La transformación de coordenadas es una operación que cambia una relación, expresión o figura siguiendo una ley dada expresada por ecuaciones de transformación. Se explican los teoremas para transformar ecuaciones de circunferencias, parábolas y elipses mediante traslación u rotación de los ejes de coordenadas, así como las ecuaciones de tangentes y normales a estas curvas.

1. GEOMETRIAANALITICA
ANDREA RECALDE
6to FISICO MATEMATICO

2. La transformación de coordenadas es una
operación por la cual una relación, expresión
o figura se cambia en otra siguiendo una ley
dada. Analíticamente, la ley se expresa por
una o mas ecuaciones llamadas ecuaciones de
transformación.

3.  Tenemos la ecuación de la
circunferencia en la forma
ordinaria.
(x-h)² + (y-k)² = r²
El centro 0´ de
coordenadas (h, k)
Se la coloca en el origen
(0, 0) y nos quedaría de la
forma canónica
x² + y² = r²

4.  En vez de llevar a la
circunferencia a su centro
también podemos mover los
ejes de manera que el origen
0 coincida con el centro 0´
(h, k).
Las coordenadas del punto
P serian (x´, y´)
La ecuación de la
circunferencia esta dada en
la forma canónica
x´² + y´² = r²

5.  Teorema 1 Se trasladan los
ejes coordenados a un
nuevo origen 0’ (h, k) y las
coordenadas del punto P
son (x, y) antes y (x’, y’)
después.
Las ecuaciones de
transformación son:
x = x’ + h
y = y’+ k

6.  Transformar la ecuación
x³-3x²-y² +3x+4y-5=0 al nuevo origen
(1, 2) y trazar el lugar geométrico y los
dos sistemas de ejes.
x = x’+ 1 , y = y’+2
sustituimos los valores de x y y en la
ecuación original.
(x’+1)³-3(x’+1)²-(y’+2)²+3 (x’+1)+4(y’+2)-5=0
Desarrollando y simplificando
obtenemos la ecuación buscada es
x’³-y’²=0
Ejemplo:

7.  Teorema 2 Si los ejes
coordenados giran un
ángulo ѳ en torno a su
origen como centro de
rotación, y las coordenadas
de un punto cualquiera P
(x, y) antes y (x’, y’).
Las ecuaciones de
transformación son:
x = x’cos ѳ – y’sen ѳ
y = y’sen ѳ + y’cos ѳ

8.  Transformar la ecuación 2x²+√3 xy + y²
= 4 girando los ejes coordenados un
ángulo de 30°.
Obtenemos las siguientes ecuaciones
x = x’ cos 30° - y sen 30° = √3/2 x’ – ½ y’
y = y’ sen 30° + y’ cos 30° = ½ x’ + √3/2 y’
Sustituimos los valores en la ecuación
original y obtenemos la ecuación
transformada
5x’² + y’² = 8
Ejemplo:

9.  Se puede usar ambos métodos para
transformar las ecuaciones de una
manera mas fácil y lógica.
Por el primer método
obtenemos las ecuaciones
x = x’+ h
y = y’+ k
Por el segundo obtenemos
x’=x’’ cos ѳ - y’’ sen ѳ
y’=y’’ sen ѳ + y’’ cos ѳ
 Si sustituimos los valores de x’ y
y’ obtenemos las ecuaciones
buscadas
x = x’’ cos ѳ – y’’ sen ѳ + h
y = y’’ sen ѳ + y’’ cos ѳ + k

10.  Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se
mueve en el plano de tal manera que su distancia de una
recta fija situada en el plano, es siempre igual a su
distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la
recta. Al punto fijo se le llama foco y la recta
fija directriz.

11.  Teorema 1 la ecuación de una parábola de vértice en el
origen y eje el eje X es:
y² = 4px
Si el eje de una parábola coincide con el eje, Y y el vértice
esta en el origen, su ecuación es:
x² = 4py

12.  Una parábola de origen en el centro
coincide con el eje y y pasa por el punto (4,
-2) por el teorema 1 obtenemos x² = 4py,
como la circunferencia pasa por el punto
debe satisfacer a la ecuación16 = 4p (-2)
donde P es = -2 como el foco es de
coordenadas (0, p )
y = -p
y = 2
Ejemplo:

13.  el foco esta sobre el eje x
sus coordenadas son (p, 0)
por definición el punto P
debe satisfacer la ecuación
|FP| = |PA| en donde
|FP| = √(x - p)²+ y²
|PA| = |x + p|
Si igualamos las ecuaciones
y resolvemos obtenemos
y²=4px

14.  Teorema 2 la ecuación de una parábola de vértice (h, k) y
eje paralelo al eje X, es de la forma (y - k)² = 4p (x - h)
Si el vértice es el punto (h, k) y el eje de la parábola es
paralelo al eje Y, su ecuación es de la forma (x - h)² = 4p
(y - k)

15.  Teorema 3 una ecuación de segundo grado en las variables
x y y que carezca del termino xy puede escribirse de la
forma:
Ax²+Cy²+Dx+Ey+F = 0

16.  La ecuación de la tangente a la parábola es y = 4px en
un punto cualquiera: y - y₁ = m(x - x₁) de
esta se puede determinar la pendiente m.
Se reemplaza el valor de y en la ecuación de la parábola y
se obtiene:
y₁ y = 2p (x+ x₁)

17.  Teorema 4 la tangente a la parábola y² = 4px en cualquier
punto P (x₁, y₁) de la curva tiene por ecuación:
y₁y = 2p(x + x₁)
 Teorema 5 la tangente de pendiente m a la parábola y² =
4px tiene por ecuación:
y = mx + P/m

18.  La forma: ax² + bx + c, en
donde a, b y c son
constantes y a ≠ 0, se
llama función cuadrática y
puede ser investigada por
la relación
y = ax²+bx+c

19.  Teorema 6 La función cuadrática ax² + bx +c, a ≠0 esta
representada gráficamente por la parábola y = ax² + bx +
c.
 Teorema 7 La normal a la parábola en un punto P₁ (x₁,
y₁) cualquiera de la parábola forma ángulos iguales con el
radio vector de P₁ y la recta que pasa por P ₁ y es paralela
al eje de la parábola.

20.  Una elipse es el lugar
geométrico de un punto
que se mueve en el plano
de tal manera que las
sumas de sus distancias a
dos puntos fijos de ese
plano es siempre igual a
una constante mayor que
la distancia entre los dos
puntos. Los dos puntos
fijos se llaman focos de la
elipse.

21.  Teorema 1 la ecuación de una elipse de centro en el
origen, eje focal el eje X, su distancia focal igual a 2c y
cantidad constante igual a 2ª es: x²/a² + y²/b² = 1

22.  La ecuación de la elipse
con referencia a los ejes X’
y Y’ esta dada por x’²/a² +
y’²/b² = 1

23.  Teorema 2 la ecuación de la elipse de centro en el punto
(h, k) y eje focal paralelo al eje X, esta dada por la
segunda forma ordinaria,
(x -h) ²/ a²+ (y - k) ²/ b² =1
Si el eje focal es paralelo al eje Y, su ecuación esta dada por
la segunda forma ordinaria
(x -h) ²/ b²+ (y - k) ²/ a² =1

24.  Teorema 3 si los coeficientes A y C son del mismo signo,
la ecuación:
Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0
Representan una elipse de ejes paralelos a los
coordenados, o bien un punto, o no representa ningún
lugar geométrico real.

25.  Teorema 4 la tangente a la elipse
b²x²+a²y² = a²b² en cualquier punto P₁ (x₁, y₁) de la curva
tiene por ecuación:
b²x₁x+a²y₁y = a²b²
 Teorema 5 las ecuaciones de las tangentes de pendientes
m a la elipse b²x²+ a²b²= a²b²son:
Y = mx +- √a²m²+b²

26.  Teorema 6 la normal a una elipse en uno cualquiera de sus
puntos es bisectriz del ángulo formado por los radios
vectores de ese punto.
 Bibliografia
Geometria Analítica de Lehmann