Solucionario primer parcial

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO PREFACULTATIVO
SOLUCIONARIO
DE
MATEMATICAS
PRIMER PARCIAL
100% COMPUTARIZADO
DESARROLLADO POR:
UNIV. AIZA VERAMENDI CARLOS RENE
𝑬 =
[
𝟐 − 𝒃√𝒃 + (√𝒃 + 𝟏)
𝟑
(√𝒃 + 𝟏)
𝟐
−
𝒃 − √𝒃𝒚
√𝒃 − √ 𝒚]
[
𝟐√𝟒 − 𝒚 𝟐 + 𝟖 − 𝟐𝒚 𝟐
𝟐
√ 𝟏 −
𝒚 𝟐
𝟒
−
𝒚 𝟐
√𝟒 − 𝒚 𝟐
+ 𝟏
]
−𝟏
(
𝟐√𝟒 − 𝒚 𝟐
𝟑
)
GRUPO : MATEMATICA A&V
VENTA VIA AL: 77523427
LA PAZ - BOLIVIA
NUNCA CONSIDERES EL ESTUDIO COMO UNA
OBLIGACION, SINO COMO UNA OPORTUNIDAD
PARA PENETRAR EN EL BELLO Y MARAVILLOSO
MUNDO DEL SABER.
Albert Einstein

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS
FACULTAD DE INGENIERÍA
CURSO PREFACULTATIVO - GESTION I/2016
PRIMER EXAMEN PARCIAL
AREA: MATEMATICA FECHA: 20/03/2016
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS
CADA PREGUNTA TIENE UN VALOR DE 20 PUNTOS.
QUEDA TERMINANTEMENTE PROHIBIDO EL USO DE CALCULADORAS Y CELULARES
1) Hallar un numero de tres cifras, donde la suma del digito de las centenas más el
digito de las decenas es igual al digito de las unidades. Si se invierte la cifra de las
decenas por la cifra de las unidades, el numero resultante es igual al número
buscado más 18 unidades. Y si del número original se divide el digito de las
unidades entre el digito de las centenas, el numero resultante es igual al digito de
las decenas menos uno.
2) Indique cual es el noveno termino del desarrollo de la Potencia:
(𝟐𝟕𝒙 𝟓
+
𝟏
𝟑𝒙
)
𝟏𝟐
3) Simplificar:
𝑭 = [
(√ 𝒙
𝟑
− √ 𝒂
𝟑
)
𝟑
+ 𝟐𝒙 + 𝒂
(√ 𝒙
𝟑
− √ 𝒂
𝟑
)
𝟑
− 𝒙 − 𝟐𝒂
]
𝟑
+
√(𝒂 𝟑 + 𝟑𝒂 𝟐 𝒙 + 𝟑𝒂𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑)
𝟐
𝟑
𝒂
4) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
{
𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
𝟐
= 𝟖 − 𝒙𝒚
𝒙 + 𝒚
𝒙 − 𝒚
−
𝒚 − 𝒙
𝒚 + 𝒙
=
𝟐𝟔
𝟓
5) Racionalizar y simplificar la siguiente expresión algebraica:
𝑹 =
√𝒙 𝟐 − 𝟏 + 𝒙
𝟐𝒙 𝟐 − 𝟏
√ 𝒙 − 𝟏 − √ 𝒙 + 𝟏
√ 𝒙 − 𝟏 + √ 𝒙 + 𝟏
+
𝟐√𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟐
𝟐𝒙 𝟐 − 𝟏

UMSA – FACULTAD DE INGENIERIA
DESARROLLADO POR: UNIv. AIZA VERAMENDI CARLOS RENE
𝑬𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒔 𝟐𝟒𝟔
𝒕 𝟗 = 𝟒𝟎𝟎𝟗𝟓𝒙 𝟏𝟐
SOLUCIONARIO I/2016
1. Hallar un numero de tres cifras, donde la suma del digito de las centenas más el digito de las decenas
es igual al digito de las unidades. Si se invierte la cifra de las decenas por la cifra de las unidades, el
numero resultante es igual al número buscado más 18 unidades. Y si del número original se divide el
digito de las unidades entre el digito de las centenas, el numero resultante es igual al digito de las
decenas menos uno.
Solución:
Primero necesitamos saber cómo separar un número de tres cifras o dígitos:
Por ejemplo si tomamos el número 385, a este número debemos separarlo en centenas,
decenas y unidades, esto se lo realiza de la siguiente forma:
𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑠 ∗ 100 + 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠 ∗ 10 + 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜
Para nuestro caso: 3 ∗ 100 + 8 ∗ 10 + 5 = 385
Una vez sabiendo como separar un número procedemos a plantear el problema.
Escribamos las palabras usadas en el problema en forma de ecuación:
 Numero buscado de tres cifras o dígitos: 𝐴𝐵𝐶
 La suma del digito de las centenas más el digito de las decenas es igual al
digito de las unidades: 𝑨 + 𝑩 = 𝑪 … … … (𝟏)
 Si se invierte la cifra de las decenas por la cifra de las unidades (𝐴𝐶𝐵), el
número resultante es igual al número buscado (𝐴𝐵𝐶) mas 18 unidades:
𝐴𝐶𝐵 = 𝐴𝐵𝐶 + 18
Separando los números de tres cifras en centenas, decenas y unidades:
𝐴 ∗ 100 + 𝐶 ∗ 10 + 𝐵 = 𝐴 ∗ 100 + 𝐵 ∗ 10 + 𝐶 + 18 ⟹ 10𝐶 + 𝐵 = 10𝐵 + 𝐶 + 18
9𝐶 = 9𝐵 + 18 ⟹ 𝑪 = 𝑩 + 𝟐 … … … (𝟐)
 Si del número original se divide el digito de las unidades entre el digito de
las centenas, el numero resultante es igual al digito de las decenas menos uno:
𝐶
𝐴
= 𝐵 − 1 ⟹ 𝑪 = 𝑨(𝑩 − 𝟏) … … … (𝟑)
Remplazando la ecuación (2) en la ecuación (1), hallamos 𝐴: 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 2 ⟹ 𝑨 = 𝟐
Remplazando la ecuación (2) y el valor de 𝐴 en la ecuación (3), hallamos 𝐵:
𝐵 + 2 = 2(𝐵 − 1) ⟹ 𝐵 + 2 = 2𝐵 − 2 ⟹ 𝑩 = 𝟒
Remplazando el valor de 𝐵 en la ecuación (2), hallamos 𝐶: 𝐶 = 4 + 2 ⟹ 𝑪 = 𝟔
Por tanto:
Respuesta.
2. Indique cual es el noveno termino del desarrollo de la Potencia:
(𝟐𝟕𝒙 𝟓
+
𝟏
𝟑𝒙
)
𝟏𝟐
Solución:
Para el binomio: (𝑎 + 𝑏) 𝑛
, tenemos el término general: 𝑡 𝑘+1 = (
𝑛
𝑘
) 𝑎 𝑛−𝑘
𝑏 𝑘
Para nuestro caso el término general es: 𝑡 𝑘+1 = (
12
𝑘
) (27𝑥5)12−𝑘
(
1
3𝑥
)
𝑘
Como queremos hallar el noveno termino del binomio “ 𝑘” debe ser 8.
Remplazando 𝑘 = 8 en el término general y recordando la combinación: (
𝑛
𝑘
) =
𝑛!
( 𝑛−𝑘)!∙𝑘!
𝑡8+1 = (
12
8
) (27𝑥5)12−8
(
1
3𝑥
)
8
=
12!
(12 − 8)! ∙ 8!
(27𝑥5)4
(
1
3𝑥
)
8
=
12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8!
4! ∙ 8!
(33
𝑥5)4
(
1
38 𝑥8
)
𝑡9 =
12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
(33
𝑥5)4
(
1
38 𝑥8
) = 495 (
312
𝑥20
38 𝑥8 ) = 495(34
𝑥12) = 495 ∙ 81𝑥12
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑭 = 𝟏
3. Simplificar:
𝑭 = [
(√ 𝒙
𝟑
− √ 𝒂
𝟑
)
𝟑
+ 𝟐𝒙 + 𝒂
(√ 𝒙
𝟑
− √ 𝒂
𝟑
)
𝟑
− 𝒙 − 𝟐𝒂
]
𝟑
+
√(𝒂 𝟑 + 𝟑𝒂 𝟐 𝒙 + 𝟑𝒂𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑)
𝟐
𝟑
𝒂
Solución:
Primeramente dividamos el problema según:
𝐹 = 𝐴 + 𝐵 = [
(√ 𝑥
3
− √ 𝑎
3
)
3
+ 2𝑥 + 𝑎
(√ 𝑥
3
− √ 𝑎
3
)
3
− 𝑥 − 2𝑎
]
3
+
√(𝑎3 + 3𝑎2 𝑥 + 3𝑎𝑥2 + 𝑥3)
2
3
𝑎
 Tenemos:
𝐴 = [
(√ 𝑥
3
− √ 𝑎
3
)
3
+ 2𝑥 + 𝑎
(√ 𝑥
3
− √ 𝑎
3
)
3
− 𝑥 − 2𝑎
]
3
Sean los cambios de variable: {
𝑚 = √ 𝑥3
⟹ 𝑥 = 𝑚3
𝑛 = √ 𝑎3
⟹ 𝑎 = 𝑛3
:
Los cambios de variable en la expresión 𝐴:
𝐴 = [
(√ 𝑥
3
− √ 𝑎
3
)
3
+ 2𝑥 + 𝑎
(√ 𝑥
3
− √ 𝑎
3
)
3
− 𝑥 − 2𝑎
]
3
= [
(𝑚 − 𝑛)3
+ 2𝑚3
+ 𝑛3
(𝑚 − 𝑛)3 − 𝑚3 − 2𝑛3
]
3
𝑝𝑒𝑟𝑜: ( 𝑚 − 𝑛)3
= 𝑚3
− 3𝑚2
𝑛 + 3𝑚𝑛2
− 𝑛3
𝐴 = [
𝑚3
− 3𝑚2
𝑛 + 3𝑚𝑛2
− 𝑛3
+ 2𝑚3
+ 𝑛3
𝑚3 − 3𝑚2 𝑛 + 3𝑚𝑛2 − 𝑛3 − 𝑚3 − 2𝑛3
]
3
= [
3𝑚3
− 3𝑚2
𝑛 + 3𝑚𝑛2
−3𝑚2 𝑛 + 3𝑚𝑛2 − 3𝑛3
]
3
𝐴 = [
3𝑚(𝑚2
− 𝑚𝑛 + 𝑛2)
−3𝑛(𝑚2 − 𝑚𝑛 + 𝑛2)
]
3
= [
𝑚
−𝑛
]
3
= −
𝑚3
𝑛3
𝑝𝑒𝑟𝑜: { 𝑚3
= 𝑥
𝑛3
= 𝑎
⟹ 𝑨 = −
𝒙
𝒂
 Tenemos:
𝐵 =
√(𝑎3 + 3𝑎2 𝑥 + 3𝑎𝑥2 + 𝑥3)
2
3
𝑎
𝑝𝑒𝑟𝑜: 𝑎3
+ 3𝑎2
𝑥 + 3𝑎𝑥2
+ 𝑥3
= ( 𝑎 + 𝑥)3
𝐵 =
√((𝑎 + 𝑥)3)
2
3
𝑎
=
√(𝑎 + 𝑥)2
𝑎
⟹ 𝑩 =
𝒂 + 𝒙
𝒂
Remplazando lo hallado en la expresión dada:
𝐹 = 𝐴 + 𝐵 = −
𝑥
𝑎
+
𝑎 + 𝑥
𝑎
=
−𝑥 + 𝑎 + 𝑥
𝑎
=
𝑎
𝑎
Por lo tanto:
Respuesta.

𝒙 𝟏 =
𝟏𝟐
𝟓
𝒚 𝟏 =
𝟖
𝟓
;
𝒙 𝟐 = 𝟏𝟐
𝒚 𝟐 = −𝟖
;
𝒙 𝟑 = −
𝟏𝟐
𝟓
𝒚 𝟑 = −
𝟖
𝟓
;
𝒙 𝟒 = −𝟏𝟐
𝒚 𝟒 = 𝟖
4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
{
𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
𝟐
= 𝟖 − 𝒙𝒚
𝒙 + 𝒚
𝒙 − 𝒚
−
𝒚 − 𝒙
𝒚 + 𝒙
=
𝟐𝟔
𝟓
Solución:
Simplificando la primera ecuación:
𝑥2
+ 𝑦2
2
= 8 − 𝑥𝑦 ⟹ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
= 16 ⟹
(𝑥 + 𝑦)2
= 16 √ ⟹ 𝒙 + 𝒚 = ±𝟒
Simplificando la segunda ecuación:
𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦
−
𝑦 − 𝑥
𝑦 + 𝑥
=
26
5
⟹
(𝑥 + 𝑦)(𝑦 + 𝑥) − (𝑦 − 𝑥)(𝑥 − 𝑦)
(𝑥 − 𝑦)(𝑦 + 𝑥)
=
26
5
(𝑥 + 𝑦)2
+ (𝑥 − 𝑦)2
(𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦)
=
26
5
⟹
𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
+ 𝑥2
− 2𝑥𝑦 + 𝑦2
(𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦)
=
26
5
2(𝑥2
+ 𝑦2)
𝑥2 − 𝑦2
=
26
5
⟹ 5𝑥2
+ 5𝑦2
= 13𝑥2
− 13𝑦2
18𝑦2
= 8𝑥2
⟹ 𝟗𝒚 𝟐
= 𝟒𝒙 𝟐
 Solución del sistema tomando el signo (+):
{
𝑥 + 𝑦 = 4
9𝑦2
= 4𝑥2 ⟹ {
𝑦 = 4 − 𝑥 … … … (1)
9𝑦2
= 4𝑥2
… … … (2)
Remplazando la ecuación (1) en la ecuación (2):
9(4 − 𝑥)2
= 4𝑥2
⟹ 9(16 − 8𝑥 + 𝑥2) = 4𝑥2
⟹ 5𝑥2
− 72𝑥 + 144 = 0
(5𝑥 − 12)(𝑥 − 12) = 0 ⟹ {
𝒙 =
𝟏𝟐
𝟓
𝒚 =
𝟖
𝟓
∨ {
𝒙 = 𝟏𝟐
𝒚 = −𝟖
 Solución del sistema tomando el signo (−):
{
𝑥 + 𝑦 = −4
9𝑦2
= 4𝑥2 ⟹ {
𝑦 = −4 − 𝑥 … … … (1)
9𝑦2
= 4𝑥2
… … … (2)
9(−4 − 𝑥)2
= 4𝑥2
⟹ 9(16 + 8𝑥 + 𝑥2) = 4𝑥2
⟹ 5𝑥2
+ 72𝑥 + 144 = 0
(5𝑥 + 12)(𝑥 + 12) = 0 ⟹ {
𝒙 = −
𝟏𝟐
𝟓
𝒚 = −
𝟖
𝟓
∨ {
𝒙 = −𝟏𝟐
𝒚 = 𝟖
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑹 = −𝟏
5. Racionalizar y simplificar la siguiente expresión algebraica:
𝑹 =
√𝒙 𝟐 − 𝟏 + 𝒙
𝟐𝒙 𝟐 − 𝟏
√ 𝒙 − 𝟏 − √ 𝒙 + 𝟏
√ 𝒙 − 𝟏 + √ 𝒙 + 𝟏
+
𝟐√𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟐
𝟐𝒙 𝟐 − 𝟏
Solución:
Aplicando la siguiente propiedad al primer término:
𝑅 =
√𝑥2 − 1 + 𝑥
2𝑥2 − 1
√𝑥 − 1 − √ 𝑥 + 1
√𝑥 − 1 + √ 𝑥 + 1
+
2√𝑥4 − 𝑥2
2𝑥2 − 1
=
(√𝑥2 − 1 + 𝑥)(√𝑥 − 1 + √ 𝑥 + 1)
(2𝑥2 − 1)(√𝑥 − 1 − √ 𝑥 + 1)
+
2√𝑥4 − 𝑥2
2𝑥2 − 1
Se observa en la expresión que solo existe un factor del primer término que
se puede racionalizar, entonces sea:
𝐴 =
(√𝑥2 − 1 + 𝑥)(√𝑥 − 1 + √ 𝑥 + 1)
(2𝑥2 − 1)(√𝑥 − 1 − √ 𝑥 + 1)
=
(√𝑥2 − 1 + 𝑥)(√𝑥 − 1 + √ 𝑥 + 1)
(2𝑥2 − 1)(√𝑥 − 1 − √ 𝑥 + 1)
∙
(√𝑥 − 1 + √ 𝑥 + 1)
(√𝑥 − 1 + √ 𝑥 + 1)
𝐴 =
(√𝑥2 − 1 + 𝑥)(√𝑥 − 1 + √ 𝑥 + 1)
2
(2𝑥2 − 1) ((√𝑥 − 1)
2
− (√ 𝑥 + 1)
2
)
𝐴 =
(√𝑥2 − 1 + 𝑥) [(√𝑥 − 1)
2
+ 2√(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) + (√ 𝑥 + 1)
2
]
(2𝑥2 − 1)(𝑥 − 1 − (𝑥 + 1))
𝐴 =
(√𝑥2 − 1 + 𝑥)[𝑥 − 1 + 2√𝑥2 − 1 + 𝑥 + 1]
(2𝑥2 − 1)(𝑥 − 1 − 𝑥 − 1)
=
(√𝑥2 − 1 + 𝑥)[2√𝑥2 − 1 + 2𝑥]
(2𝑥2 − 1)(−2)
𝐴 =
(√𝑥2 − 1 + 𝑥)[√𝑥2 − 1 + 𝑥]
−(2𝑥2 − 1)
= −
(√𝑥2 − 1 + 𝑥)
2
2𝑥2 − 1
= −
(√𝑥2 − 1)
2
+ 2𝑥√𝑥2 − 1 + 𝑥2
2𝑥2 − 1
𝐴 = −
𝑥2
− 1 + 2𝑥√𝑥2 − 1 + 𝑥2
2𝑥2 − 1
= −
2𝑥2
− 1 + 2𝑥√𝑥2 − 1
2𝑥2 − 1
La racionalización en la expresión:
𝑅 = 𝐴 +
2√𝑥4 − 𝑥2
2𝑥2 − 1
= −
2𝑥2
− 1 + 2𝑥√𝑥2 − 1
2𝑥2 − 1
+
2√𝑥2(𝑥2 − 1)
2𝑥2 − 1
𝑅 =
−(2𝑥2
− 1 + 2𝑥√𝑥2 − 1) + 2√𝑥2 ∙ √𝑥2 − 1
2𝑥2 − 1
𝑅 =
−(2𝑥2
− 1) − 2𝑥√𝑥2 − 1 + 2𝑥√𝑥2 − 1
2𝑥2 − 1
=
−(2𝑥2
− 1)
2𝑥2 − 1
= −1
Por lo tanto:
Respuesta.

CURSO PREFACULTATIVO - GESTION II/2015
FILA A
1) Hallar el coeficiente del termino 𝒙 𝟔
𝒚 𝟏𝟕
del binomio de Newton (𝒙 𝟐
+ 𝒚) 𝟐𝟎
2) Sean 𝜶 y 𝜷 raíces de la ecuación: 𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ;hallar el valor de:
𝑨 = 𝜶 𝟒
− 𝜶 𝟐
𝜷 𝟐
+ 𝜷 𝟒
{
√ 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟏𝟎 − √ 𝟒𝟎(𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐) = 𝟎
√ 𝒙𝒚 + 𝟑 ∙ √
𝟐𝒙𝒚
𝟑
− 𝟏 =
√𝟓 + √ 𝟑
√𝟐
𝑬 =
𝒙 𝟓
+ 𝟏 + 𝒙
𝒙 𝟑 − 𝒙 𝟐 + 𝟏
(
√ 𝟏 + 𝒙 − √ 𝟏 − 𝒙
√ 𝟏 + 𝒙 + √ 𝟏 − 𝒙
) [
𝟏 + √𝟏 − 𝒙 𝟐
𝒙
] − 𝒙 𝟐
− 𝒙 − 𝟏
5) Un albañil recibió por el trabajo realizado de una obra Bs. 3600, su ayudante que
trabajo 8 días menos recibió Bs. 1600. Si el ayudante hubiera trabajado los días
que trabajo el albañil y a su vez el albañil hubiese trabajado solo los días del
ayudante, entonces hubieran recibido la misma cantidad de dinero.
a) Determinar, ¿Cuánto gana el albañil por cada día (jornal) y cuánto gana el
ayudante por día (jornal)?
b) Determinar, ¿Cuántos días trabajo el albañil y cuantos el ayudante?

𝑨 = 𝒃 𝟒
− 𝟒𝒃 𝟐
+ 𝟏
𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 = 𝟏𝟏𝟒𝟎
SOLUCIONARIO II/2015
1. Hallar el coeficiente del término 𝒙 𝟔
𝒚 𝟏𝟕
del binomio de Newton (𝒙 𝟐
+ 𝒚) 𝟐𝟎
.
Solución:
Para el binomio: (𝑎 + 𝑏) 𝑛
, tenemos el término general: 𝑡 𝑘+1 = (
𝑛
𝑘
) 𝑎 𝑛−𝑘
𝑏 𝑘
Para nuestro caso el término general es: 𝑡 𝑘+1 = (
20
𝑘
) (𝑥2)20−𝑘
𝑦 𝑘
Por condición del problema tenemos: 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ∙ 𝑥6 𝑦17
Igualando la condición del problema con el termino general, hallamos “ 𝑘”:
𝑡 𝑘+1 = (
20
𝑘
) (𝑥2)20−𝑘
𝑦 𝑘
= 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ∙ 𝑥6
𝑦17
Por comparación hallamos: {
𝑘 = 17
𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = (
20
𝑘
)
⟹ 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = (
20
17
)
Ahora recordemos el desarrollo de una combinación: (
𝑛
𝑘
) =
𝑛!
( 𝑛−𝑘)!∙𝑘!
Para nuestro caso: 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = (
20
17
) =
20!
(20−17)!∙17!
=
20∙19∙18∙17!
3!∙17!
𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = (
20
17
) =
20 ∙ 19 ∙ 18
3 ∙ 2 ∙ 1
⟹ 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 1140
Por lo tanto:
Respuesta.
2. Sean 𝜶 y 𝜷 raíces de la ecuación: 𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ;hallar el valor de:
𝑨 = 𝜶 𝟒
− 𝜶 𝟐
𝜷 𝟐
+ 𝜷 𝟒
Solución:
Sea la forma general de una ecuación de segundo grado: 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Tenemos las siguientes relaciones con sus raíces: 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑏
𝑎 ; 𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
Para nuestro caso: 𝑎 = 1 ; 𝑏 = 𝑏 ; 𝑐 = 1 ; 𝑥1 = 𝛼 ; 𝑥2 = 𝛽
Entonces las relaciones serán: {
𝛼 + 𝛽 = −𝑏 … … … (1)
𝛼 ∙ 𝛽 = 1 … … … (2)
El problema nos pide hallar el valor de: 𝐴 = 𝛼4
− 𝛼2
𝛽2
+ 𝛽4
, el cual posee
relaciones con 𝛼 y 𝛽 en potencias a la cuarta y al cuadrado las cuales
debemos buscan con ayuda de las ecuaciones (1) y (2).
Elevando la ecuación (2) al cuadrado: ( 𝛼 ∙ 𝛽)2
= 12
= 1 ⟹ 𝛼2 𝛽2
= 1 … …… (3)
Ahora elevamos la ecuación (1) al cuadrado: ( 𝛼 + 𝛽)2
= (−𝑏)2 = 𝑏2
( 𝛼 + 𝛽)2
= 𝛼2 + 2𝛼𝛽 + 𝛽2
= 𝑏2
⟹ 𝛼2 + 𝛽2
= 𝑏2
− 2𝛼𝛽 …… …(4)
Ahora elevamos la ecuación (4) al cuadrado: ( 𝛼2 + 𝛽2
)
2
= ( 𝑏2
− 2𝛼𝛽)
2
𝛼4
+ 2𝛼2
𝛽2
+ 𝛽4
= 𝑏4
− 4𝑏2
𝛼𝛽 + 4 𝛼2
𝛽2
⟹ 𝛼4
+ 𝛽4
= 𝑏4
− 4𝑏2
𝛼𝛽 + 2 𝛼2
𝛽2
Por las ecuaciones (2) y (3): 𝛼4
+ 𝛽4
= 𝑏4
− 4𝑏2
+ 2 … … … (5)
Remplazando las ecuaciones (3) y (5) en la expresión pedida:
𝐴 = 𝛼4
− 𝛼2
𝛽2
+ 𝛽4
= 𝑏4
− 4𝑏2
+ 2 − 1 ⟹ 𝐴 = 𝑏4
− 4𝑏2
+ 1
Por lo tanto:
Respuesta.

𝒙 𝟏,𝟐 = ±𝟐 ; 𝒚 𝟏,𝟐 = ±𝟑𝒙 𝟏,𝟐 = ±𝟐 𝟐
𝒚 𝟏,𝟐 = ± 𝟐
;
𝒙 𝟑,𝟒 = ± 𝟐
𝒚 𝟑,𝟒 = ±𝟐 𝟐
{
√ 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟏𝟎 − √ 𝟒𝟎(𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐) = 𝟎
√ 𝒙𝒚 + 𝟑 ∙ √
𝟐𝒙𝒚
𝟑
− 𝟏 =
𝟓 + 𝟑
𝟐
Solución:
Para resolver este problema debemos aprender radicación, es decir como
eliminar una raíz cuadrada con ayuda de un trinomio cuadrado perfecto, para
esto debemos saber verificar cuando es un trinomio cuadrado perfecto:
Debemos de sacar la raíz cuadrada a los términos del
extremo, una vez teniendo los resultados debemos de
multiplicarlos por 2, este resultado debe de ser el
término central del trinomio, ver esquema.
Para el problema primero simplifiquemos la primera ecuación:
Sea el cambio de variable: 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑚2
⟹ √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑚
√ 𝑥2 + 𝑦2 + 10 − √40(𝑥2 + 𝑦2) = √ 𝑚2 + 10 − 4 ∙ 10𝑚 = √ 𝑚2 − 2 10𝑚 + 10 = 0
De acuerdo a la verificación de un trinomio cuadrado perfecto:
√ 𝑚2 − 2 10𝑚 + 10 = √(𝑚 − 10)
2
= 𝑚 − 10 = 0 ⟹ 𝑚 = 10 ⟹ 𝑚2
= 10
Volviendo a la variable original: 𝑥2
+ 𝑦2
= 10 … … … (1)
Ahora procedamos a simplificar la segunda ecuación:
√ 𝑥𝑦 + 3 ∙ √
2𝑥𝑦
3
− 1 =
5 + 3
2
⟹ 2 ∙ √ 𝑥𝑦 + √9 (
2𝑥𝑦
3
− 1) = 5 + 3
√2 (𝑥𝑦 + √3(2𝑥𝑦 − 3)) = √2𝑥𝑦 + 2√3(2𝑥𝑦 − 3) = 5 + 3
Se puede ver que tenemos que realizar un cambio de variable:
2𝑥𝑦 − 3 = 𝑛2
⟹ 2𝑥𝑦 = 𝑛2
+ 3 ∧ √2𝑥𝑦 − 3 = 𝑛
√2𝑥𝑦 + 2√3(2𝑥𝑦 − 3) = √ 𝑛2 + 3 + 2 3𝑛 = √ 𝑛2 + 2 3𝑛 + 3 = 5 + 3
De acuerdo a la verificación de un trinomio cuadrado perfecto:
√ 𝑛2 + 2 3𝑛 + 3 = √(𝑛 + 3)
2
= 𝑛 + 3 = 5 + 3 ⟹ 𝑛 = 5 ⟹ 𝑛 2
= 5
Volviendo a la variable original: 2𝑥𝑦 − 3 = 5 ⟹ 𝑥𝑦 = 4 … … … (2)
Finalmente se obtiene: {
𝑥2
+ 𝑦2
= 10
𝑥𝑦 = 4
⟹ {
𝑥2
+ 𝑦2
= 10
𝑦 =
4
𝑥
⟹ 𝑥2
+ (
4
𝑥
)
2
= 10
𝑥2
+
16
𝑥2
= 10 ⟹ 𝑥4
− 10𝑥2
+ 16 = 0 ⟹ (𝑥2
− 8)(𝑥2
− 2) = 0
𝑥2
= 8
𝑦2
= 2
∨
𝑥2
= 2
𝑦2
= 8 ⟹
𝑥1,2 = ± 8
𝑦1,2 = ± 2
;
𝑥3,4 = ± 2
𝑦3,4 = ± 8
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬 = 𝟎
𝑬 =
𝒙 𝟓
+ 𝟏 + 𝒙
𝒙 𝟑 − 𝒙 𝟐 + 𝟏
(
𝟏 + 𝒙 − 𝟏 − 𝒙
𝟏 + 𝒙 + 𝟏 − 𝒙
) [
𝟏 + 𝟏 − 𝒙 𝟐
𝒙
] − 𝒙 𝟐
− 𝒙 − 𝟏
Solución:
Se observa en la expresión que solo existe un factor del primer término que
se puede racionalizar, entonces sea:
𝐴 =
1 + 𝑥 − 1 − 𝑥
1 + 𝑥 + 1 − 𝑥
=
1 + 𝑥 − 1 − 𝑥
1 + 𝑥 + 1 − 𝑥
∙
1 + 𝑥 − 1 − 𝑥
1 + 𝑥 − 1 − 𝑥
=
( 1 + 𝑥 − 1 − 𝑥)
2
( 1 + 𝑥)
2
− ( 1 − 𝑥)
2
𝐴 =
( 1 + 𝑥)
2
− 2√(1 + 𝑥)(1 − 𝑥) + ( 1 − 𝑥)
2
1 + 𝑥 − (1 − 𝑥)
=
1 + 𝑥 − 2 1 − 𝑥2 + 1 − 𝑥
1 + 𝑥 − 1 + 𝑥
𝐴 =
2 − 2 1 − 𝑥2
2𝑥
=
1 − 1 − 𝑥2
𝑥
La racionalización en la expresión:
𝐸 =
𝑥5
+ 1 + 𝑥
𝑥3 − 𝑥2 + 1
(𝐴) [
1 + 1 − 𝑥2
𝑥
] − 𝑥2
− 𝑥 − 1
𝐸 =
𝑥5
+ 1 + 𝑥
𝑥3 − 𝑥2 + 1
(
1 − 1 − 𝑥2
𝑥
) [
1 + 1 − 𝑥2
𝑥
] − 𝑥2
− 𝑥 − 1
𝐸 =
𝑥5
+ 1 + 𝑥
𝑥3 − 𝑥2 + 1
[
1 − ( 1 − 𝑥2)
2
𝑥2
] − 𝑥2
− 𝑥 − 1 =
𝑥5
+ 1 + 𝑥
𝑥3 − 𝑥2 + 1
[
1 − (1 − 𝑥2)
𝑥2
] − (𝑥2
+ 𝑥 + 1)
𝐸 =
𝑥5
+ 1 + 𝑥
𝑥3 − 𝑥2 + 1
[
𝑥2
𝑥2
] − (𝑥2
+ 𝑥 + 1) ⟹ 𝐸 =
𝑥5
+ 𝑥 + 1
𝑥3 − 𝑥2 + 1
− (𝑥2
+ 𝑥 + 1)
Ahora demostraremos que: 𝑥5
+ 𝑥 + 1 = (𝑥2
+ 𝑥 + 1)(𝑥3
− 𝑥2
+ 1)
Es claro que se demuestra factorizando por sumas y restas:
Sea el polinomio a factorizar: 𝑃(𝑥) = 𝑥5 + 𝑥 + 1
Sumando y restando al polinomio 𝑥4
, 𝑥3
, 𝑥2
:
𝑃(𝑥) = 𝑥5 + 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1 − 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥2
Agrupando los términos de la siguiente forma:
𝑃(𝑥) = ( 𝑥5 + 𝑥4 + 𝑥3) + ( 𝑥2 + 𝑥 + 1) − ( 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥2)
Ahora factorizando el factor común en los términos agrupados:
𝑃(𝑥) = 𝑥3( 𝑥2 + 𝑥 + 1) + ( 𝑥2 + 𝑥 + 1) − 𝑥2( 𝑥2 + 𝑥 + 1)
𝑃(𝑥) = ( 𝑥2 + 𝑥 + 1)( 𝑥3 − 𝑥2 + 1)
Por lo que queda demostrado que: 𝑃(𝑥) = 𝑥5 + 𝑥 + 1 = ( 𝑥2 + 𝑥 + 1)( 𝑥3 − 𝑥2 + 1)
Remplazando lo hallado en la expresión:
𝐸 =
𝑥5
+ 𝑥 + 1
𝑥3 − 𝑥2 + 1
− (𝑥2
+ 𝑥 + 1) =
(𝑥2
+ 𝑥 + 1)(𝑥3
− 𝑥2
+ 1)
𝑥3 − 𝑥2 + 1
− (𝑥2
+ 𝑥 + 1)
𝐸 = (𝑥2
+ 𝑥 + 1) − (𝑥2
+ 𝑥 + 1) ⟹ 𝐸 = 0
Por lo tanto:
Respuesta.
NOTA: Si el estudiante no visualizo la factorización, lo lógico en la expresión era
resolver la fracción: 𝐸 =
𝑥5+𝑥+1
𝑥3−𝑥2+1
− ( 𝑥2
+ 𝑥 + 1) =
𝑥5+𝑥+1−( 𝑥3−𝑥2+1)( 𝑥2+𝑥+1)
𝑥3−𝑥2+1
= 0.

𝒂)
𝑮𝒂𝒏𝒂𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓
𝒅𝒊𝒂 (𝑱𝒐𝒓𝒏𝒂𝒍)
{
𝑨𝒍𝒃𝒂𝒏 𝒊𝒍 = 𝑨 = 𝟏𝟓𝟎 𝑩𝒔
𝑨𝒚𝒖𝒅𝒂𝒏𝒕𝒆 = 𝑩 = 𝟏𝟎𝟎 𝑩𝒔
𝒃)
𝑫𝒊𝒂𝒔
𝒕𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒂𝒅𝒐𝒔
{
𝑨𝒍𝒃𝒂𝒏 𝒊𝒍 = 𝒙 = 𝟐𝟒 𝑫𝒊𝒂𝒔
𝑨𝒚𝒖𝒅𝒂𝒏𝒕𝒆 = 𝒙 − 𝟖 = 𝟏𝟔 𝑫𝒊𝒂𝒔
5. Un albañil recibió por el trabajo realizado de una obra Bs. 3600, su ayudante que trabajo 8 días
menos recibió Bs. 1600. Si el ayudante hubiera trabajado los días que trabajo el albañil y a su vez el
albañil hubiese trabajado solo los días del ayudante, entonces hubieran recibido la misma cantidad de
dinero.
a) Determinar, ¿Cuánto gana el albañil por cada día (jornal) y cuánto gana el ayudante por día
(jornal)?
b) Determinar, ¿Cuántos días trabajo el albañil y cuantos el ayudante?
Solución:
Como el problema hace referencia a dinero recibido por un trabajo realizado
en cierta cantidad de días, debemos saber que la multiplicación de los días
trabajos por lo que pagan al día es igual al dinero recibido al terminar el
trabajo, es decir que si alguien nos pide realizar un trabajo lo primero
que hacemos es decirle que cobramos 𝒑 Bs por día, luego nos preguntan en
cuantos días acabamos el trabajo, respondemos que en 𝒒 días, entonces
calculando debemos cobrar 𝒑 ∙ 𝒒 Bs. (si nos damos valores se entiende mejor)
Siguiendo la idea anterior, podemos realizar un esquema del problema:
Trabajador Días trabajados
Dinero pagado(Bs)
Por día (Jornal)
Dinero recibido(Bs)
Por trabajo realizado
Albañil 𝑥 𝐴 3600
Ayudante 𝑥 − 8 𝐵 1600
Por condición del problema:
Trabajador Días trabajados
Dinero pagado(Bs)
Por día (Jornal)
Dinero recibido(Bs)
Por trabajo realizado
Albañil 𝑥 − 8 𝐴 𝑀
Ayudante 𝑥 𝐵 𝑀
Ahora escribamos las palabras usadas en el problema en forma de ecuación:
 Un albañil recibió por el trabajo realizado de una obra Bs. 3600, su
ayudante que trabajo 8 días menos recibió Bs. 1600:
𝑨 ∙ 𝒙 = 𝟑𝟔𝟎𝟎 … … … (𝟏)
𝑩(𝒙 − 𝟖) = 𝟏𝟔𝟎𝟎 … … … (𝟐)
 Si el ayudante hubiera trabajado los días que trabajo el albañil y a su
vez el albañil hubiese trabajado solo los días del ayudante, entonces
hubieran recibido la misma cantidad de dinero.
𝑨(𝒙 − 𝟖) = 𝑴 … … … (𝟑)
𝑩𝒙 = 𝑴 … … … (𝟒)
Multiplicando las ecuaciones (1) por (2) y las ecuaciones (3) por (4):
{
𝐴𝑥 ∙ 𝐵(𝑥 − 8) = 3600 ∙ 1600
𝐴(𝑥 − 8) ∙ 𝐵𝑥 = 𝑀 ∙ 𝑀
⟹ 𝑀2
= 36 ∙ 100 ∙ 16 ∙ 100
𝑀2
= 62
∙ 1002
∙ 42
⟹ 𝑀 = 6 ∙ 100 ∙ 4 ⟹ 𝑴 = 𝟐𝟒𝟎𝟎
Trabajando las ecuaciones (2) y (3):
{
𝐵(𝑥 − 8) = 1600
𝐴(𝑥 − 8) = 𝑀
⟹ {
𝐵𝑥 − 8𝐵 = 1600 … … … (2)
𝐴𝑥 − 8𝐴 = 2400 … … … (3)
Por las ecuaciones (1) y (4), obtenemos:
{
𝐴𝑥 = 3600 … … (1)
𝐵𝑥 = 2400 … … (4)
⟹ {
2400 − 8𝐵 = 1600
3600 − 8𝐴 = 2400
⟹ {
𝑨 = 𝟏𝟓𝟎
𝑩 = 𝟏𝟎𝟎
⟹ {
𝒙 = 𝟐𝟒
𝒙 − 𝟖 = 𝟏𝟔
Por lo tanto:
Respuesta.

FILA B
QUEDA TERMINANTEMENTE PROHIBIDO EL USO DE CALCULADORAS Y CELULARES.
1) Factorizar y simplificar la siguiente expresión:
𝑬 = [
√ 𝒂 + √𝒃
√ 𝒂 − √𝒃
] : [
𝒂√𝒃 + 𝒃√ 𝒂
𝒂 𝟐√𝒃 − 𝒂𝒃√ 𝒂
] − (
𝒂 𝟐
√ 𝒂
𝟑 ) 𝒂
−𝟐
𝟑 +
{
√𝒃 𝟐 − 𝒂 𝟐 + 𝒂 𝟐(𝒃 𝟐
− 𝒂 𝟐)−
𝟏
𝟐
(𝒃 𝟐 − 𝒂 𝟐) [𝟏 + (
√𝒃 𝟐 − 𝒂 𝟐
𝒂
)
−𝟐
]
}
∙ √ 𝒃 𝟐 − 𝒂 𝟐
2) Hallar 𝒎 y 𝒏 sabiendo que el cuarto termino del desarrollo del cociente notable:
𝒙 𝟒𝒏+𝟑
− 𝒚 𝟐(𝟑𝒎−𝟏)
𝒙 𝒎 − 𝒚 𝒏
Es igual a 𝒙 𝟕
𝒚 𝟐𝟒
3) Racionalizar y simplificar:
𝑬 = [
𝟏
√𝒙 𝟒𝟑
+ √𝒙 𝟐𝟑
+ 𝟏
] ∙ [
(√ 𝒙
𝟑
− 𝟏)(√ 𝒙 + 𝟏)
𝒙 + √ 𝒙 + 𝟏
]
4) Juan y su novia van a un bazar y observan que un bolígrafo y un lápiz cuestan lo
mismo que seis cuadernos, que dos bolígrafos cuestan lo mismo que un cuaderno
y un folder plástico y, que dos cuadernos cuestan igual que un folder. La novia le
pregunta a Juan ¿Cuántos cuadernos puedo comprar por el precio de dos lápices?
¿Qué respondería usted?
{
𝒙 + √ 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟖
𝟐𝒚 + 𝟑√ 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟖
𝟑𝒛 + 𝟓√ 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟐𝟔

𝑬 = 𝟏
1. Factorizar y simplificar la siguiente expresión:
𝑬 = [
𝒂 + 𝒃
𝒂 − 𝒃
] : [
𝒂 𝒃 + 𝒃 𝒂
𝒂 𝟐 𝒃 − 𝒂𝒃 𝒂
] − (
𝒂 𝟐
𝒂
𝟑 ) 𝒂
−𝟐
𝟑 +
{
𝒃 𝟐 − 𝒂 𝟐 + 𝒂 𝟐(𝒃 𝟐
− 𝒂 𝟐)−
𝟏
𝟐
(𝒃 𝟐 − 𝒂 𝟐) [𝟏 + (
𝒃 𝟐 − 𝒂 𝟐
𝒂
)
−𝟐
]
}
∙ √ 𝒃 𝟐 − 𝒂 𝟐
Solución:
Dividamos el problema en tres partes: 𝐸 = 𝐴 − 𝐵 + 𝐶
 Tenemos: 𝐴 = [
𝑎+√ 𝑏
𝑎−√ 𝑏
] :[
𝑎√ 𝑏+𝑏 𝑎
𝑎2√ 𝑏−𝑎𝑏 𝑎
]
Simplificando 𝐴, con los cambios de variable:
𝑎 = 𝑛2
⟹ 𝑛 = 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑚2
⟹ 𝑚 = 𝑏
Los cambios de variable en 𝐴:
𝐴 = [
𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏
] : [
𝑎 𝑏 + 𝑏 𝑎
𝑎2 𝑏 − 𝑎𝑏 𝑎
] = [
𝑛 + 𝑚
𝑛 − 𝑚
] : [
𝑛2
𝑚 + 𝑚2
𝑛
𝑛4 𝑚 − 𝑛2 𝑚2 𝑛
] = [
𝑛 + 𝑚
𝑛 − 𝑚
] : [
𝑛𝑚(𝑛 + 𝑚)
𝑛3 𝑚(𝑛 − 𝑚)
]
𝐴 = [
𝑛 + 𝑚
𝑛 − 𝑚
] : [
(𝑛 + 𝑚)
𝑛2(𝑛 − 𝑚)
] = [
𝑛 + 𝑚
𝑛 − 𝑚
] ∙ [
𝑛2(𝑛 − 𝑚)
(𝑛 + 𝑚)
] = 𝑛2
= 𝑎 ⟹ 𝑨 = 𝒂
 Tenemos:
𝐵 = (
𝑎2
𝑎
3 ) 𝑎
−2
3 = (
𝑎2
𝑎
3 ) ∙
1
𝑎
2
3
=
𝑎2
𝑎
3
∙ 𝑎23 =
𝑎2
𝑎 ∙ 𝑎23 =
𝑎2
𝑎33 =
𝑎2
𝑎
⟹ 𝑩 = 𝒂
 Tenemos: 𝐶 =
{
√ 𝑏
2
−𝑎2+𝑎2( 𝑏
2
−𝑎2)
−1
2
( 𝑏
2
−𝑎2)
[
1+(
√
𝑏
2
−𝑎2
𝑎 )
−2
]}
∙ 𝑏2 − 𝑎2
Operando con las propiedades de los exponentes:
𝐶 =
{
𝑏2 − 𝑎2 +
𝑎2
(𝑏2 − 𝑎2)
1
2
(𝑏2 − 𝑎2) [1 + (
𝑎
𝑏2 − 𝑎2
)
2
]
}
∙ √ 𝑏2 − 𝑎2 =
{
𝑏2 − 𝑎2 +
𝑎2
𝑏2 − 𝑎2
(𝑏2 − 𝑎2) [1 +
𝑎2
𝑏2 − 𝑎2]
}
∙ √ 𝑏2 − 𝑎2
Desarrollando las fracciones:
𝐶 =
{
( 𝑏2 − 𝑎2)
2
+ 𝑎2
𝑏2 − 𝑎2
(𝑏2 − 𝑎2) [
𝑏2 − 𝑎2 + 𝑎2
𝑏2 − 𝑎2 ]
}
∙ √ 𝑏2 − 𝑎2 =
{
𝑏2
− 𝑎2
+ 𝑎2
𝑏2 − 𝑎2
𝑏2
}
∙ √ 𝑏2 − 𝑎2
𝐶 = {
𝑏2
𝑏2 ∙ 𝑏2 − 𝑎2
} ∙ √ 𝑏2 − 𝑎2 ⟹ 𝑪 = 𝟏
𝐸 = 𝐴 − 𝐵 + 𝐶 = 𝑎 − 𝑎 + 1 ⟹ 𝐸 = 1
Por lo tanto:
Respuesta.

𝒎 = 𝟕 ; 𝒏 = 𝟖
2. Hallar 𝒎 y 𝒏 sabiendo que el cuarto termino del desarrollo del cociente notable:
𝒙 𝟒𝒏+𝟑
− 𝒚 𝟐(𝟑𝒎−𝟏)
𝒚 𝟐𝟒
.
Solución:
Primero llevemos al cociente notable a su forma general:
𝑥4𝑛+3
− 𝑦2(3𝑚−1)
𝑥 𝑚 − 𝑦 𝑛
=
(𝑥 𝑚) 𝑁
− (𝑦 𝑛) 𝑁
𝑥 𝑚 − 𝑦 𝑛
⟺ {
𝑚 ∙ 𝑁 = 4𝑛 + 3 … … … (1)
𝑛 ∙ 𝑁 = 2(3𝑚 − 1) … … … (2)
Donde: 𝑁 = #𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜
Dividiendo la ecuación (1) con la ecuación (2) tenemos:
𝑚 ∙ 𝑁
𝑛 ∙ 𝑁
=
4𝑛 + 3
2(3𝑚 − 1)
⟹
𝑚
𝑛
=
4𝑛 + 3
2(3𝑚 − 1)
⟹ 2𝑚(3𝑚 − 1) = 𝑛(4𝑛 + 3) … … … (3)
Ahora recordemos la fórmula del término k-esimo:
𝑡 𝑘 = (𝑥 𝑚) 𝑁−𝑘(𝑦 𝑛) 𝑘−1
Aplicando la fórmula para 𝑘 = 4:
𝑡4 = (𝑥 𝑚) 𝑁−4(𝑦 𝑛)4−1
= (𝑥 𝑚) 𝑁−4(𝑦 𝑛)3
= 𝑥 𝑚(𝑁−4)
𝑦3𝑛
Por condición del problema sabemos que: 𝑡4 = 𝑥7
𝑦24
Igualando lo hallado con la condición del problema:
𝑥 𝑚( 𝑁−4)
𝑦3𝑛
= 𝑥7
𝑦24
⟹ {
𝑚( 𝑁 − 4) = 7
3𝑛 = 24
⟹ {
𝑚( 𝑁 − 4) = 7 … … … (4)
𝒏 = 𝟖
Remplazando el valor de 𝒏 = 𝟖 en la ecuación (3):
2𝑚(3𝑚 − 1) = 8(4 ∙ 8 + 3) ⟹ 𝑚(3𝑚 − 1) = 4 ∙ 35 ⟹ 3𝑚2
− 𝑚 − 140 = 0
(3𝑚 + 20)(𝑚 − 7) = 0 ⟹ 𝑚 = −
20
3
∨ 𝑚 = 7
Ahora recordemos que el número de términos debe de ser un número natural, entonces
remplacemos los valores de “𝑚” en la ecuación (4) para ver cuál de las soluciones
es la correcta.
𝑚 = −
20
3
; 𝑁 − 4 =
7
−
20
3
⟹ 𝑁 = −
21
20
+ 4 =
59
20
∉ ℕ
𝑚 = 7 ; 𝑁 − 4 =
7
7
⟹ 𝑁 = 1 + 4 = 5 ∈ ℕ
Por tanto la única solución que pertenece a los números naturales es cuando 𝒎 = 𝟕
Entonces nuestro cociente notable tiene la forma:
(𝑥7
)5
− (𝑦8)5
𝑥7 − 𝑦8
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬 =
( 𝒙
𝟑
− 𝟏)
𝟐
( 𝒙
𝟑
+ 𝟏) ( 𝒙
𝟑
+ 𝟏)
( 𝒙 + 𝟏)( 𝒙 𝟑 − 𝟏)
3. Racionalizar y simplificar:
𝑬 = [
𝟏
𝒙 𝟒𝟑
+ 𝒙 𝟐𝟑
+ 𝟏
] ∙ [
( 𝒙
𝟑
− 𝟏)( 𝒙 + 𝟏)
𝒙 + 𝒙 + 𝟏
]
Solución:
Se sabe que para racionalizar una expresión se debe eliminar los radicales del
denominador, esto lo logramos multiplicando y dividiendo el conjugado del
denominador a la expresión, este conjugado depende mucho del índice del radical a
racionalizar y se utilizan productos notables, de la siguiente manera:
Primero dividamos el problema en dos partes:
𝐸 = 𝐴 ∙ 𝐵 ; 𝐴 =
1
𝑥43
+ 𝑥23
+ 1
; 𝐵 =
( 𝑥
3
− 1)( 𝑥 + 1)
𝑥 + 𝑥 + 1
 Para 𝐴, se observa un radical de índice 3, por lo que se debe utilizar el
producto notable: (𝑎 − 𝑏)(𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3
− 𝑏3
Ahora necesitamos encontrar los valores de “ 𝑎” y “ 𝑏” para nuestro denominador:
Sea: 𝑎 = 𝑥23
∧ 𝑏 = 1, en el producto notable:
(√ 𝑥23
− 1) ((√ 𝑥23
)
2
+ √ 𝑥23
+ 1) = (√ 𝑥23
)
3
− 1 ⟹ (√ 𝑥23
− 1) (√ 𝑥43
+ √ 𝑥23
+ 1) = 𝑥2
− 1
Por tanto el conjugado que debemos multiplicar y dividir es: ( 𝑥23
− 1)
Entonces:
𝐴 =
1
𝑥43
+ 𝑥23
+ 1
∙
( 𝑥23
− 1)
( 𝑥23
− 1)
⟹ 𝐴 =
𝑥23
− 1
𝑥2 − 1
Pero: 𝑥23
− 1 = ( 𝑥
3
)
2
− 1 = ( 𝑥
3
− 1)( 𝑥
3
+ 1) ∧ 𝑥2
− 1 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
Entonces: 𝑨 =
( 𝒙𝟑
−𝟏)( 𝒙𝟑
+𝟏)
( 𝒙+𝟏)( 𝒙−𝟏)
 Para 𝐵, se observa un radical de índice 2, por lo que se debe utilizar el
producto notable: (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2
− 𝑏2
Sea: 𝑎 = 𝑥 + 1 ∧ 𝑏 = 𝑥, en el producto notable:
(𝑥 + 1 − 𝑥)(𝑥 + 1 + 𝑥) = (𝑥 + 1)2
− ( 𝑥)
2
(𝑥 − 𝑥 + 1)(𝑥 + 𝑥 + 1) = 𝑥2
+ 2𝑥 + 1 − 𝑥 = 𝑥2
+ 𝑥 + 1
Por tanto el conjugado que debemos multiplicar y dividir es: (𝑥 − 𝑥 + 1)
Entonces:
𝐵 =
( 𝑥
3
− 1)( 𝑥 + 1)
𝑥 + 𝑥 + 1
∙
(𝑥 − 𝑥 + 1)
(𝑥 − 𝑥 + 1)
⟹ 𝐵 =
( 𝑥
3
− 1)( 𝑥 + 1)(𝑥 − 𝑥 + 1)
𝑥2 + 𝑥 + 1
Pero: 𝑥
3
+ 1 = ( 𝑥 + 1) ( 𝑥
2
− 𝑥 + 1) = ( 𝑥 + 1)(𝑥 − 𝑥 + 1)
Entonces: 𝑩 =
( 𝒙𝟑
−𝟏)( 𝒙
𝟑
+𝟏)
𝒙 𝟐+𝒙+𝟏
Remplazando 𝐴 y 𝐵 en la expresión:
𝐸 = [
( 𝑥
3
− 1)( 𝑥
3
+ 1)
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
] ∙ [
( 𝑥
3
− 1) ( 𝑥
3
+ 1)
𝑥2 + 𝑥 + 1
] =
( 𝑥
3
− 1)
2
( 𝑥
3
+ 1) ( 𝑥
3
+ 1)
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
Pero: (𝑥 − 1)(𝑥2
+ 𝑥 + 1) = 𝑥3
− 1
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒂𝒎𝒐𝒔 𝟗 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒆𝒓𝒏𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝟐 𝒍𝒂𝒑𝒊𝒄𝒆𝒔
𝒙 = 𝟒 ; 𝒚 = 𝟑 ; 𝒛 = 𝟐
4. Juan y su novia van a un bazar y observan que un bolígrafo y un lápiz cuestan lo mismo que seis
cuadernos, que dos bolígrafos cuestan lo mismo que un cuaderno y un folder plástico y, que dos
cuadernos cuestan igual que un folder. La novia le pregunta a Juan ¿Cuántos cuadernos puedo
comprar por el precio de dos lápices? ¿Qué respondería usted?
Solución:
Realicemos una tabla de las incógnitas para una mejor comprensión:
Precio de un:
Bolígrafo Lápiz Cuaderno Folder
𝑥 𝑦 𝑧 𝑤
Como se ve en la tabla, asignamos variables al precio de los artículos del bazar.
 Un bolígrafo y un lápiz cuestan lo mismo que seis cuadernos: 𝒙 + 𝒚 = 𝟔𝒛 … … … (𝟏)
 Dos bolígrafos cuestan lo mismo que un cuaderno y un folder: 𝟐𝒙 = 𝒛 + 𝒘 … … … (𝟐)
 Dos cuadernos cuestan igual que un folder: 𝟐𝒛 = 𝒘 … … … (𝟑)
Nos pide hallar:
 ¿Cuantos cuadernos puedo comprar por el precio de dos lápices?: 𝒂 ∙ 𝒛 = 𝟐𝒚 … … … (𝟒)
Como se puede ver en la ecuación (4) solo necesitamos hallar “ 𝑎” ya que ese valor
es la respuesta a la pregunta del problema.
Para hallar el valor de “ 𝑎” necesitamos llevar a las ecuaciones (1), (2) y (3) en
función de “ 𝑧” y “ 𝑦”, entonces:
Eliminamos “ 𝑤”, remplazando la ecuación (3) en la ecuación (2):
2𝑥 = 𝑧 + 2𝑧 ⟹ 𝒙 =
𝟑
𝟐
𝒛 … … … (𝟓)
Eliminamos “ 𝑥”, remplazando la ecuación (5) en la ecuación (1):
3
2
𝑧 + 𝑦 = 6𝑧 ∙ 2 ⟹ 3𝑧 + 2𝑦 = 12𝑧 ⟹ 𝟐𝒚 = 𝟗𝒛 … … … (𝟔)
Comparando las ecuaciones (6) y (4) hallamos que: 𝒂 = 𝟗
Por lo tanto respondemos que:
Respuesta.
{
𝒙 + √𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟖 … … … (𝟏)
𝟐𝒚 + 𝟑√𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟖 … … … (𝟐)
𝟑𝒛 + 𝟓√𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟐𝟔 … … … (𝟑)
Solución:
Sumando las ecuaciones (1), (2) y (3), obtenemos:
(𝑥 + √ 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧) + (2𝑦 + 3√ 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧) + (3𝑧 + 5√ 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧) = 8 + 18 + 26
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 + 𝟗√ 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟓𝟐 … … … (4)
Sea el siguiente cambio de variable: √ 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 𝑎 ⟹ 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 𝑎2
Entonces la ecuación (4) tiene la forma:
𝑎2
+ 9𝑎 − 52 = 0 ⟹ (𝑎 + 13)(𝑎 − 4) = 0
𝑎 = −13 ∨ 𝒂 = 𝟒
Descartamos la solución “ 𝑎 = −13” por el siguiente concepto: #𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑝𝑎𝑟
= +
Entonces: {
𝑥 + √ 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 8
2𝑦 + 3√ 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 18
3𝑧 + 5√ 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 26
⟹ {
𝑥 + 𝑎 = 8
2𝑦 + 3𝑎 = 18
3𝑧 + 5𝑎 = 26
⟹ {
𝑥 + 4 = 8
2𝑦 + 12 = 18
3𝑧 + 20 = 26
⟹ {
𝒙 = 𝟒
𝒚 = 𝟑
𝒛 = 𝟐
Por lo tanto:
Respuesta.

FILA A
CADA PREGUNTA TIENE UN VALOR DEL 20 %.
1) Si la siguiente expresión es un cociente notable:
( 𝒙 𝒂) 𝟐
∙ 𝒙 𝒃
− 𝒙 𝒂
∙ (𝒚 𝒃
)
𝟐
𝒙 𝒃−𝒂 − 𝒙 𝒂 ∙ (√ 𝒚)
𝒃
Qué posición ocupa el término: 𝒙𝒚 𝟑
2) Tres hermanos en el tiempo que vivieron juntos ahorraron 116000 Bs. El menor ahorro una
quinta parte del mayor, el hermano del medio ahorro una cuarta parte más que el menor.
¿cuánto ahorro cada hermano?
3) Simplificar la siguiente expresión:
𝑬 = [
√𝒂𝒃
𝟒
− √𝒂𝒃
𝟏 − √𝒂𝒃
+
𝟏 − √𝒂𝒃
𝟒
√𝒂𝒃
𝟒 ] ÷ (
√𝒂𝒃
𝟒
𝟏 + √𝒂 𝟑 𝒃 𝟑𝟒 ) −
(𝟏 − √𝒂𝒃
𝟒
− √𝒂𝒃)
√𝒂𝒃
4) Hallar el termino central del desarrollo de:
(𝒙 ∙ √ 𝒙
−𝟐
− √
𝒙−𝟐
√ 𝒙
𝟓
)
𝒎
Sabiendo que el coeficiente del quinto término es el coeficiente del tercero como 14 es a 3.
{
𝟏
𝟑√ 𝒙 − 𝒚
−
𝟏
𝟑√ 𝒙 + 𝒚
=
𝟏
𝟐𝟎
𝟐𝟎√ 𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝟎√ 𝒙 − 𝒚 = 𝟕√ 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐

𝒕 𝟑 = 𝒙𝒚 𝟑
SOLUCIONARIO I/2015
1. Si la siguiente expresión es un cociente notable:
( 𝒙 𝒂) 𝟐
∙ 𝒙 𝒃
− 𝒙 𝒂
∙ (𝒚 𝒃
)
𝟐
𝒙 𝒃−𝒂 − 𝒙 𝒂 ∙ (√ 𝒚)
𝒃
Qué posición ocupa el término: 𝒙𝒚 𝟑
Solución:
Antes de resolver el cociente observe que tanto en el numerador como el denominador
existe un factor ( 𝑥 𝑎
), que está perjudicando la resolución, para eso factorizamos
este factor:
𝑥2𝑎
𝑥 𝑏
− 𝑥 𝑎
𝑦2𝑏
𝑥 𝑏−𝑎 − 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏/2
=
𝑥 𝑎[𝑥 𝑎
𝑥 𝑏
− 𝑦2𝑏 ]
𝑥 𝑎[𝑥 𝑏−2𝑎 − 𝑦 𝑏/2]
=
𝑥 𝑎+𝑏
− 𝑦2𝑏
𝑥 𝑏−2𝑎 − 𝑦 𝑏/2
Ahora llevemos al cociente notable a su forma general:
𝑥 𝑎+𝑏
− 𝑦2𝑏
𝑥 𝑏−2𝑎 − 𝑦 𝑏/2
=
(𝑥 𝑏−2𝑎) 𝑁
− (𝑦 𝑏/2
)
𝑁
𝑥 𝑏−2𝑎 − 𝑦 𝑏/2
⟺ {
𝑁( 𝑏 − 2𝑎) = 𝑎 + 𝑏
𝑁𝑏
2
= 2𝑏
{
𝑁 = 4
4( 𝑏 − 2𝑎) = 𝑎 + 𝑏
⟹ {
𝑁 = 4
3𝑏 = 9𝑎
⟹ {
𝑁 = 4
𝑏 = 3𝑎 … … … (1)
Donde: 𝑁 = #𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜
Recordando la fórmula del término k-esimo:
𝑡 𝑘 = (𝑥 𝑏−2𝑎) 𝑁−𝑘
(𝑦 𝑏/2
)
𝑘−1
= 𝑥(𝑏−2𝑎)(4−𝑘)
𝑦
𝑏
2
(𝑘−1)
Por condición del problema sabemos que: 𝑡 𝑘 = 𝑥𝑦3
Igualando el término k-esimo con la condición del problema:
𝑥(𝑏−2𝑎)(4−𝑘)
𝑦
𝑏
2
(𝑘−1)
= 𝑥𝑦3
⟹ {
(𝑏 − 2𝑎)(4 − 𝑘) = 1
𝑏
2
(𝑘 − 1) = 3
Remplazando la ecuación (1) en estas dos últimas ecuaciones
{
(3𝑎 − 2𝑎)(4 − 𝑘) = 1
3𝑎
2
(𝑘 − 1) = 3
⟹ {
𝑎(4 − 𝑘) = 1 … … … (2)
𝑎(𝑘 − 1) = 2 … … … (3)
Dividiendo la ecuación (2) con la ecuación (3), obtenemos:
𝑎(4 − 𝑘)
𝑎(𝑘 − 1)
=
1
2
⟹
4 − 𝑘
𝑘 − 1
=
1
2
⟹ 8 − 2𝑘 = 𝑘 − 1 ⟹ 3𝑘 = 9 ⟹ 𝒌 = 𝟑
Por lo tanto, la posición del término buscado es:
Respuesta.
Observe que conociendo “ 𝑘” podemos encontrar los valores de “ 𝑎” y “ 𝑏”:
𝑘 = 3 ⟹ {
𝑎 = 1
𝑏 = 3

𝑴𝒆𝒏𝒐𝒓: 𝒂 = 𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎 𝑩𝒔 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒐: 𝒃 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝑩𝒔 𝑴𝒂𝒚𝒐𝒓: 𝒄 = 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑩𝒔
𝑬 = 𝟐
2. Tres hermanos en el tiempo que vivieron juntos ahorraron 116000 Bs. El menor ahorro una quinta parte del
mayor, el hermano del medio ahorro una cuarta parte más que el menor. ¿cuánto ahorro cada hermano?
Solución:
Dinero que ahorro el menor Dinero que ahorro el del medio Dinero que ahorro el mayor
𝑎 𝑏 𝑐
 Tres hermanos en el tiempo que vivieron juntos ahorraron 116000 Bs:
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟏𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎 … … … (𝟏)
 El menor ahorro la quinta parte del mayor:
𝑎 =
𝑐
5
⟹ 𝒄 = 𝟓𝒂 … … … (𝟐)
 El hermano del medio ahorro una cuarta parte más que el menor:
𝑏 = 𝑎 +
𝑎
4
⟹ 𝒃 =
𝟓
𝟒
𝒂 … … … (𝟑)
Remplazando las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1):
𝑎 +
5
4
𝑎 + 5𝑎 = 116000 ⟹
4𝑎 + 5𝑎 + 20𝑎
4
= 116000
29𝑎
4
= 116000 ⟹ 𝑎 =
4 ∗ 116000
29
= 4 ∗ 4000 ⟹ {
𝒂 = 𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎
𝒃 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎
𝒄 = 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎
Por lo tanto cada hermano ahorro:
Respuesta.
3. Simplificar la siguiente expresión:
𝑬 = [
√𝒂𝒃
𝟒
− √𝒂𝒃
𝟏 − √𝒂𝒃
+
𝟏 − √𝒂𝒃
𝟒
√𝒂𝒃
𝟒 ] ÷ (
√𝒂𝒃
𝟒
𝟏 + √𝒂 𝟑 𝒃 𝟑𝟒 ) −
(𝟏 − √𝒂𝒃
𝟒
− √𝒂𝒃)
√𝒂𝒃
Solución:
Observando la expresión podemos ver que tenemos raíces cuadradas y raíces de índice
cuatro, entonces para poder simplificar la expresión de un modo sencillo realicemos
el siguiente cambio de variable:
𝑎𝑏 = 𝑥4
⟹ √𝑎𝑏 = √ 𝑥4 = 𝑥2
; √𝑎𝑏
4
= √ 𝑥44
= 𝑥
Elevando al cubo: 𝑥3
= (√𝑎𝑏
4
)
3
= √𝑎3 𝑏34
Remplazando los cambios de variable en la expresión dada:
𝐸 = [
𝑥 − 𝑥2
1 − 𝑥2
+
1 − 𝑥
𝑥
] ÷ (
𝑥
1 + 𝑥3
) −
(1 − 𝑥 − 𝑥2)
𝑥2
Recordando la suma de cubos y diferencia de cuadrados:
𝑚3
+ 𝑛3
= (𝑚 + 𝑛)(𝑚2
− 𝑚𝑛 + 𝑛2) ; 𝑚2
− 𝑛2
= (𝑚 − 𝑛)(𝑚 + 𝑛)
Factorizando y aplicando lo explicado:
𝐸 = (
𝑥(1 − 𝑥)
(1 − 𝑥)(1 + 𝑥)
+
1 − 𝑥
𝑥
) ∗ (
1 + 𝑥3
𝑥
) −
(1 − 𝑥 − 𝑥2)
𝑥2
𝐸 = (
𝑥
(1 + 𝑥)
+
1 − 𝑥
𝑥
) ∗ (
1 + 𝑥3
𝑥
) −
(1 − 𝑥 − 𝑥2)
𝑥2
= (
𝑥2
+ (1 + 𝑥)(1 − 𝑥)
𝑥(1 + 𝑥)
) ∗ (
1 + 𝑥3
𝑥
) −
(1 − 𝑥 − 𝑥2)
𝑥2
𝐸 = (
𝑥2
+ 1 − 𝑥2
𝑥(1 + 𝑥)
) ∗ (
(1 + 𝑥)(1 − 𝑥 + 𝑥2)
𝑥
) −
(1 − 𝑥 − 𝑥2)
𝑥2
=
1 − 𝑥 + 𝑥2
𝑥2
−
(1 − 𝑥 − 𝑥2)
𝑥2
𝐸 =
1 − 𝑥 + 𝑥2
− 1 + 𝑥 + 𝑥2
𝑥2
=
2𝑥2
𝑥2
= 2
Por lo tanto:
Respuesta.

𝒕 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍 = −𝟐𝟓𝟐
4. Hallar el termino central del desarrollo de:
(𝒙 ∙ √ 𝒙
−𝟐
− √
𝒙−𝟐
√ 𝒙
𝟓
)
𝒎
Sabiendo que el coeficiente del quinto término es el coeficiente del tercero como 14 es a 3.
Solución:
Apliquemos propiedades de los exponentes para simplificar el binomio:
( 𝑥 ∙ √ 𝑥−2
− √
𝑥−2
√ 𝑥
5
)
𝑚
= ( 𝑥 ∙ 𝑥−1
2⁄
− √
1
𝑥2+
1
2
5
)
𝑚
= ( 𝑥1−
1
2 +
√1
5
√ 𝑥5/25
)
𝑚
= (√ 𝒙 +
𝟏
√ 𝒙
)
𝒎
Una vez reducido el binomio empezamos a plantear el problema:
La condición nos dice que el coeficiente del quinto termino es el coeficiente del
tercero como 14 es a 3.
𝑐𝑜𝑒𝑓(𝑡5) ⟶ 𝑐𝑜𝑒𝑓(𝑡3)
14 ⟶ 3
Efectuando la regla de tres obtenemos:
3 ∙ 𝑐𝑜𝑒𝑓(𝑡5) = 14 ∙ 𝑐𝑜𝑒𝑓(𝑡3) … … … (1)
Ahora recordemos la fórmula del término general:
𝑡 𝑘+1 = (
𝑚
𝑘
) (−1) 𝑘
(√ 𝑥)
𝑚−𝑘
(
1
√ 𝑥
)
𝑘
= (
𝑚
𝑘
) (−1) 𝑘
(√ 𝑥)
𝑚−2𝑘
Pero nos interesa los coeficientes para ciertos valores de “ 𝑘”:
𝑘 = 4 ⟹ 𝑡4+1 = (
𝑚
4
) (√ 𝑥)
𝑚−2𝑘
= 𝑡5 ⟹ 𝑐𝑜𝑒𝑓(𝑡5) = (
𝑚
4
)
𝑘 = 2 ⟹ 𝑡2+1 = (
𝑚
2
) (√ 𝑥)
𝑚−2𝑘
= 𝑡3 ⟹ 𝑐𝑜𝑒𝑓(𝑡3) = (
𝑚
2
)
Remplazando lo hallado en la ecuación (1):
3 ∙ (
𝑚
4
) = 14 ∙ (
𝑚
2
) 𝑝𝑒𝑟𝑜 (
𝑛
𝑘
) =
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)! ∙ 𝑘!
3
𝑚!
(𝑚 − 4)! ∙ 4!
= 14
𝑚!
(𝑚 − 2)! ∙ 2!
⟹ 3(𝑚 − 2)! ∙ 2! = 14(𝑚 − 4)! ∙ 4! … … … (2)
Recordemos a que es igual el factorial:
𝑛! = 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ … … … ∗ (𝑛 − 1) ∗ 𝑛 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1)! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)! , 𝑒𝑡𝑐
Aplicando el factorial en la ecuación (2):
3(𝑚 − 2) ∙ (𝑚 − 3) ∙ (𝑚 − 4)! ∙ 2! = 14(𝑚 − 4)! ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2!
3(𝑚 − 2)(𝑚 − 3) = 14 ∙ 4 ∙ 3
𝑚2
− 5𝑚 + 6 − 56 = 0 ⟹ 𝑚2
− 5𝑚 − 50 = 0 ⟹ (𝑚 − 10)(𝑚 + 5) = 0
𝑚 = 10 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = −5 ∉ ℕ ⟹ 𝒎 = 𝟏𝟎
Pero el problema nos pide hallar el término central del desarrollo:
#𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 = 𝑚 + 1 = 10 + 1 ⟹ #𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 = 11
Si el número de términos es impar quiere decir que solo posee un término central
que se puede hallar por:
𝑡 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = 𝑡#𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠+1
2
= 𝑡11+1
2
= 𝑡6 = (
10
5
) (−1)5
(√ 𝑥)
10−2∗5
= −
10!
(10 − 5)! ∙ 5!
(√ 𝑥)
0
𝑡 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = −
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 5!
= −252
Por lo tanto:
Respuesta.

𝒙 = 𝟓𝟖 ∧ 𝒚 = 𝟒𝟐
{
𝟏
𝟑√ 𝒙 − 𝒚
−
𝟏
𝟑√ 𝒙 + 𝒚
=
𝟏
𝟐𝟎
𝟐𝟎√ 𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝟎√ 𝒙 − 𝒚 = 𝟕√ 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐
Solución:
Observando el sistema podemos ver que:
√𝑥2 − 𝑦2 = √(𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = √ 𝑥 − 𝑦 ∙ √ 𝑥 + 𝑦
Remplazando la operación en el sistema:
{
1
3√ 𝑥 − 𝑦
−
1
3√ 𝑥 + 𝑦
=
1
20
20√ 𝑥 + 𝑦 + 20√ 𝑥 − 𝑦 = 7√ 𝑥 − 𝑦 ∙ √ 𝑥 + 𝑦
⟹
{
1
√ 𝑥 − 𝑦
−
1
√ 𝑥 + 𝑦
=
3
20
√ 𝑥 + 𝑦 + √ 𝑥 − 𝑦
√ 𝑥 − 𝑦 ∙ √ 𝑥 + 𝑦
=
7
20
{
1
√ 𝑥 − 𝑦
−
1
√ 𝑥 + 𝑦
=
3
20
√ 𝑥 + 𝑦
√ 𝑥 − 𝑦 ∙ √ 𝑥 + 𝑦
+
√ 𝑥 − 𝑦
√ 𝑥 − 𝑦 ∙ √ 𝑥 + 𝑦
=
7
20
⟹
{
1
√ 𝑥 − 𝑦
−
1
√ 𝑥 + 𝑦
=
3
20
1
√ 𝑥 − 𝑦
+
1
√ 𝑥 + 𝑦
=
7
20
Ahora podemos observar claramente que cambios de variable se deben
realizar:
𝑎 =
1
√ 𝑥 − 𝑦
; 𝑏 =
1
√ 𝑥 + 𝑦
El sistema toma la forma de:
{
𝑎 − 𝑏 =
3
20
… … … (1)
𝑎 + 𝑏 =
7
20
… … … (2)
Sumando las ecuaciones (1) y (2), obtenemos:
𝑎 − 𝑏 + 𝑎 + 𝑏 =
3
20
+
7
20
⟹ 2𝑎 =
10
20
⟹ 𝒂 =
𝟏
𝟒
Remplazando el valor hallado en la ecuación (2):
𝑎 + 𝑏 =
7
20
⟹ 𝑏 =
7
20
−
1
4
⟹ 𝑏 =
7 − 5
20
⟹ 𝒃 =
𝟏
𝟏𝟎
Retornando a las variables originales:
{
1
√ 𝑥 − 𝑦
=
1
4
1
√ 𝑥 + 𝑦
=
1
10
⟹ {
√ 𝑥 − 𝑦 = 4 //( )2
√ 𝑥 + 𝑦 = 10 //( )2
⟹ {
𝑥 − 𝑦 = 16 … … … (3)
𝑥 + 𝑦 = 100 … … … (4)
Sumando las ecuaciones (3) y (4), obtenemos:
𝑥 − 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 16 + 100 ⟹ 2𝑥 = 116 ⟹ 𝒙 = 𝟓𝟖
𝑥 + 𝑦 = 100 ⟹ 𝑦 = 100 − 58 ⟹ 𝒚 = 𝟒𝟐
Por lo tanto:
Respuesta.

FILA B
1) Halle el lugar que ocupa el termino para el cual la potencia de “ 𝒙” es igual a la potencia de
“ 𝒚” en el desarrollo de:
(√
𝒚
√ 𝒙
𝟑 + √
𝒙
√ 𝒚
𝟑
)
𝟐𝟏
2) Si dividimos un numero de dos cifras por la suma de estas en el cociente obtendremos 7 y
en el resto 6. Si ese mismo número de dos cifras se divide en el producto de sus cifras, en
el cociente obtendremos 3 y en el resto un número igual a la suma de las cifras del número
inicial. Indique cual es el número buscado.
3) Determinar los valores de “ 𝒎” y “ 𝒏” si las siguientes ecuaciones tienen las mismas
raíces.
(𝟓𝒏 − 𝟑𝟐)𝒙 𝟐
+ (𝒎 − 𝟒)𝒙 + 𝟒 = 𝟎
(𝟐𝒏 + 𝟏)𝒙 𝟐
− 𝟓𝒎𝒙 + 𝟐𝟎 = 𝟎
4) Determinar “ 𝒂” y “ 𝒃” si el polinomio:
𝒂𝒙 𝟖
+ 𝒃𝒙 𝟕
+ 𝟏 = 𝟎
Es divisible entre (𝒙 − 𝟏) 𝟐
𝑬 =
[
(
𝟖𝟏𝒙 𝟐
− 𝟑𝒚√ 𝒙
𝟑√ 𝒙 − √ 𝒚𝟑
+ 𝟗𝒙 ∙ √ 𝒚𝟑
)
𝟗𝒙 + 𝟑√𝒙 𝟑 𝒚 𝟐𝟔
− √ 𝒚𝟑
]
𝟐

𝑬𝒍 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏 𝟏𝟑
SOLUCIONARIO I/2015
1. Halle el lugar que ocupa el termino para el cual la potencia de “ 𝒙” es igual a la potencia de “ 𝒚” en el
desarrollo de:
(√
𝒚
√ 𝒙
𝟑 + √
𝒙
√ 𝒚
𝟑
)
𝟐𝟏
Solución:
Observando el problema podemos ver que tenemos raíces con índice 2 e índice
3, para eliminar estas raíces y no complicarnos realizamos un cambio de
variables, pero el cambio que debemos usar es una variable que debe estar
elevada a un número múltiplo de 2 y de 3, el más cercano es 6.
Sea el cambio de variable: 𝑥 = 𝑎6
∧ 𝑦 = 𝑏6
⟹ √ 𝑥
6
= 𝑎 ∧ √ 𝑦6
= 𝑏
Remplazando el cambio de variable en el binomio:
(√
𝑦
√ 𝑥
3 + √
𝑥
√ 𝑦
3
)
21
= (√
𝑏6
√𝑎63 + √
𝑎6
√𝑏6
3
)
21
= (
√𝑏6
√𝑎66 +
√𝑎63
√𝑏66 )
21
= (
𝑏3
𝑎
+
𝑎2
𝑏
)
21
Ahora recordemos la fórmula del término general:
𝑡 𝑘+1 = (
21
𝑘
) (
𝑏3
𝑎
)
21−𝑘
(
𝑎2
𝑏
)
𝑘
Aplicando propiedades de los exponentes:
𝑡 𝑘+1 = (
21
𝑘
) (
𝑏3
𝑎
)
21−𝑘
(
𝑎2
𝑏
)
𝑘
= (
21
𝑘
) ∙
𝑏3(21−𝑘)
𝑎21−𝑘
∙
𝑎2𝑘
𝑏 𝑘
= (
21
𝑘
) ∙ 𝑎3𝑘−21
𝑏3∙21−4𝑘
Volviendo a las variables originales:
𝑡 𝑘+1 = (
21
𝑘
) ∙ 𝑎3𝑘−21
𝑏3∙21−4𝑘
= (
21
𝑘
) ∙ (√ 𝑥
6
)
3𝑘−21
(√ 𝑦6
)
3∙21−4𝑘
𝑡 𝑘+1 = (
21
𝑘
) ∙ 𝑥
3𝑘−21
6 ∙ 𝑦
3∙21−4𝑘
6
Ahora el problema nos pide hallar el lugar que ocupa el término para el
cual la potencia de “ 𝑥” es igual a la potencia de “ 𝑦”, para eso igualamos
los exponentes de “ 𝑥” y “ 𝑦” en el término general:
3𝑘 − 21
6
=
3 ∙ 21 − 4𝑘
6
⟹ 3𝑘 − 21 = 3 ∙ 21 − 4𝑘
7𝑘 = 4 ∙ 21 ⟹ 𝒌 = 𝟏𝟐
Remplazando en el término general:
𝑡12+1 = (
21
12
) ∙ 𝑥
3∙12−21
6 ∙ 𝑦
3∙21−4∙12
6 = (
21
12
) ∙ 𝑥
15
6 ∙ 𝑦
15
6 = (
21
12
) ∙ 𝑥
5
2 ∙ 𝑦
5
2 = 𝑡13
Por lo tanto el lugar que ocupa el término para el cual la potencia de “ 𝑥”
es igual a la potencia de “ 𝑦” es:
Respuesta.
Recuerde que no es necesario encontrar el coeficiente por lo que no debemos
complicarnos desarrollando la combinación (
21
𝑘
).

𝑬𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒔 𝟖𝟑
2. Si dividimos un numero de dos cifras por la suma de estas en el cociente obtendremos 7 y en
el resto 6. Si ese mismo número de dos cifras se divide en el producto de sus cifras, en el
cociente obtendremos 3 y en el resto un número igual a la suma de las cifras del número
inicial. Indique cual es el número buscado.
Solución:
Primero necesitamos saber cómo separar un número de dos cifras:
Por ejemplo si tomamos el número 85, a este número debemos separarlo en
𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠 ∗ 10 + 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜
Para nuestro caso: 8 ∗ 10 + 5 = 85
 Numero de dos cifras o dígitos: 𝐴𝐵
 Si al número se divide entre la suma de sus dígitos se obtiene un
cociente igual a 7 y un resto igual a 6:
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟
= 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 +
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜
⟹
𝐴𝐵
𝐴 + 𝐵
= 7 +
6
𝐴 + 𝐵
Separando el número de dos cifras en decenas y unidades:
𝐴 ∗ 10 + 𝐵
𝐴 + 𝐵
= 7 +
6
𝐴 + 𝐵
⟹
10𝐴 + 𝐵
𝐴 + 𝐵
=
7(𝐴 + 𝐵) + 6
𝐴 + 𝐵
10𝐴 + 𝐵 = 7𝐴 + 7𝐵 + 6 ⟹ 3𝐴 = 6𝐵 + 6
𝑨 = 𝟐𝑩 + 𝟐 … … … (𝟏)
 Si al número de dos cifras se divide entre el producto de sus cifras se
obtiene un cociente igual a 3 y en el resto un número igual a la suma de
las cifras del número inicial:
⟹
𝐴𝐵
𝐴 ∗ 𝐵
= 3 +
𝐴 + 𝐵
𝐴 ∗ 𝐵
Separando el número de dos cifras en decenas y unidades:
𝐴 ∗ 10 + 𝐵
𝐴 ∗ 𝐵
= 3 +
𝐴 + 𝐵
𝐴 ∗ 𝐵
⟹
10𝐴 + 𝐵
𝐴 ∗ 𝐵
=
3(𝐴 ∗ 𝐵) + 𝐴 + 𝐵
𝐴 ∗ 𝐵
10𝐴 + 𝐵 = 3𝐴 ∗ 𝐵 + 𝐴 + 𝐵 ⟹ 9𝐴 = 3𝐴 ∗ 𝐵
𝑩 = 𝟑
Remplazando 𝐵 = 3 en la ecuación (1):
𝐴 = 2𝐵 + 2 ⟹ 𝐴 = 2 ∗ 3 + 2
𝑨 = 𝟖 ; 𝑩 = 𝟑
Por lo tanto:
Respuesta.
La fórmula de la división viene de:
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 = 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ∗ 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 + 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 // ÷ 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟

𝒎 = 𝟐 ; 𝒏 = 𝟕
𝒂 = 𝟕 ; 𝒃 = −𝟖
3. Determinar los valores de “ 𝒎” y “ 𝒏” si las siguientes ecuaciones tienen las mismas raíces.
(𝟓𝒏 − 𝟑𝟐)𝒙 𝟐
+ (𝒎 − 𝟒)𝒙 + 𝟒 = 𝟎
(𝟐𝒏 + 𝟏)𝒙 𝟐
− 𝟓𝒎𝒙 + 𝟐𝟎 = 𝟎
Solución:
Para resolver este problema tenemos dos caminos:
1) Sabemos que si las ecuaciones tienen las mismas raíces entonces las
ecuaciones son idénticas, es decir que deben ser iguales.
2) Si las ecuaciones tienen las mismas raíces, entonces la suma y
multiplicación de sus soluciones serán iguales.
El camino más sencillo es el primero por el hecho de que solo debemos igualar los
coeficientes para que las ecuaciones sean idénticas, tenemos las ecuaciones:
(5𝑛 − 32)𝑥2
+ (𝑚 − 4)𝑥 + 4 = 0 … … (1) ; (2𝑛 + 1)𝑥2
− 5𝑚𝑥 + 20 = 0 … … (2)
Observe que en las ecuaciones el término independiente de cada ecuación es
diferente, entonces para igualar multipliquemos por 5 a la ecuación (1):
5(5𝑛 − 32)𝑥2
+ 5(𝑚 − 4)𝑥 + 20 = 0 … … (1) ; (2𝑛 + 1)𝑥2
− 5𝑚𝑥 + 20 = 0 … … (2)
Ahora si podemos igualar los coeficientes, obteniéndose así los valores
buscados:
{
5(5𝑛 − 32) = 2𝑛 + 1
5(𝑚 − 4) = −5𝑚
⟹ {
25𝑛 − 160 = 2𝑛 + 1
5𝑚 − 20 = −5𝑚
{
23𝑛 = 161
10𝑚 = 20
⟹ {
𝒏 = 𝟕
𝒎 = 𝟐
Por lo tanto:
Respuesta.
NOTA: si recurríamos al segundo camino para resolver el problema nos saldrán los mismos resultados.
4. Determinar “ 𝒂” y “ 𝒃” si el polinomio:
𝒂𝒙 𝟖
+ 𝒃𝒙 𝟕
+ 𝟏 = 𝟎
Es divisible entre (𝒙 − 𝟏) 𝟐
Solución:
El método más eficaz para esta división es el método de Ruffini, ya que tenemos un
divisor en forma de binomio.
Ya que el polinomio es divisible entre (𝑥 − 1)2
será doblemente divisible por (𝑥 − 1)
Para utilizar Ruffini debemos completar el polinomio:
𝑎𝑥8
+ 𝑏𝑥7
+ 0𝑥6
+ 0𝑥5
+ 0𝑥4
+ 0𝑥3
+ 0𝑥2
+ 0𝑥 + 1 = 0
Por Ruffini:
𝑎 𝑏 0 0 0 0 0 0 1
1 𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏
𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 + 1
1 𝑎 2𝑎 + 𝑏 3𝑎 + 2𝑏 4𝑎 + 3𝑏 5𝑎 + 4𝑏 6𝑎 + 5𝑏 7𝑎 + 6𝑏
𝑎 2𝑎 + 𝑏 3𝑎 + 2𝑏 4𝑎 + 3𝑏 5𝑎 + 4𝑏 6𝑎 + 5𝑏 7𝑎 + 6𝑏 8𝑎 + 7𝑏
Por ser divisible los residuos deben de ser cero:
{
𝑎 + 𝑏 + 1 = 0 //(−7)
8𝑎 + 7𝑏 = 0
⟹ {
−7𝑎 − 7𝑏 = 7
8𝑎 + 7𝑏 = 0
Sumando las ecuaciones:
8𝑎 − 7𝑎 + 7𝑏 − 7𝑏 = 7 ⟹ {
𝑎 = 7
𝑏 = −8
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬 = 𝟗𝒙
𝑬 =
[
(
𝟖𝟏𝒙 𝟐
− 𝟑𝒚√ 𝒙
𝟑√ 𝒙 − √ 𝒚𝟑
+ 𝟗𝒙 ∙ √ 𝒚𝟑
)
𝟗𝒙 + 𝟑√𝒙 𝟑 𝒚 𝟐𝟔
− √ 𝒚𝟑
]
𝟐
Solución:
Observando la expresión podemos ver que tenemos raíces cubicas para la
variable “ 𝑦” y raíces cuadradas para la variable “ 𝑥”, entonces para poder
simplificar la expresión de un modo sencillo realicemos los siguientes
cambios de variable:
𝑥 = 𝑎2
⟹ 𝑎 = √ 𝑥
𝑦 = 𝑏3
⟹ 𝑏 = √ 𝑦3
𝐸 = [
81(𝑎2)2
− 3𝑏3
𝑎
3𝑎 − 𝑏
+ 9𝑎2
𝑏
9𝑎2 + 3√(𝑎2)3(𝑏3)26
− 𝑏]
2
= [
81𝑎4
− 3𝑎𝑏3
3𝑎 − 𝑏
+ 9𝑎2
𝑏
9𝑎2 + 3√𝑎6 𝑏66 − 𝑏]
2
Factorizando y operando:
𝐸 = [
3𝑎(27𝑎3
− 𝑏3)
3𝑎 − 𝑏
+ 9𝑎2
𝑏
9𝑎2 + 3𝑎𝑏
− 𝑏]
2
= [
3𝑎((3𝑎)3
− 𝑏3)
3𝑎 − 𝑏
+ 9𝑎2
𝑏
3𝑎(3𝑎 + 𝑏)
− 𝑏]
2
Ahora recordemos la diferencia de cubos:
𝑛3
− 𝑚3
= (𝑛 − 𝑚)(𝑛2
+ 𝑛𝑚 + 𝑚2)
Aplicando la diferencia a la expresión:
𝐸 = [
3𝑎(3𝑎 − 𝑏)((3𝑎)2
+ 3𝑎𝑏 + 𝑏2)
3𝑎 − 𝑏
+ 9𝑎2
𝑏
3𝑎(3𝑎 + 𝑏)
− 𝑏]
2
𝐸 = [
3𝑎(9𝑎2
+ 3𝑎𝑏 + 𝑏2) + 9𝑎2
𝑏
3𝑎(3𝑎 + 𝑏)
− 𝑏]
2
Factorizando y operando:
𝐸 = [
3𝑎(9𝑎2
+ 3𝑎𝑏 + 𝑏2
+ 3𝑎𝑏)
3𝑎(3𝑎 + 𝑏)
− 𝑏]
2
= [
3𝑎(9𝑎2
+ 6𝑎𝑏 + 𝑏2)
3𝑎(3𝑎 + 𝑏)
− 𝑏]
2
𝐸 = [
(3𝑎 + 𝑏)2
(3𝑎 + 𝑏)
− 𝑏]
2
= [3𝑎 + 𝑏 − 𝑏]2
= [3𝑎]2
= 9𝑎2
Pero: 𝑥 = 𝑎2
En la expresión: 𝐸 = 9𝑎2
= 9𝑥
Por lo tanto:
Respuesta.

PROHIBIDO EL USO DE CALCULADORAS Y CELULARES
CADA PREGUNTA VALE 20 PUNTOS
1) Simplificar y racionalizar:
𝑷 =
𝒙
√ 𝒙
𝟑
− 𝟏
−
√𝒙 𝟐𝟑
𝟏 + √ 𝒙
𝟑 +
𝟏
√ 𝒙
𝟑
+ 𝟏
−
𝟏
√ 𝒙
𝟑
− 𝟏
; 𝒙 ≠ ±𝟏
2) Factorizar la siguiente expresión:
𝑨 = 𝒂 + 𝒃 − 𝒂 𝟑
+ 𝒂𝒃 𝟐
+ 𝒂 𝟐
𝒃 − 𝒃 𝟑
Determine la suma de dichos factores.
3) En el cociente notable:
𝒙 𝟒𝒎
− 𝒙 𝟒𝒃
𝒙 𝟐 − 𝒙−𝟑
El tercer término es independiente, hallar el número de términos.
4) Hallar el número de dos dígitos, cuya diferencia entre los dos dígitos es igual a
cinco. Si el número se divide entre el digito mayor más uno, es una división exacta
y da un cociente igual a 9.
5) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
{ 𝒖𝒗 + 𝒗 𝟐
+ 𝒖 𝟐
= 𝟏𝟗
𝟓𝒖 𝟐
− 𝟑𝒖𝒗 = 𝟐

𝑺𝒖𝒎𝒂 = 𝒂 + 𝒃 + 𝟐
𝑷 = 𝒙 𝟐𝟑
+ 𝟐
1. Simplificar y racionalizar:
𝑷 =
𝒙
√ 𝒙
𝟑
− 𝟏
−
√𝒙 𝟐𝟑
𝟏 + √ 𝒙
𝟑 +
𝟏
√ 𝒙
𝟑
+ 𝟏
−
𝟏
√ 𝒙
𝟑
− 𝟏
; 𝒙 ≠ ±𝟏
Solución:
Observando la expresión podemos ver que tenemos raíces cubicas, entonces
para poder simplificar la expresión de un modo sencillo realicemos el
siguiente cambio de variable: 𝑥 = 𝑛3
⟹ 𝑛 = √ 𝑥
3
Elevando al cuadrado: 𝑛2
= (√ 𝑥
3
)
2
= √𝑥23
𝑃 =
𝑛3
𝑛 − 1
−
𝑛2
1 + 𝑛
+
1
𝑛 + 1
−
1
𝑛 − 1
𝑃 = (
𝑛3
𝑛 − 1
−
1
𝑛 − 1
) − (
𝑛2
𝑛 + 1
−
1
𝑛 + 1
) =
𝑛3
− 1
𝑛 − 1
−
𝑛2
− 1
𝑛 + 1
Ahora recordemos la diferencia de cubos y diferencia de cuadrados:
𝑥3
− 𝑦3
= (𝑥 − 𝑦)(𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦2)
𝑥2
− 𝑦2
= (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦)
Aplicando, obtenemos:
𝑃 =
𝑛3
− 1
𝑛 − 1
−
𝑛2
− 1
𝑛 + 1
=
(𝑛 − 1)(𝑛2
+ 𝑛 + 1)
𝑛 − 1
−
(𝑛 − 1)(𝑛 + 1)
𝑛 + 1
𝑃 = 𝑛2
+ 𝑛 + 1 − (𝑛 − 1) = 𝑛2
+ 𝑛 + 1 − 𝑛 + 1
𝑃 = 𝑛2
+ 2 = 𝑥23
+ 2
Por lo tanto:
Respuesta.
2. Factorizar la siguiente expresión:
𝑨 = 𝒂 + 𝒃 − 𝒂 𝟑
+ 𝒂𝒃 𝟐
+ 𝒂 𝟐
𝒃 − 𝒃 𝟑
Determine la suma de dichos factores.
Solución:
Factorizando − 𝑎 al tercer y cuarto termino; 𝑏 al quinto y sexto termino:
𝐴 = (𝑎 + 𝑏) − 𝑎(𝑎2
− 𝑏2) + 𝑏(𝑎2
− 𝑏2)
Factorizando − ( 𝑎2 − 𝑏
2
):
𝐴 = (𝑎 + 𝑏) − (𝑎2
− 𝑏2)(𝑎 − 𝑏) = (𝑎 + 𝑏) − (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
Factorizando (𝑎 + 𝑏):
𝐴 = (𝑎 + 𝑏)(1 − (𝑎 − 𝑏)2) = (𝑎 + 𝑏)(1 − (𝑎 − 𝑏))(1 + (𝑎 − 𝑏))
𝐴 = (𝑎 + 𝑏)(1 − 𝑎 + 𝑏)(1 + 𝑎 − 𝑏)
La suma se sus factores será:
𝑆𝑢𝑚𝑎 = 𝑎 + 𝑏 + 1 − 𝑎 + 𝑏 + 1 + 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 2
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬𝒍 𝑪. 𝑵. 𝒑𝒐𝒔𝒆𝒆 𝟔 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔
𝑬𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒔 𝟕𝟐
3. En el cociente notable:
𝒙 𝟒𝒎
− 𝒙 𝟒𝒃
𝒙 𝟐 − 𝒙−𝟑
El tercer término es independiente, hallar el número de términos.
Solución:
𝑥4𝑚
− 𝑥4𝑏
𝑥2 − 𝑥−3
=
(𝑥2) 𝑛
− (𝑥−3) 𝑛
𝑥2 − 𝑥−3
⟺ {
2𝑛 = 4𝑚 … … … (1)
−3𝑛 = 4𝑏 … … … (2)
Donde: 𝑛 = #𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜
Ahora recordemos la fórmula del término k-esimo: 𝑡 𝑘 = (𝑥2) 𝑛−𝑘(𝑥−3) 𝑘−1
𝑡3 = (𝑥2) 𝑛−3(𝑥−3)3−1
= 𝑥2(𝑛−3)
𝑥−6
= 𝑥2𝑛−6−6
= 𝑥2𝑛−12
Por condición del problema el tercer término es independiente, es decir: 𝑡3 = 𝑥0
𝑥2𝑛−12
= 𝑥0
⟹ 2𝑛 − 12 = 0 ⟹ 𝒏 = 𝟔 = # 𝒅𝒆 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔
Por lo tanto:
Respuesta.
4. Hallar el número de dos dígitos, cuya diferencia entre los dos dígitos es igual a cinco.
Si el número se divide entre el digito mayor mas uno, es una división exacta y da un
cociente igual a 9.
Solución:
Primero necesitamos saber cómo separar un número de dos dígitos:
 Numero de dos cifras o dígitos: 𝐴𝐵
 La diferencia de los dígitos es igual a cinco: 𝑨 − 𝑩 = 𝟓 … … … (𝟏)
 Si el número se divide entre el digito mayor mas uno es una división
exacta y da un cociente igual a 9:
⟹
𝐴𝐵
𝐴 + 1
= 9 +
0
𝐴 + 1
El residuo es cero por ser una división exacta.
Separando el número de dos dígitos en decenas y unidades:
𝐴 ∗ 10 + 𝐵
𝐴 + 1
= 9 ⟹ 10𝐴 + 𝐵 = 9(𝐴 + 1) ⟹ 10𝐴 + 𝐵 = 9𝐴 + 9
𝑨 + 𝑩 = 𝟗 … … … (𝟐)
Sumando la ecuación (1) con la ecuación (2):
𝐴 − 𝐵 + 𝐴 + 𝐵 = 9 + 5 ⟹ 2𝐴 = 14
𝑨 = 𝟕 ; 𝑩 = 𝟐
Por lo tanto:
Respuesta.

𝒖 𝟏,𝟐 = ±𝟐 ; 𝒗 𝟏,𝟐 = ±𝟑
𝒖 𝟑,𝟒 = ±
𝟏
𝟕
; 𝒗 𝟑,𝟒 = ∓
𝟑𝟏
𝟕
5. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
{ 𝒖𝒗 + 𝒗 𝟐
+ 𝒖 𝟐
= 𝟏𝟗
𝟓𝒖 𝟐
− 𝟑𝒖𝒗 = 𝟐
Solución:
Observando el sistema de ecuaciones podemos ver que se trata de un sistema
homogéneo, el cual se resuelve realizando los siguientes cambios de variable:
𝑣 = 𝑚𝑢 , 𝑢 = 𝑚𝑣
Cualquiera de uno de estos dos C.V. nos ayuda a resolver el sistema, usemos 𝑢 = 𝑚𝑣
Obtenemos el nuevo sistema:
{
(𝑚𝑣)𝑣 + 𝑣2
+ (𝑚𝑣)2
= 19
5(𝑚𝑣)2
− 3(𝑚𝑣)𝑣 = 2
⟹ { 𝑚𝑣2
+ 𝑣2
+ 𝑚2
𝑣2
= 19
5𝑚2
𝑣2
− 3𝑚𝑣2
= 2
Factorizando 𝑣2
en el sistema, tenemos: {
𝑣2(𝑚 + 1 + 𝑚2) = 19 … … … (1)
𝑣2(5𝑚2
− 3𝑚) = 2 … … … (2)
Dividiendo la ecuación (1) con la ecuación (2):
𝑣2(𝑚 + 1 + 𝑚2)
𝑣2(5𝑚2 − 3𝑚)
=
19
2
⟹
𝑚2
+ 𝑚 + 1
5𝑚2 − 3𝑚
=
19
2
Operando:
2𝑚2
+ 2𝑚 + 2 = 19(5𝑚2
− 3𝑚)
2𝑚2
+ 2𝑚 + 2 = 95𝑚2
− 57𝑚
93𝑚2
− 59𝑚 − 2 = 0
(3𝑚 − 2)(31𝑚 + 1) = 0
𝑚 =
2
3
∨ 𝑚 = −
1
31
 Remplazando 𝑚 =
2
3
en la ecuación (2) y en el C.V.:
{
𝑣2
(5 (
2
3
)
2
− 3 ∗
2
3
) = 2
𝑢 =
2
3
𝑣
𝑣2
(5 ∗
4
9
− 2) = 2 ⟹ 𝑣2
(
20 − 18
9
) = 2 ⟹ 𝑣2
(
2
9
) = 2
𝑣2
= 9 ⟹ 𝒗 = ±𝟑 ; 𝒖 = ±𝟐
 Remplazando 𝑚 = −
1
31
{
𝑣2
(5 (−
1
31
)
2
− 3 (−
1
31
)) = 2
𝑢 = −
1
31
𝑣
𝑣2
(
5
312
+
3
31
) = 2 ⟹ 𝑣2
(
5 + 93
312
) = 2 ⟹ 98𝑣2
= 2 ∗ 312
𝑣2
=
312
49
⟹ 𝒗 = ±
𝟑𝟏
𝟕
; 𝒖 = ∓
𝟏
𝟕
Por lo tanto:
Respuesta.

1) Hallar el valor de 𝒏 ,si el grado del producto de los tres polinomios es 𝟐𝟖𝟗:
𝑷(𝒙) = (𝟐𝒙 𝒏 𝒏 𝒏
+ 𝟑𝒙 𝒏 𝒏 𝒏
+ 𝟏)
𝒏 𝒏 𝒏
𝑸(𝒙) = (𝟑𝒙 𝒏 𝒏 𝒏
+ 𝟒𝒙 𝒏 𝒏 𝒏
+ 𝟐)
𝟐
𝑹(𝒙) = 𝟓𝒙 + 𝟑
2) Dos cirios de igual altura se encienden simultáneamente; el primero se consume
en cuatro horas y el segundo en tres horas. ¿Cuántas horas después de haber
encendido los cirios, la altura del primero es el doble que la del segundo?
3) Factorizar la siguiente expresión:
𝑬 = 𝟒(𝒙 𝟐
+ 𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐) 𝟑
− 𝟐𝟕𝒙 𝟐
𝒚 𝟐(𝒙 + 𝒚) 𝟐
4) Simplificar la siguiente expresión algebraica:
𝑬 = [
𝒂√ 𝒂
𝟑
+ √𝒂 𝟐𝟑
𝒂 + √ 𝒂
𝟑 − √ 𝒙
𝟑
] [(√ 𝒂
𝟑
− √ 𝒙
𝟑
)
𝟐
+ 𝟑(√ 𝒂
𝟑
+ √ 𝒙
𝟑
)
𝟐
]
5) Hallar 𝒎 y 𝒏 sabiendo que el cuarto termino del desarrollo del cociente notable:
𝒙 𝟒𝒏+𝟑
− 𝒚 𝟐(𝟑𝒎−𝟏)
𝒚 𝟐𝟒

𝒏 = 𝟐
SOLUCIONARIO I/2014
1. Hallar el valor de 𝒏 si el grado del producto de los tres polinomios es 𝟐𝟖𝟗:
𝑷(𝒙) = (𝟐𝒙 𝒏 𝒏 𝒏
+ 𝟑𝒙 𝒏 𝒏 𝒏
+ 𝟏)
𝒏 𝒏 𝒏
; 𝑸(𝒙) = (𝟑𝒙 𝒏 𝒏 𝒏
+ 𝟒𝒙 𝒏 𝒏 𝒏
+ 𝟐)
𝟐
; 𝑹(𝒙) = 𝟓𝒙 + 𝟑
Solución:
El problema nos habla de grados y de producto entre polinomios para eso
recordemos unos conceptos:
Sea el siguiente ejemplo:
𝐸(𝑥,𝑦,𝑧) = 24 ∙ 𝑥 𝑚
∙
𝑥 𝑎
𝑦 𝑛
∙ 𝑧 𝑏
∙ 𝑦 𝑐
𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐸(𝑥,𝑦,𝑧) = 24𝑥 𝑚+𝑎
𝑦 𝑐−𝑛
𝑧 𝑏
Se refiere a una de las variables y está determinado por el exponente que posee dicha
variable; para ello la expresión debe estar previamente simplificada.
Para el ejemplo: 𝐺. 𝑅.(𝑥) = 𝑚 + 𝑎 ; 𝐺. 𝑅.(𝑦) = 𝑐 − 𝑛 ; 𝐺. 𝑅.(𝑧) = 𝑏
Se determina por la suma de los grados relativos de sus variables.
Para el ejemplo: 𝐺. 𝐴.(𝐸) = 𝐺. 𝑅.(𝑥)+ 𝐺. 𝑅.(𝑦)+ 𝐺. 𝑅.(𝑧) = 𝑚 + 𝑎 + 𝑐 − 𝑛 + 𝑏
Sea el siguiente ejemplo: 𝐹(𝑥,𝑦) = 24𝑥3
𝑦5
+ 7𝑥7
𝑦4
− 3𝑥5
𝑦9
se refiere a una de las variables y está determinado por el mayor grado relatico de los
términos.
Para el ejemplo: 𝐺. 𝑅.(𝑥) = 7 ; 𝐺. 𝑅.(𝑦) = 9
El grado absoluto se determina mediante el término de máximo grado absoluto.
Para el ejemplo:
𝐺. 𝐴.(𝑡1) = 8 ; 𝐺. 𝐴.(𝑡2) = 11 ; 𝐺. 𝐴.(𝑡3) = 14
𝐺. 𝐴.(𝐹) = 14
Para el problema primero hallemos el grado absoluto de cada polinomio
usando las reglas para la potenciación y cómo podemos ver efectuemos la
suma de los términos semejantes.
𝑃(𝑥) = (2𝑥 𝑛 𝑛 𝑛
+ 3𝑥 𝑛 𝑛 𝑛
+ 1)
𝑛 𝑛 𝑛
= (5𝑥 𝑛 𝑛 𝑛
+ 1)
𝑛 𝑛 𝑛
⟹ 𝐺. 𝐴.(𝑃) = 𝑛 𝑛 𝑛
∙ 𝑛 𝑛 𝑛
𝑄(𝑥) = (3𝑥 𝑛 𝑛 𝑛
+ 4𝑥 𝑛 𝑛 𝑛
+ 2)
2
= (7𝑥 𝑛 𝑛 𝑛
+ 1)
2
⟹ 𝐺. 𝐴.(𝑄) = 2 ∙ 𝑛 𝑛 𝑛
𝑅(𝑥) = 5𝑥 + 3 ⟹ 𝐺. 𝐴.(𝑅) = 1
Sea: 𝐸(𝑥) = 𝑃(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥) ∙ 𝑅(𝑥)
Ahora usando la regla para la multiplicación hallamos el grado absoluto del
producto de los polinomios.
𝐺. 𝐴.(𝐸) = 𝐺. 𝐴.(𝑃)+ 𝐺. 𝐴.(𝑄)+ 𝐺. 𝐴.(𝑅) = 𝑛 𝑛 𝑛
∙ 𝑛 𝑛 𝑛
+ 2𝑛 𝑛 𝑛
+ 1
Por condición del problema: 𝐺. 𝐴.(𝐸) = 289
Igualando: 𝑛 𝑛 𝑛
∙ 𝑛 𝑛 𝑛
+ 2𝑛 𝑛 𝑛
+ 1 = 289 sea el C.V.: 𝑎 = 𝑛 𝑛 𝑛
𝑎 ∙ 𝑎 + 2𝑎 + 1 = 289 ⟹ 𝑎2
+ 2𝑎 + 1 = 289 ⟹ (𝑎 + 1)2
= 172
𝑎 + 1 = ±17 ⟹ 𝑎 + 1 = 17 ∨ 𝑎 + 1 = −17
𝑎 = 16 ∨ 𝑎 = −18 ⟹ 𝑛 𝑛 𝑛
= 16 ∨ 𝑛 𝑛 𝑛
= −18 ∄
𝑛 𝑛 𝑛
= 24
⟹ 𝑛 𝑛 𝑛
= 222
⟹ 𝒏 = 𝟐
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬𝒏 𝟐, 𝟒 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒍𝒂 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒄𝒊𝒓𝒊𝒐 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒅𝒐𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒂
2. Dos cirios de igual altura se encienden simultáneamente; el primero se consume en cuatro
horas y el segundo en tres horas. ¿Cuántas horas después de haber encendido los cirios, la
altura del primero es el doble que la del segundo?
Solución:
Primeramente demos nombres a las variables a usarse:
𝐻 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑖𝑟𝑖𝑜𝑠
𝑥 = ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎
𝐻1 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑖𝑟𝑖𝑜
𝐻2 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑖𝑜
No olvide que el 𝐻1 y 𝐻2 cambian cada segundo.
Entonces según el problema tenemos la siguiente condición:
¿Cuántas horas después de haber encendido los cirios, la altura de la
primera es el doble que la del segundo?
𝑥 =? ; 𝐻1 = 2𝐻2 … … … (1)
También el problema dice que “El primer cirio se consume en cuatro horas y
el segundo en tres horas”.
Realicemos una tabla para entender mejor el problema:
CIRIO TIEMPO EN HORAS ALTURA DEL CIRIO CONSUMIDO
PRIMER0
4 ⟶ 𝐻
𝑥 ⟶ 𝐻 𝐶1
SEGUND0
3 ⟶ 𝐻
𝑥 ⟶ 𝐻 𝐶2
Efectuando la regla de tres para cada cirio obtenemos la altura consumida
en cada cirio en la hora de la condición:
𝐻 𝐶1 = 𝑥
𝐻
4
; 𝐻 𝐶2 = 𝑥
𝐻
3
Ahora es lógico pensar que la altura que se tiene a la hora de encender los
cirios ( 𝐻) es igual a la suma de la altura del cirio no consumido ( 𝐻1 , 𝐻2) y
la altura del cirio consumido ( 𝐻 𝐶1 , 𝐻 𝐶2), es decir:
𝐻 = 𝐻1 + 𝐻 𝐶1 ; 𝐻 = 𝐻2 + 𝐻 𝐶2
𝐻 = 𝐻1 + 𝑥
𝐻
4
; 𝐻 = 𝐻1 + 𝑥
𝐻
3
𝐻1 = 𝐻 (
4 − 𝑥
4
) ; 𝐻2 = 𝐻 (
3 − 𝑥
3
) … … … (2)
Remplazando las ecuaciones (2) en la ecuación (1), obtenemos:
𝐻 (
4 − 𝑥
4
) = 2 𝐻 (
3 − 𝑥
3
) ⟹
4 − 𝑥
4
=
2(3 − 𝑥)
3
12 − 3𝑥 = 24 − 8𝑥 ⟹ 5𝑥 = 12 ⟹ 𝑥 =
12
5
= 2,4
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬 = ( 𝒙 − 𝒚) 𝟐( 𝟐𝒙 + 𝒚) 𝟐( 𝒙 + 𝟐𝒚) 𝟐
3. Factorizar la siguiente expresión:
𝑬 = 𝟒(𝒙 𝟐
+ 𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐) 𝟑
− 𝟐𝟕𝒙 𝟐
𝒚 𝟐(𝒙 + 𝒚) 𝟐
Solución:
Primero desarrollemos el binomio al cuadrado:
𝐸 = 4(𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦2)3
− 27𝑥2
𝑦2(𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2)
Ahora observamos que existe un trinomio elevado al cubo que lo cual
complica la resolución del problema, es por eso que recurriremos a realizar
uno o varios cambios de variable.
Para elegir el cambio de variable ordenemos la expresión para ver que
polinomios se repiten.
𝐸 = 4(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑥𝑦)3
− 27(𝑥𝑦)2(𝑥2
+ 𝑦2
+ 2𝑥𝑦)
Una vez ordenado es fácil ver cuáles deben ser los cambios de variable:
𝑎 = 𝑥2
+ 𝑦2
; 𝑏 = 𝑥𝑦
Remplazando los C.V. en la expresión:
𝐸 = 4(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑥𝑦)3
− 27(𝑥𝑦)2(𝑥2
+ 𝑦2
+ 2𝑥𝑦)
𝐸 = 4(𝑎 + 𝑏)3
− 27𝑏2(𝑎 + 2𝑏)
Ahora es más sencillo desarrollar un binomio al cubo:
𝐸 = 4(𝑎3
+ 3𝑎2
𝑏 + 3𝑎𝑏2
+ 𝑏3) − 27𝑏2(𝑎 + 2𝑏)
𝐸 = 4𝑎3
+ 12𝑎2
𝑏 + 12𝑎𝑏2
+ 4𝑏3
− 27𝑎𝑏2
− 54𝑏3
𝐸 = 4𝑎3
+ 12𝑎2
𝑏 − 15𝑎𝑏2
− 50𝑏3
Tenemos una expresión que es un polinomio completo y homogéneo que se
puede factorizar por Ruffini:
Nuestras posibilidades son los divisores del primer y último coeficiente en
nuestro caso los divisores de 4 y de 50, no olvide eso en casos de Ruffini.
4 12𝑏 − 15𝑏2
− 50𝑏3
2𝑏 8𝑏 40𝑏2
50𝑏3
4 20𝑏 25𝑏2
0
Obtenemos:
𝐸 = (𝑎 − 2𝑏)(4𝑎2
+ 20𝑎𝑏 + 25𝑏2) = (𝑎 − 2𝑏)(2𝑎 + 5𝑏)2
Una vez ya factorizando regresamos a la variable original:
𝐸 = (𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥𝑦)(2(𝑥2
+ 𝑦2) + 5𝑥𝑦)2
𝐸 = (𝑥 − 𝑦)2(2𝑥2
+ 5𝑥𝑦 + 2𝑦2)2
𝐸 = (𝑥 − 𝑦)2
((2𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 2𝑦))
2
𝐸 = (𝑥 − 𝑦)2(2𝑥 + 𝑦)2(𝑥 + 2𝑦)2
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬 = 𝟒( 𝒂 − 𝒙)
4. Simplificar la siguiente expresión algebraica:
𝑬 = [
𝒂√ 𝒂
𝟑
+ √𝒂 𝟐𝟑
𝒂 + √ 𝒂
𝟑 − √ 𝒙
𝟑
] [(√ 𝒂
𝟑
− √ 𝒙
𝟑
)
𝟐
+ 𝟑(√ 𝒂
𝟑
+ √ 𝒙
𝟑
)
𝟐
]
Solución:
Observando la expresión podemos ver que tenemos raíces cubicas, entonces
para poder simplificar la expresión de un modo sencillo realicemos los
siguientes cambios de variable:
𝑎 = 𝑛3
⟹ 𝑛 = √ 𝑎
3
( )2
⟹ 𝑛2
= (√ 𝑎
3
)
2
= √ 𝑎23
𝑥 = 𝑚3
⟹ 𝑚 = √ 𝑥
3
𝐸 = [
𝑛3
∙ 𝑛 + 𝑛2
𝑛3 + 𝑛
− 𝑚] [(𝑛 − 𝑚)2
+ 3(𝑛 + 𝑚)2]
𝐸 = [
𝑛4
+ 𝑛2
𝑛3 + 𝑛
− 𝑚] [(𝑛 − 𝑚)2
+ 3(𝑛 + 𝑚)2]
Factorizando en el primer factor y desarrollando los binomios al cuadrado
en el segundo factor, obtenemos:
𝐸 = [
𝑛2
(𝑛2
+ 1)
𝑛(𝑛2 + 1)
− 𝑚] [(𝑛2
− 2𝑛𝑚 + 𝑚2) + 3(𝑛2
+ 2𝑛𝑚 + 𝑚2)]
𝐸 = [𝑛 − 𝑚][𝑛2
− 2𝑛𝑚 + 𝑚2
+ 3𝑛2
+ 6𝑛𝑚 + 3𝑚2]
𝐸 = [𝑛 − 𝑚][4𝑛2
+ 4𝑛𝑚 + 4𝑚2]
𝐸 = 4[𝑛 − 𝑚][𝑛2
+ 𝑛𝑚 + 𝑚2]
Ahora recordemos la diferencia de cubos: 𝑥3
− 𝑦3
= (𝑥 − 𝑦)(𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦2)
Aplicando el producto notable, obtenemos:
𝐸 = 4[𝑛 − 𝑚][𝑛2
+ 𝑛𝑚 + 𝑚2]
𝐸 = 4(𝑛3
− 𝑚3)
Pero: 𝑎 = 𝑛3
; 𝑥 = 𝑚3
En la expresión:
𝐸 = 4(𝑛3
− 𝑚3) = 4(𝑎 − 𝑥)
Por lo tanto:
Respuesta.
5. Hallar 𝒎 y 𝒏 sabiendo que el cuarto termino del desarrollo del cociente notable:
𝒙 𝟒𝒏+𝟑
− 𝒚 𝟐(𝟑𝒎−𝟏)
𝒚 𝟐𝟒
Solución:
Resuelta en el examen de la gestión II/2015, problema 2 FILA “B”.

EN LA HOJA DE DESARROLLO DEL EXAMEN SOLO DEBE COLOCAR EL NUMERO, NO COLOCAR SU NOMBRE
1) Simplificar:
𝑬 =
𝟏
𝒂(𝒂 − 𝒃)(𝒂 − 𝒄)
+
𝟏
𝒃(𝒃 − 𝒂)(𝒃 − 𝒄)
+
𝟏
𝒄(𝒄 − 𝒂)(𝒄 − 𝒃)
2) Un coleccionista de arte compro dos dibujos a lápiz en 225 Bs. Pero se sorprendió
que dichos dibujos eran muy conocidos y no pudo resistir el venderlos, obteniendo
un beneficio del 40%. Cuanto pago por cada dibujo si el primero dejo un beneficio
del 25% y el segundo dibujo un beneficio del 50%.
3) Racionalizar y simplificar la siguiente expresión:
𝑬 =
√ 𝒚𝟑
(𝒚 − 𝟏)
√ 𝒚 − √ 𝒚𝟑
∗ [√ 𝒚 + 𝟏]
−𝟏
−
[
𝟏
√√ 𝒚
𝟑
+ 𝟏
]
−𝟏
{
𝟐𝒙 𝟐
+ 𝒙𝒚 − 𝟔𝒚 𝟐
= −𝟒𝟎
𝟐𝒙 𝟐
− 𝟕𝒙𝒚 + 𝟔𝒚 𝟐
= 𝟐𝟎
𝑬 = [
𝟐 − 𝒂(𝒂) 𝟏/𝟐
+ (𝒂 𝟏/𝟐
+ 𝟏) 𝟑
(𝒂 𝟏/𝟐 + 𝟏) 𝟐 − (𝒂 − 𝒂 𝟏/𝟐 𝒙 𝟏/𝟐)(𝒂 𝟏/𝟐 − 𝒙 𝟏/𝟐)−𝟏
]
−𝟑

𝑬 =
𝟏
𝒂𝒃𝒄
1. Simplificar:
𝑬 =
𝟏
𝒂(𝒂 − 𝒃)(𝒂 − 𝒄)
+
𝟏
𝒃(𝒃 − 𝒂)(𝒃 − 𝒄)
+
𝟏
𝒄(𝒄 − 𝒂)(𝒄 − 𝒃)
Solución:
Se sabe que: (𝑐 − 𝑎)(𝑐 − 𝑏) = (𝑎 − 𝑐)(𝑏 − 𝑐)
(𝑏 − 𝑎)(𝑏 − 𝑐) = −(𝑎 − 𝑏)(𝑏 − 𝑐)
Entonces:
𝐸 =
1
𝑎(𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑐)
−
1
𝑏(𝑎 − 𝑏)(𝑏 − 𝑐)
+
1
𝑐(𝑎 − 𝑐)(𝑏 − 𝑐)
Realizando común denominador:
𝐸 =
𝑏𝑐(𝑏 − 𝑐) − 𝑎𝑐(𝑎 − 𝑐) + 𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏)
𝑎𝑏𝑐(𝑎 − 𝑏)(𝑏 − 𝑐)(𝑎 − 𝑐)
Trabajando el numerador:
𝐸 =
𝑏2
𝑐 − 𝑏𝑐2
− 𝑎2
𝑐 + 𝑎𝑐2
+ 𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏)
𝑎𝑏𝑐(𝑎 − 𝑏)(𝑏 − 𝑐)(𝑎 − 𝑐)
Podemos realizar la siguiente agrupación en el numerador:
𝐸 =
(𝑏2
𝑐 − 𝑎2
𝑐) + (𝑎𝑐2
− 𝑏𝑐2
) + 𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏)
𝑎𝑏𝑐(𝑎 − 𝑏)(𝑏 − 𝑐)(𝑎 − 𝑐)
Ahora factoricemos términos semejantes:
𝐸 =
𝑐(𝑏2
− 𝑎2
) + 𝑐2
(𝑎 − 𝑏) + 𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏)
𝑎𝑏𝑐(𝑎 − 𝑏)(𝑏 − 𝑐)(𝑎 − 𝑐)
Aplicando diferencia de cuadrados:
𝑏2
− 𝑎2
= (𝑏 − 𝑎)(𝑏 + 𝑎) = −(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
Entonces:
𝐸 =
−𝑐(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) + 𝑐2
(𝑎 − 𝑏) + 𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏)
𝑎𝑏𝑐(𝑎 − 𝑏)(𝑏 − 𝑐)(𝑎 − 𝑐)
Ahora factoricemos (𝑎 − 𝑏):
𝐸 =
(𝑎−𝑏)[−𝑐(𝑎+𝑏)+𝑐2+𝑎𝑏]
𝑎𝑏𝑐(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐)(𝑎−𝑐)
=
−𝑎𝑐−𝑏𝑐+𝑐2+𝑎𝑏
𝑎𝑏𝑐(𝑏−𝑐)(𝑎−𝑐)
Factorizando términos semejantes, entre términos de distinto signo:
𝐸 =
𝑏(𝑎 − 𝑐) − 𝑐(𝑎 − 𝑐)
𝑎𝑏𝑐(𝑏 − 𝑐)(𝑎 − 𝑐)
Ahora factoricemos (𝑎 − 𝑐):
𝐸 =
(𝑎−𝑐)(𝑏−𝑐)
𝑎𝑏𝑐(𝑏−𝑐)(𝑎−𝑐)
=
1
𝑎𝑏𝑐
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬𝒍 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒅𝒊𝒃𝒖𝒋𝒐 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝟗𝟎 𝑩𝒔 𝒚 𝒆𝒍 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝟏𝟑𝟓 𝑩𝒔
2. Un coleccionista de arte compro dos dibujos a lápiz en 225 Bs. Pero se sorprendió que dichos
dibujos eran muy conocidos y no pudo resistir el venderlos, obteniendo un beneficio del 40%.
Cuanto pago por cada dibujo si el primero dejo un beneficio del 25% y el segundo dibujo un
beneficio del 50%.
Solución:
El problema nos habla de dos dibujos entonces llamemos:
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝐵𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑏𝑢𝑗𝑜 1 ; 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝐵𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑏𝑢𝑗𝑜 2
Es lógico pensar que la suma de los costos de los dos dibujos nos dará 225 Bs.
Por lo tanto:
𝑥 + 𝑦 = 225 𝐵𝑠 ………………(1)
Por otra parte el problema nos habla de beneficios, esto lo podemos interpretar de
la siguiente forma:
Si yo compro un objeto en 100 Bs y lo vendo en 160 Bs el beneficio será:
160 𝐵𝑠 − 100 𝐵𝑠 = 60 𝐵𝑠 (𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜)
Pero en el problema nos da en porcentaje, es decir:
% =
𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∗ 100% ; 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑛 % =
𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜
𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎
∗ 100%
Para el ejemplo:
𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑛 % =
60 𝐵𝑠
100 𝐵𝑠
∗ 100% = 60%
El problema dice que vendió los dos dibujos y obtuvo un beneficio del 40%, es
decir:
𝑏𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎
225 𝐵𝑠
∗ 100% = 40%
Dónde: 𝑏𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 = 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑢𝑗𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝐵𝑠
De aquí podemos despejar y hallar 𝑏𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎:
𝑏𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 =
40%
100%
∗ 225 𝐵𝑠 = 90 𝐵𝑠
También dice el problema que el primer dibujo dejo un beneficio del 25% y el
segundo dibujo dejo un beneficio del 50%, es decir:
𝑏1
𝑥
∗ 100% = 25% ; 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑛 % =
𝑏2
𝑦
∗ 100% = 50%
Dónde: 𝑏1 = 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑏𝑢𝑗𝑜 1 ; 𝑏2 = 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑏𝑢𝑗𝑜 2
De aquí podemos hallar 𝑏1 y 𝑏2:
𝑏1 =
25%
100%
∗ 𝑥 =
𝑥
4
; 𝑏2 =
50%
100%
∗ 𝑦 =
𝑦
2
Ahora es lógico pensar que la suma de los beneficios de cada dibujo en Bs, nos dará
el beneficio de la venta de los dos dibujos en Bs, es decir:
𝑏1 + 𝑏2 = 𝑏𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝑥
4
+ 𝑦
2
= 90 𝐵𝑠 …………………(2)
Multiplicando por 4 a la ecuación (2):
𝑥 + 2𝑦 = 360 𝐵𝑠 ……………………(3)
Restando la ecuación (1) a la ecuación (3):
(𝑥 + 2𝑦) − (𝑥 + 𝑦) = 360 𝐵𝑠 − 225 𝐵𝑠
𝑦 = 135 𝐵𝑆
Remplazando 𝑦 en la ecuación (1):
𝑥 + 135 𝐵𝑠 = 225 𝐵𝑠
𝑥 = 90 𝐵𝑠
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬 = 𝒚𝟑
3. Racionalizar y simplificar la siguiente expresión:
𝑬 =
𝒚𝟑
(𝒚 − 𝟏)
𝒚 − 𝒚𝟑
∗ [ 𝒚 + 𝟏]
−𝟏
−
[
𝟏
√ 𝒚
𝟑
+ 𝟏
]
−𝟏
Solución:
Observando el problema podemos ver que tenemos raíces con índice 2 e índice 3, para
eliminar estas raíces tenemos que realizar un cambio de variable, pero el cambio
que debemos usar es una variable que debe estar elevada a un número múltiplo de 2
y de 3, el más cercano es 6.
Sea el siguiente cambio de variable: 𝑦 = 𝑎6
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦6
= 𝑎
Sacando la raíz cuadrada al C.V.: 𝑦 = √𝑎6 = 𝑎
6
2 = 𝑎3
Sacando la raíz cubica al C.V.: 𝑦3
= √𝑎63
= 𝑎
6
3 = 𝑎2
También sabemos que: √ 𝑦
3
= 𝑦3∗2
= 𝑦6
= 𝑎
Remplazando todo lo hallado en la expresión:
𝐸 =
𝑦3
(𝑦 − 1)
𝑦 − 𝑦3
∗ [ 𝑦 + 1]
−1
−
[
1
√ 𝑦
3
+ 1
]
−1
=
𝑎2
(𝑎6
− 1)
𝑎3 − 𝑎2
∗ [𝑎3
+ 1]−1
− [
1
𝑎 + 1
]
−1
Factorizando el denominador y aplicando la siguiente propiedad: (
𝑚
𝑛
)
−1
=
𝑛
𝑚
𝐸 =
𝑎2
(𝑎6
− 1)
𝑎2(𝑎 − 1)
∗
1
𝑎3 + 1
− (𝑎 + 1) =
𝑎6
− 1
𝑎 − 1
∗
1
𝑎3 + 1
− (𝑎 + 1)
Por otro lado sabemos que:
𝑎6
− 1 = (𝑎3)2
− 1 = (𝑎3
− 1)(𝑎3
+ 1)
Remplazando en la expresión:
𝐸 =
(𝑎3
− 1)(𝑎3
+ 1)
𝑎 − 1
∗
1
𝑎3 + 1
− (𝑎 + 1) =
𝑎3
− 1
𝑎 − 1
− (𝑎 + 1)
Realizando común denominador:
𝐸 =
𝑎3
− 1 − (𝑎 − 1)(𝑎 + 1)
𝑎 − 1
Se sabe por productos notables que:
(𝑎 − 1)(𝑎 + 1) = 𝑎2
− 1
𝐸 =
𝑎3
− 1 − (𝑎2
− 1)
𝑎 − 1
=
𝑎3
− 1 − 𝑎2
+ 1
𝑎 − 1
=
𝑎3
− 𝑎2
𝑎 − 1
Factorizando 𝑎2
en el numerador:
𝐸 =
𝑎2
(𝑎 − 1)
𝑎 − 1
= 𝑎2
Pero: 𝑎2
= 𝑦3
Por lo tanto:
Respuesta.

𝒙 𝟏,𝟐 = ±𝟐 ; 𝒚 𝟏,𝟐 = ±𝟑
{
𝟐𝒙 𝟐
+ 𝒙𝒚 − 𝟔𝒚 𝟐
= −𝟒𝟎
𝟐𝒙 𝟐
− 𝟕𝒙𝒚 + 𝟔𝒚 𝟐
= 𝟐𝟎
Solución:
𝑦 = 𝑚𝑥 , 𝑥 = 𝑚𝑦
Cualquiera de uno de estos dos C.V. nos ayuda a resolver el sistema, usemos 𝑥 = 𝑚𝑦
{
2(𝑚𝑦)2
+ (𝑚𝑦)𝑦 − 6𝑦2
= −40
2(𝑚𝑦)2
− 7(𝑚𝑦)𝑦 + 6𝑦2
= 20
⟹ {
2𝑚2
𝑦2
+ 𝑚𝑦2
− 6𝑦2
= −40
2𝑚2
𝑦2
− 7𝑚𝑦2
+ 6𝑦2
= 20
Factorizando 𝑦2
en el sistema, tenemos:
{
𝑦2(2𝑚2
+ 𝑚 − 6) = −40 … … … (1)
𝑦2(2𝑚2
− 7𝑚 + 6) = 20 … … … (2)
𝑦2(2𝑚2
+ 𝑚 − 6)
𝑦2(2𝑚2 − 7𝑚 + 6)
=
−40
20
⟹
2𝑚2
+ 𝑚 − 6
2𝑚2 − 7𝑚 + 6
= −2
Operando:
2𝑚2
+ 𝑚 − 6 = −2(2𝑚2
− 7𝑚 + 6)
2𝑚2
+ 𝑚 − 6 = −4𝑚2
+ 14𝑚 − 12
6𝑚2
− 13𝑚 + 6 = 0
(3𝑚 − 2)(2𝑚 − 3) = 0
Obtenemos dos valores de 𝑚:
𝑚 =
2
3
∨ 𝑚 =
3
2
2
3
{
𝑦2
(2 (
2
3
)
2
+
2
3
− 6) = −40
𝑥 =
2
3
𝑦
𝑦2
(2 ∗
4
9
+
2
3
− 6) = −40 ⟹ 𝑦2
(
8 + 6
9
− 6) = −40
𝑦2
(
14 − 54
9
) = −40 ⟹ 𝑦2
(
−40
9
) = −40
𝑦2
= 9 ⟹ 𝒚 = ±𝟑 ; 𝒙 = ±𝟐
3
2
{
𝑦2
(2 (
3
2
)
2
+
3
2
− 6) = −40
𝑥 =
3
2
𝑦
𝑦2
(2 ∗
9
4
+
3
2
− 6) = −40 ⟹ 𝑦2
(
9 + 3
2
− 6) = −40
𝑦2(6 − 6) = −40 ⟹ 0 = −40 𝒏𝒐 𝒔𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬 =
𝟏
𝟐𝟕
𝑬 = [
𝟐 − 𝒂(𝒂) 𝟏/𝟐
+ (𝒂 𝟏/𝟐
+ 𝟏) 𝟑
(𝒂 𝟏/𝟐 + 𝟏) 𝟐 − (𝒂 − 𝒂 𝟏/𝟐 𝒙 𝟏/𝟐)(𝒂 𝟏/𝟐 − 𝒙 𝟏/𝟐)−𝟏
]
−𝟑
Solución:
Observando el problema podemos ver que tenemos raíces cuadradas, para
eliminar estas raíces podemos realizar los siguientes cambios de variable:
𝑎1/2
= 𝑏 , 𝑥1/2
= 𝑦
Elevando al cuadrado los C.V.:
𝑎 = 𝑏2
, 𝑥 = 𝑦2
𝐸 = [
2 − 𝑎(𝑎)1/2
+ (𝑎1/2
+ 1)3
(𝑎1/2 + 1) 2 − (𝑎 − 𝑎1/2 𝑥1/2)(𝑎1/2 − 𝑥1/2)−1
]
−3
= [
2 − 𝑏2
∗ 𝑏 + (𝑏 + 1)3
(𝑏 + 1) 2 − (𝑏2 − 𝑏 ∗ 𝑦)(𝑏 − 𝑦)−1
]
−3
Desarrollando productos notables y Factorizando en el denominador:
𝐸 = [
2 − 𝑏3
+ 𝑏3
+ 3𝑏2
+ 3𝑏 + 1
𝑏2 + 2𝑏 + 1 − 𝑏(𝑏 − 𝑦)(𝑏 − 𝑦)−1
]
−3
Recuerde que: 𝑚 ∗ 𝑚−1
= 𝑚1−1
= 𝑚0
= 1
Nuestro caso: (𝑏 − 𝑦)(𝑏 − 𝑦)−1
= 1
Remplazando en la expresión y simplificando términos:
𝐸 = [
2 + 3𝑏2
+ 3𝑏 + 1
𝑏2 + 2𝑏 + 1 − 𝑏
]
−3
= [
3𝑏2
+ 3𝑏 + 3
𝑏2 + 𝑏 + 1
]
−3
Factorizando y aplicando la siguiente propiedad: (
𝑚
𝑛
)
−𝑟
= (
𝑛
𝑚
)
𝑟
𝐸 = [
𝑏2
+ 𝑏 + 1
3(𝑏2 + 𝑏 + 1)
]
3
= [
1
3
]
3
𝐸 =
1
27
Por lo tanto:
Respuesta.

EN LA HOJA DE DESARROLLO DEL EXAMEN SOLO DEBE COLOCAR EL NUMERO, NO COLOCAR SU NOMBRE
1) Si se sabe que:
𝒂
𝒙
=
𝒃
𝒚
=
𝒄
𝒛
calcular el valor de 𝑴 dado por:
𝑴 =
𝒙 𝟑
+ 𝒂 𝟑
𝒙 𝟐 + 𝒂 𝟐
+
𝒚 𝟑
+ 𝒃 𝟑
𝒚 𝟐 + 𝒃 𝟐
+
𝒛 𝟑
+ 𝒄 𝟑
𝒛 𝟐 + 𝒄 𝟐
−
(𝒙 + 𝒚 + 𝒛) 𝟑
+ (𝒂 + 𝒃 + 𝒄) 𝟑
(𝒙 + 𝒚 + 𝒛) 𝟐 + (𝒂 + 𝒃 + 𝒄) 𝟐
2) Uno de los términos del siguiente cociente notable:
𝒙 𝒑
− 𝒚 𝟏𝟐
𝒙 𝟐 − 𝒚 𝒒
Es 𝒙 𝟏𝟒
𝒚 𝟒
, diga cuantos términos tendrá su completo desarrollo.
3) Ana pensó en un número de dos dígitos de tal manera que sumándolo al número
que resulta de invertir sus dígitos, obtiene 99. Además la relación entre el número
que pensó y el número resultante de invertir los dígitos es 7/4. ¿En qué número
pensó Ana?
{
𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
𝟐
= 𝟖 + 𝒙𝒚
𝒙 𝟐
𝒙 − 𝒚
+
𝒚 𝟐
𝒚 − 𝒙
=
𝟏
𝟐
𝒙𝒚 − 𝟏
𝑬 = [𝟏 −
𝟐√ 𝒂 − 𝟏
𝟏 + √ 𝒂 − 𝟏
] [√
𝟐√ 𝒂 − 𝟏 + 𝒂
𝒂 − 𝟐√ 𝒂 − 𝟏
] + 𝟏

𝑴 = 𝟎
SOLUCIONARIO I/2013
1. Si se sabe que:
𝒂
𝒙
=
𝒃
𝒚
=
𝒄
𝒛
calcular el valor de 𝑴 dado por:
𝑴 =
𝒙 𝟑
+ 𝒂 𝟑
𝒙 𝟐 + 𝒂 𝟐
+
𝒚 𝟑
+ 𝒃 𝟑
𝒚 𝟐 + 𝒃 𝟐
+
𝒛 𝟑
+ 𝒄 𝟑
𝒛 𝟐 + 𝒄 𝟐
−
(𝒙 + 𝒚 + 𝒛) 𝟑
+ (𝒂 + 𝒃 + 𝒄) 𝟑
(𝒙 + 𝒚 + 𝒛) 𝟐 + (𝒂 + 𝒃 + 𝒄) 𝟐
Solución:
Primero démosle una constante a las igualdades dadas como dato:
𝑎
𝑥
=
𝑏
𝑦
=
𝑐
𝑧
= 𝑚
Ahora podemos igualar cada miembro a dicha constante:
𝑎
𝑥
= 𝑚 ;
𝑏
𝑦
= 𝑚 ;
𝑐
𝑧
= 𝑚
Despejando obtenemos:
𝑎 = 𝑚𝑥 ; 𝑏 = 𝑚𝑦 ; 𝑐 = 𝑚𝑧
Remplazando las igualdades en la expresión dada:
𝑀 =
𝑥3
+ 𝑎3
𝑥2 + 𝑎2
+
𝑦3
+ 𝑏3
𝑦2 + 𝑏2
+
𝑧3
+ 𝑐3
𝑧2 + 𝑐2
−
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3
+ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
𝑀 =
𝑥3
+ (𝑚𝑥)3
𝑥2 + (𝑚𝑥)2
+
𝑦3
+ (𝑚𝑦)3
𝑦2 + (𝑚𝑦)2
+
𝑧3
+ (𝑚𝑧)3
𝑧2 + (𝑚𝑧)2
−
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3
+ (𝑚𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑚𝑧)3
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 + (𝑚𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑚𝑧)2
𝑀 =
𝑥3
+ 𝑚3
𝑥3
𝑥2 + 𝑚2 𝑥2
+
𝑦3
+ 𝑚3
𝑦3
𝑦2 + 𝑚2 𝑦2
+
𝑧3
+ 𝑚3
𝑧3
𝑧2 + 𝑚2 𝑧2
−
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3
+ (𝑚𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑚𝑧)3
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 + (𝑚𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑚𝑧)2
Factorizando:
𝑀 =
𝑥3(1 + 𝑚3)
𝑥2(1 + 𝑚2)
+
𝑦3(1 + 𝑚3)
𝑦2(1 + 𝑚2)
+
𝑧3(1 + 𝑚3)
𝑧2(1 + 𝑚2)
−
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3
+ (𝑚(𝑥 + 𝑦 + 𝑧))
3
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 + (𝑚(𝑥 + 𝑦 + 𝑧))
2
𝑀 =
𝑥(1 + 𝑚3)
(1 + 𝑚2)
+
𝑦(1 + 𝑚3)
(1 + 𝑚2)
+
𝑧(1 + 𝑚3)
(1 + 𝑚2)
−
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3
+ 𝑚3(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 + 𝑚2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2
𝑀 =
1 + 𝑚3
1 + 𝑚2
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) −
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3(1 + 𝑚3)
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2(1 + 𝑚2)
𝑀 =
1 + 𝑚3
1 + 𝑚2
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) −
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(1 + 𝑚3)
1 + 𝑚2
Ordenando adecuadamente sabiendo que la multiplicación es conmutativa:
𝑀 =
1 + 𝑚3
1 + 𝑚2
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) −
1 + 𝑚3
1 + 𝑚2
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 0
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬𝒍 𝒅𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝑪. 𝑵. 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝟏𝟐 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔
𝑨𝒏𝒂 𝒑𝒆𝒏𝒔ó 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝟔𝟑
2. Uno de los términos del siguiente cociente notable:
𝒙 𝒑
− 𝒚 𝟏𝟐
𝒙 𝟐 − 𝒚 𝒒
Es 𝒙 𝟏𝟒
𝒚 𝟒
, diga cuantos términos tendrá su completo desarrollo.
Solución:
𝑥 𝑝
− 𝑦12
𝑥2 − 𝑦 𝑞
=
(𝑥2) 𝑛
− (𝑦 𝑞) 𝑛
𝑥2 − 𝑦 𝑞
⟺ {
2𝑛 = 𝑝 … … … (1)
𝑞𝑛 = 12 … … … (2)
Donde: 𝑛 = # 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜
Ahora recordemos la fórmula del término k-esimo: 𝑡 𝑘 = (𝑥2) 𝑛−𝑘(𝑦 𝑞) 𝑘−1
= 𝑥2(𝑛−𝑘)
𝑦 𝑞(𝑘−1)
Por condición del problema sabemos que: 𝑡 𝑘 = 𝑥14
𝑦4
Igualando lo hallado:
𝑥2(𝑛−𝑘)
𝑦 𝑞(𝑘−1)
= 𝑥14
𝑦4
⟹ {
2( 𝑛 − 𝑘) = 14
𝑞( 𝑘 − 1) = 4
⟹ {
𝑛 − 𝑘 = 7 … … … (3)
𝑞( 𝑘 − 1) = 4 … … … (4)
De la ecuación (3) despejamos “ 𝑘”: 𝑛 − 𝑘 = 7 … … … (3) ⟹ 𝑘 = 𝑛 − 7
Remplazando lo hallado en la ecuación (4):
𝑞(𝑘 − 1) = 4 ⟹ 𝑞(𝑛 − 7 − 1) = 4 ⟹ 𝑞𝑛 − 8𝑞 = 4 ⟹ 8𝑞 = 𝑞𝑛 − 4 … … … (5)
8𝑞 = 𝑞𝑛 − 4 ⟹ 8𝑞 = 12 − 4
8𝑞 = 8 ⟹ 𝒒 = 𝟏 ; 𝒏 = 𝟏𝟐 ; 𝒑 = 𝟐𝟒 ; 𝒌 = 𝟓
Por lo tanto:
Respuesta.
3. Ana pensó en un número de dos dígitos de tal manera que sumándolo al número que resulta de
invertir sus dígitos, obtiene 99. Además la relación entre el número que pensó y el número resultante
de invertir los dígitos es 7/4. ¿En qué numero pensó Ana?
Solución:
Por ejemplo si tomamos el número 85, a este número debemos separarlo en decenas y
unidades, esto se lo realiza de la siguiente forma:
Numero de dos dígitos que piensa Ana: 𝐴𝐵
Número que resulta de invertir sus dígitos: 𝐵𝐴
 Ana pensó en un numero de dos dígitos de tal manera que sumándolo al número que
resulta de invertir sus dígitos, obtiene 99: 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 = 99
Separando cada número no conocido:
(𝐴 ∗ 10 + 𝐵) + (𝐵 ∗ 10 + 𝐴) = 99 ⟹ 10𝐴 + 𝐵 + 10𝐵 + 𝐴 = 99
11𝐴 + 11𝐵 = 99 ⟹ 𝑨 + 𝑩 = 𝟗 … … … (𝟏)
 La relación entre el número que pensó Ana y el número resultante de invertir los
dígitos es 7/4: 𝐴𝐵
𝐵𝐴⁄ = 7
4⁄
𝐴 ∗ 10 + 𝐵
𝐵 ∗ 10 + 𝐴
=
7
4
⟹
10𝐴 + 𝐵
10𝐵 + 𝐴
=
7
4
40𝐴 + 4𝐵 = 70𝐵 + 7𝐴 ⟹ 33𝐴 = 66𝐵 ⟹ 𝑨 = 𝟐𝑩 … … … (𝟐)
Remplazando la ecuación (2) en la ecuación (1): 2𝐵 + 𝐵 = 9 ⟹ 𝑩 = 𝟑 ; 𝑨 = 𝟔
Por lo tanto:
Respuesta.

𝒙 𝟏 = 𝟕
𝒚 𝟏 = 𝟑
;
𝒙 𝟐 = 𝟏
𝒚 𝟐 = −𝟑
;
𝒙 𝟑 = 𝟑
𝒚 𝟑 = 𝟕
;
𝒙 𝟒 = −𝟑
𝒚 𝟒 = 𝟏
𝑬 = 𝟎
{
𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
𝟐
= 𝟖 + 𝒙𝒚
𝒙 𝟐
𝒙 − 𝒚
+
𝒚 𝟐
𝒚 − 𝒙
=
𝟏
𝟐
𝒙𝒚 − 𝟏
Solución:
Simplificando el sistema, para encontrar el verdadero sistema de ecuaciones:
{
𝑥2
+ 𝑦2
2
= 8 + 𝑥𝑦
𝑥2
𝑥 − 𝑦
+
𝑦2
𝑦 − 𝑥
=
1
2
𝑥𝑦 − 1
⟹ {
𝑥2
+ 𝑦2
= 16 + 2𝑥𝑦
𝑥2
𝑥 − 𝑦
+
𝑦2
−(𝑥 − 𝑦)
=
𝑥𝑦 − 1
2
⟹ {
𝑥2
− 2𝑥𝑦 + 𝑦2
= 16
𝑥2
𝑥 − 𝑦
−
𝑦2
𝑥 − 𝑦
=
𝑥𝑦 − 1
2
{
(𝑥 − 𝑦)2
= 16 √
𝑥2
− 𝑦2
𝑥 − 𝑦
=
𝑥𝑦 − 1
2
⟹ {
𝑥 − 𝑦 = ±4
(𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦)
𝑥 − 𝑦
=
𝑥𝑦 − 1
2
⟹ {
𝑥 − 𝑦 = ±4
2𝑥 + 2𝑦 = 𝑥𝑦 − 1
 Solución del sistema tomando el signo (+): {
𝑥 − 𝑦 = 4
2𝑥 + 2𝑦 = 𝑥𝑦 − 1
⟹ {
𝑦 = 𝑥 − 4 … (1)
2𝑥 + 2𝑦 = 𝑥𝑦 − 1 … (2)
2𝑥 + 2𝑦 = 𝑥𝑦 − 1 ⟹ 2𝑥 + 2(𝑥 − 4) = 𝑥(𝑥 − 4) − 1 ⟹ 4𝑥 − 8 = 𝑥2
− 4𝑥 − 1
𝑥2
− 8𝑥 + 7 = 0 ⟹ (𝑥 − 7)(𝑥 − 1) = 0 ⟹ {
𝒙 = 𝟕
𝒚 = 𝟑
∨ {
𝒙 = 𝟏
𝒚 = −𝟑
 Solución del sistema tomando el signo (−): {
𝑥 − 𝑦 = −4
2𝑥 + 2𝑦 = 𝑥𝑦 − 1
⟹ {
𝑦 = 𝑥 + 4 … (1)
2𝑥 + 2𝑦 = 𝑥𝑦 − 1 … (2)
2𝑥 + 2𝑦 = 𝑥𝑦 − 1 ⟹ 2𝑥 + 2(𝑥 + 4) = 𝑥(𝑥 + 4) − 1 ⟹ 4𝑥 + 8 = 𝑥2
+ 4𝑥 − 1
𝑥2
= 9 ⟹ 𝑥 = ±3 ⟹ {
𝒙 = 𝟑
𝒚 = 𝟕
∨ {
𝒙 = −𝟑
𝒚 = 𝟏
Por lo tanto:
Respuesta.
𝑬 = [𝟏 −
𝟐√𝒂 − 𝟏
𝟏 + √𝒂 − 𝟏
] [√
𝟐√𝒂 − 𝟏 + 𝒂
𝒂 − 𝟐√𝒂 − 𝟏
] + 𝟏
Solución:
Sea el siguiente cambio de variable: √𝑎 − 1 = 𝑥 ⟹ 𝑎 − 1 = 𝑥2
Pero en el problema tenemos “ 𝑎”, para esto solo despejamos “ 𝑎” del C.V.: 𝑎 = 𝑥2
+ 1
Remplazando el C.V. y “ 𝑎” en la expresión dada:
𝐸 = [1 −
2√𝑎 − 1
1 + √𝑎 − 1
] [√
2√𝑎 − 1 + 𝑎
𝑎 − 2√𝑎 − 1
] + 1 = [1 −
2𝑥
1 + 𝑥
] [√
2𝑥 + 𝑥2 + 1
𝑥2 + 1 − 2𝑥
] + 1
𝐸 = [
1 + 𝑥 − 2𝑥
1 + 𝑥
] [√
𝑥2 + 2𝑥 + 1
𝑥2 − 2𝑥 + 1
] + 1 𝑝𝑒𝑟𝑜: 𝐴2
± 2𝐴 + 1 = ( 𝐴 ± 1)2
𝐸 = [
1 − 𝑥
1 + 𝑥
] [√
(𝑥 + 1)2
(𝑥 − 1)2] + 1 = [
1 − 𝑥
1 + 𝑥
] [
𝑥 + 1
𝑥 − 1
] + 1
1 − 𝑥
𝑥 − 1
+ 1 =
−(𝑥 − 1)
𝑥 − 1
+ 1 = −1 + 1 = 0
Por lo tanto:
Respuesta.

HOJA DE PREGUNTAS
𝑬 =
{
√ 𝟏 + [(𝒂
𝟐
𝟑 − 𝒙
𝟐
𝟑)
𝟏
𝟐
𝒙−
𝟏
𝟑 ]
𝟐
}
−𝟔
−
𝟏
𝒂 𝟐
√( 𝒂 𝟐 − 𝒙 𝟐) 𝟐 + 𝟒𝒂 𝟐 𝒙 𝟐
2) En el siguiente cociente notable se sabe que el segundo término es: 𝒙 𝟐𝟏𝟎
𝒚 𝟏𝟓
Calcular el valor de: 𝒑 ∗ 𝒏
𝒙 𝟑 𝒏−𝟑
− 𝒚 𝟑 𝒏−𝟑
𝒙 𝟐𝒑 𝟐−𝟏 − 𝒚 𝟐𝒑 𝟐−𝟏
3) Hallar los valores de “ 𝒎” y “ 𝒏”, si las siguientes ecuaciones de segundo grado tienen las
mismas raíces.
(𝟐𝒎 + 𝟏)𝒙 𝟐
− (𝟑𝒎 − 𝟏)𝒙 + 𝟐 = 𝟎
(𝒏 + 𝟐)𝒙 𝟐
− (𝟐𝒏 + 𝟏)𝒙 + 𝟏 = 𝟎
4) Simplificar:
𝑬 = {
(−𝒂 𝟑)−
𝟐
𝟑 − [
(𝒂 𝒂−𝟏
)
𝟑𝒂
(𝟐𝒂 + 𝟏)
𝟑
𝟓
]
−
𝟓
𝟑
+
𝟐
𝒂 𝟒
}
−
𝟏
𝟓
(
𝟏
𝒂 𝟕 −
𝟏
𝒂 𝟏𝟎)
−
𝟏
𝟓
{
𝒙 𝟐
− 𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐
= 𝟑
𝟐𝒙 𝟐
+ 𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐
= 𝟐

𝑬 = −𝟏
𝑬 =
{
√ 𝟏 + [(𝒂
𝟐
𝟑 − 𝒙
𝟐
𝟑)
𝟏
𝟐
𝒙−
𝟏
𝟑 ]
𝟐
}
−𝟔
−
𝟏
𝒂 𝟐
√( 𝒂 𝟐 − 𝒙 𝟐) 𝟐 + 𝟒𝒂 𝟐 𝒙 𝟐
Solución:
Primero observemos que se puede simplificar rápidamente:
 √(𝑎2 − 𝑥2)2 + 4𝑎2 𝑥2 aquí desarrollemos el binomio, obtenemos:
√(𝑎2 − 𝑥2)2 + 4𝑎2 𝑥2 = √ 𝑎4 − 2𝑎2 𝑥2 + 𝑥4 + 4𝑎2 𝑥2 = √ 𝑎4 + 2𝑎2 𝑥2 + 𝑥4
√(𝑎2 − 𝑥2)2 + 4𝑎2 𝑥2 = √(𝑎2 + 𝑥2)2 = 𝒂 𝟐
+ 𝒙 𝟐
 [(𝑎
2
3 − 𝑥
2
3)
1
2
𝑥−
1
3 ]
2
aquí distribuyamos la potencia, obtenemos:
[(𝑎
2
3 − 𝑥
2
3)
1
2
𝑥−
1
3 ]
2
= [(𝑎
2
3 − 𝑥
2
3)
1
2
]
2
[𝑥−
1
3]
2
= (𝑎
2
3 − 𝑥
2
3) 𝑥−
2
3
[(𝑎
2
3 − 𝑥
2
3)
1
2
𝑥−
1
3 ]
2
= 𝑎
2
3 ∗ 𝑥−
2
3 − 𝑥
2
3 ∗ 𝑥−
2
3 = (
𝒂
𝒙
)
𝟐
𝟑
− 𝟏
Recuerde que: 𝑏 𝑚
∗ 𝑏−𝑚
= 𝑏 𝑚−𝑚
= 𝑏0
= 1
𝐸 =
{
√1 + [(𝑎
2
3 − 𝑥
2
3)
1
2
𝑥−
1
3 ]
2
}
−6
−
1
𝑎2
√(𝑎2 − 𝑥2)2 + 4𝑎2 𝑥2 = {√1 + (
𝑎
𝑥
)
2
3
− 1}
−6
−
𝑎2
+ 𝑥2
𝑎2
𝐸 = {√(
𝑎
𝑥
)
2
3
}
−6
−
𝑎2
+ 𝑥2
𝑎2
= {(
𝑎
𝑥
)
1
3
}
−6
−
𝑎2
+ 𝑥2
𝑎2
= (
𝑎
𝑥
)
−2
−
𝑎2
𝑎2
−
𝑥2
𝑎2
𝐸 = (
𝑥
𝑎
)
2
− 1 − (
𝑥
𝑎
)
2
= −1
Por lo tanto:
Respuesta.

𝒑 ∗ 𝒏 = ±𝟏𝟎 𝟐
2. En el siguiente cociente notable se sabe que el segundo término es: 𝒙 𝟐𝟏𝟎
𝒚 𝟏𝟓
Calcular el valor de: 𝒑 ∗ 𝒏
𝒙 𝟑 𝒏−𝟑
− 𝒚 𝟑 𝒏−𝟑
𝒙 𝟐𝒑 𝟐−𝟏 − 𝒚 𝟐𝒑 𝟐−𝟏
Solución:
𝑥3 𝑛−3
− 𝑦3 𝑛−3
𝑥2𝑝2−1 − 𝑦2𝑝2−1
=
(𝑥2𝑝2−1
)
𝑚
− (𝑦2𝑝2−1
)
𝑚
𝑥2𝑝2−1 − 𝑦2𝑝2−1
⟺ (2𝑝2
− 1) 𝑚 = 3 𝑛
− 3 … … … (1)
Donde: 𝑚 = # 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜
𝑡 𝑘 = (𝑥2𝑝2−1
)
𝑚−𝑘
(𝑦2𝑝2−1
)
𝑘−1
𝑡2 = (𝑥2𝑝2−1
)
𝑚−2
(𝑦2𝑝2−1
)
2−1
= 𝑥(2𝑝2−1)(𝑚−2)
𝑦2𝑝2−1
𝑦15
𝑥(2𝑝2−1)(𝑚−2)
𝑦2𝑝2−1
= 𝑥210
𝑦15
⟺ {
(2𝑝2
− 1)( 𝑚 − 2) = 210 … … … (2)
2𝑝2
− 1 = 15 … … … (3)
De la ecuación (3) podemos hallar el valor de 𝑝:
2𝑝2
− 1 = 15 ⟹ 2𝑝2
= 16
𝑝2
= 8 ⟹ 𝒑 = ±𝟐 𝟐
Remplazando la ecuación (3) en la ecuación (2), hallamos 𝑚:
(2𝑝2
− 1)(𝑚 − 2) = 210 ⟹ 15( 𝑚 − 2) = 210
𝑚 − 2 = 14 ⟹ 𝒎 = 𝟏𝟔
Remplazando la ecuación (3) y el valor de 𝑚 en la ecuación (1), hallamos 𝑛:
(2𝑝2
− 1)𝑚 = 3 𝑛
− 3 ⟹ 15 ∗ 16 = 3 𝑛
− 3
240 = 3 𝑛
− 3 ⟹ 3 𝑛
= 243
3 𝑛
= 35
⟹ 𝒏 = 𝟓
(𝑥15
)16
− (𝑦15)16
𝑥15 − 𝑦15
Pero el problema nos pide calcular el valor de 𝑝 ∗ 𝑛:
𝑝 ∗ 𝑛 = ±2 2 ∗ 5
Por lo tanto:
Respuesta.

𝒎 = 𝟑 ; 𝒏 =
𝟑
𝟐
3. Hallar los valores de “ 𝒎” y “ 𝒏”, si las siguientes ecuaciones de segundo grado tienen las mismas
raíces.
(𝟐𝒎 + 𝟏)𝒙 𝟐
− (𝟑𝒎 − 𝟏)𝒙 + 𝟐 = 𝟎
(𝒏 + 𝟐)𝒙 𝟐
− (𝟐𝒏 + 𝟏)𝒙 + 𝟏 = 𝟎
Solución:
Para resolver este problema tenemos dos caminos:
1) Sabemos que si las ecuaciones tienen las mismas raíces entonces las
ecuaciones son idénticas, es decir que deben ser iguales.
2) Si las ecuaciones tienen las mismas raíces, entonces la suma y
multiplicación de sus soluciones serán iguales.
El camino más sencillo es el primero por el hecho de que solo debemos igualar los
coeficientes para que las ecuaciones sean idénticas, tenemos las ecuaciones:
(2𝑚 + 1)𝑥2
− (3𝑚 − 1)𝑥 + 2 = 0 … … (1) ; (𝑛 + 2)𝑥2
− (2𝑛 + 1)𝑥 + 1 = 0 … … (2)
Observe que en las ecuaciones el término independiente de cada ecuación es
diferente, entonces para igualar multipliquemos por 2 a la ecuación (2):
(2𝑚 + 1)𝑥2
− (3𝑚 − 1)𝑥 + 2 = 0 … … (1) ; 2(𝑛 + 2)𝑥2
− 2(2𝑛 + 1)𝑥 + 2 = 0 … … (2)
Ahora si podemos igualar los coeficientes, obteniéndose un sistema de
ecuaciones lineal:
{
2𝑚 + 1 = 2(𝑛 + 2)
3𝑚 − 1 = 2(2𝑛 + 1)
⟹ {
2𝑚 + 1 = 2𝑛 + 4
3𝑚 − 1 = 4𝑛 + 2
{
2𝑚 − 2𝑛 = 3 … … … (3)
3𝑚 − 4𝑛 = 3 … … … (4)
Multiplicando por dos a la ecuación (3) y restándole la ecuación (4):
2(2𝑚 − 2𝑛) − (3𝑚 − 4𝑛) = 2 ∗ 3 − 3
4𝑚 − 4𝑛 − 3𝑚 + 4𝑛 = 3
𝒎 = 𝟑
Remplazando el valor de 𝑚 en la ecuación (3):
2𝑚 − 2𝑛 = 3 ⟹ 2 ∗ 3 − 3 = 2𝑛
𝒏 =
𝟑
𝟐
Entonces nuestra ecuación será:
(2𝑚 + 1)𝑥2
− (3𝑚 − 1)𝑥 + 2 = 0 … … (1)
(2 ∗ 3 + 1)𝑥2
− (3 ∗ 3 − 1)𝑥 + 2 = 0 … … (1)
7𝑥2
− 8𝑥 + 2 = 0 … … (1)
Por lo tanto:
Respuesta.
NOTA: si recurríamos al segundo camino para resolver el problema nos saldrán dos
resultados donde uno de ellos es falso y el otro es el que hallamos anteriormente
se recomienda al estudiante verificarlo.

𝑬 =
𝟏
𝒂
4. Simplificar:
𝑬 = {
(−𝒂 𝟑)−
𝟐
𝟑 − [
(𝒂 𝒂−𝟏
)
𝟑𝒂
(𝟐𝒂 + 𝟏)
𝟑
𝟓
]
−
𝟓
𝟑
+
𝟐
𝒂 𝟒
}
−
𝟏
𝟓
(
𝟏
𝒂 𝟕 −
𝟏
𝒂 𝟏𝟎)
−
𝟏
𝟓
Solución:
 [
(𝑎 𝑎−1
)
3𝑎
(2𝑎+1)
3
5
]
−
5
3
aquí distribuyamos la potencia y operando, obtenemos:
[
(𝑎 𝑎−1
)
3𝑎
(2𝑎 + 1)
3
5
]
−
5
3
=
[(𝑎 𝑎−1
)
3𝑎
]
−
5
3
[(2𝑎 + 1)
3
5]
−
5
3
=
(𝑎 𝑎−1
)
−5𝑎
(2𝑎 + 1)−1
=
𝑎−5𝑎∗𝑎−1
(2𝑎 + 1)−1
[
(𝑎 𝑎−1
)
3𝑎
(2𝑎 + 1)
3
5
]
−
5
3
=
𝑎−5
(2𝑎 + 1)−1
= (
𝑎5
2𝑎 + 1
)
−1
=
𝟐𝒂 + 𝟏
𝒂 𝟓
Recuerde que: 𝑏 𝑚
∗ 𝑏−𝑚
= 𝑏 𝑚−𝑚
= 𝑏0
= 1 ; (
𝑚
𝑛
)
−1
=
𝑛
𝑚
Remplazando lo hallado en la expresión y operando:
𝐸 =
{(−𝑎3)−
2
3 − [
(𝑎 𝑎−1
)
3𝑎
(2𝑎 + 1)
3
5
]
−
5
3
+
2
𝑎4}
−
1
5
(
1
𝑎7 −
1
𝑎10)
−
1
5
=
{(−𝑎)−2
−
2𝑎 + 1
𝑎5 +
2
𝑎4}
−
1
5
(
1
𝑎7 −
1
𝑎10)
−
1
5
𝐸 = {
1
(−𝑎)2 −
2𝑎
𝑎5 −
1
𝑎5 +
2
𝑎4
1
𝑎7 −
1
𝑎10
}
−
1
5
= {
1
𝑎2 −
2
𝑎4 −
1
𝑎5 +
2
𝑎4
1
𝑎7 −
1
𝑎10
}
−
1
5
= {
1
𝑎2 −
1
𝑎5
1
𝑎7 −
1
𝑎10
}
−
1
5
𝐸 = {
1
𝑎2 (1 −
1
𝑎3)
1
𝑎7 (1 −
1
𝑎3)
}
−
1
5
= {
1
𝑎2
1
𝑎7
}
−
1
5
= {
𝑎7
𝑎2
}
−
1
5
= {𝑎5}−
1
5 = 𝑎−1
=
𝟏
𝒂
Por lo tanto:
Respuesta.

𝒙 𝟏,𝟐 = ±𝟐 ; 𝒚 𝟏,𝟐 = ±𝟑
𝒙 𝟏,𝟐 = ±𝟏
𝒚 𝟏,𝟐 = ∓𝟏
;
𝒙 𝟑,𝟒 = ±
𝟕
𝟕
𝒚 𝟑,𝟒 = ∓
𝟒 𝟕
𝟕
{
𝒙 𝟐
− 𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐
= 𝟑
𝟐𝒙 𝟐
+ 𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐
= 𝟐
Solución:
{
(𝑚𝑦)2
− (𝑚𝑦)𝑦 + 𝑦2
= 3
2(𝑚𝑦)2
+ (𝑚𝑦)𝑦 + 𝑦2
= 2
⟹ {
𝑚2
𝑦2
− 𝑚𝑦2
+ 𝑦2
= 3
2𝑚2
𝑦2
+ 𝑚𝑦2
+ 𝑦2
= 2
Factorizando 𝑦2
en el sistema, tenemos:
{
𝑦2(𝑚2
− 𝑚 + 1) = 3 … … … (1)
𝑦2(2𝑚2
+ 𝑚 + 1) = 2 … … … (2)
𝑦2(𝑚2
− 𝑚 + 1)
𝑦2(2𝑚2 + 𝑚 + 1)
=
3
2
⟹
𝑚2
− 𝑚 + 1
2𝑚2 + 𝑚 + 1
=
3
2
Operando:
2(𝑚2
− 𝑚 + 1) = 3(2𝑚2
+ 𝑚 + 1)
2𝑚2
− 2𝑚 + 2 = 6𝑚2
+ 3𝑚 + 3
4𝑚2
+ 5𝑚 + 1 = 0 ⟹ (𝑚 + 1)(4𝑚 + 1) = 0
𝑚 = −1 ∨ 𝑚 = −
1
4
 Remplazando 𝑚 = −1 en la ecuación (1) y en el C.V.:
{
𝑦2((−1)2
− (−1) + 1) = 3
𝑥 = −𝑦
𝑦2(1 + 1 + 1) = 3 ⟹ 𝑦2(3) = 3
𝑦2
= 1 ⟹ 𝒚 = ∓𝟏 ; 𝒙 = ±𝟏
 Remplazando 𝑚 = −
1
4
{
𝑦2
((−
1
4
)
2
− (−
1
4
) + 1) = 3
𝑥 = −
1
4
𝑦
𝑦2
(
1
16
+
1
4
+ 1) = 3 ⟹ 𝑦2
(
1 + 4 + 16
16
) = 3
𝑦2(21) = 3 ∗ 16 ⟹ 𝑦2
=
16
7
⟹ 𝑦 = ±
4
7
𝑦 = ∓
4 7
7
; 𝑥 = ±
7
7
Por lo tanto:
Respuesta.

FILA A
HOJA DE PREGUNTAS
1) Simplificar:
𝑬 =
(𝒙 − 𝟏)√𝒙 𝟐𝟑
√ 𝒙
𝟑
+ √𝒙 𝟐𝟑
+ 𝟏
2) Hace 10 años la edad de Juan era el doble de la edad de María, dentro de 20 años
sus edades sumaran 90 años. ¿cuál es la edad de María?
3) Hallar el valor de: 𝒂 + 𝒃, si 𝒙 𝒂−𝒃
𝒚 𝒂𝒃
es el quinto termino del cociente notable:
𝒙 𝟓𝒏+𝟑
− 𝒚 𝟏𝟎𝒏+𝟏𝟓
𝒙 𝒏−𝟏 − 𝒚 𝟐𝒏−𝟏
{
𝟐(𝒙 − 𝒚)√ 𝒚 = √ 𝒙
(𝒙 + 𝒚)√ 𝒙 = 𝟑√ 𝒚
𝑬 =
[
𝟐 − 𝒃√𝒃 + (√𝒃 + 𝟏)
𝟑
(√𝒃 + 𝟏)
𝟐
−
𝒃 − √𝒃𝒚
√𝒃 − √ 𝒚]
[
𝟐√𝟒 − 𝒚 𝟐 + 𝟖 − 𝟐𝒚 𝟐
𝟐
√ 𝟏 −
𝒚 𝟐
𝟒
−
𝒚 𝟐
√𝟒 − 𝒚 𝟐
+ 𝟏
]
−𝟏
(
𝟐√𝟒 − 𝒚 𝟐
𝟑
)

𝑬 = 𝒙 − 𝒙 𝟐𝟑
𝑳𝒂 𝒆𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝑴𝒂𝒓í𝒂 𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝟐𝟎 𝒂ñ𝒐𝒔
SOLUCIONARIO I/2012
1. Simplificar:
𝑬 =
(𝒙 − 𝟏)√𝒙 𝟐𝟑
√ 𝒙
𝟑
+ √𝒙 𝟐𝟑
+ 𝟏
Solución:
Observando el problema se puede ver que se trata de un problema de racionalización.
Se sabe que para racionalizar una expresión se debe eliminar los radicales del
denominador, esto lo logramos multiplicando y dividiendo el conjugado del
denominador a la expresión, este conjugado depende mucho del índice del radical a
racionalizar y se utilizan productos notables, de la siguiente manera:
Se observa un radical de índice 3, por lo que se debe utilizar el producto notable:
(𝑎 − 𝑏)(𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3
− 𝑏3
Sea: 𝑎 = √ 𝑥
3
∧ 𝑏 = 1, en el producto notable:
(√ 𝑥
3
− 1) ((√ 𝑥
3
)
2
+ √ 𝑥
3
+ 1) = (√ 𝑥
3
)
3
− 1 ⟹ (√ 𝑥
3
− 1) ( 𝑥23
+ √ 𝑥
3
+ 1) = 𝑥 − 1
Por tanto el conjugado que debemos multiplicar y dividir es: (√ 𝑥
3
− 1)
Entonces:
𝐸 =
(𝑥 − 1)√𝑥23
√ 𝑥
3
+ √𝑥23
+ 1
∙
(√ 𝑥
3
− 1)
(√ 𝑥
3
− 1)
⟹ 𝐸 =
(𝑥 − 1)√𝑥23
(√ 𝑥
3
− 1)
𝑥 − 1
𝐸 = 𝑥23
(√ 𝑥
3
− 1) = 𝑥2 ∙ 𝑥
3
− 𝑥23
⟹ 𝐸 = 𝑥 − 𝑥23
Por lo tanto:
Respuesta.
2. Hace 10 años la edad de Juan era el doble de la edad de María, dentro de 20 años sus
edades sumaran 90 años. ¿cuál es la edad de María?
Solución:
Primero el problema nos habrá de tres estados del tiempo pasado, presente y futuro.
Lo que debemos hallar es la edad de María en el presente, por lo que las variables
a usarse deben estar en el presente.
Realicemos una tabla para una mejor comprensión:
EDAD DE JUAN EN EL PRESENTE EDAD DE MARIA EN EL PRESENTE
𝑥 𝑦
 Hace 10 años la edad de Juan: 𝑥 − 10
 Hace 10 años la edad de María: 𝑦 − 10
 Hace 10 años la edad de Juan era el doble de la edad de María:
𝑥 − 10 = 2(𝑦 − 10) ⟹ 𝑥 − 10 = 2𝑦 − 20 ⟹ 𝟐𝒚 − 𝒙 = 𝟏𝟎 … …… (𝟏)
 Dentro de 20 años la edad de Juan: 𝑥 + 20
 Dentro de 20 años la edad de María: 𝑦 + 20
 Dentro de 20 años la edad de Juan y la edad de María sumaran 90 años:
(𝑥 + 20) + (𝑦 + 20) = 90 ⟹ 𝑥 + 𝑦 + 40 = 90 ⟹ 𝒙 + 𝒚 = 𝟓𝟎 … …… (𝟐)
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones, sumando la ecuación (1) con la (2):
(2𝑦 − 𝑥) + (𝑥 + 𝑦) = 10 + 50 ⟹ 3𝑦 = 60 ⟹ 𝒚 = 𝟐𝟎 ; 𝒙 = 𝟑𝟎
Por lo tanto:
Respuesta.

𝒂 + 𝒃 = ±𝟏𝟐
3. Hallar el valor de: 𝒂 + 𝒃, si 𝒙 𝒂−𝒃
𝒚 𝒂𝒃
𝒙 𝟓𝒏+𝟑
− 𝒚 𝟏𝟎𝒏+𝟏𝟓
𝒙 𝒏−𝟏 − 𝒚 𝟐𝒏−𝟏
Solución:
𝑥5𝑛+3
− 𝑦10𝑛+15
𝑥 𝑛−1 − 𝑦2𝑛−1
=
(𝑥 𝑛−1) 𝑚
− (𝑦2𝑛−1) 𝑚
𝑥 𝑛−1 − 𝑦2𝑛−1
⟺ {
( 𝑛 − 1) 𝑚 = 5𝑛 + 3 … … … (1)
(2𝑛 − 1) 𝑚 = 10𝑛 + 15 … … … (2)
Donde: 𝑚 = #𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜
Dividiendo la ecuación (1) con la ecuación (2) tenemos:
(𝑛 − 1)𝑚
(2𝑛 − 1)𝑚
=
5𝑛 + 3
10𝑛 + 15
⟹
𝑛 − 1
2𝑛 − 1
=
5𝑛 + 3
10𝑛 + 15
⟹ (𝑛 − 1)(10𝑛 + 15) = (5𝑛 + 3)(2𝑛 − 1)
Desarrollando el producto y simplificando:
10𝑛2
+ 5𝑛 − 15 = 10𝑛2
+ 𝑛 − 3 ⟹ 4𝑛 = 15 − 3
4𝑛 = 12 ⟹ 𝒏 = 𝟑 ; 𝒎 = 𝟗
(𝑥2
)9
− (𝑦5)9
𝑥2 − 𝑦5
𝑡 𝑘 = (𝑥2)9−𝑘(𝑦5) 𝑘−1
𝑡5 = (𝑥2)9−5(𝑦5)5−1
= (𝑥2)4(𝑦5)4
= 𝑥8
𝑦20
Por condición del problema sabemos que: 𝑡5 = 𝑥 𝑎−𝑏
𝑦 𝑎𝑏
𝑥8
𝑦20
= 𝑥 𝑎−𝑏
𝑦 𝑎𝑏
⟹ {
𝑎 − 𝑏 = 8
𝑎𝑏 = 20
⟹ {
𝑎 = 𝑏 + 8 … … … (3)
𝑎𝑏 = 20 … … … (4)
(𝑏 + 8)𝑏 = 20 ⟹ 𝑏2
+ 8𝑏 − 20 = 0 ⟹ (𝑏 + 10)(𝑏 − 2) = 0
{
𝑏 = −10
𝑎 = −2
∨ {
𝑏 = 2
𝑎 = 10
El problema nos pide hallar la suma de 𝑎 + 𝑏, sumando los resultados hallados:
𝑎 + 𝑏 = −10 − 2 ∨ 𝑎 + 𝑏 = 2 + 10
𝑎 + 𝑏 = −12 ∨ 𝑎 + 𝑏 = 12
Podemos generalizar la solución según:
𝑎 + 𝑏 = ±12
Por lo tanto:
Respuesta.

𝒙 𝟏 =
𝟑√ 𝟑
𝟒
𝒚 𝟏 =
√ 𝟑
𝟒
;
𝒙 𝟐 = √𝟐
𝒚 𝟐 =
√𝟐
𝟐
{
𝟐(𝒙 − 𝒚) 𝒚 = √ 𝒙
(𝒙 + 𝒚)√ 𝒙 = 𝟑 𝒚
Solución:
homogéneo, pero esto solo se ve si acomodamos el problema de la siguiente forma:
{
2(𝑥 − 𝑦) = √
𝑥
𝑦
𝑥 + 𝑦 = 3√
𝑦
𝑥
Para resolver el sistema se utilizan los siguientes cambios de variable:
{
2(𝑚𝑦 − 𝑦) = √
𝑚𝑦
𝑦
𝑚𝑦 + 𝑦 = 3√
𝑦
𝑚𝑦
⟹ {
2𝑦(𝑚 − 1) = √ 𝑚 … … … (1)
𝑦(𝑚 + 1) =
3
√ 𝑚
… … … (2)
𝑦(𝑚 + 1)
2𝑦(𝑚 − 1)
=
3
√ 𝑚
∗
1
√ 𝑚
⟹
𝑚 + 1
2(𝑚 − 1)
=
3
𝑚
⟹ 𝑚(𝑚 + 1) = 6(𝑚 − 1)
Operando:
𝑚2
+ 𝑚 = 6𝑚 − 6
𝑚2
− 5𝑚 + 6 = 0
(𝑚 − 3)(𝑚 − 2) = 0
𝑚 = 3 ∨ 𝑚 = 2
 Remplazando 𝑚 = 3 en la ecuación (1) y en el C.V.:
{
2𝑦(3 − 1) = √3
𝑥 = 3𝑦
4𝑦 = √3 ⟹ 𝒚 =
√𝟑
𝟒
; 𝒙 =
𝟑√𝟑
𝟒
 Remplazando 𝑚 = 2 en la ecuación (1) y en el C.V.:
{
2𝑦(2 − 1) = √2
𝑥 = 2𝑦
2𝑦 = √2 ⟹ 𝒚 =
√𝟐
𝟐
; 𝒙 = √𝟐
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬 = 𝟏
𝑬 =
[
𝟐 − 𝒃√𝒃 + (√𝒃 + 𝟏)
𝟑
(√𝒃 + 𝟏)
𝟐
−
𝒃 − 𝒃𝒚
√𝒃 − 𝒚]
[
𝟐 𝟒 − 𝒚 𝟐 + 𝟖 − 𝟐𝒚 𝟐
𝟐
√ 𝟏 −
𝒚 𝟐
𝟒
−
𝒚 𝟐
𝟒 − 𝒚 𝟐
+ 𝟏
]
−𝟏
(
𝟐 𝟒 − 𝒚 𝟐
𝟑
)
Solución:

𝑏− 𝑏𝑦
√𝑏−√ 𝑦
aquí vea que 𝑏 se puede escribir como (√𝑏)
2
,obtenemos:
𝑏 − 𝑏𝑦
√𝑏 − 𝑦
=
(√𝑏)
2
− 𝑏𝑦
√𝑏 − 𝑦
=
√𝑏(√𝑏 − 𝑦)
√𝑏 − 𝑦
= √𝒃

2
√1−
𝑦2
4
−
𝑦2
4−𝑦2
aquí solo desarrollemos las fracciones y obtenemos:
2
√1 −
𝑦2
4
−
𝑦2
4 − 𝑦2
=
2
√4 − 𝑦2
4
−
𝑦2
4 − 𝑦2
=
2
4 − 𝑦2
2
−
𝑦2
4 − 𝑦2
2
√1 −
𝑦2
4
−
𝑦2
4 − 𝑦2
=
4
4 − 𝑦2
−
𝑦2
4 − 𝑦2
=
4 − 𝑦2
4 − 𝑦2
= 𝟒 − 𝒚 𝟐
No olvide que:
𝑎
√ 𝑎
=
𝑎
√ 𝑎
∗
√ 𝑎
√ 𝑎
=
𝑎√ 𝑎
𝑎
= √ 𝑎
𝐸 = [
2 − 𝑏√𝑏 + (√𝑏 + 1)
3
(√𝑏 + 1)
2
− √𝑏
] [
2 4 − 𝑦2 + 8 − 2𝑦2
4 − 𝑦2 + 1
]
−1
(
2 4 − 𝑦2
3
) = [𝐴][𝐵]−1
(
2 4 − 𝑦2
3
)
Simplificando 𝐴, con el cambio de variable: 𝑏 = 𝑚2
⟹ 𝑚 = √𝑏,obtenemos:
𝐴 =
2 − 𝑏√𝑏 + (√𝑏 + 1)
3
(√𝑏 + 1)
2
− √𝑏
=
2 − 𝑚2
𝑚 + (𝑚 + 1)3
(𝑚 + 1)2 − 𝑚
=
2 − 𝑚3
+ 𝑚3
+ 3𝑚2
+ 3𝑚 + 1
𝑚2 + 2𝑚 + 1 − 𝑚
𝐴 =
3𝑚2
+ 3𝑚 + 3
𝑚2 + 𝑚 + 1
=
3(𝑚2
+ 𝑚 + 1)
𝑚2 + 𝑚 + 1
= 3 ⟹ 𝑨 = 𝟑
Simplificando 𝐵, con el cambio de variable: 4 − 𝑦2
= 𝑛2
⟹ 𝑛 = 4 − 𝑦2,obtenemos:
𝐵 =
2 4 − 𝑦2 + 8 − 2𝑦2
4 − 𝑦2 + 1
=
2( 4 − 𝑦2 + 4 − 𝑦2
)
4 − 𝑦2 + 1
=
2(𝑛 + 𝑛2)
𝑛 + 1
𝐵 =
2𝑛(𝑛 + 1)
𝑛 + 1
= 2𝑛 ⟹ 𝑩 = 𝟐 𝟒 − 𝒚 𝟐
Remplazando 𝐴 y 𝐵 en la expresión original:
𝐸 = [3] [2 4 − 𝑦2]
−1
(
2 4 − 𝑦2
3
) = (2 4 − 𝑦2) (2 4 − 𝑦2)
−1
Recuerde que: 𝑥 ∗ 𝑥−1
= 𝑥1−1
= 𝑥0
= 1
Nuestro caso: 𝐸 = (2 4 − 𝑦2)(2 4 − 𝑦2)
−1
= 1
Por lo tanto:
Respuesta.

FILA B
HOJA DE PREGUNTAS
𝑬 = (
𝒂 + √ 𝒂 + 𝟏
√ 𝒂 + 𝟏
−
𝒂 − √ 𝒂 + 𝟏
√ 𝒂 − 𝟏
) (𝟏 −
𝟐
√ 𝒂 + 𝟏
)
−𝟏
(𝒂 − 𝟐√ 𝒂 + 𝟏)
2) El termino central del cociente notable:
𝒙 𝟒𝟔𝒂𝒃
− 𝒚 𝟗𝟐𝒃 𝟐
𝒙 𝟐𝒂 − 𝒚 𝟒𝒃
Es igual ha 𝒙 𝟐𝟎𝟒
𝒚 𝟒𝟎𝟖
, y ocupa el trigésimo quinto (35) lugar del mismo.
Calcular: 𝑬 = 𝒂 + 𝒃
3) Un inversionista compro dos departamentos en un total de ochenta y cinco mil
dólares ($us 85.000). Pasado un tiempo vende los mismos obteniendo una
ganancia 20% en el primer departamento y 30% en el segundo. Si el beneficio total
obtenido fue de veinte mil dólares ($us 20.000), ¿Cuánto costo cada
departamento?
4) En el sistema de ecuaciones.
{ 𝒖 𝟐
𝒗 + 𝒖𝒗 𝟐
= 𝟏𝟑
𝒖 𝟑
+ 𝒗 𝟑
= 𝟐𝟓
Hallar: 𝑬 =
𝟏
𝟐
(𝒖 + 𝒗 + 𝟑 𝒖+𝒗
+ 𝟏𝟓)
5) Racionalizar la siguiente expresión algebraica:
𝑬 =
√𝒚 𝟐𝟑
√ 𝒙 − √ 𝒚𝟑

𝑬 = −𝟐
𝑬 = 𝟔
SOLUCIONARIO I/2012
𝑬 = (
𝒂 + √ 𝒂 + 𝟏
√ 𝒂 + 𝟏
−
𝒂 − √ 𝒂 + 𝟏
√ 𝒂 − 𝟏
) (𝟏 −
𝟐
√ 𝒂 + 𝟏
)
−𝟏
(𝒂 − 𝟐√ 𝒂 + 𝟏)
Solución:
Se puede ver que tenemos una raíz cuadrada que tiende a repetirse, entonces para
simplificar la expresión recurriremos a un cambio de variable.
Sea el siguiente cambio de variable: 𝑎 = 𝑥2
⟹ √ 𝑎 = 𝑥
Remplazando en la expresión dada:
𝐸 = (
𝑥2
+ 𝑥 + 1
𝑥 + 1
−
𝑥2
− 𝑥 + 1
𝑥 − 1
) (1 −
2
𝑥 + 1
)
−1
(𝑥2
− 2𝑥 + 1)
𝐸 =
(𝑥 − 1)(𝑥2
+ 𝑥 + 1) − (𝑥 + 1)(𝑥2
− 𝑥 + 1)
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
(
𝑥 + 1 − 2
𝑥 + 1
)
−1
(𝑥 − 1)2
Recordando la suma y diferencia de cubos: (𝑥 ± 1)(𝑥2
∓ 𝑥 + 1) = 𝑥3
± 1
Aplicando el producto notable en la expresión:
𝐸 =
𝑥3
− 1 − (𝑥3
+ 1)
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
(
𝑥 − 1
𝑥 + 1
)
−1
(𝑥 − 1)2
=
𝑥3
− 1 − 𝑥3
− 1
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
(
𝑥 + 1
𝑥 − 1
) (𝑥 − 1)2
−2
(𝑥 − 1)2
(𝑥 − 1)2
= −2
Por lo tanto:
Respuesta.
2. El termino central del cociente notable:
𝒙 𝟒𝟔𝒂𝒃
− 𝒚 𝟗𝟐𝒃 𝟐
𝒙 𝟐𝒂 − 𝒚 𝟒𝒃
Es igual ha 𝒙 𝟐𝟎𝟒
𝒚 𝟒𝟎𝟖
, y ocupa el trigésimo quinto (35) lugar del mismo. Calcular: 𝑬 = 𝒂 + 𝒃
Solución:
𝑥46𝑎𝑏
− 𝑦92𝑏2
𝑥2𝑎 − 𝑦4𝑏
=
(𝑥2𝑎) 𝑛
− (𝑦4𝑏) 𝑛
𝑥2𝑎 − 𝑦4𝑏
⟺ {
2𝑎𝑛 = 46𝑎𝑏
4𝑏𝑛 = 92𝑏2 ⟹ {
𝑛 = 23𝑏
𝑛 = 23𝑏
… … (1)
Ahora recordemos la fórmula del término k-esimo: 𝑡 𝑘 = (𝑥2𝑎) 𝑛−𝑘(𝑦4𝑏) 𝑘−1
𝑡35 = (𝑥2𝑎) 𝑛−35(𝑦4𝑏)35−1
= 𝑥2𝑎(𝑛−35)
𝑦34∙4𝑏
𝑦408
= 𝑡 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙
𝑥2𝑎(𝑛−35)
𝑦34∗4𝑏
= 𝑥204
𝑦408
{
2𝑎(𝑛 − 35) = 204
34 ∙ 4𝑏 = 408
⟹ {
𝑎(𝑛 − 35) = 102 … … (2)
𝒃 = 𝟑
Remplazando “ 𝑏” en la ecuación (1): 𝑛 = 23𝑏 ⟹ 𝑛 = 23 ∙ 3 ⟹ 𝒏 = 𝟔𝟗
Remplazando el valor de “𝑛” en la ecuación (2):
𝑎(𝑛 − 35) = 102 ⟹ 𝑎(69 − 35) = 102 ⟹ 34𝑎 = 102 ⟹ 𝒂 = 𝟑
(𝑥6)69−(𝑦12)
69
𝑥6−𝑦12
Remplazando los valores hallados en la expresión: 𝐸 = 𝑎 + 𝑏 = 3 + 3 ⟹ 𝐸 = 6
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬𝒍 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒅𝒆𝒑𝒂𝒓𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝟓𝟓. 𝟎𝟎𝟎 $𝒖𝒔 𝒚 𝒆𝒍 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 $𝒖𝒔
3. Un inversionista compro dos departamentos en un total de ochenta y cinco mil dólares ($us
85.000). Pasado un tiempo vende los mismos obteniendo una ganancia 20% en el primer
departamento y 30% en el segundo. Si el beneficio total obtenido fue de veinte mil dólares
($us 20.000), ¿Cuánto costo cada departamento?
Solución:
El problema nos habla de dos departamentos entonces llamemos:
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑛 $ 𝑢𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 ; 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑛 $ 𝑢𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2
Es lógico pensar que la suma de los costos de los departamentos nos dará 85000 $us.
Por lo tanto:
𝑥 + 𝑦 = 85000 $ 𝑢𝑠 ………………(1)
Por otra parte el problema nos habla de ganancias o beneficios, esto lo
podemos interpretar de la siguiente forma:
Si yo compro un objeto en 100 $us y lo vendo en 160 $us la ganancia será:
160 $𝑢𝑠 − 100 $𝑢𝑠 = 60 $𝑢𝑠 (𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎)
% =
∗ 100% ; 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 % =
𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
∗ 100%
Para el ejemplo:
𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 % =
60 $𝑢𝑠
100 $𝑢𝑠
∗ 100% = 60%
El problema nos dice que el primer departamento deja una ganancia del 20% y
el segundo departamento deja una ganancia del 30%, es decir:
𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 % =
𝐺1
𝑥
∗ 100% = 20% ; 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 % =
𝐺2
𝑦
∗ 100% = 30%
Dónde: 𝐺1 = 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 ; 𝐺2 = 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2
De aquí podemos hallar 𝐺1 y 𝐺2:
𝐺1 =
20%
100%
∗ 𝑥 =
𝑥
5
; 𝐺2 =
30%
100%
∗ 𝑦 =
3𝑦
10
Ahora es lógico pensar que la suma de las ganancias de cada departamento en
$us, nos dará la ganancia de la venta de los dos departamentos en $us
(20.000 $us), es decir:
𝐺1 + 𝐺2 = 20000 $𝑢𝑠 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝑥
5
+ 3𝑦
10
= 20000 $𝑢𝑠 …………………(2)
Multiplicando por diez a la ecuación (2):
2𝑥 + 3𝑦 = 200000 $𝑢𝑠 ……………………(3)
Multiplicando por dos a la ecuación (1) y restando el resultado a la ecuación (3):
(2𝑥 + 3𝑦) − 2(𝑥 + 𝑦) = 200000 $𝑢𝑠 − 2 ∗ 85000 𝐵𝑠
𝑦 = 30000 $𝑢𝑠
𝑥 + 30000 $𝑢𝑠 = 85000 $𝑢𝑠
𝑥 = 55000 $𝑢𝑠
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬 = 𝟓𝟎
4. En el sistema de ecuaciones.
{ 𝒖 𝟐
𝒗 + 𝒖𝒗 𝟐
= 𝟏𝟑
𝒖 𝟑
+ 𝒗 𝟑
= 𝟐𝟓
Hallar: 𝑬 =
𝟏
𝟐
(𝒖 + 𝒗 + 𝟑 𝒖+𝒗
+ 𝟏𝟓)
Solución:
Observando el sistema de ecuaciones podemos ver que si multiplicamos a la
ecuación (1) por tres y si unimos esa ecuación con la ecuación (2) formamos
el desarrollo de un binomio elevado al cubo.
Recordando: (𝑥 + 𝑦)3
= 𝑥3
+ 3𝑥2
𝑦 + 3𝑥𝑦2
+ 𝑦3
Entonces multipliquemos por tres a la ecuación (1):
{
3𝑢2
𝑣 + 3𝑢𝑣2
= 39 … … … (1)
𝑢3
+ 𝑣3
= 25 … … … (2)
Ahora sumemos la ecuación (1) con la ecuación (2):
𝑢3
+ 3𝑢2
𝑣 + 3𝑢𝑣2
+ 𝑣3
= 64
Como podemos observar se trata de un binomio elevado al cubo:
(𝑢 + 𝑣)3
= 64
Sacando la raíz cubica:
𝑢 + 𝑣 = 433
⟹ 𝑢 + 𝑣 = 4 … … … (3)
Pero el problema nos pide hallar el valor de 𝐸, entonces si observamos con
cuidado podemos ver que la ecuación (3) aparece dos veces en la expresión
dada, entonces lo único que debemos hacer es remplazar la ecuación (3) en
la expresión:
𝐸 =
1
2
(𝑢 + 𝑣 + 3 𝑢+𝑣
+ 15) =
1
2
(4 + 34
+ 15)
𝐸 =
1
2
(19 + 81) = 50
Por lo tanto:
Respuesta.
Nota: observando bien el sistema de ecuaciones podemos ver que se trata de un
sistema de ecuaciones homogéneo es decir que se puede resolver realizando
cualquiera de los dos siguientes cambios de variable:
Pero es innecesario resolver el problema por ese método ya que es más largo y
tedioso, siempre es bueno observan el sistema para ver si las ecuaciones dadas
cumplen algunas reglas o están relacionadas, esto para poder resolver los problemas
de manera más eficiente.

𝐸 =
(√ 𝑥 + 𝑦3
)(𝑥2
∙ 𝑦23
+ 𝑥𝑦 ∙ 𝑦3
+ 𝑦2
)
𝑥3 − 𝑦2
5. Racionalizar la siguiente expresión algebraica:
𝑬 =
𝒚 𝟐𝟑
√ 𝒙 − 𝒚𝟑
Solución:
Se sabe que para racionalizar una expresión se debe eliminar los radicales
del denominador, esto lo logramos multiplicando y dividiendo el conjugado
del denominador a la expresión, este conjugado depende mucho del índice del
radical a racionalizar y se utilizan productos notables.
Como nuestra expresión tiene un denominador con dos radicales de índices
dos y tres estamos tratando con una racionalización combinada la cual se
resuelve de la siguiente manera:
Para racionalizar el radical √ 𝑥 de índice dos utilizamos el siguiente
producto notable: (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2
− 𝑏2
Ahora necesitamos encontrar los valores de “ 𝑎” y “ 𝑏” para este caso:
Sea: 𝑎 = √ 𝑥 ∧ 𝑏 = 𝑦3
, en el producto notable:
(√ 𝑥 − 𝑦3
)(√ 𝑥 + 𝑦3
) = (√ 𝑥)
2
− ( 𝑦3
)
2
⟹ (√ 𝑥 − 𝑦3
)(√ 𝑥 + 𝑦3
) = 𝑥 − 𝑦23
Por tanto el conjugado que debemos multiplicar y dividir es: (√ 𝑥 + 𝑦3
)
Entonces:
𝐸 =
𝑦23
√ 𝑥 − 𝑦3
∙
(√ 𝑥 + 𝑦3
)
(√ 𝑥 + 𝑦3
)
⟹ 𝐸 =
𝑦23
(√ 𝑥 + 𝑦3
)
𝑥 − 𝑦23
Para racionalizar el radical 𝑦23
de índice tres utilizamos el siguiente
producto notable: (𝑎 − 𝑏)(𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3
− 𝑏3
Ahora necesitamos encontrar los valores de “ 𝑎” y “ 𝑏” para este caso:
Sea: 𝑎 = 𝑥 ∧ 𝑏 = 𝑦23
, en el producto notable:
(𝑥 − 𝑦23
) (𝑥2
+ 𝑥 ∙ 𝑦23
+ ( 𝑦23
)
2
) = 𝑥3
− ( 𝑦23
)
3
(𝑥 − 𝑦23
) (𝑥2
+ 𝑥 ∙ 𝑦23
+ 𝑦43
) = 𝑥3
− 𝑦2
Por tanto el conjugado que debemos multiplicar y dividir es: (𝑥2
+ 𝑥 ∙ 𝑦23
+ 𝑦43
)
Entonces:
𝐸 =
𝑦23
(√ 𝑥 + 𝑦3
)
𝑥 − 𝑦23
∙
(𝑥2
+ 𝑥 ∙ 𝑦23
+ 𝑦43
)
(𝑥2 + 𝑥 ∙ 𝑦23
+ 𝑦43
)
⟹ 𝐸 =
𝑦23
(√ 𝑥 + 𝑦3
)(𝑥2
+ 𝑥 ∙ 𝑦23
+ 𝑦43
)
𝑥3 − 𝑦2
𝐸 =
(√ 𝑥 + 𝑦3
)(𝑥2
∙ 𝑦23
+ 𝑥 ∙ 𝑦43
+ 𝑦63
)
𝑥3 − 𝑦2
=
(√ 𝑥 + 𝑦3
)(𝑥2
∙ 𝑦23
+ 𝑥𝑦 ∙ 𝑦3
+ 𝑦2
)
𝑥3 − 𝑦2
Por lo tanto:
Respuesta.

FILA A
HOJA DE PREGUNTAS
1) Simplificar:
𝑬 = 𝟑 ∗ √
(𝟏 + 𝒂)√ 𝟏 + 𝒂
𝟑
𝟑𝒂
∗ √ √ 𝟑
𝟗 + 𝟏𝟖𝒂−𝟏 + 𝟗𝒂−𝟐
𝟑
2) Dado el cociente notable:
𝒙 𝟐𝟏
− 𝒚 𝟐𝟏
𝒙 𝒏 − 𝒚 𝒎
Determinar los valores de 𝒎 y 𝒏 sabiendo que el cuarto termino es a la vez el termino
central.
3) Si 𝒎 , 𝒏 son raíces de la ecuación: 𝒙 𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ;calcular el valor de:
𝑨 =
𝒎 𝟑
+ 𝒏 𝟑
+ 𝟏𝟖𝒄
𝟑𝟔
4) Simplificar la siguiente expresión, si se sabe que: 𝒂 𝒃
= 𝒃 𝒂
𝑨 = √(𝒂−𝒃)−𝒂−𝒃
∗ (𝒃−𝒂)−𝒃−𝒂𝟐𝒂𝒃−𝒂
{
√ 𝒙 + 𝒚 +
𝟏
√ 𝒙 − 𝒚
=
𝟏𝟑
𝟐
𝒙 + 𝒚 = 𝟑𝟔

𝑬 = 𝒂
𝟔
𝒏 = 𝒎 = 𝟑
1. Simplificar:
𝑬 = 𝟑 ∗ √
(𝟏 + 𝒂) 𝟏 + 𝒂
𝟑
𝟑𝒂
∗ √
𝟑
𝟗 + 𝟏𝟖𝒂−𝟏 + 𝟗𝒂−𝟐
𝟑
Solución:
Primero operemos el argumento del radical de índice 3:
3
9 + 18𝑎−1 + 9𝑎−2
=
3
1
2
9 (1 +
2
𝑎 +
1
𝑎2)
=
3
1
2
32 (
𝑎2 + 2𝑎 + 1
𝑎2 )
=
1
32−
1
2
(𝑎 + 1)2
𝑎2
=
𝑎2
3
3
2(𝑎 + 1)2
Remplazando lo hallado en la expresión dada:
𝐸 = 3 ∗ √
(1 + 𝑎) 1 + 𝑎
3
3𝑎
∗ √
𝑎2
3
3
2(𝑎 + 1)2
3
Sea el siguiente cambio de variable: 1 + 𝑎
3
= 𝑚 ⟹ 𝑚3
= 1 + 𝑎
Recuerde la propiedad: √
𝑥
𝑦
𝑛
= (
𝑥
𝑦
)
1
𝑛
=
𝑥
1
𝑛
𝑦
1
𝑛
El C.V. y aplicando la propiedad en la expresión:
𝐸 = 3 ∗ √
𝑚3 𝑚
3𝑎
∗ √
𝑎2
3
3
2(𝑚3)2
3
= 3 (
𝑚4
3𝑎
)
1
2
(
𝑎2
3
3
2 𝑚6
)
1
3
=
3𝑚2
3
1
2 𝑎
1
2
∙
𝑎
2
3
3
1
2 𝑚2
=
3𝑎
2
3
−
1
2
3
= 𝑎
1
6 = 𝑎
6
Por lo tanto:
Respuesta.
2. Dado el cociente notable:
𝒙 𝟐𝟏
− 𝒚 𝟐𝟏
𝒙 𝒏 − 𝒚 𝒎
Determinar los valores de 𝒎 y 𝒏 sabiendo que el cuarto termino es a la vez el termino central.
Solución:
𝑥21
− 𝑦21
𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑚
=
(𝑥 𝑛) 𝑎
− (𝑦 𝑚) 𝑎
𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑚
⟺ {
𝑎𝑛 = 21 … … … (1)
𝑎𝑚 = 21 … … … (2)
Donde: 𝑎 = #𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜
Dividiendo la ecuación (1) con la (2):
𝑎𝑛
𝑎𝑚
=
21
21
⟹
𝑛
𝑚
= 1 ⟹ 𝑛 = 𝑚 … … … (3)
Ahora el problema nos dice que el cuarto término es el término central, eso quiere
decir que existe un número impar de términos en el desarrollo del cociente notable.
Recordemos la fórmula del término central cuando existe un número impar de términos
en el C.N.: 𝑡 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = 𝑡 𝑎+1
2
Ya que el cuarto termino es el término central: 𝑡 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = 𝑡 𝑎+1
2
= 𝑡4
Por comparación obtenemos:
𝑎+1
2
= 4 ⟹ 𝑎 + 1 = 8 ⟹ 𝒂 = 𝟕
Eso quiere decir que tenemos siete términos en el desarrollo del cociente notable.
Remplazando el valor hallado en la ecuación (1): 7𝑛 = 21 ⟹ 𝒏 = 𝒎 = 𝟑
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬 = 𝟔
3. Si 𝒎 , 𝒏 son raíces de la ecuación: 𝒙 𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ;calcular el valor de:
𝑨 =
𝒎 𝟑
+ 𝒏 𝟑
+ 𝟏𝟖𝒄
𝟑𝟔
Solución:
Primero sabemos que toda ecuación de segundo grado tiene la forma general:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
De esta ecuación sabemos que sus soluciones cumplen con las siguientes
igualdades:
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
; 𝑥1 ∗ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
Para nuestro caso tenemos que:
𝑎 = 1 ; 𝑏 = −6 ; 𝑐 = 𝑐
𝑥1 = 𝑚 ; 𝑥2 = 𝑛
Entonces tenemos:
𝑥2
− 6𝑥 + 𝑐 = 0
𝑚 + 𝑛 = −
−6
1
; 𝑚 ∗ 𝑛 =
𝑐
1
{
𝑚 + 𝑛 = 6 … … … (1)
𝑚 ∗ 𝑛 = 𝑐 … … … (2)
Ahora viendo la expresión dada vemos que necesitamos encontrar el valor de
𝑚3
+ 𝑛3
, para eso elevemos la ecuación (1) al cubo:
(𝑚 + 𝑛)3
= 63
⟹ 𝑚3
+ 3𝑚2
𝑛 + 3𝑚𝑛2
+ 𝑛3
= 216
Despejando lo que se necesita y factorizando lo posible:
𝑚3
+ 𝑛3
= 216 − 3𝑚𝑛(𝑚 + 𝑛) … … … (4)
𝑚3
+ 𝑛3
= 216 − 3𝑐(6)
𝑚3
+ 𝑛3
+ 18𝑐 = 216 … … … (5)
Ahora remplacemos la ecuación (5) en la expresión dada:
𝐴 =
𝑚3
+ 𝑛3
+ 18𝑐
36
=
216
36
= 6
Por lo tanto:
Respuesta.

𝒙 = 𝟐𝟎 ; 𝒚 = 𝟏𝟔
𝑨 = 𝒃
4. Simplificar la siguiente expresión, si se sabe que: 𝒂 𝒃
= 𝒃 𝒂
𝑨 = √(𝒂−𝒃)−𝒂−𝒃
∗ (𝒃−𝒂)−𝒃−𝒂𝟐𝒂𝒃−𝒂
Solución:
Primero apliquemos las siguientes propiedades: (𝑥−𝑚)−𝑛
= 𝑥(−𝑚)(−𝑛)
= 𝑥 𝑚𝑛
; 𝑥 𝑚𝑛
= 𝑥
𝑚
𝑛
En la expresión:
𝐴 = √(𝑎−𝑏)−𝑎−𝑏
∗ (𝑏−𝑎)−𝑏−𝑎2𝑎𝑏−𝑎
= [(𝑎 𝑏
) 𝑎−𝑏
∗ (𝑏 𝑎
) 𝑏−𝑎
]
1
2𝑎𝑏−𝑎
𝐴 = [(𝑎 𝑏
) 𝑎−𝑏
∗ (𝑏 𝑎
) 𝑏−𝑎
]
𝑏 𝑎
2𝑎
Ahora por condición del problema sabemos que: 𝑎 𝑏
= 𝑏 𝑎
Elevando ala −1, obtenemos: 𝑎−𝑏
= 𝑏−𝑎
𝐴 = [(𝑎 𝑏
) 𝑎−𝑏
∗ (𝑏 𝑎
) 𝑏−𝑎
]
𝑏 𝑎
2𝑎
= [(𝑏 𝑎
) 𝑏−𝑎
∗ (𝑏 𝑎
) 𝑏−𝑎
]
𝑏 𝑎
2𝑎 = [(𝑏 𝑎
) 𝑏−𝑎+𝑏−𝑎
]
𝑏 𝑎
2𝑎
𝐴 = [(𝑏 𝑎
)2𝑏−𝑎
]
𝑏 𝑎
2𝑎 = (𝑏 𝑎
)
(2𝑏−𝑎)(
𝑏 𝑎
2𝑎
)
Simplificando y aplicando la propiedad: 𝑥−𝑚
∗ 𝑥 𝑚
= 𝑥−𝑚+𝑚
= 𝑥0
= 1 ,obtenemos:
𝐴 = (𝑏 𝑎
)
(2𝑏−𝑎)(
𝑏 𝑎
2𝑎
)
= (𝑏 𝑎
)
𝑏−𝑎∗𝑏 𝑎
𝑎 = (𝑏 𝑎
)
1
𝑎 = 𝑏
Por lo tanto:
Respuesta.
{
√ 𝒙 + 𝒚 +
𝟏
√ 𝒙 − 𝒚
=
𝟏𝟑
𝟐
… … … (𝟏)
𝒙 + 𝒚 = 𝟑𝟔 … … … (𝟐)
Solución:
Remplacemos la ecuación (2) en la ecuación (1):
√ 𝑥 + 𝑦 +
1
√ 𝑥 − 𝑦
=
13
2
⟹ 36 +
1
√ 𝑥 − 𝑦
=
13
2
1
√ 𝑥 − 𝑦
=
13
2
− 6 ⟹
1
√ 𝑥 − 𝑦
=
1
2
√ 𝑥 − 𝑦 = 2
Elevando al cuadrado:
√ 𝑥 − 𝑦 = 2 ⟹ 𝑥 − 𝑦 = 4 … … … (3)
Sumando la ecuación (3) a la ecuación (2):
(𝑥 + 𝑦) + (𝑥 − 𝑦) = 36 + 4
2𝑥 = 40
𝑥 = 20 ; 𝑦 = 16
Por lo tanto:
Respuesta.

FILA B
HOJA DE PREGUNTAS
1) Simplificar:
𝑬 = [
𝟏
√𝒙 𝟐𝟑
+ √ 𝒙
𝟑
+ 𝟐
] [(
𝒙 + √ 𝒙 + 𝟏
(𝒙 + 𝟏)(√ 𝒙 + 𝟏)
:
𝒙 𝟑/𝟐
− 𝟏
𝒙 𝟐 − 𝟏
) +
𝒙 − 𝟏
√ 𝒙
𝟑
− 𝟏
]
𝒙 𝒂−𝒚 𝒃
𝒙 𝟑−𝒚 𝟕 , existe un término central que es igual a: 𝒙 𝒄
𝒚 𝟐𝟑𝟏
.
Hallar el valor de: 𝑬 = 𝟏 − 𝒂 + 𝒃 − 𝒄
3) Hallar la ecuación de segundo grado con coeficientes reales que admite como raíz el
número complejo 𝟐 − √ 𝟑𝒊.
Se sabe que 𝒊 𝟐
= −𝟏
4) Hallar el valor de 𝑿:
𝑿 = [(
𝟐
𝟑
)
𝟏
𝟒
]
𝟐 𝟏𝟔 𝟖−𝟑−𝟏
{
√ 𝒙 + 𝒚 +
𝟏
√ 𝒙 − 𝒚
=
𝟏𝟑
𝟐
𝒙 + 𝒚 = 𝟑𝟔

𝑬 = 𝟏
1. Simplificar:
𝑬 = [
𝟏
𝒙 𝟐𝟑
+ 𝒙
𝟑
+ 𝟐
] [(
𝒙 + 𝒙 + 𝟏
(𝒙 + 𝟏)( 𝒙 + 𝟏)
:
𝒙 𝟑/𝟐
− 𝟏
𝒙 𝟐 − 𝟏
) +
𝒙 − 𝟏
𝒙
𝟑
− 𝟏
]
Solución:
Observando el problema podemos ver que tenemos radicales con índice 2 e
índice 3, para eliminar estos radicales tenemos que realizar un cambio de
variable, pero el cambio que debemos usar es una variable que debe estar
elevada a un número múltiplo de 2 y de 3, el más cercano es 6.
Sea el siguiente cambio de variable: 𝑥 = 𝑎6
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥
6
= 𝑎
Sacando la raíz cuadrada al C.V.: 𝑥 = 𝑎6 = 𝑎
6
2 = 𝑎3
Sacando la raíz cubica al C.V.: 𝑥
3
= 𝑎63
= 𝑎
6
3 = 𝑎2
Remplazando todo lo hallado en la expresión:
𝐸 = [
1
( 𝑥
3
)
2
+ 𝑥
3
+ 2
] [(
𝑥 + 𝑥 + 1
(𝑥 + 1)( 𝑥 + 1)
:
( 𝑥)
3
− 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
) +
𝑥 − 1
𝑥
3
− 1
]
𝐸 = [
1
(𝑎2)2 + 𝑎2 + 2
] [(
𝑎6
+ 𝑎3
+ 1
(𝑎6 + 1)(𝑎3 + 1)
:
(𝑎3)3
− 1
(𝑎6 − 1)(𝑎6 + 1)
) +
𝑎6
− 1
𝑎2 − 1
]
Aplicando la diferencia de cubos y la diferencia de cuadrados en:
(𝑎3)3
− 1 = (𝑎3
− 1)(𝑎6
+ 𝑎3
+ 1)
𝑎6
− 1 = (𝑎3
− 1)(𝑎3
+ 1)
Lo hallado en la expresión:
𝐸 = [
1
𝑎4 + 𝑎2 + 2
] [(
𝑎6
+ 𝑎3
+ 1
(𝑎6 + 1)(𝑎3 + 1)
:
(𝑎3
− 1)(𝑎6
+ 𝑎3
+ 1)
(𝑎3 − 1)(𝑎3 + 1)(𝑎6 + 1)
) +
𝑎6
− 1
𝑎2 − 1
]
𝐸 = [
1
𝑎4 + 𝑎2 + 2
] [(
𝑎6
+ 𝑎3
+ 1
(𝑎6 + 1)(𝑎3 + 1)
∗
(𝑎3
+ 1)(𝑎6
+ 1)
(𝑎6 + 𝑎3 + 1)
) +
𝑎6
− 1
𝑎2 − 1
]
𝐸 = [
1
𝑎4 + 𝑎2 + 2
] [1 +
𝑎6
− 1
𝑎2 − 1
]
Aplicando diferencia de cubos en:
𝑎6
− 1 = (𝑎2
− 1)(𝑎4
+ 𝑎2
+ 1) ⟹
𝑎6
− 1
𝑎2 − 1
= 𝑎4
+ 𝑎2
+ 1
Lo hallado en la expresión:
𝐸 = [
1
𝑎4 + 𝑎2 + 2
] [1 +
𝑎6
− 1
𝑎2 − 1
] = [
1
𝑎4 + 𝑎2 + 2
] [1 + 𝑎4
+ 𝑎2
+ 1]
𝐸 = [
1
𝑎4 + 𝑎2 + 2
] [𝑎4
+ 𝑎2
+ 2] = 1
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬 = 𝟏𝟕𝟎
𝒙 𝒂−𝒚 𝒃
𝒙 𝟑−𝒚 𝟕 , existe un término central que es igual a: 𝒙 𝒄
𝒚 𝟐𝟑𝟏
. Hallar el
valor de: 𝑬 = 𝟏 − 𝒂 + 𝒃 − 𝒄
Solución:
𝑥 𝑎
− 𝑦 𝑏
𝑥3 − 𝑦7
=
(𝑥3) 𝑛
− (𝑦7) 𝑛
𝑥3 − 𝑦7
⟺ {
3𝑛 = 𝑎 … … … (1)
7𝑛 = 𝑏 … … … (2)
𝑡 𝑘 = (𝑥3) 𝑛−𝑘(𝑦7) 𝑘−1
Por condición del problema sabemos que:
𝑡 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = 𝑥 𝑐
𝑦231
Necesitamos encontrar en qué posición se encuentra el término central:
(𝑥3) 𝑛−𝑘(𝑦7) 𝑘−1
= 𝑥 𝑐
𝑦231
{
3( 𝑛 − 𝑘) = 𝑐
7( 𝑘 − 1) = 231
⟹ {
3( 𝑛 − 𝑘) = 𝑐 … … (3)
𝒌 = 𝟑𝟒
Como existe solo un valor para 𝑘, eso quiere decir que tenemos solo un
término central lo que significa que hay un número impar de términos en el
desarrollo de nuestro cociente notable.
Recordemos la fórmula del término central cuando existe un número impar de
términos en el C.N.:
𝑡 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = 𝑡 𝑛+1
2
Ya que el término en la posición 34 es el término central:
𝑡 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = 𝑡 𝑛+1
2
= 𝑡34
Por comparación obtenemos:
𝑛 + 1
2
= 34
𝑛 + 1 = 68 ⟹ 𝒏 = 𝟔𝟕
Remplazando el valor hallado en las ecuaciones (1), (2) y (3):
{
3𝑛 = 𝑎 … … … (1)
7𝑛 = 𝑏 … … … (2)
3(𝑛 − 𝑘) = 𝑐 … … (3)
⟹ {
𝒂 = 𝟐𝟎𝟏
𝒃 = 𝟒𝟔𝟗
𝒄 = 𝟗𝟗
Remplazando los valores hallados en la expresión pedida
𝐸 = 1 − 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 = 1 − 201 + 469 − 99 = 170
Por lo tanto:
Respuesta.

𝒙 𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟕 = 𝟎
3. Hallar la ecuación de segundo grado con coeficientes reales que admite como raíz el número
complejo 𝟐 − 𝟑𝒊.
Se sabe que 𝒊 𝟐
= −𝟏
Solución:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
De esta ecuación sabemos que cumple con las siguientes igualdades:
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
; 𝑥1 ∗ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
Ahora veamos cómo podemos relacionar las igualdades para poder formar una
ecuación de segundo grado conociendo sus soluciones:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ⟹ 𝑥2
− (−
𝑏
𝑎
) 𝑥 +
𝑐
𝑎
= 0
𝑥2
− (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1 ∗ 𝑥2 = 0
Recordemos que toda ecuación que tenga como solución un número complejo
también tendrá como solución a su conjugado, es decir:
𝑥1 = 2 − 3𝑖 (𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎)
𝑥2 = 2 + 3𝑖 (𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 #𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜)
Remplazando en la ecuación a formar:
𝑥2
− ( 𝑥1 + 𝑥2) 𝑥 + 𝑥1 ∗ 𝑥2 = 0
𝑥2
− (2 − 3𝑖 + 2 + 3𝑖)𝑥 + (2 − 3𝑖)(2 + 3𝑖) = 0
𝑥2
− 4𝑥 + (2)2
− ( 3𝑖)
2
= 0
𝑥2
− 4𝑥 + 4 − 3𝑖2
= 0 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑖2
= −1
𝑥2
− 4𝑥 + 4 − 3(−1) = 0
𝑥2
− 4𝑥 + 7 = 0
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑿 =
𝟏𝟔
𝟖𝟏
4. Hallar el valor de 𝑿:
𝑿 = [(
𝟐
𝟑
)
𝟏
𝟒
]
𝟐 𝟏𝟔 𝟖−𝟑−𝟏
Solución:
Sea:
𝑋 = [(
2
3
)
1
4
]
𝐴
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 = 2168−3−1
Aplicando la siguiente propiedad: (𝑥 𝑚)−1
=
1
𝑥 𝑚
En la expresión 𝐴:
𝐴 = 2168−3−1
= 2168
−
1
3
= 216(23)
−
1
3
𝐴 = 216(2)−1
= 216
1
2
= 2(42)
1
2
𝐴 = 24
= 16
Remplazando en la expresión dada:
𝑋 = [(
2
3
)
1
4
]
𝐴
= [(
2
3
)
1
4
]
16
= (
2
3
)
16
4
𝑋 = (
2
3
)
4
=
24
34
=
16
81
Por lo tanto:
Respuesta.
{
√ 𝒙 + 𝒚 +
𝟏
√ 𝒙 − 𝒚
=
𝟏𝟑
𝟐
… … … (𝟏)
𝒙 + 𝒚 = 𝟑𝟔 … … … (𝟐)
Solución:
Resuelta en el examen de la gestión II/2011, problema 5 FILA “A”.

HOJA DE PREGUNTAS
1) Simplificar:
𝑬 = [
√ 𝟏 + 𝒂
√ 𝟏 + 𝒂 − √ 𝟏 − 𝒂
+
𝟏 − 𝒂
√𝟏 − 𝒂 𝟐 − 𝟏 + 𝒂
] [√
𝟏
𝒂 𝟐
− 𝟏 −
𝟏
𝒂
]
2) En el desarrollo del cociente notable:
𝒙 𝟒𝟔𝒑𝒎−𝒚 𝟗𝟐𝒎𝒑
𝒙 𝟐𝒑−𝒚 𝟒𝒎 , el termino central que ocupa el
lugar 35 es igual a: 𝒙 𝟐𝟎𝟒
𝒚 𝟒𝟎𝟖
. Hallar los valores de: 𝒎 y 𝒑.
3) Hallar el valor de 𝒌 para que en la siguiente ecuación las raíces sean iguales:
𝒌𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 𝟐
− 𝒌𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎
4) Un coleccionista compro dos automóviles en un total de 22500 $us. Después de un
tiempo decidió venderlos y al hacerlo obtuvo un beneficio del 40%. ¿Cuánto pago
por cada automóvil si uno de los autos dejo un beneficio del 25% y el segundo del
50%?
{
𝒙 𝟐
+ 𝒙𝒚 + 𝒙𝒛 − 𝒙 = 𝟐
𝒚 𝟐
+ 𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 − 𝒚 = 𝟒
𝒛 𝟐
+ 𝒙𝒛 + 𝒚𝒛 − 𝒛 = 𝟔

𝑬 = −𝟏
SOLUCIONARIO I/2011
1. Simplificar:
𝑬 = [
√ 𝟏 + 𝒂
√ 𝟏 + 𝒂 − √ 𝟏 − 𝒂
+
𝟏 − 𝒂
√𝟏 − 𝒂 𝟐 − 𝟏 + 𝒂
] [√
𝟏
𝒂 𝟐
− 𝟏 −
𝟏
𝒂
]
Solución:
Operando la expresión:
𝐸 = [
√1 + 𝑎
√1 + 𝑎 − √1 − 𝑎
+
1 − 𝑎
√(1 − 𝑎)(1 + 𝑎) − (1 − 𝑎)
] [√
1 − 𝑎2
𝑎2
−
1
𝑎
]
𝐸 = [
√1 + 𝑎
√1 + 𝑎 − √1 − 𝑎
+
1 − 𝑎
√1 + 𝑎 ∗ √1 − 𝑎 − (1 − 𝑎)
] [
√(1 + 𝑎)(1 − 𝑎)
𝑎
−
1
𝑎
]
𝐸 = [
√1 + 𝑎
√1 + 𝑎 − √1 − 𝑎
+
1 − 𝑎
√1 + 𝑎 ∗ √1 − 𝑎 − (1 − 𝑎)
] [
√1 + 𝑎 ∗ √1 − 𝑎 − 1
𝑎
]
Observando el problema podemos ver que tenemos dos radicales de índice 2
que tienden a repetirse, entonces para simplificar la expresión
recurriremos a un cambio de variable.
Sea el siguiente cambio de variable:
{
√1 + 𝑎 = 𝑥
√1 − 𝑎 = 𝑦
⟹ {
1 + 𝑎 = 𝑥2
1 − 𝑎 = 𝑦2
Remplazando los C.V. en la expresión dada:
𝐸 = [
𝑥
𝑥 − 𝑦
+
𝑦2
𝑥 ∗ 𝑦 − 𝑦2
] [
𝑥 ∗ 𝑦 − 1
𝑎
] = [
𝑥
𝑥 − 𝑦
+
𝑦2
𝑦(𝑥 − 𝑦)
] [
𝑥𝑦 − 1
𝑎
]
𝐸 = [
𝑥
𝑥 − 𝑦
+
𝑦
𝑥 − 𝑦
] [
𝑥𝑦 − 1
𝑎
] = [
𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦
] [
𝑥𝑦 − 1
𝑎
]
Multiplicando y dividiendo por (𝑥 + 𝑦):
𝐸 = [
𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦
] [
𝑥𝑦 − 1
𝑎
] [
𝑥 + 𝑦
𝑥 + 𝑦
] = [
(𝑥 + 𝑦)2
𝑥2 − 𝑦2
] [
𝑥𝑦 − 1
𝑎
] = [
𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
𝑥2 − 𝑦2
] [
𝑥𝑦 − 1
𝑎
]
Regresando a la variable original:
𝐸 = [
𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
𝑥2 − 𝑦2
] [
𝑥𝑦 − 1
𝑎
] = [
1 + 𝑎 + 2√1 + 𝑎 ∗ √1 − 𝑎 + 1 − 𝑎
1 + 𝑎 − (1 − 𝑎)
] [
√1 + 𝑎 ∗ √1 − 𝑎 − 1
𝑎
]
𝐸 = [
2√1 − 𝑎2 + 2
2𝑎
] [
√1 − 𝑎2 − 1
𝑎
] = [
2(√1 − 𝑎2 + 1)
2𝑎
] [
√1 − 𝑎2 − 1
𝑎
]
𝐸 =
(√1 − 𝑎2 + 1)(√1 − 𝑎2 − 1)
𝑎2
=
(√1 − 𝑎2)
2
− 1
𝑎2
=
1 − 𝑎2
− 1
𝑎2
= −1
Por lo tanto:
Respuesta.

𝒎 = 𝒑 = 𝟑
𝒌 = 𝟐
2. En el desarrollo del cociente notable:
𝒙 𝟒𝟔𝒑𝒎−𝒚 𝟗𝟐𝒎𝒑
𝒙 𝟐𝒑−𝒚 𝟒𝒎 , el termino central que ocupa el lugar
35 es igual a: 𝒙 𝟐𝟎𝟒
𝒚 𝟒𝟎𝟖
. Hallar los valores de: 𝒎 y 𝒑.
Solución:
𝑥46𝑝𝑚−𝑦92𝑚𝑝
𝑥2𝑝−𝑦4𝑚 =
(𝑥2𝑝)
𝑛
−(𝑦4𝑚)
𝑛
𝑥2𝑝−𝑦4𝑚 ⟺ {
2𝑝𝑛 = 46𝑝𝑚
4𝑚𝑛 = 92𝑚𝑝
⟹ {
𝑛 = 23𝑚 … … … (1)
𝑛 = 23𝑝 … … … (2)
Igualando la ecuación (1) con la ecuación (2): 23𝑚 = 23𝑝 ⟹ 𝑚 = 𝑝 … … … (3)
Ahora recordemos la fórmula del término k-esimo: 𝑡 𝑘 = (𝑥2𝑝) 𝑛−𝑘(𝑦4𝑚) 𝑘−1
𝑡35 = (𝑥2𝑝) 𝑛−35(𝑦4𝑚)35−1
= 𝑥2𝑝(𝑛−35)
𝑦34∙4𝑚
𝑦408
= 𝑡 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙
𝑥2𝑝(𝑛−35)
𝑦34∙4𝑚
= 𝑥204
𝑦408
{
2𝑝( 𝑛 − 35) = 204
34 ∙ 4𝑚 = 408
⟹ {
𝑝( 𝑛 − 35) = 102 … … … (4)
𝒎 = 𝒑 = 𝟑 … … … (3)
𝑛 = 23𝑚 ⟹ 𝑛 = 23 ∗ 3 ⟹ 𝒏 = 𝟔𝟗
Verificando lo hallado con la ecuación (4):
𝑝(𝑛 − 35) = 102 ⟹ 3(69 − 35) = 102 ⟹ 3 ∙ 34 = 102 ⟹ 102 = 102 (𝒗𝒆𝒓𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂)
(𝑥6)69−(𝑦12)
69
𝑥6−𝑦12
Por lo tanto:
Respuesta.
3. Hallar el valor de 𝒌 para que en la siguiente ecuación las raíces sean iguales:
𝒌𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 𝟐
− 𝒌𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎
Solución:
Sabemos que toda ecuación de segundo grado tiene la forma general: 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
De esta ecuación sabemos que sus soluciones cumplen con las siguientes igualdades:
{
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
𝑝𝑒𝑟𝑜: 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑛 ⟹ {
𝑛 + 𝑛 = −
𝑏
𝑎
𝑛 ∙ 𝑛 =
𝑐
𝑎
Ordenando la ecuación dada a la forma general: (𝑘 + 2)𝑥2
− (𝑘 + 2)𝑥 + 1 = 0
Para nuestro caso tenemos que: 𝑎 = 𝑘 + 2 ; 𝑏 = −(𝑘 + 2) ; 𝑐 = 1
Entonces tenemos:
{
𝑛 + 𝑛 = −
−(𝑘 + 2)
𝑘 + 2
𝑛 ∙ 𝑛 =
1
𝑘 + 2
⟹ {
2𝑛 = 1
𝑛2
=
1
𝑘 + 2
⟹
{
𝑛 =
1
2
(
1
2
)
2
=
1
𝑘 + 2
⟹ { 𝒙 𝟏 = 𝒙 𝟐 = 𝒏 =
𝟏
𝟐
𝒌 = 𝟐
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬𝒍 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒎𝒐𝒗𝒊𝒍 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝟗. 𝟎𝟎𝟎 $𝒖𝒔 𝒚 𝒆𝒍 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝟏𝟑. 𝟓𝟎𝟎 $𝒖𝒔
4. Un coleccionista compro dos automóviles en un total de 22500 $us. Después de un tiempo
decidió venderlos y al hacerlo obtuvo un beneficio del 40%. ¿Cuánto pago por cada automóvil
si uno de los autos dejo un beneficio del 25% y el segundo del 50%?
Solución:
El problema nos habla de dos departamentos entonces llamemos:
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑛 $ 𝑢𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 ; 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑛 $ 𝑢𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2
Es lógico pensar que la suma de los costos de los departamentos nos dará 85000 $us.
Por lo tanto:
𝑥 + 𝑦 = 22500 $ 𝑢𝑠 … … … (1)
Por otra parte el problema nos habla de ganancias o beneficios, esto lo podemos
interpretar de la siguiente forma:
Si yo compro un objeto en 100 $us y lo vendo en 160 $us la ganancia será:
160 $𝑢𝑠 − 100 $𝑢𝑠 = 60 $𝑢𝑠 (𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎)
% =
∗ 100% ; 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑛 % =
𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜
∗ 100%
Para el ejemplo:
60 $𝑢𝑠
100 $𝑢𝑠
∗ 100% = 60%
El problema dice que vendió los automóviles y obtuvo un beneficio del 40%, es
decir:
𝑏𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎
22500 $𝑢𝑠
∗ 100% = 40%
Dónde: 𝑏𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 = 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 $𝑢𝑠
De aquí podemos despejar y hallar 𝑏𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎:
𝑏𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 =
40%
100%
∗ 22500 $𝑢𝑠 = 9000 $𝑢𝑠
El problema nos dice que el primer automóvil deja una ganancia del 25% y el segundo
automóvil deja una ganancia del 50%, es decir:
𝑏1
𝑥
∗ 100% = 25% ; 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑛 % =
𝑏2
𝑦
∗ 100% = 50%
Dónde: 𝑏1 = 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙 1 ; 𝑏2 = 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙 2
De aquí podemos hallar 𝑏1 y 𝑏2:
𝑏1 =
25%
100%
∗ 𝑥 =
𝑥
4
; 𝑏2 =
50%
100%
∗ 𝑦 =
𝑦
2
Ahora es lógico pensar que la suma de los beneficios de cada automóvil en $us, nos
dará el beneficio de la venta de los dos automóviles en $us, es decir:
𝑏1 + 𝑏2 = 𝑏𝑣 ⟹ 𝑏1 + 𝑏2 = 9000 $𝑢𝑠 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝑥
4
+
𝑦
2
= 9000 $𝑢𝑠 … … … (2)
Multiplicando por cuatro a la ecuación (2):
𝑥 + 2𝑦 = 36000 $𝑢𝑠 … …… (3)
Restando la ecuación (1) a la ecuación (3):
(𝑥 + 2𝑦) − (𝑥 + 𝑦) = 36000 $𝑢𝑠 − 22500 𝐵𝑠
𝑦 = 13500 $𝑢𝑠
𝑥 + 13500 $𝑢𝑠 = 22500 $𝑢𝑠
𝑥 = 9000 $𝑢𝑠
Por lo tanto:
Respuesta.

𝒙 𝟏 =
𝟐
𝟑
𝒚 𝟏 =
𝟒
𝟑
𝒛 𝟏 = 𝟐
;
𝒙 𝟐 = −
𝟏
𝟐
𝒚 𝟐 = −𝟏
𝒛 𝟐 = −
𝟑
𝟐
{
𝒙 𝟐
+ 𝒙𝒚 + 𝒙𝒛 − 𝒙 = 𝟐
𝒚 𝟐
+ 𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 − 𝒚 = 𝟒
𝒛 𝟐
+ 𝒙𝒛 + 𝒚𝒛 − 𝒛 = 𝟔
Solución:
Observando el sistema de ecuaciones podemos ver que se puede factorizar una
variable en cada ecuación:
{
𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 − 𝑥 = 2
𝑦2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 − 𝑦 = 4
𝑧2
+ 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 − 𝑧 = 6
⟹ {
𝑥(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1) = 2 … … … (1)
𝑦(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1) = 4 … … … (2)
𝑧(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1) = 6 … … … (3)
𝑦(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1)
𝑥(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1)
=
4
2
⟹
𝑦
𝑥
= 2 ⟹ 𝑦 = 2𝑥 … … … (4)
𝑧(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1)
𝑥(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1)
=
6
2
⟹
𝑧
𝑥
= 3 ⟹ 𝑧 = 3𝑥 … … … (5)
𝑥(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1) = 2 ⟹ 𝑥(𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 − 1) = 2
𝑥(6𝑥 − 1) = 2 ⟹ 6𝑥2
− 𝑥 − 2 = 0
(3𝑥 − 2)(2𝑥 + 1) = 0
𝑥 =
2
3
∨ 𝑥 = −
1
2
 Remplazando 𝑥 =
2
3
en las ecuaciones (4) y (5):
{
𝑥 =
2
3
𝑦 = 2𝑥
𝑧 = 3𝑥
⟹
{
𝑥 =
2
3
𝑦 =
4
3
𝑧 = 2
 Remplazando 𝑥 = −
1
2
en las ecuaciones (4) y (5):
{
𝑥 = −
1
2
𝑦 = 2𝑥
𝑧 = 3𝑥
⟹
{
𝑥 = −
1
2
𝑦 = −1
𝑧 = −
3
2
Por lo tanto:
Respuesta.

FILA A
HOJA DE PREGUNTAS
1) El digito de las unidades de un número de dos cifras excede al digito de las
decenas en 5 unidades. Si los dígitos se invierten y el nuevo número se divide
entre el numero original, el cociente es 8/3. Hallar el número original.
𝒚 𝒎−𝒛 𝟑𝟎
𝒚 𝟐+𝒛 𝒏 , si el cuarto termino es de grado relativo respecto
a “ 𝒛” igual a 9. Hallar la relación entre los términos centrales.
3) Si 𝒙 𝟏 , 𝒙 𝟐 son raíces de la ecuación: 𝒙 𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ;hallar el valor de:
𝑺 =
𝒙 𝟏
𝟐
+ 𝒙 𝟐
𝟐
+ 𝟐𝒄
𝟗
4) Hallar el valor de 𝒎 para que la siguiente expresión sea de primer grado:
𝑷(𝒙) = √
𝒙 𝒎−𝟏 ∗ √ 𝒙 𝒎𝟒
√ 𝒙 𝟓𝒎−𝟒𝟔
𝟑
5) Simplificar al máximo la siguiente expresión:
𝑬 = [
√ 𝒂 + √𝒃
√ 𝒂 − √𝒃
] :
𝒂 𝟐√𝒃 − 𝒂𝒃√ 𝒂
+
𝟒𝒂 𝟐
− 𝒃 𝟐
𝟒𝒂
(
𝟏
𝒃 𝟐 + 𝟑𝒂𝒃 + 𝟐𝒂 𝟐
−
𝟑
𝟐𝒂 𝟐 + 𝒂𝒃 − 𝒃 𝟐
)

𝑬𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒔 𝟐𝟕
1. El digito de las unidades de un número de dos cifras excede al digito de las decenas en 5
unidades. Si los dígitos se invierten y el nuevo número se divide entre el numero original, el
cociente es 8/3. Hallar el número original.
Solución:
Para nuestro caso:
8 ∗ 10 + 5 = 85
Numero de dos cifras o dígitos: 𝐴𝐵
Número que resulta de invertir sus dígitos: 𝐵𝐴
 El digito de las unidades ( 𝐵) de un numero de dos cifras (𝐴 𝐵) excede al
digito de las decenas (𝐴) en 5 unidades:
𝑩 = 𝑨 + 𝟓 … … … (𝟏)
 Si los dígitos se invierten ( 𝐵𝐴) y el nuevo número se divide entre el
original (𝐴 𝐵) el cociente es 8/3:
⟹
𝐵𝐴
𝐴𝐵
=
8
3
El residuo es cero porque el problema no hace referencia a este.
𝐵 ∗ 10 + 𝐴
𝐴 ∗ 10 + 𝐵
=
8
3
⟹
10𝐵 + 𝐴
10𝐴 + 𝐵
=
8
3
30𝐵 + 3𝐴 = 80𝐴 + 8𝐵 ⟹ 77𝐴 = 22𝐵
𝑨 =
𝟐
𝟕
𝑩 … … … (𝟐)
𝐵 = 𝐴 + 5 ⟹ 𝐵 =
2
7
𝐵 + 5
𝐵 (1 −
2
7
) = 5 ⟹
5
7
𝐵 = 5
𝑩 = 𝟕 ; 𝑨 = 𝟐
Por lo tanto:
Respuesta.

𝒕 𝟓
𝒕 𝟔
=
𝒚 𝟐
𝒛 𝟑
𝒚 𝒎−𝒛 𝟑𝟎
𝒚 𝟐+𝒛 𝒏 , si el cuarto termino es de grado relativo respecto a “ 𝒛” igual
a 9. Hallar la relación entre los términos centrales.
Solución:
𝑦 𝑚
− 𝑧30
𝑦2 − 𝑧 𝑛
=
(𝑦2) 𝑎
− (𝑧 𝑛) 𝑎
𝑦2 − 𝑧 𝑛
⟺ {
2𝑎 = 𝑚 … … … (1)
𝑎𝑛 = 30 … … … (2)
Donde: 𝑎 = #𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜
𝑎𝑛
2𝑎
=
30
𝑚
⟹
𝑛
2
=
30
𝑚
⟹ 𝑛𝑚 = 60 … … … (3)
𝑡 𝑘 = (𝑦2) 𝑎−𝑘(𝑧 𝑛) 𝑘−1
𝑡4 = (𝑦2) 𝑎−4(𝑧 𝑛)4−1
= 𝑦2(𝑎−4)
𝑧3𝑛
Por condición del problema sabemos que el cuarto término tiene como valor
del grado relativo respecto de "𝑧" igual a 9, es decir:
𝐺𝑟(𝑧) = 9 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜
Tenemos el cuarto término:
𝑡4 = 𝑦2(𝑎−4)
𝑧3𝑛
⟹ 𝐺𝑟(𝑧) = 3𝑛 = 9
𝒏 = 𝟑
Remplazando lo hallado en la ecuación (3) y en la ecuación (2):
𝑛𝑚 = 60 ; 𝑎𝑛 = 30
3𝑚 = 60 ; 3𝑎 = 30
𝒎 = 𝟐𝟎 ; 𝒂 = 𝟏𝟎
(𝑦2)10
− (𝑧3)10
𝑦2 − 𝑧3
Ahora el problema nos pide la relación entre términos centrales lógicamente
esto nos dice que existen dos términos centrales, lo cual se comprueba
viendo que tenemos diez términos en el desarrollo de nuestro C.N.
Hallemos los términos centrales:
𝑡1 ; 𝑡2 ; 𝑡3 ; 𝑡4 ; 𝑡5 ; 𝑡6 ; 𝑡7 ; 𝑡8 ; 𝑡9 ; 𝑡10
Cuatro términos Términos centrales Cuatro términos
Entonces la relación de los términos centrales es:
𝑡5
𝑡6
=
(𝑦2)10−5(𝑧3)5−1
(𝑦2)10−6(𝑧3)6−1
=
𝑦10
𝑧12
𝑦8 𝑧15
=
𝑦2
𝑧3
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑺 = 𝟒
𝒎 = 𝟖
3. Si 𝒙 𝟏 , 𝒙 𝟐 son raíces de la ecuación: 𝒙 𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ;hallar el valor de:
𝑺 =
𝒙 𝟏
𝟐
+ 𝒙 𝟐
𝟐
+ 𝟐𝒄
𝟗
Solución:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
De esta ecuación sabemos que sus soluciones cumplen con las siguientes igualdades:
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
; 𝑥1 ∗ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
Para nuestro caso tenemos que: 𝑎 = 1 ; 𝑏 = −6 ; 𝑐 = 𝑐
Entonces tenemos:
𝑥1 + 𝑥2 = −
−6
1
; 𝑥1 ∗ 𝑥2 =
𝑐
1
⟹ {
𝑥1 + 𝑥2 = 6 … … … (1)
𝑥1 ∗ 𝑥2 = 𝑐 … … … (2)
Ahora viendo la expresión 𝑆, vemos que necesitamos encontrar el valor de 𝑥1
2
+ 𝑥2
2
,
para eso elevemos la ecuación (1) al cuadrado:
(𝑥1 + 𝑥2)2
= 62
⟹ 𝑥1
2
+ 2𝑥1 ∗ 𝑥2 + 𝑥2
2
= 36 … … … (4)
𝑥1
2
+ 2𝑐 + 𝑥2
2
= 36 ⟹ 𝑥1
2
+ 𝑥2
2
+ 2𝑐 = 36 … … … (5)
Ahora remplacemos la ecuación (5) en la expresión dada:
𝑆 =
𝑥1
2
+ 𝑥2
2
+ 2𝑐
9
=
36
9
⟹ 𝑺 = 𝟒
Por lo tanto:
Respuesta.
4. Hallar el valor de 𝒎 para que la siguiente expresión sea de primer grado:
𝑷(𝒙) = √
𝒙 𝒎−𝟏 ∗ √ 𝒙 𝒎𝟒
√ 𝒙 𝟓𝒎−𝟒𝟔
𝟑
Solución:
Lo primero que hay que hacer es simplificar la expresión, eliminando los radicales
de la siguiente manera:
𝑃(𝑥) = √
𝑥 𝑚−1 ∗ √ 𝑥 𝑚4
√𝑥5𝑚−46
3
= [
𝑥 𝑚−1
∗ 𝑥
𝑚
4
𝑥
5𝑚−4
6
]
1
3
; √𝑎 𝑚𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛
Recordando la siguiente propiedad:
𝑎 𝑛 𝑎 𝑡
𝑎 𝑘
= 𝑎 𝑛+𝑡−𝑘
En la expresión:
𝑃(𝑥) = [
𝑥 𝑚−1
∗ 𝑥
𝑚
4
𝑥
5𝑚−4
6
]
1
3
= [𝑥 𝑚−1+
𝑚
4
−
5𝑚−4
6 ]
1
3
= [𝑥
12𝑚−12+3𝑚−2(5𝑚−4)
12 ]
1
3
[𝑥
5𝑚−4
12 ]
1
3
= 𝑥
5𝑚−4
36
El problema nos dice que la expresión debe de ser de primer grado, eso quiere decir
que el exponente de nuestra expresión debe de ser uno:
𝑃(𝑥) = 𝑥
5𝑚−4
36 = 𝑥 ⟹
5𝑚 − 4
36
= 1 ⟹ 5𝑚 = 40 ⟹ 𝒎 = 𝟖
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬 =
𝒂 𝟐
− 𝟏
𝒂
5. Simplificar al máximo la siguiente expresión:
𝑬 = [
√ 𝒂 + √𝒃
√ 𝒂 − √𝒃
] :
𝒂 𝟐√𝒃 − 𝒂𝒃√ 𝒂
+
𝟒𝒂 𝟐
− 𝒃 𝟐
𝟒𝒂
(
𝟏
𝒃 𝟐 + 𝟑𝒂𝒃 + 𝟐𝒂 𝟐
−
𝟑
𝟐𝒂 𝟐 + 𝒂𝒃 − 𝒃 𝟐
)
Solución:
Dividamos el problema en dos partes:
𝐸 = 𝐴 + 𝐵
 Tenemos:
𝐴 = [
√ 𝑎 + √𝑏
√ 𝑎 − √𝑏
] :
𝑎√𝑏 + 𝑏√ 𝑎
𝑎2√𝑏 − 𝑎𝑏√ 𝑎
Simplificando 𝐴, con los cambios de variable:
𝑎 = 𝑛2
⟹ 𝑛 = √ 𝑎 ; 𝑏 = 𝑚2
⟹ 𝑚 = √𝑏
Los cambios de variable en 𝐴:
𝐴 = [
√ 𝑎 + √𝑏
√ 𝑎 − √𝑏
] :
𝑎√𝑏 + 𝑏√ 𝑎
𝑎2√𝑏 − 𝑎𝑏√ 𝑎
= [
𝑛 + 𝑚
𝑛 − 𝑚
] :
𝑛2
𝑚 + 𝑚2
𝑛
𝑛4 𝑚 − 𝑛2 𝑚2 𝑛
= [
𝑛 + 𝑚
𝑛 − 𝑚
] :
𝑛𝑚(𝑛 + 𝑚)
𝑛3 𝑚(𝑛 − 𝑚)
𝐴 = [
𝑛 + 𝑚
𝑛 − 𝑚
] :
(𝑛 + 𝑚)
𝑛2(𝑛 − 𝑚)
= [
𝑛 + 𝑚
𝑛 − 𝑚
] ∗
𝑛2(𝑛 − 𝑚)
(𝑛 + 𝑚)
= 𝑛2
= 𝑎 ⟹ 𝑨 = 𝒂
 Tenemos:
𝐵 =
4𝑎2
− 𝑏2
4𝑎
(
1
𝑏2 + 3𝑎𝑏 + 2𝑎2
−
3
2𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑏2
)
Factorizando las siguientes expresiones:
4𝑎2
− 𝑏2
= (2𝑎)2
− 𝑏2
= (2𝑎 + 𝑏)(2𝑎 − 𝑏)
𝑏2
+ 3𝑎𝑏 + 2𝑎2
= 2𝑎2
+ 3𝑎𝑏 + 𝑏2
= (2𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
2𝑎2
+ 𝑎𝑏 − 𝑏2
= (2𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
Remplazando en la expresión 𝐵:
𝐵 =
(2𝑎 + 𝑏)(2𝑎 − 𝑏)
4𝑎
(
1
(2𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
−
3
(2𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
)
𝐵 =
(2𝑎 + 𝑏)(2𝑎 − 𝑏)
4𝑎(𝑎 + 𝑏)
(
1
2𝑎 + 𝑏
−
3
2𝑎 − 𝑏
) =
(2𝑎 + 𝑏)(2𝑎 − 𝑏)
4𝑎(𝑎 + 𝑏)
(
2𝑎 − 𝑏 − 3(2𝑎 + 𝑏)
(2𝑎 + 𝑏)(2𝑎 − 𝑏)
)
𝐵 =
(2𝑎 + 𝑏)(2𝑎 − 𝑏)(2𝑎 − 𝑏 − 6𝑎 − 3𝑏)
4𝑎(𝑎 + 𝑏)(2𝑎 + 𝑏)(2𝑎 − 𝑏)
=
(−4𝑎 − 4𝑏)
4𝑎(𝑎 + 𝑏)
𝐵 =
−4(𝑎 + 𝑏)
4𝑎(𝑎 + 𝑏)
= −
1
𝑎
⟹ 𝑩 = −
𝟏
𝒂
Finalmente:
𝐸 = 𝐴 + 𝐵 = 𝑎 −
1
𝑎
=
𝑎2
− 1
𝑎
Por lo tanto:
Respuesta.

FILA B
HOJA DE PREGUNTAS
𝑬 =
[
(√ 𝒂 + 𝟏)
𝟐
−
𝒂 − √ 𝒂𝒙
√ 𝒂 − √ 𝒙
(√ 𝒂 + 𝟏)
𝟑
− 𝒂√ 𝒂 + 𝟐
]
−𝟏
−
(√ 𝒂 − √ 𝟑)(√ 𝟒𝒂 + √𝟏𝟐) − 𝟏𝟐
√ 𝒂 − √ 𝟗
2) Hallar el valor de: 𝒂 + 𝒃, si 𝒙 𝒂−𝒃
𝒚 𝒂𝒃
𝒙 𝟓𝒏+𝟑
− 𝒚 𝟏𝟎𝒏+𝟏𝟓
𝒙 𝒏−𝟏 − 𝒚 𝟐𝒏−𝟏
3) Para qué valor de “ 𝒅 ” las raíces de la ecuación:
𝒙 𝟐
− 𝟐(𝟑𝒅 + 𝟏)𝒙 + 𝟕(𝟐𝒅 + 𝟑) = 𝟎
Serán iguales.
𝑬 = √
𝟐 𝒎+𝟑 ∗ 𝟕 𝟐𝒎+𝟏 − 𝟐 𝒎+𝟏 ∗ 𝟕 𝟐𝒎
𝟐 𝒎+𝟓 ∗ 𝟕 𝟐𝒎 − 𝟐 𝒎+𝟏 ∗ 𝟕 𝟐𝒎+𝟏
𝒎
5) Si al numerador de la fracción 5/7 se le suma un número y al denominador se le
resta el mismo número se obtiene otra fracción equivalente a la reciproca de la
fracción dada. Calcular el número.

𝑬 = −𝟐√ 𝒂 − 𝟑
𝑬 =
[
(√ 𝒂 + 𝟏)
𝟐
−
𝒂 − √ 𝒂𝒙
√ 𝒂 − √ 𝒙
(√ 𝒂 + 𝟏)
𝟑
− 𝒂√ 𝒂 + 𝟐
]
−𝟏
−
(√ 𝒂 − √ 𝟑)(√ 𝟒𝒂 + √𝟏𝟐) − 𝟏𝟐
√ 𝒂 − √ 𝟗
Solución:

𝑎−√ 𝑎𝑥
√ 𝑎−√ 𝑥
aquí vea que 𝑎 se puede escribir como (√ 𝑎)
2
,obtenemos:
𝑎 − √ 𝑎𝑥
√ 𝑎 − √ 𝑥
=
(√ 𝑎)
2
− √ 𝑎𝑥
√ 𝑎 − √ 𝑥
=
√ 𝑎(√ 𝑎 − √ 𝑥)
√ 𝑎 − √ 𝑥
= √ 𝒂
 (√ 𝑎 − √3)(√4𝑎 + √12) aquí operamos los radicales y obtenemos:
(√ 𝑎 − √3)(√4𝑎 + √12) = (√ 𝑎 − √3)(2√ 𝑎 + √4 ∗ 3) = (√ 𝑎 − √3)(2√ 𝑎 + 2√3)
(√ 𝑎 − √3)(√4𝑎 + √12) = 2(√ 𝑎 − √3)(√ 𝑎 + √3) = 𝟐(𝒂 − 𝟑)
𝐸 = [
(√ 𝑎 + 1)
2
− √ 𝑎
(√ 𝑎 + 1)
3
− 𝑎√ 𝑎 + 2
]
−1
−
2(𝑎 − 3) − 12
√ 𝑎 − 3
𝐸 =
(√ 𝑎 + 1)
3
− 𝑎√ 𝑎 + 2
(√ 𝑎 + 1)
2
− √ 𝑎
−
2𝑎 − 18
√ 𝑎 − 3
Realizando el siguiente cambio de variable: 𝑎 = 𝑚2
⟹ 𝑚 = √ 𝑎
Obtenemos:
𝐸 =
(√ 𝑎 + 1)
3
− 𝑎√ 𝑎 + 2
(√ 𝑎 + 1)
2
− √ 𝑎
−
2(𝑎 − 9)
√ 𝑎 − 3
=
(𝑚 + 1)3
− 𝑚2
𝑚 + 2
(𝑚 + 1)2 − 𝑚
−
2(𝑚2
− 9)
𝑚 − 3
𝐸 =
𝑚3
+ 3𝑚2
+ 3𝑚 + 1 − 𝑚3
+ 2
𝑚2 + 2𝑚 + 1 − 𝑚
−
2(𝑚 − 3)(𝑚 + 3)
𝑚 − 3
𝐸 =
3𝑚2
+ 3𝑚 + 3
𝑚2 + 𝑚 + 1
− 2( 𝑚 + 3) =
3(𝑚2
+ 𝑚 + 1)
𝑚2 + 𝑚 + 1
− 2𝑚 − 6
𝐸 = 3 − 2𝑚 − 6 ⟹ 𝑬 = −𝟐𝒎 − 𝟑
Pero: 𝑚 = √ 𝑎
Por lo tanto:
Respuesta.
2. Hallar el valor de: 𝒂 + 𝒃, si 𝒙 𝒂−𝒃
𝒚 𝒂𝒃
𝒙 𝟓𝒏+𝟑
− 𝒚 𝟏𝟎𝒏+𝟏𝟓
𝒙 𝒏−𝟏 − 𝒚 𝟐𝒏−𝟏
Solución:
Resuelta en el examen de la gestión I/2012, problema 3 FILA “A”.

𝒅 𝟏 = −
𝟏𝟎
𝟗
; 𝒅 𝟐 = 𝟐
3. ra qué valor de “ 𝒅 ” las raíces de la ecuación:
𝒙 𝟐
− 𝟐(𝟑𝒅 + 𝟏)𝒙 + 𝟕(𝟐𝒅 + 𝟑) = 𝟎
Serán iguales.
Solución:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
De esta ecuación sabemos que sus soluciones cumplen con las siguientes
igualdades:
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
; 𝑥1 ∗ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
Para nuestro caso tenemos que:
𝑥2
− 2(3𝑑 + 1)𝑥 + 7(2𝑑 + 3) = 0
𝑎 = 1 ; 𝑏 = −2(3𝑑 + 1) ; 𝑐 = 7(2𝑑 + 3)
Por condición del problema:
𝑥1 = 𝑥2 = 𝑛
Entonces tenemos:
𝑥2
− 2(3𝑑 + 1)𝑥 + 7(2𝑑 + 3) = 0
𝑛 + 𝑛 = −[−2(3𝑑 + 1)] ; 𝑛 ∗ 𝑛 = 7(2𝑑 + 3)
{
𝑛 = 3𝑑 + 1 … … … (1)
𝑛2
= 7(2𝑑 + 3) … … … (2)
𝑛2
= 7(2𝑑 + 3) ⟹ (3𝑑 + 1)2
= 7(2𝑑 + 3)
9𝑑2
+ 6𝑑 + 1 = 14𝑑 + 21
9𝑑2
− 8𝑑 − 20 = 0
(9𝑑 + 10)(𝑑 − 2) = 0
𝑑 = −
10
9
∨ 𝑑 = 2
Entonces las ecuaciones son:
𝑥2
− 2 (3 (−
10
9
) + 1) 𝑥 + 7 (2 (−
10
9
) + 3) = 0 ; 𝑥2
− 2(3(2) + 1)𝑥 + 7(2(2) + 3) = 0
𝑥2
− 2 (−
10
3
+ 1) 𝑥 + 7 (−
20
9
+ 3) = 0 ; 𝑥2
− 2(6 + 1)𝑥 + 7(4 + 3) = 0
𝑥2
+
14
3
𝑥 +
49
9
= 0 ; 𝑥2
− 2(7)𝑥 + 7(7) = 0
9𝑥2
+ 42𝑥 + 49 = 0 ; 𝑥2
− 14𝑥 + 49 = 0
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒔 𝟐
𝑬 = √𝟑
𝒎
𝑬 = √
𝟐 𝒎+𝟑 ∗ 𝟕 𝟐𝒎+𝟏 − 𝟐 𝒎+𝟏 ∗ 𝟕 𝟐𝒎
𝟐 𝒎+𝟓 ∗ 𝟕 𝟐𝒎 − 𝟐 𝒎+𝟏 ∗ 𝟕 𝟐𝒎+𝟏
𝒎
Solución:
En problemas de exponentes lo primero que hay que hacer es ver si existen sumas
como exponentes, si esto pasa lo que se debe hacer es volverlo producto con la
siguiente propiedad:
𝑥 𝑎+𝑏
= 𝑥 𝑎
∗ 𝑥 𝑏
Aplicando esta propiedad a la expresión dada:
𝐸 = √
2 𝑚 ∗ 23 ∗ 72𝑚 ∗ 7 − 2 𝑚 ∗ 2 ∗ 72𝑚
2 𝑚 ∗ 25 ∗ 72𝑚 − 2 𝑚 ∗ 2 ∗ 72𝑚 ∗ 7
𝑚
Factorizando términos semejantes:
𝐸 = √
2 𝑚 ∗ 2 ∗ 72𝑚(22 ∗ 7 − 1)
2 𝑚 ∗ 2 ∗ 72𝑚(24 − 7)
𝑚
= √
22 ∗ 7 − 1
16 − 7
𝑚
𝐸 = √
28 − 1
9
𝑚
= √
27
9
𝑚
= √3
𝑚
Por lo tanto:
Respuesta.
5. Si al numerador de la fracción 5/7 se le suma un número y al denominador se le resta el
mismo número se obtiene otra fracción equivalente a la reciproca de la fracción dada.
Calcular el número.
Solución:
Tenemos la fracción:
5
7
=
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟
; 𝑎 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎
Donde su reciproco es:
5
7
( 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛) ;
7
5
( 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑝𝑟𝑜𝑐𝑜)
El problema nos dice lo siguiente:
Si al numerador se le suma un número y al denominador se le resta el mismo número
se obtiene otra fracción equivalente a la reciproca de la fracción dada, esto
podemos escribirlo como:
5 + 𝑎
7 − 𝑎
=
7
5
Tenemos una ecuación de primer grado, resolviendo:
5(5 + 𝑎) = 7(7 − 𝑎) ⟹ 5𝑎 + 7𝑎 = 49 − 25
12𝑎 = 24 ⟹ 𝒂 = 𝟐
Por lo tanto:
Respuesta.

FILA C
HOJA DE PREGUNTAS
1) Simplificar al máximo la siguiente expresión:
𝑬 =
[
(√𝒃 + 𝟏)
𝟐
−
𝒃 − √𝒃𝒙
√𝒃 − √ 𝒙
(√𝒃 + 𝟏)
𝟑
− 𝒃√𝒃 + 𝟐
]
−𝟏
÷
[
𝟐√𝟒 − 𝒚 𝟐 + 𝟖 − 𝟐𝒚 𝟐
𝟐
√ 𝟏 −
𝒚 𝟐
𝟒
−
𝒚 𝟐
√𝟒 − 𝒚 𝟐
+ 𝟏
]
2) Calcular 𝑬 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 y el número de términos del cociente notable:
𝒙 𝒂
− 𝒚 𝟐𝟒
𝒙 𝒃 − 𝒚 𝒄
Si el décimo octavo término del cociente notable es: 𝒙 𝒂−𝟓𝟒
𝒚 𝟏𝟕
.
3) Determinar la ecuación de segundo grado en variable “ 𝒚 ”, cuyas raíces son las
reciprocas de las raíces de: 𝟔𝒙 𝟐
+ 𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎.
𝑬 = √
𝟑 𝒏 𝟐+𝟒 + 𝟑(𝟑 𝒏 𝟐+𝟏) − 𝟏𝟐(𝟑 𝒏 𝟐−𝟏)
𝟑 𝒏 𝟐+𝟑 + 𝟐(𝟑 𝒏 𝟐+𝟐) − 𝟔(𝟑 𝒏 𝟐−𝟏)
𝒏
5) Una familia está compuesta por padre, madre y dos hijos. La suma de las edades
de todos es 136; casualmente la suma de las edades de los hijos es igual a la
edad de la madre. El padre es mayor que su esposa por 7 años ¿Cuántos años
tiene la madre?

𝑬 = 𝟔√ 𝟒 − 𝒚 𝟐
1. Simplificar al máximo la siguiente expresión:
𝑬 =
[
(√𝒃 + 𝟏)
𝟐
−
𝒃 − √𝒃𝒙
√𝒃 − √ 𝒙
(√𝒃 + 𝟏)
𝟑
− 𝒃√𝒃 + 𝟐
]
−𝟏
[
𝟐√𝟒 − 𝒚 𝟐 + 𝟖 − 𝟐𝒚 𝟐
𝟐
√ 𝟏 −
𝒚 𝟐
𝟒
−
𝒚 𝟐
√𝟒 − 𝒚 𝟐
+ 𝟏
]
Solución:

𝑏−√ 𝑏𝑥
√ 𝑏−√ 𝑥
aquí vea que 𝑏 se puede escribir como (√𝑏)
2
,obtenemos:
𝑏 − √𝑏𝑥
√𝑏 − √ 𝑥
=
(√𝑏)
2
− √𝑏𝑥
√𝑏 − √ 𝑥
=
√𝑏(√𝑏 − √ 𝑥)
√𝑏 − √ 𝑥
= √𝒃

2
√1−
𝑦2
4
−
𝑦2
√4−𝑦2
aquí solo desarrollemos las fracciones y obtenemos:
2
√1 −
𝑦2
4
−
𝑦2
√4 − 𝑦2
=
2
√4 − 𝑦2
4
−
𝑦2
√4 − 𝑦2
=
2
√4 − 𝑦2
2
−
𝑦2
√4 − 𝑦2
2
√1 −
𝑦2
4
−
𝑦2
√4 − 𝑦2
=
4
√4 − 𝑦2
−
𝑦2
√4 − 𝑦2
=
4 − 𝑦2
√4 − 𝑦2
= √𝟒 − 𝒚 𝟐
No olvide que:
𝑎
√ 𝑎
=
𝑎
√ 𝑎
∗
√ 𝑎
√ 𝑎
=
𝑎√ 𝑎
𝑎
= √ 𝑎
𝐸 = [
(√𝑏 + 1)
2
− √𝑏
(√𝑏 + 1)
3
− 𝑏√𝑏 + 2
]
−1
[
2√4 − 𝑦2 + 8 − 2𝑦2
√4 − 𝑦2 + 1
] = [𝐴]−1[𝐵]
Simplificando 𝐴, con el cambio de variable: 𝑏 = 𝑚2
⟹ 𝑚 = √𝑏,obtenemos:
𝐴 =
(√𝑏 + 1)
2
− √𝑏
(√𝑏 + 1)
3
− 𝑏√𝑏 + 2
=
(𝑚 + 1)2
− 𝑚
(𝑚 + 1)3 − 𝑚2 𝑚 + 2
=
𝑚2
+ 2𝑚 + 1 − 𝑚
𝑚3 + 3𝑚2 + 3𝑚 + 1 − 𝑚3 + 2
𝐴 =
𝑚2
+ 𝑚 + 1
3𝑚2 + 3𝑚 + 3
=
𝑚2
+ 𝑚 + 1
3(𝑚2 + 𝑚 + 1)
=
1
3
⟹ 𝑨 =
𝟏
𝟑
Simplificando 𝐵, con el cambio de variable: 4 − 𝑦2
= 𝑛2
⟹ 𝑛 = √4 − 𝑦2,obtenemos:
𝐵 =
2√4 − 𝑦2 + 8 − 2𝑦2
√4 − 𝑦2 + 1
=
2(√4 − 𝑦2 + 4 − 𝑦2
)
√4 − 𝑦2 + 1
=
2(𝑛 + 𝑛2)
𝑛 + 1
𝐵 =
2𝑛(𝑛 + 1)
𝑛 + 1
= 2𝑛 ⟹ 𝑩 = 𝟐√𝟒 − 𝒚 𝟐
Remplazando 𝐴 y 𝐵 en la expresión original:
𝐸 = [
1
3
]
−1
[2√4 − 𝑦2] = 3 (2√4 − 𝑦2) = 6√4 − 𝑦2
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬 = 𝟕𝟔 ∧ #𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 = 𝟐𝟒
2. Calcular 𝑬 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 y el número de términos del cociente notable:
𝒙 𝒂
− 𝒚 𝟐𝟒
𝒙 𝒃 − 𝒚 𝒄
Si el décimo octavo término del cociente notable es: 𝒙 𝒂−𝟓𝟒
𝒚 𝟏𝟕
Solución:
𝑥 𝑎
− 𝑦24
𝑥 𝑏 − 𝑦 𝑐
=
(𝑥 𝑏) 𝑛
− (𝑦 𝑐) 𝑛
𝑥 𝑏 − 𝑦 𝑐
⟺ {
𝑏𝑛 = 𝑎 … … … (1)
𝑐𝑛 = 24 … … … (2)
𝑡 𝑘 = (𝑥 𝑏) 𝑛−𝑘(𝑦 𝑐) 𝑘−1
𝑡18 = (𝑥 𝑏) 𝑛−18(𝑦 𝑐)18−1
= 𝑥 𝑏(𝑛−18)
𝑦17𝑐
Por condición del problema sabemos que:
𝑡18 = 𝑥 𝑎−54
𝑦17
𝑥 𝑏(𝑛−18)
𝑦17𝑐
= 𝑥 𝑎−54
𝑦17
⟹ {
𝑏( 𝑛 − 18) = 𝑎 − 54
17𝑐 = 17
⟹ {
𝑏( 𝑛 − 18) = 𝑎 − 54 … (3)
𝒄 = 𝟏
𝑐𝑛 = 24 ⟹ 𝒏 = 𝟐𝟒
Remplazando el valor hallado en las ecuaciones (1) y (3), para formar un
sistema de ecuaciones:
{
24𝑏 = 𝑎
𝑏(24 − 18) = 𝑎 − 54
⟹ {
𝑎 = 24𝑏 … … … (4)
𝑎 − 6𝑏 = 54 … … … (5)
24𝑏 − 6𝑏 = 54 ⟹ 18𝑏 = 54
𝒃 = 𝟑 ; 𝒂 = 𝟕𝟐
(𝑥3
)24
− (𝑦)24
𝑥3 − 𝑦
Remplazando los valores hallados en la expresión pedida:
𝐸 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 72 + 3 + 1 = 76
Por lo tanto:
Respuesta.

𝟏𝟓𝒚 𝟐
− 𝒚 − 𝟔 = 𝟎
3. Determinar la ecuación de segundo grado en variable “ 𝒚 ”, cuyas raíces son las reciprocas de las
raíces de: 𝟔𝒙 𝟐
+ 𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎.
Solución:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
De esta ecuación sabemos que cumple con las siguientes igualdades:
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
; 𝑥1 ∗ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
Ahora veamos cómo podemos relacionar las igualdades para poder formar una
ecuación de segundo grado conociendo sus soluciones:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ⟹ 𝑥2
− (−
𝑏
𝑎
) 𝑥 +
𝑐
𝑎
= 0
𝑥2
− ( 𝑥1 + 𝑥2) 𝑥 + 𝑥1 ∗ 𝑥2 = 0
Pero el problema nos dice que debe estar en función de “ 𝑦”:
𝑦2
− ( 𝑦1 + 𝑦2) 𝑦 + 𝑦1 ∗ 𝑦2 = 0 … … … (1)
Hallemos las raíces de la ecuación dada en función de “𝑥”:
6𝑥2
+ 𝑥 − 15 = 0
(3𝑥 + 5)(2𝑥 − 3) = 0
𝑥1 = −
5
3
; 𝑥2 =
3
2
Por condición del problema sabemos que los valores recíprocos de las raíces
halladas son raíces de la ecuación a formar en función de “ 𝑦”, es decir:
𝑦1 = −
3
5
; 𝑦2 =
2
3
Remplazando estas raíces en la ecuación (1):
𝑦2
− (−
3
5
+
2
3
) 𝑦 + (−
3
5
) (
2
3
) = 0
𝑦2
− (
1
15
) 𝑦 + (−
2
5
) = 0
15𝑦2
− 𝑦 − 6 = 0
Por lo tanto:
Respuesta.

𝑬 = √𝟐
𝒏
𝑳𝒂 𝒆𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒅𝒓𝒆 𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝟒𝟑 𝒂ñ𝒐𝒔
𝑬 = √
𝟑 𝒏 𝟐+𝟒 + 𝟑(𝟑 𝒏 𝟐+𝟏) − 𝟏𝟐(𝟑 𝒏 𝟐−𝟏)
𝟑 𝒏 𝟐+𝟑 + 𝟐(𝟑 𝒏 𝟐+𝟐) − 𝟔(𝟑 𝒏 𝟐−𝟏)
𝒏
Solución:
En problemas de exponentes lo primero que hay que hacer es ver si existen sumas
como exponentes, si esto pasa lo que se debe hacer es volverlo producto con la
siguiente propiedad:
𝑥 𝑎+𝑏
= 𝑥 𝑎
∗ 𝑥 𝑏
Aplicando esta propiedad a la expresión dada:
𝐸 = √
3 𝑛2
∗ 34 + 3 ∗ 3 𝑛2
∗ 3 − 3 ∗ 4 ∗ 3 𝑛2
∗ 3−1
3 𝑛2
∗ 33 + 2 ∗ 3 𝑛2
∗ 32 − 3 ∗ 2 ∗ 3 𝑛2
∗ 3−1
𝑛
Recuerde que: 𝑥 ∗ 𝑥−1
= 𝑥1−1
= 𝑥0
= 1
Aplicando la propiedad y factorizando términos semejantes:
𝐸 = √
3 𝑛2
(34 + 32 − 4)
3 𝑛2
(33 + 2 ∗ 32 − 2)
𝑛
= √
34 + 32 − 4
33 + 2 ∗ 32 − 2
𝑛
𝐸 = √
81 + 9 − 4
27 + 18 − 2
𝑛
= √
86
43
𝑛
= √2
𝑛
Por lo tanto:
Respuesta.
5. Una familia está compuesta por padre, madre y dos hijos. La suma de las edades de todos es 136;
casualmente la suma de las edades de los hijos es igual a la edad de la madre. El padre es mayor
que su esposa por 7 años ¿Cuántos años tiene la madre?
Solución:
EDAD DEL PADRE EDAD DE LA MADRE EDAD DEL PRIMER HIJO EDAD DEL SEGUNDO HIJO
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
 La suma de las edades de toda la familia es 136:
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 = 𝟏𝟑𝟔 … … … (𝟏)
 La suma de las edades de los hijos es igual a la edad de la madre:
𝒄 + 𝒅 = 𝒃 … … … (𝟐)
 El padre es mayor que su esposa por 7 años:
𝒂 = 𝒃 + 𝟕 … … … (𝟑)
(𝑏 + 7) + 𝑏 + 𝑏 = 136 ⟹ 3𝑏 = 129
𝑏 = 43
Por lo tanto:
Respuesta.

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