La hipérbola es una curva plana definida como el lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos fijos es constante. Se describe mediante ecuaciones canónicas y elementos como vértices, focos, ejes y distancias. La elipse es el lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante, y también se define a través de ecuaciones canónicas y elementos como vértices, focos, ejes y distancias.
Este documento describe las elipses y parábolas. Explica que una elipse es la intersección de un cono circular recto y un plano no paralelo a su base, y provee la ecuación general de una elipse. También explica que una parábola es la curva de puntos equidistantes de un foco y una recta directriz, y provee la ecuación general de una parábola. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar cómo determinar los elementos de estas cónicas a partir de sus ecuaciones.
Este documento trata sobre las cónicas elipse y parábola. Explica que una elipse es la intersección de un cono circular recto y un plano no paralelo a su base, mientras que una parábola es la intersección de un cono circular recto y un plano paralelo a un elemento del cono. Luego procede a derivar las ecuaciones de la elipse y la parábola, mostrando cómo calcular los elementos como focos, vértices y directriz. Finalmente, da ejemplos numéricos y explica cómo determinar todos
Este documento describe los elementos, características y ecuaciones de las hipérbolas y elipses. Define los focos, centro, vértices, ejes y asintotas de las hipérbolas, y presenta sus ecuaciones canónicas con centro en (0,0) y en (h,k). También define los elementos de las elipses y presenta sus ecuaciones canónicas. Termina describiendo la ecuación general de ambas curvas cónicas.
Crónicas, ecuaciones paramétricas y Coordenadas polaresLuis Vargas
• Entender la definición de una sección cónica.
• Analizar y dar las ecuaciones de parábola utilizando las propiedades de la parábola.
• Analizar y dar las ecuaciones de la elipse utilizando las propiedades de la elipse.
• Analizar y dar las ecuaciones de la hipérbola utilizando las propiedades de la hipérbola.
• Trazar la gráfica de una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas.
• Eliminar el parámetro en un conjunto de ecuaciones paramétricas.
• Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una curva.
• Entender dos problemas clásicos del cálculo, el problema tautocrona y el problema braquistocrona.
PLANO NUMERICO MIRYELIS ARAQUE YANETH PORTILLO EDICTH MENCIAS DL0402-1.pdfyannetthha
El documento describe diferentes conceptos geométricos como el plano cartesiano, distancia entre puntos, punto medio de un segmento, ecuaciones de circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Resuelve ejemplos como calcular la distancia entre dos puntos, encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento, y determinar ecuaciones de figuras geométricas dadas sus características.
Este documento describe las transformaciones de coordenadas y cómo se pueden usar para simplificar ecuaciones geométricas. Explica que una transformación de coordenadas involucra mover los ejes de coordenadas mediante una traslación y/o rotación. Luego detalla cómo realizar transformaciones específicas como trasladar, rotar o simplificar ecuaciones de parábolas, elipses y otras figuras geométricas. Concluye que elegir un sistema de coordenadas apropiado a través de transformaciones puede simplificar significativamente el proceso de resolución
Este documento describe las elipses y parábolas. Explica que una elipse es la intersección de un cono circular recto y un plano no paralelo a su base, y provee la ecuación general de una elipse. También explica que una parábola es la curva de puntos equidistantes de un foco y una recta directriz, y provee la ecuación general de una parábola. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar cómo determinar los elementos de estas cónicas a partir de sus ecuaciones.
Este documento trata sobre las cónicas elipse y parábola. Explica que una elipse es la intersección de un cono circular recto y un plano no paralelo a su base, mientras que una parábola es la intersección de un cono circular recto y un plano paralelo a un elemento del cono. Luego procede a derivar las ecuaciones de la elipse y la parábola, mostrando cómo calcular los elementos como focos, vértices y directriz. Finalmente, da ejemplos numéricos y explica cómo determinar todos
Este documento describe los elementos, características y ecuaciones de las hipérbolas y elipses. Define los focos, centro, vértices, ejes y asintotas de las hipérbolas, y presenta sus ecuaciones canónicas con centro en (0,0) y en (h,k). También define los elementos de las elipses y presenta sus ecuaciones canónicas. Termina describiendo la ecuación general de ambas curvas cónicas.
Crónicas, ecuaciones paramétricas y Coordenadas polaresLuis Vargas
• Entender la definición de una sección cónica.
• Analizar y dar las ecuaciones de parábola utilizando las propiedades de la parábola.
• Analizar y dar las ecuaciones de la elipse utilizando las propiedades de la elipse.
• Analizar y dar las ecuaciones de la hipérbola utilizando las propiedades de la hipérbola.
• Trazar la gráfica de una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas.
• Eliminar el parámetro en un conjunto de ecuaciones paramétricas.
• Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una curva.
• Entender dos problemas clásicos del cálculo, el problema tautocrona y el problema braquistocrona.
PLANO NUMERICO MIRYELIS ARAQUE YANETH PORTILLO EDICTH MENCIAS DL0402-1.pdfyannetthha
El documento describe diferentes conceptos geométricos como el plano cartesiano, distancia entre puntos, punto medio de un segmento, ecuaciones de circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Resuelve ejemplos como calcular la distancia entre dos puntos, encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento, y determinar ecuaciones de figuras geométricas dadas sus características.
Este documento describe las transformaciones de coordenadas y cómo se pueden usar para simplificar ecuaciones geométricas. Explica que una transformación de coordenadas involucra mover los ejes de coordenadas mediante una traslación y/o rotación. Luego detalla cómo realizar transformaciones específicas como trasladar, rotar o simplificar ecuaciones de parábolas, elipses y otras figuras geométricas. Concluye que elegir un sistema de coordenadas apropiado a través de transformaciones puede simplificar significativamente el proceso de resolución
El documento presenta 4 tareas relacionadas con la geometría analítica. La primera tarea pide dar las coordenadas del centro, vértices, focos, excentricidad y graficar hipérbolas y elipses dadas. La segunda tarea pide completar cuadrados para obtener la forma canónica de una parábola. La tercera tarea pide encontrar la ecuación canónica de una elipse dados sus vértices. La cuarta tarea pide hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados y resolver otros ejercic
Este documento presenta información sobre la traslación y rotación de ejes en geometría analítica. Explica las fórmulas para trasladar y rotar ejes, y cómo esto puede simplificar ecuaciones de curvas. También incluye ejemplos resueltos de traslación y rotación de ejes.
Presentacion transformacion de coordenadas, parabola y elipsesixtoalcivarc
La transformación de coordenadas es una operación que cambia una relación, expresión o figura siguiendo una ley dada expresada por ecuaciones de transformación. Se explican los teoremas para transformar ecuaciones de circunferencias, parábolas y elipses mediante traslación u rotación de los ejes de coordenadas, así como las ecuaciones de tangentes y normales a estas curvas.
Este documento describe las secciones cónicas, en particular la hipérbola. Explica que una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Detalla los elementos de una hipérbola como semiejes, vértices, centro, asíntotas y la relación fundamental. Además, muestra cómo construir una hipérbola y resolver ejercicios relacionados con encontrar su ecuación o elementos a partir de datos dados.
Este documento presenta información sobre conceptos básicos de geometría analítica como ecuaciones canónicas y generales de figuras geométricas como rectas, elipses, hipérbolas, parábolas y circunferencias. También incluye ejemplos resueltos de cómo encontrar los parámetros de estas figuras a partir de sus ecuaciones. Finalmente, presenta referencias bibliográficas relacionadas con el tema.
Curva simétrica respecto de dos ejes perpendiculares entre sí, compuesta de dos ramas abiertas, dirigidas en sentidos opuestos, que se aproximan indefinidamente a dos asíntotas, de modo tal que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es siempre constante.
Este documento contiene información sobre varios conceptos geométricos y sus ecuaciones analíticas, incluyendo: el plano cartesiano y cómo localizar puntos en él; cómo calcular la distancia entre dos puntos; la definición y ecuación del punto medio de un segmento; las ecuaciones y características de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola; y ejemplos de cómo derivar las ecuaciones de estas curvas a partir de sus definiciones geométricas. También incluye ejercicios de aplicación y
Cónicas: Hipérbola, Elipse, Parábola (Proyecto de Aula Matemáticas)Juan Falquez Arosemena
Manual sobre resolución de Cónicas como Hipérbola, Elipse, Parábola.
Proyecto de Aula matemáticas
Universidad Estatal Península de Santa Elena (UPSE)
Profesor: Ing. Carlos Malavé
Este documento trata sobre la transformación de coordenadas en geometría analítica. Explica que elegir un sistema de coordenadas adecuado puede simplificar ecuaciones. Describe la traslación de ejes como un desplazamiento paralelo de los ejes que mantiene cada eje paralelo al original. Presenta fórmulas para la traslación de coordenadas y ejemplos de cómo usarlas para encontrar el centro de una circunferencia o eliminar términos de una ecuación.
El documento explica los conceptos básicos del plano numérico o cartesiano. Describe que es un sistema de referencia formado por dos ejes perpendiculares numerados. Explica las características del plano cartesiano como que los ejes son perpendiculares y las escalas iguales. También describe cómo calcular la distancia entre puntos y encontrar el punto medio entre dos puntos en el plano.
El documento contiene información sobre diferentes tipos de curvas planas como elipses, parábolas, hipérbolas y sus propiedades y ecuaciones. Explica que una elipse es una curva cerrada formada por la intersección de un cono y un plano, mientras que una parábola y una hipérbola son curvas abiertas definidas por la distancia a puntos focales. También incluye teoremas geométricos sobre estas curvas y enlaces a videos explicativos.
El documento presenta los conceptos fundamentales del plano cartesiano y las ecuaciones analíticas de las principales figuras geométricas que se estudian en geometría analítica, como la circunferencia, elipse, hipérbola, parábola y línea recta. Explica los elementos geométricos de cada figura y cómo obtener su ecuación a partir de la aplicación de las leyes de Pitágoras y el Teorema de Tales.
Este documento describe cómo determinar si dos rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos. Explica que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1. Luego presenta ejercicios para practicar identificando la relación entre pares de rectas.
El documento describe las características y ecuaciones analíticas de varias curvas planas importantes como el plano cartesiano, la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola. Explica cómo representar puntos y curvas en un sistema de coordenadas cartesianas y define conceptos como foco, directriz y vértice que son importantes para describir las cónicas. También incluye un breve historial sobre el estudio de estas curvas.
Este documento explica la geometría analítica de la elipse. Define una elipse como el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante. Deriva las ecuaciones canónicas y segmentarias de la elipse y explica elementos como ejes, vértices, excentricidad y tangentes. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento describe las secciones cónicas, incluyendo la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Define sus elementos principales como foco, directriz, vértice y ejes. Explica cómo derivar las ecuaciones de cada curva y cómo cambian sus formas bajo transformaciones como traslación de ejes.
El documento describe las secciones cónicas, en particular la parábola. Explica que una parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantes a una recta directriz y a un punto foco. Presenta las propiedades geométricas de la parábola como su vértice, lado recto y ecuaciones. Luego describe cómo obtener las ecuaciones de parábolas con diferentes orientaciones del eje y en posiciones generales, incluyendo su relación con la distancia focal. Finalmente, muestra ejemplos de ejercicios sobre par
El documento describe las ecuaciones de la circunferencia y la parábola. Explica que la ecuación de la circunferencia depende de las coordenadas de su centro y radio, mientras que la ecuación de la parábola depende de las coordenadas de su vértice, foco y directriz. Proporciona ejemplos de cómo calcular las ecuaciones de ambas figuras geométricas.
1. Este documento resume conceptos fundamentales de espacios vectoriales, líneas rectas, circunferencias y parábolas. Define espacios vectoriales, operaciones vectoriales y propiedades. Explica cómo calcular la pendiente, ecuaciones y elementos de líneas rectas. Describe circunferencias, su ecuación general y tangentes. Finalmente, define parábolas y sus elementos cuando el eje focal es paralelo a un eje.
El documento describe las características fundamentales del plano cartesiano y algunas figuras geométricas representadas en él, incluyendo la parábola, la hipérbole, la circunferencia y la elipse. Explica que el plano cartesiano usa dos rectas perpendiculares para describir la posición de puntos y analizar figuras geométricas. También presenta fórmulas para calcular la distancia entre puntos y la ecuación canónica de la circunferencia.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
El documento presenta 4 tareas relacionadas con la geometría analítica. La primera tarea pide dar las coordenadas del centro, vértices, focos, excentricidad y graficar hipérbolas y elipses dadas. La segunda tarea pide completar cuadrados para obtener la forma canónica de una parábola. La tercera tarea pide encontrar la ecuación canónica de una elipse dados sus vértices. La cuarta tarea pide hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados y resolver otros ejercic
Este documento presenta información sobre la traslación y rotación de ejes en geometría analítica. Explica las fórmulas para trasladar y rotar ejes, y cómo esto puede simplificar ecuaciones de curvas. También incluye ejemplos resueltos de traslación y rotación de ejes.
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Curva simétrica respecto de dos ejes perpendiculares entre sí, compuesta de dos ramas abiertas, dirigidas en sentidos opuestos, que se aproximan indefinidamente a dos asíntotas, de modo tal que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es siempre constante.
Este documento contiene información sobre varios conceptos geométricos y sus ecuaciones analíticas, incluyendo: el plano cartesiano y cómo localizar puntos en él; cómo calcular la distancia entre dos puntos; la definición y ecuación del punto medio de un segmento; las ecuaciones y características de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola; y ejemplos de cómo derivar las ecuaciones de estas curvas a partir de sus definiciones geométricas. También incluye ejercicios de aplicación y
Cónicas: Hipérbola, Elipse, Parábola (Proyecto de Aula Matemáticas)Juan Falquez Arosemena
Manual sobre resolución de Cónicas como Hipérbola, Elipse, Parábola.
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Este documento trata sobre la transformación de coordenadas en geometría analítica. Explica que elegir un sistema de coordenadas adecuado puede simplificar ecuaciones. Describe la traslación de ejes como un desplazamiento paralelo de los ejes que mantiene cada eje paralelo al original. Presenta fórmulas para la traslación de coordenadas y ejemplos de cómo usarlas para encontrar el centro de una circunferencia o eliminar términos de una ecuación.
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1. Este documento resume conceptos fundamentales de espacios vectoriales, líneas rectas, circunferencias y parábolas. Define espacios vectoriales, operaciones vectoriales y propiedades. Explica cómo calcular la pendiente, ecuaciones y elementos de líneas rectas. Describe circunferencias, su ecuación general y tangentes. Finalmente, define parábolas y sus elementos cuando el eje focal es paralelo a un eje.
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ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
2. Hipérbola
La hipérbola es una curva abierta y plana, con dos ramas que se define como el lugar geométrico de los puntos
en el plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (𝒇 𝒚 𝒇𝟏), determinados focos, es constante e igual a
2a, siendo 2a la longitud del eje real o mayor de la hipérbola.
3. V: Vértice, están exactamente a la misma distancia uno del otro.
a: Medida desde un vértice hasta el centro.
2a: Medida de vértice a vértice, a esta medida se le llama eje mayor.
F: Foco, están exactamente ubicados a la misma medida desde el centro hacia ellos.
Tener en cuenta que los vértices siempre deben ir mas cerca al centro que los focos.
c: Distancia desde el foco hacia el centro.
2c: Distancia entre focos, conocido como distancia focal.
Tener en cuenta que los conocidos como puntos fijos de la hipérbole, son los focos.
b: Distancia formada desde V en línea recta hasta la circunferencia.
Como se ve en la imagen, se forma un triangulo rectángulo, entre a,b y c, entonces se puede aplicar el teorema de Pitágoras para hallar
distancias.
Para determinar si el eje principal es paralelo al eje x o eje y, basta con ver sobre donde están ubicados los vértices, en este caso son paralelos al
eje x, por tanto, el eje principal es paralelo al eje x.
4. Ecuación canónica (Centro en (0,0)
Como o cuando reconocer una ecuación canónica.
- Una condición, debe tener dos variables que normalmente suelen ser representadas como (x,y).
- Segunda condición, las variables deben estar elevadas al cuadrado 𝑥2
, 𝑦2
como máximo exponente.
- Tercera condición, los coeficientes que acompañan a cada una de las variables deben tener signos diferentes.
Voy a dar un ejemplo de como se verían una ecuación canónica con centro en (0,0).
Ej.
𝑥2
9
−
𝑦2
25
= 1
- Esto se debe a que hay dos fracciones igualadas a 1, la x y y al cuadrado no deben tener coeficiente acompañándolas como en el
ejemplo
Ecuaciones referentes para hallar los elementos de la hipérbola.
•
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1 EJE PRINCIPAL PARALELO AL EJE X
•
𝑦2
𝑎2 −
𝑥2
𝑏2 = 1 EJE PRINCIPAL PARALELO AL EJE Y
La fracción positiva siempre va a determinar a que eje es paralelo el eje principal.
También, siempre en la fracción positiva va como denominador 𝒂𝟐
, por ende el denominador de la fracción negativa es 𝒃𝟐
.
5. Ecuación canónica con centro en (h.k)
Con centro en (h,k) quiere decir que puede tener el centro en cualquier punto del plano cartesiano.
Ecuaciones referentes para hallar los elementos de la hipérbola.
•
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 −
𝑦−𝑘 2
𝑏2 = 1
•
(𝑦−𝑘)2
𝑎2 −
𝑥−ℎ 2
𝑏2 = 1
Tener en cuenta que una fracción es positiva y la otra es negativa, también observar como la x va acompañada de la h, y la y va con
la k.
𝑎2
𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑦 𝑏2
𝑣𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎.
Se debe tener cuidado ya que el negativo que está dentro de los paréntesis, afectan en el momento de remplazar valores.
Como se menciono atrás, h siempre va acompañando a x, por ende cuando se remplace, este valor será la coordenada x del
centro, de la misma forma pero con la k, que siempre acompañará a la y, al remplazar ese valor será igual a la coordenada y del
centro.
Ej para hallar el centro.
(𝑦−5)2
16
−
𝑥+2 2
4
= 1
Hallamos a h, el negativo de la ecuación referente, con el positivo que tiene el 2 del ejemplo, daría como resultado 𝒉 = −𝟐
Hallamos a y, el negativo de la ecuación referente, con el negativo que tiene el 5 del ejemplo, daría como resultado 𝒌 = 𝟓
Entonces, el centro de está ecuación es (−𝟐, 𝟓).
6. Ecuación general de la hipérbola.
𝑨𝒙𝟐
+ 𝑩𝒚𝟐
+ 𝑪𝒙 + 𝑫𝒚 + 𝑬 = 𝟎
El siguiente ejemplo es de como se pasa de la ecuación canónica de la hipérbola con centro (0,0) a la general.
Ej.
𝑥2
4
−
𝑦2
9
= 1
Se hace resta de fraccionarios con el método de la carita feliz.
9𝑥2
− 4𝑦2
36
= 1
El 36 que está dividiendo pasa a multiplicar.
9𝑥2
− 4𝑦2
= 1 ∗ 36 esto es lo mismo que decir, 9𝑥2
− 4𝑦2
= 36
Recordemos que en la ecuación general de la hipérbola debe dar = 0, entonces para ello colocamos -36 a ambos lados de la ecuación
9𝑥2
− 4𝑦2
− 36 = 36 − 36
9𝑥2
− 4𝑦2
− 36 = 0
Esa sería la ecuación general para esta ecuación canónica con centro en (0,0)
7. Ecuación general de la hipérbola
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Pasar de la ecuación canónica con centro de (h,k) a la general de la hipérbola.
- Acá se emplea recordar temas pasados del algebra como el cuadrado de un binomio y resta de fracciones(método de la carita feliz)
Voy a explicar con el ejemplo.
Ej.
(𝑥 − 2)2
5
−
𝑦 + 4 2
10
= 1
10(𝑥 − 2)2
− 5(𝑦 + 4)2
50
= 1
- Resolver la potencia de los binomios, pasar el 50 que divide a multiplicar, queda así,
10 𝑥2
− 2 ∗ 𝑥 ∗ 2 + 4 − 5 𝑦2
+ 2 ∗ 𝑦 ∗ 4 + 16 = 1 ∗ 50
10 𝑥2
− 4𝑥 + 4 − 5 𝑦2
+ 8𝑦 + 16 = 50
10𝑥2
− 40𝑥 + 40 − 5𝑦2
− 40𝑦 − 80 = 50
Como la ecuación general de la hipérbola es igual a 0, para eso restamos -50 a cada lado del igual y organizamos la ecuación para que
quede como la ecuación general de la hipérbola,
10𝑥2
− 40𝑥 + 40 − 5𝑦2
− 40𝑦 − 80 − 50 = 50 − 50
𝟏𝟎𝒙𝟐
− 𝟓𝒚𝟐
− 𝟒𝟎𝒙 − 𝟒𝟎𝒚 − 𝟗𝟎 = 𝟎
Ecuación general de la hipérbola
8. ELIPSE
Lugar geométrico de las puntos cuya suma de las distancias a dos puntos fijos es constante.
Los puntos fijos se llaman focos.
9. a: La distancia entre Vértice 𝑉1 𝑜 𝑉2 con el centro.
2a: Distancia entre vértices, también conocido como eje mayor.
Eje mayor: Es la distancia entre los vértices mas lejanos.
b: Distancia entre 𝑉3 𝑜 𝑉4
2b: Distancia entre vértices 3 y 4, también conocido como eje menor.
Eje menor: Distancia entre los vértices más cercanos.
C: Distancia entre foco y centro.
2c: Distancia entre focos.
10. Ecuación canónica con centro en (0,0)
Características para reconocer una elipse.
- Tiene dos variables (x,y)
- Las dos variables están elevadas al cuadrado (𝑥2
, 𝑦2
)
Características en la ecuación general.
- Siempre igualada a cero.
- El exponente máximo de x y y es al cuadrado.
- Al menos una de los dos variables debe tener coeficiente.
Para reconocer una ecuación canónica de la elipse con centro en (0,0)
-Primero, encontramos dos fracciones.
- Las dos fracciones deben sumar(ser positivas)
- Deben ser igual a 1 “=1”
. Arriba, en el numerador de las dos fracciones solo tiene (𝑥2
, 𝑦2
)
Formulas referente de la ecuación canónica con centro en (0,0)
•
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
•
𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎2 = 1
Cuando el 𝑎2
sea denominador de 𝑥2
, es que el eje mayor es paralelo al eje x.
Cuando el 𝑎2
sea denominador de 𝑦2
, es que el eje mayor es paralelo al eje y.
Para reconocer y remplazar en la formula referente, es de tener en cuenta que el número mayor de los denominadores siempre será 𝑎2
11. Ecuación canónica de la elipse con centro en (h,k)
Formulas referente de la ecuación canónica con centro en (h,k)
•
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1
•
(𝑥−ℎ)2
𝑏2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑎2 = 1
Tener en cuenta que “h” siempre va con “x”, y “k” siempre va con “y”, como se ve en las ecuaciones referentes; además, el
negativo de las formulas altera la ecuación.
Ecuaciones generales de la eclipse.
Ecuación general de la elipse con centro (0,0)
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐸 = 0
Ecuación general de la elipse con centro en (h,k)
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
12. Tarea1
- Para el desarrollo de la actividad, antes tuve que investigar todo sobre la elipse, donde encontré las diferentes ecuaciones
canónicas/ordinarias de la misma.
En está tarea en especifico utilice una de las ecuaciones canónicas con centro(h,k), más específicamente donde la 𝑎2
es
denominador de la fracción donde está “x”, esto porque la ecuación ofrecida en la actividad tiene como denominador mayor al
que está en la fracción de “x”.
- También de la investigación saque la información que cuando se emplea la formula anterior quiere decir que el eje mayor es
paralelo al eje x, y que al remplazar los valores estos cambian el signo (positivo-negativo) debido a la ecuación.
𝑥 − ℎ 2
𝑎2
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
- Una vez remplazados los datos, vemos que el h de la ecuación siempre será la coordenada x en el centro, y k siempre será la
coordenada de y en el centro.
- Para hallar la distancia de 𝐹1 𝑜 𝐹2, se emplea el teorema de Pitágoras, teniendo en cuenta que a es la hipotenusa.
a: Distancia entre 𝑉1 𝑜 𝑉2 con el centro.
b: Distancia entre 𝑉3 𝑜 𝑉4con el centro.
c: Distancia entre 𝐹1 𝑜 𝐹2 con el centro.
- Formulas para hallar Lado recto para hacer la gráfica se emplea la formula
2.𝑏2
𝑎
.
- Formula para hallar la excentricidad
𝑐
𝑎
.
13. TAREA 2
- Acá se tenía que completar cuadrados para obtener la ecuación canónica de la elipse.
- Se emplea la factorización, de trinomio cuadrado y por factor común.
- Se emplea formula para hallar el tercer termino de los trinomios,
𝑏
2
2
.
- Al emplear esta formula y hallar tercer termino, también ese tercer termino lo multiplicamos por el
factor común respectivo y colocamos el resultado al otro lado del igual.
- Usamos el método de pasar de multiplicar a dividir o viceversa y de sumar a restar o viceversa.
14. TAREA 3
- Se solicitaba encontrar la ecuación canónica dando los vértices y focos.
- Se tiene que conocer los distintos elementos de la elipse, como el eje mayor, eje menor, a, b , c y lado recto.
- Al graficar las coordenadas dadas se puede encontrar centro, eje mayor y c.
- Con lo anterior vemos que el eje mayor es paralelo al eje x y que el centro esta en (h,k), por ende sabemos que ecuación se
va a emplear
𝑥−ℎ 2
𝑎2
𝑦−𝑘 2
𝑏2 = 1.
- Como se sabe el eje mayor y este es dos veces a, se puede sacar el valor a.
- Ahora teniendo el valor de a y de c, empleamos el teorema de Pitágoras para hallar b al cuadrado.
- Una vez encontramos estos datos, podemos remplazar los datos ecuación canonica con centro en (h,k)para encontrar el
resultado.