Este documento describe cómo determinar si dos rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos. Explica que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1. Luego presenta ejercicios para practicar identificando la relación entre pares de rectas.

1. DECIDIR SI LAS RECTAS DADAS SON PARALELAS O PERPENDICULARES O NINGUNA
DE LAS ANTERIORES
Dos rectas, no verticales, son paralelas si tienen la misma pendiente.
Dos rectas, no paralelas a los ejes coordenados, son perpendiculares si el producto de sus
pendientes es igual a –1.
Es claro que si la ecuación de una de las rectas corresponde a una recta vertical y la otra a una
recta horizontal entonces las rectas son perpendiculares.
Ejemplo Para cada par de rectas determine si son paralelas o perpendiculares o ninguna de
las anteriores.

2. Ejercicios
1) Para cada par de rectas diga si son paralelas o perpendiculares o ninguna de las anteriores.
a) 2y−3x=5 y 6x−4y−2=0;
b) 2y−3x=7 y 2x−3y=9;
c) 3x−2y=4 y 3y=4−2x
CONSIGA EL VALOR DE k PARA QUE LAS RECTAS SEAN PARALELAS
Si se quiere determinar los valores de una constante para que dos rectas sean paralelas, se
usa el hecho que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.
Así, el primer paso es encontrar la pendiente de cada recta, una o las dos pendientes
dependen de la constante, k, a determinar.
Se plantea y se resuelve la ecuación
m1=m2
Con incógnita k.
Las pendientes se pueden determinar llevando cada ecuación a la forma y=mx+b. El coeficiente
de x es la pendiente de la recta.
CONSIGA EL VALOR DE k PARA QUE LAS RECTAS SEAN PERPENDICULARES
Se usa el hecho que dos rectas son perpendiculares si
m1= (−1) m2
El primer paso es encontrar la pendiente de cada recta, una o las dos pendientes dependen de
la constante, k a determinar.
Se plantea y se resuelve la ecuación
m1= (−1) m2
Con incógnita k.
Observación De manera equivalente, se puede plantear la ecuación
m1⋅m2=−1
Ejercicios
1) Determine los valores de k para que las rectas ky−3x=4 y kx−4y=7 sean paralelas.
2) Consiga el valor de k para que las rectas 2y−5x=4 y kx+4y=7 sean perpendiculares.

3. Caso 1
En este caso la ecuación de la función parabólica viene dada por . Estas parábolas
siempre pasan por el origen de coordenadas, es decir, por el punto, punto que, además, es el
vértice de la misma. El eje Y es por tanto el eje de la parábola (este tipo de funciones son
pares: . En este caso son muy fáciles de representar, basta dar unos cuantos
valores de x a la izquierda y derecha de cero. En la figura de más abajo se han representado las
parábolas (que se abren hacia arriba) y las parábolas ,
, que se abren hacia abajo y son un reflejo a través del eje X de las
anteriores. Obsérvese que cuanto mayor es el valor absoluto de a más "estrecha" es la parábola.
Caso 2
Este es un caso muy similar al anterior. La parábola ahora presenta la forma . Su
gráfica es exactamente igual que la del caso anterior, sólo que se ha desplazado c unidades hacia
arriba o hacia abajo (dependiendo de que c sea mayor o menor que cero). Por tanto el vértice
pasa a ser ahora el punto (0, c) y el eje de la parábola sigue siendo el eje Y. Por ejemplo, las
parábolas son exactamente iguales que la parábola desplazadas
respectivamente una unidad hacia arriba y una unidad hacia abajo (ver figura siguiente).

4. Caso 3
Ahora la ecuación de la parábola adopta la forma y=ax2+bx. Resolviendo la ecuación
obtenemos dos soluciones: . Esto quiere decir que la parábola
corta al eje X en dos puntos: . Como estos dos puntos tienen la
misma coordenada y (o la misma ordenada), deben ser simétricos respecto del eje de la
parábola. Como el eje contiene al vértice de la parábola, la coordenada x (o abscisa) del vértice
ha de ser el punto medio de – , es decir, (esta es precisamente la ecuación del eje).
La coordenada y del vértice se obtiene fácilmente sustituyendo el valor en la ecuación
de la parábola. Para representarla gráficamente basta representar los tres puntos anteriores
(cortes con el eje X y vértice) y algunos puntos más alrededor de éstos. Veamos un ejemplo.
Sea la parábola de ecuación . Para obtener los cortes con el eje X resolvamos la
ecuación .
Así pues los puntos de corte con el eje X son
La coordenada x del vértice es
⋅
(el punto medio de 0 y 4). La
coordenada y del vértice será entonces ⋅ ⋅ . Por tanto el vértice de la
parábola es el punto (2, 2).

5. Ahora vamos a construir una tabla de valores con algunos puntos más alrededor del vértice y de
los puntos de corte con el eje X. Por ejemplo, podemos pensar en los puntos
. Así en total tendremos siete puntos, tres a la izquierda y tres a la derecha del vértice.
Además, estos últimos simétricos respecto del eje de la parábola, con lo que solamente
tendremos que hallar la imagen de uno de ellos, pues la del simétrico será la misma. Así la
imagen de es ⋅ ⋅ . Entonces, la imagen de
(el simétrico de x=−1 respecto del eje de la parábola) también es
(¡compruébese!). Procediendo de manera similar se construye una tabla de valores. La
representación gráfica de la parábola a partir de la tabla es muy sencilla.