se dan ejemplos de la recta, circunferencia, parabola, hiperbola y elipse asi como sus teoremas basicos para su calculo.

1. Instituto Universitario Politécnico
“ Santiago Mariño”
Escuela de Ingeniería Electrónica
Sede Barcelona
Bachiller:
José Gómez C.I: 17.971.278
Profesor:
Pedro Beltrán

2. INTRODUCCION
En el presente trabajo se basa en el estudio de las diferentes formas geométricas y su ubicación en
el espacio así como los diferentes teoremas y formulas que se aplican a la hora de realizar cálculos los
cuales suelen estar muy ligado a las diferentes ramas de la ingeniería. Un ejemplo de esto es en la
electrónica donde se utiliza la parábola como elemento transmisor y receptor de señales de datos en
forma de antena a través del espectro electromagnético con las cuales se hacen posible hoy las
telecomunicaciones que son tan importantes para el desarrollo de la vida del ser humano.

3. La recta: se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección.
Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la
derecha). En geometría analítica las líneas rectas en un plano pueden ser expresadas mediante
una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha
expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la
recta respecto a un par de ejes que definen el plano, mientras que b es el denominado "término
independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en
el plano.
Pendiente y ordenada al origen: Dada una recta mediante un punto, P = (X0 – Y0), y una pendiente
m: Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-
pendiente): Y – Y0 = m (X – X0), donde m es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de
las abscisas X.
Ejemplo: hallar la ecuación de la recta en forma punto pendiente que pasa por el punto A (2,
5) y tiene como pendiente m= 2
Aquí usaremos la ecuación de la recta en su forma punto pendiente, conociendo que la pendiente
m= 2 y que pasa por el punto A ( 2, 5 ), procedemos a sustituir los datos en la ecuación:
Y esto da como resultado y = 2X + 1.

4. Ejemplo: encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3, 2) con pendiente m = 2
Para encontrar la ecuación de la recta se sustituyen los valores dados en la ecuación:
Se procede a realizar la grafica:
Y se puede observar que si X = 0, entonces Y= -4. Además m= 2, por lo que cada unidad que avancemos
en el eje x debemos subir 2 en la dirección del eje y.

5. La circunferencia: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado
centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que trabajamos).
Una circunferencia queda determinada cuando conocemos tres puntos de la misma equidistantes del
centro, estos son: el centro y el radio, el centro y un punto de ella, el centro y una recta tangente a la
circunferencia. También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que
están a la misma distancia de otro punto, llamado centro. Esta propiedad es la clave para hallar
la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia). en el terreno de la Geometría
Analítica, (dentro del Plano Cartesiano) diremos que para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia
cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r, la ecuación ordinaria es: (x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
Esto significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el Plano
Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o
expresar como una ecuación matemática.

6. Donde CP= r (distancia) y formula que elevada al cuadrado nos da: (x – a)2 + (y –
b)2 = r2 y también se utiliza como: (x-h)2 + (y-k)2 = r2.
Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la
circunferencia, equidistante del centro un radio (r). Y que la a y la b (o la h y la k, según se use) corresponderán
a las coordenadas del centro de la circunferencia C(a, b).
Ejercicio: Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (2,-1) y cuyo centro es C (-1,3).
En este ejercicio se conocen los datos de la circunferencia como lo son el punto A y su centro C:
Necesitamos conocer el radio de la circunferencia para
calcular su ecuación, la cual es igual a la distancia
entre el punto A y C que es el centro.

7. Conociendo el radio y el centro:
Ya es posible calcular la ecuación de la circunferencia en la siguiente expresión:
Se sustituyen a, b y r por sus valores: Y realizamos la operación:
Y se reordenan los términos para dejar la ecuación en su forma general como
sigue:
Ejercicio: Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C (2,-1) y que sea tangente a la recta r:
y=x+2.
En este ejercicio tenemos como dato el centro y una recta tangente a la recta r: y=x+2.
El radio será igual a la distancia entre el centro y
la recta, ya que la recta tangente siempre es
perpendicular al radio. La ecuación para calcular
la distancia de un punto a una recta es la
siguiente:

8. Para poder aplicarla, necesitamos poner la ecuación de la recta en su forma general:
Se sustituyen los coeficientes de la ecuación de la recta y las coordenadas del centro
en la ecuación, por lo que obtenemos el valor del radio:
Y obtenemos el valor del centro y el radio:
Sustituimos los valores en la ecuación de la
circunferencia y nos queda:
Luego del paso anterior realizamos la operación
de los cuadrados:
Pasamos el 2 a multiplicar al primer miembro para
eliminar el denominador:
Y se procede a reordenar los términos quedando
la ecuación de la siguiente manera:

9. Parábola: es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a un punto fijo llamado foco y a
una recta fija llamada directriz son iguales. Sus características geométricas son:
Vértice: es el punto donde la parábola corta su eje focal.
Foco: es un punto que se encuentra situado sobre el eje focal y la distancia que se encuentra del vértice al foco, es
la misma que del vértice a la directriz.
Lado recto: la cuerda perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta dos puntos de la parábola.
Directriz: es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la parábola, esta debe ser
igual a la distancia de este mismo punto al Foco.
Eje focal: es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Parámetro: se denota con la letra p y es la distancia del foco al vértice.
Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen:
Estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su vértice esté en el
origen (coordenadas (0, 0) del Plano Cartesiano), y según esto, tenemos cuatro posibilidades de
ecuación y cada una es característica. Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la
parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal o de simetría coincide con el eje de las X
(abscisas) y que está orientada (se abre) hacia la derecha.
Por definición, sabemos que, en una parábola la
distancia entre un punto “P” (no confundir con
el “parámetro p”), cualquiera de coordenadas (x,
y), y el foco “F” será igual a la distancia entre la
directriz (D) y dicho punto, como vemos en la figura:

10. Primera posibilidad: cuando la parábola se abre hacia la derecha (sentido positivo) en e l eje de las abscisas
“X”.
Ecuación de la parábola y 2 = 4px
Ecuación de la directriz x + p = 0
Segunda posibilidad: Cuando la parábola se abre hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las abscisas “X”.
Ecuación de la parábola y 2 = 4px (con signo menos final)
Ecuación de la directriz x – p = 0
Tercera posibilidad: Cuando la parábola se abre hacia arriba (sentido positivo) en el eje de
las ordenadas “Y”.
Ecuación de la parábola x 2 = 4py
Ecuación de la directriz y + p = 0

11. Cuarta posibilidad: Cuando la parábola se abre hacia
abajo (sentido negativo) en el eje de las ordenadas “Y”.
Ecuación de la parábola x 2 = 4py (con signo
menos final)
Ecuación de la directriz y – p = 0
Ejemplo: Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola con vértice en el origen y que contiene al punto
B (3, 4), además su eje de simetría (o eje focal) es paralelo al eje X. Solución: El punto B (3, 4) nos indica que:
X = 3
Y = 4
Se sustituyen las coordenadas del punto B en la ecuación:
Y la ecuación nos queda de la siguiente manera:
El foco se ubicara en el punto 4/3 ,0El foco se ubicara en el punto 4/3 ,0
El foco se ubicara en el punto 4/3 ,0 Se puede ver que 4/3 corresponde al valor de p, y como la
directriz está a la misma distancia de p respecto al vértice,
pero hacia el lado contrario, entonces, la directriz será:

12. En lo que se respecta a las ecuaciones de la parábola fuera del origen también se encuentran cuatro
posibilidades las cuales son:
Primero: Que la parábola se abra hacia la derecha (sentido positivo) en el eje de las abscisas “X”.
Ecuación de la parábola (y – k) 2 = 4p(x – h)
Ecuación de la directriz x – h + p = 0
Segunda: Que la parábola se abra hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las abscisas “X”.
Ecuación de la parábola (y – k) 2 = 4p(x – h)
Ecuación de la directriz x – h – p = 0
Tercero: Que la parábola se abra hacia arriba (sentido positivo) del eje de las ordenadas “Y”.
Ecuación de la parábola (x – h) 2 = 4p (y – k)
Ecuación de la directriz y – k + p = 0
Cuarto: Que la parábola se abra hacia abajo (sentido negativo) del eje de las ordenadas “Y”.
Ecuación de la parábola (x – h) 2 = –4p (y – k)
Ecuación de la directriz y – k – p = 0
Ejemplo: Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el punto (3, 2) y foco en (5, 2).
Solución: Al analizar las coordenadas de vértice (3, 2) y foco (5, 2), vemos que su ordenada es común (y = 2),
por lo que se concluye que están alineados horizontalmente y que el foco está a la derecha del vértice.
Según ya vimos, en este caso la ecuación que resulte tiene la forma: (y – k) 2 = 4p(x – h)
Siendo las coordenadas del vértice (h, k), se sustituyen en la ecuación y resulta: (y – 2) 2 = 4p(x – 3)

13. En donde el parámetro p representa la distancia del vértice al foco, que podemos calcular por diferencia de las
abscisas correspondientes:
p = 5 – 3
p = 2
Sustituyendo:
(y – 2) 2 = 4(2) (x – 3)
Queda
(y – 2) 2 = 8(x – 3),
Ecuación escrita en la forma ordinaria o canónica.
Ecuaciones de la parábola con el vértice fuera del origen

14. Ecuación general de una parábola
Para llegar a dicha expresión o forma general, es necesario desarrollar algebraicamente la forma ordinaria o canoníca de
la ecuación. Tomando como ejemplo la forma:
(x – h) 2 = 4p(y – k)
Desarrollando resulta:
x 2 – 2hx + h 2 = 4py – 4pk
x 2 – 2hx + h 2 – 4py + 4pk = 0

15. Multiplicando la ecuación por un coeficiente “A” con la intención de generalizar, y considerando A ≠ 0 ,
tendremos:
Ax 2 – 2Ahx + Ah 2 – 4Apy + 4Apk = 0
Reordenando:
Ax 2 – 4Apy – 2Ahx – Ah 2 + 4Apk = 0
Ax 2 – 4Apy – 2Ahx + A(h 2 + 4pk) = 0
Haciendo que los coeficientes de las variables sean:
–4Ap = B
–2Ah = C
A(h 2 + 4pk) = D
Sustituyendo los coeficientes B, C y D en la ecuación, nos queda:
Ax 2 + Bx + Cy + D = 0
que es la ecuación de una parábola
horizontal en su forma general.
Ay 2 + Bx + Cy + D = 0
para una parábola de orientación vertical, la
ecuación en su forma general será:

16. Ejemplo: Una parábola tiene vértice en el punto (–4, 2), y su directriz es y = 5, encuentre su ecuación y
exprésela en la forma general. Observando las coordenadas del vértice y la posición de la directriz, se puede
concluir que:
a) La directriz es paralela al eje de las abscisas, por lo tanto la posición de la parábola es vertical.
b) La directriz corta al eje de las ordenadas en un valor (5) mayor que la ordenada del vértice (2), por lo tanto
la parábola se abre hacia abajo (sentido negativo del eje de las Y).
c) Las coordenadas del vértice no corresponden con las del origen.
d) Dado lo anterior, se trata entonces de una parábola cuya ecuación ordinaria o canónica es del tipo:
(x – h) 2 = –4p (y – k)
De las coordenadas del vértice
se obtiene:
h = –4
k = 2
Se obtiene p por diferencia entre
las ordenadas del vértice y de la
directriz, resultando:
p = 5 – 2
p = 3

17. Sustituyendo valores en la ecuación
ordinaria, resulta:
(x – h) 2 = –4p(y – k)
(x – (–4)) 2 = –4 (3) (y – (+2))
(x + 4) 2 = –12(y – 2)
(x + 4) 2 = –12y + 24
Desarrollando el binomio al
cuadrado
(x + 4) (x + 4) = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 = +12y – 24
Simplificando e igualando a cero la
ecuación se tiene:
x 2 + 8x + 16 + 12y – 24 = 0
x 2 + 8x + 12y – 8 = 0
Que es la ecuación buscada.

18. Función cuadrática de una parábola
Una función es una relación entre dos magnitudes, x y f(x), de manera que a cada valor de la primera
magnitud le corresponde un único valor de la segunda, que se llama imagen.
Función cuadrática es aquella función que está determinada por la ecuación de segundo grado (cuadrática) de
la forma:
Donde a, b y c son números reales, y a ≠ 0, ya que si a = 0 se anula x2, y no sería una ecuación cuadrática.
La representación gráfica de una función cuadrática se denomina parábola.
La parábola de la función cuadrática, es una curva simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las
ordenadas, la cual se denomina eje de simetría. La parábola se compone de todos los pares ordenados (x,
y) que satisfacen la ecuación cuadrática:
y = ax2 + bx + c.

19. El trazado de parábola de la función cuadrática está determinada por un vértice, por el cual se traza el eje de
simetría, los puntos de corte en el eje x y el punto de corte en el eje y. Al trazado de la parábola se le
denomina ramas de la parábola.
si graficamos una parábola de una función cuadrática, se puede ver:
Estos puntos que forman la parábola, están
determinados por los coeficientes
numéricos a y b de x2 y x respectivamente, y el
término independiente c de la ecuación
cuadrática.

20. Aplicaciones de la parábola en la vida real
En antenas parabólicas, Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al
eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales
y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor
colocado en la posición del foco.
En Puentes colgantes, La forma parabólica del puente colgante es interesante. A primera vista, la curva puede
ser descrita como una catenaria. Una catenaria es una curva creada por la gravedad, Sin embargo, debido a que
la curva en un puente de suspensión no se crea solamente por gravedad (las fuerzas de compresión y tensión
actúan en él) no puede ser considerado una catenaria, sino más bien una parábola. La forma parabólica permite
a las fuerzas de compresión transferirse a las torres, que sostiene el peso del tráfico.

21. La elipse: Una elipse se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos
puntos fijos llamados focos es constante. Su representación gráfica es:
Elementos que caracterizan a la elipse:
Focos: son los puntos f1 y f2.
Eje focal: es la recta que pasa por los dos focos.
Eje secundario: es la mediatriz del segmento formada por los dos focos.
Centro: es el punto de intersección del eje focal con el eje secundario.
Distancia focal: es la distancia entre los dos focos. La semidistancia focal es entonces la mitad y por lo tanto la
distancia de cualquier foco al centro (se le llama c).
Vértices: es el punto de corte de la elipse con los ejes secundario y focal.
Eje mayor: es el segmento que une el vértice A con el vértice B.
Eje menor: es el segmento que une el vértice C con el vértice D.
Ejes de simetría: son las rectas que contienen alguno de los dos ejes siguientes: el mayor o el menor.
Centro de simetría: coincide con el centro de la elipse y es el punto intersección de todos los ejes de simetría.

22. Este valor se encuentra entre cero y uno dado que a > c > 0. Así pues se tiene:
e = c / a
Donde c es la semidistancia focal y a es la longitud del semieje mayor. La excentricidad indica la forma de una
elipse, por eso una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero. Y será
más achatada como más cerca esté del valor 1.
Ejemplo:
Hallar vértices, focos, eje focal, graficar y calcular excentricidad de la siguiente elipse: x24+y210=1
Calcularemos los valores de a y b:
a2=10⇒a=√10
b2=4⇒b=2
Entonces podemos dar las coordenadas de los vértices:
V1 (0, √10; V2 (0, –√10); V3 (2,0); V4 (–2,0)
Eje focal: es el eje y, porque el denominador de y2 es mayor que el denominador de x2.
Para hallar las coordenadas de los focos necesitamos calcular c:
c2=a2–b2=10–4=6
F1 (0, –√6) yF2 (0, √6)
Excentricidad de la elipse:
e = c/a = √6/√10 = √3/5 y su grafica queda de la siguiente forma:
La excentricidad de una elipse (se denota con la letra e) es la razón entre su semidistancia focal y su semieje
mayor.

23. Ecuación ordinaria para una elipse horizontal, con eje de simetría en el eje x es:
La figura muestra además la relación pitagórica entre a, b y c, es decir:

24. Ejemplo: Dada la ecuación de la elipse determinar: centro, coordenadas de los vértices, eje mayor, eje menor,
las coordenadas de los focos y hacer la gráfica.
Procedimiento:
Como los coeficientes de es uno, entonces la elipse está centrada en el origen de coordenadas.
C(0, 0).
Como a > b, entonces el eje mayor es el eje “X” por tanto
El valor de c se determina con la relación Pitagórica:
C es un número positivo,
ya que la distancia
siempre es positiva.

25. Ecuación de la recta origen vertical, Elipse centrada en el origen de coordenadas y eje mayor en eje “Y”.
El eje mayor esta en el eje de las y, dese cuenta que el eje mayor es horizontal si el termino tiene el
denominador mas grande y el vertical si el termino tiene el denominador mas grande. Ya que el mas grande
de los dos denominadores es la longitud del eje mayor siempre es 2ª y la longitud del eje menor siempre es
2b. La distancia del centro a cualquier foco es ( C).
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3, 0) y F(3, 0), y su eje
mayor mide 10.
Semieje mayor
2a=10 a= 5
Semidistancia focal
FF= 2c = 6 c= 3
Semieje menor
B2=25 – 9 b= 4
Ecuación reducida
X2/25 + y2/16 = 1
Excentricidad
e=3/5

26. La hipérbola: La hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos, cuyo valor absoluto de la
diferencias de sus distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es siempre constante (figura adjunta).
Dentro de los primeros elementos de la hipérbola, consideraremos los que se muestran en la siguiente
figura:
Elementos de la hipérbola:

27. A diferencia de la elipse, la excentricidad en este caso es mayor que 1 (e > 1) porque la distancia “c” de los
focos al centro es mayor que la distancia “a “del vértice al centro.
En el caso de los parámetros, a, b y c; el parámetro “c” es el mayor por estar más alejados los focos
del centro que los vértices.
La relación pitagóricas entre estos elementos es: c2= a2+ b2
De acuerdo a la forma y posición de la hipérbola en el plano de coordenadas, esta tiene diferentes
representaciones analíticas a las que llamamos ecuaciones de la hipérbola.
El primer caso corresponde a la hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre uno de los ejes. Si el eje focal
está sobre el eje X, la ecuación de la hipérbola está representada por la expresión:

28. Ejemplo: Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la
excentricidad de las siguientes hipérbolas.
X2 / 144 – Y2/81 = 1
a2 = 144 a= 12
b2= 81 b= 9
c= √ 144 + 81 c= 15
a (12, 0) a’ (-12, 0)
f (15, 0) f’ (-15, 0)
e= 15/12 = 5/4

29. Ejemplo: Representa gráficamente y determina las coordenadas del foco, el vértice y la excentricidad de la
siguiente hipérbola:
Y2/144 – x2/25 = 1
a2 = 144 a= 12
b2= 25 b= 5
c= √ 144 + 25 c= 13
a (0, 12) a’ (0, -12)
f (0, 13) f’ (0, -13)
e= 13/12
Ecuación ordinaria de la hipérbola:

30. Ecuación general de la hipérbola
Notas importantes
Hipérbola equilátera
Es una hipérbola centrada en el origen y con los focos en el eje ox, donde la longitud del semieje real coincide
con la del semieje imaginario, es decir a= b.
Esta expresión es la ecuación reducida de
la hipérbola equilátera.

31. Ejemplo: Hallar la hipérbola equilátera de distancia focal 2c = 6√2. ¿Pertenece el punto P(5, 4) a dicha
hipérbola?

32. Hipérbola conjugada
Cuando el eje real de una es el eje imaginario de la otra y viceversa.
Las asíntotas de una hipérbola y de su hipérbola conjugada coinciden. La distancia focal es igual para las dos,
pues se da que: c2 = a2 + b2

33. Conclusión
La geometría analítica establece una correspondencia entre las curvas geométricas y
ecuaciones algebraicas. Esta correspondencia permite reformular problemas en la geometría
como problemas equivalentes en álgebra, y viceversa; sus métodos pueden ser utilizados para
resolver diferentes problemas. Por ejemplo, en las computadoras para crear animaciones de
pantalla en los juegos y películas mediante la manipulación de las ecuaciones algebraicas.
Como el mundo se construye de la forma y el espacio, la geometría analítica tiene muchas
aplicaciones en la ciencia, la industria y la vida cotidiana. Por ejemplo: se puede utilizar en la
ubicación de los lugares y puntos en un mapa topográfico; en la arquitectura y la construcción para
crear edificios más hermosos; para hacer el diseño de máquinas industriales y herramientas, de
automóviles, de cosas tales, como la ropa de medida, lámparas, muebles, diseños por la
computadora, para la resolución de problemas diferentes, etc. Por todas estas características se
puede decir que la geometría es una parte fundamental de la ingeniería, gracias a los cálculos que
podemos realizar a través de ella y a que también forma parte de la matemática que es esencial para
el desarrollo de las tecnologías.

34. Bibliografía
https://www.youtube.com/watch?v=XZayGpnvxvg
https://www.youtube.com/watch?v=LIEmHsa00II
https://www.youtube.com/watch?v=7ISuNcXLQ4o
https://www.youtube.com/watch?v=oCs112EbwH4