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SECCIONES CÓNICAS
SECCIÓN CÓNICA

Se definió en unidades anteriores como la intersección de un cono con las diferentes
posiciones de un plano, o como sitios geométricos de puntos que cumplen
propiedades geométricas específicas.
Los elementos básicos de las secciones cónicas se pueden resumir en los
siguientes:


     Foco:

Siempre es un punto fijo de la cónica, del cual se desprenden varias
líneas importantes que en el desarrollo de la unidad se irán estudiando.


     Directriz:

Es una recta fija dentro de la cónica, que desarrollando diferentesrelaciones entre las
distancias que genera esta recta, da origen a una sección cónica determinada.




LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia se define como lugar geométrico o conjunto de puntos que gozan
de las mismas propiedades; y que para el caso, se trata, de todos los puntos que
equidistan de un punto llamado centro y que puede coincidir con el punto (0, 0) de un
plano de ejes coordenados. La distancia a la cual se hace referencia se llama radio
de la circunferencia.
Consideremos la siguiente circunferencia con centro en el punto (0,0) y radio r, con la
particularidad de que el radio debe ser mayor que cero (r > 0).
Ecuación general de la circunferencia

Al desarrollar la ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia se tiene:
Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres
                                      puntos

                                      A (-1, 1),

                                      B (3, 5)

                                     C (5, -3).

       La ecuación de la circunferencia que se busca es de la forma general:




Donde se deben encontrar las constantes D, E y F: como los tres puntos pertenecen
a lacircunferencia, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación que estamos
buscando,como hemos dicho es de forma general. De acuerdo con lo anterior se
pueden plantear tres ecuaciones que corresponden a cada uno de los puntos dados.

          Para el punto (-1, 1) Se tiene la ecuación: 1 + 1 - D + E + F = 0

                   Para el punto (3, 5) 9 + 25 + 3D + 5E + F = 0

                   Para el punto (5, -3) 25 + 9 + 5D - 3E + F = 0

         Resolviendo términos semejantes en cada una de las ecuaciones:

                                    D-E-F=2

                                 3D + 5E + F = - 34

                                 5D - 3E + F = - 34

Resolvamos este sistema de ecuaciones con tres incógnitas por medio de alguno de
  losmétodos vistos en cursos anteriores para hallar los valores de las incógnitas:
Para hallar el centro y el radio de la circunferencia basta reemplazar los valores
                              encontrados en las fórmulas:




   Traslación de los ejes coordenados de la circunferencia

Para simplificar las ecuaciones mediante traslación de ejes coordenados, es preciso
enunciar el siguiente teorema: si se trasladan los ejes de coordenadas a un nuevo
origen
O´(h, k), y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación
son
(x, y) y (x´, y´), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema inicial
al nuevo sistema de coordenadas son:

x = x´+ h

y = y´+ k
Para desarrollar el ejercicio se toman las ecuaciones de transformación de ejes

x = x´+ h       x = x´+ 1

y = y´+ k       y = y´+ 2

y sus nuevos valores los reemplazamos en la ecuación original:




LA PARÁBOLA

Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de
tal forma que su distancia a una recta fija situada en un plano es siempre igual a
su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.

   Puntos y líneas principales de la parábola

El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola.
Designando por F y r el foco y la directriz de la parábola, respectivamente.
La recta que pasa por F y coincide con el eje de coordenadas x, y es perpendicular a
r, se llama eje de la parábola.

Sea A el punto de intersección del eje y la directriz. El punto V, punto medio del
segmento AF y que está sobre la parábola se llama vértice.

El segmento de recta BB´ que une dos puntos cualesquiera de la parábola recibe el
nombre de cuerda, y en particular una cuerda que pase por el foco de la
parábola como CC´ se llama cuerda focal.

En la gráfica el segmento LL´ perpendicular al eje se llama lado recto de la
parábola. Si P es un punto cualquiera de la parábola, la recta FP que une el foco F
con el punto P, se llama radio focal de P, o radio vector.

   Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje focal el eje x

Observando la gráfica.




En la gráfica, la parábola tiene el vértice en el origen y su eje coincide con el eje de
coordenadas x. Por consiguiente, el foco F está sobre el eje x y sus
coordenadas pueden corresponder a (p, o).

Por definición de la parábola, la ecuación de la directriz r, es x = -p.

Si se tiene un punto P(x, y), punto cualquiera de la parábola, este punto por estar
sobre la parábola satisface la condición geométrica:

d (PF) = d (PA) y aplicando la distancia entre dos puntos se tiene:
Otras formas de la ecuación de la parábola Analizando un poco la ecuación obtenida
para la parábola          , nos podemos dar cuenta que si p < 0, se deben excluir
todos los valores positivos de x, y todo el lugar geométrico aparece a la izquierda del
eje y, y se dice que la parábola abre hacia la izquierda. De forma similar se puede
demostrar que si el vértice de la parábola está en el origen y su eje coincide con el
eje de coordenadas y, la ecuación de la parábola es:



En donde el foco es el punto (o, p) y la ecuación de la directriz es y = - p. Ahora
bien si p > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola se abre hacia
abajo.
En cada uno de los casos la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de
4p, que es el coeficiente del término de primer grado. Las gráficas para estos casos
serían:
Ecuación de la parábola con vértice en el punto (h, k) y eje de simetría paralelo al
eje x o y.

La ecuación de la parábola con vértice en el origen del plano x´, y´ y eje de simetría
paralelo al eje x será.




Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coinciden con el eje y
pasa por el punto (4, -2). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su
foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.

Solución:
LA ELIPSE

Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal
manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, y
pertenecientes al plano, es siempre igual a una constante, (longitud del eje máximo),
mayor que la distancia entre los dos focos.

Toda ecuación de la forma               con a, b, k como términos que se conocen y
de igual signo, representan una elipse.

   Conceptos generales

Por comodidad considere una elipse con centro en el origen y focos sobre el eje x, de
coordenadas



Asignémosle a la constante k el valor de 2a que corresponda a la longitud del eje
mayor de la siguiente forma:
Ecuación general de la elipse

Para hallar la ecuación general de la elipse tomando un punto cualquiera P (x,
y), como focos F1 (c, 0) y F2 (-c, 0), y como por definición de la elipse se tiene:



Se utiliza la fórmula de distancia:
Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje
de coordenaday. Si uno de los focos es (0, 4) y la excentricidad es igual a ½.
Hallar las coordenadas del otro foco, las longitudes de los ejes mayor y menor, la
ecuación de la elipse y la longitud de cada uno de los lados rectos.

Uno de los focos es (0, 4) que corresponde a un foco de coordenadas (0, c) luego c =
4, y directamente se puede hallar el otro foco (0, -c) que será (0, -3).

Como la excentricidad es igual a ½ , y ésta viene dada por la expresión:
Conociendo el valor de a = 8 y c = 4, entonces podemos hallar el valor de b.




Por deducción de fórmulas tenemos que las longitudes de los ejes mayor y menor
corresponden a los valores de:

Eje mayor = 2a = 2 x 8 = 16




   Ecuación de la elipse de centro O´(h, k)

Cuando se presenta que el centro de la elipse tiene de coordenadas, los puntos (h,
k) el eje mayor puede estar paralelo al eje x o al eje y. Para deducir las
respectivas fórmulas se utilizan las expresiones obtenidas para traslación de ejes.
Para cada uno de los casos se tiene:
LA HIPÉRBOLA

Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de
tal forma que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos
del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante positiva y
menor que la distancia entre los focos. Toda ecuación de la forma              , donde
a puede ser igual a b, representa una hipérbola.

   Líneas y puntos principales de la hipérbola
Consideremos la hipérbola con la particularidad de que el centro coincide con
el origen y cuyo eje focal es el mismo eje de coordenadas x. Los focos F y F´
están sobre el mismoeje x. De esta manera el punto medio del segmento F F´ y
cuyas coordenadas vienendadas por los puntos (c, o) y (-c, o) respectivamente,
siendo c una constante positiva.
Localizando un punto P(x, y) cualquiera en la hipérbola, se tiene que el punto
debesatisfacer la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de
lasdistancias del punto a los focos es una cantidad constante, es decir:




En donde a es una constante positiva y 2a < 2c. Por simetría, la condición
geométrica es equivalente a la relación:




La relación se considera verdadera cuando el punto P se encuentra sobre la rama
izquierda de la hipérbola, y negativa cuando el punto P está sobre la rama derecha.

   Deducción de la ecuación general de la hipérbola
Analiza ahora la fórmula general encontrada.

De la ecuación se deduce que las intersecciones con el eje x son; a, y -a, por
consiguiente, las coordenadas de los vértices V y V´ son respectivamente (a, o) y (-a,
o). Podemos observar también que la ecuación de la hipérbola es simétrica con
respecto de los dos ejes de coordenadas y del origen, luego despejando el valor de
la variable y de la ecuación general, se tiene:
Excentricidad, longitud del lado recto y eje transverso de la hipérbola




Ahora, si el eje focal coincide con el eje y, de tal forma que las coordenadas de
los focos sean (o, c) y (o, -c), entonces la ecuación será:
Asíntotas de la hipérbola

Si de la ecuación:




Generalmente se debe analizar que ocurre en la ecuación de la hipérbola si un
punto se desplaza a lo largo de la curva, de tal forma que el valor numérico de la
abscisa x aumente sin límite, probablemente sucede que el radical del segundo
miembro se aproxima cada vez más a la unidad, y la ecuación tiende a la forma:




Igualmente si el eje focal coincide con el eje y, entonces se obtiene:




   Ecuación de la hipérbola con centro diferente al origen

Si el centro de la hipérbola no está en el origen, es decir, en el punto (h, k), y sus
ejes son paralelos a los ejes de coordenadas, se pueden hallar las ecuaciones
respectivas utilizando las fórmulas halladas para la traslación de ejes vistos en el
desarrollo de la elipse. Entonces se tendrá:
x´= x - h y y´= y - k,

y la ecuación será de la forma:




Los vértices de una hipérbola son los puntos V1(3, 0), V2(-3, 0) y sus focos son los
puntos F1(4, 0), F2(-4, 0). Hallar la ecuación de la hipérbola, las longitudes del eje
transverso conjugado. (segmento A A´)

Como los vértices y los focos están sobre el eje de coordenadas x, el eje focal
coincide con el eje x. Además el punto medio del eje transverso está en el origen.

Por consiguiente, la ecuación de la hipérbola es de la forma.
Solución a la matemática recreativa de la unidad anterior

                                  El tonel

                                 Solución

                35 -19 =16 (es la cantidad de vino sacado).

                        Luego 35 - (1 6 x 2) = 3 kg.

                               Distribución

                                 Solución

Hay que distribuir 24 personas en 6 filas de manera que en cada fila haya 5
                                personas.

                 Un hexágono, cumple el planteamiento:

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Secciones cónicas

  • 1. SECCIONES CÓNICAS SECCIÓN CÓNICA Se definió en unidades anteriores como la intersección de un cono con las diferentes posiciones de un plano, o como sitios geométricos de puntos que cumplen propiedades geométricas específicas. Los elementos básicos de las secciones cónicas se pueden resumir en los siguientes: Foco: Siempre es un punto fijo de la cónica, del cual se desprenden varias líneas importantes que en el desarrollo de la unidad se irán estudiando. Directriz: Es una recta fija dentro de la cónica, que desarrollando diferentesrelaciones entre las distancias que genera esta recta, da origen a una sección cónica determinada. LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia se define como lugar geométrico o conjunto de puntos que gozan de las mismas propiedades; y que para el caso, se trata, de todos los puntos que equidistan de un punto llamado centro y que puede coincidir con el punto (0, 0) de un plano de ejes coordenados. La distancia a la cual se hace referencia se llama radio de la circunferencia. Consideremos la siguiente circunferencia con centro en el punto (0,0) y radio r, con la particularidad de que el radio debe ser mayor que cero (r > 0).
  • 2. Ecuación general de la circunferencia Al desarrollar la ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia se tiene:
  • 3. Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos A (-1, 1), B (3, 5) C (5, -3). La ecuación de la circunferencia que se busca es de la forma general: Donde se deben encontrar las constantes D, E y F: como los tres puntos pertenecen a lacircunferencia, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación que estamos buscando,como hemos dicho es de forma general. De acuerdo con lo anterior se pueden plantear tres ecuaciones que corresponden a cada uno de los puntos dados. Para el punto (-1, 1) Se tiene la ecuación: 1 + 1 - D + E + F = 0 Para el punto (3, 5) 9 + 25 + 3D + 5E + F = 0 Para el punto (5, -3) 25 + 9 + 5D - 3E + F = 0 Resolviendo términos semejantes en cada una de las ecuaciones: D-E-F=2 3D + 5E + F = - 34 5D - 3E + F = - 34 Resolvamos este sistema de ecuaciones con tres incógnitas por medio de alguno de losmétodos vistos en cursos anteriores para hallar los valores de las incógnitas:
  • 4. Para hallar el centro y el radio de la circunferencia basta reemplazar los valores encontrados en las fórmulas: Traslación de los ejes coordenados de la circunferencia Para simplificar las ecuaciones mediante traslación de ejes coordenados, es preciso enunciar el siguiente teorema: si se trasladan los ejes de coordenadas a un nuevo origen O´(h, k), y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son (x, y) y (x´, y´), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema inicial al nuevo sistema de coordenadas son: x = x´+ h y = y´+ k
  • 5. Para desarrollar el ejercicio se toman las ecuaciones de transformación de ejes x = x´+ h x = x´+ 1 y = y´+ k y = y´+ 2 y sus nuevos valores los reemplazamos en la ecuación original: LA PARÁBOLA Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal forma que su distancia a una recta fija situada en un plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. Puntos y líneas principales de la parábola El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola.
  • 6. Designando por F y r el foco y la directriz de la parábola, respectivamente. La recta que pasa por F y coincide con el eje de coordenadas x, y es perpendicular a r, se llama eje de la parábola. Sea A el punto de intersección del eje y la directriz. El punto V, punto medio del segmento AF y que está sobre la parábola se llama vértice. El segmento de recta BB´ que une dos puntos cualesquiera de la parábola recibe el nombre de cuerda, y en particular una cuerda que pase por el foco de la parábola como CC´ se llama cuerda focal. En la gráfica el segmento LL´ perpendicular al eje se llama lado recto de la parábola. Si P es un punto cualquiera de la parábola, la recta FP que une el foco F con el punto P, se llama radio focal de P, o radio vector. Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje focal el eje x Observando la gráfica. En la gráfica, la parábola tiene el vértice en el origen y su eje coincide con el eje de coordenadas x. Por consiguiente, el foco F está sobre el eje x y sus coordenadas pueden corresponder a (p, o). Por definición de la parábola, la ecuación de la directriz r, es x = -p. Si se tiene un punto P(x, y), punto cualquiera de la parábola, este punto por estar sobre la parábola satisface la condición geométrica: d (PF) = d (PA) y aplicando la distancia entre dos puntos se tiene:
  • 7. Otras formas de la ecuación de la parábola Analizando un poco la ecuación obtenida para la parábola , nos podemos dar cuenta que si p < 0, se deben excluir todos los valores positivos de x, y todo el lugar geométrico aparece a la izquierda del eje y, y se dice que la parábola abre hacia la izquierda. De forma similar se puede demostrar que si el vértice de la parábola está en el origen y su eje coincide con el eje de coordenadas y, la ecuación de la parábola es: En donde el foco es el punto (o, p) y la ecuación de la directriz es y = - p. Ahora bien si p > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola se abre hacia abajo. En cada uno de los casos la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el coeficiente del término de primer grado. Las gráficas para estos casos serían:
  • 8. Ecuación de la parábola con vértice en el punto (h, k) y eje de simetría paralelo al eje x o y. La ecuación de la parábola con vértice en el origen del plano x´, y´ y eje de simetría paralelo al eje x será. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coinciden con el eje y pasa por el punto (4, -2). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Solución:
  • 9. LA ELIPSE Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, y pertenecientes al plano, es siempre igual a una constante, (longitud del eje máximo), mayor que la distancia entre los dos focos. Toda ecuación de la forma con a, b, k como términos que se conocen y de igual signo, representan una elipse. Conceptos generales Por comodidad considere una elipse con centro en el origen y focos sobre el eje x, de coordenadas Asignémosle a la constante k el valor de 2a que corresponda a la longitud del eje mayor de la siguiente forma:
  • 10. Ecuación general de la elipse Para hallar la ecuación general de la elipse tomando un punto cualquiera P (x, y), como focos F1 (c, 0) y F2 (-c, 0), y como por definición de la elipse se tiene: Se utiliza la fórmula de distancia:
  • 11. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje de coordenaday. Si uno de los focos es (0, 4) y la excentricidad es igual a ½. Hallar las coordenadas del otro foco, las longitudes de los ejes mayor y menor, la ecuación de la elipse y la longitud de cada uno de los lados rectos. Uno de los focos es (0, 4) que corresponde a un foco de coordenadas (0, c) luego c = 4, y directamente se puede hallar el otro foco (0, -c) que será (0, -3). Como la excentricidad es igual a ½ , y ésta viene dada por la expresión:
  • 12. Conociendo el valor de a = 8 y c = 4, entonces podemos hallar el valor de b. Por deducción de fórmulas tenemos que las longitudes de los ejes mayor y menor corresponden a los valores de: Eje mayor = 2a = 2 x 8 = 16 Ecuación de la elipse de centro O´(h, k) Cuando se presenta que el centro de la elipse tiene de coordenadas, los puntos (h, k) el eje mayor puede estar paralelo al eje x o al eje y. Para deducir las respectivas fórmulas se utilizan las expresiones obtenidas para traslación de ejes. Para cada uno de los casos se tiene:
  • 13. LA HIPÉRBOLA Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal forma que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante positiva y menor que la distancia entre los focos. Toda ecuación de la forma , donde a puede ser igual a b, representa una hipérbola. Líneas y puntos principales de la hipérbola
  • 14. Consideremos la hipérbola con la particularidad de que el centro coincide con el origen y cuyo eje focal es el mismo eje de coordenadas x. Los focos F y F´ están sobre el mismoeje x. De esta manera el punto medio del segmento F F´ y cuyas coordenadas vienendadas por los puntos (c, o) y (-c, o) respectivamente, siendo c una constante positiva. Localizando un punto P(x, y) cualquiera en la hipérbola, se tiene que el punto debesatisfacer la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de lasdistancias del punto a los focos es una cantidad constante, es decir: En donde a es una constante positiva y 2a < 2c. Por simetría, la condición geométrica es equivalente a la relación: La relación se considera verdadera cuando el punto P se encuentra sobre la rama izquierda de la hipérbola, y negativa cuando el punto P está sobre la rama derecha. Deducción de la ecuación general de la hipérbola
  • 15. Analiza ahora la fórmula general encontrada. De la ecuación se deduce que las intersecciones con el eje x son; a, y -a, por consiguiente, las coordenadas de los vértices V y V´ son respectivamente (a, o) y (-a, o). Podemos observar también que la ecuación de la hipérbola es simétrica con respecto de los dos ejes de coordenadas y del origen, luego despejando el valor de la variable y de la ecuación general, se tiene:
  • 16.
  • 17. Excentricidad, longitud del lado recto y eje transverso de la hipérbola Ahora, si el eje focal coincide con el eje y, de tal forma que las coordenadas de los focos sean (o, c) y (o, -c), entonces la ecuación será:
  • 18. Asíntotas de la hipérbola Si de la ecuación: Generalmente se debe analizar que ocurre en la ecuación de la hipérbola si un punto se desplaza a lo largo de la curva, de tal forma que el valor numérico de la abscisa x aumente sin límite, probablemente sucede que el radical del segundo miembro se aproxima cada vez más a la unidad, y la ecuación tiende a la forma: Igualmente si el eje focal coincide con el eje y, entonces se obtiene: Ecuación de la hipérbola con centro diferente al origen Si el centro de la hipérbola no está en el origen, es decir, en el punto (h, k), y sus ejes son paralelos a los ejes de coordenadas, se pueden hallar las ecuaciones respectivas utilizando las fórmulas halladas para la traslación de ejes vistos en el desarrollo de la elipse. Entonces se tendrá:
  • 19. x´= x - h y y´= y - k, y la ecuación será de la forma: Los vértices de una hipérbola son los puntos V1(3, 0), V2(-3, 0) y sus focos son los puntos F1(4, 0), F2(-4, 0). Hallar la ecuación de la hipérbola, las longitudes del eje transverso conjugado. (segmento A A´) Como los vértices y los focos están sobre el eje de coordenadas x, el eje focal coincide con el eje x. Además el punto medio del eje transverso está en el origen. Por consiguiente, la ecuación de la hipérbola es de la forma.
  • 20.
  • 21. Solución a la matemática recreativa de la unidad anterior El tonel Solución 35 -19 =16 (es la cantidad de vino sacado). Luego 35 - (1 6 x 2) = 3 kg. Distribución Solución Hay que distribuir 24 personas en 6 filas de manera que en cada fila haya 5 personas. Un hexágono, cumple el planteamiento: