El documento presenta la resolución de dos problemas de cinética nuclear mediante el uso de la transformada de Laplace. El primer problema describe la actividad de un isótopo irradiado en ciclos repetitivos de irradiación y decaimiento. El segundo problema resuelve las ecuaciones diferenciales que describen la variación en el tiempo de dos especies atómicas sometidas a decaimiento radiactivo.

1. Alumno: Eduardo Mera

2. 2
i) En la reacción 16
7
16
8 ),( NpnO , la concentración de átomos de N-16 por
unidad de volumen en el tiempo esta dada por:
161616
16
** NNa O
N
N
dt
dN
  (1), la que puede detallarse como
161601616
16
** NNaO
N
NN
dt
dN
  (2)
Teniendo en consideración que el numero de átomos de O16 es el mismo que de
moléculas de agua, y este es el 99% de O natural,
322
233
016 /10*34.3
/18
/10*02.6*/*1*998.0
cmat
molg
molatcmg
N 
Tomando los factores de la ecuación (1) y aplicando Laplaciano.
 a ONN
N
N
dt
dN
 ** 161616
16
, aplicando la transformada de Laplace correspondiente
s
NLNNLs a O
NNNoN



*
)(*)(*
16
, No
a O
NN N
s
sNL 
 

*
))((
16
, con lo
cual
)()(*
*
)(
16
N
No
N
a O
N
s
N
ss
NL






 (3), cuando se descomponen los términos











)(
**
)(*
*
16
16
N
No
a O
N
a O
s
N
s
A
ss 



, con lo que
)(*
*)(*
)(*
1
N
N
N ss
sBsA
ss 

 




3. 3
Asumiendo que 1* NA  y 0 BA , por lo que
N
A

1
 y
N
B

1
 ,
Reemplazando en la ecuación (3)
)()(
**)( 16
N
No
N
No
a ON
s
N
s
N
s
A
NL










  , al
aplicar la transformada inversa respectiva
  t
No
t
a ON
NN
eNeAAtN **
16 ****)( 
 
  , por lo tanto
  t
No
t
N
a O
N
NN
eNetN **16
*1*
*
)( 

 

 (4), Como )()( tNtA N al aplicarlo en
(4), se obtiene
  t
o
t
a ON
NN
eAetA **
16 *1**)( 
 
  (5) La ecuación anterior evalúa actividad en
Bq/cm3
ii) El ciclo esta compuesto por un tiempo de irradiación (ti)(5 seg) y otra de decaimiento
(td) (40 seg), dando una duración total (t) al ciclo de 45 seg, de tal forma que t=ti+td.
Para encontrar la actividad A(n) en función de los ciclos (n), debería generarse que:
A(n) = La actividad a la salida del reactor de cada ciclo
An =la actividad de entrada del reactor en cada ciclo
Al modificar la expresion (5)
  tn
n
tin
a ON
NN
eAeA ****
16)( *1** 
 
  , en Bq/cm3
  )(****
16 *1** titntin
a On
NN
eeA 
  
 , en Bq/cm3
Con n = 1,2,3,4…..
Debe mencionarse que cada ciclo inicia cuando el agua sale del reactor, de modo que el
agua inicia el segundo ciclo cuando ha pasado dos veces por el área de irradiación.
Se tiene para n=1 (recien iniciado el ciclo se pasa solo una vez por la zona de
irradiación) y A0=0,











seg
s
N escmncmcmmolecA
5*1*
4.7
2ln
2102245322
1*/10*10*10*4*/10*34.3)1(
=4995 Bq/cm3
Debe tenerse en cuenta que posteriormente se entre con una actividad al sector de
irradiación de A1, igual a

4. 4
seg
s
seg
s
eescmncmcmmolecA
40*1*
4.7
2ln
5*1*
4.7
2ln
2102245322
1 *1*/10*10*10*4*/10*34.3











, 9.1171 A Bq/cm3

5. 5
ii) Las ecuaciones que describen el problema son:
 ***** 11111
1
NN
dt
dN
af
  (1)
 **** 222211
2
NNN
dt
dN
a (2)
Para solucionar (1), se ordena y aplica Laplace
1111
1
**)*(   faN
dt
dN
Aplicando Laplace y considerando que )*( 111   aA , se tiene que
s
NLANNLs
f 1
1101
**
)(*)(* 1

)()(
**
)(
1
10
1
1
1
As
N
Ass
NL
f




 
(3)
Donde el termino 










)(
**
)(
**
1
1
1
1
As
C
s
B
Ass f
f



6. 6
)(
)(
)()(
1
1
1
11 Ass
BACBs
As
C
s
B
Ass 





, de modo que 11 BA y B+C=0
Por lo que
1
1
A
B  y
1
1
A
C  , al aplicarlo en (3), tenemos
)()(
11**
)(
1
10
11
1
1
As
N
AssA
NL
f









 
, aplicando la transformación inversa, se
tiene que
  tAtAf
eNe
A
tN 11
*1
**
)( 10
1
1
1


 
, teniendo que 010 N , se tiene que
 t
a
f a
etN )*(
11
1
1
11
1
*
**
)( 

 



 (4),
La solución de N2(t), es:
11222
1
*)*( NN
dt
dN
a   , al aplicar Laplace y teniendo en cuenta que
)*( 222   aA , se consigue que
s
N
NLANNLs 11
22022
*
)(*)(*


)()(
*
)(
2
02
2
11
2
As
N
Ass
N
NL





,
)()(
11*
)(
2
02
22
11
2
As
N
AssA
N
NL










Aplicando la transformada inversa:
  tAtA
eNe
A
N
tN 22
*1
*
)( 02
2
11
2



Se tiene que N2(t)
  tt
a
aa
eNe
N
tN )*(
02
)*(
22
11
2
2222
*1
*
*
)( 

 


 (5)
Uniendo soluciones (4) y (5), y considerando que N01=N02=0, se tiene que:

7. 7
  tt
aa
f aa
eetN )*()*(
1122
11
2
1122
11
)*)(*(
***
)( 

 



 (6)
Resumiendo:
 t
a
f a
etN )*(
11
1
1
11
1
*
**
)( 

 




  tt
aa
f aa
eetN )*()*(
1122
11
2
1122
11
)*)(*(
***
)( 

 




ii) Se tiene que cuando el comportamiento de N2(t), cuando 22 *  a
y 11 *  a
  tt
a
f
eetN a )()*(
2
1
2
12
11
*
)( 

 


Graficando:
2
1*
a
f


2
1*
a
f



8. 8
oS
i)
Medio A 02
  oAaAA SD 
Medio B 02
  BaBBD 
)(x 
Medio A 02
2
  oAaA
A
S
dx
d
D 

Medio B 02
2
  BaB
B
dx
d
D 



a
D
L2
Medio A Medio B
a

9. 9
Solución Homogénea
L
x
L
x
BeAe 


Considerando la longitud extrapolada
L
a
L
a
BeAe 

L
a
AeB
2













L
xa
L
x
eeA
2

Condición de fuente













L
xa
L
x
xxx ee
L
DA
dx
d
DJ
S
2
000 limlimlim
2











L
a
e
L
DAS
2
1
2
,
)1(2
2
L
a
eD
SL
A



Solución:















L
xa
L
x
L
a
ee
eD
SL
2
2
)1(2

)cosh(
)(
2
L
a
L
xa
senh
D
SL


Sea
)cosh(2
L
a
D
SL
k 
)(*
L
xa
senhk


)(
2
1
)(
2
1
)(
24
)(
24
0
0
0
0
dx
dD
dx
dD
dx
dD
dx
dD
J
J
















Evaluando lo anterior en x = 0
)cosh(
L
xa
L
k
dx
d 



10. 10





 








 




)
0
cosh(
)
0
(*
2
1
)
0
cosh(
)
0
(*
2
1
L
a
L
k
L
a
senhk
D
L
a
L
k
L
a
senhk
D

)coth(
2
1
)coth(
2
1
)
0
(
)
0
cosh(
2
1
)
0
(
)
0
cosh(
2
1
L
a
L
D
L
a
L
D
L
a
senh
L
a
L
D
L
a
senh
L
a
L
D


































ii) B = H20
34.0,0,73.7,10*2.2,17.0 2212
 
 acmLcmcmD a

1lim;78.0lim 1    xa
34.0;0)coth(
2
1  a
L
a
L
D
a
β
1-1
-1
1
-0.78
0.34-0.34
0.78
a
β
1-1
-1
1
-0.78
0.34-0.34
0.78

11. 11
iii) L
x
Aexp

)( , L
x
e
L
A
dx
d



)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
0
0
L
x
L
x
L
x
L
x
e
L
A
Ae
D
e
L
A
Ae
D
dx
dD
dx
dD
J
J


















L
D
L
D
J
J
2
1
2
1






78.0
78.2
17.0*2
1
78.2
17.0*2
1
20 


H
 2
2
2
20 73.7
10*2.2
17.0
cmLH  
 cmLH 78.220 
97.0
100
85.0*2
1
100
85.0*2
1
20 


D
 24
5
2
20 10
10*5.8
85.0
cmLD  
 cmLD 10020 
9.0
2.21
54.0*2
1
2.21
54.0*2
1



Be
 2
3
2
450
10*2.1
54.0
cmLBe  
 cmLBe 2.21
95.0
2.54
94.0*2
1
2.54
94.0*2
1



C
 23
4
2
10*94.2
10*2.3
94.0
cmLC  
 cmLC 2.54

12. 12

13. 13
Desarrollo:
Sobre el Reactor esférico:
Teniendo en consideración:
(1)
Su Laplaciano para coordenadas esféricas es:
(2), Sustituyendo en (2), se obtiene:
(3), como A y C son constantes y el segundo término
tiende a infinito cuando r tiende a cero,
(4)., para encontrar B, se tiene que
(5) donde se asume n=1, para condiciones de criticidad de reactor
quedando,
(6), quedando el flujo como
(7), calculado A en termino de la potencia del reactor como,
(8),
(9),
(10),

14. 14
Si la distancia distancia de extrapolación d es despreciable (pequeña)
,(11) y hasta se podría decir que RR ~ .
i) a. Calcule el radio critico:
El presente ejercicio otorgo la razón, la cual al utilizarse para despejar
la ecuación de cuatro términos k∞ = ηfpε, se obtuvo que el termino recomendado para p
no hacia posible el despeje de variables ya que las llevaba a cero, en los apuntes
docentes se dio un grafico, de donde se procedieron a sacar los parámetros ya que se
cumplía con el enriquecimiento de U235.
Se tiene que la razón dada en la tarea es para la cual se muestra el k∞ en su máximo, se
tiene que los valores son:
k∞ 1.266
p 0.774
f 0.9
ε 1.038

15. 15
Teniendo es consideración que
Como las unidades, potencias y Avogadro se simplifican
Despejando,
Como
Teniendo las fracciones volumétricas se calcula N para combustible y moderador
Cálculos de macroscópicas:
Absorción:
 
 








OaHaUaU
aUaU
amac
ac
f
2238235
238235
20
*20*20*20
238
**)1(**238
235
****235
238
**)1(**238
235
****235
9.0
PAUH
NoHXvHaH
PAU
NoUEXvuaU
PAU
NoUEXvuaU
PAU
NoUEXvuaU
PAU
NoUEXvuaU
f








02.18
1*20*66.0
0508.238
8.18*)100/21(**7.2
01139,235
8.18*100/2**681
0508.238
8.18*)100/21(**7.2
01139,235
8.18*100/2**681
9.0
XvHXvuXvu
XvuXvu






20033.013.0
209.009.12033.0188.0981.0
XvHXvu
XvuXvuOXvHXvuXvu


12  OXvHXvu 202.0Xvu 798.020 XvH
320
323
/10*951.1
/01139.235
100/2*202.0*/8.18*/10*023.6
235 cmat
molg
cmgmolat
UN 
321
323
/10*438.9
/0508.238
)100/21(*202.0*/8.18*/10*023.6
238 cmat
molg
cmgmolat
UN 


322
323
/10*666.2
/02.18
798.0*/1*/10*023.6
20 cmat
molg
cmgmolat
HN 
11
11
12
20
12
238
11
235
10*583.1
10*759.1
10*759.120*2
10*548.2238*238
10*329.1235*235















cm
cm
cmaHOHN
cmaUUN
cmaUUN
ac
a
aH
aU
aU




16. 16
Fisión
Verificación de valores gráficos
046.1
10*666.2
10*438.9
*563.01
10*666.2
10*438.9
*69.01
22
21
22
21



 , el valor de grafico fue 1.038, el error relativo
Porcentual fue de 0.77%
Se tiene que en el calculo de Ief se obtuvo un valor de 6.221*10-11
cm, al reemplazarlo el
p se da que el argumento de elevación, de -5.34*1011
, lo que al aplicarlo a p = 0, eso no
es posible ya que la formula de los cuatro términos se anula – pasa lo mismo que
cuando se trato de despejar N. Si calculamos k∞ = ηfpε, se tiene que 1.266 =
1.762*p*1.046*0.9, lo que despejando p, nos da p = 0.766, y en grafico nos daba 0.774,
lo que nos da un error relativo del 1%.
Se cumple la razón ya que
Cálculos de macroscópicas de transporte
,
Calculos para R
M2
= L2
+ τ = (9.473*10-1
cm)2
+ 31 = 31.9 cm2
11
235 10*13.1235*235 
 cmfUUNfU 
fisn
cm
cm
fisn
ac
fc
/762.1
10*583.1
10*13.1
*/47.2 11
11
 



1
1
20
12
238
13
235
935.1
856.1)1*(*20*2
10*717.7)1(*238*238
10*946.1)1(*235*235












cm
cmotrHOHN
cmotrUUN
cmotrUUN
tr
trH
trU
trU



 
11
10*579.1
3
1 




cmDn
tra
 

tr
Dn
3
1 Ojo en el
Lamarsh
cm
cm
cm
an
n
n
D
L
1
11
11
10*473.9
10*759.1
10*579.1 




10
3
2
2
339.8
9.31
1266.11 





M
k
B
36.0
/10*666.2
/)10*438.910*951.1(
322
32120
20



cmmol
cmat
N
Nu
H

17. 17
B = 9.132×10-2
cm-1
Como para n = 1, segun la ecuacion 6, se tiene
Nota d = 2.31*D = 0.33 cm, lo cual es despreciable como dRR  ~ .
b. Calcule la masa critica:
Según Lamarsh, forma 1:
Sabiendo para calcular los volúmenes (1),
(2) la relación especifica N, para el presente caso se tiene que
como R = 34.4 cm, el volumen de la esfera es;
Se pueden determinar la fracción volumétrica del combustible y moderador, como la
fracción volumétrica, ya fueron estimadas
, y el volumen estimado para el cuerpo es
Se tiene que para el combustible:
Para el moderador
Sabiendo la densidad de combustible y moderador:
Forma 2,
Calculando el factor Z, (1), con lo
Cual (2). Para nuestro caso
cm
cmB
R 4.34
10*132.9 12
 

353
10*705.1)4.34(**
3
4
cmcmV  
202.0Xvu 798.020 XvH
34
10*453.3* cmXvuVUVol 
35
10*36.12*2 cmOXvHVOHVol 
grHOHVolOHmasa 5
10*36.120*22  
grUUVolUmasa 5
10*492.6*  

18. 18
Se tiene que para el calculo de mf se asume que gaf(T) es 0.978 a 20ºC, para los
neutrones con energía de 0.0253 eV, con lo cual recordándose que se puede calcular en
función se sus macroscópicas de absorción de combustible- moderador, se tiene:
Como el volumen de la esfera es 1.705*105
cm3
, y la densidad del agua es 1 g/cm3
, se
tiene que la masa es de 170,5 kg , por lo que la masa critica de combustible es 48.71 kg.
ii) flujo neutrónico térmico.
De la ecuación 11 y considerando que d es despreciable (ver nota de d), y la igualdad
de π, R y B, se tiene que:
Por lo cual,
, con r en centímetros.
Flujo Neutronico Termico
0.000E+00
5.000E+11
1.000E+12
1.500E+12
2.000E+12
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Radio (cm)
Radio(cm)FlujoNutronico
(n/cm2s)
514.2
10*339.8*311762.1
9.31*10*339.81
3
3



 

Z
mnmnmf 1
21
2
10*856.2
)10*548.210*329.1(*978.0
10*759.1*447.2 





r
Brseno
REr
P
f
)(
****4 2




r
rcmseno
cmcmfisJ
sJ )*10*132.9(
)4.34(*10*13.1**/10*2.3*4
/10*1 12
21111
6 













scm
n
r
rseno
2
2
13 )*10*132.9(
10*86.1

19. 19
iii) la razón pmáx/pmedia, en que p es la densidad de potencia térmica del
reactor.
Para un reactor esférico la potencia máxima, se da cuando su flujo neutrónico es
máximo y esto se desencadena cuando:
(1)
Y la potencia media se da con el flujo neutrónico medio, por lo cual:
, (2)
En un reactor esférico se cumple que:
(3).
Para nuestro caso:
Cumpliéndose la relación 3.
Para estimar potencia térmica utilizaremos la expresión:
Para la potencia media utilizaremos
Para la potencia máxima
En donde se mantiene la relación 3.







 
scm
n
cmcmfisJ
sJ
2
12
21111
6
10*336.5
)4.34(*10*13.1*/10*2.3*4
14.3*/10*1
max







 
scm
n
cmcmfisJ
sJ
med 2
12
351111
6
10*622.1
10*705.1*10*13.1*/10*2.3
/10*1














 
 32
121111
863.510*622.1*10*13.1*/10*2.3**
cm
W
scm
n
cmfisJfEpmed R 













 
 32
121111
29.1910*336.5*10*13.1*/10*2.3**max
cm
W
scm
n
cmfisJfEp R 

20. 20
iv) radio crítico si hay un reactor infinito de agua liviana, estime el ahorro
por reflector.
Para un reactor esférico reflejado:
, donde su ecuación
de flujo
Para la cual solucionamos con las condiciones de borde,
Con lo que se obtiene
Finalmente
(12)
Calculo de Nr-H20
Calculo de Sección Macroscópica de Absorción y transporte
Cálculos para Rr
322
323
/10*342.3
/02.18
1*/1*/10*023.6
20 cmat
molg
cmgmolat
HNr 
12224322
10*206.210*66.0*/10*342.3*20 
 cmcmcmatarNrHar 
1224322
327.210*103*676.0*/10*342.3)1(**20 
 cmcmcmatotrrNrHtrr 
 
11
10*419.1
3
1 




cmDr
tra

21. 21
B = 9.132×10-2
cm-1
Despejando de (12)
Despejando numéricamente Rr
Rr = 2.487 cm.
Con lo que el ahorro por reflector es δ = R – Rr = 34.4 cm – 2.487 cm = 31.92 cm.
cm
cm
cm
ar
r
r
D
L 536.2
10*206.2
10*419.1
12
11
 










 


1
536.2
*
10*579.1
10*419.1
)*10*132.9cot(**10*132.9 11
11
1212
cm
Rr
cm
cm
RrcmRrcm

22. 22
i) Considerando
La reactividad con el periodo de un reactor se relaciona por
La potencia de un reactor es proporcional a la evolución retardada de la densidad
neutrónica.
)(tp proporcional a )(tn ; )(tn proporcional a t
e 05.0
con

1
05.0 
lo
Kef
,
seg20
05.0
1
 , como 3
10
l ,

lo
Kex  ,
Kef
lo
l  ,
Kef
Kef 1
 , 1 KefKex

lo
Kef 1 ,
l
lo
Kef  ,

lo
Kef 1 ,

lo
l
lo
1 , 1)
11
( 
l
lo ,
l
l
lo



*
,
seg
seg
segseg
lo 3
3
3
10*000050003.1
)1020(
20*10 




 , 000050003.1


l
Kef


,
55
10*510*99999.4
1 



Kef
Kef
 , para pasarlo a pcm, se tiene
   pcmpcm 510* 5
 
ii) Las ecuaciones cinéticas para la densidad neutrónica y la densidad de precursores de
neutrones retardados para e i-esimo grupo, es:
y
suponiendo ε = 1 , p = 1 , = 1
 

6
1
0
1i i
i
efk
l




k
k
ef
ef
1

k
l
ef
l 0

k
l
exp
0

S
1

cep
l
k
i
i
i
ef Bn
dt
dn





6
10
21)1(

cepl
k
dt
dc
ii
ef
i
i
nB
  

2
0
e B
2


23. 23
, , , con
Kef
lo
l  para el primer
grupo de neutrones retardados
Para un reactor que inicialmente esta critico, se le aplica un escalon de reactividad
inicial y como n(t) es proporcional a p(t)
Solucionando
La ecuación característica
Con solución
Con S1= 5.33*10-5
y S2= -75.03005, como ambas son reales, distintas y no nulas
Como para
ci
i
i
n
ldt
dn




6
1


c
dt
dc
ii
ii
n
l 
 
Cn
ldt
dn





Cn
ldt
dc 


(1)
(2)





 
 n
ldt
dn
C


1
(3) en (1) y (2)
dt
dn
ldt
nd
dt
dC




 2
2
1











 


 n
ldt
dn
n
ldt
dn
ldt
nd 






11
2
2
01
1
2
2





 





 
 n
lldt
dn
ldt
nd 



0
*
2
2





 
 n
ldt
dn
l
l
dt
nd 
02
2
 Cn
dt
dn
B
dt
nd
A 3
10*4,03.75,1 
 CBA
02
 CBSAS
A
ACBB
S
2
42
2,1


tt
eCeCn 03005.75
2
10*33.5
1
3



21)0( CCn 

24. 24
Se tiene que
Por condición del ejercicio C2=0
, y
Para encontrar en la ecuación 3,
Se tiene que en t = 0 seg
Finalmente
021
03005.75
2
10*33.5
1
3
p
p
CC
eCeC
n
n tt
o





0p
p
n
n
o
 pcm
tt
t
eee
p
p 18.010*18.010*33.5
0
53


03005.75
1
10*33.5
1
251

 
 y
)0(
)1(
C
C
   





  
tttt
eCeC
l
eCeCC 03005.75
2
10*33.5
1
03005.75
2
10*33.5
1
331 

   







 


 
tttt
eCeCeCeCC 03005.75
2
10*33.5
13
5
03005.75
2
10*33.5
1
33
10
03.7510*5
08.0
1
tt
eCeCC 03005.7510*33.5
1
5
2
3
*009253.010*379.9 


2*009253.010*379.9 1
5
CCCo 
2
2
3
*009253.010*379.9
*009253.010*379.9
1
5
03005.7510*33.5
1
5
CC
eCeC
Co
C
tt



