundamentalmente, del diseño
de armaduras. La mayor parte de los fallos estructurales no se deben a
errores de análisis estructural o de cálculo, sino a diseños de armado
insuficientes o mal concebidos.
Tema 1. Vigas

18 Álvoro García Meseguer
En un sentido ampHo, la expresión diseño de armaduras hace
referencia a la disposición y detalle de todas las barras de acero en una
pieza de hormigón. En un sentido estricto, el diseño de armaduras se
refiere a la disposición y detalles de armado de todas aquellas zonas
singulares de las piezas en las que no es aplicable la teoría de vigas.
En efecto, para diseñar el armado de las piezas es necesario distinguir
claramente en ellas dos tipos de zonas: aquellas en las que existe
continuidad geométrica y mecánica, a las cuales son aplicables las
hipótesis básicas de Bernouilli-Navier (zonas que la EHE denomina
regiones B, inicial de Bernouilli), y aquellas otras en las que, por no
existir dicha continuidad, no son aplicables tales hipótesis (zonas que la
EHE denomina regiones D, inicial de discontinuas).
A título de ejemplo, en la figura 1. 1 se representa el esquema
estructural de una viga (a) que puede corresponder a distintos casos
reales (b). Para diseñar las armaduras correctamente, conviene
distinguir en la viga (figura 1.2) las zonas B de las zonas D. Las
primeras se arman por la teoría de vigas (en el Tema 6 del tomo 1 y en
el Tema 15 del tomo 2 aparecen una serie de indicaciones al respecto)
y resultarán iguales en los tres casos de la figura, en tanto que las
segundas requieren un estudio especial en cada caso.
t t
1 1 1
,
(b)
Figura 1.1. Un mismo esquema, válido para el análisis estructural (a),
puede·corresponder a díve.rsos casos (b).
Tema 1. Vigas

HORMIGÓN ARMADO. Elementos estructurales 19
En las regiones B el flujo de tensiones tiene un carácter regular. Por el
contrario, las regiones D se caracterizan por tratarse de regiones
disturbadas, en las que el flujo de tensiones es turbulento. El estado
tensional de las zonas ñ es multidimensional, lo que c.ondiciona el
armado de las mismas.
Siempre que exista una discohtinuidad en la estructura, la teoría
general de vigas resultará quebrantada y no será, por tanto, aplicable o
lo será sólo parcialmente. Como ya hemos dicho, las discontinuidades
pueden ser de carácter mecánico (cargas concentradas, reacciones,
etc.) o de carácter geométrico (variación brusca de canto, nudos de
pórticos, quiebros en losas, encuentros de piezas, etc.). Todas las
zonas de discontinuidad, por tanto, deberán estudiarse como zonas D.
B. 8
Figura. 1.2. Regiones By regiones Den Ja viga de la figura 1.1
En el estudio de regiones D es necesario visualizar el flujo de tensiones
que discurre por el interior de la pieza y disponer ;3rmaduras que tomen
aquellas tracciones que el hormigón no puede soportar.
La Instrucción EHI= dedica a las regiones D su artículo 24, cuyo
apartado 24.1 debe leerse ahora, prestando especial atención a las
figuras 24.1.a,b,c y d.
1.1.2. El hormigón y la tracción
En los cálculos solemos despreciar la resistencia a tracción del
hormigón. Eso no significa que el hormigón sea incapaz de resistir
tracciones.
lema 1. Vigas

20 Álvaro García Meseguer
Por el contrario, puede asegurarse que la tecnología del hormigón
armado sería imposible sin una resistencia a tracción del hormigón, ya
que sin ella:
• no podríamos anclar las barras
• no podríamos solapar barras
• las placas sin estribos fa.liarían
• incluso las piezas en compresión simple fallarían.
Lo que sucede es que solemos emplear ciertos sinónimos, taies como
tensión admisible de adherencia, de cortante o de punzonamiento; y lo
que importa es sabe.r usar de ellas adecuadamente. Así por ejemplo,
ante un anclaje o un solapo de barras (que movilizan tensiones de
tracción) procuraremos disponerlos en una zona donde existan
compresiones impuestas de otro origen; o pensaremos en recubrir el
solapo con estribos si lo que hay son trC!Cciones impuestas de otro
origen, incluso en casos en que los códigos o instrucciones no nos lo
indiquen.
Análogamente, si hemos de disponer juntas de hormigonado en vigas,
soportes, etc., les daremos una orientación tal que reciban tensiones de
compresión normales a su trazado (figura 1.3) asegurándonos de que
las tensiones rasantes al plano de junta son mínimas y de que ésta se
encuentra "cosida" por armaduras adecuadas.
_J
1
L _J
1 1 1
--- -- -
Figura 1.3. Juntas de hormigonado
Temo 1. Vigas
L

- o= GÓN ARMADO. Elementos estructurales
: .1.3. Razones para armar el
hormigón
21
_as armaduras en una pieza de hormigón armado cumplen las
s ~J entes misiones:
-
::: Soportar los esfuerzos de tracción que se obtienen en el cálculo, el
cual supone que el hormigón circundante no toma ninguna tracción.
:: Asegurar que el ancho de fisuras, en condiciones de servicio, no
excede los valores recomendados.
e} 'llpedir una fisuración excesiva por efectos térmicos y de .retracción,
cuando el elemento está coartado.
: Soportar esfuerzos de compresión cuando el hormigón por sí solo no
es capaz de tomar la totalidad de los mismos.
e Coartar los movimientos laterales de las barras comprimidas,
·mpidiendo su pandeo.
:-. Zunchar las zonas de hormigón que se ven sometidas a tensiones de
compresión elevadas.
g Sujetar el recubrimiento e impedir que salte frente a los efectos del
fuego u otras acciones de carácter extraordinario.
'1) Proporcion,ar una sujeción temporal de armaduras en fase de
ejecución.
B proyectista debe tener presente todas estas misiones a la hora de
disponer y detallar las armaduras en una pieza de hormigón armado,
especialmente en zonas D.
1 l.l.4. 1 Analogía de la celosía
En el armado de zonas D resulta muy útil recordar la analogía de la
celosfa. En d.efinitiva, las tensiones deben discurrir desde unos puntos
de entrada hasta otros de salida. Mientras el hormigón no se fisura, el
Tema l. Vigas

22
,
Alvaro García Meseguer
trayecto se ajusta a leyes elásticas (isostáticas) y puede ser intuido a
través del mecanismo de celosía, es decir, de un conjunto de tirantes de
acero y bielas de hormigón comprimido, bielas que pueden
materializarse al exterior una vez que el hormigón se fisura.
También las zonas D pueden resolverse mediante la analogía de la
celosía y, de hecho, a ella recurrimos para resolver el problema del
cortante o la torsión (ver Temas 13 y 17 del Tomo 2). En definitiva, el
modelo básico de celosía consiste en dos cordones principales (figura
1.4.) uno en compresión y otro en tracción; unos montantes en tracción
y una diagonal comprimida o biela de hormigón. Este modelo es
perfectamente capaz de describir el estado tensional de la zona n si no
hay un cambio brusco de fuerzas, incluso más allá de los límites de
validez de la teoría de flexión.
La Instrucción EHE resuelve las regiones D mediante el método de
bielas y tirantes (artículo 24.2.2 y artículo 40) al que dedicamos el
Tema 3 de este tomo.
t
e
..
Figura 1.4. Analogía de la celosía. Elemento básico
Tema 1. Vígás

1.1.5. La regla del profesor Torroja
El profesor Eduardo Torreja solía decir a sus alumnos:
"Las estructuras de hormigón armado no trabajan como se las calcula,
sino como se las arma".
Uno puede hacer los cálculos que desee, partiendo de un determinado
análisis estructural y aplicando la teoría de cálculo que le venga en
gana. Al final, acabará dibujando unos planos, con unas dimensiones
de hormigón y un trazado de armaduras. A la hora de la verdad, la
estructura construida trabajará con arreglo a ese dimensionamiento,
tenga o no algo que ver con los cálculos efectuados.
Conviene recordar esta advertencia en el diseño de armaduras. El
cálculo nos ayuda, pero no puede sustituir al análisis intuitivo. A
menudo deberemos disponer barras "a sentimiento" allí donde una
reflexión sobre el recorrido de las tensiones nos haga concluir que
pueden ser necesari.as o convenientes.
Otra idea que puede ayudar a nuestra intuición es ésta: El hormigór:i
está siempre deseando fisurarse por tracción. ¿Por dónde puede
atravesar una fisura? Si hay un camino libre, la fisura lo recorrerá.
Debemos impedir su paso, colocando juiciosamente las armaduras.
las figuras 1.5 y 1.6 ilustran lo dicho con ejemplos
' _il ~
• ,-, ,,,
, .. ·' / / /
'
~ 111111 11 l+LIZli¡)J
A e
{a) (b)
Figura 1.5. Una viga en la que no exista adherencia acero-hormigón en su zona
central AB puede resistir como arco atirantado si la armadura está bien anclada.
Tema 1. Vigas

24
,
Fisura
Figura 1.6. Fallo de un pórlico por despiece incorrecto de la armadura
(caso real, USA 1956).
1.1..6. Racionalización del
armado
Es un defecto común a muchos proyectos de edificación el que los
planos ofrezcan una información insuficiente con respecto al armado.
Esta situación es contraria a la economía y puede poner en riesgo la
seguridad.
Los planos deben disponer de todos los datos necesarios para definir
las armaduras inequívocamente, incluyendo un adecuado despiece de
las mismas. Esto es el mínimo exigible. Ahora bien, lo recomendable es
ofrecer un grado mayor de definición, incluyendo tablas en las que, para
c.ada forma y tipo de barras, se reseñe el número de elementos, su
longitud, su diámetro, etc.
Tema 1. Vigas

HORMIGÓN ARMADO. Elemento.s estructurales 25
Para racionalizar al máximo las disposiciones de armado, lo que no sólo
redunda en una mayor economía sino también en una disminución del
riesgo de errores en obra, deben cumplirse los siguientes requisitos:
a) Empleo mayoritario de barras rectas o muy poco dobladas.
b) Ernpleo de un pequeño número de diámetros diferentes, lo más
diferenciados posible.
c) Empleo de una calidad de acero única, salvo excepción justificada.
: ;:ácil ensamblaje.
3 El número de variantes de formas necesarias para materializar el
::·seño debe ser mínimo.
- ::Josibilidad de prefabricación total o parcial de la ferralla.
0 CLando se repiten muchos elementos, posibilidad de apilamiento de
C>S elementos préfabricados de
:,sDacio y se reduzcan así
a '"'lacena.miento.
ferralla, para
los costes
que ocupen poco
de transporte y
- "":'-o de ejemplo, en la figura 1. 7 se muestra un encuentro viga-pilar
-~_e to con barras rectas, según recomienda la Concrete Society
: S : y en la figura 1.8 se ofrecen disposiciones recomendadas por el
- -=::rcan Concrete lnstitute (ACI).
1.2.
CÁLCULO DE VIGAS
=~'"E al cálculo de vigas, salvo justificación especial, se considerará
-:-,J luz de cálculo la distancia entre ejes de apoyos, según establece
~ =.-.E en su artículo 18.2.2
_::. s stemática para el cálcul.o aparece resumida en el artículo 54 de la
:=--=.. En cuanto a la disposición de armaduras, se tendrá en cuenta lo
=::ado en el artículo 42.3.1 de la EHE.
Tema 1. Vigas

Figura 1.7. Encuentro viga-pitar (C.S.)
Tema l . Vigas

HORMIGÓN ARMADO. Elementos estructuroles
Barras de mon~je
~•
1
.
- 1
15cm 0,15 L Estribos
L
a) Viga de un vano, simplemente apoyada
Barras de monta1e
El mayor de El mayor de
~0,3,L ó 0,3L1 0,3Ló 0,3l 1
1 1 3cm 1 1 l
1
. . '
1-+- - ... ~
1
1 V
~ 1
.
/ ~
.
1 !'-- ' 1 1
.
' '1
~11
L1
0,25L L
Estribos
.
-L-----
b) Vano intermedio de viga continua
/'.J ~ 3Qcm
~
•
1
Barras de montaje
J
El mayor de
0,3Ló 0,3L1
El mayor de
0,3l ó 0,3L,
- ..._ -..... .
'>- 45º I/
~~
I/['
"'
Í'. -~ 1 1
Estribos
•
r15c~,;; 0,25L·=n'.1 0,15 L
l. 1 - L- - - - 1
e) Vano extremo simplemente apoyado
Figura 1.8. Recomendaciones de armado de vigas (ACI)
Tema l . Vigas
27
'
1
1
1
1
1

28
1.3.
CAMBIOS DE DIRECCIÓN
DE LOS ESFUERZOS
Se trata de un caso particular frecuente de lo que hemos llamado
zonas D.
Las piezas de hormigón armado cuyo trazado no es recto o cuyas
dimensiones cambian bruscamente, generan esfuerzos interiores cuya
consideración es necesaria al disponer las armaduras.
Así por ejemplo (figura 1.9) cuand.o las traccion.es T 1 y T 2 no está1J
alineadas, c:iparece una tercera fuerza, ~. que tiende a hacer saltar el
recubrimiento. Mientras el cambio de dirección sea pequeño (ex.< 1s º)
esa fuerza puede tomarse con estribos y llevarla a la zona comprimida
de la pieza, dimensionando holgadamente tales estribos (por ejemplo,
para tomar vez y media la fuerza R). Si el cambio es más fuerte
(a > 15 °) hay que despiezar la armadura de otra forma, para evi'tar el
fenómeno (figura 1.10).
'
1 .
- T.1.-
R_~5°
Figura 1.9. Cambio de dirección de esfuerzos (pequeño)
""T, ~>15º
'
1
1
1
T,
l
1 lb 1
Figura 1.10. Cambio de dirección de esfuerzos (grande)
Tema 1. Vigas

El mismo principio se aplica en zonas de compresión, cuando la
resultante cambia de dirección bruscamente (figura 1. 11). En tales
casos, hay que disponer estribos y armadura transversal en las alas de
la te, para evitar su rotur~. Otro ejemplo es el nudo de un pórtico (figura
1.12).
.
.
e
~
_,
..._ -
e
• ~l R
c-s; == J
e .
./
Estribos
-
1
Figura 1.11. Cambio de dirección de compresiones, en viga T
Fisura
M
M
Figura 1.12. Nudo sometido a momento positivo
Tema 1. Vigas

Los dos casos descritos se combinan en elementos de trazado curvo
sometidos a flexión (figura 1.13). En ellos, hay que disponer estribos
regularmente espaciados, para que los dos empujes al vacío se
equilibren mutuamente a través de los mismos.
M
M
Figura 1.13. Elemento CUNO sometido a momento positivo
La Instrucción EHE se refiere a estos casos en su artículo 64, cuya
lectura debe hacerse ahora.
La idea esencial en los casos de cambio de dirección cte los esfuerzos
es que dicho cambio provoca tensiones radiales de compresión o de
tracción según el signo del momento. Así por ejemplo, volviendo al caso
de un nudo de pórtico ortogonal y según estudios de Nilsson citados por
Leonhardt, la distribución de tensiones en las diagonales es como la
indicada en la figura 1.14 para momentos positivos. Las tensiones de
tracción diagonal son tan elevadas que puede aparecer la fisura 1 (así
como la 2) si no se disponen las armaduras adecuadas. Para
momentos negativos, los signos se invierten.
Tema l . Vigas

A
'
Compresidnes
1
1
i M
lTracciones
~~~· --77 1
1
1
1
1
1
1
1
f
B
31
1
1 M
1
1
.J?.c.'~------- -~'~~~---1
- - - - -'- -----' - - - -
M
Figura 1.14. Distribución de tensiones en un nudo de pórtico
y posibles fisuras (Tomada de Leonhardt)
En la figura 1.15 se muestra un detalle de armado de uno de estos
nudos con estribos oblicuos, recomendables en caso de esfuerzos
importantes.
Tema 1. Vigas

3,00 3,oorn
4 (JI 2" r +ª·ºº
-~ s1i
2 025 -
2 0 2Q ~
..
,_
·2020 ':.. 2020
~
L
1- E06<!30cm E 0 6 a 20crn :::E 0. 6 a 20c:n
0,40x0,40 ,_ 3,55 3,55 ::: O4.0xO 40,_
~
~
E 0 6a 30cm E 0 6 a 30cm · ~ +O00,_ ,._-!.;
~
,_
,_
1 1 1 - '- 1
~
0,70~
15,00m
'0,70
' ' 2 0 20
¡-------==------....:...::~---~ -10.70
-r
2 0 20
o,eo·
2 016 ! T 2 0 16
2025
12,00
2 0 25
12,00
E 0 a·a 20cm 4 0 20 2 0 16
2020
4 0 20
2020
2 0 20
2 020
2020 2025
2 0 20
E 0 8 a 20cm
E 0 6 a 30cn1
Detalle A
Figura 1.15. Armado de nudo extremo con estr.ibos oblicuos (Tomada de Calavera)
Tema l . Vigas

1.4.
PANDEO LATERAL DE VIGAS
En vigas esbeltas, puede presentarse el fenómeno de pandeo antes de
que la viga desarrolle toda su capacidad resistente a flexión. El fallo se
produce en tales casos por pandeo lateral del alma acompañado de
alabeo (figura 1.16). Si la rigidez a flexión en el plano principal es muy
grande comparada con la rigidez lateral, el riesgo de pande.o es alto, a.
menos que se dispongan rigidizadores transversales para impedir que
la pieza se salga de su plano.
) M l y
1 /
1 /
1
X
'T - - -
. 1
1 /
I;
11
Figura 1.16. Pandeo lateral <Je una viga
Este problema no es muy común, ya que las vigas se diseñan más o
menos intuitivamente con secciones compactas. Pero pueden
presentarse situaciones críticas en elementos prefabricados, durante
ias operaciones de transporte y puesta en obrq (izado), es deQir, ante~
de la colocación de otros elementos rigiqizadores.
El tratamiento analítico de estos casos es muy complejo. El Código
3ritánico CP-11O5ecomienda respetar las siguientes limitaciones para
evitar el fenómeno:
• En vigas continuas o simplemente apoyad;;is de ancho b y canto d, la
distancia libre entre elementos rigidizadores laterales, 1, debe
cumplir la doble condición:
l < 60. b •
1 <
'
Tema l. Vigas
b2
2SO-
d

34
•
• En voladizos, debe cumplirse
l < 25 . b
'
1 <
b2
100 -
d
1.5.
HUECOS PASANTES EN
VIGAS
A veces resulta necesario disponer huecos pasantes en el alma de una
viga. En tales casos, hay que disponerlos en las zonas menos
solicitadas, como es obvio. Conviene igualmente alejarse de los apuyos
de la viga, ya que éstas son zonas de cortantes elevados en las que los
estribos van colocados a pequeñas distancias entre sí.
Los huecos deben salvar las armaduras principales y afectar lo menos
posible a la cabeza de hormigón comprimid©. Por eso (ver figura 1.17)
conviene disponerlos en las proximidades del eje neutro, desplazados
hacia la zona en tracción. Su forma debe ser circular u oval, evitando
puntos angulosos en su contorno por el peligro de iniciación de fisuras
en tales puntos (efecto entalladura).
. -
h d
1
1
·-
Eje neutro Estribos
-- - 1-- - - ~ - -
~-:-+--:-:-~-----t-===!:=::::::;_j_~--!
;::;2(h-d)
Figura 1.17. Ubicación de huecos en vigas
En las zonas superior e inferior del hueco (figura 1. 18) la transmisión de
cortantes de la viga debe efectuarse por u.n mecanismo de celosfa, lo
cual proporciona un criterio para dimensionar los cercos
correspondrentes. A su vez, las barras longitudinales deben ser
Tema 1. Vigas

-()=(~AIGÓN ARMADO. Elementos estructurales 35
capaces de proporcionar la necesaria capacidad resistente que la celo-
.
s a requiere.
Como seguridad adicional, conviene llevar a los bordes del hueco los
-.smos estribos generales de la viga cuya colocación ordinaria ha
-=.Jedado impedida por causa de la perforación.
1.6.
Cercos Bielas
/ /
Barras Ion itudinales
Fígura 1.18. Armado de huecos
CASO DE SOLDADURA DE
BARRAS
:uando, por las características de las vigas, sea necesario soldar
Jarras, deberán preverse tales soldaduras desde la fase de proyecto. Al
e:ecto conviene tener en cuenta las siguientes recomendaciones, que
~ornamos del MMM.
• El número y posición de las uniones soldadas deben figurar en los
planos. Conviene reseñar también el método de soldeo.
• Las uniones soldadas deben proyectarse en zonas alejadas de
fuertes tensiones,, siempre que sea posible, y preferiblemente,
próximas a las zonas de momento nulo.
Tema l. Vigas

36 Álvaro García Mes~gver
• No es conveniente concentrar en u,na misma sección más del 20 por
100 de empalmes soldad©s respecto al total de ba.rras.
• Las dos recomendaciones anteriores no son necesarias para barras
que trabajen a compresión.
• No deben disponerse soldaduras en los codos, ángulos o zonas de
trazado curvo de las armaduras.
• Conviene distanciar las soldaduras correspondientes a barras
contiguas en 1Odiám.etros.
• Cuando no actúen esfuerzos dinámicos, puede contarse con una
capacidad resistente de la unión soldada igual a la de las barras,
siempre que la ejecución esté sometida a control.
• Cuando puedan· actuar esfuerzos dinámicos, es prudente c.ontar tan
solo con el 80 por 100 de la capacidad mecánica de las barras y
extremar el control de la ejecución.
• Las sold.adwras por solapo deben rodear$e de estribos adicionales
para absorber las tensiones tangentes que aparece.D en su entorno.
• Por último conviene recordar que, en muchas ocasiones, pueden
emplearse manguitos de empalme en vez de soldaduras, con
resultados muy satisfactorios.
1.7.
VIGAS PREFABRICADAS
El proyecto y la ejecución de vigas prefabricadas difiere en algunos
aspectos del caso de construcción in situ. Las acci.ones que la viga
debe soportar durante el p.eríodo que va desde su hormigonado hasta
su colocaQió1:1 definitiva pueden ser mayores que las de s·u vida de
servicio. Además, su manejo y transporte pueden ocasionar a menudo
deformaciones permanentes (recuérdese también el peligro de pandeo
lateral, apartado 1.4) por lo que deben adoptarse precauciones en tal
sentido.
Tema 1. Vigas

,QRMIGÓN ARMADO. Elementos estructurales 37
Es de la mayor importancia est.udi,ar las zonas de conexión entre la viga
y los restantes elementos, ya que el comportamiento estructural puede
ser diferente de vigas similares hormigonadas in situ. El proyecto y
disposición de juntas para transmitir los esfuerzos debidos a la
retracción, fluencia, temperatura, deformación elástica, viento y sismo
requiere una atención particular en prefabricación.
las zonas donde se colocan los elementos de izado deben armarse
convenientemente para soportar los esfuerzos transitorios de manejo.
A veces, la colocación previa de las armaduras pasantes dificulta
enormemente el hormigonado. la experiencia demuestra que, en tales
casos, es posible colocar los conectadores después de vaciado el
hormigón, cuando éste se encuentra en estado plástico, siempre que se
adopten las debidas precauciones para asegurar el correcto anclaje de
estas barras y que el hormigón quedará perfectamente compactado
alrededor suyo. Esta posibilidad no es aplicable a ninguna armadura
que deba quedar totalmente sumergida en el hormigón fresco, ni a las
::>arras que vayan ancladas (o ligadas) a otras sumergidas.
Tema 1. Vigas

BIBLIOGRAFÍA
• Instrucción EHE: Artículos 54 "Vigas" y Anejo 7 "Recomendaciones
para la protección adicional contra el fuego de elementos
estructurales".
• Reinforced Concrete Structures por Park and Paulay. Editado por
John Miley, New York 1975.
• Hormigón Armado por Montoya, Meseguer, Morán, 14ª edición,
Gustavo Gilí, Barcelona 2000.
• Traité de béton armé por Lacroix, Fuentes y Thonier. Editado por
Eyrolles, París 1982.
• Construcciones de hormigón por F. Leonhardt. Volumen 3. Editora
lnterciencia, Río de Janeiro 1979 (En portugués) .
• Pandeo lateral de vigas con distorsiones por José M. Sancho y
Jesús Ortiz. Revista "Hormigón y acero" nº 162, primer trimestre
1.987, Madrid.
Tema 1. Vigas

EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN
1. El mecanismo de adherencia acero-hormigón es un buen ejernplo
de cómo confiamos en la resistencia a tracción de este último. En
las vigas usamos de este mecanismo para dos propósitos
diferentes. ¿Cuáles?
2. Discutir la eficacia de la armadura transversal de una viga en los
casos a), b) y c) de la figura 1.19. Se supone que el momento
flector es positivo.
-
1:
(a) (b) (e)
Figura 1.19
3. Por razones estéticas, se ha proyectado una pérgola de hormigón
a base de vigas continuas de so cm de canto y 10 cm de ancho,
atravesadas por brochales distanciados entre sí 6 m. ¿Es
arriesgada esta disposición?
4. Un voladizo de hormigón armado con 4020 de acero B 400 s,
debe construirse a base de soldar a tope las cuatro barras a otras
cuatro dejadas en espera en el macizo de empotramiento, por
razones constructivas. Para no concentrar las soldaduras, la
Dirección Facultativa dispone que las barras salientes inicialmente
ancladé!S tengan longitudes de 5, 15, 25 y 35 cm respecti-
vamente, a partir del paramento. ¿Es correcta esta disposición?
Tema 1. Vigas

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN
1. Primero: para introducir e incrementar las tensiones en las barras.
Segundo: para anclar las barras. Ambos casos se ilustran en la
figura 1.20, donde u es el perímetro de la barra.
t t
T ...,_ -"- ..o.. ...:.. T+ AT
,~s
Rebanada de viga
T
't -
b - u . l
b
Zapatas de medianería atirantadas
Figura 1.20
2. El caso a) es correcto por encontrarse los anclajes en la zona de
compresión. El caso b) es incorrecto, la armadura no puede
funcionar eficazmente por falta de anclaje; las bielas de hormigón
no tienen dónde apoyarse (ver figura 3.4.c del Tema 3). El caso c)
es correcto, pero tiene dos inconvenientes: no confina el
hormigón, es decir, no produce el efecto beneficioso de zuncho
que producen los cercos completos; y no toma la tracción
transversal inferior (ver figura 3.4.c del Tema 3), por lo que esta
solución de horquillas vale como complemento de los cercos pero
no puede sustituirlos (riesgo de fisuración, ver figura 1.21).
•I ' "
Fisura
~"r.... v
Figura 1.21
Tema 1. Vigas

- ORMIGÓN ARMADO. Elementos estructurales 41
3. Aplicamos el criterio del Código Británico CP-11 O.
60 · b - 60 · 10 = 600 cm = 6 m
2 5 O b
2
= 2 5 O
1
OO = 5 OO cm = 5 m
d 50
Lo prudente es disponer los brochales a s m como máximo.
4. La idea es buena pero el decalaje de las soldaduras es
insuficiente. Conviene distanciarlas 2 o cm al menos.
Tema l . Vigas

HORMIGÓN ARMADO. Elementos estructura les 43
SOPORTES.
ARMADO DE SOPORTES.
NUDOS Y ENCUENTROS.
PILARES ZUNCHADOS.
SOPORTES COMPUESTOS.
REFUERZO DE SOPORTES.
2.1 .
ARMADO DE SOPORTES
=n el Tema 6 del Tomo 1, apartado 6.2, así como en el Tema 15 del
Tomo 2, se dan una serie de indicaciones acerca del armado de
soportes, que conviene releer ahora. También en el Tema 1
·.,mediatamente anterior se ofrecen indicaciones generales que son
aplicables a soportes.
:...a sistemática para el cálculo de soportes aparece resumida en el
artículo 55 de la EHE.
Las condiciones de adherencia y anclaje de las barras son más
favorables en soportes que en vigas. En cambio, los empalmes de
barras comprimidas merecen una especial atención.
Una fracción importante de la compresión de la barra se transmite al
hormigón por la punta (resistencia de punta). pero este efecto no se
considera en el cálculo. Lo que se cuenta en el cálculo es una
transmisión de la compresión de una a otra barra por adherencia del
hormigón circundante, efecto éste que se n·~oviliza una vez que se ha
Tema 2. Soportes

sobrepasado la resistencia de punta, según parece demostrado por
ensayos. Así, la figura 2.1 muestra la rotura de un soporte en la zona de
barras empalmadas, en la cual se produjo la salida lateral de las dos
cuñas rayadas de hormigón antes de alcanzarse la carga última<
En el caso en que las barras quedan excéntricas y trabajan a tracción
(figura 2. 2) la rotura también se produce en la zona de empalme, con
actuación de fuerzas transversales.
Las figuras mencionadas son expresivas de la importancia que tiene el
disponer cercos adicionales en las zonas de empalme de barras, con
objeto de impedir Ja salida de las cuñas por puntas (zonas rayadas de la
figura 2.1).
Estos cercos adicionales se muestran esquemáticamente en la figura
2.3 y, según Leonhardt, deben disponerse (con separaciones inferiores
a cuatro veces el recubrimiento) siempre que se de alguna de las dos
circunstancias siguientes:
0 > 0,7c 0 > 14 mm
siendo e el recubrimiento libre y 0 el diámetro de la barra más gruesa.
__
Figura 2.1. Fuerzas laterales Inducidas por un empalme de barras comprimidas
(Tomada de Park and Paulay)
Tema 2. Soportes

t
'V·'
l ... .... •.. . .
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1
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..
1
Figura 2.2. Rotura en zona de empalme de barras en tracción
(Tomada de Park and Pau/ay)
- -
1
1
4
;¡.
t
J
1
1
.
1
t1
Cercos adicionafés. Sé aración ~ 4·C
Cercos normales. Separación según norma.
I .. ... .....
l /Corte recto de la barra.. ~-r;¡
.~-
1
j
t
f
.. .. .....,..
. .. .
• e .
• ..
. .
'
:
. . '~. .
·A
.. « . •
. . .. .. 1.
e =recubrimiento libr¡;¡
Figura 2.3. Cercos adicionales en .zonas de solapo.de barras comprimidas
Tema 2. Soportes
45

Dicho con toda generalidad: siempre que la fuerza tomada por el acero
cambie de dirección, es necesario disponer estribos adicionaJes para
tomar las fuerzas transversales resultantes.
Recordemos que los estribos en soportes desempeñan una triple
misión, que conviene tener presente para asegurar que cada una de
ellas se cumplirá realmente:
1ª.- Impedir el pandeo de las barras comprimidas. Para ello, la
distancia entre cercos debe respetar lo indicado en las normas
(artículo 42.3.1 de la EHE).
2ª.- Tomar los esfuerzos transversales que existan o puedan existir
(sismo$ impactos, etc.)
3ª.- Zunchar el núcleo de hormigón del soporte. Este efecto es
particularmente importante frente a solicitaciones de carácter
extraordinario (figura 2.4).
•
....
•
..
•
.
•
---......
"I .
1 Area libre
1 para el paso ¡
del hormigón J
fresco /
.. /
...... /
~--..,-
..
..
•
: ....., "
Figura 2.4. Columna zunchada con estribos, apta frente a efectos sísmicos
Especial importancia reviste la disposición adecuada de los cercos para
impedir el pandeo de las barras comprimidas. Es claro que las barras
de esquina resultan bien arriostradas, pues cualquier desplazamiento
Tema 2. Soportes

pondría en tracción una de las patas del cerco, o las dos (barra A de la
figura 2.5); pero si la barra queda lejos de la esquina (barra B) su
pandeo no queda impedido. Numerosos ensayos han demastl'ado que
15 cm es la distancia máxima que nos permite confiar en la eficacia de
la sujeciólil (así lo indica también la EHE en el comentario al artículo
42.3.1 y figura correspondiente). O.e ser mayor la distancia entre b·arras,
M-ay que oolooar otra familia de cercos, cuya forma puede ser romboidaJ
(ACI 318-85) para facilitar; el hormigonad0.
2.2.
Pandeo
impedido
Pandeó
posible
Figura 2.5. Forma de evitar el pandeo de la armadura
principal y cercos romboidales
NUDOS Y ENCUENTROS
_:;s nudos son zonas singulares en las que suele concentrarse mucha
=.-,adura, por lo que conviene estudiar la disposición de la misma con
:;~_eto de facilitar el hormigonado y racionalizar la ferralla.
=: os empalmes de pilares se dispondrán estribos adicionales en las
:.=.,as curvas de las barras (figura 2.6) para evitar el empuje al vacío.
i=- los empalmes de pilares con zapatas, los solapos de armadura
::::ierán ser holgados, para tener en cuenta las tolerancias en el nivel
:-s a zapata (figura 2. 7).
Tema 2. Soportes

Estribos adicionales
Figura 2.6. Empalme de pilares (CEB)
oetalle para --indicar la tolerancia

!
-
1 •1
~
Solapo de compresión más
toleraaéi.a del nivel de la iapata
Cara suoerior de la za=ta - ---1 ' / 1
1 1 T
Retallo (8 - 10 cm)
1 1
1
~45ml
1
.....
r-- . .._ .A..
Figura 2.7. Empalme de pilar con zapata (Whittle, CACA)
Tema 2. Soportes

En los encuentros de vigas y pilares no deben omitirse los cercos d~I
pilar a las separaciones que corresponda. La violación de esta regla ha
originado problemas graves en casos singulares, como el de encuentro
de dos vigas con un pilar a distinto nivel (figura 2.8.a). Por otra parte,
os nudos resultan críticos en caso de esfuerzos dinámicos (sismo),
t'TlOstrando la experiencia que las barras longitudinales sin cercos
:::;..;eden pandear aún embebidas en la masa.del hormigón (figura 2.8.b.)
Jna buena solución consiste en emplear barras horizontales en u que
e'ltran en la viga (figura 2.8.c).
omitir cercos
11- esta zona
+--t-
1
r--,
+--1-.1--l.
'
1 1
i--~
1 1
1
!----" 1
¡ :
t-~+-+<
(a)
1
.
l.
Barras horizontales en U
/ 1
' 1
Barras en U
·~-~
-(b) (e)
Fígura 2.8. Armadura transversal del pilar en nudos
:=- el Tema 1 anterior hemos comentado otros aspectos de los nudos
__e 'Tierece la pena releer ahora. En particular, en la figura 1.7 aparece
- a:icuentro viga-pilar. Se observará que las barras superiores de las
;as son pasantes de un lado a otro del pilar y que las inferiores
--~en detenerse a unos s cm de la cara más próxima del soporte. Si
=.5 narras superiores hubieran de bajar en la viga siguiente, conviene
::::: '"'1enzar a bajarlas a medio canto de la cara del pilar inferior (figura
.: : consiguiéndose de este modo que la barra que se dobla sea eficaz
.::-:o para el momento negativo como para el esfuerzo cortante. Para
: :~e caso, el ACI recomienda usar 3 ocm como mínimo.
Tema 2. Soportes

50
.
.
....
,
l
....
_,...
,
•
O,Sd
r rl
1
1 1
~ 1
1 ~30cm
(ACI)
Figura. 2.9. Punto de doblado de barras superiores
Barras en U
/I X X
- - -
. • A
l
(a) - -
(b)
Figura 2.10. Uniones viga-soporte
.
1
1
1
-l
Para la transmisión de momentos entre una viga y un pilar de borde, es
recomendable el empleo de barras en u dentro del canto de la viga
(figuras 2.8.c y 2.10.a), que se fijan y hormigonan con la viga y por tanto
no requieren fijación cuando se hormigona el soporte. Si la longitud 1 es
menor que la longitud de anclaje que la barra necesita, esta disposición
debe cambiarse por la de barras en L (figura 2.10.b) penetrando en el
pilar; en tal caso, conviene colocar una barra de esquina en la zona de
doblado.
La figura 2. 11 muestra una conexión análoga a la descrita en la figura
2.1O, recomendada por el CEB.
Tema 2. Soportes

rlORMIGÓN ARMADO. Elementos estructurales 51
Cualquiera que sea la disposición que se escoja, conviene distinguir
dos situaciones diferentes para el anclaje de la armadura de la viga en
si pilar de borde. Si el pilar superior va a trabajar siempre en
::ompresión, la situación es favorable y el anclaje puede comenzar a
:ontarse desde el punto A (figura 2. 1O.b) a haces con la cara interior del
'.l'liali, recordando por otra parte que si hay junta de hormigonado en la
sección xx la barra está en posición II de adherencia. Por el contrario,
3 •a armadura del pilar superior puede entrar en tracción, la situación es
- ..y desfavorable para el anclaje de las barras de la viga, debiendo
::-tonces comenzaTse a contar la longitud de anclaje a partir de la cara
: ~erior del soporte.
-
-- -1
~
~
"·-l
' ......
r.
1.
1
1
1
1
1
Figura 2.11. Conexión viga-soporle (CEB)
2.3.
PILARESZUNCHADOS
=3.1. Generalidades
-=~s para aumentar la resistencia a compresión de una pieza de
·~- ::0, armadQ, se dispone un zuncho formado por una hélice de
Tema 2. Soportes
'

52 ÁlvQro García Me.seguer
acero de paso redt,Jcido o por cercos a pequeñas separaciones.
Mediante el zunchado se coartan con gran eficacia las deformaeion.es
trans~ersales del hormigón debidas al efecto Poisson, creándose
importantes éompresiones radiales que aumentan la resistencia de la
pieza.
Dado el gran acortamiento que tienen las piezas de hormigón confinado
sometidas a compresión (estos acortamientos pueden alcanzar valores
del 1O por 1000 e incluso mayores) su empleo es muy limitado, porque
pueden resultar deformaciones incompatibles para los elementos
estructurales ligados con el soporte zunchado. No debe emplearse et
hormigón zunchado, salvo en piezas muy cortas sin posibilidad de
pandea, sometidas a esfuerzos de compresión con excentricidad
de~preciable.
De acuerdo con ensayos de Brandtzaeg, una probeta prismática
sometida a compresión triaxial puede llegar a alcanzar una resistencia
f ct en la dirección vertical dada por:
f ·ct = fe + 4,1 · crct
en donde fe es la resistencia a compresión simple y aet la compresión
ejercida sobre las cBras laterales. A partir de esta fórmula se deduce
que la resistencia de un hormigón confinado puede llegar a valer:
A · f+ 812
. st yt, d
d ·Se
siendo de el diametro del núcleo zunchado y s la separación entre
cercos (o el paso de la hélic.e en su caso).
Si se aplica un coeficiente o, 85 para tener en cuenta el cansancio,
podría tomarse como resistencia de cálculo del hormigón confinado del
núcleo, quedando del lado de la seguridad, el valor:
flcd = O,8 S · f cd + 6 ·
Tema 2. Soportes

ecuación válida para cargas estáticas en pilares zunchados circulares y
rectangulares, en la que row es la cuantía mecánica volumétrica de
confinamiento:
(!)
w
donde:
¡.¡se volumen de estribos y horquillas de confinamiento por unidad de
longitud del soporte;
·..,·., volumen del hormigón confinado por unidad de longitud del
soporte.
=·ente a este valor teórico, la Instrucción EHE en su artículo 40.3.4
:uya lectura debe hacerse ahora) adopta el valor:
flcd = 0,85 . fcd . (1 + 1,6 . a . (!)w)
s endo a. un factor de confinamiento que viene dado por la expresión:
s
a = 1,6 ":/> 0,4
de
=:~ tanto, en el caso de pilares zunchados, la fórmula de compresión
~~ple en el estado último de agotamiento puede ponerse en forma
:.-á1oga a la de pilares sin zunchar:
__"' los siguientes significados:
•
-- --
esfuerzo axil de agotamiento;
esfuerzo axil de cálculo;
área de la sección neta del núcleo de hormigón;
área total de la armadura longitudinal;
resistencia de cálculo del hormigón confinado;
resistencia de cálculo de la armadura longitudinal;
Tema 2. Soportes

54
Yn
' .
coeficiente complementario de mayoración de cargas, que tiene
en cuenta la incertid.umbre del punto de aplicación de la carga (ver
apartado 4.8 del Tomo 2).
Digamos para terminar que la fórmula de la EHE es tan restrictiva que,
en la mayor parte de los casos, predice como carga de agotamiento de
un pilar zunchado un valor inferior al qu.e agota al mismo pilar en
compresión simple sin considerar el zunchado.
2.3.2. Criterios prácticos
La fórmula anterior debe usarse para piezas cuya esbeltez geométrica
no sea superior a 5. Si dicha esbeltez geométrica es igual o superior a
10, el esfuerzo de agotamiento debe calcularse prescindiendo del
zunchado, mediante la fórmula normal de compresión simple. En los
casos de esbeltez geométrica comprendida entre 5 y 10, puede
tomarse como valor de Nu el que resulta al interpolar linealmente entre
los correspóndientes a los dos casos anteriores.
Las fórmulas correspondientes a las GG>lumnas zunchadas mediante
hélices o cercos circulares son aplicables a piezas sometidas a
compresión centrada en las que se cum.plan las siguientes condiciones:
• Los extremos de la armadura de zunch·ado deben termin.arse en el
interior de la mas.a de hormigón para as.egurar su anclaje. En el éaso
de emplearse cercos, deben ser cerrados y anclados.
• El pª s.o de la hélice, o la separación entre cercos, debe ser menor de
la guinta parte d.e la menor dimensión del núcleo zunchado y al
menos 3 cm, recomendándose como distancia libre entre cercas un
v.aior ele 6 a 8 cm.
• l:a cuantía volu.métrica mínima, correspondiente a la armadura
transversal, deberá cumplir:
Én piezas de sección cuadrada o rectangular la armadura longitudinal
estará co..m~uesta por un mínimo de ocho barras, y la separacién entr.e
Tema 2. Soportes

-~rras no superará los 15 cm. Las barras se repartirán uniformemente
:."' el contorno de la sección y su cuantía geométrica estará
ro.,,prendida entre o, o2 y o, o8, es decir:
As
0,02 :$ < 0,08
A c.,
_a cuantía del 8 por 100 no se sobrepasará incluso en las zonas de.
_'.:' aoe de las armaduras longitudinales.
2.3.3. Zunchado por rozamiento
_"Tlalmente el zunchado se consigue mediante elementos metálicos
~ = cintura (armadura helicoidal en columnas circulares, camisas
-dricas en refuerzos). Pero un efecto análogo puede conseguirse
-::.:oniendo capas metálicas horizontales (figura 2.12), cuyo rozamiento
_,_,_ el hormigón impide su corrimiento lateral. Estas capas metálicas
_=:!en materializarse mediante chapas, bucles de alambre, etc. El
=::;- :ado es un gran incremento de la resistencia a compresión, pero
- : -equiere grandes acortamientos en la dirección principal.
Figura 2.12. Zunchado por rozamiento
:.3.4. Otras ideas útiles
• _os cercos, cuando van muy juntos, zunchan las zonas de hormigón
:-:)ximas a las esquinas, pues es ahí donde el cerco es totalmente
Tema 2. Soportes

rígido; pero no zunchan las zonas de vano. Véase la figura 2.13 y
compárese con la figura 2.4.
Homugón sin zunchar
Recubrimiento (suelto)
Hormigón zunchado
Figura 2.13. Efecto de zuncho de un cerco
• Guand.o un pilar zunchado se acerca a su agotamiento, el hormigón
del recubrimiento salta, ya que es más débil que el del núcleo. Este
síntoma es muy claro para casos de patología. Lo mismo sucede en
situaciones de incendio.
2.4.
SOPORTES COMPUESTOS
Se definen como compuestos los soportes de hormigón cuya armadura
está fundamentalmente constituida por perfiles metálicos. La Instrucción
EH-91 los trataba en su artículo 60, pero la EHE no se refiere a ellos.
El proyecto y la ejecución de los soportes compuestos deben ajustarse
a las siguientes prescripciones:
a) l::a resistencia característica del hormigón empleado será, como
mínimG, 25 N/mm2
•
•
Tema 2. Soportes

- :Ji(MIGÓN ARMADO. Elementos estructurales 57
b) La sección de acero en perfiles no superará el 20% de la sección
total del soporte.
e) EA los soportes de sección rectangular se dispondrá un mínimo de
cuatro redondos longitudinales, uno en cada esquina, y un conjunto
de cercos o estribos sujetos a ellos, cuyos diámetros, separaciones y
recubrimientos deberán cumplir las mismas condiciones exigidas a
los soportes ordinarios de hormigón armado.
d) Los perfiles se dispondrán de modo que, entre ellos y los cercos o
estribos, resulte una distancia libre no inferior a s cm.
e) Si en un soporte se disponen dos o más perfiles, se colocarán de
fGrma que queden separados entre sí s cm por lo menos, y se
arriostrarán unos con otros mediante presillas u otros elementos de
conexión, colocados en las secciones extremas y en cuantas
secciones intermedias resulte necesario.
:- Cuando los perfiles empleados sean de sección hueca, o se agrupen
formando una sección de este tipo, deberán rellenarse de hormigón
convenientemente compactado.
:::1 la figura 2.14. se indican las disposiciones más corrientes de los
soportes compuestos.
Figura 2.14. Soportes compuestos (Tomada del MMM)
=>ara la transmisión de esfuerzos cortantes, entre una viga de hormigón
armado y un soporte compu.esto, puede.n emplearse armaduras
~Diadas, soldadas a los perfiles (figura 2.15).
Tema 2. Soportes

Figura 2.15. Unión viga-soporte compuesto (Tomada del MMM)
Para la cimentación de soportes compuestos, podrán emplearse
zapatas de hormigón armado provistas de placas de acero u otros
elementos de conexión con los perfiles metálicos, de modo que los
esfuerzos transmitidos por los mismos se repartan convenientemente.
La comprobación de compresión simple en soportes compuestos se
efectúa con una fórmula similar a la del caso de hormigón armado
ordinario.
Por último, es conveniente que la esbeltez geométrica de los soportes
compuestos no sea superior a 15. Caso contrario, deberá estudiarse el
riesgo de pandeo, no siendo aplicabJes los métodos expuestos para
soportes normalmente armados.
2.5.
REFUERZO DE SOPORTES
Con alguna frecuencia es necesario proceder al refuerzo de soportes de
hormigón armado ya construidos para incrementar su capacidad
resistente. La técnica de refuerzo más común consiste en coJocar
angulares laminados en las cuatro esquinas, con sujeciones laterales
mediante presillas soldadas (figura 2. 16).
Tema 2. Soportes

-ORMIGÓN ARMADO. Elementos estructurales 59
.:J1ora bien, si los angulares se colocan sin ninguna precaución previa,
"º entrarán en carga hasta que el hormigón del soporte se deforme
considerablemente. Dicho de otro modo: para poder contar con la
oolaboráción aditiva del soporte original y del refuerzo, es necesario
atender a la compatibilidad de deformaciones, lo eual requiere
~ormalmente una descarga previa del pilar mediante el empleo de
;atos, acuñamiento de apeos u otros ingenios. Además, es necesario
asegurar una perfecta y rígida unión del capitel al forjado, colocando al
e:ecto un material de alta resistencia que actúe como elemento
'ltermedio y elimine los contactos puntuales. Una buena solución para
e lo la ofrecen las masillas epoxi.
UNIÓN CON
EPOXI
Figura. 2.16. Refuerzo de un pilar mediante angulares metálicos
(Tomada de F. Cánovas)
Si el refuerzo se ejecuta sin descargar el pilar, la sección de acero del
-efuerzo proyectado deberá tomar por sí sola la totalfdad de los
esfuerzos que se transmiten.
Otra técnica de refuerzo consiste en el recrecido de la sección del pilar
con una capa de hormigón, sólo o zunchado con una camisa metálica
exterior. Así por ejemplo, una sección inicial de 3 o x 3 o cm2
recrecida
Tema 2. Soportes

60
,
Alvaro Gqrcía Me~eguer
con s cm de espesor de hormigón (con una barra en cada esquina y los
cercos correspondientes) origina una nueva sección casi doble a la
primitiva. Esta técnica suele ser más eficaz que la de perfiles metálicos
y tiene sobre ella la ventaja de proporci0r:iar una tra·rismisión de cargas
por· fricción entre el refuerzo y el pilar original. A cambio, pFesel'lta..,fil
incoJilveniente de prop.orcionar di.mensiones fin·ales muy superio.res a las
originalmente proyectadas.
Cuando sea necesario reforzar, debe recurrirse a la literatura
especializada y confi?r los trabajos a personéis expertas en la materia.
BIBLIOGRAFÍA
• Instrucción EHE: Artículos 55 "Soportes" y 40.3.4 "Bielas de
hormigón confinado".
• Horrnigón Armado por Montoya, Meseguer, Morán. 14ª edición,
Barcelona 2000. Capítulo 18.
• Patología y terapéutica del hormigón armado por M. Fernández
Cánovas. Editorial Dossat, Madrid 1977.
• Reinforced Concrete Structures por Park and Paulay. Editado por
John Wiley, New York 1975.
Tema 2. Soportes

-'.JRMIGÓN ARMADO. Elementos estructurales 61
EJERCICIOS o·e AUTOCOMPROBACIÓN
1. Un soporté de planta baja, de 50 x 50 cm2
, está armado con
802 o y cercos cada 2 s cm (ver figura 2.17). Al ver el plano, l<;i
Dirección Facultativa estima que no es correcto. ¿Tiene razón?
c=3cm c=3cm
-rr -rr
• 8020
50 •
•
•
50
Figura 2.17
2. Un alumno de la UNED que había fallado el Ejercicio 1 de esta
página, encuentra en el estudio de un amigo el esquema adjunto
de un soporte (figura 2.18). Rápidamente le dice que está mal. Sin
embargo, el esquema es correcto. ¿Puede Vd explicar la
situación?
20 25 25
11 1 1
• • • • • /}
• •
... • - - •
.. •
... • -~
Figura 2.18
Tema 2. Soportes

3. ¿Cuánto vale la cuantía mínima de la armadura longitudinal en
soportes, según el Código del American Concrete lnstitute (ACI)?
¿Es más o menos exigente que los criterios europeos?
4. ¿Dónde buscaría Vd valores límites de la cuantía en soportes,
según el Eurocódigo y la normativa española? ¿Cuánto valen?
5. En el encuentro de dos muros de esquina de hormigón armado
(ver figura 2.19) ¿qué longitud x daría Vd al anclaje de las barra?
X
i i
•
X
Figura 2.19
Tema 2. Soportes

'- ORMIGON ARMADO. Elementos estructurales 63
1. Sí tiene razón. Las barras centrales distan de las barras de
esquina más de 15 cm, por lo que no quedan sujetas frente al
pandeo.
-·
-
Las dos barras que distan 2 5 cm de sus vecinas no están,
efectivamente, sujetas por el cerco y pueden pandear. Pero se
trata de barras de montaje.
La cuantía geométrica total debe ser al menos del 1º/o. Es un
criterio más exigente que los europeos.
- Aparecen en el apartado 18.3.2 del MMM (1 4ª edición). El criterio
del Eurocódigo es:
en donde Nd es el axil de cálculo y A.e la sección total del hormigón
La EHE da valores en el artículo 42.3.3.
--- el MMM en su apartado 9.7.2 recomienda x =240
Tema 2. Soportes

- :>RMIGÓN ARMADO. Elementos estructurales 65
,
METODO DE BIELAS
YTIRANTES.
APLICACIONES.
INTRODUCCIÓN.
PRINCIPIOS GENERALES,
DEL METODO.
PROCESO DE APLICACIÓN,
PRACTICA.
COMPROBACIÓN DE LAS BIELAS.
,
COMPROBACION DE LOS TIRANTES.
COMPROBACIÓN DE LOS NUDOS.
MÉNSULAS CORTAS.
OTROS CASOS DE DISCONTINUIDAD.
3.1 .
INTRODUCCIÓN
=- e apartado 1.1.1 del Tema 1 (cuya relectura conviene hacer ahora)
-=-os visto la diferencia que existe entre aquellas zonas de las piezas
-- as que hay continuidad (reglones B) y aquellas otras en las que no
Tema 3. Método de bielas y tirantes. Aplicaciones

66
,
hay (regiones D). Dijimos también allí que siempre que exista una
discontinuidad en la estructura habrá que tratar esa parte como región
D, y que las discontinuidades pueden s.er de carácter mecánioo (cargas
concentradas, reacciones de apoyo, etc.) o de cará.cter ge.ométrioo
(variación brusca de ea:nto, nudos de pórticos, quiebros de trazado en
losas, etc.).
Ambos tipos de discontinuidad se ilustran en la figura 3.1, tomada del
artículo 24. 1 de la EHE. Pero conviene añadir que hay estructuras que
por sí solas constituyen toda una zona ID, como es el caso de las vigas
pared (que trataremos en el Tema 15) o de las ménsulas cortas (que
tratamos en el apartado 3. 7). A estos casos se les denomina de
discontinuidad generalizada.
l
B a
---t tt f t
Figura 3.1. Ejemplo de pórtico con zonas By D. Fuente: CPH, 1999
En el estudio de las zonas n es necesario visualizar el flujo de tensiones
que discurre por el interior de la pieza y disponer armaduras que tomen
aquellas tracciones que el hormigón no puede soportar. El estudio
¡;¡uede abordarse (ver artículo 24.2 de la EHE) mediante un análisis
lint;al s(guiendo la teoría de la elasticidad (la cual proporciona el campo
de tensiones principales y de deformaciones), o bien siguiendo el
método de las bielas y tirantes (artículo 24.2.2 de la EHE) cu·yos
fundamentos s.e exponen a continuación.
Tema 3. Método dé biéJas.y tirón.tes. Aplié:ociones

3.2.
PRINCIPIOS GENERALES DEL
MÉTODO
-.., el método de·bielas y tirantes se introduce la siguiente simplificación:
::s estados de tensiones tridimensionales realmente existentes en las
=.Jnas D se sustituyen por estados unidireccionales de compresión y de
·""Bcción, para lo cual se emplean las resultantes de los campos de
.:o'Tlpresión (bielas) y las fuerzas de tracción que proporcionan las
E---rJaduras (tirantes). De este modo, se modeliza cada región D
~stituyéndola por un elemento de dos o tres dimensiones
~'Jrmalment.e de dos, es decir, plano) constituido por bielas y tirantes
áase la figura 1.4).
=s.•e modelo ya lo hemos aplicado aquí al tratar de:
• si esfuerzo cortante, modelizado ¡.Jor un elemento bidimensional
analogía de la celosía, ver apartado 13.5.1 del Tomo 2)
• a torsió·n, modelizada por un elemento de tres dimensiones (celosía
Tidimensional, ver apartado 17.5 del Tomo 2).
:::-....,o indica la EHE en su artículo 24.2.2, el métGdo está basado en e·1
-?_-ema del límite inferior de la teoría de la plasticidatl, segúo el cual
- a estru_ottira será segura si exrste al menos un sistema resistente que
=-~oJa con las condiciQnes de equilibrio, sin qu.e se sobr:epase él
:;.~~t:!o de plastificación de los materiáles que la eomponen.
: _a..--roo la región D pertenece a una zona de la estructura, el modelo
::=::e equilibrar las solicitaciones exteriores existentes en el contorno de
- =-'ªregión. Cuando, por el contrario, la región D constitu:ye por sí sola
-¿-estructura (discontinuidad generalizada) el modelo debe equUibrar
~ -=~erzas exteriores y las reaocion·es de a!)oyo.
_:-3 -elementos que componen el sistema resistente (figura 3. 2.a) son
=s las bielas, /os tirantes y los nudos (que son las zonas donde se
-·:-reptan los elementos anteriores). En las celosías equivalentes (y en
-.:~anas figuras donde se representan lineas isostáticas) las bielas (y
_¿;;;; ·sostáticas de compresión) suelen representarse con líneas de
__-:'Js y los tirantes (y las isostáticas de tracción) con línea llena (figura
,. - ~
- a .

68 '
Bielas Biela
Nud Nudos Nudo
Tirante
(a)
-----------/ '/
/
/
/
/~~~~~~~~~~~~~' .¡
(b)
1
Figura 3.2. a) Bielas, tirantes y nudos, b) Celosía equivalente
Al establecer el modelo conviene disponer las bielas siguiendo la
orientación de las tensiones principales de compresión en el hormigón,
y los tirantes siguiendo las orientaciones de las tensiones principales de
tracción (véase un ejemplo, referido al caso de una ménsula, en la
figura 3.3). De este modo se evita la plastificación de los materiales y se
asegura que resultarán satisfechas las condiciones de servicio. Ahora
bien, eso requiere conocer de antemano los campos de tensiones
principales, lo cual, en rigor, exige un análisis lineal previo mediante la
teoría de la elasticidad o mediante ensayos fotoelásticos;
afortunadamente, en los casos más frecuentes de la práctica pueden
obviarse estos estudios previos, por existir una amplia bibliografía sobre
la materia.
En general no será posible orientar las armaduras en la dirección de las
isostáticas de tracción debido a condicionantes de orden constructivo;
por ello será necesario disponer una cuantía mínima de armadura, con
objeto de controlar la fisuración.

-'.)RMIGÓN ARMADO. Elementos estructurales
'

1
'
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''I //., ,, . ~
y ,,; ~
~ •/
~ '1~ /
-t. //~
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"'>~
111
69
(a) lsostáticas (b) Modelo de bielas y tirantes
Figura 3.3. Ménsula corta
arece la pena hacer notar que un mismo modelo de celosía puede
:.:;rresponderse bien. tanto con un caso de estructura completa como
:ori un caso de zona parcial. Así por ejemplo, el esquema representado
-=- la fígura 3.4.a puede corresponder a una viga pared (caso b) o a un
~tribo en el interior de una viga (caso e). En ambos casos la celosía es
<: misma. Por cierto que el modelo e muestra co
1
n claridad cómo las
: elas de hormigón necesitan apoyarse en los nudos inferiores
? rt:remos, lo que exige un cerco bien anclado para sujetar las barras
_"''lcipales correspondientes.
T T
1
1
- 1 1
Compres!ón ,____4
1 1
l rai::ción
1 1
I 1
I 1
I 1
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1 1
I 1
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1
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•
'1.,lIJ..1_-- f- ·
1 1
1 1
1 1
' 1
1
1
1
1 1,__...,_
,~e-

-
(a)
1
1 1 (b) (e)
Figura 3.4. Dos regiones D muy diferentes, modelizadas con la misma celosía

70
,
Es siempre preferible utilizar modelos isostáticos, es decir, modelos
para los que basta plantear el equilibrio de fuerzas sin que sea
necesario acudir a la condición de compatibilidad de deformaciones.
Por otra parte, de todos los modelos posibles resultan más adecuados
aquellos en los que los tirante.s en tracción presentan una menor
longitud total, ya que cuanto menor sea esa longitud mejor funcionará la
estructura, al requerirse una menor capacidad de deformación en
régimen plástico (ver figura 3.5).
l..LUW l lt 11 11 11 1111 111111111 1111 1111q 111 111 1111111111 111 11111 111 11111 111 11q
J
f!
I
I
I
I
I
1
I
1 J
l

'
(a) Adecuada
3.3.

'
ri
h ;: l
z
-
COMPRESIÓN
TRACCIÓN
1
1 l
- - - ---- - -
h= l
z
1
(b) Inadecuada
Figura 3.5, Dos posibles celosías
PROCESO DE APLICACIÓN
PRÁCTICA
Desde el punto de vista práctico, el método de bielas y tirantes puede
aplicarse siguiendo los pasos que a continuación se indican.

3.3.1 . Elección del modelo
::. ;:>rimer paso consiste en determinar las fuerzas exteriores, reacciones
=sfuerzos de continuidad de la región n. Para ello debe distinguirse el
-.a.so en que se esté estudiando una estructura completa o una parte de
.
.= --ri1sma.
• Si se trata de una estructura completa, basta considerar las cargas
axteriores y las reacciones.
• S es una parte de estructura, hay que considerar las cargas
axteriores aplicadas al elemento que se analiza, las reacciones en
,:; .:ho elemento y los esfuerzos en las fronteras del elemento.
:-~o segundo paso hay que establecer la distribución de tensiones
:uJO de las isostáticas) mediante un análisis lineal, mediante consulta
--= a bibliografía especializada o incluso de forma intuitiva. En este
--·do cabe recomendar la obra Proyecto y cálculo de estructuras de
- ....., gón, del profesor Calavera, cuyo capítulo 33 "Regiones de
:::-Jntinuidad. Bielas y tirantes" contiene esquemas de bielas y tirantes
-·:: iJna serie de elementos.
=- ·a "1ente, hay que diseñar un modelo de barras articuladas (bielas y
- -:es) que, adaptándose a las isostáticas, esté en equilibrio con las
=-=as exteriores, reacciones y esfuerzos de continuidad, si existen.
:_ '= es el punto más importante para la correcta aplicación del método.
- -~: evarlo a cabo, debe tenerse en cuenta lo dicho en el apartado 3.2
=:- !:S figuras 3.6 y 3. 7 (tomadas de Romo) se dan unos criterios para
- :: :.:ción de celosías. Por su parte, la Instrucción EHE, en su capítulo
-- :ado a elementos estructurales (artículos 52 a 64), ofrece un buen
-sro de modelos de celosías para los casos más habituales de la
-·ca.: - .

72
l
1
30• s a s 45º
Figura 3.6. Caso de desviación de una carga
a> 30º
•Tirante- - -,---- - - --.---- - Tirante
Biela
o
Carga
ADECUADO
Biela
o
Carga
INADECUADO
Figura 3.7. Ángulo entre biela y tirante

LQRMIGÓN ARMADO. Elementos estructurales
3.3.2. Cálculo de axiles y
comprobación de bielas,
tirantes y nudos
73
Jna vez establecido el modelo de celosía hay que hacer unas
:onsideraciones sobre el tamaño de los elementos que la componen.
!.sí por ejemplo, tanto el tamaño de los nudos como el ancho. de las
.:.elas vendrá condicionado por las dimensiones de la zona en que se
:::>lica la carga y las del apoyo que origina la reacción (figura 3.8).
a
2r
r-~
d
Figura 3.8. Un ejemplo del ancho de bielas y nudos (Tomada de Ro1no)
~ema 3. Método de bielas y tirantes. Aplicaciones

74
,
Ahora hay que estudiar de modo particular las bielas de compresión,
distinguiendo aquéllas que modelizan un campo uniforme de aquellas
otras que corresponden a campos en abanico (ver figura 3.11). En este
último caso es obligado tener en cuenta las tracciones secundarias que
se producen a causa de la dispersión de las isostáticas de compresión,
lo que puede originar la necesidad de disponer armaduras transversales
(figuras 3.9 y 3.10).
1
"-', /....._ '
' ''' '' '' '' '' '' '' '
',, /''
--
- COMPRESIÓN
TRACCIÓN
Figura 3.9. Tirantes necesarios por dispersión de las isostáticas de compresión
1 --1-- ,,'1
I ..- I
,- I
,1-......a..- / cd
,,...-'
r,.
--,.... ---
'~')(' ' .....
-- .....,,-- --- -- COMPRESIÓN
- - - TRACCIÓN
Figura 3.1O. Encepado sobre ríos pilotes: otro ejemplo de tracciones secundarias

....,ORMIGÓN ARMADO. Elementos estructurales 75
- ras lo dicho, se procede a calcular los esfuerzos que actúan sobre las
.:.arras del modelo y a comprobar que los distintos elementos
~s stentes que componen el mecanismo previsto son capaces de
::~rtar tales esfuerzos. Si alguno de ellos no tuviese la capacidad
::-s stente necesaria (aspecto este que se trata en los apartados
~ .::uientes) sería necesario modificar la geometría y repetir todo el
~~oceso.
=rriétodo de bielas y tirantes permite dimensionar las piezas de forma
-:-_e satisfagan los estados límite últimos, pero no es aplicable para los
::..s~ados límites de servicio. No obstante, el estado limite de fisuración
: _ede considerarse satisfecho si se respetan los criterios de
:.:'"'lprobación que se indican en los apartados siguientes.
3.4.
COMPROBACIÓN DE LAS
BIELAS
:.Crno indica la EHE en su articulo 40.1, las bielas de hormigón (que
::- las resultantes de las isostáticas de compresión dentro del
=::'Tiento) pueden representar un campo de compresiones de ancho
_.....forme (figura 3.11.a) o un campo de compresiones de anchura
3r1able o en forma de abanico (figura 3.11.b). Es también posible,
=....,que menos frecuente, un tercer tipo en forma de cuello de botella.
~~-~-"t-+ 1 ~-~~11 11111 1
11 11 1111
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 J
l 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 'I 'I 1 1 1 l
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 111111
1 1 1 1 1 1 1 1
l l 111111
tj-j-}-t-t-t-tj
1e
(a)
e
e
(b)
Figura 3.11. Dos tipos de bielas de hormigón comprimido (Ton1ada de la EHE)
Tema 3. Método de bielas y tirantes. Apllcaciones

Para la comprobación de la capacidad resistente de las bielas en el
estado límite último, deberán adoptarse los siguientes valores reducidos
f 1cd de la resistencia del hormigón:
• Si la biela de hormigón pertenece a una zona sometida a un estado
de compresión uniaxial (como es el caso del cordón comprimido de
una viga sometida a flexión), se tomará:
[
fck ] 2
f 1cd = 0,85 1 -
250
fcd con f c k en N/mm
• Cuando existan fisuras paralelas a las bielas, cuya abertura esté
controlada por armadura transversal suficientemente anclada (como
es el caso del alma de una viga sometida a esfuerzo cortante, así
como del ala de compresión de una viga T sometida a esfuerzo
rasante en su unión con el nervio), se tomará:
f 1cd =O, 60 f cd
• Cuando existan fisuras paralelas a las bielas de gran abertura (como
es el caso de elementos sometidos a tracción, así como del ala de
tracción de una viga T sometida a esfuerzo rasante), se tomará:
f 1cd =O, 4 O fcd
• En el caso particular del punzonamiento (ver Tema 6) se tomará:
f1cd= 0,30 f cd
Las limitaciones mencionadas responden al hecho de que la capacidad
resistente del hormigón se ve apreciablemente reducida a causa de su
estado tensional y, en especial, por la presencia de fisuras paralelas a
la dirección de las compresiones, tanto más cuanto mayor sea la
anchura de aquéllas (recuérdese el efecto de engranamiento de áridos,
tanto menor cuanto más ancha sea la fisura).
Tema 3. Mé1odo de bielas y tirantes. Aplicaciones

- ORMIGÓN ARMADO. Elementos estructurales
3.5.
COMPROBACIÓN DE LOS
TIRANTES
77
::Je no efectuarse un estudio detallado de las condiciones de
:~mpatibil idad de deformaciones, se recomienda limitar la deformación
~áxima del acero, tanto en tracción como en compresión, al valor
: 002 , lo que supone limitar la capacidad resistente de los tirantes
::;,. =As · f yd), en el estado límite último, al valor:
Us,max = A8 • 400 N/mm
2
=sta limitación supone un control indirecto de la fisuración en servjcio.
Conviene recordar que el método de bielas y tirantes ofrece la
a'"madura principal en estado límite último, pero nada dice de las
armaduras secundarias. Prácticamente en todos los casos será
~ecesario disponer otras armaduras (quizás con cuantía mínima) para
.:Jorir tracciones secundarias, como se muestra a título de ejemplo en
la figura 3. 12).
Jl
' /
' I'l. I
.... ,'l. I
'l. I
'l. I
'l. I
' I
''r'
1
1
1
1
1
As
Figura 3.12. Tracciones secundarias en ménsula corta (Tomada de Romo)

78
3.6.
COMPROBACIÓN DE LOS
NUDOS
Son nudos aquellas zonas en las que se producen desviaciones en la
dirección de las bielas o los tirantes, es decir, en las que confluyen
bielas, tirantes o combinaciones de estos dos elementos, unidos en su
caso con cargas o reacciones de apoyo. El hormigón de los nudos
suele estar sometido a estados multitensionales (de compresión o de
tracción) y esta circunstancia debe ser tenida muy en cuenta, ya que
supone un aumento (caso de compresiones) o una disminución (caso
de tracciones) de su capacidad resistente.
La EHE dedica a los nudos su artículo 40.4 que debe tenerse a la vista
ahora.
En los nudos hay que hacer dos comprobaciones: que los tirantes (si
los hay) están suficientemente anclados en el hormigón del nudo, y que
la capacidad resistente del nudo es suficiente, es decir, que la tensión
del hormigón no supera un cierto límite cuyo valor depende del tipo de
nudo. Para estos límites la EHE adopta los mismos valores que el
Código Modelo CEB-FIP 1990, según se indica a continuación.
Para la comprobación de la capacidad resistente de los nudos en el
estado límite último, deben adoptarse los siguientes valores f1cd de la
resistencia del hormigón:
• En los nudos que conecten sólo bielas comprimidas, el valor
f icd =f cd si se trata de un estado biaxial de compresión, y el valor
f icd = 3 , 3 o fcd si se trata de un estado triaxial (caso de cargas
concentradas sobre macizos). Cuando se consideren estos valores
de f1cd deben tenerse en cuenta las tensiones transversales
inducidas, que normalmente requerirán una armadura específica.
• En los nudos donde existan tirantes anclados (caso de los apoyos de
vigas de gran canto y de la zona de actuación de la carga en
ménsulas cortas), el valor f 1cd =o, 7 o fcd.
Para efectuar estas comprobaciones hay que considerar unas
dimensiones en el nudo que vienen condicionadas por la geometría de
los elementos que confluyen en el nudo. Así, en el caso de apoyos o de
Tema 3. Método d e bielas y tirantes. Aplicaciones

cargas aplicadas, las dimensiones básicas del nudo quedan definidas
por las dimensiones del apoyo o de la zona de aplicación de la carga.
Algunos ejemplos aparecen en los artículos 40.4.2 y 40.4.3 de la EHE.
3.7.
MÉNSULAS CORTAS
3.7.1. Introducción
Se definen como ménsulas cortas aquéllas en las que se cumple la
·elación a < d , siendo d el canto útil de la ménsula en la sección
adyacente al soporte y a la distancia entre la línea de acción de la carga
:;i ncipal y el paramento del soporte (figura 3. 13).
~---'11r----; CENTRO DE GRAVEDAD DE LA
' ARMADURA PRINCIPAL A s
---_-----.----_J---~~---~-F:~¡_l 1 1
d
1 1 do
1 1 J1 1
1
1
1
1
a<d
Figura 3.13. Ménsula corta.(Tomada del MMM)

80 Álvaro Gqrcía Meseguer
ATENCIÓN: En estas ménsulas (así como en las zonas de dinteles
próximas al apoyo sobre las que actúa una carga concentrada) son
inoperantes los estribos verticales, error grave que se comete con
alguna frecuencia. Por otra parte y como se indica en la figura 3.13,
su buen funcionamiento exige que e/ canto útil de la ménsula do ,
medido én el porde exterior del área sobre la que actúa la carga, sea
al menos igual a la mitad del canto útil d en la sección adyacente al
soporte (sección crítica). En efecto, con valores menores de d o puede
formarse una fisura oblicua entre el punto de aplicación de la carga y
la cara exterior inclinada de la ménsula, con grave riesgo de fallo
repentino de la misma (degollamiento).
La figura 3. 14 ilustra diferentes mecanismos de fallo que pueden
presentarse en ménsulas. Los fallos (a) y (b) se producen por
insuficiencia de armadura principal, los (e) y (d) por insuficiencia de
armadura transversal, los (e) y {:E) por defectos de anclaje o de
disposición de las armaduras y el (g) por aplastamiento del hormigón
comprimido.
¡v
'
F
-, - - -- ....,
'' •
(a)
(e)
¡v
'
11
,.- - --,
l ''
''
'
i__µ
(b)
~-
'''
¡ví-
:~¡
(f)
''
V
fv- .
.. -.......
F - - "-- - ·-..
' ' ~
'' ' § ''
~~
~
(e) {d)
V
'' .'~ :
(g)
Figura 3.14. Mecanismos de fallo en ménsulas: (a) Por flexión. (b) Por tracción
horizontal. (c) Por cortante. (d) Por rasante. (e) Por fallo de anclaje.
f) Por aplastamiento local. (g) Por aplastamiento de la biela
comprimída

-ORMIGÓN ARMADO. Elementos estructura les 81
.S estudio del armado de una ménsula puede abordarse de dos
-ianeras diferentes: por consideraciones de momento flector y esfuerzo
:ortante (método americano del ACI) o por la teoría de bielas y tirantes
rnétodo europeo de la Instrucción española). El método del ACI puede
consultarse en el MMM. A continuación expondremos el método de la
=HE.
3.7.2. 1 Diseño según la
Instrucción española
=I estudio de las ménsulas cortas puede abordarse por la teoría general
ce bielas y tirantes, en este caso por una doble razón, al tratarse de
regiones D en las que existe tanto discontinuidad geométrica (canto
.ariable) como mecánica (carga concentrada). Los ya clásicos estudios
:otoelásticos efectuados por Franz y Niedenhoff demostraron que las
sostáticas de las ménsulas cortas sometidas a cargas concentradas
adoptan la forma indicada en la figura 3.15.
d
Figura 3.15. /sostáticas d& ménsula corta

82
,
A esta orientación de las tensiones principales corresponde el modelo
de.bielas y tirantes de la figura 3. 16 sobre el cual se basa el método de
cálculo expuesto en el artículo 63 de la EHE.
a) Se supone que la cotangente del ángulo e de inclinación de las
compresiones oblicuas (bielas) adopta los valores indicados en el
artículo 63.2.1 de la EHE, es decir, l, 4 , 1, o ó o, 6 según la forma
de hormi.gonado del conjunto ménsula-pilar. Por otra parte, se exige
que el canto útil d de la ménsula cumpla la condición:
t
t
t
''''''''
""/
"""""
a
d > - - ctg 9
0,85
T,.
' 1
"' 1 "' /
------ Compresión
T racción
~T>a
•
F""
r,.4 Nudo1
--+
d
JNuáó4
11c,,I
Figura 3.16. Modelo de bielas y tirantes en ménsula corta
b) La armadura principal A1 se dimensiona para una tracción de cálculo
igual a:
A 1 • fyd = Fvc;l tg 0 + Fhd con fyd -:J- 400 N/nun2
valor que coincide con el dado por el método del ACI.

'
YORMIGON ARMADO. Elementos estructurales 83
e) La armadura secundaria A2 está constituida por unos cercos
horizontales distribuidos a lo largo de los dos tercios superiores del
canto d, capaces para absorber una tracción total de O, 2 O · Fvd .
Resulta así:
A2 · fyd = O, 2 O · Fvd con fyd 1'4 OO N/mm.2
d) La comprobación de nudos y bielas queda satisfecha verificando
que resulta admisible la compresión localizada en la zona de apoyo
de la carga (nudo 1 de Ja figura 3.16), por lo que basta con que se
cumpla la condición:
siendo a0 , b 0 las dimensiones en planta del apoyo. Esta expresión es
válida únicamente cuando la fuerza horizontal F hd no supera el 15°/o
de la vertical Fvd·
e) Cuando la carga está embrochalada en la ménsula (artículo 63.3 de
la EHE) hay que disponer, además del tirante A1 , una armadura
inclinada de cuelgue Aa (ver figura 3.17). Debido a la incertidumbre
que existe en la evaluación de la fracción de carga que absorbe cada
una de estas armaduras, la mayor parte de las normas europeas, al
igual que la española, recomiendan que se dimensione la armadura
inclinada Aa para soportar una carga de o, 6 · Fvd y el tirante A1 para
soportar o, s · F vd más la fuerza F hd como en el caso general. El
modelo de bielas y tirantes es el de la figura 63.3.b de la EHE.
Además, hay que disponer la misma armadura secundaria A2
definida en el párrafo e) anterior.
~esulta así una disposición de armaduras como la indicada en la figura
3. 17. De lo dicho anteriormente y suponiendo un brazo mecánico cjel
niomento resistente igual a o, 8 o· d (figura 3. 15) se deducen las
siguientes capacidades mecánicas necesarias para la armadura de
~elgue Aa y el tirante A1:
0,6 Fvd 0,5 F vd · a 2
Aa· fyd= YA1· fyd = con f yd1' 400N/mm
sen a 0,80 d
Tema 3. Método de bielas y tirantes. Aplícaciones

--
Figura 3.17. Armado de ménsula corta con carga colgada
3.7.3. Otras consideraciones
Tanto la armadura principal (cuyo despiece puede ser diverso) como la
secundaria deben estar perfectamente ancladas. no sólo del lado del
pilar sino también, como es evidente, del lado de la ménsula. El anclaje
de la armadura A1 en el extremo de la ménsula puede resolverse
mediante una barra soldada de igual diámetro (solución muy
recomendable) o doblando las barras, sea formando un bucle horizontal
(solución recomendable), sea bajando en vertical junto al paramento,
hasta alcanzar como mínimo la longitud de anclaje por prolongación
recta. Véase también la figura 3.18.
Tema 3. Método de bieías y fíronfes. Apíi'cacíones

Cuando la ménsula deba soportar fuerzas horizontales, la placa
metálica de apoyo de la carga vertical debe soldarse a la armadura A1 .
Debe recordarse que en muchos casos (puentes grúa, por ejemplo)
actuarán sobre la ménsula esfuerzos dinámicos, lo que obliga a
prolongar en diez diámetros las longitudes de anclaje de las barras; y
que, si actúa una fuerza horizontal perpendicular al plano de la ménsula
(frenado longitudinal del puente grúa), aparecerá un momento torsor en
la sección crítica de unión con el pilar.
p p
H ~
111 1¡ i11111
H
Posible rotura
Le/>_/.
Bien Mal
Figura 3.18. Detalle de anclaje de la armadura principal
3.8.
3.8.1 .
OTROS CASOS DE
DISCONTINUIDAD
Cargas y reacciones
directas, indirectas y
colgadas
Según su forma de actuación, tanto las cargas concentradas F como
las reacciones de apoyo R pueden ser directas, indirectas o colgadas
(figura 3.19).

La carga y el apoyo directo (figura 3.19.a), que son los más frecuentes,
fueron los considerados al estudiar el esfuerzo cortante por la analogía
de la celosía (apartado 13.5 del Tó1no 2). Fácilmente se comprende que
su efecto es favorable desde el punto de vista del cortante, ya que de
los nudos de las dos regiones D (centro y apoyos) parten bielas
comprimidas de hormigón. Una zona de la viga queda sin solicitar (los
triángulos rayados de la figura 3.19.a.
~ F
(a) Carga y apoyos directos
R R
(b) Carga y apoyos indirectos
R R
/ '
F
(e) Cargas y apoyos colgados
Figura 3.19. Cargas dírectas, indirectas y colgadas

HORMIGÓN ARMADO. Elementos éstructvrales 87
Por: el contrario, en el caso menos frecuente de apoyo o carga colgados
(figura 3.19.c) se comprende que el efecto es desfavorable. Es
necesario colgar la carga F o la reacción R del nudo correspondiente de
la celosía, mediante estribos verticales bien anclados en 1-a cabeza de
compresión, opuesta a la de actuación de la carga de apoyo. La
capacidad mecánica de esta armadura debe sér al menos igual al valor
de cálculo de la carga que se transmite. Con la reacción de apoyo se
procede igualmente, según el modelo de bielas y tirantes.
En el caso de apoyo o CE}rga indirectos (figura 3.19.b) que se produce
en las vigas riostras y en los brochales, la situación es intermedia. La
forma de proceder es análoga a la indicada en el apartado 3. 7.2.e para
el caso de las ménsulas, siendo recomendable considerar el 45°/o de la
fuerza como directa y el 65°/o como colgada, por razones de seguridad.
3.8.2. Vigas cortas
Fn el caso de vigas de pequeña longitud en relación con el canto (sin
llegar no obstante a la relación l /h = 2, a partir de la cual se
denominan vigas de gran canto o vigas pared, y tienen un tratamiento
especial) sometidas a cargas concentradas importantes que actúan de
•arma directa, y siempre que sea directo también el apoyo, como ocurre
por ejemplo en los encepados de unión de las cabezas de pilotes, las
isostáticas adoptan formas distintas de las correspondientes a las vigas
ordinarias (figura 3.20).
'...os ensayos demuestran que, en estos casos, tanto la armadura
transversal como las barras levantadas a 45° son d·e eficacia muy
dudosa.
La ar"madura principal de estas vigas estará constituida por barras
rectas, que se continúan hasta los apoyos, trabajando a manera de
tirante. El cálculo y comprobación de tensiones debe efectuarse según
el modelo de bielas y tirantes, como se indica a continuación.
Tema 3. Métódo de bielas y tirantes. Aplicaciones

F
/
· Trat:ción
/ / 1
R / /
/ Nc1 J
a . / ¡N, [
d
L / 2
a) lsostáticas b) Biela y tirante
Figura 3. 20. Ejemplo de víga corta
Cuando la carga concentrada F actúa a una distancia del apoyo no
superior al canto de la pieza (figura 3.20.b) dicho esfuerzo se transmite
al a.poyo mediante una biela comprimida de hormigón Ne . Como
consecuencia, la reacción R de apoyo estará equilibrada por la biela
comprimida Ne y por la tracción de la armadura Na:
N =e
R
sen a
R
N =s
tg a
R · l
2 . d
de donde resu.ltan para ambos materiales las tensiones:
R
CJ =c.
a · b · sen a.
R · 1
Temo 3. Méto.do de bielas .Y tirantes. Aplicaciones

. ,
--!ORMIGON ARMADO. Elementos estructurales 89
siendo a el ancho de la aplicación de la carga y As la sección de la
armadura longitudinal. Si se trabaja por el método clásico, bastará
comprobar que estas tensiones no superan a las admisibles para cada
'11aterial.
Asimismo. en el caso de vigas cuya relación de luz a canto sea inferior
a 8, sometidas a cargas uniformemente repartidas que actúan
directamente, y si son directos los apoyos, la Norma alemana autoriza a
multiplicar el esfuerzo cortante por un coeficiente reductor:
para tener en cuenta la formación de un arco de descarga (figura 3.21).
En este caso la armadura longitudinal de tracción, que actúa de tirante,
deberá prolongarse completa hasta el apoyo y anclarse con especial
cuidado.
1 3.8.3.
Figura 3.21. Efecto arco en vigas poco esbeltas
Cargas concentradas
próximas a los apoyos
Como consecuencia de cuanto se ha expuesto en el método de bielas y
tirantes, cuando las cargas concentradas actúan cerca de un apoyo
directo (a distancia no mayor de un canto útil), puede prescindirse de
las mismas para el cálculo de la armadura transversal.

90
,
Para cargas más alejadas del apoyo, pero a distancia inferior al doble
del canto útil, la Norma alemana permite la aplicación de un coeficiente
reductor:
al cortante producido por cualquier carga que actúe directamente a una
distancia a del apoyo inferior al doble del canto útil d .
BIBLIOGRAFÍA
• Instrucción EHE: Articulas 24 "Regiones n", 40 "Capacidad
resistente de bielas, tirantes y nudos" y 63 "Ménsulas cortas".
• El método de bielas y tirantes por José Romo Martín, dentro del
libro La EHE explicada por sus autores. Coordinador de la obra:
Antonio Garrido. LEYNFOR Siglo XXI, Madrid, 2000.
• Proyecto y cálculo de estructuras de hormigón por José
Calavera. Capítulo 33 "Regiones de discontinuidad. Bielas y tirantes".
• Hormigón armado por Montoya, Meseguer, Morán. 14ª ed. Gustavo
Gili, Barcelona 2000. Capítulo 22 "Elementos especiales y zonas de
discontinuidad".

-"iORMIGON ARMADO. Elementos estructura les 91
1. Una viga de 6o cm de canto y 3 o cm de ancho recibe un brocha!
en mitad de su luz de 3 o cm de canto y 2 o cm de ancho,
quedando a haces las superficies inferiores de viga y brocha!.
Organizar las armaduras específicas que debe llevar la viga por
causa del brocha!, sabiendo que éste transmite una carga de
servicio de 2 o ton.
2. En el cálculo de un cargadero de hormigón HA-25 de 2 m de luz,
3 o cm de canto total y 2 o cm de ancho, con armadura de tracción
de cuantía geométrica igual al o, s o/o, simplemente apoyado y
sometido a una carga de servicio (incluido el peso propio) igual a
20 kN por metro lineal, un proyectista ha dispuesto armadura
transversal constructiva. Otro proyectista, sin embargo, llega a un
resultado que requiere armadura transversal ¿Quién tiene razón?
¿Qué razonamiento ha seguido cada uno?
3. La figura 3.22 representa un apoyo a media madera. En {a) se
han representado las armaduras y en (b ) la red de isostáticas. Se
pide dibujar un modelo de bielas y tirantes para la pieza que
apoya sobre la otra. (El modelo para la otra pieza será simétrico
con respecto al punto de apoyo, evidentemente).
'
~ •
1
(a) (b)
Figura 3.22
Temo 3. Método de bielas y tirantes. Aplicaciones

92
4.
' '
Alvaro Garc1a Meseguer
La figura 3. 23 representa la zona de anclaje de una barra. Se pide
dibujar el flujo de tensiones (isostáticas) y, a partir del mismo, un
modelo de bielas y tirantes.
h
Figura 3.23
5. La figura 3. 24 representa el caso de una viga T invertida. Se pide
dibujar el flujo de tensiones (isostáticas) y, a partir del mismo, un
modelo de bielas y tirantes.
1
• • • ~ • • •
~
~ •
!!. • • -· •
Figura 3.24
Tema 3. Método de bielas y tirantes. Aplica ciones

'-iORMIGON ARMADO. Elementos estructurales 93
6. En la figura 3. 11 aparecen los dos tipos de bielas más frecuentes,
pero, según se dice en el apartado 3.4, existe un tercero en forma
de cuello de botella. ¿Es Vd. capaz de dibujarlo?
7. En una viga de canto apreciable sobre la que actúa una carga
concentrada próxima al apoyo, la biela de compresión puede
abrirse según índica la figura 3. 25, lo que origina la aparición de
tracciones secundarias. ¿Qué tipo de armadura sería
recomendable colocar en tales casos?
a<d
- -
......

/

d
/

....
·-
Figura 3.25

1. La carga mayorada vale 2o · 1, 6 =32 ton. En un ancho de 20
cm pueden colocarse, sin estorbar la ejecución, tres cercos de
suspensión (armadura de cuelgue). Con acero B 400 S buscamos
en las tablas de capacidades mecánicas en la columna
n = 3 · 2 = 6 y encontramos:
6014 =321,3KN= 32,13 ton> 32 ton.
Solución: 3 cercos 014 adicionales a los que lleve la viga y
colocados corno se indica en la figura 3.26.
3 014
60
30
Figura 3.26
2. La resistencia virtual a cortante del hormigón vale, según la tabla
de la figura 14.4 del tomo 2:
La contribución del hormigón a cortante vale:
0,52 · 200 · 260 = 27.000 N = 27 kN

El cortante exterior vale:
Vd = 20 · 1,6 = 32 > 27 kN
Según este cálculo, sería necesaria armadura transversal. Ahora
bien, como la relación de luz a canto del cargadero vale:
200
< 8
30
se puede disminuir el cortante exterior en el factor
1 200
~ = = = 0,83
8 . h 2 40
con lo que
Vd = 32 · 0,83 = 26,6 < 27 kN
Por consiguiente, no es necesaria la armadura transversal.
3. La figura 3.27 resuelve el problema
1
Figura 3.27

'
96 Alvaro García Meseguet
4. La figura 3.28, tomada de Calavera, resuelve el problema. Véase
también la figura 14.4.a.
-- -
-
- C>c
h
-
- -- - -
-
--,..- -/
~
-t h/8
h/4
/ -./
-'-
--' -
-t
h/4
-+
h
' -- -
h/4
j h/8
1
...t_;_1
__-_ : __- _ '_;_-'...1
1
Figura 3.28
5. La figura 3.29, tomada de Calavera, resuelve el problema.
~ '

Figura 3.29
'
'',r------
/
/
'-,

HORMIGÓN ,A.RMADO. Elementos estructura les 97
6. Véase la figura 3:30
T- a -1
¡1¡¡¡¡!¡1 () < fC(f1
•
tt t ttftt t
¡__1 b
+
Fígura 3.30
7. Una armadura horizontal como la indic¡;¡da en la figura 3.31.
1 1
"'
1 1
Figura 3.31
Temo 3. Método de bielas y tirantes. Aplicaciones

PLACAS. MÉTODOS,
CLASICOS.
GENERALIDADES.
PRINCIPIOS GENERALES DE LOS
MÉTODOS CLÁSICOS.
MÉTODOS CLÁSICOS. CÁLCULO
POR DIFERENCIAS FINITAS.
MÉTODOS CLÁSICOS.
ELEMENTOS FINITOS Y
ASIMILACIÓN A UN
EMPARRILLADO.
MÉTODOS CLÁSICOS
SIMPLIFICADOS.
TABLAS PARA EL CÁLCULO DE
ESFUERZOS.
,
REGLAS PRACTICAS Y
DISPOSICIÓN DE ARMADURAS.
Terna 4. Placas. Métodos clásicos
99

100 '
4.1 .
GENERALIDADES
Una placa es una estructura limitada por dos planos paralelos de
separación h. siendo el espesor h pequeño frente a las otras
dimensiones. Se supone además que las cargas actúan sobre el plano
medio de la placa y son normales al mismo.
Las placas se encuentran sometidas, fundamentalmente, a esfuerzos
de flexión, distinguiéndose en esto de las lajas, estructuras también
planas, pero sometidas a cargas contenidas en su plano medio (este es
el caso, por ejemplo, de las vigas de gran canto, que se tratan en el
Tema 15). Como consecuencia de estas cargas, las lajas quedan
sometidas a esfuerzos contenidos en el plano medio, o sea, funcionan
como membranas.
En la tabla de la figura 4.1 se ofrece una clasificación útil para recordar
estos conceptos.
ESFUERZO
ESTRUCTURAS PLANAS ESTRUCTURAS
TRABAJO tridimensionales
PRINCIPAL
De barras continuas continuas
En su plano Axil CELOSiAS
LAJAS
MEMBRANAS
(vigas pared)
Normal a su
Flexión EMPARRILLADOS PLACAS LAMINAS
plano
Figura 4.1. Clasificación de estructuras por su forma de trabajo
El trabajo de flexión de las placas exige que éstas sean, como ya se ha
dicho, delgadas; si la relación del canto a la menor dimensión de la
placa h/a, es superior a 1/5, la placa puede considerarse gruesa,
apareciendo un estado triaxil de tensiones de difícil estudio. Por otra
parte, las flechas han de ser pequeñas con respecto al canto (w/h
menor que 1/s) ya que, de lo contrario, pueden aparecer importantes
Temo 4. Pla cas. Métodos c lósicos

tensiones de membrana que se superponen con las flexiones (tal
sucede en placas metálicas sujetas en su contorno).
El espesor mínimo de una placa o losa debe ser de 8 cm, pudiendo
bajarse a 6 cm en losas de cubierta. Si la losa debe soportar cargas de
tráfico, su espesor mínimo recomendado es de 10 cm para automóviles
y de 12 cm para camiones.
Las placas pueden diferenciarse por su forma (de contorno poligonal o
circular, macizas o con hue.cos); por la disposición de los apoyos
(placas aisladas apoyadas en el contorno, placas en voladizo, placas
continuas en una o dos direcciones); por el tipo de los apoyos
{puntuales o lineales); por la coacción en los apoyos {apoyo simple,
empotramiento, sustentación elástica). Cada placa puede, además,
estar sometida a distintos tipos de carga, como carga puntual, uniforme,
triangular (paredes de depósitos), etc. Tod.o ello crea una gran variedad
de problemas de placas.
Para el cálculo de los esfuerzos en las placas exísten dos grandes
grupos de métodos. Los métodos clásicos, fundados en la teoría de la
elasticidad, suponen que el material es homogéneo e isótropo y se
comporta linealmente, tal comó se hace, por otra parte, para el cálculo
de esfuerzos en los demás tipos de estructuras. Los métodos en rotura,
fundados en la teoría de la plasticidad, suponen, por el contrario, que el
material se comporta como un cuerpo rígido-plástico perfecto.
Mediante los métodos clásicos se obtienen, con gran aproxímación, los
esfuerzos en la situación de servicio, a partir de los cuales puede
elegirse la distribución de las armaduras, en las distintas zonas de la
placa, que resulte más adecuada en orden al buen comportamiento en
servicio de la misma. Los métodos de rotura no proporcionan
información, por el contrario, de cuál es ta distribución de armaduras
adecuada, ya que en ellos es éste un dato de partida; pero permiten la
obtención más racional de la carga última en la situación de
agotamiento de la placa. Ambos sistemas son, por tanto, de gran
interés, debiendo elegirse, en cada caso, el más adecuado al objeto
que se persigue. A menudo, lo conyeniente es emplear ambos
métodos: armar por cálculo en rotura y completar armadura por cálculo
clásico.
La tabla de fa figura 4..2 ofre.ce una síntesis de ambos métodos.
Tema 4. Placas. Métodos clásicos

MÉTODOS DE CÁLCULO
•
CLASICOS EN ROTURA
MATERIAL CONSIDERADO COMO Elástiéo Rigido-plástico
DIAGRAMA CJ • e
1
1
TEORÍA APLICADA Elasticidad Plasticidad
DATO DE PARTIDA Cargas de servicio Distribllción de
armaduras
RESULTADO Distribución de esfuerzos Carga de rotura
. Comportamiento en seivicio Seguridad a roturaINFORMACION SOBRE
CÁLCULOS En ordenador Amano
• Placas importantes • Placas pequeñas
APLICACIONES RECOMENDADAS - Formas irregulares ·Armados con mallazo
-Casos en que la fisuración
es determinante
Figura 4.2. Métodos de cálculo de placas
4.2.
PRINCIPIOS GENERALES DE
LOS MÉTODOS CLÁSICOS
La deformación de una placa sometida a cargas normales a su plano
queda definida por la función w(x, y) , que determina los corrimientos
verticales de los puntos (x, y) del plano medio de la misma. Esto
supone que se admite que los puntos de dicho plano medio sólo sufren
estos corrimientos verticales. y que los puntos de las normales al plano
medio permanecen en rectas normales a la superficie deformada del
mismo (ley de deformación plana de Kirchhoff).

,.-¡QRMJGÓN ARMADO. Elernéntos estruc.furales 103
Pueden, por tanto, expresarse las tensiones y los esfuerzos que
aparecen en la placa, en función de los corrimientos verticales w, por
medi.o de ecuaciones diferenciales. Una vez hecho eso, se expresa el
equilibrio de fuerzas verticale.s de un elemento de placa, es decir, de los
cortantes Vx, Vy y la carga q (x, y). Con ello, se obtiene una ecuación
diferencial de cuarto orden, llamada ecuación de Lagrange o ecuación
de las placas:
d 4
w d 4
w d 4
w
--+2 +--
dx4 dx2dy2 d y4
q
D
con los siguientes significados:
dw dw
dx' dy
g
D
corrimiento vertical infinitamente pequeño de un punto del
plano medio de la placa.
tangentes a ese plano medio en las direcciones x, y .
carga por unidad de superficie.
rigidez a flexión de la placa, equivalente a la rigidez EI en
vigas, dada por le) expresión:
E h 3
D - - - - - -
12 (i - v
2
)
E módulo de d·eformación del hormigón.
h canto total de la placa.
v coeficiente de Poisson del hormigón (normalmente, v = 1/6).
Las condiciones de contorno de esta ecuación diferencial vienen
impuestas por las coacciones existentes en los apoyos de la placa. Así.
por ejemplo, si se trata de un apoyo a lo largo de un borde recto y
paralelo al ejé y, se tendrán, según las coacciones de dicho borde, las
siguientes condiciones de contorno:
• borde empotrado: se anulan en el borde el descenso y el giro;
• borde simplemente apoyado: se anulan el descenso y el momento;
Tema 4. Placas.. Métodos clásicos

• borde libre: se anulan el momento y la reacción en el borde.
Obtenida la función w es inmediato el cálculo de los esfuerzos.
Normalmente no es posible encontrar una función (x, y) que satisfaga
la ecuación diferencial y las condiciones de contorno para una placa de
forma y apoyos dados, sometida a una cierta carga q (x, y). Por ello se
recurre a soluciones aproximadas, obteniéndose w como suma de
funciones elementales que satisfacen las condiciones de contorno.
4.3.
MÉTODOS CLÁSICOS.
CÁLCULO POR
DIFERENCIAS FINITAS
El principal inconveniente del método de integración de la ecuación
diferencial mediante series, es el de no ser aplicable más que a unos
pocos casos de formas de placas y condiciones de apoyo. Por ello se
acude con preferencia, desde la aparición de los ordenadores, a la
integración numérica por el método de las diferencias finitas, de
aplicación más general, que conduce a la resolución de un sistema de
ecuaciones lineales.
Se divide para ello la placa mediante una malla que se adapte a su
contorno; en el caso de placa rectangular la malla puede ser rectangular
o cuadrada. Se eligen como incógnitas los corrimientos w en los vértices
de la malla. En función de los mismos pueden expresarse las derivadas,
y, por tanto, los esfuerzos y la ecuación de equilibrio de la placa. Para
puntos próximos a los bordes es necesario utilizar los corrimientos en
puntos ficticios situados fuera de la placa, que se obtienen empleando
las condiciones de borde.
Con este método pueden obtenerse tablas de aplicación práctica para
cálculo de esfuerzos en placas. Una de estas tablas, que cubre los
casos más corrientes, se ofrece en el MMM (Tabla 24. 1 del apartado
24.6). Pero si la placa tiene zonas de distinto espesor, o contiene
huecos, etc., el método no puede aplicarse en condiciones abordables,
por lo que hay que recurrir a los elementos finitos o a la asimilación a un
emparrillado.
Temo 4. Placas. Métodos clásicos

-iORMIGÓN ARMADO. Elementos estructur9les
4.4.
4.4.1 .
MÉTODOS CLÁSICOS.
ELEMENTOS FINITOS Y
ASIMILACIÓN A UN
EMPARRILLADO
Principios comunes
105
En ambos métodos se trata de discretizar la estructura, sustituyéndola
por otra equivalente formada por trozos elementales. La principal
diferencia con respecto al método de diferencias finitas es que allí lo
que se discretizaba era la función w. Mientras que allí el problema
estructural de la placa se planteaba rigurosamente, dando lugar a un
problema matemático complejo, que debía resolverse de forma
aproximada, aquí el problema estructural se plantea de forma
aproximada, para que el problema matemático resultante sea sencillo y
pueda resolverse exactamente.
l 4.4.2. Método de los elementos
finitos
En el método de los elementos finitos la placa (figura 4.3.a) se sustituye
por una serie de elementos de forma cuadrangular o triangular (fíg.ura
4.3.b), pudiendo variar las dimensiones y características elásticas de un
elemento a otro. Suelen tomarse como incógnitas los corrimientos wy
sus derivadas 0w/ O.x:, 0w/ 8y en los vértices de los elementos. Se
supone que los corrimientos w dentro de cada elemento vienen oados
por una función sencilla (por ejemplo, un polinomio), cuyos coeficientes
numéricos quedan fijados una vez conocidos los valores de la función y
de sus derivadas en los vértices del elemento. De esta forma, aun
siendo distintas la función wy sus derivadas de un elemento a otro, se
garantiza la compatibilidad de deformaciones entre elementos contiguos
al ser iguales sus valores en los vértices. Las condiciones de equilibrio
de los distintos elementos (o lo que es equivalente, la condición de
mínimo de la energía potencial total, función de las incógnitas
Tema 4. Placas. Métodos c lásicos

106
,
escogidas) nos proporcionan un sistema de ecuaciones lineales que,
una vez resuelto, permite el cálculo inmediato de desplazamientos y
esfuerzos en la placa.
4.4.3. Asimilación a un
emparrillado
Para asimilar la placa a un emparrillado se sustituye aquélla por una
retícula de vigas en dos direcciones (figura 4.3.c). A cada viga se le
atribuye la inercia a flexión de la franja de placa correspondiente, y una
inercia a torsión doble que su inercia a flexión. Las cargas se reparten
entre las vigas en las dos direcciones; o, si la malla es suficientemente
tupida, se suponen actuando en los nudos de la malla. En ambos casos
el problema resultante se resuelve con ordenador.
apoyo simple apoyo elástico apoyo puntual
(muro) (viga) (soporte)
B h=0.20
q=BÓO kp/cn1
2
borde
libre
h=0,25
q=1.000
'77///////T/T'°T/7///7, .
ernpotramiento_/
- .
-
-
1
(a)
(b)
(e)
Figura 4.3. Elementos finitos y emparrillado (Tomada del MMM)

4.5.
4.5.1 .
MÉTODOS CLÁSICOS
SIMPLIFICADOS
Método de Marcus
107
Dada una placa que trabaja en dos direcciones, el método consiste en
considerar en la placa dos franjas de ancho unidad, una en cada
dirección (figura 4.4). La carga que actúa sobre la placa debe repartirse
entre las dos franjas o vigas de forma que las flechas que éstas toman
en su punto de cruce sean iguales. Se trata, por tanto, de una variante
rudimentc;3ria (su origen es anterior a la aparición de los ordenadores) de
la asimilación a un emparrillado, en la que sólo se igualan los
descensos en un nudo (en los emparrillados se igualan descensos y
giros en todos los nudos, por lo general).
1
1
"
1 µ_+ -,1 1
1
1 1
1
1
1 1 1
1
-----¡- -r--- ---,1
1 11
· - - - - - - - - - - - - - _¡_
1 1 1 1
1
1 1
1
1 1 11
_, -- ---~ -!- - --.- - _J
.
1X
11
/
V
•
r
1
=1a
a
n
Figura 4.4. Método de Marcus (' or 1ada del MMM)
ly

108
4.5.2.
,
Alv.aro García Meseguer
Método del ancho eficaz
para cargas concentradas
Otro método aproximado, muy empleado en el caso de placas
sustentadas en dos bordes paralelos y sometidas a cargas
concentradas, consiste en el cálculo como viga, considerando a este
efecto una banda de losa cuyo ancho es el llamado ancho eficaz. Este
método figuraba en la anterior Instrucción EH-91 pero la actual EHE
(que dedica a las placas dos artículos, el 22 y el 56) no lo ha mantenido.
El ancho eficaz b 0 siempre cumplirá la condición be ¿ b 0 , siendo b 0
el ancho de la zona de aplicación de la carga en el plano medio de la
placa. Para b 0 puede tomarse, si la carga está aplicada en la cara
superior de la placa y ocupa un ancho b 8 , b 0 ""bá+h (reparto a 45°),
s.iendo h el canto total. El ancho eficaz b., depende de las dimensiones
de la placa, de la situación de la carga y del coeficiente de
empotramiento f3, para el que se adoptan los siguientes valores:
f3 = 1 si ambos apoyos están articulados (simple apoyo)
f3 = 1/2 si ambos apoyos están empotrados
f3 - 2/3 en casos intermedios
Para la determinación de bª pueden distinguirse varios casos (figura
4.5):
a) Si la carga actúa en el centro geométrico de la placa, se tomará:
b., -

b) Si la carga actúa a igual distancia de los apoyos, pero descentrada
con respecto a los bordes libres, se tomará como ancho eficaz el
menor de los siguientes valores:
- el correspondiente al caso a)
- el dado por las expresiones
be --
b =e
1
bo + - f3· 1
3 y
l x + d
1
1 + - ~. 1X
3 y
~ (b + ~ ~ . 1)+ d4 o 3 y
para lx < ~ . ly
siendo d la distancia al borde libre de la placa indicada en la figura
4.5.
/ aJ¿/~~-7-L-f-.L/-L~ITL-L-'~uL- r 1 ~-
YO
_J
ly
d
Fígura 4.5. Anchura eficaz bajo una carga concentrada
Tema 4. Placas.. Métodos c lásicos

c) Si la carga actúa descentrada se tomará como ancho eficaz el valor:
2
b - (b - b ) 1 - 2 Yae e o ·
l y
siendo b e el ancho eficaz correspondiente al caso anterior, e y 0 la
distancia del centro teórico de aplicación de la carga al apoyo más
próximo (figura 4.5.)
4.5.3. Cálculo aproximado para
placas continuas
En el caso de placas continuas en una o dos direcciones (figura 4.6)
resulta posible calcu larlas aproximadamente considerando cada
r ~
- - 1
1 1
1 1
r J
1 1
1 1
1 A 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
L-- - - ~ - - . _J
q
! g
a) Cálculo de momehtos
negativos
+0,5·q
g b)
Célculo de momentos
+ positivos en el
X recuadró A€)
+o,5·q
-0,5·q ~ cQ-S·q..
Figura 4.6. Placa continua (Tomada del MMM)

recuadro por separado, siempre que la diferencia entre cada dos luces.
contiguas no supere al 25o/o de la mayor de ellas. Para el cálculo de los
momentos negativos sobre los apoyos puede suponerse que todos los
apoyos internos son empotramientos perfectos (figura 4.6). Para el
cálculo de los momentos positivos puede descomponerse la carga
como se indica en la figura 4.6.b y e, y suponer que los apoyos internos
son empotramientos perfectos para la parte de carga g + q/2, y apoyos
simples para la parte de carga q/2.
4.5.4. Reacciones sobre
elementos sustentantes
Para la determinación de los esfuerzos en los elementos sustentantes
de la placa (vigas o muros), puede suponerse que las reacciones de la
misma, para carga uniforme1 se reparten según las áreas tributarias
triangulares y trapeciales que se indican en la figura 4. 7. En las
esquinas a las que concurren bordes del mismo tipo, puede suponerse
que el reparto se hace a 45º; en las esquinas formadas por un borde
apoyado y otro empotrado, puede suponerse, por el contrario, que el
reparto es a 60º correspondiendo este ángulo al borde empotrado.
45º
. 45•
- -- -- -
(a)
ea·
60º
(d)
/
45~ 60º
60º 60º
6.0°
45•
--- ---.-
(b)
Apoyo simple
'//,/,?, Empotramiento
Figura 4. 7. Valor de las reacciones
(e)
Te ma 4. Placas. M étodos clásicos

112
4.6.
Álvoro García Meseguer
TABLAS PARA EL CÁLCULO
DE ESFUERZOS
El MMM ofrece las tablas 24. 1 y 24. 2 para el cálculo de esfuerzos y
flechas de placas rectangulares apoyadas en sus cuatro bordes o en
tres de ellos, respectivamente. Las cargas estudiadas son cargas
distribuidas uniformemente o triangularmente: las primeras son de
aplicación a la mayoría de las placas que se presentan en edificación y
las segundas aparecen en las paredes de depósitos, silos, etc. por
efecto de la presión hidrostática, empuje de materiales granulares, etc.
4.7.
REGLAS PRÁCTICAS Y
DISPOSICIÓN DE
ARMADURAS
En el apartado 24.6.2 del MMM se exponen con detalle las reglas que
deben observarse para disponer las armaduras. A continuación
indicaremos algunas de las principales ideas.
4.7.1. Espesor
Como se ha dicho, el espesor total mínimo recomendado es de a cm.
No conviene tampoco elegir espesores menores de 1/35 a 1/40 veces la
luz más pequeña de la placa.
4.7.2. Tanteos
Para tanteos puede emplearse la fórmula
m
U = A · f . = 1,2 d
ya d
Temo 4. Placas. Métodos clásicos

rlORMIGÓN ARMADO. Elementos estructurales 113
que da la capacidad mecánica U de la armadura por metro lineal de
ancho, en función del momento de cálculo lll.:i· Esta fórmula supone un
brazo mecánico igual al o, 85 del canto útil.
4.7.3. 1 Esfuerzo cortante
En general las losas o placas no se arman a esfuerzo cortante,
especialmente las simplemente apoyadas. El cortante es resistido por el
hormigón debido fundamentalmente a dos mecanismos: el
engranamiento de áridos (a ambos lados de la fisura) y el efecto arco
que se desarrolla después de la fisuración (figura 4.8). Por ello es
importante llevar hasta los apoyos al menos la mitad de la armadura,
que debe quedar bien anclada. para que actúe de tirante del arco.
-// / . JDJJJillTJJJJJJlJlJ-r(t
r-..
'" ¡,,._
"',, ,,
'
r-..,, • ' r-, , ,, ' , ¡, "
--í ,'
' ',,
' , '
' ~
- L.:;.
Figura 4.8. Efecto arco
4.7.4. Empotramientos
Los momentos de empotramiento perfecto se presentan muy rara vez,
sólo cuando la placa va unida a un elemento de gran rigidez.
Normalmente, es posible redistribuir al menos el 20°/o del momento,
llevándolo como incremento al momento de vano.

. .
114 Alvaro García Meseguer
Bielas de hormigón
a45º 0,2 1
T !-
-
(a) (b)
Figura 4.9. Armaduras de empotramiento
En las placas empotradas, puede levantarse hasta 2/3 de la armadura
de vano, preferiblemente en dos planos, garantizando un buen anclaje
de las armaduras negativas (figura 4.9.a y .b).
4.7.5. Esquinas
En las esquinas de las placas apoyadas deben disponerse armaduras
para absorber los esfuerzos de torsión. La esquina se supone de
dimensiones iguales a la quinta parte del lado menor. En esa zona
deben colocarse dos mallas ortogonales iguales, una en la car:a inferior
y otra en fa superior, con una cuantía en cada dirección del 75 º/o de la
mayor armadura principal de la placa.
4.7.6. Bordes libres
Conviene disponer en los bordes libres unas arrnaduras en U que
rodeen a las barras paralelas a los mismos (figura 4. 1O). En estos

bordes debe concentrarse suficiente armadura, en previsión de que
puedan actuar cargas en el borde y tensiones de retracción o térmicas.
2h
h
Figura 4. 1O. Borde líbre
4.7.7. Aberturas
Si hay aberturas pequeñas, es suficiente concentrar en los bordes las
mismas barras que debieron ser interrumpidas. Si las aberturas son
grandes, es necesario tenerlas en cuenta en el cálculo de esfuerzos,
bien con algún método exacto, bien de forma aproximada (por ejemplo,
imaginando que en los bordes de la abertura existen vigas que
transmiten las cargas que inciden sobre ellas).
BIBLIOGRAFÍA
• Instrucción EHE: Artículos 22 "Placas" y 56 "Placas o losas".
• Hormigón armado por Montoya, Meseguer, Morán. 14ª edición,
Barcelona 2000. Capítulo 24 "Placas de hormigón armado".
• Construcciones de hormigón por F. Leonhardt. Volumen 3.
Publicado por Editora lnterciencia, Río de Janeiro, 1978.

116
, .
Alvaro García Mesegu.er
1. En una placa rectangular de dimensiones lx y ly apoyada
simplemente en su contorno, determinar los momentos en ambas
direcciones por el método de Marcus, sabiendo que lx = 2 · ly
¿En qué proporción se reparten las cargas en las direcciones
x , y? ¿y los momentos?
2. Sobre una placa rectangular de 5 · 3 m2
, simplemente apoyada
en sus dos lados menores, actúa una carga concentrada en una
zona de 1 · o, 5 m2
situada como indica la fígura 4. 11. ¿Qué
anchura eficaz puede considerarse en el cálculo de esta placa?
2,25 0,5
r: :1,5 l : :
1 ¡_____________-;,..,!. ..,..,..¡¡
~ 1 .
1
1,0 1
1
L '-----....--------'"<;L.I
Figura 4.11
2,25
1
1
1
1
1
1
1
1 ~.o
1
1
1
1
1
3. ¿Qué armadura colocaría en una placa pequeña sometida a
pequeñas cargas, armada con acero B 500 S?
4. Se dispone del cálculo y planos completos de. una placa de
2 • 6 m
2
empotrada en sus cuatro bordes. Por un cambio de
última hora, la placa irá, en realidad, empotrada tan sólo en sus
lados mayores y libre en sus lados menores. ¿Q_ué cálculos debe
hacer Vd ahora?
Tema 4. Placas. Métodos c lásicos •

5. ¿Se coloca armadura de negativos en un borde simplemente
apoyado de una placa? ¿Por qué?
6. De una placa de 2, so · s, so m2 simplemente apoyada en sus
cuatro bordes se conoce su armadura principal (paralela al lado
corto). ¿Qué armadura secundaria debe disponerse?
Teme 4. Placas. Métodos c lásicos

118 Álvaro Garc!a Meseguer
1. Llamamos q a la carga unitaria sobre la placa. En la direcc.ióli de
la luz mayor (lx) la carga es qx y en la dirección ~ Y la carga es
qy.
La flecha de una viga simplemente apoyada vale:
a =
5
384
q·l4
EI
Por consiguiente, debe verificarse (ver figura 4.12):
a -
de donde se deduce
-
a ly,
5
384
-
-
l
Figura 4.12
384
a
EI
1
16
l

.
HORMIGON ARMADO. Elementos estructurales 119
Como por otra parte
deducímos:
q
qx - •
17
2
mx 1 . ~ 412 -
qly
- -8 17 y 34
2
1 16q 12 4qly
my -- -8 17 y 34
16q
qy = 1
17
Por consiguiente, las cargas se reparten proporcionalmente a las
cuartas potencias de las luces y los momentos proporcionalmente
a los cuadrados. Este resultado muestra que las placas apoyadas
en sus cuatro bordes trabajan casi exclusivamente en la dirección
más corta a partir de una relación de dimensiones del orden de 2.
2. Estamos en el caso b) del apartado 4.5.2. Los datos valen:
l y = 5 m; b 0 = 1 m; d = 0,5 m;
~ = 1
Calculamos primero el ancho eficaz he en el supuesto de carga
actuando en el centro del ancho de la placa.
Como
lx < 3 · lY , el ancho eficaz b 1 vale:
1 + 5
3 + 5
· 3 = 2,25 m
Ahora, como lx < lY , calculamos:
1
1 + - . 5
3
- - --3 + 0,5
1
3 + - . 5
3
- 2,2 m
Luego el ancho eficaz vale 2 , 2 o m (que alcanza el borde libre de
la placa).

3. La cuantía geométrica mínima, o ·sea, el 1,8 por 1000 en cada
dirección (tabla 42.3.5 de la EHE).
4. Ninguno. El cambio de sustentación no influirá prácticamente
nada, por ser 6/2 > 2, 5.
5. Sí. Debe ponerse una armadura capaz de soportar los dos
momentos siguientes:
- la mitad del positivo en la sección central paralela a ese borde;
- el tercio del positivo en la sección central perpendicular a ese
borde,
para cubrir el riesgo de que se produzca un empotramiento parcial
en el apoyo.
6. No menos del 25o/o de la principal, de la·do a lado la positiva y por
lo menos para cubrir 50 cm la negativa.

5.1 .
5.1. 1.
PLACAS.
MÉTODO DE LAS,
LINEAS DE ROTURA.
BASES DEL MÉTODO.
PRINCIPIO DE LOS EXTREMOS.
SIMPLIFICACIONES.
OBTENCIÓN DE LA
CONFIGURACIÓN DE ROTURA.
FUERZAS NODALES.
RECOMENDACIONES PRÁCTICAS.
BASES DEL MÉTODO
Introducción
Al igual que en vigas y soportes utilizamos métodos de cálculo en
agotamiento, que se basan en un conocimiento previo de las
configuraciones de rotura, también en placas podemos utilizar un
método análogo siempre que seamos capaces de predecir cuál será la
Tema 5. Placas. Método de las líneas de rotura

configuración de rotura. Debemos a la escuela danesa y, en partiéular,
a Johansen, el método denominado de las líneas de rotura, del cual
daremos unas nociones en el presente tema. El método de Johansen,
cuyas hipótesis fundamentales fueron establecidas por su autor e·n
1931, permite obtener la carga y 10$ momentos de rotura de una placa
de manera relativamente simple, adecuada para cálculos manuales. Su
validez ha sido demostrada ampliamente, con posterioridad, a través de
numerosos ensayos.
Si una placa se somete a una carga que crece de forma gradual, en los
primeros momentos la distribución de esfuerzos es la dada por la teoría
elástica (cálculo clásico). Conforme progresa la fisuración se alteran las
inercias y se redistribuyen los esfuerzos. En el supuesto de que la
cuantía de la armadura es inferior a la cuantía límite, hay una carga
para la cual se alcanza, en una sección de la placa, el límite elástico de
la armadura. A partir de esta carga, dict1a sección acepta grandes
deformaciones sin que su momento varíe apreciablemente: se dice que
la sección se ha plastificado (figura 5.1). Conforme aumenta la carga se
plastifican sucesivamente las secciones situ.adas en unas líneas que
progresan, se unen y cruzan la placa, reduciéndola, finalmente, a un
mecanismo libremente deformable. El valor de la carga para la que esto
sucede se llama carga de rotura de la placa.
1Ir = curvatura
Figura 5.1. Momento de fisuración (Me) y de plastificación (Mp)
Así, en la figura 5.2 se ha representado una placa rectangular apoyada
en sus cuatro bordes, que suponemos armada en las dos direcciones, a
la que se somete a una carga uniformemente distribuida de valor
creciente, hasta su rotura. Al aproximarse ésta, en la placa aparecen las
líneas marcadas, la placa baja mucho en su parte central y se
transforma en una superficie poliédrica, apoyada en sus bordes y
girando libremente (casi) hacia abajo. Decimos casi porque las
Tema 5. Método de las líneas de rotura

armaduras pasantes mantienen la integridad de la placa ya rota, cuando
ésta ya no acepta más cargas en el ensayo.
Las líneas a lo largo de las cuales se alcanza la plastificación (aristas
del poliedro) se llaman líneas de rotura. En el supuesto de que a lo
largo de las mismas no varíen las armaduras de la placa (cosa normal)
el momento f/ector en ellas es constante y se calcula fácilmente en
función de dichas armaduras, como luego veremos.
Líneas de rotura
Figura 5. 2. Rotura de una placa
Las líneas de rotura pueden ser positivas o negativas, según el signo de
los momentos de rotura correspondientes. Las positivas forman aristas
bajas (limahoyas) y las negativas aristas altas (limatesas). Véase el
ejemplo de la figura 5. 3.
Apoyo simple....... __
Línea de rotura(+)
Línea de rotura (-)
Empotramiento
Figura 5.3. Ejemplo de líneas de rotura positiva y negativa
Tema 5. Placas. Método de las líneas de roturo

124
' .Alvaro Garc1a Meseguer
De entre las múltiples combinaciones imaginables de líneas de rotura o
configuraciones de rotura, que reducen la placa a un mecanismo, y que
deben ser compatibles con las condiciones de apoyo de la misma y
estar en equilibrio con la carga, hay que buscar la verdadera. Para ello
puede aplicarse el teorema del límite inferior, según el cual la carga que
está en equilibrio con uno cualquiera de los posibles mecanismos
plásticos de una estructura es igual o superior a la carga de rotura real,
lo que equivale a decir que e/ mecanismo verdadero es aquel que
proporciona la carga de rotura más pequeña (ver apartado 5.2). Una
vez determinada la configuración de rotura se calculan fácilmente los
esfuerzos de agotamiento, que sirven para comprobar o dimensionar
las secciones.
5.1.2. Cuatro principios
fundamentales
1º Se parte de la hipótesis de que el comportamiento del material es
rígido-plástico perfecto (figura 5.4.b). Esto equivale a decir que, en el
estado de agotamiento de la placa, pueden despreciarse las
deformaciones elásticas frente a las deformaciones plásticas (ver
figuras 5.1 y 5.4) por lo que las distintas partes en que queda
dividida dicha placa pueden considerarse como planas y, por tanto,
/as líneas de rotura serán rectas.
cr j
(a) material elasto-plástico (b) material rígido-plástico
Figura 5.4. Diagramas u-e
2º Como consecuencia, los movimientos que experimenta cada trozo
de placa serán únicamente rotaciones, cuyos ejes vienen

determinados por las condiciones de apoyo, forma y carga de la
placa.
3° La línea de rotura que separa a dos trozos de placa pasa por el
punto de intersección de sus respectivos ejes de rotación (ver figura
5.3) lo que se deduce inmediatamente de lo indicado en los dos
apartados anteriores .
4º Para un trozo de placa sustentado mediante un apoyo rectilíneo, su
eje de rotación coincide con dicho apoyo. Cuando el trozo de placa
está sustentado en un apoyo aislado, su eje de rotación pasará por
dicho apoyo.
5. 1.3. Forma de rotura de la
placa
La forma de rotura de la placa puede determinarse siempre que se
conozcan los ejes de rotación de cada trozo y su respectivo ángulo de
.
giro.
En efecto, sea la placa de la figura 5.5 libremente apoyada en sus
catetos y con la hipotenusa libre.
a
11
1
1
1
1
1
1 A
1
1
1
1
B
----- -----
ºI--~~~-a~~~~-
Figura 5.5. En una placa triangular biapoyada,
Ja línea de rotura coincíde con la bisectriz (Tomada del MMM)
Tema 5. Placas. Método de las líneos de rotura

Figura 5.6. Un ejemplo con apoyos puntuales (Tomada del MMM)
Los ejes de rotación son conocidos, ya que coinciden con los apoyos.
Por tanto, la línea de rotura pasa por el punto o. Si se supone carga
uniforme y armaduras iguales. según las dos direcciones de los catetos,
por simetría puede considerarse que los dos trozos de placa A y B giran
el mismo ángulo O, y la línea de rotura será la bisectriz oc.
Consideramos ahora una placa trapezoidal (figura 5.6) empotrada en su
base menor y apoyada en dos pilares.
Existirán ahora tres éjes de rotación, uno según el empotramiento
(conocido) y los otros dos que pasan por los pilares (desconocidos). Las
líneas de rotura deben pasar por los puntos de corte o, D, E. Una de
ellas es clara: coincidirá con el borde empotrado; y habrá además otras
tres como las dibujadas en la figura, con lo que la placa queda dividida
en tres partes. Supongamos conocidos los ejes de rotación y los giros
relativos de cada trozo de placa OA, Oa y 9c; al cortar la placa rota por un
plano paralelo al determinado por los apoyos y distante de él una
magnitud cualquiera (por ejemplo, n), se obtiene una curva de nivel
o• D• E • constituida por segmentos rectilíneos paralelos a los
respectivos ejes de rotación.
Fácilmente puede dibujarse una de estas curvas de nivel si se conocen
los giros, ya que los segmentos a, b y e (figura 5.6) se determinan
inmediatamente:
n n
b = 1
tg 9B
n
a = e =
Tema 5. Método de las líneas de roturo

y basta unir los vértices de una cualquiera de estas curvas con los
puntos o, D, E, para obtener las líneas de rotura.
Es evidente que si los giros aumentan de forma proporcional, la
configuración de rotura no cambiará. Por ello, puede suponerse que
uno cualquiera de ellos es unitario.
Por consiguiente y como dijimos al principio, si se conocen los ejes de
rotación de cada trozo y su respectivo ángulo de giro, pueden dibujarse
las líneas de rotura de la placa.
Cuando las placas se apoyan sobre vigas, se considera que éstas son
lo suficientemente rígidas como para que su deformación no altere los
resultados obtenidos, y suficientemente resistentes para que no fallen
junto con la placa.
1 5.1.4. Esfuerzos a lo largo de una
línea de rotura
Sea (figura 5. 7) una línea de rotura atravesada por armaduras de área
A1 por unidad de ancho de la placa; y sea 9;_ el ángulo que forma la
línea de rotura con un plano normal a las armaduras Ai .
m · s
cos 8¡
(a)
m.· s1
(b)
Figura 5. 7. Esfuerzos en una línea de rotura (Tomada del MMM)
t . s
cos 8¡

Las armaduras A1 se plastificarán y proporcionarán un momento por
unidad de ancho igual a:
m. = A· ·f d·Z·l. l. y l.
siendo Ai el área de la sección de las armaduras por unidad de ancho,
fyd el límite elástico minorado del acero y zi el brazo mecánico en
rotura (figura 5. 8).
e-- - - 1,00 - -- -
• •
Figura 5.8. Momento de rotura {plastificación)
Si llamamos s a la separación entre armaduras, cada armadura cose la
línea de rotura en una longitud de eficacia de esa armadura AB, igual a
s / cos 01 . Además, cada armadura desarrolla un momento igual a
mi · s que podemos representar (ver figura 5. 7.b) por un vector giro (con
dos flechas) a 90º (el vector marca el eje de giro del par).
Este vector puede descomponerse según la línea de rotura y su
perpendicular, dando los vectores:
m· . 5. sen e.l. l.
que representa un flector actuando en la línea de
rotura
que representa un torsor actuando en la línea de
rotura.
Temd 5. Método de las líneas de rotura

'
Ahora bíen, si llamamos m al momento flector por unidad de longitud
que actúa en la línea de rotura y t al torsor, en el elemento AB los
esfuerzos valdrán:
s
flector: m · AB - m - - -
s
torsor: t · AB - t - - -
cos ei
Al igualar estas expresiones a las anteriores obtenemos finalmente:
expresiones que nos dan el flector y el torsor a lo largo de una línea de
rotura, en función del momento soportado por las armaduras al
plastificarse.
Por consiguíente y como dijimos en 5.1.1, s.i las armaduras no varían a
lo largo de la línea de rotura, resulta que el momento y el torsor son
constantes en todo punto de dicha línea.
En el caso general en que la línea de rotura sea cruzada (figura 5.9) por
varías armaduras que formen con ella distintos ángulos 9¡, los
momentos flector y torsor a lo largo de la línea valdrán:
Un caso particular importante es el de placas isótropas, es decir,
armadas con dos familias de barras ortogonales de modo que sean
iguales los momentos soportados en ambas direcciones (tanto positivos
como negativos). Aunque en rigor esto no signifíca que las armaduras
en las dos díreccíones sean iguales, debido a que no están colocadas al
mismo nivel, suele considerarse que las losas así armadas son
isótropas, suponiendo a efectos de cálculo que ambas familias de

barras están en el mismo plano, que es el de contacto entre barras
(figura 5.10).
Si llamamos 1llo al momento resistido en una y otra dirección, el
momento m de una línea de rotura de cualquier dirección valdrá:
m.:m1
>
>
>
•
>
>
>
>
>
>

>
>
-
2 >
'
>
~
'
2 2 ( 1t)m = mo cos e + mo cos e + 2 = mo
90 - e,
e1
B .,/
/
A
/. ,.r'I
/
~
.,.J
,.r >-sJ
1
r
r-.,
- -- ---- -. - - -- -
m."' m
AB= s
cose 1
Figura 5.9. Momento en una línea de rotura (caso de dos armaduras)
• • •
Figura 5.10. Losa ortótropa
Tema 5. Método de los líneos de rotura

Este es un resultado muy interesante: el momento a lo largo de una
línea de rotura es constante e igual al proporcionado por cada familia de
armaduras, en una placa isótropa.
En cuanto al torsor, resulta de valor nulo. En efecto:
t = mosen0 cose + masen (e+· ~) cos (e -1· ~) - o
5.2.
PRINCIPIO DE LOS
EXTREMOS
Los estudiosos de la teoría de la plasticidad nos enseñan que la
solución exacta de un problema de determinación de la carga de rotura
(problema de comprobación) de una estructura en régimen elasto-
plástico, debe satisfacer tres condiciones:
a) La estructura debe convertirse en hipoestática (mecanismo
deformable) con la plastificación provocada por la carga.
b) Deben satisfacerse las condiciones de equifibrio.
c) En ningún punto de la estructura puede existir un esfuerzo superior
al que origina la plastificación.
El satisfacer las dos primeras condiciones y no la tercera conduce a
valores de la carga mayores que el real. El satisfacer las dos últimas
condiciones y no la primera conduce a valores de la carga menores que
el real. La segunda condición no debe dejar de cumplirse.
El método de las líneas de rotura está en el primero de los casos
citados; por ello, conduce a una solución que, o es la verdadera, o
queda del lado de la inseguridad, al predecir una carga de rotura mayor
que la real (teorema del límite inferior).
En la práctica, se procura obtener la solución aparentemente más
desfavorable, confiando al coeficiente de seguridad la cobertura de la
diferencia que pueda existir. Ciertamente, se puede recurrir a métodos
basados en la observancia de las dos últimas condiciones, lo que puede

132
, .Alvaro Garc10 Meseguer
proporcionar resultados en contra de la economía o conducir a
soluciones difíciles de hallar (la solución del problema en régimen
elástico es una de ellas). En muy pocos casos se conocen resultados
exactos, que corresponden a la comprobación de las tres condiciones
citadas.
5.3.
SIMPLIFICACIONES
Ante las dificultades reseñadas y a la vista de que cualquier solución
aproximada lo es por el lado de la inseguridad, debe procurarse
introducir simplificaciones que, por un lado, faciliten el cálculo y, por
otro, proporcionen una seguridad adicional. Así por ejemplo:
• separar la carga en dos o más partes y sumar los momentos de
plastificación resultantes, con lo que se obtiene siempre un momento
mayor que el verdadero (principio de superposición);
• cambiar la posición de la carga por otra más desfavorable, o pasar
de carga uniforme a concentrada;
• despreciar parte de la losa o parte de la armadura (ver figura 5.11);
• adoptar una configuración de rotura formada por las configuraciones
pésimas en varias zonas de la placa que sean incompatibles.
Figura 5.11. Carga puntual sobre un borde libre.
Los trozos ACP y BDP pueden ser despreciados.

HORMIGÓN ARMADO: ElerTlentos estructurales
5.4.
5.4.1.
OBTENCIÓN DE LA
CONFIGURACIÓN DE
ROTURA
Generalidades
133
Para la obtención de la configuración de rotura de una placa dada se
eligen previamente las configuraciones posibles, que son las
compatibles con la forma, condiciones de apoyo y cargas de la placa.
Cada configuración queda determinada en función de uno o varios
parámetros incógnitas. Estos parámetros se determinan por alguno de
los métodos existentes, calculando a continuación la carga de rotura de
la placa, para la configuración estudiada. La configuración verdadera (o
la más aproximada de entre las elegidas) será la que proporcione una
carga de rotura más pequeña.
Recíprocamente, si se conoce el valor de la carga de rotura, la
configurac.ión de rotura se hallará con la condición de que maximice el
momento ·de plastificación m, y se dispondrán las armaduras necesarias
para resistir ese momento (problema de dimensionamiento).
Repetimos que cualquier solución aproximada lo es pór el lado de la
inseguridad, por lo que debe procurarse que las simplificaciones hechas
en el cálculo proporcionen siempre una seguridad adicional.
5.4.2. 1 Método del equilibrio
Consiste en establecer las ecuaciones de equilibrio de cada uno de los
trozos en que queda dividida la placa por las líneas de rotura. En
general ha.brá una ecuación de equilibrio de fuerzas y dos de equilibrio
de momentos (resp$cto a d.os ejes cualesquiera situados en el plano de
la placa), de forma que, si hay n trozos, se dispondrá de 3 •n
ecuaciones de equilibrio.

Se supone que las cargas crecen proporcionalmente, de forma que las
que actúan al producirse la rotura quedan fijadas por un único
parámetro incógnita, que llamaremos genéricamente carga de rotura.
Son también incógnitas la posición de los ejes de rotación de los n
trozós de placa y los giros de n - 1 de ellos (puesto que todo ello es lo
que fija la configuración de rotura, según se ha visto en el apartado
5. 1.3), así como las reacciones de los apoyos de la placa (ya que los
momentos flector y torsor en las líneas de rotura son conocidos en
función de las armaduras de la placa).
En un trozo de placa apoyada según un lado recto, el eje de rotación es
conocido, pero se desconoce el valor de la resultante de las reacciones
de apoyo y su punto de paso. Si el trozo está apoyado en un punto, el
eje de apoyo y la resultante pasarán por dicho punto, pero se
desconoce la dirección del eje y el valor de la resultante. Si el trozo no
está apoyado, no es necesario calcular la resultante de las reacciones
de apoyo, pero se desconoce por completo la posición del eje de
rotación .
Resumiendo, las incógnitas son: la carga de rotura (1); los giros (n-1),
y los ejes de giro y reacciones apoyo de los trozos (2 •n). En total 3 · n,
es decir, tantas como ecuaciones.
Es posible, por tanto, al menos teóricamente, determinar la
configuración de rotura y la carga de rotura, aunque el cálculo resulta,
en la práctica, muy laborioso. En muchos casos, sin embargo, se
simplifica por la existencia de simetrías en la placa.
Como ejemplo, sea una placa rectangular (figura 5. 12) apoyada en tres
bordes y libre en el cuarto, sometida a una carga uniforme q y con
armadura isótropa (es decir, armaduras iguales en dos direcciones
perpendiculares). En este caso la configuración de rotura ha de ser la
indicada, ya que los ejes de rotación son los bordes. Debido a la
simetría, dicha configuración queda definida en función de un único
parámetro x. Las líneas de rotura son todas positivas.
Para no tener que calcular las reacciones de apoyo, como ecuación de
equilibrio del trozo A se elige la de momentos alrededor de su eje de
apoyo:
m , b - q . r(b - x) a . a + ~ , X . ~]
- 2 4 2 2 6
Tema 5. Método de laslíneas de rotura

a
X T
-m
- - - - -- b - - - - - - - -
Figura 5. 12. Un ejemplo sencillo de placa rectangular
135
Análogamente se escribe el equilibrio de momentos del trozo B
alrededor de su eje de apoyo:
a· X X
m·a=q· --·~
2 3
Eliminando m .entre estas ecuaciones, resulta:
x=
4
: (~a2
+ 12b
2
- a)
con lo que se puede hallar fácilmente la carga de rotura q, en función
de m (comprobación) o, a la inversa, el momento m en función de q
(dimensionamiento).
5.4.3. Método de los trabajos
virtuales
Este método se basa en el principio de los trabajos virtuales.
Tema 5. Placas. Método de las líneas de rotura.

Si se admite una determinada forma de rotura, puede girarse uno de los
trozos un ángulo virtual e alrededor de su eje de rotación, y como
consecuencia quedarán determinadas las rotaciones de las restantes
partes. La suma de los trabajos virtuales de las fuerzas exteriores e
interiores debe ser nula.
El desarrollo del método puede encontrarse en la literatura
especializada.
5.4.4. Método aproximado de
tanteos sucesivos
Este método combina los dos anteriores y se utiliza en casos de placas
de forma complicada.
Se parte de una configuración de rotura particular y se aplican los dos
métodos mencionados, obteniéndose dos valores de la carga de rotura.
A la vista de los mismos, se modifican los parámetros que definen la
configuración de rotura, aumentando la superficie de aquellos trozos
que convenga y disminuyendo la de los otros, para conseguir que los
dos valores resultantes se aproximen más entre sí. Si es necesario, se
itera el procedimiento.
5.5.
FUERZAS NODALES
Para establecer las ecuaciones de equilibrio de los distintos trozos
planos de una placa en rotura es necesario conocer no sólo las cargas
y las reacciones de apoyo, sino también los esfuerzos que actúan a lo
largo de las líneas de rotura. En el caso más general, además del
momento flector m, actuarán también un esfuerzo cortante v y un
momento torsor t, que pueden considerarse conjuntamente
sustituyéndolos por dos fuerzas situadas en los extremos de las líneas
de rotura, que se denominan fuerzas noda/es.
Tema 5. Mét·odo de las líneas de rotura

Así (ver figura 5.13), si AB es una línea de rotura, en ella actuarán unos
esfuerzos transversales y un momento de torsión que pueden
sustituirse por las dos fuerzas concentradas QA,Q8 actuando en los
nudos (o nodos, de ahí el nombre). Estas fuerzas se representan por
puntos (indicando que actúan hacia arriba) o por el signo más (hacia
abajo).
En muchas aplicaciones de la práctica las fuerzas nodales son nulas
por lo que no es necesario tenerlas en cuenta.
5.6.
5.6.1.
Figura 5.13. Fuerzas noda/es
RECOMENDACIONES
PRÁCTICAS
Espesor de la placa
El espesor total h de la placa se fija por razones funcionales o
económicas. Estas hacen desaconsejables los pequeños espesores,

por las fuertes armaduras necesarias y la necesidad de efectuar una
comprobación de flechas. Por otra parte, si se calculan los esfuerzos
por el método de las líneas de rotura, conviene asegurarse de que las
armaduras alcanzan su límite elástico en la situación de agotamiento,
para lo cual la cuantía debe ser inferior a la cuantía límite. Por todo ello
se recomienda que el canto útil elegido cumpla las condiciones:
d > 2,2
'Y f . m
----"'------ con y f = 1,6 y fcd = f ck / 1,5
b . fcd
d ~ 3,2 · m + s(encm)
siendo m el momento de servicio (en mt).
5.6.2. Armaduras
Una vez deducido el momento de plastificación mediante el método de
las líneas de rotura, las armaduras se dimensionan para un momento
último igual o mayor que el de plastificación.
Debe tenerse en cuenta que el canto útil de una placa no es el mismo
en las dos direcciones. En las placas rectangulares que resisten en las
dos direcciones, la armadura principal es paralela al lado menor y
deberá colocarse más próxima a la cara de tracción. En las placas
apoyadas en puntos, la armadura principal es la paralela al lado mayor
de cada panel. Con objeto de simplíficar los cálculos, pueden calcularse
ambas armaduras admitiendo un canto útil común en ambas
direcciones, dado por la distancia del plano de contacto de las
armaduras a la cara comprimida de la placa; con ello se queda del lado
de la seguridad, siempre que la armadura principal se coloque más
cerca de la cara traccionada y se cumplan las condiciones de isotropía
supuestas en el cálculo.
Para anteproyectos y tanteos puede emplearse la siguiente fórmula
aproximada que da la capacidad mecánica u de la armadura por metro
de ancho, en función del momento de servicio m:
m
U = A 8 • fyo == 19 - kN/ m
d

HORMIGÓN .ARMADO. Elementos estructurales 139
que equivale a suponer que el brazo es z::::::: o, as d, lo que se cumplirá
generalmente si el canto no es inferior a los mínimos indicados.
Hay que recordar que la teoría de líneas de rotura supone, como base
de partida, una armadura uniforme, por lo cual no es correcta una
distribución en bandas com.o la que se hace cuando se trabaja por el
método clásico, reduciendo la cuantía a la mitad en las zonas laterales.
5.6.3. Empotramientos
Con respecto al grado de empotramiento E, que nos relaciona los
momentos negativos con los positivos, ·hay que decir que los ensayos
de rotura demuestran que existe una redistribución importante de los
momentos, debida a la plasticidad del hormigón, lo que prácticamente
permite al calcu.lista elegir la relación E "" m1 /m. Por supuesto, deberá
procederse a una distribución racional de las armaduras, para tener en
cuenta la seguridad a la f!suración.
Los valores que normalmente se adoptan para e son inferiores a los
calculados por los métodos elásticos; de esta forma, se mayaran las
armaduras inferiores dé vano, reduciéndbse las superiores de apoyo, lo
que, al fin y al cabo, supone un menor riesgo de fisuración en las caras
inferiores de las placas que, en general, son las más visibles.
En el caso de empotramiento p_erfecto y en placas continuas, puede
adoptarse el valor
m~
s = = de - 1 a - 1,5
m
Cuando la placa esté parcialmente empotrada, como ocurre en los
bordes ligados a vigas no muy rígidas, puede disminuirse la armadura
de empotramiento a la mitad, aumentando la correspondiente al vano
en un 25°/o si sólo se ha disminuido uno de los empotramientos, y en un
50% cuando se han rebajado los dos empotramientos enfrentados.
Tema 5. Placas. Método de los Hneas de rotura

140 Álvoro García M$segut?r
1 5.6.4. ¡ Distancia entre barras
Serecomienda respetarlaslímitacíones delcuadro dela!lgt1/a 5.14.
El CEB recomienda para placas de espesor h ~ 3 o cm, separaciones
máximas entre barras de la armadurC! princi-pal de 2 o cm.
~madura Carga uniforme Carga concentrada
Principal s <2h s ~ 30 cm s ~2h s ~ 25 cm
Secundaria s < 3h s < 33 cm a <3h s ~ 30 cm
Figura 5.14. Distancias entre barras
5.6.5. Placas alargadas
En el caso de placas alargadas, con una relación de dimensiones
l,./ly < o, 40 y carga uniforme, se armará la losa suponiendo que sól.o
existe flexión en dirección de la menor dimensión. No obstante, se
dispondrá una armadura de reparto cuya sección sea, como mínimo,
del 25º/o de la correspondiente a fas armaduras principales. Además, si
los bordes pequeños de estas placas están empotrados, se dispondrá
una armadura negativa igual a la de reparto citada, con un¡;¡ longitud no
inferior a la cua.rta parte de dicho lado menor.
5.6.6. Cargas concentradas
Cuando una placa está sustentada en puntos aislados (por ejemplo,
sobre pilares), o debe soportar cargas· concentradas muy importantes,
además del cálculo a flexión es necesario hacer una comprobación a
punzonamiento (ver Tema 6). En los demás casos, no es necesario
Tema 5. Método d e las líneas de rotura

comprobar los esfuerzos cortantes (que no son obtenidos por el método
de las líneas de rotura), salvo en placas de luces muy pequeñas y
cargas muy fuertes, siempre que el espesor adoptado no sea inferior a
los valores dados más arriba.
,
BlBLIOGRAFIA
Barcelona 2000. Capítulo 24 "Placas de hormigón armado".
• Teoría elementar das charneiras plásticas por Telémaco Van
Langendonck. Asociayao Brasileira de Portland, Sao Paulo 1970
(tomo 1) y 1975 (tomo 11).

HORMIGÓN ARMADO. Elementos estructuróles 143
1. Dibujar la configuración de rotura de las placas de la f;gura 5. 15.
•
•
•
Figura 5.15
2. En una placa isótropa ¿cuánto vale el momento a lo largo de una
línea de rotura?
3. ¿Qué le pasa al vértice de una placa simplemente apoyada?
¿Cómo son las líneas de rotura en su entorno?
4. ¿Cómo es la rotura en el vértice de una placa simplemente
apoyada si éste se ancla al apoyo?
5. Una placa pentagonal está empotrada en sus cinco lados y recibe
una carga concentrada en su centro. Dibujar las líneas de rotura.
6. ¿Qué cuantía mínima conviene respetar en las dos direcciones en
una placa?
Tema 5. Placas. Método de las líneasde rotura

144 '
1. Los ejes de giro pasan por los apoyos puntuales. Las líneas de
apoyo son ejes de giro. Las líneas de rotura pasan por los puntos
de intersección de los ejes de giro (ver figura 5.16).
~ .....
' ....
' '.' .....1 ' .....
1 " ......1 '-,, .........
1 '

1
1 /,
.1' ,,,.,
1
I /
I /
Jf-/
-
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1
1
1
f
1
...--/--~--- /
...--1'."'"" /
--=---.
1
: ! //
' /
/,' /
Jj /
Figura 5.16
/
/
/
/
/
2. El momento es constante e igual al proporcionado por cada
familia de armaduras.
3. Los ensayos demuestran que la rotura, en los ángulos de las
placas apoyadas, es en forma de Y (ver figura 5.17), de modo que
el vértice tiende a levantarse al girar el trozo de esquina alrededor
del eje de rotación EE.
Tema 5. Método dé las líneasde rotura

E l
E
Figura 5.17
4. Se produce una línea de rotura negativa (ver figura 5. 18) según el
eje EE. Por consiguiente, en este caso hay que armar para
negativos con una armadura superior.
Anclaje
E l.
..
El
Figura 5.18

,
5. Ver figura 5.19.
Figura 5.19
6. Conviene respetar la limitación:
ú) - > 0,05

6. 1.
PUNZONAMIENTO.
INTRODUCCIÓN.
SUPERFICIECRÍTICA DE
PUNZONAMIENTO.
PLACAS SIN ARMADURA DE
PUNZONAMIENTO.
PLACAS CON ARMADURA DE
PUNZONAMIENTO.
PUNZONAMIENTO EN PLACAS
CON CAPITEL.
EJEMPLO DE COMPROBACIÓN A
PUNZONAMIENTO.
INTRODUCCIÓN
Cuando una carga o una reacción localizadas actúan sobre una
superficie pequeña de una placa de hormigón que trabaja en dos
direcciones, puede producirse el agotamiento por efecto de tensiones
tangenciales actuando alrededor de la zona cargada. Se dice entonces
que la placa falla por punzonamiento, estado límite que se caracteriza
por la formación de una superficie de fractura (figura 6. 1) de forma
Tema 6. Punzonamiento

.
troncopiramidal (o troncocónica en el caso de áreas circulares) cuya
base menor es el área cargada y cuyas generatrices, según muestran
los ensayos, están inclinadas respecto al plano de la placa un ángulo
comprendido normalmente entre 25 y 30 grados (figura 6. 2).
Figura 6.1. Punzonamiento alrededor de un soporte
El punzonamiento puede presentarse, por tanto, en las zonas de flexión
negativa alrededor de soportes o en las zonas de flexión positiva
alrededor de cargas concentradas. Ejemplos de lo primero son las
placas o forjados reticulares sobre soportes aislados, así como el caso
de forjados de vigas planas. Ejemplo de lo segundo es el caso de
zapatas.
Cortante resistido por
compresión radial
inclinada
Fisuración antes de rotura
Fisuración en rotura
Figura 6.2. Esquema de rotura por punzonamiento (Tomada del CM 90)
Tema 6. Punzónamiento

.
El estado límite de punzonamiento es objeto de investigaciones hoy día,
no existiendo un conocimiento completo del mismo salvo en casos
sencillos. Por ello, las normas de los distintos países suelen ofrecer
tratamientos diferentes entre sí, siendo común a todas ellas la omisión
de casos complicados. Sin embargo, la condición de no punzonamiento
resulta a menudo determinante para fijar las dimensiones de los
distintos elementos.
En lo que sigue, expondremos las teorías más sencillas teniendo a la
vista el Código Modelo CEB-FIP 90 (CM-90) y la Instrucción Española
EHE, que dedica a esta materia su artículo 46.
6.2.
SUPERFICIE CRÍTICA DE
PUNZONAMIENTO
Se admite como modelo para el cálculo que la sección crítica en la que
debe comprobarse el esfuerzo cortante es vertical, concéntrica con el
soporte y situada a una distancia de sus caras igual al doble del canto
útil de la placa (el cual debe tomarse como semisuma de los cantos
útiles correspondientes a las armaduras en dos direcciones
ortogonales). Este modelo ha venido a sustituir modernamente en
Europa al modelo tradicionalmente empleado (y que continúa figurando
en el Código ACI 318:95) que coloca la sección crítica a una distancia
de medio canto útil, lo que tiene significado físico. Pero el nuevo
modelo, que no tiene significado físico por ser de carácter empirico,
proporciona unos resultados más concordantes con la experimentación
existente.
En la figura 6.3 se definen la superficie crítica y el perímetro crítico, u¡,
para soportes interiores, de borde y de esquina.
Soportes interiores: u 1 ::::: 47td + 2 (a0 + b 0 )
Soportes de borde: u1 = 27td + a0 + 2 b 1
Soportes de esquina: u 1 =7td + a 1 + h 1
En los soportes de borde y de esquina, el vuelo, si existe, no debe ser
superior a Sd, siendo d el canto útil medio de la placa. En caso
contrario, se tratan como soportes interiores.
Tema 6. Punzonomiento

150
_¡
d
l
t
2d
L
bo
r2d
L
i1 11
r 2d -r- ªº..,- 2d ---, r 2d -r- ªº..,- 2d ---, r2d -r- aoT
,,,,,,,...- ·- ·-·- ......... /.- · - · ~ -...........
./ -·-·-·. . /. ., //
"I
¡· .
/. .
1 1 1
mai.
1 1
~
.
ma. 1 ! 1
1 1 •
·¡. 1 1
1 J
I ~2d
• a.-'. /.......... _,_____..,,,,..
Figura 6.3. Superficie critica y perímetro crítico para soportes interiores,
de borde y de esquina
1
~
h
t
2d
-ib1
-f
Para los soportes de borde en los que los momentos laterales estén
equilibrados y la excentricidad de la carga se sitúe hacia el interior de la
placa, puede admitirse una distribución uniforme de tensiones tangenciales,
adoptando el perímetro crítico u1 * indicado en la figura 6.4.a.
Análogamente para los soportes de esquina, en los que la excentricidad
de la carga se sitúe hacia el interior de la placa (figura 6.4.b).
r2d--, a0 r2d r r 2d -,e~
··-··
i . - ··-l,,-·· .....__ /,.. / .. U1•
I U1 2d e< 0,5 a 0 y 1,5d.
"
.. .
'
ªº l 1 ( ªº
e < 0,5 b0 y 1,Sd
1
bo~
. . • ..
J.e T
.
..L bo _I
1
(a) (b)
Figura 6.4. Perímetro crítico u1*

'
HORMIGON ARMADO. Elementos estructurales l51
En el caso de existir en la placa aberturas o huecos situados a una
distancia no mayor que 6d respecto al contorno del área cargada (figura
6.5), se descontará del perímetro crítico u 1 la parte comprendida entre
las tangentes trazadas desde el centro de gravedad de dicha área al
contorno de la abertura.
- - -- - ~6d - - - --'41>- L1 T
_...- ··-· · ---...... .
/
(
'
•
~
2d . ~•
"..- ..J ..- --- /
L1 > L 2
Para L1< L2 , sustituir L2 por ~L1 · L2
Figura 6.5. Caso de huecos en la placa próximos al soporte
Se admite que la sección crítica está sometida a esfuerzos tangenciales
de punzonamiento cuya resultante, F.ed. se obtiene restando de la carga o
reacción del soporte la carga que actúa dentro del perímetro situado a
una distancia h/2 del contorno del soporte o área cargada, siendo h el
espesor de la placa. Ahora bien, esta resultante será, en general,
excéntrica respecto al centro de gravedad de la sección crítica debido a
los momentos transferidos entre placa y soporte.
La evaluación precisa de las tensiones tangenciales de punzonamiento
constituye un problema complejo. Por ello, tanto la EHE como el
Eurocódigo de hormigón admiten las simplificaciones indicadas en los
apartados siguientes.

6.3.
PLACAS SIN ARMADURA DE
PUNZONAMIENTO
6.3.1 . Comprobación
Una placa sometida a una carga o reacción concentrada actuando en
una pequeña zona no necesita armadura de punzonamiento si se
verifica la siguiente condición:
"!;' • =
!'ª
[1]
'tsd tensión nomihal de cálculo en el perímetro crítico.;
Fsd esfuerzo de punzonamiento de cálculo (carga o reacción menos la
carga dentro de un perímetro situado a h/2 de la sección del
soporte o área cargada. En zapatas, dentro del perímetro crítico);
coeficiente que tiene en cuenta la excentricidad de la carga, si
existe (si no existe, 13 =1):
para soportes interiores: f3 =1, 1.5
para soportes de borde: f3 =1, 4 o
para soportes de esquina~ f3 = 1, 5 o
para soportes de borde
o esquina con perímetro
u 1* (figura 6.4): f3 =1, oo;
u 1 perímetro crítico, definido en el apartado 6.2;
d canto útil medio
de la losa: d = (<ixc + dy) / 2;
Tema 6. !punzonamiento

YORMIGÓN ARMADO. Elem entos estructura les 153
'trd resistencia del hormigón en el perímetro crítico, según el apartado
siguiente.
En el caso de zapatas, Fsd puede reducirse descontando la fuerza
neta vertical que actúa en el interior del perímetro crítico. Dicha
fuerza es igual a la fuerza ejercida por la presión del terreno menos
el peso propio del elemento de cimentación, dentro del perímetro
crítico.
6.3.2. Resistencia del hormigón
en el perímetro crítico
En la resistencia del hormigón a punzonamiento influye la
deformabilidad de la placa que, a su vez, está condicionada por la
armadura de flexión de la misma y por las dimensiones y forma de la
sección del soporte.
La EHE denomina a esta resistencia tensión máxima resistente del
hormigón y ofrece para la misma el valor:
= 0,12 .
en donde el canto útil medio d se expresa en mm, fak en N/mm2 y
siendo:
la media geométrica de las cuantías en dos direcciones ortogonales.
En cada dirección la cuantía que debe considerarse es la existente
en un ancho igual a la dimensión del soporte más 3d a cada lado del
soporte o hasta el borde de la losa, si se trata de un soporte de
borde o esquina.
Los valores de trd (que son los mismos de la resistencia virtual a
cortante que vimos en el apartado 14.2.3 del Tomo 2) se han tabulado
para hormigones HA-25 y HA-30 en las tablas de las figuras 6. 6 y 6. 7
respectivamente.

Canto útil Cuantías p
d (mm) 0.00* 0,002 0,005 0,010 0,015 0,020
70 0.00 0,55 0,75 0,94 1,08 1,19
90 0,00 0,51 0,69 0,87 1,00 1,10
120 0,00 0,47 0,64 0,80 0,92 1,01
160 0,00 0,43 0,59 0,74 0,85 0,94
210 0,00 0,41 0,55 0,69 0,79 0,87
260 0,00 0,39 0,52 0,66 0,75 0,83
310 0,00 0,37 0,50 0,63 0,72 0,80
360
º·ºº 0,36 0,49 0,61 0,70 0,77
410 0,00 0,35 0,47 0,60 0,68 0,75
460
º·ºº 0,34 0,46 0,58 0,67 0,73
510
º·ºº 0,33 0,45 0,57 0,65 0,72
560
º·ºº 0,33 0,44 0,56 0,64 0,71
• Se incluye esta columna a los únicos efectos de permitir la interpolación para
cuantías menores de 0,20o/o
Figura 6.6. Valores de T,d{Nlmm
2
) para un hormigón HA-25
Canto útil Cuantías p
d (mm) 0.00* 0,002 0,005 0,010 0,015 0,020
70 0.00 0,59 0,80 1,00 1,15 1,26
90
º·ºº 0,54 0,74 0,93 1,06 1,17
120 0,00 0,50 0,68 0,85 0,98 1,08
160
º·ºº 0,46 0,63 0,79 0,90 1,00
21 0 0,00 0,43 0,58 0,74 0,84 0,93
260 0,00 0,41 0,56 0,70 0,80 0,88
310
º·ºº 0,39 0,53 0,67 Q,77 0,85
360 0,00 0,38 0,52 0,65 0,74 0,82
410
º·ºº 0,37 0,50 0,63 0,72 0,80
460
º·ºº 0,36 0,49 0,62 0,71 0,78
510 0,00 0,35 0,48 0,61 0,69 0,76
560 0,00 0,35 0,47 0,60 0,68 0,75
* Se incluye esta columna a los únicos efectos de permitir la interpolación para
cuantías menores de 0,20%
Figura 6.7. Valores de Trr1(N/mm2
) para un hormigón HA-30

6.4.
PLACAS CON ARMADURA
DE PUNZONAMIENTO
Si no se cumple la condición 'tsd ~ t rd• es necesario aumentar el espesor
de la placa o colocar armadura de punzonamiento. Esta armadura sólo
debe colocarse en placas cuyo canto, h , no sea inferior a 25 cm, ya que
la armadura de punzonamiento es sólo eficaz a partir de un cierto
espesor de la losa. Por ello, las losas de espesor menor de 2 s cm
deben cumplir la condición de la ecuación [1).
Es necesario efectuar tres comprobaciones:
• en la zona con armadura de punzonamiento (zona crítica) para
comprobar que dicha armadura es suficiente y no se presentará un
fallo por tracción;
• en la zona exterior a dicha armadura, para comprobar que en ella la
tensión tangente actuante es inferior a la resistencia virtual a
cortante del hormigón;
• y en la zona adyacente al soporte. para comprobar que no se
produce el aplastamiento del hormigón por compresión.
6.4. l. Comprobación en la zona
con armadura de
punzonamiento
La armadura de punzonamiento debe disponerse en la zona crítica,
situándola generalmente en varios contornos concéntricos con el
perímetro del soporte o zona cargada. La forma de disponerla aparece
en el tercio superior de la figura 46.3.2 {planta) y en la figura 46.5
(alzado) de la EHE.

156
, ,
Como se ve en la figura 46.5 de la EHE esta armadura está constituida
por estribos verticales o barras levantadas a 45°, cuya sección total, A 90
o A4s , en cada uno de los contornos, se obtendrá de las ecuaciones:
A9o . fyd
<•sd - •rd ) . ul . d = . 0,9 . d
s
o bien
A4s . fyd . J2
('tsd - 'trd) . u l . d = . 0,9 . d
s
en donde s es la separación entre cada dos contornos y u1 es el
perímetro crítico. Es decir, se admite que en todos los puntos del área
crítica actúa una tensión tangencial igual a 'tad y que el hormigón resiste
un cortante •rd.
En los soportes de borde y de esquina, aparte de la armadura de
cortante calculada, es necesario disponer una armadura suplementaria
en los bordes de la placa con la misma separación que la de
punzonamiento (ver los dos tercios inferiores de la figura 46.3.2 de la
EHE).
1
6.4.2. Comprobación en la zona
exterior con armadura de
punzonamiento
En la zona exterior a la armadura de punzonamiento es necesario
comprobar que no se requiere dicha armadura, para lo cual debe
cumplirse la condición:
< 0,12 . 1 +
200
d
con las notaciones indicadas anteriormente, y en donde:
• p1 es la cuantía de la armadura longitudinal que atraviesa el
perfmetro que se comprueba;
Temo 6. Punzonamiento

• u2 es el perímetro definido en la fígura 46.3.2 de la EHE (en la cual
a este perímetro se le designa por Un. ef)
• y las unidades son mm y N.
En este perímetro se admite que el efecto de los momentos transferidos
entre soporte y losa, por tensiones tangenciales, ha desaparecido y, por
tanto, a la carga Fsd no se le afecta del coeficiente p definido en el
apartado 6. 3. 1.
6.4.3. Comprobación en la zona
adyacente al soporte
Debe comprobarse que se cumple la condición:
p . F•d
'tsd = < 0,3 O . f ed
U 0 · d
'tsci tenslón nominal de cálculo en el perímetro crítico;
Fsd esfuerzo de punzonamiento de cálculo (carga o reacción menos la
carga dentro de un perímetro situado a h/2 de la sección del
soporte o área cargada. En zapatas, dentro del perímetro crítico);
coeficiente que tiene en cuenta la excentricidad de la carga, si
existe (si no existe, f3 = 1):
para soportes interiores: f3 = 1, 15
para soportes de borde: f3 = 1, 4 o
para soportes de esquina: f3 =1, 50
para soportes de borde o
esquina con perímetro u 1 *
(fígura 6.4): f3 =1, oo;
d canto útil medio de la losa: d = (dx + dy} / 2

158 '
y en donde uo es el perímetro de comprobación del soporte. Para
secciones rectangulares a 0 x b 0 pueden tomarse los valores siguientes de
u 0 (figura 6. 8):
So.portes interiores: u 0 = 2 (ao + bo)
Soportes de borde: u0 =a 0 + 3d ":J> a 0 + 2b0
Soportes de esquina:
•1
ªº •1 T
ªº
T
•
1.5d t boC bo
uº . •
uº ¡ ¡
1,Sd ~ a n
Figura 6.8. Perímetro crítico uo
6.5.
PUNZONAMIENTO EN
PLACAS CON CAPITEL
En el caso de placas con capiteles o recrecidos en las cabezas de los
soportes, las secciones críticas en las que deben efectuarse las
comprobaciones a punzonamiento dependen de la forma y dimensiones
de dichos capiteles.
Te.ma 6. Punzonamiento

6.5.1 . caso de soporres y
capiteles circulares
• Si se cumple la relacióh a 1 < 2h1 (figura 6. 9), la sección crítica se
·sitúa a una distancia 2d del borde del capitel. Es decir, será una
superficie cilíndrica de radio:
a crit
~
acrit
T 1
' '
,
'-...
1
./ 1
~
~
1 <
,_.
'-... ./
' /
•
d
1
~a.·1 t- ªº---< a1
L 2ci _J
a1< 2h1
1
Figura 6.9. Punzonamiento en placas con capitel pequeño
• En los casos en que sea a1 > 2 · (d + h1 ), es necesario efectuar la
comprobación de punzonamiento en dos secciones crític?s: una
exterior en la placa, como en el caso anterior, y otra interior en la
zona del capitel (figura 6.10). Los radios son, en este caso:
r 1 (exterior) =O, 5 ·a.a+ a 1 + 2d
r 2 (interior) = 0,5·a,,+ 2 (d+h1 )
cuyos cantos deben ser, respectivamente:
d 1 (exterior) : véase figura 6. 1O
d 2 (interior) = d + h1

,
a (exterior)cril a (exterior)crlt 1
•
1 acñt {i) acri1(i) l 1
1 1,, ,
-.
" l /
.
,,. 1 d1 ,..,.
" /
.
' d2 / . '
~
-- 1 h
-- l
1
-¡
2(d+h1)
aci
2(d+h1)
1ª1
1ª1 2d
j a1 > 2(d+h1) 1 .
•
y
d
1
Figura 6.10. Punzonamiento en placas con capitel grande
• Finalmente, cuando se verifique la relación 2h1 < a 1 < 2 · <d + h1). la
sección crítica se sitúa en la placa, con un radio r igual a:
y con un canto d .
6.5.2.
r =O, 5 • a 0 + 2 a1
Caso de soportes y
capiteles de sección
cuadrada
Para este caso es válida también la figura 6.9, siendo ahora a0 y
a 0 + 2a1 los lados del soporte y del capitel respectivamente. Como
perímetro crítico puede considerarse una circunferencia de radio:
r = 0,5 · a 0 + a 1 + 2d
debiendo cumplirse la limitación a1 < 2h1 .
Temo 6. Punzonomienlo

•
HORMIGON ARMADO. Elementos estructurales
6.6.
EJEMPLO DE
COMPROBACIÓN A
PUNZONAMIENTO
161
Se da una placa apoyada en un soporte de borde, con las dimensiones
y características que se indican a continuación, correspondiente a una
estructura de edificación en la que se supone que existen momentos
transferidos entre losa y pilar:
a0 =O, 3 Om, b 0 = O, 3 Om, fck=25 N/mm2
= 25. 000 kN/m2
d =O, 22 m, p:0,003
SE PIDE determinar el esfuerzo de punzonamiento de cálculo Fsd
máximo que es capaz de soportar la placa sin que sea necesario
disponer armadura de punzonamiento.
SOLUCIÓN: El cortante resistido por el hormigón de la placa es:
[200
't rd = 0,12 . 1 + V"d .v1 00 . p . f ck = 0,325 N/mm
2
que debemos igualar a la tensión tangencial nominal de cálculo:
p · F ed ¡'ted = = 0,325 N mm 2
u 1 · d
En esta expresión los valores son:
p= l, 4
u1 = 27td + a0 + 2b0 = 2. 282, 3 :mm (ver figura 6.11 )
d = 220mm
y despejando Fad encontramos finalmente: Fad =116 , 6 kN.
Tema 6. Punzonamíento

Figura 6.11. Ejemplo de comprobación a punzonamiento
BIBLIOGRAFÍA
• Instrucción EHE: Artículo 46 "Estado límite de punzonamiento".
• Código Mod.elo CEB-FIP 1990: Artículo 6.4.3 "Cargas concentradas
en uniones placa-soporte". Editado por GEHO, ATEP y Colegio de
Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Madrid, 1995.
• Hormigón Armado por Montoya, Meseguer, Morán. 14ª edición,
Gustavo Gili, Barcelona 2000. Capítulo 20 "Rasante, torsión y
punzonamiento".

1. Dibujar la sección crítica en el caso indicado en la figura· 6. 12
(soporte con capitel).
Figura 6.12
2. En el cálculo a punzonamiento según la Instrucción
anterior HA-91, se consideraba como resistencia virtual del
hormigón a esfuerzo cortante un valor doble al correspondiente en
el cálculo a cortante en vigas. Sin embargo, la EHE toma el
mismo valor para ambos casos. ¿Cómo puede explicarse una
diferencia tan grande?
3. En las placas sin armadura de punzonamíento la resistencia del
hormigón en la sección crítica es función de las cuantías p en
ambas direcciones. Para calcular estas cuantías ¿qué área de
referencia se toma?
4. Dibujar el perímétro crítico de un soporte interior con planta en
forma de cruz (ver figura 6. 13)
Figu;a 6.13

1. La sección crítica está a dos cantos del borde del capitel (ver
figura 6.14).
1
¡_ 2d -1
Figura 6.14
1
L 2d-1
2. En la HA-91 la comprobación a punzonamiento se efectuaba en
una superficie crítica situada a medio canto de distancia de la cara
del soporte. En esa zona el hormigón está doblemente
comprimido por efecto de las flexiones, lo que aumenta su
resistencia a cortante. En cambio, la EHE coloca la superficie
crítica a dos cantos de distancia, donde tal efecto no existe.
3. Un rectángulo de altura igual al canto total de la losa y anchura
igual a: la dimensión correspondiente del soporte má~ tres veces
el canto útil medio de la losa, a cada lado del soporte (o hasta el
borde de la losa, si es un soporte de borde o de esquina).
4. El perímetro crítico se ubica a dos cantos del perímetro exterior
del soporte en todas direcciones (ver figura 6.15).
Temo 6. Punzonamiento

/
2d
,,.,.
/
/
I
/
J
I
1

.
""'-..
--- --.
/
/

/
/
/
/
-2d
Figura 6.15
165

7.1 .
PLACAS SOBRE
APOYOS AISLADOS.
INTRODUCCIÓN.
DEFINICIONES PREVIAS.
DIMENSIONES DE LOS ELEMENTOS.
OBTENCIÓN DE LOS EFECTOS
(MOMENTOS DE REFERENCIA).
REPARTO DE LOS MOMENTOS DE
REFERENCIA ENTRE LAS BANDAS.
,
TRANSMISION DE MOMENTOS
ENTRE PLACA Y SOPORTES.
DISPOSICIÓN DE LAS
ARMADURAS.
ABERTURAS EN LAS PLACAS.
INTRODUCCIÓN
Estudiaremos en este tema las placas continuas en dos direcciones
ortogonales, que descansan sobre soportes de hormigón armado, bien
directamente, bien por intermedio de vigas que unen dichos soportes
(caso menos frecuente). Si los soportes son metálicos, casi todo lo que
después veremos es también aplicable, pero hay que estudiar la forma
de unión placa-soporte de manera específica.
Tema 7. Placas sobre apoyos aislados

168 ÁJvaro García Meseguer
Se supone que los soportes en planta forman una malla ortogonal. En
cuanto a la placa, puede ser maciza o aligerada. Por ello están incluidas
las losas nervadas o forjados reticulares.
Estas estructuras presentan un comportamiento tridimensional
complejo, al estar interconectados los distintos forjados del edificio a
través de los soportes. Su estudio, por consiguiente, no puede
realizarse en un solo plano. Una forma de análisis particularmente
recomendable es la de efectuar el cálculo elástico de los esfuerzos a
base de asimilar la estructura a un emparrillado (véase apartado 4.4.3)
sustentado sobre apoyos elásticos, lo que permite tener en cuenta la
colaboración de los soportes.
La Instrucción EHE dedica sus artículos 22.4 y 5.6.2 a estos elementos,
preconizando para el cálculo de esfuerzos el denominado método de
los pórticos virtuales de origen norteamericano (ACI). En este
método, cuya explicación será el objeto del presente tema, los
esfuerzos se determinan elásticamente de una manera aproximada,
apta para cálculos manuales. También para el dimensionamiento del
hormigón y de las armaduras se aplican reglas aproximadas y criterios
empíricos basados en la experiencia.
Además del dimensionamiento a flexión, que es el objeto del presente
tema, es necesario comprobar las placas a punzonamiento (Tema 6),
efecto éste que suele condicionar su capacidad resistente.
7.2.
DEFINICIONES PREVIAS
La terminología específica necesaria para la aplicación del método de
los pórticos virtuales aparece en el artículo 22.4.2 de la EHE, que debe
tenerse a la vista.
En la figura 7. 1 se muestran ejemplos ilustrativos del significado de las
voces capitel y ábaco. Cuando se trata de forjados de casetones, el
ábaco se obtiene suprimiendo los casetones en las zonas de apoyo,
con lo que éstas resultan macizas (figura 7. 1. d).
Tema 7. Placassobre apoyos aislados

HORMIGÓN ARMADO. Elementos estructureiles 169
ábaco capi.tel
(a) (b)
ábaco
ábaco
(e) (d)
Figura 7.1. Distintas formas de unión placa-soporte (Tomada del MMM)
La. definición de recuadro no ofrece dificultades de comprensión. En la
definición de la banda de soportes (ver figura 7.2) la EHE incurre en una
cierta imprecisión. Por ello recomendamos seguir el criterio del ACI, que
define así:
Banda lateral: La situada lateralmente en un recuadro o fila de
recuadros, cuya. anchura es la cuarta parte de la luz
más pequeña en ambos sentidos.
Banda Centrál: La comprendida entre dos bandas laterales.
Banda de Soportes: La formada por dos bandas laterales contiguas.
Temd 7. Placas sobre apoyos aislados

170
a,
i.
PÓRTICO VIRTUAL
1
1
BANDA EXTERIOR
DE SOPORTES
BANDA CENTRAL
Figura 7.2. Definiciones (Tomada del MM)
La definición de pórtico virtual es clara. Finalmente, el ACI añade que
en el caso de que se dispongan vigas que unan los soportes, se podrá
suponer para las mismas una sección en T (figura 7.3), cuya ala está
formada por trozos de losa de ancho bf igual al canto de la viga por
debajo de la losa h.,., pero no superior a cuatro veces el espesor de la
losa:
X
b =h :¡. 4·hf w o
--
Figura 7.3. Caso de existir vigas

'HORMIGON ARMADO. Elementos estructurdles
7.3.
DIMENSIONES DE LOS
ELEMENTOS
171
A continuación daremos algunas indicaciones prácticas, las cuales
deben respetarse para poder aplicar los métodos simplificados de
cálculo..
7.3.1. Soportes
Su disposición en planta no se desviará de los vértices teóricos de una
malla ortogonal en más del 10°/o de la luz correspondiente a la dirección
en la que se produce la desviación (ver figura 22.4.3.1 de la EHE).
Las dimensiones de la sección de los soportes rectangulares ªº, bo
cumplirán las siguientes limitaciones:
a 0 > 25 cm
ao > ho +ha
a 0 ~ a/20
ho espesor de la placa;
b 0 ~ 25 cm
bo >ho +ha
b0 > b/20
ha resalto del ábaco si existe (ver figura7.4.b)
a la mayor de la luces de Jos vanos adyacentes en la dirección de a 0 ;
b la mayor de la luces de Jos vanos adyacentes en la dirección de b 0 •
En el caso de soportes circulares, la sección del soporte cuadrado de
igual perímetro debe satisfacer las condiciones anteriores.
.1 7.3.2. Capiteles
Los paramentos del capitel formarán, con el eje del soporte, un ángulo
no superior a 45º. De no cumplirse esta condición, no se considerarán,
desde el punto de vista resistente, las zonas periféricas indicadas en la
figura 7.4.a.
Terna 7. Placas sobre apoyos aislados

172 '
(a) (b)
Figura 7.4. Capiteles y ábacos (Tomada del MMM)
7.3.3. Ábacos
Las placas macizas pueden llevar ábacos (regruesamiento) o no
llevarlo. Las aligeradas llevarán ábaco macizado obligatoriamente
(figura 7.1.d) sobre cada soporte, cuya dimensión mínima en cada
dirección, medida desde el eje del soporte al borde del ábaco, será del
15o/o de la luz del vano correspondiente.
En el cálculo de la armadura necesaria para resistir los momentos
negativos de los apoyos, se considerará como espesor total (ver figura
7.4.b) el dado por la expresión:
siendo v el vuelo del ábaco. Esto significa que, cuando hay
regruesamiento, sólo puede contarse con todo su espesor hª si el vuelo
supera cuatro veces dicho espesor.
7.3.4. Placas macizas
El espesor mínimo de la placa, si ésta es maciza, no será inferior a
1 2 cm ni a 1/32 de la luz del vano mayor. No obstante, dicho espesor
podrá bajarse a 10 cm, o a 1/35 de dicha luz (el mayor de ellos), si la
placa va provista de ábacos (regruesamientos) cuyo resalto sea igual o

HORMIGÓN ARMADO. Elementos estruc·turales 173
superior a la cuarta parte del espesor de la losa, y cuya longitud total e,
en la dirección de cada vano, sea igual o superior al tercio del vano
correspondiente (figura 7.4.b).
Los espesores mínimos mencionados conducen a cuantías altas y
pueden ocasionar deformaciones excesivas. Son más recomendables
espesores del orden de 15 cm ó 1/3 o de la luz.
7.3.5. Placas aligeradas
Si 12! placa es aligerada, su espesor no será inferior a 15 cm ni a 1/28
de. la luz del mayor vano, debiendo llevar además una capa de
compresión continua. El espesor de esta capa de compresión no será
inferior a s cm ni a 1/10 de la mayor dimensión del aligeramiento, bx o
by (figura 7.5.a), debiendo llevar además una malla de 06 a 15 cm en
cada dirección (figura 7.5.b).
h ~15cm
h > lma•
28
carga repartida
'
o1> 7cm
b, ~ 11'/4
01?: b., 17 'Ó by/7
(a)
car.ga concentrada
T 1 l
s 1,00 m
......._--'t;=~::;---;~===::;---;:::::::::=~¡ =:={ ?: 5 cm
1
:2: 0 6 a 0,15 ::-: 0 6 a 0,15
(b)
Figura 7.5. Placas aligeradas (Tomada del MMM)
Tema 7'. Placas sobre apoyos aislados

174
,
Los espesores mínimos mencionados pueden ocasionar problemas de
deformaciones y conducen a elevadas cuantías. Son más
recomendables espesores del orden de 20 cm o 1/25 de la luz.
Respecto al ábaco, véase el apartado 7.3. 3.
Los nervios de las placas aligeradas serán seis por recuadro y en cada
dirección, como mínimo. Es conveniente que el ancho de los nervios
cumpla (figura 7.5.a)
La separación de los nervios no será superior a un metro.
> 4012
~ cercos 0 6 a 12cm
-~~------~----~ --·
Figura 7.6. Nervios perimetrales (Tornada del MMM)
En todo el contorno de las placas aligeradas deben disponerse nervios
perimetrales (figura 7.6), cuyo ancho bP no será inferior al canto ha ni a
25 cm.
Si hay voladizos, su vuelo no superará diez veces el canto de la placa.

,
HORMIGON ARMADO. Eleméntos estructurales 175
7.4.
OBTENCIÓN DE LOS
ESFUERZOS (MOMENTOS DE
REFERENCIA)
La instrucción EHE, al igual que el Código ACI, ofrece un método
simplificado de obtención de los esfuerzos, denomiílado método directo,
en su artículo 22.4.3, cuya comprensión no ofrece dificultades. Aquí
expondremos el método de los pórticos virtuales, también procedente
del ACI e incluido en la EHE (artículo 22.4.4).
Para la obtención de los esfuerzos se supone dividida la estructura, en
cada una de las dos direcciones, en una serie de pórticos virtuales
múltiples (de varios pisos). Cada pórtico virtual está constituido por una
fila de soportes y dinteles cuya inercia sea igual a la de la zona de la
placa limitada por los ejes de los recuadros adyacentes a dichos
soportes (figura 7. 7). Los pórticos virtuales correspondientes a cada
dirección se calcularán, independientemente, para la totalida.d de la
carga y bajo la hipótesis que resulte en cada caso más desfavorable,
determinándose así los momentos negativos y positivos de referencia, y
los momentos en soportes.
Obsérvese que el cálculo se efectúa en cada dirección para la totalidad
de la carga y no para la mitad de la misma como en el caso de placas
apoyadas en todo su contorno. Así debe ser, ya que en el segundo
caso basta con que las cargas viajen en una sola dirección para ser
resistidas, mientras que en el primero, al ser los apoyos puntuales, son
nécesarios dos viajes: uno para llevar las cargas a la línea de borde y
otro, en dirección perpendicular, para traerlas a los apoyos.
Si la sobrecarga no supera el 75°/o de la carga permanente, puede
simplificarse el análisis considerando, como única hipótesis de carga, la
de carga total actuando en todos los vanos. Si no se cumple esa
condición, además de esta hipótesis deben estudiarse otras dos:
a) Carga permanente .en todos los vanos y el 75o/o de la sobrecarga en
vanos alternos, para la determinación de los momentos positivos de
referencia.
b) Carga permanente en todos los vanos y el 75°/ó de la sobrecarga en
los vanos adyacentes, para la determinación de los momentos
negativos de referencia.
Tema 7. Placas sobre apoyos a islados

-r: - ' ' '
' ' '.
1
~
~
- --
~' - - >.
'
ª1 '
ª2 '
ª3
•
' • • •
1 1 1 1
1 1 1 1
Figura 7. 7. Definición del pórtico virtual (Tomada del MMM)
La razón de que no sea necesario aplicar el 100°/o de la sobrecarga a
las hipótesis más desfavorables es que, no pudiéndose presentar
ambas simultáneamente, siempre es posible una cierta redistribución
entre los momentos positivos y negativos.
Tema 7. Placas sobre apoyos a islados

HORMIGÓN ARMADÓ. Elementos estructurales 177
Si las luces no difieren mucho entre sí, y para cargas verticales, puede
estudiarse cada pórtico piso a piso, suponiendo que los soportes están
empotrados en el piso contiguo. De esta forma, y para edificios
regulares, basta normalmente con calcular uno o dos pórticos en cada
dirección.
En cuanto a las características elásticas de los pórticos virtuales,
aparecen definidas en el artículo 22.4.4.2 de la EHE.
7.5.
REPARTO DE LOS
MOMENTOS DE REFERENCIA
ENTRE LAS BANDAS
Una vez obtenidos los momentos negativos y positivos de referencia en
las secciones de centro de vano y de apoyo de la placa, es preciso
repartirlos entre las bandas de soportes y las bandas centrales
correspondientes a cada pórtico virtual, para proceder, a continuación; a
la determinación de las armaduras de la placa.
Recuérdese que los pórticos virtuales interiores en cada dirección
principal constan de la banda de soportes y de dos semibandas
centrales. Cuando en el reparto de momentos se haga referencia a la
banda central, se entenderá como el conjunto de las dos semibandas
mencionadas. Por su parte, los pórticos virtuales exteriores constan de
la banda de soportes exteriores y la semibanda central.
7.5.1. Caso de cargas verticales
En la tabla de la figura 7.8 se indica·n los porcentajes que corresponden
a las distintas bandas, en el reparto de los momentos de referencia. Lós
porcentajes dados en esta tabla son válidos tanto para los pórticos
interiores como para los exteriores.
Tema 7. Pla.cos sobre apoyos aislados

178 '
Momentos negativos Momentos positivos
Tipo de banda
Sobre soportes Sobre soportes
En cualquier vano
interiores exteriores
Banda de soportes 75 100 60
Banda central 25 20 40
Figura 7.8. Porcentajes de reparto de los momentos de referencia entre /as
distintas bandas, para cargas verticales y pórocos virtuales Interiores o exteriores
7.5.2. Caso de cargas horizontales
Los momentos de referencia debidos a cargas horizontales deben ser
absorbidos, en un 100 por 100, por las bandas de soportes
correspondientes.
7.6.
Transmisión de momentos
entre placa y soportes
La EHE dedica a este tema su artículo 22.4.6. De acuerdo con dicho
artículo, cuando en la unión entre placa y soporte actúa un momento ~
debe suponerse que se transmite al soporte por flexión una fracción del
mismo igual a k · ~ , originando en la unión tensiones normales, y que
la fracción restante (1 - k) • Md se transmite por torsión, originando
tensiones tangenciales de punzonamiento.
Los valores del coeficiente k se toman de la tabla de la figura 7.9 en
función de la relación a 0 / b' 0 , siendo:
a 0 dimensión del soporte paralela a la excentricidad de la carga o a
la dirección del pórtico virtual;
b 1
0 dimensión del soporte normal a la excentricidad de la carga o a la
dirección del pórtico virtual, en soportes interiores o de esquina, y
dos veces tal dimensión en soportes de fachada.
Tema 7. Placas sobre apoyosaislados

ªº/b'o 0,5 1,0 2,0 3,0
k 0,55 0,40 0,30 0,20
Figura 7.9. Valores de la fracción k del momento que se transmite por flexión
Como dimensiones a 0 y b' º deben tomarse las correspondientes a la
intersección del soporte con la cara inferior de la placa. Para soportes
de sección circular o poligonal, las dimensiones a0 y b' 0 serán las
correspondientes al soporte cuadrado de igual área.
Para resistir la parte de momento k • M,; transmitida por flexión debe
disponerse en la placa la armadura necesaria concentrada en un ancho
igual al ancho del soporte más 1,5 veces el canto de fa placa a cada
lado.
La fracción (1 - k) · M,; debe ser absorbida por torsión en el zuncho o
viga de borde o atado torsional. Asimismo esta fracción de momento
debe ser tenida en cuenta en el cálculo de las tensiones tangenciales
en el perímetro de punzonamiento.
7.7.
DISPOSICIÓN DE LAS
ARMADURAS
La EHE trata esta materia en el comentario al artículo 56.2 siguiendo el
código americano del ACI
7.7. l . Caso de placas macizas.
Prescripciones generales
La separación entre barras de la armadura principal no será superior al
doble del canto total h de la placa ni a 2 s cm Si se quiere evitar una
fisuración excesiva, conviene que la separación entre barras de la
armadura principal no sea superior a 1.5 centímetros. El diámetro de las

armaduras principales no debe ser superior al décimo del espesor de Ja
placa.
Las armaduras positivas y negativas en la dirección menos solicitada,
en cada recuadro, tendrán secciones no inferiores a la cuarta parte de
las armaduras correspondientes en la dirección más solicitada, y
cuantías no inferiores a la cuantía mínima de flexión en vigas (ver
apartado 1.6.2 del Tomo 2).
En los bordes de las placas deben disponerse armaduras
suplementarias capaces de resistir las cargas concentradas que puedan
actuar sobre los mismos.
Las armaduras de las bandas centrales, así como las correspondientes a
las bandas de soportes, en las zonas de momentos positivos, se
distribuirán uniformemente a lo ancho de la banda.
7.7.2. Caso de placas macizas.
Armaduras negativas en
bandas de soportes
Es de aplicación el artículo 22.4.6 de la EHE.
Las armaduras correspondientes a las bandas de soportes, en la zona
de momentos negativos, deberán distribuirse en función del momento
~ transmitido por la placa a los soportes (M.i = MA - M'A• igual a la
diferencia entre los momentos de referencia en las secciones de la
placa a ambos lados del soporte) de acuerdo con las siguientes
indicaciones:
1
• Si el momento de desequilibrio Mci es muy pequeño, la armadura se
distribuirá uniformemente en todo el ancho de la banda de soportes
(figura 7.10.a).
• Para momentos Mci importantes, una fracción o, so • ~ /MA (o , 60 si
se trata de soporte extremo) de la armadura negativa necesaria se
1
Sí se trata de soporle extremo, Ma es el momento de la placa en el paramento interior
del soporte, Md=MA.

; oRMIGÓN ARMADO. Elementos estructurales 181
distribuirá, uniformemente, en la zona de ancho igual al del soporte,
más vez y media el canto total de la placa h 0 , a cada lado (figura
7. 1O.b y c). El resto de la armadura correspondiente a la banda de
soportes se distribuirá, de un modo aproximadamente uniforme, en
todo el ancho de dicha banda.
SOPORTE INTERIOR
M0 pequollo
- 1
.___ banda de • oportos - --'
(a)
SOPORTE EXTREMO
J 1,s.n b0
1.s·h.,l
•- - banda da soportas _1
(b) (e)
Figura 7.1O. Distribución de las armaduras negativas en bandas de soportes
(Tomada del MMM)
El motivo de esta distribución de armaduras es el siguiente: Como se ha
dicho en el apartado 7.6, del momento transmitido de la placa a los
soportes, M.i. una fracción (1 - k) • ~ se transmite por torsión,
originando tensiones tangenciales en la unión placa-soporte y
contribuyendo al punzonamiento de la placa, mientras que el resto,
k · Mci. se transmite por flexión, originando tensiones normales en la
mencionada unión placa-soporte, que deben ser resistidas por la
armadura colocada en el ancho eficaz b 0 + 3 h 0 •
En el caso de cargas verticales, las longitudes mínimas de las
armaduras, así como sus disposiciones constructivas, pueden tomarse
de la figura 56.2 de la EHE, tomada del Código ACI.
En el caso de acciones horizontales (viento o sismo), las longitudes de
las armaduras y sus disposiciones constructivas deberán deducirse de
Tema 7. Placas sobre qpoyos aislados

•
182 A·lvaro García Mesegver
las correspondientes leyes de esfuerzos obtenidas, para dichas
acciones, mediante el método de los pórticos virtuales, debiendo
respetarse también las indicaciones de la figura 56.2 de la EHE en las
zonas no cubiertas por las leyes de esfuerzos así obtenidas.
7.7.3. Caso de placas aligeradas
La distribución de armaduras en los nervios y en los ábacos se realizará
de acuerdo con lo indicado para placas macizas, siendo también
operantes las limitaciones establecidas para diámetros, separaciones y
cuantías de dichas armaduras.
En la capa de compresión sobre los aligeramientos se dispondrá una
armadura para retracción y temperatura, con una cuantía geométrica
mínima del 2 por 1000 en cada dirección.
En lo.s nervios perimetrales de borde se dispondrán cercos cerrados
bien anclados y barras longitudinales, capaces de resistir las torsiones y
esfuerzos cortantes que puedan actuar en los mismos. La separación
de los cercos no será superior a la mitad del canto útil de la placa,
debiendo cumplirse las condiciones mínimas indicadas en la
figura 7.6.b.
Las longitudes mínimas de las armaduras y sus disposiciones constructivas
son las mismas que en el caso de placas macizas (figura 56.2 de la EHE),
con las mismas observaciones hechas para estas placas.
7.8.
ABERTURAS EN LAS PLACAS
Estas aberturas son a menudo necesarias por razones funcionales.
Según el código ACI, no es necesario realizar estudios especiales
distintos a los ya reseñados cuando las dimensiones de las aberturas
no superan las siguientes limitaciones (figura 7.11):
• en la zona común a dos bandas centrales, sin limitación;
Tema 7. Placas sobre opoyos aislados

• en la zona común a una banda de soportes y a otra central, la cuarta
parte del ancho de la banda correspondiente, en cada dirección;
• en la zona común a dos bandas de soportes, la octava parte.
Banda soportes Banda cenb'al Banda soportes
¡ ªe,-----;--- ª s
r
---b/4
-$-
1
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, 1
01 ~b,/8
1-11
~.1a
!J b/2 Sin Sa 3 /4
limítac16n
-D =t~be/4
b/4
-$- -$-
L bf4 _.___ _ _ _ _ _ __.__ b/4 -l
&--- ----a---------
Figura 7.11. Aberturas en placas (Tomada del MMM)
En caso de que las aberturas cumplan con estas limitaciones, será
suficiente concentrar, en los bordes de las mismas, armaduras de igual
capacidad que las armaduras interrumpidas.
En las placas aligeradas se formarán nervios de borde que rodeen el
hueco (figura 7. 12), cuyo ancho no será menor de 2 o cm, en los cuales
se concentrarán armaduras equivalentes a las interrumpidas en cada
dirección.
Cuando sea necesario disponer un hueco de grandes dimensiones,
puede ser conveniente disponer un soporte en cada esquina del mismo,

184 Álvaro Gdrc_íq Meseguer
con lo cual el hueco funciona como borde exterior de la placa y son
aplicables los métodos de cálculo expuestos.
En el caso de aberturas o huecos que no cumplan c9n los requisitos
anteriores, será necesario un cálculo especial de la placa.
Finalmente, llamamos la atención sobre el efecto desfavorable de 1.as.
aberturas situadas en las proximidades de los soportes en relación con
la resistencia a punzonamiento de la placa (ver Tema 6), por lo que
conviene no disponer aberturas dentro de un perímetro circunscrito al
perímetro crítico de cada soporte y distante de él cinco veces el canto
de la placa.
DDDDDDD
D D
D D
D [}+
D D
~401 2
¡"y~ cercos 0 6 a 12em
1
'
1.
,, 1
1
'- ~20Cm -l
DDDDDDD
Figura 7.12. Nervios de borde (T.omada del lv1MM)
BIBLIOGRAFÍA
• lnstrucción EHE: Artículos 22.4 " Métodos simplificados para placas
sobre apoyos aislados" y 56.2 "Placas o losas sobre apoyos
aislados".
Gustavo Gili, Barcelona 2000. Capítulo 24, apartados 24.11 a 24.13.
Calavera. lntemac, Madrid 1999. Capítulos 19, 53 y 54.

,
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Una placa de 15 cm de espesor está soportada por pilares de
40 • 40 cm2
, cuyas cabezas van unidas por vigas de 80 cm de
canto (incluido el espesor de la placa) e igual anchura que la del
pilar. Al calcular la viga ¿qué ancho de cabeza deberá tomarse?
2. Para soportar una placa maciza de 15 cm de espesor se dispone
una red de pilares en cuadrícula de 6 · s m, provistos de un
ábaco de 1 o cm de resalto. Se desea dar a los pilares las
dimensiones mínimas posibles. ¿Cuáles son?
3. ¿Es correcto el espesor de la placa del ejercicio anterior? Si no lo
es, debe rehacerse dicho ejercicio.
4. ¿Sabe Vd. por qué se llama ábaco al ábaco?
5. En el caso del ejercicio 2 y por necesidades funcionales, un
soporte debe desplazarse en planta medio metro con respecto a
su posición teórica en la malla rectangular. En tal supuesto, ¿es
posible aplicar el método de los pórticos virtuales?
Tema 7. Plac as sobre apoyos aislados

SOLUCIÓN A LOS EJERCICl.OS DE AUTOCOMPROBACIÓN
1. Según la figura 7.3:
h 0 =15 ; h., = 6 5 ; bw = 4 O
El ancho x vale:
X=40+2•65=170'.f40+8•15=160
Luego el ancho pedido es 1, 6 om.
2. Según el apartado 7.3.1:
a 0 > 2 5 cm ; ao > 15 + 1 O cm ; ao> 6 oo/2 o
b 0 ~ 25 cm; b 0 ;;:::: 15 + 10 cm; b 0 ;;:: 500/20
La respuesta es, por tanto, 3 o · 2 5 cm
2
•
3. Según el apartado 7.3.4 el espesor mínimo de la placa, puesto
que lleva ábaco, debe ser de:
600
35
- 18 cm
Por consiguiente, los pilares deben ser de 3 o · 3 o cm2
.
4. Por analogía con la arquitectura clásica, en la cual el ábaco es el
elemento que corona el capitel de la columna.
5. Sí, según el apartado a) del artículo 22.4.3.1 de la EHE .
Tema 7. Placas so bre apoyos aislados

'
H'ORMIGON ARMADO. Elementos estructura les 187
8.1 .
PAVIMENTOS DE
HORMIGÓN.
INTRODUCCIÓN.
CARACTERÍSTICAS DE LOS
PAVIMENTOS DE HORMIGÓN.
TIPOS DE PAVIMENTOS.
JUNTAS.
DISEÑO Y EJECUCIÓN DE
PAVIMENTOS DE HORMIGÓN.
PAVIMENTOS INDUSTRIALES.
INTRODUCCIÓN
El empleo de pavimentos de hormigón en España, relativamente
frecuente en las décadas de los años 20 y 30, desaparece casi por
completo hasta la década de los 70, en la que comienzan con nuevo
auge. La variante de Torrejón (1968) construida con maquinaria y
asesoría técnica del Instituto Torreja, es probablemente la que marca el
inicio de la nueva etapa.
Tema 8. Pavimentos de hormigó n

188
,
Hoy dla, siendo España el primer país europeo exportador de cemento
{en 1985 se produjeron 50 millones de toneladas, de los que se
exportaron 13) y dependiendo los productos bituminosos de las
importaciones de petróleo (crisis de energía), tiene poco sentido el que
los pavimentos flexibles sean la única solución en nuestro país. Por ello,
el MOPU exige a los ingenieros proyectistas desde el 4 de diciembre de
1980, que estudien obligadamente una variante en hormigón en obras
de más de 70.000 m2
, admitiéndose que un sobrecosto de hasta un
20°10 con respecto a la solución bituminosa hace aconsejable la solución
rígida, dados sus menores gastos de conservación. (Este párrafo se
escribió en 1984. Hoydía la situación ha mejorado apreciablemente).
Las circunstancias reseñadas explican que la técnica de pavimentos de
hormigón sea aún poco conocida; y justifican el que dediquemos a este
asunto el presente Tema, dado el amplio abanico de aplicaciones
posibles: autopistas, carreteras, pavimentos industriales, aeropuertos,
urbanizaciones, caminos rurales y forestales, zonas portuarias,
estacionamientos, etc. Con hormigón pueden pavimentarse desde
pequeñas obras por procedimientos manuales, hasta grandes obras
con maquinaria muy sofisticada.
8.2.
8.2. l .
CARACTERÍSTICAS DE LOS
PAVIMENTOS DE HORMIGÓN
Características generales
En los firmes rígidos, el pavimento de hormigón constituye la capa de
mayor responsabilidad, tanto estructural como funcional; las capas
inferiores de estos firmes tienen como única misión asegurar un apoyo
uniforme y estable á las losas de hormi.gón.
El espesor de la losa de hormigón puede oscilar entre 1 o cm (tráfico
muy ligero) y 40 cm (pistas de grandes aeropuertos). La dosificación de
Tema 8. Pavimentos de hormigón

cemento es del orden de 3 oo-3 sokg/m3
y la relación agua/cemento es
relativamente baja.
La gran rigidez de las losas les permite soportar las elevadas presiones
de contacto de los vehículos pesados. Las tensiones verticales
transmitidas por las cargas se distribuyen ampliamente sobre la base de
apoyo de las losas, con lo que la tensión máxima transmitida es una
mínima parte de las presiones de contacto en superficie.
La retracción del hormigón y las variaciones termohigrométricas,
parcialmente impedidas por el rozamiento con la base de apoyo,
provocan fisuras en las losas. Para impedir su aparición, es necesario
disponer las juntas adecuadas. Con el fin de asegurar la debida
transmisión de cargas de una losa a la siguiente, estas juntas suelen ir
provistas de pasadores, es decir, de barras de acero liso que cosen la
junta entre cada dos losas (figura 8.1). El diámetro de los pasadores es
de 2 o- 2 5 mm y se colocan a 4 o- 5 o cm de distancia entre sí.
Las losas pueden ser de hormigón en masa o armado. habiéndose
construido también pavimentos de hormigón pretensado. Como las
losas trabajan fundamentalmente a flexión, el hormigón de pavimentos
suele especificarse por su resistencia a flexotraccion a 7 y a 28 días.
Los valores habitualmente pedidos son del orden de 2, s a 3 N/mm2
a 7
días y de 3 , s a s N/mm2
a 28 días.
Elemento debilitador
de la sección
Mitad anclada
l !
5 cm
Sellado
Mitad engrasada para
impedir adherencia
Figura 8.1. Junta de retracción

190 '
En zonas sometidas a heladas y cuando sea previsible el empleo de
sales de deshielo, es necesario incorporar un aireante al hormigón. A
cambio de esto, los pavimentos rígidos no son afectados, como los
flexibles, por el vertido de aceites y otros productos petrolíferos, lo que
les coloca en ventaja para estacionamientos, rampas, etc.
Quizás sea su durabilidad la característica más importante de estos
firmes, sobre todo si se dimensionan holg·adamente: dos centímetros
más de espesor pueden suponer diez años más de vida útil del
pavimento.
8.2.2. Características superficiales
La superficie de rodadura es lo más importante para el usuario. Es
cierto que, en general, un buen pavimento flexible resulta más
agradable que uno rígido. Ahora bien, ¿cuánto dura esa calidad de
rodadura? Los pavimentos de hormigón se han comparado, a veces,
con un buen traje de pana. No es lo más elegante pero, a la larga,
compensa tener uno.
Por otro lado, las técnicas modernas han conseguido acabados
superficiales de hormigón de gran comodidad de rodadura.
La resistencia al deslízamiento, tan ligada a la seguridad (sobre todo
bajo lluvia) se consigue empleando arena silícea y dando al hormigón
fresco una macroestructura superficial idónea. Esto puede lograrse
mediante un cepillado transversal, el arrastre de lonas o arpilleras,
estria·dos, rahuras, etc, así como con máquinas adecuadas
denominadas terminadoras (lórigitudinales o transversales}. Otra
solución, de origen belga, es la incrustación de gravillas no
pulimentables en el hormigón fresco.
El tipo de textura influye en el ruido que se percibe, tanto dentro como
fuera de los vehículos. Es este un aspecto que está siendo investigado
hoy día.
La regularidad superficial (que se mide pasando una regla rodante de
3 m de longitud por el eje de cada vía de circulación y limitando la
desigualdad máxima) es satisfactoria con los equipos de puesta en obra
que hoy se utilizan.
Tema 8. Pavimentosd e hormigón

En fin, una cualidad cada día más apreciada es la luminosidad de estos
pavimentos. Su color proporciona un "coeficiente de claridad" que es
del orden de la mitad que en un pavimento bituminoso, lo que significa
la mitad de consumo de iluminación nocturna para una misma eficacia
(zonas urbanas, autopistas, etc) y el doble de visibilidad en carretera
abierta no iluminada. Esta característica hace a los pavimentos de
hormigón especialmente indicados en el caso de túneles,
aparcamientos, etc., aunque debe añadirse que con el paso del tiempo
se suele perder poco a poco.
8.2.3. Limitaciones
La principal es el plazo de apertura al tráfico, que normalmente se fija
en 14 días a partir de la ejecución. Esta limitación es más relevante en
el caso de obras de refuerzo o reconstrucción de vías existentes (con
tráfico de difícil o imposible desvío) que en obras de nueva planta.
Las dificultades de reparación son mayores que en los firmes flexibles,
si bien hoy día han dejado de ser un inconveniente debido al empleo de
nuevos materiales y métodos: resinas sintéticas, hormigones
superplastificados, empleo de fresadoras, tratamientos superficiales,
etc. Por ello, la conservación de firmes rígidos bien proyectados y
construidos requiere pocas operaciones: eventual sellado de juntas y
grietas, reconstrucción de alguna losa, restauración superficial, etc.
8.3.
TIPOS DE PAVIMENTOS
Los más utilizados son los de hormigón en masa que constituyen la
solución más económica en muchos casos. Es recomendable emplear
losas cortas (4 o s m de longitud, puede llegarse hasta 6 m) y juntas
transversales con pasadores, aunque éstos pueden omitirse también si
el tráfico es muy ligero. La anchura de las losas es la correspondiente a

un semiancho de calzada; en cualquier caso, no debe superar a su
longitud.
La técnica californiana de juntas sin pasadores, inclinadas (en planta)
con respecto al eje de la carretera, aparece como económicamente
ventajosa. La transición de cargas entre una losa y la adyacente resulta
así suavizada. Esta técnica requiere una buena base de grava-
cemento, para evitar que, por erosión de la misma debida a la entrada
eventual de agua de lluvia, se produzca un escalón entre losas. Este
efecto de escalonamiento es el que evitan los pasadores en las
soluciones tradicionales.
Los pavimentos de hormigón armado, disponiendo mallazos próximos a
la cara superior de las losas, fueron concebidos con objeto de aumentar
la longitud de éstas y disminuir así el número de juntas transversales.
Las armaduras cosen las fisuras transversales que inevitablemente
aparecen en losas largas, por lo que la cuantfa necesaria viene a ser
proporcional a la longitud de la losa. Ahora bien, con la mejora de la
técnica de confección y acabado de juntas, el número de éstas no es ya
un gran inconveniente, por lo que las soluciones de losas largas
armadas (del orden de 10 m) han ido perdiendo interés .
Por el contrario, son interesantes los pavimentos con armadura
continua en los que no se disponen juntas transversales a costa de
aumentar la cuantía de acero a valores superiores a 10 kg/m2
• El
resultado es la formación de numerosas fisuras, muy finas e
imperceptibles para el usuario y que no se deterioran bajo el tráfico. Es
esta una técnica muy empleada en EEUU y Bélgica para autopistas de
gran tráfico, que en España se practicó con éxito en la Y de Asturias.
Moderadamente han aparecido pavimentos de hormigón con fibras de
acero, es decir, amasados con numerosas fibras de pocos centímetros
de longitud, lo que eleva mucho su resistencia a la tracción y al
desgaste. Por ahora, su elevado coste no parece compensar sus
ventajas, aún cuando puede haber casos en que resulten
especialmente indicados. La técnica del armado del hormigón con fibras
de acero está introducida en España, existiendo firmas que
comercializan las fibras.
Mencionaremos finalmente los pavimentos de hormigón pretensado
(solución cara y aún no resuelta satisfactoriamente) y los adoquinados
de hormigón.

8.4.
JUNTAS
En un pavimento de
juntas (ver figura 8.2.)
hormigón deben disponerse distintos tipos de
Juntas
8.4.1.
de hormigonado
longitudinales
de retracción
de dilatación
transversales de retracción
de hormigonado
Figura 8.2. Juntas en pavimentos de hormigón
Juntas longitudinales de
hormigonado
Son necesarias cuando se hormigona por bandas longitudinales
separadas (en el caso de carreteras, cada banda suele tener 3 r 5 om o
3, 7 5 m de anchura). El perfil de la junta puede ser recto o de ranura y
lengüeta (figura 8.3.a y b), siendo recomendable el segundo tipo
cuando las cargas son fuertes, ya que produce un efecto de transmisión
entre una y otra banda.
En ambos casos la junta va provista de anclajes que son barras
corrugadas de diámetro fino (s, 1 0 o 12 mm) cuya longitud es del orden
de los 6 o cm y que van separados entre sí a distancias comprendidas
entre 50 y 100 cm. Se colocan en la mitad del espesor de la losa y su
misión es impedir que se abra mucho la junta.

194
,
ce
o .. .. o
cJ ~
cy rJ ¡j
ce cJ ~
a;' cJ.. • o o 5'o o o o o o ..
o o o o
cJ •
~ cJ
o
¡j
(a) (b)
Rgura 8.3. Juntas longitudinales de hormigonado
Antes de hormigonar la segunda banda, el borde de la primera se pinta
con alquitrán o producto análogo para evitar la adherencia. En el caso
b) conviene hormigonar antes la banda con ranura, ya que de hacerse
al contrario suelen producirse roturas en la lengüeta.
La junta remata en una ranura superior serrada después de hormigonar
la segunda banda y sellada con un producto adecuado.
8.4.2. Juntas longitudinales de
retracción
Cuando el ancho de la banda de hormigonado supera los 4, so m es
necesario disponer una junta longitudinal de retracción. Este es el caso
de pavimentos de autopista que se hormigonan a todo ancho (7, so a
a m). La finalidad que se persigue es obligar al hormigón a que se fisure
a lo largo del eje de la banda hormigonada y, para ello, se debilita esta
sección adecuadamente.
Un buen procedimiento consiste en serrar el hormigón entre 6 y 24
horas después de endurecido, en una profundidad del orden de 1/4 a
1/6 del espesor de la losa. Como debilitamiento adicional, antes de
hormigonar se dispone en la base de la losa una banda de fibrocemento
ondulado, de altura comprendida entre 1/3 y 1/4 del espesor de la losa,
impregnada de betún. Se consigue así que, al retraer, el hormigón parta
por la sección deseada y, debido a la ondulación de base, se produce
un efecto engranaje entre ambas losas, muy beneficioso (figura 8.4.)

•
La ranura superior puede también moldearse én el hormigón fresco, en
vez de serrarse en el hormigón endurecido. En cualquier caso, va
sellada posteriormente.
o
•
o
.o;)
iJ,
•
Figura 8.4. Junta longitudinal de retracción
En la figura 8. 5· se representa la planta de una explanada de au.topista,
antes de1 hormigonado.
Pasaqores
Fíbrocernento
ondula"1o
,_____ 7,50 rn - -- - - '
Figura 8.5. Juntas preparadas para recibir el hormigonado a todo ancho
Terria 8. Pavimentos de hormig.ón

196
,
8.4.3. J Juntas transversales
! 8.4.3.1. 1 Juntas de dilatación
El diseño clásico de una junta de dilatación se muestra en la figura 8.6.
Constan de un cuerpo de junta de material compresible, constituido por
una plancha vertical (no conviene la madera, que se pudre con el
tiempo) y atravesado por unos pasadores a medio espesor de !a losa.
Los pasadores son análogos a los descritos en la figura 8. 1 y llevan una
caperuza en el extremo de la parte engrasada, la cual queda anclada
en el hormigón y permite las dilataciones y contracciones. La junta va
sellada en su parte superior, como en todos los casos.
Pasador engrasado
1
Caperuza
• •
• ' ;
'
•
• 1
Virutas
Figura 8.6. Junta de dilatación
Es fundamental la buena sujeción de los pasadores durante el
hormigonado (mediante caballetes rígidos) para conseguir que no se
muevan y queden bien horizontales y paralelos al eje del pavimento. De
no ser así, su trabajo será defectuoso y provocará la fisuración de la
losa.
Las juntas de dilatación deben disponerse a la entrada y salida de las
curvas de pequeño radio (para evitar el empuje al vacío, ver figura 8.7)

y siempre que exista una obra fija a la que llega el pavimento (registros,
puentes, etc). Sin embargo, en tramos rectos o de pequeña curvatura
(autopistas), estas juntas han dejado de hacerse, por constituir puntos
débiles del pavimento: las grandes aberturas en invierno y la
concentración de tensiones en verano provocan desconchados de la
superficie (figura 8.8).
8.4.3.2.
Empuje al vacío
-
Junta
Junta
Figura 8.7. Empuje al vacío
Figura. 8.8. Desconchados en juntas de dilatación
Juntas d e retracción
Su diseño y ejecución es el mismo que el de las juntas longitudinales de
retracción pero af'ladiéndoles pasadores para una mejor transmisión de
las cargas entre losas adyacentes (ver figuras 8.5 y 8.9.)
Tema 8. Pavimentos de hórmigón

198 Álvaro García·Meseguer
La ranura superior puede hacerse serrada o m.oldeada en el hormigón
fresco. En el segundo.caso, una vez efectuada la ranura (en general,
con un cuchillo vibrante) se rellena con una tira de fieltro o material
análogo y despué.s se enrasa y alisa bien la superficie.
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•
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d g;_.e o•
Figura. 8.9. Junta transversal de retracción
8.4.3.3. Juntas de hormigonado
Se disponen a fin de jornada o cuando, por cualquier causa, se produce
una detención apreciable en el ritmo dé suministro de hormigón. En
tiempo caluros-o, una parada del frente de avance de más de media
hora debe dar origen a una de estas juntas.
Siempre que se pueda deben hacerse coincidir con una junta de
dilatación o de contracción. De no ser posible, deben alejarse al menos
metro y medio de la última junta existente y hacerse del tipo ranura y
lengüeta (figura 8.3.b).
8.5.
DISEÑO Y EJECUCIÓN DE r
PAVIMENTOS DE HORMIGON
8.5.1. Proyecto
Para el proyecto de pavimentos de hormigón debe .utilizarse la
normativa vigente de la Dirección General de Carreteras que, en
muchos puntos, es aplicable con pequeñas modificaciones a otros tipos
de obra.

-ORMIGÓN ARMADO. Elemeni os estructuro les 199
=-'1 general, los pavimentos más recomendables son los de hormigón en
1 asa de losas cortas (4 a 6 m), como ya dijimos en el apartado 8.3.
=l Pliego de Prescripciones Técnicas Generales para Obras de
Carreteras y Puentes recoge con detalle las condiciones exigibles a los
"'lateriales y a la ejecución.
Para áreas no lineales existe la Norma Tecnológica NTE-RSS
qevestimientos de suelos: Soleras", de gran utilidad, donde se tipifican
::::iversas soluciones (ver figura 8.1O).
Revestlmlertto (5)
o • () Losa de hormigón (4)
w. w . " ó '
2 o o ¿
o •
Lámina de plastlco o papel Kraft (3)
10 a 15 cm. capa granularde base(1)
•
Terreno natural
(1 ) Generalmente, encachado de grava.
(2) No necesaria si la ba·se es grava-cemento u hormigón pobre, bien nivelados.
(3) Lámina de separación para evitar pérdidas de humedad y disminuir rozamiento.
(4) Consta de dos capas si la losa va anmada con mallazo.
(5) Caso de pavimentos industriales que lo requieran (baldosas, revestimientos continuos, etc.).
Tipo de
Espesor Espesor de
(cm) base más capa Aplicaciones
solera
de solera nivelación
LIGERA 10 10
Locales con sobrecarga estática
hasta 1000 kp/n12
SEMIPESADA 15 15
Sobrecarga estálica hasta 5000 kp/rn2
•
Vehiculos hasta 2,5 ton por eje
PESADA
Sobrecarga estática
20 20 superior a 5000 kp/m2
.
Camiones hasta 3 ton por eje
Figura 8.10. Capas de que consta un pavimento Industria/
(Norma Tecnológica de Soleras)

•
200 Alvaro Ga rcía Meseguer
8.5.2. Ejecución
La fabricació.n de-1hormigón tiene lugar en centrales de hormigonado,
propias de la obra o de hormigón preparado.
~n obras de gran volumen es imprescindible asegurar la regularidad del
hormigón tanto en sus características como en el ritmo de suministro.
Se requieren centrales de gran capacidad {:.200 a 300 m3
por hora) y de
funcionamiento automático, con un control permanente de todo el
proceso.
En obras medias o pequeñas se emplean plantas semiautomáticas de
menos capacidad. Los camiones hormigonera sólo pueden emplearse
en obras de poco volumen con puesta en obra manual, ya que su
descarga lenta no es compatible con el ritmo mínimo de avance que
impone el uso de trenes de hormigonado.
La puesta en obra del hormigón comprende una serie de operaciones
que, en los trenes de hormigonado tradicionales, estan a cargo de
distintas máquinas que se desplazan sobre encofrados fijos metálicos
clavados.a la base mediante piquetes:
• una extendedora, que extiende el hormigón fresco volcado desde los
•
camiones;
• una compactadora, que compacta él hormigón con regla vibrante y lo
fratasa transversalmente;
• una terminadora longitudinal, con una maestra diagonal de vaivén
que efectúa el fratasado final en sentido longitudinal;
• un cuchillo vibrante, para hacer juntas transversales en fresco (s.i es
el caso);
• unas plataformas finales para crear desde ellas la textura superficial
(cepillado transversal) y extender el producto de curado;
• unos tejadillos móviles para proteger el hormigón terminado.
En cuanto a los pasadores y anclajes entre losas, en obras grandes ya
no suelen colocarse sobre la base mantenidos en posición mediante

HORMIGÓN ARMADO. Elementos estruc turales 201
cunas (lo que, entre otros inconvenientes, tiene el de requerir que la
alimentación de hormigón fresco se haga con camiones de vuelco
lateral, al no poder éstos entrar en la explanada y recular para volcar
por la trasera) sino que se introducen por vibración en el hormigón
compactado.
En la actualidad, las pavimentadoras de encofrado deslizante se van
imponiendo sobre los trenes tradicionales. Una sola máquina sobre
orugas (figura 8. 11) realiza la extensión, vibración, conformación y
acabado geométrico qe la banda de hormigón. Un cortó encofrado
lateral incorporado a la máquina mantiene al hormigón durante unos
instantes (la velocidad de avance es superior a los 2 m/min) y puede
conseguirse, si la consistencia de la masa es adecuada, que los bordes
no asienten perceptiblemente al quedar libres.
hcnni!;6nrrasco 'illnl<;lo
en ~ máqt1ina repartodel tiorrnl¡fón
• • •SENTIDO OEL AVANCE
stJbbase
vh:irac:ión realización tetmfnación
dd Oe la junia <l.e la ~up;erficie
hormlg<in (sín p.sado""') del h6rmigcirt
fin del enootrado
iak)cha correctora
Fígura 8.11. PavimefJtadora de encofrado deslizante
Cuando las losas se ejecutan a man.o, el hormigón se extiende entre los
encofrados laterales, se compacta con una regla vibrante o con
vibradores de aguja, se nivela con una maestra, se acaba con un
"avión" o fratás largo y ligero que se acciona desde los bordes laterales,
se cepilla trans.versalmente para darle un estriado y finalmente se cura
con algún producto filmógeno o con arpilleras empapadas de agua. El
empleo de los modernos superplastificantes, que permiten trabajar
cómodamente hormigones de hasta 400 kg/m3
de cemento con
relación NC de sólo o, 35, está especialmente indicado para los casos
en que se requieran altas resistencias iniciales (por ejemplo, 3, 5 N/mm2

a flexotraoción a las 12 horas), lo que permite abrir al tráfico al poco
tiempo
Una de sus aplicaciones típicas es la reparación de pavimentos en
serv1c10.
8.6.
PAVIMENTOS INDUSTRIALES
..__s._6._1. ~I Generalidades
Llamamos pavimentos industriales a los que están destinados
esencialmente a que sobre ellos se realice la fabricación, transporte y
almacenamiento de productos industriales, bienes de equipo, etc, así
como a los correspondientes a vías de acceso en industrias.
La problemática que presentan los pavimentos industriales es variada,
pudiendo citarse:
a) Las cargas son muy variables, según los casos. Unas veces se
tratará de tráfico muy ligero y otras de tráfico muy pesado. En
general, la velocidad de tránsito será pequeña, por lo que las
exigencias antiderrapantes serán menores que en el caso de
carreteras.
b) Es corriente encontrar elementos ajenos al pavimento pero que
afectan a su diseñQ y construcción: pilares, tuberías, registros,
cimentaciones de máquinas, etc.
c) Pueden estar sometidos a la acción de agentes químicos especiales,
tales como ácidos, sales disolventes, etc.
d) Pueden requerir propiedades específicas, tales como resistencia ál
desgaste, no producir polvo, no producir chisp.as, etc.
e) A cambio, muchos pavimentos industriales se encuentran a cubierto,
con lo que los efectos dé los agentes atmosféricos (heladas,

gradiente térmico, ciclos humedad-sequedad, etc.) son
insignificantes o nulos.
f) El volumen de obra suele ser pequeño y, por ello, a menudo se
ejecutan manualmente.
Para los casos más corrientes de la práctica, la Norma Tecnológica de
Soleras (ver figura 8.10) permite resolver el diseño de un pavimento
industrial con soluciones tipificadas. Si las cargas son muy elevadas,
será necesario efectuar un cálculo especial, siguiendo el modelo de
cálculo establecido por Westergaard que continúa siendo el más
adecuado para las aplicaciones y del que damos a continuación una
idea somera.
La losa de hormigón se idealiza como sólido elástico y homogéneo que
reposa sobre un conjunto de muelles {losa flotante), de forma que en
cada punto la reacción cr del terreno o base de apoyo es directamente
proporcional al corrimiento vertical, y , experimentado por dicho punto:
cr= k · y
A la constante K se le denomina coeficiente de balasto. El análisis
puede llevarse a cabo mediante ordenador. Los casos de carga que se
estudian en el trabajo clásico de Westergaard son tres (figura 8.12):
carga centrada, carga de borde y carga de esquina. Normalmente, en
carreteras se usa sólo la carga de borde y en aeropuertos, sólo la carga
centrada.
Área circular de contacto
entre losa y rueda
Figura 8. 12. Casos de carga

•
Un método más práctico de dimensionamiento es el de Pickett y Ray,
que utiliza las llamadas "superficies de influencia" obtenidas a partir de
las huellas que dejan en el pavimento las ruedas de los vehículos. Este
método puede consultarse en la literatura especializada.
8.6.2. Juntas
Como en todos los pavimentos de hormigón, hay que disponer juntas
longitudinales y transversales. Las primeras son casi siempre juntas de
hormigonado, ya que el pavimento se construye por bandas de anchura
del orden de 3 , 5 a 4 m. Deben hacerse del tipo ranura y lengüeta
(figura 8.3.b) y no necesitan anclajes, al estar estos pavimentos
resguardados de variaciones climáticas fuertes. En Ja figura 8. 13
aparece un detalle del encofrado de estas juntas, tomado de la Portland
Cement Association.
h
-1h{2cm
10
.l.1
..... __..,.1..,
o J
1
1
o
l h
-2
~
.,.. --.
...... _h
4
, Pendiente
1:3
o
-----
lisIón
me:álico
{mejor)
/
Li!!lón
madera
(peor)
Corte de sierra
para permitir
movimientos
Figura 8.13. Junta de ranura y lengüeta
Serrar y sellar
- S _J2an1
o ) e
o
o
c9
o
o
Aplicar desencofrante
En pavimentos sin armadura las juntas de retracción (figura 8.9) se
disponen cada 4 o s m, excepcionalmente 6 m. Espaciamientos mayores

'
HORMIGON ARMADO. Elementos estructuráles 205
obligan al empleo de mallazos para mantener cosidas las fisuras
intermedias que puedan aparecer.
./'.__ JUNT.40E
OllATACt:'.ll¡
JllNl'AOECONTRo LOE FlSUR>.Ct0 N
S~RAADA O EfECTlJA.OA
er~ FRESCO
JUNTAOE RA.NURAY
L.!NGtíETAO CON
PASADOR.ES
JUNTAS oe DILATACIÓN yCONTROL
LAJ.11NAu.ooec.
~ADA oe AS!'At.
ro
...
-.•
ENCOFRAOOA
REEMPLAZARPOR
l.ÁMIHA ASFAlTlCA
ANTES OEliORM!GONAA
ALllEOEOOR OELPI~
PILAR EX'TERLOR
/ · CERR·Ai.l.IEWTO
JUNTACE CONTllOl
flE F!SURAC<lN
JUNTAS DE DILATACIÓN EN CERRAMIENTOS Y
PILARES EXTERIORES
ffORMIGONAA ALREOSOOR
DE!. PILARllNAvezCONS.
iRUIOO él PlVIMt;Nro
AOVACEWJe
--· /"'
LAi
º"
!A!l'IAlt.1PREGNAOA
ASFALTO
)
. ., •••. . -- .
1 l
r --- - --,
1 1
1
1
JUNTAS OE DILATACIÓN ALREDEDOR
DE PILARES INTERIORES
Figura 8.14. Detalles de juntas alrededor de pilares y cerramientos
(Tomada de la PCA)

206 Álvaro García Mesegver
Las juntas de retracción de una banda deben enfrentarse con las de la
banda adyacente. En caso contrario, suelen aparecer grietas en
prolongación de las juntas de la banda que se hormigonó en primer
lugar.
Las juntas de dilatación deben disponerse ju.rito a todos los el.ementos
ajenos al pavimento y que no sigan sus movimientos: muros, pilares,
cimentaciones de máquinas, re.gistros, aceras, etc. La figura 8. 14 indica
la mejor disposición de estas juntas en el caso de pilares y la figura 8. 15
en el caso de imbornales y registros. La idea es siempre la misma:
evitar picos en losas con ángulos muy agudos y dar continuidad a las
juntas transversales de banda a banda, aunque sea con pequeños
quiebros (figuras 8. 16 y 8. 17).
REGISTRO
JUNTA
LONGITU-
DINAL
JUNTA DE
DILATACIÓN
DE y.•
--,1·/-----'---- 1
1 - --- I
. --- /
' /
..., _
--/./ ',f ----
( ---. - f
- -. /
' /
--
JUNTA LONGI- _
TUDINAL .
JUNTA TRANS-
VERSAL
1
JUNTA DE
ÓILATACIÓN
DE Yí"
JUNTA
TRANSVERSAL
NO SITUADO EN UNA JUNTA LONGITUDINAL
IMBORNALES
EN LA UNIÓN DE UNA JUNTA
LONGITUDINAL Y OTRA IRANS-
VERSAL
BORDILLO
.
JUNTA DE -__,.-.--
DILATACIÓN . JUNTA
DE 14" TRANSVERSAL
-
4'
BORDILLO
1 ----- . 1
1 - - ·-
1- - -- - ---
l ===--:= 1L.. _ ____ _J
JUNTA DE DILATACIÓN
DEY."
JUNTA
TRANSVERSAL
Figura 8.15. Disposiciones de juntas en registros e imbornales
(Tomada drq lá PCA)
-

HORMIGÓN ARMADO. Elen1éntos estrvcturales 207
Juntas longitudinales.
r
.-=~=
' bordillo
5m impregnar de alquitrán
1
antes de horminonar
1
< 1,5 m [
'¿3m
~ imbornal5m _J_ -- - - - -
'1 __ junta de dilatación
5m
~ 6,5 m
1
Figura 8.16. Despiece de juntas en registros
Juntas longltudinales
Figura B.17. Despiece de juntas cuando hay registros, pilares, etc.

208
' .
a1BLIOGRAFÍA
• Pliego General de Condicione.s Facultativas para la ejecución de
Pavimentos Rígidos PR-63 por F. Arredondo y A. G. Meseguer.
1nstituto Eduardo Tarroja, Madrid 1963.
• Pliego de Prescripciones Técnicas Generales para Obras de
Carreteras y Puentes PG-3. Dirección General de Carreteras.
• Norma 6.2 IC "Firmes Rígidos". Dirección General de Carreteras.
• Norma Tecnológica NTE-RSS. Revestimientos de suelos y
escaleras: Soleras.
Calavera. lntemác, Madrid 2000. Capítulo 70 "Pavimentos de
hormigón".
•

1. En pavimentos de hormigón antiguos es frecuente encontrar
lomos en sus extremos. ¿A qué se deben? ¿Cómo pueden
impedirse?
Lomo Lomo
0,sa"°'º 0,5 a 1 %
2. Después de vibrar enérgicamente el hormigón fresco, queda una
lechada superficial. Conviene pasar un cepillo de púas
suavemente, en sentido transversal, para acabar la superficie, ya
que de este modo se forman senos y crestas que, una vez
endurecido el hormigón, mejoran la adherencia ruedas-pavimento.
¿Cierto o falso?
3. Una de estas afirmaciones es falsa ¿Cuál?
a) Los aireantes son más eficaces con hormigones seco-plásticos
que con hormigones muy secos.
b) Los aireantes suelen aumentar la retracción del hormigón.
c) Los aireantes bajan más la resistencia a flexo-tracción que la
de compresión.
d) Los aireantes son el mejor amigo del hormigón de pavimentos.
4. En un pavimento de acceso a una industria, de 7 m de ancho y
1000 m de longitud, de trazado horizontal, ¿cuántas juntas de
dilatación dispondría Vd?

,
S. Inmediatamente debajo de las losas de h.ormigón para pavimentos
se dispone una lámina de polietileno. ¿Cuál es la razón?
6. ¿Para qué se disponen anclajes en las juntas longitudina·les de
hormigonado?
7. Se desea un pavimento antideslizante, por lo que se empleará
arena silícea. Respecto a la grava, Vd puede elegir entre árido
rodado y árido calizo de machaqueo. ¿Cuál es mejor?
8. Un pavimento de hormigón incluye en su trazado una obra fija
{por ejemplo, un puente). ¿Qué dos precauciones se ie ocurre a
Vd. tomar al llegar al estribo del puente?
9. Una de estas afirmaciones es falsa. ¿Cuál?
a) Los pavimentos de hormigón presentan alto riesgo de fisuras
de afogarado. Si hace mucho calor, conviene hormigonar de
noche.
b) Los encofrados laterales no deben retirarse antes de 36 horas.
e) Un peligro de las juntas transversales de retracción serradas
es que salga la fisura ~lites de serrar, peligro que no existe en
las moldeadas en fresco.
d) Si el hormigón es de árido grueso silíceo, la junta serrada
resulta cara por el gran consumo de discos de serrado, dada la
c!ureza.
Tema 8. Paviment os dé hormigón

HORMIGÓN ARMAOO. Elementos estructurales 21 l
1. Se deben al deslizamiento hacia abajo del hormigón fresco. Se
impiden colocando menos masa de hormigón en la parte baja que
en la alta, antes de pasar la vibradora. Si se hormigona a mano,
debe colocarse y vibrarse de abajo hacia arriba y no a la inversa.
2. Falso. Las crestas de lechada así formadas desaparecen muy
pronto y el hormigón se descascarilla superficialmente, sobre todo
en tiempo frío (helada). El cepillado debe ser enérgico, apretando
bien fuerte, para retirar toda la lechada
3. Es falsa la c). Los aireantes bajan la resistencia en compresión
del orden del 15 al 20°/o y la de flexotracción solamente entre el 5
y el 10°/o.
4. Lo mejor es no disponer ninguna.
5. Disminuir el rozamiento con la base y evitar pérdidas de humedad
en el hormigón.
6. Para impedir que se abra la junta por efectos térmicos y de
retracción.
7. El árido calizo de machaqueo, cuyo desgaste diferencial con la
arena dará una superficie siempre rugosa. La grava rodada es
más deslizante.
8. La primera, disponer una junta de dilatación. La segunda,
disponer una losa de transición entre el puente y el pavimento
normal, para conseguir un acuerdo suave entre la menor rigidez
de la base del pavimento y la mayor rigidez del estribo. Para ello,
esa losa puede colocarse sobre una buena base de hormigón
magro (60 a so cm de espesor). Existen otras soluciones que
pueden verse en la literatura especializada sobre estribos de
puentes.
9. Es falsa la b). Los encofrados pueden retirarse unas 16 horas
después del hormigonado e incluso antes.

CIMENTACIONES.
PREDIMENSIONA-
MIENTO DE ZAPATAS
AISLADAS.
GENERALIDADES SOBRE
CIMENTACIONES.
,
COMPROBACION AL VUELCO
Y AL DESLIZAMIENTO DE ZAPATAS.
DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES
DEL TERRENO
(CÁLCULO GEOTÉCNICO).
ZAPATAS AISLADAS CON
CARGA CENTRADA:
PREDIMENSIONAMIENTO.
EJEMPLO DE
PREDIMENSIONAMIENTO DE UNA
ZAPATA AISLADA CON CARGA
CENTRADA.
Tema 9. Cimentaciones. Predimensionamiento de zapatas aisladas
213

214
9.1 .
1 9.1.1.
GENERALIDADES SOBRE
CIMENTACIONES
Tipología
Según las características del terreno, las cimentaciones podrán
resolverse mediante zapatas o losas (cimentaciones superficiales) o
mediante pilotes (cimentaciones profundas). La solución de pozos de
cimentación puede considerarse como intermedia entre las dos
anteriores y no plantea problemas especiales, por lo que no la
trataremos aquí.
En la figura 9.1. se representan los diferentes tipos de zapatas. A ellas
dedicamos los temas 9, 1Oy 11. Los pilotes y las losas se tratarán en
los temas 12 y 13 respectivamente.
J;-
1
•
1
1
•
~
• •
' 1
1
1
(b) Zapata combln•d.J
-~
~
--¡.
•
1
1
1
•
rl·-1
~
(e) Zapata con>nua
bajopila.res
~
1
(•) Zllpalli• "''""'·-
1
'
--
'
....
.
(o) Z81>a"'c:onlÍTIU;I
b~mwo
Figura 9.1. Distintos tipos de zapatas (Tomada del MMM)

Las zapatas (cimentación en zonas aisladas de la estructura) son el tipo
más frecuente. Se emplean cuando el terreno tiene e'n su superficie una
resistencia media o alta en relaeión eon las cargas de Ja estructura., y es
suficientemeAte homogéneo como para que no sean de temer asientos
diferenciales entre la·s distintas partes de ésta.
Las losas (cimentación en toda la superficie de la estructura) se
emplean en terrenos menos resistentes o menos homogéneos o bajo
estructuras más pesadas y menos deformables; con ellas se aumenta la
superficie de co.ntacto y se reducen los asientos diferenciales. A veces
ta·mbién se emplean cuando la cimentación ha de descender por debajo
dei nivel freático, para soportar la subpresión.
Los pilotes se emplean, en general, cuando el terreno resistente está a
profundidades superiores a los s ó 6 m; cuando .eJ terreno es poco
consistente hasta una gran profundidad; cuando existe gran cantidad de
agua en el terreno; y cuando deben resistirse acciones horizontales de
cierta importancia.
.
El cálculo de las cimentaciones está regulado en la normativa española
por el artículo 59 de la Instrucción EHE.
9.1.2. Zapatas rígidas y zapatas
flexibles. Definición
Se definen como zapatas rígidas aquellas cuyo vuelo no supera al doble
del canto; y como zapatas flexibles aquellas cuyo vuelo supera al doble
del canto (figura 9.2).
- - - -
V
- - - ,
/ '.
/
"
{a) V S 2h
'T
1
1
1
~I
V
r-7-"-r-r-r-7--7'-',,--'7'7'~~ -,
h'
!L..L:..L.L..J.::-L_¿__.(_¿._¿__~ _j
(b) v>2h
Figura 9.2. Zapata rígida (a) y flexible (b)
Ten1a 9. Cimentaciones. Predimensionamiento de zapatasaisladas

216
9.1.3.
ÁJvaro García Mesegu~r
Cargas y tensiones sobre el
terreno
Las cargas transmitidas por la estructura al terreno provocan en éste
unas ciertas tensiones. Estas tensiones nos interesan desde dos puntos
de vista:
a) Debemos comprobar que la tensión que actúa sobre el terreno es
admisible (cálculo geotécnico).
b) Debemos comprobar que las piezas de hormigón armado que
constituyen la cimentación son capaces de soportar las reacciones
que el terreno ejerce sobre ellas (cálculo estructural).
Para el cálculo geotécnico se trabaja en estado limite dé serv1c10
(acciones características y comprobación en tensiones admisibles),
cons.iderando las acciones transmitidas por la estructura y el peso del
elemento de cimentación. En cuanto al peso del suelo que descansa
sobre la zapata, parece lógico prescindir de él, ya que el suelo de la
base estaba en equi!ibrio con dicho peso (siempre que no se aumente
con más terreno) antes de efectuar la excavación.
Para el cálculo estructural se trabaja en estado límite último (acciones
mayoradas) considerando tan sólo las acciones transmitidas por la
estructura. No se considera el peso propio del elemento si, como es
usual, la zapata se hormigona de forma continua, ya que entonces la
reacción del terreno debida al peso del hormigón fresco se produce so-
bre un cuerpo libremente deformable y no produce tensiones. Tampoco
se considera el peso del suelo que descansa sobre la zapata, por la
misma razón apuntada anteriormente.
La carga admisible sobre el terreno puede venir impuesta por la
condición de que los asientos del mismo sean co·mpatibles con la
capacidad de deformación de la estructura, o resultar de
consideraciones puramente resistentes. En este último caso, es el
cociente entre la carga de hundimiento del suelo y el coeficiente de
seguridad.
Como coeficiente de seguridad es habitual considerar 3 para la
combinación más desfavorable de las acciones de peso propio,
sobrecarga normal de uso y viento; y 2 para la combinación más
Tema 9. Cimentaciones. Predimensionamrento de zapatas aisla das

,
desfavorable de las acciones de peso propio, sobrecargas máximas,
viento y sismo.
Para una idea orientativa del valor de las tensiones admisibJes en los
distintos tipos de terreno, pueden consultarse las Tablas 23. 1 y 23.2 del
MMM. Debe recordarse, no obstante, que la legislación española obliga
a efectuar estudios geotécnicos antes de la realización del proyecto de
una nueva construcción.
9. l .4. Agresividad potencial del
terreno
En los estudios previos debe incluirse uno relativo al posible carácter
agresivo, presente o futuro del terreno Si hubiese riesgo de agresividad
(tierras con humus o sales cristalizadas; aguas de pH inferior a s; aguas
selenitosas; cloruros, etc.) hay que prescribir un hormigón de buena
calidad, con un tipo de cemento adecuado y con amplios recubrimientos
para las armaduras.
9.2.
COMPROBACIÓN AL
VUELCO Y AL
DESLIZAMIENTO DE ZAPATAS
Si la zapata está sometida a un momento o a una fuerza horizontal
(cortante en la base del pilar) de importancia, debe comprobarse lo
primero su seguridad al vuelco, mediante la e.cuación (ver figura 9.3) de
momentos respecto al punto A:
(N + P) a 2: (M + V · d) · 1,5
2
en la que M, N, v son los esfuerzos en la cara superior de la
cimentación y P es el peso propio de la zapata. El coeficiente de
seguridad al vuelco que suele adoptarse es 1,5.

'218 Alvaro García Meseguer
En la ecuación no se incluye el peso del suelo sobre la zapata, cuyo
efecto es estabilizador.
v-1--N_)M- - - -
d
A
p
a
Figura 9.3. Seguridad al vuelco
Además, si la zapata no va arriostrada y hay acciones horizontales,
habrá que comprobar la seguridad al deslizamiento. Como fuerza
estabilizante se cuenta sólo con el rozamiento entre la base de la
zapata y el terreno, o con la cohesión si se trata de terrenos cohesivos.
La ecuación es la siguiente:
Para suelos sin cohesión (arenas): (N + p) tan <pd > 1,5 · v
Para suelos cohesivos (arcillas): A · cd > 1,5 · v
siendo:
el valor minorado del
2
ángulo de rozamiento interno (puede
tomarse cpd = - <p)
3
A, la superficie de base de la zapata
el valor minorado de la cohesión (puede tomarse ed
1
= - e ).
2

HORMIGÓN ARMADO. Elementos eslructura les 21 9
9.3.
DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES
DEL TERRENO {CÁLCULO
GEOTÉCNICO)
9.3.1. Introducción
Tanto para el cálculo geotécnico como para el estructural debemos
conocer la distribución de tensiones en el terreno, que de,pende
fundamentalmente oel tipo de suelo y de la rigidez de la zapata.
Fácilmente se comprende que aún en el caso de zapata rígida (figura
9.4.a y b) con carga centrada, la distribución de tensiones no puede ser
uniforme, ya que en los bordes de la misma habría un salto y la ley
sería discontinua. Para suelos cohesivos (arcíllas), la ley es como la
dibujada en la figura 9.4.a; para suelos sin cohesión (arenas), como la
de la figura 9.4.b, mayor en el centro que cerca de los bordes, debido a
que el suelo situado debajo de los mismos resiste menos puesto que
puede fluir lateralmente. En el caso de zapata flexible, las tensiones en
las proximidades de los bordes disminuyen en ambos tipos de suelos,
debido a la deformación de la zapata; y aumentan, por lo tanto, las
tensiones del centro (figura 9.4.c y d).
lI --
1
1
1
•
•
'-·~ft1 l~H:V.--'
.
'
1 l... .
'
1 1
''1 1 uniforme
1 l
'I,
1 1
l _ c.J
~
(a) Zapata rlgida (b) Zapata rígida (e) zapata flexible (d) Zapata tleXJbfe
suelo cohesivo suelo sin cohesión suelo cohesivo suelo sin cohesión
(e} Distribuciones
empleadas en
la práctica
Figura 9.4. Distribución de tensiones del terreno (Tomada del MMM)
Tema 9. Cimentaciones. Predimensionamiento d e zapatas aislados

220 ' '
En la práctica se emplean distribuciones lineales, como se verá a
continuación. Siempre queda del lado de la seguridad suponer (figura
9.4.e) tina distribución triangular para el cálculo geotécnico y una
uniforme para el cálculo estructural.
Volveremos sobre este tema en el apartado 13.2.
9.3.2. Zapata continua bajo muro
Longitudinalmente se supone que el conjunto mur:o-zapata es
infinitamente rígido y que transmite una presión uniforme.
Transversalmente, debemos distinguir dos casos.
9.3.2. 1. Carga centrada
Si la zapata es rígida, se supone distribución uniforme.
Si la zapata es flexible, se supone distribución uniforme si el terreno es
cohesivo; si el terreno no tiene cohesión, se hace el doble supuesto de
la figura 9.4.e, es decir, distribución triangular para el cálculo geotécnico
y uniforme para el estructural
La tensión resultante debe ser menor que la admisible.
9.3.2.2. Carga excéntrica
Cuando la resultante de la carga pasa por el núcleo central se obtiene
una distribución trapecial (figura 9.5.a). La máxima tensión (en el borde
de la zapata) vale :
N+ P( 6e)0'1 = 1 + -
a a
ya que estamos trabajando siempre por metro de longitud (b=l). Pero
se admite que esta tensión supere a la admisible, ya que es puntual, en

el mism.o bord.e, y el terreno cederá un poco en ese punto, con lo qt.Jé
se redistribuyen las tensiones deforma más favorable. Por ello, la
tensión que se toma de referencia es la te.nsión al cuarto de la luz
(punto A de la figura 9.5.a), es decir, la semisuma de a1 y la tensión en
el centro, que vale:
_N+ P (i 3e)Q'A - +
· a · a
y q.ue debe resultar menor que cradm·
El significado de la notación puede verse en la figura 9.5.
1 •
1,5(a - 2e)
a
(a) Distribución trapecial (b) Distribución triangular
Figura 9.5. Zapata continua bajo muro
Si la resultante N+P pasa por fuera del núcleo central de la zapata o·
sea, para e>a/6 , se obtiene una distribución triangular (figura 9. 5.b),
pues no es posible que se produzcan tracciones. En este caso, la
tensión en el borde de la zapata vale:
4(N+P)ª1
= 3 a - 2e
Tema 9. Cimentaciones. Predimensionamlento de zapatas aislados

222 '
y debe verificarse para la seguridad de la cimentación:
ya que, para seguir el mismo criterio del caso anterior, se tolera en el
borde una tensión algo mayor que la admisible del terreno.
9.3.3. Zapata continua bajo
pilares
Se supone que transversalmente la distribución es uniforme. En cuanto
a la distribución longitudinal, un buen procedimiento es estudiarla como
si la zapata fuese una viga flotante (reacción del suelo en cada punto
proporcional al descenso de la viga en ese punto).
En la práctica y para los casos normales, pueden utilizarse
distribuciones aproximadas. Para zapatas rígidas en suelos muy
deformables, se supone un reparto wniforme por trozos (figura 9.6.a) y
para zapatas flexibles en suelos poco deformables, un reparto triangular
por trozos (figura 9.6.b).
Más información puede encontrarse en el Tema 13.
l, 12 12
fo f-~ f- - 2T2·-12
1
-- ~
...
1111 111
(a) (b)
Figura 9.6. Zapata continua bajo pilares (Tomada del MMM)

9.3.4. Zapata aislada rectangular
Se aplica en ambas direcciones lo indicado para la distribución
transversal en zapatas continuas bajo muro (ley de Navier).
Si la zapata es rígida y la resultante en su base tiene una doble
excentricidad, es decir, cuando además del axil Nel soporte transmite a
la zapata dos momentos Mx, My, el problema se soluciona aplicando
(ver figura 9.7) la ley de Navier generalizada:
CT· =1
N
a·b 2
b ·a
donde cr1 es la presión bajo cada uno de los cuatro vértices, obtenida
utilizando las cuatro combinaciones posibles de signos. Para que la
fórmula sea válida debe resultar cr1 < o.
Si el soporte no estuviese centrado con la zapata sino que presentase
excentricidades ex, ey con respecto a los ejes que pasan por el centro
de la misma, el problema se reduciría al anterior con
N = N
1
1
1
•13
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
1 I
I
1 a
N
MX
2
M = N ·eX X
b
4
X
M = N ·ey y
)
bI
Figura 9.7. Ley de Navier generalizada

224
9.4.
9.4.1 .
Álvoro García Meseguer
ZAPATAS AISLADAS CON
CARGA CENTRADA:
PREDIMENSIONAMIENTO
Generalidades
Las zapatas aisladas se emplean para transmitir al terreno la carga de
un solo soporte y su planta suele ser cuadrada o rectangular. Las
formas típicas de la sección de la zapata son las indicadas en la figi1ra
9.8, si bien las normalmente empleadas son las de espesor constante
por su fácil ejecución.
, •
V
V
vi
1 1- ·- - - ~
l. ~
L !...______ ____.
' - - -- a- - - ; " -- - a - ------'
Figura 9.8. Formas típicas de una zapata aislada
En zapatas de espesor constante el canto h no debe ser menor de 30
cm. y en las de espesor variable el canto h 0 en el borde debe ser
h 0 > h/ 3 y no menor de 25 centímetros. El ángulo de inclinación suele
tomarse 13 > 30º, que corresponde, aproximadamente, al ángulo de
talud natural del hormigón fresco, con lo cual podría no ser necesario el
empleo de contraencofrado si bien, en este caso, la compactación del
hormigón es muy difícil.

En las zapatas rígidas (ver apartado 9.1.2) la distribución de presiones
sobre el terreno puede suponerse plana; pero para su cálculo como
piezas de hormigón, al igual que sucede en las ménsulas cortas, no
puede aplicarse la teoría general de flexión, sino que es necesario
aplicar el método de las bielas y tirantes (Tema 3). Por el contrario, en
las zapatas flexibles la distribución de presiones sobre el terreno
depende de la rigidez relativa entre suelo y zapata; suponer una ley
plana queda del lado de la inseguridad para la comprobación de las
presiones (que serán mayores en el centro de la zapata para carga
centrada y zapata muy flexible) y del lado de la seguridad para el
cálculo de la pieza de hormigón. El cálculo de ésta se hace por la teoría
general de la flexión, como si fuera una losa o una viga plana.
En zapatas rectangulares - e incluso en zapatas cuadradas bajo pilares
de sección rectangular- sucede con frecuencia que el vuelo en una
dirección es inferior, y en la otra superior, a 2h. Estas zapatas se
consideran flexibles y deben calcularse como tales en ambas
direcciones, es decir, en la dirección en la que el vuelo es menor de 2h
se aplica también la teoría de flexión y no el modelo de bielas y tirantes.
9.4.2. Campo de aplicación
Se expone a continuación el predimensionamiento de zapatas aisladas
de peso propio P sometidas a una carga centrada N que, como hemos
dicho, son las más frecuente en edificios normales, ya que las
excentricidades debidas a los momentos en base de pilares son
pequeñas frente a las dimensiones de las zapatas. El armado completo
de estas zapatas se expondrá en el Tema 10.
Las formulaciones del apartado 9.4.3 son aplicables cuando la
excentricidad relativa r¡ =e/ a (siendo a la dimensión de la zapata) de la
carga P + N es menor de 1/90 (lo que sucede con frecuencia) y
conducen a errores que, aunque están del lado de la inseguridad, son
normalmente menores del 5 por 100 y por tanto admisibles.
Para excentricidades de la carga mayores conviene cubrirse frente a
estos errores. Si la excentricidad relativa r¡ = e/a está comprendida
entre 1/90 y 1/9 ello puede hacerse, de forma aproximada, multiplicando
las cargas por los siguientes factores:
Tema 9. Cimentac iones. Predimensionamiento de zapatas aisladas

226
,
• Para cálculos geotécnicos (comprobación presiones del suelo):
y9 = 1 + 3TJ
• Para cálculos estructurales (comprobación flexión y cortante):
Ye = 1 + 4, 5TJ
Por último, si la excentricidad relativa es mayor de 1/9,. o si se desea
afinar el dimensionamiento de la zapata, habrá que aplicar método's
más rigurosos.
9.4.3. Predimensionamiento de la
zapata
a) Las dimensiones e11 planta de la zapata se obtienen de la
comprobación de las presiones del suelo (cálculo geotécnico). De la
figura 9.4 se deduce qu~. salvo en el caso de zapatas flexibles
apoyadas en terrenos sin cohesión, puede admitirse una distribución
uniforme de presiones. En la práctica, el área necesaria en planta
para la zapata, A, se obtiene en función de la presión admisible para
el terreno, cradln• mediante la ecuación:
N + P
A=a·b=---
(Jadm
siendo N la carga centrada de servicio (sin mayorar) y P el peso
propio de la za·pata. Al no conocerse inicialmente el valor de P es
necesario efectuar tanteos. Para iniciar estos tanteos resulta útil
suponer que el peso propio P es una fracción f3 de la carga de
servicio N, con lo que será:
A=a · b-
N (1 + ~}
con
C>adm
14 - 0,02cradm
100
Temo 9. Cimentaciones. Predimensionamiento de zapatas aisladas

siendo oadm la presión admisible del terreno en kN/m2 (recordemos
que 1 kp/cm2 equivale aproximadamente a 100 kN/m2 ). Obtenida
el área A, tanto si la zapata es cuadrada (a =b) como si debe ser
rectangular por venir obligado su ancho {b = dato), es inmediato
obtener sus dimensiones en planta.
b) El canto de la zapata se obtiene de su dimensionamiento como pieza
de hormigón (cálculo estructural). Como ya dijimos, cualquiera que
sea el tipo de zapata, para el cálculo estructural puede suponerse,
en favor de la seguridad, una presión uniforme del terreno,
prescindiendo del peso propio de la zapata. Por lo tanto, como
acción del terreno sobre la zapata se considera la presión uniforme,
O"t = Nd / (a · b), siendo Nd el axil mayorado transmitido por el
soporte.
Por razones económicas el canto debe ser el menor posible, pues así
se disminuye el volumen de hormigón sin que aumenten las armaduras
longitudinales, que suelen estar controladas por las cuantías
geométricas mínimas impuestas por las normas. Para valores bajos de
la presión admisible del terreno, ªªdm < 2 oo kN/m2
, resultan zapatas
flexibles, al ser necesarias dimensiones en planta relativamente
elevadas, y el canto óptimo es aquél por debajo del cual seria necesario
disponer armadura de cortante. Pero en la comprobación
correspondiente y según la EHE, tanto el cortante actuante como el
cortante último resistente dependen del canto útil d, por lo que es
preciso efectuar tanteos. Para iniciar estos tanteos el MMM recomienda,
en el caso de zapatas de espesor constante, adoptar como valor del
canto útil d el dado en metros por la expresión:
d = v1:0,24
siendo:
Ot =Nd /(a· b) presión uniforme del terreno sobre la zapata, en
kN/m2
;
V
axil mayorado transmitido por el soporte a la zapata;
el mayor de los vuelos vª y vb en las dos direcciones
a y b;

v ª = (a - a0 ) / 2 vuelo en la dirección a;
vb = (b - b0 } /2 vuelo en la dirección b;
a, b dimensiones en planta de la zapata;
ao, b0 dimensiones de la sección del soporte.
Este canto evita las comprobaciones de cortante y punzonamiento en la
gran mayoría de los casos, pues las zapatas con él dimensionadas las
satisfacen automáticamente2
•
Para valores medios y altos de la presión admisible del terreno resultan
zapatas rígidas que se arman por el método de las bielas (ver aparlado
10.1), sin que sea necesario efectuar la comprobación de cortante. El
canto útil recomendado proporciona soluciones cercanas al óptimo
económico (armadura del orden de la mínima).
9.5.
EJEMPLO DE
PREDIMENSIONAMIENTO DE
UNA ZAPATA AISLADA CON
CARGA CENTRADA
(Este ejemplo está tomado del MMM)
Se pretende predimensionar una zapata de cimentación para un
soporte de hormigón de sección a0 = o , 4o m y b0 = o , 3 o m, armado
con 4020; esfuerzos axiles de servicio y de cálculo N = 900 kN y
Nd = 13 9s k.N. Los materiales son un hormigón HA-25 y un acero B 500
S. Los coeficientes de seguridad: Ye = 1, s, 'Ys = 1, 15. La presión
admisible sobre el terreno, crad!ll= 160 kN/m2
• El ancho de la zapata
viene impuesto: b =1, so m.
2
No es raro encontrar valores elevados del canto útil al aplicar esta fórmula. Al
respecto puede verse el apartado 10.4.2.

SOLUCIÓN
El coeficiente para tener en cuenta el peso propio de la zapata valdrá:
A = 14 - 0,02 · <>adin
1-' = 0,108
100
El área en planta necesaria valdrá:
N(l + ~)
A = - 6,23 m
2
() adm
y las dimensiones serán:
b=l,80 m
a= A/b = 3, 46 m, que se redondea a a= 3, 50 m
Los vuelos valdrán:
Va - (a - a0 )/2 - 1,55 m
vb - (b - b .,) /2 = O, 75 m
y .el mayor de ellos:
v=va=l155m
La presión del terreno para el cálculo estructural valdrá:
Nd 2
crt = = 221 kN/m
a·b
El canto útil recomendado valdrá:
d = V 0,638 m
Suponiendo que el canto total sea h = d + o , o6 m re.suIta un canto
teórico h = o, 6 98 m que se redondea al valor múltiplo de 5 cm superior
h = o, 7 o m, de donde resulta un canto útil d = h - o , o6 = o , 6 4 ~·

La zapata queda así predimensionada. Su dimensionamiento completo
lo efectuaremos en el tema siguiente (apartado 1O.5).
,
BIBLIOGRAFIA
• Instrucción EHE: Artículo 59 "Elementos de cimentación".
Barcelona 2000. Capítulo 23 "Cimentaciones de hormigón armado".
• Cálculo de estructuras de cimentación por J. Calavera. Editado
por lntemac, 4ª ed., Madrid, 2000.
Tema 9. Cimentaciones. Predimensionomiento de zapatas aislados

HORMIGÓN ARMADO. Elementos estructurales 23.1
1. La zapata de la figura 9. 9 recibe un axil del soporte igual
a 70 toneladas (valor de servicio). El terreno pesa
1, 8 t/ml y tiene una tensión admisible de 2 kp/ cm2. Se desea
saber sí es correcta la planta de la zapata y cuánto vale la tensión
que el terreno ejerce sobre ella a efectos de dimensionar sus
armaduras.
40x40
150
50
1 200x200 j
Figura 9.9
2. ¿Qué canto total mínimo podría darse a la zapata del ejercicio
anterior para que no fuese necesario comprobar el cortante y el
punzonamiento?
3. Supóngase ahora que el axíl del soporte, igual a 70 toneladas,
actúa con una excentricidad de 4 cm sobre la zapata de la figura
9.9 ¿Es admisible la tensión sobre el terreno?

232
,
1. a) Para cálculos geotécnicos, aplicando la EHE, tenemos:
Carga de la estructura: 7 o t
Pesodelterreno: (2·2-0,4 · 0,4)1 , 50·1,8 - 10,4 t
Peso de la zapata: 2 • 2 ·o, s · 2, s = 5 t
Tensión sobre el terreno:
7 o + 10,4 + 5 / 2
- - - - - - t m
2·2
Sin embargo, podemos prescindir del peso del terreno, con lo que
obtenemos:
75 / 2
- = 18,75 t m
4
= l,88kp/ cm
2
< 2kp/ cm2
por lo que la zapata es correcta.
b) Para cálculos estructurales la tensión del terreno vale:
70 / 2 / 2- = 17,St m = 1,75 kp cm
4
que habrá de mayorarse para el dimensionamiento de las
armaduras.
2. Aplicamos la fórmula recomendada por el MMM (apartado 9.4.3).
En nuestro caso los valores son:
(J =t
1,6 . 7 o
2·2
ton kN
- 28 = 280
m2 m2
V - 0,8 ID
Tema 9. Cimentaciones. Predimensionamiento de zapatas ais~adas

HORMIGÓN ARMADO. Elementos estructura les
Resulta asl:
d = --
1,1 . 280
280 + 370
308
650
= 0,47 m
233
Por consiguiente adoptaríamos para el canto total el valor
h = SS cm (múltiplo de 5).
3. En primer lugar determinamos la excentridad de la resultante,
suma del axil del soporte más el peso propio de la zapata.
70 t
5 t
4 cm
x cm
R
Figura 9.10
Según la figura 9.10 es
R = 70 + 5 = 15 t
y debe verificarse que
5 · X - 70 (4 - x)

234
, ,
Resulta
x = 3,73 cm
Como esta resultante pasa por el núcleo central aplicamos la segunda
fórmula del apartado 9.3.2.2:
75 ((JA = 1 +
2 · 2
luego sí es admisible.
3 . 3,7 3 ) -
200
19,8 t/m2
< 20 t/m2

HORMIGÓN ARMADO. Elementosestructurales 235
10.1 .
DIMENSIONAMIENTO
DE ZAPATAS AISLADAS
CON CARGA
CENTRADA.
DIMENSIONAMIENTO DE,
ZAPATAS RIGIDAS.
DIMENSIONAMIENTO DE
ZAPATAS FLEXIBLES.
ANCLAJE Y DISPOSICIÓN DE
LAS ARMADURAS.
ZAPATAS DE HORMIGÓN
EN MASA.
EJEMPLO DE DIMENSIONAMIENTO
DE UNA ZAPATA AISLADA
CON CARGA CENTRADA.
DIMENSIONAMIENTO DEr
ZAPATASRIGIDAS
Como dijimos en el apartado 9.4.1, el estudio de las zapatas rígidas
(cuyo vuelo, recordémoslo, no supera al doble del canto) debe hacerse
por el método de bielas y tirantes. La EHE trata este caso en su artículo
Tema 10. Dimensionamiento d e zapatas a isladas con carg a cenfrada

236 '
59.4.1.1 , en el cual establece como modelo de bielas y tirantes para
una zapata rígida bajo carga centrada el representado en la figura 10.1.
- - - COMPRESIÓN
TR.ACCIÓN'.
1
Nd •
Nct
12 T
.
' 1 '
/ . '
/ '
"o 1 eC.,, Td .
•
~dt 1
t~.
1
j J a/4 ! a/4 J
a l
Figura 10.1. Modelo de bielas y tirantés para zapata rígida bajo carga centrada
(ver también la figura 59.4.1.1.a.de la EHE)
La armadura principal debe resistir la tracción Td indicada en el modelo,
que resulta:
T = - - - =· (a - a )Nd (ª ªo) Nd
d 2 . 0,85d 4 4 6,8d o
con fyd ~ 400 N/mm2 y siendo el significado de las variables el
representado en la figura 1O. 1.
Esta armadura debe disponerse sin reducción de sección en toda la
longitud de la zapata y debe anclarse con especial cuidado, pues el
modelo de bielas y tirantes exige el funcionamiento eficaz d.el tirante en
toda su longitud, a diferencia de lo que sucede con la armadura de una
zapata dJmensionada por la t.eoría de flexión, cuyas tensiones se anulan
en los extremos y son máximas en el centro de la zapata. La .EHE
recomienda en este caso el anclaje mediante barras soldadas
transversales.
Tema JO. Di1nensionamiento de zgpatas aisladas con carga centrada

Las cuantías geométricas mlnimas recomendadas por el MMM, que
suelen ser determinantes, son las siguientes:
p 2': o, 0020 para acero B 400 S
p ;;:: o , 0 018 para acero B 500 S
La comprobación de bielas y la del hormigón bajo la carga concentrada
del pilar no es necesaria si la resistencia característica del hormigón de
la zapata es igual a la del hormigón del pilar. Tampoco es necesario
efectuar una comprobación de la zapata frente a esfuerzos cortantes o
punzonamiento.
10.2.
¡ 10.2.1. 1
DIMENSIONA·MIENTO DE
ZAPATAS FLEXIBLES
Cálculo a flexión.
Dimensionamiento de la
armo.duro principal
En el caso de zapatas flexibles (aquéllas en las que el mayor de sus
vuelos cumple la condición v > 2 h), la determinación de la armadura de
tracción debe hacerse aplicando la teoría de flexión en ambas
direccior:ies (aunque en la dirección más corta suele bastar con
disponer la armadura mínima). Para ello pueden usarse las tablas y
fórmulas simplificadas que se incluyen en el Tomo 2 de esta obra.
La armadura se determina en las secciones 1 - 1 y 1 1
-1 ' , distanciadas
de los paramentos del soporte de hormigón, o, 15 • a0 y o, 15 · b o,
respectivamente (figura 10.2)3
. El momento de cálculo en la sección
1-1, debido a la carga del terreno crt = Nd / <a • b) , es:
cre ( )2M ad = - b vª + 0,1 5 · a 0
2
3
Para soportes metálicos se tomará, en lugar de o, 15 · ªº, la mitad del vuelo de Ja
placa de anclaje.
Tema 1O. Dimensionamiento de zapatas aisladas con carga centrada
•

,
siendo v ª = (a - a 0 ) / 2 el vuelo en la dirección a .
1 A
0,1S·a
" -1
.1
1 1
' 1
L.- .
b li 1
1' ~
1 1
- ~
vl
1
l. 'J
d
- - 1_i• • • ' • • •
1
~ffi
1
1 1
1 1
1 1 b1 1
1 1
1
' L ªº-l 1
1 1
1
1
!•
1
a
-l.___ _ a - -- -o
Figura 10.2. Cálculo a flexión de una zapata flexible
La armadura correspondiente a esta sección, de dimensiones b x d,
puede determinarse mediante las tablas o ábacos correspondientes.
También resulta cómoda la fórmula simplíficada:
Mad
µ = -b-· -d-2- . - - , e.o = ~l (1 + µ) , U = A · fyd - co· b·d·fcd
f c::d
Las cuantías geométricas mínimas son las mismas indicadas en 10.1
para zapatas rígidas, y deben tenerse muy en cuenta, pues como se ha
dicho resultan determinantes en muchas ocasiones.
Los cantos útiles, en los dos sistemas de armaduras ortogonales, son
distintos. En las zapatas rectangulares conviene colocar en la capa
inferior las armaduras que correspondan al vuelo mayor. En los cálculos
se usa a veces un canto útil único, para el que se toma el valor medio
que corresponde a la profundidad de la fibra de contacto entre los dos
sistemas de armaduras.
10.2.2. Cálculo a cortante
Las zapatas predimensionadas de acuerdo con lo indicado en el
apartado 9.4.3 no suelen necesitar comprobación a cortante. No
obstante, a continuación se indican las comprobaciones establecidas en
Tema 10. Dimensionamiento de zapatas aisladascon carga centrada

HORMIGÓN ARMADO. Eleme ntos estructurales 239
el artículo 59.4.2.1.2 de la EHE, que son las que han servido de base
para deducir la expresión del canto útil recomendado en 9.4.3.
La comprobación se hace en la sección 2-2 de las figuras 10.3.a y
10.3.b, situada a una distancia igual al canto útil d del paramento del
soporte o muro. El cortante actuante vale:
Vd = crt · b (v - d)
y el esfuerzo cortante último vale:
v u2 = v cu = f · b ·dcv
siendo f 0 v la resistencia convencional del hormigón a cortante (véase
apartado 14.2.3 del Tomo 2, agotamiento de piezas sin armadura de
cortante) dada por la expresión:
f = O 12 · i: · (1OO · p · f )X N/mm2
cv ' ':> 1 ck
.--- - a - - - t
',
IV - d
r
12
L
.-----a - -2---tl
.
d !
.1r l. 1 1
• • • !,;
•
(a) (b) (e)
Figura 10.3. Comprobaciones a esfuerzo cortante y a punzonamiento
En estas fórmulas se usan las siguientes notaciones:
f ck resistencia característica del hormigón, expresada en N/mm2 ;
coeficiente que tiene en cuenta la influencia del canto útil en el
efecto del engranamiento de áridos;
cuantía geométrica de la armadura longitudinal de tracción, que
posibilita la resistencia por el efecto arco y por el efecto pasador.
Tema 10. Dimensionamiento d e zapatas aisladas con c arga centrada

El coeficiente spuede obtenerse mediante la expresión:
~ - 1 +
200
d
en la que el canto útil d debe expresarse en mm. La cuantía p1 vale:
siendo A,. el área de la armadura longitudinal de tracción anclada a una
distancia iguaJ o mayor que d a partir de la sección en la que se
comprueba el cortante (sección 2-2 de las figuras 10.3.a y 10.3.b). El
valor límite superior o, 02 de la cuantía nunca es operante en zapatas,
ya que estos elementos tienen cuantías mucho más bajas.
El cálculo de zapatas (y encepados) flexibles a cortante según la EHE
resulta particularmente severo por la razón que se explica en el
apartado 10.4.2.
Digamos finalmente que en zapatas rectangulares sólo es necesario
comprobar la resistencia a cortante en la dirección del vuelo mayor.
10.2.3. Cálculo a punzonamiento
Sólo en casos muy poco frecuentes de cargas elevadas y suelos de
baja resistencia, en los que resulten zapatas con vuelos
excepcionalmente altos, v > 3, Sh, puede ser determinante la
comprobación por punzonamiento. En estos casos hay que comprobar
que en la sección crítica indicada en la figura 10.3.c se cumple la
condición (véase apartado 6.3.1):
'ts d
< .,.' rd
Tema 10. Dimensionamiento de zapatas aisladas con carga centrada

•sd Tensión nominal de cálculo en el perímetro de la sección crítica
(perimetro crítico)
Fsd Esfuerzo de punzonamiento de cálculo
Coeficiente que tiene en cuenta la excentricidad de la carga, si
existe (si no existe, ~ =1)
ui Perímetro crítico
d Canto útil medio de la zapata, d = (dx + d Y)/2
•rd Tensión máxima resistente en el perímetro crítico.
El esfuerzo de punzonamiento Fsd es la resultante de las presiones del
terreno que actúan en el exterior de la sección crítica.
Como tensión máxima trd resistente del hormigón en el perímetro crítico
puede tomarse el mismo valor de la resistencia convencional del
hormigón a cortante, f cv. definido en el apartado anterior 10.2.2.
10.3.
ANCLAJE Y DISPOSICIÓN
DE LAS ARMADURAS
Las armaduras formarán un emparrillado que se prolongará sin
reducción hasta los bordes de la zapata. En zapatas rígidas {v ~ 2h),
como se ha indicado en el apartado 1O.1, deben anclarse con especial
cuidado, doblando las barras (figura 10.4.a) y prolongándolas una
longitud de anclaje, o bien usando barras transversales soldadas.
En zapatas flexibles (v > 2h) el anclaje se cuenta a partir del punto B
que dista d de la sección de cálculo 1-1 (figura 10.4.b). Como la
armadura necesaria en el punto B es nula, puede adoptarse la longitud
neta de anclaje, es decir, el mayor de los valores, o, 3 · lb. 100 ó
15 cm, en donde lb es la longitud de anclaje por prolongación recta, en
posición r , pudiendo resultar que no sea necesario doblar las
armaduras, pero siempre se prolongarán hasta el extremo de la zapata.
Tema 10. Dimensionamiento de zapatas aisladas con cargo centrada

242
'V
r1~ - ~v~2h,
_~, -'-1__,,~ l
'·l...t...~.. ..1j [._JA
·(a)
l. • • •
,
r
~
1
V > :/h
lo
1
1
¡.. .
l b
r _ • J
.
--.- . • • • • •
(b)
Figura 10.4. Anclaje de barras en zapatas rígidas (a) y flexibles (b)
En las zapatas rectangulares, la armadura paralela al lado mayor a se
podrá distribuir uniformemente en todo el ancho b . Sin embargo, la
armadura paralela al lado menor b se concentrará más en la banda
central de ancho a1 = b <f. a 0 + 2h (ver figura 10.2 a Ja derecha), en la
que se dispondrá la fracción uª · 2a1 / (a + a1 ) • El resto se repartirá
uniformemente en las dos bandas laterales. Por último, se recomienda
que la sección total de armadura, en una dirección, no sea inferior al 20
por 100 de la correspondiente a la otra dirección.
Las armaduras del emparrillado deben formarse con barras de diámetro
grande siempre que lo permitan las condiciones de adherencia y deben
colocarse con importantes recubrimientos (del orden de cinco
centímetros) con objeto de evitar la corrosión. Se recomienda no
emplear diámetros menores de 1 2 mm ni mayores de 2 5, con
separaciones máximas entre barras de 3 o cm.
Las zapatas bajo soportes de hormigón armado deben llevar unas
armaduras en espera (figura 10.4), coincidentes con las armaduras de
los mismos, con sus correspondientes cercos. Las longitudes de solapo,
10 , y de anclaje, lb, de estas armaduras, se determinan de acuerdo con
lo indicado en los apartados 6.4 y 6.3 del Tomo 1 de esta obra. Puede
ocurrir que el valor de lb sea superior al canto de la zapata, en cuyo
caso es necesario aumentar el número de las barras en espera (con la
consigu¡ente disminución de su diámetro) de modo que el valor de l b (o
l b, nato) sea el adecuado.
Tema 1O. Dimensionamiento de zápatas aisladas con carga centrada

HORMIGÓN ARMADO. Elementos estructuroles 243
,
10.4.
ZAPATAS DE HORMIGON EN
MAS.A
10.4.1 . Tratamiento según la EHE
Las zapatas aisladas de hormigón en masa vienen reguladas por el
artículo 59.7 de la EHE. Se emplean para cargas pequeñas en obras de
poca importancia o en casos especiales en los que el terreno firme esté
a una profundidad que aconseje aumentar el canto, resultando en otros
casos antieconómicas. Suelen ser de espesor constante y se
recomienda que el vuelo v no supere al canto h.
La comprobación a flexión se efectúa determinando el momento Ma. en
la sección 1-1, de la misma forma indicada para las zapatas armadas
(véase el apartado 10.2.1 y la figura 10.2). La máxima tracción del
hormigón, determinada por el método clásico, debe conservarse inferior
a la resistencia de cálculo del hormigón a flexotracción fct,d· Según la
EHE debe verificarse:
0,21 ~ (N/mm2)
Ye
en donde b es el ancho de la zapata, h el canto, fck la resistencia d.e
proyecto del hormigón en N/mm.2
, y 'Ye su coeficiente de seguridad
(normalmente Ye = 1,5).
La comprobación a cortante se efectúa en la misma sección 2 - 2
indicada para las zapatas armadas (véase el apartado 10.2.2 y la figura
10.3). Como resistencia virtual del hormigón a cortante se tomará en
este caso fcv =fct, d• es decir, el mismo valor que para la
comprobación a flexión.

244
l0.4.2.
La paradoja del esfuerzo
cortante
Como vimos en el apartado 14.2.3 del Tomo 2, la fórmula que
proporciona la resistencia virtual a cortante del hormigón fcv en el caso
de piezas sin armadura de cortante,
f cv = 0,12 • ~ • (100 •Pi· f ck}
113
,
depende de la cuantía geométrica p1 de la armadura longitudinal, la cual
actúa como un factor multiplicador. Por tanto, cuanto menor es esa
cuantía más pequeña resulta fcv y, en el lfmite, para cuantía igual a
cero (es decir, para hormigón en masa) la fórmula ofrece una
resistencia del hormigón a cortante nula.
Como este resultado es disparatado (de aceptarlo, resultarían
prohibidas las zapatas de hormigón en masa), la EHE indica que, para
este caso de zapatas sin armar, la fcv se tome igual a la resistencia del
hormigón en tracción f ct , d.
Ahora bien, en aquellos casos en los que la cuantía longitudinal p1 es
pequeña, esa fct,d resulta mucho mayor que la f cv de la fórmula
general, lo que conduce a la paradoja siguiente:
Según la EHE, una zapata de hormigón en masa resiste un esfuerzo
cortante mucho mayor que esa misma zapata armada con pequeña
cuantía.
El origen de la paradoja reside en que la EHE, siguiendo al Código
Modelo CEB-FIP, hace depender la fcv de la cuantía de la armadura
longitudinal según un factor multiplicador, cosa que no sucedía en la
Instrucción anterior EH-91 (en la cual la cuantía multiplicaba tan solo a
uno de dos sumandos). Ello afecta relativamente poco a las piezas
armadas con cuantías grandes o medias, como es el caso de vigas y
soportes, pero afecta mucho a las piezas que, por tener grandes
dimensiones, resultan armadas con cuantías mínimas, como es el caso
de losas, muros, zapatas y encepados. En estas piezas, la aplicación
estricta de la EHE a la hora de cumplir con el estado límite de
agotamiento por esfuerzo cortante suele conducir a unas dimensiones
Temo 10. Dimensionamiento de zapatos aisladas con carga centrada

de secciones muy exageradas, dado el bajo valor que resulta para la
resistencia del hormigón a cortante
4
.
Digamos finalmente que el Eurocódigo emplea para f cv una fórmula
cuya estructura tiene dos sumandos en vez de uno solo como en la
EHE. Esta fórmula, parecida a la de la antigua EH-91, es la siguiente:
f cv = 0,17 • /; • (1,2 + 40 •Pi • f ck) l/J • f ct,k o,os
y en ella, como puede verse, la fcv no se anula para un valor cero de
p1 , por lo que resulta más ventajosa que la fórmula de la EHE en casos
de pequeñas cuantías.
(Los significados de s y de f ce, 1t. 0, 05, así como una tabla de valores de
f cv según el Eurocódigo, pueden encontrarse en el MMM).
10.5.
EJEMPLO DE
DIMENSIONAMIENTO DE
UNA ZAPATA AISLADA CON
CARGA CENTRADA
{Este ejemplo es continuación del que iniciamos en el apartado 9. 5)
10.5.l. Comprobación de la
presión sobre el terreno
El peso de la zapata valdrá:
P = 25 ·a ·b·h= 110 kN
La presión sobre el terreno resultará:
N+P
cr = = 160 kN/m
2
= craclm
a · b
' Una forma de resolver la paradoja sería añadir a la fórmula de fcv la indicación "con
Pi no menor que..."

10.5.2. Cálculo o flexión y cortante
La zapata es flexible, ya que v /h = 2, 21 > 2. A continuación se
calculan las armaduras principales en la dirección a, que es la del vuelo
mayor.
l'vlomentoflector ~ = lhcrt·b (v+ 0,15a0 } = 517m·kN
Momento reducido µ=Md/(fca · b·d2 ) = 0,0420
Cuantía mecánica ro = µ (1 + µ) =o, 043 8
Capacidad mecánica u =(1) • f ea · b • d = 8 3 9 kN
Área de armadura As= u/ fya = 19 ,29 cm2
Cuantía g.eométrica p =As/ (b •d) = O, 00174 < Pmin =O, 0018
Área de armadura
Cortante actuante
Resistencia virtual
Cortante último
As= Pmin·b•d = 20,7 cm 2
=>11016=
22, 11 cm2
Vª = cr. -'b (v - d ) = 363 kN
fcv = O/ 12 S (1 OO•p • fck) l/l = O, 316
N/nun:2 = 316 kN/m2
Vcu = fvd • b • d = 3 6 4 kN
Por tanto, la comprobación a cortante resulta satisfecha para el canto
recomendado. En la dirección más corta no es necesario calcular,
bastando la cuantía geométrica mínima. El área de armaduras en dicha
dirección será As = Pmin • a • d = 4 O, 3 cm 2
que se disponen en 2 00
16. La comprobación a punzonamiento tampoco es necesaria.
La armadura paralela al lado mayor a se distribuye uniformemente. De
la armadura paralela al lado menor b, una fracción 2b/ (a+ b) = 67%,
igual a 14016, se dispone en la parte central de anchura 1, Bo m; del
resto, se disponen 301 6 en cada banda Lateral (figura 10.5).
Temo 1.0. Dimensionamiento de zapatas aisladas con carga centrada

~ :! -........~
.
. .....
-o .....
r ....
r •
l
¡tJ ....
J-- ~
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
1 1
- b= l.80.-n-
1
h
_j
l0.5.3. 1
1301sr ,~~~6~301sr.
1-·
1.80m
Jd • 0,64m
'' -- a = 3.SOrn - - -'
a,,= 0.40m
i ¡
--
- -0.60m
LJ
I __.....
-
Figura 10.5. Armaduras de la zapata del ejemplo
Comprobación de los
anclajes
247
k
h - º·7.0m
Como la zapata es flexible, las longitudes de anclaje se contarán a
partir de una distanciad =o, 64 m de la sección 1 (ver figura 10.5).
De acuerdo con el apartado 6.3 del Tomo 1, la longitud de anclaje recto,
en posición I , es lb= o, 40 m para 016, que cabe perfectamente sin
necesidad de doblar.
Respecto a la armadura en espera, si se disponen 402 o como en el
soporte, la longitud de anclaje es l b = o, 60 m, que caben en la zapata.
Si no hubiesen cabido por falta de canto en la zapata, la armadura en
espera habría debido formarse co.n 8016 cuya longitud de anclaje es
lb, neto = o, 31 m, perfectamente aceptable
5
. Por último, la longitud de
solapo correspondiente a las barras 02 o del soporte es
lo : J_b = ot 6 QID.
5
Recuérdese que para barras en compresión fa longitud neta de anclaje es lb, neto = lb·
A:IAs, 'ª°' ,(O,6 · lb it1O0 ,( 15 cm.
Tema 1O. Dimensionamiento d e zapatas aisladas con carga centrada

248 '
,
BIBLIOGRAFIA
Barcelona 2000. Capítulo 23 "Cimentaciones de hormigón armado",
páginas 467 a 482.
por lntemac, 4ª edición, Madrid, 2000.
Tema 10. Dimensionamiento de zapatasaisladas con c arga centrada

1. Justificar el valor de la tracción Tdque figura en el apartado 10.1.
2. Deducir el valor de Td del ejerc1c10 anterior por igualdad de
momentos en la figura 10.1. ¿Qué valor hay que tomar para el
brazo mecánico si se quiere obtener el mismo valor de Td?
3. Encontrar una figura en la EHE en la que se acote el valor del
brazo mecánico de una zapata. ¿Qué valor es ese?
4. Una zapata de 60 cm de canto total recibe un pilar armado con
redondos del 25 de acero B 400 S. Diseñar las armaduras en
espera de la zapata, sabiendo que su hormigón es un HA-25.
Tema 1O. Dimensionamiento de zapatas aisladas con carga centrada

1. Este valor se deduce inmediatamente del valor dado para Td en el
artículo 59.4.1.1 de la EHE, sin más que hacer
Riel = N/2 y X1 = a/4
2. En la figura 1O. 1, si tomamos momentos respecto al punto A
resulta que el momento de las fuerzas exteriores vale:
(Ncl/2) • (a/4) - (Ncl/2) • (ao/4) = (Ncl/8) • ( a - a o)
y este momento debe estar equilibrado por el que proporciona el
tirante, que vale Td • B siendo B el brazo del par interno. Para
obtener la misma fórmula del apartado 10.1 el valor SB debe ser
igual a 6, Sd, lo que significa que hay que considerar un brazo
mecánico igual a o, 8 Sd.
3. Se trata de la figura 59.4.2.1.1.2.b en la cual se acota el valor
o, 85h para el brazo mecánico.
4. La longitud de anclaje por prolongación recta de un redondo del
25 en un hormigón HA-25 vale 12 · 2 , 52
= 7-5 cm (que
comprobamos es mayor que 20 •2, s = so cm) los cuales no
caben en la zapata. Por consiguiente, debemos usar barras de
menor diámetro. Un redondo del 20 tiene una longitud de anclaje
de 12 • 22
=48 cm (mayor que 20 · 2 = 40 cm) que sí caben en la
zapata.
Como 102s = 102o + 1016, por cada redondo del 25
dispondremos uno del 20 y otro del 16, cuidando de que no
queden los tres alineados. En cuanto a la longitud del solape,
debe ser la correspondiente al 025, es decir, 75 cm. Resulta así
la disposición de la figura 1O.6.
Tema 10. Dimensionamiento de zapatas aisladas c on carga centrada

A
1I'" - - - ·
75 cni ~ -:;>
~
-(:
016
020
025
Figura 10.6. Armaduras en espera

11.1.
11.1.1 .
ZAPATAS CORRIDAS,,
DE M EDIANERIA Y
DE ESQUINA.
ZAPATAS CORRIDAS.
GENERALIDADES SOBRE
ZAPATAS DE MEDIANERÍA.
'
ZAPATAS DE MEDIANERIA
CON TIRANTE.
ZAPATAS DE MEDIANERÍA
CON VIGA CENTRADORA.
ZAPATAS DE ESQUINA.
ZAPATAS CONTINUAS
BAJO PILARES.
ZAPATAS CORRIDAS
Introducción
Se llaman zapatas corridas las zapatas continuas que reciben una
carga lineal (generalmente de un muro) y, eventualmente, un momento
flector transmitido por el muro.
El estudio de estas zapatas se efectúa por unidad de longitud. Todas
las definiciones, notaciones y cálculos utilizados para zapatas aisladas
Temo 11. Zapatas corridas, de medianería y de esquina

•
en los Temas 9 y 10 son aplicables a las zapatas corridas, con la
consiguiente adaptación.
11 .1.2. Predimensionamiento
El ancho a de la zapata se deduce de la tensión admisible ª•dm del
terreno. Para distribución uniforme resulta:
N+P
a =
a,,dm
donde N es la carga de servicio por unidad de longitud de muro y P el
peso unitario que, para tanteos, puede suponerse igual a o, 10 N. Para
los cálculos estructurales se prescinde de P, es decir, se considera
como tensión del terreno crt el valor:
N
a
Por razones económicas, el canto se elige de forma que no sea
necesaria armadura de cortante. Para ello se recomienda tomar el
mismo valor que ya vimos en el apartado 9.4.3 para las zapatas
aisladas, es decir:
siendo:
d -
l,l<Jt
v-1:.0,24 m
crt + 370
Nd /a presión uniforme del terreno sobre la zapata
(kN/m2
);
Nd axil mayorado transmitido por el muro a la zapata, por
metro lineal (kN/m);
v = (a- a0 ) / 2 vuelo de la zapata (m);
a ancho de la zapata;
ªº ancho del muro,
Tema l l . Zapatas corridas, de medianería y de esquina

ya que este canto recomendado está muy cercano al óptimo y permite
evitar, en la mayoría de los casos, la comprobación de cortante.
11.1.3. Armaduras en zapatas
rígidas
En las zapatas rígidas, o sea, en aquellas en que sea v < 2h, la
capacidad mecánica de la armadura principal de tracción vendrá dada
por la expresión:
N
= d (a - a ) = A · f'd
6,8d o s -y
con f yd ~ 4oo N/mm2 y siendo el significado de las variables el
representado en la figura 11. 1.
1 1
h d
L_b l. ..
- V< 2h ..-
• 1 , , 'J
0,15a0
1 1 1 1
V> 2h
IA B
~
1
>- d -
1
1
1
1
1
!•1 1 •1
IA
Figura 11.1. Zapata corrida rlglda (izquierda) y flexible (derecha)
1 J
Esta armadura debe disponerse sin reducción de sección en toda la
longitud de la zapata y anclarse con especial cuidado por las razones
indicadas para las zapatas rígidas aisladas. Las cuantias geométricas
Tema 11. Zap.atas corridas, de medianería y de esquina

256
, ,
Alvaro Garc10 Meseguer
mínimas recomendadas por el MMM que, como ya se dijo, suelen ser
determinantes, son las siguientes:
l 11.1.4.
p ~ o, 0020 para acero B 400 S
p ;:::: o, 0018 para acero B 500 S
Armaduras en zapatas
flexibles
En las zapatas flexibles, la armadura de tracción se determína en la
s.ección A-A situada a o, 15 • a0 del paramento del muro de hormigón
(figura 11.1) 6
• El momento por unidad de longitud es:
( )
2
Na a - a 0 ·
Ma = - + 0,15 · a 0
2a 2
a partir del cual se determina la armadura de la sección de canto d y
ancho unidad. Sobre la armadura principal y perpendicularmente a ella
(paralelamente al muro) se dispondrá otra de reparto ho menor que el
20 por 100 de la principal.
11 .1.5. Comprobación a cortante
y punzonamiento
La comprobación a cortante sólo es necesaria para las zapatas
flexibles. De acuerdo con la EHE se toma como sección de referenci.a la
B-B (figura 11.1), separada d del paramento del muro. Debe verificarse:
tomándose como resistencia virtual del hormigón a cortante el mismo
valor indicado en el apartado 1.0.2.2 para zapatas aisladas.
6
Si el muro es de ladrillo o mampostería, la sección A-A se toma a una distancia
0,25 · ao del paramento.
Tema 1T. Zapatas corridas, de medianería y de esquina

La comprobación a punzonamiento no es necesaria para zapatas
continuas bajo muro.
11.1.6. Anclaje de las armaduras
Las comprobaciones de anclaje son análogas a las indicadas para las
zapatas individuales en el apartado 10.3.
11 .2.
GENERALIDADES SOBRE
Cuando se disponen soportes en las lindes de un edificio con su
medianero, surge la necesidad de emplear zapatas excéntricas, que se
denominan zapatas de medíanerla; en ellas la distribución de tensiones
sobre el terreno no puede considerarse uniforme, por lo que la zapata
tiende a girar e introduce unas acciones horizontales T en la estructura
y sobre el terreno (figura 11.2).
1 1
~--- T '
' a
1
1
1
·- e -¡
jJJY
Figura 11.2. Zapata de medianería
La solución para estos casos suele consistir en disponer un tirante
embebido en el forjado (o bien, cuando no hay forjado, en el nivel de
cara superior de la zapata); pero si las cargas son importantes, es
preferible recurrir a la solución de viga centradora. Ambas soluciones se
estudian a continuación.
Tema 11. Zapatas corridas, de medianería y de esquina

11 .3.
CON TIRANTE
11 .3.1. Estudio de solicitaciones y
dimensionamiento del
tirante
El par de fuerzas originado por el giro de la zapata se absorbe mediante
un tirante embebido en el forjado (figura 11.3) y el rozamiento del
terreno con la zapata Esta solucrón se recomienda para cargas
pequeñas y en ella puede admitirse, a efectos d.e cálculo, una
distribución uniforme de presiones sobre el terreno.
A
0
v l
..L
• -
T
R' =N + P l
N
-
p
h
TI
1 1
Jllllll
L~I~f~IJ
L~1-1
1
- l 1
~ªº_i·_b_º---' _r
Figura 11.3. Zapata de medianerla con tirante embebido en el forjado
Tema 11. Zapatos corridas, de medianería y de esquina

Al tomar momentos respecto al punto oresulta:
de donde:
En la viga de forjado será necesario disponer una armadura
suplementaria de tracción, de capacidad mecánica u igual a:
u =
ª1 - ªoN
d 2 (l + h)
la cual deberá prolongarse
considerarse rígidos.
hasta anclarse en puntos que puedan
En cuanto a la zapata, se
indicado en el apartado 9. 2:
comprobará a deslizamiento según lo
• Para suelos sin cohesión (arenas):
2
(N + P)tan- <p >y. T
3
• Para suelos cohesivos (arcillas)
0,5 · a · b · e > y · T
En estas fórmulas <¡> es el ángulo de rozamiento interno del suelo, e su
cohesión y run coeficiente de seguridad que suele tomarse entre 1,5 y
1,8.
El inconveniente de esta solución es que aparece un momento flector
adicional en el soporte, de valor en el pie igual a:
~4 = T · 1
el cual viene a sumarse a los momentos que ya tuviera por el trabajo
general de la estructura.

260
,
Alvaro Gorcía Meseguer
Con objeto de-disminuir este momento es conveniente adoptar valores
pequeños para el ancho a1 de la zapata y valores grandes para su
canto h, así como para el canto a 0 del soporte. En general, las
dimensiones ó.ptimas se obtienen con valores aproximadamente iguales
de ª1yb.
Cuando no existe forjado superior, el tirante pi.Jede disponerse en la
cara superior de la zapata (figura 11.4). Si llamamos ht al espesor del
tirante, el valor de T será en este caso:
T =
Todas la soluciones a base de tirante exigen un giro previo de la za.pata
para que entre en carga el tirante, lo que significa otro inconveniente de
estos métodos.
11 .3.2.
_ --..T,_,_·=f ht
L..__ _ _ ___, __ r'--Jh - ht
Figura 11.4. Zapata con.tirante
zapata
En planta, la zapata se dhnensiona, co·mo en todos los casos, a partir
de la tensión admisible º'"dmdel terreno:
Tema 11. Zcpatas.corridos. de medianería y de esquino

Para los cálculos estructurales, como siempre, el peso propio de la
zapata no cuenta:
cr =t
Para el cálculo a flexión se considera una viga en voladizo A' B 1
e • D • (ver figura 11.5), empotrada en el soporte, con vuelo a1 - a0,
canto h y ancho b 0 + 2d. En esta viga apoya la losa ABCD. La armadura
principal de la viga virtual, A1, se puede determinar a partir del
momento:
....
ªº --1 d 1 A B
V
A' ----------
Bl~
Ti b1 bo b0 + 2d
A, A2
1 1--r
r¿ld h ªº_ ./ .
:::LJ D' ---------
ª1 ! o¡
ª1
¡e
Figura 11.5. Cálculo a flexión de una zapata de medianería
correspondiente a la sección a haces del soporte, despreciando el
efecto favorable de la acción tangencial del terreno. La armadura A1
resultante se distribuye uniformemente en el ancho B •e•.
En cuanto a la losa ABCD, se supone formada por dos vola.dizos de
ancho a1 y vuelo b 1 /2. El momento flector máximo es:
Tema 11 . Zapatas corridas, de medianería y de esquina

y de él se deduce la armadura A2 que se dispone uniformemente
repartida en todo el ancho a1 . Las zonas ABA 1 B • y ene• n • se arman
con una armadura de reparto paralela al lado a1 y de valor ígual al 20º/o
de A2 .
El cálculo a esfuerzo cortante de la zapata se efectúa (figura 11.6) en
las dos secciones AA, BB separadas un canto útil de las caras del pilar,
tomando como resistencia virtual del hormigón a cortante el valor f va·
B
A 1 A--------- ---
d ld 1
B
Figura 11.6. Cálculo a esfuerzo cortante
11 .3.3. Anclaje de las armaduras
Tiene especial interés el estudio del anclaje de la armadura de la viga
virtual en el extremo correspondiente al soporte (figura 11. 7). En el
extremo A se trata del caso general. En el extremo B la armadura de la
viga virtual debe solaparse con la armadura en espera una longitud 11
igual a la de anclaje de la más gruesa de las barras. En cuanto al
solape con las barras del pilar, las de tracción necesitan una longitud
doble que las de compresión, ya que se está solapando el 100°/o de la
armadura (ver artículo 66.6.2 de la EHE).
Tema 11 . Zapatas corridas. de medianería y de esquina

B A
Figura 11.7. Anclaje de barras (Tomada de Calavera)
,
11 .4.
ZAPATAS DE MEDIANERIA
CON VIGA CENTRADORA
j 11.4.1. Descripción de la solución
Si se une la zapata del soporte de fachada con la correspondiente al
soporte inmediato interior, mediante una viga de gran rigidez, puede
conseguirse una distribución uniforme para las tensiones del terreno
(figura 11.8).
Como la rigidez de esta cimentación es muy grande respecto a las
correspondientes a los soportes, puede admitirse que está apoyada en
1.os mismos. Si N1 y N2 son las cargas de servicio transmitidas por los
•

soportes, y P1, P2 , los pesos propios de la cimentación, las resultantes
de las reacciones del terreno, R1 y R2, se determinan mediante las
ecuaciones de equilibrio de esfuerzos:
R
,
1 -
e
R~ = ~2 + P2 - Ni - --
1 - e
Para que el problema tenga solución es necesario que R 1
2 > opues, en
caso contrario, la viga centradora podría levantar el soporte interior.
El empleo de una viga centradora tiene la ventaja, sobre el empleo de
un tirante, de que no produce momentos flectores en los soportes. Por
ello, esta solución es la más adecuada en el ·caso de cargas
importantes.
~f
•••••• l l 1!111111
¡ e 'R,
•
bo
ªº
1
1
l
f P2
- 1,
l
1
!
$
._¡_ _ª__,2,___i
Figura 11.8. Zapata de medianería con viga centradora

11 .4.2. Dimensionamiento y
cálculo de Ja viga
265
El canto de las zapatas y el de la viga deben fijarse con valores
elevados para dar rigidez al conjunto. Las dimensiones en planta de las
zapatas se obtienen a partir de la crac1m del terreno:
R'1
< ()adm
R'
R , 2 <
- ()adm
ª2 . b 2
procediendo por tanteos, ya que el peso propio no es conocido
inicialmente.
Para el cálculo estructural y como siempre, se prescinde del peso
propio del hormigón. Resultan así como tensiones del terreno:
R
(J = l
t,l b
ª1 . l
con :
y
y
e
R 2 = N2 - Ni - -
1 - e
El esquema estructural para el cálculo de la viga centradora aparece en
la figura 11.9: viga apoyada en los soportes, recibiendo dos cargas
uniformemente repartidas de longitudes a1 y a 2 , cuyas resultantes
respectivas valen R1 y R2 , siendo N1 y N2 las reacciones en los apoyos.
En el caso más frecuente en que el canto de la viga no supera al de las
zapatas, el armado de la viga se efectúa para la sección A de unión con
la zapata de medianería, sección en la cual el momento y el cortante
valen:
Tema 11 . Zapatas corridas, de media nería y d e esquina

266
N,
l N,
1
1
1 e•
'
•
1
A
t
R1= R;- P1 = N 1
.
1
x i
"'1
e,
2,
1 + a012-a1
1
1 - '- e
,
t
N1
111 11111 11 1 1
Rz =N2
l ª2 1
-~-·
...., i ..,,..-
!"1
1
1
-~---1
--
o
- N, l ~
_ -e
Figura 11.9. Cálculo de la viga centradora de la figura 11.8·
En efecto, otras secciones con mayores momento y cortante tienen
dimensiones mucho mayores y están, por ello, en mejores condiciones.
Piénsese, de forma intuitiva y simplificada (figura 11.1O) que el
momento N1 • e en la zapata se transmite a la viga central.
1
/vi
(
Sección _cr(tica A
Si N1=R,sería M =N 1· e,
como N.1 < R1 el valor de
M decrece hacia la viga
y es máximo e·n 'A.
Figura 11.10. Sección crítica de la viga centradora
Tema 1.1. Zapatas corrid·as, de medianería y de esqvina

11 .4.3. Cálculo de las zapatas
La zapata interior recibe carga uniforme y centrada, por lo que su
cálculo es el mismo indicado para las zapatas aisladas (temas 9 y 10),
considerando como acción unitaria del terreno el valor:
En cuanto a la zapata de medianería, puede admitirse que está
apoyada en la viga centradora, por lo que el cálculo a flexión y a
cortante resulta idéntico al caso de zapatas continuas bajo muro o
zapatas corridas (ver apartado 11. 1).
11 .5.
ZAPATAS DE ESQUINA
En general, la mejor solución para resolver una zapata de esquina se
consigue disponiendo dos vigas centradoras (una en cada dirección)
que la unan a sus dos zapatas adyacentes. Las otras soluciones
posibles, a base de tirantes, provocan flexión esviada en el pilar de
esquina. Conviene añadir, no obstante, que cuando existen muros de
sótano arriostrando el pilar de esquina, el problema se alivia
considerablemente.
11.6.
ZAPATAS CONTINUAS BAJO
PILARES
Su tratamiento es diferente según el número de pilares.
Tema 11. Zapatas corridas. de medianerla y de esquina

268
¡ 11.6.1.
Caso de dos pilares
(zapatas combinadas)
En el caso de una zapata común a dos soportes, denominada zapata
combinada, la superficie de cimentación suele ser rectangular y se
dimensiona de forma que su centro de gravedad coincida con el punto
de paso de la resultante de las cargas de los soportes. La sección
transversal de estas zapatas puede ser rectangular o en T invertida
(figura 11.11.a y b) recomendándose la primera solución por más
sencilla. En ambos casos se adopta un canto suficientemente grande
para dar rigidez al conjunto y poder admitir la hipótesis de distribución
rectangular de la tensión sobre el terreno.
Las dimensiones en planta de la zapata se determinan por tanteos,
entrando con un peso propio inicial del orden del 10°/o de la carga total
N1 + N2 transmitida por los soportes.
La armadura longitudinal de flexión se determina considerando la
zapata como una viga apoyada en los dos soportes, con dos voladizos,
sometida a la carga del terreno:
debiéndose distribuir uniformemente la armadura resultante en todo el
ancho b de la zapata.
La armadura transversal de flexión, paralela al borde b , se determina
considerando dos voladizos de vuelo b / 2 sometidos a la carga del
terreno crt, con lo que resulta un momento ~ igual a:
b
Md = - (N1d + N2d)
8
La armadura total correspondiente a este momento se dispone
concentrada en dos bandas bajo los soportes de ancho igual a b con
las limitaciones:
Soporte 1: b </:. a0 + 2h
Soporte 2: b </:. a'0 +2h
Tema 11 . Zapatas corridas, de medianería y d e esquina

r.J..[. J
a-- - - -- (a)
1 1 1
1
-$
1 1
~
1
1 1 1 1.
1 1 1
1
1_. ª o ~ ...J 9o¡,__
1 1 1 1
.b
_J
..... b .j: a0
+ 2h .- ..... b <!: a'0
+ 2h .-
- --- - a (b)
b
L._____ _
Figura 11.11. Zapata combinada
en tanto que en las tres bandas restantes, si las hay, se dispone un
20°/o de la armadura longitudinal. Pero si se trata de una sección en T
invertida (figura 11.11.b), la armadura transversal de flexión se
determina como en el caso de zapatas continuas bajo muro (apartado
11.1.3) y se dispone uniformemente repartida en toda la longitud a .
Tema 11. Zapatas corridas. d e media nería y de esquina

270
, .Alvaro Garc1a Meseguer
La comprobación a cortante se efectúa exactamente igual que en las
vigas, siendo necesario disponer siempre estribos, aunque sean los
mínimos.
11 .6.2. Coso de tres o más pilares
En este caso, las armaduras longitudinales se determinan asimilando la
zapata a una viga flotante (ver apartado 9.3.3). Las armaduras
transversales de flexión y la de esfuerzo cortante se determinan como
en el caso de dos pilares (apartado 11.6.1).
Conviene advertir que es incorrecto calcular estas zapatas como vigas
continuas invertidas, apoyadas en los pilares y sometidas a la carga del
terreno. La razón es que tal hipótesis exige que no haya descensos
diferenciales en los apoyos, es decir, que los pilares no puedan resultar
desnivelados, lo cual no será cierto en general. Prueba de ello es que,
al calcular como viga continua, se obtienen reacciones en los apoyos
que no coinciden con las cargas conocidas que ellos transmiten.
BIBLIOGRAFÍA
Barcelona 2000. Capítulo 23 "Cimentaciones de hormigón armado".
por lntemac, 4ª edición, Madrid, 2000.

•
1. Se cimenta un muro de hormigón de o, 2 om de ancho mediante
una zapata corrida, sobre un terreno cuya tensión admisible es de
o, 2 N/mm2
• El muro transmite una carga de 400 kN por metro
lineal. Dimensionar la zapata con HA-25 y B 400 S.
2. Se diseña una zapata de medianería con tirante a nivel de cara
superior de zapata. El cálculo del tirante exige una armadura de
402-0, acero B 400 S. ¿Cómo se materializa esta solución?
3. Un soporte de medianería cae en una zona de terreno en la que.,
por existir un elemento enterrado, no es posible situar una zapata
excéntrica como las estudiadas en el apartado 11.2. .¿Qué
solución puede emplearse?
4. Los soportes de una nave de una sola crujía caen en dos
medianerías enfrentadas y paralelas. ¿Qué solución puede
emplearse para cimentarlos?
Tema 11. Zapatas corridds, de medianería y de esquina

272 Álvalo García Meseguer
SOLUCíÓN A LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN
1.
0,20
V
1
• 1 1
• 1
• 1 1
a
Figura 11.12.
La tensión admisible del terreno vale
Tanteamos el ancho de la zapata tomando:
l,lN
a= - -
(Jadm
440
200
= 2,20 m
h
-
Elegimos el canto por la fórmula: d = l,lcrt <0,24 m
O't + 370
1,1 . 200
y resu.lta d = · = 0,4 o m Tomamos h = 0,45 m
570
Veamos ahora si bajo el peso propio real se sobrepasa la cradm· El
peso propio por m vale 24 • 22 ·o, 45 =23, 8 kN que es menor
que los 40 kN (el 10º/o de N) que habíamos supuesto, luego vale.
La tensión del terreno actuante para cálculos estructurales vale:
N 400 I 2
crt = - = = 182 kN m
a 2,2
Tema 11. Zapatas corridas. de medianería y de esquina

,
El momento flector mayorado vale:
1,6 . 40 o ( )2Md = 1 + 0,15 · 0,2 = 145,5 . 1,03 2
- 154,4 kNm
4,4
que actúa en una sección b =1., oom, d = o, 4 om.
La armadura U0 (escalas funcionales, MMM) vale 400 kN, que
distribuimos en 6016.
La armadura de reparto serán so kN (el 20o/o de la anterior) que
distribuimos en 3010.
La longitud de anclaje de 1016 vale l b = 1 2 · 1, 62
= 31 cm.
Como es v > h basta con anclar a partir de la sección que dista
un canto de la cara del muro; y como
0,40 + 0,31 = 0,71<V = 1,00m
no hay que doblar armadura y basta con llevarla hasta los
extremos .
2. Ver figura 11.13. La armadura del tirante debe anclarse a partir de
la sección B, a ejes del soporte. Debe llevar cercos a separación
no mayor de o, 7 5 veces su menor sección transversal, ni mayor
de 30 cm.
b 4020
I A
~- / 'l
_/ . h,
~~
1 SECCIÓN A-A'
~ l l l l l l l l l! l l l l l l l l l l l l l I ~
1
•
1A'
B
Figura. 11.13. Zapata con tirante
Tema 11 . Zapatas corridas, de medianería y de esquina

274
. . .
Si es posible, el tirante debe hormigonarse después de construida
la estructura, para que la barras hayan tomado la mayor
deformación posible antes de hormigonar y mejorar asf las
condiciones de fisuración.
3. Puede disponerse una zapata retranqueada y una viga en
voladizo, ancl.ada en el extremo opuesto, para recibir al soporte
(ver figura 11. 14).
Fígura 11.14. Zapata retranqueada
4. Una solución sencilla consiste en disponer una zapata córrida con
vo.ladizos (ver figura11.5).
También se pueden disponer, para cada par de soportes
enfrentados, dos zapatas excéntricas con tirante embebido en el
forjado que 1.as equilibra mutuamente.
1
.
t t t t t t lt t
Figura 11.15. Zapata con voladizos
Tema 11. Zqpatas corridas, de mediahería y de esquina

PILOTAJES.
GENERALIDADES.
ENCEPADOS.
CÁLCULO DE PILOTES.
CÁLCULO DE ENCEPADOS.
VIGAS DE ARRIOSTRAMIENTO.
12.1 .
GENERALIDADES
Un pilotaje es una cimentación constituida por una zapata o encepado
que se apoya sobre un grupo de pilotes. los cuales se introducen
profundamente en el terreno para transmitir su carga al mismo. Como
ya dijimos, los pilotajes se emplean cuando el terreno resistente está a
profundidades mayores de los s ó 6 m; cuando el terreno es poco
consistente hasta una gran profundidad; cuando existe gran cantidad de
agua en el mismo; y cuando hay que resistir acciones horizontales de
cierta importancia.
Tema 12. Pilotajes

276
•
Los principales tipos de pilotes de hormigón son los siguientes:
• pilotes prefabricados (figura 12.1.a), que se hincan en el terreno
mediante máquinas del tipo martillo. Son relativamente caros, ya que
deben ir fuertemente armados para resistir los esfuerzos que se
producen en su transporte, izado e hinca. Pueden originar
perturbaciones en el terreno y en estructuras próximas durante su
hinca. Tienen la ventaja de que la hinca constituye una buena prueba
de carga.
• pilotes moldeados in situ (figura 12.1.b), en perforaciones
practicadas previamente mediante sondas de tipo rotativo.
Generalmente son de mayor diámetro que los prefabricados y
resisten mayores cargas.
• pilotes mixtos, realizados a partir de una perforación que se
ensancha posteriormente inyectando hormigón a presión; o hincando
pilotes prefabricados de mayor sección que la perforación.
A
B B
A - A
6 - B
(a) (b)
Figura 12.1. Pilote prefabricado (a) y pilote in sftu (b} (Tomada del MMM)
Tema 12. Pilotajes

,
- ORMIGON ARMADO. Elementosestructurales 277
Por su forma de trabajo, los pilotes se pueden clasificar en pilotes
columna, en los que la punta se apoya en el terreno firme (arena
compacta, grava, arcilla dura, roca, etc.) y trabajan predominantemente
por punta, y pilotes flotantes, que son los que se apoyan en limos o
arcillas fluidas y trabajan, predominantemente, por rozamiento lateral
del fuste. En general, la capacidad de carga de un pilote es la suma de
su resistencia de punta y su resistencia por rozamiento.
Existe un gran número de sistemas de ejecución y de variantes en cada
uno de ellos, la mayor parte sujetos a patente y construidos por
empresas especializadas que, normalmente, se encargan del proyecto
del pilotaje. La EHE dedica a los pilotes un artículo muy breve, el 59.6.
12.2.
ENCEPADOS
Los encepados o zapatas sobre pilotes son piezas prismáticas de
hormigón armado que transmiten y reparten la carga de los soportes o
muros a los grupos de pilotes. Como en la actualidad se emplean
generalmente pilotes de diámetro grande, por razones económicas, el
número de pilotes por cada encepado no suele ser muy elevado (figura
12.2).
1 1
-$-
1 1
(a)
(e)
(d)
Figura 12.2. Encepados con uno, dos, tres y cuatro pUotes:
(a,b) con vigas centradoras; (e) isostático; (el) hiperestático.
Tem o 12. Pilotajes
(b)

Es conveniente arrio.strar debidamente los distintos encepados de una
cimentación; en el caso de uno o dos pilotes es imprescindible disponer
vigas centn:;idoras encargadas de absorber tanto las excentricidades
accidentales como los momentos del pie del soporte. Estas vigas se
tratan más adelante, en el apartado 12.5.2.
El número de pilotes bajo cada encepado viene fijado por
consideraciones resistentes. Como número mínimo debe adoptarse tres
para encepados aislados que soportan un pilar; si están arrio.strados
transversalmente puede bajarse a dos. De este número no se bajará
salvo para pilares poco importantes y sometidos a cargas reducidas, a
los que se deberá arriostrar en dos d.irecciones ortog.onales.
Análogamente, un encepado continuo deberá apoyarse en dos filas de
pilotes, salvo si está debidamente arriostrado. Las vigas riostras
deberán absorber las solicitaciones originadas por las excentricidades
accidentales de los pilotes.
Cuando además de las cargas verticales existan cargas horizontales
que actúen sobre el encepado, deben colocarse pilotes inclinados
capaces de resistirlas. No es necesario tomar esta precaución si las
fuerzas horizontales se deben exclusivamente al viento y no
sobrepasan el 3°/o de las cargas verticales.
Para el cálculo estructural del encepado, se prescinde del peso propio
del encepado siempre que se hormigone directamente sobre el terreno,
por las razones ya expuestas en el apartado 9.1.3.
12.3.
12.3.1 .
,
CALCULO DE PILOTES
Cargas actuantes sobre un
pilote
La carga total que actúa sobre un pilote se obtiene sumando, a la carga
que le transmite el encepado, el peso propio del pilote y el rozamie.nto
negativo, en su caso.
Tema 12. Pilotajes

Los encepados en general transmiten a los pilotes tres tipos de
esfuerzos: axiles, momentos y cortantes. De ellos los axiles son los
esfuerzos o cargas principales, mientras que los momentos y cortantes
son esfuerzos secundarios, por lo general despreciables frente a los
.
primeros.
Para el cálculo de los esfuerzos axi/es que el encepado transmite a
cada pilote suele admitirse, en la práctica, que los pilotes están
biarticulados y que el encepado es infinitamente rígido, lo que simplifica
el cálculo como se verá a continuación.
En el caso de pilotajes isostáticos (figura 12.3), los esfuerzos axiles en
los pilotes se obtienen simplemente descomponiendo la carga F en
vectores que actúan según los ejes de los pilotes.
Figura 12.3. Pilotaje lsostático
Un pilotaje cuyos pilotes sean verticales, sometido a cargas verticales,
es en general hiperestático si tiene más de tres pilotes no alineados
(figura 12.4.a). Si el soporte transmite al encepado un axil y dos
momentos, se puede conocer la distribución de axiles en los pilotes en
base a las siguientes hipótesis:
• El encepado es infinitamente rígido con respecto a los pilotes.
Tema 12. Pilotajes

• Los pilotes están articulados en el encepado, por lo que no toman
momentos.
• Las deformaciones de los pilotes son elásticas y siguen una ley
plana.
• Los pilotes son de la misma sección y longitud.
y r (X., y.)1 1
f J 1 ~ rh i ~
1 •
'_, }
ex 1
1 ~ Fz 1
0
1e.. 1
+ ·-+. ...
º 1
1
T
1 ,
-<;>-
'¡ . .
;~ I
.
~ l '•L1 . p I •
. ~3
. •
~ 2 11 IJ
' "' 1
¡
X
(a) Fuerza y pilotes verticales (b} Fuerza y pilotes inclinados
Figura 12.4. Pilotaje híperestático
Con estas hipótesis (imagínese una pastilla de jabón rectangular sobre
palillos de dientes) el encepado se quiere inclinar hacia el vértice más
cargado y cada pilote toma un axil proporcional a su descenso,
resultando aplicable la Ley de Navier generalizada. Por consiguiente, la
carga en un pilote cualquiera de coordenadas (x1 , Yi) respecto al
centro de gravedad del pilotaje puede hallarse aplicando la siguiente
fórmula, análoga a la de flexión compuesta:
Riz carga en un pilote cualquiera, producida por la carga vertical
Fz;
Tema 12. Pilotajes

F,. carga vertical total (incluyendo el peso del encepado);
excentricidades de dicha carga (figura 12.4.a);
281
Ix= L y~ momento de inercia del pilotaje respecto al eje ox que pasa
por el centro de gravedad;
I y= L x~ momento de inercia del pilotaje respecto al eje oY;
n número de pilotes verticales iguales.
En el caso de que sea necesario resistir, además de la carga vertical F,,1
una fuerza horizontal Fa (figura 12.4.b), bastará con inclinar algunos de
los pilotes un ángulo ~i con respecto a la vertical, de forma que se
cumpla:
Entonces, y suponiendo que el movimiento del encepado como sólido
rígido sea el mismo del caso anterior, los pilotes inclinados tomarán
esfuerzos axiles dados por:
R1¡¡ = R1,. / cos j31
y serán capaces de suministrar las componentes horizontales
necesarias para absorber Fa. Como se comprende fácilmente, para
cargas horizontales de signo variable deben disponerse grupos de
pilotes con inclinaciones opuestas.
12.3.2. Cálculo del pilote
El cálculo geotécnico del pilote consiste en comprobar que su carga
total (esfuerzo principal o axil) no supera su carga admisible.
El cálculo estructural del pilote consiste en su comprobación como
elemento de hormigón armado. Si, como es normal, se desprecian los
esfuerzos secundarios (momentos y cortantes) transmitidos por el
encepado, el cálculo de los pilotes se efectúa como el de los soportes
Tema 12. Pilota jes

282
, ,
con carga centrada, si bien el artículo 59.6 de la EHE obliga a
considerar una excentricidad mínima. La razón es que, en la práctica,
es lógico suponer que aparecerán unas ciertas excentricidades, tanto
en la implantación del pilote sobre el encepado como en el trazado del
propio pilote (excentricidad de hinca o de ejecución in situ), salvo en los
casos en que exista una viga centradora (ver apartado 12.5.2). Para
ésa excentricidad Calavera recomienda tomar los siguientes valores:
5 cm para obras muy controladas, 1 o cm para obras de tipo medio y
15 cm para obras poco controladas o sin control.
Respecto al posible pandeo, sólo es necesario tenerlo en cuenta en lo.s
pilotes que trabajan por punta. Por otra parte, el terreno constituye un
apoyo elástico a lo largo del pilote que coarta, al menos parcialmente,
sus deformaciones laterales, limitando los efectos de segundo orden.
En terrenos de buena consistencia se admite como longitud de pandeo
1/3 de la longitud enterrada del pilote. Como excentricidad accidental
deben tomarse sin embargo valores relativamente mayores que para
soportes.
La armadura longitudinal de los pilotes normales estará constituida por
no menos de seis barras con diámetro mínimo de 12 mm para los de
sección circular y de cuatro barras para los cuadrados, con una cuantía
geométrica mínima de o, oo5. La armadura transversal debe estar
formada por espirales o cercos dimensionados con los mismos criterios
y limitaciones indicados para los soportes.
12.4.
12.4.1 .
CÁLCULO DE ENCEPADOS
Criterios generales de
diseño
La forma y dimensiones en planta de los encepados dependen del
número de los pilotes, de las dimensiones de éstos y de su separación.
La separación mínima entre ejes de pilotes debe ser de dos veces el
Tema 12. Pilotajes

diámetro de los mismos (1, 7 5 veces la diagonal sí son de sección
cuadrada) y no ménor de 7 5 cm. Esta separación debe mantenerse a lo
largo de todo el pilote, lo cual debe tenerse en cuenta en especial si
existen pilotes inclinados; en cualquier caso, para evitar problemas de
alineación, conviene que la separación no sea inferior a 1/15 de la
longitud de los pilotes.
El canto del encepado se fija, generalmente, por consideraciones
económicas de modo que no necesite armadura de cortante. Como
canto útil que permite evitar en la mayoría de los casos la comprobación
de cortante, el MMM recomienda adoptar el proporcionado en metros
por la expresión:
d = - 0,14 -{_ o1 j4
válida para el caso más frecuente de encepados de dos a seis pilotes
situados simétricamente alrededor de un soporte cuadrado, en la que:
Nª esfuerzo axil transmitido por el soporte en kN;
b ancho del encepado en m (ancho de la sección en la que se
comprobará el cortante).
Conviene advertir que al aplicar esta fórmula suelen encontrarse
valores elevados del canto útil, por l.as razones que se expusieron en el
apartado 10.4.2.
En la figura 12.5 se han indic·ado algunas prescripciones que conviene
tener en cuenta para el diseño de encepados.
12.4.2. Clasificación de los
encepados
Se denominan encepados rígidos aquellos en los que el vuelo v, en
cualquier dirección, no supera el doble del canto total v < 2 h (ver figura
12.5). Por el contrario, se consideran encepados flexibles los que
presentan un vuelo superior a 2 h en alguna dirección.
Temo 12. Pilotajes

284
REBORDE { ~012
. ~ 25cm
""'T
r
ENTREGA{:
REBORDE
•1
1
1
-
10cm
15cm
- -t
~
t-- ---
REBORDE
1
1
1
1
1
1
1V
'
1 VUELO
V
1
•
r
1 1
1 1
1 1
1 {40cmh>
1- 1,5 0
-0.
J
1l {
20
1 >
75cm
-
•
., - b
a
Figura 12.5. Recomendaciones dimensionales para encepados
Como en el caso de zapatas, los encepados rlgidos deben calcularse
aplicando un modelo de bielas y tirantes, mientras que los encepados
flexibles pueden calcularse por la teoría normal de flexión. Además y
como en zapatas, en los cálculos estructurales se prescinde del peso
propio del encepado siempre que éste se hormigone directamente
contra el terreno.
12.4.3. Encepados rígidos sobre
dos pilotes
La EHE trata este caso en su articulo 59.4.1.2.1 y ofrece para el mismo
el modelo de bielas y tirantes de la figura 12.6.
Tema 12. Pilotajes

a) La armadura principal inferior se dimensionará para resistir la
.tracción de cálculo Td (figura 12.6), que viene dada por la expre.sión:
R . (v + 0,2Sa0
)
T = _ d_ _ _ _ _ _ = A · f
d 0,85 d s yd
con fyd -;¡.. 4-0 o N/mm
2
y donde Rd es el axil de cálculo del pilote más
cargado.
v+ 0,25a0
! V 180
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j
10,85d
_J
d
!R, t
11.
"
Figura 12.6. Mode'lo de bielas y tirantes de la EHE
La armadura principal así calculada se colocará, de acuerdo con la
EHE, sin reducir su sección en toda la longitud del encepado, y se
anclará por prolo·ngación recta, en ángulo recto o mediante barras
transversales soldadas, a partir de planos verticales que pasen por el
eje de cada pilote (figura 12.7). El efecto beneficioso en el anclaje de
la compresión vertical del pilote permite reducir en un 20°/o su
longitud de anclaje.
Tema 12. Pilotajes

/
-
Figura 12.7. Anclaje del tirante de Ja figura 12.6, según la EHE
b) La armadura secundaria consistirá en:
• Una armadura longitudinal dispuesta en la cara superior del
encepado y extendida a toda la longitud del mismo, cuya
capacidad mecánica no debe ser inferior al 10°/o de la de la
principal.
• Una armadura horizontal y vertical dispuesta en retícula en las
caras l¡;¡terales. La vertical consistirá en cercos cerrados que aten
a la armadura longitudinal inferior y superior. La horizontal
consistirá en cercos cerrados que aten a la armadura ·vertical
antes descrita (ver figura 59.4.1.2.1 ..2.a de la EHE). La cuantía
geométrica de estas armaduras, referida al área de la sección de
hormigón perpendicular a su dirección, debe ser como mínimo de
o, o04. Si el ancho supera a la mitad del canto, lé! sección de
referencia debe tomarse con un ancho igual a la mitad del canto.
Temd 12. Pilotajes

Si la concentración de armaduras es elevada, conviene aproximar
más, en la zona de anclaje de la armadura principal, los cercos
verticales, para garantizar el zunchado de la armadura principal en
dicha zona de anclaje (ver figura 59.4.1.2.1.2.b de la EHE).
12.4.4. Encepados rígidos sobre
varios pilotes
Este caso está tratado con todo detalle en el artículo 59.4.1.2.2 de la
EHE cuya lectura debe hacerse ahora. He aquí alguna información
complementaria.
a) Armadura principal y secundaria horizontal (apartado 59.4.1.2.2.1 de
la EHE)
Como longitud de anclaje de la armadura principal (que constituye el
tirante en el modelo de bielas y tirantes) puede tomarse o, 8 • lb
siendo lb la correspondiente a barras en posición I y comenzando
a contar a partir del eje del pilote.
Si el número de barras del tirante es tan grande que pediría juntarlas
con espacio libre entre ellas menor de dos diámetros, lo que debe
hacerse es colocar dos o más capas (y no una capa más ancha que
se salga de la cabeza del pilote). Cuando la concentración de
armaduras es muy fuerte, conviene recoger estas barras con
estribos en las zonas de anclaje.
b) Armadura secundaria vertical (apartado 59.4.1.2.2.2 de la EHE)
Esta armadura es, en realidad, una armadura de suspensión,
necesaria cuando las cargas son muy fuertes. En efecto, en estos
casos el trazado de las bielas propicia la aparición de una fisura
como la indicada con 1 en la figura 12.8.a. Veámoslo más despacio.
Cuando existen tres o más pilotes, las bielas de compresión son
espaciales y se dirigen hacia las cabezas de pilotes. Por ello, los
tirantes (armadura principal) deben concentrarse en tales cabezas.
Si se dispone armadura de tirante entre pilotes, una parte de los
esfuerzos de las bielas llega a esa región y presiona al tirante hacia
Tema 12. Pilotajes

288
, ,
abajo, según demuestran los ensayos; eso provoca la fisura indicada
con 1 en la figura 12.B.a y posteriormente una rotura local prematura
(fisuras 2).
Para evitar este fenómeno, tanto más probable cuanto más
separados estén los pilotes entre sí, hay que disponer una armadura
de suspensión que cuelgue el paquete de barras principales en la
zona de vano entre pilotes (figuras 12.8.b y e), con la capacidad
mecánica indicada en el apartado de la EHE que comentamos.
Fisuras 2 ¡ Fisura 1
Sección por I Armadura de
el ilar f suspensión
, __ ª _____. ,
(a) (b)
• Armadura principal
q ~
Armadura de
_¿,"susoensión
~ Malla de reparto
~
m
(e)
Figura 12.8. Armadura de suspensión para evitar empuje al vacío
12.4.5. Encepados flexibles
En ellos se aplica la teoría general de flexión. El cálculo de estos
encepados se rige por el articulo 59.4.2 de la EHE cuyas prescripciones
se indican a continuación.
Tema 12. Pilotajes

a} Cálculo a flexión
El cálculo a flexión de encepados flexibles se hace de forma análoga
a la de las zapatas flexibles (ver apartado 10.2.1). La sección de
referencia 1-1 es vertical, paralela a la cara del soporte o muro y
situada hacia dentro de dicha cara a una distancia de la misma de
o, 15 a0 , siendo a 0 la dimensión del soporte o muro normal a la
sección que se considera (figura 12.9). En ella se obtendrá el
momento flector que servirá para dimensionar la armadura principal
del encepado, de la misma manera que se hacía en zapatas.
ª•
1
1
11
1
i
O,15a0
Rgura 12.9. Sección de referencia para cálculo a flexión, según la EHE
Obtenida la armadura principal, esta armadura se dispondrá en las
bandas que unen los pilotes siguiendo las mismas indicaciones
dadas para el caso de encepados rígidos.
Además de la armadura principal será necesario colocar armaduras
secundarias horizontales y verticales, siguiendo las mismas
indicaciones dadas para encepados rígidos.
b) Cálculo a cortante
Se hace como en las zapatas flexibles (ver apartado 10.2.2). La
sección de referencia 2-2 es vertical, paralela a la cara del soporte o
muro y situada a una distancia de la misma igual al canto útil del
Tema 12. Pilotajes

290
,
AlvarG García Meseguer
encepado. Esta comprobación normalmente no es necesaria para los
encepados cuyo canto útil ha sido predimensionado usando la
fórmula dada en el apartado 12.4. 1.
12.4.6. Armaduras en espera
Tanto en encepados rígidos como en encepados flexibles es necesario
disponer armaduras en espera (figura 12. 1O) para solapar con las del
soporte, debiendo comprobarse tanto la longitud de anclaje 12 como la
de solapo 13 . También será necesario comprobar la longitud de anclaje
11 de las armaduras del pilote que entran en el encepado. Para estas
co·mprobaciones pueden aplicarse las reglas dadas para zapatas en el
apartado 1O.3.
-
'--
12.5.
13
-L- - -
- .
L-
Figura 12.10. Armaduras en esperé}
VIGAS DE
ARRIOSTRAMIENTO
La Instrucción EHE dedica a estos elementos su artículo 59.5 cuyo
contenido es poco relevahte. Lo veremos a continuación con más
detalle.
Tema 12. Pilota¡es

HORMrGÓN ARMADO. Elementos estructurales .291
12.5.1. Vigas de atado
Se emplean para arriostrar las distintas zapatas o encepados de una
cimentación, no siendo su función primaria la de resistir esfuerzos de
flexión. Este arriostramiento es siempre muy conveniente, y obligado
cuando la aceleración sísmica de cálculo (Norma NCSE-94, artículo 2.2)
sea mayor de o, os g .
Estas vigas suelen ser de sección cu.adrada, a · a , con armadura
simétrica y se dimensionan mediante las condiciones:
1
a ;:::. - </:. 2 5 cm
20
(por pandeo)
A • fyd o, os · Nd (en zona sísmica de 2.
0
grado)
A • f~d o, 10 • Nd (en zona sísmica de 3.ªr grado)
A • fyd o, 15 • a 2
• fcd (por fisuración)
en donde 1 es la longitud de la viga, Nd la carga de cálculo del soporte
más cargado de los dos que une la viga, y A la sección total de
armadura. Deben llevar cercos con separación constante que cumplan
las prescripciones de estribos mínimos.
12.5.2. Vigas centradoras de
encepados
Se emplean para absorber los momentos y excentricidades
accidentales en los encepados de uno o dos pilotes (ver figura 12.2. a y
b). Las dimensiones de la sección de estas vigas deben ser:
b ~ l/20 .¡:_ 25 cm, y h ~ 1/12 1:. 40 cm, siendo 1 su longitud.
La armadura suele ser simétrica y se determina para el momento·:
k l
Mid = (Md + Nd . e)
k + k1 2
Tema 12. Pilotajes

siendo kl, la rigidez de la viga en estudio, k 2 la correspondiente a la viga
del otro lado del encepado (si no existe, k 2 = o), Mo. el momento en el
pie del soporte en esa dirección, y e la excentricidad accidental para la
que puede adoptarse e= 10 cm en los casos normales (ver otros
vato·res en el apartado 12.3.2). Para prevenir una eventual fisuración se
recomienda respetar la limitación de cuantía mínima:
A • fyd > 0, 15 • b •h • fcd
en donde A es la sección total de armadura.
Deben disponerse cercos con separación constante, calculados para el
cortante:
M 1d
V = - -
d 1
debiendo cumplirse las condiciones de estribos mínimos.
BIBLIOGRAFÍA
• Hormigón armado por Montoya, Meseguer, Morán. 14ª ed., Gustavo
Gili, Barcelona 2000. Capítulo 23, qpartados 23.8 a 23.1 O.
• Cálculo de estructuras de cimentación por J. Calavera. lntemac,
4ª ed., Madrid 2000.
• Construcciones de hormigón, tomo 3 por F. Leonhardt y E.
Monnig. Editora lnterciencia, Río de Janeiro 1979 (en porlugués).
Tema 12. Pilotajes

1. ¿Qué longitud de pandeo tomaría Vd. para comprobar un pilote
flotante?
2. Un soporte de so • 5 o e.m2
descansa sobre un encepado de dos
pilotes de 55 cm de diámetro y 1, 65 m de separación entre ejes.
El soporte transmite un axil de 4 oo kN. Dimensionar el encepado
empleando un hormigón HA-25. Comprobar después el cortante.
3. ¿Dónde se ubica la sección de referencia para el cálculo a flexión
de encepados flexibles en el caso de pilares metálicos?
4. ¿A qué se debe la reducción de lb a o, s lb en la longitud de
anclaje de las armaduras principales de los encepados?
Tema 12. Pilotajes

294
, ,
Alvaro Garcta Meseguer
1. Los pilotes flotantes no pandean.
2. Aplicamos las recomendaciones de la figura 12.5. Los datos son:
0 = 0,55m l = 1,65m
- El reborde del encepado debe ser no menor de
o, 55 : 2 = o, 27 5 m ni menor de 25 cm. Escogemos 27, 5 cm,
con lo que el ancho del encepado resulta b = 1, 10 metros.
- La entrega de los pilotes debe estar comprendida entre 10 y
15 c:m. Escogemos 12 cm.
- El canto útil vale
d = - 0,14
1,6 . 400 4
- - 0,1 - 1,02 m.
500 . 1,10
Tomamos d = 1, 05myh=1,10 metros.
1
El cortante actuante es - · 1,6 · 400 = 320 kN. La armadura
2
principal resulta menor que la mínima como fácilmente se
comprueba (en estos casos de encepados, con secciones tan
grandes de hormigón, manda siempre la armadura mínima).
Colocamos p = o, 18%. Con estos datos resulta:
~ = 1 + 200 = 1,44
1050
fcv = 0,12 · 1,44. · (O,lB · 2s>X = 0,12 · 1,44 . 'ef4;5 -
= 0,285 N/mm2
= 285 N/mm2
Por consiguiente, el hormigón resiste un cortanta igual a:
285 • l, 05 · l, 10 =329 kN que es mayor de 320 kN. Vale.
Tema 12. Pilotajes

3. Es igual que en el caso de zapatas. En lugar de o, 15ao se toma
la mitad del vuelo de la placa de anclaje del pilar metálico (es
decir, la mitad de la distancia entre la cara del soporte y el borde
de la placa de reparto de acero).
4. A que la armadura se encuentra fuertemente comprimida en
dirección vertical (debido a las bielas de hormigón), lo que es
favorable para la adherencia.
Tema 12. Pilotajes

HORMIGÓN ARMADO. Eleme.nto.s estructurales 297
13.1 .
VIGAS,
EMPARRILLADOS
Y LOSAS DE
CIM.ENTACIÓN.
INTRODUCCIÓN.
,
INTERACCION
SUEL0-ESTRUCTURA.
VIGA DE CIMENTACIÓN BAJO
ESTRUCTURA FLEXIBLE. MODELO
DE LA VIGA FLOTANTE.
EMPARRILLADOS DE
CIMENTACIÓN.
PLACAS DE CIME'NTACIÓN.
INTRODUCCIÓN
Llamamos viga de cimentación ytambién zapata continua o corrida bajo
pilares a la que recibe tres o más pilares. Su sección suele ser•
reotang,ular o en te invertid·a·, como en el caso de zapatas combinadas;
Tema 13. Viga·s, emparrillados y losas de cimentación

Llamamos emparrillado de Cimentación a un sistema de vigas de
cimentación en dos direcciones, formando retícula ortogonal.
Tanto las vigas como los emparrillados, así como las losas, son
cimentaciones contin.uas que presentan la ventaja de ser menos
sensibles que las zapatas aisladas a posibles defectos locales (por
ejemplo, oquedades) del terreno.
El cálculo de cimentaciones continuas es complejo. Daremos aquí tan
sólo las nociones más importantes, remitiendo a la literatura
especializada para cuando sean necesarias aplicaciones concretas. En
particular, recomendamos el libro de Calavera citado en la bibliograffa
13.2.
13.2.1.
INTERACCIÓN
SUELO-EST.RUCTURA
Generalidades
~n las cime·ntaciones continuas, la interacción suelo-estrtJctura cobFa
gran importancia, pues de ella -depende la forma de funcionamiento
resistente. Por ello, el suelo puede influir no solamente en el diseñ0 de
la cimentación sino también en el de todo el edificio.
Veamos a continuación algunas ideas generales.
La cantida·d de suele que nos importa alcanza hasta una profundidad
del orden de tres veces ''ªmayor di.mensión del cimiento. Como hemos
visto en temas anteriores, debernos evitar al máximo los asientos
diferenciale$, escogiendo de manera adecuada la relación E?ntre el área
del cimiento y la carga sobre el terreno y teniendo en cuenta el efecto
de cimentaciones próximas, cuyas presiones se propagan por el suelo y
pueden llegar a superponerse a las nuestras.
Cuande la estr-t:Jott:Jra~s rí§iEia -efl eirecGión vertical, ~as desigualdades
del st1elo se Gompensan mediante una redistribución de cargas en l,os
pilares; esta r€distr:ibución habrá de ser tenida en cuenta en el cálculo
Tema 13. Vigas, emparrillados y los.ds de c imentación

de la estructura. Si la estructura es, en cambio, flexible (o Jo que es lo
mismo, admite asientos diferenciales en sus apoyos sin oponerse
muoho a ellos), sesá necesario limitar los asientos a valores compatibles
con las condicioAes de utilización. Los efectos de redistri·buci·ón de
esfuerzos debidos al terreno se estudian como coacciones en
estructuras hiperestáticas y disminuyen con el tiempo gracias a la
fluencia del hormigón.
En el cálculo de cimentaciones continuas hay que determinar la
distribución de tensiones sobre el terreno y estudiar la cimentación de
tal manera que, respetándose las condiciones de equilibrio, resulten
coincidentes las deformaciones del cimiento (viga, emparrillado, placa)
en cada punto con el asiento del terreno. Este problema es difícil y sólo
puede abordarse introduciendo simplificaciones y utilizando métodos
aproximados. Por ello, hay muchos aspectos que el proyectista deberá
resolver con su propio criterio, debiendo contentarse muchas veces con
. .
aprox1mac1ones groseras.
13.2.2. Distribución de presiones
sobre el suelo en el caso de
zapatas
Veamos con más detalle este tema, que ya tratamos en el apartado
9.3.1, comenzando por el caso en que el cimiento es rígido.
Con cimiento rígido, la distribución de tensiones no es uniforme.
Además, la forma que adopta la distribución varía con la intensidad de
la carga transmitida por el pilar, según indican los diagramas de la
figura 13. 1 cuya validez es tan sólo cualitativa. Esta figura es
básicamente válida para cualquier tipo de suelo.
Para valores N de servicio y con las presiones usualmente admitidas,
cuando el suelo es rígido la distribución es como la 1 y cuando es
deformable, como la 4. Dicho de otro modo, las configuraciones 1 a s
en suelos deformables aparecen sólo con cargas muy pequeñas, por lo
que la región 4 - s-R es la que media entre la situación de servicia: y la
de rotura; mientras que en suelos rígidos, la configuración i se
Tema 13. Vigas, emparrillad osy losasde cimentación

,maAtiene ee e.sa ferma para valores N ~ N 8~.,y;;:sélo para valores de N
próximos a rotura se Rasa a c0nfig1::1raciones tiRO 4 y 5.
Carga dé rotura
del suelo
_,
@ .__.::::.....:_.,.,

/
--.: . /
.· !. R
V
N pequeña
Inicio de
pl~stificación del suelo
N grahde
Fígura 13.1. Distribución cualitativa de tensiones en el terreno, en cimientos
rlgidos. Influencia del val.or de N, válida pará cualquier tipo de suelo.
(E'Stamos ..empleando las expresiones rigido y .deformable referidas .?J
sueJo en el sentido de cohesivo y sin cohesión).
Gomo o ~ue nos interesa es la configuración en servicio retenemos los
diag:ram1:i-s de la figura 13.2! Como se ve, en el caso de zapata rígida,
cuando el suelo es deformable fluye lateralmente, con lo que baja la
tensión en los bordes; en cambio, con suelos rígidos, la máxima tensión
se presenta en los extremos, que son puntos singulares. En el caso en
que el cimiento es flexible (figura 13.3), las tensiones en las
proximidades de los bordes disminuyen en los dos tipos de suelos, a
causa de la flexibilidad del cimiento; y aumentan. por lo tanto, las
tensiones en el centro. Ello provoca una aproximación a la distribución
rectangular en caso de suelo rigido y a la distribución triangular en caso
de suelo deformable.
Tema 13. Vigas, emparrillados y losas de·crmentación

,
HORMIGON ARMADO. Elementos estructura les 301
En el estudio de zapatas realizado en temas anteriores y a los efectos
de determinar las presiones que el su.élo ejerce sobre la zapata, hemos
venido suponiefldo que el c;ímiento era rígido ~indeformable), es--clecir,
que--deseendía sin flectar; consecuentemente, hemos utilizado
diagramas lin.eales de distribución de presiones. Ahora, para el estudio
de vigas, emparrillados y placas, tendremos que revisar esa hipótesis.
Su validez qued.a muy restringida, como veremos a continuación.
Suela rígido
(a)
Suelo deíormable
(b)
Figura 13.2. Ténsiones de servicio bajo cimiento rígido
N'"''
Flexible
Suelo rígido
(a)
Flexible
Suelo deformable
(b)
Figura 13.3. Tensiones de servi.cio bajo cimiento flexible
Tema 13. Vigas, emparrillados y losas de cimentación

302
13.2.3.
Distribución de presiones
sobre el suelo en el caso de
cimientos continuos
En la figura 13.4. se representan esquemáticamente las cuatro
situaciones extremas posibles, según la deformabilidad del cimiento y
de la estructura.
Cuando cimiento y estructura so tigidos (caso b) la distribución de
presienes puede suponerse lineal, ya que estamos ante un bloque
totalmente rígido. En cualquiera de los demás casos, este supuesto no
es admisible.
1 1 '
' 1 ___,
1 FLEXIBLE
1
_J
.1 1 1 J.
r
RiGIOO RIGIDO
fil[fTI1111LJrmD
{b)
1--1--1--· . -
FLEXIBLE
'
"'LEXIBLE
(e) (d)
Figura 13.4. Interacción estructura-cimiento
Cuando la estructura es flexible (casos a y e) es verdad que la
distribución de presiones varia según la rigidez del cimiento y el tipo de
terreno, pero es aceptable suponer en todos los casos que las
presiones se distribuirán, en cada punto, proporcion.almente al
descenso E¡ue experimente dicho punto. Es aplicable entonces el
modelo de viga flotante (ver apartado 13.3).

En fin, si la estructura es rígida y el cimiento flexible (caso d) esta,mos
ante la situaciór-i más compleja. Cerno la rigidez de la estructura obliga
a que lo.s puntos de enlace de Jos soportes con la cimentaeión ne
13uedan asentar m'ás qae m·anteniéndose tod·os alineados, no es-posible
aplicar el modelo de viga flotante, en eJ q.ue cada uno de es0s pontos
tema el c0rrimiento que le corresponde. Por ello, el estudio de este caso
sólo puede abordarse por métodos aproximados y, con auxilio del
orc:ienador.
13.3.
VIGA DE CIMENTACIÓN
BAJO ESTRUCTURA FLEXIBLE.
MODELO DE LA VIGA
FLOTANTE
61moáel-0 de la viga flotante supone que ésta se apoya elásticamente
en el soelo}I recibtí las cargas por encima. El suponer lo contrario (viga
invertida) como se hace habitualmente en zapatas, conduce a errores
groseros.
El modelo consiste en una viga apoyada sobre muelles elásticos (fig.ura
13.5) que reaccionan proporcionalmente al descenso que les impone la
viga. Los muelles idealizan la tensión del suelo. El factor de
proporcionalidad, K, es denominado módulo de balasto.
i
Figura 13.5. Modelo de Ja viga flotante
Tema 13. Vigas. emparrillados y losas de cimentación

304 '
Por consiguiente, llamando y al asiento experimentado en un punto Fi y
cri a la presión transmitida en ese punto por el cimiento al suelo, se
verifica:
cri
y= -
K
El módulo de balasto K se expresa en kN/m
2
/m (kilonewtons por m
2
y
por m) y tiene, por tanto, la dimensión de una fuerza por unidad de
volumen. Un K =50. ooo significa que el suelo reacciona con
cr =so . ooo kN/m2
euando es obligado a descender 1 m, o lo que es lo
mismo, con una cr =5 okN/m
2
si desciende 1 mm.
La denominación módulo de balasto viene de la técnica ferroviaria, ya
que una de las primeras aplicaciones del modelo se hizo para calcular
el reparto de cargas en vías de ferrocarril. La denominación viga
flotante es muy expresiva, puesto que si las profundidades se miden a
partir de la cara inferior de la viga, la presión ejercida por el suelo sobre
ésta es proporcional a lo que dicha cara se haya "hundido" en el
terreno, como sucede con la presión hidráulica sobre un cuerpo flotante.
La característica de una viga flotante es que el valor de las cargas
sobre ella varía al deformarse ésta. Como los soportes bajan con el
cimiento, cada uno bajará lo que le toque y sus pies no quedarán
alineados. Es erróneo calcular la viga al revés, cargada desde abajo y
apoyada en los soportes, ya que en tal caso se está suponiendo (como
en la teoría general de vigas) que las cargas no varían al deformarse la
viga. Prueba de este error es que si en el modelo de viga invertid.a se
calcula la reacción resultante en los apoyos (soporte·s), esta reacción no
coincidirá con la carga real transmitida por el soporte.
Una viga de cimentación sometida a solicitaciones N, M en diversos
puntos (figura 13.5) puede resolverse a mano con ayuda de tablas o
bien mediante un programa de ordenador. Se divide la viga en una serie
de tramos de manera que los nudos resulten equidistantes y que las
solicitaciones actúen en los nudos. Bajo cada nudo hay un muelle cuya
constante elástica se determina multiplicando el coeficiente de balasto K
del suelo por el área de la columna del mismo que corresponde a cada
nudo. La determinación de K se efectúa experimentalmente.
En los casos simples de la práctica puede encontrarse una solución
aceptable mediante un sencillo método que consiste en utilizar
distribuciones aproximadas de la tensión del suelo sobre la viga, a las
que ya nos referimos en el apartado 9.3.3. Para zapatas rígidas (luces

pequeñas en relación con el canto) y suelo muy deformable, .se supone
reparto uniforme por trozos tributarios (figura 13.6.a); y para zapatas
flexibles (luces grandes en relación con el canto) y suelo poco
deformable, se sup~one reparto triangular por trozos tributarios (figura
13.6.b). Una vez encontrado el valor de las cr a partir de las N (sin
contar, como siempre, el peso propio de la viga) se adopta un modelo
isostático de cálculo (olvidando ya los conceptos de cargas, reacciones
y apoyos) con lo que los esfuerzos en cualquier sección se determina.n
de inmediato (véase figura 13.6.c correspondiente a la distribución a).
Conviene añadir que con la distribución a) se estiman por defecto las
presiones máximas y se sobrevaloran los esfuerzos en la viga, y con la
distribución b), se estiman por exceso las presiones máximas y se
infravaloran los esfuerzos en la viga.
r r r 1
a b b e e d a b b e e d
l
¡
1
!
1
... 1
r 1 il 1
;
'
•
1
1 .
1
'I VN lJYl' V
J
N, N2 N3
(J = o:= CI =1
a+b 2· b·~c 3 c+d
(a) (b)
(e)
Figura 13.6. Distribuciones aproximadas de la presión del suelo bajo viga
Tema 13. Vigas, emparrillados y losasde cimentación

P-arª evitar. Las fuertes tensiones (y asLentos) que- ap·arecen bajo. los
so(2ertes de borde e·s siempre interesanb¡~ terminar las vigas de
eimentaciéJn en dos voladizos (lo qae no resulta posible sj hay
med.ianerías·). ER euanto al canto de •a viga, debe ser: ta,I que s.u
flexibilidad no res_l:jlte excesiva ya que en tal caso pierde su capacidag
de reparto de car.gas: l.ª s zonas entre soporte.s toman muy pocos
.esfuerzos, co.ncentrándose éstos bajo los soportes.
13.4.
EMPARRILLADOS DE
CIMENTACIÓN
El emparrillado aparece cuando se disponen vigas de cimentación en
dos direcciones (figura 13. 7). Todo lo dicho para vigas, trasladado a dos
dimensiones, es por consiguiente válido en el caso de emparrillados:
secciones rectangulares o en te invertida, conveniencia de disponer
voladizos, etc.
• • •
• • •
• • •
Figura 13.7. Emparríllado de cimentación

Cuande-.el emparrillado es rlgido y la estructura rígida (figura 13.4.b) las
tensiones se reparten linealmente como dijimos. Este es el único caso
abordable por procedimientos manuales, despreciando la rigidez a
torsión de las vigas, como a continuación se indica.
Si llamamos Ni al axil transmitido por cada soporte al nudo
correspondiente del emparrillado, una parte Nix del mismo la tomará la
viga de dirección x y la otra Niy la viga de dirección y. Tenemos, pues,
2n incógnitas (siendo n el número de soportes) y n ecuaciones:
Ahora bien, la tensión bajo el soporte debe ser la misma tanto al
calcular la viga x como la viga y. Como en ambas se supone
distribución lineal, puede efectuarse ese cálculo para todas y expresar
después la igualdad:
lo que nos proporciona el segundo sistema de n ecuaciones que
necesitamos para resolver el problema.
Cuando la estructura es flexible, cualquiera que sea la rigidez del
emparrirtado, podemos analizar el problema de la misma manera pero
considerando ahora que se trata de vigas flotantes. Habrá que resolver
un sistema de 2n ecuaciones con 2n incógnitas (siendo n el número de
soportes} lo que sólo es posible mediante ordenador.
En fin, para emparriJlado rígido bajo estructura flexible se podrá emplear
el mismo método de 2 n ecuaciones, teniendo en cuenta que, en este
caso, las n ecuaciones del tipo:
no pueden establecerse en la hipótesis de viga flotante sino que habrán
de ser establecidas según métodos aproximados, como ya dijimos.
En el caso en que algún soporte actúe sobre viga y no sobre nudo, su
axil se trasladará al nudo más próximo, con lo que deberá añadirse el
momento correspondiente. Se supone, para simplificar, que la totalidad
de este momento lo toma la viga por flexión, sin hacer intervenir la
torsión de la viga de cruce.
Tema 13. Vigas, emparrillados y losas de c imentación

308
, '
13.5.
PLACAS DE CIMENTACIÓN
13.5. 1. Generalidades
Cuando la superficie total de zapatas supera la mitad de la superficie
del edificio, suele ser más barato el empleo de una losa o placa de
cimentación. Este elemento reparte mejor la carga y reduce los asientos
diferenciales, por lo que está indicado en terrenos heterogéneos o poco
resistentes. También su empleo puede imponerse en terrenos
inundables, en cuyo caso hay que comprobar la placa frente al efecto
de posible flotación debido al empuje ascendente de la subpresión del
agua.
Las placas de cimentación tienen la ventaja de constituir por sí mismas
un suelo de sótano que se hormigona después de colocar las redes de
agua y drenaje, lo que permite un trabajo limpio posterior, almacenar
piezas, etc.
r
(a) Espesor c-onsrante (b) Capiteles superiores (e) Capiteles inferiores
aglomerado•....-1.-.-
ligero
•• • • ••
·l ~....ffM"t !
~ ~ tJ.
(d) Nervios superiores (e) Nervios 1nfenores
•
'a
.,
--(f) Aligerada (fi) Cajón
Figura 13.8. Algunos tipos de /osas de cimentación (Tomada del MMM)
Téma 13. Vigas, empa rrillados y losas de cimentación

La tipología de las placas de cimentación es muy variada, como puede
verse en la figura 13.8. Al proyectarlas, debe procurarse que la
resultante de todas las acciones transmitidas por la estructura pas-e lo
más cerca posible de su centro de gravedad para evitar asientos
diferenciales que podrlan hacer inclinarse al edificio. Se recomienda
que, para cualquier hipótesis de carga, la resultante caiga dentro de
una zona homotética del núcleo central de la losa pero de dimensiones
mitad; ea ningún caso debe caer fuera del núcleo central y, de caer en
la zona intermedia, haoría que hacer estudios especiales de los
posibles asientos.
En particular para edificios con muros portantes colocados cada s - 9 m,
la solución de losa de cimentación resulta muy adecuada y económica
si el terreno tiene una rigidez razonable y se estudia el funcionamiento
del conjunto losa-suelo. Como ejemplo, en la figura 13. 9 se presenta el
caso de losa flexible bajo muros de carga, mostrando la diferencia de
comportamiento según se trate de suelo deformable o de suelo rígido.
--¡-----_·:'~·--L--1C•/__--....,._~· W Distribuciones de presiones
r / sobre el suelo
f '""º'º'°""'''° . •~• d Ido ~
Momentos !lectores
suelo deformable
suelo rr Ido
suelo deformable
1 --
""'
Esfuerzos cortantes
•
Figura 13.9. Influencia de la rigidez del suelo en las solicitaciones
de una Josa flexible (Tomada de Leonhardt)
Tema 13. Vigas, emparrilladosy losas de c imentación

La concentración de tensiones bajo muros es tanto mayor (y con ello,
los esfuerzos en la losa tanto menores) cuanto más flexible sea la losa
y más rígido sea el terreno. Si la estructura es flexible y la capa de
suelo deformable es muy extensa en relación con sus dimensiones en
planta, los asientos provocan la formación de una gran depresión a lo
largo, lo que modifica bastante el diagrama de momentos debido a la
curvatura de la depresión (figura 13.10.a). En tales ra.sos, conviene
rigidizar la estructura longitudinal, al menos en un piso, para restringir la
formación de esa depresión; con ello el diagrama de momentos vuelve
a ser otra vez parecido al de una viga continua (figura 13.10.b).
1 1
1 1
(a) (b)
Figura 13.10. Distribución de momentos sobre suelo flexible,
con estructura flexible (a) y rígída (b). Si la capa de suelo deformable es poco
extensa, resuft-a la confíguracief>n b) para amgos tipos de estructura
Digamos finalmente que la Instrucción EHE dedica a las losas de
cimentación su arlíou/e §9.4.2.2 cuyo contenido tiene un carácter
genérico..
13.5.2. Cálculo
Para el cálculo de la losa son válidas las mismas consideraciones
hechas en 13.4 relativas a los emparrillados. La placa se sustituye por
un emparrillado equivalente ·a ba$e de inscribir en la misma una retícula
de vigas ficticias en dos direcci.ones (figura 13.11) lo que p.ermite
Tema 13. Vigas, emparrillados y losas de c imentación

calcularla como losa flotante. Los pilares deben hacerse coincidir con
nudos del emparrillado. El estudio se aborda mediante programas de
ordenador.
N
N,
Figura 13.11. Emparrí/lado flotante equivalente (Tomada del MMM)
Como norma general y de forma idéntica a lo indicado ya varias veces,
el cálculo de la losa como placa o emparrillado invertido apoyado en los
pilares carece de justificación, por las mismas razones ya dichas: eso
equivale a obligar a que no haya desnivelaciones entre pilares (cosa
incorrecta) y resultan reacciones en los mismos que no coinciden con
las cargas aplicadas.
No ebstante lo anterior y como en el caso de Vigas flotantes, cuando se
trata d-e losas de menor importancia pueden emplearse distribuciones
aproximadas de tensiones, análogas a las de la figura 13.6. Ahora, en
vez de trozos consideraremos áreas tributarias para cada pilar y, dentro
de cada área, podemos colocar configuraciones triangulares,
rectangulares o trapeciales (figura 13. 12) según corresponda. Si la.losa
fuera muy rígida (luces pequeñas respecto al canto) y el suelo muy
deformable, habría que suponer reparto lineal global (caso e de la
figura).
Tema 13. Vigas, emparrilladosy losas de cimentación

312
,
(e) (o) (a)
(a)
(b} h111! l ll lllJllllI[[I[11111111111111111111111íl
(e) [1 1[1111JlJlIjlJ 11111111 111 11111111 1[[111[11~
Figura 13.12. Cálculo de una Josa de cimentación por el·método aproximado de
las áreas tributarias con distribuciones llneales (Tomada del MMM)
A partir de las cargas de los pilares determinamos las tensiones del
terreno (sin contar el peso propio de la losa) y ya podemos hacer
diagramas isostáticos como los de la figura 13.6. e, uno para cada
banda de soportes y en ambas direcciones, con lo que obtendremos
fácilmente los esfuerzos. Las armaduras que-resulten del cál·cul0 deben
centrarse en las bandas de pilares, en forma análoga a como se hace
en las ¡:i>lacas sobre soportes. Es conveniente emplear barras de @ram
diámetro y fuerte-s recubrimientos~ del orden de 6 ó 7 centímetros.
Gl:lan.do las cargas en l0s pilares son fuertes y éstos se dimensio.naron
de forma estr:icta en planta (lo que sucede con frecuencia en ed_ificios
industriales) existe el peligro de pun;zonamiento, lo que acenseja
disponer capiteles inve.rtidos. Uoa buena manera de ejecutªr e.stos
refuerzos es mediante una depresión suave en la excavación (figura
13. 13) que debe ser lo bastante h.onda para que no resulte necesario

HORMIGÓN ARMADO. Elementos estructurales -313
armar a cortante. Si se redondea suavemente, las barras o ma,llas
podrán depositars_e encima sin doblados previos, en favor de la
sencillez de ejecución.
1Qcm hofllligón
de limpieza
Figura 13.13. Capitel inferior bajo cargas concentradas
BIBLIOGRAFÍA
• Hormigón Arm-~do por Montoya, Meseguer, Morán. Editorial
Gustavo Gili, 14ª ed., Barcelona 2000. Capítulo 23 "Cimentaciones
de hormigón armado".
• Cálculo de estructuras de cimentación por José Calavera. Editado
por lntemac, 4ª ed., Madrid 2000. Capítulos 7, 9 y 10.
• Construcciones dé hormigón por Leonhardt y Monnig. Editora
lnterciencia, Río de Janeiro 1979. Volumen 3, capítulo 16 (en
portugués)

1. Se dan las cuatro estructuras de la figura 13.14, sometidas a la
misma carga. Llamamos cr¡ a la presión máxima del terreno bajo
soporte y Mi al momento que debe resistir la viga bajo soporte
{i = 1, 2, 3, 4)
Establecer las relaciones de igualdad o desigualdad que
aparecerán, entre los pares de estructuras 1-2, 3-4, 2-4 y 1-3, en
los valores respectivos de cr y de M, para pilares homólogos.
11 ; 1 l l j 11J 11n·11111
l 1 ' l ' 1' 1
l l l
1 '
DQ)
®
1¡ 1
ll!!Ly
'-
l
-·
- ~
@
©
Figura 13.14
2. Imagínese que le obligan a ubicar cada una de las estructuras del
ejercicio anterior en cada uno de los siguientes casos:
A. Zona no sísmica, terreno homogéneo
B. Zona no sísmica, terreno heterogéneo
C. Zona sísmica, terreno deformable
D. Zona sísmica, terreno rígido
¿Cómo efectúa Vd. la distribución?

3. Imagínese que las losas de cimentación de las cuatro estructuras
anteriores se calculan como losas invertidas apoyadas en los
pilares, por el método de los pórticos virtuales. ¿En cuál de ellas
se cometerá menos error?
4. ¿Es Vd. capaz de dibujar de memoria las configuraciones que
adoptan las presiones bajo zapata, en los cuatro casos que
resu.ltan de combinar los conceptos
rígido - deformable
zapata - suelo
en condiciones de servicio?
5. Hemos hablado mucho de rigidez de la estructura. ¿Se refiere a la
rigidez de los pórticos exclusivamente o cree Vd. que también
cuentan los muros de cerramiento y tabiquerfa? ¿Evoluciona la
rigidez con el tiempo?
6. Un calculista debe armar la viga de cimentación de la estructura
1 (sin voladizos) del primer ejercicio, en la que los tres pilares
transmiten la misma carga. El calculista supone que la viga es
infinitamente rígida y aplica como modelo de cálculo el de viga
invertida bajo carga uniforme (figura ·13.15.1) suponiendo que se·
trata de una viga continua apoyada en los soportes. Obtiene así el
diagrama de momentos de la figura 13.15.2 y, en consecuencia,
arma el centro de la viga por su cara inferior (figura 13.15.3). Años
después de construida la obra, el calculista encuentra en un libro
que la ley de momentos correspondiente a este caso tiene el
aspecto de la figura 13.15.4, lo que le deja muy preocupado, al
ver que dispuso al revés las armaduras en el centro.
Consultado el caso con un amigo, éste le recomienda (para
hacerle ver su error) que calcule en su modelo primitivo el valor de
las reacciones en los apoyos. Así lo hace, encontrando los
siguientes:
• en apoyos extremos: (9/16)P
• en apoyo central: (30/16)P
Tema 13. Vigas, emparrillados y losas de cirnentación

316
p
f
llilillillll 1·'·111 1
1
11•:111
.! ,ill 1.l1
Á j ! 1 il
"1
1
1 " ' 1
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1
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,
'I lll
' 11·¡l1 1
1 T ~i
1
1 ' lih•
@
Figura 13.15
Al ver que estos valores no coinciden con los reales (todos ellos
iguales a P) el calculista comprende que su modelo era erróneo.
Le resulta especialmente llamativo el valor de la reacción central,
que es casi el doble del correcto; y razona de la siguiente manera:
• Está claro que la distribución uniforme que he considerado en
la figura 13. 15. 1 está mal, ya que conduce a demasiada carga
en el pilar central.
• Debo por tanto suponer otra, que sea menor en el centro y
mayor en los extremos.
En consecuencia, recurre a una distribución por trozos tributarios
(figura 13.16) y con ella se dispone a calcular su viga continua
invertida.
El amigo le dice que no lo haga, pues volverá a equivocarse.

HORMIGÓN ARMAOO. Elementos estructurales 317
1 p
l p
' ¡1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 r
' 1.
1
1
'
l
2P p 2P
o : -
. l
q=< -
1
q = - 1
-'-
Figura 13.16
El calculista entonces le pregunta si el error está en haber
supuesto la viga infinitamente rígida; o si está en el esquema de la
figura 13.15 o si está en el esquema de la figura 13.16. El amigo
responde negativamente en los tres casos.
El calculista se queda hecho un lío.
Ayúdale Vd. a salir de ·él, diciéndole dónde está su error y
obteniendo, a partir de los esquemas 13. 15. 1 y 13. 16, una ley de
momentos como la 13.15.4.
7. En el ejercicio anterior hemos visto que las distribuciones de las
figuras 13. 15. 1 y 13. 16· pueden dar ambas unas leyes de
momentos próximas a la real. A igualdad de las restantes
variables, ¿cuál de ellas se ajustará más al caso en que se
disminuye el canto de la viga?¿y si lo que disminuye es la luz l?
¿Cómo repercuten ambos supuestos en la ley de momentos?
8. Volviendo a nuestro amigo calculista del ejercicio 6 ¿se imagina
Vd. qué tres ideas finales cruzaron por su cabeza?

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN
1. Par 1-2: El cimiento más rígido distribuye más, luego cr1 < cr2 y
M1 > M2
Par 3-4: Por la misma razón, cr3 < cr4y M3 > ~
Par 2-4: La estructura más rígida distribuye más, luego 0'2 < cr4
YM2 > M4
Par 1-3: Por la misma razón, a 1 < cr3 y M1 > M3 aunque con
vigas tan gruesas las diferencias serían pequeñas.
2. Las sol.uciones isostáticas están descartadas en zona sísmica. Si
el terreno es heterogéneo, la 3 repartirá mejor que la 4. Por
consiguiente:
3-B
4 - A
En caso de sismo, conviene que las rigideces estructuJa-suel0
estén cambiadas, para que cada parte compense a la otra. Por
tanto:
3. En la 1.
4. Ver figuras 13.2 y 13.3.
1 - e
2 - D
5. Es claro que la rigidez que cuenta es la del conjunto del edificio,
que suele ser muy superior a la de la estructura desnuda debido a
los arriostramientos que proporcionan los muros y tabiques (por
no hablár de las cajas de escalera). Ahora bien, la rigidez inicial
del conjunto puede disminuir con eJ tiempo si se fisuran los
tabiques y cerramientos, cosa que será tanto más probable
cuanto más nos acerqu.emos al estado límite último del cimiento.

'HORMIGON ARMADO. Elementos estructurales 319
Por consiguiente, en condiciones de servicio podemos considerar
la rigidez del conjunto (difícil de evaluar) pero al estudiar los
estados últimos habremos de extremar la prudencia.
6. El error no está en la forma de la distribución sino en considerar la
viga invertida como continua. Una viga continua es una viga
flexible, tiene que deformarse para trabajar como tal (figura
13.17.a); la viga dada es infinitamente rígida, no flecta, tan sólo
baja (en vertical o inclinándose) conservando su rectitud.
p
1 p
Figura 13.17
l
-

3P
.-21
p
(b)
Por ello, el esquema de la figura 13.16 tratado como viga continua
tampoco dará una reacción central igual a P.
La obtención de momentos a partir de1 esquema 13.15.1 es muy
sencilla: se trata de unas fuerzas en equilibrio isostático (figura
13.17.b). En el centro el momento vale:
3P 1 3 Pl
M = Pl - - 1 · - = Pl - - Pl -
21 2 4 4
y tiene signo positivo como en la figura 13.5.4.
Con el esquema de la figura 13.16 obtenemos, análogamente, un
momento en el centro igual a:
2P 1 3 P 1 1 3 1 Pl
M = Pl - -- - - 1 - - - - = Pl - - Pl - - Pl -
124 124 4 8 8
menor que el anterior y también positivo.

320
Por consiguiente, la armadura hay que
opuesta a la indicada en la figura 13.15.3.
'Alvaro García Meseguer
disponerla en la cara
7. A menor canto, menor rigidez y m.enor reparto de tensiones, luego
nos iremos acercando a la distribución de la figura 13. 16. A menor
luz, más rigidez estructural, luego nos acercaremos a la
distribución de la figura 13. 15. 1.
La repercusión en las leyes de momentos la hemos visto en el
ejercicio 6 anterior: los momentos en el caso de la figura 13. 16
son más pequeños que en el caso de la figura 13. 15. 1, como
corresponde a su mayor cr máxima. Las leyes son fáciles de
dibujar (figura 13. 18).
Pl
-3
--- -- -- ;--~
Pl-
4
1 1 /2 1
l /3
+---
1
Pl
8
1
Figura 13.18
l 1
11111 "1111111111"11!
Con distribución uniforme
f111 1111 111 11
1
11 111rrJ
Con distribución tributaria
8. Primera: Lo importante es que la estructura está ahí y no le ha
pasado nada.
Segunda: Afortunadamente, las cimentaciones no las ve nadie.
Tercera: Tengo que estudiar más.

CARGAS
CONCENTRADAS
SOBRE MACIZOS.
ARTICULACIONES DE
HORMIGÓN.
DESCRIPCIÓN DEL
FENÓMENO TENSIONAL.
PRINCIPIOS BÁSICOS.
COMPROBACIÓN DE LA,
COMPRESION LOCALIZADA DE
CONTACTO.
ARMADURAS TRANSVERSALES.
INTRODUCCIÓN DE ESFUERZOS
PARALELAMENTEA UNA CARA
EN UNA PIEZA DE HORMIGÓN.
ARTICULACIONES DE HORMIGÓN.
Tema 14. Cargas concentradas sobre macizos. Articulaciones de hormigón

322
14.1.
Álvaro García MesegufJr
DESCRIPCIÓN DEL
FENÓMENO TENSIONAL.,
PRINCIPIOS BASICOS
·.
Cuando una pieza de hormigón que presenta una superficie plana está
sometida a una compresión localizada (es decir, que se aplica solo a
una parte de esa superficie) aparecen dos problemas diferentes que
deben ser controlados:
a) La compresión local de contacto.
b) Las tracciones transversales de hendí.miento, que pueden requerir
armaduras.
Las compresiones localizadas se presentan a menudo en construcción:
cargas de pilares metálicos sobre macizos de hormigón en edificios
industriales; cargas de tráfico; reacciones de apoyo; rótulas; placas de
anclaje en piezas postesadas; etc. Para disminuir costes, en estos
casos suelen emplearse pequeñas placas de base, con objeto de
aprovechar las altas presiones admisibles.
Las presiones externas se propagan por la pieza desde la superficie de
contacto dando origen a un sistema tridimensional de tensiones, con
componentes de tracción en dirección transversal a la fuerza exterior; y
una vez recorrid.a una cierta longitud de transmisión (en la dirección de
la fuerza) se alcanza un estado uniforme de tensiones en la sección
transversal de la pieza. En toda la zona de transmisión (llamada "región
de perturbación de Saint Venant") no es aplicable la Resistencia dé
Materiales. Esta zona constituye una región O (ver Tema 3} y ha sido
estudiada experimentalmente, en especial mediante ensayos
fotoelásticos completados con análisis en ordenador por el
procedimiento de elementos finitos.
Cuando la longitud b de la placa de apoyo es igual que la de la sección
(fig.ura 14. 1), las tracciones transversales de hendimiento se presentan
solo en una dirección, el problema es plano y es necesaria únicamente
una armadura transversal (ya veremos de qué forma) con su
correspondiente arma.dura de reparto. Pero si la placa de apoyo es
menor que la superficie de la pieza en ambas direcciones, el problema
es tridimensional (figura 14.2) y las fuerzas de hendimiento actúan en
Tema 14. Cargas concentradas s0bre maci.zos. Articulaciones de hormigón

las dos direcciones. Además, si no hay simetría en planta, las distancias
de estas fuerzas al área de carga no serán iguales; es decir, que en el
caso más general ambas diferirán tanto en posición como en magnitud,
lo que debe ser tenido en cuenta al proyectar las armaduras.
---a --
A'li_ //JI A'
b.
f-1/1T
l = a
11/
J 1 1 1 l _
1 ¡ lLl-1 ..L1
1 1 1 1 A - A'
¡,_-- a - --•
Figura 14.1. Estado plano de tensiones
Dirección z
p
Xy ~+
r-
Ty
Figura 14.2. Estado tridimensional de tensiones

324 'Alvaro García Meseguer
Detención inicial de la fisura
17"r.,..,...,,.,.,.,,...,,.,¡i.u.u.ifW.1. '777777.;.-,..,>- ---+ Zona inleía1mente
~ZZZ;Z!f~-t comprimida
Figura 14.3. Colapso lateral prematuro
Pensemos, como orden de magnitud, que la longitud de transmisión es
igual al ancho de la sección (figura 14.1) y que el esfuerzo de tracción
transversal que aparece bajo la carga concentrada es del 25% del valor
de dicha carga.
Como muestra la figura 14.2, aparecen compresiones en la zona
inmediata a la superficie y tracciones más abajo, lo que podría
sugerirnos la idea de colocar las armaduras a una cierta profundidad.
Ahora bien (figura 14.3), en el Estado 11 las fisuras, que comienzan en la
zona de mayores tracciones (1), se propagan hacia el área cargada (2)
hasta la región en que originalmente existen compresiones; y si no hay
armadura en esa zona, la pieza entra en colapso prematuro por rotura
lateral de la parte no armada (3). Por consiguiente, la armadura debe
llevarse siempre hasta el borde cargado, con barras adicionales a las
determinadas por el cálculo.
Antes de pasar a temas de cálculo y puesto que viene a cuento,
veamos este mismo fenómeno de cargas concentradas sobre macizos
pero aplicado a otro asunto: el de las zonas de anclaje de armaduras.
En la figura 14.4 se muestran dos tipos de anclaje: mediante placa de
anclaje (propio del hormigón postesado, figura b) y por adherencia
(propio del hormigón armado, figura a). En ambos casos se trata de

anclar una fuerza T de tracción, que debe equilibrarse con unas
tensiones uniformes de compresión 0'0 del hormigón, lo cual requiere
una cierta longitud de transmisión. A través de la zona de transmisión
se propagan las 0'0 por el hormigón, a partir del extremo de la barra; y
ello origina, como en cualquier caso de introducción de esfuerzos en
una pieza, una red de isostáticas de tracción y de compresión cuyas
trayectorias muestra la figura. La suma de las tensiones de tracción
transversales a la barra produce un esfuerzo de tracción (esfuerzo=
conjunto de dos fuerzas iguales y contrarias) transversal en el
hormigón, denominado esfuerzo de hendimiento (en inglés, sp/itting),
cuyo orden de magnitud máximo es o, 25 N (aunque en el caso de
placa suele ser más pequeño, oscilando entre o, 15 y o, 2 5).
Trayeeloñas
do compreslón
- 1·
TmyettGrias
de tracción
a)
Ge
,._ T
O'c
CYc
---~~~*~~ T
r
a
L
Trayectorias
de compre~Dn
b)
Trayecr0lia$
de tracción
Figura 14.4. Estado tensional en zonas de anclaje, poradherencia
(a) y mediante placa (b).
Cuando el recubrimiento de hormigón es pequeño o las barras van muy
juntas, se corre el riesgo de que aparezcan fisuras (figura 14.5) e
incluso puede saltar el recubrimiento, debido a los esfuerzos de
hendimiento en ta zona de anclaje. Si tenemos en cuenta la baja resis-
tencia del hormigón en tracción (especialmente en dirección transversal,
dado que se hormigona en vertical) concluiremos que hay que tener
cuidado con las zonas de anclaje, al igual que con cualquier otra en la
que las barras estén sometidas a altas tensiones de adherencia; y muy
especialmente, en aquellos lugares en tos que, debido a otras causas,
el hormigón esté ya sometido a tracciones. Por tanto, de no actuar una
Tema 14. Cargas concentrados sobre macizos. Articulaciones de hormigón

326 '
compresión transversal favorable de otro origen, será necesario
disponer unas armaduras transversales a lo largo de l¡;¡s zonas de
anclaje, que sean capaces de absorber los esfuerzos de hendimiento.
CTc
'//////////////// N
Dirección de hormigonado
La fe, es más débil en
dirección transversal
Figura 14.5. Fisuras típicas de los esfuerzos de hendimiento (fallo de anclaje)
14.2.
COMPROBACIÓN DE LA
COMPRESIÓN LOCALIZADA
DE CONTACTO
Volvamos al caso en estudio. Junto al área de contacto placa-pieza, el
hormigón se comporta con una resistencia a compresión superior a la
normal fck• por efecto de las compresiones transversales que le
proporciona el trazado de las isostáticas (figura 14.2), compresiones
que ejercen un efecto favorable de zuncho.
Tanto el Código Modelo CEB-FIP como la EHE en su artículo 60 (que
analiza este caso por el método de bielas y tirantes) evalúan la fuerza
de agotamiento a compresión Nu aplicada sobre una superficie A.,0 (ver
figura 14.6) mediante la fórmula:

que equivale a:
en donde A.e es el área máxima homotética y concéntrica con Ac0 , que
pueda inscribirse en el área total A situada en el mismo plano que el
área cargada (figura 14.6.a). En el caso de que Aco y A sean
homotéticas y concéntricas, será Ac = A (figura 14.6.b).
e
1
(a) (b) (c)
Figura 14.6. Compresión localizada
Para que la pieza se encuentre en buenas condiciones resistentes ha
de ser:
siendo N la carga de servicio y 'Yt el coeficiente de seguridad de la
solicitación.
Como puede observarse, el razonamiento seguido equivale a
considerar un prisma equivalente de área de base A.e (figura 14.6.c)
interior al dado.

328
14.3.
14.3.1 .
'Alvaro García Meseguer
ARMADURAS
TRANSVERSALES
Cálculo de las armaduras
Como consecwencia de la forma de las isostáticas aparecen tracciones
en dirección normal a la del esfuerzo de compresión, que es preciso
absorber con armaduras transversales. La distribución de tensiones, de
acuerdo con la experimentación, es de la forma indicada en la figura
14.7, pudiendo admitirse que las tracciones se extienden a una zona
comprendida entre o,la y a, siendo a el lado del área Ac medido en la
dirección de la difusión de la carga.
N l Compresrón
0 _ ..,._1 _ ~-----'E~.....'--wF-~,B
O,1a --. Af-----....,.
.--1-- Ne - r
z - 0,5a
Na. _l.
a
Traeclón
o
1Tfl Tf tTtt e
N/2
J
a
1
j i
b
Figura 14. 7. Tracciones bajo una·carga concentrada
Tema 14. Cargas concentradas sobre macizos. Articulacion.es oe hormigón

'HORMIGON ARMADO. Elementos estructurales 329
Si se aísla el trozo de pieza ABCD situado a la derecha de N,
estableciendo la ecuación de equilibrio de momentos respecto al punto
de paso de las compresiones Ne, resulta:
= N2 (ª4 - ª4º)Na · 0,5a de donde Nª
a - a
~ 0,25 · N °
a
en la cual Nª es la resultante de las tracciones situada a una distancia
z s::: O, 5 • a de Ne.
En el caso de que la zona de aplicación de la carga no cubriese toda la
anchura b, deben determinarse las tracciones Na por el mismo
procedimiento en ambas direcciones. Como consecuencia, de no
efectuar un estudio más preciso, pueden disponerse armaduras en
forma de emparrillados o estribos, cuyas capacidades mecánicas sean:
a - ªºU a. = A 0 ., • ~d = 0,25 · N d · - --
a
con f yd "1>- 400 N/mm2
•
Ub = A 8 b · ~d = 0,25 · Nd ·
con fyd "J- 400 N/nnn2
•
b - b o
b
en dirección paralela a a ,
en dirección paralela a b,
Es interesante añadir que Morsch sugirió por primera vez la solución de
este problema en 1924, aplicando su famosa teoría de las blelas que
continúa siendo tan útil hoy (figura 14.8). La fuerza N se considera
dividida en dos partes N / 2. A profundidad 1 =a, la distribución de
tensiones es ya constante, con una resultante N/2 en cada mitad. La
biela inclinada se supone con una pendiente tal que el tirante quede a
media profundidad. Este modelo requiere para su equilibrio que el
tirante colocado a profundidad a/2 proporcíone una fuerza u que se
determina por semejanza de triángulos (pol.ígono de fuerzas y triángulo
geométrico), debiendo verificarse:
N/2 a/2--u a •
4 4
Tema 14. Cargas concentradassobre macizos. Articulaciones de hormigón

330
de donde resulta:
a
U = 0,25 N (1 - -2...)
a
'
Esta solución es la misma indicada anteriormente y coincide también
con la ofrecida por la EHE siguiendo el método de bielas y tirantes
(cuyo antecedente está en Morsch). Véase su artículo 60 y figura
60.1.b.
a
2
N
2
1 =a
1
- -·
Figura 14.8. Determinación de la armadura por el método de las bielas
14.3.2. Disposición de las
armaduras
Las armaduras uª y ub se disponen en forma de emparrillados de barras
de pequeño diámetro, en diversas capas (figura 14.9) bien ancladas
junto a las caras laterales y cubriendo de manera uniforme las zonas
comprendidas entre las profundidades:
o, 1 a hasta a, en dirección a.
or 1 b hasta b, en dirección b.

Una solución particularmente adecuada es la de disponer mallas
electrosoldadas.
Si una de las armaduras resulta nula, en esa dirección se dispone una
armadura de reparto con cuantía igual a la cuarta parte de la principal.
En pilares circulares bajo articulaciones pueden wsarse con ventaja
armaduras en forma de hélice.
14.4.
14.4.l.
rma ura e rena oA d d rt
I
1
I
/
Armadura nrincioal//
Figura 14.9. Emparrillado contra hendimiento
INTRODUCCIÓN DE
ESFUERZOS PARALELAMENTE
A UNA CARA EN UNA PIEZA
DE HORMIGÓN
Introducción de esfuerzos
por medio de tacos
Un taco embutido en hormigón, sometido a una carga P, se parece a
una barra sobre apoyo elástico (figura 14.10.a). En el borde aparece un
Tem.a 14: Cargas concentradas sobre macizos. Articulaciones de hormigón

332 '
elevado pico de presiones que depende de la rígidez a flexión y de la
capacidad mecánica del taco, así como del módulo de elasticidad del
hormigón (rigidez del apoyo).
Para este tipo de solicitaciones no se conocen cálculos fiables, pero
sobre una base experimental y siguiendo a Leonhardt es posible dar
algunas indicaciones útiles.
p
~-"E$"77.,,-/711'70-,.-:~ I /,@,~
1 ( 1 1 11
7-77<--,~77'7-,~ Trayectoria
'/:;. de las
compresiones
Ley de presiones
P e
(a) Sin placa (b) Con placa
Figura 14.10. Tacos embutidos en hormigón
Si se emplea una placa o perfil soldado al taco (figura 14.10.b) para
impedir la rotura indicada en la figura a, puede emplearse la ecuación:
donde:
Pu carga de agotamiento
0 diámetro del taco
f cd resistencia de cálculo del hormigón
fyd resistencia de cálculo del acero.

HO·RMIGÓN ARMADO. Elementos estru~turales
Si la rotura no se impide (figura 14.10.a) y en el supuesto de que la
distancia e sea prácticamente nula, puede contarse para P un valor
mitad del anterior.
Los ensayos que condujeron a estas fórmulas son del danés
Rasmussen y datan de 1963. Se hicieron con valores de e hasta 13 mm
y de 0 hasta 24 mm. por lo que su extrapolación a valores mayores
puede ser dudosa.
La longitud de empotramiento del taco debe ser. al menos, de 60.
Rasmuss.en propone emplear un 'Yf = s para que el corrimiento del taco
en servicio no supere el 5 por 1000. Resulta así el criterio práctico
siguiente:
Con taco desnudo: P < o, 2 s 0 2
~fcd · fyd
Con placa o perfil: P < o, 50 0
2
~fcd · fyd
siendo P el valór de servicio de la carga.
Modernamente existen tacos de expansión que se introducen en
perforaciones realizadas sobre hormigón endurecido. Su empleo debe
ajustarse a las recomendaciones de las casas fabricantes caso de estar
homologadas, ya que de no ser así pudieran no ser fiables.
14.4.2. Introducción de esfuerzos a
través de presiones de
contacto
Cuando las cargas paralelas a la cara de hormigón son grandes, su
transmisión debe hacerse a través de una placa de acero (o de
hormigón armado) comprimida contra la cara de hormigón mediante
pretensado.
Si la distancia e de la carga al paramento es pequeña, el pretensado va
centrado con la placa (figura 14.11.a). La fuerza total de apriete
necesaria, LF, para transmitir la carga P es:
LF = 2,5 p

334
, ,
Alvaro Garc10 Meseguer
lo que equivale a suponer un coeficiente de rozamiento igual a o, 4.
e
p
F
Placa comprimida de acero
Superficie rugosa para
aumentar el rozamiento
.. 4 . •. ....•..· .. .. ... . ·.· .4
• • . • .Á .
..
• . . .. .,. .
.. . ••• ..
···"··· .•· .•.. ~ ' .. . . ... ..
. .. ..d ..... ... . .. .. . . ..4- .. . .
....... ... .......
...... .
. .A
...
.. .
. ...
. ..... .. . .... .
. .4 . . .
: ..
• • 4
. . .., . ...
•4 . . . ;, . .
..... • .t 4
. . ......
..... ..
...... . .
. .. . "'
:
·•.
Hormigón
Figura 14.11.a. Placa centrada (e pequeña)
e
p
F
Resina e oxi
1 T j F -T
Figura 14.11.b. Placa ménsula (e grande)
1

Para distancias e mayores hay que disponer el pretensado en el tercio
superior de la placa, para que ésta funcione como una ménsula
(figura 14.11.b). En este caso hay que considerar también la tracción T
propia de fa ménsula, por fo que fa fuerza necesaria es:
F = 2,5 P + T
Para fa comprobación del anclaje en el macizo de hormigón puede
suponerse que la superficie de rotura sería un cono de 60° de apertura
y contar como resistencia admisible a tracción del hormigón un sexto de
f ct·
14.5.
14.5. 1.
ARTICULACIONES DE
HORMIGÓN
Forma de trabajo
Las articulaciones o rótulas de hormigón constituyen un excelente
ejemplo de cómo se puede sacar partido del fenómeno descrito en
14.1. Son de fácil ejecución, económicas y permiten grandes ángulos
de giro cuando se diseñan y construyen correctamente. Además, no
necesitan ser protegidas contra la corrosión a diferencia de las
articulaciones metálicas y se conservan durante mucho tiempo sin
gasto alguno.
La forma de rótula más eficaz es la conocida como tipo Freyssinet, por
haber sido este gran ingeniero francés el primero que la utilizó, en el
puente de Plougastel. Consiste, esencialmente, en una estrangulación
de la pieza (denominada cuello de la articulación) efectuada mediante
una ranura de labios en general divergentes y fondo redondeado (figura
14.12).
La sección estrangulada se dimensiona para que el hormigón trabaje a
una compresión muy elevada, con lo que el material del cuello
(fuertemente zunchado por efecto del trazado horizontal de las
isostáticas de compresión) se plastifica antes de alcanzar la rotura, lo
que le permite girar sin ningún peligro.
Tema 14. Cargas concentrad.as sobre macizos. Articulaciones de hormigón

336 ÁlvarQ García Meseguer
t
~CJ ~l(fl @
~L 1
. b L:b;bp
- -- ---- -
b l
E3 ~=·5
(a) (b) (e)
Figura 14.12.Articulaciones tipo Freyssinet:
a) lineal; b) en dos direcciones; c) circular.
Cuando la articulación es lineal (figura 14.12.a), es decir, que permite el
giro en una sola dirección, debe estrangularse junto a las caras
frontales, para que no salte el hormigón del paramento bajo la acción
de las altas presiones.
Cuanto más pequeño sea el cuello de una articulación, mayores giros
permitirá y mayor será la presión admisible en el mismo. La resistencia
al giro de la articulación viene expresada a través cjel momento M de
reacción, que origina en la sección reducida del cuello una excentricidad
e de valor M/N, siendo N la cargá axil. Esta carga concentrada en el
cuello origina en las dos testas de las piezas q·ue se articulan unos
esfuerzos de hendimiento elevados, en dirección transversal, que han
de ser absorbidos con armaduras (ver apartados 14.1 a 14.3).
Si el ángulo de rotación es pequeño, la rótula lo toma sin fisurarse, por
deformación del hormigón de las piezas articuladas. Si el ángulo es
grande, el cuello de la rótula se fjsurél (figura 14.13) y,
consiguientem.ente, la presión sobre la zona no fisurada aumenta
mucho. Pero el hormigón llega a resistir una tensión en el borde de
hasta e veces su fck antes de romper. Por ello, si no se llega a este
valor, la rótula continúa resistiendo. Además, con la actuación de la
carga permanente la fisura se va cerrando en parte, debido a las
deformaciones lentas del hormigón, con lo cual disminuye la
Tema 14. Cdrgas concentrados sobre mociz-os. Articulociohes de hormigón

excentricidad e y el momento de reacción M. Por esta razón, hay que
distinguir entre el ángulo de rotación debido a la carga permanente (que
es invariable) y el debido a las cargas variables (que puede cambiar de
sentido).
N
e
a
g'·•
o
M
o
o ó'
c. de .g.
o
LLIJ..-- Tensiones de compresión
en la sección no fisurada
del cuello
Figura 14.13. Caso de grandes giros en Ja rótula
Leonhardt asegura incluso que no h'ay ningún riesgo en emplear
articulaciones para ángulos de giro en los dos sentidos (+a. y -a.). Con
ello, la fisura sale en uno u otro lado, según el caso, pero vuelve a
cerrarse cuando cambia el sentido del g.iro sin que resulte afectada la
resistencia de la rótula. Como ilustración experimental, este autor cita
los ensayos realizados en el EMPA de Zurioh para las rótulas de un
gran puente de ferrocarril, con cargas de servicio de 4 so toneladas
sobre un cuello de 15 • 70 cm2
• Se realizaron 3 7 millones de ciclos de
carga-descarga con distintas combinaciones de N y a., mostrando la
rótula un comportamiento impecable bajo N = 450 t y a.= 12 por 1000.
Después la rótula fue sometida a un ensayo estático con N =9 oo t y
a.= 6 por 1000 sin mostrar el menor indicio de fallo. Finalmente se
llevó a rotura para un ángulo de rotación exagerado del soo por 1000
(!) alcanzando el agotamiento para N =2.5 o t.
Digamos finalmente que cuando se quiere permitir un corrimiento
horizontal relativo entre las dos piezas que se articulan, se pued·e
recurrir a piezas cortas doblemente articuladas, denominadas péndulos

338
,
o bielas (figura 14.14) que trabajan siempre bajo un axil centrado (de
ahí su nombre de bielas) y cuya altura se deduce del corrimiento
máximo previsto con ex= 5 por 1000 en cada cuello. Resulta así la regla
práctica de que el péndulo tenga una longitud en metros igual al
corrimiento en centímetros. Como es lógico, estas bielas deben ir
fuertemente zunchadas y su esbeltez geométrica no debe superar
'A. =5. Su empleo, típico de puentes, ha disminuido desde la aparición
de los aparatos de apoyo con placas de neopreno.
14.5.2.
(a ambos lados) 5%o
PénduJo
Figura 14.14. Péndulo o biela de hormigón
rótula
La dimensión b0 del cuello (figura 14.15) debe ser, como máximo, el
30º/o del ancho total b; un valor normal es la cuarta parte, habiéndose
llegado a valores de un octavo. En valor absoluto, b 0 suele variar entre
10 y 30 cm, sin bajar casi nunca de los s ó 6 cm.
El espesor t de garganta debe ser también lo más reducido posible.
Distintos autores proponen como límite t $ o, 2 o b0 , añadiendo
Leonhardt la condición t $ 2 cm. Prácticamente, el espesor t suele
variar entre 10 y 3 o mm, valores que permiten rotar a la articulación sin
Tema 14. Cargas concentradas sobre macizos. Articulaciones de hormígón

que sea de temer el contacto entre los bordes de las piezas Guerrin
recomienda calcular t mediante la expresión:
b .(
t = 40 1 - :o)
que debe ser redondeada por defecto,
rotura imposible" del cuello.
para conseguir el "estado de
El valor máximo de la rotación es un factor determinante en el diseño de
articulaciones. Las de tipo Freyssinet proporcionan cómodamente
rotaciones del 5 por 1000. Una rotación admisible del 1O por 1000
parece coloc¡:irse, según la experimentación, en el límite de lo prudente.
W: • •
• a
• o • b0 < Q,3b
f3 r.
1
t < 0,2b0
tL w o t< 2cm
1 bo tan f3 < 0,1
(}>
o b
• ~
Fígura 14.15.Dímensiones recomendadas
En cuanto a la resistencia del hormigón, los distintos autores
recomiendan hormigones HA-30 o superiores. El núcleo debe trabajar a
tensiones medias del orden de 2 fck a 3 fck pareciendo prudente no
sobrepasar los 100 N/mm2
en servicio. Si las tensiones son moderadas
és fácil que aparezca una fisura en el cuello. Hay que tener presente
que lo deseable es obligar al núcleo a que trabaje en estado plástico
bajo el esfuerzo axil, a tensión suficientemente elevada para que el
momento flector correspondiente a la rotación ·prevista no provoque la
descompresión del borde menos comprimido.
14.5.3. Armaduras
Normalmente es innecesario, y puede ser hasta perjudicial, disponer
armaduras pasantes por el cuello de la rótula. La resistencia a esfuerzo
Tema 14. Cargas concentrada_ssobre macizos. Articulaciones de hormigón

340
,
cortante del hormigón del cuello, debido a su estado de compresión
triaxil, es, según Guerrin, del orden de la mitad de la resistencia a
compresión fck• lo que resulta suficiente en casi todos los casos. Unas
barras pasantes sólo podrían justificarse en caso de existir efectos
transversales de impacto sobre la rótula, pero, aun en tal supuesto, son
muchos los autores que desaconsejan su empleo. Para casos así no
conviene proyectar articulaciones de hormigón.
No obstante lo anterior, Leonhardt recomienda disponer pasadores en
el eje de la rótula cuando el cortante supera el 12% del esfuerzo axil.
Las testas de las piezas que se articulan constituyen el punto débil de la
rótula, por desarrollarse en ellas fuertes tracciones horizontales. La
cuantía de armadura necesaria ha sido evaluada en el apartado 14.3.1
pudiendo emplearse también para rótulas lineales las siguientes
fórmulas sencillas:
U1 = 0,22 y t N
U 2 - 0,11 r t N
u1 capacidad mecánica de las barras paralelas al plano d.e giro de la
rótula;
u2 capacidad mecánica de las barras perpendiculares al plano de
giro de la rótula;
N esfuerzo normal máximo previsto.
Estas armaduras deben colocarse en forma de emparrillados
(figura 14.16.a) y no en forma de cercos, ya que éstos se deformarían
buscando una forma circular y no serían útiles; y deben anclarse
eficazmente, bien soldando las barras o bien constituyendo los
emparrillados mediante bucles de un solo alambre (figura 14.16.b). En
columnas circulares puede usarse con ventaja el zuncho helicoidal,
como ya dijimos.
Como el pico de máximas tracciones se presenta próximo al cuello
(más cerca de lo que indica la teoría, según demuestra la
experimentación), los emparrillados deben colocarse inmediatamente

junto a la garganta y extenderse a lo largo de la pieza en una longitud
igual a su anchura, pero más juntos en los dos tercios adyacentes a la
rótula (figura 14.16.c).
- a-.
í U;
J eje
-
b
- . L d
213 d
1cm
1 1
-·1 1
r 1
u, Y' .. ~
U2
-
d
2CrTl (a)
rb
L
' ' -· -- - ,,l: r- c
r ,- ·- :· p
,
~. '·~; :.. }r - .
' .. - )
(_ -·,,, ,__
-·- - --,
'
- 1
·r
1
.__--d - ----
(e)
(b)
Figura 14.16. Disposición de armaduras
BIBLIOGRAFÍA
• Instrucción EHE: Artículo 60 "Cargas concentradas sobre macizos".
• Traité de béton armé por Lacroix, Fuentes y Thonier. Ediciones
Eyrolles, París 1982. Capitulo 9.4. "Pressions localisées. Frettage.
Articulations".

.
1. Bajo una compresión localizada, el hormigón se comporta con una
resistencia superior a la obtenida en probeta cilíndrica. ¿Cuánto
vale el factor de mayoración?
2. Deducir el valor de la armadura de hendimiento bajo presión
localizada en el supuesto de que el brazo mecánico de las fuerzas
interiores de tracción y compresión valga o, 42 a.
3. Diseñar un péndulo para resolver el apoyo de una viga carril sobre
la que corre un puente-grúa, de forma que se permita un
corrimiento de s mm a cada lado de1 apoyo. La viga tiene 3 o cm
de ancho y la carga sobre apoyo es de 15o toneladas (para el
ejercicio, considérese como carga permanente). Por efecto de
frenado, puede producirse una fuerza horizontal de 2 o toneladas.
Los datos de materiales son: HA-30 y B 400 S.
4. ¿Recuerda Vd. de memoria cuánto valen los parámetros x, y,
z , v de la figura 14. 17? ¿Cuáles de ellos están indicados en la
EHE?.
a0 =dato
-
~X
Centro de
gravedad
y~
3:=¡
t tt t
...!-- a= dato ___.i
Figura 14.17
Tema 14. Cargasconcentradas sobre macizos. Articulaciones de hormigón

344 '
1. El factor vale (ver figura 14.2):
2. Establecemos el equilibrio de la parte izquierda de la figura 14. 18,
tomando momentos con respecto al punto A.
N a N a 0
- · - - - · - - T · 0,4 2 · a
2 4 2 4
T - N (1 - ªo) - 0,3 N (1-ªaº)8 · 0,42 a
con lo que se obtiene la fórmula de la antigua Instrucción EH-91.
a
.
ªº4
-
2
1 1
e
A
1
1 '
1
l ~~
1
1 •
1
!i_4 aL[----
2 4
a
Figura 14.18
¡
0,42a
T-

'
3. Como el corrimiento total es 1 cm el péndulo tendrá 1 m de
longitud. Su ancho debe ser 3 o cm, igual que el de la viga; en la
otra dirección, o sea, en la dirección longitudinal de la viga (que es
donde hay que ubicar los cuellos de las rótulas) daremos una
dimensión x , con cuello de o, 2 5 x.
La presión en el cuello es de:
150.000
- - - - kp/cm
2
0,25x · 30
que igualamos a 2fck =600 kp/cm2
. Resulta x =33, 3 cm y
adoptamos x = 3 o cm. Será, pues, un péndulo cuadrado.
Comprobamos que su esbeltez geométrica 1oo/3 o es menor de s.
La resistencia a cortante del cuello es del orden de:
0,5 . f ck . b o . a = 0,5 . 3 o o . 7,5 . 3 o = 3 3,7 5 ton
que resulta superior a 2 o •1, 6 =32 ton. Como es un poco justo
(y además, para quitar medios centímetros) adoptaremos b 0 =8
cm.
De este modo, la presión en el cuello vale:
150.000
= 625 kp/cm2
8 . 3 o
que resulta satisfactoria.
Para el espesor del cuello (figura 14. 15) tanteamos la fórmula de
Guerrin:
t = ~ (1 - ~º) = : (1 -
3
8
0
) - 1,5 cm
y aceptamos su valor, que es menor de 2 cm.
En el otro plano (ver figura 14.19) diseñamos también un acabado
en cuello para evitar roturas en el paramento.

. .
' {
- -
- -r
---
'• •100
• •
1- .
'
s.
L )- - - -
J__ .l
508
~801o
~
5010
Figura 14.19
Para las armaduras empleamos las siguientes fórmulas
símplíficadas:
U1 = 0,22 · yf · N = 0,22 · 1,6 · N = 52,8 t
Como el ancho es 3 o cm, vienen bien s parrillas, que quedarán a
20 cm entre sí. Cada una debe absorber 10, 54 t.
Tomamos una malla de s · s barras que deja espacio para que
pase el hormigón. Vale con 010, ya que 5010 =14 t. (La verdad
es que también valdrían 401o, que dan 11, 2 o t y se
hormigonaría mejor).
En la otra dirección hay que poner la mitad. Valen 508 (y también
408).
Finalmente anotamos que, a los otros lados de los cuellos, habrá
que poner las mismas parrillas. Es importante que los nudos
vayan soldados, para un buen anclaje de las parrillas.
Tema 14. Cargas concentrodas sobre macizos. Articulaciones de hormigón

4.
X 0,1 · a; z = O, 5 · a; V a;
y (Jmax =O,s(1-~)
la EHE indica únicamente los valores de x, v en la fígura 60.4.
Tema 14. Cargas concentradas sobre macizos. Articulaciones de hcrrr. ;

15.1 .
! 1s.1.1 .
VIGAS. DE GRAN
CANTO O VIGAS
PARED.
GENERALIDADES.
CANTO EFICAZ Y LUZ.
ANCHURA MÍNIMA.
VIGAS PAR·ED SIMPLEMENTE
APOYADAS.
VIGAS PARED CONTINUAS.
ARMADURAS DE ALMA.
ZONAS DE A.POYO.
VIGAS PARED EN VOLADIZO.
GENERALIDADES
Definición y forma de
trabajo
Como idea general, llamamos viga de gran eanto o v.íga pared a la que.
tterre un canto igual o superior a la mitad de su luz. ~stas vigas se
Rresentan generalmente en las fachadas o paredes resistentes aelos
edificios y de ahí su nombre.
Tema 15. Vigas de gran canto o vigas pared

350
,
Con esta relación tan pequef'la luz/canto, la teoría general de vigas no
es aplicable y hasta el concepto de momento flector pierde su sentido.
Las vigas pared constituyen por sí solas toda una zona D, es decir, son
un caso típico de discontinuidad generalizada que ha de estudiarse por
el méto.do de las bielas y tirantes (Tema 3).
Veamos más despacio cómo suceden las cosas, según muestran los
ensayos. En una viga ordinaria simplemente apoyada cuyo canto h no
supera el cuarto de la luz 1, la teoría de Navier es aplicable (las
secciones planas antes de deformarse se mantienen planas después de
la deformación) y la distribución de tensiones en la sección central
presenta la forma de la figura 15.1.a. El eje neutro se coloca en el
centro y el brazo mecánico es de o, 67 h.
Si el canto de la viga vale la mitad de la luz, el eje neutro baja (figura
15.1.b), las tracciones se siguen repartiendo linealmente y la ley de
reparto de compresiones se incurva. El brazo mecánico sigue siendo
más o menos como antes.
h 0,67h
T-
(a)
h 0,62h
T
(e)
e
0,5h
0,28h
e
h 0,67h
._=~T~~- J0,4h
(b)
..... -- -- -
h
1 t::
1
p.._ 1 0,25h
1
,1•
(d)
Figura 15.1. Distribución de tensiones, casos a, b, e y d

'
Si el canto de la viga es igual a la luz (figura 15.1.c), el eje neutro baja
todavía más. La compresión en la fibra superior es bastante menor que
la de Navier y el brazo mecánico disminuye.
En fin, si el canto es mayor que la luz (figura 15.1.d), la tensión máxima
de tracción queda igual que en el caso e anterior, el eje neutro baja
levemente y las compresiones se anulan (o casi) a un nivel de la fibra
inferior igual a la luz. Podemos pensar por tanto, a efectos prácticos,
que la situación queda congelada en el valor llmite h =l.
En todas las situaciones analizadas, el vaJor del brazo mecánico eficaz
Za resulta igual o algo superior a:
ze = 0,2 (l + 2h)
por lo que tomaremos siempre este valor, quedándonos así del lado de
la seguridad.
1 15.1 .2. Bielas y tirantes
El comportamiento descrito en el apartado anterior es expresivo de la
importancia que va tomando el efecto arco a medida que aumenta el
canto. Por ello el modelo que debe guiarnos para disponer las
armaduras es el de arco atirantado (o mejor dicho, el de arcos
atirantados) o, más sencillamente, el de bielas comprimidas de
hormigón con tirante inferior. Como el canto es muy grande pueden
formarse varios sistemas de bielas (figura 15.2), por lo que habrá que
dispor:ier tirantes en toda la altura, aún cuando el sistema principal será
el inferior. Pero si no ponemos tirantes más arriba las bielas
secundarias empujarán al vacío, cosa que debemos Impedir.
También se ve claro que los tirantes deben anclarse muy bien y que las
esquinas inferiores requerirán un buen zunchado, para recoger mejQr el
empuje de las bielas principales.
Ahora bien, la forma concreta de disponer las armaduras dependerá de
la manera según la cual reciba las cargas nuestra viga: presionando por
encima, colgando desde abajo o embrochaladas a toda la altura; asl
como de la forma de los apoyos: apoyo inferior o apoyo distribuido en
Tema 15. Vigas de gran c anto o vigas pared

toda la altura, como es el caso cuando la viga pared va embrochalada
con otras en sus extremos.
Tirantes
Tirante principal
Figura 15.2. Sielas de hormigón
Todo lo dicho hasta aquí responde al modo de enfocar el problema en
la pas_ada década de los ocnenta, modo que se ha perfeccionado h:ey
día gracias a la moderna teoría de bielas y tirantes. Esta es la teoría
que aplica la EHE en su artículo 62. Ahora bien1 para enriquecer el
análisis, en este capítulo seguiremos la doctrina tradicional (vigente en
España hasta la aparición de la EHE) comparándola cuando proceda
con el método actual. (A título de primer ejemplo, compárese la figura
15.1.c del apartado anterior con la figura 62.3.1.a de la EHE).
15.2.
CANTO EFlCAZ Y LUZ
Definimos el canto eficaz he de una viga pared como la menor de las
dos magnitudes siguientes:
• el canto total h
• la luz 1
La introducción de este concepto permite simplificar la formulación
relativa a v.igas pared del método tradicional (método de la anterior
Instrucción EH-91 ).

En cuanto a la l.uz l de un vano, se toma la menor de las dos siguientes
(figura 15.3):
• la distancia 11 entre ejes de a.poyos
• la luz libre lo multiplicada por 1,15
Figura 15.3. Definición de la luz
Precisemos ahora que la definición que dimos al principio de 15. 1 de
viga de gran canto es válida solamente para elementos isostáticos. Si la
viga es continua, la consideramos viga pared cuando se verifica:
15.3.
15.3.1.
1 < 2,Sh
ANCHURA MÍNIMA
Método empírico
tradicional
La resistencia a flexión de la$ vigas gared sueJe ser superabundante,
¡¡tero no sucede lo mismo con la resistencia a cortante. Este factor, así
Tema 15. Víg.as de gran canto o vigas pared

como la posibilidad de pandeo transversal de la cabeza comprimida,
imponen limitaciones al ancho b de las mismas.
El esfuerzo cortante máximo de cálculo, determinado como en las vigas
ordinarias, no debe sobrepasar el valor:
para evitar el agotamiento del hormigón por compresión exc.esiva de las
bielas. De ahí se deduce q.ue, en el caso de uno o varios vanos de luces
iguales sometidas a una carga q uniformemente repartida, el espesor b
debe cumplir:
siendo lo la luz libre, ~ el canto eficaz, qd la carga mayorada por
unidad de longitud y f cd la resistencia de cálculo del hormigón.
Además y por consideraciones de pandeo (a menos que se rigidice la
cabeza comprimida mediante nervios), se debe cumplir en ese mismo
caso la condición:
Como limitación de carácter absoluto, b no debe bajar de 10 cm, según
el CEB.
15.3.2. Método moderno
La anchura mínima viene condi.cionada por el agotamiento en
compresión de los nudos y las bielas, según los criterios establecidos
por el método de las bielas y tirantes (ver Tema 3). En general, resulta
más desfavorable la compresión en el nudo de apoyo (véase la figura
62.3.1.b de la EHE) que en las bielas, cuya resistenci.a a compresión
suele ser superabundante.
Tema 15. Vigas de gran canto o vigaspared

15.4.
VIGAS PARED SIMPLEMENTE
APOYADAS
15.4.1. Método empírico
tradicional
Para el cálculo de los esfuerzos principales (momentos flectores y
esfuerzos cortantes) debidos a las acciones de cálculo, se procederá
como si se tratara de vigas normales. En particular, los esfuerzos
debidos a deformaciones impuestas (tales como retracción, fluencia,
temperatura o descensos de apoyos) podrán calcularse a partir de las
rigideces de la viga de gran canto antes de su fisuración. Los esfuerzos
así determinados no tienen el mismo significado físico que en el caso
de vigas normales, pero pueden utilizarse como base del
dimensionamiento de las armaduras, tai como se indica a continuación.
La capacidad mecánica 0 0 de la armadura longitudinal de la cabeza
inferior se calculará mediante la fórmula:
U8
= .Md con ze = 0,2 (1 + 2h8
)
ze
momento flector de cálculo;
ze brazo mecánico eficaz, distinto al de una viga normal;
1 luz de la viga (ver 15.2);
he canto eficaz (ver 15.2)
Esta armadura principal se repartirá sobre una altura igual a
0,25he-0,051, medida a partir de la cara inferior de la viga de gran
canto (figura 15.4.a); se mantendrá sin reducción de un apoyo al otro, y

356
,
se anclará de forma que en la sección situada sobre el paramento del
apoyo pueda resí$tir un esfuerzo de tracción de o, s U9 •
Leonhardt recomienda que los bordes verticales y las barras verticales
junto a esos bordes vayan envueltos por barras horizontales en forma
de estribos abiertos (figura 15.4.b), más juntos entre sí en la parte baja
de la viga (.es decir, junto al apoyo) especialmente cuando existe un
regruesamiento en el apoyo o un pilar ligado a la viga.
Además de las armaduras indicadas, las vig.as pared simplemente
apoyadas llevarán las armaduras de alma que se definen más adelante.
~~
f
L ~
lo
- !
0,25he -0,051
---,
1 *1,1510
(a)
cercos abiertos adicionales
sobre la armadura principal
armadura vertical de alma
arm~dura horizontal de alma
~ armadura principal inferior
- - - ' - •
• - - -
{b)
Figura 15.4. Víga pared simplemente apoyada

a) En el caso a.e carga uniformemente distribuida en su parte superior,
de los estudios efectuados (tanto mediante análisis lineal como por
fotoelasticidad y ensayos mecánicos) se deduce que las isostáticas
adoptan la forma indicada en la figura 15.5.a, en la que, como es
habitual, se han dibujado en trazo lleno las isostáticas de tracción y
en trazo discontinuo las de compresión. Las tensiones en la sección
central AB de la viga (figura 15.5.b) tienen unas resultantes N de
compresión y T de tracción cuyo brazo de palanca z puede tomarse
igual al 60o/o de la luz, lo que ceincíde prácticamente con el análisis
tradicional (ver figura 15.1.c).
ro-li.....1 I
~,:L--J--t--t, 1
jf-1-...J. ' ~
ti-"f....!. '~_J_~~L....:d'.:::Ll-J.r-i
B
---1 -_.l
{a) lsostcitícas
h
A
z
T
-B
{b) Tensiones en la sección central
Figura 15.5. Viga de gran canto bajo carga uniforme
b) Una vez conocido el estado de tensiones principales ya puede
establecerse el modelo de bielas y tirantes de la figura 15.6, en el
que se ha sustituido la carga l)niforme Pd por dos fuerzas iguales a
o, s · Pd • 1,. Como puede observarse, todas las barras del modelo
trabajan a compresión excepto el tirante inferior T.

1 14 1- -r 1 /4 ,._
Figura 15.6. Modelo de bielas y tirantes en viga pared
c) De las condiciones de equilibrio se deduce fácilmente el valor de la
fuerza de tracción que actúa sobre el tirante (suponiendo, para
simplificar, que éste se ubica en el paramento inferior):
T 1 /4
- - con
0,5 . p d . 1 z
z = 0,6 . 1
Por consiguiente, la capacidad mecánica necesaria para la armadura
principal es:

donde Rd =o, 5 · Pd • l es la reacción de apoyo.
d) La comprobación del nudo de apoyo (cuya compresión es más
desfavorable que la de la biela, por lo que no es preciso comprobar
ésta). se efectúa según el modelo de la figura 62.3.1.h de la EH5,
con lo que resulta la condición:
< f lcd - 0,70fcd
siendo a 0 , b 0 las dimensiones del apoyo.
e) La armadura principal correspondiente al tirante T debe disponerse
(figura 15.7.a) en u.na altura ig.ual a o, 12 · l y anclarse debidamente
P partir del eje de apoyo, prestando la máxima atención a la
disposición del anclaje {figura 15. 7.b); además, hay que disponer una
armadura secunciaria de cuantía geométrica no inferior al O, j º/o en
cada.cara y en cada dirección.~ Por último, si fuese necesario, habrá
que disp,<)ner una arma.dura suplementaria en apoyos según el
criterio de las cargas concentr9das sobre macizqs (ver Tema 14).
EJE DE APOYO
h
1
1
.-
0.121
.
'.
~ C;
.______ l _ _ __!
(a) Armaduras {b) Detalle en planta del anclaje de barras
Figura 15.7. Armado de viga pared.de un vano

.360
15.5·.
15.5.1 .
•
VIGAS PARED CONTINUAS
Método empírico
tradicional
Las capacidades mecánicas de las armaduras longitudinales de las.
cabezas superior e inferior se calcularán mediante la fórmula:
La armadura de vano deberá repartirse y anclarse de igual forma que
en el caso de vigas simplemente apoyadas.
En cuanto a la armadura sobre soportes, la mitad de la misma debe
prolongarse sobre toda la longitud de los vanos adyacentes, mientras
que la otra mitad puede interrumpirse a una distancia del paramento de
apoyo igual a o, 4 h 8 , siendo he el canto eficaz del vano de que se trate
(figura 15.8). Esta armadura se repartirá en el canto eficaz en dos
bandas tal como se indica en la figura. En la banda superior, entre las
cotas o, 8 he y h..,, se re.¡;>.artirá una fracci.ón de. La armadura total sobre
soportes igual a:
- 1 ~.!.
4
En la banda intermedia, entre las cotas o ,.2 he y o, 8 :n,.se dispondrá el
resto de la armadura (la limitación </:. 1/4 tiene por objeto impedir que
en la banda superior resulte menos armadura por unidad de altura que
en la banda intermedia).
En la parte superior de la viga, por encima del canto eficaz, si existe (es
decir, s• h > 1), se dis·pondrá un emparrillado de armaduras
ortogonales, en el que las barras horizontales deben $.er
preponderantes.
Temd 15. Vigas de gran canto o vigos pared

HORMIGÓN ARMADO. Elementos estructurale_s
0,41, 0.4he 0,4he .0,4he
1 1 r r ¡ r
'
1 r r T 1
.
-1
1
1
'¡
~ ~ g;¿
''T r
' '
Figura 15.8. Viga pared continua
1
1
.
1
1
- banda por encima
de hecon :enrejadq
3l>1
¡¡-j 0,2He
I I banda sup!'lri<'!r
~ h 1
1
1
-;._
h 0,6he
e [banda intermedia
-"0,2he
Además de las armadura.s indicad·as, las vigas pared Gontinoas llevaFan
las armaduras de alma CJUe se definen más adelante.
En el caso de carga uniformemente distribuida en su parte superior se
procede de forma análoga a la in€1icada en los pu.ntos b) a e) del
q,parledó 15.4.2. Para viga de dos vanos, él modelo de bielas y tirantes
es el indicado en la parte superior de la figura 62.4.a de la EHE. Para
viga de varios vanos, el modelo es el de la figu.ra 62.4.b de la EHE para
los vanos intermedios y el de la 62.4.a para los extremos,
De las condiciones de equilibrio se deduce la fuerza de tracción que
actúa sobre los tirantes, resultando los siguientes valores para· las
armaduras principales:
• Armadura sobre apoyos intermedios:

• Armadura inferior en vano intermedio:
(con fyd ':/> 400 N/mm2
)
• Armadura inferior en vano extremo:
(con fyd '> 400 N/lllll2
)
Respecto a disposiciones de armado, es aplicable todo lo dicho en el
punto e) del apartado 15.4.2 anterior, más lo indicado en la parte
inferior de la figura 62.4.a de la EHE.
En fin, la comprobación de nudos y bielas se efectúa comprobando que
la compresión localizada en los apoyos no excede del valor admisible.
Para ello deben cumplirse las dos condiciones siguientes:
siendo:
R ed Reacción de cálculo en apoyo extremo.
R1d Reacción de cálculo en apoyo interior.
Dimensiones del apoyo extremo (ver figura 62.3.1.b de la
EHE).
Dimensiones del apoyo interior (ver figura 62.4.2 de la EHE).
15.6.
ARMADURAS DE ALMA
Las armaduras de alma, cuya misión es colaborar con el hormigón para
resistir los esfuerzos cortantes, serán diferentes según que las cargas
sean directas (presionando directamente sobre la parte superior de la

HORM.IGÓN ARMADO. Elementos e.structurales 363
'Liga) o colg:adas· (aplicadas a la parte inferior). Una distinción análoga
debe hacerse con respecto a la forma de los apoyos.
A sentinuación indicamos el tratamiento de las armaduras de alma
según el método tradjcional, el cual es- más conservador que el
tratar:niente dado er:i la EHE.
r 15.6.1 Caso de cargas directas
Se dispondrá una malla de armaduras ortogonales de pequeño
diámetro, compuesta de estribos verticales (rodeando a la armadura de
tracción) y barras horizontales, en cada una de las caras. La cuaotía
geométrica total de estas armaduras de alma no será inferior al 4 por
1000.
Esto equivale a obligar a que la sección de cada barra horizonta.I o
vertical, Ah o Av, no sea inferior a:
siendo sh y sv las separaciones entre barras horizontales y verticales,
respectivamente.
En las proximidades de los apoyos se colocarán barras
complementarias del mismo diámetro que ra armadura de alma, tal
como se indica en la figura 15.9.a, de forma que se duplique la cantidad
de armaduras. Si la viga es continua, la armadura principal sobre
soportes, dispuesta según se ha indicado en 15.5. 1, puede ser consi-
derada comó perteneciente a las armaduras horizontales de alma
definidas anteriormente.
Para esf.uerzes cortantes elav,a¡¡jos, esto es, que s·obrepasen el 7Sºk d,el
valor límite o, 10:0 · he'f •f 0 d se dispondrán barras oblicuas completando
a la red Grtogonal de ta armadura de alma, c·apaees de absorber en su
dirección un esfuerzo. igual a o, sv0 . Estas barras formarán cercos que
envuelvan la armadara princiRal inte.rior de la viga o/ se anclarán en Ja
zona cle a¡:ie>yo G<Drno se iA€1iea en la figura 15.9.b.
Tema 15. Vigasde gra n c a nto o vigas pared

364
Zona en la que
Zona en le que hay que
dlspoMr una armadura
vertlcnl complementarla
/0,2h0
hay que disponer un l-+IH-+-14-~l-+
armadura boñzontal 1-+1H-+-l4-+-1-J1-+-
complementaña l
---------= o,sh.
Zona d~ arm<!dura
principal normal
i--r----.-- J
(a) Barras complementarias en apoyos
{c) lsostaticas en la zona de apoyo de
una p ared con apoyo indirecto
(Tomada dt1 Leonha.rdt)
'
(b) Cercos inclinados
(d) Fisuras entre bielas {ver figura e)
Figura 15.9. Zonas de apoyo
Estos cercos inclinados de la figura 15.9.b son especialmente
necesarios cuando, en vez de tratarse de un apoyo directo, se trata de
uno indirecto, como es el caso de la figura 15.9.c en el que la pared 1
se apoya en la 2 por embrochalamiento. Como muestra la figura y
confirman los ensayos, la transmisión de cargas se efectúa
predominantemente a través de bielas comprimidas en el tercio inferior
de la altura de la pared. En consecuencia, la pared 2 resulta cargada
principalmente en su zona baja y necesitará ser armada con estribos de

suspensión (ver apartado 14.6). A su vez, la pared 1 correrá riesgo de
que aparezcan fisuras entre las bielas en su ángulo inferior (figura
15.9.d), teniendo los cercos inclinados que comentamos (figura 15.9..b)
la misión de coser tales fisuras.
1 15.6.2. Caso de cargas colgadas
Este caso se analiza fácilmente según el modelo de bielas y tirantes de
la figura 62.3.1.d de la EHE. Su análisis según el modelo tradicional,
que conduce al mismo resultado, se explica a continuación.
Cuando las cargas se aplican en la parte inferior de la viga pareGI
(cargas colgadas) se dispondrá una malla idéntica a la definida en la
figura 15.9, siendo aplicable todo lo allí dicho. Pero además, se
añadirán los estribos necesarios (armadura de suspensión) para
asegurar la transferencia de la totalidad de la carga desde su punto de
aplicación a la parte superior de la viga pared. Conviene, para evitar la
fisuración, sobredimensionar estos estribos, que deben rodear, sin
discontinuidades, a las barras de la armadura inferior.
-- - h~
',
"/
'I
1 1
'
r-r
l
(a) Zona de influencia para
colgar las cargas
- , ... -,
" . 10-15cm
l
>-
~ 1 1111 111 1 1:
- - - 1--_...,
(b) Anclaje de los estribos de
suspensión cuando 1< 1,2h
(Tomada de Lsonhardt)
Figura 15.10. Cargas colgadas
Tema 15. Vigas de gran c a nto o vigas pa red

366 '
La zona de influencia en la que hay que colgar las cargas, para el caso
de carga distribuida, se representa en la figura 15.10.a. Si la luz 1
supera 1 , 2 h la armadura debe anclarse en el borde superior. Si es
menor que 1 , 2 h, basta con anclarla a lo largo de un semicírculo cuyo
punto más alto se ubica en la cota 1 (figura 15.10.b). En cualquier caso,
la separación entre estribos debe ser del orden de 10 - 15cm.
La materialización de la carga colgada se efectúa a través de algún
elemento estructural, tipo viga (figura 15. 11.a). Es importante que los
estribos de suspensión rodeen por debajo la armadura de esta viga,
como si fuesen estribos suyos. Consecuentemente, euando una placa
de forjado cuelga de una viga pared, la. armadura inferior de la placa
debe apoyarse sobre la capa inferior de armadura de vano de la viga
pared (figura 15.11.b), con objeto de que las bielas inclinadas de
compresión que le llegan no la empujen al vacio.
~
1
a
/11111
'
' "i(' ''
/
Cercos de sus12ensión
cma 10 - 15
Bielas
oatalle A
~- 11
V ,
+i111
/ 1 1/ '
'1,,v ,~ 1,2a
-¡ Bielas
Cerci:i·s de suspensión
;:i10-15cm
1 1 1111
Armadura sobre las
barras de la viga pared
(a) Viga colgada de una pared (b) Losa colgada de Una viga pared
Figura 15.11. Materialización de la carga colgada
Por cierto que, en el caso de viga colgada (figura 15.11.a), su ~anto
debe ser al menos igual a l , 2 · a, para que las bielas de compresión
puedan formarse, efectivamente.
Recordamos también en el detalle de la figura 15.12 la forma correcta
de organizar la esquina de apoyo.
Digamos finalmente que si la viga pared es muy alta y lleva juntas de
hormigonado horizontales, la armadura de suspensión puede cortarse y
empalmarse por solapo, siguiendo las reglas generales del caso.

H
p ~0
p
_ _._..,_ H
'
' 11
• 1
~
- - -.....~"I
BIEN MP..L
0
Rotl.lra de
anclaje
Figura 15.12. Detalle A de la figura 15.11.a
367
1 15.6.3. 1 Caso de cargas indirectas
En el caso frecuente de vigas de gran canto cargadas en toda su altura
por medio de un diafragma transversal (viga 2 de la figura 15.9.c) o de
un soporte prolongado hasta la parte inferior de la viga, deberán
disponerse los estribos de suspensión necesarios para la transmisión
de la totalidad de la carga indirecta, tal como se indica en el apartado
15.6.2.
Si la carga es muy importante, parte de la armadura de suspensió,n
pue·de estar formada por barras inclinadas dispuestas·$iguiendoJa línea
de acción de la carga conc·entrada, y capaces de absorber el 60°/e de la
misma, como máximo (figura 15. 13).
Pared 2
A
Pared 1
A
Barras inclinadas
.a 1nedio espesor
Pared 2
Pared 1
en el plano medio
de la viga pared SECCIÓN A-A
Figura 15.13. Armadura de suspensión
Temo 15. Vigas de gran canto o vigas.pared

368
15.7.
15.7.1.
'
ZONAS DE APOYO
Cálculo y
dimensionamiento
Para el cálculo de las reacciones de apoyo se procederá como si se
tratase de una viga normal; en los apoyos extremos, sin embargo, se
multiplicarán los valores de las reacciones obtenidas por el coeficiente
1,1, dado que la continuidad es menor que la supuesta, por ser también
menor la rigidez de la viga que la rigidez supuesta (hormigón sin
fisurar).
Para que la presión de los apoyos no produzca tensiones de
compresión locales demasiado elevadas en el hormigón de la viga, la
reacción de apoyo deberá resultar inferior a (figura 15. 14):
en los apoyos extremos
1,2b · (a + 2hf ) · f cd en los apoyos interiores,
b ancho de la viga de gran canto;
a longitud del apoyo. No se tomará un valor mayor de 1/s de la
menor de las luces de los vanos adyacentes al apoyo;
h f espesor, en su caso, de la losa sobre la que apoya la viga pared,
o del regruesamiento de la cabeza inferior de la misma.
En caso de no cumplirse esta condición {las vigas pared suelen te.ner
pequeño espesor) será preciso rigidizar la zona de apoyo con un nervio
vertical o un soporte, para aumentar la superficie de carga.

,
HORMIGON ARMADO. Eleméntosestructurales
a + h1
',
apoy.o externo
15.7.2.
a + 2h1
r r
' '
1ª 1
',
apoyo interior
h
h
regruesamiento de la cabeza
inferior o losa de apoyo
Fígura 15.14. Compresión localizada sobre apoyos
Carga concentrada en la
vertical de un apoyo
369
Si una viga pared está sometida a una carga concentrada Fd en la
vertical de uno de sus apoyos, y en ausencia de nervios verticales que
permitan la transmisión de la carga al apoyo, es necesario disponer una
armadura complementaria de alma, repartida en dos bandas
horizontales, cada una de las cuales debe resistir Fdi 4. Esta armadura
deberá disponerse según se indica en la figura 15.15.
Además, a efectos de cálculo, el esfuerzo cortante en dicho apoyo se
incrementará en el cortante complementario:
D.V =
2a
1 - -
h .,
.
para apoyos interiores;
para apoyos extremos,
siendo a la longitud del apoyo considerado, y ha el canto eficaz de la
viga pared.

370
h
a
0,3h
Fci lllll
.
l
.
A
a
.
1
•
A
'
0,3h e
Fd
0,4he
Figura 15.15. Caso de carga concentrada sobre el apoyo
15.8.
VIGAS PARED EN VOLADIZO
Con alguna frecuencia se presentan en edificación vigas pared en
ménsula. La norma EHE no trata estos casos.
Cuando las cargas actúan directamente, presionando por encima de la
viga pared, la armadura horizontal del voladizo debe distribuirse en
altura como indica la figura 15. 16, dependiendo de la rela.ción v I h,

para adaptarse a la distribución de tensiones. En dicha figura, uª es la
armadura necesaria sobre el apoyo.
Si existe una losa de forjado en la zona indicada para la armadura de la
ménsula, una parte de dicha armadura puede llevarse por la losa.
La armadura debe anclarse al otro lado del voladizo empleando
ganchos horizontales como los indicados en la figura 15. 7.b. Hasta
dónde deba llevarse la armadura es cuestión que depende de cómo
esté organizado el equilibrio general del voladizo. La figura 15. 17
muestra algunos ejemplos de dónde es necesario disponer armadura.
Tengamos en cuenta también que el régimen de esfuerzos internos
puede ser modificado, en el Estado 11 (o sea, después de la fisuración),
por el tamaño y disposición de las armaduras: una armadura grande
"atrae" mayores esfuerzos.
En cuanto a las armaduras de alma, vale todo lo indicado en 15.6.
2 I //)/)3 Us ...' .-;:"i',;
1.us h Us ·-~~·..:1 ley3 ~ :i,
0,3v[ .
-{~
de h.
0,
3
v f _
1
,. tracciones
•V
1
V
1
V
h = 1
V
h=0,7
..J 1 1 1
1
'>0,3v 1 1
--- ley
' de.'
.. tracciones1 4v '.....
h..•
'0,3q:l 1
V
V
h =0,5
Figura 15.16. Distribución de la armadura en ménsulas (Tomada de Leonhardt)

'
1 ;,1 ,
,
(a) ' ,' ,' ,
r
' ,'' ,V
____ J,..'
A B A B
I
I
I
,
A
2 1P. P. q
1 1
.
(e)' I
' I
' I
'
,
,~
I
I
I
B A
Caso (a): Carga en el voladizo solamente
Caso (b): Variante de (a)
1 1
- ,
'
'
I
1 ,
,
..
B
Caso (e): Carga concentrada en el vano adyacente
Caso (d): Carga distribuida en el vano adyacente
(b)
.
(d)
Figura 15.17. Esquemas orientativos pata la disposición de armaduras
( tracción; - - - - - compresión)
'
BIBLIOGRAFIA
• Instrucción EHE: Artículo 62 "Vigas de gran canto".
• Hormigón Armado por Montoya, Meseguer, Morán. Apartado 22.7
"Vigas de gran canto (vigas pared)''.
• Traité de bétón armé por Lacroix, Fuentes y Thonier. Ediciones
Eyrolles, París 1982.
• Construgoes de concreto: volumen 3, por Leonhardt y Monnig.
Editora lnterciencia, Río de Janeiro 1979.

1. Una viga pared de dos vanos, con luces iguales a 4 y s m
respectivamente, presenta un espesor más bien pequeño. ¿Qué
riesgos se corren? ¿Qué haría Vd para quedarse tranquilo al
respecto?
2. Cuando el cortante sobrepasa o, 7 s Vu hay que disponer cercos
oblicuos complementando a la red ortogonal, anclados en la zona
de apoyo. En el caso de tratarse de un apoyo ínterrnedio con
fuerte cortante a ambos lados ¿se le ocurre a Vd una forma
sencilla de organízar estos cercos oblicuos?
3. La figura 15. 18 muestra el apoyo de dos vigas prefabricadas
sobre el cordón inferior de una viga de gran canto. ¿Ve Vd algún
defecto?
l1
1
Cotas en cm
1 25 11 ()1 o
• • • •
Figura 15.18

374
,
Alvaro García Méseguer
SOLUCIÓN A LOS EJERCIC.105 DE AUTOCOMPROBACIÓN
1. Hay dos riesgos: pandeo y cortante. El cortante puede
comprobarse con la fórmula general:
no siendo aplicable la fórmula:
por no ser iguales las luces de los vanos. Igual sucede con la
fórmula análoga relativa al pandeo. Por consiguiente, para cubrir
el riesgo de pandeo, tenemos dos posibles soluciones (salvo
estudio especial)
- o colocar un rigi·dizador transversal
- o dar el espesor b que resu'ltaría de suponer los dos vanos
iguales a 5 m.
2. Se podrían pasar las barras de un vano al otro, como tndica la
figura 15.19.
-
~~ ~,
1
'--, ,
' 1
1
. -
Figura 15.19
3. El eje de aplicación de la c·arga dista 30 cm del paramento de la
viga pared. Por consiguiente, el c·anto del talón debe ser al men·os
de l , 2 • 30 = 36 cm. (¡Una biela a 45º no tendría dónde
apoyarse!)
Tema 15. Vigas.de gran canto o vigqs pared

MUROS DE
CONTENCIÓN DE
TIERRAS.
TIPOLOGÍA DE LOSMUROS DE,
CONTENCION.
TRABAJO DEL MURO Y
ESTADOS LÍMITE.
CARACTERÍSTICAS
GEOTÉCNICAS.
ACCIONES SOBRE EL MURO.
CÁLCULO DEL EMPUJE.
COMPROBACIÓN DE LA TENSIÓN
SOBRE ELTERRENO DE
CIMENTACIÓN.
CONDICIONES DE EQUILIBRIO.
CONDICIONESDE ROTURA.
RECOMENDACIONES DE DISEÑO
Y CONSTRUCCIÓN.
Temo 16. Muros de contención de tierras

16. 1.
TIPOLOGÍA DE LOS MUROS
DE CONTENCIÓN
Uh muro de hormigón es, salvo casos muy excepcionales, la solución
.estructural más barata para contener tierras y soportar sus empujes. El
tipo más general de muro se indica en la figura 16.1, en la que se ha
representado el caso de muro con tacón (para aumentar su resistencia
al deslizamiento).
CARA VISTA
ALZADO DEL MURO
ZAPATA DE
CIMENTACIÓN
•
PUNTERA
CORONACIÓN
TALÓN
TACÓN
Figura 16.1. Muro de contención
Los tipos m·ás usuales de muro son los siguientes (figura 16.2).
a) Muro en L sin talón, cuyo empleo es casi obligado cuand,o las tierras
c.olindantes s0n de propiedad ajena. Al faltarles el peso estabilizador
del suelo sobre el talón, debe considerarse con cuidado su seguridad
al deslizamiento. Atención al drenaje, que puede ser difícil.
· ~ .
, ........v ~-
·'
(a) (b) (e) (él)
Figura 16.2. Tipos de muros
Tema 16. Muros de contención de tierras

HORMIGÓN ARMADO. Elementos eslructurales 377
b) Muro en L sin puntera, de uso poco frecuente en edificación. En
general, producen altas presiones sobre el suelo y exigen bastante
.'
excavac1on.
e) Muro en T de talón grande, que es el más habitual y suele ser el más
económico.
d) Muro en T de talón pequeño.
Los cuatro tipos indicados constituyen los denominados muros ménsula
por ser ésta su forma de trabajo. Estos muros no tienen relación
estructural con ningún otro elemento (forjados, tirantes, etc.) y resisten
el empuje de las tierras trabajando a flexión como voladizos empotrados
en la zapata de cimentación; pueden considerarse como una solución
intermedia entre los muros de gravedad (cuya resistencia a los empujes
deriva de su propio peso exclusivamente) y los muros de contrafuertes,
propios para casos de gran altura.
El muro en ménsula, único que aquí estudiaremos, constituye la
solución adecuada para alturas de hasta 10 ó 12 m.
16.2.
TRABAJO DEL MURO Y
ESTADOS LÍMITE
En la figura 16.3 se representan, de modo exagerado, las
deformaciones que experimentan los distintos elementos del muro por
razón de su trabajo. El empuje de las tierras sobre el trasdós deforma al
alzado como una ménsula y provoca unas reacciones del terreno de
cimentación que son máximas en la puntera y mínimas en el talón.
Como consecuencia, la puntera se deforma en ménsula. A su vez, en el
frente de la puntera actúa la reacción del terreno, la cual colabora Uunto
con el rozamiento de la base de la zapata) en impedir el deslizamiento
horizontal del muro.
El peso de las tierras sobre el talón suele ser más alto que la suma de
reacciones (débiles) del terreno sobre el mismo.

K%,~h.Y/;ywh01.
I 1
Figura 16.3. Trabajo del muro
En la figura 16.3 se ha indicado con líneas de armadura la cara en
tracción de cada elemento, consecuencia del tra.bajo que acaba de
explicarse.
¿Cuáles son las posibles formas de fallo de un muro de eontenGión? A
cada una de ellas corresponderá un estado límite que de.beremos
comprobar en nuestros cálculos. Los principales estados límites son los
siguientes:
a) Tensión admisible en eJ terreno de cimentación. Si se sobrepasa, el
muro experimentará asientos de gran magnitud, incompatibles con el
servicio que debe prestar (ver figura 16. 11).
b) Deslizamienfo del muro. El muro puede deslizar horizontalmente,
como si estuviese sobre ruedas (ver figura 16. 12).
c) Vuelco del muro. Hab·itualmente se supone que el vuelco se
produciFá, de ocurrir, en torno al borde ee la puntera (figura 16.4.a)
aunque en la realidad el giro suele producirse alrededor de un centro
de giro situado a mayor profundidad que la zapata (figura 16.4.b).
Tema l 6. Muros de contención·de tierras

,
HORMIGON ARMADO. Eleme ntos estructurales 379
Cenll'O dagiro
• Centro de giro
(a) (b)
Figura 16.4. Vuelco del muro, teórico (a) y rea#(b)
d) Deslizamiento profundo del muro. Se trata. en realidad, de un fallo
geotécnico que estudia la Mecánica del Suelo (figura 16.5).
Figura 16.5. Deslizamiento profundo del terreno
e) Rotura del muro. Corresponde al fallo estructural, propiamente dicho,
del muro como pieza de hormigón armado. Por consiguiente, se
incluyen aqu! todos los estados límite últimos propios del hormigón
armado, referidos a cualquiera de los elementos del muro: alzado,
puntera o talón.
f) Deformación excesiva del muro. En ciertos casos, los giros y
corrimientos que se originan en las distintas secciones del muro
como consecuencia de las cargas pueden estar limitados (o puede
Tema 16. Murosde contención de tierras

380 '
Alvaro Gé::ircío Meseguer
convenir limitarlos) por cond'icionamientos constructivos o de
serv1e10.
g) Fisuración excesiva del muro. El estudio puede hacerse con arreglo
a los principios generales de fisLJración en hormigón armado.
h) Durabilidad del muro. Aunque no se trata propiamente de un estado
límite, conviene reseñarla aquí como recordatorio de que no basta
con asegurar las resistencias mecán·icas, sino que debe también
asegurarse la resistencia química frente a posibles agentes agresi-
vos.
16.3.
CARACTERÍSTICAS
GEOTÉCNICAS
Las características geotécnícas del terre.no influyen de manera decisiva
en el diseño del muro. En la figura 16.6 se reseñan las que deben
considerarse en los casos ordinarios. Además de ellas, tienen tamb.ién
influencia otros parámetros, tales como la cohesión y el ángulo de
rozamiento entre el relleno y el muro. Pero normalmente, ambos se
consideran nulos, lo que q·ueda del lado de la seguridad.
Situación del nivel l'reático.
_ Ángulo de rozanlíento interno ( <p).
_ Peso especifico (y).
_ Porc¡;¡ntaje de h~ecos (•¡.
_ Tensión máxima admisible ( O"adm)-
_ CQe-ficiénte de.rozamietrto al
deslizamiento (.u).
. ..... . ~
1TERRENO DE CIMENTACIÓN l
'
(*) Sólo es necesario si la
e;apa freáLica afecta al relleno
Figura 16.6. Características geotécnicas necesarias para el diseño del muro

.Cuando la eapa freátiea queda dentro de l.a altura del muro, la presión
hidrostática aum.enta apreciablemente los empujes, por lo que no puede
dejar de considerarse.
A título orientativo se ofrecen los siguientes valores usuales:
<¡> = 30º (suelevariarentre25ºy45º)
y - 1,8 t/m3
(suelevariare.ntrel,7yl,9)
µ = tan <p = tan 3oº = o, 57 s (suele variar entre o, 4 y ó, 6)
16.4.
ACCIONES SOBRE EL MURO
En la figura 16.7 se representan las acciones sobre el muro, cuando no
hay (a) o si hay (b) capa freática afectando al muro.
P.P. MURO
P. RELLENO
SECO
E. PASIVO
EN PUNTERA
PESO PROPIO
CIMENTACIÓN
EMPUJE ACTIVO
RELLENO SECO
RQZAMIENTO AL
DESLIZAMIENTO
Figura 16.7.a. Acciones sobre.el muro cuando no hay capa freática
{Tomada de Mal/acero)

3.82
P.P. MURO
PESb RElLENO
SECO
P. AGUA
P. RELLENO
SUJvlERGIOO
E. PASIVO
EN PUNTERA
SUBPRESIÓN
PESO PROPIO
CIMENTACIÓN
EMPUJE ACTIVO
RELLENO SECO
EMPUJE ACTIVO
RELLENO SUMERGIDO
NIVEL FREÁTICO
J
ROZAMIENTO AL
DESLIZAMIENTO
EMPUJE
HIDROSTÁTICO
Figu.ra 16.7.b. Acciones sobre el muro cuando hay capa freática
(Tomada de Ma/facero)
16.5.
CÁLCULO DEL EMPUJE
Deben distinguirse tres valores distintos del empuje, que corresponden
a otras tantas situaciones diferentes.
a) El valor mínimo se produce cuando et muro puede girar ·y
deformarse, como sucede normalmente en la práctica. Basta con
corrimientes en coronación del orden d·el 5 por 1000 de la altura del
muro. A este valor se le denomina empuje activo.
b) Un valor intermedio se produce cuando el muro es rígido e
ind·eformable. Se le denomina empuje al reposo.
c) 61 valor máximo se produce cuando el muro quiere trasladarse y
presiona contra el terren·o. En tal situación, el terreno responde con
e.I denominado empuje pasivo, que vale unas nueve veces el activo.
Tema 16. Muros de contenc ión de tierras

Los muros de contención se calculan siempre para el empuje activo.
Hay que asegurarse, pues, de que el muro es libre para deformarse. En
el caso de un muro de sótano fuertemente arriostrado por los forjados,
según sea el proceso constructivo puede ocurrir que el muro no pueda
deformarse bajo la presión del terreno, en cuyo caso habría que
considerar un empuje bastante mayor que el activo. En fin, cuando el
empuje pasivo nos sea favorable (por ejemplo, en el frente de la
puntera) debemos ser prudentes en su evaluación y asegurarnos de
que efectivamente se movilizará.
El cálculo de empujes suele efectuarse según la teoría de Rankine
(teoría conservadora, al no contar con el efecto favorable de rozamiento
entre el relleno y el muro) la cual conduce a las siguientes fórmulas. en
el caso de relleno con talud horizontal a nivel de coronación (ver figura
16.8).
X
H
2H
3
Figura 16.8. Empuje del terreno
pax =
1 - sen cp
y . X
1 + sen cp
En estas expresiones, es:
1 + sen cp
; y . X
1 - sen <p
Pax presión activa en t/m2
por m · 1 de muro, a la profundidad x
Ppx presión pasiva ídem idem
y peso específico del relleno en t/m3
Temo 16. Muros de con1enclón d e tierras

x profundidad en m
ángulo de rozamiento interno del relleno
Como la distribución de presiones (al decir presiones nos referimos a
valores unitarios) sigue una ley triangular, el empuje (al decir empuje
nos referimos a valores absolutos), que es la resultante de las
presiones, se sitúa a profundidad de dos tercios de H y vale:
2 1 - sen cp
· H
1 + sen <p
1 2 1 + sen <p
E = -y ·H
P 2 1 - sen cp
donde Eª es el empuje activo y EP el empuje pasivo.
En los casos de talud formando un ángulo f3 con la horizontal
(figura 16.9), la presión activa a la profundidad x vale:
Pax - 'Y X COS
p cos P- J~os2
P - cos
2
cp
cos P + ~cos2
P - cos
2
<p
.B,
-·-
Px
1
·-X
i
Fígura 16.9. Caso de talud no horizontal

Si sobre el terreno actúa una carga uniformemente repartida de valor q
en t/m2
, se transforma ésta en una carga equivalente de tierras (figura
16.10), cuya altura será:
h = q
o
y
con lo que la ley de presiones resulta trapecial y el empuje se calcula
fácilmente.
- r- h
Empuje activo
equivalente
h - q
o- y
------- r •
Peso de las tierras
para una altura h + h 0
H
Figura 16.10, Caso de carga uniformemente repartida
Todo lo expuesto supone que el relleno estará bien drenado. Si no hay
drenaje o no funciona bien, el empuje puede duplicarse fácilmente. La
consecuencia es clara; debemos siempre disponer drenajes a pie de
muro; y si no lo hacemos, deberíamos calcularlos como presas y no
como muros.
16.6.
COMPROBACIÓN DE LA
TENSIÓN SOBRE EL TERRENO
DE CIMENTACIÓN
Se efectúa trabajando con valores característicos (sin mayorar) y
suponiendo una distríbución lineal de tensiones sobre la zapata. De este

386 '
modo, el diagrama de tensiones será trapecial o triangular según que la
resultante F quede dentro o fuera del tercio central (figura 16. 11).
F
<Jméx
X
a/2 a/2
.
e< a
- 6
Omin
lllll t i¡tJ
1 1 1 t
(1 X
e>~
6
Figura 16.11. Tensiones sobre el terreno, según la excentricidad de la resultante
Como criterio de cálculo habitual se admite que la tensión máxima amax
supere a la tensión admisible hasta en un 25°/o, siempre que el valor
medio o, 5 (crmax+am.in) no supere al de la tensión admisible.
Otro criterio menos utilizado (y no coincidente con el anterior en su
filosofía de la seguridad) consiste en comprobar que la tensión máxima
producida por el empuje mayorado (yf ,,,, 1, 5) no supera al doble de la
admisible.
16.7.
16.7.1.
CONDICIONES DE
EQUILIBRIO
Seguridad al deslizamiento
Debe cumplirse la siguiente condición (ver figura 16. 12).

en la cual:
µ coeficiente de rozamiento suelo-muro
~ suma de todas las acciones verticales
Ep empuje pasivo sobre el frente de la puntera
Yd coeficiente de seguridad al deslizamiento (se toma normalmente
yd. = 1, s)
E.. empuje activo (de tierras, del agua, de sobrecargas, etc.).
DESLIZAMIENTO (Ea)
empuje pasivo Ep ' rozamiento µ · ~N
Figura 16.12. Deslizamiento
16.7.2. Seguridad al vuelco
Se comprueba calculando los momentos voleadores Mv y los momentos
estabilizadores M., con respecto al borde de la puntera (ver figura
16.4.a). Debe verificarse la condición:
donde Yv es el coeficiente de seguridad al vuelco, que normalmente se
toma igual a 1, 8.
Temo 16. Muros d e contención de tierras

388
16.8.
CONDICIONES DE ROTURA
El dimensionamiento del muro como estructura de hormigón armado no
presenta problemas especiales (recordar figura 16.3). Las secciones
más solicitadas se indican en la figura 16. 13.
Conocida la ley de empujes mayorados, se dimensiona el alzado como
losa en ménsula (suele ser de canto variable), despreciando su peso
propio para no tener que calcular en flexión ·compuesta (figura 16. 14). Si
la altura del muro es inferior a cuatro metros, la armadura vertical -se
lleva hasta el final; en caso contrario conviene irla cortando.
B
A
B' C'
Figura 16.13. Secciones más solicitadas (en1potramientos)
EMPUJES MAYORADOS
Figura 16.14. Dimensionamiento del alzado
Tema 16. Muros dé contención de tierras

Con la ley de presiones sobre el suelo bajo la acción del empuje
mayorado se dimensiona a flexión la puntera (figura 16.15).
Análogamente se calcula el talón (figura 16. 16), teniendo en cuenta el
peso del relleno que actúa sobre él. En ambos casos deben
considerarse también los pesos propios.
B'
Peso propio
Presiones bajo
zapata
e
C'
Peso relleno
Peso propio
Presiones bajo
zapata
Figura 16.15. Puntera Figura 16.16. Talón
16.9.
16.9.1.
RECOMENDACIONES DE
DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN
Dimensiones
En el caso más habitual de muro en T con puntera y talón, el espesor
más económico del alzado en arranque es del orden de un octavo a un
décimo de la altura total del muro. Análoga dimensión su.ele darse a los
muros sin puntera. En ambos casos, el espesor del cimiento es también
del mismo orden indicado.
Cuando el muro no tiene talón, el cimiento debe ser más grueso para
ganar en peso propio, ya que la falta de peso es su problema esencial.
Por ello, la seguridad al deslizamiento suele requerir en estos muros el
empleo de un tacón (figura 16.17). El espesor del alzado es análogo al
del caso general.

16.9.2. 1
/ ' - - '
Terreno natural no .excavado
(h0rmigonar contra él)
Figura 16.17. Muro sin talón
Armaduras
Los esquemas generales de armado se indican en la figura 16. 18. La
armadura marcada con x es un emparrillado para control de fisuras
debid·as a la retrac.ción y Jos efectos térmicos, cuya cuantía viene dada
e'.n la tabla 42.3.5 de la EHE.
r ,1 1
1 I
,
1 1 1
X 1 X /1 X 1
1
,,
1
1,1
/!
1
1 1
1 1
1
,
Á¡ B y A/ 1
8 y
B A¡
1 r
I I 1
Figura. 16.18. Esquemas generales de arinado de muros (Tomada de Calavera)
El plano AB corresponde a una junta de hormigonado, lo que significa
unas armad.uras en espera para empalme de barras. Las longitudes de
solapo deberán obtenerse, como siempre, aplicando el arlículo 66.6 de
la EHE y teniendo en cuenta que lo normal es empalmar a la vez el
100°/a de la armadura.
El recubrimiento de las armaduras debe ser de 3 a s cm.

16.9.3. Juntas
La junta de hormigonado AB anteriormente mencionada corresponde a
la sección de máximo cortante. Los ensayos demuestran que lo mejor
es dejar el hormigón en la zona de junta con su rugosidad natwral,
eliminando la capa de lechada débil que suele formarse. El esfuerzo
rasante (igual al empuje activo calculado sumando las presiones que
actúan hasta la profundidad de la junta A13) suele ser resistido por el
hormigón solo. no siendo necesaria ninguna precaución adicional.
Para evitar la fisuración del muro hay que disponer juntas verticales de
retracción (también llamadas de contracción, es igual que en
pavimentos) a distancias del orden de los a m (nunca más de 12 m), que
pueden hacerse coincidir con las de hormiqonado. Se recomienda
hacerlas en cola de milano (figura 16. 19) dando pintura asfáltica al
frente de junta.
• .
1 1.
1 1
•
1 ..____.__!
Figura 16.19. Junta de retracción (planta)
En muros largos deben disponerse también juntas verticales de
dilatación cada. 25 ó so m (ver figura 16.20). Estas juntas hay que
disponerlas, así mismo, cada vez que se produzca un cambio brusco de
geometría (de altura de muro; de profundidad del plano de cimentación;
de dirección en planta del muro). Si el muro no cambia de sección n.i de
dirección, la junta puede afectar sólo al alzado y no al cimiento; en otro
caso, hay que disponerla también en el cimiento. Piénsese que los
quiebros en planta producirían axiles y flectores horizontales en el muro
si no se dispusieran estas juntas .

392
•
sedado asfáltiro
1 1
. •
1
.
water sJop
/_ 1
•
1 1
. •
1 1
. .
r---_; poilestireno expandido
1
Figura 16.20. Junta de dilatación (planta)
[ 16.9.4. Eliminación del agua
Hemos insistido en la importancia de eliminar el agua para evitar sus
empujes, así como para prevenir la aparición de manchas y otros
inconvenientes. Medidas recomendables son:
• i1Tipermeabilizar el trasdós con pintura asfáltica, tela asfáltica, etc.
• colocar un dren a pié del trasdós del muro (tubo de hormigón
poroso), dando salida al agua a través de una red filtrante
• disponer una cuneta junto a la coronación del muro y una capa de
arcilla compactada con ligera pendiente sobre el relleno, para
recoger la mayor cantidad posible de agua de lluvia e impedir que
pase al relleno.
'
BIBLIOGRAFIA
Calavera. Tomo 11, capítulo 64. Editado por lntemac, Madrid 1999.
• Prontuario de hormigón armado, de Tetracero: Anejo 9, "Cálculo
de muros de contención". (Su autor es también José Calavera).
• Muros d.e contención de tierras. Publicación de Mallacero.
Terna 16. Muros de contención de tierras

1. Calcular el valor del empuje activo (resultante de las presiones
activas) sobre un muro de altura H cuando sobre las tierras en
talud horizontal actúa una sobrecarga uniformemente repartida de
valor q en t/m2
. Determinar también a qué profundidad actúa.
2. .Un muro en T de 10 m de altura total (9 m de alzado y 1 m de canto
de zapata) se ha cimentado dejando so cm de terreno natural
sobre la puntera. Se sabe que todos los pesos actuantes sobre la
zapata totalizan 7 o toneladas por metro y se desea saber si, para
los valores habituales de los parámetros geotécnicos, este muro
es o no seguro frente al deslizamiento. ¿Qué le parece a Vd?
¿Necesita o no un tacón?
3. En el mismo muro anterior, determinar la distancia mínima con
respe.cto al borde de la puntera a la cual debe actuar la resultante
de pesos indicada (7 o t/m) para que no vuelque el muro.
4. Para contener 4 m de altura de tierras se diseña un muro de
o, so m de espesor (un octavo) con solera de iguaJ espesor. Se
completa el d.iseño con los datos de la figura 16.21.
0,50
o50• 1,00
3,50
Figura 16.21
Tema 16. Muros .de contención de tierras

394
,
Comprobar si cumple la tensión admisible sobre el terreno
sabiendo que ésta vale 1, 2 kp/ cm2
• Valores habituales de los
parámetros geotécnicos.
5. Comprobar el equilibrio del muro del ejercicio anterior.
6. Calcular los momentos flectores y esfuerzos cortantes máximos
en alzado, puntera y talón del muro anterior.
7. Mostrar con un dibujo que un quiebro en planta de un muro de
contención produce esfuerzos horizontales si no se independizan
ambos tramos.

1. Utilizamos la figura 16.10. El valor h 0 es conocido, igual a q/y.
P
.. .. 1 - sen <p
res1on en coronac1on: P1 = y h 0 - - - -
1 + sen <p
P .. . d ( ) 1 - sen cpres1on a pie e muro: P2 = y h 0 + H
1 + sen q>
El empuje es el área del trapecio: Ea
1 - sen q>
Ea - - - - -- yho
1 + sen q>
y resulta finalmente:
H2
. H + y -
2
H 1 - sen cp
Ea - - (2q + yH) - - - -
2 1 + sen <p
h =o
q
-"(
•
xL '
- -
' z
H '
' Ea
'
'

.,
Figura 16.22
395
Para encontrar (a profundidad z a fa que actúa, tomamos
momentos respecto a la coronación (ver figura 16.22).
Tema 16. Muros de contención de fierras

396
, ,
Ea · z = y (h0 + x) x d x =
r 1 - sen <p
1 + sen <p
1 - sen <p H 2
1 - sen q> H3
= y ho - -- - . - + y - - ---
1 + sen cp 2 1 + sen <p 3
Al despejar z sustituyendo Ea por su valor (y cambiando q por yh,,)
resulta finalmente:
z -
H 3 h 0 + 2H
3 2 h 0 + H
2. En la fórmula de comprobación del apartado 16.7.1 conocemos:
µ = 0,578
L N = 70 t
Para calcular el empuje pasivo EP restamos los dos triángulos (ver
figura 16.23):
1
o,som L)
1,00m 1 ~
l.
~
---=-
1
EP - - . y
2
-
Figura 16.23
1 +sen
1 - sen
9,00m
_J1.oon1
Tema 16. Muros de contención de fierres

Con los valores habituales y "' 1, 8 y <p "' 3 oº resulta EP = s, 4
t/m.
En cuanto al empuje activo Ea vale:
1 1 - sen 30º
Eª = - 1,8 - - - -- 10
2
2 1 + sen 30°
= 30 t/m
(Recordemos que sen 3 oº "' o, 5)
Por consiguiente, ya podemos aplicar la fórmula:
~t L N + EP = "fd Ea; 0,578 · 70 + 5,4 = 45,86 t - Yd · 30
Resulta
45,86
30
- 1,53 > 1.,5
Vale y no necesita tacón.
3. El momento voleador vale:
H
E - =
a 3
10
30 - = 100 mt
3
El momento estabilizante debe valer, como mínimo,
la distancia pedida es (figura1, 8 · 100 = 180 mt. Luego
16.24):
X = 180 : 7 0 - 2,5 7 m
X
N
- - - Ea
~..-r;-,..,..,.,, 1013
"-"-4.L.~<LJ: -1
•
Figura 16. 2•1

4. Comenzamos calculando el empuje activo:
1 2 1 - sen 30° 0,5
Eª - - . 1,8 . 4 - 0,9 . 16 -- - • -
2 1 + sen 30º 1,5
- 0,3 H2 4,8 t/m- -
(Observamos que, con los parámetros habituales, resulta
Ea = O/ 3 H
2
)
(En cambio, el empuje pasivo resulta Ep = 2, 7 H2)
Ahora debemos componer las fuerzas verticales. Nos conviene
referirlo todo al vértice A. Para hacerlo ordenadamente,
preparamos el siguiente cuadro, en el que todos los esfuerzos son
por unidad de ancho.
ZONA PESO EN t
Zapata 2· 0,5 . 2,4 =2,4
Alzado o5.
• 3,5. 2,4 =4,2
Relleno sobre o5 . 0,5 . 1,8 =0,45
puntera •
Relleno sobre 1 o. 3,5 . 1,8 =6,3
talón
1
¿N = 13,35 t
DISTANCIA
DEL c.d.g. AL
PUNTO A
1,00
0,75
0,25
1,5
MOMENTO
ESTABILIZANTE
EN m.t
2,4
3, 15
O,11
9,45
~M =15,11 mt
Ahora dibujo la base de la zapata (figura 16.25) con su vértice A
de referencia, y ubico el punto P de paso de la resultante de los
pesos:
AP -
15,11
13,35
- 1,13 m

E'e de la za ata
' o 4,8
Ea
1
1,1
1
'
' 13,35'1
1 ____J
1
. R
1
Al
. pR
l¡2,00
Agura 16.25
En la vertical de P dibujo el punto o de actuación del empuje.
Conozco la distancia OP:
1 4
OP = - H = - = 1,33 m
3 3
La inclinación de la resultante Res conocida (polígono de fuerzas)
por lo que puedo conocer la distancia RP (llamo también R al
punto de paso de R), que vale:
luego
13,35
4,8
OP
RP
RP =
1,33 . 4,8
13,35
1,33
RP
- 0,48 m
LadistanciaalvérticeA es:AR = 1,13- 0,48 = o,65 m
Si la distribución de tensiones fuese exactamente triangular sobre
toda la zapata, el punto R se colocaría al tercio. Por tanto, el valor
3 AR = 1,95 < 2,00 me dice que es triangular y llega sólo a
cubrir 1,95 m de zapata (figura 16.26).
Tema 16. Muros de contención d e tierras

~, - - - - 1,95
A R
1 l ·-~..- ¡--.,-----,-:;::::;:7_,,,,~~
ü max
Figura 16.26
El área del triángulo iguala a ~ N, luego:
(1/2) CJmax · 1,95 = 13,35 t
(Jmax
26,1 ¡ 2 ¡ 2
= = 13,7 t m = 1,37 kp cm
1,95
valor que debe compararse con 1, 2 s cr!llAX = l, 2 s · l, 2 -
= l,5 kp/cm2. Vale.
Otra forma de hacer esta comprobación, igualmente correcta, es
suponer una distribución uniforme extendida en una longitud
(figura 16.27)
2AR - 1,30 m
A R 1
1 1 1
1
1
_l_
cr
1 1--- 1,30-->
Figura 16.27

'
ya que así resulta R en el c. de g. El valor de cr sale de la
igualdad:
cr -
13,35
1,30
cr · 1,30 = 13,35 t;
= 10,3 t / m2
= 1.,03 kp/ cm 2
valor que debe compararse con crmax = 1 , 2 kp/ cm2
(sin aplicar
el 1, 2 5). Vale.
5. Para el deslizamiento comenzamos por evaluar el empuje pasivo
sobre la puntera (figura 16.28). Diferencia de triángulos:
0,5
0,5
figura 16.28
EP -
1
1,8 L
5
{12
- 0,52
) = 2,1 . o,75 - 2,02s t
2 0,5
Ahora añadimos el rozamiento:
µ L N = 0,578 · 13,35 - 7,715 t
y resulta Ep + µLN = 2, 025 + 7, 715 - 9 , 74 t a comparar
con Ea =4, 8 t. Sobra seguridad.

Para el vuelco, comparamos el momento estabilizante que ya
obtuvimos en el cuadro oel ejercicio 4, con el voleador: 15, 11 mt
frente a:
H 4
- 4,8 · - - 6;4 mt
3 3
So.bra seguridad.
6. Para el alzado, hay que calcular Ea para una profundidad de
3, 5 m.
que actúa a:
0,5 2
1,8 3,5
1,5
3,5
= 1,17 m
3
- 3,68 t
de altura sobre la sección de empotramiento. Por consiguiente:
Md = 1,6 · 3,68 · 1.17 = 6,89 mt
Vd = 1,6 · 3,6 8 = 5,8 9 t
Para la puntera suponemos una tensión uniforme del terreno,
i_gual a la máxima:
()max = 13,7 t/m2
y tenemos en cuenta el peso propio y el del terreno (figura 16.29):
2
0,5 . 13,7 2
0,5 . 2,4
2 2
2
= 0,8 · 0,5 · 11,6 = 2,32 mt
0,52
. 0,5 . 1,8
2

,
Peso propio +peso
1err~no.
cr.max = 13.7
El esfuerzo cortante vale:
f T
-¡
0:5
,'!---.--.---,----' J
'~
' l--'---'-
0.30 _J
~------- 1.00 -------
Figura 16.29
403
Peso. pr0pio + peso
térreno
Vd = 1,6 · 0,5 (13,7 - 1,2 - 0,9) = 9,28 t
Finalmente, para el talón, si trabajamos con la distribución
triangular de tensiones, sale un poquito latoso. Es mejor trabajar
con la rectangular que, según vimos, conduce a cr = 10, 3 t/m2
extendida en 1, 3 o m a partir del borde A (en realidad, la puntera
podía haberse calculado con esta cr también, en vez de la máxima
triangular). En el otro sentido actúa el peso del relleno y el peso
propio, que pueden más.
- 1,6
1 2
• o,s· . 2,4
2
1 2
. 3,5 . 1 8
+ - -- --'- - 0,3 . 10,3 . 0,15
2
Md - 1,6 · 3,29 - 5;27 mt
Vd = 1,6 · (1 · 0,5 · 2,4 + 1 · 3,5 · 1,8 - 0,3 · 10,3] -
= 1,6 . 4,4 = 7,04 t

7. Como se ve en la figura 16.30 si el terreno está fuera (caso 1) los
empujes tienden a cerrar los muros y provocan axiles horizontales
de compresión. Si está dentro (caso 2), tienden a abrir los muros
y provocan axiles de tracción.
Figura 16.30
Tema 16. Muros de contenc ión d e tierras

17.1 .
DEPÓSITOS.
GENERALIDADES.
CONDICIONES DEL SUELO.,
FLOTACION.
JUNTAS.
EJECUCIÓN.
ACCIONES Y TIPOLOGÍA
ESTRUCTURAL.
DEPÓSITOS RECTANGULARES.
GENERALIDADES
El hormigón es, normalmente, el material más barato para resolver
estructuras que sean capaces de retener o almacenar agua y otros
líquidos, ya que, bien proyectados y construidos, los depósitos de
hormigón ofrecen una vida larga con bajos costos de mantenimiento.
Aparte de los requisitos de resistencia y durabilidad, en depósitos es
fundamental la impermeabilidad. Por ello, una buena dosificación,
compactación y curado del hormigón son esenciales. En la mayor parte
de los casos, el buen comportamiento (estanquidad) requiere un
espesor mínimo de 20 cm de hormigón y recubrimientos de 4 cm.
Tema 17. Depósitos

406
,
Alváro García Mesegver
Las pérdidas de líquido pueden presentarse en juntas mal diseñadas o
construidas y también a trávés de fisuras. Conseguir estructuras de
hormigón armado sin ninguna fisuración es prácticamente imposible;
pero la experiencia demuestra que si su anchura no excede de
determinados valores, el líquido no fluye. Por eso, en depósitos se
deben efectuar cálculos a fisuración que controlen la abertura máxima
de fisuras, habiendo quedado hoy anticuado el empleo de métodos
elásticos de cálculo con tensiones admisibles muy bajas, como antes se
hacía para asegurar la estanquidad.
No obstante, en aquellos casos en que razones estéticas o de otro tipo
aconsejen un buen margen de seguridad frente a la fisuración, se
puede calcular en teoría elástica bajo cargas de servicio, aceptando
valores moderados para las tensiones admisib.les. El diseño suele
resultar más caro y ello tampoco garantiza la absoluta ausencia de
fisuras, ya que pueden aparecer fisuras-pelo. Las. normas inglesas
recomiendan para cr.dm los valores indicados en la figura 17. 1.
Tracción directa Tracción por flexion
HA-25 1,3 N/mm
2
1,8 N/mm
2
HA-30 1,4 N/mm
2
Figura 17.1. Tensiones admisibles ene/ hormigón
En cuanto a materiales, se recomiendan hormigones tipo HA-30 o
superiores y aceros tipo B 400 S o bien mallas electrosoldadas.
17.2.
CONDICIONES DEL SUELO.,
FLOTACION
Las condiciones del suelo afectan decisivamente al diseño y,
normalmente, vienen impuestas al proyectista.
Tema 17. Depósitos

,
Es ideal un terreno bien drenado con suelo de cimentación uniforme y
de alta resistencia. Estas condiciones pueden darse en depósitos para
abastecimientos ubicados cerca de la cima de una colina.
Cuando el subsuelo tiene una capacidad portante pobre y la capa
freática está alta, hay que diseñar el depósito para impedir su flotación y
hay que tener en cuenta los posibles asientos del terreno. Si el corte del
terreno muestra capas de distinta naturaleza, hay que considerar los
efectos de posibles asientos diferenciales y disponer juntas en lugares
apropiados. Los sondeos son por ello imprescindibles.
La investigación sobre el terreno debe incluir ensayos adecuados para
conocer su posible carácter agresivo, al hormigón o a las armaduras
(sulfatos, cloruros, etc.). Especial atención debe prestarse a los lugares
que hayan sido ocupados por industrias o estén en su zona de
influencia.
El efecto de flotación se evita cuando se cumple la condición:
p > y a b (h1 - h 0 ) o
siendo:
P peso del depósito
a, b dimensiones de la solera (supuesta rectangular)
h 1 cota de la cimentación
h0 cota de la capa freática
peso específico del agua (o = 10 kN/ m3
)
y coeficiente de seguridad (1, 10 a 1, 2 o)
Así por ejemplo, en el depósito rectangular de la figura 17.2 tendríamos:
p = 24(0 , 30. 5. 5 + 4. 0,30. 4,7. 3,7) = 680 kN
Empuje=s · 5(3, 5 0-0,50} ·10:::: 750 kN
Como: 680 < 7 50 • 1, 15 = 863 kN necesitamos un peso extra de
183 k.N.
Tema 17. Depósitos

o Jl.O
-o
o -L.I)
-
NIVEL FREÁTICO ºt 0,30 0,30
o
o
o -o ~
-(') o
C")
o
r -- -.,l __
__J
5x5
Figura 17.2. Flotación
Esto puede conseguirse bien aumentando el espesor de la solera, bien
disponiendo un tacón exterior alrededor del depósito (de puntos en la
figura) para contar con el peso estabilizante de las tierras que gravitan
sobre él. Si le damos o, s m resultará:
Peso del suelo seco 18 kN/m3
Peso del suelo sumergido en agua 18 - 10 = 8 kN/m3
Peso del suelo sobre el tacón (que actuará si el depósito quiere
ascender) 8 · o, s · 2, 7 o + 18 · o, s · o, s = 15, 3 kN/m lineal.
Perímetro del depósito 4 • 5 =20 m;
Peso del suelo sobre el tacón 15 ,3. 20=306 kN
Comprobación final 680 + 306 = 986 > 863
Luego vale.
(No hemos contado el peso propio del tacón ni el empuje ascendente
que recibe, en favor de la seguridad).
Tema 17. Dep.ósitos

,
17.3.
JUNTAS
En los depósitos tiene gran importancia la buena disposición y ejecución
de juntas. Aquellas que vayan a tener movimientos exigen algún tipo de
cortajuntas (water stop), lo cual debe especificarse y detallarse en
planos. La cuantia y disposición de armaduras y la distancia entre
juntas son interdependientes, como en el caso de pavimentos.
Las juntas pueden ser de dilatación, de contracción (retracción) y de
construcción. En la tabla de la figura 17.3 se ofrecen las distancias
recomendadas entre juntas, en función del grado de exposición de la
obra, el cual condiciona el valor admisible para el ancho de fisuras. En
depósitos sometidos a alternancias humedad-sequedad, expuestos a
heladas o a agentes agresivos (ambiente muy expuesto) la abertura
máxima de fisuras debe limitarse a w .. o, 1 mm. Según la norma
inglesa, en depósitos permanentemente sumergidos (ambiente poco
expuesto) puede admitirse w =o, 2 mm. Y para paredes ordinarias que
no contengan líquidos y no estén expuestas a ambientes agresivos,
puede aceptarse w =o, 3 a o,4 IIll1,. Conviene recordar, no obstante,
que la durabilidad del hormigón armado depende más de la calidad del
hormigón y del espesor del recubrimiento que de la anchura de las
fisuras.
Tipos de depósitos de dilatación de contracción
Enterrado. Piscinas 25 - 30 m 7'5 m
Apoyados, poco expuestos 15 - 25 m 7'5 m
Apoyados, muy expuestos 10 - 15 m 5-6 m
Figura 17.3. Distancias entrejuntas
En las figuras 17.4 a 17.7 se ofrecen distintos tipos de juntas. Se
observará que en las de dilatación se interrumpen las armaduras para
permitir el movimiento. Las juntas de construcción deben hacerse
Tema 17. Depósitos

410 '
coincidir con alguna de otro tipo. Las de retracción pueden hacerse
simples o inducidas, de forma análoga al caso de pavimentos de
hormigón.
En la figura 17.8 se muestra una junta típica de depósitos circulares.
Ma1erial de
Material de
sellado J Discontinuidad
rde hOf'llligonado sellado - - -,
Discontinuidad
de horrnigonado
-
tAcero no pasante
• - · ·. ,¡. •• •_____ ...
-.... ~
Walorstop-_.--1· ....._.. ~ Acero no pasante.
••
·-. '
e___ Waterstop
(a} (b)
Figura 17.4. Juntas de contracción completas, en paredes (a) y solera (b)
Material de
sellado - - - ,
Discontinuidad
de hormigonado
·. ·; ~-· · Aoero pasante
Waterstop .!:r.T'~ ~ 100 o 50%
(a)
Material de
sellado
Discontinuidad
-~ - de hormíg9n3do
: ·,.'-':'. LAcero pasante
¡ 100 0 50%
.•
L Waterstop
(b)
Figura 17.5. Juntas de contracción parciales, en paredes (a) y solera (b)
Junta serrada y
~
sellada posteriormente
• . ~ ..
•Fisura natural - - --1 • ,.. . .
•
Waterstop con__J
debilitador para indicarla fisura
•
1
Figura 17.6. Junta de contracción inducida en solera
Tema 17. Depósitos

Material de Relleno no
sellado J fabsorbente
. ~--+------
Material de Relleno no
sellado =i _,-1.-ªb_s_o_rb_en_t_e _
Anchura inicial
~ para expansión
(a)
. ...,,._.
...
Anchura inicial..para expans1on
...
, ---- -
{b)
Waterstop para
dilatación
Figura 17.7. Juntas de dilatación en paredes (a) y solera (b)
- ---..----• •• •
• . '
' A. .. . ._ . ,
••
• <
1·~.
• G'' ,
•• •
• ••
• • •
• • •
•
1--- -- •
• • ..• •
.'
....
• • •
,
,,,·· . . 4.
l '" .. .. • ' i 4 .. •
. . .. .
1
., -. .• . . ... . ·~.
. . ... . 4'• ' . f
1
. • . ..• • • • .. .."' . ..
• •..•
.
J ~
• ••
•
• • •
•
Ap?yos de neopreno
Relleno compresible
Cortajuntas (water-stop)
• ••
•
••
•
• ..••
• • .. .. .• •
Figura 17.8. Ejemplo de junta con movimiento entre solera y pared,
en depósitos circulares
17.4.
EJECUCIÓN
La excavación de los 20 cm superiores de terreno no debe ser hecha,
especialmente en suelos cohesivos, hasta inmediatamente antes de
verter la capa de hormigón de limpieza, cuyo espesor debe ser del
orden de 10 cm.
Tema 17. Depósitos

412
, ,
EJ suelo coarta, con su rozamiento, la losa de fondo al ser hormigonada.
Puede disminuirse este efecto (que podría provocar fisuras, ver figura
17.9) colocando papel de polietileno en el fondo y acabando el
hormigón de limpieza lo más finamente posible.
La losa de fondo se concebirá por secciones de volumen compatible
con el tiempo disponible de hormigonado. Las armaduras deben
apoyarse sobre separadores. Las juntas de construcción deben hacerse
de forma consecutiva, es decir, la secuencia de hormigonado debe ser
continua y no alternada para que cada sección pueda retraer con un
extremo libre.
- - > Retracción Retracción ~<--
< Coacción Coacción - -..::::.>
Figura 17.9. Rozamiento solera-suelo
Al hormigonar la solera, conviene dejar un tacón de 10 a 15 cm de
altura, correspondiente al inicio de la pared, para sujetar luego sobre él
el encofrado (figura 17. 10). Las paredes pueden hormigonarse en una
sola operación hasta una altura de unos 8 m, pero asegurando el buen
vertido (sin segregación) y compactación.
Figura 17.10. Tacón para encofrado
Temo 17. Depósitos

Las barras deben disponerse teniendo en cuenta la altura de hormigón
que se colocará cada vez. Su separación no debe superar los 30 cm
entre barras, no conviniendo juntarlas a menos de 1Ocm para
garantizar un buen hormigonado. Si es necesario, se agrupan por
parejas en contacto.
En cuanto a la armadura de retracción (en general, en forma de mallazo
fino) debe colocarse próxima al paramento exterior de las paredes, que
es donde tiene su máxima eficacia.
,
17.5.
ACCIONES YTIPOLOGIA
ESTRUCTURAL
17.5.1. Acciones
Las paredes interiores de un depósito, si las hay, se calculan bajo
presión del líquido en una cara sólo. Las paredes exteriores, a menudo,
deben soportar también empujes de tierras, por lo que hay que
comprobarlas bajo dos hipótesis diferentes. incluyendo otras
sobrecargas que puedan existir (figura 17.11).
En los cálculos en estado límite último conviene tomar y = 1, 6 incluso
para el agua, aunque cabría una reducción por el hecho de que esta
carga viva no puede sobrepasarse.
En cuanto a la solera o losa de fondo, trabaja bajo la presión del suelo
(que se supone uniformemente distribuida, salvo excepciones) y
apoyada en las paredes.
Conviene observar que la acción más desfavorable del suelo
corresponde al depósito vacío, ya que en este caso actúa la presión del
terreno debida al peso propio P (descontando, como siempre, el peso
propio de la solera) de valor:
(J -
p
ab
Tema 17. Depósitos

414
•
donde a, b son las dimensiones exteriores (solera rectangular);
mientras que, con el depósito lleno, la presión del terreno que carga la
losa es la diferencia a' entre las presiones hacia arriba y hacia abajo,
que vale:
(
a• b')cr• = (J - oh l - ab
NO SE CONSIDERA
EL EMPUJE
PASIVO DEL SUELO
EMPUJE ----
ACTIVO DEL
SUELO(') ___._
-- - ~
,_ _______
PRESIÓN
DEL
AGUA
r
SOBRECARGA
DEPÓSITO
VACIO
(')Si la deformación en ooronacl6n se encuentra Impedida,
debe iomarse el empuje en reposo.
~ - --
Figura 17.11. Acciones sobre un depósito
como muestra la figura 17.12, siendo a 1 b 1 las dimensiones interiores
de la solera y o el peso específico del líquido.
Si el nivel freático se encuentra por encima de la solera, en el cálculo de
ésta habrán de considerarse no sólo las tensiones del terreno sino
también el empuje debido a la subpresión, {h 1 - h 0 ) o siendo h 1 la
profundidad de la solera y ho la de la capa freática.
Tema 17. Depósitos

'
p oh(1_a' · b')a · b
p
oh
¡ ¡ 111 7
- -
1 1!1 lt ,-~:,-++-¡- 1 11
(J a' · b'
oh a. b
11
(J
t 1t
cr - algo
Figura 17.12. La situación más desfavorable para la solera
corresponde a depósito vaclo
l 17.5.2. Tipología estructural
415
.....,
'
1
Los empujes pueden resistirse de dos formas, básicamente: mediante
fuerzas directas de tracción o compresión y mediante un trabajo a
flexión.
El primer caso corresponde a depósitos circulares sometidos a
presiones moderadas y puede estudiarse mediante la analogía de la
membrana.
El segundo caso corresponde a depósitos circulares sometidos a
fuertes presiones, en los que aparecen flexiones como consecuencia de
la incompatibilidad de deformaciones entre la parte inferior de la pared
cilíndrica y la placa de fondo. También corresponde este caso a los
depósitos rectangulares, que estudiaremos a continuación.
Tema 17. Depósitos

17.6.
DEPÓSITOS RECTANGULARES
17.6.1. Espesor de paredes
Las paredes se dimensionan, normalmente, con un espesor constante
para faciíitar la ejecución y suficiente para que no necesiten armadura
transversal por esfuerzo cortante (que dificultaría el hormigonado y
sería difícil de fijar). En los casos más frecuentes de altura de agua
hasta 6 m, como espesor de partida puede adoptarse la décima parte de
la altura (este valor suele ser insuficiente para mayores alturas) y no
menos de 2 o cm. No convienen espesores muy gruesos para evitar
excesos de calor de hidratación. En cuanto a la solera, su espesor no
debe ser menor del espesor de las paredes.
La norma inglesa CPllO ofrece para la tensión cortante última ('tu) los
valores de la tabla de la figura 17.13, un poco conservadores. Para
tanteos, puede tomarse una cuantía de o, oos.
Cuantía (As/bd) HA-25 HA-30
0,0025 0,35 0,35
0,005 0,50 0,55
0,001 0,60 0,70
0,02 0,85 0,90
Figura 17.13. Valores de ru en N/mm
2
Veamos como ejemplo el caso de un depósito de 6 m de altura (figura
17.14). El cortante de cálculo máximo en la base (supuesto trabajo en
ménsula, caso más desfavorable) vale:
I
Vd = 1, 6 (11/2) 6 • 6 • 10 = 288 kN/m
Tema 17. Depósitos

Con hormigón HA-25 y cuantía o, oo5 la tu vale:
O, 50 N/mm2
= 500 kN/m2
luego el canto útil d debe valer:
d = 288
500
= 0,576 m
417
A este canto útil hay que sumarle 1, 5 veces el 0 de las barras, más el
recubrimiento {de 3 a 4 cm). Para 016 resulta:
e= 57,6 + 1,5 • 1,6 + 4 = 64 cm
----e--"""
Figura 17.14. Cálculo del espesor
17.6.2. Esfuerzos actuantes
Un cálculo riguroso de los esfuerzos correspondientes a los depósitos
de planta rectangular constituye un problema complejo, por lo que
suelen emplearse métodos simplificados. Las paredes se calculan como
placas rectangul.ares sometidas a cargas triangulares, con la
sustentación que corresponda al diseño (en general, se supone
empotramiento perfecto en tres de sus lados y borde superior libre). En
Tema 17. Depósitos

cuanto a la solera, los esfuerzos son más difíciles de obtener porque
influye considerablemente la naturaleza del terreno de cimentación; es
necesario considerar dos hipótesis de carga, la de depósito vacío y la
de lleno.
Una vez d.eterminados los esfuerzos se procede a dimensionar las
armadura.s. admitiéndose como simplificación que se determinen
independientemente las de flexión y las de tracción y sumándose las
secciones correspondientes.
Conviene indicar que las armaduras necesarias para controlar la
fisuración resultan mayores, a menudo, que las necesarias por
consideraciones resistentes.
En la tabla de la figura 17. 15 se ofrecen los esfuerzos y flechas
correspondientes a las placas laterales del depósito en función de la
máxima presión hidrostática q = oh o del empuje de tierras
q =(1/3) h · o1 (suele adoptarse 5t = 18 kN/m3
) .
Esta tabla y las figuras que la acompañan (fígura 17. 16) tomadas de los
trabajos de Jiménez Montoya, corresponden a cálculos elásticos, en las
condiciones de sustentación más arriba indicadas, y proporcionan los
esfuerzos de servicio más desfavorables.
(El elemento de estudio, para armaduras horizontales, es una franja
horizontal de anchura unidad situada a la altura más desfavorable en
cada caso; y para armaduras verticales, una franja vertical de anchura
unidad situada en el centro de la placa).
En cuanto a /os esfuerzos de tracción que se originan por la
hidrostática y cuyo valor es:
Na - O, 5 •b •h2
o (cara b • h)
Nb - o , 5 • a· h2
o (cara a· h)
• •
pres1on
siendo oel peso específico d.el líquido, estos esfuerzos se distribuyen
entre las paredes y el fondo del depósito. Los porcentajes de reparto
pueden tomarse de la tabla de la figura 17. 17, también de Jiménez
Montoya.
Tema 17. Depósitos

momentos (p.u.1)
2
m= O.·q ·h
Esfuerzos
flechas
(1}
0,3
Illve 0,137
m.,,. -0,009
mhe 0,060
mllm 0,027
Vmax 0,470
fmax 0,246
0,4
0,115
0,003
0,054
0,030
0,450
0,137
cortantes (p.u.L)
V = c;l•q•h
flecha máxima
f,,,~x= a· q • h
4
/(E •e
3
)
valores de a. para h/a (o h/b) igual a
0,5 0,6 0,7 0,8 0.,9 1,0
0,092 0,073 0,057 "0,046 0,039 0,035
0,008 0,012 Oy013 0,013 0,011 0,010
0,050 0,046 0,042 0,038 0,034 0,030
0,028 0,023 0,019 0,017 0,015 0,013
0,430 0,415 0,375 0,340 0,320 0,295
0,083 0,052 0,030 0,020 0,014 0,010
419
.
(1) Los subíndices indican: v , para armadura vertical; h para la horizontal; e, para
empotramiento y, m, momento máximo de vano.
Figura 17.15. Esfuerzos y flechas en placas laterales
EMPUJE HIDRGSTÁTICO
q =h·o
o= 1 vrn3
h
q
. íl1ve
- .
---~- a ----
1>--- - - - b _____.
Elv1PUJE DE TIERRA$
~------~ ~--------~ ~
mvm
1h ~
q = 3 ·ot
3
lit = 1,8 Vm
---- q _ __.
mhm
Figura 17.16. Leyes de momentos flectores en placas laterales
Tema 17. Depósitos
h

420 '
b
/ h
Í Na
Nap (
Na
.
Armadura
Esfuerzo total Esfuerzo pared Esfuerzo fondo
paralela
al lado !=i a· h 2
· 6 j3P · a · h
2
· o 13. · a · h
2
• oNb - Nbp - Nbf =
2 2 2
h/a 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
Fondo i3t "' 0,80 0,70 0,60 0,54 0,48 0,45 0,42 0,40
Pared j3p = 0,10 0,15 0,20 0,23 0,26 0,275 0,29 0,30
h/b 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
Armadu~ b . h 2
• 8 j3p . b . h 2
• 8 j3f . b . h 2
. oparalela N = NªP - Nú =a
2 2al lado a 2
-
Esfuerzo tota Esfuerzo pared Esfuérzo fondo
Figura 17.17. Esfuerzos de tracción y valores de fJ
17.6.3. Armaduras de la placa de
fondo
Como ya se ha dicho, su cálculo es muy impreciso. A falta de un
estudio más detallado y para depósitos de pequeño o mediano tamaño,
las armaduras superiores de esta placa pueden determinarse a partir de
los mismos momentos m,,ª de las paredes adyacentes, ya que ambos
Tema l 7. Depósitos

'
momentos han de equilibrarse (figura 17. 18). Es decir, a partir de los
momentos:
II1ae = lll.ve (entrando en la tabla 17. 15 con h/b)
Int,e - m.,.. (entrando en la tabla 17. 15 con h/a)
L 1
1
1
1

) mae
I
Figura 17.18. Determinación de Ja armadura superior de la solera
En cuanto a las armaduras inferiores, pueden disponerse las que
corresponden a los siguientes momentos de empotramiento:
mae =o, 10 . p . (a + b)
a
Ir¡,9 = oI 1 o • p 0
( a + b) 0
b
a, b lados de la solera (a ~ b)
Inae, ID¡;,. momentos que proporcionan las armaduras paralelas a los
lados a y b , respectivamente
p peso de la pared por unidad de longitud.
Estos momentos son una estimación de los negativos que aparecen en
una placa empotrada en sus cuatro bordes (por efecto de las cuatro
paredes) y sometida al empuje del terreno, bajo la acción del peso del
Tema 17. Depósitos

422
,
depósito vacío (figura 17.19). Sí la cuantía resultante fuese excesiva, en
el vano puede disponerse tan sólo la cuantía mínima.
A las armaduras de flexión así calculadas deben sumarse las de
tracción (apartado 17.6.2).
1
i
t tt tttt t
Figura 17.19. Determinación de la armadura Inferior de la solera
17.6.4. Armaduras de las placas
por consideraciones de
fisuración
Este el principal problema de cálculo en un depósito. Para resolverlo
ofrecemos un método simplificado, que ha sido deducido por Jiménez
Montoya a partir de trabajos ingleses modernos en la materia.
Las armaduras resultan de sumar las de flexión y las de tracción, estas
últimas calculadas contando con un valor bajo para la tensión del acero,
del orden de 100 N/mm2
•
Las armaduras de flexión se obtienen a partir del parámetro K,
denominado módulo de fisuración, cuyo valor es:
0,75m
k = - - - - - -
(1,39 - e)
Tema 17. Depósitos

con los siguientes significados y limitaciones:
m momento unitario de servicio en kNm/m
e espesor de la pared en metros
(método válido para o, 20 ~e< 60)
resistencia del hormigón: HA-25 o superior
acero B 400 S
recubrimiento libre de la armadura: 4 7 mm
cuantla de acero referida al canto total: o, 0025!5; p ~ o, 01
423
Una vez calculado el módulo K se entra con él en el ábaco de la figura
17.20, preparado para una anchura de fisura w = o, 1 mm, obteniéndose
el diámetro de las barras y su separación.
k (kNlm)
0,080
'" 1
' MÓDL)LO DE FISURACIÓN
' ' DE PLACAS
' fck > 25N/mm
2
'
' 8 400 $ e= 47mr~
0,070
' 0,0025 < p < 0,01 w =o.1mm
- -,_
0,060 1.
-..... -- -"""- --..
--- I"'-
- --0,050
"""" ['"-.
---.......
--- ---- ---0,040
--- --....
- --0.030
-- 0"l'6
0,020
º·10 0,15
l/J 1 ~
0,20
Separación de barras
0,25
Figura 17.20. Módulo de fisuración k
Temo 17. Depósitos
0 25
020
(m)
0,30 s

424
17.6.5.
Comprobación en rotura y
cuantía mínima
Se efectúa por el método general (tablas o escalas funcionales) y suele
resultar positiva. Como cuantía mínima se recomienda adoptar
p = o, 002, referida a la sección total de hormigón.
,
BIBLIOGRAFIA
• Hormigón armado por Montoya, Meseguer, Morán. 14ª ed., Gustavo
Gili, Barcelona 2000. Capítulo 25 "Depósitos'1
•
• Design of liquid-retaining concr~te structures por Robert D.
Anchor. Surrey University Press, Londres 1981.
Tema 17. Depósitos

HORMIGÓN ARMADO. Elementos estructurales 42S
1. Se proyecta un depósito enterrado de agua en forma de cubo de
s · s · 5 m
3
• de capacidad, quedando su superficie al nivel del
terreno. Calcular los momentos flectores y Jos esfuerzos axiles de
tracción en sus paredes.
2. Dimensionar las armaduras verticales del depósito anterior por
consideraciones de fisuración, suponiendo un espesor de pared
de 30 cm.
3. Comprobar a rotura la sección dimensionada en el ejercicio
anterior (armadura vertical).
4. Se han construido dos depósitos enterrados idénticos en un
terreno de carácter agresivo para las armaduras. Las diferencias
relativas entre ellos son las siguientes:
Depósito A: Más cemento por m3
• Mayor compacidad del
hormigón. Recubrimientos de 4 cm. Menor cantidad
de armaduras, con diámetro y separación
adecuados. Muestra fisuras de o, 15 mm que no
parecen afectar a su buen servicio. Coeficiente de
seguridad a rotura Yt = 1, s.
Depósito B: Menos cemento por m3
• Menor compacidad del
hormigón. Recubrimientos de 3 cm. Mayor cantidad
de armaduras, con diámetro y separación
adecuados. Muestra fisuras de o, o5 mm que no
parecen afectar a su buen servicio. Coeficiente de
seguridad a rotura Yt = 1, 7.
Usted asesora a un comprador que necesita adquirir uno de ellos
para que le preste servicio durante el mayor tiempo posible. El
precio es el mismo. ¿Cuál de los dos le aconseja comprar?
¿Cómo calificaría a cada depósito, entre "bueno", "regular" y
"malo"?
5. Imagine el mismo caso anterior, pero con terreno agresivo para el
hormigón y no para el acero. ¿Cuál es ahora su juicio?
Tema 17. Depósitos

426
,
1. Aplicamos la tabla de la figura 17.15. En nuestro caso, es
a = b = h = S.
a) Por empuje de agua, es:
m = a · q · h 2
con q = h · <> = h =s m, luego m =125cx
Para obtener a de la tabla, como h/a = h/b = l nos situamos
en fa última columna, válida para las cuatro paredes.
Momento de empotramiento máximo para armadura vertical:
Ill.ve·
Ill.ve =125a con a =o, 03 5, luego m.,0 = 4 , 5 mt
Momento en vano máximo para armadura vertical: m.,.,
11vm =125a. cona.=0,010 luego mvm= l, 25 mt
Momento de empotramiento máximo para armadura horizontal:
mhe
mhe = 125 cona. =0,030 luego mh• =3, 75 mt
Momento en vano máximo para armadura horizontal: Illmn
mmn = 125a con a= o, 013 luego m1= = 1, 65 mt
b) Por empuje de tierras es:
m=a·q·h2
conq = (l/3)h Ot= (1/3)h· l,8 = 0,6h
Los momentos resultantes son, por consiguiente, iguales a
o, 6 veces los anteriores, cambiados de signo. Siempre nos
sucederá esto de poder apoyarnos en el caso anterior, puesto
que los empujes del terreno siguen también una ley triangular
cuyo valor es del orden de o, 6 el del agua.
Tema 17. Depósitos

HORMIGÓN ARMADO. Elementos estructurc:iles 427
e) El esfuerzo total de tracción que origina el empuje sobre una
cara vale:
2 ·
N = O, 5 · a · h o= O, 5 · 5 • 2 5 = 6 2 , 5 ton
Este esfuerzo se reparte entre el fondo y dos caras. La tabla
de la figL1ra 17. 17 nos da la proporción del reparto. En nuestro
caso,
h = h = 1
a b
por lo que estamos en la última columna.
El fondo se lleva: O, 4 • 62, 5 = 25 ton
Cada pared se lleva: o, 3 · 62, s = 18, 75 ton
2. Para el momento de empotramiento máximo m =4, 5 mt, el
parámetro k del apartado 17.6.4 vale:
k =
__o_,_7_5_·_4_5__
10
_4 =
2
(1,3 9 - 0,3)0,3
0,0344 k.Nm/m
Con este valor entramos en el gráfico 17.20 y encontramos:
1012 cada 11 cm
Para el momento en vano máximo, m = 1, 2 5, resulta:
k = 0,0344
1
'
25
= 0,01
4,5
Como este valor se salé del ábaco por la parte inferior, no
debemos preocuparnos de la fisuración en este caso.
3. Hemos obtenido 1012 cada 11 cm de acero B 400 s para un
momento pór metro de anchura igual a 4 , 5 mt (valor de servicio).
Suponemos hormigón HA.- 2 5. Empleamos las escalas funcionales
Temo 17. Depósitos

del MMM. Para b =1 m y A fyd = 9012 = 354 kN encontramos
un momento de agotamiento igual a 9 o kNm, que equivalen en
servicio a s 6 kNm, es decir, s, 6 mt que es mayor que 4, s mt,
luego vale.
4, Los dos depósitos parecen buenos y darán un largo servicio muy
probablemente. Es preferible el depósito A, ya que la compacidad
y recubrimiento son variables más influyentes en la durabilidad
(como protección del acero) que el ancho de fisura, la cuantía de
acero o el valor de 'Yf·
5. El mismo que antes, por las mismas razones aplicadas al
hormigón.
Tema 17. Depósitos

OTROS TÍTULOS DELA ESCUELA DE LA EDIFICACIÓN 429
TÍTULOS DE LA ESCUELA DE LA EºDIFICACIÓN
INSTALACIONES
Mecánica de fluidos. Fontanería y saneamiento
Emilio Romero Ros
Climatización t Calefacción (Tomo 1)
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Climatización 11. Acondicionamiento de aire (Tomo 1)
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Jesús Sónchez Cñado
,
O.RGANIZACION
Organización. Aspectos generales
Carlos Morales Palomino
Organización, planificación y control
Miguel Jordán Reyes
Edrnundo Balbontín Bravo
Equipos de obra y medios auxiliares
Eduardo Logorde Abrisqu·eto

430 OTROS TÍTULOS DE LA ESCUELA DE LA EDIFICACIÓN
ESTRUCTURAS
Cálculo Estru.ctural. Introducción al cálculo de estructuras por ordenador
· Vicente Antón Maicos
Javier Po!'fos Simón
Hormigón armado. (Tomo 1). Materiales, ejecución, cohtrol y patología
Hormigón armado. (Tomo 2). Cálculo en estados límite
Hormigón armado. (Tomo 3). Elementos estructuroles
Álvaro García .Meseguer
Mecánica del suelo y cimentaciones. (Tomo 1)
Mecánica del suelo y cimentaciones. (Tomo 2)
Jesús Serra Gesto
Ana Maña García Gamello
Cortos Oteo Mazo
José Moría Rodríguez Oniz
Estructuras de ladrillo
Rtcardo Fombella Guillén
Fábrica.de bloques
Luis Felipe Rodngu.ez Martín
Hormigón pretensado
Luis Felipe Ro·dríguez Martín
Forjados
Luis Felipe Rodñguez Martín
Estructura.s mixtas
José Luis de Miguel
Estructuras de. modera (Tomo 1)
Estructuras de madero (Tomo 2)
César Pereza Oramos y otros
Estructuras metálicas. (Tomo 1). La Pieza aislada. Flexión. Torsión
Estn.icturos metálicas. (Tomo 2). Uniones
Estructuras metálicos. (Tomo 3). La pieza aislada. Inestabilidad
Francisco Quintero Moreno

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ELEMENTOS DE LA EDIFICACIÓN
La Pintura en la construcción
Jesús González Martín
Consfrucción industrializada
Julión Solos Serrano
Acústica de la edificación
A. Moreno Arronz
Carlos de la Colino Tejeda
Aislamiento térmico
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Rafael Femánde~ Martín
Tabiques y falsos techos
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Carpintería de madero
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Carpintería de aluminio
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Revestimientos cerámicos
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Revestimientos continuos
José Moría Bielza de Ory
Cubiertas planos. Cubiertos Inclinadas
Juan José Ortega y López de Prado
Rafael Femández Martín
431

432
•
OTROS TÍTULOS DE LA ESCUELA DE LA EDIFICACIÓN
OTROS TÍTULOS
Restauración y rehabllltaclón (Tomo 1)
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Restaura ción y rehabilitación. Documentos (Anexo)
José Luis Javier PérezMartín
' .Pascual Ubedo de Mingo
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Seguridad en la edificación (Tomo 1)
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Antonio Roldón Calderón
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Patología de la edificación. El lenguaje de las grietas
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Corrosión de armaduras de estructuras de hormigón armado: causas y
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en materia de seguridad y salud en las obras de construcción
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